ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Ροή Δ - 6 ο εξάμηνο, κωδικός

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τομέας Επικοινωνιών, Ηλεκτρονικής & Συστημάτων Πληροφορικής Εργαστήριο Διαχείρισης και Βέλτιστου Σχεδιασμού Δικτύων - NETMODE ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Ροή Δ - 6 ο εξάμηνο, κωδικός καθ. Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 2016

2 Οι σημειώσεις του μαθήματος βασίστηκαν στις παραδόσεις που έγιναν το ακαδημαϊκό έτος στο Ε.Μ.Π. Οι σημειώσεις του μαθήματος ανανεώνονται σε κάθε ακαδημαϊκό έτος και παρέχονται μαζί με συγχρονισμένο υλικό video/audio των διαλέξεων μέσω του εργαλείου καταγραφής μαθησιακού υλικού SeLCont (Synchronized elearning Content) στο Πληροφορίες για το SeLCont: Το Εργαστήριο Διαχείρισης και Βέλτιστου Σχεδιασμού Δικτύων Τηλεματικής (NETMODE) της Σχολής Ηλεκτρολόγων Μηχ. & Μηχ. Υπολογιστών του Ε.Μ.Π. υλοποίησε το εργαλείο SeLCont για την καταγραφή και αναπαραγωγή διαλέξεων μέσα από αίθουσες διδασκαλίας με ελάχιστες απαιτήσεις εξοπλισμού (απλή camera και laptop/tablet). Το εργαλείο συγχρονίζει βίντεο με διαφάνειες και οθόνες (screenshots) από τον υπολογιστή του παρουσιαστή (MS Windows, Android) και διαθέτει το τελικό αποτέλεσμα μέσω του Internet. Το αποτέλεσμα μπορεί να διατεθεί και σαν link σε οποιαδήποτε σελίδα web (MyCourses, moodle, websites εργαστηρίων κλπ.). Demo του SeLCont υπάρχει στο: Η συγχρονισμένη παρουσίαση καλείται από οποιονδήποτε browser σε laptop, desktop, tablet, smart phone του τελικού χρήστη (σπουδαστή) και το αποθηκευμένο υλικό (ppt s με ή χωρίς annotations, Internet screenshots κλπ.) προβάλλεται σε διαμορφωμένη σελίδα web. Στην ίδια σελίδα εμφανίζεται σε ξεχωριστό πλαίσιο το συγχρονισμένο online video-audio (αποθηκευμένο στο YouTube). Κατά την αναπαραγωγή του, το video συγχρονίζεται με το υλικό της παρουσίασης αυτόματα ή με επιλογή της αποθηκευμένης διαφάνειας - screenshot μέσω εικονιδίων (thumbnails) κάτω από το πλαίσιο του video. Οι διαφάνειες σε αρχείο ppt είναι διαθέσιμες για downloading από την σελίδα web της παρουσίασης.

3 1 ο Μάθημα Εισαγωγή

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ (1/3) 1. Εισαγωγή Περιεχόμενα Γενική Περιγραφή Συστημάτων Αναμονής Τεχνικές Μελέτης & Αξιολόγησης Επίδοσης Συστημάτων Αναμονής Μοντέλα Τηλεπικοινωνιακών & Υπολογιστικών Συστημάτων 2. Εισαγωγή στη Θεωρία Ουρών. Χαρακτηριστικά & Παράμετροι Συστημάτων Αναμονής Μήκος Ουράς, Χρόνος Καθυστέρησης Νόμος Little 3. Γνώσεις από Θεωρία Πιθανοτήτων Εκθετική Κατανομή Κατανομή Poisson Ιδιότητα Απώλειας Μνήμης (Markov) Στοχαστικές Ανελίξεις

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ (2/3) 4. Μοντέλο Γεννήσεων - Θανάτων (Birth - Death Processes). 5. Συστήματα Markov και Εξισώσεις Ισορροπίας Ανάλυση απλών ουρών M/M/1 6. Άλλες ουρές Markov Μεταβάσεις Εξαρτώμενες από την Κατάσταση Ουρές με Απώλειες (Μ/Μ/1/Ν) Ουρές με Πολλαπλούς Εξυπηρετητές: Μ/Μ/m, M/M/m/K, M/M/m/m (Erlang B)

6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ (3/3) 7. Προσομοίωση Απλών Συστημάτων Αναμονής 8. Ανοικτά και Κλειστά Δίκτυα Ουρών 9. Παραδείγματα & Εφαρμογές Ανάλυση Υπολογιστικών Συστημάτων Ανάλυση & Σχεδίαση Τηλεφωνικών Κέντρων Ανάλυση Δικτύων Internet

7 ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΥΜΦΟΡΗΣΗΣ (Congestion) Κυκλοφοριακή κίνηση Ουρές σε καταστήματα, ταχυδρομεία, τράπεζες Πολλαπλοί εξυπηρετητές (servers) Κοινή ουρά ή παράλληλες ουρές, προτεραιότητες Τηλεφωνικά κέντρα (πολλαπλοί εξυπηρετητές) Κόμβοι δικτύων τύπου Internet Πόροι υπολογιστικών συστημάτων (CPU, Μνήμη, Δίσκοι)

8 ΚΟΙΝΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ (1/2) Πελάτης: Πελάτης τράπεζας, τηλεφωνική κλήση, πακέτο δεδομένων Internet Εξυπηρετητής (server): Ταμίας, τηλεπικοινωνιακός πόρος (γραμμή) αφιερωμένος σε τηλεφωνική κλήση ή προώθηση πακέτου Τυχαία είσοδος πελατών «γεννήσεις», μέσος ρυθμός αφίξεων: λ πελάτες/sec Χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών αφίξεων a - τυχαία μεταβλητή, μέσος όρος: Ε(a)=1/λ sec Μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης πελατών: μ πελάτες/sec Χρόνος εξυπηρέτησης πελάτη s τυχαία μεταβλητή, μέσος όρος: E(s) = 1/μ sec/πελάτη

9 ΚΟΙΝΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ (2/2) Ουρά αναμονής (queue) για εξομάλυνση στατιστικών μεταβολών και απομόνωση (buffering) διακυμάνσεων εισόδου εξυπηρέτησης Χωρητικότητα συστήματος αποθήκευσης (queue size) συμπεριλαμβανομένων των πελατών υπό εξυπηρέτηση Αριθμός εξυπηρετητών Πρωτόκολλο εξυπηρέτησης: First Come First Served - FCFS ή First In First Out - FIFO, Last In First Out - LIFO, Processor Sharing, προτεραιότητες Κατάσταση συστήματος: Αριθμός πελατών στο σύστημα αναμονής (ουρά + εξυπηρέτηση) σε μια χρονική στιγμή. Χρονοσειρά - time series - ή στοχαστική ανέλιξη - stochastic process - διακριτής κατάστασης & συνεχούς χρόνου Δρομολόγηση από ουρά σε ουρά σε περιπτώσεις δικτύων ουρών αναμονής

10 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Στοιχεία καθυστέρησης σε ένα σύστημα: χρόνος επεξεργασίας, χρόνος αναμονής, χρόνος διάδοσης, χρόνος μετάδοσης Δίκτυο μεταγωγής κυκλωμάτων (circuit switching): ρυθμός αφίξεων κλήσεων, διάρκεια κλήσεων, ποσοστό απόρριψης κλήσεων Δίκτυο μεταγωγής πακέτων (packet switching): ρυθμός αφίξεων πακέτων, μέγεθος πακέτων, ποσοστό απόρριψης πακέτων, καθυστέρηση σε κόμβους του Internet Υπολογιστικό σύστημα πολυεπεξεργασίας (windows): αριθμός παράλληλων εντολών/προγραμμάτων υπό επεξεργασία, χρόνος ύπνωσης (sleeping time) ανά ενεργό παράθυρο, χρόνος αναζήτησης/ανταλλαγής δεδομένων στη μνήμη (I/O time), μέσος ρυθμός διεκπεραίωσης εντολών (ρυθμαπόδοση - throughput), χρόνος απόκρισης

11 ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Αναλυτική ή/και αριθμητική αξιολόγηση απλοποιημένων μοντέλων συστημάτων ΤΠΕ (Τεχνολογιών Πληροφορικής & Επικοινωνιών) για προσέγγιση βασικών παραμέτρων σχεδιασμού (π.χ. χωρητικότητας γραμμών, μεγέθους buffer, τοπολογία δικτύου) Προσομοίωση (simulation) για αξιολόγηση και προσδιορισμό παραμέτρων προτεινόμενων λύσεων ώστε να ικανοποιούνται προδιαγραφές QoS (Quality of Service)

12 ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Αναλυτική ή/και αριθμητική αξιολόγηση απλοποιημένων μοντέλων συστημάτων ΤΠΕ (Τεχνολογιών Πληροφορικής & Επικοινωνιών) για προσέγγιση βασικών παραμέτρων σχεδιασμού (π.χ. χωρητικότητας γραμμών, μεγέθους buffer, τοπολογία δικτύου) Προσομοίωση (simulation) για αξιολόγηση και προσδιορισμό παραμέτρων προτεινόμενων λύσεων ώστε να ικανοποιούνται προδιαγραφές QoS (Quality of Service) και QoE (Quality of Experience) με οικονομία σε CAPEX (Capital Expenses) & OPEX (Operational Expenses) Εξομοίωση (emulation) με διαμόρφωση εικονικών (virtual) υποδομών και πειραματισμό κάτω από τεχνητές ακραίες συνθήκες (επιθέσεις, καταστροφές ) Δοκιμές σε αληθινά συστήματα στο εργαστήριο και ανάλυση συμπεριφοράς κάτω από τυποποιημένα ενδεικτικά σενάρια χρήσης - benchmarking Συνεχείς μετρήσεις σε εγκατεστημένα συστήματα και αξιολόγηση εναλλακτικών σεναρίων αναβάθμισης - επανασχεδιασμού

13 2 ο Μάθημα Παράμετροι Συστημάτων Αναμονής Τύπος Little

14 Επανάληψη (1): ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΥΜΦΟΡΗΣΗΣ (Congestion) Κυκλοφοριακή κίνηση Ουρές σε καταστήματα, ταχυδρομεία, τράπεζες Πολλαπλοί εξυπηρετητές (servers) Κοινή ουρά ή παράλληλες ουρές, προτεραιότητες Τηλεφωνικά κέντρα (πολλαπλοί εξυπηρετητές) Κόμβοι δικτύων τύπου Internet Πόροι υπολογιστικών συστημάτων (CPU, Μνήμη, Δίσκοι)

15 Επανάληψη 2: ΚΟΙΝΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ (1/2) Πελάτης: Πελάτης τράπεζας, τηλεφωνική κλήση, πακέτο δεδομένων Internet Εξυπηρετητής (server): Ταμίας, τηλεπικοινωνιακός πόρος (γραμμή) αφιερωμένος σε τηλεφωνική κλήση ή προώθηση πακέτου Τυχαία είσοδος πελατών «γεννήσεις», μέσος ρυθμός αφίξεων: λ πελάτες/sec Χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών αφίξεων a - τυχαία μεταβλητή, μέσος όρος: Ε(a)=1/λ sec Μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης πελατών: μ πελάτες/sec Χρόνος εξυπηρέτησης πελάτη s τυχαία μεταβλητή, μέσος όρος: E(s) = 1/μ sec/πελάτη

16 Επανάληψη 3: ΚΟΙΝΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ (2/2) Ουρά αναμονής (queue) για εξομάλυνση στατιστικών μεταβολών και απομόνωση (buffering) διακυμάνσεων εισόδου εξυπηρέτησης Χωρητικότητα συστήματος αποθήκευσης (queue size) συμπεριλαμβανομένων των πελατών υπό εξυπηρέτηση Αριθμός εξυπηρετητών Πρωτόκολλο εξυπηρέτησης: First Come First Served - FCFS ή First In First Out - FIFO, Last In First Out - LIFO, Processor Sharing, προτεραιότητες Κατάσταση συστήματος: Αριθμός πελατών στο σύστημα αναμονής (ουρά + εξυπηρέτηση) σε μια χρονική στιγμή. Χρονοσειρά - time series - ή στοχαστική ανέλιξη - stochastic process - διακριτής κατάστασης & συνεχούς χρόνου Δρομολόγηση από ουρά σε ουρά σε περιπτώσεις δικτύων ουρών αναμονής

17 Επανάληψη 4: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Στοιχεία καθυστέρησης σε ένα σύστημα: χρόνος επεξεργασίας, χρόνος αναμονής, χρόνος διάδοσης, χρόνος μετάδοσης Δίκτυο μεταγωγής κυκλωμάτων (circuit switching): ρυθμός αφίξεων κλήσεων, διάρκεια κλήσεων, ποσοστό απόρριψης κλήσεων Δίκτυο μεταγωγής πακέτων (packet switching): ρυθμός αφίξεων πακέτων, μέγεθος πακέτων, ποσοστό απόρριψης πακέτων, καθυστέρηση σε κόμβους του Internet Υπολογιστικό σύστημα πολυεπεξεργασίας (windows): αριθμός παράλληλων εντολών/προγραμμάτων υπό επεξεργασία, χρόνος ύπνωσης (sleeping time) ανά ενεργό παράθυρο, χρόνος αναζήτησης/ανταλλαγής δεδομένων στη μνήμη (I/O time), μέσος ρυθμός διεκπεραίωσης εντολών (ρυθμαπόδοση - throughput), χρόνος απόκρισης

18 Επανάληψη 5: ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Αναλυτική ή/και αριθμητική αξιολόγηση απλοποιημένων μοντέλων συστημάτων ΤΠΕ (Τεχνολογιών Πληροφορικής & Επικοινωνιών) για προσέγγιση βασικών παραμέτρων σχεδιασμού (π.χ. χωρητικότητας γραμμών, μεγέθους buffer, τοπολογία δικτύου) Προσομοίωση (simulation) για αξιολόγηση και προσδιορισμό παραμέτρων προτεινόμενων λύσεων ώστε να ικανοποιούνται προδιαγραφές QoS (Quality of Service)

19 Επανάληψη 6: ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Αναλυτική ή/και αριθμητική αξιολόγηση απλοποιημένων μοντέλων συστημάτων ΤΠΕ (Τεχνολογιών Πληροφορικής & Επικοινωνιών) για προσέγγιση βασικών παραμέτρων σχεδιασμού (π.χ. χωρητικότητας γραμμών, μεγέθους buffer, τοπολογία δικτύου) Προσομοίωση (simulation) για αξιολόγηση και προσδιορισμό παραμέτρων προτεινόμενων λύσεων ώστε να ικανοποιούνται προδιαγραφές QoS (Quality of Service) και QoE (Quality of Experience) με οικονομία σε CAPEX (Capital Expenses) & OPEX (Operational Expenses) Εξομοίωση (emulation) με διαμόρφωση εικονικών (virtual) υποδομών και πειραματισμό κάτω από τεχνητές ακραίες συνθήκες (επιθέσεις, καταστροφές ) Δοκιμές σε αληθινά συστήματα στο εργαστήριο και ανάλυση συμπεριφοράς κάτω από τυποποιημένα ενδεικτικά σενάρια χρήσης - benchmarking Συνεχείς μετρήσεις σε εγκατεστημένα συστήματα και αξιολόγηση εναλλακτικών σεναρίων αναβάθμισης - επανασχεδιασμού

