Προσομοίωση Τυρβωδών Ροών Φυσικής και Μικτής Συναγωγής σε Ηλιακά και Ενεργειακά Συστήματα

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ, ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ & ΑΕΡΟΝΑΥΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Διδακτορική Διατριβή Προσομοίωση Τυρβωδών Ροών Φυσικής και Μικτής Συναγωγής σε Ηλιακά και Ενεργειακά Συστήματα Καλούδης Ευστάθιος Φυσικός, Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Πάτρα 2014

2 ii Επιβλέπων Καθηγητής Πανίδης Θρασύβουλος, Αναπληρωτής Καθηγητής του Τμήματος Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών του Πανεπιστημίου Πατρών Μέλη Τριμελούς Συμβουλευτικής Επιτροπής Πανίδης Θρασύβουλος, Αναπληρωτής Καθηγητής του Τμήματος Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών του Πανεπιστημίου Πατρών Παπανικολάου Ηλίας, Ερευνητής Α' του Ινστιτούτου Πυρηνικών & Ραδιολογικών Επιστημών & Τεχνολογίας, Ενέργειας & Ασφάλειας (Ι.Π.Ρ.Ε.Τ.Ε.Α.) του ΕΚΕΦΕ 'Δημόκριτος' Αικατερινάρης Ιωάννης, Καθηγητής του Τμήματος Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών του Πανεπιστημίου Πατρών Επταμελής Εξεταστική Επιτροπή Αικατερινάρης Ιωάννης, Καθηγητής του Τμήματος Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών του Πανεπιστημίου Πατρών Γρηγοριάδης Δημοκράτης, Λέκτορας του Τμήματος Τμήμα Μηχανικών Μηχανολογίας και Κατασκευαστικής του Πανεπιστημίου Κύπρου Καούρης Ιωάννης, Αναπληρωτής Καθηγητής του Τμήματος Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών του Πανεπιστημίου Πατρών Μάργαρης Διονύσιος, Αναπληρωτής Καθηγητής του Τμήματος Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών του Πανεπιστημίου Πατρών Μπελεσιώτης Βασίλειος, Διευθυντής ερευνών του Εργαστηρίου Ηλιακών και Άλλων Ενεργειακών Συστημάτων του Ινστιτούτου Πυρηνικών & Ραδιολογικών Επιστημών & Τεχνολογίας, Ενέργειας & Ασφάλειας (Ι.Π.Ρ.Ε.Τ.Ε.Α.) του ΕΚΕΦΕ "Δημόκριτος" Πανίδης Θρασύβουλος, Αναπληρωτής Καθηγητής του Τμήματος Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών του Πανεπιστημίου Πατρών Παπανικολάου Ηλίας, Ερευνητής Α' του Ινστιτούτου Πυρηνικών & Ραδιολογικών Επιστημών & Τεχνολογίας, Ενέργειας & Ασφάλειας (Ι.Π.Ρ.Ε.Τ.Ε.Α.) του ΕΚΕΦΕ "Δημόκριτος" Η έγκριση της διδακτορικής διατριβής από το Τμήμα Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών του Πανεπιστημίου Πατρών δεν υποδηλοί αποδοχή των γνωμών του συγγραφέα (Ν. 5343/32, αρθρ. 202 (2) και Ν. 1268/82, αρθρ. 50 (8).

3 iii Πρόλογος - Ευχαριστίες Ανάδοχος φορέας υλοποίησης της διδακτορικής διατριβής ήταν το Εθνικό Κέντρο Έρευνας Φυσικών Επιστημών (ΕΚΕΦΕ) "ΔΗΜΟΚΡΙΤΟΣ" και συγκεκριμένα το "Εργαστήριο Ηλιακών και άλλων Ενεργειακών Συστημάτων" του Ινστιτούτου Πυρηνικών & Ραδιολογικών Επιστημών & Τεχνολογίας, Ενέργειας & Ασφάλειας (Ι.Π.Ρ.Ε.Τ.Ε.Α.) στο οποίο πραγματοποιήθηκε η διατριβή. Φορέας απονομής τίτλου της διατριβής, επίβλεψης και αξιολόγησης της ήταν το Τμήμα Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών του Πανεπιστημίου Πατρών. Θα ήθελα να εκφράσω τις θερμότερες μου ευχαριστίες προς τον επιβλέποντα Ερευνητή του ΕΚΕΦΕ "ΔΗΜΟΚΡΙΤΟΣ" Δρ. Ηλία Παπανικολάου για την αμέριστη βοήθεια, την επίβλεψη και την καθοδήγηση του σε όλα τα στάδια της διατριβής. Θερμές ευχαριστίες θα ήθελα να απευθύνω επίσης και στον Αναπληρωτή Καθηγητή του Πανεπιστημίου Πατρών και επιβλέποντα Δρ. Θράσο Πανίδη για την ανάθεση του θέματος και την επιστημονική του καθοδήγηση. Ακόμα θα ήθελα να ευχαριστήσω ιδιαίτερα τον Λέκτορα του Πανεπιστημίου Κύπρου και μέλος της επταμελούς εξεταστικής επιτροπής, Δρ. Δημοκράτη Γρηγοριάδη. Η στήριξη και η καθοδήγηση του στην διάρκεια της διατριβής ήταν καταλυτική. Σε αυτό το σημείο θα ήθελα να εκφράσω τις ιδιαίτερες ευχαριστίες μου προς τον προϊστάμενο του εργαστηρίου "Ηλιακών και άλλων Ενεργειακών Συστημάτων" του ΕΚΕΦΕ "Δημόκριτος" Δρ. Βασίλη Μπελεσιώτη για την δυνατότητα που μου παρείχε να εκπονήσω τη διατριβή στο εργαστήριο καθώς και για τις χρήσιμες συμβουλές του κατά την εκπόνηση της. Θα ήθελα επίσης να ευχαριστήσω το ΕΚΕΦΕ "Δημόκριτος" για την οικονομική υποστήριξη στα πλαίσια χορήγησης υποτροφίας για την εκπόνηση της διδακτορικής διατριβής, αλλά και το προσωπικό του εργαστηρίου "Ηλιακών και άλλων Ενεργειακών Συστημάτων" για τη βοήθεια και την υποστήριξη που μου παρείχε. Ιδιαίτερες ευχαριστίες θα ήθελα να εκφράσω στον Καθηγητή Δρ. Ιωάννη Αικατερινάρη μέλος της τριμελούς επιτροπής, αλλά και στους Αναπληρωτές Καθηγητές του Πανεπιστημίου Πατρών Καούρη Ιωάννη και Μάργαρη Διονύσιο, μέλη της επταμελούς εξεταστικής επιτροπής. Εκφράζω τις θερμές μου ευχαριστίες στους γονείς μου και στα αδέρφια μου για την πολύχρονη στήριξη και βοήθεια που μου προσέφεραν. Ακόμα, ευχαριστώ πολύ την Κάτια και τους φίλους μου για την αμέριστη ηθική τους συμπαράσταση. Ευστάθιος Καλούδης Πάτρα, Ιούνιος 2014

4

5 Περιεχόμενα Κατάλογος σχημάτων Κατάλογος πινάκων Κατάλογος συμβόλων Περίληψη ix xv xix xxiii 1 Εισαγωγή Ηλιακά και ενεργειακά συστήματα - Αποθήκευση θερμότητας Δεξαμενές αποθήκευσης θερμότητας Υπολογιστική προσομοίωση Αντικείμενο - Στόχοι διατριβής Πρωτότυπα στοιχεία διατριβής Θεωρητικό υπόβαθρο - Βιβλιογραφική Διερεύνηση Ροή και μεταφορά θερμότητας σε δεξαμενές αποθήκευσης θερμότητας Μηχανισμοί μεταφοράς θερμότητας Φυσική συναγωγή Μικτή συναγωγή Βαρυτικό ρεύμα Κατασκευαστική διαμόρφωση δεξαμενών αποθήκευσης Κατηγορίες δεξαμενών αποθήκευσης Τύποι διατάξεων εισροής-εκροής εργαζόμενου μέσου Πειραματικές μέθοδοι και αριθμητική προσομοίωση Πειραματική προσέγγιση Μονοδιάστατα Μοντέλα Μοντέλα Υπολογιστικής Ρευστομηχανικής Τύρβη v

6 vi ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Μοντελοποίηση τύρβης Μέθοδοι χαρακτηρισμού της αποδοτικότητας της αποθήκευσης Πάχος θερμοκλίνης Αδιάστατη ειδική εξέργεια Ρυθμός παραγωγής εντροπίας Ωφέλιμος όγκος νερού Μεθοδολογία Αριθμητικής επίλυσης Μαθηματικό μοντέλο Εξισώσεις μοντέλου Προσομοίωση Μεγάλων Δινών (LES) Μοντέλο Smagorinsky Αδιαστατοποίηση Αδιαστοποίηση εξισώσεων για τη Μικτή Συναγωγή Αδιαστοποίηση εξισώσεων για τη Φυσική Συναγωγή Διακριτοποίηση των εξισώσεων Εξισώσεις Χρονική διακριτοποίηση Χωρική διακριτοποίηση Όρος Συναγωγής Όρος Διάχυσης Όροι Πηγής Σύστημα γραμμικών εξισώσεων Επίλυση πεδίου ροής Εξισώσεις ταχυτήτων Εξίσωση πίεσης Μέθοδος SIMPLE Eπιλυτές γραμμικών συστημάτων (solvers) Οριακές συνθήκες Βελτιστοποίηση της απόδοσης του υπολογιστικού κώδικα Επικύρωση υπολογιστικού κώδικα Πλήρως αναπτυγμένη ροή σε κανάλι Στρωτή ροή Τυρβώδης ροή Φυσική συναγωγή σε κλειστό κοίλωμα

7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ vii Στρωτή ροή Τυρβώδης ροή Μικτή συναγωγή σε κοίλωμα Μικτή συναγωγή σε κοίλωμα με εργαζόμενο μέσο αέρα Μικτή συναγωγή σε κοίλωμα με εργαζόμενο μέσο νερό Δεξαμενή μεγάλου κυβισμού - Αποτελέσματα προσομοίωσης της διεργασίας φόρτισης Σενάρια φόρτισης Σταθερή θερμοκρασία εισόδου (Σενάριο A) Μεταβλητή θερμοκρασία εισόδου (ηλεκτρική φόρτιση - Σενάριο B1) Μεταβλητή θερμοκρασία εισόδου (ηλιακή φόρτιση - Σενάριο B2) Χαρακτηρισμός ανάμειξης Πάχος θερμοκλίνης Ρυθμός παραγωγής εντροπίας - αριθμός Bejan Αδιάστατη ειδική εξέργεια Δεξαμενή μεγάλου κυβισμού - Αποτελέσματα προσομοίωσης της διεργασίας εκφόρτισης Γενικά χαρακτηριστικά Σενάρια εκφόρτισης Αρχικοί χρόνοι - Βαρυτικό ρεύμα Στιγμιότυπα θερμοκρασίας και πεδίων ροής Σενάρια 1a και 1b Σενάρια 2a και 2b Στιγμιότυπα πεδίων ρυθμού παραγωγής εντροπίας Μεταγενέστεροι χρόνοι - Ανάπτυξη θερμοκλίνης Στιγμιότυπα θερμοκρασίας και πεδίων ροής Δομές κυψελίδων στη θερμοκλίνη Χαρακτηρισμός του βαθμού της ανάμειξης Ωφέλιμος όγκος νερού (UV F ) Πάχος θερμοκλίνης Θερμοδυναμικοί δείκτες (Ṡ g, ξ ) Συμπεράσματα και προτάσεις για μελλοντική διερεύνηση Συμπεράσματα Προτάσεις για μελλοντική διερεύνηση

8 viii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Βιβλιογραφία 161 Παράρτημα Αʹ Σύγκριση σχημάτων χωρικής διακριτοποίησης 177 Αʹ.1 Συναγωγή βαθμωτού μεγέθους Αʹ.2 Συναγωγή και διάχυση βαθμωτού μεγέθους Παράρτημα Βʹ 181 Βʹ.1 Παραγωγή στατιστικών μεγεθών Βʹ.2 Φιλτράρισμα εξισώσεων

9 Κατάλογος σχημάτων 1.1 Σχηματικό διάγραμμα ενός θερμικού ηλιακού συστήματος με συλλέκτη ηλιακής ακτινοβολίας, εναλλάκτη θερμότητας και δεξαμενή αποθήκευσης θερμικής ενέργειας (Duffie and Beckman, 1980) Τυπικό παράδειγμα ημερήσιας εξέλιξης παραγωγής ( Q u ) και κατανάλωσης ( L) θερμικής ενέργειας, ενός θερμικού ηλιακού συστήματος (Duffie and Beckman, 1980) Ενεργειακό σύστημα με δεξαμενή αποθήκευσης θερμικής ενέργειας Διάφοροι τύποι δεξαμενών αποθήκευσης για συστήματα εκμετάλλευσης ηλιακής ενέργειας διαφορετικής χωρητικότητας Εισροή ζεστού νερού σε δεξαμενή με κρύο νερό, πεδίο θερμοκρασίας. Η τυρβώδης ροή ενισχύει την ανάμειξη του ζεστού με το κρύο νερό. Η συγκεκριμένη εικόνα προέρχεται από κώδικα υπολογιστικής ρευστομηχανικής Κυβική δεξαμενή αποθήκευσης θερμικής ενέργειας Μία τυπική μορφή ενός βαρυτικού ρεύματος (α) και οι τρεις χαρακτηριστικές του ζώνες (β) όπως το περιγράφει ο Nakos (1994) Απεικόνιση μιας τυπικής δεξαμενής με οριζόντια (α) και κατακόρυφη (β) σωλήνωση Σχέδιο δεξαμενής με απεικόνιση ενός τυπικού τρόπου τοποθέτησης διαφόρων τύπων διαχυτών. Συγκεκριμένα: α) ακτινικός διαχύτης (Kaloudis et al., 2009), β) σταυρός (Kaloudis et al., 2009), γ) διάτρητος διαχύτης (Zurigat et al., 1988), δ) διάτρητος διαχύτης (Zurigat et al., 1988), ε) οκταγωνικής περιφέρειας ακτινικός διαχύτης (Bahnfleth et al., 2003) Απεικόνιση μιας τυπικής δεξαμενής με διάφορους τύπους διατάξεων εισροής νερού. Διατάξεις με εμπόδια στην δεξαμενή (α,β), κατακόρυφη σωλήνωση με οπές (γ) ix

10 x ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 2.5 Σχηματική αναπαράσταση δεξαμενής αποθήκευσης θερμότητας σύμφωνα με την προσέγγιση του Multinode μοντέλου Το πείραμα του Reynolds σε κλειστό αγωγό, διαφορές στρωτής και τυρβώδους ροής Το φάσμα της τυρβώδους ενέργειας και το εύρος της μοντελοποίησης του ανάλογα με την προσέγγιση (DNS, LES, RANS) Τυπική καθ' ύψος κατανομή θερμοκρασίας σε δεξαμενή αποθήκευσης θερμότητας και γραφική αναπαράσταση του υπολογισμού του πάχους της θερμοκλίνης Τυπικός όγκος ελέγχου στις τρεις διαστάσεις με τους συνδεδεμένους με αυτόν κόμβους υπολογισμού Τυπικός μονοδιάστατος όγκος ελέγχου με τα γειτονικά σημεία Σχηματική απεικόνιση της περιοδικής οριακής συνθήκης Σχηματική απεικόνιση της οριακής συνθήκης της πίεσης στα όρια του υπολογιστικού χωρίου Σειριακή και παράλληλη εκτέλεση πρόσθεσης δύο πινάκων Η γεωμετρία που χρησιμοποιήθηκε για τις προσομοιώσεις αναπτυγμένης ροής σε επίπεδο κανάλι, απείρου πλάτους Πεδίο ταχυτήτων για την περίπτωση στρωτής ροής σε κανάλι Σύγκριση της οριζόντιας ταχύτητας με την αναλυτική λύση για την περίπτωση στρωτής ροής σε κανάλι Στιγμιαίο πεδίο ταχυτήτων και βέλη ροής για την περίπτωση τυρβώδους ροής σε κανάλι Σύγκριση της αδιάστατης ταχύτητας u + (a) και των διακυμάνσεων των τριών συνιστωσών της ταχύτητας u rms (b), v rms (c), w rms (d) με τα LES και DNS αποτελέσματα των Iliescu and Fischer (2003) και Kim et al. (1987) αντίστοιχα Η γεωμετρία που χρησιμοποιήθηκε για την προσομοίωση στρωτής ροής σε κλειστό κοίλωμα με λόγο πλευρών AR = H/L = Σύγκριση του πεδίου θερμοκρασίας (αριστερά) με τα αποτελέσματα του De Vahl Davis (1983) (δεξιά) για την περίπτωση φυσικής συναγωγής σε στρωτή ροή και για Ra H =

11 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ xi 4.8 Σύγκριση των πεδίων ταχυτήτων (u πάνω, v κάτω) με τα αποτελέσματα του De Vahl Davis (1983) (b,d) για την περίπτωση φυσικής συναγωγής σε στρωτή ροή και για Ra H = (α) Η γεωμετρία που χρησιμοποιήθηκε για την προσομοίωση τυρβώδους ροής σε κλειστό κοίλωμα με λόγο πλευρών AR = H/L = 5, για Ra H = (β) Τρισδιάστατο στιγμιαίο πεδίο θερμοκρασίας μετά την ολοκλήρωση της μεταβατικής περιόδου (t = ) Το πεδίο θερμοκρασίας και γραμμές ροής (αριστερά), το πεδίο τυρβώδους κινητικής ενέργειας (δεξιά) για φυσική συναγωγή σε ορθογωνικό κοίλωμα με Ra H = , όπως προέκυψαν από τις χρονικές και χωρικές (κατεύθυνση z) μέσες τιμές, μετά την ολοκλήρωση της μεταβατικής περιόδου Σύγκριση των αποτελεσμάτων με τα πειραματικά δεδομένα των Cheesewright et al. (1986) και τα υπολογιστικά των Zhang and Chen (2000a) (μοντέλο Smagorinsky) και Zhang and Chen (2000b) (Φιλτραρισμένο Δυναμικό μοντέλο - FDSM) για φυσική συναγωγή σε ορθογωνικό κοίλωμα Η γεωμετρία που χρησιμοποιήθηκε για την προσομοίωση τυρβώδους ροής σε κλειστό κοίλωμα παρουσία μικτής συναγωγής Το δισδιάστατο πεδίο θερμοκρασίας και οι γραμμές ροής στο επίπεδο (z = 0.15) για την διάταξη μικτής συναγωγής των Blay et al. (1992) Σύγκριση των αποτελεσμάτων της προσομοίωσης με τα πειραματικά Blay et al. (1992) στο κεντρικό κατακορυφό επίπεδο (z = 0.15) Το φυσικό μοντέλο που χρησιμοποιήθηκε για την προσομοίωση τυρβώδους ροής στην δεξαμενή ζεστού νερού των Mo and Miyatake (1996) για τους σκοπούς της επικύρωσης του υπολογιστικού κώδικα Χρονική εξέλιξη της θερμοκρασίας σε τέσσερα διαφορετικά ύψη όπως προκύπτει από την προσομοίωση της φόρτισης της δεξαμενής των Mo and Miyatake (1996) και σύγκριση με αποτελέσματα άλλων ερευνητών Υπολογιστικό χωρίο της κυβικής δεξαμενής αποθήκευσης χωρητικότητας 8 m Χρονική μεταβολή των θερμοκρασιών εισόδου (αριστερά) για τις τρεις χαρακτηριστικές περιπτώσεις (σενάρια) και αρχική κατακόρυφη κατανομή της θερμοκρασίας (t = 0) μέσα στην δεξαμενή (δεξιά). Στην δεύτερη εικόνα διακρίνεται η ειδική μορφή της περίπτωσης Β1 (δεδομένα από πειραματικές μετρήσεις)

12 xii ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 5.3 Η χρονική εξέλιξη της μέσης θερμοκρασίας (α), θερμοκρασίας εξόδου (β) και του πάχους της θερμοκλίνης (γ) κατά την φόρτιση της περίπτωσης Α, όπως υπολογίζεται με τον LES και τους άλλους κώδικες Η κατακόρυφη κατανομή της θερμοκρασίας σε διάφορες χρονικές στιγμές για την φόρτιση της περίπτωσης Α Η κατακόρυφη κατανομή της οριζόντιας ταχύτητας σε διάφορες χρονικές στιγμές για την φόρτιση της περίπτωσης Α Πεδία θερμοκρασίας, διανυσμάτων ροής και στροβιλότητας για την περίπτωση A σε επιλεγμένες χρονικές στιγμές της διεργασίας Πεδία θερμοκρασίας και στροβιλότητας (α) περιοχή εισόδου στην πάνω δεξιά γωνία της δεξαμενής (β) σε επιλεγμένες, αρχικές χρονικές στιγμές της φόρτισης της περίπτωσης Α Πεδία θερμοκρασίας, διανυσμάτων ροής και στροβιλότητας σε επιλεγμένες χρονικές στιγμές του κύκλου φόρτισης για την περίπτωση Β Χρονική μεταβολή της μέσης θερμοκρασίας και θερμοκρασίας εξόδου για όλη την χρονική διάρκεια του κύκλου φόρτισης για την περίπτωση B Κατακόρυφη κατανομή της οριζόντιας ταχύτητας σε διάφορες χρονικές στιγμές του κύκλου φόρτισης για την περίπτωση B Κατακόρυφη κατανομή της θερμοκρασίας σε διάφορες χρονικές στιγμές για την περίπτωση B Η χρονική εξέλιξη του πάχους της θερμοκλίνης για την περίπτωση B Πεδία θερμοκρασίας και στροβιλότητας (α) περιοχή εισόδου στην πάνω δεξιά γωνία της δεξαμενής (β) σε επιλεγμένες, αρχικές χρονικές στιγμές της φόρτισης της περίπτωσης B Θερμοκρασία νερού εισόδου για την περίπτωση της ηλιακής φόρτισης (B2) Πεδία θερμοκρασίας, διανυσμάτων ροής και στροβιλότητας σε επιλεγμένες χρονικές στιγμές για την περίπτωση της ηλιακής φόρτισης (B2) Χρονική μεταβολή της μέσης θερμοκρασίας και θερμοκρασίας εξόδου για όλη την χρονική διάρκεια του κύκλου φόρτισης για την περίπτωση B Κατακόρυφη κατανομή της οριζόντιας ταχύτητας σε διάφορες χρονικές στιγμές για την περίπτωση B Κατακόρυφη κατανομή της θερμοκρασίας σε διάφορες χρονικές στιγμές για την περίπτωση B

13 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ xiii 5.19 Πεδία θερμοκρασίας και στροβιλότητας: (α) περιοχή εισόδου και (β) στην πάνω δεξιά γωνία της δεξαμενής σε επιλεγμένες, αρχικές χρονικές στιγμές της φόρτισης της περίπτωσης B Η χρονική εξέλιξη του πάχους θερμοκλίνης για όλα τα σενάρια φόρτισης Πεδία ρυθμού παραγωγής εντροπίας (αριστερή στήλη) και αριθμού Bejan (δεξιά στήλη) σε επιλεγμένες χρονικές στιγμές για την περίπτωση A Πεδία ρυθμού παραγωγής εντροπίας (αριστερή στήλη) και αριθμού Bejan (δεξιά στήλη) σε επιλεγμένες χρονικές στιγμές για την περίπτωση B Πεδία ρυθμού παραγωγής εντροπίας (αριστερή στήλη) και αριθμού Bejan (δεξιά στήλη) σε επιλεγμένες χρονικές στιγμές για την περίπτωση B Κατακόρυφη κατανομή του ρυθμού παραγωγής εντροπίας για όλα τα σενάρια και για τις χρονικές στιγμές t = 40 και t = Χρονική εξέλιξη του ολικού ρυθμού παραγωγής εντροπίας και του στιγμιαίου αριθμού Αρχιμήδη για όλα τα σενάρια φόρτισης Χρονική εξέλιξη της αδιάστατης ειδικής εξέργειας για την περίπτωση B Το υπολογιστικό χωρίο για την προσομοίωση της εκφόρτισης και σχηματική αναπαράσταση των βασικών δομών της ροής Διαμόρφωση 4 αντιπροσωπευτικών σεναρίων εκφόρτισης με βάση: α) την αρχική καθ' ύψος κατανομή θερμοκρασίας (επάνω) στην δεξαμενή και β), γ) τα χαρακτηριστικά χρονικά διαστήματα της εκφόρτισης (μεταβολές στην παροχή όγκου) για όλες τις περιπτώσεις Πεδία θερμοκρασίας (αριστερά) και Q (δεξια) στην περιοχή εισόδου (δάπεδο δεξαμενής) κατά τις πρώτες χρονικές στιγμές (t 2.8), για την περίπτωση Πεδία θερμοκρασίας (αριστερά) και Q (δεξια) στην περιοχή εισόδου (δάπεδο δεξαμενής) κατά τις πρώτες χρονικές στιγμές (t 14.85), για την περίπτωση Πεδία θερμοκρασίας (αριστερά) και Q (δεξια) στην περιοχή εισόδου (δάπεδο δεξαμενής) κατά τις πρώτες χρονικές στιγμές (t 4, 0), για την περίπτωση Πεδία ρυθμού παραγωγής εντροπίας στην περιοχή εισόδου (δάπεδο δεξαμενής) κατά τις πρώτες χρονικές στιγμές (t 2.8), για την περίπτωση

