ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
|
|
- Καλλίας Καλλιγάς
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ÌÜèçìá 3 ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 3.1 Ïñéóìüò êáé ëãåâñá óõíáñôþóåùí Ïñéóìïß Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ãéá ôéò ðñáãìáôéêýò óõíáñôþóåéò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò, ðïõ èåùñïýíôáé áðáñáßôçôïé ãéá ôá åðüìåíá ìáèþìáôá. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá [1, 2, 3, 4]. Ïñéóìüò (óõíüñôçóçò). óôù D êáé T äýï ôõ üíôá ìç êåíü õðïóýíïëá ôïõ R. Ôüôå ëýãåôáé óõíüñôçóç, ìßá ìïíïóþìáíôç áðåéêüíéóç, Ýóôù f, ôïõ óõíüëïõ D óôï T, äçëáäþ f : D x f(x) = y T: ( ) 97
2 98 ÐñáãìáôéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ÐáñáôçñÞóåéò Õðåíèõìßæåôáé üôé ìïíïóþìáíôç åßíáé ìéá áðåéêüíéóç, üôáí óôïx áíôéóôïé åß Ýíá áêñéâþò y. Ôï óýíïëï D ëýãåôáé ðåäßï ïñéóìïý, åíþ ôï T ðåäßï ôéìþí ôçò óõíüñôçóçò f. Óôï åîþò ìéá óõíüñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï D èá óõìâïëßæåôáé ìå f D Þ êáé f(x); x D. Ôï x, ðïõ ðåñéãñüöåé ôéò ôéìýò ôïõ D, ëýãåôáé áíåîüñôçôç ìåôáâëçôþ, åíþ ôï y, ðïõ ïñßæåé ôéò áíôßóôïé åò ôéìýò ôïõ x óôï T, åîáñôçìýíç ìåôáâëçôþ. Ï ôñüðïò ìå ôïí ïðïßï ãßíåôáé ç áðåéêüíéóç f, ðåñéãñüöåôáé áðü ôç ó Ýóç f(x), ðïõ ëýãåôáé ôýðïò ôçò óõíüñôçóçò. ÐáñÜäåéãìá Óýìöùíá ìå ôïí Ïñéóìü , áí D = {0; 2; 5}, ôüôå ï ôýðïò f(x) = x 2 ïñßæåé óõíüñôçóç, åðåéäþ êüèå óôïé åßï ôïõ D ìýóù ôçò f áðåéêïíßæåôáé óå Ýíá óôïé åßï (ìïíïóþìáíôç áðåéêüíéóç), äçëáäþ: f(0) 0, f(2) 4 êáé f(5) 25, ïðüôå T = {0; 4; 25}, åíþ ï g(x) = ± x äåí ïñßæåé, åðåéäþ ôá óôïé åßá ôïõ D áðåéêïíßæïíôáé óå äýï óôïé åßá, üðùò f(2) ± 2, ê.ëð. Ç óõíüñôçóç åßíáé äõíáôüí íá ðáñáóôáèåß ãñáöéêü óôï êáñôåóéáíü åðßðåäï D T R 2 áðü ôï äéüãñáììá Þ ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóþ ôçò G f (Ó ), üðïõ G f = { (x; f(x)) : ãéá êüèå x D} D T: ( ) Áí ç óõíüñôçóç åêöñüæåôáé ìå ôïí ôýðï y = f(x), ôüôå èá ëýãåôáé üôé ç ó Ýóç ðïõ óõíäýåé ôç ìåôáâëçôþ y ìå ôç ìåôáâëçôþ x åßíáé ëõìýíç (explicit) ùò ðñïò ôç ìåôáâëçôþ y. ÕðÜñ ïõí üìùò êáé ðåñéðôþóåéò ðïõ ç y äåí åßíáé
3 Ïñéóìïß 99 f x 1.0 g x x x 1.0 (a) 5 (b) Ó Þìá : (a) ÓõíÜñôçóç f(x) = x 1 x 2 ìå D = [ 1; 1] êáé (b) g(x) = x+1 x 1 ìå D = R {1}. äõíáôüí íá åêöñáóôåß óôç ìïñöþ y = f(x). Óôéò ðåñéðôþóåéò áõôýò åßíáé ãíùóôþ ìüíïí ç ó Ýóç ðïõ óõíäýåé ôá x êáé y, äçëáäþ åðáëçèåýåôáé ìßá ó Ýóç ôçò ìïñöþò f(x; y) = 0. Ôüôå ëýãåôáé üôé ç óõíüñôçóç y äßíåôáé ìå ðåðëåãìýíç (implicit) ìïñöþ. ÐáñÜäåéãìá Áí y = y(x), ôüôå ç óõíüñôçóç åêöñüæåôáé ìå ëõìýíç ìïñöþ, åíþ ç y = x 2 + 3x + 2 e y x y = 0 ìå ðåðëåãìýíç, åðåéäþ ç ó Ýóç áõôþ äåí ëýíåôáé ùò ðñïò y. Ðñïóäéïñéóìüò ôïõ ðåäßïõ ïñéóìïý Óôçí ðåñßðôùóç ðïõ æçôåßôáé íá ðñïóäéïñéóôåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ìéáò óõíüñôçóçò, üôáí åßíáé ãíùóôüò ï ôýðïò ôçò, ðñýðåé íá ëçöèïýí õðüøç ôá åîþò: ïé ðåñéïñéóìïß ðïõ õðüñ ïõí áðü ôçí ßäéá ôç óõíüñôçóç üðùò ñßæá, ëïãüñéèìïò ê.ëð., Ýôóé þóôå ï ôýðïò ôçò íá ïñßæåôáé, êáé ïé ðñüîåéò ðïõ åßíáé óçìåéùìýíåò óôïí ôýðï ôçò óõíüñôçóçò íá Ý ïõí Ýííïéá - åðéôñåðôýò ðñüîåéò - óôï óýíïëï ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí R.
4 100 ÐñáãìáôéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Õðåíèõìßæåôáé üôé ïé ìç åðéôñåðôýò ðñüîåéò óôï óýíïëï ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí åßíáé ïé: a 0 ; ; 0 ; 0 ; ; 00 ; 1 ; 0 : ( ) ÐáñÜäåéãìá óôù ç óõíüñôçóç f(x) = x 2 5x + 1: Ôüôå ðñïöáíþò åßíáé D = R. ÐáñÜäåéãìá ¼ìïéá ç óõíüñôçóç g(x) = x + 1 (x 3) (x 2 + 4) : Ôüôå èá ðñýðåé (x 3) ( x ) 0. ÅðåéäÞ x ãéá êüèå x R, áñêåß x 3, äçëáäþ D = R {3}. ÐáñÜäåéãìá ¼ìïéá ç ÐñÝðåé Þ éóïäýíáìá x h(x) = x + 2 : x x êáé x x(x + 2) 0 êáé x + 2 0: Ôüôå óýìöùíá ìå ôïí Ðßíáêá ðñïêýðôåé üôé x < 2 Þ x 0. ñá D = ( ; 2) [0; + ).
5 Ïñéóìïß 101 Ðßíáêáò : ÐáñÜäåéãìá ÓõíÜñôçóç x x x(x + 2) Áíôßóôñïöç óõíüñôçóç Ïñéóìüò (áíôßóôñïöçò óõíüñôçóçò). óôù ìßá óõíüñôçóç f : D x f(x) = y T êáé T T. Áí ç áðåéêüíéóç f ìå f : T y f (y) = x D ( ) åßíáé åðßóçò ìïíïóþìáíôç, ôüôå ïñßæåé ôçí áíôßóôñïöç óõíüñôçóç ôçò f, ðïõ óõìâïëßæåôáé ìå f 1. Óçìåéþóåéò i) Ôï f 1 åßíáé óõìâïëéóìüò êáé äåí ðñýðåé íá óõã Ýåôáé ìå ôï 1=f. ii) Ï ôýðïò ôçò áíôßóôñïöçò óõíüñôçóçò õðïëïãßæåôáé, üôáí ç åîßóùóç f(x) = y ëõèåß ùò ðñïò x (ÐáñÜäåéãìá ). ÅðåéäÞ üìùò ôéò ðåñéóóüôåñåò öïñýò ç ëýóç ôçò åîßóùóçò åßíáé áäýíáôç (ÐáñÜäåéãìá ), ï ôýðïò ôçò êáé üôáí áêüìá åßíáé ãíùóôü üôé õðüñ åé áíôßóôñïöç óõíüñôçóç, äåí åßíáé äõíáôüí íá ðñïóäéïñéóôåß. iii) Ôï äéüãñáììá ôçò f êáé ôçò f 1 åöüóïí õðüñ åé, åßíáé óõììåôñéêü ùò ðñïò ôçí åõèåßá y = x (Ó ). iv) Óôçí ðåñßðôùóç ðïõ éó ýåé ï Ïñéóìüò , äçëáäþ ïñßæåôáé ç áíôßóôñïöç óõíüñôçóç, ëýãåôáé üôé ç f ïñßæåé ìéá áìöéìïíïóþìáíôç Þ Ýíá ðñïò Ýíá áðåéêüíéóç. Áðïäåéêíýåôáé üôé óôçí ðåñßðôùóç áõôþ éó ýåé ôï ðáñáêüôù èåþñçìá:
6 102 ÐñáãìáôéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Èåþñçìá Ç óõíüñôçóç f Ý åé áíôßóôñïöç óõíüñôçóç ôüôå êáé ìüíïí, üôáí ç f åßíáé áìöéìïíïóþìáíôç. f x x (a) f x x 2 4 (b) Ó Þìá : Åõèåßá y = x êüêêéíç ãñáììþ. (a) ÓõíÜñôçóç f(x) = x 2 ìðëå, f 1 (x) = x ðñüóéíç êáìðýëç, üôáí x > 0 êáé (b) e x ìðëå, ln x ðñüóéíç êáìðýëç. Óôá ðáñáäåßãìáôá ðïõ äßíïíôáé óôç óõíý åéá õðïôßèåôáé üôé õðüñ åé ç áíôßóôñïöç óõíüñôçóç. ÐáñÜäåéãìá óôù ç óõíüñôçóç f(x) = 2x + 1 ìå ðåäßï ïñéóìïý D = R {1}: x 1 Íá õðïëïãéóôåß ï ôýðïò ôçò áíôßóôñïöçò óõíüñôçóçò. Ëýóç. óôù 2x + 1 x 1 = y; ïðüôå x = y + 1 y 2 ìå T = R {2}: ñá ÐáñÜäåéãìá óôù ç óõíüñôçóç f 1 (x) = x + 1 x 2 : f(x) = e x x; üôáí ôï ðåäßï ïñéóìïý åßíáé D = [; + ): Ôüôå, åðåéäþ ç åîßóùóç e x x = y äåí ëýíåôáé ùò ðñïò x, åßíáé áäýíáôïò ï õðïëïãéóìüò ôïõ ôýðïõ ôçò áíôßóôñïöçò óõíüñôçóçò.
