Δίκτυα Επικοινωνιών ΙΙ. Ενότητα 2: Μοντέλα Συστηµάτων Αναµονής σε Δίκτυα Επικοινωνιών

Transcript

1 Δίκτυα Επικοινωνιών ΙΙ Ενότητα 2: Μοντέλα Συστηµάτων Αναµονής σε Δίκτυα Επικοινωνιών Διδάσκων: Λάζαρος Μεράκος Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Εθνικό & Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών

2 Δίκτυα Επικοινωνιών ΙΙ Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Εθνικό & Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών Θεµατικές Ενότητες (ΘΕ) µαθήµατος: ΘΕ1: Εισαγωγή (Κεφ. 1 του βιβλίου) ΘΕ2: Συστήµατα Αναµονής (Μ/Μ/1 και παραλλαγές, Μ/G/1, συστήµατα µε προτεραιότητες, δίκτυα ουρών) ΘΕ3: Ασύρµατα/Κινητά Δίκτυα (ασύρµατα τοπικά δίκτυα, υποστήριξη κινητικότητας στο διαδίκτυο, κινητά δίκτυα 3ης γενιάς) (Κεφ. 6 του βιβλίου) ΘΕ4: Δικτύωση και Εφαρµογές Πολυµέσων (Κεφ. 7 του βιβλίου) ΘΕ5: Ασφάλεια Δικτύων (Κεφ. 8 του βιβλίου) Οι διαφάνειες αυτής της ενότητας αποτελούν προσαρµογή και απόδοση στα ελληνικά διαφανειών που είχαν αναπτυχθεί από τους συγγραφείς του βιβλίου Data Networks (2d Editio), D. Bertsekas ad R. Gallager, Pretice Hall, 1991 ( ISBN: ) και αφορούν στο 3 ο Κεφάλαιο του βιβλίου αυτού. Προσαρµογή και επιµέλεια της απόδοσης των πρωτότυπων διαφανειών στα ελληνικά : Λάζαρος Μεράκος

3 Περιεχόµενα 1. Εισαγωγή 2. Θεώρηµα του Little 3. Σύστηµα M/M/1 4. Συστήµατα M/M/m, M/M/, ad M/M/m/m 5. Σύστηµα M/G/1 6. ίκτυα Ουρών 1

4 Τι περιµένουµε από τα Μοντέλα Αναµονής; Χρήσιµα για ανάλυση απόδοσης, σχεδιασµό δικτύων και πρωτοκόλλων ελέγχου δικτύου (δροµολόγησης, ) Απαιτούν απλουστευτικές υποθέσεις ίνουν ποιοτικά αποτελέσµατα, βοηθούν στην κατανόηση των παραγόντων καθυστέρησης, και σε µερικές περιπτώσεις µπορούν να αποτιµήσουν την προβλεπόµενη καθυστέρηση Τα αναλυτικά µοντέλα συµπληρώνουν τα µοντέλα προσοµοίωσης, που συνήθως είναι πιο λεπτοµερή 2

5 ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΤΗΣ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗΣ ΣΕ ΚΟΜΒΟ Επεξεργασία (Processig) Μετάδοση (Trasmissio) Αναµονή (Queueig) Καθυστέρηση Επεξεργασίας: Χρόνος από λήψη πακέτου µέχρι τοποθέτηση στην ουρά (σταθερή, εκτός αν η επεξεργαστική ισχύς είναι περιορίζων πόρος) Καθυστέρηση Αναµονής: Χρόνος στην ουρά µέχρι την εκκίνηση της µετάδοσης (συνήθως µεταβλητή) 3

6 ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΤΗΣ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗΣ ΣΕ ΚΟΜΒΟ Processig Trasmissio Queueig Καθυστέρηση Μετάδοσης : Χρόνος µετάδοσης του πακέτου ( ανάλογος του µήκους του πακέτου) Καθυστέρηση ιάδοσης : Χρόνος που απαιτείται για να πάει το τελευταίο bit από ποµπό σε δέκτη (ανάλογη της φυσικής απόστασης µεταξύ των κόµβων. Μεγάλη για δορυφορικές ζεύξεις) 4

