ÏÌÏËÏÃÉÊÇ ÁËÃÅÂÑÁ: 4oò ÊÁÔÁËÏÃÏÓ ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÙÍ ÁÓÊÇÓÅÙÍ
|
|
- Μαία Αυγερινός
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ÏÌÏËÏÃÉÊÇ ÁËÃÅÑÁ: 4oò ÊÁÔÁËÏÃÏÓ ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÙÍ ÁÓÊÇÓÅÙÍ 1. ÅÜí ç M M M h åßíáé ìéá áêñéâþò áêïëïõèßá êáé ï θ : M N Ýíáò éóïìïñöéóìüò R-ìïäßùí, íá áðïäåé èåß üôé ç áêïëïõèßá M θ N θ 1 M h åßíáé áêñéâþò.. Íá áðïäåé èåß üôé äõï áêñéâåßò áêïëïõèßåò ôþò ìïñöþò M1 1 M M, M M3 3 M4 åðüãïõí ôçí åîþò óõíôéèýìåíç áêñéâþ áêïëïõèßá: M1 1 M M3 3 M4 3. óôù : M N Ýíáò ïìïìïñöéóìüò R-ìïäßùí êáé Ýóôù j : L M Ýíáò ìïíïìïñöéóìüò ï ïðïßïò ðëçñïß ôéò åîþò óõíèþêåò: á) j =, êáé â) Ãéá êüèå R-ìüäéï P êáé ãéá êüèå ïìïìïñöéóìü R-ìïäßùí : P M ìå =õðüñ åé ìïíïóçìüíôùò ïñéóìýíïò ϑ Hom R (P, L), ï ïðïßïò êáèéóôü ôï äéüãñáììá ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ P ϑ Ä» L j M N ìåôáèåôéêü. Íá áðïäåé èïýí ôá áêüëïõèá: (i) ÕðÜñ åé ìïíïóçìüíôùò ïñéóìýíïò éóïìïñöéóìüò ξ Hom R (Ker(),L), ï ïðïßïò êáèéóôü ôï äéüãñáììá LO Ker() j zzzzzzzzzzzzzzzz= ξ ι z ìåôáèåôéêü, üðïõ ç ι ðáñéóôü ôçí åíèåôéêþ áðåéêüíéóç ôïý ðõñþíá ôþò åíôüò ôïý M. (ii) ÏéáäÞðïôå áêïëïõèßá ïìïìïñöéóìþí R-ìïäßùí ôþò ìïñöþò A α B β C åßíáé áêñéâþò åüí êáé ìüíïí åüí A = Ker(β). α M 1
2 4. óôù : M N Ýíáò ïìïìïñöéóìüò R-ìïäßùí êáé Ýóôù q : N L Ýíáò åðéìïñöéóìüò ï ïðïßïò ðëçñïß ôéò åîþò óõíèþêåò: á) q =, êáé â) Ãéá êüèå R-ìüäéï P êáé ãéá êüèå ïìïìïñöéóìü R-ìïäßùí : N P ìå =õðüñ åé ìïíïóçìüíôùò ïñéóìýíïò ϑ Hom R (L, P ), ï ïðïßïò êáèéóôü ôï äéüãñáììá M N L ~~~~~~~~~~~~~~~ ϑ Ä~ P q ìåôáèåôéêü. Íá áðïäåé èïýí ôá áêüëïõèá: (i) ÕðÜñ åé ìïíïóçìüíôùò ïñéóìýíïò éóïìïñöéóìüò η Hom R (L, Coker()), ïïðïßïòêáèéóôü ôï äéüãñáììá N yyyyyyyyyyyyyyyyy L η y Coker() π Im() ìåôáèåôéêü, üðïõ π Im() ï öõóéêüò åðéìïñöéóìüò áðü ôïí N åðß ôïý óõìðõñþíá ôþò. (ii) ÏéáäÞðïôå áêïëïõèßá ïìïìïñöéóìþí R-ìïäßùí ôþò ìïñöþò A α B β C åßíáé áêñéâþò åüí êáé ìüíïí åüí ï åðéìïñöéóìüò β åðüãåé Ýíáí éóïìïñöéóìü Coker(α) = C. 5. ÕðïôéèåìÝíïõ üôé ôï áêüëïõèï äéüãñáììá R-ìïäßùí êáé ïìïìïñöéóìþí R-ìïäßùí åßíáé ìåôáèåôéêü êáé üôé ôüóï ç ó çìáôéæüìåíç «ãñáììþ» üóï êáé ç ó çìáôéæüìåíç «óôþëç» ôïõ åßíáé âñá åßåò áêñéâåßò áêïëïõèßåò, íá áðïäåé èïýí ôá åîþò: (i) Ïé α êáé β åßíáé ìçäåíéêïß ïìïìïñöéóìïß R-ìïäßùí. (ii) Ïé êáé åßíáé éóïìïñöéóìïß R-ìïäßùí. q
3 6. ÊÜèå âñá åßá áêñéâþò áêïëïõèßá ôþò ìïñöþò M E N êáëåßôáé åðýêôáóç ôïý M ìýóù ôïý N êáé óçìåéþíåôáé ùò (,E,). (i) ÄïèÝíôùí äõï R-ìïäßùí M,N, íá áðïäåé èåß üôé õðüñ åé ðüíôïôå ôïõëü éóôïí ìßá åðýêôáóç ôïý M ìýóù ôïý N. (ii) Äõï åðåêôüóåéò ( 1,E 1, 1 ) êáé (,E, ) ôïý M ìýóù ôïý N áñáêôçñßæïíôáé ùò éóïäýíáìåò üôáí õðüñ åé êüðïéïò ïìïìïñöéóìüò R-ìïäßùí h : E 1 E, ïýôùò þóôå íá éó ýïõí ïé éóüôçôåò h 1 =, h 1 =. Íá áðïäåé èåß üôé ôýôïéïõ åßäïõò ïìïìïñöéóìïß R-ìïäßùí h åßíáé êáô' áíüãêçí éóïìïñöéóìïß. (iii) Íá áðïäåé èåß üôé õðüñ ïõí åðåêôüóåéò ôïý Z ìýóù ôïý Z 4 ðïõ äåí åßíáé éóïäýíáìåò. Z Z Z 4 Z4 Z Z8 Z4 7. ÅÜí ïé ( j : M j M j) j J, ( j : M j M j ) j J åßíáé äõï ïéêïãýíåéåò ïìïìïñöéóìþí R-ìïäßùí (ìå ôï ßäéï óýíïëï äåéêôþí), íá áðïäåé èåß üôé ç áêïëïõèßá L Mj j J L j j J L j J M j L j j J L Mj j J åßíáé áêñéâþò åüí êáé ìüíïí åüí ïé áêïëïõèßåò M j j M j j M j åßíáé áêñéâåßò ãéá êüèå j J. (ë. Üóêçóç 7 ôïý ïõ êáôáëüãïõ ðñïôåéíïìýíùí áóêþóåùí.) 8. óôù üôé ïé M N M N M N åßíáé äõï âñá åßåò áêñéâåßò áêïëïõèßåò êáé üôé ïé ϕ : M N, ϕ : M N åßíáé äõï ïìïìïñöéóìïß R-ìïäßùí, ôýôïéïé þóôå ϕ = ϕ. Üóåé ôþò ðñïôüóåùò.1.8 õðüñ åé Ýíáò ìïíïóçìüíôùò ïñéóìýíïò ïìïìïñöéóìüò R-ìïäßùí ϕ : M N ï ïðïßïò êáèéóôü ôï äéüãñáììá M ϕ N M ϕ N M ϕ N 3
4 ìåôáèåôéêü. Íá áðïäåé èïýí ïé éóüôçôåò Ker(ϕ )=(ϕ 1 (Ker())), Im(ϕ )=Im( ϕ), êáé íá óõíá èåß åî áõôþí üôé (i) ï ϕ åßíáé ìïíïìïñöéóìüò åüí êáé ìüíïí åüí ϕ 1 (Ker()) Ker(), êáé (ii) ï ϕ åßíáé åðéìïñöéóìüò åüí êáé ìüíïí åüí ï ϕ åßíáé åðéìïñöéóìüò. 9. Íá áðïäåé èåß ôï 1ï èåþñçìá éóïìïñöéóìþí ìïäßùí (âë ) êüíïíôáò ñþóç êáôáëëþëùí âñá- Ýùí áêñéâþí áêïëïõèéþí óå óõíäõáóìü ìå ôçí Üóêçóç 8. [Õðüäåéîç: Áñêåß ç èåþñçóç ôïý ìåôáèåôéêïý äéáãñüììáôïò Ker() Id Ker() Ker() ι ι π Ker() M Coim() Id M ζ M Im() + êáé ç áðüäåéîç ôïý üôé ï ζ åßíáé éóïìïñöéóìüò R-ìïäßùí.] 1. Íá áðïäåé èåß ôï ï èåþñçìá éóïìïñöéóìþí ìïäßùí (âë ) êüíïíôáò ñþóç êáôáëëþëùí âñá Ýùí áêñéâþí áêïëïõèéþí óå óõíäõáóìü ìå ôçí Üóêçóç 8. [Õðüäåéîç: Áñêåß ç èåþñçóç ôïý ìåôáèåôéêïý äéáãñüììáôïò U W ij. Ä W Ä êáé ç áðüäåéîç ôïý üôé ï ϕ åßíáé éóïìïñöéóìüò R-ìïäßùí.] π U W U U(U W ) ij. ϕ U + W π W (U + W )W 11. ÅÜí ïé U, W åßíáé õðïìüäéïé åíüò R-ìïäßïõ M, íá áðïäåé èåß üôé ç áêïëïõèßá ïìïìïñöéóìþí R-ìïäßùí M(U V ) (MU) (MW) M(U + W ), üðïõ ( (m + U W ):=(m + U, ( m)+w), m M, (m 1 + U, m + W ):=(m 1 + m )+(U + W ), (m 1,m ) M M, åßíáé áêñéâþò, êáèþò êáé üôé (U + W )(U W ) = ((U + W )U) ((U + W )W ) = (W(U W )) (U(U W )). 1. Íá áðïäåé èåß ôï 3ï èåþñçìá éóïìïñöéóìþí ìïäßùí (âë ) êüíïíôáò ñþóç êáôáëëþëùí âñá Ýùí áêñéâþí áêïëïõèéþí óå óõíäõáóìü ìå ôçí Üóêçóç 8. [Õðüäåéîç: Áñêåß ç èåþñçóç ôïý 4