20 ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ (1/4) Ένταση φορτίου (traffic intensity) Σε περίπτωση 1 ουράς, 1 εξυπηρετητή: ρ = E{Χρόνος εξυπηρέτησης}/ε{χρόνος μεταξύ αφίξεων} ρ = (1/μ)/(1/λ) = λ/μ (Erlangs) Ένα Erlang αντιπροσωπεύει το φόρτο κυκλοφορίας που εξυπηρετείται από έναν εξυπηρετητή που ασχολείται το 100% του χρόνου (π.χ. 1 callminute per minute). Ένας εξυπηρετητής ασχολείται για 30 λεπτά σε μια περίοδο μιας ώρας μεταφέρει 0.5 Erlangs κυκλοφοριακή ένταση Διεκπεραίωση πελατών Ρυθμαπόδοση (Throughput) γ πελάτες/sec Σε περίπτωση 1 ουράς, 1 εξυπηρετητή: γ =< λ, γ < μ Για σύστημα χωρίς χώρο αναμονής: γ = λ(1-pbl) όπου Pbl είναι η πιθανότητα να χαθεί ένας πελάτης επειδή βρήκε το σύστημα πλήρες σε τηλεφωνικά δίκτυα: βαθμός ποιότητας, Grade of Service - GoS σε δίκτυα δεδομένων: Quality of Service - QoS

21 ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ (2/4) Μέσος ρυθμός απωλειών, ποσοστό απωλειών, πιθανότητα απώλειας πελάτη Σε περίπτωση 1 ουράς, 1 εξυπηρετητή Μέσος ρυθμός απωλειών: λ - γ Ποσοστό απωλειών: (λ - γ)/λ Βαθμός χρησιμοποίησης εξυπηρετητή (server utilization) Σε περίπτωση 1 ουράς, 1 εξυπηρετητή u = γ/μ

22 ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ (3/4) Αριθμός πελατών (κατάσταση) n(t), στοχαστική ανέλιξη χρονοσειρά (stochastic process, time series) Μέσος αριθμός πελατών Ε{n(t)} Μέσος χρόνος καθυστέρησης (average time delay) Μέσος χρόνος αναμονής (waiting time) + Μέσος χρόνος εξυπηρέτησης E(T) = E(W) + E(s)

23 ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ (4/4) n(t): Κατάσταση συστήματος αναμονής n q (t) : Αριθμός πελατών στην αναμονή n s (t) : Αριθμός πελατών στην εξυπηρέτηση n(t) = n q (t) + n s (t) E{n(t)} = E{n q (t)} + E{n s (t)} Χρόνος καθυστέρησης: Τ = W + s Ε(Τ) = E(W) + E(s)

24 ΤΥΠΟΣ Little Χρόνος καθυστέρησης Τ = W + s Ε(Τ) = Ε(n)/γ (Τύπος Little) Ε(Τ) = E{n(t)}/γ = E(W) + E(s) = = E{n q (t)}/γ + E{n s (t)}/γ (Τύπος Little)

25 ΚΑΤΑΤΑΞΗ ΟΥΡΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ A/S/N/K A : Τύπος διαδικασίας εισόδου πελατών S : Τύπος τυχαίας μεταβλητής χρόνου εξυπηρέτησης Ν: Αριθμός εξυπηρετητών Κ : Χωρητικότητα συστήματος (μέγιστος αριθμός πελατών στην αναμονή + εξυπηρέτηση) Παραδείγματα Μ/Μ/1: Αφίξεις Poisson (Markov, Memoryless), ανεξάρτητοι χρόνοι εξυπηρέτησης εκθετικοί (Markov), 1 εξυπηρετητής, άπειρη χωρητικότητα συστήματος (μηδενικές απώλειες ή αστάθεια) M/D/1: Αφίξεις Poisson (Markov, Memoryless), ανεξάρτητοι χρόνοι εξυπηρέτησης σταθεροί (Deterministic), 1 εξυπηρετητής, άπειρη χωρητικότητα συστήματος M/G/1/4: Αφίξεις Poisson (Markov, Memoryless), ανεξάρτητοι χρόνοι εξυπηρέτησης γενικής κατανομής (General), 1 εξυπηρετητής, χωρητικότητα συστήματος 4 πελάτες Μ/Μ/4/8: Αφίξεις Poisson (Markov, Memoryless), ανεξάρτητοι χρόνοι εξυπηρέτησης εκθετικοί (Markov), 4 εξυπηρετητές, χωρητικότητα συστήματος 8 πελάτες: Μοντέλο κέντρου κλήσεων (call center) με 4 χειριστές τηλεφωνητές & μέχρι 4 κλήσεις στην αναμονή

26 3 ο Μάθημα Εκθετική Κατανομή, Στοχαστικές Ανελίξεις Διαδικασίες Απαρίθμησης, Κατανομή Poisson

27 Επανάληψη (1) ΤΥΠΟΣ Little Χρόνος καθυστέρησης Τ = W + s Ε(Τ) = Ε(n)/γ (Τύπος Little) Ε(Τ) = E{n(t)}/γ = E(W) + E(s) = = E{n q (t)}/γ + E{n s (t)}/γ (Τύπος Little)

28 Επανάληψη (2) ΚΑΤΑΤΑΞΗ ΟΥΡΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ A/S/N/K A : Τύπος διαδικασίας εισόδου πελατών S : Τύπος τυχαίας μεταβλητής χρόνου εξυπηρέτησης Ν: Αριθμός εξυπηρετητών Κ : Χωρητικότητα συστήματος (μέγιστος αριθμός πελατών στην αναμονή + εξυπηρέτηση) Παραδείγματα Μ/Μ/1: Αφίξεις Poisson (Markov, Memoryless), ανεξάρτητοι χρόνοι εξυπηρέτησης εκθετικοί (Markov), 1 εξυπηρετητής, άπειρη χωρητικότητα συστήματος (μηδενικές απώλειες ή αστάθεια) M/D/1: Αφίξεις Poisson (Markov, Memoryless), ανεξάρτητοι χρόνοι εξυπηρέτησης σταθεροί (Deterministic), 1 εξυπηρετητής, άπειρη χωρητικότητα συστήματος M/G/1/4: Αφίξεις Poisson (Markov, Memoryless), ανεξάρτητοι χρόνοι εξυπηρέτησης γενικής κατανομής (General), 1 εξυπηρετητής, χωρητικότητα συστήματος 4 πελάτες Μ/Μ/4/8: Αφίξεις Poisson (Markov, Memoryless), ανεξάρτητοι χρόνοι εξυπηρέτησης εκθετικοί (Markov), 4 εξυπηρετητές, χωρητικότητα συστήματος 8 πελάτες: Μοντέλο κέντρου κλήσεων (call center) με 4 χειριστές τηλεφωνητές & μέχρι 4 κλήσεις στην αναμονή

29 Η ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ (exponential distribution) Μια τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) - random variable Χ ακολουθεί εκθετική κατανομή με παράμετρο λ όταν: F χ (t) = P[X t] = 1-exp(-λt), f Χ (t) = df χ (t)/dt = λ exp(-λt) για t 0 F χ (t) = f Χ (t) = 0 για t < 0 E(Χ) = 1/λ, var(χ) = 1/λ 2 Ιδιότητα έλλειψης μνήμης P[X>t+s/X>t] = P[X>s] Κατανομή ελαχίστου μεταξύ ανεξάρτητων τ.μ. εκθετικά κατανεμημένων Χ 1 : με παράμετρο λ 1 Χ 2 : με παράμετρο λ 2 Χ = min{χ 1,Χ 1 } είναι εκθετικά κατανεμημένη με παράμετρο λ = λ 1 +λ 2

30 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΑΝΕΛΙΞΕΙΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ (Stochastic Processes Time Series) Διαδικασίες Markov, ιδιότητα έλλειψης μνήμης P[X(t n+1 )=x n+1 /X(t n )=x n,x(t n-1 )=x n-1,,x(t 1 )=x 1 ] = P[X(t n+1 )=x n+1 /X(t n )=x n ] Στάσιμες διαδικασίες (stationary stochastic processes): Στατιστικές ιδιότητες της τυχαίας μεταβλητής X(t) ανεξάρτητες από τον χρόνο t Εργοδικότητα (ergodicity) ως προς στάσιμο μέσο όρο E X(t) = lim N { 1 N N x n } = lim { 1 T T T x(t)dt n=1 0 Αν ισχύει η εργοδικότητα, για την εκτίμηση του στάσιμου μέσου όρου E{X(t)} αντί για την άθροιση μετρήσεων της τιμής X(t n )=x n στο χρόνο t n σε μεγάλο αριθμό N επαναλήψεων της χρονοσειράς, αρκεί η ολοκλήρωση των τιμών x(t) όπως μετρώνται σε μεγάλο χρονικό διάστημα T σε μια μόνο παρατήρηση της X(t) χωρίς επαναλήψεις Διαδικασίες Γεννήσεων - Θανάτων (birth death processes): αποτελούν μια κλάση των διαδικασιών Markov, με την συνθήκη ότι μεταβάσεις επιτρέπονται μόνο ανάμεσα σε γειτονικές καταστάσεις Διαδικασίες Απαρίθμησης γεγονότων (counter processes) P[N(t) = k]: Πιθανότητα k γεγονότων στο διάστημα (0, t) Διαδικασίες Απαρίθμησης με Στάσιμες Αυξήσεις (stationary increments): Ανεξάρτητα του χρόνου αναφοράς t P[N(t + Δt) - N(t) = k] = P[N(τ + Δt) - N(τ) = k] = P[N(Δt) = k] }

31 Η ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Poisson k γεγονότα (π.χ. αφίξεις) σε διάστημα t εμφανίζονται με πιθανότητα E t (n) = λt Var t (n) = λt P[n(t) = k] = P k (t) = e λt (λt) k / k!, k = 0,1,2, Μέσος ρυθμός αφίξεων: λ πελάτες/sec ανεξάρτητα από χρόνο αναφοράς (στάσιμες αυξήσεις) Η κατανομή Poisson σαν όριο της Διωνυμικής Κατανομής (binomial distribution)

32 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ Poisson Οι χρόνοι μεταξύ διαδοχικών αφίξεων μιας διαδικασίας Poisson με μέσο ρυθμό λ, είναι τυχαίες μεταβλητές (τμ) εκθετικά κατανεμημένες με μέση τιμή 1/λ Υπέρθεση ανεξάρτητων διαδικασιών Poisson λ 1, λ 2 δημιουργεί διαδικασία Poisson με μέσο ρυθμό λ = λ 1 + λ 2 Διάσπαση διαδικασίας Poisson ρυθμού λ μέσω ανεξαρτήτων τυχαίων επαναλήψεων Bernoulli με πιθανότητες p, q = 1-p (π.χ. τυχαία δρομολόγηση χωρίς μνήμη) δημιουργεί ανεξάρτητες διαδικασίες Poisson με μέσους ρυθμούς λ 1 = pλ λ 2 = qλ

33 4 ο Μάθημα Ιδιότητες Κατανομής Poisson & Εκθετικής Κατανομής Διαδικασίες Γεννήσεων - Θανάτων Εξισώσεις Ισορροπίας - Η Ουρά Μ/Μ/1

34 Επανάληψη (1) Η ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Poisson k γεγονότα (π.χ. αφίξεις) σε διάστημα t εμφανίζονται με πιθανότητα E t (n) = λt Var t (n) = λt P[n(t) = k] = P k (t) = e λt (λt) k / k!, k = 0,1,2, Μέσος ρυθμός αφίξεων: λ πελάτες/sec ανεξάρτητα από χρόνο αναφοράς (στάσιμες αυξήσεις) Η κατανομή Poisson σαν όριο της Διωνυμικής Κατανομής (binomial distribution)

35 Επανάληψη (2) Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ Poisson ΣΑΝ ΟΡΙΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Ανεξάρτητες αφίξεις στο διάστημα [0, t] με ρυθμό λ αφίξεις/sec Διαίρεση [0, t] σε N μικρά μη επικαλυπτόμενα ανεξάρτητα υποδιαστήματα Δt, t = NΔt Σε κάθε υποδιάστημα Δt δύο εναλλακτικές: Μία άφιξη με πιθανότητα p = λδt = λt/n ή καμία άφιξη με πιθανότητα 1 p k αφίξεις σε διάστημα t = N x Δt με διωνυμική (binomial) πιθανότητα P[n(t) = k] = N k p k (1 p) N k, k = 0, 1,, N Στο όριο Δt 0, N, t = NΔt, Ν!/(Ν-k)! N k, (1-λt/N) N k e λt P[n(t) = k] = N!/[k! (N-k)!] (λt/n) k (1-λt/N) N k e λt (λt) k /k! = P k (t), k = 0, 1,

36 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ Poisson Οι χρόνοι μεταξύ διαδοχικών αφίξεων μιας διαδικασίας Poisson με μέσο ρυθμό λ, είναι τυχαίες μεταβλητές (τμ) εκθετικά κατανεμημένες με μέση τιμή 1/λ Υπέρθεση ανεξάρτητων διαδικασιών Poisson λ 1, λ 2 δημιουργεί διαδικασία Poisson με μέσο ρυθμό λ = λ 1 + λ 2 Διάσπαση διαδικασίας Poisson ρυθμού λ μέσω ανεξαρτήτων τυχαίων επαναλήψεων Bernoulli με πιθανότητες p, q = 1-p (π.χ. τυχαία δρομολόγηση χωρίς μνήμη) δημιουργεί ανεξάρτητες διαδικασίες Poisson με μέσους ρυθμούς λ 1 = pλ λ 2 = qλ

37 ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΓΕΝΝΗΣΕΩΝ - ΘΑΝΑΤΩΝ (Birth-Death Process,1/2) Παραδοχές: Ανεξαρτησία γεννήσεων-θανάτων Εξέλιξη του πληθυσμού n(t) βασισμένη μόνο στο παρόν (Markov) Σύστημα Διαφορικών εξισώσεων Διαφορών Κατάσταση ισορροπίας (steady state) Την χρονική στιγμή t το σύστημα καταλήγει σε πληθυσμό n(t) = n Μπορεί να έχουν προηγηθεί οι ακόλουθες μεταβάσεις από την χρονική στιγμή t-δt, Δt 0: Μία άφιξη στο διάστημα Δt, με πιθανότητα λ n-1 Δt αν n>0 Μια αναχώρηση, με πιθανότητα μ n+1 Δt αν υπάρχει η n+1 (σε περίπτωση περιορισμού μέγιστου πληθυσμού K μπορούμε να θεωρήσουμε μ Κ+1 = 0) Τίποτα από τα δύο, με πιθανότητα 1 - (λ n +μ n )Δt αν n>0 ή 1 λ 0 Δt αν n=0 Η εξίσωση μετάβασης (Chapman - Kolmogorov) προκύπτει από τον τύπο συνολικής πιθανότητας: P n (t) = λ n-1 Δt P n-1 (t-δt) + μ n+1 Δt P n+1 (t-δt) + [1- (λ n +μ n )Δt] P n (t-δt) P 0 (t) = μ 1 Δt P 1 (t-δt) + (1- λ 0 Δt) P 0 (t-δt)

38 ΔΙΑΔΙΑΚΑΣΙΑ ΓΕΝΝΗΣΕΩΝ ΘΑΝΑΤΩΝ (Birth-Death Process, 2/2) Στο όριο, Δt dt και για n >1: ή [P n (t) - P n (t-dt)]/dt = λ n-1 P n-1 (t) + μ n+1 P n+1 (t) (λ n +μ n )P n (t) dp n (t)/dt = λ n-1 P n-1 (t) + μ n+1 P n+1 (t) (λ n +μ n )P n (t) Σε σταθερή κατάσταση t (αν υπάρχει) : dp n (t)/dt = 0, P n (t) P n > 0 : Εργοδικές Πιθανότητες που προκύπτουν από τις γραμμικά ανεξάρτητες Εξισώσεις Ισορροπίας (λ n +μ n )P n = λ n-1 P n-1 + μ n+1 P n+1, n>1 λ 0 P 0 = μ 1 P 1 P 0 + P P n + = 1