14 xiv ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 6.7 Πεδία ρυθμού παραγωγής εντροπίας στην περιοχή εισόδου (δάπεδο δεξαμενής) κατά τις πρώτες χρονικές στιγμές (t 4.0), για την περίπτωση Στιγμιαία αποτελέσματα στο επίπεδο x y, για την περίπτωση 1a, και για διάφορες χρονικές στιγμές (t = 25, 50 και 75). Αριστερή στήλη: πεδία θερμοκρασίας, δεξιά στήλη: πεδία στροβιλότητας Στιγμιαία αποτελέσματα στο επίπεδο x y, για την περίπτωση 1b, και για διάφορες χρονικές στιγμές (t = 75, 100 και 125). Αριστερή στήλη: πεδία θερμοκρασίας, δεξιά στήλη: πεδία στροβιλότητας Στιγμιαία αποτελέσματα στο επίπεδο x y, για την περίπτωση 2a, και για διάφορες χρονικές στιγμές (t = 25, 50 και 75). Αριστερή στήλη: πεδία θερμοκρασίας, δεξιά στήλη: πεδία στροβιλότητας Στιγμιαία αποτελέσματα στοεπίπεδο x y, για την περίπτωση 2b, και για διάφορες χρονικές στιγμές (t = 75, 100 και 125). Αριστερή στήλη: πεδία θερμοκρασίας, δεξιά στήλη: πεδία στροβιλότητας Λεπτομερής εικόνα από την περιοχή στο μέσο ύψος της δεξαμενής για την περίπτωσης 1b, όπου αναδεικνύεται η συμπεριφορά των στάσιμων κυμάτων (standing waves). Στιγμιαία πεδία στροβιλότητας στο ΧΥ επίπεδο, που εμφανίζουν την κυψελίδα Α κοντά στο τοίχωμα, να παραμένει στη θέση της, αλλά να αλλάζει το μέγεθος της, στις αδιάστατες χρονικές στιγμές (από πάνω προς τα κάτω): t = 80.00, t = 80.03, t = 80.06, t = 80.08, t = 80.11, t = Λεπτομερής εικόνα από την περιοχή στο μέσο ύψος της δεξαμενής για την περίπτωσης 1b, όπου αναδεικνύεται η συμπεριφορά των οδεύοντων κυμάτων (travelling waves). Στιγμιαία πεδία στροβιλότητας στο ΧΥ επίπεδο, που εμφανίζουν τις χαρακτηριστικές κυψελίδες Α',Β',C' να κινούνται αριστερά, κατά μήκος της γραμμής πλήρωσης, στις αδιάστατες χρονικές στιγμές (από πάνω προς τα κάτω): t = 84.29, t = 84.32, t = 84.35, t = 84.38, t = 84.40, t = a) Ταλάντωση και b) φασματική ανάλυση της κατακόρυφης ταχύτητας σε δύο οριζόντιες θέσεις κατά μήκος της γραμμής πλήρωσης κατά την διάρκεια της περιόδου ηρεμίας (50 < t < 100) της περίπτωσης 1b Χρονική εξέλιξη της διαδικασίας της εκφόρτισης. Μέση θερμοκρασία θavg και θερμοκρασία εξόδου θout του νερού της δεξαμενής για όλες τις περιπτώσεις

15 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ xv 6.16 Χρονική μεταβολή του πάχους της θερμοκλίνης δ για την περίπτωση 1a (πάνω), πτώση της μέγιστης ταχύτητας, t = 0.8 κόκκινη γραμμή και t = 75 μαύρη γραμμή (κάτω) Κατακόρυφη κατανομή της Ṡ g για διάφορους χρόνους και για τις δύο περιπτώσεις με την συνεχόμενη εκφόρτιση Χρονική εξέλιξη του συνολικού ρυθμού παραγωγής εντροπίας (a), εξέργειας (b) και στιγμιαίου αριθμού Αρχιμήδη (c) για τις δύο περιπτώσεις με την συνεχόμενη εκφόρτιση Αʹ.1 Γεωμετρία και οριακές συνθήκες για την περίπτωση συναγωγής βαθμωτής μεταβλητής Αʹ.2 Σύγκριση των διαφόρων σχημάτων διακριτοποίησης για την περίπτωση συναγωγής βαθμωτής μεταβλητής Αʹ.3 Γεωμετρική διάταξη και οριακές συνθήκες του προβλήματος Αʹ.4 Κατακόρυφη κατανομή θερμοκρασίας για αριθμούς P e = Βʹ.1 Μικρές και μεγάλες δίνες στην Προσομοίωση Μεγάλων Δινών σε σχέση με την κλίμακα μήκους

16

17 Κατάλογος πινάκων 2.1 Τύποι δεξαμενών αποθήκευσης θερμότητας Οι όροι της γενικής εξίσωσης συναγωγής-διάχυσης για περίπτωση μικτής συναγωγής (Παράγραφος ) Παράμετροι και αδιάστατοι αριθμοί για το πρόβλημα μικτής συναγωγής των Blay et al. (1992) Δεδομένα για το πλέγμα και το υπολογιστικό χωρίο που χρησιμοποιήθηκε για το πρόβλημα μικτής συναγωγής των Blay et al. (1992) Παράμετροι και αδιάστατοι αριθμοί για το πρόβλημα μικτής συναγωγής των Mo and Miyatake (1996) Δεδομένα για το πλέγμα και το υπολογιστικό χωρίο που χρησιμοποιήθηκε για το πρόβλημα μικτής συναγωγής των Mo and Miyatake (1996) Πληροφορίες για τα πλέγματα που χρησιμοποιήθηκαν για την υπόγεια δεξαμενή Παράμετροι και αδιάστατοι αριθμοί για τα διάφορα σενάρια φόρτισης της κυβικής δεξαμενής Οι συντελεστές του πολυώνυμου 6 oυ βαθμού για την περίπτωση της ηλεκτρικής φόρτισης Οι συντελεστές του πολυώνυμου 6ου βαθμού για την περίπτωση της ηλιακής φόρτισης Οι συντελεστές α l του πολυωνύμου 5 oυ βαθμού για την προσέγγιση της αρχικής θερμοκρασιακής κατανομής της περίπτωσης Παράμετροι και αδιάστατοι αριθμοί για την περίπτωση της εκφόρτισης Οι συχνότητες και οι αντίστοιχες περίοδοι για τη φασματική ανάλυση του Σχήματος xvii

18

19 Κατάλογος συμβόλων Ar H αριθμός Αρχιμήδη Ar H = (gβh T )/u in 2 = Gr H /Re H 2 b εκθέτης της εκθετικής παρεμβολής της χρονικής εξέλιξης του πάχους της θερμοκλίνης C p ειδική θερμότητα υπό σταθερή πίεση [J kg 1 K 1 ] E c F r in αριθμός Eckert E c = u 2 in/c p T o αριθμός Froude εισόδου F r in = u in / g/h g επιτάχυνση της βαρύτητας [m s 2 ] Gr H αριθμός Grashof με βάση το ύψος της δεξαμενής Gr H = gβh 3 T /ν 2 H H in H out ύψος της δεξαμενής [m] ύψος του ανοίγματος του διαχύτη εισόδου [m] ύψος του ανοίγματος του διαχύτη εξόδου [m] k τυρβώδης κινητική ενέργεια αδιαστατοποιημένη με [m 2 s 2 ] L n μήκος της δεξαμενής [m] συντεταγμένη στην κατεύθυνση κάθετα στο τοίχωμα (n = x, yorz) p πίεση [N m 2 ] P e αριθμός Peclet P e = Re H P r P r αριθμός Prandtl P r = ν/α Q in παροχή όγκου, Q in = u in in W, [m 3 s 1 ] q j ροή θερμότητας υποκλίμακας [K m s 1 ] qj αδιάστατη ροή θερμότητας υποκλίμακας, qj = q j = ( νt u in T Ra H Re H ν ) θ ReP r t x j αριθμός Rayleigh με βάση το ύψος της δεξαμενής Ra H = Gr H P r αριθμός Reynolds με βάση το ύψος της δεξαμενής Re H = u in H/ν Re in αριθμός Reynolds με βάση το ύψος του ανοίγματος του διαχύτη εισόδου Re = u in H in /ν ] S ij φιλτραρισμένος τανυστής τάσεων S ij = 1 + u j 2 x i i, j = 1, 2, 3,[s 1 ] [ u i x j Ṡ g Ογκομετρικός ρυθμός παραγωγής εντροπίας [W m 3 K 1 ] t χρόνος [s] t fill T χρόνος πλήρωσης Q Ω in θερμοκρασία [K] xix

20 xx ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ T o αρχική θερμοκρασία του ρευστού μέσα στη δεξαμενή [K] x, y, z απόσταση στην οριζόντια, κατακόρυφη και εγκάρσια διεύθυνση αντίστοιχα [m] y + αδιάστατες μονάδες τοίχου u, v, w Καρτεσιανές συνιστώσες της ταχύτητας [m s 1 ] u f ταχύτητα του μετώπου του ρεύματος βαρύτητας [m s 1 ] u in ταχύτητα εισόδου [m s 1 ] u τ W ταχύτητα τριβής u τ = τ w all/ρ πλάτος της δεξαμενής [m] Ελληνικά σύμβολα α θερμική διάχυση [m 2 s 1 ] α t τυρβώδης θερμική διάχυση [m 2 s 1 ] β δ δ T θ συντελεστής θερμικής διαστολής β = 1 ρ πάχος θερμοκλίνης [m] αδιάστατο πάχος θερμοκλίνης δ = δ/h κλίμακα θερμοκρασίας T = T o T in αδιάστατη θερμοκρασία θ = (T T in )/ T ν κινηματικό ιξώδες [m 2 s 1 ] ν t τυρβώδες κινηματικό ιξώδες [m 2 s 1 ] Ξ εξέργεια [J] ξ ειδική εξέργεια [J Kg 1 ] ρ πυκνότητα [kg m 3 ] t αδιάστατος χρόνος t = t/(h/u in ) ( ρ ), T p [K 1 ] τ d ij deviatoric part of the subgrid stress tensor [m 2 s 2 ] τ d ij Φ αδιάστατο deviatoric part of the subgrid stress tensor τij d = τ ij d νu in H 1 dissipation function Ω όγκος της δεξαμενής [m 3 ] ω z συνιστώσα της στροβιλότητας στην z κατεύθυνση [s 1 ] Δείκτες avg in max mix o out str μέση τιμή παράμετρος σχετιζόμενη με την είσοδο μέγιστη τιμή πλήρως αναμεμειγμένη κατάσταση αρχική θερμοκρασία της δεξαμενής παράμετρος σχετιζόμενη με την έξοδο πλήρως διαστρωματωμένη κατάσταση

21 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ xxi Εκθέτες αδιάστατες μονάδες

22

23 Περίληψη Αντικείμενο της διατριβής είναι η προσομοίωση της ροής και της μεταφοράς θερμότητας σε ηλιακά και ενεργειακά συστήματα. Η έμφαση δόθηκε στις δεξαμενές αποθήκευσης της θερμότητας που παράγεται στα συγκεκριμένα συστήματα, με στόχο τον χαρακτηρισμό των ενεργειακών απωλειών και την βελτιστοποίηση του σχεδιασμού τους. Κύριες δραστηριότητες της διατριβής θα είναι η περαιτέρω ανάπτυξη διαθέσιμων εργαλείων προσομοίωσης ροών φυσικής και μικτής συναγωγής, με διερεύνηση των νεώτερων εξελίξεων στην μοντελοποίηση με τη μέθοδο Προσομοίωσης Μεγάλων Δινών (LES). Αρχικά γίνεται εκτεταμένη επικύρωση με πειραματικά αποτελέσματα σε απλές γεωμετρικές διατάξεις (π.χ. ορθογωνικά κανάλια ή κοιλώματα με βαθμίδα θερμοκρασίας) από την βιβλιογραφία. Στη συνέχεια η μεθοδολογία εφαρμόζεται στον υπολογισμό ροών σε πιο ρεαλιστικές γεωμετρίες, επιλεγμένες από πρακτικές εφαρμογές, όπως οι δεξαμενές αποθήκευσης νερού. Αναλύονται σε βάθος οι δυναμικές διεργασίες και τα ροϊκά φαινόμενα τόσο κατά την προσαγωγή της θερμότητας στη δεξαμενή (φόρτιση) όσο και κατά την απαγωγή της (εκφόρτιση) και η επίδραση που έχουν αυτά στην αποδοτικότητα της αποθήκευσης με βάση κατάλληλους ποσοτικούς δείκτες. Από τα αποτελέσματα αναδεικνύεται η σημασία της μοντελοποίησης σε τέτοιου είδους συστήματα ως ένα σημαντικό εργαλείο στη διερεύνηση της απόδοσης τους, του ενεργειακού χαρακτηρισμού τους και ακολούθως στην προσπάθεια επίτευξης του βέλτιστου σχεδιασμού τους. xxiii

24

25 Abstract The subject of the thesis is the Simulation of Turbulent Flow and Heat Transfer in Solar and Energy Systems. Emphasis is given in the thermal storage component of these systems, with the aim of characterizing their energy losses and improve their design. Main activities of the thesis will be the further development of available computational tools for the simulation of flows in natural and mixed convection, incorporating some of the most recent developments in modeling, particularly in the Large Eddy Simulation (LES) method. Initially, an extensive validation with experimental results in simple geometric configurations is carried out (e.g. channels or differentially heated cavities). Subsequently, the methodology is applied in the calculation of flows for more realistic geometries selected from practical applications, such as various hot water storage tanks. Analysis is conducted of the dynamic processes and relevant physical phenomena during the heat supply (charging) to and removal (discharging) from the tank and their influence on the storage effectiveness using appropriate thermodynamic indices. From the simulation results, the significance of the flow and heat transfer modeling in these systems as a practical tool for studying their performance is demonstrated, by characterizing their energy content and significantly contributing to the process of optimizing their design. xxv

26

27 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.1 Ηλιακά και ενεργειακά συστήματα - Αποθήκευση θερμότητας Θερμικά ηλιακά συστήματα ονομάζονται τα συστήματα που εκμεταλλεύονται την προσπίπτουσα ηλιακή ακτινοβολία μετατρέποντας την σε ωφέλιμη θερμική ενέργεια. Τα κύρια μέρη τέτοιου τύπου ενεργειακών συστημάτων είναι ο συλλέκτης από τον οποίο προσλαμβάνεται η ηλιακή ακτινοβολία και μετατρέπεται σε θερμική, ο εναλλάκτης θερμότητας που μέσω του οποίου μεταφέρεται η θερμική ενέργεια σε δεξαμενή αποθήκευσης θερμότητας (Σχήμα 1.1). Οι διατάξεις αποθήκευσης θερμότητας χρησιμοποιούνται ευρέως στα περισσότερα θερμικά και ενεργειακά συστήματα στα οποία υπάρχει μη συνεχής πηγή ενέργειας ή υπάρχει χρονική καθυστέρηση μεταξύ της παραγωγής και της κατανάλωσης της ενέργειας. Πολλοί ακόμα τομείς της βιομηχανίας, όπως η πετρελαϊκή, χημική, τροφίμων, απαιτούν την χρήση διατάξεων αποθήκευσης θερμότητας με σκοπό την βελτιστοποίηση της απόδοσης των συστημάτων τους. Μεγάλη σημασία έχει και ο τρόπος με τον οποίο αποθηκεύεται η ενέργεια, όπως για παράδειγμα μέσω της θερμότητας μιας αντιστρέψιμης χημικής αντίδρασης, μέσω αισθητής θερμότητας σε υγρό ή στερεό μέσο, είτε μέσω λανθάνουσας θερμότητας από την αλλαγή φάσης του μέσου που χρησιμοποιείται για την αποθήκευση. Όσον αφορά τις διατάξεις στις οποίες γίνεται η αποθήκευση μέσω αισθητής θερμότητας, το βασικό χαρακτηριστικό είναι η θερμοχωρητικότητα του αποθηκευτικού μέσου. Λόγω απλότητας και σχετικά χαμηλού κόστους αυτού του τύπου οι διατάξεις χρησιμοποιούνται ευρύτατα. Από το μεγάλο πλήθος των αποθηκευτικών μέσων, οι δεξαμενές αποθήκευσης νερού χρησιμοποιούνται σε πολλά θερμικά ηλιακά συστήματα (π.χ. οι- 1

28 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σχήμα 1.1: Σχηματικό διάγραμμα ενός θερμικού ηλιακού συστήματος με συλλέκτη ηλιακής ακτινοβολίας, εναλλάκτη θερμότητας και δεξαμενή αποθήκευσης θερμικής ενέργειας (Duffie and Beckman, 1980). κιακά ηλιακά συστήματα ζεστού νερού, κεντρικά ηλιακά συστήματα ζεστού νερού). Το νερό, λόγω της αφθονίας, του χαμηλού κόστους και των ικανοποιητικών θερμικών ιδιοτήτων (υψηλή θερμοχωρητικότητα και σχετικά υψηλή πυκνότητα) θεωρείται η πιο ελκυστική επιλογή σαν αποθηκευτικό μέσο για χαμηλού-μέσου θερμοκρασιακού εύρους εφαρμογές. Στα περισσότερα ηλιακά θερμικά συστήματα, το νερό θερμαίνεται κατά την διάρκεια της ημέρας και αποθηκεύεται για χρήση είτε την ημέρα είτε την νύχτα επεκτείνοντας την χρήση της ηλιακής ενέργειας καθ' όλη την διάρκεια της ημέρας. Στο Σχήμα 1.2 φαίνεται ένα τυπικό διάγραμμα χρόνου - παραγωγής ( Q u ) και κατανάλωσης ( L) θερμικής ενέργειας. Η περιοχή με την οριζόντια σκίαση δείχνει σε ποίες χρονικές στιγμές κατά τη διάρκεια μιας τυπικής ημέρας αποθηκεύεται πλεονάζουσα ενέργεια στην δεξαμενή. Η περιοχή με την κατακόρυφη σκίαση δείχνει πότε χρησιμοποιείται η ενέργεια της δεξαμενής για να καλυφθούν οι ανάγκες της κατανάλωσης. Ο βασικός στόχος της διαδικασίας της αποθήκευσης είναι να διατηρήσει την θερμοδυναμική διαθεσιμότητα της αποθηκευμένης ενέργειας και να επιτρέψει την εξαγωγή της στα ίδια θερμοκρασιακά επίπεδα στα οποία είχε αποθηκευτεί. Οι δεξαμενές που χρησιμοποιούνται για την αποθήκευση μεγάλων ποσοτήτων ενέργειας θα πρέπει να είναι και αναλόγως μεγάλες (λόγω της χρήσης νερού). Για τον λόγο αυτό θα πρέπει να είναι απλές σε λειτουργία, φθηνές στην κατασκευή και στην συντήρηση. Όλα τα παραπάνω χαρακτηριστικά καθιστούν τις δεξαμενές θερμότητας με διαστρωμάτωση σαν την πιο ελκυστική λύση για θερμικά ηλιακά συστήματα.

29 1.2. ΔΕΞΑΜΕΝΕΣ ΑΠΟΘΗΚΕΥΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ 3 Σχήμα 1.2: Τυπικό παράδειγμα ημερήσιας εξέλιξης παραγωγής ( Q u ) και κατανάλωσης ( L) θερμικής ενέργειας, ενός θερμικού ηλιακού συστήματος (Duffie and Beckman, 1980). 1.2 Δεξαμενές αποθήκευσης θερμότητας Η αρχή λειτουργίας των δεξαμενών αποθήκευσης θερμότητας βασίζεται στην φυσική διαδικασία της διαστρωμάτωσης. Σε αυτές τις διατάξεις το κρύο ρευστό εξέρχεται της δεξαμενής από το κάτω μέρος με σκοπό την θέρμανσή του μέσω μίας πηγής (π.χ. ηλιακοί συλλέκτες) και επιστρέφει στο επάνω μέρος της δεξαμενής σε σχετικά υψηλότερη θερμοκρασία (Σχήμα 1.3). Στην περιοχή της εισόδου εμφανίζεται μια περιοχή ανάμειξης του ρευστού, η οποία κινείται σταδιακά προς τα κάτω καθώς όλο και περισσότερο ρευστό εισέρχεται στην δεξαμενή. Το αποτέλεσμα είναι η δημιουργία μιας ζώνης με έντονη βαθμίδα θερμοκρασίας που ονομάζεται θερμοκλίνη (Σχήμα 1.3). Από την στιγμή που θα σχηματιστεί η θερμοκλίνη, κινείται κατακόρυφα προς τα κάτω καθώς συνεχίζεται η διαδικασία της φόρτισης, εμποδίζοντας την ανάμειξη μεταξύ των περιοχών του ζεστού και του κρύου ρευστού. Όσο περισσότερη ανάμειξη λαμβάνει χώρα στην περιοχή της εισόδου τόσο μεγαλύτερο και το πάχος της θερμοκλίνης. Η θερμοκρασιακή διαστρωμάτωση (μη ανάμειξη) είναι ένας αποτελεσματικός τρόπος να αυξηθεί και η απόδοση του συστήματος παραγωγής ενέργειας. Στην περίπτωση που χρησιμοποιούνται ηλιακοί συλλέκτες η χαμηλή θερμοκρασία εισόδου στον συλλέκτη ανεβάζει την απόδοση του (Duffie and Beckman, 1980). Επίσης και σε εφαρμογές μεγάλων συγκεντρωτικών ηλιακών συστημάτων όπου το ρευστό αποθήκευσης είναι λιωμένο αλάτι (ή άλλο υλικό αλλαγής φάσης) η ελαχιστοποίηση του πάχους της θερμοκλίνης αποτελεί προτεραιότητα (Flueckiger et al., 2013). Πέρα από την διαδικασία της φόρτισης (ή της εκφόρτισης) κατά την οποία η δε-

30 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ξαμενή βρίσκεται σε μια δυναμική κατάσταση, υπάρχει η περίπτωση και της στατικής κατάστασης κατά την οποία δεν υπάρχει εισροή ή εκροή ρευστού στην δεξαμενή. Εξαιτίας των θερμοκρασιακών διαφορών που έχουν αναπτυχθεί στην δεξαμενή, εμφανίζονται ροές λόγω των ανωστικών δυνάμεων και στην στατική κατάσταση, περιπλέκοντας περισσότερο την μελέτη αυτών των συστημάτων. Σχήμα 1.3: Ενεργειακό σύστημα με δεξαμενή αποθήκευσης θερμικής ενέργειας. Οι δεξαμενές αποθήκευσης θερμότητας λόγω των ελκυστικών τους χαρακτηριστικών χρησιμοποιούνται σε ένα μεγάλο πλήθος εφαρμογών, με συνέπεια να παρουσιάζουν και ένα ευρύ φάσμα ως προς την κατασκευή τους. Στο Σχήμα 1.4 παρουσιάζονται δεξαμενές οι οποίες ανήκουν σε κάποιες από τις τυπικές κατηγορίες δεξαμενών αποθήκευσης θερμότητας. Για παράδειγμα: κυλινδρικής γεωμετρίας σε οικιακά ηλιακά συστήματα με όγκο 0.2m 3 σε οριζόντια θέση (Σχήμα 1.4α), κυλινδρικής γεωμετρίας με όγκο 5m 3 σε κατακόρυφη θέση (Σχήμα 1.4β), υπόγεια κυβικής γεωμετρίας με όγκο 8m 3 (Σχήμα 1.4γ), κυλινδρικής γεωμετρίας με όγκο 30m 3 για εποχιακή αποθήκευση (Σχήμα 1.4δ) και κυλινδρικής γεωμετρίας για συγκεντρωτικά ηλιακά συστήματα για παραγωγή ηλεκτρικής ενέργειας (Σχήμα 1.4ε) 1.3 Υπολογιστική προσομοίωση Ο σχεδιασμός και η βελτιστοποίηση των δεξαμενών αποθήκευσης θερμότητας απαιτεί γνώση των σχετικών θερμικών και ροϊκών φαινομένων. Η πολυπλοκότητα των φαινομένων αυτών, καθιστούν την βελτιστοποίηση των εν λόγω συστημάτων μια πρόκληση

31 1.3. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 5 Σχήμα 1.4: Διάφοροι τύποι δεξαμενών αποθήκευσης για συστήματα εκμετάλλευσης ηλιακής ενέργειας διαφορετικής χωρητικότητας. για τους ερευνητές. Ο σχεδιασμός πολλές φορές βασίζεται σε απλά μαθηματικά μοντέλα (αναλυτικά βασισμένα σε ισοζύγια μάζας και ενέργειας ή σε μονοδιάστατα μοντέλα) και σε πειραματικές μετρήσεις (Perez, 2006). Το χαμηλό υπολογιστικό κόστος των μονοδιάστατων μοντέλων είναι το βασικό πλεονέκτημα τους καθιστώντας τα κατάλληλα για ενσωμάτωση σε προγράμματα προσομοίωσης ετήσιας ενεργειακής απολαβής. Ταυτόχρονα όμως μειονεκτούν λόγω της ανάγκης τους για χρήση εμπειρικών παραμέτρων. Εναλλακτικά, χρησιμοποιούνται πιο λεπτομερή μοντέλα με μικρότερη χρήση εμπειρικών παραμέτρων που είναι ικανά να περιγράψουν τη θερμική και τη ροϊκή συμπεριφορά της διάταξης. Συγκεκριμένα γίνονται προσομοιώσεις της ροής και του πεδίου θερμοκρασιών μέσω της Υπολογιστικής Ρευστομηχανικής (Computational Fluid Dynamics - CFD). Τα αποτελέσματα που προκύπτουν από τη χρήση της Υπολογιστικής Ρευστομηχανικής (π.χ. Σχήμα 1.5) εκτός του ότι δίνουν μια λεπτομερή οπτική απεικόνιση των δομών που

32 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ αναπτύσσονται στο πεδίο ροής, είναι ακριβή και κατά συνέπεια μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον σχεδιασμό καινοτόμων διατάξεων. Επιπλέον τα αποτελέσματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν και για την τροφοδοσία των μονοδιάστατων μοντέλων που αναφέρθηκαν προηγουμένως, με τις κατάλληλες παραμέτρους. Η Υπολογιστική Ρευστομηχανική επιτρέπει στους σχεδιαστές να ελέγξουν την διάταξη πριν την κατασκευάσουν με συνέπεια την μείωση του κόστους. Ακόμα επιτρέπει την μελέτη για την εύρεση της βέλτιστης θέσης των διατάξεων εισροής/εκροής, το όφελος από την χρήση διαφορετικού τύπου διατάξεων εισροής/εκροής ή τη συμπεριφορά εναλλακτών θερμότητας. Το μειονέκτημα της προσέγγισης της Υπολογιστικής Ρευστομηχανικής είναι το σχετικά υψηλό υπολογιστικό κόστος. Η υπολογιστική προσομοίωση των δεξαμενών αποθήκευσης θερμότητας περιλαμβάνει τρισδιάστατα φαινόμενα, συνήθως οι ροές είναι τυρβώδεις, ενώ οι διεργασίες (φόρτιση, αποθήκευση, εκφόρτιση) πραγματοποιούνται σε μεγάλες σχετικά χρονικές περιόδους. Παρ' όλες τις παραπάνω δυσκολίες, η επιστήμη των υπολογιστών έχει προχωρήσει με γρήγορους ρυθμούς καθιστώντας εφικτή την υπολογιστική προσομοίωση τέτοιων προβλημάτων χωρίς την χρήση μεγάλων υπολογιστικών κέντρων (clusters). Σχήμα 1.5: Εισροή ζεστού νερού σε δεξαμενή με κρύο νερό, πεδίο θερμοκρασίας. Η τυρβώδης ροή ενισχύει την ανάμειξη του ζεστού με το κρύο νερό. Η συγκεκριμένη εικόνα προέρχεται από κώδικα υπολογιστικής ρευστομηχανικής. 1.4 Αντικείμενο - Στόχοι διατριβής Αντικείμενο της παρούσας διατριβής ήταν η μελέτη των διαδικασιών φόρτισης και εκφόρτισης σε αντιπροσωπευτικές δεξαμενές αποθήκευσης θερμότητας. Ως βασική περίπτωση για μια τέτοια διερεύνηση επιλέχθηκε μία δεξαμενή (Σχήμα 1.6) που αποτέλεσε μέρος πειραματικής διάταξης η οποία αναπτύχθηκε στο Εργαστήριο Ηλιακών και άλλων Ενεργειακών Συστημάτων" στο ΕΚΕΦΕ "ΔΗΜΟΚΡΙΤΟΣ. Μέσω της αριθμητικής