5 ìåôáèåôéêïý äéáãñüììáôïò U Ä M π U MU π W U π W h UW Ä MW π UW (MW)(UW) êáé ç áðüäåéîç ôïý üôé ï h åßíáé éóïìïñöéóìüò R-ìïäßùí.] 13. ÕðïôéèåìÝíïõ üôé ôï áêüëïõèï äéüãñáììá R-ìïäßùí êáé ïìïìïñöéóìþí R-ìïäßùí åßíáé ìåôáèåôéêü, üôé ïé α, β, γ åßíáé éóïìïñöéóìïß R-ìïäßùí êáé üôé ç Üíù ôïõ ãñáììþ åßíáé áêñéâþò, íá áðïäåé èåß üôé êáé ç êüôù ôïõ ãñáììþ ïöåßëåé íá åßíáé áêñéâþò. A B C α β γ A B C 14. ÕðïôéèåìÝíïõ üôé ôï áêüëïõèï äéüãñáììá R-ìïäßùí êáé ïìïìïñöéóìþí R-ìïäßùí åßíáé ìåôáèåôéêü, üôé ïé α, β, γ åßíáé éóïìïñöéóìïß R-ìïäßùí êáé üôé ç Üíù ôïõ ãñáììþ åßíáé áêñéâþò êáé äéáóðüôáé óôï B, íá áðïäåé èåß üôé êáé ç êüôù ôïõ ãñáììþ ïöåßëåé íá åßíáé áêñéâþò êáé íá äéáóðüôáé óôï B. A B C α β γ A B C óôù M 1 M M3 ìéá âñá åßá áêñéâþò áêïëïõèßá ïìïìïñöéóìþí R-ìïäßùí êáé Ýóôù I Ýíá éäåþäåò ôïý R. ÅÜí ç áêïëïõèßá áõôþ äéáóðüôáé óôïí M, íá áðïäåé èåß üôé ç üðïõ M 1 IM 1 1 M IM M3 IM 3, j (m j + IM j ):= j (m j )+IM j+1, m j M j, j =1,, åßíáé áêñéâþò êáé äéáóðüôáé óôïí M IM. [Óçìåßùóç: Ç äåýôåñç áêïëïõèßá äåí åßíáé êáô' áíüãêçí áêñéâþò üôáí ç ðñþôç äåí äéáóðüôáé óôïí M. íá áðëü áíôéðáñüäåéãìá ìáò ðáñý åé ç ìç äéáóðùìýíç âñá åßá áêñéâþò áêïëïõèßá Z ( ) Z π ZZ. ÁñêåßíáëçöèåßùòI ôï éäåþäåò Z ôïý Z. Ç åðáãïìýíç áðåéêüíéóç ZZ ( ) ZZ åßíáé ç ìçäåíéêþ ðïõ ðñïöáíþò äåí åßíáé åíñéðôéêþ.] 5
6 16. ÕðïôéèåìÝíïõ üôé ôï äéüãñáììá R-ìïäßùí êáé ïìïìïñöéóìþí R-ìïäßùí A B C α β γ A B C åßíáé ìåôáèåôéêü ìå áìöüôåñåò ôéò ãñáììýò ôïõ áêñéâåßò, íá áðïäåé èïýí ôá åîþò: (i) ÅÜí ïé α, γ, åßíáé ìïíïìïñöéóìïß, ôüôå êáé ï β åßíáé ìïíïìïñöéóìüò. (ii) ÅÜí ïé α, γ, åßíáé åðéìïñöéóìïß, ôüôå êáé ï β åßíáé åðéìïñöéóìüò. 17. ÕðïôéèåìÝíïõ üôé ôï äéüãñáììá R-ìïäßùí êáé ïìïìïñöéóìþí R-ìïäßùí M M M ϕ ϕ ϕ N N N åßíáé ìåôáèåôéêü ìå áìöüôåñåò ôéò ãñáììýò ôïõ áêñéâåßò, íá áðïäåé èïýí ôá åîþò: (i) ÅÜí ïé ϕ,ϕ åßíáé ìïíïìïñöéóìïß (êáé áíôéóôïß ùò, åðéìïñöéóìïß), ôüôå êáé ï ϕ åßíáé ìïíïìïñöéóìüò (êáé áíôéóôïß ùò, åðéìïñöéóìüò). (ii) ÅÜí äýï åê ôùí ϕ, ϕ,ϕ åßíáé éóïìïñöéóìïß, ôüôå êáé ï ôñßôïò ïöåßëåé íá åßíáé éóïìïñöéóìüò. (iii) Èåùñþíôáò ôü ìåôáèåôéêü äéüãñáììá Z Z Z p ϕ ϕ ϕ Z Z Z p (ìå áìöüôåñåò ôéò ãñáììýò ôïõ áêñéâåßò), üðïõ p ðñþôïò áñéèìüò, ϕ := p, ϕ := Id Z, := p, := p, êáé,,ϕ ïé öõóéêïß åðéìïñöéóìïß, ïé ϕ, ϕ åßíáé åíñéðôéêýò, áëëü ç ϕ äåí åßíáé![äéåõêñßíéóç: Ôïýôï äåí áíôßêåéôáé ðñïò ôï (ii)! ÅÜí õðïôåèåß üôé ïé ϕ, ϕ åßíáé éóïìïñöéóìïß, ç áðüäåéîç ôþò åíñéðôéêüôçôáò ôþò ϕ Ýðåôáé áðü ôï üôé ç ϕ åßíáé åíñéðôéêþ êáé ç ϕ åðéññéðôéêþ. ÓôïáíùôÝñù ðáñüäåéãìá ç ϕ äåí åßíáé åðéññéðôéêþ. Ùò åê ôïýôïõ, ôï æåýãïò ϕ, ϕ äåí ðëçñïß ôçí éäéüôçôá ðïõ áíôéóôïé åß óå åêåßíç ðïõ ðåñéãñüöåôáé óôï (i) ãéá ôï æåýãïò ϕ,ϕ.] 6
7 18. Ðñþôç åêäï Þ ôïý ëþììáôïò ôùí 3 3. ÕðïèÝôïíôáò üôé ôï äéüãñáììá R-ìïäßùí êáé ïìïìïñöéóìþí R-ìïäßùí A α A β A B α B β B C C C åßíáé ìåôáèåôéêü ìå ôéò ôñåéò óôþëåò ôïõ êáé ôéò äýï Üíù ãñáììýò ôïõ áêñéâåßò, íá áðïäåé èåß üôé ïñßæïíôáé ìïíïóçìüíôùò ïìïìïñöéóìïß R-ìïäßùí α : C C, β : C C, ôýôïéïé þóôå ç ðñïêýðôïõóá êüôù ãñáììþ íá åßíáé áêñéâþò êáé ôï êáô' áõôüí ôïí ôñüðï óõìðëçñùìýíï äéüãñáììá ìåôáèåôéêü. [Õðüäåéîç: ÅðåéäÞ α =, éó ýåé ï åãêëåéóìüò Ker( )=Im( ) Ker( α). Ãéá ôçí êáôáóêåõþ ôïý α áñêåß íá åöáñìïóèåß ôï èåþñçìá Ðáñïìïßùò êáôáóêåõüæåôáé êáé ï ïìïìïñöéóìüò β. Êáôüðéí ôïýôïõ, ç áðïðåñüôùóç ôþò áðïäåßîåùò êáèßóôáôáé åöéêôþ ìýóù êõíçãçôïý ôïý äéáãñüììáôïò.] 19. Äåýôåñç åêäï Þ ôïý ëþììáôïò ôùí 3 3. ÕðïèÝôïíôáò üôé ôï äéüãñáììá R-ìïäßùí êáé ïìïìïñöéóìþí R-ìïäßùí A α A β A B α B β B C α C β C åßíáé ìåôáèåôéêü ìå ôéò ôñåéò óôþëåò ôïõ áêñéâåßò, íá áðïäåé èïýí ôá áêüëïõèá: (i) ÅÜí ïé äýï Üíù ãñáììýò ôïõ åßíáé áêñéâåßò, ôüôå êáé ç ôñßôç ôïõ ãñáììþ åßíáé áêñéâþò. (ii) ÅÜí ïé äýï êüôù ãñáììýò ôïõ åßíáé áêñéâåßò, ôüôå êáé ç ôñßôç ôïõ ãñáììþ åßíáé áêñéâþò. (iii) ÅÜí ç ðñþôç êáé ç ôñßôç ôïõ ãñáììþ åßíáé áêñéâåßò, ôüôå ç ìåóáßá ôïõ ãñáììþ äåí åßíáé êáô' 7
