10.1 (ÕÐÏ)ÏÑÈÏÈÅÔÅÓ ÊÁÉ ÓÕÍÈÅÔÉÊÅÓ ÓÅÉÑÅÓ
|
|
- Ειρηναίος Καζαντζής
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 10.1 (õðï)ïñèïèåôåò êáé óõíèåôéêåò óåéñåò (ÕÐÏ)ÏÑÈÏÈÅÔÅÓ ÊÁÉ ÓÕÍÈÅÔÉÊÅÓ ÓÅÉÑÅÓ Ïñéóìüò. óôù ( ) ìéá ïìüäá êáé Ýóôù v Áò õðïèýóïõìå üôé õößóôáôáé ìéá ðåðåñáóìýíç áêïëïõèßá õðïïìüäùí ( ) 0 ôþò ôýôïéá þóôå = 0 v 1 v v 1 v = (10.1) (i) ËÝìå üôé ç (10.1) åßíáé ìéá óåéñü áðü ôçí óôçí Ïé ìåôý ïõóåò õðïïìüäåò 0 1 êáëïýíôáé üñïé ôþò óåéñüò (10.1). Ç (10.1) ïíïìüæåôáé ãíþóéá óåéñü (Þ óåéñü ùñßò åðáíáëþøåéò) ìþêïõò áðü ôçí óôçí üôáí 1 = 1 = (10.2) (ii) ¼ôáí ñçóéìïðïéïýìå ôç öñüóç óåéñü ôþò (êáé áíôéóôïß ùò, ãíþóéá óåéñü ìþêïõò ôþò ) åííïïýìå ìéá óåéñü (10.1) (êáé áíôéóôïß ùò, ìéá óåéñü (10.2)) áðü ôçí ôåôñéììýíç õðïïìüäá { } óôçí (iii) Ç (10.1) êáëåßôáé õðïïñèüèåôç óåéñü áðü ôçí óôçí êáéóõìâïëßæåôáéùò = 0 E 1 E E 1 E = (10.3) üôáí 1 E ãéá êüèå {1 } Ïé 1 {1 } êáëïýíôáé ðçëéêïïìüäåò ôþò óåéñüò (10.3). H (10.3) êáëåßôáé ãíþóéá õðïïñèüèåôç óåéñü (ìþêïõò ) áðüôçí óôçí óçìåéïýìåíç ùò = 0 C 1 C C 1 C = (10.4) üôáí åßíáé ãíþóéá óåéñü áðü ôçí óôçí õðü ôçí Ýííïéá ôïý (i). Åðßóçò, üôáí ñçóéìïðïéïýìå ôç öñüóç õðïïñèüèåôç óåéñü ôþò (êáé áíôéóôïß ùò, ãíþóéá õðïïñèüèåôç óåéñü (ìþêïõò ) ôþò ) åííïïýìå ìéá õðïïñèüèåôç óåéñü (10.3) (êáé áíôéóôïß ùò, ìéá ãíþóéá õðïïñèüèåôçóåéñü (10.4)) áðü ôçí ôåôñéììýíçõðïïìüäá { } óôçí (iv) Ìéá õðïïñèüèåôç óåéñü (10.3) ôþò êáëåßôáé ïñèüèåôç 2 óåéñü ôþò üôáí E ãéá êüèå {0 1 } ÐáñáôÞñçóç. Ëüãù ôïý èåùñþìáôïò êáé ôþò ðñïôüóåùò ç ôüîç ìéáò ïìüäáò ðïõ äéáèýôåé ìéá õðïïñèüèåôç óåéñü äßäåôáé áðü ôïí ôýðï { } = 0 C 1 C C 1 C = Q = Q : 1 = 1 =1 1 Óýìâáóç:¼ôáíçßäéáç åßíáé ôåôñéììýíç, äåí èá êüíïõìå äéüêñéóç ìåôáîý ôùí åííïéþí óåéñü êáé ãíþóéá óåéñü ôþò (êáèüóïí ç ìïíáäéêþ óåéñü ôþò åßíáé åêåßíç ðïõ áðáñôßæåôáé áðü ôçí ßäéá ôçí ). 2 Ðñïóï Þ! ÏñéóìÝíïé óõããñáöåßò, áíôß ôïý üñïõ õðïïñèüèåôç óåéñü (subnormal series), ñçóéìïðïéïýí ôïí üñï ïñèüèåôç óåéñü (normal series) êáé áíôß ôïý üñïõ ïñèüèåôç óåéñü ôïí üñï áíáëëïßùôç óåéñü (invariant series). =1
2 382 åðéëõóéìåò êáé ìçäåíïäõíáìåò ïìáäåò Ïñéóìüò. óôù ( ) ìéá ïìüäá êáé Ýóôù = 0 E 1 E E 1 E = (10.5) ìéá õðïïñèüèåôç óåéñü áðü ôçí óôçí Ìéá õðïïñèüèåôç óåéñü = 0 E 1 E E 1 E = (10.6) áðü ôçí óôçí êáëåßôáé åêëýðôõíóç ôþò (10.5) üôáí êáé üôáí (ôáõôï- ñüíùò) 0 1 N 0 : 0 1 ìå = {0 1 } Þ, ìå Üëëá ëüãéá, üôáí áðïêôïýìå ôçí (10.6) áðü ôçí (10.5) ýóôåñá áðü ðáñåìâïëþ åðéðñüóèåôùí üñùí ìåôáîý êüðïéùí åê ôùí üñùí ôþò (10.5). Ç (10.6) êáëåßôáé ãíþóéá åêëýðôõíóç ôþò (10.5) üôáí {1 } : 6= {0 1 } Þôïé üôáí ôï ðëþèïò ôùí üñùí ôþò (10.6) õðåñâáßíåé ôï ðëþèïò ôùí üñùí ôþò (10.5) Ïñéóìüò. óôù ( ) ìéá ïìüäá. Ìéá ãíþóéá õðïïñèüèåôç óåéñü (êáé áíôéóôïß ùò,ìéáãíþóéáïñèüèåôçóåéñü) { } = 0 C 1 C C 1 C = ôþò êáëåßôáé óõíèåôéêþ óåéñü ôþò (êáé áíôéóôïß ùò, åðéêåöáëþò óåéñü Þ êýñéá óåéñü ôþò ) üôáí äåí äéáèýôåé ãíþóéåò åêëåðôýíóåéò Ðñüôáóç. óôù ( ) ìéá ìç ôåôñéììýíç ïìüäá êáé Ýóôù { } = 0 E 1 E E 1 E = (10.7) ìéáõðïïñèüèåôçóåéñüôþò Ôüôå ôá áêüëïõèá åßíáé éóïäýíáìá : (i) H (10.7) åßíáé óõíèåôéêþ óåéñü ôþò (ii) Ïé ðçëéêïïìüäåò 1 {1 } ôþò (10.7) åßíáé áðëýò ïìüäåò. Áðïäåéîç. (i) (ii) ÕðïèÝôïõìå üôé ç (10.7) åßíáé óõíèåôéêþ óåéñü ôþò Ç (10.7) åßíáé åî ïñéóìïý ãíþóéá óåéñü (ìþêïõò 1) ôþò ïðüôå ïé ðçëéêïïìüäåò 1 {1 } åßíáé ìç ôåôñéììýíåò. ÅÜí õðþñ å êüðïéïò 0 {1 } ôýôïéïò þóôå ç ðçëéêïïìüäá íá åßíáé ìç áðëþ, ôüôå èá õðþñ å êüðïéá ãíþóéá, ìç ôåôñéììýíç õðïïìüäá v çïðïßá,ëüãù ôùí ðïñéóìüôùí êáé , èá Ýðñåðå íá åßíáé ôþò ìïñöþò = 0 1 ãéá ìå 0 1 C C 0 ïðüôå ç { } = 0 C C 0 1 C C 0 C 0 +1 C C 1 C =
3 10.1 (õðï)ïñèïèåôåò êáé óõíèåôéêåò óåéñåò 383 èá Þôáí ãíþóéá åêëýðôõíóç ôþò (10.7), êüôé ðïõ èá áíôýöáóêå ðñïò ôïí ïñéóìü ôþò óõíèåôéêþò óåéñüò. ñá ïé ðçëéêïïìüäåò 1 {1 } ôþò (10.7) åßíáé êáô' áíüãêçí áðëýò ïìüäåò. (ii) (i) óôù üôé ïé ðçëéêïïìüäåò 1 {1 } ôþò (10.7) åßíáé áðëýò ïìüäåò. Áò õðïèýóïõìå üôé ç (10.7) äåí åßíáé óõíèåôéêþ óåéñü ôþò Ôüôå ç óåéñü (10.7) åßíáé åßôå ìç ãíþóéá åßôå ãíþóéá Ý ïõóá êüðïéá ãíþóéá åêëýðôõíóç. Óôçí ðñþôç ðåñßðôùóç êüðïéá ðçëéêïïìüäá ôçò åßíáé ôåôñéììýíç êáé, ùò åê ôïýôïõ, ìç áðëþ. ôïðï! Óôç äåýôåñç ðåñßðôùóç èåùñïýìå ìéá ãíþóéá åêëýðôõíóþ ôçò { } = 0 = 0 C 1 C C 1 C = (10.8) ÅÜí ï åßíáé ï ìýãéóôïò èåôéêüò áêýñáéïò ãéá ôïí ïðïßïí ç åßíáé äéáöïñåôéêþ áðü ïéïíäþðïôå üñï ôþò (10.7), ôüôå 0 êáé +1 = ãéá êüðïéïí áêýñáéï ìå 0 Áðü ôïí ôñüðï åðéëïãþò ôïý êáé áðü ôï ãåãïíüò üôé ç (10.8) åßíáé ìéá ãíþóéá åêëýðôõíóç ôþò (10.7) Ýðåôáé üôé 1 C C +1 = ÅðïìÝíùò, âüóåé ôïý ðïñßóìáôïò ç ðçëéêïïìüäá 1 åßíáé ìéá ãíþóéá, ìç ôåôñéììýíç, ïñèüèåôç õðïïìüäá ôþò ðçëéêïïìüäáò 1 ïðüôå ç 1 äåí åßíáé áðëþ. ôïðï! ñá ôåëéêþò ç(10.7) åßíáé üíôùò óõíèåôéêþ óåéñü ôþò ïìüäáò Èåþñçìá. ÊÜèå ðåðåñáóìýíç ïìüäá äéáèýôåé (ôïõëü éóôïí) ìßá óõíèåôéêþ óåéñü. Áðïäåéîç. óôù ôõ ïýóá ðåðåñáóìýíç ïìüäá. Èá ñçóéìïðïéþóïõìå ôç äåýôåñç ìïñöþ ôþò ìáèçìáôéêþò åðáãùãþò ùò ðñïò ôçí ôüîç ôþò ÅÜí =1 ôüôå ç åßíáé ôåôñéììýíç, ïðüôå ï éó õñéóìüò åßíáé ðñïäþëùò áëçèþò. Ãéá 2 õðïèýôïõìå üôé åßíáé áëçèþò ãéá êüèå ðåðåñáóìýíç ïìüäá Ý ïõóá ôüîç Äéáêñßíïõìå äýï ðåñéðôþóåéò: Ðåñßðôùóç ðñþôç. ÅÜí ç åßíáé áðëþ, ôüôå (ðñïöáíþò) ç { } C åßíáé ìéá óõíèåôéêþ óåéñü. Ðåñßðôùóç äåýôåñç. ÅÜí ç äåí åßíáé áðëþ, ôüôå ðåñéý åé êüðïéá ãíþóéá, ìç ôåôñéììýíç, ïñèüèåôç õðïïìüäá, áò ôçí ðïýìå ÅðåéäÞ 1 çåðáãùãéêþ õðüèåóç åããõüôáé ôçí ýðáñîç ìéáò óõíèåôéêþò óåéñüò { } = 0 C 1 C C 1 C = ôþò ìþêïõò 1 ÓçìåéùôÝïí üôé (ëüãù ôþò óõíåðáãùãþò (i) (ii) ôþò ðñïôüóåùò ) ïé ðçëéêïïìüäåò 1 {1 } åßíáé áðëýò ïìüäåò. Ðáñïìïßùò, åðåéäþ 1 ç åðáãùãéêþ õðüèåóç åããõüôáé ôçí ýðáñîç ìéáò óõíèåôéêþò óåéñüò { } = = 0 C 1 C C 1 C =