39 5 ο Μάθημα Διαδικασίες Γεννήσεων - Θανάτων Εξισώσεις Ισορροπίας - Ουρές Μ/Μ/1, M/M/1/N Προσομοίωση Ουράς Μ/Μ/1/Ν

40 ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΓΕΝΝΗΣΕΩΝ - ΘΑΝΑΤΩΝ (Επανάληψη: Birth-Death Process,1/2) Παραδοχές: Ανεξαρτησία γεννήσεων-θανάτων Εξέλιξη του πληθυσμού n(t) βασισμένη μόνο στο παρόν (Markov) Σύστημα Διαφορικών εξισώσεων Διαφορών Κατάσταση ισορροπίας (steady state) Την χρονική στιγμή t το σύστημα καταλήγει σε πληθυσμό n(t) = n Μπορεί να έχουν προηγηθεί οι ακόλουθες μεταβάσεις από την χρονική στιγμή t-δt, Δt 0: Μία άφιξη στο διάστημα Δt, με πιθανότητα λ n-1 Δt αν n>0 Μια αναχώρηση, με πιθανότητα μ n+1 Δt αν υπάρχει η n+1 (σε περίπτωση περιορισμού μέγιστου πληθυσμού K μπορούμε να θεωρήσουμε μ Κ+1 = 0) Τίποτα από τα δύο, με πιθανότητα 1 - (λ n +μ n )Δt αν n>0 ή 1 λ 0 Δt αν n=0 Η εξίσωση μετάβασης (Chapman - Kolmogorov) προκύπτει από τον τύπο συνολικής πιθανότητας: P n (t) = λ n-1 Δt P n-1 (t-δt) + μ n+1 Δt P n+1 (t-δt) + [1- (λ n +μ n )Δt] P n (t-δt) P 0 (t) = μ 1 Δt P 1 (t-δt) + (1- λ 0 Δt) P 0 (t-δt)

41 ΔΙΑΔΙΑΚΑΣΙΑ ΓΕΝΝΗΣΕΩΝ ΘΑΝΑΤΩΝ (Επανάληψη: Birth-Death Process, 2/2) Στο όριο, Δt dt και για n >1: ή [P n (t) - P n (t-dt)]/dt = λ n-1 P n-1 (t) + μ n+1 P n+1 (t) (λ n +μ n )P n (t) dp n (t)/dt = λ n-1 P n-1 (t) + μ n+1 P n+1 (t) (λ n +μ n )P n (t) Σε σταθερή κατάσταση t (αν υπάρχει) : dp n (t)/dt = 0, P n (t) P n > 0 : Εργοδικές Πιθανότητες που προκύπτουν από τις γραμμικά ανεξάρτητες Εξισώσεις Ισορροπίας (λ n +μ n )P n = λ n-1 P n-1 + μ n+1 P n+1, n>1 λ 0 P 0 = μ 1 P 1 P 0 + P P n + = 1

42

43

44 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ (Balance Equations) Απείρως επισκέψιμες καταστάσεις n(t) - positive recurrent states: Με μη μηδενικές εργοδικές πιθανότητες P n (t) = P n > 0, n = 0,1, Ερμηνεία Εξισώσεων Ισορροπίας: #{μεταβάσεων προς την κατάσταση s} = #{μεταβάσεων εκτός της s} (σφαιρική ισορροπία global balance equations) #{μεταβάσεων s 1 s 2 } = #{μεταβάσεων s 2 s 1 } (τοπική ισορροπία local balance equations) Λόγω εργοδικότητας: σε μεγάλο χρονικό διάστημα παρατήρησης Τ, με Τ 1 και Τ 2 τους συνολικούς χρόνους παραμονής στις s 1, s 2 : (1) #{μεταβάσεων s 1 s 2 } = T 1 x r 1,2 (2) #{μεταβάσεων s 2 s 1 } = T 2 x r 2,1 Όπου r 1,2 και r 2,1 οι μέσοι ρυθμοί μετάβασης από 1 2 και 2 1 Λόγω ισορροπίας: (1) = (2), r 1,2 x {T 1 /Τ} = r 2,1 x {T 2 /Τ}, ή r 1,2 x P 1 = r 2,1 x P 2

45 ΟΥΡΑ Μ/Μ1/Ν Εξισώσεις Ισορροπίας Συστήματα Μ/Μ/1/Ν με ρυθμούς άφιξης και ρυθμούς εξυπηρέτησης εξαρτώμενους από τον αριθμό των πελατών στο σύστημα (από την παρούσα κατάσταση του συστήματος) (State Dependent M/M/1/Ν Queues) λ n μ n Local Balance Equation λ 0 P 0 = μ 1 P 1 λ i-1 P i-1 = μ i P i, i = 1, 2, N Global Balance Equation (λ i +μ i )P i = λ i-1 P i-1 + μ i+1 P i+1, i = 0, 1,, N Κανονικοποίηση Εργοδικών Πιθανοτήτων P P Ν = 1

46 ΟΥΡΑ Μ/Μ/1 (Αφίξεις Poisson, Εκθετικές Εξυπηρετήσεις, Άπειρο Μέγεθος) Σταθεροί μέσοι ρυθμοί αφίξεων (γεννήσεων) λ n = λ, Poisson Σταθεροί μέσοι ρυθμοί εξυπηρέτησης (θανάτων) μ n = μ Εκθετικοί ανεξάρτητοι χρόνοι εξυπηρέτησης s, E(s) = 1/μ Εργοδικές πιθανότητες καταστάσεων P n = (1-ρ)ρ n, n = 0,1,2, όπου ρ = U = λ/μ < 1 Erlang για ευστάθεια, P 0 = (1-ρ) <1 Στάσιμος & Εργοδικός μέσος όρος πληθυσμού - κατάστασης n(t) E[n(t)] E(n) = ρ/(1-ρ) Νόμος του Little: E(T) = E(n)/γ = E(n)/λ (Εργοδικό σύστημα χωρίς απώλειες, λ = γ) E(T) = (1/μ) / (1-ρ)

47 ΟΥΡΑ Μ/Μ/1/N (Αφίξεις Poisson, Εκθετικές Εξυπηρετήσεις, Μέγεθος N) Σταθεροί μέσοι ρυθμοί αφίξεων (γεννήσεων) λ n = λ, Poisson, n = 1,2,, N Σταθεροί μέσοι ρυθμοί εξυπηρέτησης (θανάτων) μ n = μ, n = 1,2,, N Εκθετικοί ανεξάρτητοι χρόνοι εξυπηρέτησης s, E(s) = 1/μ Εργοδικές πιθανότητες καταστάσεων P n = ρ n P 0, n = 0,1,2,, N, P 0 + P 1 + P Ν-1 + P Ν = 1 όπου ρ = λ/μ Erlangs πάντα ευσταθές, P 0 = (1-ρ)/(1- ρ Ν+1), ρ 1 P 0 = 1/(N+1), ρ = 1 Στάσιμος & Εργοδικός μέσος όρος πληθυσμού - κατάστασης n(t) E[n(t)] E(n) (ΑΣΚΗΣΗ) Νόμος του Little: E(T) = E(n)/γ = E(n)/[λ(1- P N )], γ = λ(1- P N ) Πιθανότητα απώλειας P blocking = P N

48 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΟΥΡΑΣ Μ/Μ/1/10 P n = lim (T n /T) = lim { ([# αφίξεων στη n) / λ]) / ([συνολικού # αφίξεων / λ]) } = lim { [# αφίξεων στη n] / [συνολικού # αφίξεων] } RANDOM : Ομοιόμορφος τυχαίος αριθμός (0,1) ARRIVALS : Συνολικός αριθμός αφίξεων ARRIVAL[STATE] : Αριθμός αφίξεων στην κατάσταση STATE = 0, 1,,10 COUNT : Αριθμός μεταβάσεων STATE : Κατάσταση ουράς (πληθυσμός συστήματος Μ/Μ/1/10), STATE = 0, 1,, 10 P[STATE] : Εργοδική πιθανότητα κατάστασης STATE = 0, 1,, 10 AVERAGE: Μέσος πληθυσμός συστήματος Μ/Μ/1/10 INITIALIZE : COUNT = 0, STATE = 0, ARRIVALS = 0, ARRIVAL[0 10] = 0, P[0 10] =0 ARRIVAL : ARRIVALS = ARRIVALS + 1 ARRIVAL[STATE] = ARRIVAL[STATE] + 1 COUNT = COUNT +1 IF STATE = 10 : GO TO TO LOOP ELSE : STATE = STATE + 1 GO TO LOOP LOOP : IF STATE = 0 : GO TO ARRIVAL ELSE : IF RANDOM < λ / (λ+μ) : GO TO ARRIVAL ELSE : GO TO DEPARTURE DEPARTURE : COUNT = COUNT +1 ; STATE = STATE 1 IF COUNT < MAXIMUM : GO TO LOOP ELSE : P[STATE=1 10] = ARRIVAL[STATE= 1 10] / ARRIVALS AVERAGE = SUM { STATE ^ P[STATE] }, STATE = [1 10]

49 6 ο Μάθημα Ουρές Markov (birth-death processes) Ουρές Μ/Μ/N/K - Erlang C Ουρές M/M/c/c - Erlang B Παραδείγματα Εφαρμογής

50 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ (Επανάληψη - Balance Equations) Απείρως επισκέψιμες καταστάσεις n(t) - positive recurrent states: Με μη μηδενικές εργοδικές πιθανότητες P n (t) = P n > 0, n = 0,1, Ερμηνεία Εξισώσεων Ισορροπίας: #{μεταβάσεων προς την κατάσταση s} = #{μεταβάσεων εκτός της s} (σφαιρική ισορροπία global balance equations) #{μεταβάσεων s 1 s 2 } = #{μεταβάσεων s 2 s 1 } (τοπική ισορροπία local balance equations) Λόγω εργοδικότητας: σε μεγάλο χρονικό διάστημα παρατήρησης Τ, με Τ 1 και Τ 2 τους συνολικούς χρόνους παραμονής στις s 1, s 2 : (1) #{μεταβάσεων s 1 s 2 } = T 1 x r 1,2 (2) #{μεταβάσεων s 2 s 1 } = T 2 x r 2,1 Όπου r 1,2 και r 2,1 οι μέσοι ρυθμοί μετάβασης από 1 2 και 2 1 Λόγω ισορροπίας: (1) = (2), r 1,2 x {T 1 /Τ} = r 2,1 x {T 2 /Τ}, ή r 1,2 x P 1 = r 2,1 x P 2

51 ΟΥΡΑ Μ/Μ1/Ν Επανάληψη - Εξισώσεις Ισορροπίας Συστήματα Μ/Μ/1/Ν με ρυθμούς άφιξης και ρυθμούς εξυπηρέτησης εξαρτώμενους από τον αριθμό των πελατών στο σύστημα (από την παρούσα κατάσταση του συστήματος) (State Dependent M/M/1/Ν Queues) λ n μ n Local Balance Equation λ 0 P 0 = μ 1 P 1 λ i-1 P i-1 = μ i P i, i = 1, 2, N Global Balance Equation (λ i +μ i )P i = λ i-1 P i-1 + μ i+1 P i+1, i = 0, 1,, N Κανονικοποίηση Εργοδικών Πιθανοτήτων P P Ν = 1

52 ΟΥΡΑ Μ/Μ/1 (Επανάληψη - Αφίξεις Poisson, Εκθετικές Εξυπηρετήσεις, Άπειρο Μέγεθος) Σταθεροί μέσοι ρυθμοί αφίξεων (γεννήσεων) λ n = λ, Poisson Σταθεροί μέσοι ρυθμοί εξυπηρέτησης (θανάτων) μ n = μ Εκθετικοί ανεξάρτητοι χρόνοι εξυπηρέτησης s, E(s) = 1/μ Εργοδικές πιθανότητες καταστάσεων P n = (1-ρ)ρ n, n = 0,1,2, όπου ρ = U = λ/μ < 1 Erlang για ευστάθεια, P 0 = (1-ρ) <1 Στάσιμος & Εργοδικός μέσος όρος πληθυσμού - κατάστασης n(t) E[n(t)] E(n) = ρ/(1-ρ) Νόμος του Little: E(T) = E(n)/γ = E(n)/λ (Εργοδικό σύστημα χωρίς απώλειες, λ = γ) E(T) = (1/μ) / (1-ρ)

53 ΟΥΡΑ Μ/Μ/1/N (Επανάληψη - Αφίξεις Poisson, Εκθετικές Εξυπηρετήσεις, Μέγεθος N) Σταθεροί μέσοι ρυθμοί αφίξεων (γεννήσεων) λ n = λ, Poisson, n = 1,2,, N Σταθεροί μέσοι ρυθμοί εξυπηρέτησης (θανάτων) μ n = μ, n = 1,2,, N Εκθετικοί ανεξάρτητοι χρόνοι εξυπηρέτησης s, E(s) = 1/μ Εργοδικές πιθανότητες καταστάσεων P n = ρ n P 0, n = 0,1,2,, N, P 0 + P 1 + P Ν-1 + P Ν = 1 όπου ρ = λ/μ Erlangs πάντα ευσταθές, P 0 = (1-ρ)/(1- ρ Ν+1), ρ 1 P 0 = 1/(N+1), ρ = 1 Χρησιμοποίηση Εξυπηρετητή (Server Utilization) U = 1- P 0 Ρυθμαπόδοση (throughput) γ = λ(1- P N ) = μ(1-p 0 ) = μu Πιθανότητα απώλειας P blocking = P N Στάσιμος Εργοδικός μέσος όρος πληθυσμού - κατάστασης E[n(t)] E(n) Νόμος του Little: E(T) = E(n)/γ = E(n)/[λ(1- P N )],

54 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΟΥΡΑΣ Μ/Μ/1/10 (Επανάληψη) P n = lim (T n /T) = lim { ([# αφίξεων στη n) / λ]) / ([συνολικού # αφίξεων / λ]) } = lim { [# αφίξεων στη n] / [συνολικού # αφίξεων] } RANDOM : Ομοιόμορφος τυχαίος αριθμός (0,1) ARRIVALS : Συνολικός αριθμός αφίξεων ARRIVAL[STATE] : Αριθμός αφίξεων στην κατάσταση STATE = 0, 1,,10 COUNT : Αριθμός μεταβάσεων STATE : Κατάσταση ουράς (πληθυσμός συστήματος Μ/Μ/1/10), STATE = 0, 1,, 10 P[STATE] : Εργοδική πιθανότητα κατάστασης STATE = 0, 1,, 10 AVERAGE: Μέσος πληθυσμός συστήματος Μ/Μ/1/10 INITIALIZE : COUNT = 0, STATE = 0, ARRIVALS = 0, ARRIVAL[0 10] = 0, P[0 10] =0 ARRIVAL : ARRIVALS = ARRIVALS + 1 ARRIVAL[STATE] = ARRIVAL[STATE] + 1 COUNT = COUNT +1 IF STATE = 10 : GO TO TO LOOP ELSE : STATE = STATE + 1 GO TO LOOP LOOP : IF STATE = 0 : GO TO ARRIVAL ELSE : IF RANDOM < λ / (λ+μ) : GO TO ARRIVAL ELSE : GO TO DEPARTURE DEPARTURE : COUNT = COUNT +1 ; STATE = STATE 1 IF COUNT < MAXIMUM : GO TO LOOP ELSE : P[STATE=1 10] = ARRIVAL[STATE= 1 10] / ARRIVALS AVERAGE = SUM { STATE ^ P[STATE] }, STATE = [1 10]

