2.1 Πολυώνυμα. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; 3 2 ii. x iii. 3 iv. vi.

Transcript

1 .1 Πολυώνυμα 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; i. 1 x + x ii. x + 7 x iii. 5 x + 7x x iv. 1 x + x v x + x + 4x vi. 1 x + 5x. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του χ: ί) 1-χ ii) α -α χ+αχ -χ iii) χ + 1 x ίν) χ 4 -χ + 4χ- 1. Δίνονται τα πολυώνυμα: P (x) = x - x, Q (x) = x - x - 1. Να βρεθούν: α) P (x) + Q (x) β) P (x) - Q (x) γ) P (x). Q (x) 4. Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(χ) = χ 5χ+ και Q(x) = χ +χ+1. Να βρεθούν τα\ πολυώνυμα: i) Ρ(χ) + Q(x) ii) P(x) - Q(x) iii) P(x) Q(x) iv) [P(x)]

2 5. Δίνονται τα πολυώνυμα και P x + f x i. ii. P iii. P P f iv. P( P ) P (x ) = x x f x 1 P =. Να βρεθούν τα πολυώνυμα: 6. Έστω το πολυώνυμο P x = x x+. Να βρείτε τα πολυώνυμα: P x 1 ii. P x iii. P x i. ( ) 7. Να εξετάσετε ποιο από τους αριθμούς που δίνονται είναι ρίζες των αντίστοιχων πολυωνύμων: 4 i. P = x x + 6x 4, x 1 =, x =, x = 1 ii. 4 5 Q = x + 5x x 5x, x 1 = 0, x =, x = iii. 1 F = x + ( 1 α) x + ( α α) x + α, x 1 = 1, x = α, x = 8. Να εξετάσετε ποιοι από τους αριθμούς, που δίνονται με τα παρακάτω πολυώ νυμα, είναι ρίζες τους. i) Ρ(χ)=χ -χ +χ+7, χ = -1, χ =1 ii) Q(χ)= -χ 4 +1, χ = -1, χ = 1, χ = 9. Δίνεται το πολυώνυμο την τιμή της παράστασης 10. Έστω το πολυώνυμο x = P( ) P x x = + x + 1. Να βρεθούν τα P ( 1), 1, P. Να βρείτε A = P P 1 4P. ( ) = x x + 5 P. Να βρεθεί η τιμή του πολυωνύμου για 11. Να διαταχθούν τα στοιχεία του συνόλου { P ( ), P ( 5 ), P ( 1 ), P ( ), P ( ), P ( 6 ) } P πολυώνυμο που ικανοποιεί τη σχέση P P 9 1. Δίνεται το πολυώνυμο x x 4 10x Ρ = +. α) Ποιος είναι ο σταθερό όρος του P ; β) Ποιοι είναι οι συντελεστές του P ; γ) Ποιος είναι ο βαθμός του P ; δ) Να εξετάσετε αν το x = είναι ρίζα του P. ε) Να βρείτε όλες τις ρίζες του P x. αν 4 = x 8x

