Κεφάλαιο 5 Προσομοιώματα μικρομηχανικής

Transcript

1 Κεφάλαιο 5 Προσομοιώματα μικρομηχανικής Τα πετρώματα είναι ανομοιογενή υλικά, τόσο λόγω των διαφορετικών ορυκτών που τα συνιστούν όσο και λόγω της παρουσίας κενών, όπως πόρων και μικρορωγμών. Οι ετερογένειες αυτές επιδρούν στις μακροσκοπικές παραμέτρους μηχανικής συμπεριφοράς του πετρώματος. Με τα διάφορα προσομοιώματα μικρομηχανικής, που εξετάζουν τη μηχανική συμπεριφορά των υλικών στην κλίμακα της μικροδομής του, επιχειρείται η ποσοτική εξήγηση εμπειρικών παρατηρήσεων μακροσκοπικής συμπεριφοράς, όπως π.χ. η μείωση του μακροσκοπικού μέτρου ελαστικότητας του πετρώματος με την αύξηση του πορώδους, ή η αλληλεπίδραση των μικρορωγμών με την αύξηση της φόρτισης ενός δοκιμίου πετρώματος. Οι μακροσκοπικές παράμετροι που υπολογίζονται σύμφωνα με τα διάφορα μοντέλα μικρομηχανικής θεωρούνται αντιπροσωπευτικές ενός ομοιογενούς σε μακροσκοπική κλίμακα μέσου. Στη μικρομηχανικη αυτό το υποθετικό μέσο συχνά καλείται ενεργό μέσο (ectve edu. Ελαστικές σταθερές ετερογενούς πετρώματος Συχνά, για διάφορους λόγους, είναι επιθυμητός ο υπολογισμός των ελαστικών σταθερών ενός ετερογενούς πετρώματος με βάση τις ιδιότητες των διαφόρων ορυκτών συστατικών του. Για να πραγματοποιηθεί αυτό με ακρίβεια πρέπει να είναι γνωστά: - οι ελαστικές σταθερές των ορυκτών συστατικών του πετρώματος - τα κατ όγκον ποσοστά κάθε συστατικού στο πέτρωμα - οι γεωμετρικές λεπτομέρειες της δομής του πετρώματος. Συνήθως οι γεωμετρικές λεπτομέρειες δεν είναι γνωστές και είναι δύσκολο να καθορισθούν. Χωρίς αυτές, είναι δυνατός μόνο ο υπολογισμός άνω και κάτω ορίων των ελαστικών σταθερών. Για ομοιογενές πέτρωμα, χωρίς πόρους και μικρορωγμές, η ογκομετρική παραμόρφωση τεμάχους όγκου V, που υποβάλλεται σε ομοιόμορφη πίεση P σε όλη του την επιφάνεια, είναι ίση με P/, όπου Κ το μέτρο συστολής του πετρώματος. Η μείωση του όγκου του τεμάχους θα είναι ίση με ΔVPV/. Σε ένα πέτρωμα με Ν διαφορετικά ορυκτά συστατικά με μέτρο συστολής κάθε ορυκτού, (,,3,..., η παραμόρφωση στο εσωτερικό του πετρώματος, λόγω εξωτερικής υδροστατικής πίεσης P, δεν θα είναι ομοιόμορφη. Γενικά, τα πιο δύσκαμπτα ορυκτά θα παραμορφωθούν λιγότερο από τα ενδοτικότερα. Η ακριβής τιμή της παραμόρφωσης κάθε κόκκου του πετρώματος θα εξαρτάται από το ορυκτό και τη γεωμετρική του θέση μέσα στο πέτρωμα. Παρόλα αυτά το πέτρωμα θα υποστεί μία μείωση όγκου, έστω ΔV. Από μακροσκοπικής άποψης, ορίζεται το ενεργό μέτρο συστολής Κ ως το μέτρο

2 συστολής ενός υποθετικού ομοιογενούς πετρώματος που υφίσταται την ίδια μείωση όγκου με το πραγματικό ετερογενές πέτρωμα, δηλ. V P ( ΔV Ο ακριβής υπολογισμός του Κ απαιτεί την ακριβή γνώση της μικροδομής του πετρώματος, που στην πράξη δεν είναι ποτέ γνωστή. Εντούτοις, εάν είναι γνωστά το ποσοστό χ και το κάθε ορυκτού στο πέτρωμα, το Κ του πετρώματος μπορεί να υπολογισθεί από τις θεωρίες των Reuss, Vogt και Hll. Ο Reuss (99, υιοθέτησε την παραδοχή ότι (οι κόκκοι του πετρώματος είναι διατεταγμένοι «σε σειρά» και επομένως η τάση στο εσωτερικό του πετρώματος είναι ομοιόμορφη. Συνεπώς, κάθε ορυκτό θα υφίσταται μείωση όγκου ΔV εξαρτώμενη από την υδροστατική πίεση P και το, σύμφωνα με τη σχέση: V Δ V P ( Η συνολική μεταβολή του όγκου (των σε σειρά κόκκων θα είναι το άθροισμα των επί μέρους μεταβολών των ορυκτών συστατικών του πετρώματος: ΔV ΔV PV PχV PV χ ( 3 Χρησιμοποιώντας τη σχέση ( προκύπτει, Reuss PV ΔV χ ( 4 Το μέτρο συμπιεστότητας (copressblty odulus είναι: Reuss Reuss χ / χ ( 5 Σύμφωνα με τον Vogt (889, (οι κόκκοι του πετρώματος είναι διατεταγμένοι «παράλληλα» και επομένως η ογκομετρική παραμόρφωση θεωρείται σταθερή μέσα στο ετερογενές σώμα. Έτσι, η μέση ορθή τάση σε κάθε συστατικό (της παράλληλης διάταξης θα είναι ίση με σ, ε v και ο μέσος όρος της μέσης ορθής τάσης υπολογίζεται από τη σχέση:, χε v ε v χ σ χ σ ( 6 ΑΙ Σοφιανός & ΠΠ Νομικός Οκτώβριος 008 A5_Mcroechancal Models.docx