7 ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ LITTLE είχνει ότι για δοσµένο ρυθµό αφίξεων λ σε ένα οποιοδήποτε σύστηµα αναµονής Μέσος Αριθµός Πελατών λ x Μέση Καθυστέρηση Πολύ σηµαντικό: ισχύει κάτω από ελάχιστες υποθέσεις 5

8 Κύριες Παράµετροι ενός Συστήµατος Αναµονής (t) p (t) πιθανότητα να υπάρχουν πελάτες στο σύστηµα τη χρονική στιγµή t p limt p(t) : Κατάσταση ισορροπίας (Steady state) 6

9 Κύριες Παράµετροι ενός Συστήµατος Αναµονής (t) N ( t) p( t) : o Μέσος αριθµός πελατών στο σύστηµα στο χρόνο t Μέσος αριθµός πελατών στο σύστηµα N limt N(t) : Nt Χρονικός µέσος αριθµός στο σύστηµα από 0 µέχρι t Υποθέτουµε ότι το σύστηµα είναι εργοδικό (χρονικός µέσος πιθανοτικός µέσος) N lim t ( t) limt Nt N 7

10 Κύριες Παράµετροι ενός Συστήµατος Αναµονής (t) Tk : Μέση καθυστέρηση του k πελάτη (Average system time) T limk Tk (Μέση καθυστέρηση στο σύστηµα) T µπορεί να εκφραστεί και σαν χρονικός µέσος T lim k Άθροισµα καθυστερήσεων πελατών µέχρι Αριθµός πελατών µέχρι t t 8

11 Θεώρηµα του LITTLE : N λt Όπου: N Μέσος αριθµός πελατών στο σύστηµα λ Ρυθµός αφίξεων (πελάτες / µονάδα χρόνου) T Μέση καθυστέρηση στο σύστηµα Το θεώρηµα του Little εφαρµόζεται σε κάθε σύστηµα αφίξεωνεξυπηρετήσεων µε την κατάλληλη ερµηνεία των N, λ και Τ. 9

12 Θεώρηµα του LITTLE : N λt Παραδείγµατα: Εστιατόριο γρήγορου φαγητού (µικρό T) απαιτεί µικρό χώρο εστίασης (µικρό N) για το ίδιο λ Σε βροχερή µέρα υπάρχει µεγαλύτερο µποτιλιάρισµα σε ώρες αιχµής (µεγάλο N) και οι καθυστερήσεις είναι µεγαλύτερες (µεγάλο T) Σηµειώστε: Το θεώρηµα του Little δεν µας δίνει τα N και T, µόνο τη µεταξύ τους σχέση. Επιπρόσθετες (στατιστικές) υποθέσεις απαιτούνται για να βρούµε τα N καιt. 10

13 Απόδειξη του θεωρήµατος του LITTLE Number of Arrivals a(t) Delay T 4 Delay T 5 N(τ) 3 Delay T 3 2 Delay T 2 1 Delay T 1 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t t t ( t ) a( t ) Γραµµοσκια σµένη Περιοχή N( τ ) dτ Ti(t) or (1/t) N( τ )dτ (a(t)/t) Ti/ Παίρνοντας το όριο t 0 a i 1 προκύπτει N λt t 0 i 1 a(t) 11

14 Θεώρηµα του LITTLE Παράδειγµα: N Q, W ρ, E{X} Αναµονή Μετάδοση N,T Εφαρµογή του θεωρήµατος στην αναµονή (ουρά) N Q λ W όπου N Q µέσος αριθµός πακέτων που αναµένουν στην ουρά W µέση καθυστέρηση στην ουρά Εφαρµογή του θεωρήµατος στο τµήµα µετάδοσης (εξυπηρέτης) ρ λ E{Χ} όπου ρ µέσος αριθµός πακέτων υπό µετάδοση (ένταση κίνησης) E{Χ} µέσος χρόνος µετάδοσης 12