3 8 1. Να βρεθεί ο βαθμός του πολυωνύμου ( ) ( 1) 6 Ρ x = x x x + x. 14. Να βρεθούν τα α, R Q 4 = x 8x α β για τα οποία τα πολυώνυμα P ( x ) x 4 ( ) x = α + β + α + β + 7 και είναι ίσα. 15. Αν ( x )( x 5 ) + β ( x 5 )( x 7 ) + γ ( x 7 )( x ) = 8x 10 α, να βρείτε τα α, β, γ. =, f = x x +, h x 1 = 5x 5, να βρείτε τα α, β, γ ώστε να αληθεύει η ισότητα f h = g d(x). 16. Αν g ( x ) ( 1 ) x ( ) x α + + β + ( γ 0 ) x + d + = και 17. Αν είναι: P x x = α + ( β ) x + γ 5 και 4 Q ( δ 1) x + αx x + 5x + α βρείτε τις τιμές των α, β, γ και δ έτσι, ώστε P = Q = να 18. Αν τα πολυώνυμα: P ( x ) = x + ( α ) x ( β 1 ) x 6 β να βρείτε τις τιμές των α, β, γ και δ. και = γx + x + δ Q είναι ίσα, 19. Δίνονται τα πολυώνυμα: P ( x ) = x 4 ( α + β ) x + γx ( α + δ ) x + β δ 4 Q = ( β α) x γx + ( β + δ) x βx + 1. Αν P = Q : α) να βρείτε τις τιμές των α, β, γ και δ, β) να εξετάσετε αν το = 1 ρ είναι ρίζα του P. και 0. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ, για τους οποίους το πολυώνυμο f(x) = χ -7χ+5 παίρνει τη μορφή f(x) = αχ(χ+1)+βχ+γ 1. Να προσδιοριστεί ο α R ώστε το πολυώνυμο P (x) = 9x - x + 8x + 7 να παίρνει τη μορφή α (x + x) - x + (x - ) (x + x + 9).. Να βρείτε την τιμή της παράστασης μ ώστε το πολυώνυμο P x = 9μ 1 x + μ + 1 x + 6μ + να είναι το μηδενικό.. Έστω 7 4 μ = 0 πολυώνυμο Να δειχθεί ότι το Ρ = ( μ ) x + μ είναι μηδενικό 4. Για ποιες τιμές του λ το πολυώνυμο: P x = λ 1 x + λ + λ x + λ + λ x + λ + λ 4 x + λ 4λ + είναι το μηδενικό; 5

4 5. Δίνεται το πολυώνυμο: P ( x ) ( 1 ) x ( ) x ( ) x = λ + λ + λ + λ + λ + λ 1. Να βρείτε τις τιμές του λ, για τις οποίες το είναι το μηδενικό πολυώνυμο. 6. Θεωρούμε το πολυώνυμο: ( λ ) ( λ μ ) Να βρείτε τους λ, μ, ν ώστε για κάθε x το P x = v x x+ v+ 7. Να δείξετε ότι για κάθε α, β το πολυώνυμο μηδενικό. P x είναι το μηδενικό πολυώνυμο. ( β ) ( P x a x a β x = + ) είναι μη 8. Να βρείτε για ποιες τιμές του μ, το πολυώνυμο Ρ(χ) = (4μ -μ)χ + 4(μ - 1 )χ - μ+1 είναι το μηδενικό πολυώνυμο Να βρείτε τις τιμές των α, β, γ ώστε το πολυώνυμο: Ρ x = α 1 x + αβ x+ α 1 να είναι σταθερό. 0. Να βρείτε το λ ώστε το πολυώνυμο: ( ) ( 9) ( 5 6) να είναι σταθερό. 1. Έστω το πολυώνυμο: P ( λ ) Να βρείτε το λ ώστε το α. σταθερό πολυώνυμο β. μηδενικό πολυώνυμο γ. μηδενικού βαθμού. P = 4 x λ+ να είναι: Ρ x = λ x + λ x + λ λ+ x+ λ. Αν το πολυώνυμο P (x) = x + (α - 1) x + α έχει ρίζα το - 1 αποδείξτε ότι το ίδιο ισχύει και για το Κ (x) = x + 4x + (α - 1) x. Το αντίστροφο ισχύει;. Δίνεται το πολυώνυμο f ( x ) x ( 1 ) x 5x + λ + λ P ( 1) = 15. =. Να βρεθεί το λ ( λ R) ώστε 4. Αν και 5. Αν = x λ x + P ( 1) + λ + = 0 P 4, να βρείτε το λ. x = κ λ x 5x +, να βρείτε τα κ και λ ώστε f ( 1) = και f =. f 6 6