3 3 Χρησιμοποιώντας τη σχέση ( προκύπτει Vogt PV ΔV P ε v σ ε v χ ( 7 Το μέτρο συμπιεστότητας υπολογίζεται ως: Vogt Vogt χ / χ ( 8 Η τιμή του που υπολογίζεται από την υπόθεση του Vogt είναι μεγαλύτερη από εκείνη που υπολογίζεται σύμφωνα με τον Reuss. Ο Hll (95 έδειξε ότι οι δύο τιμές αποτελούν τα άνω και κάτω όρια της πραγματικής τιμής του., δηλ. Re uss Vogt Επιπλέον, προτείνει ως μία καλή προσέγγιση για το τη μέση τιμή των τιμών Reuss και Vogt, γνωστή ως τιμή Vogt-Reuss-Hll (ή τιμή VRH: Reuss Vogt [ VRH + ] ( 9 Οι μέθοδοι των Vogt, Reuss και Hll μπορούν να χρησιμοποιηθούν και για την εκτίμηση του ενεργού μέτρου διάτμησης (ectve shear odulus ετερογενών πετρωμάτων. Στην περίπτωση αυτή: χ Reuss Vogt χ ( 0 Reuss Vogt [ VRH + ] ( Τα όρια του ενεργού μέτρου ελαστικότητας μπορούν να υπολογισθούν από τα όρια των και μέσω της ταυτότητας + ( E 3 9 Τιμές των ελαστικών σταθερών διαφόρων ορυκτών δίνονται στον Πίνακα (Mavko et al ΑΙ Σοφιανός & ΠΠ Νομικός Οκτώβριος 008 A5_Mcroechancal Models.docx

4 4 Πίνακας. Πυκνότητα, ελαστικές σταθερές και ταχύτητες διάδοσης ελαστικών κυμάτων για ορισμένα συνήθη ορυκτά. Ορυκτό Πυκνότητα (g/c 3 Μέτρο συστολής, Κ (Pa Μέτρο διάτμησης, (Pa V p (k/s V s (k/s Λόγος Posson Χαλαζίας Ασβεστίτης Δολομίτης Καολίνης Μοσκοβίτης Αλβίτης Ολιβίνης Πυρίτης Νερό Επίδραση των πόρων στη συμπιεστότητα του πετρώματος Το πορώδες πέτρωμα που δείχνεται στο Σχήμα έχει όγκο V b, που είναι το άθροισμα του όγκου V που καταλαμβάνουν τα στερεά συστατικά του πετρώματος και του όγκου V p που καταλαμβάνουν οι πόροι του. V V + V ( 3 b p Το σχετικό ποσοστό των πόρων και των στερεών του πετρώματος μπορεί να ορισθεί από το πορώδες του η V p V b, 0 η < ( 4 ή από το δείκτη κενών ( e V p V η η ( 5 Σχήμα. (α Πορώδες πέτρωμα όγκου V b με τους όγκους των στερεών και των κενών, V και V p αντίστοιχα. (β Εξωτερική πίεση P c και πίεση πόρων P p. ΑΙ Σοφιανός & ΠΠ Νομικός Οκτώβριος 008 A5_Mcroechancal Models.docx

5 5 Θεωρείται, ότι το πορώδες πέτρωμα υποβάλλεται σε εξωτερική υδροστατική πίεση P c και σε πίεση P p στο εσωτερικό των πόρων του. Εάν θεωρηθεί ότι η πίεση P p παραμένει σταθερή, ο λόγος του ρυθμού μεταβολής του όγκου των πόρων λόγω της P c προς τον αρχικό τους όγκο ορίζει την συμπιεστότητα του συστήματος των πόρων pc, δηλ. : pc V p V p P ( 6 c P ct p Αντίστοιχα, ορίζεται η συμπιεστότητα του ετερογενούς πετρώματος bc, ως ο λόγος του ρυθμού μεταβολής του όγκου του προς τον αρχικό του όγκο λόγω της P c : bc V b V b P ( 7 c P ct p Το ενεργό μέτρο συστολής Κ (στη συνέχεια χρησιμοποιείται ο συμβολισμός Κ αντί του Κ του πετρώματος εξαρτάται από τη συμπιεστότητα των στερεών συστατικών του και τη συμπιεστότητα των πόρων του: bc +η pc ( 8 όπου η συμπιεστότητα των στερεών συστατικών του ετερογενούς πετρώματος. Για πέτρωμα συνιστάμενο από πολλά ορυκτά μπορεί να υπολογισθεί π.χ. με τις μεθόδους Reuss, Vogt ή VRH. Διαιρώντας τα δύο μέλη της (8 με, προκύπτει: bc +η pc ( 9 Θέτοντας γίνεται:, pc pc, bc η (9 ύστερα από αντικαταστάσεις ( 0 +η pc Στο Σχήμα δείχνεται η μεταβολή του λόγου Κ/Κ συναρτήσει του πορώδους για τρεις τιμές του λόγου pc /. Στο ίδιο διάγραμμα δείχνεται το άνω όριο του Κ/Κ κατά Vogt θεωρώντας το μέτρο συστολής του κενού των πόρων ίσο με μηδέν, η αντίστοιχη υπόθεση κατά Reuss, που δίνει μέτρο συστολής μηδέν για κάθε τιμή του πορώδους και η τιμή VRH. ΑΙ Σοφιανός & ΠΠ Νομικός Οκτώβριος 008 A5_Mcroechancal Models.docx

