Ηρώων Πολυτεχνείου 9, Ζωγράφου, Αθήνα, Τηλ: , Fax: URL

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τομέας Επικοινωνιών, Ηλεκτρονικής & Συστημάτων Πληροφορικής Εργαστήριο Διαχείρισης και Βέλτιστου Σχεδιασμού Δικτύων - NETMODE Ηρώων Πολυτεχνείου 9, Ζωγράφου, Αθήνα, Τηλ: , Fax: URL Γραπτή Εξέταση στο Μάθημα "ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ" 6ο Εξάμηνο Ηλεκτρολόγων Μηχ. & Μηχ. Υπολογιστών Θέματα και Λύσεις Θέμα 1 o (2 μονάδες) Έστω ότι δίνεται ένα τηλεφωνικό κέντρο το οποίο μοντελοποιείται ως μία ουρά M/M/c/c, δηλαδή μία ουρά που διαθέτει c εξυπηρετητές ίδιων δυνατοτήτων και μέγιστη χωρητικότητα c πελάτες. Οι αφίξεις στο σύστημα ακολουθούν την κατανομή Poisson με μέσο ρυθμό λ και οι εξυπηρετήσεις ακολουθούν την εκθετική κατανομή με μέσο ρυθμό μ. (α) Να εκφράσετε την πιθανότητα απόρριψης ενός πελάτη από το σύστημα B(ρ, c) ως συνάρτηση της έντασης φορτίου ρ = λ μ που δέχεται η ουρά και του αριθμού των εξυπηρετητών c που διαθέτει η ουρά. Υπό ποιες προϋποθέσεις είναι το παραπάνω σύστημα εργοδικό; (β) Η πιθανότητα απόρριψης πελάτη Β(ρ, c) (Erlang-B) υπολογίζεται με τον παρακάτω αναδρομικό τύπο: Β(ρ, 0) = 1 { ρβ(ρ, n 1) Β(ρ, n) =, n = 1, 2,, c ρβ(ρ, n 1) + n Να αναλύσετε το τηλεφωνικό δίκτυο μίας εταιρείας που διαθέτει 4 εξωτερικές τηλεφωνικές γραμμές και εξυπηρετεί 30 υπαλλήλους. Πραγματοποιώντας μετρήσεις στο δίκτυο διαπιστώσατε ότι ένας υπάλληλος χρησιμοποιεί το τηλέφωνο κατά μέσο όρο 6 λεπτά σε μία ώρα. Να υπολογίσετε την πιθανότητα απόρριψης κλήσης από το δίκτυο. (γ) Να προσδιορίσετε τον ελάχιστο αριθμό τηλεφωνικών γραμμών που απαιτείται ώστε η πιθανότητα απόρριψης κλήσης από το δίκτυο να γίνει μικρότερη από 1%. Να απαντήσετε με βάση τον πίνακα για την κατανομή Erlang-B και του αναδρομικού τύπου αν απαιτείται: ρ c =

2 Το διάγραμμα καταστάσεων του συστήματος είναι το παρακάτω: λ λ λ λ λ c μ 2μ 3μ 4μ cμ Για τις εργοδικές καταστάσεις του συστήματος, όταν εκείνο ισορροπεί, έχουμε τις παρακάτω εξισώσεις: { λp(0) = μp(1) λp(1) = 2μP(2) λp(c 1) = cμp(c) c P(k) = 1 k=0 Επιλύοντας το παραπάνω σύστημα, προκύπτει ότι η πιθανότητα απόρριψης ενός πελάτη από το σύστημα είναι: P Blocking = P(c) = ρ c c! c k=0 ρ c c! Ως σύστημα με πεπερασμένη χωρητικότητα, το παραπάνω σύστημα είναι πάντα εργοδικό. (β) Το συνολικό φορτίο του συστήματος είναι: ρ = (χρήστες) (μέση χρήση σε μια ώρα) = = 3 Erlangs