4 384 åðéëõóéìåò êáé ìçäåíïäõíáìåò ïìáäåò ôþò ìþêïõò 1 ÊáôÜ ôá ðïñßóìáôá êáé êüèå 1 ïöåßëåé íá åßíáé ìéá ðçëéêïïìüäá ôþò ìïñöþò = üðïõ C ( = ) êáé 1 C {1 } Ëüãù ôþò óõíåðáãùãþò (i) (ii) ôþò ðñïôüóåùò êáé ôïý 3ïõ èåùñþìáôïò éóïìïñöéóìþí ïé ðçëéêïïìüäåò 1 =( ) ( 1 ) = 1 {1 } åßíáé áðëýò ïìüäåò. Åí óõíå åßá, èåùñïýìå ôç ãíþóéá õðïïñèüèåôç óåéñü { } = 0 C 1 C C = C 1 C 2 C C 1 C = ôþò (ìþêïõò + ). ÁõôÞ (ëüãù ôþò áíôßóôñïöçò óõíåðáãùãþò (ii) (i) ôþò ðñïôüóåùò ) åßíáé ìéá óõíèåôéêþ óåéñü ôþò äéüôé(âüóåéôùíðñïáíáöåñèýíôùí) üëåò ïé ðçëéêïïìüäåò ôçò åßíáé áðëýò ïìüäåò ÐáñÜäåéãìá. ÂÜóåé ôùí ðñïáíáöåñèýíôùí óôá åäüöéá êáé ïé ìüíåò õðïïñèüèåôåò (êáô' áíüãêçí ïñèüèåôåò) óõíèåôéêýò (êáô' áíüãêçí åðéêåöáëþò) óåéñýò ôþò ïìüäáò Q ôùíôåôñáíßùíåßíáéïéåîþò: {I 2 } C h I 2 i C hii C Q {I 2 } C h I 2 i C hji C Q {I 2 } C h I 2 i C hki C Q Óçìåßùóç. ÕðÜñ ïõí Üðåéñåò ïìüäåò, üðùò ç (Z +) ïé ïðïßåò äåí äéáèýôïõí êáìßá óõíèåôéêþ óåéñü. I Èåþñçìá ôùí C. Jordan êáé Ï. H lder. Åí óõíå åßá, èá áðïäåßîïõìå ôï èåìåëéþäåò èåþñçìá ðïõ áñáêôçñßæåé ôéò óõíèåôéêýò óåéñýò. Áõôü áðåäåß- èç ìåñéêþò áðü ôïí C. Jordan ( ) ôïýôïò êáé ðëþñùò áðü ôïí Ï. H lder ( )ôï áëëü ìüíïí ãéá ðåðåñáóìýíåò ïìüäåò. Ìéá áðüäåéîþ ôïõ éó ýïõóá ãéá ïéåóäþðïôå ïìüäåò (Ý ïõóåò óõíèåôéêýò óåéñýò) äçìïóéåýèçêå ôï áðü ôïí O. Schreier ( ) êáé ñçóéìïðïéåß ôï èåþñçìá Ç áðüäåéîç ôïý èåùñþìáôïò ôïý Schreier Ýôõ å áéóèçôþò áðëïõóôåýóåùò (ôï Ýôïò ) áðü ôïí H.J. Zassenhaus ( )ìÝóùôïýáêüëïõèïõëÞììáôïò: 3 C. Jordan: Commentaire sur Galois, Math.Ann.1 (1869) Ï. H lder: Zurückführung einer beliebigen algebraischen Gleichung auf eine Kette von Gleichungen, Math. Ann., Bd. 34 (1895) O. Schreier: Über den Jordan-Hölderschen Satz, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, Bd. 6 (1928) H.J. Zassenhaus: Zum Satz von Jordan-Hölder-Schreier, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, Bd. 10 (1934)
5 10.1 (õðï)ïñèïèåôåò êáé óõíèåôéêåò óåéñåò ËÞììá. ( ËÞììá ôþò ðåôáëïýäáò, H.J.Zassenhaus 1934 ) óôù üôé ïé åßíáé õðïïìüäåò ìéáò ïìüäáò ôýôïéåò þóôå 1 E 2 êáé 1 E 2 ÅÜí := {1 2} ôüôå E E êáé = Áðïäåéîç. Ãéá åíïñáôéêþ äéåõêüëõíóþ ìáò ñçóéìïðïéïýìå ôï äéüãñáììá ôïý Hasse (ðïõ ïìïéüæåé ìå ðåôáëïýäá) ãéá ôéò ïìüäåò ôéò ìåôý ïõóåò óôç äéáôýðùóç ôïý ëþììáôïò. ÅðåéäÞ 1 E 2 Ý ïõìå ðñïöáíþò 2 1 := 2 1 E 2 2 =: 2 2 Êé åðåéäþ 1 E 2 Ý ïõìå ôç äõíáôüôçôá åöáñìïãþò ôïý ðïñßóìáôïò (ìå ôéò êáé 2 2 óôçèýóçôùí åêåß ðáñáôåèåéóþí ïìüäùí 1 êáé 2 ). Åî
6 386 åðéëõóéìåò êáé ìçäåíïäõíáìåò ïìáäåò áõôïý óõíüãïõìå üôé E êáèþò êáé ôçí ýðáñîç åíüò éóïìïñöéóìïý = 2 2 ( 2 1 ( )) = (10.9) üðïõ ç ôåëåõôáßá éóüôçôá Ýðåôáé áðü ôï üôé =( 2 2 ) 1 =( 2 1 ) 2 = 1 2 =: 1 2 Êáô' áíáëïãßáí, åðåéäþ 1 E 2 Ý ïõìå ðñïöáíþò 1 2 := 1 2 E 2 2 =: 2 2 Êé åðåéäþ 1 E 2 åöáñìüæïíôáò åê íýïõ ôï ðüñéóìá (ìå ôéò êáé 2 2 óôçèýóçôùíåêåßðáñáôåèåéóþíïìüäùí 1 êáé 2 )ëáìâüíïõìå E êáé = 2 2 ( 1 2 ( )) = (10.10) üðïõ ç ôåëåõôáßá éóüôçôá Ýðåôáé áðü ôï üôé =( 2 2 ) 1 = 2 ( 2 1 )= 2 1 =: 2 1 ËáìâáíïìÝíïõ õð' üøéí ôïý üôé = (êáèüóïí áìöüôåñåò ïé 1 2 êáé 2 1 åßíáé ïñèüèåôåò õðïïìüäåò ôþò 2 2 ) ïé (10.9) êáé (10.10) äßäïõí Ýíáí éóïìïñöéóìü = (âë (ii) êáé (iii)) Ïñéóìüò. ËÝìå üôé äõï õðïïñèüèåôåò óåéñýò êáé { } = 0 E 1 E E 1 E = { } = 0 E 1 E E 1 E = ìéáò ïìüäáò åßíáé éóüìïñöåò («óå åðßðåäï ðçëéêïïìüäùí») üôáí = êáé üôáí (ôáõôï ñüíùò) S : 1 = ( ) ( ) 1 {1 } (Åßíáé åýêïëïò ï Ýëåã ïò ôïý üôé ç ó Ýóç éóïìïñößáò áðïôåëåß ó Ýóç éóïäõíáìßáò åðß ïéïõäþðïôå óõíüëïõ áðáñôéæïìýíïõ áðü õðïïñèüèåôåò óåéñýò ôþò )
7 10.1 (õðï)ïñèïèåôåò êáé óõíèåôéêåò óåéñåò Èåþñçìá. (O. Schreier 1928 ) Äõï õðïïñèüèåôåò (êáé áíôéóôïß ùò, äõï ïñèüèåôåò) óåéñýò ìéáò ïìüäáò äéáèýôïõí ðüíôïôå éóüìïñöåò åêëåðôýíóåéò. Áðïäåéîç. ÁòõðïèÝóïõìåüôéïé êáé { } = 0 E 1 E E 1 E = (10.11) { } = 0 E 1 E E 1 E = (10.12) åßíáé äõï õðïïñèüèåôåò óåéñýò ìéáò ïìüäáò Èá êáôáóêåõüóïõìå ìéá åêëýðôõíóç ôþò (10.11) ðáñåìâüëëïíôáò 1 ïìüäåò {1 1} ìåôáîý ôùí üñùí 1 êáé ãéá êüèå {1 } Êáô' áíáëïãßáí, èá êáôáóêåõüóïõìå ìéá åêëýðôõíóç ôþò (10.12) ðáñåìâüëëïíôáò 1 ïìüäåò {1 1} ìåôáîý ôùí üñùí 1 êáé ãéá êüèå {1 } Êáô' áõôüí ôïí ôñüðï, êáèåìéü åê ôùí äýï äçìéïõñãïýìåíùí åêëåðôýíóåùí { } = 0 E 1 1 E 1 2 E E 1 1 E 1 êáé E 2 1 E 2 2 E E 2 1 E 2 E 1 E 2 E E 1 E = { } = 0 E 1 1 E 2 1 E E 1 1 E 1 E 1 2 E 2 2 E E 1 2 E 2 E 1 E 2 E E 1 E = (10.13) (10.14) èá Ý åé üñïõò. Ðñïò ôïýôï ïñßæïõìå ãéá êüèå äåßêôç {1 } êáé êüèå äåßêôç {1 } := 1 ( ) êáé := 1 ( ) êáé ðáñáôçñïýìå üôé v (êáèüóïí 7 v êáé 1 E )êáé,êáô' áíáëïãßáí, üôé v (êáèüóïí v êáé 1 E ). ÅðéðñïóèÝôùò, ãéá êüèå {1 } êáé êüèå {1 } Ý ïõìå êáé 7 Âë. ðñüôáóç v 1 v 2 v v = 1 v 1 v 2 v v =