33 1.4. ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ - ΣΤΟΧΟΙ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ 7 προσομοίωσης της ροής και της μεταφοράς θερμότητας, δόθηκε βαρύτητα στην διεξοδική ανάλυση και κατανόηση των ροϊκών φαινομένων και στο πώς αυτά επηρεάζουν τα φαινόμενα μεταφοράς θερμότητας και την ανάμειξη της δεξαμενής. Σχήμα 1.6: Κυβική δεξαμενή αποθήκευσης θερμικής ενέργειας. Ο πρωταρχικός στόχος της εργασίας ήταν η δημιουργία ενός υπολογιστικού κώδικα προσαρμοσμένου σε προβλήματα καρτεσιανών συντεταγμένων (λόγω κυβικής δεξαμενής) σε τυρβώδεις ροές μικτής ή φυσικής συναγωγής. Οι συγκεκριμένες ροές χαρακτηρίζονται από τους αδιάστατους αριθμούς Rayleigh, Grashof που αντιπροσωπεύουν την αντιστοιχία μεταξύ ανωστικών και συνεκτικών δυνάμεων, ενώ οι τιμές τους μπορούν να δείξουν την μετάβαση από την στρωτή στην τυρβώδη ροή. Επίσης, ειδικά σε εφαρμογές αποθήκευσης θερμικής ενέργειας, τα χαρακτηριστικά της ροής εξαρτώνται σε μεγάλο βαθμό από τον αδιάστατο αριθμό Froude, ο οποίος εκφράζει τον λόγο της κινητικής προς την δυναμική ενέργεια των εισερχομένων-εξερχομένων ρευμάτων. Η επικύρωση του κώδικα έγινε σε παρεμφερή προβλήματα με διαθέσιμα πειραματικά δεδομένα και αποτελέσματα υπολογιστικής προσομοίωσης. Για την ανάπτυξη του, χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος των πεπερασμένων όγκων έχοντας τη δυνατότητα επίλυσης χρονικά μεταβαλλόμενης ροής και θερμοκρασίας σε τρισδιάστατες καρτεσιανές γεωμε-

34 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ τρίες. Για τον υπολογισμό της πίεσης χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος SIMPLE, ενώ για την μοντελοποίηση της τύρβης χρησιμοποιήθηκε η Προσομοίωση Μεγάλων Δινών (LES) και συγκεκριμένα το μοντέλο Smagorinsky. Εκτεταμένη μελέτη πραγματοποιήθηκε για τα σχήματα διακριτοποίησης, καθώς βρέθηκε να επηρεάζουν σε μεγάλο βαθμό τα αποτελέσματα. Για την προσομοίωση της τύρβης οι επιλογές ήταν η άμεση υπολογιστική προσομοίωση (DNS), η οποία δίνει και τα πιο ακριβή αποτελέσματα, αλλά με υψηλό υπολογιστικό κόστος. Η μέθοδος RANS, η οποία έχει πολύ χαμηλότερες απαιτήσεις σε υπολογισμούς, αλλά τα μοντέλα τύρβης που χρησιμοποιούνται έχουν άμεση εξάρτηση από την εκάστοτε ροή-διάταξη. Επίσης η συγκεκριμένη μέθοδος αδυνατεί να υπολογίσει σωστά μερικά χρονικά μεταβαλλόμενα φαινόμενα, όπως την εξέλιξη των δινών Karman ή των δινών Kelvin-Helmholtz σε στρώματα ανάμειξης (Wilcox, 2002). Η επιλογή του LES βασίστηκε στα πλεονεκτήματα που προσφέρει η συγκεκριμένη μέθοδος, όπως οι μικρότερες απαιτήσεις σε υπολογιστικά πλέγματα (σε σχέση με την μέθοδο DNS) και η ακρίβεια που προσφέρει τόσο στα μέσα (averaged) μεγέθη της ροής αλλά και στα στιγμιαία. Όσον αφορά τη μελέτη των διαδικασιών φόρτισης και εκφόρτισης της κυβικής δεξαμενής, στόχος της διατριβής ήταν να μελετηθούν διεξοδικά όλα τα φαινόμενα που επηρεάζουν την ανάμειξη και κατά συνέπεια την απόδοση της δεξαμενής. Για το λόγο αυτό, πραγματοποιήθηκαν προσομοιώσεις με πυκνότερα πλέγματα στις περιοχές με το μεγαλύτερο ενδιαφέρον (περιοχή εισροής, απέναντι κατακόρυφο τοίχωμα). 1.5 Πρωτότυπα στοιχεία διατριβής Η μέθοδος μοντελοποίησης της τύρβης του LES έχει ήδη καθιερωθεί στην βιβλιογραφία της μηχανικής ρευστών ως ένα χρήσιμο εργαλείο μελέτης προβλημάτων βασικών ροών. Καθώς η υπολογιστική ισχύς αυξάνεται, έχει γίνει εφικτή η εφαρμογή της συγκεκριμένης μεθόδου και σε μηχανολογικά προβλήματα αυξημένης πολυπλοκότητας. Το κύριο στοιχείο της πρωτοτυπίας της παρούσας διατριβής αποτελεί λοιπόν η εφαρμογή της μεθόδου LES (και κατά συνέπεια η ανάδειξη λεπτομερειών των πεδίων ροής) στην προσομοίωση τυρβωδών ροών σε δεξαμενές αποθήκευσης θερμικής ενέργειας. Οι ροές αυτές χαρακτηρίζονται από την αμοιβαία επίδραση των δυνάμεων της αδράνειας με τις ανωστικές δυνάμεις του ρευστού. Έτσι κυριαρχούν οι μηχανισμοί μεταφοράς θερμότητας με φυσική ή μικτή συναγωγή. Στην σχετική βιβλιογραφία υπάρχει έλλειψη από εκτεταμένες μελέτες LES σε προβλήματα μικτής συναγωγής (Ezzouhri et al., 2009; dos Santos et al., 2011) κυρίως σε

35 1.5. ΠΡΩΤΟΤΥΠΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ 9 ορθογώνιες γεωμετρίες και ειδικώτερα σε προβλήματα με εργαζόμενο μέσο το νερό. Επιπλέον, σε δεξαμενές του τύπου που μελετώνται εδώ και χαρακτηρίζεται από την απευθείας ανάμειξη του αποθηκευμένου νερού με τα εισερχόμενα/εξερχόμενα ρεύματα από και πρός την πηγή θερμότητας ή το φορτίο, σημαντικά ροϊκά φαινόμενα, που επηρεάζουν την θερμική ανάμειξη και άρα τις απώλειες, εμφανίζονται σε μεγάλο βαθμό σε περιοχές μακριά από τα τοιχώματα. Έτσι παρόλο που και άλλες κατηγορίες μοντέλων τύρβης, όπως τα RANS (π.χ. k ϵ κλπ.) είναι σε θέση να επιτύχουν καλή ακρίβεια στην περιοχή των τοιχωμάτων με χρήση πυκνών υπολογιστικών πλεγμάτων, η μεθοδολογία LES μπορεί να δώσει καλύτερη αποτύπωση των δομών των πεδίων ροής και άρα των φυσικών φαινομένων και σε κεντρικές περιοχές του πεδίου ροής, μακριά από τα τοιχώματα. Επιπλέον, η παρούσα διατριβή εισάγει και μια άλλη σειρά πρωτότυπων προσεγγίσεων και αναδεικνύει νέα ευρήματα σε προβλήματα δεξαμενών αποθήκευσης θερμότητας που μπορούν να αποτυπωθούν ως εξής: Όσον αφορά τις συνθήκες λειτουργίας των δεξαμενών που εξετάστηκαν, έγινε προσπάθεια αυτές να ανταποκρίνονται σε όσο το δυνατόν πιο "ρεαλιστικές" συνθήκες, όπως για παράδειγμα η χρονικά μεταβλητή θερμοκρασία νερού εισόδου (όπως προκύπτει από φόρτιση ενός ηλιακού πεδίου συλλεκτών), η μεταβλητή καθ ύψος αρχική θερμοκρασία και η διακοπτόμενη εκφόρτιση. Οι προαναφερθείσες συνθήκες λειτουργίας, που οδήγησαν μεταξύ άλλων και σε σημαντικές διαφορές στην μορφή των πεδίων ροής που προέκυψαν από τις προσομοιώσεις, δεν έχουν μελετηθεί επαρκώς στην βιβλιογραφία, όπου το πλέον διαδεδομένο σενάριο λειτουργίας αντιστοιχεί σε σταθερή θερμοκρασία εισόδου και ομογενοποιημένη δεξαμενή στην αρχή των διεργασιών φόρτισης/εκφόρτισης. Για την μελέτη και την αξιολόγηση των διεργασιών φόρτισης και εκφόρτισης έγινε χρήση ενός μεγάλου εύρους ποσοτικών δεικτών μέσα από το οποίο βρέθηκε η συσχέτιση της έντασης των δυνάμεων άνωσης με την παραγωγή εντροπίας. Οι παράμετροι του προβλήματος, με τις χρονικές και χωρικές μεταβολές τους όπως αυτές διαμορφώθηκαν από τα προαναφερθέντα σενάρια λειτουργίας και της επακόλουθης πολυπλοκότητας, δεν επέτρεπαν την άμεση εφαρμογή της καθιερωμένης μεθόδου υπολογισμού του πάχους της θερμοκλίνης. Έτσι, για τις ανάγκες της διατριβής η υπάρχουσα μέθοδος επεκτάθηκε ώστε να περιλαμβάνει μη σταθερή θερμοκρασία εισόδου και τυχαία αρχική θερμοκρασιακή στάθμη της δεξαμενής. Επίσης, για πρώτη φορά προσεγγίστηκε η διαδικασία της εκφόρτισης σαν διαδικασία δυο χρονικών περιόδων με διακριτά χαρακτηριστικά. Υπολογίζοντας τα μεγέθη

36 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ που χαρακτηρίζουν την ανάμειξη (πάχος θερμοκλίνης, εξεργειακές απώλειες, ρυθμός παραγωγής εντροπίας) επικυρώθηκε η προαναφερθείσα προσέγγιση των δύο χρονικών περιόδων. Τέλος πραγματοποιήθηκε για πρώτη φορά η καταγραφή ενός ρευστομηχανικού φαινομένου σχετιζόμενου με την δημιουργία κυψελίδων στην περιοχή της θερμοκλίνης που χαρακτηρίζονταν από ταλαντωτική συμπεριφορά σχετιζόμενη με την δημιουργία εσωτερικών κυμάτων στη δεξαμενή, για την οποία και έγινε εκτεταμένη ανάλυση με μετασχηματισμούς Fourier κλπ. Στα πλαίσια της παρούσας διδακτορικής διατριβής προέκυψαν και οι παρακάτω επιστημονικές δημοσιεύσεις: Σε διεθνή επιστημονικά περιοδικά: E. Kaloudis, D.G.E. Grigoriadis, E. Papanicolaou and T. Panidis. Large eddy simulation of thermocline flow phenomena and mixing during discharging of an initially homogeneous or stratified storage tank. European Journal of Mechanics - B/Fluids, 48 (2014) E. Kaloudis, D.G.E. Grigoriadis, E. Papanicolaou and T. Panidis. Large eddy simulations of turbulent mixed convection in the charging of a rectangular thermal storage tank. International Journal of Heat and Fluid Flow 44 (2013) E. Kaloudis, Y.G. Caouris, E. Mathioulakis and V. Belessiotis, Comparison of the dynamic and input output methods in a solar domestic hot water system. Renewable Energy 35 (2010) Σε συνέδρια: E. Kaloudis, D.G.E. Grigoriadis, E. Papanicolaou and T. Panidis, Large Eddy simulation of the transient process in water tanks for thermal energy storage. ETMM-9, 6-8 June, 2012, Thessaloniki, Greece. E. Καλούδης, Η. Παπανικολάου, Β. Μπελεσιώτης και Θ. Πανίδης, Υπολογιστική και πειραματική διερεύνηση εναλλακτικών μορφών φόρτισης κυλινδρικής δεξαμενής αποθήκευσης νερού μεγάλου κυβισμού. Πρακτικά του 9ου Εθνικού Συνεδρίου για τις Ήπιες Μορφές Ενέργειας, Μαρτίου, 2009, Πάφος, Κύπρος. Ε. Καλούδης, Ι.Γ. Καούρης, Ε. Μαθιουλάκης και Β. Μπελεσιώτης, Σύγκριση της Δυναμικής μεθόδου και της Input Output σε ηλιακό σύστημα θέρμανσης νερού. Πρακτικά του 9ου Εθνικού Συνεδρίου για τις Ήπιες Μορφές Ενέργειας, Μαρτίου, 2009, Πάφος, Κύπρος.

37 1.5. ΠΡΩΤΟΤΥΠΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ 11 Η. Παπανικολάου, Χρ. Λαμνάτου, Ε. Καλούδης και Β. Μπελεσιώτης, Παρουσίαση πρόσφατων δραστηριοτήτων του εργαστηρίου Ηλιακών και άλλων Ενεργειακών Συστημάτων του ΕΚΕΦΕ "Δημόκριτος". 7ο Πανελλήνιο Συνέδριο "Φαινόμενα Ροής Ρευστών", Νοεμβρίου, 2010, Θεσσαλονίκη, Ελλάδα.

38

39 Κεφάλαιο 2 Θεωρητικό υπόβαθρο - Βιβλιογραφική Διερεύνηση Σε αυτό το κεφάλαιο περιγράφονται αναλυτικότερα οι βασικές έννοιες οι οποίες σχετίζονται με το αντικείμενο της διατριβής, ενώ παράλληλα παρουσιάζονται και οι σχετικές μελέτες από την βιβλιογραφία. Αρχικά αναλύονται οι τρόποι μεταφοράς θερμότητας μέσα σε δεξαμενές θερμότητας και συγκεκριμένα οι μηχανισμοί της φυσικής και της μικτής συναγωγής. Στη συνέχεια, μέσω βιβλιογραφικής διερεύνησης, παρουσιάζονται οι διάφοροι τύποι δεξαμενών αποθήκευσης με βάση την γεωμετρία, την χρήση, τον μηχανισμό εισόδου του νερού, κλπ. Ακολούθως, περιγράφονται οι δυο διαφορετικές προσεγγίσεις για την μελέτη της ροής και της θερμοκρασιακής κατανομής στις δεξαμενές, μέσω πειραμάτων και μέσω υπολογιστικής προσομοίωσης. Ιδιαίτερο βάρος δίνεται στο τομέα της υπολογιστικής ρευστομηχανικής με την μέθοδο των Μεγάλων Δινών. Τέλος, παρουσιάζονται μέθοδοι χαρακτηρισμού της αποδοτικότητας της αποθήκευσης, οι οποίες αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της μελέτης των δεξαμενών αποθήκευσης. 2.1 Ροή και μεταφορά θερμότητας σε δεξαμενές αποθήκευσης θερμότητας Μηχανισμοί μεταφοράς θερμότητας Για τις δεξαμενές αποθήκευσης θερμότητας η βασική επιδίωξη είναι ο υψηλότερος δυνατός βαθμός διαστρωμάτωσης του αποθηκευμένου ρευστού, καθώς αυτός είναι που καθορίζει την απόδοση. Η ιδανική κατάσταση της πλήρους διαστρωματωμένης δεξαμενής δύσκολα επιτυγχάνεται στην πράξη, καθώς υπάρχουν διάφοροι παράγοντες που την 13

40 14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ - ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ αποδομούν. Οι πιο σημαντικοί από αυτούς είναι: Μεταφορά θερμότητας από την δεξαμενή προς το περιβάλλον (φυσική συναγωγή) Διάχυση θερμότητας από τα θερμά στα ψυχρά στρώματα του ρευστού - απ' ευθείας μέσω της θερμοκλίνης - με αγωγή μέσω των τοιχωμάτων Ανάμειξη μεταξύ εισερχόμενων/εξερχόμενων ρευμάτων νερού (συνήθως η κυριότερη πηγή ανάμειξης) Φυσική συναγωγή Από τους παράγοντες που προαναφέρθηκαν και επηρεάζουν την διαστρωμάτωση σε μία δεξαμενή, κατά τη μεταφορά θερμότητας προς το περιβάλλον, κυρίαρχο ρόλο κατέχει ο μηχανισμός της φυσικής συναγωγής. Μια ολοκληρωμένη διαδικασία αποθήκευσης θερμότητας αποτελείται από τρία στάδια: την φόρτιση, την στατική κατάσταση και την εκφόρτιση. Στην πράξη κάποια από τα στάδια μπορεί να πραγματοποιούνται ταυτόχρονα. Στην στατική κατάσταση η φυσική συναγωγή διαδραματίζει τον πιο σημαντικό ρόλο, καθώς όλες οι κινήσεις του ρευστού οφείλονται σε διαφορές πυκνότητας, δηλαδή σε διαφορές θερμοκρασίας. Η στατική κατάσταση της δεξαμενής έχει μελετηθεί και υπολογιστικά και πειραματικά από διάφορους ερευνητές κυρίως όσον αφορά τις απώλειες προς το περιβάλλον και λιγότερο ως προς την επιρροή της διάχυσης. Ο μεγαλύτερος όγκος των μελετών που υπάρχει στην βιβλιογραφία αφορά δεξαμενές κυλινδρικής γεωμετρίας, σε αντίθεση με τις ορθογωνικές δεξαμενές που ο αριθμός των μελετών είναι σαφώς μικρότερος. Ενδεικτικά, οι Shyu et al. (1989) μελέτησαν την απώλεια της διαστρωμάτωσης σε μία κυλινδρική δεξαμενή λόγω των απωλειών θερμότητας προς το περιβάλλον, αλλά και της αγωγής της θερμότητας καθ' ύψος των τοιχωμάτων της δεξαμενής σε στρωτές ροές. Πρότειναν την εφαρμογή εσωτερικής θερμομόνωσης της δεξαμενής, καθώς βρήκαν ότι αυξάνει την διαστρωμάτωση. Ακόμα, από τις πρώτες εργασίες που μελέτησαν παρόμοια προβλήματα φυσικής συναγωγής ήταν σχετικές με δεξαμενές πετρελαίου όπως αυτές από τους Cotter and Charles (1993a) και Cotter and Charles (1993b). Συγκεκριμένα, μελέτησαν τη συμπεριφορά μιας κατακόρυφης κυλινδρικής δεξαμενής μεγάλου κυβισμού, η οποία περιείχε πετρέλαιο σε υψηλότερη θερμοκρασία από το περιβάλλον. Εκτός από τις πειραματικές μετρήσεις που παρουσιάστηκαν στην εργασία, πραγματοποιήθηκε και μια υπολογιστική προσέγγιση σε στρωτή ροή. Βρέθηκε ότι η χρήση ενός μοντέλου για την εξάρτηση του ιξώδους με την θερμοκρασία δίνει ικανοποιητικής ακρίβειας αποτελέσματα.

41 2.1. ΡΟΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ 15 Οι Papanicolaou and Belessiotis (2002) μελέτησαν υπολογιστικά μια κατακόρυφη κυλινδρική δεξαμενή, σε ένα εύρος υψηλών αριθμών Rayleigh που αντιστοιχούσαν και στην τυρβώδη περιοχή. Τα οριζόντια τοιχώματα της δεξαμενής είναι αδιαβατικά, ενώ θερμαίνεται μέσω σταθερής ροής θερμότητας μέσω των πλάγιων τοιχωμάτων. Μελετήθηκε η μετάβαση από την στρωτή στην τυρβώδη ροή και το αντίστροφο (relaminarization) και η επίδραση του φαινομένου στην διαστρωμάτωση της δεξαμενής. Οι Oliveski et al. (2003) χρησιμοποιώντας μονοδιάστατα και δισδιάστατα υπολογιστικά μοντέλα για τυρβώδεις ροές, μελέτησαν την στατική κατάσταση μίας κυλινδρικής δεξαμενής η οποία αφού αρχικά ήταν ομοιογενώς φορτισμένη για διάφορες θερμοκρασίες, αφέθηκε να ψυχθεί για συγκεκριμένες χρονικές περιόδους. Σκοπός της εργασίας ήταν ο χαρακτηρισμός των απωλειών θερμότητας προς το περιβάλλον για διαφορετικές γεωμετρίες, πάχη μόνωσης και όγκους δεξαμενών καθώς και η σύγκριση των μοντέλων με πειραματικά δεδομένα για την επικύρωση τους. Αντίστοιχα, στην εργασία του ο Oliveski (2013) χρησιμοποίησε υπολογιστικά αποτελέσματα για να προτείνει μια συσχέτιση του αδιάστατου αριθμού Nusselt για κυλινδρικές δεξαμενές σε δυναμική κατάσταση με ταυτόχρονη απώλεια θερμότητας προς το περιβάλλον. Οι Lin and Armfield (2005) μελέτησαν την μακροχρόνια συμπεριφορά μιας κυλινδρικής δεξαμενής κατά την ψύξη της από τοιχώματα σταθερής χαμηλότερης θερμοκρασίας. Τα αποτελέσματά τους έδειξαν ότι η συμπεριφορά της δεξαμενής αντιπροσωπεύεται επαρκώς από την μέση θερμοκρασίας της δεξαμενής και τον μέσο αριθμό Nusselt στα κρύα τοιχώματα. Οι Rodriguez et al. (2009a) σε παρόμοια δεξαμενή μελέτησαν της θερμικές απώλειες από τα τοιχώματα και ταυτόχρονα διεξήγαγαν μη-διαστατική ανάλυση. Επίσης μέσω προσομοιώσεων σε στρωτή ροή, υπολόγισαν την μακροχρόνια συμπεριφορά της διεργασίας με σκοπό την συσχέτιση της μέσης θερμοκρασίας και του μέσου αριθμού Nusselt για την "τροφοδοσία" ενός μονοδιάστατου μοντέλου. Ενώ από την ίδια ομάδα ερευνητών, στην εργασία των Rodriguez et al. (2009b) διεξήγαγαν παραμετρική μελέτη για τις απώλειες θερμότητας σε στρωτή ροή, όπου έλαβαν υπόψη τους την αναλογία των διαστάσεων της δεξαμενής, το πάχος της μόνωσης, την αρχική θερμοκρασία και τον όγκο της δεξαμενής. Επιπλέον οι Savicki et al. (2011) μέσω πειραματικής και υπολογιστικής διερεύνησης, μελέτησαν τα φαινόμενα φυσικής συναγωγής στρωτής ροής σε οριζόντιες κυλινδρικές δεξαμενές. Ταυτόχρονα πρότειναν και μια συσχέτιση μεταξύ της θερμοκρασιακής διαστρωμάτωσης και των γεωμετρικών χαρακτηριστικών της δεξαμενής. Οι Fan and Furbo (2012) παρουσίασαν αποτελέσματα προσομοιώσεων για μια κατακόρυφη κυλινδρικής γεωμετρίας δεξαμενή κατά την διάρκεια στατικής κατάστασης σε στρωτή ροή. Βρήκαν

42 16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ - ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ την επίδραση που έχουν οι θερμικές απώλειες στην διαστρωμάτωση της δεξαμενής και συγκεκριμένα η καθοδική ροή κοντά στα τοιχώματα και η ανοδική ροή στην κεντρική περιοχή, σε ένα εύρος παραμέτρων όπως ο όγκος της δεξαμενής, ο λόγος ύψους/διαμέτρου, η μόνωση και οι διαφορετικές αρχικές συνθήκες. Τέλος, σε ορθογωνικές δεξαμενές, οι Papanicolaou and Belessiotis (2004) μέσω προσομοιώσεων τυρβωδών ροών σε υπόγεια δεξαμενή νερού (αλλά και του εδάφους και των τοιχωμάτων που την περιβάλλουν), μελέτησαν τα ροϊκά και θερμικά φαινόμενα που αναπτύσσονται σε μια φορτισμένη δεξαμενή λόγω των πιο κρύων τοιχωμάτων κατά την στατική κατάσταση. Βρέθηκε ότι στα πρώτα στάδια της διαδικασίας η φυσική συναγωγή κυριαρχεί σε αντίθεση με τις μεταγενέστερες χρονικές στιγμές που επικρατεί η θερμική διάχυση Μικτή συναγωγή Όπως αναφέρθηκε στο Κεφάλαιο μια από τις αιτίες αποδόμησης της θερμοκλίνης είναι η ανάμειξη που λαμβάνει χώρα μεταξύ των εισερχομένων/εξερχόμενων ρευμάτων νερού και του νερού της δεξαμενής. Ο μηχανισμός που περιγράφει αυτή την διαδικασία είναι η μικτή συναγωγή. Η μικτή συναγωγή είναι ένας συνδυασμός της εξαναγκασμένης και της φυσικής συναγωγής και πρακτικά προκύπτει όταν η ροή σε ένα σύστημα καθορίζεται από την αλληλεπίδραση ανάμεσα σε εξωτερικές δυνάμεις (εισροή νερού στη δεξαμενή) και εσωτερικές δυνάμεις (ανωστικές δυνάμεις). Φαινόμενα μικτής συναγωγής εμφανίζονται όταν η δεξαμενή λειτουργεί στις δυναμικές καταστάσεις (φόρτιση, εκφόρτιση). Μελέτες σε ροές μικτής συναγωγής σε δεξαμενές έχουν πραγματοποιηθεί τόσο σε πειραματικό αλλά και σε υπολογιστικό επίπεδο. Όπως και στις ροές φυσικής συναγωγής ο μεγαλύτερος όγκος των μελετών που υπάρχει στην βιβλιογραφία αφορά κυλινδρικής γεωμετρίας δεξαμενές. Σε μια από τις αντιπροσωπευτικές εργασίες στις κυλινδρικές δεξαμενές, οι Lightstone et al. (1989) παρουσίασαν ένα υπολογιστικό μοντέλο το οποίο χρησιμοποίησαν για την προσομοίωση της φόρτισης κυλινδρικής δεξαμενής με ζεστό νερό και συνέκριναν τα αποτελέσματα τους με αποτελέσματά διαθέσιμα από την βιβλιογραφία. Ανέδειξαν την σημασία που έχει η τυρβώδης ροή στην διαστρωμάτωση της δεξαμενής, ενώ μελέτησαν και την επίδραση που έχει η αγωγή των τοιχωμάτων της δεξαμενής στο πεδίο θερμοκρασίας της δεξαμενής. Στην υπολογιστική μελέτη τους οι Ghaddar and Al-Maarafie (1997) πραγματοποίησαν μια πειραματική και υπολογιστική διερεύνηση σε κυλινδρική δεξαμενή με αγωγή θερμότητας στα τοιχώματα. Χρησιμοποίησαν τα αποτελέσματα που προέκυψαν από τον δισδιάστατο υπολογιστικό τους κώδικα ώστε να τροφοδοτήσουν με τους κατάλ-