8 áíüãêçí áêñéâþò. (iv) ÅÜí êáèåìéü ôùí ôñéþí ôïõ ãñáììþí óõíéóôü Ýíá áëõóùôü óýìðëïêï êáé äýï åî áõôþí åßíáé áêñéâåßò, ôüôå êáé ç ôñßôç ïöåßëåé íá åßíáé áêñéâþò.. Ôï ëþììá ôïý öéäéïý. óôù üôé ïé M,M,M êáé N,N,N åßíáé äõï ôñéüäåò R-ìïäßùí êáé üôé ïé φ : M N, φ : M N, φ : M N, åßíáé ôñåéò ïìïìïñöéóìïß R-ìïäßùí, ôýôïéïé þóôå ôï äéüãñáììá R-ìïäßùí êáé ïìïìïñöéóìþí R-ìïäßùí íá åßíáé ìåôáèåôéêü ìå ôéò äýï ìåóáßåò ôïõ ãñáììýò áêñéâåßò. ÊáôÜ ôç äéüñêåéá ôùí ðáñáäüóåùí åäüèç ìéá áðüäåéîç (âë...7) ðåñß ôþò õðüñîåùò ïìïìïñöéóìïý R-ìïäßùí Ker φ Coker φ (õðïäçëïõìýíïõ ìýóù ôïý ïöéïåéäïýò âýëïõò), ïýôùò þóôå ç ðñïêýðôïõóá áêïëïõèßá Ker φ Ker (φ) Ker φ Coker φ Coker (φ) Coker φ íá åßíáé áêñéâþò. Ç åí ëüãù áðüäåéîç óôçñßæåôáé óôï ëþììá ôùí äýï ôåôñáãþíùí (âë...5) êáé ïöåßëåôáé óôïí J. Lambek. Ïñßæïíôáò ôï : Ker φ Coker φ ìýóù ôïý óõãêåêñéìýíïõ ôýðïõ (x) :=((β 1 φ α 1 )(x)) + Im(φ ), x Ker φ, íá äåé èåß üôé áõôü óõíéóôü ìéá êáëþò ïñéóìýíç áðåéêüíéóç, ç ïðïßá åßíáé -åðéðñïóèýôùò- ïìïìïñöéóìüò R-ìïäßùí. Åí óõíå åßá,íá äïèåß ìéá Üëëç áðüäåéîç ãéá ôï üôé ç ùò Üíù áêïëïõèßá åßíáé áêñéâþò êüíïíôáò ñþóç ìüíïí ôïý êáé áðëïý êõíçãçôïý åíôüò ôïý äéáãñüììáôïò. 1. ÅÜí ïé : M M êáé : M M åßíáé äõï ïìïìïñöéóìïß R-ìïäßùí, íá áðïäåé èåß ç ýðáñîç ìéáò (êáôü öõóéïëïãéêü ôñüðï êáôáóêåõáæüìåíçò) áêñéâïýò áêïëïõèßáò Ker () Ker ( ) Ker () Coker () Coker ( ) Coker (). 8
9 [Õðüäåéîç: Áðü ôç ìåôáèåôéêüôçôá ôïý äéáãñüììáôïò M Id M M M M M Id M M åîüãïíôáéïéáêñéâåßòáêïëïõèßåò Ker () Ker ( ) Ker () êáé Añêåß ï ïñéóìüò ôïý óõíäåôéêïý ïìïìïñöéóìïý Coker () Coker ( ) Coker (). Ker () 3 y 7 y + Im() Coker () ðñïêåéìýíïõ íá áðïäåé èåß üôé áõôýò óõíåíïýíôáé óå ìßá êáé ìüíïí áêñéâþ áêïëïõèßá.]. Ôï ëþììá ôïý åîáãþíïõ. ÕðïèÝôïíôáò üôé êüèå ôñßãùíï ôïý áêïëïýèïõ äéáãñüììáôïò R-ìïäßùí êáé ïìïìïñöéóìþí R-ìïäßùí B l l xppppppppppppp NNNNNNNNNNNNN & Z O ZO j j NNNNNNNNNNNNN ppppppppppppp8 C i ppppppppppppp8 = NNNNNNNNNNNNN i U N h U s NNNNNNNNNNNN& s xppppppppppppp D k = åßíáé ìåôáèåôéêü, üôé ïé áêïëïõèßåò U i C åßíáé éóïìïñöéóìïß R-ìïäßùí, íá áðïäåé èïýí ôá åîþò: (i) Ker(j) Ker(j )={ C }, (ii) C =Im(i) Im (i ), êáé (iii) s k 1 l + s k 1 l = h. j Z,U i C k j Z åßíáé áêñéâåßò êáé üôé ïé k, k 9
10 3. ÄïèÝíôïò åíüò äéáãñüììáôïò R-ìïäßùí êáé ïìïìïñöéóìþí R-ìïäßùí (áðåßñùò åêôåéíïìýíïõ ðñïò ôá Üíù êáé ðñïò ôá êüôù) ôþò ìïñöþò ìå üëá ôïõ ôá ôñßãùíá ìåôáèåôéêü êáé ôçí áêïëïõèßá ôçí åõñéóêïìýíç óôçí êáôáêüñõöç (êåíôñéêþ) ãñáììþ ôïõ, ôéò áêïëïõèßåò s +1 A α Y γ U s A 1 α 1 Y 1 γ 1 êáé s +1 A α Y γ U s A 1 α 1 Y 1 γ 1 ôéò åõñéóêüìåíåò óôï ðëåõñéêü ôïõ ðåñßãñáììá, êáèþò êáé ôéò áêïëïõèßåò (ôñéþí üñùí) U U i C i C j Z, j Z,, Y Y β B β B l Z, l Z, 1
11 áêñéâåßò, íá áðïäåé èåß ç ýðáñîç ìéáò áêñéâïýò áêïëïõèßáò +1 A ψ Y Y ϕ B A 1 ψ 1, üðïõ ( A 3 x 7 ψ (x) :=(α (x),α (x)) Y Y, Y Y 3 (y, y ) 7 ϕ (y, y ):= β (y)+β (y ) B, ) êáé ìéáò áêñéâïýò áêïëïõèßáò +1 A ψ Y Y ϕ B A 1 ψ 1, üðïõ ( A 3 x 7 ψ (x) :=(α (x),α (x)) Y Y, Y Y 3 (y,y) 7 ϕ (y,y):= β (y )+β (y) B, ) ìå ôïõò óõíäåôéêïýò ïìïìïñöéóìïýò ôïõò áíôéèýôïõò (Þôïé =, Z). [Õðüäåéîç: Ôá êëéìáêùôü äéáãñüììáôá A α Y γ U s A 1 α 1 Y 1 α β k α 1 β 1 êáé Y β B Z l α Y 1 1 s k 1 β 1 B 1 (A) A α Y γ U s A 1 α 1 Y 1 α β k α 1 β 1 Y B β l Z Y 1 B 1 α 1 s k 1 β 1 (B) åßíáé (åê êáôáóêåõþò) ìåôáèåôéêü ìå ôéò Üíù ãñáììýò ôïõò áêñéâåßò. ÅðéðñïóèÝôùò, åßíáé åýêïëï íá åëåã èåß (óôïõò üñïõò Z,Z)çáêñßâåéáêáé ôùí êüôù ãñáììþí ôïõò (êüíïíôáò ñþóç ôþò ìåôáèåôéêüôçôáò ôùí ìåôå üíôùí ôñéãþíùí êáé ôïý ëþììáôïò ôïý åîáãþíïõ). ÅðåéäÞ ïé k,k åßíáé éóïìïñöéóìïß, åßíáé äõíáôþ ç åöáñìïãþ ôïý ëþììáôïò ôùí Barratt êáé Whitehead, ôï ïðïßï áðïäåß èçêå óôéò ðáñáäüóåéò ôïý ìáèþìáôïò. Óçìåßùóç: Ôï ìåãüëï äéüãñáììá ôþò áóêþóåùò áíþêåé óå ìéá êáôçãïñßá äéáãñáììüôùí ðïõ åßíáé ãíùóôü ùò áëëçëåìðëåêüìåíåò áêïëïõèßåò (iterlocki sequeces) Þ ùò äéáãñüììáôá ðëåîéäßùí 11
12 (braid diarams). Óå áäñýò ãñáììýò, áõôü åßíáé äéáãñüììáôá ôþò ìïñöþò (üðïõ åäþ ïé êïõêêßäåò õðïäçëþíïõí R-ìïäßïõò êáé ôá íïýìåñá 1,, 3, 4 ôïíôñüðïìåôïíïðïßï êáèåìéü áðü ôéò ôýóóåñåéò ìåôý ïõóåò áêïëïõèßåò åßíáé ôïðïèåôçìýíç óôï äéüãñáììá). ÅÜí ôñåéò åê ôùí ôåóóüñùí áêïëïõèéþí åßíáé áêñéâåßò êáé ç ôýôáñôç óõíéóôü Ýíá áëõóùôü óýìðëïêï, ôüôå êáé ç ôýôáñôç õðï ñåïýôáé íá åßíáé áêñéâþò. (Óôçí ðåñßðôùóþ ìáò, ïé ôýóóåñåéò áêïëïõèßåò åßíáé áõôýò ðïõ áðïôåëïýí ôéò ãñáììýò ôùí êëéìáêùôþí äéáãñáììüôùí (A) êáé (B).) Ãéá ðåñéóóüôåñåò ðëçñïöïñßåò, ïé åíäéáöåñüìåíïé áíáãíþóôåò ðáñáðýìðïíôáé óôï Üñèñï ôïý C.T.C. Wall: O the exactess o itelocki sequeces, Eseiemet Math., Vol. 1, 1966, 95-1.] 4. óôù C Ýíá áëõóùôü óýìðëoêï ðåðåñáóìýíùò ðáñáãïìýíùí R-ìïäßùí, üðïõ R ìéá ðåñéï Þ êõñßùí éäåùäþí. ÅÜí õðüñ åé Ýíáò ìç áñíçôéêüò áêýñáéïò áñéèìüò k, ôýôïéïò þóôå íá éó ýåé C j =ãéá üëïõò ôïõò äåßêôåò j Z ìå j k, ôüôå ïñßæåôáé êáëþò ôï åíáëëüóóïí Üèñïéóìá χ R (C ):= X j Z( 1) j rak R (C j ) Z, ôï ïðïßï êáëåßôáé áñáêôçñéóôéêþ Euler ôïý C. Íá áðïäåé èïýí ïé åîþò éäéüôçôåò ôïý χ R (C ): (i) ÊÜèå R-ìüäéïò ïìïëïãßáò H j (C ) ôïý C åßíáé ðåðåñáóìýíùò ðáñáãüìåíïò, H j (C )=ãéá üëïõò ôïõò äåßêôåò j ìå j k êáé χ R (C )= X j Z( 1) j rak R (H j (C )). ÌÜëéóôá, óôçí åéäéêþ ðåñßðôùóç êáôü ôçí ïðïßá ôï C óõíéóôü ìéá áêñéâþ áêïëïõèßá, Ý ïõìå χ R (C )=. (ii) ÅÜí ç C C C ìéá âñá åßá áêñéâþò áêïëïõèßá áëõóùôþí óõìðëüêùí (áõôïý ôïý åßäïõò), ôüôå 5. ÕðïôéèåìÝíïõ üôé ôï χ R (C )=χ R (C )+χ R (C ). C C C ϕ ϕ ϕ D D D 1