55 Αφίξεις Poisson με ρυθμό λ n = λ ΟΥΡΑ Μ/Μ/2 2 ανεξάρτητοι εκθετικοί εξυπηρετητές α, b με άνισους ρυθμούς μ α, μ b Άπειρη Χωρητικότητα Άφιξη σε άδειο σύστημα δρομολογείται στον α με πιθανότητα p και στον b με πιθανότητα (1-p) Εξισώσεις Ισορροπίας: λp 0 = μ α P 1α + μ b P 1b (λ+μ α )P 1α = pλp 0 + μ b P 2 U α = 1-P 0 -P 1b, γ α = μ α U α U b = 1-P 0 -P 1α, γ b = μ b U b γ = λ = γ α + γ b (λ+μ b )P 1b = (1-p)λP 0 + μ α P 2 λ(p 1α +P 1b ) = (μ α +μ b )P 2, λp n = (μ α +μ b )P n+1, n = 2, 3,. P 0 + P 1α + P 1b + P 2 + P 3 + = 1, λ/(μ α +μ b ) < 1 για σύγκληση (εργοδικότητα)

56 ΟΥΡΑ Μ/Μ/Ν/Κ Αφίξεις Poisson με ρυθμό λ n = λ Ν ανεξάρτητοι εκθετικοί εξυπηρετητές με ίσους ρυθμούς μ Χωρητικότητα Κ, N K (π.χ. call center με Ν εξυπηρετητές & δυνατότητα αναμονής μέχρι Κ-Ν κλήσεις) Ρυθμοί εξυπηρέτησης μ n = nμ, n = 1,2,,N μ n = Νμ, n = N, N+1,,K Εργοδική κατάσταση n(t): Αριθμός πελατών στο σύστημα, αδιάφορα από χρήση συγκεκριμένων εξυπηρετητών (π.χ. σε σύστημα Μ/Μ/2, μ α = μ b = μ, P 1 = P 1α +P 1b ) Εξισώσεις Ισορροπίας: P n = [λ/(nμ)] P n-1, n=1, 2,, N-1 P n = [λ/(nμ)] P n-1, n=n, N+1,, K P 0 + P P K-1 + P K = 1, P K = P blocking, γ = λ (1-P blocking ) P waiting = P N + + P K-1 + P K = 1 (P 0 + P P N-1 ) (Erlang-C)

57 ΟΥΡΑ Μ/Μ/c/c (τηλεφωνικό κέντρο με c εξωτερικές γραμμές, trunks) Αφίξεις Poisson με ρυθμό λ n = λ c ανεξάρτητοι εκθετικοί εξυπηρετητές Χωρητικότητα c Ρυθμοί εξυπηρέτησης μ n = nμ, n = 1,2,, c Εξισώσεις Ισορροπίας: P n = [λ/(nμ)]p n-1 = (ρ n /n!)p 0, n = 1, 2,,c ρ = λ/μ Erlangs P 0 + P P c-1 + P c = 1 P 0 = 1 / c n=0 ρ n n! P c = P blocking = (ρ c /c!) / c ρ n n=0 B(ρ, c) (Τύπος Erlang-B) n!

58 ΠΙΝΑΚΕΣ Erlang B(ρ,c) Αναδρομικός Υπολογισμός Β(ρ,0) = 1 Β(ρ,n) = ρβ(ρ,n-1)/[ρβ(ρ,n-1)+n], n=1,2,,c

59 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΗΛΕΦΩΝΙΚΟΥ ΚΕΝΤΡΟΥ Τηλεφωνικό Κέντρο με 7 εξωτερικές γραμμές προωθεί κίνηση (προς τις 2 κατευθύνσεις) με μέσο ρυθμό κλήσεων 2 κλήσεις το λεπτό με μέση διάρκεια κλήσης 3 min. Θεωρώ ότι οι εξωτερικές κλήσεις ακολουθούν διαδικασία Poisson με μέσο ρυθμό λ = 2 κλήσεις/min και χρόνο εξυπηρέτησης εκθετικό με μέση διάρκεια 1/μ = 3 min, άρα το συνολικό προσφερόμενο φορτίο (offered traffic) είναι ρ = λ/μ = 6 Erlangs Υποθέτουμε πως οι κλήσεις που δεν βρίσκουν γραμμή χάνονται οριστικά. Άρα η πιθανότητα απώλειας δίνεται από τον τύπο Β(ρ,c) = B(6,7) = 18.51% Το εξυπηρετούμενο φορτίο (carried traffic) είναι ρ x [1- Β(ρ,c)] = (λ/μ) x [1- Β(ρ,c)] = γ/μ = Erlangs Το φορτίο υπερχείλισης (overflow traffic) είναι ρ x Β(ρ,c) = Erlangs

60 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΤΗΛΕΦΩΝΙΚΟΥ ΚΕΝΤΡΟΥ Τηλεφωνικό Κέντρο με c εξωτερικές γραμμές προωθεί κίνηση (προς τις 2 κατευθύνσεις) με μέσο ρυθμό κλήσεων 2 κλήσεις το λεπτό με μέση διάρκεια κλήσης 3 min. Θεωρώ ότι οι εξωτερικές κλήσεις ακολουθούν διαδικασία Poisson με μέσο ρυθμό λ = 2 κλήσεις/min και χρόνο εξυπηρέτησης εκθετικό με μέση διάρκεια 1/μ = 3 min, άρα το συνολικό προσφερόμενο φορτίο (offered traffic) είναι ρ = λ/μ = 6 Erlangs Υποθέτουμε πως οι κλήσεις που δεν βρίσκουν γραμμή χάνονται οριστικά. Ζητείται ο απαιτούμενος αριθμός εξωτερικών γραμμών c (trunks) ώστε το ποσοστό απωλειών (Grade of Service, GOS) να είναι μικρότερο από 0.3% Από τους πίνακες προκύπτει πως Β(6,13) = 0.52% και Β(6,14) = 0.24%, άρα c = 14 trunks

61 7 ο Μάθημα Παραδείγματα Εφαρμογής Άσκηση Προσομοίωσης

62 ΟΥΡΑ Μ/Μ/c/c (Επανάληψη - τηλεφωνικό κέντρο με c εξωτερικές γραμμές, trunks) Αφίξεις Poisson με ρυθμό λ n = λ c ανεξάρτητοι εκθετικοί εξυπηρετητές Χωρητικότητα c Ρυθμοί εξυπηρέτησης μ n = nμ, n = 1,2,, c Εξισώσεις Ισορροπίας: P n = [λ/(nμ)]p n-1 = (ρ n /n!)p 0, n = 1, 2,,c ρ = λ/μ Erlangs P 0 + P P c-1 + P c = 1 P 0 = 1 / c n=0 ρ n n! P m = P blocking = (ρ c /c!) / c ρ n n=0 B(ρ, c) (Τύπος Erlang-B) n!

63 ΠΙΝΑΚΕΣ Erlang B(ρ,c) (Επανάληψη) Αναδρομικός Υπολογισμός Β(ρ,0) = 1 Β(ρ,n) = ρβ(ρ,n-1)/[ρβ(ρ,n-1)+n], n=1,2,,c

64 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΗΛΕΦΩΝΙΚΟΥ ΚΕΝΤΡΟΥ Τηλεφωνικό Κέντρο με 7 εξωτερικές γραμμές προωθεί κίνηση (προς τις 2 κατευθύνσεις) με μέσο ρυθμό κλήσεων 2 κλήσεις το λεπτό με μέση διάρκεια κλήσης 3 min. Θεωρώ ότι οι εξωτερικές κλήσεις ακολουθούν διαδικασία Poisson με μέσο ρυθμό λ = 2 κλήσεις/min και χρόνο εξυπηρέτησης εκθετικό με μέση διάρκεια 1/μ = 3 min, άρα το συνολικό προσφερόμενο φορτίο (offered traffic) είναι ρ = λ/μ = 6 Erlangs Υποθέτουμε πως οι κλήσεις που δεν βρίσκουν γραμμή χάνονται οριστικά. Άρα η πιθανότητα απώλειας δίνεται από τον τύπο Β(ρ,c) = B(6,7) = 18.51% (Επανάληψη) Το εξυπηρετούμενο φορτίο (carried traffic) είναι ρ x [1- Β(ρ,c)] = (λ/μ) x [1- Β(ρ,c)] = γ/μ = Erlangs Το φορτίο υπερχείλισης (overflow traffic) είναι ρ x Β(ρ,c) = Erlangs

65 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΤΗΛΕΦΩΝΙΚΟΥ ΚΕΝΤΡΟΥ (Επανάληψη) Τηλεφωνικό Κέντρο με c εξωτερικές γραμμές προωθεί κίνηση (προς τις 2 κατευθύνσεις) με μέσο ρυθμό κλήσεων 2 κλήσεις το λεπτό με μέση διάρκεια κλήσης 3 min. Θεωρώ ότι οι εξωτερικές κλήσεις ακολουθούν διαδικασία Poisson με μέσο ρυθμό λ = 2 κλήσεις/min και χρόνο εξυπηρέτησης εκθετικό με μέση διάρκεια 1/μ = 3 min, άρα το συνολικό προσφερόμενο φορτίο (offered traffic) είναι ρ = λ/μ = 6 Erlangs Υποθέτουμε πως οι κλήσεις που δεν βρίσκουν γραμμή χάνονται οριστικά. Ζητείται ο απαιτούμενος αριθμός εξωτερικών γραμμών c (trunks) ώστε το ποσοστό απωλειών (Grade of Service, GOS) να είναι μικρότερο από 0.3% Από τους πίνακες προκύπτει πως Β(6,13) = 0.52% και Β(6,14) = 0.24%, άρα c = 14 trunks

66 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΜΕΣΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΠΑΚΕΤΟΥ ΣΕ ΔΙΚΤΥΟ ΤΥΠΟΥ INTERNET 10 υπολογιστές (Η/Υ) διασυνδέονται σε Δίκτυο μέσω μεταγωγέα πακέτου (Router ή Ethernet Switch) που τα προωθεί προς τον προορισμό τους. Η ταχύτητα της πολυπλεγμένης εξόδου (trunk port) είναι C = 100 Mbps. Τα δεδομένα παράγονται στους Η/Υ σε μορφή πακέτων (πλαισίων) μεταβλητού μήκους L bits. Θεωρείστε πως κάθε Η/Υ παράγει δεδομένα που αντιστοιχούν σε 1 Mbps κατά μέσο όρο. Οι Η/Υ προσθέτουν σε κάθε πακέτο επικεφαλίδα (header) με πληροφορίες πρωτοκόλλου (διευθύνσεις, σηματοδοσία ελέγχου, ανίχνευσης λαθών κλπ.) μήκους 200 bits Θεωρείστε πως o μεταγωγέας έχει άπειρη χωρητικότητα αποθήκευσης πακέτων, το συνολικό μήκος πακέτου (L + 200) bits είναι κατά προσέγγιση εκθετικά κατανεμημένο και πως η συνολική ροή πακέτων γίνεται με διαδικασία Poisson. Βρείτε το μέσο ωφέλιμο μήκος πακέτου E(L) που να βελτιστοποιεί την μέση καθυστέρηση προώθησης πακέτου στον Στατιστικό Πολυπλέκτη. Θεωρείστε πως η ανάστροφη ροή πακέτων Δίκτυο Η/Υ γίνεται ανεξάρτητα από την ροή Η/Υ Δίκτυο (FDX) και πως η στατιστική συμπεριφορά των δύο κατευθύνσεων είναι συμμετρική.

67 Λύση Θεωρώ μοντέλο ουράς Μ/Μ/1 με λ = (10 x 10 6 ) / [E(L)] packets/sec μ = C / [200 + E(L)] sec -1 = 10 8 /[200 + E(L)] sec -1 Η μέση καθυστέρηση δίνεται από τον τύπο E (T) = (1/μ) / (1- λ/μ) sec = 1/(μ λ) sec E (T) = 1 / {10 8 /[200 + E(L)] (10 x 10 6 ) / E(L)} Ελαχιστοποιώ την συνάρτηση f(x) = 10-7 /{10/[200 + x] 1/x} = 10-7 (200x + x 2 )/(9x 200) και βρίσκω το βέλτιστο μέσο μήκος πακέτου df(x)/dx = 0 x = E(L) = 92,49 bits Προσοχή: Για εργοδικότητα πρέπει ρ = λ/μ < 1 και Ε(L) > 200/9 = bits

68 Ε(Τ) = f(x) sec σαν συνάρτηση του μέσου μήκους πακέτου E(L) = x bits

69 ΑΣΚΗΣΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Ουρά Μ/Μ/2/10 με Κατώφλι k Αριθμός πελατών στο σύστημα είναι μικρότερος ή ίσος του k (k = 1,, 9) οι αφίξεις δρομολογούνται πάντα στον εξυπηρετητή α, ο δε β παραμένει ανενεργός (idle). Ο εξυπηρετητής β ενεργοποιείται όταν ο αριθμός των πελατών στο σύστημα ξεπεράσει το κατώφλι k Αφίξεις Poisson, μέσου ρυθμού λ = 1, λ = 2 και λ = 3 πελάτες/sec (τρεις περιπτώσεις), ανεξάρτητες εκθετικές εξυπηρετήσεις ρυθμού μ α = 4 πελάτες/sec και μ β = 1 πελάτης/sec Με απλή προσομοίωση συστημάτων Markov να υπολογιστούν και να παρασταθούν γραφικά: Ο μέσος αριθμός των πελατών στο σύστημα για k =1,,9, και για τις τρείς περιπτώσεις ρυθμού εισόδου, όπως αυτό εξελίσσεται κατά τη διάρκεια της προσομοίωσης, μέχρι κάποιο κριτήριο σύγκλισης (π.χ. διαδοχικές τιμές μέσου αριθμού πελατών να μη διαφέρει πάνω από 0.001) Ο μέσος αριθμός πελατών στο σύστημα, μετά την σύγκλιση ανωτέρω (ερώτημα 1), σαν συνάρτηση του k για κάθε τιμή του λ Οι ρυθμοί απόδοσης (throughput) στους δύο εξυπηρετητές γ α και γ β καθώς και ο λόγος γ α /γ β, μετά την σύγκληση (ερώτημα 1) σαν συνάρτηση του k για κάθε τιμή του λ Σχολιάστε τα αποτελέσματα ως προς την ταχύτητα σύγκλησης και την απόδοση του συστήματος σαν συνάρτηση του k 27/5/2016: Ηλεκτρονική παράδοση, 20% της συνολικής βαθμολογίας Χρησιμοποιήσατε κάποια κλασσική γλώσσα προγραμματισμού (C, C++, Java, Python, Matlab ) και όχι ειδική γλώσσα προσομοίωσης. Να περιληφθεί αρχείο με τον πηγαίο κώδικα (source code) και σχήμα καταστάσεων με ρυθμούς μεταβάσεων