15 Θεώρηµα του LITTLE εύτερο παράδειγµα: λ 1 λ 2 Πολύπλοκο Σύστηµα Αναµονής N 1 N 2 λ 1 λ 2 λ 3 N 3 λ 3 Εφαρµογή στη ροή κίνησης i N i λ i T i Εφαρµογή σε όλες τις ροές µαζί (N 1 + N k )(λ 1 + +λ k )T όπου T ( ) λ i T / ( λ λ ) k i 1 i 1 k (µέσος από όλα τα i) 13

16 Θεώρηµα του LITTLE Άλλο ένα παράδειγµα Έλεγχος ροής συνόδου w / widow size N λ Ελεγχόµενη σύνοδος Περιορισµός για N πακέτα στο σύστηµα για τη σύνοδο Υπόθεση: πακέτα είναι πάντα διαθέσιµα προς αποστολή Ρυθµαπόδοση λ Ν/Τ Όπως µεγαλώνει η συµφόρηση (T µεγαλώνει), το λ µικραίνει (ο έλεγχος ροής γίνεται πιο δραστικός) Αν το N µεγαλώνει, το T µεγαλώνει 14

17 Το σύστηµα M/M/1 Ένας εξυπηρετητής (1) ιαδικασία αφίξεων Poisso (1 st M) Εκθετικοί χρόνοι εξυπηρέτησης (2 d M) Θέλουµε p πιθανότητα πελάτες στο σύστηµα σε κατάσταση ισορροπίας 15

18 ιαδικασία POISSON µε ρυθµό λ t τ Στοχαστική διαδικασία {A(t) t 0} που παίρνει τιµές 0,1,2, έτσι ώστε A(t) αριθµός αφίξεων από 0 έως t αριθµοί αφίξεων σε ξεχωριστά διαστήµατα itervals είναι ανεξάρτητοι αριθµός αφίξεων σε διάστηµα µήκους τ έχει κατανοµή Poisso µε παράµετρο λτ, δηλ., P{A(t + τ) - Α(t) } e - λτ ( λτ)!, 0,1,... 16

19 Ιδιότητες της διαδικασίας POISSON Χρόνοι µεταξύ διαδοχικών αφίξεων είναι ανεξάρτητοι και εκθετικά κατανεµηµένοι µε παράµετρο λ P{τ s} 1- e -λs, s 0 όπου τ χρόνος µεταξύ άφιξης και άφιξης (+1) P{A(t+δ)-A(t) 0} 1-λδ + o(δ) P{A(t+δ)-A(t) 1} λδ + o(δ) P{A(t+δ)-A(t) 2} o(δ) όπου o(δ)/δ 0 όπως δ 0 17

20 Ιδιότητες της διαδικασίας POISSON Αν A 1, A 2, A k είναι ανεξάρτητες διαδικασίες Poisso µε ρυθµούς λ 1, λ 2,, λ k,τότε A A 1 + A 2 + +A k είναι Poisso µε ρυθµό λ λ 1 + λ λ k Η διαδικασία Poisso είναι τυπικά ένα καλό µοντέλο για τη συγκεντρωτική κίνηση από ένα µεγάλο αριθµό «µικρών» χρηστών. 18

21 Το σύστηµα M/M/1 Ρυθµός αφίξεων λ Ρυθµός εξυπηρέτησης µ Ένας εξυπηρετητής Αφίξεις Poisso µε παράµετρο λ Εκθετικά κατανεµηµένοι χρόνοι εξυπηρέτησης µε παράµετρο µ P{x s} 1- e - µ s 1, E{x} µ Ανεξάρτητοι χρόνοι αφίξεων και εξυπηρετήσεων 19

22 Κατανοµή αριθµού πελατών στο σύστηµα ιάγραµµα µετάβασης κατάστασης (Αλυσίδα Markov) λδ λδ λδ λδ λδ λδ µδ µδ µδ µδ µδ µδ Ανάλυση ενδεχοµένων σε ένα διάστηµα δ sec Συχνότητα µετάβασης από σε +1 p λδ Συχνότητα µετάβασης από +1 σε p +1 µδ Πρέπει να είναι ίσες 20