8 388 åðéëõóéìåò êáé ìçäåíïäõíáìåò ïìáäåò ÔÝëïò, ùò ïìüäåò áöåôçñßáò ôþò äéðëþò áñéèìþóåùò èåùñïýìå ôéò 0 := 1 = 1 ( 0 ) êáé 0 := 1 = 1 ( 0 ) Åöáñìüæïíôáò ôï ëþììá ôþò ðåôáëïýäáò (ìå ôá 1 1 êáé óôç èýóç ôùí åêåß ðáñáôåèåéóþí ïìüäùí êáé 2 )ëáìâüíïõìå 1 E 1 E êáé 1 = 1 (10.15) Ùò åê ôïýôïõ, ïé ðñïçãçèýíôåò ïñéóìïß ïäçãïýí ðñüãìáôé óôç äçìéïõñãßá äýï åêëåðôýíóåùí (10.13) êáé (10.14) ôþò (êáèåìéüôùíïðïßùíý åé üñïõò). Ëüãù ôþò õðüñîåùò ôùí éóïìïñöéóìþí (10.15) ìåôáîý ôùí ðçëéêïïìüäùí ôïõò ïé (10.13) êáé (10.14) åßíáé éóüìïñöåò õðïïñèüèåôåò óåéñýò ôþò õðü ôçí Ýííïéá ôïý ïñéóìïý (Ç áíùôýñù áðüäåéîç ðáñáìýíåé åí éó ý áêüìç êáé üôáí ïé (10.11) êáé (10.12) åßíáé äõï ïñèüèåôåò óåéñýò ôþò Óå áõôþí ôçí ðåñßðôùóç, áðïäåéêíýïõìå ìýóù ôùí ðñïôüóåùí êáé üôé ïé ïñéóèåßóåò ïìüäåò êáé åßíáé ïñèüèåôåò õðïïìüäåò ôþò ) Ðñüôáóç. óôù ìéá ïìüäá êáé Ýóôù { } = 0 E 1 E E 1 E = (10.16) ìéá õðïïñèüèåôç óåéñü ôçò ÅÜí ç (10.16) åßíáé éóüìïñöç ìå ìéá óõíèåôéêþ óåéñü ôþò ôüôå ç (10.16) åßíáé áö' åáõôþò óõíèåôéêþ óåéñü ôþò Áðïäåéîç. ÅÜíç åßíáé ôåôñéììýíç, ôüôå ï éó õñéóìüò åßíáé ðñïöáíþò. ÅÜí ç äåí åßíáé ôåôñéììýíç êáé åüí ç (10.16) åßíáé éóüìïñöç ìå ìéá óõíèåôéêþ óåéñü { } = 0 C 1 C C 1 C = (10.17) ôþò ôüôå = 1 êáé (ôáõôï ñüíùò) S : 1 = ( ) ( ) 1 {1 } ÅðåéäÞ ç (10.17) åßíáé ìéá óõíèåôéêþ óåéñü ôþò êáìßá åê ôùí ðçëéêïïìüäùí ( ) ( ) 1 äåí èá åßíáé ôåôñéììýíç. ñá êáé ç (10.16) ïöåßëåé íá åßíáé ãíþóéá õðïïñèüèåôç óåéñü ôþò ïìüäáò Ëüãù ôþò óõíåðáãùãþò (i) (ii) ôþò ðñïôüóåùò ïé ðçëéêïïìüäåò ( ) ( ) 1 åßíáé áðëýò ïìüäåò. ñá êáé ïé ðçëéêïïìüäåò 1 åßíáé áðëýò ïìüäåò. Áõôü óçìáßíåé üôé êáé ç (10.16) åßíáé áö' åáõôþò óõíèåôéêþ óåéñü ôþò (âüóåé ôþò áíôßóôñïöçò óõíåðáãùãþò (ii) (i) ôþò ðñïôüóåùò ) Ðñüôáóç. ÅÜí ìéá ïìüäá äéáèýôåé óõíèåôéêýò óåéñýò,ôüôåêüèåãíþóéá õðïïñèüèåôç óåéñü ôçò Ý åé ìéá åêëýðôõíóç ç ïðïßá åßíáé óõíèåôéêþ óåéñü áõôþò.
9 10.2 åðéëõóéìåò ïìáäåò 389 Áðïäåéîç. ÁòõðïèÝóïõìåüôéç( ) 0 åßíáé ìéá ãíþóéá õðïïñèüèåôç óåéñü ôþò êáé ç ( ) 0 ìéáóõíèåôéêþóåéñüôþò ÊáôÜ ôï èåþñçìá ôïý Schreier õößóôáíôáé åêëåðôýíóåéò áõôþí, áò ôéò ðïýìå (åí óõíôïìßá) ( ˇ ) 0 êáé ( ˇ ) 0 áíôéóôïß ùò (üðïõ = ), ïé ïðïßåò åßíáé éóüìïñöåò (õðü ôçí Ýííïéá ôïý ïñéóìïý ). ÅÜí õðüñ ïõí åðáíáëáìâáíüìåíïé üñïé óå áõôýò, ôüôå, êáôüðéí áðáëïéöþò (Þôïé êáôüðéí áöáéñýóåùò 1 üñùí, åüí õðüñ ïõí üñïé ðïõ åðáíáëáìâüíïíôáé öïñýò ãéá êüðïéïí 2) êáôáëþãïõìå óôïí ó çìáôéóìü äýï éóïìüñöùí ãíçóßùí õðïïñèüèåôùí óåéñþí ôþò áò ðïýìå ôùí ( ) 0 êáé ( ) 0 áíôéóôïß ùò. ÅðåéäÞ ïé ( ) 0 êáé ( ) 0 åßíáé åî õðïèýóåùò ãíþóéåò õðïïñèüèåôåò óåéñýò ôþò ïé ( ) 0 êáé ( ) 0 áðïôåëïýí åêëåðôýíóåéò ôùí ( ) 0 êáé ( ) 0 áíôéóôïß ùò. ÅðéðñïóèÝôùò, åðåéäþ ç ( ) 0 åßíáé ìéá ãíþóéá õðïïñèüèåôç óåéñü ôþò êáé ç ( ) 0 (ïýóá óõíèåôéêþ óåéñü) äåí äéáèýôåé ãíþóéåò åêëåðôýíóåéò, ïé ( ) 0 êáé ( ) 0 ïöåßëïõí íá óõìðßðôïõí!( ñá = êáé = ãéá êüèå {1 } )Áõôü óçìáßíåé üôé ç ( ) 0 åßíáééóüìïñöçìåôçóõíèåôéêþóåéñü( ) 0 ôþò ïðüôå (âüóåé ôþò ðñïôüóåùò ) ç ( ) 0 åßíáé óõíèåôéêþ óåéñü ôþò Èåþñçìá. ( Èåþñçìá ôùí C. Jordan êáé Ï. H lder ) ÅÜí ìéá ïìüäá äéáèýôåé óõíèåôéêýò óåéñýò, ôüôå äýï ïéåóäþðïôå óõíèåôéêýò óåéñýò áõôþò åßíáé éóüìïñöåò. Áðïäåéîç. ÅÜí ïé ( ) 0 êáé ( ) 0 åßíáé äõï óõíèåôéêýò óåéñýò ôþò ôüôå êáôü ôï èåþñçìá ôïý Schreier õößóôáíôáé åêëåðôýíóåéò áõôþí ðïõ åßíáé ìåôáîý ôïõò éóüìïñöåò. Ùóôüóï, åðåéäþ (åî ïñéóìïý) ïé ( ) 0 êáé ( ) 0 äåí äéáèýôïõí ãíþóéåò åêëåðôýíóåéò, èá ðñýðåé áõôýò íá åßíáé åîáñ Þò ìåôáîý ôïõò éóüìïñöåò ÅÐÉËÕÓÉÌÅÓ ÏÌÁÄÅÓ Ïñéóìüò. Ìéá õðïïñèüèåôç óåéñü { } = 0 E 1 E E 1 E = ìéáò ïìüäáò êáëåßôáé åðéëýóéìç óåéñü ôþò üôáí åßôå =0åßôå 1 êáé üëåò ïé ðçëéêïïìüäåò ôçò 1 {1 } åßíáé áâåëéáíýò ïìüäåò. Ç ïìüäá êáëåßôáé åðéëýóéìç ïìüäá üôáíäéáèýôåé (ôïõëü éóôïí) ìßáåðéëýóéìçóåéñü. (Ðñïöáíþò,çôåôñéììÝíçïìÜäáåßíáéåîïñéóìïýåðéëýóéìç. Åðßóçò,êÜèåáâåëéáíÞìç ôåôñéììýíç ïìüäá åßíáé åðéëýóéìç, äéüôé ç { } = 0 C 1 = åßíáé ìéá åðéëýóéìç óåéñü ôçò.)
10 390 åðéëõóéìåò êáé ìçäåíïäõíáìåò ïìáäåò Ðáñáäåßãìáôá. (i) Ç ïìüäá Q ôùí ôåôñáíßùí åßíáé åðéëýóéìç. Åí ðñïêåéìýíù, ïéáäþðïôå åê ôùí (ôñéþí) åðéêåöáëþò óåéñþí ôþò Q (âë ) åßíáé åðéëýóéìç.ð..ç {I 2 } C h I 2 i C hii C Q åßíáé åðéëýóéìç, äéüôé h I 2 i/{i 2 } = hii/h I 2 i = Q/hii = Z 2 (ii) óôù N 3 êáé Ýóôù D = h i ç -ïóôþ äéåäñéêþ ïìüäá (âë. åäüöéï 3.4.4). Ç êõêëéêþ ïìüäá h i Ý åé ôüîç ïðüôå áðü ôï èåþñçìá ôïý Lagrange óõíüãïõìå üôé D : h i =2 ñá h i C D (âë. ðñüôáóç ). Ç (ãíþóéá) ïñèüèåôç óåéñü {id E } C h i C D ôþò D åßíáé åðéëýóéìç, äéüôé h i {id E } = Z êáé D h i = Z 2 (iii) Ç Üðåéñç äéåäñéêþ ïìüäá D = h 1 i (âë. åäüöéá êáé ) áðïôåëåß Ýíá ðáñüäåéãìá Üðåéñçò åðéëýóéìçò ïìüäáò, äéüôé ç {id SR } C h 1 i C D åßíáé åðéëýóéìç óåéñü ôþò D (êáèüóïí h 1 i/{id SR } = Z êáé 8 D /h 1 i = Z 2 ). (iv) ÊÜèå ìç áâåëéáíþ áðëþ ïìüäá åßíáé ìç åðéëýóéìç, äéüôéç{ } C åßíáé ç ìüíç õðïïñèüèåôç (êáé, ìüëéóôá, ç ìüíç óõíèåôéêþ) óåéñü ôþò Ð.., ïé A 5 êáé ç A åßíáéìçåðéëýóéìåò(âë.4.3.6êáé4.3.7) Ðñüôáóç. Ìéá õðïïñèüèåôç óåéñü ìéáò ïìüäáò çïðïßáåßíáééóüìïñöç ìå ìéá åðéëýóéìç óåéñü ôþò åßíáé áö' åáõôþò åðéëýóéìç. Áðïäåéîç. ðåôáé Üìåóá áðü ôïõò ïñéóìïýò êáé Ðñüôáóç. ÊÜèå åêëýðôõíóç ìéáò åðéëýóéìçò óåéñüò ìéáò ïìüäáò åßíáé åðéëýóéìç. Áðïäåéîç. óôù { } = 0 E 1 E E 1 E = (10.18) ìéá åðéëýóéìç óåéñü ìéáò ïìüäáò êáé Ýóôù { } = 0 E 1 E E 1 E E E E 1 E = (10.19) o 8 ÓçìåéùôÝïí üôé D = n 1 {0 1} Z êáé üôé ôï óôïé åßï 1 ðáñüãåé ìéá Üðåéñç êõêëéêþ ïìüäá. Ï äåßêôçò D : h 1 i ôþò h 1 i åíôüò ôþò D éóïýôáé ìå 2 êáèüôé D = h 1 i ` ( h 1 i) Áõôü, ëüãù ôþò ðñïôüóåùò , óçìáßíåé üôé h 1 i C D ÅðéðñïóèÝôùò, D h 1 i = D : h 1 i =2 (âë. ðñüôáóç 4.4.2), ïðüôå D /h 1i = Z2 (âë êáé (ii)).