5 6. Να βρείτε τα α, R αριθμό και ισχύει Ρ =. β για τα οποία το πολυώνυμο ( x ) x x = + α + β x Ρ έχει ρίζα τον 7. Να βρείτε το λ για να έχει το πολυώνυμο P 7x 15x + 5λ x λ = ρίζα το Έστω το πολυώνυμο x = x +. Να βρεθεί το α R ώστε P ( α 1) = Ρ(α). x P 9. Να βρεθεί το R P 1+ x = P 1 ) για κάθε x R. ( x λ ώστε για το πολυώνυμο P ( x ) x + λ x Δίνεται το πολυώνυμο: P x = x λx + 4x +. Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε το x λ = να είναι ρίζα του P. = να έχουμε 41. Αν P x 4 x x = + α + α + x και η τιμή του πολυωνύμου P για x = 1 είναι, να βρείτε τις δυνατές τιμές του α. 4. Αν τα πολυώνυμα: P ( x ) x ( 1 ) x = + α β 5 και Q = x + βx + ( α 6) x 4 έχουν κοινή ρίζα τη x =, τότε να βρείτε τα α και β. 4. Αν το πολυώνυμο: P ( x ) x x = + α + ( β + ) x + 6 έχει ρίζα το 1 και η τιμή του για x = είναι 1, να βρείτε τις τιμές των α και β. 44. Να βρείτε για ποιες τιμές του k, το είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(χ) = x -kx +5x+k. 45. Για ποιες τιμές του α, η τιμή του πολυωνύμου Ρ(χ) = 5χ + αχ+α - για χ = - 1 είναι ίση με Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β, για τους οποίους το πολυώνυμο Ρ(χ) = χ +αχ +βχ-6 έχει ρίζες το - και το. 47. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς λ και μ, για τους οποίους το πολυώνυμο P(x) = x + λχ + μχ + 6 έχει ρίζα το 1 και ισχύει Ρ(-) = Αν το πολυώνυμο ( 9 ) ( 9 1) P x λ λ x λ x λ 1 = + + είναι ου βαθμού να βρείτε το λ 7

6 49. Να βρεθούν οι βαθμοί των πολυωνύμων για τις διάφορες τιμές του λ: i. P = ( 4λ 1) x + ( λ 1) x + 5 ii. f = ( λ λ 4) x + ( λ 1) x + λ 50. Για τις διάφορες τιμές του λ να βρείτε τον βαθμό του πολυωνύμου P x = λ 8λ x + λ 4 x λ 51. Να βρείτε το βαθμό του πολυωνύμου: για τις διάφορες τιμές του λ. P x = 4λ 9λ x + 4λ 9 x λ+ 5. Να βρείτε τον βαθμό του πολυωνύμου: P ( x ) ( 1 ) x 4 ( 1 ) x ( 1 ) x λ λ + λ + x τις διάφορες τιμές του λ. = για 5. Να βρείτε τον βαθμό του πολυωνύμου: P ( x ) ( 9 ) x 4 ( ) x ( ) x λ λ + λ + + x 5 τις διάφορες τιμές του λ R. = για 54. Να βρείτε το βαθμό του πολυωνύμου Ρ(χ) = (9λ -4λ)χ + (9λ - 4)χ - λ + για τις διάφορες τιμές του λ. 55. Να βρεθεί πολυώνυμο P (x) για το οποίο ισχύει: (x + 1) P (x) = x 5 + x 4 + x - x - x 56. Να βρείτε το πολυώνυμο 57. Να βρείτε το πολυώνυμο 58. Να βρείτε πολυώνυμο P P ώστε να ισχύει ( x ) P( x) x x = + 17x + 1. P, για το οποίο ισχύει ότι: ( x ) P( x) x x = 4x + 1. για το οποίο να ισχύει: ( 1) x + P x = x x x Να βρείτε πολυώνυμο Ρ(χ), για το οποίο ισχύει (x+l)p(x) = χ -9χ -χ Να βρεθεί πολυώνυμο 4 ( ) P P P x = x + x + 4x + x+. ου βαθμού τέτοιο ώστε: 61. Να ορίσετε ένα πολυώνυμο ου βαθμού και ένα πολυώνυμο Q x 1ου βαθμού έτσι, ώστε να ισχύει x P x x Q x x 1 + = + 1 P( x ) 8