23 Κατανοµή αριθµού πελατών στο σύστηµα Εξισώσεις τοπικής ισορροπίας: p λδ+ ο(δ) p +1 µδ + ο(δ) ιαιρούµε µε δ και παίρνουµε όριο όπως το δ 0 p +1 ρp, 0,1, όπου ρ λ/µ p +1 ρp ρ(ρp -1 ) ρ +1 p 0 Άµα βρούµε το p 0 τότε τα έχουµε όλα 21

24 22 Κατανοµή αριθµού πελατών στο σύστηµα Έχουµε... 0, 1,... 0, 1, + + ), (1- p 1- p 1- p p p 1, p p ρ ρ ρ ρ ρ ρ Έτσι 1- ) (1- p N 0 0 ρ ρ ρ ρ ρ ρ 1- N ρ

25 Κατανοµή αριθµού πελατών στο σύστηµα Μέση καθυστέρηση (από το θεώρηµα του Little) T N λ ρ λ(1 ρ) λ/µ λ(1- λ/µ ) Τ 1 µ - λ Μέση καθυστέρηση στην ουρά W T - 1 µ 1 µ - λ 1 µ W ρ µ - λ 23

26 Συστήµατα M/M/m, M/M/, ad M/M/m/m Ανάλυση παρόµοια µε M/M/1 Χρησιµοποιούµε ένα µοντέλο αλυσίδας Markov για να βρούµε την κατανοµή του αριθµού των πελατών στο σύστηµα 24

27 Σύστηµα M/M/m Poisso αφίξεις (λ), εκθετικοί χρόνοι εξυπηρέτησης (µ), m εξυπηρετητές λδ λδ λδ λδ λδ λδ m-1 m m+1 µδ 2µδ 3µδ (m-1)µδ mµδ mµδ mµδ λp -1 µp, m λp -1 mµp, >m Χρησιµοποιούµε αυτές τις εξισώσεις για να εκφράσουµε τις πιθανότητες p ως συνάρτηση της πιθανότητας p 0 να είναι το σύστηµα άδειο. 25

28 Το σύστηµα M/M/m p 0 (mρ)!, m p p 0 m ρ m!, > m λ where ρ < 1 mµ Αντικαθιστώντας στη εξίσωση Σ p 1 λαµβάνουµε p 0 m-1 (mρ)! m (mρ) + m!(1 ρ)

29 Σύστηµα M/M/m Πιθανότητα αφικνούµενος πελάτης να χρειαστεί να αναµείνει στην ουρά (Erlag C formula) P Q P{Queueig} m p p 0 (mρ) m m!(1 ρ) W ρpq (Μέσος χρόνος στην ουρά) λ(1- ρ) 1 T + W µ (Μέσος χρόνος στο σύστηµα) ρpq N λt mρ + 1- ρ (Μέσος αριθµός στο σύστηµα) 27

30 Σύστηµα M/M/ Poisso αφίξεις (λ), εκθετικοί χρόνοι εξυπηρέτησης (µ), άπειροι εξυπηρετητές Θέτω m στο σύστηµα M/M/m p ( λ/µ ) (e λ/µ )/! 0, 1,..., Η κατανοµή του αριθµού είναι Poisso µε παράµετρο λ/µ λ N (µέση τιµή της Poisso ) µ N 1 T (από το θεώρηµα τουlittle) λ µ ( Μέσος χρόνος εξυπηρέτησης, όπως περιµέναµε) 28

31 Σύστηµα M/M/m/m Poisso αφίξεις (λ), εκθετικοί χρόνοι εξυπηρέτησης (µ), m εξυπηρετητές, το πολύ m πελάτες επιτρέπονται στο σύστηµα λδ λδ λδ λδ m-1 m µδ 2µδ 3µδ (m-1)µδ mµδ λp p - 1 µ p p 0( λ/µ ), (1/!), 1,...,m 1,..., m 29