70 8 ο Μάθημα Ανοικτά Δίκτυα Ουρών Markov Θεωρήματα Burke & Jackson

71 ΑΣΚΗΣΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Ουρά Μ/Μ/2/10 με Κατώφλι k (Επανάληψη) Αριθμός πελατών στο σύστημα είναι μικρότερος ή ίσος του k (k = 1,, 9) οι αφίξεις δρομολογούνται πάντα στον εξυπηρετητή α, ο δε β παραμένει ανενεργός (idle). Ο εξυπηρετητής β ενεργοποιείται όταν ο αριθμός των πελατών στο σύστημα ξεπεράσει το κατώφλι k Αφίξεις Poisson, μέσου ρυθμού λ = 1, λ = 2 και λ = 3 πελάτες/sec (τρεις περιπτώσεις), ανεξάρτητες εκθετικές εξυπηρετήσεις ρυθμού μ α = 4 πελάτες/sec και μ β = 1 πελάτης/sec Με απλή προσομοίωση συστημάτων Markov να υπολογιστούν και να παρασταθούν γραφικά: Ο μέσος αριθμός των πελατών στο σύστημα για k =1,,9, και για τις τρείς περιπτώσεις ρυθμού εισόδου, όπως αυτό εξελίσσεται κατά τη διάρκεια της προσομοίωσης, μέχρι κάποιο κριτήριο σύγκλισης (π.χ. διαδοχικές τιμές μέσου αριθμού πελατών να μη διαφέρει πάνω από 0.001) Ο μέσος αριθμός πελατών στο σύστημα, μετά την σύγκλιση ανωτέρω (ερώτημα 1), σαν συνάρτηση του k για κάθε τιμή του λ Οι ρυθμοί απόδοσης (throughput) στους δύο εξυπηρετητές γ α και γ β καθώς και ο λόγος γ α /γ β, μετά την σύγκληση (ερώτημα 1) σαν συνάρτηση του k για κάθε τιμή του λ Σχολιάστε τα αποτελέσματα ως προς την ταχύτητα σύγκλησης και την απόδοση του συστήματος σαν συνάρτηση του k 27/5/2016: Ηλεκτρονική παράδοση, 20% της συνολικής βαθμολογίας Χρησιμοποιήσατε κάποια κλασσική γλώσσα προγραμματισμού (C, C++, Java, Python, Matlab ) και όχι ειδική γλώσσα προσομοίωσης. Να περιληφθεί αρχείο με τον πηγαίο κώδικα (source code) και σχήμα καταστάσεων με ρυθμούς μεταβάσεων

72 ΔΙΚΤΥΟ ΔΥΟ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ ΕΝ ΣΕΙΡΑ (1/3) Θεώρημα Burke: Η έξοδος πελατών από ουρά Μ/Μ/1 ακολουθεί κατανομή Poisson με ρυθμό τον ρυθμό εισόδου λ ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Θεωρούμε δύο εκθετικές ουρές Q1, Q2 με χρόνους εξυπηρέτησης ανεξάρτητες εκθετικές μεταβλητές με μέσους όρους 1/μ 1, 1/μ 2 (παραδοχή Leonard Kleinrock σε δίκτυα μεταγωγής πακέτου) και άπειρη χωρητικότητα Η είσοδος στην Q1 είναι Poisson με ρυθμό λ (η Q1 είναι Μ/M/1), λ < μ 1, μ 2 Η κατάσταση του συστήματος περιγράφεται από το διάνυσμα n = (n 1,n 2 ), n 1 # πελατών στην Q1, n 2 # πελατών στην Q2 Καταστρώνουμε το διάγραμμα μεταβάσεων καταστάσεων Markov σε δύο διαστάσεις και γράφουμε τις εξισώσεις ισορροπίας Εξετάζουμε αν οι εργοδικές πιθανότητες έχουν μορφή γινομένου (product form solution) P(n) = P(n 1,n 2 )?= P(n 1 ) P(n 2 )?= Κρ 1 n 1 ρ 2 n 2 = (1 ρ 1 )ρ 1 n 1 (1 ρ 2 )ρ 2 n 2 όπου ρ 1 = λ/μ 1, ρ 2 = λ/μ 2

73 ΔΙΚΤΥΟ ΔΥΟ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ ΕΝ ΣΕΙΡΑ (2/3) ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΡΥΘΜΩΝ ΜΕΤΑΒΑΣΕΩΝ

74 ΔΙΚΤΥΟ ΔΥΟ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ ΕΝ ΣΕΙΡΑ (3/3) ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΜΟΡΦΗΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ Μορφή γινομένου P(n) = P(n 1,n 2 )?= P(n 1 )P(n 2 )?= Κρ 1 n 1 ρ 2 n 2 Εξισώσεις ισορροπίας για εσωτερικές καταστάσεις n 1 > 0, n 2 > 0 π.χ. n 1 = n 2 = 2, P(2,2)?= Κ(λ/μ 1 ) 2 (λ/μ 2 ) 2 = Kλ 4 /(μ 1 μ 2 ) 2 (λ+μ 1 +μ 2 )P(2,2) = λp(1,2) + μ 1 P(3,1) + μ 2 P(2,3) ή Κ(λ+μ 1 +μ 2 ) λ 4 /(μ 12 μ 22 )?= Κλ(λ/μ 1 )(λ/μ 2 ) 2 + Κμ 1 (λ/μ 1 ) 3 (λ/μ 2 ) + Κμ 2 (λ/μ 1 ) 2 (λ/μ 2 ) 3 = Κλ 4 /(μ 1 μ 22 ) + Κλ 4 /(μ 12 μ 2 ) + Kλ 5 /(μ 12 μ 22 ) Εξισώσεις ισορροπίας για n 1 = 0, n 2 > 0, π.χ. n 1 = 0, n 2 = 2, P(0,2)?= Κ(λ/μ 2 ) 2 (λ+μ 2 )P(0,2) = μ 1 P(1,1) + μ 2 P(0,3) ή Κ(λ+μ 2 )λ 2 /μ 22?= Κμ 1 (λ/μ 1 )(λ/μ 2 ) + Κμ 2 (λ/μ 2 ) 3 = Κλ 2 /μ 2 + Κλ 3 /μ 2 2 Οι εξισώσεις επαληθεύονται, με Κ = (1-ρ 1 )(1-ρ 2 ) από την κανονικοποίηση, και επομένως αποτελούν τη μονοσήμαντη λύση Άρα οι δύο ουρές συμπεριφέρονται σαν δύο ανεξάρτητες ουρές Μ/Μ/1 με ρυθμούς εισόδου λ και ρυθμούς εξυπηρέτησης μ 1, μ 2 ή Ο ρυθμός εξόδου της εργοδικής ουράς Μ/Μ/1 Q1 (και εισόδου στην Q2) είναι Poisson με ρυθμό λ (Θεώρημα Burke)

75 ΔΙΚΤΥΑ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ: ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ ΓΙΑ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΔΙΚΤΟΥ ΧΩΡΙΣ ΜΝΗΜΗ (Markov) Έξοδος Ουράς Μ/Μ/1 Θεώρημα Burke Οι αναχωρήσεις πελατών από σύστημα Μ/Μ/1 αποτελούν διαδικασία Poisson Άθροιση Διάσπαση διαδικασιών Poisson Άθροιση (aggregation) ανεξαρτήτων ροών Poisson λ 1, λ 2 : Poisson με μέσο ρυθμό λ = λ 1 + λ 2 Τυχαία Διάσπαση (random split, routing) ροής Poisson μέσου ρυθμού λ με πιθανότητες p, q = 1- p : Παράγει διαδικασίες Poisson με ρυθμούς pλ, (1-p)λ

76 ΑΝΟΙΚΤΑ ΔΙΚΤΥΑ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ (1/2) ΘΕΩΡΗΜΑ JACKSON Παραδοχές Ανοικτό δίκτυο ουρών αναμονής Q i με εκθετικούς ρυθμούς εξυπηρέτησης μ i Εξωτερικές αφίξεις σε κόμβους i, ανεξάρτητες Poisson μέσου ρυθμό γ i Εσωτερική Δρομολόγηση (routing) με τυχαίο τρόπο και πιθανότητα δρομολόγησης πελάτη από τον κόμβο (ουρά) Q i στον κόμβο Q j : r ij Οι χρόνοι εξυπηρετήσεις πελατών όπως διαπερνούν το δίκτυο δεν διατηρούν την τιμή τους (έλλειψη μνήμης) αλλά αποκτούν χρόνο εξυπηρέτησης ανάλόγα με την κατανομή του κάθε εξυπηρετητή (Kleinrock s Independence Assumption, επαληθευμένη με προσομοιώσεις σε δίκτυα με όχι απλοϊκή τοπολογία)

77 ΑΝΟΙΚΤΑ ΔΙΚΤΥΑ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ (2/2) ΘΕΩΡΗΜΑ JACKSON Αποτέλεσμα Κατάσταση του δικτύου, διάνυσμα αριθμού πελατών στις ουρές Q i, n =(n 1, n 2, ) Εργοδική Πιθανότητα (αν υπάρχει): P(n) = P(n 1 ) P(n 2 ) μορφή γινομένου (product form) ανεξαρτήτων ουρών Μ/Μ/1 P(n i ) = (1 ρ i ) ρ I n I με ρ i = λ i /μ i όπου λ i ο συνολικός ρυθμός Poisson των πελατών που διαπερνούν την ουρά Q i με ρυθμό εκθετικής εξυπηρέτησης μ i Ουρά (γραμμή) συμφόρησης: Με το μέγιστο ρ i Μέσος αριθμός πελατών στο δίκτυο: E(n) = E(n 1 ) + E(n 2 ) + Μέση καθυστέρηση τυχαίου πακέτου από άκρο σε άκρο: Ε(Τ) = Ε(n)/γ όπου γ = γ 1 + γ ο συνολικός ρυθμός πελατών που εισέρχονται στο δίκτυο από έξω (network throughput).

78 ΕΦΑΡΜΟΓΗ: ΔΙΚΤΥΟ ΜΕΤΑΓΩΓΗΣ ΠΑΚΕΤΩΝ (Internet Intranet) Θεωρήστε ένα δίκτυο μεταγωγής πακέτων. Όλες οι γραμμές (FDX) θεωρούνται χωρητικότητας10 Gbits/sec. Το μέσο μήκος του πακέτου είναι 1000 bits (θεωρείστε εκθετική κατανομή). Μεταξύ κόμβων θεωρείστε προσφερόμενους ρυθμούς πακέτων Poisson, με ίσους ρυθμούς r packets/sec (από άκρο σε άκρο). Πακέτα από το Α στο C και αντίστροφα δρομολογούνται εξίσου στους δύο ισότιμους δρόμους: (A-B-C) και (A-D-C). Τα πακέτα μεταξύ κόμβων κατευθείαν συνδεδεμένων (A-B), (A-D), (B-D), (B-C), (D-C) δρομολογούνται κατευθείαν. Α B D C (Α) Βρείτε το ρυθμό r ώστε η γραμμή συμφόρησης (με τη μέγιστη χρησιμοποίηση) να είναι 50% (Β) Με το r του (Α) βρείτε τη μέση καθυστέρηση ενός τυχαίου πακέτου στο δίκτυο (από άκρο σε άκρο) Κόμβος Δικτύου Κορμού (Δρομολογητής Κορμού, Backbone Router, Packet Switch) Κόμβος Εισόδου (H/Y, Access Node, Customer Network - LAN)

79 9 ο Μάθημα Ανοικτά Δίκτυα Ουρών Markov: Παραδείγματα Εφαρμογής

80 ΔΙΚΤΥΑ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ: Επανάληψη: ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ ΓΙΑ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΔΙΚΤΟΥ ΧΩΡΙΣ ΜΝΗΜΗ (Markov) Έξοδος Ουράς Μ/Μ/1 Θεώρημα Burke Οι αναχωρήσεις πελατών από σύστημα Μ/Μ/1 αποτελούν διαδικασία Poisson Άθροιση Διάσπαση διαδικασιών Poisson Άθροιση (aggregation) ανεξαρτήτων ροών Poisson λ 1, λ 2 : Poisson με μέσο ρυθμό λ = λ 1 + λ 2 Τυχαία Διάσπαση (random split, routing) ροής Poisson μέσου ρυθμού λ με πιθανότητες p, q = 1- p : Παράγει διαδικασίες Poisson με ρυθμούς pλ, (1-p)λ

81 ΑΝΟΙΚΤΑ ΔΙΚΤΥΑ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ (1/2) Επανάληψη: ΘΕΩΡΗΜΑ JACKSON Παραδοχές Ανοικτό δίκτυο ουρών αναμονής Q i με ανεξάρτητες εκθετικές εξυπηρετήσεις με μέσο ρυθμό μ i πελάτες/sec Ανεξάρτητες εξωτερικές αφίξεις Poisson από κόμβο S (Source) προς κόμβο D (Destination) μέσου ρυθμό r S,D πελάτες/sec Συνολική διαδικασία εξωτερικών αφίξεων από κόμβο S: Poisson με ρυθμό γ S = D r S,D πελάτες/sec Εσωτερική Δρομολόγηση (routing) με τυχαίο τρόπο και πιθανότητα δρομολόγησης πελάτη από τον κόμβο (ουρά) Q i στον κόμβο Q j : p i,j Οι χρόνοι εξυπηρετήσεις πελατών όπως διαπερνούν το δίκτυο δεν διατηρούν την τιμή τους (έλλειψη μνήμης) αλλά αποκτούν χρόνο εξυπηρέτησης ανάλογα με την κατανομή του κάθε εξυπηρετητή (Kleinrock s Independence Assumption, επαληθευμένη με προσομοιώσεις σε δίκτυα με όχι απλοϊκή τοπολογία)

82 ΑΝΟΙΚΤΑ ΔΙΚΤΥΑ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ (2/2) Επανάληψη: ΘΕΩΡΗΜΑ JACKSON Αποτέλεσμα Κατάσταση του δικτύου, διάνυσμα αριθμού πελατών στις ουρές Q i, n =(n 1, n 2, ) Εργοδική Πιθανότητα (αν υπάρχει): P(n) = P(n 1 ) P(n 2 ) σε μορφή γινομένου (product form) ανεξαρτήτων ουρών Μ/Μ/1 P(n i ) = (1 ρ i ) ρ I n I με ρ i = λ i /μ i <1 (Erlangs) όπου λ i ο συνολικός ρυθμός Poisson των πελατών που διαπερνούν την ουρά Q i με ρυθμό εκθετικής εξυπηρέτησης μ i Ουρά (γραμμή) συμφόρησης: Με το μέγιστο ρ i Μέσος αριθμός πελατών στο δίκτυο: E(n) = E(n 1 ) + E(n 2 ) + Μέση καθυστέρηση τυχαίου πακέτου από άκρο σε άκρο: Ε(Τ) = Ε(n)/γ όπου γ = γ 1 + γ ο συνολικός ρυθμός πελατών που εισέρχονται στο δίκτυο από έξω (network throughput).