11 10.2 åðéëõóéìåò ïìáäåò 391 ìéá åêëýðôõíóç áõôþò êáôáóêåõáæüìåíç ìýóù ðáñåìâïëþò ìßáò êáé ìüíïí õðïïìüäáò Ç ðçëéêïïìüäá 1 åßíáé õðïïìüäá ôþò 1 (âë ). ÅðåéäÞ ç 1 åßíáé áâåëéáíþ, ç 1 åßíáé ùóáýôùò áâåëéáíþ. ÅðéðñïóèÝôùò, ëüãù ôïý 3ïõ èåùñþìáôïò éóïìïñöéóìþí , êáé ç ðçëéêïïìüäá = ( 1 ) ( 1 ) åßíáé êáô' áíüãêçí áâåëéáíþ. ñá ç (10.19) åßíáé åðéëýóéìç. Åí óõíå åßá, ðáñáôçñïýìå üôé êüèå åêëýðôõíóç ôþò (10.18), ãéá ôçí ïðïßá êáé { } = 0 E 1 E E 1 E = 0 1 N 0 : 0 1 ìå = {0 1 } ìðïñåß íá éäùèåß ùò ôï áðïôýëåóìá (ðåðåñáóìýíïõ ðëþèïõò) äéáäï éêþí åêëåðôýíóåùí ôïý ôýðïõ'' (10.19) (Þôïé åêëåðôýíóåùí, êáèåìéü ôùí ïðïßùí ðñïêýðôåé áðü ôçí áìýóùò ðñïçãïýìåíþ ôçò ýóôåñá áðü ðáñåìâïëþ ìßáò êáé ìüíïí õðïïìüäáò ). Äéáäï éêþ ñþóç ôþò ßäéáò åðé åéñçìáôïëïãßáò (Þ, áêñéâýóôåñá, óõíþèçò ìáèçìáôéêþ åðáãùãþ ùò ðñïò ôï ðëþèïò ôùí ðáñåìâáëëïìýíùí õðïïìüäùí) áðïðåñáôþíåé ôçí áðüäåéîç ôþò ðñïôüóåùò Ðñüôáóç. ÊÜèå õðïïìüäá ìéáò åðéëýóéìçò ïìüäáò åßíáé åðéëýóéìç. Áðïäåéîç. óôù ìéá åðéëýóéìç ïìüäá êáé Ýóôù v ÅÜí = ôüôå ï éó õñéóìüò åßíáé ðñïöáíþò. êáé åüí ç { } = 0 E 1 E E 1 E = (10.20) åßíáé ìéá åðéëýóéìç óåéñü ôþò ïìüäáò (êáô' áíüãêçí ìå 1), ôüôå èýôïíôáò := ãéá êüèå {0 1 } ðáñáôçñïýìå üôé 1 E v = v ãéá êüèå {1 } Åöáñìüæïíôáò ôï ëþììá ôþò ðåôáëïýäáò ãéá ôéò ïìüäåò { } 1 (óôç èýóç ôùí åêåß ðáñáôåèåéóþí ïìüäùí êáé 2 )ëáìâüíïõìå 1 E 1 E 1 êáé 1 1 = 1 ãéá êüèå {1 } ÅðïìÝíùò ç { } = 0 E 1 E E 1 E = (10.21)
12 392 åðéëõóéìåò êáé ìçäåíïäõíáìåò ïìáäåò åßíáé ìéá õðïïñèüèåôç óåéñü ôþò ïé ðçëéêïïìüäåò ôþò ïðïßáò åßíáé éóüìïñöåò ìå ôéò ðçëéêïïìüäåò 1 1 ÅðåéäÞ 1 E 1 v çðçëéêïïìüäá 1 1 åßíáé ìéá õðïïìüäá ôþò ðçëéêïïìüäáò 1 (âë. ôï (i) ôïý ðïñßóìáôïò ). Ç 1, ïýóá ðçëéêïïìüäá ôþò áñ éêþò èåùñçèåßóáò åðéëýóéìçò óåéñüò (10.20) ôþò åßíáé áâåëéáíþ. ÊáôÜ óõíýðåéáí, êáé ç õðïïìüäá ôçò 1 1 åßíáé áâåëéáíþ (ãéá êüèå {1 }). Ùò åê ôïýôïõ, üëåò ïé ðçëéêïïìüäåò ôþò (10.21) åßíáé áâåëéáíýò. Ôïýôï óçìáßíåé üôé ç (10.21) åßíáé ìéá åðéëýóéìç óåéñü ôþò Ðñüôáóç. óôù ìéá åðéëýóéìç ïìüäá êáé Ýóôù E Ôüôå ç ðçëéêïïìüäá åßíáé åðéëýóéìç. Áðïäåéîç. ÅÜí = { } Þ = ôüôå ï éó õñéóìüò åßíáé ðñïöáíþò. ÅÜí êáé åüí ç { } = 0 E 1 E E 1 E = (10.22) åßíáé ìéá åðéëýóéìç óåéñü ôþò (êáô' áíüãêçí ìå 1), ôüôå èåùñïýìå ôç (ãíþóéá) ïñèüèåôç óåéñü { } C C (10.23) ôþò Óýìöùíá ìå ôï èåþñçìá ôïý Schreier õößóôáíôáé åêëåðôýíóåéò ôùí (10.22) êáé (10.23) ðïõ åßíáé ìåôáîý ôïõò éóüìïñöåò. Áò õðïèýóïõìå üôé ç { } = 0 E 1 E E 2 (10.24) E 1 E = E +1 E E 1 E = åßíáé ìéá åêëýðôõíóç ôþò (10.23) ðïõ åßíáé éóüìïñöç ìå ìéá åêëýðôõíóç ôþò (10.22), ãéá êüðïéïõò öõóéêïýò áñéèìïýò ìå +1. ÊÜíïíôáò ñþóç ôùí ðñïôüóåùí êáé óõíüãïõìå üôé ç (10.24) åßíáé ìéá åðéëýóéìç óåéñü ôþò ÉäéáéôÝñùò, ïé ðçëéêïïìüäåò 1 { +1 } åßíáé áâåëéáíýò. óôù : ï öõóéêüò åðéìïñöéóìüò. ÅðåéäÞ v 1 E = ( 1 )= 1 E = ( ) (âë êáé ) ãéá êüèå { +1 } Ý ïõìå ôç äõíáôüôçôá ó çìáôéóìïý ôþò õðïïñèüèåôçò óåéñüò { } = { } = = E +1 E (10.25) E 2 E 1 E = ôþò ðçëéêïïìüäáò Ëüãù ôïý 3ïõ èåùñþìáôïò éóïìïñöéóìþí ïé ðçëéêïïìüäåò ( ) ( 1 ) = 1 { +1 } åßíáé áâåëéáíýò. ñá ç (10.25) åßíáé ìéá åðéëýóéìç óåéñü ôþò
13 10.2 åðéëõóéìåò ïìáäåò Èåþñçìá. óôù ìéá ïìüäá êáé Ýóôù E Ôüôå ç åßíáé åðéëýóéìç åüí êáé ìüíïí åüí áìöüôåñåò ïé êáé åßíáé åðéëýóéìåò. Áðïäåéîç. ÅÜíç åßíáé åðéëýóéìç, ôüôå, óýìöùíá ìå ôéò ðñïôüóåéò êáé , áìöüôåñåò ïé êáé åßíáé åðéëýóéìåò. Áíôéóôñüöùò ôþñá åüí õðïèýóïõìå üôé áìöüôåñåò ïé êáé åßíáé åðéëýóéìåò, ôüôå õößóôáíôáé åðéëýóéìåò óåéñýò êáé { } = 0 E 1 E E 1 E = { } = { } = 0 E 1 E E 1 E = áõôþí ôùí ïìüäùí. Ùò åê ôïýôïõ, ïé ðçëéêïïìüäåò 1 {1 } 1 {1 } åßíáé áâåëéáíýò. ÊáôÜ ôá ðïñßóìáôá êáé êüèå 1 ïöåßëåé íá åßíáé ìéá ðçëéêïïìüäá ôþò ìïñöþò = üðïõ C ( = ) êáé 1 C {2 } Ëüãù ôïý 3ïõ èåùñþìáôïò éóïìïñöéóìþí ïé ðçëéêïïìüäåò 1 = ( ) ( 1 ) = 1 åßíáé áâåëéáíýò ãéá êüèå {2 } ÊáôÜ óõíýðåéáí, ç { } = 0 E E = =: 0 E 1 E E 1 E = åßíáé ìéá åðéëýóéìç óåéñü ôþò ÅöáñìïãÞ. óôù N Ôüôå ç óõììåôñéêþ ïìüäá S åßíáé åðéëýóéìç üôáí 4 êáé ìç åðéëýóéìç üôáí 5 Áðïäåéîç. Ãéá 2 ç S åßíáé áâåëéáíþ êáé, êáô' åðýêôáóéí, åðéëýóéìç. Ç S 3 åßíáé åðéëýóéìç, äéüôé ç {id} C A 3 C S 3 åßíáé åðéëýóéìç óåéñü áõôþò (êáèüóïí A 3 /{id} = Z 3 êáé S 3 /A 3 = Z2 ). Ç S 4 åßíáé ùóáýôùò åðéëýóéìç, äéüôé ç {id} C V C A 4 C S 4 åßíáé åðéëýóéìç óåéñü áõôþò (êáèüóïí ïé ðçëéêïïìüäåò V/{id} = V A 4 /V = Z 3 êáé S 4 /A 4 = Z2 åßíáé áâåëéáíýò). Ãéá 5 ç A åßíáé ïñèüèåôç õðïïìüäá ôþò S Ðáñüôé ç S /A = Z2 åßíáé åðéëýóéìç (ùò áâåëéáíþ), ç ßäéá ç A äåí åßíáé åðéëýóéìç (âë (iv)), ïðüôå (âüóåé ôïý èåùñþìáôïò ) ç S äåí åßíáé åðéëýóéìç.
