Στερεό σώµα (διάκριτη κατανοµή): ορίζεται ως ένα σύνολο σηµειακών µαζών που διατηρούν σταθερές αποστάσεις µεταξύ τους.

Transcript

1 Φροντιστήριο ο : Εξίσωση κίνησης στερεών σωµάτων και επίλυση (ΠΕΡΙΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ, ΚΥΛΙΗ, ) τερεό σώµα (διάκριτη κατανοµή): ορίζεται ως ένα σύνο σηµειακών µαζών που διατηρούν σταθερές αποστάσεις µεταξύ τους. Κέντρο µάζας (διάκριτη κατανοµή): είναι το σηµείο µε συντεταγµένες,,z ) z ( c c c... N N c (α)... N N c (β) z z... N N c (γ) z όπου..., ή γενικώς N Recittion, Phic I -9. Velgki

2 ... N N c () Recittion, Phic I -9. Velgki

3 Κέντρο µάζας (συνεχής κατανοµή): ορίζεται γενικά από τη σχέση: d ρdv () ή c z c c c d d zd ρdv ρdv ρzdv (α) (β) (γ) όπου ρ d dv ρσταθ Μ V, V ο όγκος του σώµατος. Παράδειγµα ο (κέντρο βάρους): Να βρεθεί το κέντρο βάρους µισής ελλειπτικής επιφάνειας µε ηµιάξονες και (>), η οποία έχει πάχος αµελητέο και µάζα Μ. Λύση: Λαµβάνουµε το επίπεδο της έλλειψης σαν επίπεδο -. Θεωρούµε τη στοιχειώδη µάζα dσda στο Recittion, Phic I -9

4 σηµείο Ρ, όπου da είναι το στοιχειώδες εµβαδόν και σ η d Μ Μ επιφανειακή πυκνότητα µάζας, σ. da σ σταθ π Το κέντρο βάρους υπογίζεται από τις σχέσεις (α),(β): z c c c ρdv ρdv zd σd σd σ σ dd dd (α) (β) Το οκλήρωµα στην (α) ή (β) είναι διπλό και υπογίζεται πάνω στη γραµµοσκιασµένη επιφάνεια. Γράφεται ως εξής: dd d d * Το εσωτερικό οκλήρωµα υπογίζεται για σταθερό, οπότε τα όρια του εσωτερικού οκληρώµατος είναι: από f ( ) ±. Για την ηµιέλλειψη του Recittion, Phic I -9

5 Recittion, Phic I -9 5 σχήµατος ισχύει, οπότε κρατάµε µόνο το συν () πρόσηµο. υνεπώς το προηγούµενη σχέση γράφεται: ( ) / ) d( d ) d( d d * / Παροµοίως, το διπλό οκληρώµατα στη (β) γράφεται, ) ( ] ) ( ) ( [ ) ( )d ( ) d( d d dd ντικαθιστώντας στη (β) παίρνουµε, dd π π σ c, εποµένως, το ΚΒ της ηµι-έλλειψης είναι το σηµείο: (, π,) Ροπή αδρανείας σώµατος (ως προς συγκεκριµένο άξονα) ορίζεται η βαθµωτή ποσότητα N N dv ρ d... I ()

6 όπου i είναι η απόσταση της (σηµειακής) µάζας i από τον θεωρούµενο άξονα ( i ), ενώ στη συνεχή κατανοµή, είναι η απόσταση της στοιχειώδους µάζας d από τον θεωρούµενο άξονα και η οκλήρωση εκτείνεται πάνω στο όγκο του σώµατος. Παράδειγµα ο (ροπή αδρανείας): Να υπογιστεί το η ροπή αδρανείας µισής ελλειπτικής επιφάνειας, µε ηµιάξονες και (>), αµελητέου πάχους και µάζας Μ, ως προς άξονα που ταυτίζεται µε τον µεγάλο ηµιάξονα της έλλειψης. Λύση: Λαµβάνουµε το επίπεδο της έλλειψης σαν επίπεδο -. Θεωρούµε τη στοιχειώδη µάζα dσda στο σηµείο Ρ, όπου da είναι το στοιχειώδες εµβαδόν και σ η επιφανειακή d Μ Μ πυκνότητα µάζας, σ. Ο άξονας ως da σ σταθ π προς τον οποίο υπογίζεται η ροπή αδρανείας ταυτίζεται µε τον -άξονα. Recittion, Phic I -9 6