6 6 Κ/ VRH Αύξηση πίεσης P c Κ pc / 0.5 Κ pc / 0. Κ pc / 0. Κάτω όριο REUSS (Κ/ 0 Άνω όριο VOIT Πορώδες Σχήμα. Μεταβολή του λόγου Κ/Κ συναρτήσει του πορώδους για τρεις τιμές του λόγου pc /. Η συμπιεστότητα pc παριστάνει τη συμπιεστότητα του συστήματος των πόρων του πετρώματος. Οι υπάρχουσες μέθοδοι που συσχετίζουν τη συμπιεστότητα με τη δομή των πόρων θεωρούν ότι οι πόροι υπάρχουν στο πέτρωμα ως μεμονωμένα κενά. Τα κενά αυτά θεωρούνται ως οπές δύο ή τριών διαστάσεων ενώ η συμπιεστότητα τους υπολογίζεται επιλύοντας το πρόβλημα ελαστικότητας μίας αφόρτιστης οπής σε άπειρο ελαστικό μέσο με εντατικές συνοριακές συνθήκες στο άπειρο. Έτσι, η υπολογιζόμενη συμπιεστότητα εξαρτάται από το θεωρούμενο σχήμα της οπής (Σχήμα 3, συνήθως κυκλικό ή ελλειπτικό. Σχήμα 3. Συνήθη σχήματα θεωρούμενων οπών δύο και τριών διαστάσεων για την αναπαράσταση των πόρων του πετρώματος. Για κυκλική οπή σε άπειρο ελαστικό μέσο που υφίσταται υδροστατική πίεση P στο άπειρο η συμπιεστότητα δίνεται από τη σχέση: ΑΙ Σοφιανός & ΠΠ Νομικός Οκτώβριος 008 A5_Mcroechancal Models.docx

7 7 ( v pc( crcle (, v είναι οι ελαστικές σταθερές του συμπαγούς πετρώματος. Για ελλειπτική οπή η προηγούμενη σχέση γίνεται: v α + pc (ellpse ( α α b / c είναι ο λόγος του μικρού προς τον μεγάλο άξονα της έλλειψης. Η συμπιεστότητα πόρων τριών διαστάσεων εξετάζεται συνήθως για πόρους σφαιροειδούς σχήματος. Τα σφαιροειδή προκύπτουν με περιστροφή μίας επίπεδης έλλειψης ως προς τον μικρό ή τον μεγάλο άξονα. Με περιστροφή γύρω από τον μικρό άξονα προκύπτει ένα πεπλατυσμένο σφαιροειδές (oblate spherod, ενώ με περιστροφή γύρω από τον μεγάλο άξονα προκύπτει ένα επίμηκες σφαιροειδές (prolate spherod. Το σφαιροειδές έχει τρεις άξονες δύο από τους οποίους είναι ίσοι. Εάν συμβολίσουμε με α το πηλίκο του άνισου άξονα προς έναν από τους δύο ίσους άξονες τότε τα πεπλατυσμένα σφαιροειδή έχουν α < και τα επιμήκη σφαιροειδή α >. Όταν το α το επίμηκες σφαιροειδές τείνει σε βελονοειδή μορφή (needle-lke cylnder ενώ όταν το α 0 το πεπλατυσμένο σφαιροειδές τείνει σε λεπτή ρωγμή κυκλικής κάτοψης (penny-shaped crack. Για πόρους σφαιρικού σχήματος ( α, η συμπιεστότητα είναι: pc ( v ( v 3 (sphere ( 3 Για πόρους σχήματος ρωγμής κυκλικής κάτοψης (μικρές τιμές του α, η συμπιεστότητα είναι: ( v pc ( penny - shaped crack ( 4 πα Για ένα πέτρωμα με Ν πεπλατυσμένες ρωγμές με μεγάλο άξονα c η συμπιεστότητα δίνεται από τη σχέση: bc ( v ( v Γ Όπου Γ αδιάστατη παράμετρος που εκφράζει την πυκνότητα των ρωγμών. ( 5 c 3 Γ ( 6 V b ΑΙ Σοφιανός & ΠΠ Νομικός Οκτώβριος 008 A5_Mcroechancal Models.docx

8 8 3 Κλείσιμο ρωγμών Τα κρυσταλλικά πετρώματα περιέχουν μικρορωγμές πολύ λεπτές κατά τη μία διεύθυνση, που κάτω από αρκούντως υψηλές διαφορικές πιέσεις (εξωτερική πίεση μείων πίεση πόρων μπορούν να κλείνουν, έτσι ώστε από κάποιο σημείο και πέρα να μην επηρεάζουν τη συμπιεστότητα του πετρώματος. Καθώς διαφορετικές ρωγμές κλείνουν σε διαφορετικά φορτία το αποτέλεσμα είναι μία μη γραμμική συμπεριφορά στην καμπύλη τάσης-τροπής του πετρώματος.. Έτσι, το αρχικό μη γραμμικό τμήμα της καμπύλής τάσης-τροπής του πετρώματος (βλ. Κεφάλαιο προσεγγίζεται θεωρητικά με την υπόθεση ότι το αφόρτιστο πέτρωμα περιέχει μία κατανομή ελλειψοειδών ή σφαιροειδών ρωγμών με διάφορους λόγους αξόνων που κλείνουν σταδιακά καθώς το πέτρωμα φορτίζεται. Η τάση στην οποία μία τέτοια ρωγμή κλείνει σχετίζεται με την συμπιεστότητα της ρωγμής και δίνεται από τη σχέση: Pc (closng P * ( 7 pc Συνδυάζοντας την (7 με την (4 προκύπτει η τάση στην οποία κλείνουν οι πεπλατυσμένες ρωγμές αρχικού λόγου πλευρών α: π α ( v ( v ( v 3π α 4 * P (penny - shaped crack ( 8 Για v 0.3, 3π 4 ( v ( v * P (penny - shaped crack, v και η (8 γίνεται: 0. 3 α Θεωρείται ότι το πέτρωμα έχει ρωγμές με διάφορους λόγους αξόνων. Όσο αυξάνεται η εξωτερική πίεση όλο και περισσότερες από αυτές κλείνουν μειώνοντας τη συμπιεστότητα του ετερογενούς πετρώματος. Σε κάθε πίεση P c P, σύμφωνα με την (8, οι ανοικτές ρωγμές έχουν αρχικό λόγο αξόνων: 4( v α > 3 ( v P ( 9 π Εάν τώρα θεωρηθεί ότι η αδιάστατη πυκνότητα ρωγμών Γ της σχέσης (5 εκφράζει την πυκνότητα των ανοικτών ρωγμών μόνο, παραγωγίζοντας την (5 ως προς την ασκούμενη πίεση προκύπτει: d dp bc d dγ bc dγ dα 4π 4 dα dp 3 3 ( v dγ π ( v dα ( 30 και συνεπώς ΑΙ Σοφιανός & ΠΠ Νομικός Οκτώβριος 008 A5_Mcroechancal Models.docx

