Παράσταση αριθμών «κινητής υποδιαστολής» floating point

Transcript

1 Παράσταση αριθμών «κινητής υποδιαστολής» floating point Με n bits μπορούμε να παραστήσουμε 2 n διαφορετικούς αριθμούς π.χ. με n=32 μπορούμε να παραστήσουμε τους αριθμούς από έως = 4,294,967,295 4 δισεκατ., ή από 2 3 = - 2,47,483,648 έως 2 3 -= 2,47,483,647. Για την παράσταση μεγαλύτερων αριθμών χρησιμοποιείται η μέθοδος της κινητής υποδιαστολής (floating point): Ένας αριθμός R μπορεί να παρασταθεί και ως εξής: R = Μ Β ±Ε όπου Μ = μέτρο (mantissa) Β = βάση (base), συνηθως υπονοειται (2, 8,, 6...) και Ε = έκθετης (exponent)

2 Παράσταση αριθμών «κινητής υποδιαστολής» floating point Με n = 32 bits μπορω να εχω την ακολουθη παρασταση S E M οπου S = προσημο, => (+) => (-), Ε = εκθετης μηκους 8 bits, πολωμενος με +27 (παριστανει τιμες απο το 27 = εως το 28 = ), Μ= μετρο στην μορφη.f f 2 f 23 οπου f i τα bits στο πεδιο Μ Ο αριθμος που παριστανεται ειναι ο R = (-) S 2 E-27 (.M) Παραδειγμα: Να παρασταθει ο 3/6 σε μορφη f.p. 3/6 =. = (. 2-3 ) 2 Αρα: S=, E=-3+27=, M= => -3/6 =

3 Παράσταση αριθμών «κινητής υποδιαστολής» floating point Με n=32 μπορουμε να παραστησουμε τους αριθμους -2 3 = 2,47,483, = 2,47,483,647 Με την μεθοδο της κινητης υποδιαστολης παριστανονται οι αριθμοι -(-2-24 ) (-2-24 )

4 Κωδικας BCD Κώδικας BCD Ψηφίο

5 Κωδικες ανιχνευσης λαθων Μεταδοση αριθμων κωδικοποιημενων κατα BCD Πομπος Καναλι Δεκτης Σφαλμα Για την ανιχνευση των απλων σφαλματων προσθετουμε στην κωδικη λεξη BCD ενα bit ισοτιμιας (parity bit) το οποιο υπολογιζεται ετσι ωστε ο συνολικος αριθμος ασσων σε καθε κωδικη λεξη (μαζί με το bit ισοτιμίας) να ειναι περιττος (odd parity) ή άρτιος (even parity). Καναλι ? 2 bit περιττης ισοτιμιας Σφαλμα

6 Κωδικες Διορθωσης Λαθων d d d 2 d 3 Καναλι Γεννητρια ισοτιμιας Γεννητρια ισοτιμιας P P 2 P 3 Π Π 2 Π 3 C δ δ δ 2 δ 3 C2 C3 P = parity(d d 2 d 3 ) P 2 = parity(d d d 3 ) P 3 = parity(d d d 2 ) Π = parity(δ δ 2 δ 3 ) Π 2 = parity(δ δ δ 3 ) Π 3 = parity(δ δ δ 2 ) Ci= αν Π i P i

7 Κωδικες Διορθωσης Λαθων (2) Υπολογισμος των bits ισοτιμιας P i ODD Parity P = parity(d d 2 d 3 ) P 2 = parity(d d d 3 ) d P 3 P 2 P 3 = parity(d d d 2 ) d d 2 d 3 P Αν συμβει λαθος στα: {C C2 C3} το σφαλμα ειναι στο bit P και P 2 δ 3 P και P 3 δ 2 P 2 και P 3 δ P,P 2 και P 3 δ P P P 2 P 2 P 3 P 3

8 Κωδικες Διορθωσης Λαθων (3) d d d 2 d 3 Καναλι Γεννητρια ισοτιμιας δ δ δ 2 δ 3 Γεννητρια ισοτιμιας P P 2 P 3 Π Π 2 Π 3 C C2 C3 P = parity(d d 2 d 3 ) P 2 = parity(d d d 3 ) P 3 = parity(d d d 2 ) Π = parity(δ δ 2 δ 3 ) Π 2 = parity(δ δ δ 3 ) Π 3 = parity(δ δ δ 2 ) Ci= αν Π i P i

9 x = x = (a) υο καταστασεις ενος διακοπτη S x (b) Συμβολο του ελεγχομενου διακοπτη Διακοπτης δυο καταστασεων

10 S Μπαταρια x L Λαμπα Αναβει οταν x= (a) Απλη συνδεση σε μπαταρια L(x) = x Τροφοδοτικο S x L (b) Χρηση της γειωσης για αγωγο επιστροφης Μια λαμπα ελεγχομενη απο ενα διακοπτη

11 S S L(x,x 2 ) = x x 2 Τροφοδοτικο x (a) Η λογικησυναρτησηand (εν σειρα συνδεση) x 2 L Λαμπα Αναβει οταν και το x = και το x 2 = S L(x,x 2 ) = x +x 2 x Τροφοδοτικο S x 2 L Λαμπα αναβει οταν ενα απο τα x i = ήκαιταδυο (b) Η λογικησυναρτησηor (παραλληλη συνδεση) Δυο βασικες συναρτησεις