43 2.1. ΡΟΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ 17 ληλους συντελεστές ένα μονοδιάστατο μοντέλο με σκοπό την βελτίωση της ακρίβειας των αποτελεσμάτων του. Με σκοπό να συγκρίνουν και να αξιολογήσουν δυο δισδιάστατους υπολογιστικούς κώδικες για στρωτές ροές, ο δεύτερος ήταν μια απλοποιημένη μορφή του πρώτου, οι Ismail et al. (1997) μελέτησαν την φόρτιση μιας κυλινδρική δεξαμενής και συνέκριναν τους υπολογισμούς τους με διαθέσιμα πειραματικά και υπολογιστικά αποτελέσματα. Οι Eames and Norton (1998) χρησιμοποιώντας ένα τρισδιάστατο υπολογιστικό κώδικα και πειραματικές μετρήσεις μελέτησαν την επίδραση που έχει η θέση των διατάξεων εισροής/εκροής στην απόδοση μίας κυλινδρικής δεξαμενής κατά την διαδικασία της φόρτισης σε στρωτές ροές. Ο Spall (1998) μελέτησε την φόρτιση δεξαμενών αποθήκευσης κρύου νερού σε τυρβώδεις ροές. Σε τέτοιου είδους εφαρμογές οι θερμοκρασίες του νερού κυμαίνονται κάτω από τους 4 o C, όπου η πυκνότητα του νερού ελαττώνεται καθώς η ελαττώνεται και η θερμοκρασία. Ο Spall πραγματοποίησε μία παραμετρική μελέτη συσχετίζοντας την ανάμειξη με τον αδιάστατο αριθμό Αρχιμήδη. Στην υπολογιστική διερεύνηση που πραγματοποίησαν οι Bouhdjar and Harhad (2002) κατά την φόρτιση κυλινδρικής δεξαμενής, εξέτασαν την επίδραση που έχουν στην απόδοση της διαδικασίας διαφορετικά ρευστά (λάδι, γλυκόλη, νερό), καθώς και η αναλογία ύψους/διαμέτρου της δεξαμενής (από 3 εώς 1/3) για στρωτές ροές. Οι Johannes et al. (2005) συνέκριναν τα αποτελέσματα που προέκυψαν από τον εμπορικό υπολογιστικό κώδικα Fluent για στρωτή ροή, με τα αποτελέσματα από το TRNSYS (πρόγραμμα προσομοίωσης μεταβλητής χρονικά συμπεριφοράς ενεργειακών συστημάτων). Ο στόχος τους ήταν να αναδείξουν την ικανότητα του TRNSYS να προσομοιώσει δεξαμενές αποθήκευσης θερμότητας για μεγάλα ηλιακά συστήματα. Στις ορθογωνικές δεξαμενές ο αριθμός των μελετών στη βιβλιογραφία είναι μικρότερος. Ο Cabelli (1977) χρησιμοποιώντας ένα δισδιάστατο μοντέλο για στρωτές ροές, πραγματοποίησε υπολογισμούς σε ορθογωνική δεξαμενή η οποία είχε δυο κυκλώματα εισόδου ζεστού νερού σε οριζόντια και κατακόρυφη διεύθυνση. Μελέτησε την επίδραση του αριθμού Reynolds εισόδου και συνέκρινε τα αποτελέσματα του με μονοδιάστατα μοντέλα. Παρόμοια εργασία παρουσίασε και ο Guo and Wu (1985), όπου εκτός της επίδρασης του αριθμού Reynolds μελέτησε και την επίδραση του αριθμού Grashof. Οι Chan et al. (1983) μελέτησαν με δισδιάστατους υπολογισμούς, τα χρονικά μεταβαλλόμενα χαρακτηριστικά της στρωτής ροής και της μεταφοράς θερμότητας σε σχέση με την ταχύτητα εισόδου και το ύψος που τοποθετείται η διάταξη εισόδου του νερού. Οι Safi and Loc (1994) σε ανοικτή στο επάνω μέρος ορθογωνική δεξαμενή, μελέ-

44 18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ - ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ τησαν την επίδραση των αδιάστατων αριθμών Reynolds, Froude, Peclet που έχουν στα χαρακτηριστικά στρωτών ροών και στην δημιουργία και εξέλιξη της θερμοκλίνης. Σε μία πειραματική, υπολογιστική και αναλυτική εργασία, οι Van Berkel et al. (1999) παρουσίασαν λεπτομέρειες για την ανάμειξη που λαμβάνει χώρα κατά τη διάρκεια της φόρτισης μίας ορθογωνικής δεξαμενής για στρωτές ροές. Στη συνέχεια ανέπτυξαν αναλυτικό μοντέλο το οποίο είναι ικανό να προβλέπει την απόδοση της διαδικασίας σε τυπικές συνθήκες λειτουργίας. Οι Inada et al. (2001) μελέτησαν στρωτή ροή μικτής συναγωγής σε δεξαμενή ορθογωνικής γεωμετρίας αλλά ο στόχος τους ήταν μέσω μιας δεύτερης διάταξης εισόδου ρευστού να ενισχύσουν την ανάμειξη, καθώς προοριζόταν για εφαρμογές αποθήκευσης υγροποιημένου φυσικού αερίου, όπου η θερμοκρασιακή διαστρωμάτωση είναι ανεπιθύμητη. Τέλος, σε ορθογωνικής γεωμετρίας δεξαμενή αλλά με εργαζόμενο μέσο πετρέλαιο σε υψηλές θερμοκρασίες, ο Vardar (2003) μέσω υπολογιστικών προσομοιώσεων στην τυρβώδη περιοχή, μελέτησε την επίδραση στην μέση θερμοκρασία της δεξαμενής και της ροής, τριών διαφορετικών ταχυτήτων εισερχόμενου ρευστού και τριών διαφορετικών περιπτώσεων θέρμανσης Βαρυτικό ρεύμα Στενά συνδεδεμένη με την προσαγωγή-απαγωγή του νερού σε αποθηκευτικές δεξαμενές είναι η έννοια του βαρυτικού ρεύματος, καθώς για την μέγιστη δυνατή απόδοση της αποθήκευσης (μείωση της ανάμειξης) πρέπει τα εισερχόμενα-εξερχόμενα ρεύματα να ωθούνται από διαφορές πυκνότητας και όχι από την αδράνειά τους. Βαρυτικό ρεύμα (gravity current) είναι μια οριζόντια ροή ρευστού υψηλότερης πυκνότητας που εκτοπίζει ρευστό χαμηλότερης πυκνότητας πάνω σε μια επιφάνεια (Benjamin, 1968). Αποτελείται από το μέτωπο (head) που έχει περίπου το διπλάσιο ύψος από το μέσο ύψος της διεπιφάνειας των δύο ρευστών και ακριβώς από πίσω του υπάρχει μία ζώνη τυρβώδους ροής. Ακόμα πιο πίσω ακολουθεί το κυρίως σώμα (main body) η διεπιφάνεια του οποίου είναι πρακτικά οριζόντια (Σχήμα 2.1α). Τα παραπάνω χαρακτηριστικά του βαρυτικού ρεύματος εξαρτώνται άμεσα από τις τιμές των αδιάστατων αριθμών Grashof και Reynolds, δηλαδή τον συνδυασμό των ανωστικών δυνάμεων και των δυνάμεων αδρανείας (Simpson, 1982). Οι Yoo et al. (1986) μέσω θεωρητικών υπολογισμών παρουσίασαν οδηγίες για τον βέλτιστο σχεδιασμό των διατάξεων εισροής και εκροής νερού (διαχύτες) για δεξαμενές αποθήκευσης κρύου νερού. Οι συγγραφείς επεσήμαναν την σημασία του σχεδιασμού του διαχύτη εισόδου ώστε η ροή του νερού να είναι παράλληλη με το κάτω τοίχωμα της δεξα-

45 2.1. ΡΟΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ 19 Σχήμα 2.1: Μία τυπική μορφή ενός βαρυτικού ρεύματος (α) και οι τρεις χαρακτηριστικές του ζώνες (β) όπως το περιγράφει ο Nakos (1994). μενής στη μορφή ενός βαρυτικού ρεύματος, το οποίο δημιουργεί πιο λεπτή θερμοκλίνη και κατά συνέπεια λιγότερη ανάμειξη. Επίσης έδειξαν την επίδραση που έχει ο F r in στο πάχος της θερμοκλίνης, καθώς μελέτησαν πειραματικά μεγάλο εύρος τιμών του F r in ( ). Η σημασία του ρεύματος βαρύτητας στην απόδοση μίας δεξαμενής αποθήκευσης θερμότητας και στην προσπάθεια δημιουργίας λεπτής θερμοκλίνης, επιβεβαιώθηκε και από την μετέπειτα μελέτη του Nakos (1994). Διέκρινε δυο βασικές περιοχές οι οποίες προκύπτουν από την κίνηση του βαρυτικού ρεύματος κατά μήκος του κάτω τοιχώματος, την περιοχή αδρανείας-άνωσης και συνεκτικότητας-άνωσης, ανάλογα το μέγεθος των αδρανειακών, ανωστικών και συνεκτικών δυνάμεων (Σχήμα 2.1α). Επίσης όρισε τρεις χαρακτηριστικές ζώνες στο βαρυτικό ρεύμα, εδάφους (floor), πυρήνα (core) και διεπιφάνειας (interface), (Σχήμα 2.1β) και ανέπτυξε αριθμητικά μοντέλα για τον υπολογισμό της ταχύ-

46 20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ - ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ τητας και της θερμοκρασίας στο ρεύμα. Καθώς το βαρυτικό ρεύμα φτάνει στον απέναντι τοίχο της δεξαμενής και ανακλάται, ξεκινά μια ροή αντίθετης κατεύθυνσης που σχηματίζει στρώμα διατμητικής τάσης με το εισερχόμενο νερό που ρέει από κάτω. Ανάλογα με τις παραμέτρους που χαρακτηρίζουν την διαδικασία της εκφόρτισης, η ροή μπορεί να φτάσει μέχρι και τον τοίχο που βρίσκεται ο διαχύτης (Nakos, 1994). Οι Homan and Soo (1997) μελέτησαν υπολογιστικά το βαρυτικό ρεύμα σε στρωτές ροές και βρήκαν ότι καθώς ανακλάται το βαρυτικό ρεύμα στο απέναντι τοίχωμα δημιουργούνται φαινόμενα εσωτερικών κυμάτων (internal waves) που απεικονίζονται σε ταλαντώσεις της θερμοκλίνης. Εκτός από τις μελέτες που αναφέρθηκαν πιο πάνω από τους Yoo et al. (1986), Nakos (1994), Homan and Soo (1997) και μία σύντομη αναφορά από τον Van Berkel (1997), υπήρξαν ελάχιστες προσπάθειες ανάλυσης του βαρυτικού ρεύματος σε σχέση με την διαδικασία φόρτισης ή εκφόρτισης μιας δεξαμενής αποθήκευσης θερμότητας. Οι περισσότερες σχετικές μελέτες από τις οποίες ενισχύθηκε η ανάλυση τις παρούσας διατριβής, αφορούσαν βαρυτικά ρεύματα με διαφορά πυκνότητας και όχι με θερμοκρασιακές βαθμίδες, όπως lock-exchange flows (Ghasemi et al. (2013)), εισροή (entrainment) δισδιάστατων βαρυτικών ρευμάτων (Hallworth et al. (1996)), και διάδοση (propagation) βαρυτικού ρεύματος σε ρευστό δύο στρωμάτων (two-layer stratified ambient fluid), White and Helfrich (2012). 2.2 Κατασκευαστική διαμόρφωση δεξαμενών αποθήκευσης Κατηγορίες δεξαμενών αποθήκευσης Η κατηγοριοποίηση των δεξαμενών αποθήκευσης μπορεί να γίνει στη βάση ενός μεγάλου εύρους κριτηρίων, λόγω των πολλών εφαρμογών στις οποίες χρησιμοποιούνται. Κάθε δεξαμενή μπορεί να ανήκει σε παραπάνω από μία κατηγορίες. Η πιο βασική κατηγορία αναφέρεται στον τρόπο που αποθηκεύεται η θερμότητα (αισθητή, λανθάνουσα, με θερμοχημική διεργασία (Pinel et al., 2011)). Στην παρούσα διατριβή δίνεται έμφαση στις δεξαμενές αποθήκευσης αισθητής θερμότητας και ειδικότερα σε αυτές που χρησιμοποιούν σαν εργαζόμενο μέσο το νερό. Από τις κύριες κατηγορίες είναι η γεωμετρία της δεξαμενής. Μπορεί να είναι κυλινδρικής κατακόρυφου προσανατολισμού ((Shin et al., 2004), (Musser and Bahnfleth, 2001), κ.α.), κυλινδρικής οριζόντιου προσανατολισμού ((Young and Baughn, 1981), (Helwa et al., 1995), (Consul et al., 2004), (Aviv et al., 2009)), ορθογωνικής (Nakos (1994),

47 2.2. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΗ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΔΕΞΑΜΕΝΩΝ ΑΠΟΘΗΚΕΥΣΗΣ 21 Chung et al. (2008), Papanicolaou and Belessiotis (2009), κ.α.) ή σφαιρικής (Yumrutas and Unsal, 2012). Ανάλογα με τον χώρο που τοποθετούνται, οι δεξαμενές χωρίζονται σε επιφανείας που ανήκει η πλειοψηφία των δεξαμενών και υπόγειες (Papanicolaou and Belessiotis (2009), Yumrutas and Unsal (2012), Wang et al. (2009)). Η επικρατέστερη γεωμετρία για τις δεξαμενές επιφανείας είναι η κυλινδρική, με λόγο ύψους/διαμέτρου μεγαλύτερου του 2, ενώ για τις υπόγειες η ορθογωνική. Επίσης, με βάση το υλικό του κελύφους, διακρίνονται σε μεταλλικές και μη μεταλλικές, όπου και εδώ η επικρατέστερη μορφή είναι η μεταλλική για τις δεξαμενές επιφανείας και η μη μεταλλική για τις υπόγειες, όπου το κυρίαρχο υλικό για το κέλυφος είναι το σκυρόδεμα. Ακόμα οι δεξαμενές διαφέρουν και ως προς τον τρόπο που γίνεται η φόρτιση, είτε με απευθείας ανάμειξη ζεστού κρύου, είτε μέσω εναλλάκτη. Στην περίπτωση που υπάρχει εναλλάκτης, μπορεί να είναι τύπου εμβαπτισμένου κοχλιοειδή (π.χ. Spur et al. (2006)) ή τύπου μανδύα (π.χ. Knudsen and Furbo (2002)). Ανάλογα με το χρονικό εύρος που έχει η διαδικασία της αποθήκευσης, οι δεξαμενές χωρίζονται σε ημερήσιας ή εποχιακής αποθήκευσης (Dincer and Rosen, 2010). H ημερήσιας αποθήκευσης δεξαμενές (Alizadeh (1999), Consul et al. (2004)) προορίζονται για κατανάλωση που διαρκεί λίγες ώρες μειώνοντας με αυτό τον τρόπο το μέγεθος της δεξαμενής και/ή εκμεταλλεύονται την ημερήσια κατανομή της παρεχόμενης ενέργειας (π.χ. από ηλιακά συστήματα). Η δεύτερη κατηγορία της εποχιακής αποθήκευσης προορίζεται για την εκμετάλλευση εποχιακών κλιματικών μεταβολών (Papanicolaou and Belessiotis (2009), Yumrutas and Unsal (2012), Wang et al. (2009)). Οι κατηγορίες δεξαμενών αποθήκευσης που αναφέρθηκαν προηγουμένως παρουσιάζονται συγκεντρωτικά και στον Πίνακα Τύποι διατάξεων εισροής-εκροής εργαζόμενου μέσου Ένα από τα πιο κρίσιμα μέρη στον σχεδιασμό και την κατασκευαστική διαμόρφωση μίας δεξαμενής είναι η διάταξη για την εισροή και την εκροή του εργαζόμενου μέσου. Στην περίπτωση που δεν υπάρχει εσωτερικός εναλλάκτης θερμότητας, η γεωμετρία των διατάξεων καθορίζει σε μεγάλο βαθμό την διαταραχή της διαστρωμάτωσης στην δεξαμενή και την υποβάθμιση της αποθηκευμένης ενέργειας, λόγω της αναπόφευκτης ανάμειξης μεταξύ εισερχόμενων/εξερχόμενων ροών και αποθηκευμένου ρευστού κατά τη διάρκεια των περιόδων φόρτισης και εκφόρτισης. Οι πιο απλές διατάξεις, οι οποίες είναι και οι πιο ευρέως χρησιμοποιούμενες, κυρίως σε οικιακά συστηματά (Alizadeh, 1999), αποτελούνται από ένα σωλήνα στο πλάι της

48 22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ - ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ Πίνακας 2.1: Τύποι δεξαμενών αποθήκευσης θερμότητας κριτήριο γεωμετρία χρήση μέγεθος-όγκος [m 3 ] τοποθέτηση θερμοκρασιακό εύρος [ o C] τρόπος φόρτισης χρονικό εύρος υλικό κατασκευής τύποι κυβικές σφαιρικές κυλινδρικές θέρμανση ψύξη μικρές, Ω < 0.5 μεσαίες, 0.5 < Ω < 50 μεγάλες, 50 < Ω επιφανείας υπόγεια θ < < θ < 200 θ > 200 απ' ευθείας ανάμειξη με εναλλάκτη ημερήσια εποχιακή μέταλλο σκυρόδεμα δεξαμενής για την οριζόντια εισαγωγή του ζεστού νερού (Σχήμα 2.2α). Η ίδια συσκευή (σωλήνας) μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε διαφορετική θέση μέσα στην δεξαμενή, ώστε το νερό να εισέρχεται κατακόρυφα, όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.2β περίπτωση που μελετήθηκε από τους Loehrke and Holzer (1979). Το πρόβλημα με τις συγκεκριμένες διατάξεις είναι ότι παρουσιάζεται έντονη ανάμειξη μέσα στην δεξαμενή. Οι ροές που δημιουργούνται θα πρέπει να είναι οριζόντιες χωρίς τρισδιάστατες δίνες, ενώ η ορμή τους θα πρέπει να είναι ελεγχόμενη. Ένας συνήθης τρόπος για να επιτευχθούν αυτές οι προϋποθέσεις είναι η χρήση διαχυτών. Οι διαχύτες είναι κατάλληλες διατάξεις εισροής και εκροής νερού, που τοποθετούνται στο επάνω και κάτω μέρος της δεξαμενής και βοηθούν στον περιορισμό των υδροδυναμικών διαταραχών και επηρεάζουν άμεσα την απόδοση των δεξαμενών αποθήκευσης θερμότητας. Στην βιβλιογραφία έχει μελετηθεί ένα μεγάλο φάσμα διαφορετικών τύπων διαχυτών καθώς οι ερευνητές προσπαθούν να βελτιώσουν την απόδοση της αποθήκευσης. Συνήθως η απλό-

49 2.2. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΗ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΔΕΞΑΜΕΝΩΝ ΑΠΟΘΗΚΕΥΣΗΣ 23 Σχήμα 2.2: Απεικόνιση μιας τυπικής δεξαμενής με οριζόντια (α) και κατακόρυφη (β) σωλήνωση. τητα της κατασκευής έρχεται σε αντίθεση με την απόδοση τους. Οι Yoo et al. (1986), Baines et al. (1982), Wildin (1990) στις εργασίες τους έθεσαν διάφορα κριτήρια για τον σχεδιασμό και την λειτουργία των δεξαμενών, τα οποία αναφέρονται κυρίως στις τιμές των αδιάστατων αριθμών Reynolds (Re in < 600) και Froude (F r in < 1) κατά την είσοδο του ρευστού. Στο Σχήμα 2.3 παρουσιάζεται ένας από τους πλέον τυπικούς τρόπους εισροής και εκροής νερού κυρίως για δεξαμενές μεσαίου και μεγάλου κυβισμού. Συγκεκριμένα, στο επάνω και κάτω μέρος της δεξαμενής οι σωληνώσεις καταλήγουν στους διαφορετικούς τύπους διαχυτών. Σε αυτή την κατηγορία ανήκουν οι γραμμικοί διαχύτες, οι οποίοι έχουν ορθογωνική διατομή και χρησιμοποιούνται συνήθως σε ορθογωνικές δεξαμενές όπως αυτή που παρουσιάζεται στο Σχήμα 1.6 (Yoo et al., 1986) και οι ακτινικοί διαχύτες. Τυπικό παράδειγμα ακτινικού διαχύτη, παρουσιάζεται στο Σχήμα 2.3α, όπως χρησιμοποιήθηκε από τους Kaloudis et al. (2009) σε κυλινδρική δεξαμενή όγκου 30m 3. Ο ακτινικός διαχύτης επιτρέπει στο νερό να εξέρχεται οριζόντια σαν ένα λεπτό φύλλο. Ο συγκεκριμένος διαχύτης συγκρίθηκε στην ίδια εργασία με διαχύτη τύπου σταυρού (Σχήμα 2.3β) όπου διαπιστώθηκε η καλύτερη του απόδοση. Οι Zurigat et al. (1988) μελέτησαν διαχύτες (nozzle diffusers) οι οποίοι είτε είχαν όλη την επιφάνεια τους διάτρητη (Σχήμα 2.3γ), είτε ένα μέρος αυτής (Σχήμα 2.3δ). Διαπίστωσαν ότι για χαμηλούς αριθμούς Froude, γίνεται περισσότερο εμφανής η διαφορά στην απόδοση. Τέλος, στο Σχήμα 2.3ε φαίνεται ο οκταγωνικής περιφέρειας ακτινικός διαχύτης που μελετήθηκε από τον Bahnfleth et al. (2003) σε μια κυβική δεξαμενή. Ύστερα από διερεύνηση για διαφορετικά ύψη του διαχύτη βρέθηκε η έντονη εξάρτηση του αριθμού Froude εισόδου (F r in ) στην απόδοση. Μια άλλη μεγάλη κατηγορία διατάξεων είναι αυτή που χρησιμοποιεί εμπόδια υπό μορφή διαφραγμάτων ή δίσκων μέσα στην δεξαμενή (Zurigat et al., 1988), (Zachar et al.,

50 24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ - ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ Σχήμα 2.3: Σχέδιο δεξαμενής με απεικόνιση ενός τυπικού τρόπου τοποθέτησης διαφόρων τύπων διαχυτών. Συγκεκριμένα: α) ακτινικός διαχύτης (Kaloudis et al., 2009), β) σταυρός (Kaloudis et al., 2009), γ) διάτρητος διαχύτης (Zurigat et al., 1988), δ) διάτρητος διαχύτης (Zurigat et al., 1988), ε) οκταγωνικής περιφέρειας ακτινικός διαχύτης (Bahnfleth et al., 2003). 2003), (Altuntop et al., 2005), (Zachar and Aszodi, 2007) για να επιβραδύνει την ορμή του εισερχόμενου νερού και να εμποδίσει την ανάμειξη. Τυπικά παραδείγματα τέτοιων διατάξεων φαίνονται στο Σχήμα 2.4α,β. Οι Zurigat et al. (1988) μέσω πειραματικών μετρήσεων επιβεβαίωσαν τον παραπάνω ισχυρισμό της αυξημένης διαστρωμάτωσης με την χρήση εμποδίων μέσα στην δεξαμενή, ενώ σε παρόμοια συμπεράσματα κατέληξαν και οι Altuntop et al. (2005) οι οποίοι μελέτησαν 12 διαφορετικές γεωμετρίες εμποδίων. Τα αποτελέσματα τους έδειξαν ενίσχυση της διαστρωμάτωσης σε σχέση με την περίπτωση χωρίς εμπόδιο. Οι Zachar et al. (2003) στην μελέτη τους, βρήκαν ότι η διάμετρος του δίσκου και η απόσταση του από την είσοδο του νερού επηρεάζει σημαντικά την απόδοση. Οι Zachar and Aszodi (2007) μελέτησαν μία διάταξη ίδια με αυτή του Σχήματος 2.4β και διαπίστωσαν ότι είναι δυνατόν να αυξηθεί η παροχή νερού σε μεγαλύτερες τιμές χωρίς να επηρεάζεται η απόδοση. Τέλος, υπάρχουν και πιο πολύπλοκες κατασκευές όπως αυτής του Σχήματος 2.4γ. Ο συγκεκριμένος τύπος αποτελείται συνήθως από μία κεντρική κατακόρυφη σωλήνωση με οπές καθ' ύψος (Abu-Hamdan et al., 1992), (Shah et al., 2005), (Goppert et al., 2009). Με αυτό τον τρόπο το εισερχόμενο νερό "βρίσκει" παρόμοιο θερμοκρασιακό επίπεδο μέσα

51 2.2. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΗ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΔΕΞΑΜΕΝΩΝ ΑΠΟΘΗΚΕΥΣΗΣ 25 στην δεξαμενή και μειώνεται η ανάμειξη. Σύμφωνα με τους Abu-Hamdan et al. (1992) δεν υπάρχει μεγάλο πλεονέκτημα στην χρήση τους σε περιπτώσεις που η θερμοκρασία εισόδου είναι χρονικά μεταβαλλόμενη. Οι Shah et al. (2005) στην πειραματική και υπολογιστική μελέτη τους διαπίστωσαν αυξημένη διαστρωμάτωση σε συγκεκριμένο εύρος παροχής νερού, ενώ οι Goppert et al. (2009) μελέτησαν υπολογιστικά το πρόβλημα της αναρρόφησης κρύου νερού από ορισμένες οπές που υπάρχει σε τέτοιου είδους διατάξεις εισροής νερού. Εναλλακτικά στην προηγούμενη διάταξη, είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθεί στην κατακόρυφη σωλήνωση πορώδες μέσο (Yee and Lai, 2001), (Brown and Lai, 2011), ή ακόμα και ύφασμα (Andersen et al., 2008). Οι Yee and Lai (2001) μελέτησαν την επίδραση που έχει στη διαστρωμάτωση της δεξαμενής το πάχος και το μήκος του σωλήνα με το πορώδες μέσο και έθεσαν κάποια κριτήρια σχεδιασμού. Οι Brown and Lai (2011) στην πειραματική μελέτη τους κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι η εισαγωγή πορώδους υλικού μπορεί να βελτιώσει την διατήρηση της διαστρωμάτωσης. Οι Andersen et al. (2008) στην πειραματική και υπολογιστική μελέτη τους, διαπίστωσαν πλεονεκτήματα όσον αφορά την καλύτερη διαστρωμάτωση, στη χρήση του υφάσματος σαν πορώδους υλικού σε σύγκριση με διαχύτης παρόμοιο με αυτό του Σχήματος 2.4γ. Σχήμα 2.4: Απεικόνιση μιας τυπικής δεξαμενής με διάφορους τύπους διατάξεων εισροής νερού. Διατάξεις με εμπόδια στην δεξαμενή (α,β), κατακόρυφη σωλήνωση με οπές (γ). Οι Garcia-Mari et al. (2013) πρόσφατα μελέτησαν πειραματικά και συνέκριναν την απόδοση στην αποθήκευση μίας διάταξης παρόμοιας με αυτή που παρουσιάζεται στο Σχήμα 2.2α, με την διαφορά ότι υπήρχε πορώδες υλικό στην έξοδο του σωλήνα. Τα αποτελέσματά τους έδειξαν βελτίωση στην απόδοση για την περίπτωση με το πορώδες υλικό τόσο σε υψηλούς αλλά και σε χαμηλούς αριθμούς Reynolds. Οι Panthalookaran et al. (2008b) στην ίδια διάταξη εισήγαγαν μία κωνική γεωμετρία στην έξοδο με σκοπό την μείωση της ορμής του εξερχόμενου νερού και μελέτησαν την επίδραση της γωνίας της