7 6. Να βρείτε πολυώνυμο ου βαθμού με ρίζες τις 1, 0 και να ισχύει Ρ(1) =. 6. Να βρείτε πολυώνυμο P ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς 0, και να ισχύει Ρ( 1) =. 64. Αν ο αριθμός είναι ρίζα ενός πολυωνύμου Ρ, να αποδείξετε ότι ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Q x =Ρ x Αν ο αριθμός είναι ρίζα ενός πολυωνύμου Ρ, να αποδειχθεί ότι ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Q x ( x 5) = Ρ. 66. Να βρεθεί η τετραγωνική ρίζα του πολυωνύμου x 4 6x 5x + + 1x Να βρείτε τις τιμές των κ και λ για τις οποίες το πολυώνυμο 4 P = x + 6x + 1x + κ x+ λ γράφεται με τη μορφή μιας παράστασης στο τετράγωνο. 4 Q, για το οποίο ισχύει P(x 68. Δίνεται το πολυώνυμο: P x x 4 x x = + α + β x +. Να βρείτε τα α και β και το πολυώνυμο 1 Q = ). 69. Δίνεται το πολυώνυμο: P x 9x 4 0x 7x = + 14x. Να βρείτε δύο πολυώνυμα f και g δευτέρου και πρώτου βαθμού αντίστοιχα, ώστε: P x = f x + g x. [ ] f 70. Να βρείτε το πολυώνυμο 4 f f x = x + x + 4x + x +. ( ), δευτέρου βαθμού, για το οποίο ισχύει ότι: 71. Να αποδείξετε ότι οι ρίζες του πολυωνύμου = ( α + ) + α x x 1 x + α v v * ρίζες και του πολυωνύμου: Q = ( x α 1) + ( x α) 1, v N. 7. Αν το πολυώνυμο είναι βαθμού κ και το πολυώνυμο h f + g είναι βαθμού κ + λ. P είναι συγχρόνως f g βαθμού λ, με κ λ = είναι, το πολύ, κ βαθμού, ενώ το πολυώνυμο f = f g, να δείξετε ότι το 9

8 7. Δίνεται το πολυώνυμο. θέσουμε όπου x το P x f x f Έστω g το πολυώνυμο, το οποίο προκύπτει αν στο f ( x ), δηλαδή g x = f ( f x ). Αν ρ είναι ρίζα του πολυωνύμου Q x = g x. f = x, να αποδείξετε ότι το ρ είναι ρίζα του πολυωνύμου x 74. Δίνεται πολυώνυμο P με: P ( α) = β, ( β) = γ Αν Q είναι το πολυώνυμο με: Q = P( P( P )) να αποδείξετε ότι: Q α =, Q ( β) = β και Q ( γ) = γ. α P και ( γ) = α P. 75. Να εκφράσετε το P x 7 5x x αποδείξετε ότι η μεγαλύτερη τιμή του P( x ) είναι η = στη μορφή a β ( x + γ ). Στη συνέχεια να 76. Δίνεται το πολυώνυμο ( ) = x 6x + 5. i) Να βρείτε τους α, β και γ, ώστε το P( x ) να παίρνει τη μορφή ii) Να αποδείξετε ότι είναι P 0 για κάθε x. iii) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του P( x ). P 77. Έστω ότι το i) Να γράψετε τη μορφή του. ii) Να βρείτε το P P x. iii) Αν P P ( ) είναι ένα πολυώνυμο 1ου βαθμού. = x+4, να υπολογίσετε την θετική τιμή του Ρ(1). a x+ β + γ. 78. Δίνεται το πολυώνυμο 4 = α β γ β γ α + γ α β + x + 1, όπου α, β, γ R. Αν για τους α, β, γ ισχύει α + β + γ = αβγ και α + β + γ 0, να δείξετε ότι το πολυώνυμο είναι ίσο με το Q = x Δίνεται το πολυώνυμο Να δειχθεί ότι το P P x = ax + β x+ γ, α, β, γ για το οποίο:ρ(1) = Ρ() = Ρ() = 0 είναι το μηδενικό πολυώνυμο. 40