9 9 dγ dα 3 3π 4π 4 ( v dbc ( v dp * P P ( 3 Όπως φαίνεται από την (3 η παράγωγος dγ dα είναι ανάλογη με την παράγωγο της συμπιεστότητας του πετρώματος. Η συμπιεστότητα του πετρώματος συναρτήσει της πίεσης μπορεί να περιγραφεί από εκθετικές καμπύλες της μορφής bc bc P Pˆ ( e + ( 3 bc bc όπου ο εκθέτης συμβολίζει την αρχική τιμή της συμπιεστότητας (σε μηδενική τάση και ο εκθέτης την τιμή σε ψηλές τάσεις και Pˆ είναι μία χαρακτηριστική τιμή. Οι παράμετροι bc, bc και Pˆ προσδιορίζονται με προσαρμογή της καμπύλης (3 σε πειραματικά δεδομένα. Αντικαθιστώντας την (3 στην (3 προκύπτει: dγ π dα 6 ( v ( v ( α ˆ α 9 ˆ bc bc e ( 33 α Η συνάρτηση κατανομής του πορώδους μπορεί να εκφρασθεί συναρτήσει της συνάρτησης κατανομής των λόγων αξόνων των ρωγμών ως εξής: c ( α dη 4π α dγ dα 3 dα ( 34 Το ολικό πορώδες προκύπτει με ολοκλήρωση της c ( α για τιμές του α από 0 έως. Λόγω της μορφής της c ( α η ολοκλήρωση μπορεί να γίνει από 0 έως άπειρο, οπότε προκύπτει: ( η Pˆ ( 35 crack bc bc 4 Θεωρίες ενεργού μέσου Στις θεωρίες ενεργού μέσου, το ετερογενές πέτρωμα θεωρείται ότι συνίσταται από τα στερεά συστατικά και τους πόρους και τις μικρορωγμές. Οι μηχανικές ιδιότητες της στερεάς φάσης θεωρούνται γνωστές ή μπορούν να υπολογισθούν, π.χ. με τα μοντέλα VRH (βλ. παραγρ.. Στη στερεά φάση προστίθεται ένας πόρος ή μία μικρορωγμή και υπολογίζονται οι ιδιότητες του προκύπτοντος μέσου. Η ανάλυση μπορεί να προχωρήσει με δύο τρόπους: α υποθέτοντας ότι περαιτέρω προσθήκη μίας χαμηλής περιεκτικότητας πόρων ή ρωγμών μεταβάλλει τις ιδιότητες του προκύπτοντος μέσου απλά προσθέτοντας την επίδραση κάθε πόρου ή ρωγμής. Αυτή η θεώρηση μπορεί να έχει ισχύ μόνο για χαμηλές συγκεντρώσεις πόρων ή ρωγμών, αφού αλληλεπιδράσεις μεταξύ των πόρων δεν λαμβάνονται υπόψη. Στην προηγουμένη παράγραφο εξετάσθηκε η επίδραση του ΑΙ Σοφιανός & ΠΠ Νομικός Οκτώβριος 008 A5_Mcroechancal Models.docx

10 0 σχήματος των πόρων στη συμπιεστότητα του πετρώματος θεωρώντας ότι ο κάθε πόρος περιβάλλεται από ένα άπειρο ελαστικό μέσο, αγνοήθηκε δηλαδή η επίδραση που ασκεί η γειτνίαση πόρων στο εντατικό πεδίο που αναπτύσσεται γύρω τους. Στην πραγματικότητα η συμπιεστότητα των πόρων αυξάνεται λόγω της παρουσίας των γειτονικών πόρων. β περαιτέρω προσθήκη ενός πόρου (ή μίας ρωγμής μεταβάλλει τις ιδιότητες ενός μέσου που έχει ήδη τις ιδιότητες του ενεργού μέσου. Η προσέγγιση αυτή είναι γνωστή ως «συνεπής» μέθοδος (sefl-consstent και θεωρείται ότι έχει ισχύ και σε υψηλές συγκεντρώσεις πόρων. Και στις δύο περιπτώσεις, το μέγεθος των πόρων ή των ρωγμών πρέπει να είναι μικρό συγκρινόμενο με το αντιπροσωπευτικό μέγεθος δείγματος του πετρώματος. Οι δύο διαφορετικές προσεγγίσεις εξηγούνται σχηματικά παρακάτω: Στερεά φάση + κενά Ενεργό μέσο «ΣΥΝΕΠΗΣ» ΜΕΘΟΔΟΣ (SELF OSISTET Ενεργό μέσο Ενεργό μέσο + κενά Σχήμα 4. Διαφορετικές προσεγγίσεις ενεργού μέσου. Οι μηχανικές παράμετροι του ενεργού μέσου μπορούν να υπολογισθούν είτε με βάση την απώλεια της ενέργειας παραμόρφωσης λόγω της ύπαρξης ενός κενού στο συμπαγές πέτρωμα, είτε με βάση τις εξισώσεις της κυματικής (δυναμική μέθοδος ή μέθοδος uster-toksoz ή μέθοδος Κ-Τ. 4. Πέτρωμα με σφαιρικό πορώδες Για σφαιρικό πορώδες, η συμπιεστότητα ενός πόρου δίνεται από τη σχέση (3. Αγνοώντας την αλληλεπίδραση μεταξύ των πόρων (μέθοδος Ν-Ι και αντικαθιστώντας την (3 στην (8 προκύπτει το ενεργό μέτρο συστολής του πετρώματος: ( v ( v 3 + η ( 36 ΑΙ Σοφιανός & ΠΠ Νομικός Οκτώβριος 008 A5_Mcroechancal Models.docx