7 ëãåâñá óõíáñôþóåùí 103 Óýíèåôç óõíüñôçóç Ïñéóìüò (óýíèåôçò óõíüñôçóçò). óôù A, B, à ôñßá ôõ üíôá óýíïëá äéüöïñá ôïõ êåíïý êáé g A ìßá óõíüñôçóç ìå ðåäßï ôéìþí ôï B êáé f B ìßá óõíüñôçóç ìå ðåäßï ôéìþí ôï Ã. Ôüôå ïñßæåôáé ìßá óõíüñôçóç h A ìå ðåäßï ôéìþí ôï Ã, ðïõ óõìâïëßæåôáé ìå f g, áðü ôïí ôýðï h(x) = (f g)(x) = f(g(x)) ãéá êüèå x A ( ) êáé ëýãåôáé óýíèåôç óõíüñôçóç ôùí f, g. Åßíáé ðñïöáíýò üôé ç óýíèåóç óõíáñôþóåùí ðëçñïß ôçí åðéìåñéóôéêþ éäéüôçôá, äçëáäþ ÐáñÜäåéãìá óôù ïé óõíáñôþóåéò f (g h) = (f g) h: g(x) = 3x 1 êáé f(x) = sin x: Ôüôå ïñßæåôáé ç óýíèåôç óõíüñôçóç f g êáé åßíáé (f g)(x) = f(g(x)) = sin(3x 1); üðïõ ãéá ôá ðåäßá ïñéóìïý åßíáé D(f) = D(g) = D(f g) = R, åíþ ãéá ôá ðåäßá ôéìþí T (g) = R êáé T (f) = T (f g) = [ 1; 1]. ÐáñÜäåéãìá ¼ìïéá ç óýíèåóç ôùí óõíáñôþóåùí g(x) = x 2 êáé f(x) = e x äßíåé (f g)(x) = f(g(x)) = e x2 ; 1 üðïõ D(f) = D(g) = D(f g) = R, åíþ T (f) = R êáé T (g) = T (f g) = (0; + ). 1ÂëÝðå ÐáñÜãñáöï
8 104 ÐñáãìáôéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Éóüôçôá Ïñéóìüò Ïé óõíáñôþóåéò f; g D ëýãïíôáé ßóåò êáé óõìâïëßæåôáé áõôü ìå f = g óôï D ôüôå êáé ìüíïí, üôáí f(x) = g(x) ãéá êüèå x D. Ðñïöáíþò ç éóüôçôá åßíáé áõôïðáèþò, óõììåôñéêþ êáé ìåôáâáôéêþ, ïðüôå ïñßæåé ìßá ó Ýóç éóïäõíáìßáò óôï óýíïëï ôùí óõíáñôþóåùí ìå êïéíü ðåäßï ïñéóìïý D ÄéÜôáîç Ïñéóìüò óôù ïé óõíáñôþóåéò f; g D. Ôüôå èá åßíáé f g ôüôå êáé ìüíïí, üôáí f(x) g(x) ãéá êüèå x D. Ç ó Ýóç áõôþ åßíáé áõôïðáèþò, áíôéóõììåôñéêþ êáé ìåôáâáôéêþ, ïðüôå ïñßæåé ìßá ó Ýóç äéüôáîçò óôï óýíïëï ôùí óõíáñôþóåùí ìå êïéíü ðåäßï ïñéóìïý D, ç ïðïßá üìùò äåí åßíáé ãñáììéêþ. Áíôßóôïé á ïñßæåôáé ç äõúêþ ôçò ó Ýóç f g Ðñüóèåóç Ïñéóìüò óôù ïé óõíáñôþóåéò f; g D. Ôüôå ïñßæåôáé ùò ÜèñïéóìÜ ôïõò ç óõíüñôçóç h = f + g D, üðïõ h(x) = (f + g)(x) = f(x) + g(x) ãéá êüèå x D: ( ) Ôï Üèñïéóìá ãåíéêåýåôáé ãéá ôï ðëþèïò óõíáñôþóåéò. Éäéüôçôåò i) áíôéìåôáèåôéêþ f + g = g + f ãéá êüèå f; g D, ii) ðñïóåôáéñéóôéêþ f + (g + h) = (f + g) + h ãéá êüèå f; g; h D, iii) õðüñ åé áêñéâþò ìßá óõíüñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý D, ðïõ ëýãåôáé ìçäåíéêþ óõíüñôçóç êáé óõìâïëßæåôáé ìå Õ, ôýôïéá þóôå Õ(x) = 0 ãéá êüèå x D êáé ãéá ôçí ïðïßá éó ýåé f + Õ = Õ + f = f ãéá êüèå f D,
9 ëãåâñá óõíáñôþóåùí 105 iv) ãéá êüèå f D õðüñ åé áêñéâþò ìßá óõíüñôçóç ç f D, ðïõ ëýãåôáé áíôßèåôç óõíüñôçóç ôçò f óôï D, ôýôïéá þóôå f + ( f) = Õ, v) óôï D éó ýåé ç éóïäõíáìßá: áí f + h = g + h, ôüôå f = g ãéá êüèå f; g; h D (íüìïò ôçò äéáãñáöþò óôçí ðñüóèåóç), v) ãéá êüèå f; g; X D ç åîßóùóç f + X = g D Ý åé ìïíáäéêþ ëýóç ôçí X = g + ( f). Ç ìïíáäéêþ ëýóç ôçò åîßóùóçò áõôþò ëýãåôáé äéáöïñü ôçò f áðü ôçí g êáé óõìâïëßæåôáé ìå g f, åíþ ç ðñüîç ìå ôçí ïðïßá õðïëïãßæåôáé ç äéáöïñü ôùí äýï óõíáñôþóåùí ëýãåôáé áöáßñåóç Ðïëëáðëáóéáóìüò Ïñéóìüò óôù ïé óõíáñôþóåéò f; g D. Ôüôå ïñßæåôáé ùò ãéíüìåíü ôïõò ç óõíüñôçóç h = f g = f g D, üôáí h(x) = (fg)(x) = f(x)g(x) ãéá êüèå x D: ( ) ¼ìïéá ï ðïëëáðëáóéáóìüò ãåíéêåýåôáé ãéá ôï ðëþèïò óõíáñôþóåéò. Éäéüôçôåò i) áíôéìåôáèåôéêþ fg = gf ãéá êüèå f; g D, ii) ðñïóåôáéñéóôéêþ f(gh) = (fg)h ãéá êüèå f; g; h D, iii) åðéìåñéóôéêþ ùò ðñïò ôçí ðñüóèåóç f(g + h) = fg + fh ãéá êüèå f; g; h D, iv) õðüñ åé óôï D áêñéâþò ìßá óõíüñôçóç, ðïõ ëýãåôáé ìïíáäéáßá óõíüñôçóç êáé óõìâïëßæåôáé ìå e, ôýôïéá þóôå e(x) = 1 ãéá êüèå x D êáé ãéá ôçí ïðïßá éó ýåé üôé fe = ef = f ãéá êüèå f D, v) áí f D ìå f(x) 0 ãéá êüèå x D, ôüôå õðüñ åé áêñéâþò ìßá óõíüñôçóç f = 1=f D, ôýôïéá þóôå ff = e,
10 106 ÐñáãìáôéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò vi) óôï D éó ýåé ç éóïäõíáìßá: áí fh = gh êáé h(x) 0 ãéá êüèå x D, ôüôå f = g (íüìïò ôçò äéáãñáöþò óôïí ðïëëáðëáóéáóìü), vii) ãéá êüèå f; g; X D ç åîßóùóç fx = g D ìå f(x) 0 ãéá êüèå x D Ý åé ìïíáäéêþ ëýóç ôçí X = g=f. Ç ìïíáäéêþ ëýóç ôçò åîßóùóçò áõôþò ëýãåôáé ðçëßêï ôçò g ðñïò ôçí f êáé óõìâïëßæåôáé ìå g=f. Ç ðñüîç, ìå ôçí ïðïßá õðïëïãßæåôáé ôï ðçëßêï äýï óõíáñôþóåùí, ëýãåôáé äéáßñåóç. 3.2 Åßäç óõíáñôþóåùí ñôéåò êáé ðåñéôôýò óõíáñôþóåéò Ïñéóìüò Ìßá óõíüñôçóç f D ëýãåôáé Üñôéá (even), üôáí ãéá êüèå x, x D éó ýåé f( x) = f(x): ( ) áñáêôçñéóôéêü ôïõ äéáãñüììáôïò ìéáò Üñôéáò óõíüñôçóçò åßíáé üôé ðáñïõóéüæåé óõììåôñßá ùò ðñïò ôïí Üîïíá Oy. ÐáñÜäåéãìá ôýôïéáò óõíüñôçóçò åßíáé ç cos x, ( x ) 1=2 (Ó a), ê.ëð. Ïñéóìüò Ìßá óõíüñôçóç f D ëýãåôáé ðåñéôôþ (odd), üôáí ãéá êüèå x, x D éó ýåé f( x) = f(x): ( ) áñáêôçñéóôéêü ôïõ äéáãñüììáôïò ìéáò ðåñéôôþò óõíüñôçóçò åßíáé üôé ðáñïõóéüæåé óõììåôñßá ùò ðñïò ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí O. ¼ìïéï ðáñüäåéãìá ôýôïéáò óõíüñôçóçò åßíáé ç x 3 (Ó b), sin x, ê.ëð. ìåóá ðñïêýðôåé áðü ôïõò ðáñáðüíù ïñéóìïýò üôé: Ðñüôáóç Áí ç f åßíáé Üñôéá êáé ç g ðåñéôôþ óõíüñôçóç, ôüôå ôï ãéíüìåíü ôïõò åßíáé ðåñéôôþ óõíüñôçóç, åíþ ôï ãéíüìåíï äýï ðåñéôôþí Þ äýï Üñôéùí óõíáñôþóåùí åßíáé Üñôéá óõíüñôçóç.
11 Åßäç óõíáñôþóåùí 107 f x x (a) x^ x (b) Ó Þìá : (a) ÓõíÜñôçóç f(x) = ( x ) 1=2 êáé (b) x Ìïíïôïíßá óõíüñôçóçò Ïñéóìüò (ìïíïôïíßáò). óôù ç óõíüñôçóç f D êáé x 1, x 2 D, üðïõ ùñßò íá ðåñéïñßæåôáé ç ãåíéêüôçôá õðïôßèåôáé üôé x 1 < x 2. Ôüôå, áí: i) f (x 1 ) f (x 2 ) ç f èá ëýãåôáé áýîïõóá êáé èá óõìâïëßæåôáé ìå. ii) f (x 1 ) f (x 2 ) ç f èá ëýãåôáé öèßíïõóá êáé èá óõìâïëßæåôáé ìå. Êáé óôéò äýï ðåñéðôþóåéò ç óõíüñôçóç èá ëýãåôáé ìïíüôïíç. iii) f (x 1 ) < f (x 2 ) ç f èá ëýãåôáé ãíþóéá áýîïõóá êáé èá óõìâïëßæåôáé ìå. iv) f (x 1 ) > f (x 2 ) ç f èá ëýãåôáé ãíþóéá öèßíïõóá êáé èá óõìâïëßæåôáé ìå. Óôéò ðåñéðôþóåéò (iii) êáé (iv) ç óõíüñôçóç èá ëýãåôáé ãíþóéá ìïíüôïíç. Ï ðñïóäéïñéóìüò ôçò ìïíïôïíßáò ìéáò óõíüñôçóçò èá ãßíåé óôï ÌÜèçìáÐáñÜãùãïò ÓõíÜñôçóçò. Äßíïíôáé óôç óõíý åéá ùñßò áðüäåéîç äýï óçìáíôéêü ãéá ôá åðüìåíá ìáèþìáôá èåùñþìáôá, ðïõ Ý ïõí ó Ýóç ìå ôéò ìïíüôïíåò óõíáñôþóåéò. Èåþñçìá Áí ìßá óõíüñôçóç f D åßíáé ãíþóéá ìïíüôïíç óôï D, ôüôå õðüñ åé ðüíôïôå ç áíôßóôñïöþ ôçò óõíüñôçóç f 1 T, üðïõ T = f(d) êáé åßíáé ôïõ ßäéïõ åßäïõò ìïíïôïíßáò ìå áõôþ.
