Θέμα 1 (20%) (α) Πότε είναι εργοδικό το παραπάνω σύστημα; Για πεπερασμένο c, το σύστημα είναι πάντα εργοδικό.

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τομέας Επικοινωνιών, Ηλεκτρονικής & Συστημάτων Πληροφορικής Εργαστήριο Διαχείρισης & Βέλτιστου Σχεδιασμού Δικτύων - NETMODE Ηρώων Πολυτεχνείου 9, Ζωγράφου, Αθήνα, Τηλ: , Fax: maglaris@netmode.ntua.gr, URL: Θέμα 1 (20%) Έστω ότι δίνεται ένα τηλεφωνικό κέντρο το οποίο μοντελοποιείται ως μία ουρά M/M//, δηλαδή μία ουρά που διαθέτει εξυπηρετητές ίδιων δυνατοτήτων και μέγιστη χωρητικότητα πελάτες. Οι αφίξεις στο σύστημα ακολουθούν την κατανομή Poisson με μέσο ρυθμό λ και οι εξυπηρετήσεις ακολουθούν την εκθετική κατανομή με μέσο ρυθμό μ. (α) Πότε είναι εργοδικό το παραπάνω σύστημα; Για πεπερασμένο, το σύστημα είναι πάντα εργοδικό. (β) Να εκφράσετε την πιθανότητα απόρριψης ενός πελάτη από το σύστημα B(ρ, ) ως συνάρτηση της έντασης φορτίου ρ = λ μ που δέχεται η ουρά και του αριθμού των εξυπηρετητών που διαθέτει η ουρά. Το διάγραμμα μεταβάσεων είναι το παρακάτω: λ λ λ λ λ C-1 μ 2μ 3μ (-1)μ μ Οι εξισώσεις ισορροπίας θα είναι οι εξής: λp 0 = μp 1 λp 1 = 2μP 2 λp 2 = 3μP 3 λp 1 = μp P i = 1 i=0

2 Επιλύνοντας το σύστημα και με δεδομένο ότι ρ = λ προκύπτει ότι: μ Και P 0 = 1 k=0 ρ k k! P κ = ρ k k! i=0 ρi i! Η πιθανότητα απόρριψης πελάτη Β(ρ, ) είναι η πιθανότητα ένας εισερχόμενος πελάτης να βρει το σύστημα γεμάτο (στην κατάσταση ), άρα: B(ρ, ) = ρ! k=0 ρ k k! (γ) Να αναλύσετε το τηλεφωνικό δίκτυο μίας εταιρείας που διαθέτει 3 εξωτερικές τηλεφωνικές γραμμές και εξυπηρετεί 30 υπαλλήλους. Πραγματοποιώντας μετρήσεις στο δίκτυο διαπιστώσατε ότι ένας υπάλληλος χρησιμοποιεί το τηλέφωνο κατά μέσο όρο 10 λεπτά σε μία ώρα. Να υπολογίσετε την πιθανότητα απόρριψης κλήσης Β(ρ, ) από το δίκτυο, χρησιμοποιώντας τον παρακάτω πίνακα για την κατανομή Erlang-B: ρ =

3 ρ = Tο συνολικό φορτίο θα είναι ίσο με: Συνεπώς η πιθανότητα απόρριψης θα είναι: 10 min ρ = 30 υπάλληλοι = 5 Erlang 60 Β(ρ, ) = B(5,3) = = 52.87% (δ) Να προσδιορίσετε τον ελάχιστο αριθμό τηλεφωνικών γραμμών που απαιτείται ώστε η πιθανότητα απόρριψης κλήσης από το δίκτυο να γίνει μικρότερη από 30%. Για σταθερό συνολικό φορτίο 5 Erlang και με βάση τον πίνακα που έχει δοθεί, προκύπτει ότι ο ελάχιστος αριθμός γραμμών που απαιτείται είναι =5. Θέμα 2 (25%) Θεωρείστε το απλό δίκτυο μεταγωγής πακέτων του παρακάτω σχήματος. Το δίκτυο περιλαμβάνει 5 κόμβους (Α, Β, C, D, E), οι οποίοι διασυνδέονται με τους συνδέσμους (γραμμές) χωρητικότητας C i, των οποίων οι τιμές (σε Kbps, δηλαδή Kbits/se) φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Ροή πακέτων με ρυθμό γ 1 = 4 πακέτα/se πρόκειται να δρομολογηθεί από τον κόμβο Α προς τον κόμβο Ε, ενώ ροή πακέτων με ρυθμό γ 2 = 2 πακέτα/se πρόκειται να δρομολογηθεί από τον κόμβο Β προς τον κόμβο Ε (προς μία κατεύθυνση μόνο, όπως δείχνουν τα βέλη των συνδέσμων). Το μέσο μήκος πακέτου είναι 125 Βytes. Να υποθέσετε ότι στον κόμβο Β, τα πακέτα δρομολογούνται με αναλογία 1/2 από το σύνδεσμο χωρητικότητας C 2, α από το σύνδεσμο χωρητικότητας C 4 και 1/2 - α από το σύνδεσμο χωρητικότητας C 5.