11 Το ενεργό μέτρο διάτμησης δίνεται από τη σχέση: ( v ( 7 5v 5 + η ( 37 Οι παραπάνω σχέσεις υπερεκτιμούν τα ενεργά Κ και αφού π.χ. για πορώδες 00 % δίνουν πεπερασμένες τιμές. Σύμφωνα με την «συνεπή» μέθοδο (μέθοδος S- των Hll (965 και Budansky (965 θεωρείται ότι κάθε πόρος ευρίσκεται σε ένα ενεργό συνεχές μέσο με ελαστικές σταθερές εκείνες του πορώδους πετρώματος. Έτσι τα ενεργά Κ, υπολογίζονται από δύο συζευγμένες εξισώσεις: η η 9 8 ( 38 ( 39 Οι σχέσεις αυτές δίνουν πολύ μικρότερες τιμές για τα Κ, από τις (36, (37. Επιπλέον, υπολογίζουν μηδενικές τιμές για πεπερασμένη τιμή του πορώδους. Εάν θεωρηθεί ότι ο πόρος κ+ εισάγεται σε ένα ομοιογενές μέσο με ενεργές ελαστικές σταθερές εκείνες ενός πορώδους μέσου με κ πόρους, τότε προκύπτουν δύο πεπλεγμένες εξισώσεις για τις ενεργές ελαστικές σταθερές του πετρώματος: ( η ( 3/ 5 / 3 + β + β ( 40 + β ( ( 4 3/ 5 + β 5v Όπου β. Η προσέγγιση αυτή είναι γνωστή ως διαφορική μέθοδος. + v ( Τέλος σύμφωνα με τη δυναμική μέθοδο (μέθοδος -T: η η ( 4 + ( 3 4 η + [( + v ( v ]η η η ( 43 + [( 6 ( 9 8 ] η + [ ( 4 5v ( 7 5v ]η ΑΙ Σοφιανός & ΠΠ Νομικός Οκτώβριος 008 A5_Mcroechancal Models.docx

12 Τα αποτελέσματα των τεσσάρων μεθόδων δίνονται στο Σχήμα 5 για v 0.5. Για πορώδες μέχρι 0. δίνουν παρόμοια αποτελέσματα. Διαφορές παρατηρούνται για τιμές του πορώδους μεγαλύτερες από 0.. Πορώδες, η Πορώδες, η Σχήμα 5. Ελαστικές σταθερές πετρώματος με ξηρούς, τυχαία κατανεμημένους σφαιρικούς πόρους, σύμφωνα με διάφορες θεωρήσεις. Ο λόγος Posson λαμβάνεται ίσος με v 0.5. Για v 0., 3 και οι προηγούμενες σχέσεις γράφονται ως εξής: 4 Χωρίς αλληλεπίδραση (μέθοδος Ν-Ι: ( + η ( 44 Μέθοδος S-: η ( 45 Διαφορική μέθοδος : ( η ( 46 Μέθοδος Κ-Τ: η + η ( 47 ΑΙ Σοφιανός & ΠΠ Νομικός Οκτώβριος 008 A5_Mcroechancal Models.docx

13 3 4. Πέτρωμα με μικρορωγμές (penny-shaped cracks Χωρίς αλληλεπίδραση (μέθοδος Ν-Ι: ( v ( v Γ ( v ( 5 v 45( v Γ ( 48 ( 49 Μέθοδος S-: 6 9 ( v ( v Γ ( v ( 5 v 45( v ( 50 3 Γ ( 5 Γ 6 45( v v( v ( v ( 0v 3v v v ( 5 Η τρίτη επιλύεται αριθμητικά ως προς v συναρτήσει του Γ. Η τιμή του v εισάγεται στις δύο πρώτες για να υπολογιστούν τα Κ,. Για 0 < v < /, η επόμενη προσεγγιστική σχέση παρέχει την τιμή του ενεργού μέτρου ελαστικότητας με σφάλμα %. E E 6 Γ 9 ( 53 Διαφορική μέθοδος : 5 /8 30 /8 45 /8 80 /8 Γ 3 v v + v v e 3 ( 54 v v + v v v v 0 / 9 3 v 3 v / 9 v v ( 55 Προσεγγιστικά: E 6Γ / 9 e, E v v 8Γ / 5 e ( 56 ΑΙ Σοφιανός & ΠΠ Νομικός Οκτώβριος 008 A5_Mcroechancal Models.docx

14 4 Μέθοδος Κ-Τ: [ 3( + v ] 7 Γ ( + v 7( v ( 57 + [ 6 ]Γ [ 3( 5 v ( 7 5v / 675( v ] 64( 5 v ( 4 5v / 675( v Γ + [ ]Γ ( 58 Σχήμα 6. Ελαστικές σταθερές πετρώματος με ξηρές, τυχαία κατανεμημένες και τυχαία προσανατολισμένες ρωγμές, σύμφωνα με διάφορες θεωρήσεις. Ο λόγος Posson λαμβάνεται ίσος με v Μικρομηχανική της ψαθυρής θραύσης Τα προσομοιώματα μικρομηχανικής της ψαθυρής αστοχία του πετρώματος εξετάζουν την τοπική έναρξη μικρορωγμών, την επέκταση, την αύξηση του πλήθους τους και την αλληλεπίδραση μεταξύ τους με την αύξηση της φόρτισης. Η έναρξη της μικρορωγμάτωσης στα συμπαγή πολυκρυσταλλικά πετρώματα θεωρείται ότι συμβαίνει σε προϋπάρχουσες μικρορωγμές, όπως π.χ. όρια κόκκων. Το πιο γνωστό μικρομηχανικό μοντέλο για την έναρξη της μικρορωγμάτωσης είναι αυτό της «ολισθαίνουσας ρωγμής» (sldng crack odel. Στο Σχήμα 7 μία μικρορωγμή μήκους c σχηματίζει γωνία γ με τη μέγιστη θλιπτική τάση σ. Η ρωγμή κλείνει υπό την επίδραση των θλιπτικών φορτίων και ολισθαίνει υπό την επίδραση των διατμητικών τάσεων στο επίπεδο της. Στα άκρα της ρωγμής συγκεντρώνονται υψηλές εφελκυστικές τάσεις που κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις προκαλούν την έναρξη πλάγιων ρωγμών. ΑΙ Σοφιανός & ΠΠ Νομικός Οκτώβριος 008 A5_Mcroechancal Models.docx