13 åßíáé Ýíá ìåôáèåôéêü äéüãñáììá áëõóùôþí óõìðëüêùí êáé áëõóùôþí ìåôáó çìáôéóìþí ìå áìöüôåñåòôéòãñáììýòôïõáêñéâåßò,íááðïäåé èåßüôéôï H (C ) H ( ) H (C ) H ( ) H (C ) (1) H 1 (C ) H (ϕ ) H (ϕ ) H (ϕ ) H 1(ϕ ) H (D ) H (D ) H ( ) H ( ) H (D ) () H 1 (D ) åßíáé Ýíá ìåôáèåôéêü äéüãñáììá R-ìïäßùí êáé ïìïìïñöéóìþí R-ìïäßùí ìå áìöüôåñåò ôéò ãñáììýò ôïõ áêñéâåßò. Åí ðñïêåéìýíù, ï (1) (êáé áíôéóôïß ùò, ï () ) ðáñéóôü ôïí óõíäåôéêü ïìïìïñöéóìü ôþò ðñþôçò (êáé áíôéóôïß ùò, ôþò äåýôåñçò) ìáêñüò áêñéâïýò áêïëïõèßáò R-ìïäßùí ïìïëïãßáò. 13
ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ. 3.1 ÅéóáãùãÞ
28 ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ 3.1 ÅéóáãùãÞ Ãéá êüèå ôåôñáãùíéêü ðßíáêá A áíôéóôïé åß Ýíáò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò ï ïðïßïò êáëåßôáé ïñßæïõóá êáé óõíþèùò óõìâïëßæåôáé ìå A Þ det(a). ÌåôáèÝóåéò: Ìéá áðåéêüíéóç ôïõ
Διαβάστε περισσότεραÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ ÄÏÈÅÍÔÙÍ ÈÅÌÁÔÙÍ
ÐáíåðéóôÞìéï ÊñÞôçò, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí Èåùñßá Äáêôõëßùí êáé Modules (M ) ÅîÝôáóç Éïõíßïõ 010 ÅîåôáóôÞò: ÄçìÞôñéïò ÍôáÞò ÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ ÄÏÈÅÍÔÙÍ ÈÅÌÁÔÙÍ ÈÅÌÁ 1ï Âë. èåþñçìá.5.0 (óôéò óçìåéþóåéò). ÈÅÌÁ ï Âë.
Διαβάστε περισσότεραΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ. 27 Μαΐου (Εαρινό εξάμηνο 2002) ΚΑΝΟΝΕΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΣ
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΚΥΠΡΟΥ ΜΑΣ 121- ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 27 Μαΐου 2002 (Εαρινό εξάμηνο 2002) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΑΡ ΦΟΙΤΗΤΙΚΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΟΣ ΚΑΝΟΝΕΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΣ
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ)
44 ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) Óå äéüöïñåò öõóéêýò åöáñìïãýò õðüñ ïõí ìåãýèç ôá ïðïßá ìðïñïýí íá áñáêôçñéóèïýí ìüíï ìå Ýíá áñéèìü. ÔÝôïéá ìåãýèç, üðùò ãéá ðáñüäåéãìá, ç èåñìïêñáóßá
Διαβάστε περισσότερα( ) ξî τέτοιο, + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) h x =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ
. Äßíåôáé ç óõíüñôçóç : [, + ) R óõíå Þò óôï äéüóôçìá [,+ ) êáé ðáñáãùãßóéìç óôï äéüóôçìá (,+ ), ãéá ôçí ïðïßá éó ýåé ( ) = α. óôù üôé õðüñ åé κî R, þóôå íá éó ýåé ( ) κ ãéá êüèå Î (,+ ). Íá äåßîåôå üôé
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ. 5.1 ÅéóáãùãÞ. 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ
55 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ 5.1 ÅéóáãùãÞ Ïñéóìüò: íá óýíïëï V êáëåßôáé äéáíõóìáôéêüò þñïò Þ ãñáììéêüò þñïò ðüíù óôïí IR áí (á) ôï V åßíáé êëåéóôü ùò ðñïò ôç ðñüóèåóç,
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôá Üñôéá óôïé åßá êáôáëáìâüíïõí ôéò ôåëåõôáßåò
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôï óôïé åßï âñßóêåôáé óå êüðïéá áðü ôéò
Διαβάστε περισσότεραΕΝ ΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ. 23 Νοεμβρίου (Χειμερινό εξάμηνο ) ΚΑΝΟΝΕΣ ΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΣ
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΚΥΠΡΟΥ ΜΑΣ 5 - ΘΕΩΡΙΑ ΟΜΑ ΩΝ ΕΝ ΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 3 Νοεμβρίου 00 (Χειμερινό εξάμηνο 00-003) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΑΡ. ΦΟΙΤΗΤΙΚΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΟΣ ΚΑΝΟΝΕΣ ΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΣ
Διαβάστε περισσότερα10.1 (ÕÐÏ)ÏÑÈÏÈÅÔÅÓ ÊÁÉ ÓÕÍÈÅÔÉÊÅÓ ÓÅÉÑÅÓ
10.1 (õðï)ïñèïèåôåò êáé óõíèåôéêåò óåéñåò 381 10.1 (ÕÐÏ)ÏÑÈÏÈÅÔÅÓ ÊÁÉ ÓÕÍÈÅÔÉÊÅÓ ÓÅÉÑÅÓ 10.1.1 Ïñéóìüò. óôù ( ) ìéá ïìüäá êáé Ýóôù v Áò õðïèýóïõìå üôé õößóôáôáé ìéá ðåðåñáóìýíç áêïëïõèßá õðïïìüäùí ( )
Διαβάστε περισσότερα3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x. (iv) f(x, y, z) = sin x 2 + y 2 + 3z Íá âñåèïýí ôá üñéá (áí õðüñ ïõí): lim
3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x (i) f(x, y) = sin 1 2 (x + y) (ii) f(x, y) = y 2 + 3 (iii) f(x, y, z) = 25 x 2 y 2 z 2 (iv) f(x, y, z) = z +ln(1 x 2 y 2 ) 3.2 (i) óôù f(x, y, z) =
Διαβάστε περισσότερα16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò.