12 108 ÐñáãìáôéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Èåþñçìá Ç óýíèåóç äýï óõíáñôþóåùí ôïõ ßäéïõ åßäïõò ìïíïôïíßáò åßíáé áýîïõóá óõíüñôçóç, åíþ äéáöïñåôéêïý åßäïõò ìïíïôïíßáò öèßíïõóá óõíüñôçóç ÐåñéïäéêÞ óõíüñôçóç Ïñéóìüò Ìßá óõíüñôçóç f R ëýãåôáé ðåñéïäéêþ, áí õðüñ åé ô R ìå ô 0, Ýôóé þóôå íá éó ýåé f(x + ô) = f(x) ãéá êüèå x R: ( ) Ôüôå ï ô ëýãåôáé ðåñßïäïò, åíþ ï åëü éóôïò èåôéêüò áñéèìüò ô ãéá ôïí ïðïßï éó ýåé ç (3:2:3 1) ëýãåôáé èåìåëéþäçò ðåñßïäïò êáé óõìâïëßæåôáé ìå T. Óôçí ðåñßðôùóç ðïõ ç óõíüñôçóç Ý åé ðåäßï ïñéóìïý ôï D ìå D R, ôüôå ï Ïñéóìüò ôñïðïðïéåßôáé ùò åîþò: Ïñéóìüò Ìßá óõíüñôçóç f D ëýãåôáé ðåñéïäéêþ, áí õðüñ åé ô D ìå ô 0, Ýôóé þóôå íá éó ýåé f(x + ô) = f(x) ãéá êüèå x; x + ô D: ( ) Óçìåßùóç ìåóá ðñïêýðôåé áðü ôïí ïñéóìü üôé ïé éäéüôçôåò êáé ôï äéüãñáììá ìéáò ðåñéïäéêþò óõíüñôçóçò èá åßíáé ãíùóôü, üôáí ìåëåôçèåß ç óõíüñôçóç óå Ýíá äéüóôçìá ðëüôïõò T, äçëáäþ üóï ç èåìåëéþäçò ðåñßïäïò. Ïé ðåñéïäéêýò óõíáñôþóåéò óõíáíôþíôáé óõ íü óôéò åöáñìïãýò, üðïõ ç ìåôáâëçôþ ôïõò t óõìâïëßæåé ôïí ñüíï êáé ìåôáâüëëåôáé óå äéáóôþìáôá üðùò ôï [0; + ), [t 1 ; t 2 ] ê.ëð. Óôéò ðåñéðôþóåéò áõôýò ëýãåôáé üôé Ý ïõìå ôïí ðåñéïñéóìü ôçò ðåñéïäéêþò óõíüñôçóçò óôá äéáóôþìáôá áõôü.
13 Êáôçãïñßåò ðåñéïäéêþí óõíáñôþóåùí Åßäç óõíáñôþóåùí 109 Ïé ðåñéïäéêýò óõíáñôþóåéò ùñßæïíôáé óôéò ðáñáêüôù äýï êáôçãïñßåò: i) Åêåßíåò ðïõ áðü ôïí ïñéóìü ôïõò åßíáé ðåñéïäéêýò, äçëáäþ ïé ôñéãùíïìåôñéêýò óõíáñôþóåéò üðùò: sin x, cos 3x, tan 5x, sin x ðïõ åßíáé ãíùóôþ ùò 2 ðëþñçò áíüñèùóç (Ó ) ìå èåìåëéþäç ðåñßïäï T =, ê.ëð. sin x sin x x (a) x (b) Ó Þìá : ÓõíÜñôçóç (a) sin x, üôáí x [0; ] äçëáäþ äéüóôçìá ðëüôïõò T = êáé (b) üôáí x [ 2; 2]. ii) ÓõíáñôÞóåéò ðïõ ïñßæïíôáé ìå êüðïéá óõíèþêç ðåñéïäéêüôçôáò. Ïé óõíáñôþóåéò áõôýò óõíáíôþíôáé óôéò åöáñìïãýò êáé ðáñáäåßãìáôü ôïõò äßíïíôáé óôç óõíý åéá. ÐáñÜäåéãìá Ç óõíüñôçóç t áí 0 t < f(t) = 0 áí t < 2; üôáí óõíèþêç {}}{ f(t + }{{} 2 ) = f(t) ãéá êüèå t R Ô åßíáé ðåñéïäéêþ ìå èåìåëéþäç ðåñßïäï T = 2. Óôï Ó a äßíåôáé ôï äéüãñáììü ôçò óôï äéüóôçìá [0; T ] ðëüôïõò üóï ç èåìåëéþäçò ðåñßïäïò, üðùò áõôü ðáñïõóéüæåôáé óôá ìáèçìáôéêü, åíþ óôï Ó b üðùò óôéò åöáñìïãýò. =!. 2Ãåíéêüôåñá ç óõíüñôçóç sin!x ìå! > 0 åßíáé ðåñéïäéêþ ìå èåìåëéþäç ðåñßïäï T =
14 110 ÐñáãìáôéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò f t t f t (a) t (b) ÐáñÜäåéãìá Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá ¼ìïéá ç e t áí 0 t < 1 g(t) = 1 áí 1 t < 2; üôáí óõíèþêç {}}{ f(t + }{{} 2 ) = f(t) ãéá êüèå t R Ô åßíáé ðåñéïäéêþ ìå èåìåëéþäç ðåñßïäï T = 2 ìå äéüãñáììá óôï Ó a óôá ÌáèçìáôéêÜ, áíôßóôïé á Ó b óôéò åöáñìïãýò. g t 2.5 g t t (a) t (b) Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá ÐáñÜäåéãìá ¼ìïéá ïé h(t) = t; üôáí 1 t < 1 êáé h(t + p(t) = t 2 ; üôáí 2 t < 2 êáé p(t + Ô {}}{ 2 ) = h(t); êáé Ô {}}{ 4 ) = p(t)
15 Åßäç óõíáñôþóåùí 111 ãéá êüèå t R åßíáé ðåñéïäéêýò ìå èåìåëéþäç ðåñßïäï T = 2 (Ó a) êáé T = 4 (Ó b). h t t p t 4 (a) t (b) Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá Éäéüôçôåò Ó åôéêü ìå ôéò ðåñéïäéêýò óõíáñôþóåéò éó ýïõí: i) ôï äéüãñáììá ìéáò ðåñéïäéêþò óõíüñôçóçò óå ìßá ðåñßïäï ëýãåôáéêýìá, ii) áí ç ìåôáâëçôþ ìéáò ðåñéïäéêþò óõíüñôçóçò óõìâïëßæåé ôï äéüóôçìá, ôüôå ç ðåñßïäüò ôçò ëýãåôáé ìþêïò êýìáôïò êáé óõìâïëßæåôáé ìå ë, iii) êüèå ðåñéïäéêþ óõíüñôçóç f(t) ìå èåìåëéþäç ðåñßïäï T ãßíåôáé ðåñéïäéêþ ìå èåìåëéþäç ðåñßïäï 2, èýôïíôáò t = 2ð x ; ( ) T iv) áí T åßíáé ç èåìåëéþäçò ðåñßïäïò, ôüôå ïñßæåôáé ùò óõ íüôçôá í ï áñéèìüò êáé ùò êõêëéêþ óõ íüôçôá ï í = 1 T ù = 2ð T v) ïñßæåôáé ùò áñìïíéêþ êüèå óõíüñôçóç ôçò ìïñöþò ( ) ; ( ) f(t) = a cos(ùt + è) Þ f(t) = a sin(ùt + è): ( )
16 112 ÐñáãìáôéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ðñüôáóç Ôï Üèñïéóìá äýï Þ ðåñéóóïôýñùí áñìïíéêþí óõíáñôþóåùí ìå ôçí ßäéá êõêëéêþ óõ íüôçôá, Ýóôù ù, åßíáé åðßóçò áñìïíéêþ óõíüñôçóç ìå ôçí ßäéá êõêëéêþ óõ íüôçôá. Áðüäåéîç. óôù ïé áñìïíéêýò óõíáñôþóåéò f(t) = á 1 cos (ùt + è 1 ) êáé g(t) = á 2 cos (ùt + è 2 ). Ôüôå, áí h(t) = f(t) + g(t), åßíáé äçëáäþ h(t) = á 1 cos (ùt + è 1 ) + á 2 sin (ùt + è 2 ) = (á 1 cos è 1 + á 2 sin è 2 ) cos ùt + ( á 1 sin è 1 + á 2 cos è 2 ) sin ùt ( ) A = A cos ùt + B sin ùt = B cos ùt + sin ùt B = B (tan cos ùt + sin ùt) = C sin(ùt + ) h(t) = A cos ùt + B sin ùt = C sin(ùt + ); ( ) üðïõ C = A 2 + B 2 ìå tan ö = A=B, üôáí B 0 êáé ö <. Áðü ôçí (3:2:3 7) ðñïêýðôåé üôé ôï Üèñïéóìá åßíáé üìïéá ìßá áñìïíéêþ óõíüñôçóç ìå ôçí ßäéá êõêëéêþ óõ íüôçôá ù. ÐáñÜäåéãìá Ôï Üèñïéóìá ôùí áñìïíéêþí óõíáñôþóåùí f(t) = sin t êáé g(t) = 3 cos t, üðïõ ù = 1, äßíåé h(t) = sin t + ( ) 1 3 ( 3 cos t = 2 2 sin t + 2 cos t = 2 cos t ) ; 6 äçëáäþ ìßá áñìïíéêþ óõíüñôçóç ìå ôçí ßäéá êõêëéêþ óõ íüôçôá ù. Áðïäåéêíýåôáé åðßóçò üôé éó ýïõí ïé ðáñáêüôù ðñïôüóåéò: Ðñüôáóç Ôï Üèñïéóìá äýï Þ ðåñéóóüôåñùí áñìïíéêþí óõíáñôþóåùí, ðïõ ç êáèåìéü Ý åé êõêëéêþ óõ íüôçôá áêýñáéï ðïëëáðëüóéï ìéáò óõ íüôçôáò, Ýóôù ù 0, åßíáé ìßá ðåñéïäéêþ - ãåíéêü ìç áñìïíéêþ - óõíüñôçóç ìå óõ íüôçôá ôç ìéêñüôåñç óõ íüôçôá ôùí áñìïíéêþí óõíáñôþóåùí. Ðñüôáóç Ôï Üèñïéóìá äýï Þ ðåñéóóüôåñùí áñìïíéêþí óõíáñôþóåùí, ðïõ ïé óõ íüôçôýò ôïõò Ý ïõí áíü äýï ðçëßêï ñçôü áñéèìü, åßíáé ðåñéïäéêþ - ãåíéêü ìç áñìïíéêþ - óõíüñôçóç.
17 3.3 Êáôçãïñßåò óõíáñôþóåùí Êáôçãïñßåò óõíáñôþóåùí 113 Äßíïíôáé óôç óõíý åéá ïé êõñéüôåñåò êáôçãïñßåò óõíáñôþóåùí ìå ôéò ðëýïí âáóéêýò éäéüôçôýò ôïõò ÐïëõùíõìéêÞ Ïñéóìüò ÊÜèå óõíüñôçóç ôçò ìïñöþò P (x) = P (x) = a x + : : : + a 1 x + a 0 ; ( ) üôáí a i R; i = 0; 1; : : : ; êáé = 1; 2; : : : ëýãåôáé ðïëõùíõìéêþ âáèìïý. Ôüôå åßíáé D = R, åíþ ôï T ðñïóäéïñßæåôáé, åöüóïí áõôü åßíáé äõíáôüí. Ïñéóìüò ÊÜèå åîßóùóç ôçò ìïñöþò a x + : : : + a 1 x + a 0 = 0 ( ) üôáí a i R; i = 0; 1; : : : ; êáé = 1; 2; : : : ëýãåôáé ðïëõùíõìéêþ åîßóùóç âáèìïý, åíþ êüèå ôéìþ, Ýóôù x, ðïõ ôçí åðáëçèåýåé ñßæá ôçò åîßóùóçò ÑçôÞ Ïñéóìüò ËÝãåôáé ñçôþ êüèå óõíüñôçóç ðïõ åßíáé äõíáôüí íá ðáñáóôáèåß ùò ôï ðçëßêï äýï ðïëõùíõìéêþí óõíáñôþóåùí, äçëáäþ R(x) = P (x) Q(x) = a íx + : : : + a 1 x + a 0 â m x m + : : : + â 1 x + â 0 ( ) üðïõ ; m = 1; 2; : : : ìå a i ; â j R ãéá êüèå i = 0; 1; : : : ; êáé j = 0; 1; : : : ; m. Ôüôå D = R {ðñáãìáôéêýò ñßæåò ôïõ ðáñïíïìáóôþ}, åíþ üìïéá ôï T ðñïóäéïñßæåôáé, åöüóïí áõôü åßíáé äõíáôüí. Ïé ñßæåò ôïõ ðáñïíïìáóôþ ëýãïíôáé êáé ðüëïé ôçò R(x).