15 5 Σχήμα 7. Έναρξη και διάδοση πλευρικών μικρορωγμών στα άκρα μίας προϋπάρχουσας ολισθαίνουσας μικρορωγμής. Σύμφωνα με τους otterell και Rce (980 οι πλάγιες ρωγμές ξεκινάνε σχηματίζοντας γωνία θ70.5 ο με την προϋπάρχουσα ρωγμή και δημιουργούνται όταν οι τάσεις σ και σ 3 ικανοποιούν τη σχέση: ( + cosγ 3 I σ 3 + ( cosγ sn γ μ( cosγ π c sn γ + μ σ ( 59 sn γ μ Κ I είναι η δυσθραυστότητα (fracture toughness του πετρώματος, που εκφράζει την ικανότητα του πετρώματος, που περιέχει μία ρωγμή, να ανθίσταται στη θραύση. Η δυσθραυστότητα του πετρώματος μπορεί να μετρηθεί πειραματικά (ISRM 988 και έχει μονάδες MPa /. μ είναι ο συντελεστής τριβής της προϋπάρχουσας ρωγμής, και οι γωνίες γ και θ ορίζονται στο Σχήμα 7. Σε μία δοκιμή τριαξονικής θλίψης η έναρξη της διόγκωσης του δοκιμίου μπορεί να συσχετισθεί με την έναρξη των πλευρικών μικρορωγμών. Εάν υποτεθεί ότι το πέτρωμα περιέχει τυχαία προσανατολισμένες προϋπάρχουσες μικρορωγμές τότε η έναρξη των πλευρικών μικρορωγμών θα συμβεί πρώτα στα άκρα εκείνων των μικρορωγμών με γωνία γ(/tan - (/μ σύμφωνα με τη σχέση: + μ + μ 3 I σ σ 3 + ( 60 + μ μ + μ μ π c ΑΙ Σοφιανός & ΠΠ Νομικός Οκτώβριος 008 A5_Mcroechancal Models.docx

16 6 Η έναρξη μικρορωγμών μπορεί να εντοπισθεί πειραματικά με διάφορους τρόπους: από την έναρξη καταγραφής ακουστικής δραστηριότητας του πετρώματος, από το σημείο που το διάγραμμα τάσης-τροπής γίνεται μη γραμμικό, από την αύξηση του όγκου του δοκιμίου. Σχήμα 8. Πειραματικά δεδομένα έναρξης ρωγμών σε δοκίμια γρανίτη Westerly (οι θλιπτικές τάσεις με αρνητικό πρόσημο. Στο Σχήμα 8 δείχνονται σχετικά πειραματικά δεδομένα σε άξονες σ και σ 3. Στο ίδιο διάγραμμα σχεδιάζονται οι θεωρητικές ευθείες που προκύπτουν από την εξίσωση (66 για μ και αποτεμνόμενο τμήμα MPa (που αντιστοιχεί σε μήκος ρωγμής c περίπου ίσο με με I MPa /. Με την αύξηση της φόρτισης το μήκος l των πλευρικών ρωγμών αυξάνει ενώ η γωνία θ τείνει να λάβει την τιμή θγ, δηλ. οι πλευρικές ρωγμές γίνονται παράλληλες με τη σ. Ο συντελεστής συγκέντρωσης τάσης I στα άκρα των πλευρικών ρωγμών μπορεί να υπολογισθεί από τη σχέση των Hor και eat-asser (985: I π c ( σ σ + μ ( σ + σ 3 μ 3 snθ π L / c l ( σ ( + σ 3 σ σ 3 cos( θ γ ( 6 c όπου L l + 8c 3π το ενεργό μήκος των πλευρικών ρωγμών. Η γωνία με την οποία διαδίδονται οι πλευρικές ρωγμές προκύπτει με μεγιστοποίηση του I ως προς θ. Σύμφωνα με τον Broek (988 ως συντελεστής συγκέντρωσης τάσεων Κ Ι μπορεί να είναι ορισθεί ο λόγος της τοπικά ασκούμενης τάσης στα άκρα μίας ρωγμής προς την «ονομαστική τάση», που μπορεί να είναι η μέση τάση σε μία διατομή του πετρώματος ή η μέση τάση μακριά από τη ρωγμή ή η κύρια τάση του εντατικού πεδίου μακριά από τη ρωγμή. ΑΙ Σοφιανός & ΠΠ Νομικός Οκτώβριος 008 A5_Mcroechancal Models.docx