55 16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò. A ÌÝñïò 1. Íá êáôáóêåõüóåéò óôï Function Probe ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò y=çìx. Óôïí ïñéæüíôéï Üîïíá íá ïñßóåéò êëßìáêá áðü ôï -4ð
Διαβάστε περισσότεραÌáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò
50. Βήµα ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις ã) Ùò ðñïò ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí, áí êáé ìüíï áí Ý ïõí áíôßèåôåò óõíôåôáãìýíåò. ÄçëáäÞ: á = á êáé â = â ÂÞìá Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò ä) Ùò ðñïò ôç äé ïôüìï ôçò çò êáé
Διαβάστε περισσότεραÓ ÅÄÉÁÓÌÏÓ - ÊÁÔÁÓÊÅÕÇ ÓÔÏÌÉÙÍ & ÅÉÄÉÊÙÍ ÅÎÁÑÔÇÌÁÔÙÍ ÊËÉÌÁÔÉÓÌÏÕ V X
V X A B+24 AEROGRAMÌI Ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò Å öáßíïíôáé óôï ðáñáêüôù ó Þìá. Áíôßóôïé á, ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò ÂÔ öáßíïíôáé óôï Ó Þìá Å. Ãéá ôïí ðñïóäéïñéóìü ôçò ðáñáããåëßáò
Διαβάστε περισσότεραÁóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí
Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí Çëßáò Ê. Óôáõñüðïõëïò Ïêôþâñéïò 006 1 Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß ÎåêéíÜìå äéáôõðþíïíôáò ôïõò ïñéóìïýò ôùí ðýíôå ãíùóôþí áóõìðôùôéêþí óõìâïëéóìþí: Ïñéóìüò
Διαβάστε περισσότεραå) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ.
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ ÃÅÍÉÊÇÓ ÐÁÉÄÅÉÁÓ Ã ËÕÊÅÉÏÕ È Å Ì Á 1 ï 3 ï Ä É Á Ã Ù Í É Ó Ì Á á êéçôü êéåßôáé ðüù óôï Üîïá x~x. Ç èýóç ôïõ êüèå ñïéêþ óôéãìþ t äßåôáé áðü ôç 3 óõüñôçóç x(t) = t 1t + 60t + 1, üðïõ ôï t ìåôñéýôáé
Διαβάστε περισσότεραÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí ñþóôïò ÊïíáîÞò, A.M. 200416 ìðë 30-06-2005 óêçóç 1. óôù R N n ; n 1. ËÝìå üôé ç R åßíáé "áñéèìçôéêþ" áí õðüñ åé ôýðïò ö(x 1 ; : : : ; x n ) ôçò Ã1 èá ôýôïéïò ðïõ
Διαβάστε περισσότεραÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò
ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò Áíôþíçò Ïéêïíüìïõ aeconom@math.uoa.gr ÌáÀïõ óêçóç (Ross, Exer. 4.8) Áí E[X] êáé V ar[x] 5 íá âñåßôå. E[( + X) ],. V ar[4 + X]. óêçóç (Ross, Exer. 4.64)
Διαβάστε περισσότερα2.4 ñçóéìïðïéþíôáò ôïí êáíüíá áëõóßäáò íá âñåèåß ç dr
2.1 i) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = 2 + t)i + 1 2t)j + 3tk ôýìíåé ôï åðßðåäï xz. ii) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = ti + 1 + 2t)j 3tk ôýìíåé
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÓõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò
Óõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò Áããåëßíá ÂéäÜëç åðéâëýðùí êáèçãçôþò: ÃéÜííçò Ìïó ïâüêçò Q 13 Éïõíßïõ, 2009 ÄïìÞ äéðëùìáôéêþò åñãáóßáò 1o êåö. ÅéóáãùãÞ óôá óõíå Þ êëüóìáôá 2ï êåö. Ëßãç
Διαβάστε περισσότεραΣχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αναδρομικές Συναρτήσεις.
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματική Λογική Αναδρομικές Συναρτήσεις Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â
ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â 464 ÅÊÙÓ 000 - Ó ÏËÉÁ ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ Â.1 ÁÓÕÌÌÅÔÑÏ ÓÕÓÔÇÌÁ Η N / ( 0. + 0.1 η) 0.6 ν ν, η 3, η > 3...
Διαβάστε περισσότεραÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ ÄÏÈÅÍÔÙÍ ÈÅÌÁÔÙÍ
ÐáíåðéóôÞìéï ÊñÞôçò, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ëãåâñá (M 0 Åáñéíü ÅîÜìçíï 2009, ÅîÝôáóç Éïõíßïõ ÅîåôáóôÞò: ÄçìÞôñéïò ÍôáÞò ÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ ÄÏÈÅÍÔÙÍ ÈÅÌÁÔÙÍ ÈÅÌÁ ï Èåùñïýìå ôï óýíïëï ÈÝôïíôáò S := ( np λ j j λ,...,λ
Διαβάστε περισσότεραÅÍÏÔÇÔÁ 5ç ÔÁ Ó ÇÌÁÔÁ
Ενότητα 5 Μάθημα 38 Ο κύκλος 1. Ná êáôáíïþóïõí ôçí Ýííïéá ôïõ êýêëïõ. 2. Ná ìüèïõí íá ñùôïýí êáé íá áðáíôïýí ó åôéêü ìå ôïí êýêëï. 1. Íá ðáßîïõí êáé íá ôñáãïõäþóïõí ôï «Ãýñù-ãýñù üëïé» êáé «To ìáíôçëüêé».
Διαβάστε περισσότεραEstimation Theory Exercises*
Estimation Theory Exercises* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@math.uoa.gr December 22, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô. ÐáðáúùÜííïõ, ôéò óçìåéþóåéò
Διαβάστε περισσότεραÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ
ÌÜèçìá 7 ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèåß ç Ýííïéá ôïõ ïñßïõ ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìå ôñüðï ðñïóáñìïóìýíï óôéò áðáéôþóåéò ôùí äéáöüñùí åöáñìïãþí, ðïõ áðáéôïýíôáé óôçí åðéóôþìç ôïõ.
Διαβάστε περισσότεραÐÉÍÁÊÅÓ ÔÉÌÙÍ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÙÍ ÁÎÉÙÍ
ÕÐÏÕÑÃÅÉÏ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ÏÉÊÏÍÏÌÉÊÙÍ ÃÅÍÉÊÇ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÄÇÌÏÓÉÁÓ ÐÅÑÉÏÕÓÉÁÓ & ÅÈÍÉÊÙÍ ÊËÇÑÏÄÏÔÇÌÁÔÙÍ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÔÅ ÍÉÊÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ & ÓÔÅÃÁÓÇÓ ÔÌÇÌÁ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÏÕ ÐÑÏÓÄÉÏÑÉÓÌÏÕ ÖÏÑÏËÏÃÇÔÅÁÓ ÁÎÉÁÓ ÁÊÉÍÇÔÙÍ
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ. 8.1 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß
ÌÜèçìá 8 ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÏñéáêÞ ôéìþ óõíüñôçóçò, äßíïíôáé ðåñéëçðôéêü ïé âáóéêüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ðïõ áíáöýñïíôáé óôç óõíý åéá ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò, åíþ ï
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÏÐÔÉÊÅÓ ÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ ÈÅÌÁÔÙÍ
ÐáíåðéóôÞìéï ÊñÞôçò, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí Èåùñßá ÏìÜäùí (M 22) ÅîÝôáóç Éáíïõáñßïõ 2006 ÅîåôáóôÞò: ÄçìÞôñéïò ÍôáÞò ÓÕÍÏÐÔÉÊÅÓ ÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ ÈÅÌÁÔÙÍ ÈÅÌÁ ï (i) Âë. èåùñþìáôá 2.4.0 êáé 2.4.2 (áðü ôéò óçìåéþóåéò
Διαβάστε περισσότερα6936 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ)
F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 6935 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 432 17 Áðñéëßïõ 2001 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. 91496 Áíþôáôá ¼ñéá ÕðïëåéììÜôùí, MRLs, Öõôïðñïóôáôåõôéêþí Ðñïúüíôùí åðß êáé åíôüò
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÅÓ. ÌÜèçìá Áêïëïõèßåò áñéèìþí Ïñéóìüò áêïëïõèßáò
ÌÜèçìá 2 ÓÅÉÑÅÓ 2. Áêïëïõèßåò áñéèìþí Êñßíåôáé óêüðéìï íá äïèåß ðåñéëçðôéêü ðñéí áðü ôç ìåëýôç ôùí óåéñþí ç Ýííïéá ôçò áêïëïõèßáò áñéèìþí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá
Διαβάστε περισσότερα* ΣΧΕΔΙΟ ΕΚΘΕΣΗΣ. EL Eνωμένη στην πολυμορφία EL 2014/0321(NLE)
ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΚΟΙΝΟΒΟΥΛΙΟ 2014-2019 Επιτροπή Πολιτικών Ελευθεριών, Δικαιοσύνης και Εσωτερικών Υποθέσεων 23.3.2015 2014/0321(NLE) * ΣΧΕΔΙΟ ΕΚΘΕΣΗΣ σχετικά με τη σύσταση για απόφαση του Συμβουλίου για την προσχώρηση
Διαβάστε περισσότερα245/Á/1977). 2469/1997 (ÖÅÊ 36/Á/1997). 1484/Â/ ).
ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ F 661 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 72 28 Éáíïõáñßïõ 2002 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. Ä14/48529 ãêñéóç Ôéìïëïãßïõ Åñãáóôçñéáêþí êáé åðß Ôüðïõ Äïêéìþí ôïõ ÊÅÄÅ. OI ÕÐÏÕÑÃÏÉ
Διαβάστε περισσότεραΣχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αποδεικτικό Σύστημα.