18 114 ÐñáãìáôéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ÐåðëåãìÝíç Ïñéóìüò ËÝãåôáé ðåðëåãìýíç (implicit) êüèå óõíüñôçóç ðïõ ïñßæåôáé áðü ìßá áëãåâñéêþ ó Ýóç ìåôáîý ôùí y êáé x êáé ç ïðïßá äåí åßíáé ëõìýíç ùò ðñïò y, äçëáäþ ìßá ó Ýóç ôçò ìïñöþò F (x; y(x)) = 0; ( ) üðïõ ç F åßíáé Ýíá ðïëõþíõìï ôüóï ùò ðñïò y üóï êáé ùò ðñïò x, ç ïðïßá êáé üôáí áêüìá ëõèåß ùò ðñïò y, èá ðåñéý åé óôçí áíáëõôéêþ ôçò Ýêöñáóç êáé ñéæéêü. ÅíäåéêôéêÜ äßíïíôáé ïé óõíáñôþóåéò y 2 = ax 2 + bx + c, x 3 + y 3 3ax = 0, y = x + ( 1 + x 2) 1=2 ê.ëð. Ïé ñçôýò óõíáñôþóåéò åßíáé ìßá åéäéêþ êáôçãïñßá ôùí ðåðëåãìýíùí óõíáñôþóåùí ÔñéãùíïìåôñéêÝò Çìßôïíï: sin x Ðåäßï ïñéóìïý D = R êáé ôéìþí T = [ 1; 1]. Ç óõíüñôçóç åßíáé ðåñéïäéêþ ìå èåìåëéþäç ðåñßïäï T = 2, ðåñéôôþ, ãíþóéá áýîïõóá ãéá êüèå x [ =2; =2], äçëáäþ óôï É êáé IV ôåôáñôçìüñéï êáé ãíþóéá öèßíïõóá ãéá êüèåx [=2; 3=2], äçëáäþ óôï II êáé ÉÉÉ ôåôáñôçìüñéï (Ó a). x = 2k + a ÂáóéêÞ ôáõôüôçôá: sin x = sin a ìå k Z; x = 2k + a üôáí Z = 0; ±1; : : : ; : Óõíçìßôïíï: cos x Ðåäßï ïñéóìïý D = R êáé ôéìþí T = [ 1; 1]. Ç óõíüñôçóç åßíáé ðåñéïäéêþ ìå èåìåëéþäç ðåñßïäï T = 2, Üñôéá, ãíþóéá öèßíïõóá ãéá êüèå x [0; ], äçëáäþ óôï É êáé II ôåôáñôçìüñéï êáé ãíþóéá áýîïõóá ãéá êüèå x [; 2], äçëáäþ óôï III êáé IV ôåôáñôçìüñéï (Ó b). ÂáóéêÞ ôáõôüôçôá: cos x = cos a x = 2k ± a ìå k Z:
19 Êáôçãïñßåò óõíáñôþóåùí 115 sin x 1.0 cos x x x 1.0 (a) 1.0 (b) Ó Þìá : (a) ÓõíÜñôçóç sin x êáé (b) cos x, üôáí x [0; 2]. ÅöáðôïìÝíç: tan x Ðåäßï ïñéóìïý D = R {ê + =2} ; ê Z êáé ôéìþí T = R. Ç óõíüñôçóç åßíáé ðåñéïäéêþ ìå èåìåëéþäç ðåñßïäï T =, ðåñéôôþ êáé ãíþóéá áýîïõóá óå üëï ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò (Ó a). ÂáóéêÞ ôáõôüôçôá: tan x = tan a x = k + a ìå k Z: ÓõíåöáðôïìÝíç: cot x Ðåäßï ïñéóìïý D = R {ê} ; ê Z êáé ôéìþí T = R. Ç óõíüñôçóç åßíáé ðåñéïäéêþ ìå èåìåëéþäç ðåñßïäï T =, ðåñéôôþ êáé ãíþóéá öèßíïõóá óå üëï ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò (Ó b). ÂáóéêÞ ôáõôüôçôá: cot x = cot a x = k + a ìå k Z: tan x x 4 6 (a) cot x x (b) Ó Þìá : (a) ÓõíÜñôçóç tan x, üôáí x ( =2; =2) êáé (b) cot x, üôáí x (0; ).
20 116 ÐñáãìáôéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Áíôßóôñïöåò ôñéãùíïìåôñéêýò Ôüîï çìéôüíïõ: sin 1 x Þ arcsin x Ç óõíüñôçóç f(x) = sin x, üôáí Ý åé ðåäßï ïñéóìïý ôï [ =2; =2], åßíáé ãíþóéá áýîïõóá êáé Ý åé ðåäßï ôéìþí ôï [ 1; 1], ïðüôå óýìöùíá ìå ôï Èåþñçìá áíôéóôñýöåôáé êáé ïñßæåé ôç óõíüñôçóç (Ó a) y = g(x) = f 1 (x) = sin 1 x = sin y x 2 y 2 : ( ) Ôüîï óõíçìéôüíïõ: cos 1 x Þ arccos x ¼ìïéá ç óõíüñôçóç f(x) = cos x ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï [0; ] åßíáé ãíþóéá öèßíïõóá êáé Ý åé ðåäßï ôéìþí ôï [ 1; 1], ïðüôå áíôéóôñýöåôáé êáé ïñßæåé ôç óõíüñôçóç y = g(x) = f 1 (x) = cos 1 x Ôüîï åöáðôïìýíçò: tan 1 x Þ arctan x x = cos y 0 y : ( ) Ç óõíüñôçóç f(x) = tan x üìïéá ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï ( =2; =2) åßíáé ãíþóéá áýîïõóá ìå ðåäßï ôéìþí R, ïðüôå áíôéóôñýöåôáé êáé ïñßæåé ôç óõíüñôçóç (Ó b) y = g(x) = f 1 (x) = tan 1 x x = tan y 2 < y < 2 : ( ) Ôüîï óõíåöáðôïìýíçò: cot 1 x Þ arccotx Ç óõíüñôçóç f(x) = cot x üìïéá ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï (0; ) åßíáé ãíþóéá öèßíïõóá ìå ðåäßï ôéìþí R, ïðüôå áíôéóôñýöåôáé êáé ïñßæåé ôç óõíüñôçóç y = g(x) = f 1 (x) = cot 1 x = cos y x ( ) 0 < y < :
21 Êáôçãïñßåò óõíáñôþóåùí 117 arcsin x x (a) arctan x x 0.5 (b) Ó Þìá : (a) ÓõíÜñôçóç sin 1 x êáé (b) tan 1 x, üôáí x [ 1; 1] ÅêèåôéêÞ Ïñéóìüò ÊÜèå óõíüñôçóç ôçò ìïñöþò f(x) = a x üðïõ a > 0 êáé x R ëýãåôáé åêèåôéêþ. ÅéäéêÜ üôáí a = 1 åßíáé f(x) = 1. Ðñïöáíþò åßíáé D = R, åíþ T = (0; + ), äçëáäþ ïé ôéìýò ôçò åêèåôéêþò óõíüñôçóçò åßíáé ðüíôïôå èåôéêýò. Éäéüôçôåò óôù a; b (0; + ) êáé x; y R. ðáñáêüôù éäéüôçôåò: Ôüôå áðïäåéêíýåôáé üôé éó ýïõí ïé i) a x a y = a x+y v) a x = 1 x = 0 ìå a 1, ii) a x : a y = a x y vi) a x > b x ; x > 0 a > b = a x < b x ; x < 0 ; iii) (ab) x = a x b x vi) a x = a y x = y ìå a 1, iv) (a x ) y = a xy a x > a y ; a > 1 viii) x > y = a x < a y ; a < 1 : Ìïíïôïíßá Áðïäåéêíýåôáé üôé, üôáí: I) 0 < a < 1, ç óõíüñôçóç åßíáé ãíþóéá öèßíïõóá (Ó a),
22 118 ÐñáãìáôéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò II) a > 1, åßíáé ãíþóéá áýîïõóá. ÅéäéêÜ, üôáí a = e, üðïõ e åßíáé ï ãíùóôüò õðåñâáôéêüò áñéèìüò 3 Ý ïõìå ôç óõíüñôçóç f(x) = e x ; ( ) ðïõ åßíáé ìßá ãíþóéá áýîïõóá óõíüñôçóç (Ó b). f x exp x x (a) x Ó Þìá : (a) ÓõíÜñôçóç f(x) = a x ìå a = 1 3 ìðëå, a = 1 2 êüêêéíç êáìðýëç êáé (b) ç e x, üôáí x [ 3; 2]. (b) Óçìåßùóç Ç óõíüñôçóç e x ðïëëýò öïñýò óôéò åöáñìïãýò óõìâïëßæåôáé ìå exp(x) ËïãáñéèìéêÞ Áðïäåéêíýåôáé üôé éó ýåé ç ðáñáêüôù ðñüôáóç: Ðñüôáóç Ãéá êüèå èåôéêü ðñáãìáôéêü áñéèìü a ìå a 1 êáé êüèå y R ìå y > 0, õðüñ åé áêñéâþò Ýíáò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò x, Ýôóé þóôå a x = y. Ïñéóìüò Ï ìïíïóþìáíôá ïñéóìýíïò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò y ãéá ôïí ïðïßïí éó ýåé a y = x üðïõ a > 0 ìå a 1 êáé x > 0 ëýãåôáé ëïãüñéèìïò ôïõ x ìå âüóç a êáé óõìâïëßæåôáé ìå log a x. 3ÂëÝðå ÌÜèçìá ÓåéñÝò - Áêïëïõèßåò.
23 ÐáñáôçñÞóåéò Ðñïöáíþò D = (0; + ), åíþ T = R. Êáôçãïñßåò óõíáñôþóåùí 119 Ç óõíüñôçóç log a x åßíáé ç áíôßóôñïöç ôçò a x. ÅéäéêÜ, üôáí a = e, ïñßæåôáé ï öõóéêüò Þ íåðýñéïò ëïãüñéèìïò, ðïõ óõìâïëßæåôáé óõíþèùò ìå ln x (Ó b). Éäéüôçôåò Ðñïöáíþò ôüôå éó ýåé ç ôáõôüôçôá a x = e x ln a : ( ) ¼ôáí a = 10, ïñßæåôáé ï äåêáäéêüò ëïãüñéèìïò, ðïõ óõìâïëßæåôáé ìå ëïãx Þ log 10 x. óôù a > 0 ìå a 1 êáé x; y > 0. Ôüôå: ( ) i) a log a x x = x v) log a = log y a x log a y, ii) log a x = log a y x = y vi) log a x b = b log a x; b R, iii) log a 1 = 0, log a a = 1 vii) log a x > log a y x > y ; a > 1 iv) log a (xy) = log a x + log a y,. x < y ; a < 1 ìåóç óõíýðåéá ôùí éäéïôþôùí iv, v êáé vi åßíáé üôé, áí xy > 0, ôüôå: viii) log a (xy) = log a x + log a y, ( ) x ix) log a = log y a x log a y, x) log a x = log a x; üôáí x > 0 = 1; 2; : : : ; xi) Éó ýåé ï ðáñáêüôù ôýðïò áëëáãþò âüóçò: log b x = log a x : ( ) log a b
24 120 ÐñáãìáôéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ìïíïôïíßá Óýìöùíá ìå ôï Èåþñçìá , üôáí a) 0 < a < 1, ç óõíüñôçóç åßíáé ãíþóéá öèßíïõóá (Ó a), b) a > 1, åßíáé ãíþóéá áýîïõóá (Ó b). f x x (a) ln x x (b) Ó Þìá : (a) ÓõíÜñôçóç f(x) = log a x ìå a = 1 3 ìðëå, a = 1 2 êüêêéíç êáìðýëç êáé (b) ç ln x, üôáí x (0; 10] ÕðåñâïëéêÝò 4 Ïé õðåñâïëéêýò óõíáñôþóåéò (hyperbolic functions) ïñßæïíôáé âüóåé ôùí óõíáñôþóåùí e x êáé e x. ñçóéìïðïéïýíôáé óôçí ðåñéãñáöþ ðïëëþí öõóéêþí öáéíïìýíùí, ðïõ áíáöýñïíôáé óôçí çëåêôñïìáãíçôéêþ èåùñßá, ôç ìåôáöïñü èåñìüôçôáò, ôéò êõìáôïìïñöýò soliton ê.ëð. Ïé óõíáñôþóåéò áõôýò åßíáé: Õðåñâïëéêü çìßôïíï sinh x = 1 2 Õðåñâïëéêü óõíçìßôïíï ( e x e x) R (Ó. 3:3:8 1a): ( ) cosh x = 2 ( e x + e x) R (Ó. 3:3:8 1b): ( ) 4Ãéá åöáñìïãýò âëýðå Á. ÌðñÜôóïò [1].