9 4 80. Δίνεται το πολυώνυμο: P x = x αx + βx το οποίο έχει ρίζα το x = 1 και η τιμή του για x = 1 είναι 6. α) Να βρείτε τις τιμές των α και β. β) Να αποδείξετε ότι το P x δεν έχει άλλη ρίζα. 81. Αν δύο ρίζες του πολυωνύμου: P ( x ) x x + α + ( β ) x + 6 α) Να βρείτε τα α και β. β) Να βρείτε και την τρίτη ρίζα του πολυωνύμου. 8. Να βρείτε τα x και y ώστε για κάθε λ να ισχύει: x y+ 5 λ + x+ y 9 =0. = είναι οι αριθμοί 1 και : 8. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β, γ, δ ώστε το πολυώνυμο f x = α 1 x + β α + 1 x + α + β γ x + α γ + β + να έχει περισσότερες από ρίζες. δ 84. Αν α, β, γ πλευρές ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ με κορυφή το Α, του οποίου, δειχθεί ότι το πολυώνυμο πολυώνυμο. 85. Αν + λ 4 = 0 πολυώνυμο. Να βρεθεί ο βαθμός του. = 5( α β) x + β( γ α) x + μ( β α) + = 10 Βεξ να Ρ είναι σταθερό Ρ x = λ x 5 + λ 4 x είναι το μηδενικό λ, να δείξετε ότι το 86. Να βρεθούν οι τιμές των λ, β για τις οποίες το πολυώνυμο 4 Ρ x = λ λ x + λ β + 1 x + β 1 x + λ+ β x έχει τον ελάχιστο δυνατό βαθμό. 87. Για το πολυώνυμο ισχύει ότι: α) Να βρείτε το πολυώνυμο P. β) Να λύσετε την εξίσωση P x =. P ( x 4) P( x) x 5 x 4 x 11x = + 1x Να βρείτε πολυώνυμο τρίτου βαθμού με τις ιδιότητες f ( x 1 ) f ( x ) = x ( x + 1 f ( 0) = f ( 1) = 0. + ) και 89. Να βρείτε όλα τα τριώνυμα ου βαθμού f για τα οποία να ισχύει η σχέση f ( x + 1) f ( x) = 0. P = x+8 P P 90. Να βρείτε πολυώνυμο ( ) 9 i. P P x ii. τέτοιο ώστε: = 16x

10 91. Το πολυώνυμο ικανοποιεί την ισότητα P P( x 1) = x P x είναι ου βαθμού και έχει ρίζα τον αριθμό 0. Αν για κάθε x το Ρ( x ) i) να αποδείξετε ότι Ρ( 1) = 0, Ρ(1) = 1 και Ρ() = 5, ii) να προσδιορίσετε το P x. 9. Να προσδιορίσετε το πολυώνυμο P( x ), αν ισχύουν ταυτόχρονα: i. το Ρ είναι πολυώνυμο ου βαθμού ii. το 0 είναι ρίζα του Ρ P x+ P x = x x+ iii. 9. Να βρείτε τους αριθμούς α και β ώστε να ισχύει: x,. x + 1 = x 5x + 6 x α β + x για κάθε 94. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε το κλάσμα: ( a 1) x + ( β + 1) x+ 1 να είναι ανεξάρτητο του x. x + 5x Να βρεθούν οι α, β, γ ώστε: x + 10x a β γ = + + x 1 x 4 x 1 x+ x για κάθε x. 96. Αν η διαφορά δύο πολυωνύμων βαθμού ν είναι το μηδενικό πολυώνυμο, δείξτε ότι τα πολυώνυμα αυτά είναι ίσα. 97. Για ένα πολυώνυμο αποδείξετε ότι P 15 =. 45 P ισχύει ότι: P ( x 1) = P( x) + + για κάθε x R. Αν P ( 0) = 0, να v v 98. Αν το πολυώνυμο P x = avx + av 1x a1x+ a 0 έχει ρίζα τον αριθμό ρ και ισχύει (1), να δειχθεί ότι ο αριθμός ρ είναι ρίζα και του πολυωνύμου P( a 0 ) = 0 ( ) = P P P Q x Δίνεται το πολυώνυμο P( x ) για το οποίο ισχύει: P = P( x) για κάθε x. Να δειχθεί ότι το είναι σταθερό. P 100. Έστω το πολυώνυμο 7 P x = ax + βx + γx 5. Αν είναι Ρ( 7) = 7, να βρείτε το Ρ(7). 4