52 26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ - ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ κωνικής διάταξης. Βρήκαν ότι υπάρχει βελτίωση στην απόδοση της αποθήκευσης στις μικρότερες γωνίες. Τέλος σε μια άλλη σχετική εργασία οι Ghosh et al. (2010) μέσω γενετικών αλγορίθμων υπολόγισαν τα βέλτιστα γεωμετρικά χαρακτηριστικά μίας παραβολικής διάταξης εισροής, ενώ μεταξύ άλλων διαπίστωσαν την μικρή επίδραση που έχει ο συντελεστής ανάκτησης πίεσης. 2.3 Πειραματικές μέθοδοι και αριθμητική προσομοίωση Όπως έχει ήδη αναφερθεί και στην Εισαγωγή, για την κατανόηση των φυσικών φαινομένων που επικρατούν σε μία δεξαμενή αποθήκευσης θερμότητας και το πως επηρεάζουν την αποδοτικότητα της αποθήκευσης, είναι απαραίτητη η γνώση των θερμοκρασιακών και των ροϊκών πεδίων. Οι τρόποι με τους οποίους αποκτώνται οι παραπάνω πληροφορίες είναι είτε μέσω πειραματικών διατάξεων είτε με την χρήση υπολογιστικών μοντέλων. Στην συνέχεια της ενότητας παρουσιάζεται βιβλιογραφική ανασκόπηση των μεθόδων, με έμφαση αρχικά στις πειραματικές εργασίες, στη συνέχεια στα μονοδιάστατα μοντέλα όπως αυτών των πολλαπλών στρωμάτων (Multinode) και κυρίως στα μοντέλα υπολογιστικής ρευστομηχανικής και πως αυτά αντιμετωπίζουν το πρόβλημα των τυρβωδών ροών Πειραματική προσέγγιση Ένας από τους βασικούς τρόπους για την απόκτηση πληροφορίας στις διάφορες καταστάσεις λειτουργίας μιας δεξαμενής αποθήκευσης θερμότητας, είναι μέσω πειραματικών διατάξεων. Μέχρι τώρα οι μελέτες που υπάρχουν στην βιβλιογραφία χωρίζονται σε δύο κατηγορίες ανάλογα με τον εξοπλισμό που χρησιμοποιείται και την πληροφορία που συλλέγεται. Η πρώτη κατηγορία στην οποία περιλαμβάνεται και η συντριπτική πλειοψηφία των μελετών αφορά μόνο στην απόκτηση δεδομένων της θερμοκρασίας του νερού της δεξαμενής. Ο πιο συνηθισμένος τρόπος είναι η χρήση θερμοστοιχείων καθ' ύψος της δεξαμενής, είτε σε μόνο μία στήλη συνήθως στον κεντρικό άξονα ή σε ένα κεντρικό κατακόρυφο επίπεδο της δεξαμενής (ενδεικτικές είναι οι εργασίες των Li et al. (2013), Zachar et al. (2003), Bahnfleth et al. (2003), Palacios et al. (2012), Shin et al. (2004), κ.α., είτε χρησιμοποιώντας πλέγμα θερμοστοιχείων που συλλέγει δεδομένα και κατά πλάτος της δεξαμενής (Abu-Hamdan et al., 1992), (Papanicolaou and Belessiotis, 2009), (Kaloudis et al., 2009). Στην εργασία των Papanicolaou and Belessiotis (2009) είχαν προστεθεί και θερμοστοιχεία θαμμένα στο χώμα για την καταγραφή της θερμοκρασίας και του εδάφους

53 2.3. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 27 που περιέβαλλε την υπόγεια δεξαμενή. Ακόμα ο Nakos (1994) κατέγραψε πειραματικά την θερμοκρασιακή κατανομή του βαρυτικού ρεύματος όπως αυτό εξέρχεται από έναν γραμμικό διαχύτη, με στόχο την καλύτερη κατανόηση του αρχικού σταδίου της δημιουργίας της θερμοκλίνης. Στην δεύτερη κατηγορία ανήκουν οι μελέτες με πειραματικές διατάξεις οι οποίες εκτός από την θερμοκρασία καταγράφουν και δεδομένα για τα πεδία ροής επιτρέποντας λεπτομερέστερη ανάλυση των διαδικασιών φόρτισης-εκφόρτισης καθώς και της ανάμειξης. Από τις πρώτες μελέτες που παρουσιάστηκαν στην βιβλιογραφία και αφορούσαν την αποτύπωση των πεδίων ροής του εισερχόμενου νερού σε μία δεξαμενή, ήταν αυτή των Yoo et al. (1986). Ειδικότερα αφορούσε μια πειραματική διάταξη ορθογωνικής γεωμετρίας με γραμμικό διαχύτη, όπου με την χρήση της τεχνικής χρωματισμού με φθορίζουσα βαφή (fluorescent dye colouring) αποτυπώθηκε το βαρυτικό ρεύμα που δημιουργείται κατά την εισροή του νερού, καθώς και η ανάκλαση του στο απέναντι τοίχωμα της δεξαμενής. Ο Van Berkel σε μια σειρά από μελέτες για ορθογωνικές δεξαμενές χρησιμοποίησε διάφορες τεχνικές απεικόνισης της ροής όπως με έγχρωμο ρευστό και την τεχνική shadowgraph (Van Berkel, 1996), την τεχνική χρωματισμού με φθορίζουσα βαφή με για διάταξη εισροής στο κάθετο τοίχωμα της δεξαμενής (Van Berkel et al., 1999) και τέλος την τεχνική Particle Tracking Velocimetry (PTV) για διάταξη εισροής νερού στο κάτω μέρος της δεξαμενής υπό την μορφή πίδακα Van Berkel et al. (2002). Οι Ganguli et al. (2010), Ganguli et al. (2011) πραγματοποίησαν πειράματα σε κυλινδρική δεξαμενή για περιπτώσεις φυσικής συναγωγής, μετρώντας την θερμοκρασία με θερμοζεύγη ενώ για το πεδίο ροής χρησιμοποίησαν τις μεθόδους PIV (Particle Image Velocimetry) και HFA (Hot Film Anemometry). Κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι η ένταση της τύρβης εξασθενεί καθώς περνάει ο χρόνος, κυρίως στην διαστρωματωμένη περιοχή. Τέλος οι Gandhi et al. (2011), Gandhi et al. (2013) χρησιμοποίησαν την μέθοδο PIV για την αποτύπωση των πεδίων ροής σε μια ορθογωνική δεξαμενή για περιπτώσεις φυσικής συναγωγής, όπου υπολόγισαν την κατανομή της ταχύτητας και της ενέργειας των τυρβωδών δομών της ροής Μονοδιάστατα Μοντέλα Η σημασία των μονοδιάστατων μοντέλων βασίζεται στο γεγονός ότι είναι πολύ πιο αποδοτικά όσον αφορά τον υπολογιστικό χρόνο που απαιτούν, με συνέπεια να χρησιμοποιούνται ευρέως σε προγράμματα προσομοίωσης ολόκληρων ενεργειακών συστημάτων για τον υπολογισμό της μακροχρόνιας απόδοσης. Για τον λόγο αυτό τα μονοδιάστατα μο-

54 28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ - ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ντέλα αποτελούν ένα πεδίο με έντονο ερευνητικό ενδιαφέρον. Τα περισσότερα από αυτά που υπολογίζουν την διαστρωμάτωση βασίζονται στην προσέγγιση multinode (Kleinbach et al., 1993), κατά την οποία ο βαθμός της διαστρωμάτωσης καθορίζεται από την επιλογή του αριθμού των ισοθερμοκρασιακών επιπέδων. Το μοντέλο αυτό παρουσιάζεται πιο αναλυτικά στη συνέχεια. Ο Alizadeh (1999) πρότεινε και διάφορες τροποποιήσεις για να συμπεριλάβει την ανάμειξη από τις διατάξεις εισόδου, ενώ οι Mavros et al. (1994) επέκτειναν το συγκεκριμένο μονοδιάστατο μοντέλο ώστε να συμπεριλαμβάνει και τις νεκρές ζώνες (dead spaces), δηλαδή περιοχές όπου το νερό παγιδεύεται και δεν συμμετέχει κανονικά στις θερμικές διεργασίες μέσα στις δεξαμενές. Επίσης έχουν προταθεί και άλλα μονοδιάστατα μοντέλα στην βιβλιογραφία που συμπεριλαμβάνουν αυτή την ανάμειξη (Zurigat et al. (1989), Ghaddar (1994), Nelson et al. (1999)). Επίσης υπάρχει και η κατηγορία μονοδιάστατων μοντέλων που χρησιμοποιούν διάφορες μαθηματικές μεθόδους για να πάρουν αναλυτική λύση στο πρόβλημα της μονοδιάστατης αγωγής. Παραδείγματος χάρη οι Yoo and Pak (1993) χρησιμοποίησαν μετασχηματισμό Laplace, ο Al-Nimr (1993) συμπεριέλαβε και την αγωγή της θερμότητας μέσω των τοιχωμάτων της δεξαμενής, οι Al-Najem and El-Refaee (1997) χρησιμοποίησαν ολοκληρώματα τύπου Chapeau-Galerkin και ο Homan (2003) χρησιμοποίησε στο μοντέλο του μεταβλητή θερμική διαχυτότητα. Το βασικό πρόβλημα σε αυτού του είδους τα μοντέλα είναι η ανάγκη για εισαγωγή εμπειρικής ή πειραματικής πληροφορίας για τον υπολογισμό της ανάμειξης στην είσοδο. Με αυτό τον τρόπο η ορθότητα των αποτελεσμάτων είναι άμεση συνάρτηση των πειραματικών συντελεστών και της καταλληλότητας τους για το εκάστοτε μοντέλο. Μοντέλο multinode Το συγκεκριμένο μοντέλο προτάθηκε από τους Kleinbach et al. (1993), και για την διαδικασία φόρτισης όταν δεν υπάρχει ροή νερού από την δεξαμενή προς την κατανάλωση, αλλά ούτε και βοηθητικές πηγές θέρμανσης ή θερμικές απώλειες, η εξίσωση του μοντέλου multinode έχει την παρακάτω μορφή: { dt i m i dt = F ṁ i (T i 1 T i ) for ṁ i > 0 iṁ in (T in T i ) + ṁ i+1 (T i T i+1 ) for ṁ i+1 0 (2.1) όπου έχει γίνει η υπόθεση ότι η δεξαμενή χωρίζεται κάθετα στον άξονά της σε ένα αριθμό Ν από ισοθερμοκρασιακές ζώνες (κόμβους), κάθε μια από τις οποίες έχει θερμοκρασία T i (Σχήμα 2.5). Η παραπάνω εξίσωση προκύπτει από τα ενεργειακά ισοζύγια για κάθε κόμβο i με μάζα m i και υποθέτοντας ότι υπάρχει μία ροή μάζας ṁ in που εισέρχεται από τον ηλιακό συλλέκτη (ή κάποια άλλη πηγή) σε ένα συγκεκριμένο κόμβο για τον οποίο ισχύει F i = 1 και T c > T i, ενώ για τους υπόλοιπους κόμβους ισχύει F i = 0. Ο

55 2.3. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 29 δεύτερος όρος στο δεξί μέρος της εξίσωσης αντιπροσωπεύει τη ροή θερμότητας από ή προς τον κόμβο (Kleinbach et al. (1993)), όπου ṁ i αντιπροσωπεύει την "καθαρή" ροή μεταξύ δυο κόμβων. Για την προσομοίωση μιας τυπικής δεξαμενής ο αριθμός των ζωνών που προτείνεται στην βιβλιογραφία ισούται με 4. Μέσω του μοντέλου Multinode είναι δυνατόν να υπολογιστούν οι δύο οριακές καταστάσεις της δεξαμενής κατά τη διάρκεια των διαδικασιών φόρτισης ή εκφόρτισης, δηλαδή της πλήρους διαστρωμάτωσης και της πλήρους ανάμειξης. Η πρώτη αντιστοιχεί στην κατάσταση της δεξαμενής, όπου δεν υπάρχει καθόλου ανάμειξη καθώς το νερό εισέρχεται ή εξέρχεται της δεξαμενής. Η πλήρως αναμεμειγμένη δεξαμενή, αντιστοιχεί σε μια δεξαμενή στην οποία το εισερχόμενο/εξερχόμενο νερό αναμειγνύεται έντονα με το αποθηκευμένο νερό, ώστε ο συνολικός όγκος του νερού να βρίσκεται σε ομοιόμορφη θερμοκρασία για όλη την χρονική περίοδο της διαδικασίας. Αν ο αριθμός των ισοθερμοκρασιακών ζωνών στο μοντέλο ισούται με 1 τότε προκύπτει η πλήρως ομογενοποιημένη κατάσταση, ενώ αν ο αριθμός Ν είναι σχετικά μεγάλος (200 ή περισσότερο) τότε προκύπτει η πλήρως διαστρωματωμένη κατάσταση. Σχήμα 2.5: Σχηματική αναπαράσταση δεξαμενής αποθήκευσης θερμότητας σύμφωνα με την προσέγγιση του Multinode μοντέλου

56 30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ - ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ Μοντέλα Υπολογιστικής Ρευστομηχανικής Στα μοντέλα Υπολογιστικής Ρευστομηχανικής οι εξισώσεις που χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν την κίνηση ενός ασυμπίεστου Νευτώνειου ρευστού είναι οι εξισώσεις που διατυπώθηκαν από τους Claude-Louis Navier και George Gabriel Stokes στη διακριτοποιημένη τους μορφή, και προκύπτουν από την εφαρμογή των αρχών διατήρησης μάζας, ορμής και ενέργειας σε ένα συνεχές μέσο. Οι Navier-Stokes εξισώσεις σε διαστατική μορφή είναι οι παρακάτω (Tennekes and Lumley, 1972): u i t + u u i j = x j u i = 0 (2.2) x i [ ( ui ν + u )] j 1 P + gβ T δ iy (2.3) x j x j x i ρ x j T t + u T j = [ α T ] (2.4) x j x j x j Ο πρώτος όρος του αριστερού μέλους της εξίσωσης της ορμής (2.3) και της θερμοκρασίας (2.4) περιγράφει την χρονική εξέλιξη των ταχυτήτων/θερμοκρασίας, ο δεύτερος όρος είναι ο όρος συναγωγής, ενώ στο στο δεξί μέλος της εξίσωσης ο πρώτος όρος περιγράφει την διάχυση. Τέλος μόνο για την εξίσωση της ταχύτητας, εμφανίζεται ένας όρος πηγής λόγω πίεσης και ακόμη ένας λόγω ανωστικών δυνάμεων για τον οποίο έχει εφαρμοστεί η προσέγγιση Boussinesq. Οι ροές των ρευστών χωρίζονται σε δυο μεγάλες κατηγορίες, τις στρωτές και τις τυρβώδεις. Στις στρωτές ροές τα στοιχεία του ρευστού κινούνται κατά μήκος ομαλών τροχιών με τη μορφή μη αναμίξιμων στρωμάτων. Αντίθετα, στις τυρβώδεις ροές τα στοιχεία του ρευστού κινούνται σε πολύ ακανόνιστες και στροβιλώδεις τροχιές προκαλώντας ταχύτατη μεταφορά ορμής από μια περιοχή του ρευστού σε μια άλλη (Σχήμα 2.6). Καθώς η παρούσα διατριβή επικεντρώνεται στις τυρβώδεις ροες, στη συνέχεια παρουσιάζονται τα βασικά χαρακτηριστικά της τύρβης και οι διάφορες μέθοδοι με τις οποίες επιλύονται οι τυρβώδεις ροές υπολογιστικά Τύρβη Ο Reynolds το 1883 ανέδειξε τις βασικές τους διαφορές σε ένα πείραμα κατά το οποίο εισήγαγε λεπτή δέσμη χρώματος σε ένα κυκλικής διατομής σωλήνα που έρεε νερό. Σε μικρές ταχύτητες, η δέσμη χρώματος ακολουθούσε ευθεία πορεία, αποδεικνύοντας ότι το νερό κινούταν σε παράλληλα στρώματα, χωρίς ανάμειξη μεταξύ των στρωμάτων (στρωτή ροή). Όταν η παροχή μέσα στο σωλήνα αυξηθεί πάνω από μία κρίσιμη τιμή, η δέσμη χρώματος 'σπάει' σε μία ακανόνιστη κίνηση και διαχέεται σε όλο το πλάτος του σωλήνα,

57 2.3. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 31 υποδεικνύοντας την ύπαρξη μηχανισμών ανάμειξης με κίνηση κάθετα στην κατεύθυνση της ροής. Αυτή η χαοτική κίνηση του ρευστού ονομάζεται τυρβώδης ροή (Kundu and Cohen, 2001). Σχήμα 2.6: Το πείραμα του Reynolds σε κλειστό αγωγό, διαφορές στρωτής και τυρβώδους ροής Σαφής ορισμός της τύρβης δεν υπάρχει, αλλά οι τυρβώδεις ροές έχουν κάποιες χαρακτηριστικές ιδιότητες οι οποίες τις διαχωρίζουν από τις στρωτές ροές και κάνουν πιο εύκολη την κατανόηση του όρου τύρβη (Tsaggaris (2005)). Έτσι: Οι τυρβώδεις ροές είναι μη μόνιμες ροές που έχουν ακανόνιστες διακυμάνσεις της ταχύτητας και στις τρεις κατευθύνσεις. H ανάμειξη μάζας, ορμής και θερμότητας είναι πολύ πιο αποτελεσματική στις τυρβώδεις ροές σε σχέση με τη μοριακή διάχυση των στρωτών ροών. Στα περισσότερα τυρβώδη πεδία ροής οι διακυμάνσεις είναι ακανόνιστες όμως δεν είναι στοχαστικές (τυχαίες), αλλά αντίθετα έχουν δομή (coherence). Η τύρβη περιέχει ένα ευρύ φάσμα από δίνες και συχνοτήτων των διακυμάνσεων κατά συνέπεια και ένα ευρύ φάσμα από χωρικές και χρονικές κλίμακες. Στην τυρβώδη ροή, οι μεγάλες κλίμακες συσχετίζονται με χαμηλές συχνότητες και οι μικρές δίνες με υψηλές συχνότητες. Οι μεγάλες δίνες είναι ασταθείς και αποδομούνται σε μικρότερες δίνες, που με τη σειρά τους αποδομούνται σε ακόμα πιο μικρές δίνες και ούτω καθεξής. Συνεπώς υπάρχει μια συνεχής μεταφορά κινητικής ενέργειας από τις μεγαλύτερες στις μικρότερες δίνες, μια διεργασία που λέγεται σκέδαση ενέργειας (Σχήμα 2.7). Αυτή η συνεχής παροχή ενέργειας που είναι απαραίτητη για την διατήρηση της τύρβης, εξάγεται από την κύρια ροή από τις μεγάλες δίνες και τελικά σκεδάζεται στις μικρότερες δίνες.

58 32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ - ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ Σχήμα 2.7: Το φάσμα της τυρβώδους ενέργειας και το εύρος της μοντελοποίησης του ανάλογα με την προσέγγιση (DNS, LES, RANS). Τα δυναμικά και γεωμετρικά χαρακτηριστικά των μεγάλων δινών καθορίζονται από τις οριακές συνθήκες του πεδίου ροής, άρα χαρακτηρίζονται από ανισοτροπία, είναι υπεύθυνες για το μεγαλύτερο μέρος της τυρβώδους ανάμειξης και περιέχουν το μεγαλύτερο μέρος της τυρβώδους κινητικής ενέργειας. Σε αντίθεση με τις μικρές κλίμακες, οι οποίες δεν συνεισφέρουν σημαντικά στην διαδικασία της τυρβώδους ανάμειξης και περιέχουν ένα μικρό μέρος της συνολικής τυρβώδους κινητικής ενέργειας, άρα είναι ισοτροπικές. Κριτήριο για το πότε υπάρχει μετάβαση μιας ροής από την στρωτή σε τυρβώδη κατάσταση αποτελεί ο αδιάστατος αριθμός Reynolds (Re) ο οποίος ορίζεται σαν ο λόγος των δυνάμεων αδρανείας ως προς τις δυνάμεις ιξώδους Re = ul/ν (για ροή σε αγωγό η μετάβαση στην τυρβώδη ροή ξεκινά για Re > 2300). Επίσης, για τις ροές όπου υπάρχει και μεταφορά θερμότητας και προκαλούνται διαφορές στην πυκνότητα, κριτήριο μετάβασης από την στρωτή στην τυρβώδη ροή αποτελεί και ο αδιάστατος αριθμός Grashof gβ T H3 (Gr H = ). Ο αριθμός Grashof είναι ο λόγος των ανωστικών δυνάμεων προς τις ν 2 δυνάμεις ιξώδους που ασκούνται στο ρευστό. Υψηλές τιμές (π.χ. Gr H > 10 9 για κατακόρυφες επίπεδες πλάκες)του αριθμού Grashof υποδεικνύουν μετάβαση στην τυρβώδη ροή.

59 2.3. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Μοντελοποίηση τύρβης Οι ροές που συναντώνται στις περιπτώσεις των δεξαμενών αποθήκευσης, με εργαζόμενο μέσο το νερό, μπορεί να είναι στρωτές, όπως στις μελέτες των Chung et al. (2008), Homan and Soo (1998) (ορθογώνια γεωμετρία) και Ievers and Lin (2009), Yaici et al. (2013), Consul et al. (2004) (τρισδιάστατη ροή σε κυλινδρική γεωμετρία), αλλά κατά κύριο λόγο ανήκουν στην τυρβώδη περιοχή. Οι αριθμοί Grashof που προκύπτουν για το νερό και για διαφορές μόλις μερικών βαθμών Κελσίου σε πραγματικές δεξαμενές αποθήκευσης υπερβαίνουν με ευκολία την τιμή Ωστόσο, γενικής ισχύος κριτήρια σχετικά με την μετάβαση από την στρωτή στην τυρβώδη ροή στην φυσική συναγωγή σε δεξαμενές νερού δεν είναι εύκολο να διατυπωθούν καθώς σημαντικό ρόλο παίζουν τα μεταβατικά φαινόμενα και η παρουσία θερμοκρασιακής διαστωμάτωσης (Papanicolaou and Belessiotis, 2002). Κατά συνέπεια ο τρόπος με τον οποίο θα μοντελοποιηθεί η τύρβη στους υπολογιστικούς κώδικες αποτελεί σημαντικό στοιχείο στην προσπάθεια προσομοίωσης τυρβωδών ροών σε δεξαμενές αποθήκευσης. Υπάρχουν τρεις βασικές διαφορετικές προσεγγίσεις: Άμεση Αριθμητική Προσομοίωση (Direct Numerical Simulation, DNS) Προσομοίωση Μεγάλων Δινών (Large Eddy Simulation, LES) Τεχνική μέσων τιμών Reynolds (Reynolds-averaged Navier-Stokes, RANS) Η κάθε μία από τις παραπάνω προσεγγίσεις έχει πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα που κυρίως αφορούν το κόστος σε υπολογιστικό χρόνο, την ακρίβεια των υπολογισμών, την ποιότητα της πληροφορίας, τον εμπειρικό χαρακτήρα των μοντέλων κλπ. Αναλυτικότερα: Άμεση Αριθμητική Προσομοίωση Με την άμεση αριθμητική προσομοίωση επιλύονται όλες οι κλίμακες της τύρβης (Σχήμα 2.7), με χρήση πολύ πυκνών πλεγμάτων και πολύ μικρών χρονικών βημάτων για την απαιτούμενη χωρική και χρονική ανάλυση. Το μεγάλο πλεονέκτημα της συγκεκριμένης μεθόδου είναι η έλλειψη κάποιου μοντέλου και κατά συνέπεια αυτή προσφέρει μεγάλη ακρίβεια αποτελεσμάτων (θεωρείται η πιο αξιόπιστη μέθοδος). Επίσης λόγω της επίλυσης όλως των κλιμάκων είναι διαθέσιμα όλα τα στατιστικά που χαρακτηρίζουν την τύρβη. Το κύριο μειονέκτημα της είναι το υψηλό υπολογιστικό κόστος, καθώς ο αριθμός των όγκων ελέγχου του πλέγματος αυξάνει εκθετικά με την αύξηση της τιμής του αριθμού Reynolds (Pope, 2000; Jiang and Lai, 2009). Σε ροές που υπάρχει και μεταφορά θερμότητας (φυσική ή μικτή συναγωγή), γεννώνται επιπλέον δυσκολίες, καθώς δημιουργούνται επιπλέον απαιτήσεις για πυκνότερα πλέγματα κυρίως κοντινά σε τοιχώματα (Shishkina and Wagner, 2012).