25 ÕðåñâïëéêÞ åöáðôïìýíç Êáôçãïñßåò óõíáñôþóåùí 121 tanh x = ex e x e x R (Ó. 3:3:8 2a): ( ) + e x ÕðåñâïëéêÞ óõíåöáðôïìýíç coth x = ex + e x e x R {0} (Ó. 3:3:8 2b): ( ) e x cosh x sinh x x (a) x Ó Þìá : (a) ÓõíÜñôçóç sinh x êáé (b) cosh x, üôáí x [ ; ]. (b) tanh x x (a) coth x x 2 4 (b) Ó Þìá : (a) ÓõíÜñôçóç tanh x êáé (b) coth x, üôáí x [ ; ] ÕðåñâáôéêÝò Ïé óõíáñôþóåéò ôçò êáôçãïñßáò áõôþò äåí åðáëçèåýïõí êáìßá áëãåâñéêþ åîßóùóç êáé ç áíáëõôéêþ Ýêöñáóç åðéôõã Üíåôáé ìå áðåñéüñéóôá ìåãüëï áñéèìü áëãåâñéêþí
26 122 ÐñáãìáôéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò üñùí. Åßíáé ðñïöáíýò üôé ç åêèåôéêþ, ïé ôñéãùíïìåôñéêýò, ïé õðåñâïëéêýò êáé ïé áíôßóôñïöýò ôùí óõíáñôþóåéò åßíáé õðåñâáôéêýò. ÁóêÞóåéò 1. Íá õðïëïãéóôåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôùí ðáñáêüôù óõíáñôþóåùí f(x): i) x 2 5x + 4 vii) ln ( x 2 x 2 ) x ii) tan(sin 2x) viii) cosh x + 1 iii) x x + 3 ix) iv) sin 1 3x x) coth x 1 x x v) xi) (x + 1) 1=x (x 2)(x + 5) ( ) sin x x vi) tan 1 5x xii). x 2. óôù ç óõíüñôçóç f(x) = ln(sin x): 3x 2 + 4x 5 x x 2 54 Íá õðïëïãéóôïýí ôá ðåäßá ïñéóìïý, ôéìþí êáé íá ãßíåé ôï äéüãñáììü ôçò. 3. ¼ìïéá ôçò óõíüñôçóçò ( f(x) = ln cos x ) : 2 4. Äåßîôå üôé: i) cosh 2 x sinh 2 x = 1, ii) sinh( x) = sinh x, cosh( x) = cosh x, tanh( x) = tanh x, iii) sinh(x ± y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y, iv) cosh(x ± y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y, v) tanh(x ± y) = tanh x ± tanh y 1 ± tanh x tanh y :
27 Êáôçãïñßåò óõíáñôþóåùí Äåßîôå üôé ïé áíôßóôñïöåò óõíáñôþóåéò ôùí õðåñâïëéêþí óõíáñôþóåùí äßíïíôáé áðü ôïõò ôýðïõò: ( sinh 1 x = ln x + ) x cosh 1 x = tanh 1 x = 1 2 ln 1 + x 1 x coth 1 x = 1 2 ln x + 1 x 1 : cosh 1 + (x x = ln + ) x 2 1 cosh 1 (x x = ln ) x 2 1 (äßôéìç óõíüñôçóç) Óå êüèå ðåñßðôùóç íá õðïëïãéóôåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôùí êáé âüóåé áõôïý ôï ðåäßï ôéìþí ôùí õðåñâïëéêþí óõíáñôþóåùí. 6. Íá åîåôáóôåß áí åßíáé ðåñéïäéêýò ïé ðáñáêüôù óõíáñôþóåéò f(x): i) sin 3x ii) sin x iii) sin ùx íá iv) cos ùx v) cos x 2 vi) tan 2x, õðïëïãéóôåß ç èåìåëéþäçò ðåñßïäïò T êáé íá ãßíåé ôï äéüãñáììá ãéá ôéò ðåñéïäéêýò áðü áõôýò óôç èåìåëéþäç ðåñßïäï. 7. Íá ãßíåé ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôùí ðáñáêüôù ðåñéïäéêþí óõíáñôþóåùí, üôáí ï ðåñéïñéóìüò ôïõò óôç èåìåëéþäç ðåñßïäï åßíáé: i) f(t) = e t áí 0 t <, ii) f(t) = 4 2 t 2 áí 0 t < 2, t áí t < 0 iii) f(t) = 0 áí 0 t < ; t 2 áí =2 t < 0 iv) f(t) = 0 áí 0 t < =2; v) f(t) = sin t
28 124 ÐñáãìáôéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò + t áí t < 0 vi) f(t) = t áí 0 t < : 8. Íá äåé èåß üôé, áí ìßá óõíüñôçóç f(t) åßíáé ðåñéïäéêþ ìå èåìåëéþäç ðåñßïäï T, ôüôå i) f(t) = f(t + kt ), üôáí k Z, ii) ç f(kt) ìå k 0 åßíáé üìïéá ðåñéïäéêþ ìå èåìåëéþäç ðåñßïäï T=k. 9. Áí ïé óõíáñôþóåéò f, g åßíáé ðåñéïäéêýò ìå ðåñßïäï ô, ôüôå êáé ç óõíüñôçóç h = kf + ëg üðïõ k; ë R åßíáé üìïéá ðåñéïäéêþ. ÁðáíôÞóåéò 1. (i) ÐñÝðåé x 2 5x + 4 0, ïðüôå D = ( ; 1] [4; + ). (ii) D = R. (iii) D = R 3. (iv) D = [ 6 ; 6 ]. (v) ÐñÝðåé x 5; 2 êáé (1 x)(x 2)(x + 5) 0, ïðüôå ôåëéêü D = ( ; 5) [1; 2). (vi) D = ( 10 ; 10 ). (vii) ÐñÝðåé x 2 x 2 > 0, äçëáäþ D = ( ; 1) (2; + ). (viii) ÐñÝðåé x 1 êáé x(x + 1) 0, ïðüôå ôåëéêü D = ( ; 1) [1; + ) (ix) Ï ðáñïíïìáóôþò åßíáé äéüöïñïò ôïõ ìçäåíüò, åíþ ï áñéèìçôþò ïñßæåôáé ãéá êüèå x R. ñá ôåëéêü ðñýðåé x êáé 2x , äçëáäþ ìåôü ôç óõíáëþèåõóç ôùí áíéóïôþôùí D = ( ; 27] [ 27; + ). (x) D = R ±1. (xi) ÐñÝðåé x + 1 > 0 êáé x 0, ïðüôå D = ( 1; 0) (0; + ). (xii) ÐñÝðåé x sin x > 0 êáé x 0. ñá D = (2k; (2k + 1)) ìå k = 0; 2; : : : : 2. ÐñÝðåé sin x > 0, ïðüôå D = (2k; (2k + 1)) ìå k = 0; 2; : : : : 3. ÐñÝðåé cos x 2 > 0, ïðüôå D = ( 2k 4 ; 2k + 4 ) ìå k = 0; 2; : : : : 4. ÁíôéêáôÜóôáóç óýìöùíá ìå ôïõò ôýðïõò (3:3:8 1) - (3:3:8 4). 5. óôù tanh x = y = ex e x e x + e x = ex 1 e x e x + 1 e x = e 2x 1 e 2x + 1 ; ïðüôå ìå 1 y 0 ôåëéêü (1 y)e 2x = 1 + y), äçëáäþ e 2x = 1+y 1 y êáé ëïãáñéèìßæïíôáò ôåëéêü ç áðïäåéêôýá. 6. ÅöáñìïãÞ ôçò ó Ýóçò (3:2:3 1). 7. Äßíïíôáé ïé åíôïëýò ìå ôï MATHEMATICA: (i) (iii) Plot[Ex[[-t], {t, 0, Pi}, PlotStyle -> Thick, ColorFunction -> Function[Red], AxesLabel -> {x, "Ex[-t]"}, BaseStyle -> {FontFamily -> "Arial", FontSize -> 14}, AxesOrigin -> {0, 0}]
29 Êáôçãïñßåò óõíáñôþóåùí 125 Plot[Piecewise[{{t, -Pi < t < }, {0, 0< t < Pi}}], {t, 0, 2 Pi}, PlotStyle -> Thick, ColorFunction -> Function[Blue], AxesLabel -> {t, "f(t)"}, BaseStyle -> {FontFamily -> "Arial", FontSize -> 14}] êáé áíüëïãá ïé õðüëïéðåò. 8. ÅöáñìïãÞ ôïõ Ïñéóìïý ¼ìïéá.
30
31 3.4 Âéâëéïãñáößá [1] ÌðñÜôóïò, Á. (2011). ÅöáñìïóìÝíá ÌáèçìáôéêÜ. Åêäüóåéò Á. Óôáìïýëç. ISBN 978{960{351{874{7. [2] ÌðñÜôóïò, Á. (2002). Áíþôåñá ÌáèçìáôéêÜ. Åêäüóåéò Á. Óôáìïýëç. ISBN 960{351{453{5/978{960{351{453{4. [3] Finney, R. L. & Giordano F. R. (2004). Áðåéñïóôéêüò Ëïãéóìüò ÉÉ. ÐáíåðéóôçìéáêÝò Åêäüóåéò ÊñÞôçò. ISBN 978{960{524{184{1. [4] Spiegel, M. & Wrede, R. (2006). Áíþôåñá ÌáèçìáôéêÜ. Åêäüóåéò Ôæéüëá. ISBN 960{418{087{8. Âéâëéïãñáößá ãéá ðåñáéôýñù ìåëýôç ÐáðáäçìçôñÜêçò, Ì. (2015). ÁíÜëõóç: ÐñáãìáôéêÝò ÓõíáñôÞóåéò ìéáò ÌåôáâëçôÞò http : ==f ourier:math:uoc:gr= papadim=analysis n:pdf ÐáíåðéóôÞìéï ÊñÞôçò: ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí. ÌáèçìáôéêÝò âüóåéò äåäïìýíùí èýóç ããñáöá Page
32 128 ÐñáãìáôéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 5 ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 5.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé âáóéêüôåñåò Ýííïéåò ôùí ìéãáäéêþí óõíáñôþóåùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá ôïõ ìáèþìáôïò
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ. 8.1 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß
ÌÜèçìá 8 ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÏñéáêÞ ôéìþ óõíüñôçóçò, äßíïíôáé ðåñéëçðôéêü ïé âáóéêüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ðïõ áíáöýñïíôáé óôç óõíý åéá ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò, åíþ ï
Διαβάστε περισσότεραÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ
ÌÜèçìá 7 ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèåß ç Ýííïéá ôïõ ïñßïõ ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìå ôñüðï ðñïóáñìïóìýíï óôéò áðáéôþóåéò ôùí äéáöüñùí åöáñìïãþí, ðïõ áðáéôïýíôáé óôçí åðéóôþìç ôïõ.