4 γ 1 = 4 πακέτα/se γ 2 = 2 πακέτα/se A B D E C 1 = 15 Kbps C 2 = 10 Kbps 1/2 α 1/2-α C C 4 = 6 Kbps C 5 = 3 Kbps C 3 = 10 Kbps C 6 = 20 Kbps α) Να αναφέρετε τις απαραίτητες παραδοχές ώστε οι σύνδεσμοι (γραμμές) να μπορούν να μοντελοποιηθούν σαν Μ/Μ/1 ουρές. Τυχαίες εξωτερικές αφίξεις Poisson. Τυχαία δρομολόγηση πακέτων βάσει των πιθανοτήτων a, 1 a. 2 Ανεξάρτητες εκθετικές εξυπηρετήσεις πακέτων, παραδοχή Kleinrok ανεξαρτησίας εξυπηρετήσεων. Άπειρες ουρές FIFO, χωρίς απώλειες. β) Να βρείτε την τιμή της παραμέτρου α που ελαχιστοποιεί το μέσο χρόνο καθυστέρησης πακέτου από άκρο σε άκρο του δικτύου. Αρχικά, το μέσο μήκος πακέτου είναι E(L) = 125 Bytes = 1000 bits Στη συνέχεια, οι σύνδεσμοι μοντελοποιούνται σαν ουρές Μ/Μ/1 με μέσο ρυθμό εξυπηρέτησης μ i = C i. Άρα, E(L) μ 1 = 15, μ 2 = 10, μ 3 = 10, μ 4 = 6, μ 5 = 3, μ 6 = 20 (πακέτα/se) Βάσει των εξωτερικών ροών και των πιθανοτήτων διάσπασης, κάθε ουρά του συστήματος δέχεται: λ 1 = γ 1 = 4 πακέτα/se λ 2 = 1 2 (γ 1 + γ 2 ) = 3 πακέτα/se λ 3 = λ 2 = 3 πακέτα/se λ 4 = α(γ 1 + γ 2 ) = 6α πακέτα/se λ 5 = ( 1 2 α) (γ 1 + γ 2 ) = 3 6α πακέτα/se λ 6 = γ 1 + γ 2 = 6 πακέτα/se Η ένταση του φορτίου που δέχεται κάθε ουρά του συστήματος είναι ρ i = λ i μ i και άρα: ρ 1 = 4 15, ρ 2 = 0.3, ρ 3 = 0.3, ρ 4 = α, ρ 5 = 1 2α, ρ 6 = 0.3 (erlangs)

5 Ο μέσος αριθμός πακέτων σε κάθε ουρά είναι E(n i ) = ρ i και άρα: 1 ρ i Ε(n 1 ) = 4 11, E(n 2 ) = 3 7, Ε(n 3 ) = 3 7, Ε(n 4 ) = a 1 a, E(n 5 ) = 1 2a 2a, E(n 6 ) = 3 7 (πακέτα) Ο μέσος αριθμός πακέτων στο σύστημα είναι: 6 E(n) = E(n i ) i=1 Η μέση καθυστέρηση πακέτου από άκρη σε άκρη του δικτύου είναι Ε(Τ) = Ε(n) γ 1 +γ 2, η οποία ελαχιστοποιείται για: dε(τ) da = 0 de(n) da = 0 α2 + 2α 1 = 0 a = γ) Για την τιμή του α που προσδιορίσατε στο προηγούμενο ερώτημα, να βρείτε το μέσο χρόνο καθυστέρησης πακέτου για τη ροή γ 2 (από τον κόμβο Β στον κόμβο Ε). Ο μέσος χρόνος καθυστέρησης πακέτου σε μια ουρά αναμονής είναι E(T i ) = 1 μ i λ i Ε(Τ 2 ) = , Ε(Τ 3 ) = , Ε(Τ 4 ) = , Ε(Τ 5 ) = , Ε(Τ 6 ) = μέσος χρόνος καθυστέρησης πακέτου για τη ροή γ 2 είναι: E(T γ2 ) = 1 (E(T 2 2 ) + E(T 3 )) + αε(τ 4 ) + (1 α) E(T 2 5 ) + Ε(Τ 6 ) = se και, άρα δ) Για το α που προσδιορίσατε στο προηγούμενο ερώτημα, να βρείτε ποιος σύνδεσμος αποτελεί τη στενωπό του δικτύου. Στη συνέχεια, με βάση αυτόν τον σύνδεσμο, να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή της παραμέτρου γ 1 ώστε το σύστημα να παραμένει εργοδικό, θεωρώντας ότι η τιμή της παραμέτρου γ 2 παραμένει σταθερή. Για a = 0.414, οι τιμές των ρ i είναι: ρ 1 = 0.27, ρ 2 = 0.3, ρ 3 = 0.3, ρ 4 = 0.414, ρ 5 = 0.172, ρ 6 = 0.3 (erlangs) Άρα, στενωπός του συστήματος είναι η ουρά 4. Με βάση αυτήν την ουρά, η μέγιστη τιμή της παραμέτρου γ 1 είναι: ρ 4 = 1 λ 4 = 1 α(γ 1 + γ 2 ) = (γ 1 + 2) = 1 μ 4 μ 4 6 γ 1 = (πακέτα/se) Ο Θέμα 3 (25%) Να θεωρήσετε ένα υπολογιστικό σύστημα που εξυπηρετεί εντολές προερχόμενες από τρία ενεργά τερματικά (παράθυρα). Ένα απλό μοντέλο του συστήματος παρατίθεται στο σχήμα που ακολουθεί σαν κλειστό δίκτυο δύο ανεξάρτητων υποσυστημάτων: το υποσύστημα τριών τερματικών Q 1 και το υποσύστημα επεξεργασίας (CPU) Q 2. Μετά την ολοκλήρωση εξυπηρέτησης (CPU) οι εντολές επανέρχονται σαν απαντήσεις σε όποιο παράθυρο είναι