60 34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ - ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ Προς το παρών δεν υπάρχει στην βιβλιογραφία εφαρμογή της άμεσης αριθμητικής προσομοίωσης σε δεξαμενές αποθήκευσης θερμότητας. Παρόλα αυτά υπάρχουν σχετικές μελέτες η οποίες ανήκουν στην διερεύνηση βασικών ροών που συναντώνται σε δεξαμενές αποθήκευσης θερμότητας, όπως φυσικής συναγωγής (Trias et al., 2010), κατακόρυφο θερμικό οριακό στρώμα (Abedin et al., 2010) αλλά και βαρυτικά ρεύματα (Bonometti et al., 2011). Τεχνική μέσων τιμών Reynolds Αντίθετα με την άμεση αριθμητική προσομοίωση, η τεχνική μέσων τιμών Reynolds περιγράφει την χρονική εξέλιξη των μέσων τιμών των ιδιοτήτων της ροής με την παράλληλη χρήση διάφορων μοντέλων που προσεγγίζουν τις τάσεις Reynolds (άγνωστος όρος που προκύπτει από τον όρο συναγωγής). Εξισώσεις μεταφοράς μπορούν να προκύψουν και για άλλες ιδιότητες της τύρβης όπως η τυρβώδης κινητική ενέργεια (Wilcox, 2002). Υπάρχει μεγάλο εύρος διαθέσιμων μοντέλων, τα οποία συνήθως εμπεριέχουν και εμπειρικές παραμέτρους που πρέπει να καθοριστούν ανάλογα με την περίπτωση. Άλλο ένα σημαντικό μειονέκτημα της τεχνικής μέσων τιμών Reynolds είναι η έλλειψη πληροφορίας για τις στιγμιαίες μεταβολές (Σχήμα 2.7). Παρ' όλα, έχει πολύ μικρότερες απαιτήσεις σε υπολογιστικό κόστος, καθώς δεν υπάρχει απαίτηση για πυκνό πλέγμα με συνέπεια την εφαρμογή της σε διατάξεις με αριθμούς Reynolds απαγορευτικούς για την άμεση αριθμητική προσομοίωση. Οι περισσότερες μελέτες για δεξαμενές αποθήκευσης θερμού νερού στην βιβλιογραφία, μέχρι τώρα, έχουν χρησιμοποιήσει την τεχνική μέσων τιμών Reynolds. Ειδικότερα οι Cai et al. (1993), Papanicolaou and Belessiotis (2002), Oliveski et al. (2003), Shin et al. (2004), El-Amin et al. (2010), κ.α. σε δισδιάστατες κυλινδρικές γεωμετρίες, ενώ μεταξύ άλλων οι Bahnfleth et al. (2003), Panthalookaran et al. (2008a), Kaloudis et al. (2009) και Aviv et al. (2009) σε τρισδιάστατες κυλινδρικές γεωμετρίες με διάφορα μοντέλα (standard k-ε, realizable k-ε, SST, RNG κ.α.). Οι μελέτες σε δεξαμενές με ορθογωνικές γεωμετρίες είναι περιορισμένες σε σύγκριση με τις κυλινδρικές, ειδικά για τις τρεις διαστάσεις. Συγκεκριμένα, οι Mo and Miyatake (1996) μελέτησαν την δισδιάστατη ροή κατά την φόρτιση μιας τετράγωνης δεξαμενής με κρύο νερό, ενώ οι Papanicolaou and Belessiotis (2009), ενσωμάτωσαν και ένα μοντέλο συζευγμένης μεταφοράς θερμότητας για την μελέτη της επίδρασης των τοιχωμάτων κατά την διάρκεια της φόρτισης με νερό μεταβαλλόμενης θερμοκρασίας μίας τετράγωνης δεξαμενής. Σε αυτή την εργασία έγινε χρήση του μοντέλου two-layer ειδικής μορφής, προσαρμοσμένης στην μικτή συναγωγή (με παράμετρο το μέγεθος του αριθμού Archimedes, Ar).

61 2.3. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 35 Προσομοίωση Μεγάλων Δινών Όπως αναφέρθηκε στην προηγούμενη παράγραφο ( ), οι μικρές δίνες στις τυρβώδεις ροές χαρακτηρίζονται από ομοιογένεια και ισοτροπία. Σε αυτή την ιδιότητα στηρίζεται η προσομοίωση μεγάλων δινών η οποία επιλύει όλες τις μεγάλες δίνες και εισάγει μοντελοποίηση για τις μικρές (Σχήμα 2.7). Στα μοντέλα που χρησιμοποιούνται εισάγονται ελάχιστες εμπειρικές παράμετροι (έως και καμία), καθιστώντας τα "ευέλικτα" και ικανά να επιλύσουν μεγάλο εύρος εφαρμογών (Sagaut, 2006). Η ποιότητα και η ακρίβεια της παρεχόμενης πληροφορίας είναι χαμηλότερη από την άμεση αριθμητική προσομοίωση αλλά καλύτερη από την τεχνική μέσων τιμών Reynolds. Οι απαιτήσεις σε πυκνά πλέγματα είναι αρκετά υψηλές, αλλά λόγω της συνεχούς εξέλιξης των Η/Υ, οι εφαρμογές που μπορούν να επιλυθούν αυξάνονται διαρκώς. Αναλυτικότερες πληροφορίες για την συγκεκριμένη μέθοδο παρουσιάζονται στο επόμενο κεφάλαιο. Η εφαρμογή της συγκεκριμένης μεθοδολογίας σε δεξαμενές αποθήκευσης θερμότητας με εργαζόμενο μέσο το νερό είναι ακόμα σε πρώιμο στάδιο καθώς υπάρχουν ελάχιστες αναφορές στην βιβλιογραφία. Κυρίως υπάρχουν παρεμφερείς μελέτες σε άλλου τύπου ορθογωνικά κοιλώματα, όπως αυτή των dos Santos et al. (2011), οι οποίοι χρησιμοποιώντας το μοντέλο Smagorinsky (Κεφάλαιο 3.1.3), πραγματοποίησαν δισδιάστατες προσομοιώσεις σε περιπτώσεις μικτής συναγωγής. Περισσότερες μελέτες υπάρχουν αντίθετα σε παρόμοιες καρτεσιανές γεωμετρίες με εργαζόμενο μέσο των αέρα, κυρίως για εφαρμογές κλιματισμού. Συγκεκριμένα, οι Zhang and Chen (2000a) και οι Ezzouhri et al. (2009) εφάρμοσαν το φιλτραρισμένο δυναμικό μοντέλο υποκλίμακας για ροές μικτής συναγωγής, ενώ οι Su et al. (2001) συνέκριναν διάφορα μοντέλα LES και αυτοί για γεωμετρίες με εφαρμογή στον κλιματισμό. Λόγω της λεπτομερέστερης ανάλυσης που προσφέρουν οι προσομοιώσεις LES στα τυρβώδη χαρακτηριστικά του πεδίου ροής περισσότερες πληροφορίες μπορούν να αποκτηθούν κυρίως για τις περιοχές της δεξαμενής με έντονο ενδιαφέρον, όπως η περιοχή εισόδου του νερού ή η περιοχή πλησίον του πυθμένα της δεξαμενής που ρέει το βαρυτικό ρεύμα. Τα πλεονεκτήματα της συγκεκριμένης προσέγγισης κρίθηκαν ικανά ώστε να αποτελέσει την επιλογή για την μοντελοποίηση της τύρβης στον υπολογιστικό κώδικα που αναπτύχθηκε. Αναλυτικά η μεθοδολογία και η μοντελοποίηση μεγάλων δινών παρουσιάζεται στο επόμενο κεφάλαιο.

62 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ - ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ 2.4 Μέθοδοι χαρακτηρισμού της αποδοτικότητας της αποθήκευσης Με σκοπό την ποσοτικοποίηση των ενεργειακών απωλειών της δεξαμενής, όπως αυτές περιγράφηκαν παραπάνω, έχουν προταθεί διάφορες μέθοδοι και παράμετροι, όπως το πάχος της θερμοκλίνης, η αδιάστατη ειδική εξέργεια (Haller et al., 2009; Han et al., 2009), ο ρυθμός παραγωγής εντροπίας (Ji and Homan, 2006), ο αριθμός Bejan (Bejan, 1996), ο χρήσιμος όγκος νερού Homan and Soo (1998), ο δείκτης διαστρωμάτωσης (Wu and Bannerot, 1987), ο αριθμός MIX (Davidson et al., 1994), η ενεργειακή απόδοση φόρτισης ή εκφόρτισης (Dincer and Rosen, 2010), η ενεργειακή απόδοση ολόκληρου του κύκλου (για παράδειγμα ο Figure of Merit (Dincer and Rosen, 2010)), ο δείκτης διαστρωμάτωσης Percentage of Ideal Case (Walmsley et al., 2010), κ.α. Κάθε μία από τις παραπάνω μεθόδους έχει τα δικά της πλεονεκτήματα, αλλά δεν μπορεί να εξασφαλίσει από μόνη της την πλήρη απεικόνιση του μηχανισμού της ανάμειξης. Για το λόγο αυτό, στη βιβλιογραφία προτείνεται η ανάλυση των αποτελεσμάτων με χρήση αρκετών από τα παραπάνω φυσικά μεγέθη ώστε να αποκτηθεί λεπτομερής εικόνα για την ανάμειξη, την χωρική και την χρονική της μεταβολή και τελικά την απόδοση της δεξαμενής αποθήκευσης θερμότητας. Παρακάτω παρουσιάζονται αναλυτικά οι μέθοδοι που χρησιμοποιήθηκαν στην παρούσα διατριβή Πάχος θερμοκλίνης Ο βαθμός της διαστρωμάτωσης σε μια δεξαμενή αποθήκευσης ποσοτικοποιείται μέσω της παραγώγου της θερμοκρασίας και του πάχους της θερμοκλίνης που χωρίζει τις θερμές και τις ψυχρές περιοχές μέσα στην θερμοκλίνη (Dincer and Rosen, 2010). Το αδιάστατο πάχος της θερμοκλίνης δ ορίζεται με βάση τη γραμμή πλήρωσης που αντιπροσωπεύει την στιγμιαία θέση του εισερχόμενου μετώπου του νερού, για την περίπτωση της ιδανικής απομάστευσης. Η χρονική εξέλιξη της αδιάστατης απόστασης της γραμμής πλήρωσης Hf από την επιφάνεια του νερού, υπολογίζεται από: Hf (t ) = Q int = (H in /H)u int (2.5) όπου Q i είναι η αδιάστατη παροχή όγκου που φορτίζει την δεξαμενή. Το πάχος της θερμοκλίνης δ ορίζεται ως η απόσταση ανάμεσα στις περιοχές όπου θ = 0.9 θmax και θ = 0.1 θmax, πάνω και κάτω από τη γραμμή πλήρωσης αντίστοιχα (Homan, 2003), όπως φαίνεται και στο Σχήμα 2.8. Ο παραπάνω ορισμός μπορεί να εφαρμοστεί απευθείας σε περιπτώσεις όπου η ταχύτητα εισόδου και η θερμοκρασία του νερού μέσα στην δεξα-

63 2.4. ΜΕΘΟΔΟΙ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΥ ΤΗΣ ΑΠΟΔΟΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 37 μενή είναι σταθερές. Για περιπτώσεις όπου αυτό δεν ισχύει, προτείνεται στα πλαίσια της διατριβής (Ενότητα 5.3) μία επέκταση της μεθοδολογίας υπολογισμού. y * H * 0.9 (t* ) H * f (t* ) H * 0.1 (t* ) θ * Σχήμα 2.8: Τυπική καθ' ύψος κατανομή θερμοκρασίας σε δεξαμενή αποθήκευσης θερμότητας και γραφική αναπαράσταση του υπολογισμού του πάχους της θερμοκλίνης Αδιάστατη ειδική εξέργεια Η εξεργειακή ανάλυση είναι μια μέθοδος που χρησιμοποιεί τις αρχές διατήρησης μάζας και ενέργειας ταυτόχρονα με τον δεύτερο θερμοδυναμικό νόμο και βοηθά στον σχεδιασμό και την ανάλυση ενεργειακών συστημάτων και διεργασιών. Πιο συγκεκριμένα, εξέργεια ορίζεται ως το μέγιστο έργο (ή αλλιώς η διαθέσιμη ενέργεια) που μπορεί να παραχθεί από μία ποσότητα ύλης καθώς αυτή έρχεται σε ισορροπία με μια κατάσταση αναφοράς. Η παραπάνω μέθοδος εφαρμόζεται στις δεξαμενές αποθήκευσης θερμότητας μέσω της στιγμιαίας αδιάστατης ειδικής εξέργειας, η οποία υπολογίζεται από την σχέση (Dincer and Rosen, 2010): Ξ = ξρdω (2.6) όπου ξ είναι η ειδική εξέργεια. Με βάση τα εξεργειακά επίπεδα της δεξαμενής των δυο ιδανικών οριακών καταστάσεων (πλήρως διαστρωματωμένη και πλήρως αναμεμειγμένη δεξαμενή), οι αδιάστατες εξεργειακές απώλειες, ορίζονται ως: ξ = 1 Ξ Ξ mix Ξ str Ξ mix (2.7)

64 38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ - ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ Η αδιάστατη εξέργεια ισούται με μηδέν όταν η θερμοκρασιακή κατανομή της δεξαμενής ταυτίζεται με την πρόβλεψη του μοντέλου της πλήρους διαστρωμάτωσης, και ισούται με 1, όταν το ρευστό μέσα στην δεξαμενή είναι πλήρως αναμεμειγμένο. Θεωρώντας την πυκνότητα και την ειδική θερμοχωρητικότητα σταθερές, η ολική στιγμιαία διαφορά εξέργειας της πραγματικής δεξαμενής σε σχέση με μία πλήρως αναμεμειγμένη, υπολογίζεται από την σχέση των Consul et al. (2004): Ξ Ξ mix = C p ρω [ ( )] Te (T T mix )ln T mix (2.8) όπου T = 1 Ω Σ cvω i T i και T e = exp ( 1 Ω Σ cvω i lnt i ) με την τελευταία τιμή να αντιπροσωπεύει την ισοδύναμη θερμοκρασία μιας πλήρους αναμεμειγμένης δεξαμενής που έχει την ίδια εξέργεια με μια πλήρως διαστρωματωμένη δεξαμενή. Με παρόμοιο τρόπο, η μεταβολή της εξέργειας μεταξύ μίας πλήρους διαστρωματωμένης και μια πλήρους αναμεμειγμένης δεξαμενής Ξ str Ξ mix υπολογίζεται ως: [ ( )] Te,str Ξ str Ξ mix = C p ρω (T str T mix )ln T mix (2.9) Σε αυτή την περίπτωση, τα T str και T e,str υπολογίζονται ως: T e = 1 Σ Ω cvω i T str,i και T e,str = exp ( 1 Σ ) Ω cvω i lnt str,i Ρυθμός παραγωγής εντροπίας Η παραγωγή της εντροπίας αποτελεί άλλη μια μέθοδο εκτίμησης της θερμοδυναμικής απόδοσης μιας διεργασίας. Συγκεκριμένα η παραγωγή εντροπίας χαρακτηρίζει την μετατροπή της μηχανικής ενέργειας του ρευστού σε εσωτερική ενέργεια. Αυτή η μη αναστρέψιμη διαδικασία, υποβίβασης του εξεργειακού περιεχομένου (ή του χρήσιμου έργου) σε ένα σύστημα είναι ανάλογη του ρυθμού παραγωγής της εντροπίας: W lost = T o S gen (Bejan, 1996). Η εξίσωση μεταφοράς της εντροπίας δίνεται από την εξίσωση (Safari et al., 2010): S t + u s j = [ ] 1 s + x j x j ρ x Ṡ g (2.10) j Ο τελευταίος όρος της παραπάνω εξίσωσης, ονομάζεται χωρικός ρυθμός παραγωγής εντροπίας και σε τυρβώδη ροή δίνεται από την σχέση (Ji and Homan, 2006): Ṡg = T 2 ( ) c 1 + ν P r ( θ ) 2 t ReP r P r t (1 + T c θ ) + Ec 2 Re (1 + Φ ν t ) (2.11) 1 + T c θ όπου T c T /T o, E c = u 2 i /c p T o είναι ο αδιάστατος αριθμός Eckert και Φ η συνάρτηση διάχυσης. [ ( u Φ ) 2 ( v ) 2 ( w ) ] 2 [ v ] 2 [ = 2 x + y + z + x + u w ] 2 [ y + y + v u ] 2 z + z + w x (2.12)

65 2.4. ΜΕΘΟΔΟΙ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΥ ΤΗΣ ΑΠΟΔΟΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 39 Ο πρώτος όρος στην Εξίσωση 2.11 (Ṡ g,h )αντικατοπτρίζει την παραγωγή εντροπίας λόγω θερμικής διάχυσης και ο δεύτερος όρος (Ṡ g,f )ισούται με την παραγωγή εντροπίας λόγω των φαινομένων συνεκτικότητας. Ακόμα ορίζεται και ο αδιάστατος αριθμός Bejan (Bejan (1996)) ως ο λόγος των απωλειών λόγω θερμικής διάχυσης προς της ολικές απώλειες (Ṡ g μένα: Ṡ g,h Be = Ṡ g = Ṡ g,h + Ṡ g,f ). Συγκεκρι- (2.13) Συνεπώς, όταν Be = 1, η παραγωγή εντροπίας οφείλεται αποκλειστικά στην θερμική διάχυση και όταν Be = 0 οφείλεται στα φαινόμενα συνεκτικότητας Ωφέλιμος όγκος νερού Ένας ακόμη τρόπος χαρακτηρισμού της θερμικής ανάμειξης είναι και ο υπολογισμός του απομαστευόμενου όγκου νερού, ο οποίος βρίσκεται πάνω από μια συγκεκριμένη θερμοκρασία. Το παραπάνω ορίστηκε από τον Homan and Soo (1998) σαν ωφέλιμος όγκος νερού (Useful Volume Fraction - UV F ) για την περίπτωση της φόρτισης αν εκφραστεί σε σχέση με τον όγκο της δεξαμενής. Για την διαδικασία της εκφόρτισης ο δείκτης UVF για οποιαδήποτε χρονική στιγμή ορίζεται ως: UV F (t) = 1 1 H[T (x, y, z, t) T m ]dω, (2.14) Ω όπου T m αντιστοιχεί στην μέγιστη χρήσιμη θερμοκρασία (στην παρούσα διατριβή τέθηκε ίση με 0.1 T max, όπου T max είναι η μέγιστη θερμοκρασία) και η συνάρτηση Heaviside H ορίζεται: H[T (x, y, z, t) T m ] { 0 if T (x, y, z, t) < Tm 1 if T (x, y, z, t) T m (2.15)

66

67 Κεφάλαιο 3 Μεθοδολογία Αριθμητικής επίλυσης Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζονται οι βασικές εξισώσεις που διέπουν την ροή και τη μεταφορά θερμότητας, δηλαδή της διατήρησης μάζας, ορμής και ενέργειας. Από την επίλυση αυτών των εξισώσεων προκύπτουν οι χρονικά και χωρικά μεταβαλλόμενες τιμές των μεταβλητών που είναι αναγκαίες για την λεπτομερή μελέτη των φαινομένων: οι συνιστώσες της ταχύτητας (u, v, w), η πίεση (p) και η θερμοκρασία (T ). Ο σκοπός του κεφαλαίου είναι η παρουσίαση της μεθόδου των πεπερασμένων όγκων (Finite Volume), όπως εφαρμόστηκε στην παρούσα εργασία, για την δημιουργία ενός υπολογιστικού κώδικα με δυνατότητα επίλυσης προβλημάτων τυρβωδών ροών, σε τρισδιάστατες καρτεσιανές γεωμετρίες. 3.1 Μαθηματικό μοντέλο Εξισώσεις μοντέλου Οι εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση ενός ασυμπίεστου Νευτώνειου ρευστού και χρησιμοποιήθηκαν στην παρούσα διατριβή, προέκυψαν θεωρώντας τρισδιάστατες καρτεσιανές συντεταγμένες και κάνοντας τις παρακάτω υποθέσεις: Ασυμπίεστη τυρβώδη ροή Τα ρευστά που μελετήθηκαν (νερό, αέρας) συμπεριφέρονται σαν Νευτώνια ρευστά Οι θερμοφυσικές ιδιότητες παρέμειναν σταθερές με εξαίρεση την πυκνότητα, για την οποία χρησιμοποιήθηκε η προσέγγιση Boussinesq (η πυκνότητα μεταβάλλεται γραμμικά μόνο στους όρους που πολλαπλασιάζονται με την επιτάχυνση της βαρύτητας) 41

68 42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Με βάση τα παραπάνω, οι εξισώσεις που χρησιμοποιήθηκαν είναι οι , όπως αναφέρθηκαν στο Κεφάλαιο Προσομοίωση Μεγάλων Δινών (LES) Όπως έχει ήδη αναφερθεί, για την μοντελοποίηση της τύρβης εφαρμόστηκε η Προσομοίωση Μεγάλων Δινών. Ζητούμενο στη μέθοδο LES είναι να υπολογιστεί το πεδίο ταχυτήτων που περιέχει μόνο τις "μεγάλες" δίνες. Αυτό επιτυγχάνεται μέσω μιας διαδικασίας φιλτραρίσματος του πεδίου ταχυτήτων (Leonard (1974)). Η φιλτραρισμένη μεταβλητή (ϕ) προκύπτει από την σχέση (για μία διάσταση): ϕ(x) = G(x, x )ϕ(x )dx (3.1) Για την εφαρμογή του φίλτρου στις εξισώσεις, η επίδραση του φίλτρου μπορεί να αναπαρασταθεί μέσω της ανασύνθεσης: ϕ = ϕ + ϕ (3.2) όπου η παριστά την ιδιότητα μεγάλης κλίμακας που αναλύεται και την μέση τιμή της στο χώρο. Η συνιστώσα του πεδίου της ροής που απαλείφθηκε με αυτή τη διαδικασία συμβολίζεται με και αναφέρεται ως υποκλίμακα ή τμήμα SGS (sub-grid scale). Όταν εφαρμοστεί το φιλτράρισμα στις εξισώσεις προκύπτουν οι παρακάτω φιλτραρισμένες εξισώσεις: u i = 0 (3.3) x i u i t + u iu j = 1 p + ( ν u ) i gβ T δ iy (3.4) x j ρ x i x j x j T t + T u j = ( α T ) (3.5) x j x j x j όπου όλοι οι όροι μπορούν να υπολογιστούν άμεσα, με εξαίρεση τους μη γραμμικούς όρους συναγωγής u i u j και T u j. Σύμφωνα με τον Leonard (1974) οι δύο αυτοί όροι μπορούν να ξαναγραφτούν ως: u i u j = τ d ij + u i u j (3.6) T u j = h j + T u j (3.7) όπου οι δύο όροι τ d ij και h j αναπαριστούν την επίδραση των μικρών μη αναλυμένων κλιμάκων στις αναλυμένες κλίμακες. Είναι αυτοί ακριβώς οι όροι για τους οποίους πρέπει

69 3.1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ 43 να εφαρμοστεί κάποιο μοντέλο υποκλίμακας ώστε να κλείσει το σύστημα των εξισώσεων. Με εισαγωγή των εκφράσεων 3.6 και 3.7, οι εξισώσεις πλέον παίρνουν την μορφή: u i = 0 (3.8) x i u i t + u iu j = 1 p + ( ν u ) i τ ij d gβ T δ iy (3.9) x j ρ x i x j x j x j T t + T u j = ( α T ) h j (3.10) x j x j x j x j Μοντέλο Smagorinsky Το πρώτο μοντέλο υποκλίμακας προτάθηκε από τον Smagorinsky (1963) και οφείλει την δημοτικότητα του στην απλότητα του και στο χαμηλό υπολογιστικό κόστος. Βασίζεται στην λογική του τυρβώδους ιξώδους (ν t ), όπου η τάση τ d ij μοντελοποιείται ως: τ d ij = τ ij 1 3 τ kkδ ij = 2ν t S ij (3.11) με την ορθή τάση τ kk να ομαδοποιείται μαζί με την πίεση, οδηγώντας στην εισαγωγή μιας τροποποιημένης πίεσης p στις εξισώσεις Navier-Stokes. Ο Smagorinsky (1963) διατύπωσε την πρόταση ότι το τυρβώδες ιξώδες μπορεί να εκφραστεί με τη σχέση: ν t = (C s ) 2 S ij S ij (3.12) ( u i x j όπου C s είναι η σταθερά Smagorinsky, S ij = 1 + u j και είναι ένα προκαθορισμένο μήκος που σχετίζεται με το υπολογιστικό πλέγμα. Στην παρούσα διατριβή το 2 x i ) υπολογίζεται από τον γεωμετρικό μέσο: = 3 x y z, όπου x, y και z είναι οι διαστάσεις των όγκων ελέγχου του πλέγματος στις x, y και z κατευθύνσεις αντίστοιχα. Σε περιπτώσεις ροών με παρουσία στερεών τοιχωμάτων, απαιτείται ειδική μεταχείριση κοντά στο τοίχωμα για την διόρθωση της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς. Η διόρθωση αυτή για το μοντέλο Smagorinsky μπορεί να πραγματοποιηθεί μέσω της χρήσης μιας συνάρτησης απόσβεσης τύπου Van Driest: [ ( ) f m = 1 e n + a ] B A + (3.13) που ενσωματώνεται στην εξίσωση του ν t. Με αυτόν τον τρόπο εισάγονται τρεις επιπλέον εμπειρικές παράμετροι A +, a και B. Ο συντελεστής A + θεωρήθηκε ίσος με 25, ενώ οι τιμές των παραμέτρων a και B μεταβάλλονται ανάλογα με την υπό μελέτη διάταξη.