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÐáñÜãïõóá óõíüñôçóç
ÌÜèçìá 0 ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ 0. ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé êáíüíåò ïëïêëþñùóçò, ðïõ êýñéá åìöáíßæïíôáé óôéò ôå íïëïãéêýò åöáñìïãýò. Äéåõêñéíßæåôáé üôé áêïëïõèþíôáò ìßá áõóôçñü
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÁ FOURIER. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò
ÌÜèçìá 13 ÓÅÉÑÁ FOURIER 13.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Ïé ðåñéïäéêýò óõíáñôþóåéò óõíáíôþíôáé óõ íü óå äéüöïñá ðñïâëþìáôá åöáñìïãþí. Ç ðñïóðüèåéá íá åêöñáóôïýí ïé óõíáñôþóåéò áõôýò ìå üñïõò áðëþí ðåñéïäéêþí óõíáñôþóåùí,
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ)
44 ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) Óå äéüöïñåò öõóéêýò åöáñìïãýò õðüñ ïõí ìåãýèç ôá ïðïßá ìðïñïýí íá áñáêôçñéóèïýí ìüíï ìå Ýíá áñéèìü. ÔÝôïéá ìåãýèç, üðùò ãéá ðáñüäåéãìá, ç èåñìïêñáóßá
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 12: Αόριστο Ολοκλήρωμα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα : Αόριστο Ολοκλήρωμα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραSPLINES. ÌÜèçìá ÓõíÜñôçóç spline Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá
ÌÜèçìá 4 SPLINES 4.1 ÓõíÜñôçóç spline 4.1.1 Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôùí ðïëõùíýìùí ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ðïëõùíýìùí ðïõ óõíýðéðôáí
Διαβάστε περισσότερα( ) ξî τέτοιο, + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) h x =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ
. Äßíåôáé ç óõíüñôçóç : [, + ) R óõíå Þò óôï äéüóôçìá [,+ ) êáé ðáñáãùãßóéìç óôï äéüóôçìá (,+ ), ãéá ôçí ïðïßá éó ýåé ( ) = α. óôù üôé õðüñ åé κî R, þóôå íá éó ýåé ( ) κ ãéá êüèå Î (,+ ). Íá äåßîåôå üôé
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôï óôïé åßï âñßóêåôáé óå êüðïéá áðü ôéò
Διαβάστε περισσότεραÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 17 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 17.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 17.1.1 Ïñéóìüò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò 1 Õðåíèõìßæåôáé ï ïñéóìüò ôçò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò, ðïõ ãéá åõêïëßá óôç
Διαβάστε περισσότεραÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ
ÌÜèçìá 18 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ 18.1 ÅéóáãùãÞ 1 Óôï ìüèçìá áõôü äßíïíôáé ïé âáóéêýò Ýííïéåò ôïõ Äéáíõóìáôéêïý Äéáöïñéêïý Ëïãéóìïý, ðïõ åßíáé ó åôéêýò ìå ôéò âáèìùôýò Þ ôéò äéáíõóìáôéêýò óõíáñôþóåéò
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÅÓ. ÌÜèçìá Áêïëïõèßåò áñéèìþí Ïñéóìüò áêïëïõèßáò
ÌÜèçìá 2 ÓÅÉÑÅÓ 2. Áêïëïõèßåò áñéèìþí Êñßíåôáé óêüðéìï íá äïèåß ðåñéëçðôéêü ðñéí áðü ôç ìåëýôç ôùí óåéñþí ç Ýííïéá ôçò áêïëïõèßáò áñéèìþí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôá Üñôéá óôïé åßá êáôáëáìâüíïõí ôéò ôåëåõôáßåò
Διαβάστε περισσότερα3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x. (iv) f(x, y, z) = sin x 2 + y 2 + 3z Íá âñåèïýí ôá üñéá (áí õðüñ ïõí): lim
3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x (i) f(x, y) = sin 1 2 (x + y) (ii) f(x, y) = y 2 + 3 (iii) f(x, y, z) = 25 x 2 y 2 z 2 (iv) f(x, y, z) = z +ln(1 x 2 y 2 ) 3.2 (i) óôù f(x, y, z) =
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ. 3.1 ÅéóáãùãÞ
28 ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ 3.1 ÅéóáãùãÞ Ãéá êüèå ôåôñáãùíéêü ðßíáêá A áíôéóôïé åß Ýíáò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò ï ïðïßïò êáëåßôáé ïñßæïõóá êáé óõíþèùò óõìâïëßæåôáé ìå A Þ det(a). ÌåôáèÝóåéò: Ìéá áðåéêüíéóç ôïõ
Διαβάστε περισσότεραÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ
ÌÜèçìá 5 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ 5.1 ÄéáêñéôÞ ðñïóýããéóç 5.1.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôïõ ðïëõùíýìïõ ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ôïõ ðïëõùíýìïõ ðïõ
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ. 5.1 ÅéóáãùãÞ. 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ
55 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ 5.1 ÅéóáãùãÞ Ïñéóìüò: íá óýíïëï V êáëåßôáé äéáíõóìáôéêüò þñïò Þ ãñáììéêüò þñïò ðüíù óôïí IR áí (á) ôï V åßíáé êëåéóôü ùò ðñïò ôç ðñüóèåóç,
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
Διαβάστε περισσότεραÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ
ÌÜèçìá 3 ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ 3.1 ÅéóáãùãÞ Åßíáé ãíùóôü üôé óôá äéüöïñá ðñïâëþìáôá ôùí åöáñìïãþí ôéò ðåñéóóüôåñåò öïñýò ðáñïõóéüæïíôáé óõíáñôþóåéò ðïõ ðåñéãñüöïíôáé áðü ðïëýðëïêïõò ôýðïõò, äçëáäþ ôýðïõò
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ
ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÅéóáãùãÞ 1Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ôçò åßíáé áäýíáôïò ï èåùñçôéêüò õðïëïãéóìüò
Διαβάστε περισσότεραÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
ÌÜèçìá 8 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 8.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Åßíáé Þäç ãíùóôü óôïí áíáãíþóôç üôé ç åðßëõóç ôùí ðåñéóóüôåñùí ðñïâëçìüôùí ôùí èåôéêþí åðéóôçìþí ïäçãåß óôç ëýóç ìéáò äéáöïñéêþò
Διαβάστε περισσότερα16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò.
55 16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò. A ÌÝñïò 1. Íá êáôáóêåõüóåéò óôï Function Probe ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò y=çìx. Óôïí ïñéæüíôéï Üîïíá íá ïñßóåéò êëßìáêá áðü ôï -4ð
Διαβάστε περισσότεραÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí ñþóôïò ÊïíáîÞò, A.M. 200416 ìðë 30-06-2005 óêçóç 1. óôù R N n ; n 1. ËÝìå üôé ç R åßíáé "áñéèìçôéêþ" áí õðüñ åé ôýðïò ö(x 1 ; : : : ; x n ) ôçò Ã1 èá ôýôïéïò ðïõ
Διαβάστε περισσότερα2.4 ñçóéìïðïéþíôáò ôïí êáíüíá áëõóßäáò íá âñåèåß ç dr
2.1 i) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = 2 + t)i + 1 2t)j + 3tk ôýìíåé ôï åðßðåäï xz. ii) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = ti + 1 + 2t)j 3tk ôýìíåé
Διαβάστε περισσότεραÁóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí
Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí Çëßáò Ê. Óôáõñüðïõëïò Ïêôþâñéïò 006 1 Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß ÎåêéíÜìå äéáôõðþíïíôáò ôïõò ïñéóìïýò ôùí ðýíôå ãíùóôþí áóõìðôùôéêþí óõìâïëéóìþí: Ïñéóìüò
Διαβάστε περισσότεραå) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ.
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ ÃÅÍÉÊÇÓ ÐÁÉÄÅÉÁÓ Ã ËÕÊÅÉÏÕ È Å Ì Á 1 ï 3 ï Ä É Á Ã Ù Í É Ó Ì Á á êéçôü êéåßôáé ðüù óôï Üîïá x~x. Ç èýóç ôïõ êüèå ñïéêþ óôéãìþ t äßåôáé áðü ôç 3 óõüñôçóç x(t) = t 1t + 60t + 1, üðïõ ôï t ìåôñéýôáé
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
Διαβάστε περισσότεραÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Âáóéêïß ïñéóìïß
ÌÜèçìá 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ôá êõñéüôåñá óôïé åßá ôùí äéáíõóìüôùí, ðïõ åßíáé áðáñáßôçôá ãéá ôçí êáôáíüçóç ôùí åðüìåíùí ìáèçìüôùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá ðëçñýóôåñç
Διαβάστε περισσότεραEstimation Theory Exercises*
Estimation Theory Exercises* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@math.uoa.gr December 22, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô. ÐáðáúùÜííïõ, ôéò óçìåéþóåéò
Διαβάστε περισσότεραÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ
ÌÜèçìá 9 ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ 9. ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá 9.. ÅéóáãùãÞ Ãéá ôçí êáëýôåñç êáôáíüçóç ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ìéáò óõíüñôçóçò äýï ìåôáâëçôþí, äçëáäþ ôïõ äéðëïý ïëïêëçñþìáôïò, êñßíåôáé áðáñáßôçôï
Διαβάστε περισσότεραÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ
ÌÜèçìá 7 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ ÅéóáãùãÞ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÐñïóÝããéóç Ðáñáãþãùí, ç ðñïóåããéóôéêþ ôéìþ ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò, üôáí I(f) = f(x) dx i) ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò
Διαβάστε περισσότερα3.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ
.1 Ç Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò 55.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò Åñþ ôçóç 1 Ôé ëýãåôáé óõíüñôçóç; ÁðÜíôçóç Ç ó Ýóç åêåßíç ðïõ êüèå ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò x, áíôéóôïé ßæåôáé óå ìéá ìüíï ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò y ëýãåôáé
Διαβάστε περισσότεραÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò
ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò Áíôþíçò Ïéêïíüìïõ aeconom@math.uoa.gr ÌáÀïõ óêçóç (Ross, Exer. 4.8) Áí E[X] êáé V ar[x] 5 íá âñåßôå. E[( + X) ],. V ar[4 + X]. óêçóç (Ross, Exer. 4.64)
Διαβάστε περισσότεραÌáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò
50. Βήµα ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις ã) Ùò ðñïò ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí, áí êáé ìüíï áí Ý ïõí áíôßèåôåò óõíôåôáãìýíåò. ÄçëáäÞ: á = á êáé â = â ÂÞìá Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò ä) Ùò ðñïò ôç äé ïôüìï ôçò çò êáé
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â
ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â 464 ÅÊÙÓ 000 - Ó ÏËÉÁ ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ Â.1 ÁÓÕÌÌÅÔÑÏ ÓÕÓÔÇÌÁ Η N / ( 0. + 0.1 η) 0.6 ν ν, η 3, η > 3...