32 Σύστηµα M/M/m/m Λύνουµε ως προς p 0 στην Σ p 1 και λαµβάνουµε p 0 m 0 µ λ 1! 1 και p p ( λ/µ ) (1/!), 1,...,m 0 Το ποσοστό του χρόνου που το σύστηµα είναι απασχοληµένο p m m ( λ/µ ) 0 m ( λ/µ ) /m! /! Erlag B Formula 30

33 Το σύστηµα M/G/1 Η µέση καθυστέρηση µπορεί να βρεθεί µε απλές τεχνικές Η κατανοµή του αριθµού των πελατών είναι δύσκολο να βρεθεί 31

34 Το σύστηµα M/G/1 Poisso λ M/G/1 Γενική κατανοµή χρόνων εξυπηρέτησης Poisso αφίξεις (ρυθµός λ) Χρόνοι εξυπηρέτησης ανεξάρτητοι των χρόνων άφιξης Γενική κατανοµή χρόνων εξυπηρέτησης, µε δοσµένα E{X}, και E{X 2 } Ένας εξυπηρετητής 32

35 Tο σύστηµα M/G/1 Pollaczek - Khichie (P - K) formula W (Μέσος χρόνος στην ουρά) T 2 λe{x } 2(1- ρ) 2 λe{x } E{X} + (Μέσος χρόνος στο σύστηµα) 2(1- ρ) N λ Τ (Μέσος αριθµός πελατών στο σύστηµα ) ρ λ / µ 33

36 Το σύστηµα M/G/1 Παραδείγµατα: Σύστηµα M/M/ E{X}, E{X } 2 µ µ W ρ µ (1 ρ) ρ µ - λ, Σύστηµα M/D/1 (Determiistic Service Time όλοι έχουν σταθερό χρόνο εξυπηρέτησης 1/µ) E{X}, E{X }, 2 µ µ W ρ 2µ (1 ρ) (ελάχιστο για δοσµένα µ και ρ) 34

37 Το σύστηµα M/G/1 Απόδειξη της φόρµουλας P - K Έστω W i χρόνος αναµονής στην ουρά του πελάτη i R i υπολειπόµενος χρόνος εξυπηρέτησης όπως τον βλέπει ο πελάτης i X i χρόνος εξυπηρέτησης του πελάτη i N i αριθµός πελατών που βρίσκει ο πελάτης i να αναµένουν στην ουρά W i R i + i 1 j i-ni X j E{Wi } E{R i} + E{X}E{N i} 1 W R + NQ ( i ) µ W R + ρ W (NQ λw, θεώρηµα Little) 35

38 Το σύστηµα M/G/1 Τελικά έχουµε W R 1-ρ Και χρησιµοποιώντας R λ E{X 2 2 } Για το µέσο χρόνο αναµονής (δες επόµενο ) W 2 λ E{X } 2(1- ρ) 36

39 Το σύστηµα M/G/1 Υπολογισµός του υπολειπόµενου χρόνου εξυπηρέτησης Υπολειπόµενος χρόνος εξυπηρέτησης r(t) X 1 0 t χρόνος t X 1 X 2 X M(t) 37

40 Το σύστηµα M/G/1 Υπολειπόµενος χρόνος εξυπηρέτησης r(t) X 1 0 t Time t X 1 X 2 M(t) t M(t) Xi M(t) i 1 r( τ)dτ X i t 0 t i t M(t) Παίρνοντας το όριο όπως το t προκύπτει R (1/2) λe{x 2 } 2 X M(t) 38

41 Αναµονή µε Προτεραιότητες Οι προτεραιότητες εισάγουν πολυπλοκότητα ύο σηµαντικά µοντέλα επιδέχονται λύσεις κλειστής µορφής µε βάση το µοντέλο M/G/1 39