70 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Ο υπολογισμός της αδιάστατης απόστασης από το τοίχωμα n + βασίζεται στην κάθετη απόσταση και στη στιγμιαία διατμητική τάση του κοντινότερου τοιχώματος (n + = nuτ ν ). Τελικά, και με την χρήση της συνάρτησης απόσβεσης, το τυρβώδες ιξώδες υπολογίζεται από την σχέση: ν t = f m (C s ) 2 S ij S ij (3.14) Για τις θερμικές ροές h j, η μοντελοποίηση γίνεται με παρόμοιο τρόπο, μέσω μιας τυρβώδους θερμικής διάχυσης α t, δηλαδή: Αδιαστατοποίηση h j = α t T x j (3.15) Με βάση το μοντέλο Smagorinsky οι διαστατικές εξισώσεις που προκύπτουν τελικά είναι οι εξής: u i t + u iu j x j = 1 p + ρ x i x j ( ν u i x j T t + T u j x j = x j u i = 0 (3.16) x i ) + [ ( ui ν t + u )] j gβ T δ iy (3.17) x j x j x i ( α T x j ) + x j ( α t T x j ) (3.18) Για λόγους γενικότητας, συνηθίζεται οι παραπάνω εξισώσεις να γράφονται σε αδιάστατη μορφή, χρησιμοποιώντας αδιάστατους αριθμούς (Re, Ra, P r, κ.ο.κ.). Στην παρούσα διατριβή προσομοιώθηκαν προβλήματα μικτής και φυσικής συναγωγής στα οποία οι παραπάνω εξισώσεις χρήζουν διαφορετικής αντιμετώπισης όσον αφορά τις χαρακτηριστικές κλίμακες με τις οποίες γίνεται η αδιαστοποίηση. Για την εξίσωση της θερμοκρασίας η τυρβώδης θερμική διαχυτότητα (α t ) προσεγγίστηκε με βάση το τυρβώδες ιξώδες, μέσω της σχέσης α t = ν t /P r t, και με την εισαγωγή του αριθμού Prandtl υποκλίμακας (P r t ). Η τιμή του P r t σύμφωνα με την βιβλιογραφία κυμαίνεται μεταξύ 0.2 και 0.9 (Chow and Gao (2004)). Εδώ χρησιμοποιήθηκε για όλες τις προσομοιώσεις η τιμή P r t = 0.4 που είναι παρόμοια με τις τιμές που χρησιμοποίησαν οι Zhang and Chen (2000b), (P r t = 0.5) και Barhaghi and Davidson (2007), (P r t = 0.4) σε παρόμοιες περιπτώσεις Αδιαστοποίηση εξισώσεων για τη Μικτή Συναγωγή Ως χαρακτηριστικές κλίμακες μήκους και ταχύτητας επιλέγονται το ύψος (Η) του κοιλώματος και η μέση ταχύτητα εισόδου u in. Αυτές είναι που ορίζουν και την κλίμακα

71 3.1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ 45 χρόνου ως: H/u in. Έτσι οι αδιάστατες μεταβλητές που προκύπτουν είναι: x i = x i H u i = u i u in t = t p = p H/u in ρu 2 in θ = T T o T (3.19) Ξεκινώντας από τις διαστατικές εξισώσεις ( ) και πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη με H/u 2 in προκύπτει: u i t + u u i j x j = p x j θ t + θ u i j x j + 1 Re H = x j 1 Re H P r u i x i ( ) u i x j x j όπου ο αριθμός Grashof ισούται με Gr H υπολογίζεται από την σχέση: = 0 (3.20) + ν t Re H x j ( u i x j ( ) θ νt + x j Re H P r t ) + u j x i ( x j θ x j + Gr H θ δ Re 2 iy H (3.21) ) (3.22) = Ra H /P r. Το αδιάστατο τυρβώδες ιξώδες ν t = Ref m (C s ) 2 S ijs ij (3.23) ενώ οι αδιάστατες μονάδες τοίχου και η αδιάστατη ταχύτητα τριβής αντίστοιχα ως: ( ) y + = Re u τ y και u 1 u τ = (3.24) Re y Αδιαστοποίηση εξισώσεων για τη Φυσική Συναγωγή Στα προβλήματα φυσικής συναγωγής σε κλειστά κοιλώματα όπου δεν υπάρχει χαρακτηριστική ταχύτητα εισόδου, ορίζεται διαφορετικά η κλίμακα της ταχύτητας, χρησιμοποιώντας την θερμική διάχυση (u o = α/h). H κλίμακα μήκους παραμένει το ύψος (Η) του κοιλώματος και κατά συνέπεια η κλίμακα χρόνου ορίζεται ως H/u o. Έτσι οι αδιάστατες μεταβλητές που προκύπτουν είναι: x i = x i H u i = u i u o t = t H/u o p = p ρu 2 o y =0 θ = T T o T (3.25) Ξεκινώντας από τις παραπάνω διαστατικές εξισώσεις και πολλαπλασιάζοντας πάλι με H/u o προκύπτει: u i t + u u i j x j = p x j θ t + u j u i x i + P r ( u i x j x j θ i x j = 0 (3.26) ) + P rνt ( = θ x j x j ) x j + ν t ( ) u i + u j + RaP rθ δ x j x iy i ( ) (3.27) θ (3.28) x j x j

72 46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Το αδιάστατο τυρβώδες ιξώδες υπολογίζεται από την σχέση: ν t = 1 P r f m(c s ) 2 S ijs ij (3.29) ενώ οι αδιάστατες μονάδες τοίχου και η αδιάστατη ταχύτητα τριβής: y + = 1 ( ) u P r u τy u τ = P r y 3.2 Διακριτοποίηση των εξισώσεων y =0 (3.30) Στην παρούσα διατριβή οι εξισώσεις προσεγγίστηκαν με την πεπλεγμένη μέθοδο (Implicit method) ως προς την χρονική τους διακριτοποίηση και με την μέθοδο των πεπερασμένων όγκων (Finite Volume). Η μέθοδος εφαρμόζεται σε καρτεσιανά ομόθετα (colocated) πλέγματα, όπου όλες οι μεταβλητές αποθηκεύονται στα κέντρα των όγκων ελέγχου (πλεγματικές κυψελίδες). Στο Σχήμα 3.1 φαίνεται ένας τυπικός όγκος ελέγχου σε τρισδιάστατες καρτεσιανές συντεταγμένες. Συγκεκριμένα παρουσιάζεται η τιμή της μεταβλητής στο κέντρο του όγκου ελέγχου P, ϕ P καθώς και η σχέση της με τα γειτονικά σημεία (ϕ E, ϕ W, ϕ N, ϕ S, ϕ T, ϕ B ). Οι δείκτες E και W δηλώνουν την σχετική θέση τους με το σημείο P (E ανατολικά, W δυτικά). Παρόμοια, N, S, T και B αντιστοιχούν σε βόρεια, νότια, πάνω και κάτω Εξισώσεις Για την καλύτερη κατανόηση της ολοκλήρωσης των εξισώσεων στο υπολογιστικό πλέγμα, χρησιμοποιείται η γενική διαφορική εξίσωση συναγωγής-διάχυσης ως αντιπροσωπευτική της κοινής μορφής τόσο των εξισώσεων της ορμή ((3.21) ή (3.27)) όσο και της θερμοκρασίας ((3.22) ή (3.28)): ϕ t + u j ϕ x j = ( ) ϕ Γ x ϕ + Q j x ϕ (3.31) j Ο δεύτερος όρος της Εξίσωσης 3.31 αντιπροσωπεύει τον όρο της συναγωγής, ο τρίτος όρος της διάχυσης και το Q ϕ αντιπροσωπεύει τους όρους πηγής. Η Εξίσωση 3.31 μετά την ολοκλήρωση σε ένα όγκο ελέγχου Ω και εφαρμογή του θεωρήματος Gauss, γράφεται ως: ϕdω + u t j Ω S ϕ ds = x j S x j ( Γ ϕ ) ds + Q x ϕ dω (3.32) j Ω

73 3.2. ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 47 φ N z φ B φ W φ P φ E y φ T y x φ S z x Σχήμα 3.1: Τυπικός όγκος ελέγχου στις τρεις διαστάσεις με τους συνδεδεμένους με αυτόν κόμβους υπολογισμού. Πίνακας 3.1: Οι όροι της γενικής εξίσωσης συναγωγής-διάχυσης για περίπτωση μικτής συναγωγής (Παράγραφος ) Εξίσωση ϕ Γ ϕ Q ϕ Συνέχειας Ταχύτητας (x) u 1 Re H Ταχύτητας (y) v 1 Re H Ταχύτητας (z) w 1 Re H Θερμοκρασίας θ 1 Re H P r p x + 2 ν t Re H 2 u x 2 + ν t Re H p y + ν t Re H p z + ν t Re H + ν t Re H + ν t Re H ( u ) + w z z x ( ) u y y + v x ( ) v x x + u y + 2 ν t 2 v Re H y 2 ( ) v + w z z y ( w ) x x + u ν z + t Re H +2 ν t 2 w Re H z 2 + Gr H θ Re 2 H ( ) νt 2 θ Re H P r t + 2 θ + 2 θ x 2 y 2 z 2 ( ) w y y + v z

74 48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Χρονική διακριτοποίηση Ο όρος που περιγράφει την επίδραση του χρόνου t Ω ϕdω γραμμικοποιείται σύμφωνα με ένα δεύτερης τάξης ακρίβειας, τριών χρονικών βημάτων πεπλεγμένο σχήμα, το οποίο οδηγεί στην παρακάτω προσέγγιση (Ferziger and Peric (2002)): ( ϕdω Ω P 3 t t 2 ϕn P 2ϕ n 1 P + 1 ) 2 ϕn 2 P Ω (3.33) όπου ϕ n P είναι η τιμή της μεταβλητής στο τρέχον χρονικό βήμα, ϕn 1 P η τιμή στο προηγούμενο χρονικό βήμα και ϕ n 2 P η τιμή της μεταβλητής πριν από δύο χρονικά βήματα. Το Ω P είναι όγκος της κυψελίδας του σημείου Ρ και ισούται με Ω P = x y z Χωρική διακριτοποίηση Όρος Συναγωγής ϕ Ο όρος συναγωγής S u j ds της Εξίσωσης 3.32 μπορεί να γραμμικοποιηθεί με x j διάφορους τρόπους (σχήματα διακριτοποίησης). Στον υπολογιστικό κώδικα που αναπτύχθηκε δοκιμάστηκαν αρκετά σχήματα, τα οποία και παρουσιάζονται στη συνέχεια. Στο Σχήμα 3.2 φαίνεται (για ένα μονοδιάστατο πλέγμα) ένας τυπικός όγκος ελέγχου για τον κόμβο Ρ, καθώς και τέσσερις γειτονικοί κόμβοι, δύο εξ' αριστερών (κόμβοι W και WW) και δύο εκ δεξιών (κόμβοι E και EE). Οι υπόλοιπες διαστάσεις προσεγγίζονται με παρόμοιο τρόπο. Control Volume WW W P E EE w e (δx) w (δx) e Σχήμα 3.2: Τυπικός μονοδιάστατος όγκος ελέγχου με τα γειτονικά σημεία Κεντρικές διαφορές Στο σχήμα Κεντρικών διαφορών χρησιμοποιείται γραμμική παρεμβολή μεταξύ των κόμβων W,P και Ε,P. Από την γραμμικοποίηση του όρου συναγωγής

75 3.2. ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 49 προκύπτει : S u ϕ x ds = (u ϕ) e S e (u ϕ) w S w (3.34) Με ζητούμενο τις τιμές μίας μεταβλητής ϕ πάνω στις επιφάνειες του όγκου ελέγχου (S w και S e ), και χρήση της γραμμικής παρεμβολής μεταξύ των κόμβων W,P και Ε, ισχύει: ϕ w = 1 2 (ϕ P + ϕ W ) και ϕ e = 1 2 (ϕ E + ϕ P ) (3.35) Ο συντελεστής 1 προκύπτει από την υπόθεση ότι οι επιφάνειες του όγκου ελέγχου βρίσκονται στην μέση των σημείων Ε, Ρ και W. Αν το πλέγμα δεν είναι ομοιόμορφο 2 μπορούν να χρησιμοποιηθούν κατάλληλοι συντελεστές παρεμβολής. Με αυτή την προσέγγιση η Εξίσωση 3.34 γίνεται: u ϕ x ds = (u ϕ) e Se (u ϕ) w Sw = u 1 e 2 (ϕ E +ϕ P )Se +u 1 w 2 (ϕ P +ϕ W )Sw (3.36) S Ανάντι παραγώγηση (Upwind) Η μέθοδος αυτή λαμβάνει υπόψη της την κατεύθυνση της ροής. Σε ροές που η συναγωγή υπερισχύει (για παράδειγμα η ταχύτητα έχει κατεύθυνση από W προς Ρ, u w > 0) τότε η τιμή της μεταβλητής ϕ στην επιφάνεια του όγκου ελέγχου ισούται με την τιμή του ανάντι κόμβου. Συγκεκριμένα: ϕ w = ϕ W και ϕ e = ϕ P αν u w > 0 ϕ w = ϕ P και ϕ e = ϕ E αν u w < 0 (3.37) Η παραπάνω προσέγγιση μετατρέπει την Εξίσωση 3.37 στην: u eϕ P Se + u wϕ W Sw, u e > 0 και u w > 0 u ϕ S x ds = (u ϕ) e Se (u ϕ) w Sw u = eϕ E Se + u wϕ W Sw, u e < 0 και u w > 0 u eϕ P Se + u wϕ P Sw, u e > 0 και u w < 0 u eϕ E Se + u wϕ P Sw, u e < 0 και u w < 0 (3.38) Το συγκεκριμένο σχήμα έχει αποδειχθεί στην βιβλιογραφία ότι είναι ακατάλληλο για LES, καθώς αποτελεί καταβόθρα για τις διακυμάνσεις των μεταβλητών(launder and Sandham (2002)), εκτός βέβαια από το γνωστό πρόβλημα της παραγωγής αριθμητικής διάχυσης που το χαρακτηρίζει. Παρόλα αυτά, για λόγους πληρότητας δοκιμάστηκε με τον υπολογιστικό κώδικα στην περίπτωση του καναλιού για τυρβώδη ροή, με τα αποτελέσματα να υποστηρίζουν την βιβλιογραφία. Σχήματα ανώτερης τάξης Εκτός από τα παραπάνω σχήματα έχουν προταθεί στη βιβλιογραφία ένα πλήθος σχημάτων διακριτοποίησης ανώτερης τάξης τα οποία μπορεί να συνδυάζουν διάφορα επιθυμητά χαρακτηριστικά, όπως την χαμηλή αριθμητική διάχυση, φραγμένες λύσεις, ευσταθή

76 50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ συμπεριφορά και η ακρίβεια τους σε σχέση με τον αριθμό των κόμβων του πλέγματος. Κάποια από τα παραπάνω λόγω πολυπλοκότητας, εμφανίζουν μεγαλύτερη δυσκολία ενσωμάτωσης στον υπολογιστικό κώδικα, ενώ μπορεί να αυξήσουν και τον χρόνο υπολογισμού. Για εφαρμογές μικτής συναγωγής στη βιβλιογραφία μέχρι τώρα έχουν χρησιμοποιηθεί, μεταξύ άλλων, τα ανώτερης τάξης σχήματα διακριτοποίησης: HLPA (Papanicolaou and Belessiotis, 2004, 2009), QUICK (Spall, 1998; Savicki et al., 2011; Yaici et al., 2013) και παραλλαγές αυτού (Ji and Homan, 2006; Mo and Miyatake, 1996), Second Order Upwind (Shah and Furbo, 2003), SMART (Consul et al., 2004) (Rodriguez et al., 2009b) κ.α. Για την παρούσα διατριβή επιλέχθηκε το σχήμα HLPA, καθώς σύμφωνα τις εργασίες των Papanicolaou and Belessiotis (2004) και Papanicolaou and Belessiotis (2009) προέκυψε ότι έχει πολύ καλή συμπεριφορά για την προσομοίωση της υπό μελέτη υπόγειας κυβικής δεξαμενής και όχι μόνο (Papanicolaou and Belessiotis, 2002). Σχήμα HLPA Το συγκεκριμένο σχήμα διακριτοποίησης προτάθηκε από τον Zhu (1991) και συνδυάζει το πρώτης τάξης ακρίβειας Σχήμα Ανάντι (Upwind) και μίας δεύτερης τάξης ανάντι σχήμα με συντελεστές βαρύτητας. Η τιμή της μεταβλητής ϕ στην δεξιά επιφάνεια του όγκου ελέγχου δίνεται από την σχέση: ϕ w = u + wϕ W + u wϕ P + ϕ w (3.39) Όπου οι συντελεστές της παραπάνω εξίσωσης υπολογίζονται από τις παρακάτω εξισώσεις: ϕ w = u + wα + w(ϕ P ϕ W ) ϕ W ϕ W W ϕ P ϕ W W + u wα w(ϕ W ϕ P ) ϕ P ϕ E ϕ W ϕ E (3.40) u + w 0.5(1 + u w ), u w 1 u + w, (u w 0) (3.41) αν u w 0 α + w = { 1 αν ϕp 2ϕ W + ϕ W W < ϕ P ϕ W W 0 αν ϕ P 2ϕ W + ϕ W W ϕ P ϕ W W (3.42) αν u w < 0 α w = { 1 αν ϕp 2ϕ W + ϕ W W < ϕ P ϕ W W 0 αν ϕ P 2ϕ W + ϕ W W ϕ P ϕ W W (3.43) Αντίστοιχες σχέσεις ισχύουν και για την αριστερή επιφάνεια του όγκου ελέγχου. Με βάση τα παραπάνω η Εξίσωση 3.34 γίνεται: u ϕ x ds = (u ϕ) e Se (u ϕ) w Sw = S u e(u + e ϕ E + u e ϕ P + ϕ e )S e + u w(u + wϕ W + u wϕ P + ϕ w )S w (3.44)

77 3.2. ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Όρος Διάχυσης Για τον όρο διάχυσης ( ) S x Γ ϕ x ds της Εξίσωσης 3.32 εφαρμόστηκαν δυο διαφορετικά σχήματα διακριτοποίησης (Κεντρικές διαφορές, Power Law). Κεντρικές διαφορές Όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως στο σχήμα των Κεντρικών διαφορών γίνεται χρήση γραμμικής παρεμβολής μεταξύ των κόμβων W,P και Ε. Έτσι για τον όρο της διάχυσης προκύπτει: ( Γ ϕ ) ( ds = Γ ϕ ) S S x x x e e ( Γ ϕ ) x w S w = Γ e ϕ E ϕ P (δx) e Se ϕ P ϕ W Γ w (δx) w (3.45) S w Σχήμα Power Law Αυτό το σχήμα διακριτοποίησης όπως περιγράφεται από τον Patankar (1980), είναι πιο ακριβές χωρίς μεγάλο επιπρόσθετο υπολογιστικό κόστος και συνδυάζεται με το σχήμα Upwind για τον όρο συναγωγής. Η προσέγγιση του όρου διάχυσης ( ( ) S x Γ ϕ x ds ) γίνεται ως εξής: S x [ ( Γ e max 0, F ) ] 5 e ϕ E Se (δx) e Γ e /(δx) e Όροι Πηγής ( Γ ϕ ) ( ds = x Γ w (δx) w max Γ ϕ ) x [ 0, Se e ( Γ ϕ x ( F w Γ w /(δx) w ) ) 5 ] w S w = ϕ W S w (3.46) Για τους όρους πηγής που εμφανίζονται στην Εξίσωσης 3.32, Ω Q ϕdω θεωρήθηκε ότι η τιμή στο κέντρο του όγκου ελέγχου (Ρ) επικρατεί σε ολόκληρο τον όγκο της κυψελίδας και προκύπτει: Σύστημα γραμμικών εξισώσεων Ω Q ϕ dω Q ϕ Ω P (3.47) Έχοντας πλέον γραμμικοποιήσει όλους τους όρους της Εξίσωσης 3.32, τους αντικαθιστούμε (εφαρμόζοντας το σχήμα Κεντρικών διαφορών) στην γενική εξίσωση συναγωγής διάχυσης και προκύπτει μια αλγεβρική εξίσωση της μορφής: A ϕ P ϕ P = NB A ϕ NB ϕ NB + Q P, NB = E, W, N, S, T, B (3.48)

78 52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ A ϕ E = 1 2 u es e + Γ es e (δx) e A ϕ W = 1 2 u ws w + Γ ws w (δx) w A ϕ N = 1 2 u ns n + Γ ns n (δx) n A ϕ S = 1 2 u ss s + Γ ss s (δx) s (3.49) A ϕ T = 1 2 u t S t + Γ ts t (δx) t Q P = Ω P t A ϕ B = 1 2 u bs b + Γ bs b (δx) b A ϕ P = 3 Ω P 2 t ( 2ϕ n 1 P 1 ) 2 ϕn 2 P + Q ϕ Ω P + nb NB A NB 1 2 u nbs nb + nb Γ nb S nb (δx ) nb Επίλυση πεδίου ροής Εξισώσεις ταχυτήτων Οι εξισώσεις της ταχύτητας μπορούν να επιλυθούν μόνο αν δίνεται ή αν είναι γνωστό το πεδίο πιέσεων. Αν δεν εισαχθούν οι σωστές τιμές της πίεσης το πεδίο ταχυτήτων δεν θα ικανοποιεί την εξίσωση συνέχειας. Ένα τέτοιο πεδίο ταχυτήτων που βασίζεται σε ένα αυθαίρετο πεδίο πίεσης p # συμβολίζεται με u #, v #, w #. Όπως θα γίνει κατανοητό στην συνέχεια, για την επίλυση της εξίσωσης της διόρθωσης της πίεσης, οι διακριτοποιημένες εξισώσεις των u #, v #, w # απαιτείται να γραφτούν αντί για το κέντρο των όγκων ελέγχου, στις επιφάνειες αυτών. Έτσι προκύπτει: A e u # e = nb A nb u # nb + Q P + (p# P p# E )A e A n v # n = nb A nb v # nb + Q P + (p# P p# N )A n (3.50) A t w # s = nb A nb w # nb + Q P + (p# P p# T )A t όπου ο όρος Q P ισούται με το Q P χωρίς τον όρο της πίεσης. Στη συνέχεια στόχος είναι η βελτίωση των αυθαίρετων τιμών της πίεσης p #, ώστε οι ταχύτητες u #, v #, w # σταδιακά να πλησιάζουν στην ικανοποίηση της εξίσωσης συνέχειας. Έστω ότι η σωστή πίεση δίνεται από την σχέση: p = p # + p (3.51)

79 3.2. ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 53 όπου p είναι η διόρθωση της πίεσης, και αντίστοιχα για τις διορθώσεις των ταχυτήτων ορίζεται: u = u # + u v = v # + v w = w # + w (3.52) Από τις παραπάνω εξισώσεις τελικά προκύπτουν οι εξισώσεις των ταχυτήτων που περιέχουν τις διορθώσεις της πίεσης (Patankar (1980)): ( u 1 e = A P (p )e P p E ) S e ( v 1 n = A N (p )n P p N ) S n ( w t = (p P p T ) S t Εξίσωση πίεσης 1 A T )t (3.53) Για την επίλυση της πίεσης μετατρέπεται η εξίσωση συνέχειας σε εξίσωση πίεσης, δηλαδή αντικαθιστώντας στην: u x + v y + w z = 0 u ese u wsw + v nsn v sss + w t St w bsb = 0 (3.54) τις εξίσωσεις της διόρθωσης των ταχυτήτων (Εξισώσεις 3.52 και 3.53), προκύπτει η παρακάτω διακριτοποιημένη εξίσωση για την πίεση: A P p P = A NB p NB + Q P, NB = E, W, N, S, T, B NB ( A E = Se 1 A ( P )e A W = Sw 1 A ( P )w A N = Sn 1 A ( P )n A S = Ss 1 A ( P )s A T = St 1 A ( P )t A B = Sb 1 A P )b (3.55) A P = A NB p NB NB Q P = u# ese u # wsw + v # nsn v # sss + w # tst w # b S b όταν ο όρος πηγής Q P γίνει μηδέν τότε η ταχύτητες u#, v #, w # ικανοποιούν την εξίσωση συνέχειας Μέθοδος SIMPLE Ο αλγόριθμος που χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό του πεδίου ροής είναι ο SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressured-Linked Equations) που αναπτύχθηκε από

80 54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ τους Patankar and Spalding (1972) και τα βήματα που περιλαμβάνει είναι τα εξής: 1. Επιλέγεται ένα αυθαίρετο πεδίο πιέσεων p #. 2. Επιλύονται οι εξισώσεις των ταχυτήτων (3.50) με σκοπό την εύρεση των u #, v #, w #. 3. Επιλύεται η εξίσωση της διόρθωσης της πίεσης, p (3.55) 4. Υπολογίζεται η πίεση p από την Εξίσωση 3.51 προσθέτοντας p στην p #. 5. Υπολογίζονται οι ταχύτητες u, v, w από τις u #, v #, w # χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις για την διόρθωση των ταχυτήτων (Εξισώσεις 3.51 και 3.52). 6. Επιλύεται η εξίσωση της θερμοκρασίας 7. Η διορθωμένη πίεση θεωρείται σαν η καινούρια αυθαίρετη πίεση p # με ταυτόχρονη επιστροφή στο δεύτερο βήμα. Όλη η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να υπάρξει σύγκλιση και οι ταχύτητες u, v, w να ικανοποιούν την εξίσωση συνέχειας Eπιλυτές γραμμικών συστημάτων (solvers) Η διακριτοποίηση των εξισώσεων όπως παρουσιάστηκε στις προηγούμενες παραγράφους οδηγεί σε ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων. Οι πίνακες που προκύπτουν από τέτοιου είδους συστήματα είναι αραιοί (sparse), δηλαδή τα περισσότερα στοιχεία τους είναι μηδέν και τα στοιχεία τους υπάρχουν πάνω σε διαγώνιους. Οι μέθοδοι που χρησιμοποιούνται για την επίλυση και εκμεταλλεύονται τα παραπάνω χαρακτηριστικά, χωρίζονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες: στις άμεσες (direct methods) και στις επαναληπτικές (iterative methods) (Ferziger and Peric, 2002). Οι απαιτήσεις που υπάρχουν για αυτές τις μεθόδους είναι ο μειωμένος χρόνος υπολογισμού και οι μειωμένες απαιτήσεις σε υπολογιστική μνήμη. Στις προκαταρκτικές προσομοιώσεις που πραγματοποιήθηκαν με τον υπολογιστικό κώδικα χρησιμοποιήθηκε η επαναληπτική μέθοδος SIP (Strong Implicit Procedure) για την επίλυση του συστήματος των γραμμικών εξισώσεων Η συγκεκριμένη μέθοδος προτάθηκε αρχικά από τον Stone (1968), αλλά ο αλγόριθμος (σε γλώσσα Fortran) που χρησιμοποιήθηκε προήλθε από το βιβλίο των Ferziger and Peric (2002). Στη συνέχεια δοκιμάστηκε και η μέθοδος CGSTAB (Conjugate Gradient Squared Stabilized). Η μέθοδος αναπτύχθηκε από τους van der Vorst and Sonneveld (1990) και σύμφωνα με τους Ferziger and Peric (2002) είναι πιο γρήγορη από την μέθοδο SIP. Συγκριτικές προσομοιώσεις πραγματοποιήθηκαν για τις δυο μεθόδους με τα αποτελέσματα να συμφωνούν

81 3.2. ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 55 με την βιβλιογραφία. Κατά συνέπεια χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος CGSTAB (ο αλγόριθμος σε γλώσσα Fortran είναι ελεύθερα διαθέσιμος από τους Ferziger and Peric (2002)) για την επίλυση του γραμμικού συστήματος εξισώσεων για τις ταχύτητες, την πίεση και την θερμοκρασία Οριακές συνθήκες Οριακές συνθήκες τύπου Dirichlet Όταν οριακές συνθήκες τύπου Dirichlet εφαρμόζονται σε μία μερική διαφορική εξίσωση, τότε ορίζονται οι τιμές της μεταβλητής που πρέπει να δίνει η επίλυση στα όρια του υπολογιστικού χωρίου. Ένα τέτοιο παράδειγμα αποτελεί η συνθήκη μη ολίσθησης (no-slip) σε κάποιο τοίχωμα. Οριακές συνθήκες τύπου Neumann Οι οριακές συνθήκες τύπου Neumann, καθορίζουν την τιμή που πρέπει να έχει η παράγωγος της μεταβλητής στα όρια του υπολογιστικού πεδίου. Μια συνήθης χρήση της είναι στην εξίσωση της θερμοκρασίας, της οποίας η παράγωγος τίθεται ίση με 0 για αδιαβατικά τοιχώματα ή με κάποια σταθερή τιμή για τοιχώματα σταθερής θερμοροής. Οριακές συνθήκες εισόδου Οι οριακές συνθήκες εισόδου στο LES παρουσιάζουν μεγαλύτερη πολυπλοκότητα σε σχέση με τα RANS μοντέλα, καθώς εκτός από τις επιθυμητές μέσες τιμές, θα πρέπει να καθορίζονται και οι στιγμιαίες μεταβολές τους, ώστε να αντικατοπτρίζονται και τα υπόλοιπα χαρακτηριστικά της τύρβης. Οι δύο κύριες κατηγορίες είναι οι στοχαστικές μέθοδοι και οι ντετερμινιστικές μέθοδοι (Sagaut, 2006; Tabor and Baba-Ahmadi, 2010). Στις στοχαστικές μεθόδους οι τιμές των μεταβλητών στην είσοδο παράγονται από την πρόσθεση τυχαίων αριθμών με συγκεκριμένες στατιστικές ιδιότητες στις μέσες τιμές. Αντίθετα, στις ντετερμινιστικές μεθόδους, οι τιμές των μεταβλητών προέρχονται από υπολογιστικές προσομοιώσεις. Στην παρούσα διατριβή χρησιμοποιήθηκε η τεχνική Λευκού Θορύβου (White Noise), κατά την οποία τυχαίοι αριθμοί u προστίθενται σε μία μέση τιμή u in (Sagaut, 2006), u (x 0, t ) = u in(x 0) + u (x 0, t ) (3.56) Περιοδικές οριακές συνθήκες Σε περιπτώσεις αδυναμίας ρητού ορισμού των συνθηκών στην είσοδο και στην έξοδο, είναι αναγκαίο να γίνει χρήση περιοδικών οριακών συνθηκών. Με αυτή τη μέθοδο ουσιαστικά η τιμή μίας μεταβλητής στην έξοδο μεταφέρεται στην είσοδο, επεκτείνοντας τεχνητά το υπολογιστικό χωρίο. ϕ n+1 (1) = ϕ n (NI 1), ϕ n+1 (NI) = ϕn (2)