14 394 åðéëõóéìåò êáé ìçäåíïäõíáìåò ïìáäåò Ðüñéóìá. óôù Ýíáò ðñþôïò áñéèìüò. Ôüôå êüèå ðåðåñáóìýíç -ïìüäá åßíáé åðéëýóéìç. Áðïäåéîç. óôù ìéá ðåðåñáóìýíç -ïìüäá. Óýìöùíá ìå ôï ðüñéóìá N 0 : = ¼ôáí =0 ç åßíáé ôåôñéììýíç êáé ï éó õñéóìüò åßíáé áëçèþò. ¼ôáí =1 ç åßíáé êõêëéêþ (âë. ðüñéóìá ) êáé, ùò åê ôïýôïõ, åðéëýóéìç. Èá ñçóéìïðïéþóïõìå ôç äåýôåñç ìïñöþ ôþò ìáèçìáôéêþò ùò ðñïò ôïí Ãéá 2 õðïèýôïõìå üôé ï éó õñéóìüò åßíáé áëçèþò ãéá êüèå ðåðåñáóìýíç -ïìüäá ôüîåùò üðïõ N 0 êáé Äéáêñßíïõìå äýï ðåñéðôþóåéò: Ðåñßðôùóç ðñþôç. ÅÜí ç åßíáé áâåëéáíþ, ôüôå áõôþ åßíáé ðñïäþëùò åðéëýóéìç. Ðåñßðôùóç äåýôåñç. ÅÜí ç åßíáé ìç áâåëéáíþ,ôüôå ( ) C êáé 1 ( ) = êáéôïêýíôñïôçò ( ) åßíáé ìéá ðåðåñáóìýíç -ïìüäá ôüîåùò üðïõ N êáé (âë , êáé 5.6.3). ÅðïìÝíùò, 1 ( ) = = ÊáôÜ ôçí åðáãùãéêþ ìáò õðüèåóç áìöüôåñåò ïé ïìüäåò ( ) êáé ( ) åßíáé åðéëýóéìåò. ÂÜóåé ôïý èåùñþìáôïò ç åßíáé ùóáýôùò åðéëýóéìç Ðñüôáóç. Ìéá ðåðåñáóìýíç ìç ôåôñéììýíç ïìüäá åßíáé åðéëýóéìç åüí êáé ìüíïí åüí äéáèýôåé (ôïõëü éóôïí) ìßá óõíèåôéêþ óåéñü, üëåò ïé ðçëéêïïìüäåò ôþòïðïßáòåßíáéêõêëéêýòïìüäåòý ïõóåòùòôüîåéòôïõòêüðïéïõòðñþôïõò áñéèìïýò. Áðïäåéîç. ÅðåéäÞ êüèå ðåðåñáóìýíç ïìüäá Ý åé óõíèåôéêýò óåéñýò (âë. èåþñçìá ), êüèå åðéëýóéìç óåéñü ìéáò ðåðåñáóìýíçò åðéëýóéìçò ïìüäáò ìðïñåß íá åêëåðôõíèåß êáôü ôýôïéïí ôñüðï, þóôå íá ðñïêýøåé ìéá óõíèåôéêþ óåéñü, ç ïðïßá èá åßíáé êáô' áíüãêçí åðéëýóéìç (âë. ðñüôáóç ). ¼ôáí ç ïìüäá áíáöïñüò åßíáé ìç ôåôñéììýíç, ïé ðçëéêïïìüäåò áõôþò ôþò óõíèåôéêþò óåéñüò èá åßíáé ôáõôï ñüíùò áâåëéáíýò êáé áðëýò (âë. ðñüôáóç ). ¼ìùò êüèå áâåëéáíþ áðëþ ïìüäá åßíáé êõêëéêþ êáé Ý åé ùò ôüîç ôçò Ýíáí ðñþôï áñéèìü (âë. ðñüôáóç 4.3.2). Ôï áíôßóôñïöï Ýðåôáé Üìåóá áðü ôïí ïñéóìü Èåþñçìá. ÊÜèå ðåðåñáóìýíç ïìüäá ôüîåùò 60 åßíáé åðéëýóéìç. Êëåßíïõìå ôçí ðáñïýóá åíüôçôá ìå ôç äéáôýðùóç ôùí äýï ðëýïí ðåñéþíõìùí èåùñçìüôùí ôïý êëüäïõ ôþò Èåùñßáò ÐåðåñáóìÝíùí ÏìÜäùí ðïõ áöïñü óôçí åðéëõóéìüôçôá, Þôïé ôùí èåùñçìüôùí ôïý W. Burnside ( ), W. Feit ( ) êáé J.G. Thomson 9 (ãåí. 1932): 9 Fields Medalist, 1970
15 10.2 ìçäåíïäõíáìåò ïìáäåò Èåþñçìá. ( - -Èåþñçìá ôïý Burnside 1904 ) ÊÜèå ðåðåñáóìýíç ïìüäá ôüîåùò üðïõ äõï ðñþôïé áñéèìïß êáé N 0 åßíáé åðéëýóéìç. Áðïäåéîç. Âë. G. James, M. Liebeck: Representations and Characters of Groups, Second Ed., Cambridge University Press, 2001 óåë Èåþñçìá. (W. Feit êáé J.G. Thomson, 1963.) ÊÜèå ðåðåñáóìýíç ïìüäá ðåñéôôþò ôüîåùò åßíáé åðéëýóéìç. (Ùò åê ôïýôïõ, êüèå ðåðåñáóìýíç ìç áâåëéáíþ áðëþ ïìüäá Ý åé ùò ôüîç ôçò Ýíáí Üñôéï áñéèìü.) Áðïäåéîç. Âë.W.Feit,J.G.Thomson:Solvability of groups of odd order, Pacific J. of Math. 13 (1963),
ÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ ÄÏÈÅÍÔÙÍ ÈÅÌÁÔÙÍ
ÐáíåðéóôÞìéï ÊñÞôçò, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí Èåùñßá Äáêôõëßùí êáé Modules (M ) ÅîÝôáóç Éïõíßïõ 010 ÅîåôáóôÞò: ÄçìÞôñéïò ÍôáÞò ÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ ÄÏÈÅÍÔÙÍ ÈÅÌÁÔÙÍ ÈÅÌÁ 1ï Âë. èåþñçìá.5.0 (óôéò óçìåéþóåéò). ÈÅÌÁ ï Âë.
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÏÐÔÉÊÅÓ ÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ ÈÅÌÁÔÙÍ
ÐáíåðéóôÞìéï ÊñÞôçò, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí Èåùñßá ÏìÜäùí (M 22) ÅîÝôáóç Éáíïõáñßïõ 2006 ÅîåôáóôÞò: ÄçìÞôñéïò ÍôáÞò ÓÕÍÏÐÔÉÊÅÓ ÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ ÈÅÌÁÔÙÍ ÈÅÌÁ ï (i) Âë. èåùñþìáôá 2.4.0 êáé 2.4.2 (áðü ôéò óçìåéþóåéò
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôá Üñôéá óôïé åßá êáôáëáìâüíïõí ôéò ôåëåõôáßåò
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôï óôïé åßï âñßóêåôáé óå êüðïéá áðü ôéò
Διαβάστε περισσότεραΕΝ ΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ. 23 Νοεμβρίου (Χειμερινό εξάμηνο ) ΚΑΝΟΝΕΣ ΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΣ
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΚΥΠΡΟΥ ΜΑΣ 5 - ΘΕΩΡΙΑ ΟΜΑ ΩΝ ΕΝ ΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 3 Νοεμβρίου 00 (Χειμερινό εξάμηνο 00-003) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΑΡ. ΦΟΙΤΗΤΙΚΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΟΣ ΚΑΝΟΝΕΣ ΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΣ
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ)
44 ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) Óå äéüöïñåò öõóéêýò åöáñìïãýò õðüñ ïõí ìåãýèç ôá ïðïßá ìðïñïýí íá áñáêôçñéóèïýí ìüíï ìå Ýíá áñéèìü. ÔÝôïéá ìåãýèç, üðùò ãéá ðáñüäåéãìá, ç èåñìïêñáóßá
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ. 5.1 ÅéóáãùãÞ. 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ
55 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ 5.1 ÅéóáãùãÞ Ïñéóìüò: íá óýíïëï V êáëåßôáé äéáíõóìáôéêüò þñïò Þ ãñáììéêüò þñïò ðüíù óôïí IR áí (á) ôï V åßíáé êëåéóôü ùò ðñïò ôç ðñüóèåóç,
Διαβάστε περισσότεραÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí ñþóôïò ÊïíáîÞò, A.M. 200416 ìðë 30-06-2005 óêçóç 1. óôù R N n ; n 1. ËÝìå üôé ç R åßíáé "áñéèìçôéêþ" áí õðüñ åé ôýðïò ö(x 1 ; : : : ; x n ) ôçò Ã1 èá ôýôïéïò ðïõ
Διαβάστε περισσότεραÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ ÄÏÈÅÍÔÙÍ ÈÅÌÁÔÙÍ
ÐáíåðéóôÞìéï ÊñÞôçò, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ëãåâñá (M 0 Åáñéíü ÅîÜìçíï 2009, ÅîÝôáóç Éïõíßïõ ÅîåôáóôÞò: ÄçìÞôñéïò ÍôáÞò ÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ ÄÏÈÅÍÔÙÍ ÈÅÌÁÔÙÍ ÈÅÌÁ ï Èåùñïýìå ôï óýíïëï ÈÝôïíôáò S := ( np λ j j λ,...,λ
Διαβάστε περισσότεραΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ. 27 Μαΐου (Εαρινό εξάμηνο 2002) ΚΑΝΟΝΕΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΣ
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΚΥΠΡΟΥ ΜΑΣ 121- ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 27 Μαΐου 2002 (Εαρινό εξάμηνο 2002) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΑΡ ΦΟΙΤΗΤΙΚΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΟΣ ΚΑΝΟΝΕΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΣ
Διαβάστε περισσότεραÏÌÏËÏÃÉÊÇ ÁËÃÅÂÑÁ: 4oò ÊÁÔÁËÏÃÏÓ ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÙÍ ÁÓÊÇÓÅÙÍ
ÏÌÏËÏÃÉÊÇ ÁËÃÅÑÁ: 4oò ÊÁÔÁËÏÃÏÓ ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÙÍ ÁÓÊÇÓÅÙÍ 1. ÅÜí ç M M M h åßíáé ìéá áêñéâþò áêïëïõèßá êáé ï θ : M N Ýíáò éóïìïñöéóìüò R-ìïäßùí, íá áðïäåé èåß üôé ç áêïëïõèßá M θ N θ 1 M h åßíáé áêñéâþò..
