Απλα Συστήματα Αναμονής Υπενθύμιση

Transcript

1 Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επίδοση Υπολογιστικών Συστημάτων Α.-Γ. Σταφυλοπάτης Απλα Συστήματα Αναμονής Υπενθύμιση

2 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό όπως εικόνες που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.

3 Μοντέλα συστημάτων αναμονής Διαδικασία αφίξεων Διαδικασία εξυπηρέτησης Ποσότητα/χρόνος/ρυθμός εξυπηρέτησης Αριθμός εξυπηρετητών Χωρητικότητα Πληθυσμός πελατών Κανονισμός εξυπηρέτησης 3

4 Ο συμβολισμός του edall A/B///m/Z A διαδικασία αφίξεων κατανομή χρόνου μεταξύ αφίξεων B κατανομή χρόνου εξυπηρέτησης M = Markova εκθετική Posso D = Determst σταθερή E k = Erlag k σταδίων H k = Υπερεκθετική k σταδίων G = Geeral 4

5 Ο συμβολισμός του edall A/B///m/Z αριθμός εξυπηρετητών χωρητικότητα του συστήματος παραλείπεται όταν = m πληθυσμός πελατών παραλείπεται όταν m= Z κανονισμός εξυπηρέτησης FCFS LCFS Roud-Rob Proessor Sharg Ifte Server προτεραιότητες 5

6 Παραδείγματα Η ουρά D/D/ Περιοδικές αφίξεις με περίοδο /λ Σταθεροί χρόνοι εξυπηρέτησης /μ εξυπηρετητής και άπειρος χώρος Αν λ < μ δεν υπάρχει αναμονή στην ουρά D/D/ Η κύρια αιτία της καθυστέρησης είναι η τυχαιότητα Radomess s a major ause Συνθήκη ευστάθειας λ < μ of delay a etwork ode 6

7 Παραδείγματα Η ουρά M/M/ Αφίξεις Posso ρυθμός λ Εκθετικοί χρόνοι εξυπηρέτησης μέση τιμή /μ μ ρυθμός εξυπηρέτησης εξυπηρετητής και άπειρος χώρος Η ουρά M/M/ είναι το απλούστερο και σημαντικότερο μοντέλο αναμονής etwork ode Συνθήκη ευστάθειας λ < μ 7

8 Ο τύπος του Lttle Αφίξεις Μαύρο κουτί Αναχωρήσεις Σύστημα σε κατάσταση ισορροπίας E[] = λe[t] Μέσος αριθμός = ρυθμός x μέσος χρόνος στο σύστημα αφίξεων στο σύστημα 8

9 Ο τύπος του Lttle Παρατήρηση του συστήματος για διάστημα S = Αριθμός αφίξεων στο διάστημα S ~ Αριθμός αναχωρήσεων για μεγάλο S Ισορροπία at : αριθμός αφίξεων μέχρι τη στιγμή t t : αριθμός αναχωρήσεων μέχρι τη στιγμή t t=at-t : αριθμός πελατών στο σύστημα τη στιγμή t a : στιγμή άφιξης του -στού πελάτη : στιγμή αναχώρησης του -στού πελάτη T = a : χρόνος παραμονής του -στού πελάτη στο σύστημα 9

10 Ο τύπος του Lttle ] [ / ] [ S a E T S dt t S E ] [ S S a dt t dt t a t ] [ ] [ T E E

11 Ο τύπος του Lttle Διαισθητικά: Έστω τυχαίος πελάτης. Κατά την άφιξή του στο σύστημα πρέπει να βρεί E πελάτες. Παραμένει στο σύστημα για χρόνο ET. Άρα λet πελάτες πρέπει να αφίχθηκαν κατά τη διάρκεια της παραμονής του. Σε κατάσταση ισορροπίας ο μέσος αριθμός πελατών που παραμένουν στο σύστημα κατά την αναχώρηση του πελάτη πρέπει να ισούται με τον μέσο αριθμό πελατών που βρήκε κατά την άφιξή του.