6 διαθέσιμο το οποίο καταθέτει νέα εντολή μετά από παρέλευση τυχαίας καθυστέρησης (thinking time). γ N = 3 εντολές μ 1 μ 1 μ 2 p μ p Q 1 (terminals) Q 2 (CPU) Να θεωρήσετε τις ακόλουθες παραδοχές: 1) Τα τρία ενεργά παράθυρα εισάγουν εκθετική καθυστέρηση (thinking time) 1 μ 1 = 1 se κατά μέσο όρο, από τη στιγμή της απόκρισης μέχρι την κατάθεση νέας εντολής. 2) Κάθε εντολή για να εξυπηρετηθεί χρειάζεται έναν τυχαίο αριθμό τεμαχίων (CPU quanta), το καθένα με ανεξάρτητες εκθετικές απαιτήσεις εξυπηρέτησης. Κατά μέσο όρο μια εντολή απαιτεί 3 επιπλέον εξυπηρετήσεις (ανάδραση) τεμαχίων πέραν την αρχικής προτού εξέλθει από το υποσύστημα επεξεργασίας. Συνολικά, μια εντολή χρειάζεται 4 CPU quanta κατά μέσο όρο. Η συνολική επεξεργασία εντολών (CPU) αναπαρίσταται με μια ουρά με εκθετική εξυπηρέτηση μέσου ρυθμού μ2 = 6 τεμάχια/se. Η ανάδραση τεμαχίων γίνεται με πιθανότητα 1 p. Στο δίκτυό σας υπάρχουν Ν = 3 εντολές. Να απαντήσετε στις ακόλουθες ερωτήσεις: (α) Να ορίσετε την κατάσταση του συστήματος και να σχεδιάσετε το διάγραμμα καταστάσεων, όταν το σύστημα ισορροπεί. Η κατάσταση του συστήματος δίνεται από το διάνυσμα n = (n 1, n 2 ) όπου n k αριθμός πελατών στο υποσύστημα k, k=1,2. Οι δυνατές μεταβάσεις και οι μέσοι ρυθμοί στην εργοδική κατάσταση περιγράφονται στο κατωτέρω σχήμα. 3μ 1 3μ 1 3μ 1 3,0 2,1 1,2 0,3 pμ 2 pμ 2 pμ 2 (β) Να υπολογίσετε τις εργοδικές πιθανότητες των καταστάσεων του συστήματος, όταν εκείνο ισορροπεί.

7 Η πιθανότητα ανάδρασης είναι 1 p = 3, άρα p = Με βάση τα το σύστημα οι εξισώσεις ισορροπίας θα είναι οι εξής: 3μ 1 P(3,0) = pμ 2 P(2,1) 2μ 1 P(2,1) = pμ 2 P(1,2) μ 1 P(1,2) = pμ 2 P(0,3) Επίσης ισχύει πως P(3,0) + P(2,1) + P(1,2) + P(0,3) = 1. Με βάση τις δεδομένες τιμές των μ 1, μ 2, p προκύπτουν οι παρακάτω τιμές: P(3,0) = , P(2,1) = , P(1,2) = , P(0,3) = (γ) Να υπολογίσετε το μέσο αριθμό εντολών σε κάθε υποσύστημα. Ο μέσος αριθμός εντολών σε κάθε υποσύστημα θα είναι ως εξής: E(n 1 ) = 0 P(0,3) + 1 P(1,2) + 2 P(2,1) + 3 P(3,0) = E(n 2 ) = 0 P(3,0) + 1 P(2,1) + 2 P(1,2) + 3 P(0,3) = N = E(n 1 ) + E(n 2 ) = 3 (δ) Να υπολογίσετε τη μέση ρυθμαπόδοση (throughput) γ του συστήματος. Η ρυθμαπόδοση του του συστήματος είναι ίση με: γ = pμ 2 (1 P(3,0) = εντολές/se