42 Αναµονή µε Προτεραιότητες Μοντέλο 1: Nopreemptive Priority Queueig Προτεραιότητα 1 (υψηλότερη) Προτεραιότητα (χαµηλότερη) Ο πελάτης υπό εξυπηρέτηση δεν διακόπτεται κλάσεις προτεραιοτήτων(1 υψηλότερη, χαµηλότερη) λ k, µ k : ρυθµοί άφιξης και εξυπηρέτησης προτεραιότητας k W k : µέσος χρόνος αναµονής για προτεραιότητα k ρ k λ k / µ k : ένταση κίνησης για προτεραιότητα k R µέσος υπολειπόµενος χρόνος εξυπηρέτησης 40

43 Αναµονή µε Προτεραιότητες Υποθέτοντας ρ 1 + ρ ρ < 1 έχουµε R Wk, k (1-ρ ρk - 1)(1-ρ ρk) 1,..., R X X 2 2 λ 1E{X } λ 1 E{X 2 } Σηµειώστε την ανεξαρτησία του χρόνου αναµονής W k της υψηλής προτεραιότητας από το ρυθµό άφιξης λ i χαµηλής προτεραιότητας. 41

44 Αναµονή µε Προτεραιότητες Μοντέλο 2: Preemptive Resume Priority Ο υπό εξυπηρέτηση πελάτης διακόπτεται από αφικνούµενο πελάτη υψηλότερης προτεραιότητας Η εξυπηρέτηση του πελάτη που διεκόπη ξαναρχίζει από το σηµείο της διακοπής Μέσος χρόνος στο σύστηµα για προτεραιότητα k T k (1/ µ k)(1- ρ ρk) + Rk (1- ρ ρk - 1)(1- ρ ρ k ) όπου R k k 1 λie{x 2 2 i } 42

45 ίκτυα Ουρών ύσκολο να βρεθούν λύσεις κλειστής µορφής Χρειάζονται απλουστευτικές υποθέσεις 43

46 ίκτυα Ουρών Ουρές στη σειρά: Παράδειγµα 1 M/D/1 M/D/1 (;) Packet arrivals at queue Packet arrivals at queue Time at Queue 1 Time at Queue Packet arrivals at queue 2 εν υπάρχει αναµονή στη δεύτερη ουρά Το µοντέλο M/D/1 δεν εφαρµόζεται στη δεύτερη ουρά 44

47 ίκτυα Ουρών Ουρές στη σειρά: Παράδειγµα 2 M/M/1 M/M/1 (;) Packet arrivals at queue 1 S L S S Time at Queue 1 S L S S Time at Queue 2 S Log Service Time Log Service Time L S S Χρόνος «ενδοάφιξης» στη 2 η ουρά είναι µεγάλος όταν λαµβάνεται µεγάλο πακέτο Οι χρόνοι αφίξεων και εξυπηρετήσεων δεν είναι ανεξάρτητοι. Η 2 η ουρά δεν είναι M/M/1. 45

48 ίκτυα Ουρών Ενδιαφέρον αποτέλεσµα για το «εν σειρά» σύστηµα M/M/1 : Η διαδικασία αναχωρήσεων από τη 1 η ουρά είναι Poisso (Burke s Theorem). Εποµένως, αν οι χρόνοι αφίξεων και εξυπηρετήσεων ήταν ανεξάρτητοι, η 2 η ουρά θα ήταν M/M/1. Η συνήθης υπόθεση στα δίκτυα επικοινωνιών είναι να υποθέσουµε αυτή την ανεξαρτησία. 46

49 ίκτυα Ουρών Μοντέλο δικτύων ουρών x p3 x p1 x p1 x p2 x p2 x p3 ιάφορες ροές πακέτων. Η ροή στο µονοπάτι p, έχει ρυθµό x p (packets / sec) Ολικός ρυθµός άφιξης στη ζεύξη (i,j) λ ij Σx p όλα τα µονοπάτια p που διέρχονται από τη ζεύξη (i,j) µ ij Ρυθµός εξυπηρέτησης στη ζεύξη (i,j) N ij Μέσος αριθµός πακέτων στη ζεύξη (i,j) 47