17 7 Όπως παρατηρείται από την παραπάνω εξίσωση ο συντελεστής συγκέντρωσης τάσης στα άκρα της ρωγμής μειώνεται καθώς αυξάνεται το μήκος της l. Η μείωση αυτή οφείλεται αφενός στην απομάκρυνση του άκρου της πλευρικής ρωγμής από τη θέση δημιουργίας εφελκυστικών τάσεων στα άκρα της προϋπάρχουσας μικρορωγμής και αφετέρου στην επίδραση της ορθής δύναμης που δρα στο επίπεδο της πλευρικής ρωγμής και τείνει να εμποδίσει την επέκτασή της. Στο Σχήμα 9 δείχνεται η μεταβολή του συντελεστή συγκέντρωσης τάσης και της γωνίας διάδοσης πλευρικής ρωγμής συναρτήσει του l / c για σ 3 /σ 0.05, μ0.3 και γ(/tan - (/μ36.7 ο. Οι πλευρικές ρωγμές επεκτείνονται αρχικά σχηματίζοντας γωνία θ70.5 ο με το επίπεδο της προϋπάρχουσας ρωγμής. Στη συνέχεια η γωνία θ μειώνεται και τείνει ασυμπτωτικά στη γ. Σχήμα 9. Μεταβολή του συντελεστή συγκέντρωσης τάσης και της γωνίας διάδοσης πλευρικής ρωγμής συναρτήσει του για σ 3 /σ 0.05 και μ0.3 και γ(/tan - (/μ36.7 ο. Με την αύξηση της φόρτισης το μήκος και ο αριθμός των επεκτεινόμενων πλευρικών ρωγμών αυξάνεται με αποτέλεσμα το εντατικό πεδίο στο περιβάλλον μίας μικρορωγμής να αλληλοεπιδρά με το εντατικό πεδίο των γειτονικών μικρορωγμών. Η αστοχία του πετρώματος θεωρείται ότι επέρχεται λόγω της αλληλεπίδρασης και της συγχώνευσης πολλών πλευρικών μικρορωγμών που ξεκίνησαν από τα άκρα προϋπάρχουσων μικρορωγμών. Το πολύπλοκο αυτό πρόβλημα αντιμετωπίζεται συχνά μέσω της θεωρίας της μηχανικής της βλάβης των υλικών (daage echancs. Η βλάβη του πετρώματος αναπαρίσταται από μία παράμετρο που χαρακτηρίζει την πυκνότητα και τη γεωμετρία των μικρορωγμών και των πόρων του ψαθυρού πετρώματος. Για την ανάλυση της αλληλεπίδρασης των μικρορωγμών έχουν προταθεί διάφορα εξιδανικευμένα μοντέλα γεωμετρικών διατάξεων όπως αυτά που δείχνονται στο Σχήμα 0. Η διάταξη (α αναλύθηκε από τους Ashby και Sas (990 θεωρώντας ότι όλες οι προϋπάρχουσες μικρορωγμές έχουν ίδιο μήκος c. Η εσωτερική παράμετρος που παριστάνει τη βλάβη του πετρώματος καλείται παράμετρος βλάβης (daage paraeter, συμβολίζεται με D και δίνεται από τη σχέση: l D π ( l + ccosγ A π + cosγ ε 0 ( 6 c ΑΙ Σοφιανός & ΠΠ Νομικός Οκτώβριος 008 A5_Mcroechancal Models.docx

18 8 Ν Α είναι αριθμός των μικρορωγμών στη μοναδιαία επιφάνεια και ε 0 c A η πυκνότητα τους. Πριν από τη δημιουργία των πλευρικών μικρορωγμών το μήκος l είναι μηδέν και η αρχική παράμετρος βλάβης D 0 είναι: ( c cos γ π ε γ D 0 π A 0 cos ( 63 Οι κύριες τάσεις συνδέονται με την παράμετρο βλάβης με τη σχέση: σ πd 0 σ + D D 0 D ( D D 3 0 D D cosγ 4 Ic + ( 64 D D0 cosγ πc + πd0 D + μ + μ, + μ μ 4 3 cosγ + μ μ Η σχέση (64 δίνει τη μεταβολή της σ συναρτήσει του D για σταθερή σ 3 και καθορισμένες τιμές των D 0, Ic / πc και μ. Σχετικό παράδειγμα δείχνεται στο Σχήμα α. Η κρίσιμη εντατική κατάσταση στην οποία συμβαίνει η αστάθεια του δοκιμίου καθορίζεται ως η μέγιστη τιμή της σ στο διάγραμμα σ -D. Η κρίσιμη αυτή τιμή της σ μπορεί να σχεδιαστεί συναρτήσει της πλευρικής τάσης σ 3 όπως δείχνεται στο Σχήμα β. Όπως φαίνεται από αυτό σε πρώτη προσέγγιση η σχέση της κρίσιμης σ με την σ 3 μπορεί να θεωρηθεί γραμμική: ( μ, ε σ + B( μ ε c σ 0 3, 0 A Ic π ( 65 Η σχέση (65 συγκρινόμενη με την εξίσωση του κριτηρίου αστοχίας Mohr-oulob συσχετίζει το συντελεστή εσωτερική τριβής του πετρώματος με το συντελεστή τριβής της προϋπάρχουσας μικρορωγμής μ και την αρχική βλάβη του πετρώματος ε 0. Επίσης συσχετίζει τη συνοχή του πετρώματος με την παράμετρο Ic π c. ΑΙ Σοφιανός & ΠΠ Νομικός Οκτώβριος 008 A5_Mcroechancal Models.docx

19 9 Σχήμα 0. Διάφορα εξιδανικευμένα μοντέλα για την ανάλυση της αλληλεπίδρασης των μικρορωγμών στο πέτρωμα. (α (β Σχήμα. (α Ανηγμένη κύρια τάση συναρτήσει της παραμέτρου βλάβης D για D 0 0. και μ0.6 και τρεις τιμές της ανηγμένης ελάχιστης κύριας τάσης. (β Μέγιστες τιμές της ανηγμένης κύριας τάσης συναρτήσει της ανηγμένης ελάχιστης κύριας τάσης για τρεις τιμές της αρχικής παραμέτρου βλάβης D 0. ΑΙ Σοφιανός & ΠΠ Νομικός Οκτώβριος 008 A5_Mcroechancal Models.docx