11 101. Να βρείτε τις τιμές των κ και λ, ώστε το πολυώνυμο: 4 γράφεται ως κύβος του διωνύμου x + a. 10. Έστω το πολυώνυμο P = a x + a x a x a x i) Να υπολογίσετε το Ρ(1) και το Ρ( 1). Τι παρατηρείτε; ii) Αν είναι Ρ(1999) = Α, να βρείτε το Ρ( 1999). iii) Αν κ, ποια είναι η τιμή της διαφοράς Ρ(κ) και Ρ( κ); iv) Να υπολογίσετε την παράσταση P( 5) + P( 7) 15P( 5) 5P( 5) + P( 7) + P( 5) P x = x + x + κx+ λ A = και 10. Αν x και B x είναι δύο πολυώνυμα χωρίς ρίζες, να αποδείξετε ότι τα πολυώνυμα: P x A x + B x Q x = A x + B x δεν έχουν κοινή ρίζα Να βρεθεί πολυώνυμο P x τρίτου βαθμού με Ρ(0) = 0 τέτοιο ώστε : ( 1) P x+ P x = x + x Αν για το πολυώνυμο ισχύει: 106. Να βρείτε τα πολυώνυμο P( x ) P x 1 = 4x 8x+ 1 να βρείτε το P x. P( x ) τέτοιο ώστε: P P ( x ) = 4x Να βρείτε πολυώνυμο P x για το οποίο ισχύει: P P = x + x 108. Να βρείτε πολυώνυμο ου βαθμού, αν η πολυωνυμική συνάρτηση P ( x ) είναι 1 περιττή, P ( 1) = και P = Να βρεθεί το ελάχιστο πολυώνυμο ( x ) ώστε f () 1 f = f () = 4 f (δηλαδή: του μικρότερου δυνατού βαθμού τέτοιο, = (με πρώτο συντελεστή τη μονάδα). 4

12 110. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β, γ ώστε η συνάρτηση ( a+ 1) x + a β x+ γ 5 f x = να είναι σταθερή αν είναι γνωστό ότι η γραφική x + x + 1 παράσταση περνάει από το σημείο Α(1, ) Θεωρούμε το μη μηδενικό πολυώνυμο P( x ) και το πολυώνυμο Q τιμές για όλους τους x. Αν είναι P Q και ισχύει ap + βq = ( a + β) P Q με α 0 και β 0, να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα πολυώνυμα P x και Q x. που έχει θετικές 11. Ένα πολυώνυμο P x είναι ου βαθμού και ο συντελεστής του x είναι ίσος με 1. i) Να γράψετε τη μορφή του πολυωνύμου. ii) Να προσδιορίσετε το P όταν: P() 1 P P( ) α) = = και Ρ(1)Ρ()Ρ() = 96 P() 1 P P( ) β) = = και Ρ(1) + Ρ() + Ρ() = Δίνονται τα πολυώνυμα και μόνο άρτιες δυνάμεις του x. P Q, με Q( x) P( x) P( x) =. Να αποδείξετε ότι το έχει 44