83 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1: ΔΙΚΤΥΟ ΜΕΤΑΓΩΓΗΣ ΠΑΚΕΤΩΝ (Internet Intranet) Θεωρήστε ένα δίκτυο μεταγωγής πακέτων. Όλες οι γραμμές του δικτύου κορμού θεωρούνται αμφίδρομες (FDX) χωρητικότητας 10 Gbits/sec. Το μέσο μήκος του πακέτου είναι 1000 bits (θεωρείστε εκθετική κατανομή). Μεταξύ κόμβων κορμού θεωρείστε προσφερόμενους ρυθμούς πακέτων Poisson, με ίσους ρυθμούς r packets/sec (από άκρο σε άκρο). Πακέτα από το Α στο C και αντίστροφα δρομολογούνται στους δύο δρόμους: (A-B-C) και (A-D-C) με πιθανότητα p και (1-p) αντίστοιχα. Τα πακέτα μεταξύ κόμβων κατευθείαν συνδεδεμένων (A-B), (A-D), (B-D), (B-C), (D-C) δρομολογούνται κατευθείαν. Α B D C (Α) Για p=0.5, βρείτε το ρυθμό r ώστε η γραμμή συμφόρησης (με τη μέγιστη χρησιμοποίηση) να είναι 50% (Β) Με τα p και r του (Α) βρείτε τη μέση καθυστέρηση ενός τυχαίου πακέτου στο δίκτυο (από άκρο σε άκρο) και την μέση καθυστέρηση τυχαίου πακέτου από το A στο C Κόμβος Δικτύου Κορμού (Δρομολογητής Κορμού, Backbone Router, Packet Switch) Κόμβος Εισόδου (H/Y, Access Node, Customer Network - LAN)

84 ΛΥΣΗ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΔΙΚΤΥΟΥ ΜΕΤΑΓΩΓΗΣ ΠΑΚΕΤΩΝ (1/3)

85 ΛΥΣΗ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΔΙΚΤΥΟΥ ΜΕΤΑΓΩΓΗΣ ΠΑΚΕΤΩΝ (2/3) Με πιθανότητα διαχωρισμού p=0.5, oι ρυθμοί λ i (packets/sec) στις 10 ανεξάρτητες (Μ/Μ/1) ουρές Q 1,,Q 10 του δικτύου είναι: λ 1 =r A,B +pr A,C =1.5r, λ 2 =r B,A +pr C,A =1.5r, λ 3 =r B,C +pr A,C =1.5r, λ 4 =r C,B +pr C,A =1.5r, λ 5 =r C,D +(1-p)r C,A =1.5r, λ 6 =r D,C +(1-p)r A,C =1.5r, λ 7 =r D,A +(1-p)r C,A =1.5r, λ 8 =r A,D +(1-p)r A,C =1.5r, λ 9 =r D,B =r, λ 10 =r B,D =r Οι ρυθμοί εξυπηρέτησης μ i (packets/sec) και οι εντάσεις φορτίου ρ i (Erlangs) είναι: μ 1 =μ 2 = =μ 10 =C/E(L)=(10x10 9 )/10 3 =10 7 ρ i =λ i /μ i, ρ 1 = =ρ 8 =1.5r x10-7, ρ 9 =ρ 10 =r x10-7 Erlangs Οι γραμμές συμφόρησης είναι οι αμφίδρομες γραμμές διασύνδεσης μεταξύ των κόμβων A-B, B-C, C-D, D-A με ρ i =1.5r x10-7 Erlangs Άρα για να έχουν ένταση φορτίου 0.5 Erlangs οι γραμμές συμφόρησης πρέπει: 1.5r x10-7 =0.5 ή r =10 7 /3, οπότε ρ 1 = =ρ 8 =1/2 Erlangs, ρ 9 =ρ 10 =1/3 Erlangs

86 ΛΥΣΗ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΔΙΚΤΥΟΥ ΜΕΤΑΓΩΓΗΣ ΠΑΚΕΤΩΝ (3/3) Το συνολικό προσφερόμενο φορτίο από άκρο σε άκρο γ είναι: γ =r A,B +r A,C +r A,D +r B,A +r B,C +r B,D +r C,A +r C,B +r C,D +r D,A +r D,B +r D,C =12r = 4x10 7 packets/sec Ο μέσος αριθμός πακέτων στα συστήματα Q 1,,Q 10 δίνονται από: E(n i )=ρ i /(1-ρ i ), E(n 1 )= =E(n 8 )=1, E(n 9 )=E(n 10 )= j=1 E(n)= E(n j ) =8x1+2x0.5=9 packets Η μέση καθυστέρηση τυχαίου πακέτου από άκρο σε άκρο είναι: E(T)=E(n)/γ = 9/(4x10 7 ) sec Η μέση καθυστέρηση τυχαίου πακέτου από το κόμβο Α στο κόμβο C δίνεται από: E(T A,C )= p[e(t A,B )+E(T B,C )]+(1-p)[E(T A,D )+E(T D,C )] = p[1/(μ 1 -λ 1 )+1/(μ 3 -λ 3 )]+(1-p)[1/(μ 8 -λ 8 )+1/(μ 6 -λ 6 )] = 4/10 7 sec

87 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2: ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ (1/3) Θεωρείστε υπολογιστικό σύστημα που εξυπηρετεί κατά μέσο όρο γ εντολές/sec που υποβάλλονται σαν διαδικασία Poisson. Το σύστημα αποτελείται από μια CPU που εξυπηρετεί την εντολή επιμερισμένη σε τμήματα (quanta ή time-slices) και υποσύστημα I/O (δύο δίσκοι) που εξυπηρετεί επαναλαμβανόμενες ενδιάμεσες κλήσεις σχετικές με την εντολή (π.χ. για ανταλλαγή δεδομένων και αναζήτηση υποπρογραμμάτων), ενώ μεσολαβεί για την τελική έξοδο - απάντηση

88 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2: ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ (2/3) Κάθε εντολή εξυπηρετείται από την CPU του συστήματος, επιμερισμένη σε N CPU τμήματα (quanta ή time-slices) την εξυπηρέτηση των οποίων ακολουθεί κλήση I/O (ενδιάμεση ή τελική). Το υποσύστημα εξυπηρέτησης CPU αναπαρίσταται σαν ουρά αναμονής Q 1 με εκθετική εξυπηρέτηση ρυθμού μ 1 quanta/sec Η τυχαία μεταβλητή N CPU έχει μέσο όρο E(N CPU ) quanta και αναπαρίσταται σαν ανάδραση στο υποσύστημα CPU με τυχαία πιθανότητα p 1,1 E(N CPU ) = (1-p 1,1 ) + 2p 1,1 (1-p 1,1 ) + 3(p 1,1 ) 2 (1-p 1,1 ) + 4(p 1,1 ) 3 (1-p 1,1 ) + = 1/(1-p 1,1 ) ή p 1,1 = E(N CPU) 1 E(N CPU ) Την επεξεργασία των τμημάτων N CPU μιας εντολής ακολουθεί κλήση I/O. Το υποσύστημα I/O αποτελείται από δύο συστήματα εξυπηρέτησης τα οποία αναπαρίστανται σαν ουρές αναμονής Q 2 και Q 3 με εκθετική εξυπηρέτηση ρυθμών μ 2 και μ 2 κλήσεις/sec. Η επιλογή Q 2 ή Q 3 γίνεται τυχαία με πιθανότητες p 1,2 και p 1,3 αντίστοιχα, p 1,1 + p 1,2 + p 1,3 = 1 Θεωρούμε πως κάθε εντολή παράγει κατά μέσο όρο E(N Ι/Ο ) κλήσεις οι οποίες είτε επανέρχονται στο υποσύστημα CPU με πιθανότητες p 2,1 = p 3,1 ή η εντολή ολοκληρώνεται με πιθανότητα 1-p 2,1 = 1-p 3,1 p 2,1 = p 3,1 = E(N Ι/Ο) 1 E(N Ι/Ο ) Με E(N CPU ) = 5 quanta, μ 1 = 10 quanta/sec, E(N Ι/Ο ) = 3 κλήσεις, μ 2 = 5 κλήσεις/sec, μ 3 = 2 κλήσεις/sec και αριθμό κλήσεων προς το Q 2 διπλάσιων κατά μέσο όρο από το Q 3, ζητείται ο μέγιστος ρυθμός γ max εντολών/sec που οδηγεί το σύστημα σε κορεσμό. Για γ = γ max /2 υπολογίστε τον μέσο χρόνο εξυπηρέτησης μιας τυχαίας εντολής

89 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2: ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ (3/3) Με τις παραδοχές του Θεωρήματος Jackson έχω τις ανεξάρτητες (Μ/Μ/1) ουρές Q 1,Q 2,Q 3 συστήματος με μέσους ρυθμούς εισόδου: λ 1 = γ + p 1,1 λ 1 + p 2,1 (λ 2 +λ 3 ), λ 2 = p 1,2 λ 1, λ 3 = p 1,3 λ 1 Για τα p 1,1 και p 2,1 ισχύει p 1,1 = E(N CPU) 1 και p E(N CPU ) 2,1 = p 3,1 = E(N Ι/Ο) 1 άρα E(N Ι/Ο ) p 1,1 = 4/5, p 2,1 = p 3,1 = 2/3, επίσης p 1,1 + p 1,2 + p 1,3 = 1 και p 1,2 = 2p 1,3 άρα 3p 1,3 =1/5 p 1,3 =1/15, p 1,2 =2/15 λ 2 =2λ 1 /15, λ 3 =λ 1 /15, λ 1 =γ + 4λ 1 /5 + 2(λ 1 /5)/3=γ + (14/15)λ 1 άρα λ 1 =15γ, λ 2 =2γ, λ 3 =γ Για ρυθμούς εξυπηρέτησης μ i (packets/sec) η χρησιμοποίηση ρ i =λ i /μ i < 1 Erlang είναι: ρ 1 =(15/10)γ =1.5γ, ρ 2 =(2/5)γ =0.4γ, ρ 3 =0.5γ Το στοιχείο συμφόρησης που οδηγεί το σύστημα σε κορεσμό είναι το Q 1, άρα για ρ 1 =1.5γ max =1 και γ max =2/3 εντολές/sec Για γ = γ max /2 =1/3 εντολές/sec έχουμε: ρ 1 =1/2 Erlang, ρ 2 =4/30 Erlang, ρ 3 =5/30 Erlang E(n i )=ρ i /(1-ρ i ), E(n 1 )=1, E(n 2 )=4/26, E(n 3 )=5/25 και E(n)= E(n 1 )+E(n 2 )+E(n 3 )=1.35 εντολές Από τον τύπο του Little: E(T) = E(n)/γ = 4,05 sec

90 10 ο Μάθημα Κλειστά Δίκτυα Ουρών Markov Θεώρημα Gordon Newell Αλγόριθμος Buzen

91 ΑΝΟΙΚΤΑ ΔΙΚΤΥΑ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ (1/2) Επανάληψη: ΘΕΩΡΗΜΑ JACKSON Παραδοχές Ανοικτό δίκτυο ουρών αναμονής Q i με ανεξάρτητες εκθετικές εξυπηρετήσεις με μέσο ρυθμό μ i πελάτες/sec Ανεξάρτητες εξωτερικές αφίξεις Poisson από κόμβο S (Source) προς κόμβο D (Destination) μέσου ρυθμό r S,D πελάτες/sec Συνολική διαδικασία εξωτερικών αφίξεων από κόμβο S: Poisson με ρυθμό γ S = D r S,D πελάτες/sec Εσωτερική Δρομολόγηση (routing) με τυχαίο τρόπο και πιθανότητα δρομολόγησης πελάτη από τον κόμβο (ουρά) Q i στον κόμβο Q j : p i,j Οι χρόνοι εξυπηρετήσεις πελατών όπως διαπερνούν το δίκτυο δεν διατηρούν την τιμή τους (έλλειψη μνήμης) αλλά αποκτούν χρόνο εξυπηρέτησης ανάλογα με την κατανομή του κάθε εξυπηρετητή (Kleinrock s Independence Assumption, επαληθευμένη με προσομοιώσεις σε δίκτυα με όχι απλοϊκή τοπολογία)

92 ΑΝΟΙΚΤΑ ΔΙΚΤΥΑ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ (2/2) Επανάληψη: ΘΕΩΡΗΜΑ JACKSON Αποτέλεσμα Κατάσταση του δικτύου, διάνυσμα αριθμού πελατών στις ουρές Q i, n =(n 1, n 2, ) Εργοδική Πιθανότητα (αν υπάρχει): P(n) = P(n 1 ) P(n 2 ) σε μορφή γινομένου (product form) ανεξαρτήτων ουρών Μ/Μ/1 P(n i ) = (1 ρ i ) ρ I n I με ρ i = λ i /μ i <1 (Erlangs) όπου λ i ο συνολικός ρυθμός Poisson των πελατών που διαπερνούν την ουρά Q i με ρυθμό εκθετικής εξυπηρέτησης μ i Ουρά (γραμμή) συμφόρησης: Με το μέγιστο ρ i Μέσος αριθμός πελατών στο δίκτυο: E(n) = E(n 1 ) + E(n 2 ) + Μέση καθυστέρηση τυχαίου πακέτου από άκρο σε άκρο: Ε(Τ) = Ε(n)/γ όπου γ = γ 1 + γ ο συνολικός ρυθμός πελατών που εισέρχονται στο δίκτυο από έξω (network throughput).

93 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1: ΔΙΚΤΥΟ ΜΕΤΑΓΩΓΗΣ ΠΑΚΕΤΩΝ (Internet Intranet) Επανάληψη Θεωρήστε ένα δίκτυο μεταγωγής πακέτων. Όλες οι γραμμές του δικτύου κορμού θεωρούνται αμφίδρομες (FDX) χωρητικότητας 10 Gbits/sec. Το μέσο μήκος του πακέτου είναι 1000 bits (θεωρείστε εκθετική κατανομή). Μεταξύ κόμβων κορμού θεωρείστε προσφερόμενους ρυθμούς πακέτων Poisson, με ίσους ρυθμούς r packets/sec (από άκρο σε άκρο). Πακέτα από το Α στο C και αντίστροφα δρομολογούνται στους δύο δρόμους: (A-B-C) και (A-D-C) με πιθανότητα p και (1-p) αντίστοιχα. Τα πακέτα μεταξύ κόμβων κατευθείαν συνδεδεμένων (A-B), (A-D), (B-D), (B-C), (D-C) δρομολογούνται κατευθείαν. (Α) Για p=0.5, βρείτε το ρυθμό r ώστε η γραμμή συμφόρησης (με τη μέγιστη χρησιμοποίηση) να είναι 50% (Β) Με τα p και r του (Α) βρείτε τη μέση καθυστέρηση ενός τυχαίου πακέτου στο δίκτυο (από άκρο σε άκρο) και την μέση καθυστέρηση τυχαίου πακέτου από το A στο C Α B D C Κόμβος Δικτύου Κορμού (Δρομολογητής Κορμού, Backbone Router, Packet Switch) Κόμβος Εισόδου (H/Y, Access Node, Customer Network - LAN)

94 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2: ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ (1/3) Επανάληψη Θεωρείστε υπολογιστικό σύστημα που εξυπηρετεί κατά μέσο όρο γ εντολές/sec που υποβάλλονται σαν διαδικασία Poisson. Το σύστημα αποτελείται από μια CPU που εξυπηρετεί την εντολή επιμερισμένη σε τμήματα (quanta ή time-slices) και υποσύστημα I/O (δύο δίσκοι) που εξυπηρετεί επαναλαμβανόμενες ενδιάμεσες κλήσεις σχετικές με την εντολή (π.χ. για ανταλλαγή δεδομένων και αναζήτηση υποπρογραμμάτων), ενώ μεσολαβεί για την τελική έξοδο - απάντηση

95 ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΚΤΥΟ ΔΥΟ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ Μ = 2, Ν = 3 n 1 + n 2 = N = 3, μ 1 /μ 2 = α μ 1 P(1,2) = μ 2 P(0,3) μ 1 P(2,1) = μ 2 P(1,2) μ 1 P(3,0) = μ 2 P(2,1) P(0,3) + P(1,2) + P(2,1) + P(3,0) = 1 P(0,3)[1+α+α 2 +α 3 ]/α 3 =1 P(0,3)=α 3 /[1+α+α 2 +α 3 ] P(1,2)=α 2 /[1+α+α 2 +α 3 ] P(2,1)=α/[1+α+α 2 +α 3 ] P(3,0)=1/[1+α+α 2 +α 3 ] γ = μ 2 [1- P(3,0)] = μ 1 [1- P(0,3)] = = μ 2 [α+α 2 +α 3 ]/[1+α+α 2 +α 3 ] = = μ 1 [1+α+α 2 ]/[1+α+α 2 +α 3 ] E(n 1 )= P(1,2)+2P(2,1)+3P(3,0)= = [α 2 +2α+3]/[1+α+α 2 +α 3 ] E(n 2 )= P(2,1)+2P(1,2)+3P(0,3)= = [α+2α 2 +3α 3 ]/[1+α+α 2 +α 3 ] E(n 1 )+E(n 2 ) = Ν = 3 πελάτες