3 Για c = 4 τηλεφωνικές γραμμές, η πιθανότητα απόρριψης ενός πελάτη από το σύστημα υπολογίζεται με τη βοήθεια του πίνακα: (γ) Από τον αναδρομικό τύπο, για c = 5: P blocking = B(3, 4) = = % B(3, 5) = ρβ(3, 4) ρβ(3, 4) + 5 = = = 11.01% > 1% Για c = 6: Β(3, 6) = ρβ(3, 5) ρβ(3,5) + 6 = = = 5.22% > 1% Για c = 7: B(3, 7) = = 2.19% > 1% Για c = 8: B(3, 8) = = 0.82% < 1% Άρα, απαιτούνται 8 γραμμές. Θέμα 2 ο (2,5 μονάδες) Το παρακάτω σχήμα παριστά ένα τηλεπικοινωνιακό δίκτυο. Όλες οι αφίξεις είναι Poisson με παραμέτρους γ i, i = 1, 2 και οι εξυπηρετήσεις εκθετικά κατανεμημένες με ρυθμούς μ i, i = 1, 2, 3, 4, 5. (α) Να αναφέρετε τις αναγκαίες συνθήκες και παραδοχές ώστε το παρακάτω δίκτυο να μπορεί να μελετηθεί ως ένα ανοιχτό δίκτυο με το θεώρημα Jackson. Για τις παραμέτρους του δικτύου δίνονται οι ακόλουθες τιμές: γ 1 = 4, γ 2 = 3, = 10, μ 2 = 8, μ 3 = 10, μ 4 = 15, μ 5 = 20 (πελάτες/min). Να απαντήσετε στα ακόλουθα: (β) Να προσδιορίσετε τη μέση ένταση του φορτίου ρ i, i = 1, 2, 3, 4, 5 που δέχεται η κάθε ουρά του δικτύου. (γ) Να προσδιορίσετε τη μέση καθυστέρηση πελάτη από άκρο σε άκρο του δικτύου, καθώς και τη μέση καθυστέρηση πακέτου από το σημείο S 1 στο σημείο D και από το σημείο S 2 στο σημείο D. (δ) Να προσδιορίσετε την ουρά που αποτελεί τη στενωπό του δικτύου. (ε) Με δεδομένη την τιμή της παραμέτρου γ 2, να προσδιορίσετε τη μέγιστη τιμή της παραμέτρου γ 1, ώστε το σύστημα να παραμένει εργοδικό.

4 S 1 1/4 γ 1 3/4 μ 3 S 2 1/2 γ 2 1/2 μ 2 μ 4 μ 5 D (α) Οι απαραίτητες παραδοχές είναι οι εξής: Τυχαίες εξωτερικές αφίξεις Poisson. Τυχαία δρομολόγηση πελατών βάσει των πιθανοτήτων που φαίνονται στο σχήμα. Ανεξάρτητες εκθετικές εξυπηρετήσεις πελατών, παραδοχή Kleinrock ανεξαρτησίας εξυπηρετήσεων. Άπειρες ουρές FIFO, χωρίς απώλειες. (β) Για τις αφίξεις σε κάθε ουρά, έχουμε: λ 1 = γ 1 = 4 πελάτες/min λ 2 = γ 2 = 3 πελάτες/min λ 3 = 3 4 γ γ 2 = 4.5 πελάτες/min Η ένταση φορτίου σε κάθε ουρά είναι: λ 4 = 1 2 γ 2 = 1.5 πελάτες/min λ 5 = λ 3 + λ 4 = 6 πελάτες/min ρ 1 = λ 1 = 0.4 ρ 2 = λ 2 μ 2 = ρ 3 = λ 3 μ 3 = 0.45 ρ 4 = λ 4 μ 4 = 0.1

5 ρ 5 = λ 5 μ 5 = 0.3 (γ) Η μέση καθυστέρηση πελάτη από άκρο σε άκρο του συστήματος είναι: όπου Ε(Τ) = Ε(n 1) + E(n 2 ) + E(n 3 ) + E(n 4 ) + E(n 5 ) γ 1 + γ 2 Ε(n 1 ) = Ε(n 2 ) = Ε(n 3 ) = ρ 1 1 ρ 1 = πελάτες ρ 2 1 ρ 2 = 0.6 πελάτες ρ 3 1 ρ 3 = πελάτες Ε(n 4 ) = ρ 4 1 ρ 4 = πελάτες Ε(n 5 ) = ρ 5 1 ρ 5 = πελάτες άρα Ε(Τ) = min. Η μέση καθυστέρηση πελάτη από το σημείο S 1 μέχρι το σημείο D είναι: Ε(Τ S1D ) = E(T 1 ) (E(T 3) + E(T 5 )) Η μέση καθυστέρηση πελάτη από το σημείο S 2 μέχρι το σημείο D είναι: όπου Ε(T S2D ) = E(T 2 ) (E(T 3) + E(T 4 )) + E(T 5 ) E(T 1 ) = E(n 1) λ 1 Ε(T 2 ) = E(n 2) λ 2 E(T 3 ) = E(n 3) λ 3 = min = 0.2 min = min