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματική Λογική Αποδεικτικό Σύστημα Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραSPLINES. ÌÜèçìá ÓõíÜñôçóç spline Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá
ÌÜèçìá 4 SPLINES 4.1 ÓõíÜñôçóç spline 4.1.1 Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôùí ðïëõùíýìùí ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ðïëõùíýìùí ðïõ óõíýðéðôáí
Διαβάστε περισσότερα¼ñãáíá Èåñìïêñáóßáò - ÓõóêåõÝò Øõêôéêþí Ìç áíçìüôùí
¼ñãáíá Èåñìïêñáóßáò - ÓõóêåõÝò Øõêôéêþí Ìç áíçìüôùí ÈåñìïóôÜôçò ÓõíôÞñçóçò REF-DF-SM ÅëÝã åé Ýíá èåñìïóôïé åßï PTC Êëßìáêá èåñìïêñáóßáò: -19? +99 C ëåã ïò áðüøõîçò - dfrst Ôñßá ñåëý: óõìðéåóôþò (30Á, 2ÇÑ),
Διαβάστε περισσότεραÖÅÊ 816 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) ÏÄÇÃÉÅÓ ÐÁ ÔÇ ÓÕÌÐËÇÑÙÓÇ ÔÇÓ ÁÉÔÇÓÇÓ ÅÃÊÅÊÑÉÌÅÍÏÕ ÁÐÏÈÇÊÅÕÔÇ Ï ÇÌÁÔÙÍ 1. ÇÌÅÑÏÌÇÍÉÁ: ÁíáãñÜöåô
11544 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) ÖÅÊ 816 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) 11545 ÏÄÇÃÉÅÓ ÐÁ ÔÇ ÓÕÌÐËÇÑÙÓÇ ÔÇÓ ÁÉÔÇÓÇÓ ÅÃÊÅÊÑÉÌÅÍÏÕ ÁÐÏÈÇÊÅÕÔÇ Ï ÇÌÁÔÙÍ 1. ÇÌÅÑÏÌÇÍÉÁ: ÁíáãñÜöåôáé
Διαβάστε περισσότεραÐñïêýðôïõí ôá ðáñáêüôù äéáãñüììáôá.
ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ãéá Ýíá óþìá ðïõ åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëü ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç éó ýïõí ïé ôýðïé: õ=õ ï +á. t x=õ. ï t+ át. ÅÜí ôï óþìá îåêéíüåé áðü ôçí çñåìßá, äçëáäþ ç áñ éêþ ôá ýôçôá åßíáé õ ï =0, ôüôå ïé
Διαβάστε περισσότεραÇ íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ!
ΑΞΕΣΟΥΑΡ Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ! ÅããõÜôáé ôçí áóöüëåéá êáé õãåßá ôïõ ìùñïý êáôü ôç äéüñêåéá ôïõ ýðíïõ! AP 1270638 Õðüóôñùìá Aerosleep, : 61,00 AP 125060 ÊÜëõììá Aerosleep, : 15,30 ÁóöáëÞò, ðüíôá áñêåôüò
Διαβάστε περισσότεραΣυντακτική ανάλυση. Μεταγλωττιστές. (μέρος 3ον) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Συντακτική ανάλυση (μέρος 3ον) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότερα[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.
ÐÁÑÁÑÔÇÌÁÔÁ 76 77 ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ f( (Á. üôáí ãéá êüèå êáíïíéêü ïñèïãþíéï ôáíõóôþ Q éó
Διαβάστε περισσότεραÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 5 ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 5.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé âáóéêüôåñåò Ýííïéåò ôùí ìéãáäéêþí óõíáñôþóåùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá ôïõ ìáèþìáôïò
Διαβάστε περισσότεραB i o f l o n. Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí
B i o f l o n Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí Ç åôáéñåßá Aflex, ç ïðïßá éäñýèçêå ôï 1973, Þôáí ç ðñþôç ðïõ ó åäßáóå ôïí åýêáìðôï óùëþíá PTFE ãéá ôç ìåôáöïñü çìéêþí õãñþí ðñßí áðü 35 ñüíéá. Ï åëéêïåéäþò
Διαβάστε περισσότεραιαδικασία åãêáôüóôáóçò MS SQL Server, SingularLogic Accountant, SingularLogic Accountant Ìéóèïäïóßá
1.1 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí Express Ýêäïóç ôïõ SQL Server... 3 1.2 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí åãêáôüóôáóç... 3 2.1 ÅãêáôÜóôáóç Microsoft SQL Server 2008R2 Express Edition... 4 2.1 Åíåñãïðïßçóç ôïõ
Διαβάστε περισσότερα1. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï
5. ÐÑÏÏÄÏÉ 7 5. ÁñéèìçôéêÞ ðñüïäïò Á ÏìÜäá. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = 7 êáé äéáöïñü ù = 3. Óõíåðþò
Διαβάστε περισσότεραRamsey's Theory or something like that.
Ramsey's Theory or something like that. ÌÜñèá, ÄçìÞôñçò, ÓôÝöáíïò 30 Íïåìâñßïõ 2005 Complete disorder is impossible T.S.Motzikin 1 ÅéóáãùãÞ. To 1930 o Ramsey[10] äçìïóßåõóå Ýíá Üñèñï ðüíù óå Ýíá ðñüâëçìá
Διαβάστε περισσότεραΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ. Εικονογράφηση ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ Εικονογράφηση ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Ï ðéï ìåãüëïò êáé ï ðéï óçìáíôéêüò ðáéäáãùãéêüò êáíüíáò äåí åßíáé ôï íá
Διαβάστε περισσότεραΣΕΡΙΦΟΣ ΣΕΡΙΦΟΥ ΓΑΛΑΝΗΣ
ΔΗΜΟΣ: ΣΕΡΙΦΟΣ ΣΕΡΙΦΟΥ ΓΑΛΑΝΗΣ ΟΙΚΙΣΜΟΣ: ΠΑΡΑΔΟΣΙΑΚΟΣ ÏÉÊÉÓÌÏÓ ÐÑÏÓÏ Ç: ÄåäïìÝíïõ üôé ðñüêåéôáé ãéá ðáñáäïóéáêü ïéêéóìü, ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôçò áîßáò ôùí áêéíþôùí äåí åöáñìüæïíôáé ïé óõíôåëåóôýò ðñüóïøçò:
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ
66 ÊåöÜëáéï 3 ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 3.1 ÅéóáãùãÞ óôù üôé S åßíáé Ýíá óýíïëï áðü óçìåßá óôïí n äéüóôáôï þñï. Ìéá óõíüñôçóç (ðïõ ïñßæåôáé óôï S) åßíáé ìéá ó Ýóç ç ïðïßá ó åôßæåé êüèå óôïé åßï ôïõ
Διαβάστε περισσότερα1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) 2. Íá âñåèåß ç ãåíéêþ ëýóç ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò (15 ìïí.)
ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Ìç áíïëïãßáò ÌáèçìáôéêÜ ÉI, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 24/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) (3x 2 + 6xy 2 )dx + (6x 2 y + 4y 3 )dy = 2. Íá
Διαβάστε περισσότεραCel animation. ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí
ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí Cel animation Ç ôå íéêþ áõôþ óõíßóôáôáé óôçí êáôáóêåõþ ðïëëþí ó åäßùí ðïõ äéáöýñïõí ìåôáîý ôïõò óå óõãêåêñéìýíá óçìåßá. Ôá ó Ýäéá áõôü åíáëëüóóïíôáé ôï Ýíá ìåôü ôï Üëëï äßíïíôáò ôçí
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότερα3.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ
.1 Ç Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò 55.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò Åñþ ôçóç 1 Ôé ëýãåôáé óõíüñôçóç; ÁðÜíôçóç Ç ó Ýóç åêåßíç ðïõ êüèå ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò x, áíôéóôïé ßæåôáé óå ìéá ìüíï ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò y ëýãåôáé
Διαβάστε περισσότεραΚίνδυνοι στο facebook WebQuest Description Grade Level Curriculum Keywords
Κίνδυνοι στο facebook WebQuest Description: Το Facebook είναι ένας ιστοχώρος
Διαβάστε περισσότερα3524 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ)
F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 3523 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 252 28 Öåâñïõáñßïõ 2002 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. 19306/Ã2 ÐñïãñÜììáôá Óðïõäþí Ôå íéêþí Åðáããåëìáôéêþí Åêðáéäåõôçñßùí (Ô.Å.Å.).
Διαβάστε περισσότερα(Á 154). Amitraz.
ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) 13641 ñèñï 4 (Üñèñï 3 ôçò Ïäçãßáò 2001/99/ÅÊ) Ïé äéáôüîåéò ôçò ðáñïýóáò áðüöáóçò éó ýïõí áðü ôçí 1ç Éïõëßïõ 2002. Ç ðáñïýóá áðüöáóç íá äçìïóéåõèåß óôçí Åöçìåñßäá
Διαβάστε περισσότεραÅîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý
algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 00 7 Åîéóþóåéò ïõ âáèìïý Ç åîßóùóç áx + â = 0 áx = â (ìå á 0) (ìå á = â = 0) â Ý åé áêñéâþò ìßá ëýóç, ôç x =. á áëçèåýåé ãéá êüèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x (ôáõôüôçôá
Διαβάστε περισσότεραF ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 5551 ÔÅÕ ÏÓ ÔÅÔÁÑÔÏ Áñ. Öýëëïõ 647 7 Áõãïýóôïõ 2001 ÐÅÑÉÅ ÏÌÅÍÁ ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Ôñïðïðïßçóç åãêåêñéìýíïõ ó åäßïõ ðüëçò ÄÞìïõ Çñáêëåßïõ, óôçí ðïëåïäïìéêþ åíüôçôá
Διαβάστε περισσότεραΕΝΔΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΚΑΙ ΧΕΙΡΟΥΡΓΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΙΑΣ ΚΙΝΗΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΡΑΧΩΝ ΓΑΣΤΡΟΟΙΣΟΦΑΓΙΚΗΣ ΣΥΜΒΟΛΗΣ Εκπαιδευτικό Σεμινάριο.
ΕΝΔΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΚΑΙ ΧΕΙΡΟΥΡΓΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΙΑΣ ΚΙΝΗΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΡΑΧΩΝ ΓΑΣΤΡΟΟΙΣΟΦΑΓΙΚΗΣ ΣΥΜΒΟΛΗΣ Εκπαιδευτικό Σεμινάριο Τελικό Πρόγραμμα Β Χειρουργική και Γαστρεντερολογική κλινική, Ναυτικού Νοσοκομείου
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT
ÊåöÜëáéï 7 ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT 7. Áêïëïõèßåò ¼ðùò êáé ãéá ôïõò ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò, ìéá (Üðåéñç) áêïëïõèßá ìðïñåß íá èåùñçèåß ùò óõíüñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý ôïõò èåôéêïýò áêýñáéïõò. ÄçëáäÞ, ìéá
Διαβάστε περισσότεραÍá èõìçèïýìå ôç èåùñßá...
ÇËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá....1 Ôé ïíïìüæïõìå çëåêôñéêü ðåäßï; Çëåêôñéêü ðåäßï ïíïìüæïõìå ôïí þñï ìýóá óôïí ïðïßï áí âñåèåß Ýíá çëåêôñéêü öïñôßï èá äå èåß äýíáìç. Ãéá íá åîåôüóïõìå áí óå êüðïéï
Διαβάστε περισσότεραΔΙΗΜΕΡΟ ΚΙΝΗΤΟΠΟΙΗΣΕΩΝ ΤΩΝ ΔΗΜΩΝ ΤΗΣ ΧΩΡΑΣ. Αναστολή λειτουργίας των δήμων στις 12 και 13 Σεπτεμβρίου 2012
ΔΙΗΜΕΡΟ ΚΙΝΗΤΟΠΟΙΗΣΕΩΝ ΤΩΝ ΔΗΜΩΝ ΤΗΣ ΧΩΡΑΣ Αναστολή λειτουργίας των δήμων στις 12 και 13 Σεπτεμβρίου 2012 Τετάρτη, 12 Σεπτεμβρίου, Πανελλαδική Συγκέντρωση στη Πλατεία Κλαυθμώνος, στις 11.00 π.μ. Πορεία
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο
Διαβάστε περισσότεραÈåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÔáéñéÜóìáôá
Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÔáéñéÜóìáôá ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email: fotakis@aegean.gr 1 Âáóéêïß Ïñéóìïß êáé Ïñïëïãßá
Διαβάστε περισσότεραJ-Y(St)Y Ôçëåöùíéêü êáëþäéï åóùôåñéêïý þñïõ ìå èùñüêéóç êáôü VDE 0815
J-Y(St)Y Ôçëåöùíéêü êáëþäéï åóùôåñéêïý þñïõ ìå èùñüêéóç êáôü VDE 0815 ÅÖÁÑÌÏÃÇ ñçóéìïðïéïýíôáé óå ìüíéìåò åãêáôáóôüóåéò ãéá ôç ìåôüäïóç áíáëïãéêïý Þ øçöéáêïý óþìáôïò. Ôï ðåäßï åöáñìïãþí ôïõò ðåñéëáìâüíåé
Διαβάστε περισσότεραATHINA COURT. ÐïëõôåëÞ Äéáìåñßóìáôá
ATHINA COURT ÐïëõôåëÞ Äéáìåñßóìáôá ΣΥΓΚΡΟΤΗΜΑ ΙΑΜΕΡΙΣΜΑΤΩΝ ΑΘΗΝΑ Το συγκρότημα διαμερισμάτων AΘΗΝΑ βρίσκεται σε μια ήσυχη περιοχή στην Έγκωμη, Γωνία Γρηγόρη Αυξεντίου & Αρχιεπισκόπου Λεοντίου και αποτελείται
Διαβάστε περισσότεραÌÅÑÏÓ 3 ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΤΗΣ ΚΛΙΝΙΚΗΣ ΠΡΑΞΗΣ ÁÐÁÉÔÇÓÅÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ. Υπηρεσίες Ιατρικής Πληροφορικής και Τηλεϊατρικής 9 ÂÁÓÉÊÅÓ ÊÁÔÅÕÈÕÍÓÅÉÓ
138 Υπηρεσίες Ιατρικής Πληροφορικής και Τηλεϊατρικής ÌÅÑÏÓ 3 ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΤΗΣ ΚΛΙΝΙΚΗΣ ΠΡΑΞΗΣ 9 ÂÁÓÉÊÅÓ ÊÁÔÅÕÈÕÍÓÅÉÓ 10 ÌÏÍÔÅËÏ ÁÐÏÔÉÌÇÓÇÓ ÔÙÍ ÁÐÁÉÔÇÓÅÙÍ 11 ÔÏÌÅÉÓ ÅÖÁÑÌÏÃÇÓ ÔÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ 139
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÐÅËÏÐÏÍÍÇÓÏÕ ÁÊÁÄÇÌÁÚÊÏ ÅÔÏÓ ÔÑÉÐÏËÇ
ÁÊÁÄÇÌÁÚÊÏ ÅÔÏÓ 2002-2003 ÔÑÉÐÏËÇ ÌÁÈÇÌÁ ÃÑÁÌÌÉÊÇ ÁËÃÅÂÑÁ ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÌÅÑÏÓ É ÃÉÙÑÃÏÓ ÐÁÍÏÐÏÕËÏÓ ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÏÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÃÑÁÌÌÉÊÇÓ ÁËÃÅÂÑÁÓ 1. ÐÉÍÁÊÅÓ 1. Ó åäéüóôå ôçí åéêüíá ôùí ãñáììþí ãéá ôéò äýï åîéóþóåéò,
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ 1. Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης ΝΟΜΟΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ NEWTON ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ -
ΜΑΘΗΜΑ 1 Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης ΝΟΜΟΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ NEWTON ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑΤΩΝ- ΟΡΥΚΤΩΝ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ - ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΣΤΡΕΠΤΟΣ ΖΥΓΟΣ- ΕΚΚΡΕΜΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ: Τροποποίηση κατηγοριών στα εγκεκριµένα ενιαία τιµολόγια εργασιών για έργα οδοποιϊας.
ΕΞ. ΕΠΕΙΓΟΝ ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ 5 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήνα, 23 Φεβρουαρίου 2005 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΕ.ΧΩ..Ε. Αρ.Πρωτ. 17α/10/22/ΦΝ 437 ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜ. ΗΜΟΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ ΓΕΝ. /ΝΣΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΡΟΓ/ΤΟΣ /ΝΣΗ ΝΟΜΟΘΕΤΙΚΟΥ ΣΥΝΤ/ΣΜΟΥ &
Διαβάστε περισσότεραΠροτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ
Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης 2o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ 1.1. ÓùóôÞ áðüíôçóç åßíáé ç Ä. ΘΕΜΑ 1ο 1.2. ñçóéìïðïéïýìå ôçí êáôáíïìþ ôùí çëåêôñïíßùí óå áôïìéêü ôñï éáêü óýìöùíá
Διαβάστε περισσότερα1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï
ÊåöÜëáéï 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï óôù ç ôñéüäá (a, b, c). Ôï óýíïëï ôùí ôñéüäùí êáëåßôáé 3-äéÜóôáôïò þñïò êáé óõìâïëßæåôáé ìå IR 3. Åéäéêüôåñá ç ôñéüäá (a, b, c) ïñßæåé
Διαβάστε περισσότεραÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí
165 KåöÜëáéï 8 ÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí 1. Ïñéóìüò êáé óõíý åéá óõíáñôþóåùò ðåñéóóïôýñùí ìåôáâëçôþí * ÌåôñéêÝò óå ìåôñéêïýò þñïõò Åðß ôïõ Rïñßæïõìå ôçí ìåôñéêþ d(, = - 1 1 Åðß ôïõ R ïñßæïõìå ôéò åðüìåíåò
Διαβάστε περισσότεραΕιρήνη Καµαράτου-Γιαλλούση, 2009. Ðñþôç Ýêäïóç: Σεπτέµβριος 2009 ÉSBN 978-960-453-616-0
TÉÔËÏÓ ÂÉÂËÉÏÕ: Ο Πονηρούλης ÓÕÃÃÑÁÖÅÁÓ: Ειρήνη Καµαράτου-Γιαλλούση ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΙΟΡΘΩΣΗ ÊÅÉÌÅÍÏÕ: Χρυσούλα Τσιρούκη ÅÉÊÏÍÏÃÑÁÖÇÓÇ ΕΞΩΦΥΛΛΟ: ιονύσης Καραβίας ÇËÅÊÔÑÏÍÉÊÇ ÓÅËÉÄÏÐÏÉÇÓÇ: Ελένη Σταυροπούλου EÊÔÕÐÙÓÇ:
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΟΣ ΑΓΚΑΙΡΙΑΣ ΟΙΚΙΣΜΟΣ: ΠΑΡΑΔΟΣΙΑΚΟΣ ÏÉÊÉÓÌÏÓ. 2) Για τουριστικές εγκαταστάσεις και για εγκαταστάσεις οργανισμών κοινής ωφελείας:
ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΔΙΑΜΕΡΙΣΜΑ: ΑΓΚΑΙΡΙΑΣ ΑΓΚΑΙΡΙΑΣ ΟΙΚΙΣΜΟΣ: ΠΑΡΑΔΟΣΙΑΚΟΣ ÏÉÊÉÓÌÏÓ ÐÑÏÓÏ Ç: ÄåäïìÝíïõ üôé ðñüêåéôáé ãéá ðáñáäïóéáêü ïéêéóìü, ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôçò áîßáò ôùí áêéíþôùí äåí åöáñìüæïíôáé ïé óõíôåëåóôýò
Διαβάστε περισσότεραÅÍÏÔÇÔÁ 6ç ÑÏÍÏÓ-ÄÉÁÄÏ Ç
Ενότητα 6 Μάθημα 45 Πρώτος-τελευταίος 1. Íá êáôáíïþóïõí ôéò Ýííïéåò ðñþôïò êáé ôåëåõôáßïò. 2. Ná ìüèïõí íá ñùôïýí êáé íá áðáíôïýí ó åôéêü ìå ôï ñüíï êáé ôç äéáäï Þ ãåãïíüôùí. 1. Íá áêïýóïõí ôï ðáñáìýèé
Διαβάστε περισσότεραÅñùôÞóåéò ÓõìðëÞñùóçò êåíïý
ÅñùôÞóåéò ÓõìðëÞñùóçò êåíïý Çëåêôñéêü ðåäßï.10 Ôé ïíïìüæïõìå çëåêôñéêü ðåäßï; Çëåêôñéêü ðåäßï ïíïìüæïõìå ôïí.. ìýóá óôïí ïðïßï áí âñåèåß..... öïñôßï äý åôáé......11 íá óçìåéáêü çëåêôñéêü öïñôßï äçìéïõñãåß
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÈåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò
Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email:
Διαβάστε περισσότερα4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò
4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò Óôéò áóêþóåéò ìå åðßäñáóç óôç èýóç ìéáò éóïññïðßáò ãßíåôáé áíáöïñü óå ðåñéóóüôåñåò áðü ìßá èýóåéò éóïññïðßáò. Ïé èýóåéò éóïññïðßáò åßíáé äéáäï
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝ. ΠΑΙ ΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚ/ΤΩΝ ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ ΣΠΟΥ ΩΝ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗΣ ΚΑΙ ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΩΝ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ Π.Ε.