12 S x S Τροφοδοτικο S x 3 L Λαμπα x 2 L(x,x 2,x 3 ) = ( x + x 2 ) x 3 Μια συνδεση εν σειρα και εν παραλληλω

13 R Τροφοδοτικο x S L Αναβει οταν x= L(x) = x Ενα κυκλωμα αντιστροφης (συμπληρωματος)

14 Ο Πινακας αληθείας για τις συναρτησεις AND και OR

15 Συναρτησεις AND και OR τριων εισοδων

16 x x 2 x x x x 2 2 x x 2 x n x n (a) AND πυλες x x x + x 2 2 x x 2 x + x x n x n (b) OR πυλες x x Οι Βασικες πυλες (c) NOT πυλη

17 S x S S x 3 L Λαμπα x 2 L(x,x 2,x 3 ) = ( x + x 2 ) x 3 x x 2 f = x + x x x Μια συναρτηση OR-AND

18 ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE Ειναι ενα επαγωγικο μαθηματικο συστημα. Εισηχθη το 849 απο τον George Boole για την αλγεβρικη περιγραφη λογικων προτασεων και συλλογισμων. Το 938 (σχεδον χρονια αργοτερα) ο Claude Shannon εδειξε οτι η Αλγεβρα Boole ειναι ενα αποτελεσματικο εργαλειο για την περιγραφη των διακοπτικων κυκλωματων και κατα συνεπειαν και των λογικων κυκλωματων. ΗΑλγεβραBoole ειναι ενα ισχυρο μαθηματικο εργαλειο για την αναλυση και την σχεδιαση των ψηφιακων κυκλωματων. Οπως καθε αλγεβρα η Αλγεβρα Boole βασιζεται σε ενα συνολο κανονων που εξαγονται απο ενα μικρο αριθμο βασικων παραδοχων που ονομαζονται αξιωματα.

19 ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE (2) Ορισμος Αλγεβρας BOOLE: > Συνολο στοιχειων Α > Πραξεις +, * > Αξιωματα Huntington (94). Κλειστη ως προς τις δυο πραξεις + και * 2. = ουδετερο στοιχειο της + => x+=+x=x = ουδετερο στοιχειο της * => x*=*x=x 3. Αντιμεταθετικες και οι δυο πραξεις: x+y=y+x και x*y=y*x 4. Επιμεριστικοτητα + ως προς * και * ως προς + δηλαδη: x*(y+z)=(x*y)+(x*z) και x+(y*z) =(x+y)*(x+z) 5. Υπαρξη συμπληρωματος στοιχειου: x A x x+x = και x*x = (x =συμπληρωμα του x) 6. Υπαρχουν δυο τουλαχιστον στοιχεια στο Α (το και το )

20 Διτιμη Αλγεβρα Boole Αλγεβρα με > Συνολο στοιχειων Α={,} > Συνολο τελεστων {+,*, } Ορισμος τελεστων: + * x x OR AND NOT = ουδετερο στοιχειο ως προς + (ΟR) = ουδετερο στοιχειο ως προς * (AND) Aποδεικνυεται οτι αυτη η αλγεβρα ειναι Αλγεβρα Boole (ικανοποιει τα αξιωματα Huntington)

21 Βασικα Θεωρηματα Αλγεβρας Boole Δυϊσμος (duality). Αν οι τελεστες και τα ουδετερα στοιχεια εναλλαχθουν σε μια εξισωση της αλγεβρας Boole αυτη παραμενει αληθης. Προκυπτει εκ του οτι τα αξιωματα του Huntington ισχυουν αν γινει αυτη η εναλλαγη. x+x=x Αποδειξη: x+x = (x+x)* = (x+x)*(x+x ) = x+(x*x ) = x+ = x x*x=x x*x = x*x+ = x*x +x*x = x*(x+x ) = x* = x x+= x+ = *(x+) = (x+x )*(x+) = x+x *=x+x = x*= x*=+(x*)=x*x +x*=x*(x +)=x*x = (x ) =x -- x*x = και x+x = εκ της μοναδικοτητας του συμπληρωματος => x = (x )

22 Βασικα Θεωρηματα Αλγεβρας Boole (2) Θεωρημα De Morgan: (x*y) = x + y και (x+y) = x * y Αποδειξη με τον πινακα αληθείας: x y x+y x*y x y (x+y) (x*y) x + y x *y

23 Βασικα Θεωρηματα Αλγεβρας Boole (3) Θεωρημα απορρόφησης: x+x*y =x x+x*y = x*(+y) =x* = x x*(x+y) = x x*(x+y) = x*x + x*y = x+x*y = x x*(x+y) = (x+)*(x+y) = x+*y = x+ = x x+x *y = x+y x+x *y = (x+x )*(x+y) = *(x+y) = x+y x +x*y = x +y x*y + x*y = x x*y +x*y = x*(y+y ) = x* = x a*b+a *c+b*c = a*b + a *c a*b+a *c+b*c = a*b + a *c + (a+a )*b*c = a*b + a *c + a*b*c + a *b*c = = a*b*(+c) + a *c*(+b) = a*b* + a *c* = a*b + a *c

24 Διττή συνάρτηση Μια συνάρτηση f d ονομάζεται διττή της f όταν οι πράξεις OR & AND της μιας έχουν αντικατασταθεί αντιστοίχως από τις AND & OR της άλλης. Παράδειγμα: Αν f = a*c + b *c τότε f d = (a + c) * (b + c)