50 ίκτυα Ουρών Προσέγγιση Ανεξαρτησίας του Kleirock Υποθέτει ότι όλες οι ουρές (i,j) συµπεριφέρονται όπως η M/M/1 µε δοσµένο ρυθµό άφιξης λ ij, ρυθµό εξυπηρέτησης µ ij, και καθυστέρηση επεξεργασίας / διάδοσης d ij. N ij λij µ ij - λ ij + λ ij d ij Μέσος αριθµός πακέτων σε ολόκληρο το δίκτυο. N (i,j) N ij (i,j) λij µ ij - λ ij + λ ij d ij 48

51 ίκτυα Ουρών Μέσος χρόνος στο σύστηµα (θεώρηµα Little) T 1 λ (i,j) λij µ ij - λ ij + λ ij d ij όπου λ Σ p x p είναι ο συνολικός ρυθµός άφιξης 49

52 ίκτυα Ουρών Ποιότητα της «Προσέγγισης Ανεξαρτησίας» Αρκετά καλή για πυκνά διασυνδεδεµένα δίκτυα και µέτριο προς βαρύ φορτίο. Καλή για εφαρµογές που η ακρίβεια πρόβλεψης δεν είναι πολύ σηµαντική. Χρήσιµη για υπολογισµούς τοπολογικού σχεδιασµού, ως συµπλήρωµα σε προσοµοιώσεις κλπ. 50

53 ίκτυα Ουρών Παράδειγµα όπου η Προσέγγιση του Kleirock δεν είναι καλή λ/2 λ λ/2 Ροή πακέτων Poisso διαχωρίζεται σε δύο ίσης χωρητικότητας ζεύξεις. Εάν το αφικνούµενο πακέτο τοποθετείται στην µικρότερη ουρά, το σύστηµα συµπεριφέρεται ως µία ουρά M/M/2 µε ρυθµό λ. Η προσέγγιση ανεξαρτησίας λέει ότι κάθε ουρά συµπεριφέρεται ως M/M/1 µε ρυθµό λ/2. Λάθος εκτίµηση κατά ένα παράγοντα (1+ρ). 51

54 Θεώρηµα του JACKSON x p3 x p1 x p1 x p2 x p2 x p3 Υποθέσεις: Αφίξεις από το εξωτερικό του δικτύου είναι Poisso. Σε κάθε ουρά, όλες οι ροές πακέτων έχουν την ίδια εκθετική κατανοµή για τους χρόνους εξυπηρέτησης. Χρόνοι αφίξεων και εξυπηρετήσεων είναι ανεξάρτητοι. 52

55 Θεώρηµα του JACKSON Τότε: Η πιθανοτική κατανοµή σε κατάσταση ισορροπίας του αριθµού των πελατών σε κάθε ουρά είναι η ίδια µε αυτή της µεµονωµένης ουράς M/M/1. Μπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον υπολογισµό της κατανοµής και των µέσων καθυστερήσεων σε κατάσταση ισορροπίας Αξιοσηµείωτο αποτέλεσµα επειδή η συνδυασµένη διαδικασία αφίξεων σε κάθε ουρά µπορεί να µην είναι Poisso. 53

56 Τέλος Ενότητας

57 Άδεια Χρήσης

58 Σηµείωµα Αναφοράς Copyright Εθνικόν και Καποδιστριακόν Πανεπιστήµιον Αθηνών, Μεράκος Λάζαρος «ίκτυα Επικοινωνιών ΙΙ. Ενότητα 2: Συστήµατα Αναµονής». Έκδοση: Αθήνα ιαθέσιµο από τη δικτυακή διεύθυνση:

59 Χρηµατοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Μαθήµατα στο Πανεπιστήµιο Αθηνών» έχει χρηµατοδοτήσει µόνο τη αναδιαµόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράµµατος «Εκπαίδευση και ια Βίου Μάθηση» και συγχρηµατοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο) και από εθνικούς πόρους.