Διαβάστε περισσότεραÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ
ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé óôéò ðáñáêüôù êõñßùò ðåñéðôþóåéò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ìéáò óõíüñôçóçò åßíáé áäýíáôïò
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 6: Προσέγγιση παραγώγων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÓ ÅÄÉÁÓÌÏÓ - ÊÁÔÁÓÊÅÕÇ ÓÔÏÌÉÙÍ & ÅÉÄÉÊÙÍ ÅÎÁÑÔÇÌÁÔÙÍ ÊËÉÌÁÔÉÓÌÏÕ V X
V X A B+24 AEROGRAMÌI Ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò Å öáßíïíôáé óôï ðáñáêüôù ó Þìá. Áíôßóôïé á, ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò ÂÔ öáßíïíôáé óôï Ó Þìá Å. Ãéá ôïí ðñïóäéïñéóìü ôçò ðáñáããåëßáò
Διαβάστε περισσότεραÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
ÌÜèçìá 1 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 11 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 111 Ïñéóìïß Êñßíåôáé áñ éêü áðáñáßôçôï íá ãßíåé óôïí áíáãíþóôç õðåíèýìéóç ôùí ðáñáêüôù âáóéêþí ìáèçìáôéêþí åííïéþí: Ïñéóìüò 111-1 (åîßóùóçò) ËÝãåôáé
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 7: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότερα1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) 2. Íá âñåèåß ç ãåíéêþ ëýóç ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò (15 ìïí.)
ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Ìç áíïëïãßáò ÌáèçìáôéêÜ ÉI, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 24/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) (3x 2 + 6xy 2 )dx + (6x 2 y + 4y 3 )dy = 2. Íá
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 11: Προσέγγιση μερικών διαφορικών εξισώσεων - Παραβολικές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Διαβάστε περισσότεραΣχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αναδρομικές Συναρτήσεις.
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματική Λογική Αναδρομικές Συναρτήσεις Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 8: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ
66 ÊåöÜëáéï 3 ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 3.1 ÅéóáãùãÞ óôù üôé S åßíáé Ýíá óýíïëï áðü óçìåßá óôïí n äéüóôáôï þñï. Ìéá óõíüñôçóç (ðïõ ïñßæåôáé óôï S) åßíáé ìéá ó Ýóç ç ïðïßá ó åôßæåé êüèå óôïé åßï ôïõ
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT
ÊåöÜëáéï 7 ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT 7. Áêïëïõèßåò ¼ðùò êáé ãéá ôïõò ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò, ìéá (Üðåéñç) áêïëïõèßá ìðïñåß íá èåùñçèåß ùò óõíüñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý ôïõò èåôéêïýò áêýñáéïõò. ÄçëáäÞ, ìéá
Διαβάστε περισσότερα[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.
ÐÁÑÁÑÔÇÌÁÔÁ 76 77 ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ f( (Á. üôáí ãéá êüèå êáíïíéêü ïñèïãþíéï ôáíõóôþ Q éó
Διαβάστε περισσότεραÅîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý
algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 00 7 Åîéóþóåéò ïõ âáèìïý Ç åîßóùóç áx + â = 0 áx = â (ìå á 0) (ìå á = â = 0) â Ý åé áêñéâþò ìßá ëýóç, ôç x =. á áëçèåýåé ãéá êüèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x (ôáõôüôçôá
Διαβάστε περισσότερα1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï
ÊåöÜëáéï 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï óôù ç ôñéüäá (a, b, c). Ôï óýíïëï ôùí ôñéüäùí êáëåßôáé 3-äéÜóôáôïò þñïò êáé óõìâïëßæåôáé ìå IR 3. Åéäéêüôåñá ç ôñéüäá (a, b, c) ïñßæåé
Διαβάστε περισσότεραChi-Square Goodness-of-Fit Test*
Chi-Square Goodness-of-Fit Test* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@mathuoagr February 6, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô ÐáðáúùÜííïõ êáé ôá âéâëßá
Διαβάστε περισσότερα1. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï
5. ÐÑÏÏÄÏÉ 7 5. ÁñéèìçôéêÞ ðñüïäïò Á ÏìÜäá. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = 7 êáé äéáöïñü ù = 3. Óõíåðþò
Διαβάστε περισσότεραΣυντακτική ανάλυση. Μεταγλωττιστές. (μέρος 3ον) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Συντακτική ανάλυση (μέρος 3ον) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ. Εικονογράφηση ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ Εικονογράφηση ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Ï ðéï ìåãüëïò êáé ï ðéï óçìáíôéêüò ðáéäáãùãéêüò êáíüíáò äåí åßíáé ôï íá
Διαβάστε περισσότεραÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí
165 KåöÜëáéï 8 ÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí 1. Ïñéóìüò êáé óõíý åéá óõíáñôþóåùò ðåñéóóïôýñùí ìåôáâëçôþí * ÌåôñéêÝò óå ìåôñéêïýò þñïõò Åðß ôïõ Rïñßæïõìå ôçí ìåôñéêþ d(, = - 1 1 Åðß ôïõ R ïñßæïõìå ôéò åðüìåíåò
Διαβάστε περισσότεραΠροτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ
Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης 2o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ 1.1. ÓùóôÞ áðüíôçóç åßíáé ç Ä. ΘΕΜΑ 1ο 1.2. ñçóéìïðïéïýìå ôçí êáôáíïìþ ôùí çëåêôñïíßùí óå áôïìéêü ôñï éáêü óýìöùíá
Διαβάστε περισσότεραÓõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò
Óõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò Áããåëßíá ÂéäÜëç åðéâëýðùí êáèçãçôþò: ÃéÜííçò Ìïó ïâüêçò Q 13 Éïõíßïõ, 2009 ÄïìÞ äéðëùìáôéêþò åñãáóßáò 1o êåö. ÅéóáãùãÞ óôá óõíå Þ êëüóìáôá 2ï êåö. Ëßãç
Διαβάστε περισσότεραCel animation. ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí
ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí Cel animation Ç ôå íéêþ áõôþ óõíßóôáôáé óôçí êáôáóêåõþ ðïëëþí ó åäßùí ðïõ äéáöýñïõí ìåôáîý ôïõò óå óõãêåêñéìýíá óçìåßá. Ôá ó Ýäéá áõôü åíáëëüóóïíôáé ôï Ýíá ìåôü ôï Üëëï äßíïíôáò ôçí
Διαβάστε περισσότεραÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÐÅËÏÐÏÍÍÇÓÏÕ ÁÊÁÄÇÌÁÚÊÏ ÅÔÏÓ ÔÑÉÐÏËÇ
ÁÊÁÄÇÌÁÚÊÏ ÅÔÏÓ 2002-2003 ÔÑÉÐÏËÇ ÌÁÈÇÌÁ ÃÑÁÌÌÉÊÇ ÁËÃÅÂÑÁ ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÌÅÑÏÓ É ÃÉÙÑÃÏÓ ÐÁÍÏÐÏÕËÏÓ ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÏÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÃÑÁÌÌÉÊÇÓ ÁËÃÅÂÑÁÓ 1. ÐÉÍÁÊÅÓ 1. Ó åäéüóôå ôçí åéêüíá ôùí ãñáììþí ãéá ôéò äýï åîéóþóåéò,
Διαβάστε περισσότεραÐÉÍÁÊÅÓ ÔÉÌÙÍ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÙÍ ÁÎÉÙÍ
ÕÐÏÕÑÃÅÉÏ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ÏÉÊÏÍÏÌÉÊÙÍ ÃÅÍÉÊÇ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÄÇÌÏÓÉÁÓ ÐÅÑÉÏÕÓÉÁÓ & ÅÈÍÉÊÙÍ ÊËÇÑÏÄÏÔÇÌÁÔÙÍ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÔÅ ÍÉÊÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ & ÓÔÅÃÁÓÇÓ ÔÌÇÌÁ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÏÕ ÐÑÏÓÄÉÏÑÉÓÌÏÕ ÖÏÑÏËÏÃÇÔÅÁÓ ÁÎÉÁÓ ÁÊÉÍÇÔÙÍ
Διαβάστε περισσότερα10. ÃÑÁÖÉÊÅÓ ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÉÓ Ðùò êáôáóêåõüæïõìå ìéá ãñáöéêþ ðáñüóôáóç
0. ÃÑÁÖÉÊÅÓ ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÉÓ 0. Ðùò êáôáóêåõüæïõìå ìéá ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ÊáôÜ ôç ìåëýôç åíüò öáéíïìýíïõ óôï åñãáóôþñéï êáôáãñüöïõìå ôá áðïôåëýóìáôá ôùí ðáñáôçñþóåùí êáé ôùí ìåôñþóåþí ìáò óå ðßíáêåò. Ïé ðßíáêåò
Διαβάστε περισσότεραÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò
ÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò Ç åðßëõóç áíáäñïìéêþí åîéóþóåùí åßíáé Ýíá áðïëýôùò áðáñáßôçôï åñãáëåßï ãéá ôçí åýñåóç åêöñüóåùí ðïõ ðåñéãñüöïõí ôçí ðïëõðëïêüôçôá ðïëëþí áëëü êáé âáóéêþí áëãïñßèìùí. Ãåíéêþò,
Διαβάστε περισσότεραÌÜèçìá 10ï: ÁËÃÏÑÉÈÌÏÉ ÄÅÍÄÑÙÍ
ÌÜèçìá 0ï: ÁËÃÏÑÉÈÌÏÉ ÄÅÍÄÑÙÍ Ç ðëçèþñá ôùí äåíäñéêþí äïìþí åßíáé ãíùóôþ áðü ôï ìüèçìá ôùí Äïìþí ÄåäïìÝíùí. Óôï ìüèçìá áõôü èá ðñïóåããßóïõìå êáé ðüëé ìåñéêýò äïìýò äýíäñùí ìå óêïðü ìßá ôõðéêüôåñç áíüëõóç
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 13: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 13: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραÁÓÊÇÓÅÉÓ ÓÔÏÕÓ ÌÉÃÁÄÉÊÏÕÓ ÁÑÉÈÌÏÕÓ.
ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÓÔÏÕÓ ÌÉÃÁÄÉÊÏÕÓ ÁÑÉÈÌÏÕÓ. ÄçìÞôñçò Ðáíáãüðïõëïò ÂáóéêÝò éäéüôçôåò - óõíáñôþóåéò - ôïðïëïãßá. ÅéóáãùãÞ óôïõò ìéãáäéêïýò óêçóç.. Íá ãñáöïýí óôç ìïñöþ a + bi ìå a; b R ïé áñéèìïß: (3 + 3i) + (4
Διαβάστε περισσότεραÍá èõìçèïýìå ôç èåùñßá...
ÇËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá....1 Ôé ïíïìüæïõìå çëåêôñéêü ðåäßï; Çëåêôñéêü ðåäßï ïíïìüæïõìå ôïí þñï ìýóá óôïí ïðïßï áí âñåèåß Ýíá çëåêôñéêü öïñôßï èá äå èåß äýíáìç. Ãéá íá åîåôüóïõìå áí óå êüðïéï
Διαβάστε περισσότεραΤυπικές Γλώσσες. Μεταγλωττιστές. (μέρος 1ο) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Τυπικές Γλώσσες (μέρος 1ο) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότερα¼ôáí Ýíáò ðáßêôçò ôïõ ìðüóêåô åðé åéñåß óïõô, ôüôå ç ôñï é Ü ôçò ìðüëáò åßíáé ðåñßðïõ ç áêüëïõèç: ÊÜèå óþìá, ôï ïðïßï åêôïîåýåôáé ðëüãéá ìå êüðïéá äýí
ÌåëÝôç ôçò óõíüñôçóçò f(x) = áx 2 +âx+ã Óýíôïìç ðåñéãñáöþ ôçò äñáóôçñéüôçôáò Ç ìåëýôç ôçò óõíüñôçóçò f(x) = áx 2 + â + ã åßíáé ìéá äñáóôçñéüôçôá ìýóù ôçò ïðïßáò ïé ìáèçôýò èá ìåëåôþóïõí ôç âáóéêþ éäéüôçôá
Διαβάστε περισσότεραB i o f l o n. Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí
B i o f l o n Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí Ç åôáéñåßá Aflex, ç ïðïßá éäñýèçêå ôï 1973, Þôáí ç ðñþôç ðïõ ó åäßáóå ôïí åýêáìðôï óùëþíá PTFE ãéá ôç ìåôáöïñü çìéêþí õãñþí ðñßí áðü 35 ñüíéá. Ï åëéêïåéäþò
Διαβάστε περισσότεραÐñïêýðôïõí ôá ðáñáêüôù äéáãñüììáôá.
ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ãéá Ýíá óþìá ðïõ åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëü ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç éó ýïõí ïé ôýðïé: õ=õ ï +á. t x=õ. ï t+ át. ÅÜí ôï óþìá îåêéíüåé áðü ôçí çñåìßá, äçëáäþ ç áñ éêþ ôá ýôçôá åßíáé õ ï =0, ôüôå ïé
Διαβάστε περισσότεραÁñéèìçôéêÞ ÁíÜëõóç É - ÓÅÌÖÅ Åñãáóßá 2 ìåóåò êáé åðáíáëçðôéêýò ìýèïäïé
ÁñéèìçôéêÞ ÁíÜëõóç É - ÓÅÌÖÅ Åñãáóßá 2 ìåóåò êáé åðáíáëçðôéêýò ìýèïäïé Íéêüëáò ÊÜñáëçò Á/Ì : 91442 ÔìÞìá 1ï 28 Óåðôåìâñßïõ, 26 1 ìåóåò ÌÝèïäïé 1.1 Åñþôçìá 1 ñçóéìïðïéþíôáò ôçí gauss.m êáé ôçí herm5.m,
Διαβάστε περισσότεραΣχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αποδεικτικό Σύστημα.
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματική Λογική Αποδεικτικό Σύστημα Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ. 27 Μαΐου (Εαρινό εξάμηνο 2002) ΚΑΝΟΝΕΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΣ
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΚΥΠΡΟΥ ΜΑΣ 121- ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 27 Μαΐου 2002 (Εαρινό εξάμηνο 2002) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΑΡ ΦΟΙΤΗΤΙΚΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΟΣ ΚΑΝΟΝΕΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΣ
Διαβάστε περισσότερα16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò
62 16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò Óýíôïìç ðåñéãñáöþ ôçò äñáóôçñéüôçôáò Óôç äñáóôçñéüôçôá áõôþ êáëïýíôáé ïé ìáèçôýò íá ìåëåôþóïõí ôéò óõíáñôþóåéò çìßôïíï (y=çìx) êáé
Διαβάστε περισσότεραÌÜèçìá 2ï: Èåùñçôéêü Õðüâáèñï
ÌÜèçìá 2ï: Èåùñçôéêü Õðüâáèñï Óôï ìüèçìá áõôü èá áó ïëçèïýìå ìå ôñßá áíôéêåßìåíá. Ðñþôïí, èá ðáñïõóéüóïõìå åðß ôñï Üäçí ìåñéêü âáóéêü ìáèçìáôéêü åñãáëåßá ðïõ åßíáé áðáñáßôçôá êáôü ôçí áíüëõóç ôùí áëãïñßèìùí.
Διαβάστε περισσότεραιαδικασία åãêáôüóôáóçò MS SQL Server, SingularLogic Accountant, SingularLogic Accountant Ìéóèïäïóßá
1.1 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí Express Ýêäïóç ôïõ SQL Server... 3 1.2 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí åãêáôüóôáóç... 3 2.1 ÅãêáôÜóôáóç Microsoft SQL Server 2008R2 Express Edition... 4 2.1 Åíåñãïðïßçóç ôïõ
Διαβάστε περισσότεραÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
30 ÊåöÜëáéï 2 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 2.1 ÅéóáãùãÞ ¼ðùò êáé óôïí IR 2, Ýôóé êáé óôïí IR 3 ìðïñïýìå íá ïñßóïõìå ìéá êáìðýëç ðáñáìåôñéêü. ÄçëáäÞ, íá Ý åé ôç ìïñöþ x = x(t), y = y(t), z = z(t), üðïõ t åßíáé
Διαβάστε περισσότερα3524 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ)
F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 3523 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 252 28 Öåâñïõáñßïõ 2002 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. 19306/Ã2 ÐñïãñÜììáôá Óðïõäþí Ôå íéêþí Åðáããåëìáôéêþí Åêðáéäåõôçñßùí (Ô.Å.Å.).
Διαβάστε περισσότερα1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç
1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç 7 1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç Åñþ ôçóç 1 Ðïéïé áñéèìïß ïíïìüæïíôáé öõóéêïß; Ðþò ôïõò óõìâïëßæïõìå êáé ðþò ùñßæïíôáé;
Διαβάστε περισσότερα6 s(s 1)(s 3) = A s + B. 3. Íá âñåèåß ï ìåô/ìüò Laplace ôùí ðáñáêüôù óõíáñôþóåùí
ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Çëåêôñïëïãßáò ÅöáñìïóìÝíá ÌáèçìáôéêÜ, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 22/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. (i Õðïëïãßóôå ôçí óåéñü Fourier S f (x ôçò óõíáñôþóåùò (18 ìïí. { ; < x f(x
Διαβάστε περισσότεραÜóêçóç 15. ÕëéêÜ - åîáñôþìáôá äéêôýïõ ðåðéåóìýíïõ áýñá êáé ðíåõìáôéêýò óõóêåõýò
ÕëéêÜ - åîáñôþìáôá äéêôýïõ ðåðéåóìýíïõ áýñá êáé ðíåõìáôéêýò óõóêåõýò Óôü ïé ôçò Üóêçóçò äéüñêåéá Üóêçóçò: 6 äéäáêôéêýò þñåò Óôï ôýëïò ôçò Üóêçóçò ïé ìáèçôýò èá åßíáé éêáíïß: é íá áíáãíùñßæïõí ôá åîáñôþìáôá
Διαβάστε περισσότεραÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ ÄÏÈÅÍÔÙÍ ÈÅÌÁÔÙÍ
ÐáíåðéóôÞìéï ÊñÞôçò, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí Èåùñßá Äáêôõëßùí êáé Modules (M ) ÅîÝôáóç Éïõíßïõ 010 ÅîåôáóôÞò: ÄçìÞôñéïò ÍôáÞò ÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ ÄÏÈÅÍÔÙÍ ÈÅÌÁÔÙÍ ÈÅÌÁ 1ï Âë. èåþñçìá.5.0 (óôéò óçìåéþóåéò). ÈÅÌÁ ï Âë.
Διαβάστε περισσότερα4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò
4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò Óôéò áóêþóåéò ìå åðßäñáóç óôç èýóç ìéáò éóïññïðßáò ãßíåôáé áíáöïñü óå ðåñéóóüôåñåò áðü ìßá èýóåéò éóïññïðßáò. Ïé èýóåéò éóïññïðßáò åßíáé äéáäï
Διαβάστε περισσότεραÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ÌÜèçìá: Óôï áóôéêýò Áíåëßîåéò Ðåñßïäïò: ÉáíïõÜñéïò, 2009
ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ÌÜèçìá: Óôï áóôéêýò Áíåëßîåéò Ðåñßïäïò: ÉáíïõÜñéïò, 2009 Ïíïìáôåðþíõìï : Á.Ì : ÈÝìá 1: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 2: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 3: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 4: Âáèìüò [ ] èñïéóìá
Διαβάστε περισσότεραÈåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò
Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email:
Διαβάστε περισσότεραΕΝ ΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ. 23 Νοεμβρίου (Χειμερινό εξάμηνο ) ΚΑΝΟΝΕΣ ΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΣ
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΚΥΠΡΟΥ ΜΑΣ 5 - ΘΕΩΡΙΑ ΟΜΑ ΩΝ ΕΝ ΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 3 Νοεμβρίου 00 (Χειμερινό εξάμηνο 00-003) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΑΡ. ΦΟΙΤΗΤΙΚΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΟΣ ΚΑΝΟΝΕΣ ΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΣ
Διαβάστε περισσότεραÖÅÊ 816 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) ÏÄÇÃÉÅÓ ÐÁ ÔÇ ÓÕÌÐËÇÑÙÓÇ ÔÇÓ ÁÉÔÇÓÇÓ ÅÃÊÅÊÑÉÌÅÍÏÕ ÁÐÏÈÇÊÅÕÔÇ Ï ÇÌÁÔÙÍ 1. ÇÌÅÑÏÌÇÍÉÁ: ÁíáãñÜöåô
11544 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) ÖÅÊ 816 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) 11545 ÏÄÇÃÉÅÓ ÐÁ ÔÇ ÓÕÌÐËÇÑÙÓÇ ÔÇÓ ÁÉÔÇÓÇÓ ÅÃÊÅÊÑÉÌÅÍÏÕ ÁÐÏÈÇÊÅÕÔÇ Ï ÇÌÁÔÙÍ 1. ÇÌÅÑÏÌÇÍÉÁ: ÁíáãñÜöåôáé
Διαβάστε περισσότεραUnion of Pure and Applied Chemistry).
.5 Ç ãëþóóá ôçò çìåßáò Ãñáö çìéêþí ôýðùí êáé åéóáãùã óôçí ïíïìáôïëïãßá ôùí áíüñãáíùí åíþóåùí..5.1 ÃåíéêÜ. Ç çìåßá Ý åé ôç äéê ôçò äéåèí ãëþóóá, ç ïðïßá êáèïñßæåôáé áðü êáíüíåò ðïõ Ý ïõí ðñïôáèåß êáé ðñïôåßíïíôáé
Διαβάστε περισσότεραB ÛÈÎ EÚÁ ÏÂ Î È M ıô ÔÈ ÁÈ ÙÔÓ ŒÏÂÁ Ô ÙË ÔÈfiÙËÙ
E π A π π ª π B ÛÈÎ EÚÁ ÏÂ Î È M ıô ÔÈ ÁÈ ÙÔÓ ŒÏÂÁ Ô ÙË ÔÈfiÙËÙ TfiÌÔ A' Iˆ ÓÓË KÔ ÙÚÔ ÏË Èı ÓfiÙËÙÂ Î È Ù ÙÈÛÙÈÎ I ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Σχολή Θετικών Επιστηµών και Τεχνολογίας Πρόγραµµα Σπουδών
Διαβάστε περισσότεραRamsey's Theory or something like that.
Ramsey's Theory or something like that. ÌÜñèá, ÄçìÞôñçò, ÓôÝöáíïò 30 Íïåìâñßïõ 2005 Complete disorder is impossible T.S.Motzikin 1 ÅéóáãùãÞ. To 1930 o Ramsey[10] äçìïóßåõóå Ýíá Üñèñï ðüíù óå Ýíá ðñüâëçìá
Διαβάστε περισσότεραËáíèÜíïõóá ÓçìáóéïëïãéêÞ ÁíÜëõóç
8 ËáíèÜíïõóá ÓçìáóéïëïãéêÞ ÁíÜëõóç Ðåñéå üìåíá Êåöáëáßïõ 8.1 ÅéóáãùãÞ......................... 162 8.2 ÂáóéêÝò ííïéåò ÃñáììéêÞò ëãåâñáò........ 163 8.2.1 Ðßíáêåò êáé Äéáíýóìáôá................ 163 8.2.2
Διαβάστε περισσότεραÅÑÃÁÓÉÁ ÃÉÁ ÔÏ ÌÁÈÇÌÁ: ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ. ÅðéìïñöùôÞò: Â. Á. ÄÏÕÃÁËÇÓ
Åðéìïñöùôéêü Ðñüãñáììá Ãéá ôïõò Åêðáéäåõôéêïýò-Ìáèçìáôéêïýò óôï Ìáèçìáôéêü ôìþìá ôïõ Ðáíåðéóôçìßïõ Áèçíþí êáôü ôçí ðåñßïäï Äåêåìâñßïõ 2000-Éïõíßïõ 200 ìå Õðåýèõíï ôïí êáèçãçôþ Ð. ÓôñÜíôæáëï ÅÑÃÁÓÉÁ ÃÉÁ
Διαβάστε περισσότερα