12 Μοντέλα αναμονής γεννήσεων-θανάτων Χώρος καταστάσεων = 2 Μεταβάσεις μόνο μεταξύ γειτονικών καταστάσεων Ομοιογενής αλυσίδα Markov Ρυθμός γεννήσεων λ Ρυθμός θανάτων μ q + = λ q - = μ q = -λ +μ Στατική κατανομή πιθανότητας 2

13 Μοντέλα αναμονής γεννήσεων-θανάτων Εξισώσεις ισορροπίας 2 Ροή από την κατάσταση = Ροή προς την κατάσταση 2 Τοπική ισορροπία 3

14 Μοντέλα αναμονής γεννήσεων-θανάτων Γενική λύση 2 Η στατική κατανομή υπάρχει αν ή > Συνθήκη ισορροπίας S 4

15 Το σύστημα M/M/ λ = λ =2 μ = μ =2 Ένταση κυκλοφορίας ρ = λ/μ Bαθμός χρησιμοποίησης 2 Συνθήκη ισορροπίας λ<μ : S = /-λ/μ S = -λ/μ 5

16 Το σύστημα M/M/ ] [ ] [ ] [ ] [ ]/ [ ] [ ] [ 2 2 E T E W E x e x P T x F E E T E w x Κατανομή αριθμού πελατών Μέσος αριθμός στο σύστημα Μέσος χρόνος απόκρισης παραμονής - Τύπος Lttle Κατανομή χρόνου απόκρισης Μέσος αριθμός σε αναμονή Μέσος χρόνος αναμονής Τύπος Lttle 6

17 Το σύστημα M/M/!!!! λ = λ =2 μ = mμμ =2 Ένταση κυκλοφορίας ρ = λ/μ < Bαθμός χρησιμοποίησης καθενός εξυπηρετητή! ] [ P Πιθανότητα αναμονής Τύπος C του Erlag 7

18 Ifte Servers - IS Το σύστημα M/M/ λ = λ =2 μ = μ =2! e 2 Ένταση κυκλοφορίας ρ = λ/μ E[ ] Δεν υπάρχει αναμονή. Πάντα σε ισορροπία. E[ T ] / Σταθμός καθυστέρησης Delay eter 8

19 Το σύστημα M/M// Πεπερασμένος χώρος αναμονής 2 Ένταση κυκλοφορίας ρ = λ/μ Πάντα σε ισορροπία. Αν ρ=: 2 9

20 Το σύστημα M/M// Πεπερασμένος χώρος αναμονής Οι αφίξεις που βρίσκουν το σύστημα γεμάτο «χάνονται». Πιθανότητα αποκλεισμού blokg robablty: B Πραγματικός ρυθμός αφίξεων Τύπος Lttle: Ρυθμός απωλειών: B B Εφαρμογή: Κλειστό σύστημα CPU δίσκος εργασίες 2

21 Το σύστημα M/M//! 2! Τύπος απώλειας Loss formula του Erlag:! / 2! /! / 2 Ένταση κυκλοφορίας ρ = λ/μ Πάντα σε ισορροπία. 2

22 Το σύστημα M/M/// Πεπερασμένος πληθυσμός Επισκευή μηχανών!! 2!! α = ρυθμός προσέλευσης καθενός πελάτη ρυθμός «βλάβης» Πάντα σε ισορροπία. Βαθμός χρησιμοποίησης: ρ = - = λ/μ Πραγματικός ρυθμός αφίξεων: λ = ρμ = - μ 22

23 Το σύστημα M/M/// // E[ W ] / Ρυθμός αφίξεων = Ρυθμός απόδοσης E[ W ] / / / E[ w ] / / E[ T ] E[ W ] / / / E[ ] / Μέσος χρόνος αναμονής Μέσος αριθμός σε αναμονή Τύπος Lttle Μέσος χρόνος απόκρισης Μέσος αριθμός στο σύστημα Τύπος Lttle Πιθανότητα μη λειτουργίας μιας μηχανής = E[T]/E[T]+/α Εφαρμογή: Διαλογικό σύστημα με τερματικά 23

24 Άλλα μοντέλα αναμονής Εκθετικά στάδια κατανομή Erlag υπερεκθετική κατανομή κατανομές Cox M/E k / E k /M/ Ομαδικές αφίξεις Ομαδική εξυπηρέτηση Γενικές κατανομές M/G/ G/M/ G/G/ 24

25 Το σύστημα M/G/ Μέσος αριθμός στο σύστημα Τύπος των Pollazek-hhe P- E[ ] λ = ρυθμός αφίξεων s = χρόνος εξυπηρέτησης 2 2 E[ s ] 2 C s = συντελεστής μεταβλητότητας χρόνου εξυπηρέτησης Ένταση κυκλοφορίας 2 C 2 s 2 ρ = λe[s] < Συνθήκη ισορροπίας 25

26 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα» του ΕΜΠ έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο και από εθνικούς πόρους.