7 Η ροπή αδρανείας ως προς τον άξονα υπογίζεται από τη (). Η απόσταση της στοιχειώδους µάζας d από τον συγκεκριµένο άγονα είναι, οπότε η () γράφεται, (δεν πρέπει να µπερδέψουµε την απόσταση µε το διάνυσµα θέσης του σχήµατος) I ρdv σ da σ dd σ d A A / σ d( ) σ ( ) d σ / [ ( ) σ σ [ [ in π (αν δεν έχω κάνει λάθος υπογισµούς) ( ) π ] in σ ( )] π Μ π in ( π d )] περιστροφική κίνηση (γύρω από σταθερό άξονα) Η () µπορεί να γραφεί: Εξισώσεις κίνησης: τ Ια () όπου τ F L η συν. ροπή d θ και α η γωνιακή επιτάχυνση. dt Επειδή η στροφορµή ισούται µε L Ιω, η () µπορεί ακόµη να dl γραφεί: τ () dt L τ dt η οποία οκληρώνεται: d Μπορείτε να υπογίσετε το οκλήρωµα ή να χρησιµοποιήσετε το ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ της σειράς SCHAU S. Recittion, Phic I -9 7

8 L τελ L αρχ t t τελ αρχ τ dt () Η σχέση () αποτελεί το αντίστοιχο θεώρηµα ώθησης ορµής για τη περιστροφική κίνηση. Παράδειγµα ο : το παρακάτω σχήµα, το γρανάζι (µάζας Kg και εξωτ. ακτίνα 5), συζευγνύεται µε το γρανάζι Β (µάζας Kg και εξωτ. ακτίνας ). Το σύστηµα είναι αρχικά σε ηρεµία, όταν εφαρµόζεται στο Β µια εξωτερική ροπή τ µέτρου τ6nt. γνοώντας τις τριβές, να υπογιστεί: (α) ο αριθµός των περιστροφών που εκτελεί το Β όταν φθάνει την γωνιακή ταχύτητα 6p,(β) η εφαπτοµενική δύναµη που ασκεί το γρανάζι Β στο. (το σχήµα, η ροπή συµβίζεται µε Μ) Λύση: Οι ταχύτητες των σηµείων της περιφέρειας και στα γρανάζια είναι ίσες, σχήµα (), οπότε υ 5 AωA ΒωΒ υβ, άρα ω A ωββ / A ωβ.ωβ d Για ω Β 6p6., έχοµε: d ωa p5.. Οι ροπές αδρανείας είναι: I I AA Kg(.5 ) Kg(. ).65Kg.Kg Recittion, Phic I -9

9 Η κινητική ενέργεια του συστήµατος είναι: T I ω A (.Kg I ω )(6. (.65Kg d ) 56 Joule )( 5. d ) (ως κατάσταση, θεωρούµε την αρχική κατάσταση ηρεµίας, οπότε Τ ) Παραγόµενο έργο: Έστω θ Β η γωνία που περιστρέφεται το γρανάζι Β, οπότε W τθ (6 Nt )θ (6θ )Joule Β Β Β. Το θεώρηµα έργου-ενέργειας για το σύστηµα, T T T W, µπορεί να µας δώσει τη γωνία θ Β. Πράγµατι, αντικαθιστώντας παίρνοµε 56 θ Β d.7d, ή 6 θ Β 6.79περ. Κίνηση του γραναζιού : ρχικά το γρανάζι ισορροπεί, άρα Τ. Όταν d ω Β 6p6., βρήκαµε: ω p5.d/, οπότε τότε η κινητική ενέργεια του γραναζιού θα είναι: T A I ωa (.65Kg )( 5.d / ) Έργο πάνω στο γρανάζι : Οι δυνάµεις που ασκούνται πάνω στο γρανάζι φαίνονται στο σχήµα (c). Μόνο η εφαπτοµενική δύναµη F παράγει έργο: W F ( A θ A ). Εφόσον τα µήκη των τόξων που διαγράφονται από τα γρανάζια είναι ίσα, δηλ. AθA Βθ Β, έπεται: W F ( θ Β ). Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα έργου-ενέργειας για το γρανάζι, T T T W, υπογίζουµε τη δύναµη F: A A A T T 97J F A A 6.Nt ( θ )..7d Β Recittion, Phic I -9 9