96 ΚΛΕΙΣΤΑ ΔΙΚΤΥΑ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑ GORDON-NEWELL Θεωρούμε κλειστό δίκτυο με N πελάτες και M υποσυστήματα εκθετικής εξυπηρέτησης (ουρές) M n i = N i=1 Ανεξάρτητοι εκθετικοί εξυπηρετητές i = 1, 2,, M με ρυθμό μ i, παραδοχή ανεξαρτησίας Kleinrock Τυχαία Δρομολόγηση p ij = Probability (i j) Θεώρημα Gordon-Newell: Οι εργοδικές πιθανότητες της κατάστασης n = n 1, n 2,, n M δίνονται σε μορφή γινομένου: M P n 1, n 2,, n M = 1 n X i G N i i=1 Οι παράμετροι X i είναι ανάλογες των βαθμών χρησιμοποίησης των ουρών i, κατ αναλογία με τα ρ i = λ i /μ i στα ανοικτά δίκτυα Jackson: μ j X j = M i=1 μ i X i p ij, j = 1,, M Συνήθως ορίζουμε την τιμή της X 1 = 1 ώστε το ανωτέρω γραμμικώς εξαρτημένο σύστημα εξισώσεων να έχει μονοσήμαντη λύση Η σταθερά G(N), προκύπτει από την εξίσωση κανονικοποίησης (άθροισμα εργοδικών πιθανοτήτων για όλες τις πιθανές - απείρως επισκέψιμες καταστάσεις - positive recurrent states ίσο με μονάδα) Η G(N) αντιστοιχεί στη Συνάρτηση Κερματισμού Partition Function της Στατιστικής Μηχανικής. Ο υπολογισμός της απαιτεί την καταγραφή όλων των πιθανών καταστάσεων (στην γενικότητα του «δύσκολο» πρόβλημα) στην περίπτωση μας λύνεται με τον αναδρομικό αλγόριθμο του Buzen (επόμενη διαφάνεια) Οι οριακές πιθανότητες (Marginal Probabilities) για το υποσύστημα (ουρά) i δίνονται από: P n i = k = X i k G N G N k X ig N k 1 Ο βαθμός χρησιμοποίησης της ουράς i δίνεται από P n i 1 = X i G(N 1)/G(N) Ο μέσος αριθμός πελατών στην ουρά i (μαζί με τον εξυπηρετούμενο) δίνεται από: N E n i = X i k k=1 G N k G N

97 ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ BUZEN Πολυπλοκότητα O(NxM) Αναδρομικός Υπολογισμός μέσω δισδιάστατου πίνακα g n, m, n =0, 1,,N και m = 1,.., M m g(n, m) = X i n i n 1 + +n m i=1 n m n = X i n i + X i i (n 1 + +n m =n) ^ (n m =0) i=1 = g n, m 1 + X m g(n 1, m) n m (n 1 + +n m =n) ^ (n m >0) i=1 Αρχικές συνθήκες αναδρομικού αλγορίθμου: g 0, m = 1, m = 1,, M g n, 1 = X n 1, n = 0,, N (αν ορίσουμε X 1 = 1 τότε g n, 1 = 1) Η συνάρτηση κερματισμού Partition Function για κλειστό δίκτυο με M ουρές και n πελάτες (n = 0,, N) δίνεται από την τελευταία στήλη του πίνακα g(n, m) : G(n) = g(n,m), n = 0, 1,,N και G N = g(n, M) Για τον υπολογισμό των Ν στοιχείων της στήλης Μ του πίνακα g(n, m) απαιτούνται NxM προσθέσεις και NxM πολλαπλασιασμοί

98 ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΚΤΥΟ ΔΥΟ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ (Μ = 2, Ν = 3 ) Θεώρημα Gordon-Newell Χ 1 μ 1 = Χ 2 μ 2 Χ 1 = 1, Χ 2 = μ 1 /μ 2 = α P(0,3) = X 23 /G(3)=α 3 /G(3) P(1,2) = X 22 /G(3)=α 2 /G(3) P(2,1) = X 2 /G(3)=α/G(3) P(3,0) = 1/G(3) 1/G(3) + α/g(3) + α 2 /G(3) + α 3 /G(3) = 1 Άρα: G(3)=1/(1+α+α 2 +α 3 ) γ = μ 2 [1- P(3,0)] = μ 2 [1-1/G(3)] E(T 1 ) = E(n 1 )/γ E n 1 = P 1,2 + 2P 2,1 + 3P 3,0 = a2 + 2a + 3 G 3 E n 2 = P 2,1 + 2P 1,2 + 3P 0,3 = a + 2a2 + 3a 3 G 3

99 ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΚΤΥΟ ΔΥΟ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ (Μ = 2, Ν 3 ) Αλγόριθμος Buzen Με βάση τον αναδρομικό αλγόριθμο του Buzen και Χ 1 = 1, Χ 2 = μ 1 /μ 2 = α ισχύει ότι: g(n, m) = g n, m 1 + X m g(n 1, m) G N = g(n, M) Προκύπτει : G 1 = 1 + a G 2 = 1 + a + a 2 G 3 = 1 + a + a 2 + a 3 Η χρησιμοποίηση της ουράς Q 1 είναι P n i 1 = P 1,2 + P 2,1 + P 3,0 = 1 P(0,3) = X i G(N 1)/G(N) = X 1 G(2)/G(3)= = 1+a+a2 Επίσης: P 0,3 = a 3 /G 3 P 1,2 = a 2 /G 3 P 2,1 = a/g 3 P 3,0 = 1/G 3 1+a+a 2 +a 3 (όπως και στη 2η διαφάνεια) E n i = X i k E n 1 = N k=1 3 k=1 3 E n 2 = X 2 k k=1 G N k G N G 3 k G 3 G N k G N n X 1 X a a + a a + a 2 + a 3 = a2 + 2a a + a 2 + a 3 = 3 E n 1 = a + 2a2 + 3a a + a 2 + a 3

100 ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΚΤΥΟ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ (1/2) Βασισμένο στο Παράδειγμα του Jeffrey Buzen, "Computational algorithms for closed queuing networks with exponential servers," Communications of the ACM 16 (9), Sept Κλειστό δίκτυο Μ εκθετικών ουρών Q 1 (CPU), Q 2 Q M (I/O) Επεξεργασία Ν προγραμμάτων (εντολών) με ανακύκλωση στη CPU (πιθανότητα p 1 ), επιλογή Υποσυστήματος I/O (πιθανότητα p 2 p M ) και απάντηση δημιουργία νέας εντολής (εξωτερική ανάδραση). Εφαρμογή Αλγορίθμου Buzen για Ν = 1,2,3,4 πελάτες (προγράμματα) και Μ = 3 ουρές μ 1 Χ 1 = p 1 μ 1 Χ 1 + μ 2 Χ 2 + μ 3 Χ 3 μ 2 Χ 2 = p 2 μ 1 Χ 1 μ 3 Χ 3 = p 3 μ 1 Χ 1 Με μ 1 = 1 28 msec 1, μ 2 = 1 40 msec 1, μ 3 = msec 1 και Χ 1 = 1 προκύπτει πως Χ 2 = 1, Χ 3 = 2 Ο αναδρομικός τύπος g(n, m) = g n, m 1 + X m g(n 1, m) δίνει τον πίνακα δεξιά. Οι σταθερές G N = g(n, 3) αντιστοιχούν σε Ν = 1,2,3,4 G 1 = 4, G 2 = 11, G 3 = 26, G 4 = 57 n X 1 X 2 X

101 ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΚΤΥΟ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ (2/2) Βασισμένο στο Παράδειγμα του Jeffrey Buzen, "Computational algorithms for closed queuing networks with exponential servers," Communications of the ACM 16 (9), Sept Οι αντίστοιχοι βαθμοί χρησιμοποίησης U 1 της CPU (Q 1 ) G(N)/G N 1 είναι: Ν U 1 1/4 4/11 11/26 26/57 n X 1 X 2 X Η ρυθμαπόδοση του συστήματος γ γ = μ 2 p n μ 3 p n 3 1 = μ 2 Χ 2 G(N 1)/G N +μ 3 Χ 3 G(N 1)/G(N) = (μ 2 Χ 2 + μ 3 Χ 3 )G(N 1)/G(N) Οι αντίστοιχες τιμές σε προγράμματα/sec είναι: Ν γ Ο μέσος χρόνος απόκρισης είναι E(T AB ) = N/γ Οι αντίστοιχες τιμές σε sec είναι: 0.124, 0.171, 0.221, sec Ν E(T AB ) γ Ρυθμαπόδοση γ ως προς Αριθμό Προγραμμάτων Ν E(T AB ) Μέσος Χρόνος Απόκρισης ως προς Αριθμό Προγραμμάτων Ν Ν Ν

102 ΕΛΕΓΧΟΣ ΡΟΗΣ ΠΑΡΑΘΥΡΟΥ ΑΠΟ ΑΚΡΟ ΣΕ ΑΚΡΟ ΣΤΟ INTERNET (1/9) (Window Flow Control TCP Session) Αναπάρασταση Μηχανισμού Ελέγχου Ροής Παραθύρου (Window Flow Control) μέσω Κλειστού Δικτύου Μ ανεξαρτήτων εκθετικών ουρών και W πελατών. Η μορφή των πελατών εναλλάσσεται ανάμεσα σε πακέτα δεδομένων, μηνύματα επιβεβαίωσης acknowledgments και άδειες εκπομπής tokens Το κλειστό δίκτυο του παραδείγματος αποτελείται από Μ=5 υποσυστήματα: Q 0 : Αποθηκεύει τα Tokens στην πηγή S (Source) με τον μηχανισμό Window Flow Control και αποστέλλει στον προορισμό (Destination) νέα πακέτα ανά χρονικά διαστήματα μέσης τιμής 1/λ sec (μοντέλο δημιουργίας κίνησης λ πακέτα/sec) Q 1, Q 2, Q 3 : Ενδιάμεσοι δικτυακοί κόμβοι μεταγωγής πακέτου με μέσους εκθετικούς ρυθμούς μ 1, μ 2, μ 3 πακέτα/sec Q r : Ισοδύναμο μοντέλο καθυστέρησης για την δημιουργία και μεταβίβαση μηνυμάτων επιβεβαίωσης ACK σαν ανεξάρτητη ουρά με μέσο εκθετικό ρυθμό μ r πακέτα/sec (θεωρούμε κατά προσέγγιση 1/μ r = 1/μ 1 +1/μ 2 +1/μ 3 sec) Στο κλειστό δίκτυο υπάρχουν ανά πάσα στιγμή W 8 πελάτες που αντιστοιχούν στο μέγεθος παραθύρου Window Size. W = n 0 + n 1 + n 2 + n 3 + n r Θεωρούμε πως ισχύουν οι παραδοχές για μορφή γινομένου του θεωρήματος Gordon Newell και εφαρμόζουμε τον Αλγόριθμο του Buzen για W = 1,,8 και Μ = 5, ως προς την ρυθμαπόδοση γ και την μέση καθυστέρηση πακέτου στο δίκτυο [Ε(n 1 )+Ε(n 2 )+Ε(n 3 )]/γ. D

103 ΕΛΕΓΧΟΣ ΡΟΗΣ ΠΑΡΑΘΥΡΟΥ ΑΠΟ ΑΚΡΟ ΣΕ ΑΚΡΟ ΣΤΟ INTERNET (2/9) (Window Flow Control TCP Session) Παράθυρο W = 4

104 ΕΛΕΓΧΟΣ ΡΟΗΣ ΠΑΡΑΘΥΡΟΥ ΑΠΟ ΑΚΡΟ ΣΕ ΑΚΡΟ ΣΤΟ INTERNET (3/9) (Window Flow Control TCP Session) Παράθυρο W = 4

105 ΕΛΕΓΧΟΣ ΡΟΗΣ ΠΑΡΑΘΥΡΟΥ ΑΠΟ ΑΚΡΟ ΣΕ ΑΚΡΟ ΣΤΟ INTERNET (4/9) (Window Flow Control TCP Session) Παράθυρο W = 4

106 ΕΛΕΓΧΟΣ ΡΟΗΣ ΠΑΡΑΘΥΡΟΥ ΑΠΟ ΑΚΡΟ ΣΕ ΑΚΡΟ ΣΤΟ INTERNET (5/9) (Window Flow Control TCP Session) Παράθυρο W = 4

107 ΕΛΕΓΧΟΣ ΡΟΗΣ ΠΑΡΑΘΥΡΟΥ ΑΠΟ ΑΚΡΟ ΣΕ ΑΚΡΟ ΣΤΟ INTERNET (6/9) (Window Flow Control TCP Session) Παράθυρο W = 4

108 ΕΛΕΓΧΟΣ ΡΟΗΣ ΠΑΡΑΘΥΡΟΥ ΑΠΟ ΑΚΡΟ ΣΕ ΑΚΡΟ ΣΤΟ INTERNET (7/9) (Window Flow Control TCP Session) Υποθέτουμε πως λ = 1, μ 1 = μ 2 = μ 3 = 2 πελάτες/sec 1 μ r = 1 μ μ μ 3 = 3 2 sec ή μ r = 2/3 πελάτες/sec γ Με Χ 0 = 1 έχουμε: λχ 0 = μ 1 Χ 1 = μ 2 Χ 2 = μ 3 Χ 3 = μ 4 Χ 4 = μ r Χ 5 Άρα: X 1 = X 2 = X 3 = 0.5, X r = 2 3 S D Ο αναδρομικός τύπος g(n, m) = g n, m 1 + X m g(n 1, m) δίνει τον πίνακα δεξιά. Οι σταθερές G W = g(w, 5) αντιστοιχούν σε W = 1,,8 Η ρυθμαπόδοση του συστήματος γ σε πακέτα/sec είναι: γ = μ 1 p n 1 1 = μ 1 Χ 1 G(W 1)/G W W γ Η μέση καθυστέρηση πακέτων σε sec από το S στο D είναι N k G N k E T SD = E n 1 + E n 2 + E(n 3 ) /γ, όπου E n i = X i W k=1 Ε Τ SD G N W X 0 X 1 X 2 X 3 X r

109 ΕΛΕΓΧΟΣ ΡΟΗΣ ΠΑΡΑΘΥΡΟΥ ΑΠΟ ΑΚΡΟ ΣΕ ΑΚΡΟ ΣΤΟ INTERNET (8/9) Η ρυθμαπόδοση του συστήματος γ W γ γ 0.8 Ρυθμαπόδοση γ ως προς το Παράθυρο W (Window Flow Control TCP Session) S γ D E(T SD ) Μέση Καθυστέρηση Πακέτων από S σε D ως προς το Παράθυρο W W Ν Η μέση καθυστέρηση από το S στο D είναι E T SD = E n 1 + E n 2 + E(n 3 ) /γ W Ε Τ SD E(T SD ) Καθυστέρηση E(T SD ) ως προς Ρυθμαπόδοση γ γ