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝ. ΠΑΙ ΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚ/ΤΩΝ ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ ΣΠΟΥ ΩΝ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗΣ ΚΑΙ ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΩΝ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ Π.Ε. Τµήµα Α Αν. Παπανδρέου 37 151 80 Μαρούσι Πληροφορίες: Ρ. Γεωργακόπουλος
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÁ FOURIER. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò
ÌÜèçìá 13 ÓÅÉÑÁ FOURIER 13.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Ïé ðåñéïäéêýò óõíáñôþóåéò óõíáíôþíôáé óõ íü óå äéüöïñá ðñïâëþìáôá åöáñìïãþí. Ç ðñïóðüèåéá íá åêöñáóôïýí ïé óõíáñôþóåéò áõôýò ìå üñïõò áðëþí ðåñéïäéêþí óõíáñôþóåùí,
Διαβάστε περισσότερα1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç
1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç 7 1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç Åñþ ôçóç 1 Ðïéïé áñéèìïß ïíïìüæïíôáé öõóéêïß; Ðþò ôïõò óõìâïëßæïõìå êáé ðþò ùñßæïíôáé;
Διαβάστε περισσότεραΤυπικές Γλώσσες. Μεταγλωττιστές. (μέρος 2ο) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Τυπικές Γλώσσες (μέρος 2ο) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραChi-Square Goodness-of-Fit Test*
Chi-Square Goodness-of-Fit Test* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@mathuoagr February 6, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô ÐáðáúùÜííïõ êáé ôá âéâëßá
Διαβάστε περισσότεραÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ
ÌÜèçìá 18 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ 18.1 ÅéóáãùãÞ 1 Óôï ìüèçìá áõôü äßíïíôáé ïé âáóéêýò Ýííïéåò ôïõ Äéáíõóìáôéêïý Äéáöïñéêïý Ëïãéóìïý, ðïõ åßíáé ó åôéêýò ìå ôéò âáèìùôýò Þ ôéò äéáíõóìáôéêýò óõíáñôþóåéò
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 12: Αόριστο Ολοκλήρωμα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα : Αόριστο Ολοκλήρωμα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ÌÜèçìá: Óôï áóôéêýò Áíåëßîåéò Ðåñßïäïò: ÉáíïõÜñéïò, 2009
ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ÌÜèçìá: Óôï áóôéêýò Áíåëßîåéò Ðåñßïäïò: ÉáíïõÜñéïò, 2009 Ïíïìáôåðþíõìï : Á.Ì : ÈÝìá 1: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 2: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 3: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 4: Âáèìüò [ ] èñïéóìá
Διαβάστε περισσότεραΓαλάτεια Γρηγοριάδου-Σουρέλη, Πρώτη έκδοση: Νοέμβριος 2012 ISBN
ΤΙΤΛΟΣ ΒΙΒΛΙΟΥ: Ελάτε να διαβάσουμε παραμύθια ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: Γαλάτεια Γρηγοριάδου-Σουρέλη ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΟΡΘΩΣΗ: Χρυσούλα Τσιρούκη ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ: Κατερίνα Χαδουλού ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΣΕΛΙΔΟΠΟΙΗΣΗ: Ραλλού Ρουχωτά ΕΚΤΥΠΩΣΗ:
Διαβάστε περισσότεραÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò
ÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò Ç åðßëõóç áíáäñïìéêþí åîéóþóåùí åßíáé Ýíá áðïëýôùò áðáñáßôçôï åñãáëåßï ãéá ôçí åýñåóç åêöñüóåùí ðïõ ðåñéãñüöïõí ôçí ðïëõðëïêüôçôá ðïëëþí áëëü êáé âáóéêþí áëãïñßèìùí. Ãåíéêþò,
Διαβάστε περισσότεραΙΣΤΙΟΠΛΟΪΚΟΣ ΑΓΩΝΑΣ : ΑΣΠΡΟΝΗΣΟΣ Ο ΗΓΙΕΣ ΠΛΟΥ
ΙΣΤΙΟΠΛΟΪΚΟΣ ΑΓΩΝΑΣ : ΑΣΠΡΟΝΗΣΟΣ Ο ΗΓΙΕΣ ΠΛΟΥ 1. ΩΡΑ Η επίσημη ώρα για τον αγώνα "ΑΣΠΡΟΝΗΣΟΣ 2007" είναι 9η του αστεροσκοπείου Αθηνών. Η πληροφόρηση γίνεται με τηλεφωνική κλήση του αριθμού 141. 2. ΠΡΟΓΝΩΣΗ
Διαβάστε περισσότερα5Ô Ô ÚÓÔ. ðüóï 15 ðüóï 1/ ðüóï 2/ ðüóï 4/ ðüóï ðüóï ðüóï. 13 ðüóï 33 ðüóï ðüóï ðüóï. ðüóï 26 ðüóï 2XA ðüóï 3XA ¼ëïé ðüóï
5Ô Ô ÚÓÔ ª ıëùòó Bã ÎÏÔ ¼ëïé óôçí ðñþôç / K 2 Ìïßñáóå ï  3 Q 10 6 2 6 J 8 7 6 3 5 7 2 / 10 8 5 4 / A J 9 7 3 A 9 7 3 K J 5 6 Q 4 6 K 10 5 A Q 9 3 5 J 10 5 4 / Q 6 3 3 8 4 3 6 A 9 5 2 5 K 8 6 ðüóï 15 ðüóï
Διαβάστε περισσότεραÐÑÁÃÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 3 ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 3.1 Ïñéóìüò êáé ëãåâñá óõíáñôþóåùí 3.1.1 Ïñéóìïß Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ãéá ôéò ðñáãìáôéêýò óõíáñôþóåéò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò,
Διαβάστε περισσότεραΑφίσα με μήνυμα Ολυμπισμού
Ημερολόγιο 2 0 0 4 Αφίσα με μήνυμα Ολυμπισμού Αφίσα με μήνυμα Ολυμπισμού Áößóá, ëýîç ãáëëéêþ, ðïõ óçìáßíåé êáôü êõñéïëåîßá ôïé ïêüëëçìá. íá ìåãüëï êïììüôé áñôß, Ýíôõðï, ìå åéêáóôéêü áñáêôþñá, åìöáíýò êáé
Διαβάστε περισσότεραÜóêçóç 15. ÕëéêÜ - åîáñôþìáôá äéêôýïõ ðåðéåóìýíïõ áýñá êáé ðíåõìáôéêýò óõóêåõýò
ÕëéêÜ - åîáñôþìáôá äéêôýïõ ðåðéåóìýíïõ áýñá êáé ðíåõìáôéêýò óõóêåõýò Óôü ïé ôçò Üóêçóçò äéüñêåéá Üóêçóçò: 6 äéäáêôéêýò þñåò Óôï ôýëïò ôçò Üóêçóçò ïé ìáèçôýò èá åßíáé éêáíïß: é íá áíáãíùñßæïõí ôá åîáñôþìáôá
Διαβάστε περισσότερα