20 0 6 Μοντέλα συστήματος σφαιριδίων Τα μοντέλα συστήματος σφαιριδίων (gran pack odels χρησιμοποιούνται για τη διερεύνηση της μικρομηχανικής συμπεριφοράς των πετρωμάτων, θεωρώντας ότι στην μικροκλίμακα τα πετρώματα μπορούν να θεωρηθούν ως συναθροίσματα σφαιριδίων πολύ μικρού μεγέθους που είναι στερεά συνδεδεμένα μεταξύ τους (bonded και αλληλεπιδρούν στις επαφές τους σύμφωνα με κάποιο νόμο επαφής (contact law. Τα μοντέλα αυτά είναι συνδεδεμένα με την αριθμητική μέθοδο των διακριτών στοιχείων (Dscrete Eleent Method, DEM με την οποία υπολογίζεται η κίνηση και η αλληλεπίδραση των σφαιριδίων καθώς και οι δυνάμεις στις επαφές τους και παρέχονται αποτελέσματα όπως η τυχόν θραύση των δεσμών, η ολίσθηση στις επαφές των σφαιριδίων κλπ. Στα προβλήματα πρακτικού ενδιαφέροντος το πλήθος των σφαιριδίων σε ένα υπολογιστικό μοντέλο είναι πολύ μεγάλο. Στο Σχήμα δείχνεται ένα παράδειγμα χρήσης του προγράμματος διακριτών στοιχείων PF (Itasca 007 για την προσομοίωση μίας δοκιμής αντιδιαμετρικής θλίψης, όπου είναι εμφανής ο πολύ μεγάλος αριθμός σφαιριδίων που χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση του πετρώματος. Σχήμα. Προσομοίωση δοκιμής αντιδιαμετρικής θλίψης με το πρόγραμμα PF. 6. Δυστροπία επαφών και ενεργές ελαστικές σταθερές Σε κάθε περίπτωση, πρωτεύοντα ρόλο έχει η επιλογή ενός μοντέλου για τις επαφές μεταξύ των σφαιριδίων. Η ορθή δυστροπία S n της επαφής δύο όμοιων σφαιριδίων ορίζεται ως η μεταβολή της ορθής δύναμης F στην επαφή προς την μείωση της ακτίνας των σφαιριδίων R-δ (Σχήμα 3. Η εφαπτομενική δυστροπία S τ ορίζεται ως η μεταβολή της εφαπτομενικής δύναμης Τ προς την εφαπτομεντική μετατόπιση τ του κέντρου σε σχέση με την επαφή. Σχήμα 3. Ορθή και διατμητική δυστροπία επαφής δύο όμοιων σφαιριδίων. ΑΙ Σοφιανός & ΠΠ Νομικός Οκτώβριος 008 A5_Mcroechancal Models.docx

21 Για τυχαία διάταξη όμοιων σφαιριδίων τα ενεργά μέτρα συστολής Κ και διάτμησης συνδέονται με το πορώδες η του πετρώματος, το μέσο πλήθος επαφών ανά σφαιρίδιο, την ακτίνα των σφαιριδίων R και τις δυστροπίες S n και S τ των επαφών: ( η S n ( 66 πr ( η ( S +. S τ 5 ( 67 n 0πR Για απλή κυβική διάταξη όμοιων σφαιριδίων (Σχήμα 4, ο αριθμός επαφών κάθε σφαιριδίου είναι 6. Z Y X Σχήμα 4. Απλή κυβική διάταξη σφαιριδίων. Ο Murphy (98 έδωσε μία προσεγγιστική συσχέτιση του με το πορώδες, που δείχνεται στο Σχήμα 5. 4 Αριθμός επαφών, Πορώδες, η Σχήμα 5. Μέσο πλήθος επαφών ανά σφαιρίδιο συναρτήσει του πορώδους για τυχαία διάταξη σφαιριδίων. ΑΙ Σοφιανός & ΠΠ Νομικός Οκτώβριος 008 A5_Mcroechancal Models.docx

22 Η ορθή και διατμητική δυστροπία των επαφών μπορούν να υπολογισθούν σύμφωνα με διάφορα μοντέλα, γνωστότερο των οποίων είναι το μοντέλο Hertz-Mndln: S n 4 a v ( 68 S 8 a v ( 69 τ, v οι ελαστικές σταθερές του πετρώματος των σφαιριδίων, α η ακτίνα της επαφής μεταξύ δύο όμοιων σφαιριδίων. Οι ενεργές ελαστικές σταθερές του συστήματος σφαιριδίων είναι: ( η 3 P ( 70 8π v ( 5 4v 5 ( v 3 3 π ( η ( v P ( 7 Παράδειγμα: Κ 37 Pa, 44 Pa, P0 MPa, πορώδες 0.36 Για η0.36 διάγραμμα σχήματος 0 9. v ( 3 + ( π ( 0.36 ( 0.07 ( π ( 0.36 ( 0.07 Συνιστώμενη βιβλιογραφία Ashby MF, Sas (990 The daage echanss of brttle solds n coresson. Pageoph 33:489 5 Broek, D. (988, The Practcal Use of Fracture Mechancs, luwer Acadec Publshers. Budansky, B. (965, On the elastc odul of soe heterogeneous aterals. J. Mech. Phys. Solds, 3, 3-7. otterell B, Rce JR (980 Slghtly curved or knked cracks. Int J Fracture 6:55 69 ΑΙ Σοφιανός & ΠΠ Νομικός Οκτώβριος 008 A5_Mcroechancal Models.docx

23 3 Fjaer, E., Holt, R.M., Horsrud, P., Raaen. A.M., and R. Rsnes (99, Petroleu Related Rock Mechancs. Elsever, Asterda.. Hll, R. (95, The elastc behavour of a crystallne aggregate. In: Proc. Phys. Soc. A 65, pp Hll, R. (965, A self-consstent echancs of coposte aterals. J. Mech. Phys. Solds 3, pp. 3. Hor H, eat-asser S (985 opresson-nduced crocrack growth n brttle solds: axal splttng and shear falure. J eophys Res 90: ISRM (988, osson on Standardzaton of Laboratory and Feld Tests, «Suggested ethod for deternng the fracture toughness of rock», ottee on Laboratory Tests. Publshed n Int. J. Rock Mech. Mn. Sc. & eoech. Abstr., Vol. 5, o., pp Jaeger J.., ook.. W. and R. Zeran (007, Fundaentals of Rock Mechancs. 4th Ed. Wley-Blackwell. uster,. T. & M.. Toksöz (974, Velocty and attenuaton of sesc wave n twophase eda. Part I.Theoretcal forulatons & Part II.Experental results: eophyscs 39, Mavko,., T. Mukerj, and J. Dvorkn (998, The Rock Physcs Handbook. abrdge Unv. Press, 998. Murphy, W.F., (98, Effects of Mcrostructure and Pore Fluds on the Acoustc Propertes of ranular Sedentary Materals. Ph.D. dssertaton, Stanford Unversty. Reuss, A. (99 alculaton of the flow lts of xed crystals on the bass of the plastcty of ono-crystals. Z. angew. Math. Mech 9, pp Vogt, W. (889, Über de Bezehung zwschen den beden Elastctätsconstanten sotroper örper. Ann. Phys. (Lepzg 38, pp ΑΙ Σοφιανός & ΠΠ Νομικός Οκτώβριος 008 A5_Mcroechancal Models.docx