6 E(T 4 ) = E(n 4) = min λ 4 E(T 5 ) = E(n 5) λ 5 = min Άρα, Ε(Τ S1D ) = min E(T S2D ) = min (δ) Στενωπός του δικτύου είναι η ουρά με τη μεγαλύτερη ένταση φορτίου, δηλαδή η ουρά 3 (με ρυθμό εξυπηρέτησης μ 3 ). (ε) Από την ουρά που είναι η στενωπός του συστήματος: ρ 3 = γ γ 2 = 1 γ = πελάτες/min 3 Η τιμή αυτή, όμως, καθιστά μη εργοδική την ουρά 1 του συστήματος, αφού ρ 1 = > 1. Κατά συνέπεια, γ 1max = 10 πελάτες/min Θέμα 3 ο (2,5 μονάδες) Θεωρείστε ένα υπολογιστικό σύστημα που εξυπηρετεί εντολές προερχόμενες από τρία ενεργά τερματικά (παράθυρα). Ένα απλό μοντέλο του συστήματος παρατίθεται στο σχήμα που ακολουθεί σαν κλειστό δίκτυο δύο ανεξάρτητων υποσυστημάτων: το υποσύστημα τριών τερματικών Q 1 και το υποσύστημα επεξεργασίας (CPU) Q 2. Μετά την ολοκλήρωση εξυπηρέτησης (CPU) οι εντολές επανέρχονται σαν απαντήσεις σε όποιο παράθυρο είναι διαθέσιμο το οποίο καταθέτει νέα εντολή μετά από παρέλευση τυχαίας καθυστέρησης (thinking time). Να θεωρήσετε τις ακόλουθες παραδοχές: 1) Τα τρία ενεργά παράθυρα εισάγουν εκθετική καθυστέρηση (thinking time) 1 = 1 sec κατά μέσο όρο, από τη στιγμή της απόκρισης μέχρι την κατάθεση νέας εντολής. 2) Κάθε εντολή για να εξυπηρετηθεί χρειάζεται έναν τυχαίο αριθμό τεμαχίων (CPU quanta), το καθένα με ανεξάρτητες εκθετικές απαιτήσεις εξυπηρέτησης. Κατά μέσο όρο μια εντολή απαιτεί 4 επιπλέον εξυπηρετήσεις (ανάδραση) τεμαχίων πέραν την αρχικής προτού εξέλθει από το υποσύστημα επεξεργασίας. Συνολικά, μια εντολή χρειάζεται 5 CPU quanta κατά μέσο όρο. Η συνολική επεξεργασία εντολών (CPU) αναπαρίσταται με μια ουρά με εκθετική εξυπηρέτηση μέσου ρυθμού μ 2 = 5 τεμάχια/sec. Η ανάδραση τεμαχίων γίνεται με πιθανότητα 1 p.

7 γ N = 3 εντολές μ 2 p 1 - p Q 1 (terminals) Q 2 (CPU) Στο δίκτυό σας υπάρχουν Ν = 3 εντολές. Να απαντήσετε στις ακόλουθες ερωτήσεις: (α) Να ορίσετε την κατάσταση του συστήματος και να σχεδιάσετε το διάγραμμα καταστάσεων, όταν το σύστημα ισορροπεί. (β) Να υπολογίσετε τις εργοδικές πιθανότητες των καταστάσεων του συστήματος, όταν εκείνο ισορροπεί. (γ) Να υπολογίσετε το μέσο αριθμό εντολών σε κάθε υποσύστημα. (δ) Να υπολογίσετε τη μέση ρυθμαπόδοση (throughput) γ του συστήματος. (α) Το σύστημα ορίζεται από το διάνυσμα (n 1, n 2 ) και ισχύει n 1 + n 2 = N = 3 Το διάγραμμα καταστάσεων θα έχει ως εξής:

8 (β) Η πιθανότητα ανάδρασης είναι 1 p = 4 5 p = 1 5 Οι εργοδικές πιθανότητες των καταστάσεων του συστήματος, όταν αυτό ισορροπεί θα είναι οι εξής: 3 P(3,0) = pμ 2 P(2,1) 2 P(2,1) = pμ 2 P(1,2) P(1,2) = pμ 2 P(0,3) Επίσης ισχύει πως: P(3,0) + P(2,1) + P(1,2) + P(0,3) = 1, άρα με τις δεδομένες τιμές, μ 2, p και με την επίλυση του συστήματος εξισώσεων προκύπτει πως: P(3,0) = 1 16, P(2,1) = 3 16, P(1,2) = 6 16, P(0,3) = 6 16 (γ) Για να βρεθεί ο μέσος αριθμός εντολών σε κάθε υποσύστημα θα έχουμε ως εξής: Ε(n 1 ) = 3 P(3,0) + 2 P(2,1) + 1 P(1,2) + 0 P(0,3) = Ε(n 2 ) = 3 P(0,3) + 2 P(1,2) + 1 P(2,1) + 0 P(3,0) = (δ) Για να βρεθεί η μέση ρυθμαπόδοση (throughput) γ του συστήματος, θα έχουμε ως εξής: γ = μ 2 (1 P(3,0)) = εντολές/sec