10 Εναλλακτικά, θα µπορούσαµε να χρησιµοποιήσουµε τη σχέση () για να βρούµε την εσωτερική δύναµη F. Πράγµατι, για το γρανάζι έχοµε: d L A, LA I AωA.65Kg Nt, και οµοίως για το γρανάζι Β: L, L I ω.kg 6..Nt. Οπότε η () γράφεται, ανά περίπτωση: d γρανάζι : γρανάζι Β: L L A LA ( FA ) t, (α) L τ t ( F ) t. (β) παλείφοντας τον χρόνο t µεταξύ των (α) και (β), παίρνοµε: τ L F A A L A L A τ 6 Nt, ή F 6.Nt L..5. A L A 5.7 Παράδειγµα ο : Οι δύο δίσκοι του σχήµατος έχουν την ίδια µάζα και ακτίνα R. Ο δίσκος που βρίσκεται ψηλότερα µπορεί να περιστρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που ταυτίζεται µε τον άξονα συµµετρίας του. Ένα σχοινί τυλιγµένο γύρω από τις περιφέρειες τους, τους επιτρέπει να περιστρέφονται, καθώς ο χαµηλότερος δίσκος πέφτει κατακόρυφα. Βρείτε (α) τη γραµµική επιτάχυνση του χαµηλότερου δίσκου, (β) τη τάση του σχοινιού, (γ) τη γωνιακή επιτάχυνση κάθε δίσκου γύρω από τον άξονα περιστροφής του. Λύση: χεδιάζουµε τις δυνάµεις που δέχεται καθένας δίσκος. Έστω α και α Β οι γωνιακές επιταχύνσεις των δίσκων και Β, αντίστοιχα. Οι εξισώσεις κίνησης των δίσκων είναι: δίσκος, περιστροφή ως προς : δίσκος Β, περιστροφή ως προς : T R I α (α) T R I α (β) Β Recittion, Phic I -9

11 µεταφορική κίνηση του : g T (γ) όπου R I, R I και η γραµµική επιτάχυνση του. ύνθεση ταχυτήτων των σηµείων της πεφερείας του Β: R ω R ω, οπότε υ Β R α Rα Β. (δ) Λύνοντας το σύστηµα των εξισώσεων (α)-(δ), βρίσκουµε: Τάση του νήµατος: T g 5 g Γωνιακή επιτάχυνση του : α g ( Γωνιακή επιτάχυνση του Β: αβ g ( )R )R 5 5 g R g R Γραµµική επιτάχυνση του Β: ( ) g 5 g κύλιση (περιστροφή γύρω από στιγµιαίο άξονα περιστροφής) Εξίσωση κίνησης: τ Ι α () όπου η συνική ροπή των εξωτερικών δυνάµεων, I Ρ η ροπή αδρανείας του σώµατος ως προς τον στιγµιαίο άξονα περιστροφής που περνά από το σηµείο επαφής d θ µε το δρόµο Ρ, και α είναι η dt P Recittion, Phic I -9

12 γωνιακή επιτάχυνση ως προς Ρ. Παράδειγµα ο (κύλιση): το παρακάτω σχήµα, ένας κύλινδρος µπορεί να κυλίεται πάνω σε ιµάντα µε ανώµαλη επιφάνεια, ο οποίος σύρεται µε επιτάχυνση α. Προσδιορίσετε τη κίνηση του κυλίνδρου, ο οποίος δεν ισθαίνει πάνω στον ιµάντα. Λύση: Πάνω στο κύλινδρο, η µοναδική οριζόντια δύναµη που ασκείται είναι η δύναµη τριβής F fic από τον ιµάντα, η οποία εφαρµόζεται στο σηµείο επαφής Ρ (οι κατακόρυφες δυνάµεις αλληλοεξουδετερώνονται). Οι εξισώσεις κίνησης του κυλίνδρου γράφονται: περιστροφή ως προς Ρ: µεταφορ. κίνηση του : I P α F fic όπου P I I R R, α είναι η γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου, και η γραµµική επιτάχυνση του C του κυλίνδρου ως προς τον ιµάντα. Ισχύει: Rα. Όµως οι παραπάνω εξισώσεις είναι λάθος, αφού αναφέρονται ως σύστηµα αναφοράς (του ιµάντα) που δεν είναι αδρανειακό! ν θέλουµε να εργαστούµε στο σύστηµα αυτό του ιµάντα, θα πρέπει να λάβουµε υπόψη και τις δυνάµεις αδρανείας d Aleet. Τότε, ασκείται στο C του Recittion, Phic I -9

13 κυλίνδρου επί πλέον η (οριζόντια) δύναµη αδρανείας α (το µείον δηλώνει ότι η φορά της δύναµης αυτής είναι αντίθετη της φοράς της α). Οπότε οι εξισώσεις κίνησης του κυλίνδρου στο σύστηµα αναφοράς του ιµάντα γράφονται: περιστροφή ως προς Ρ: µεταφορ. κίνηση του : R I P α (α) Ffic (β) Τώρα η (α) δίνει: R α, άρα: Rα, ενώ η (β) δίδει: F. fic Η ική επιτάχυνση του κυλίνδρου ως προς ακίνητο παρατηρητή θα είναι το άθροισµα:. K Recittion, Phic I -9