110 ΕΛΕΓΧΟΣ ΡΟΗΣ ΠΑΡΑΘΥΡΟΥ ΑΠΟ ΑΚΡΟ ΣΕ ΑΚΡΟ ΣΤΟ INTERNET (9/9) Υποθέτουμε πως λ = 1, μ 1 = μ 2 = μ 3 = 1 2 πελάτες/sec 1 μ r = 1 μ μ μ 3 = 6 sec ή μ r = 1/6 πελάτες/sec Έχουμε Χ 0 = 1, X 1 = X 2 = X 3 = 2, X r = 6 Η ρυθμαπόδοση του συστήματος γ σε πακέτα/sec είναι: W (Window Flow Control TCP Session) γ Η μέση καθυστέρηση πακέτων σε sec από το S στο D είναι W Ε Τ SD Σύγκριση αποτελεσμάτων Καθυστέρηση E(T SD ) ως προς Ρυθμαπόδοση γ Τα σημεία αντιστοιχούν σε διαφορετικές τιμές Παραθύρου W (1,,8) S W X 0 X 1 X 2 X 3 X r Συμφόρηση στο Δίκτυο (μ 1 = μ 2 = μ 3 = 0.5, λ = 1) Δίκτυο με καλή επίδοση (μ 1 = μ 2 = μ 3 = 2, λ = 1) Στην περίπτωση συμφόρησης, η επίδοση του δικτύου διευκολύνεται με μικρές τιμές του W γ γ D

111 ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΓΙΑ ΔΙΚΤΥΑ ΟΥΡΩΝ ΜΕ ΕΡΓΟΔΙΚΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΜΟΡΦΗΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ BCMP Networks: F. Basket, K.M. Chandi, R.H. Muntz, F.C. Palacios: Open, Closed, and Mixed Networks of Queues with Different Classes of Customers, Journal of the ACM, 22 (2), April 1975 Παραδοχές: Δίκτυο m συστημάτων εξυπηρέτησης (ουρών) των εξής τύπων: 1. Εξυπηρέτησης FCFS (FIFO) M/M/1 με εκθετικό εξυπηρετητή 1/μ ι και ενιαίο τύπο πελατών 2. Εξυπηρέτησης Processor Sharing M/G/1 με πολλαπλές κλάσεις (τύπους, chains) πελατών 3. Ουρές με άπειρους εξυπηρετητές (Μ/G/ ) με πολλαπλές κλάσεις (τύπους, chains) πελατών 4. Εξυπηρέτησης LCFS (with pre-preemptive resume) M/G/1 με πολλαπλές κλάσεις (τύπους, chains) πελατών Για τις περιπτώσεις 2-4 η κατανομή του χρόνου εξυπηρέτησης πρέπει να έχει μετασχηματισμό Laplace μορφής κλάσματος (rational Laplace Transform) Η δρομολόγηση μεταξύ ουρών γίνεται με τυχαίο τρόπο Poisson εξωτερικές αφίξεις Αποτέλεσμα: Η εργοδική πιθανότητα (αν υπάρχει) του διανύσματος κατάστασης του δικτύου δίνεται σε μορφή γινομένου των πιθανοτήτων των επιμέρους ουρών (απόδειξη με επαλήθευση εξισώσεων ισορροπίας μεταβάσεων)

112 11 ο Μάθημα Κλειστά Δίκτυα Ουρών Markov Θεώρημα Gordon Newell Αλγόριθμος Buzen Μοντέλα Ελέγχου Ροής (Window Flow Control)

113 ΚΛΕΙΣΤΑ ΔΙΚΤΥΑ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑ GORDON-NEWELL (Επανάληψη) Θεωρούμε κλειστό δίκτυο με N πελάτες και M υποσυστήματα εκθετικής εξυπηρέτησης (ουρές) M n i = N i=1 Ανεξάρτητοι εκθετικοί εξυπηρετητές i = 1, 2,, M με ρυθμό μ i, παραδοχή ανεξαρτησίας Kleinrock Τυχαία Δρομολόγηση p ij = Probability (i j) Θεώρημα Gordon-Newell: Οι εργοδικές πιθανότητες της κατάστασης n = n 1, n 2,, n M δίνονται σε μορφή γινομένου: M P n 1, n 2,, n M = 1 n X i G N i i=1 Οι παράμετροι X i είναι ανάλογες των βαθμών χρησιμοποίησης των ουρών i, κατ αναλογία με τα ρ i = λ i /μ i στα ανοικτά δίκτυα Jackson: μ j X j = M i=1 μ i X i p ij, j = 1,, M Συνήθως ορίζουμε την τιμή της X 1 = 1 ώστε το ανωτέρω γραμμικώς εξαρτημένο σύστημα εξισώσεων να έχει μονοσήμαντη λύση Η σταθερά G(N), προκύπτει από την εξίσωση κανονικοποίησης (άθροισμα εργοδικών πιθανοτήτων για όλες τις πιθανές - απείρως επισκέψιμες καταστάσεις - positive recurrent states ίσο με μονάδα) Η G(N) αντιστοιχεί στη Συνάρτηση Κερματισμού Partition Function της Στατιστικής Μηχανικής. Ο υπολογισμός της απαιτεί την καταγραφή όλων των πιθανών καταστάσεων (στην γενικότητα του «δύσκολο» πρόβλημα) στην περίπτωση μας λύνεται με τον αναδρομικό αλγόριθμο του Buzen (επόμενη διαφάνεια) Οι οριακές πιθανότητες (Marginal Probabilities) για το υποσύστημα (ουρά) i δίνονται από: P n i = k = X i k G N G N k X ig N k 1 Ο βαθμός χρησιμοποίησης της ουράς i δίνεται από P n i 1 = X i G(N 1)/G(N) Ο μέσος αριθμός πελατών στην ουρά i (μαζί με τον εξυπηρετούμενο) δίνεται από: N E n i = X i k k=1 G N k G N

114 ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ BUZEN Πολυπλοκότητα O(NxM) (Επανάληψη) Αναδρομικός Υπολογισμός μέσω δισδιάστατου πίνακα g n, m, n =0, 1,,N και m = 1,.., M m g(n, m) = X i n i n 1 + +n m i=1 n m n = X i n i + X i i (n 1 + +n m =n) ^ (n m =0) i=1 = g n, m 1 + X m g(n 1, m) n m (n 1 + +n m =n) ^ (n m >0) i=1 Αρχικές συνθήκες αναδρομικού αλγορίθμου: g 0, m = 1, m = 1,, M g n, 1 = X n 1, n = 0,, N (αν ορίσουμε X 1 = 1 τότε g n, 1 = 1) Η συνάρτηση κερματισμού Partition Function για κλειστό δίκτυο με M ουρές και n πελάτες (n = 0,, N) δίνεται από την τελευταία στήλη του πίνακα g(n, m) : G(n) = g(n,m), n = 0, 1,,N και G N = g(n, M) Για τον υπολογισμό των Ν στοιχείων της στήλης Μ του πίνακα g(n, m) απαιτούνται NxM προσθέσεις και NxM πολλαπλασιασμοί

115 ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΚΤΥΟ ΔΥΟ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ (Μ = 2, Ν = 3 ) Θεώρημα Gordon-Newell (Επανάληψη) Χ 1 μ 1 = Χ 2 μ 2 Χ 1 = 1, Χ 2 = μ 1 /μ 2 = α P(0,3) = X 23 /G(3)=α 3 /G(3) P(1,2) = X 22 /G(3)=α 2 /G(3) P(2,1) = X 2 /G(3)=α/G(3) P(3,0) = 1/G(3) 1/G(3) + α/g(3) + α 2 /G(3) + α 3 /G(3) = 1 Άρα: G(3)=1/(1+α+α 2 +α 3 ) γ = μ 2 [1- P(3,0)] = μ 2 [1-1/G(3)] E(T 1 ) = E(n 1 )/γ E n 1 = P 1,2 + 2P 2,1 + 3P 3,0 = a2 + 2a + 3 G 3 E n 2 = P 2,1 + 2P 1,2 + 3P 0,3 = a + 2a2 + 3a 3 G 3

116 ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΚΤΥΟ ΔΥΟ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ (Μ = 2, Ν 3 ) Αλγόριθμος Buzen (Επανάληψη) Με βάση τον αναδρομικό αλγόριθμο του Buzen και Χ 1 = 1, Χ 2 = μ 1 /μ 2 = α ισχύει ότι: g(n, m) = g n, m 1 + X m g(n 1, m) G N = g(n, M) Προκύπτει : G 1 = 1 + a G 2 = 1 + a + a 2 G 3 = 1 + a + a 2 + a 3 Η χρησιμοποίηση της ουράς Q 1 είναι P n i 1 = P 1,2 + P 2,1 + P 3,0 = 1 P(0,3) = X i G(N 1)/G(N) = X 1 G(2)/G(3)= = 1+a+a2 Επίσης: P 0,3 = a 3 /G 3 P 1,2 = a 2 /G 3 P 2,1 = a/g 3 P 3,0 = 1/G 3 1+a+a 2 +a 3 (όπως και στη 2η διαφάνεια) E n i = X i k E n 1 = N k=1 3 k=1 3 E n 2 = X 2 k k=1 G N k G N G 3 k G 3 G N k G N n X 1 X a a + a a + a 2 + a 3 = a2 + 2a a + a 2 + a 3 = 3 E n 1 = a + 2a2 + 3a a + a 2 + a 3

117 ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΚΤΥΟ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ (1/2) Βασισμένο στο Παράδειγμα του Jeffrey Buzen, "Computational algorithms for closed queuing networks with exponential servers," Communications of the ACM 16 (9), Sept Κλειστό δίκτυο Μ εκθετικών ουρών Q 1 (CPU), Q 2 Q M (I/O) Επεξεργασία Ν προγραμμάτων (εντολών) με ανακύκλωση στη CPU (πιθανότητα p 1 ), επιλογή Υποσυστήματος I/O (πιθανότητα p 2 p M ) και απάντηση δημιουργία νέας εντολής (εξωτερική ανάδραση). (Επανάληψη) Εφαρμογή Αλγορίθμου Buzen για Ν = 1,2,3,4 πελάτες (προγράμματα) και Μ = 3 ουρές μ 1 Χ 1 = p 1 μ 1 Χ 1 + μ 2 Χ 2 + μ 3 Χ 3 μ 2 Χ 2 = p 2 μ 1 Χ 1 μ 3 Χ 3 = p 3 μ 1 Χ 1 Με μ 1 = 1 28 msec 1, μ 2 = 1 40 msec 1, μ 3 = msec 1 και Χ 1 = 1 προκύπτει πως Χ 2 = 1, Χ 3 = 2 Ο αναδρομικός τύπος g(n, m) = g n, m 1 + X m g(n 1, m) δίνει τον πίνακα δεξιά. Οι σταθερές G N = g(n, 3) αντιστοιχούν σε Ν = 1,2,3,4 G 1 = 4, G 2 = 11, G 3 = 26, G 4 = 57 n X 1 X 2 X

118 ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΚΤΥΟ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ (2/2) Βασισμένο στο Παράδειγμα του Jeffrey Buzen, "Computational algorithms for closed queuing networks with exponential servers," Communications of the ACM 16 (9), Sept Οι αντίστοιχοι βαθμοί χρησιμοποίησης U 1 της CPU (Q 1 ) G(N)/G N 1 είναι: Ν U 1 1/4 4/11 11/26 26/57 n X 1 X 2 X Η ρυθμαπόδοση του συστήματος γ γ = μ 2 p n μ 3 p n 3 1 = μ 2 Χ 2 G(N 1)/G N +μ 3 Χ 3 G(N 1)/G(N) = (μ 2 Χ 2 + μ 3 Χ 3 )G(N 1)/G(N) Οι αντίστοιχες τιμές σε προγράμματα/sec είναι: Ν γ Ο μέσος χρόνος απόκρισης είναι E(T AB ) = N/γ Οι αντίστοιχες τιμές σε sec είναι: 0.124, 0.171, 0.221, sec Ν E(T AB ) γ Ρυθμαπόδοση γ ως προς Αριθμό Προγραμμάτων Ν E(T AB ) Μέσος Χρόνος Απόκρισης ως προς Αριθμό Προγραμμάτων Ν Ν Ν

119 ΕΛΕΓΧΟΣ ΡΟΗΣ ΠΑΡΑΘΥΡΟΥ ΑΠΟ ΑΚΡΟ ΣΕ ΑΚΡΟ ΣΤΟ INTERNET (1/9) (Window Flow Control TCP Session) Αναπάρασταση Μηχανισμού Ελέγχου Ροής Παραθύρου (Window Flow Control) μέσω Κλειστού Δικτύου Μ ανεξαρτήτων εκθετικών ουρών και W πελατών. Η μορφή των πελατών εναλλάσσεται ανάμεσα σε πακέτα δεδομένων, μηνύματα επιβεβαίωσης acknowledgments και άδειες εκπομπής tokens Το κλειστό δίκτυο του παραδείγματος αποτελείται από Μ=5 υποσυστήματα: Q 0 : Αποθηκεύει τα Tokens στην πηγή S (Source) με τον μηχανισμό Window Flow Control και αποστέλλει στον προορισμό (Destination) νέα πακέτα ανά χρονικά διαστήματα μέσης τιμής 1/λ sec (μοντέλο δημιουργίας κίνησης λ πακέτα/sec) Q 1, Q 2, Q 3 : Ενδιάμεσοι δικτυακοί κόμβοι μεταγωγής πακέτου με μέσους εκθετικούς ρυθμούς μ 1, μ 2, μ 3 πακέτα/sec Q r : Ισοδύναμο μοντέλο καθυστέρησης για την δημιουργία και μεταβίβαση μηνυμάτων επιβεβαίωσης ACK σαν ανεξάρτητη ουρά με μέσο εκθετικό ρυθμό μ r πακέτα/sec (θεωρούμε κατά προσέγγιση 1/μ r = 1/μ 1 +1/μ 2 +1/μ 3 sec) Στο κλειστό δίκτυο υπάρχουν ανά πάσα στιγμή W 8 πελάτες που αντιστοιχούν στο μέγεθος παραθύρου Window Size. W = n 0 + n 1 + n 2 + n 3 + n r Θεωρούμε πως ισχύουν οι παραδοχές για μορφή γινομένου του θεωρήματος Gordon Newell και εφαρμόζουμε τον Αλγόριθμο του Buzen για W = 1,,8 και Μ = 5, ως προς την ρυθμαπόδοση γ και την μέση καθυστέρηση πακέτου στο δίκτυο [Ε(n 1 )+Ε(n 2 )+Ε(n 3 )]/γ. D

120 ΕΛΕΓΧΟΣ ΡΟΗΣ ΠΑΡΑΘΥΡΟΥ ΑΠΌ ΑΚΡΟ ΣΕ ΑΚΡΟ ΣΤΟ INTERNET (2/9) (Window Flow Control TCP Session) Παράθυρο W = 4

121 ΕΛΕΓΧΟΣ ΡΟΗΣ ΠΑΡΑΘΥΡΟΥ ΑΠΟ ΑΚΡΟ ΣΕ ΑΚΡΟ ΣΤΟ INTERNET (3/9) (Window Flow Control TCP Session) Παράθυρο W = 4

122 ΕΛΕΓΧΟΣ ΡΟΗΣ ΠΑΡΑΘΥΡΟΥ ΑΠΟ ΑΚΡΟ ΣΕ ΑΚΡΟ ΣΤΟ INTERNET (4/9) (Window Flow Control TCP Session) Παράθυρο W = 4

123 ΕΛΕΓΧΟΣ ΡΟΗΣ ΠΑΡΑΘΥΡΟΥ ΑΠΟ ΑΚΡΟ ΣΕ ΑΚΡΟ ΣΤΟ INTERNET (5/9) (Window Flow Control TCP Session) Παράθυρο W = 4

124 ΕΛΕΓΧΟΣ ΡΟΗΣ ΠΑΡΑΘΥΡΟΥ ΑΠΟ ΑΚΡΟ ΣΕ ΑΚΡΟ ΣΤΟ INTERNET (6/9) (Window Flow Control TCP Session) Παράθυρο W = 4