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ. 3.1 ÅéóáãùãÞ
28 ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ 3.1 ÅéóáãùãÞ Ãéá êüèå ôåôñáãùíéêü ðßíáêá A áíôéóôïé åß Ýíáò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò ï ïðïßïò êáëåßôáé ïñßæïõóá êáé óõíþèùò óõìâïëßæåôáé ìå A Þ det(a). ÌåôáèÝóåéò: Ìéá áðåéêüíéóç ôïõ
Διαβάστε περισσότεραΣχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αποδεικτικό Σύστημα.
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματική Λογική Αποδεικτικό Σύστημα Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò
ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò Áíôþíçò Ïéêïíüìïõ aeconom@math.uoa.gr ÌáÀïõ óêçóç (Ross, Exer. 4.8) Áí E[X] êáé V ar[x] 5 íá âñåßôå. E[( + X) ],. V ar[4 + X]. óêçóç (Ross, Exer. 4.64)
Διαβάστε περισσότερα( ) ξî τέτοιο, + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) h x =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ
. Äßíåôáé ç óõíüñôçóç : [, + ) R óõíå Þò óôï äéüóôçìá [,+ ) êáé ðáñáãùãßóéìç óôï äéüóôçìá (,+ ), ãéá ôçí ïðïßá éó ýåé ( ) = α. óôù üôé õðüñ åé κî R, þóôå íá éó ýåé ( ) κ ãéá êüèå Î (,+ ). Íá äåßîåôå üôé
Διαβάστε περισσότεραÁóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí
Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí Çëßáò Ê. Óôáõñüðïõëïò Ïêôþâñéïò 006 1 Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß ÎåêéíÜìå äéáôõðþíïíôáò ôïõò ïñéóìïýò ôùí ðýíôå ãíùóôþí áóõìðôùôéêþí óõìâïëéóìþí: Ïñéóìüò
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT
ÊåöÜëáéï 7 ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT 7. Áêïëïõèßåò ¼ðùò êáé ãéá ôïõò ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò, ìéá (Üðåéñç) áêïëïõèßá ìðïñåß íá èåùñçèåß ùò óõíüñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý ôïõò èåôéêïýò áêýñáéïõò. ÄçëáäÞ, ìéá
Διαβάστε περισσότεραå) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ.
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ ÃÅÍÉÊÇÓ ÐÁÉÄÅÉÁÓ Ã ËÕÊÅÉÏÕ È Å Ì Á 1 ï 3 ï Ä É Á Ã Ù Í É Ó Ì Á á êéçôü êéåßôáé ðüù óôï Üîïá x~x. Ç èýóç ôïõ êüèå ñïéêþ óôéãìþ t äßåôáé áðü ôç 3 óõüñôçóç x(t) = t 1t + 60t + 1, üðïõ ôï t ìåôñéýôáé
Διαβάστε περισσότερα3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x. (iv) f(x, y, z) = sin x 2 + y 2 + 3z Íá âñåèïýí ôá üñéá (áí õðüñ ïõí): lim
3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x (i) f(x, y) = sin 1 2 (x + y) (ii) f(x, y) = y 2 + 3 (iii) f(x, y, z) = 25 x 2 y 2 z 2 (iv) f(x, y, z) = z +ln(1 x 2 y 2 ) 3.2 (i) óôù f(x, y, z) =
Διαβάστε περισσότεραÓ ÅÄÉÁÓÌÏÓ - ÊÁÔÁÓÊÅÕÇ ÓÔÏÌÉÙÍ & ÅÉÄÉÊÙÍ ÅÎÁÑÔÇÌÁÔÙÍ ÊËÉÌÁÔÉÓÌÏÕ V X
V X A B+24 AEROGRAMÌI Ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò Å öáßíïíôáé óôï ðáñáêüôù ó Þìá. Áíôßóôïé á, ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò ÂÔ öáßíïíôáé óôï Ó Þìá Å. Ãéá ôïí ðñïóäéïñéóìü ôçò ðáñáããåëßáò
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â
ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â 464 ÅÊÙÓ 000 - Ó ÏËÉÁ ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ Â.1 ÁÓÕÌÌÅÔÑÏ ÓÕÓÔÇÌÁ Η N / ( 0. + 0.1 η) 0.6 ν ν, η 3, η > 3...
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότερα1. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï
5. ÐÑÏÏÄÏÉ 7 5. ÁñéèìçôéêÞ ðñüïäïò Á ÏìÜäá. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = 7 êáé äéáöïñü ù = 3. Óõíåðþò
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÅÓ. ÌÜèçìá Áêïëïõèßåò áñéèìþí Ïñéóìüò áêïëïõèßáò
ÌÜèçìá 2 ÓÅÉÑÅÓ 2. Áêïëïõèßåò áñéèìþí Êñßíåôáé óêüðéìï íá äïèåß ðåñéëçðôéêü ðñéí áðü ôç ìåëýôç ôùí óåéñþí ç Ýííïéá ôçò áêïëïõèßáò áñéèìþí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá
Διαβάστε περισσότεραÌáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò
50. Βήµα ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις ã) Ùò ðñïò ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí, áí êáé ìüíï áí Ý ïõí áíôßèåôåò óõíôåôáãìýíåò. ÄçëáäÞ: á = á êáé â = â ÂÞìá Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò ä) Ùò ðñïò ôç äé ïôüìï ôçò çò êáé
Διαβάστε περισσότεραΣχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αναδρομικές Συναρτήσεις.
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματική Λογική Αναδρομικές Συναρτήσεις Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότερα16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò.
55 16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò. A ÌÝñïò 1. Íá êáôáóêåõüóåéò óôï Function Probe ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò y=çìx. Óôïí ïñéæüíôéï Üîïíá íá ïñßóåéò êëßìáêá áðü ôï -4ð
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ
ÌÜèçìá 7 ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèåß ç Ýííïéá ôïõ ïñßïõ ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìå ôñüðï ðñïóáñìïóìýíï óôéò áðáéôþóåéò ôùí äéáöüñùí åöáñìïãþí, ðïõ áðáéôïýíôáé óôçí åðéóôþìç ôïõ.
Διαβάστε περισσότεραÓõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò
Óõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò Áããåëßíá ÂéäÜëç åðéâëýðùí êáèçãçôþò: ÃéÜííçò Ìïó ïâüêçò Q 13 Éïõíßïõ, 2009 ÄïìÞ äéðëùìáôéêþò åñãáóßáò 1o êåö. ÅéóáãùãÞ óôá óõíå Þ êëüóìáôá 2ï êåö. Ëßãç
Διαβάστε περισσότεραSPLINES. ÌÜèçìá ÓõíÜñôçóç spline Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá
ÌÜèçìá 4 SPLINES 4.1 ÓõíÜñôçóç spline 4.1.1 Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôùí ðïëõùíýìùí ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ðïëõùíýìùí ðïõ óõíýðéðôáí
Διαβάστε περισσότεραEstimation Theory Exercises*
Estimation Theory Exercises* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@math.uoa.gr December 22, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô. ÐáðáúùÜííïõ, ôéò óçìåéþóåéò
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ. 8.1 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß
ÌÜèçìá 8 ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÏñéáêÞ ôéìþ óõíüñôçóçò, äßíïíôáé ðåñéëçðôéêü ïé âáóéêüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ðïõ áíáöýñïíôáé óôç óõíý åéá ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò, åíþ ï
Διαβάστε περισσότερα[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.
ÐÁÑÁÑÔÇÌÁÔÁ 76 77 ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ f( (Á. üôáí ãéá êüèå êáíïíéêü ïñèïãþíéï ôáíõóôþ Q éó
Διαβάστε περισσότεραÅÍÏÔÇÔÁ 6ç ÑÏÍÏÓ-ÄÉÁÄÏ Ç
Ενότητα 6 Μάθημα 45 Πρώτος-τελευταίος 1. Íá êáôáíïþóïõí ôéò Ýííïéåò ðñþôïò êáé ôåëåõôáßïò. 2. Ná ìüèïõí íá ñùôïýí êáé íá áðáíôïýí ó åôéêü ìå ôï ñüíï êáé ôç äéáäï Þ ãåãïíüôùí. 1. Íá áêïýóïõí ôï ðáñáìýèé
Διαβάστε περισσότερα2.4 ñçóéìïðïéþíôáò ôïí êáíüíá áëõóßäáò íá âñåèåß ç dr
2.1 i) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = 2 + t)i + 1 2t)j + 3tk ôýìíåé ôï åðßðåäï xz. ii) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = ti + 1 + 2t)j 3tk ôýìíåé
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÇ íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ!
ΑΞΕΣΟΥΑΡ Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ! ÅããõÜôáé ôçí áóöüëåéá êáé õãåßá ôïõ ìùñïý êáôü ôç äéüñêåéá ôïõ ýðíïõ! AP 1270638 Õðüóôñùìá Aerosleep, : 61,00 AP 125060 ÊÜëõììá Aerosleep, : 15,30 ÁóöáëÞò, ðüíôá áñêåôüò
Διαβάστε περισσότεραÐÉÍÁÊÅÓ ÔÉÌÙÍ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÙÍ ÁÎÉÙÍ
ÕÐÏÕÑÃÅÉÏ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ÏÉÊÏÍÏÌÉÊÙÍ ÃÅÍÉÊÇ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÄÇÌÏÓÉÁÓ ÐÅÑÉÏÕÓÉÁÓ & ÅÈÍÉÊÙÍ ÊËÇÑÏÄÏÔÇÌÁÔÙÍ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÔÅ ÍÉÊÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ & ÓÔÅÃÁÓÇÓ ÔÌÇÌÁ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÏÕ ÐÑÏÓÄÉÏÑÉÓÌÏÕ ÖÏÑÏËÏÃÇÔÅÁÓ ÁÎÉÁÓ ÁÊÉÍÇÔÙÍ
Διαβάστε περισσότεραΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ. Εικονογράφηση ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ Εικονογράφηση ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Ï ðéï ìåãüëïò êáé ï ðéï óçìáíôéêüò ðáéäáãùãéêüò êáíüíáò äåí åßíáé ôï íá
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο
Διαβάστε περισσότεραΠροτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ
Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης 2o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ 1.1. ÓùóôÞ áðüíôçóç åßíáé ç Ä. ΘΕΜΑ 1ο 1.2. ñçóéìïðïéïýìå ôçí êáôáíïìþ ôùí çëåêôñïíßùí óå áôïìéêü ôñï éáêü óýìöùíá
Διαβάστε περισσότεραÈåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò
Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email:
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 5 ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 5.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé âáóéêüôåñåò Ýííïéåò ôùí ìéãáäéêþí óõíáñôþóåùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá ôïõ ìáèþìáôïò
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότερα6936 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ)
F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 6935 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 432 17 Áðñéëßïõ 2001 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. 91496 Áíþôáôá ¼ñéá ÕðïëåéììÜôùí, MRLs, Öõôïðñïóôáôåõôéêþí Ðñïúüíôùí åðß êáé åíôüò
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÈåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÔáéñéÜóìáôá
Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÔáéñéÜóìáôá ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email: fotakis@aegean.gr 1 Âáóéêïß Ïñéóìïß êáé Ïñïëïãßá
Διαβάστε περισσότερα1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) 2. Íá âñåèåß ç ãåíéêþ ëýóç ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò (15 ìïí.)
ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Ìç áíïëïãßáò ÌáèçìáôéêÜ ÉI, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 24/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) (3x 2 + 6xy 2 )dx + (6x 2 y + 4y 3 )dy = 2. Íá
Διαβάστε περισσότεραRamsey's Theory or something like that.
Ramsey's Theory or something like that. ÌÜñèá, ÄçìÞôñçò, ÓôÝöáíïò 30 Íïåìâñßïõ 2005 Complete disorder is impossible T.S.Motzikin 1 ÅéóáãùãÞ. To 1930 o Ramsey[10] äçìïóßåõóå Ýíá Üñèñï ðüíù óå Ýíá ðñüâëçìá
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÁ FOURIER. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò
ÌÜèçìá 13 ÓÅÉÑÁ FOURIER 13.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Ïé ðåñéïäéêýò óõíáñôþóåéò óõíáíôþíôáé óõ íü óå äéüöïñá ðñïâëþìáôá åöáñìïãþí. Ç ðñïóðüèåéá íá åêöñáóôïýí ïé óõíáñôþóåéò áõôýò ìå üñïõò áðëþí ðåñéïäéêþí óõíáñôþóåùí,
Διαβάστε περισσότεραιαδικασία åãêáôüóôáóçò MS SQL Server, SingularLogic Accountant, SingularLogic Accountant Ìéóèïäïóßá
1.1 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí Express Ýêäïóç ôïõ SQL Server... 3 1.2 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí åãêáôüóôáóç... 3 2.1 ÅãêáôÜóôáóç Microsoft SQL Server 2008R2 Express Edition... 4 2.1 Åíåñãïðïßçóç ôïõ
Διαβάστε περισσότερα3.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ
.1 Ç Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò 55.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò Åñþ ôçóç 1 Ôé ëýãåôáé óõíüñôçóç; ÁðÜíôçóç Ç ó Ýóç åêåßíç ðïõ êüèå ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò x, áíôéóôïé ßæåôáé óå ìéá ìüíï ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò y ëýãåôáé
Διαβάστε περισσότεραÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò
ÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò Ç åðßëõóç áíáäñïìéêþí åîéóþóåùí åßíáé Ýíá áðïëýôùò áðáñáßôçôï åñãáëåßï ãéá ôçí åýñåóç åêöñüóåùí ðïõ ðåñéãñüöïõí ôçí ðïëõðëïêüôçôá ðïëëþí áëëü êáé âáóéêþí áëãïñßèìùí. Ãåíéêþò,
Διαβάστε περισσότερα1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç
1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç 7 1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç Åñþ ôçóç 1 Ðïéïé áñéèìïß ïíïìüæïíôáé öõóéêïß; Ðþò ôïõò óõìâïëßæïõìå êáé ðþò ùñßæïíôáé;
Διαβάστε περισσότεραUnion of Pure and Applied Chemistry).
.5 Ç ãëþóóá ôçò çìåßáò Ãñáö çìéêþí ôýðùí êáé åéóáãùã óôçí ïíïìáôïëïãßá ôùí áíüñãáíùí åíþóåùí..5.1 ÃåíéêÜ. Ç çìåßá Ý åé ôç äéê ôçò äéåèí ãëþóóá, ç ïðïßá êáèïñßæåôáé áðü êáíüíåò ðïõ Ý ïõí ðñïôáèåß êáé ðñïôåßíïíôáé
Διαβάστε περισσότεραB i o f l o n. Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí
B i o f l o n Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí Ç åôáéñåßá Aflex, ç ïðïßá éäñýèçêå ôï 1973, Þôáí ç ðñþôç ðïõ ó åäßáóå ôïí åýêáìðôï óùëþíá PTFE ãéá ôç ìåôáöïñü çìéêþí õãñþí ðñßí áðü 35 ñüíéá. Ï åëéêïåéäþò
Διαβάστε περισσότεραÅîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý
algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 00 7 Åîéóþóåéò ïõ âáèìïý Ç åîßóùóç áx + â = 0 áx = â (ìå á 0) (ìå á = â = 0) â Ý åé áêñéâþò ìßá ëýóç, ôç x =. á áëçèåýåé ãéá êüèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x (ôáõôüôçôá
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 12: Αόριστο Ολοκλήρωμα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα : Αόριστο Ολοκλήρωμα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
Διαβάστε περισσότεραÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
ÌÜèçìá 8 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 8.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Åßíáé Þäç ãíùóôü óôïí áíáãíþóôç üôé ç åðßëõóç ôùí ðåñéóóüôåñùí ðñïâëçìüôùí ôùí èåôéêþí åðéóôçìþí ïäçãåß óôç ëýóç ìéáò äéáöïñéêþò
Διαβάστε περισσότεραΚίνδυνοι στο facebook WebQuest Description Grade Level Curriculum Keywords
Κίνδυνοι στο facebook WebQuest Description: Το Facebook είναι ένας ιστοχώρος
Διαβάστε περισσότεραCel animation. ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí
ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí Cel animation Ç ôå íéêþ áõôþ óõíßóôáôáé óôçí êáôáóêåõþ ðïëëþí ó åäßùí ðïõ äéáöýñïõí ìåôáîý ôïõò óå óõãêåêñéìýíá óçìåßá. Ôá ó Ýäéá áõôü åíáëëüóóïíôáé ôï Ýíá ìåôü ôï Üëëï äßíïíôáò ôçí
Διαβάστε περισσότεραÖÅÊ 816 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) ÏÄÇÃÉÅÓ ÐÁ ÔÇ ÓÕÌÐËÇÑÙÓÇ ÔÇÓ ÁÉÔÇÓÇÓ ÅÃÊÅÊÑÉÌÅÍÏÕ ÁÐÏÈÇÊÅÕÔÇ Ï ÇÌÁÔÙÍ 1. ÇÌÅÑÏÌÇÍÉÁ: ÁíáãñÜöåô
11544 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) ÖÅÊ 816 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) 11545 ÏÄÇÃÉÅÓ ÐÁ ÔÇ ÓÕÌÐËÇÑÙÓÇ ÔÇÓ ÁÉÔÇÓÇÓ ÅÃÊÅÊÑÉÌÅÍÏÕ ÁÐÏÈÇÊÅÕÔÇ Ï ÇÌÁÔÙÍ 1. ÇÌÅÑÏÌÇÍÉÁ: ÁíáãñÜöåôáé
Διαβάστε περισσότεραΕΝΔΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΚΑΙ ΧΕΙΡΟΥΡΓΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΙΑΣ ΚΙΝΗΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΡΑΧΩΝ ΓΑΣΤΡΟΟΙΣΟΦΑΓΙΚΗΣ ΣΥΜΒΟΛΗΣ Εκπαιδευτικό Σεμινάριο.
ΕΝΔΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΚΑΙ ΧΕΙΡΟΥΡΓΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΙΑΣ ΚΙΝΗΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΡΑΧΩΝ ΓΑΣΤΡΟΟΙΣΟΦΑΓΙΚΗΣ ΣΥΜΒΟΛΗΣ Εκπαιδευτικό Σεμινάριο Τελικό Πρόγραμμα Β Χειρουργική και Γαστρεντερολογική κλινική, Ναυτικού Νοσοκομείου
Διαβάστε περισσότερα3524 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ)
F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 3523 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 252 28 Öåâñïõáñßïõ 2002 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. 19306/Ã2 ÐñïãñÜììáôá Óðïõäþí Ôå íéêþí Åðáããåëìáôéêþí Åêðáéäåõôçñßùí (Ô.Å.Å.).
Διαβάστε περισσότεραChi-Square Goodness-of-Fit Test*
Chi-Square Goodness-of-Fit Test* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@mathuoagr February 6, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô ÐáðáúùÜííïõ êáé ôá âéâëßá
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ
66 ÊåöÜëáéï 3 ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 3.1 ÅéóáãùãÞ óôù üôé S åßíáé Ýíá óýíïëï áðü óçìåßá óôïí n äéüóôáôï þñï. Ìéá óõíüñôçóç (ðïõ ïñßæåôáé óôï S) åßíáé ìéá ó Ýóç ç ïðïßá ó åôßæåé êüèå óôïé åßï ôïõ
Διαβάστε περισσότεραF ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 5551 ÔÅÕ ÏÓ ÔÅÔÁÑÔÏ Áñ. Öýëëïõ 647 7 Áõãïýóôïõ 2001 ÐÅÑÉÅ ÏÌÅÍÁ ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Ôñïðïðïßçóç åãêåêñéìýíïõ ó åäßïõ ðüëçò ÄÞìïõ Çñáêëåßïõ, óôçí ðïëåïäïìéêþ åíüôçôá
Διαβάστε περισσότεραΤυπικές Γλώσσες. Μεταγλωττιστές. (μέρος 1ο) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Τυπικές Γλώσσες (μέρος 1ο) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότερα4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò
4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò Óôéò áóêþóåéò ìå åðßäñáóç óôç èýóç ìéáò éóïññïðßáò ãßíåôáé áíáöïñü óå ðåñéóóüôåñåò áðü ìßá èýóåéò éóïññïðßáò. Ïé èýóåéò éóïññïðßáò åßíáé äéáäï
Διαβάστε περισσότερα245/Á/1977). 2469/1997 (ÖÅÊ 36/Á/1997). 1484/Â/ ).
ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ F 661 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 72 28 Éáíïõáñßïõ 2002 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. Ä14/48529 ãêñéóç Ôéìïëïãßïõ Åñãáóôçñéáêþí êáé åðß Ôüðïõ Äïêéìþí ôïõ ÊÅÄÅ. OI ÕÐÏÕÑÃÏÉ
Διαβάστε περισσότερα1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï
ÊåöÜëáéï 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï óôù ç ôñéüäá (a, b, c). Ôï óýíïëï ôùí ôñéüäùí êáëåßôáé 3-äéÜóôáôïò þñïò êáé óõìâïëßæåôáé ìå IR 3. Åéäéêüôåñá ç ôñéüäá (a, b, c) ïñßæåé
Διαβάστε περισσότεραÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí
165 KåöÜëáéï 8 ÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí 1. Ïñéóìüò êáé óõíý åéá óõíáñôþóåùò ðåñéóóïôýñùí ìåôáâëçôþí * ÌåôñéêÝò óå ìåôñéêïýò þñïõò Åðß ôïõ Rïñßæïõìå ôçí ìåôñéêþ d(, = - 1 1 Åðß ôïõ R ïñßæïõìå ôéò åðüìåíåò
Διαβάστε περισσότεραÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ
ÌÜèçìá 3 ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ 3.1 ÅéóáãùãÞ Åßíáé ãíùóôü üôé óôá äéüöïñá ðñïâëþìáôá ôùí åöáñìïãþí ôéò ðåñéóóüôåñåò öïñýò ðáñïõóéüæïíôáé óõíáñôþóåéò ðïõ ðåñéãñüöïíôáé áðü ðïëýðëïêïõò ôýðïõò, äçëáäþ ôýðïõò
Διαβάστε περισσότερα(Á 154). Amitraz.
ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) 13641 ñèñï 4 (Üñèñï 3 ôçò Ïäçãßáò 2001/99/ÅÊ) Ïé äéáôüîåéò ôçò ðáñïýóáò áðüöáóçò éó ýïõí áðü ôçí 1ç Éïõëßïõ 2002. Ç ðáñïýóá áðüöáóç íá äçìïóéåõèåß óôçí Åöçìåñßäá
Διαβάστε περισσότεραÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ
ÌÜèçìá 18 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ 18.1 ÅéóáãùãÞ 1 Óôï ìüèçìá áõôü äßíïíôáé ïé âáóéêýò Ýííïéåò ôïõ Äéáíõóìáôéêïý Äéáöïñéêïý Ëïãéóìïý, ðïõ åßíáé ó åôéêýò ìå ôéò âáèìùôýò Þ ôéò äéáíõóìáôéêýò óõíáñôþóåéò
Διαβάστε περισσότεραΣυντακτική ανάλυση. Μεταγλωττιστές. (μέρος 3ον) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Συντακτική ανάλυση (μέρος 3ον) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότερα¼ñãáíá Èåñìïêñáóßáò - ÓõóêåõÝò Øõêôéêþí Ìç áíçìüôùí
¼ñãáíá Èåñìïêñáóßáò - ÓõóêåõÝò Øõêôéêþí Ìç áíçìüôùí ÈåñìïóôÜôçò ÓõíôÞñçóçò REF-DF-SM ÅëÝã åé Ýíá èåñìïóôïé åßï PTC Êëßìáêá èåñìïêñáóßáò: -19? +99 C ëåã ïò áðüøõîçò - dfrst Ôñßá ñåëý: óõìðéåóôþò (30Á, 2ÇÑ),
Διαβάστε περισσότεραÅÑÃÁÓÉÁ ÃÉÁ ÔÏ ÌÁÈÇÌÁ: ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ. ÅðéìïñöùôÞò: Â. Á. ÄÏÕÃÁËÇÓ
Åðéìïñöùôéêü Ðñüãñáììá Ãéá ôïõò Åêðáéäåõôéêïýò-Ìáèçìáôéêïýò óôï Ìáèçìáôéêü ôìþìá ôïõ Ðáíåðéóôçìßïõ Áèçíþí êáôü ôçí ðåñßïäï Äåêåìâñßïõ 2000-Éïõíßïõ 200 ìå Õðåýèõíï ôïí êáèçãçôþ Ð. ÓôñÜíôæáëï ÅÑÃÁÓÉÁ ÃÉÁ
Διαβάστε περισσότεραÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÐáñÜãïõóá óõíüñôçóç
ÌÜèçìá 0 ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ 0. ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé êáíüíåò ïëïêëþñùóçò, ðïõ êýñéá åìöáíßæïíôáé óôéò ôå íïëïãéêýò åöáñìïãýò. Äéåõêñéíßæåôáé üôé áêïëïõèþíôáò ìßá áõóôçñü
Διαβάστε περισσότεραÅÍÏÔÇÔÁ 5ç ÔÁ Ó ÇÌÁÔÁ
Ενότητα 5 Μάθημα 38 Ο κύκλος 1. Ná êáôáíïþóïõí ôçí Ýííïéá ôïõ êýêëïõ. 2. Ná ìüèïõí íá ñùôïýí êáé íá áðáíôïýí ó åôéêü ìå ôïí êýêëï. 1. Íá ðáßîïõí êáé íá ôñáãïõäþóïõí ôï «Ãýñù-ãýñù üëïé» êáé «To ìáíôçëüêé».
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ÌÜèçìá: Óôï áóôéêýò Áíåëßîåéò Ðåñßïäïò: ÉáíïõÜñéïò, 2009
ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ÌÜèçìá: Óôï áóôéêýò Áíåëßîåéò Ðåñßïäïò: ÉáíïõÜñéïò, 2009 Ïíïìáôåðþíõìï : Á.Ì : ÈÝìá 1: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 2: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 3: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 4: Âáèìüò [ ] èñïéóìá
Διαβάστε περισσότεραÄåóìåõìÝíç ðéèáíüôçôá êáé áíåîáñôçóßá ÁóêÞóåéò
ÄåóìåõìÝíç ðéèáíüôçôá êáé áíåîáñôçóßá ÁóêÞóåéò Áíôþíçò Ïéêïíüìïõ aeconom@math.uoa.gr 9 Ìáñôßïõ 010 óêçóç 1 (Ross, Exer. 3.9): Èåùñïýìå 3 êüëðåò. Ç êüëðç Á ðåñéý åé ëåõêü êáé 4 êüêêéíá óöáéñßäéá, ç êüëðç
Διαβάστε περισσότεραÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 17 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 17.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 17.1.1 Ïñéóìüò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò 1 Õðåíèõìßæåôáé ï ïñéóìüò ôçò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò, ðïõ ãéá åõêïëßá óôç
Διαβάστε περισσότερα5Ô Ô ÚÓÔ. ðüóï 15 ðüóï 1/ ðüóï 2/ ðüóï 4/ ðüóï ðüóï ðüóï. 13 ðüóï 33 ðüóï ðüóï ðüóï. ðüóï 26 ðüóï 2XA ðüóï 3XA ¼ëïé ðüóï
5Ô Ô ÚÓÔ ª ıëùòó Bã ÎÏÔ ¼ëïé óôçí ðñþôç / K 2 Ìïßñáóå ï  3 Q 10 6 2 6 J 8 7 6 3 5 7 2 / 10 8 5 4 / A J 9 7 3 A 9 7 3 K J 5 6 Q 4 6 K 10 5 A Q 9 3 5 J 10 5 4 / Q 6 3 3 8 4 3 6 A 9 5 2 5 K 8 6 ðüóï 15 ðüóï
Διαβάστε περισσότεραÐñïêýðôïõí ôá ðáñáêüôù äéáãñüììáôá.
ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ãéá Ýíá óþìá ðïõ åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëü ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç éó ýïõí ïé ôýðïé: õ=õ ï +á. t x=õ. ï t+ át. ÅÜí ôï óþìá îåêéíüåé áðü ôçí çñåìßá, äçëáäþ ç áñ éêþ ôá ýôçôá åßíáé õ ï =0, ôüôå ïé
Διαβάστε περισσότεραΣΕΡΙΦΟΣ ΣΕΡΙΦΟΥ ΓΑΛΑΝΗΣ
ΔΗΜΟΣ: ΣΕΡΙΦΟΣ ΣΕΡΙΦΟΥ ΓΑΛΑΝΗΣ ΟΙΚΙΣΜΟΣ: ΠΑΡΑΔΟΣΙΑΚΟΣ ÏÉÊÉÓÌÏÓ ÐÑÏÓÏ Ç: ÄåäïìÝíïõ üôé ðñüêåéôáé ãéá ðáñáäïóéáêü ïéêéóìü, ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôçò áîßáò ôùí áêéíþôùí äåí åöáñìüæïíôáé ïé óõíôåëåóôýò ðñüóïøçò:
Διαβάστε περισσότεραÐÑÁÃÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 3 ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 3.1 Ïñéóìüò êáé ëãåâñá óõíáñôþóåùí 3.1.1 Ïñéóìïß Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ãéá ôéò ðñáãìáôéêýò óõíáñôþóåéò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò,
Διαβάστε περισσότεραÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ
ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÅéóáãùãÞ 1Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ôçò åßíáé áäýíáôïò ï èåùñçôéêüò õðïëïãéóìüò
Διαβάστε περισσότεραÍá èõìçèïýìå ôç èåùñßá...
ÇËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá....1 Ôé ïíïìüæïõìå çëåêôñéêü ðåäßï; Çëåêôñéêü ðåäßï ïíïìüæïõìå ôïí þñï ìýóá óôïí ïðïßï áí âñåèåß Ýíá çëåêôñéêü öïñôßï èá äå èåß äýíáìç. Ãéá íá åîåôüóïõìå áí óå êüðïéï
Διαβάστε περισσότεραÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
ÌÜèçìá 1 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 11 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 111 Ïñéóìïß Êñßíåôáé áñ éêü áðáñáßôçôï íá ãßíåé óôïí áíáãíþóôç õðåíèýìéóç ôùí ðáñáêüôù âáóéêþí ìáèçìáôéêþí åííïéþí: Ïñéóìüò 111-1 (åîßóùóçò) ËÝãåôáé
Διαβάστε περισσότεραÈåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÄÝíôñá
Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÄÝíôñá ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email: fotakis@aegean.gr 1 Ïñéóìüò íá ãñüöçìá ùñßò êýêëïõò
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ: Τροποποίηση κατηγοριών στα εγκεκριµένα ενιαία τιµολόγια εργασιών για έργα οδοποιϊας.
ΕΞ. ΕΠΕΙΓΟΝ ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ 5 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήνα, 23 Φεβρουαρίου 2005 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΕ.ΧΩ..Ε. Αρ.Πρωτ. 17α/10/22/ΦΝ 437 ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜ. ΗΜΟΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ ΓΕΝ. /ΝΣΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΡΟΓ/ΤΟΣ /ΝΣΗ ΝΟΜΟΘΕΤΙΚΟΥ ΣΥΝΤ/ΣΜΟΥ &
Διαβάστε περισσότεραÈåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Åðéêáëýðôïíôá ÄÝíôñá
Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Åðéêáëýðôïíôá ÄÝíôñá ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email: fotakis@aegean.gr 1 Ïñéóìüò êáé
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΠΡΟΣ ΤΑ ΜΕΛΗ
ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΚΟΙΝΟΒΟΥΛΙΟ 2009-2014 Επιτροπή Αναφορών 11.2.2011 ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΠΡΟΣ ΤΑ ΜΕΛΗ Θέµα: Αναφορά 0331/2010 του Ignacio Ruipérez arregui, ισπανικής ιθαγένειας, σχετικά µε την κατάσταση των ελεγκτών εναέριας
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
Διαβάστε περισσότερα9. ÁíÜðôõîç ðñïãñáììüôùí ìå ñïíéêýò ëåéôïõñãßåò.
9. ÁíÜðôõîç ðñïãñáììüôùí ìå ñïíéêýò ëåéôïõñãßåò. 9.1 ÃåíéêÜ. Ôá ðåñéóóüôåñá PLC äéáèýôïõí óçìáíôéêýò åõêïëßåò üóïí áöïñü óôïí ðñïãñáììáôéóìü ñïíéêþí ëåéôïõñãéþí ìå ñçóéìïðïßçóç ôùí ñïíéêþí ëåéôïõñãéþí
Διαβάστε περισσότερα