82 56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ xc(1) xc(2) xc(3) xc(ni-2) xc(ni-1) xc(ni) Σχήμα 3.3: Σχηματική απεικόνιση της περιοδικής οριακής συνθήκης. Οριακές συνθήκες εξόδου Οι οριακές συνθήκες εξόδου όσον αφορά την προσομοίωση με LES, πρέπει να εξασφαλίζουν ότι οι τυρβώδεις δομές μπορούν να προσεγγίζουν και να 'φεύγουν' από το υπολογιστικό χωρίο, χωρίς να διαταράσσονται ή να ανακλώνται πίσω σε αυτό. Γι' αυτό το λόγο χρησιμοποιήθηκε η ευρέως διαδεδομένη συνθήκη συναγωγής(ferziger and Peric (2002)): ϕ t + ϕ u c x = 0 (3.57) Η παραπάνω εξίσωση είναι μια απλοποιημένη μονό-διάστατη εξίσωση μεταφοράς, στην κατεύθυνση της 'κύριας' ροής x i, όπου u c είναι η μέση ταχύτητα συναγωγής, η οποία κάθε φορά προσαρμόζεται ανά περίπτωση. Στην παρούσα διατριβή, κριτήριο για τον υπολογισμό της u c, ήταν η παροχή μάζας στην έξοδο. Για ασυμπίεστες ροές, η παροχή μάζας στην έξοδο πρέπει να ισούται με την παροχή μάζας στην είσοδο. Έτσι για όλες τις προσομοιώσεις που πραγματοποιήθηκαν η u c είχε σταθερή τιμή. Η διακριτοποίηση της παραπάνω εξίσωσης έγινε με πεπλεγμένο τρόπο, χρησιμοποιώντας ένα Euler σχήμα στο χρόνο και ανάντι διαφορές στο χώρο. και τελικά προκύπτει όπου c = u c t x Οριακές συνθήκες πίεσης ϕ n+1 (NI) ϕn (NI) ϕ n+1 + u (NI) ϕn+1 (NI 1) t c = 0 (3.58) x ϕ n+1 (NI 1) (NI) = ϕn (NI) + cϕn c και ϵ είναι η διόρθωση της συνολικής μάζας. + ϵ (3.59) Η πίεση στα όρια του υπολογιστικού χωρίου (η οποία είναι απαραίτητη για τον υπολογισμό των παραγώγων της πίεσης στις εξισώσεις των ταχυτή-

83 3.2. ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 57 των) υπολογίζεται από μια γραμμική παρεκβολή 2 ης τάξης ακρίβειας. Συγκεκριμένα: p (1) = p (2) + (p (2) p (3)) x (2) xc (2) xc (3) xc (2) (3.60) x(1) x(2) x(3) x(4) P(1) P(2) P(3) P(4) xc(1) xc(2) xc(3) xc(4) Σχήμα 3.4: Σχηματική απεικόνιση της οριακής συνθήκης της πίεσης στα όρια του υπολογιστικού χωρίου Βελτιστοποίηση της απόδοσης του υπολογιστικού κώδικα Η ταχύτητα εκτέλεσης των πράξεων από τον υπολογιστικό κώδικα είναι καίριας σημασίας για τις προσομοιώσεις LES, λόγω των μεγάλων διαστάσεων πλέγματος που απαιτεί η μέθοδος. Για το λόγο αυτό διερευνήθηκαν διάφορες πρακτικές που βελτιστοποιούν την απόδοση του υπολογιστικού κώδικα και ελαττώνουν τον χρόνο εκτέλεσης, όπως περιγράφεται στη συνέχεια. Μεταγλωττιστές (Compilers) - Σημαίες (Flags) Ο υπολογιστικός κώδικας έχει γραφτεί στην γλώσσα προγραμματισμού Fortran. Υπάρχουν αρκετές επιλογές σε μεταγλωττιστές Fortran οι οποίοι επηρεάζουν την απόδοση του κώδικα. Επίσης ο κάθε μεταγλωττιστής διαθέτει και ένα μεγάλο εύρος από σημαίες (flags) που και αυτές με την σειρά τους καθορίζουν τον τρόπο εκτέλεσης του κώδικα. Για παράδειγμα υπάρχουν σημαίες που βοηθούν στην αποσφαλμάτωση (debug mode) του κώδικα, ενώ κάποιος άλλος συνδυασμός σημαιών έχει σαν αποτέλεσμα την μείωση του χρόνου εκτέλεσης. Στα πλαίσια της διατριβής δοκιμάστηκαν τέσσερις μεταγλωττιστές (compilers), με την εφαρμογή των κατάλληλων σημαιών: Τα πρώτα στάδια της ανάπτυξης του κώδικα έγιναν με τον Microsoft Fortran Powerstation 4.0 του οποίου όμως η ανάπτυξη και υποστήριξη

84 58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ τερματίστηκε από την Microsoft. Στη συνέχεια δοκιμάστηκε ο ελεύθερου λογισμικού μεταγλωττιστής Gfortran (GNUproject (2012)), ο οποίος όμως δεν είχε τις επιδόσεις του compiler της Intel ("IntelCorporation" (2013)). Από τις δοκιμές που έγιναν, ο συγκεκριμένος compiler βρέθηκε ταχύτερος, γεγονός που εν μέρει δικαιολογείται και από ότι ο μεταγλωτιστής αποδίδει στο μέγιστο με ηλεκτρονικούς υπολογιστές που διαθέτουν επεξεργαστές της Intel (το μεγαλύτερο μέρος των υπολογισμών πραγματοποιήθηκε στους συγκεκριμένους επεξεργαστές). Επίσης υπήρξε η δυνατότητα πραγματοποίησης υπολογισμών και στο υπολογιστικό κέντρο "Θαλής" του ΕΚΕΦΕ Δημόκριτος, το οποίο διαθέτει υπολογιστές με επεξεργαστές AMD και εγκατεστημένο τον PGI fortran compiler (PortlandGroup (2012)). Οι επιδόσεις του συγκεκριμένου μεταγλωτιστή στους επεξεργαστές της AMD ήταν παραπλήσιες με αυτές της Intel. Προεπεξεργαστής (Preprocessor) Καθώς ο υπολογιστικός κώδικας που αναπτύχθηκε έχει την δυνατότητα να επιλύσει προβλήματα το καθένα από τα οποία απαιτεί το δικό του σύνολο παραμέτρων (π.χ. φυσικής ή μικτής συναγωγής, διαφορετικές οριακές συνθήκες, σχήματα διακριτοποίησης, κλπ.) ήταν αναγκαία η εκτεταμένη χρήση "if-statements" τα οποία όμως μπορούν να αυξήσουν τον χρόνο εκτέλεσης. Για την λύση του συγκεκριμένου προβλήματος έγινε χρήση Προεπερξεργαστή. Με την χρήση κατάλληλων εντολών στα σημεία ενδιαφέροντος, ο Προεπερξεργαστής μπορεί να κάνει επιλεκτική μεταγλώττιση αφαιρώντας με αυτόν τον τρόπο από το τελικό εκτελέσιμο αρχείο τα κομμάτια του κώδικα που δεν απαιτούνται για την επίλυση της συγκεκριμένης προσομοίωσης, ελαττώνοντας την χρήση των χρονοβόρων if-statements. Παραλληλοποίηση Στον τομέα της Υπολογιστικής Ρευστομηχανικής οι διαρκώς αυξανόμενες απαιτήσεις για ταχύτερη επίλυση των εξισώσεων από τον κώδικα έχουν οδηγήσει στην ανάγκη για την πλήρη εκμετάλλευση των διαθέσιμων υπολογιστικών πόρων. Στην σημερινή εποχή οι επεξεργαστές είναι πλέον πολυπύρηνοι και μοιράζονται κοινή μνήμη (shared memory), ενώ συστοιχίες υπολογιστών (cluster) ενώνουν μέσω ενός τοπικού δικτύου ένα αριθμό κόμβων (πολυπύρηνων επεξεργαστών) και δημιουργούν ένα υπολογιστικό σύστημα με πολλαπλάσιες υπολογιστικές επιδόσεις (ιδιωτικής μνήμης συστήματα - private memory systems). Σε συνδυασμό με τα δυο παραπάνω είδη, πλέον είναι αρκετά διαδεδομένη και η χρήση της κάρτας γραφικών για την εκτέλεση αριθμητικών πράξεων. Έτσι επιτυγχάνεται καλύτερα ο στόχος του να χρησιμοποιείται παράλληλα όλη η διαθέσιμη επεξεργαστική ισχύς κατά την εκτέλεση του υπολογιστικού κώδικα. Στη παρούσα διατριβή επιλέχθηκε η παραλληλοποίηση του κώδικα στο επίπεδο των πυρήνων ενός υπολογιστή οι οποίοι μοιράζονται κοινή μνήμη. Ο λόγος ήταν η σχετικά

85 3.2. ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 59 απλή διαδικασία μετατροπής του σειριακού κώδικα σε παράλληλο με την χρήση των εντολών του OpenMP, που είναι η Διασύνδεση Προγραμματισμού Εφαρμογών (Application Programming Interface). Στο Σχήμα 3.5 παρουσιάζεται ένα παράδειγμα μετατροπής σε παράλληλη εκτέλεση ενός επαναληπτικού βρόγχου που προσθέτει τα στοιχεία δύο πινάκων. Με την χρήση των εντολών του OpenMP, κατά την εκτέλεση οι πράξεις ισοκατανέμονται στους διαθέσιμους επεξεργαστές, ελαττώνοντας με αυτόν τον τρόπο τον χρόνο υπολογισμού. Σειριακη εκτελεση Παραλληλη εκτελεση do i=1,100 a(i) = b(i) + c(i) enddo!$omp PARALLEL!$OMP DO do i=1,100 a(i) = b(i) + c(i) enddo!$omp END DO!$OMP END PARALLEL Εντολες Εντολες Πυρηνας Πυρηνας Πυρηνας Πυρηνας Πυρηνας Πυρηνας Πυρηνας Πυρηνας Επεξεργαστης Επεξεργαστης Μνηµη Μνηµη Σχήμα 3.5: Σειριακή και παράλληλη εκτέλεση πρόσθεσης δύο πινάκων Πολλές φορές δεν είναι εφικτή η παραλληλοποίηση των βρόγχων, το οποίο έχει σαν αποτέλεσμα ο υπολογιστικός χρόνος να μην μειώνεται με τον γραμμικό θεωρητικό ρυθμό που προτείνει ο Amdahl (1967). Ο συνδυασμός όλων των παραπάνω τεχνικών βελτίωσε σημαντικά την απόδοση του υπολογιστικού κώδικα καθιστώντας εφικτή την προσομοίωση της υπόγειας δεξαμενής με την προσέγγιση του LES. Συγκεκριμένα η απόδοση του κώδικα (για την επίλυση των τριών εξισώσεων της ταχύτητας, την εξίσωση της πίεσης και την εξίσωση της θερμοκρασίας) υπολογίστηκε σε 0.42 δευτερόλεπτα/επανάληψη ανά εκατομμύριο κόμβους και

86 60 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ απαιτεί 540 Mb μνήμης ανά εκατομμύριο κόμβους σε υπολογιστή Dell Precision T5500 (δύο Intel Xeon Quad core επεξεργαστές, χρονισμένοι στα 2.26 GHz).

87 Κεφάλαιο 4 Επικύρωση υπολογιστικού κώδικα Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται αποτελέσματα από προσομοιώσεις προβλημάτων ροής/μεταφοράς θερμότητας σχετικών με θέματα που ενδιαφέρουν την διατριβή και που έχουν σαν σκοπό την επικύρωση του υπολογιστικού κώδικα που αναπτύχθηκε στα πλαίσια της παρούσας διατριβής. Αρχικά επιλέχθηκε η περίπτωση της αναπτυγμένης ροής σε κανάλι, για στρωτή (Παράγραφος 4.1.1) αλλά και τυρβώδη ροή (Παράγραφος 4.1.2) με σκοπό την επαλήθευση των βασικών χαρακτηριστικών του υπολογιστικού κώδικα. Στη συνέχεια μελετήθηκε ένα πρόβλημα φυσικής συναγωγής σε κλειστό κοίλωμα (Παράγραφος 4.2)με σκοπό την επαλήθευση της ακρίβειας της λύσης της εξίσωσης της θερμοκρασίας. Τέλος παρουσιάζονται αποτελέσματα δυο περιπτώσεων μικτής συναγωγής, η πρώτη με εργαζόμενο μέσο τον αέρα (Παράγραφος 4.3.1) και η δεύτερη το νερό (Παράγραφος 4.3.2). Η επιλογή τους έγινε με σκοπό την εφαρμογή του υπολογιστικού κώδικα σε προβλήματα με παρόμοια χαρακτηριστικά με αυτά της υπό μελέτη κυβικής δεξαμενής. 4.1 Πλήρως αναπτυγμένη ροή σε κανάλι Οι πρώτες προσομοιώσεις που πραγματοποιήθηκαν με τον υπολογιστικό κώδικα, αφορούσαν την πλήρως αναπτυγμένη ροή (στρωτή και τυρβώδης) σε επίπεδο κανάλι απείρου πλάτους. Η γεωμετρία που χρησιμοποιήθηκε φαίνεται στο Σχήμα 4.1. Οι πλήρως αναπτυγμένες ροές σε κανάλι έχουν μελετηθεί αρκετά και υπάρχει μεγάλος όγκος δεδομένων που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επαλήθευση του υπολογιστικού κώδικα. Λόγω της απλής γεωμετρίας, ήταν εφικτό να δοθεί μεγαλύτερη έμφαση στην επαλήθευση κάποιων εκ των βασικών δομικών στοιχείων/παραμέτρων του υπολογιστικού κώδικα. Συγκεκριμένα: του σχήματος χρονικής διακριτοποίησης 61

88 62 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΕΠΙΚΥΡΩΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟΥ ΚΩΔΙΚΑ της περιοδικής οριακής συνθήκης του επιλυτή πίεσης και ταχυτήτων του μοντέλου τύρβης H L W z y x Σχήμα 4.1: Η γεωμετρία που χρησιμοποιήθηκε για τις προσομοιώσεις αναπτυγμένης ροής σε επίπεδο κανάλι, απείρου πλάτους Στρωτή ροή Για την προσομοίωση αρχικά της στρωτής ροής, το υπολογιστικό χωρίο είχε διαστάσεις (L H W ) = (6 2 3) και χρησιμοποιήθηκε ομοιόμορφο πλέγμα σε κάθε κατεύθυνση ( ). Ο αριθμός Reynolds ορίζεται με κλίμακα μήκους το μισό ύψος του καναλιού, χαρακτηριστική ταχύτητα την μέση ταχύτητα u b και είναι ίσος με Re = u b(h/2) = 100. Για τις x και z κατευθύνσεις χρησιμοποιήθηκαν περιοδικές οριακές ν συνθήκες, ενώ οι οριακές συνθήκες που χρησιμοποιήθηκαν στα τοιχώματα ήταν τύπου Dirichlet. Συγκεκριμένα για την περιοδική κατεύθυνση x, χρειάστηκε να προστεθεί ένας επιπλέον όρος πηγής στην εξίσωση της ταχύτητας u, ώστε να ληφθεί υπ' όψη η πτώση πίεσης κατά μήκους του καναλιού. Για την στρωτή ροή η μέση πτώση πίεσης δίνεται από αναλυτική έκφραση που προκύπτει από την χρονική και χωρική ολοκλήρωση της εξίσωσης της ορμής και ισούται με (Shah and London, 1978): p x = 2 3 Re (4.1) 2 Για αριθμούς Reynolds που αντιστοιχούν σε στρωτές ροές η καθ' ύψος κατανομή της

89 4.1. ΠΛΗΡΩΣ ΑΝΑΠΤΥΓΜΕΝΗ ΡΟΗ ΣΕ ΚΑΝΑΛΙ 63 ταχύτητας προκύπτει από την αναλυτική παραβολική λύση (Tsaggaris, 2005): [ u (y ) = 3 ( ) ] y (H 2 /2) 1 2 (H /2) (4.2) Στο Σχήμα 4.2 παρουσιάζεται το πεδίο της οριζόντιας ταχύτητας, ενώ στο Σχήμα 4.3 συγκρίνεται η κατακόρυφη κατανομή της οριζόντιας ταχύτητας με την αναλυτική λύση. Όπως είναι φανερό τα αποτελέσματα του υπολογιστικού κώδικα συμφωνούν πλήρως με την θεωρία καθώς η μεθοδολογία LES αναπαράγει την λύση της στρωτής ροής με μηδενικό ιξώδες τύρβης σε όλο το πεδίο. Σχήμα 4.2: Πεδίο ταχυτήτων για την περίπτωση στρωτής ροής σε κανάλι. 2.0 Analytic LES 1.5 y * u * Σχήμα 4.3: Σύγκριση της οριζόντιας ταχύτητας με την αναλυτική λύση για την περίπτωση στρωτής ροής σε κανάλι.

90 64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΕΠΙΚΥΡΩΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟΥ ΚΩΔΙΚΑ Τυρβώδης ροή Στη συνέχεια μελετήθηκε η ίδια διάταξη (Σχήμα 4.1) αλλά με μεγαλύτερο αριθμό Reynolds (Re = 3270), ώστε η ροή να είναι τυρβώδης. Για την περίπτωση αυτή, υπάρχουν αναλυτικά αποτελέσματα με προσομοιώσεις DNS από τους Kim et al. (1987), καθώς και με LES από τους Iliescu and Fischer (2003). Στο συγκεκριμένο πρόβλημα είναι κοινή πρακτική στην βιβλιογραφία να ορίζεται και o αριθμός Reynolds Re τ (= u τ (H/2)/ν), βασισμένος στην ταχύτητα τριβής και στο πάχος του οριακού στρώματος. Για τις προσομοιώσεις που παρουσιάζονται στη συνέχεια ο Re τ ισούται με 180. Οι διαστάσεις του υπολογιστικού χωρίου παρέμειναν αμετάβλητες (L H W ) = (6 2 3) αλλά χρησιμοποιήθηκε πυκνότερο πλέγμα ( ). Το πλέγμα ήταν ομοιόμορφο σε όλες τις κατευθύνσεις και στο πρώτο σημείο από το τοίχωμα προέκυψε y + = Οι αρχικές τιμές της ταχύτητας u υπολογίστηκαν από την σχέση (Tsaggaris (2005)): u (y ) = [ ( 1 + y ) ( 1 + y ) 32] (4.3) που αντιστοιχεί στην κατανομή σε πλήρως αναπτυγμένη τυρβώδη ροή, ενώ στις συνιστώσες της ταχύτητας v και w δόθηκαν μηδενικές τιμές. Στις τρεις συνιστώσες της ταχύτητας προστέθηκαν και διαταραχές τύπου λευκού θορύβου. Στο Σχήμα 4.4 παρουσιάζεται ένα στιγμιαίο πεδίο ταχυτήτων καθώς και τα βέλη ροής. Διακρίνεται η φαινομενικά τυχαία κατανομή της ταχύτητας u. Στο Σχήμα 4.5 παρουσιά- Σχήμα 4.4: Στιγμιαίο πεδίο ταχυτήτων και βέλη ροής για την περίπτωση τυρβώδους ροής σε κανάλι. ζεται η σύγκριση των αποτελεσμάτων του υπολογιστικού κώδικα με τα αποτελέσματα από τις προαναφερθείσες εργασίες της βιβλιογραφίας. Συγκεκριμένα στο Σχήμα 4.5a συγκρίνεται η μέση χρονική τιμή της αδιάστατης ταχύτητας u + που ισούται με τον λόγο της

91 4.1. ΠΛΗΡΩΣ ΑΝΑΠΤΥΓΜΕΝΗ ΡΟΗ ΣΕ ΚΑΝΑΛΙ 65 ταχύτητας παράλληλης στο τοίχωμα προς την ταχύτητα τριβής (u + = u /u τ ). Παρατηρείται ότι υπάρχει πολύ καλή συμφωνία των αποτελεσμάτων, κυρίως κοντά στο τοίχωμα (y + < 30). Από κει και πέρα φαίνεται μια απόκλιση, με τις τιμές της u + που προκύπτουν από τον παρόντα κώδικα να είναι ελαφρώς μεγαλύτερες. Για τις διακυμάνσεις των ταχυτήτων και συγκεκριμένα για την u rms (Σχήμα 4.5b) η συμφωνία με τα αποτελέσματα LES του Iliescu and Fischer (2003) είναι πανομοιότυπη, με μια μικρή μόνο υπερεκτίμηση των τιμών σε σχέση με τα αποτελέσματα του DNS. Όσον αφορά τις v rms και w rms (Σχήμα 4.5c,d) η συμφωνία παραμένει σχετικά καλή, με τις τιμές να είναι λίγο χαμηλότερες σε σχέση με αυτές του DNS. Σκοπός της προσομοίωσης του συγκεκριμένου προβλήματος τυρβώδους ροής, ήταν η επαλήθευση του μοντέλου τύρβης σε μία απλή γεωμετρία. Με τα αποτελέσματα που παρουσιάστηκαν προκύπτει ότι ο κώδικας ανταποκρίνεται πολύ καλά και αξιόπιστα, επιτρέποντας την προσομοίωση πολυπλοκότερων προβλημάτων, διευρυμένων και με την μεταφορά θερμότητας.

92 66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΕΠΙΚΥΡΩΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟΥ ΚΩΔΙΚΑ a) b) 4 3 LES Iliescu (LES) Kim et al. (DNS) u + 10 u rms c) y + d) y v rms w rms y y + Σχήμα 4.5: Σύγκριση της αδιάστατης ταχύτητας u + (a) και των διακυμάνσεων των τριών συνιστωσών της ταχύτητας u rms (b), v rms (c), w rms (d) με τα LES και DNS αποτελέσματα των Iliescu and Fischer (2003) και Kim et al. (1987) αντίστοιχα.

93 4.2. ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΑΓΩΓΗ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΚΟΙΛΩΜΑ Φυσική συναγωγή σε κλειστό κοίλωμα Στο προηγούμενο κεφάλαιο επαληθεύτηκαν οι εξισώσεις των ταχυτήτων και πίεσης, παραμένει όμως η εξίσωση της θερμοκρασίας, η οποία είναι αναγκαία για την επίλυση προβλημάτων φυσικής ή μικτής συναγωγής. Για την επικύρωση του υπολογιστικού κώδικα σε περιπτώσεις φυσικής συναγωγής, επιλέχθηκε η περίπτωση κλειστού κοιλώματος με ανομοιόμορφη θέρμανση (βαθμίδα θερμοκρασίας) στους κατακόρυφους τοίχους και με εργαζόμενο μέσο τον αέρα (P r = 0.71). Όπως και στην περίπτωση της ροής σε κανάλι, έτσι και το πρόβλημα του κλειστού κοιλώματος ειδικά στην στρωτή ροή, είναι ένα από τα πλέον καθιερωμένα για το σκοπό της επικύρωσης υπολογιστικών κωδίκων, καθώς υπάρχουν αρκετά και αναλυτικά αποτελέσματα στην βιβλιογραφία Στρωτή ροή Για την περίπτωση της στρωτής ροής επιλέχθηκε κλειστό κοίλωμα με λόγο πλευρών AR = H/L = 1, η ακριβής διάταξη του οποίου φαίνεται στο Σχήμα 4.6. Για την περίπτωση αυτή υπάρχουν αναλυτικά αποτελέσματα από την εργασία του De Vahl Davis (1983). Το υπολογιστικό χωρίο είχε διαστάσεις (L H W ) = ( ) και χρησιμοποιήθηκε ομοιόμορφο πλέγμα σε κάθε κατεύθυνση ( ). Για τις περιπτώσεις φυσικής συναγωγής, το κριτήριο που χαρακτηρίζει μια ροή αν είναι στρωτή η τυρβώδης είναι μια κρίσιμη τιμή του αριθμού Rayleigh (Ra H ) η οποία εξαρτάται από τη γεωμετρική διαμόρφωση και τις οριακές συνθήκες και δεν είναι γνωστή για κάθε πρόβλημα. Ωστόσο, στο κλειστό κοίλωμα με τις δεδομένες οριακές συνθήκες, αναλυτικά αποτελέσματα από υπολογιστικές μελέτες, για τη στρωτή ροή υπάρχουν μέχρι την τιμή Ra H = Από τις προσομοιώσεις που πραγματοποιήθηκαν για το συγκεκριμένο πρόβλημα, παρουσιάζονται τα αποτελέσματα για Ra H = Στην z κατεύθυνση χρησιμοποιήθηκαν περιοδικές οριακές συνθήκες, ενώ οι οριακές συνθήκες που χρησιμοποιήθηκαν στα αδιαβατικά τοιχώματα ήταν τύπου Dirichlet. Για την επαλήθευση των αποτελεσμάτων, στο Σχήμα 4.7 συγκρίνεται το πεδίο θερμοκρασίας με τα αποτελέσματα του De Vahl Davis (1983), ενώ στο Σχήμα 4.8 συγκρίνονται τα πεδία της κατακόρυφης (αριστερά) και οριζόντιας (δεξιά) ταχύτητας. Ο De Vahl Davis (1983) χρησιμοποίησε ένα δισδιάστατο κώδικα και τη μέθοδο στροβιλότητας - ροϊκής συνάρτησης. Καθώς φαίνεται ξεκάθαρα στα Σχήματα 4.7 και 4.8 ότι τα αποτελέσματα συμπίπτουν απόλυτα μεταξύ τους, το επόμενο στάδιο είναι η προσομοίωση αντίστοιχου προβλήματος φυσικής συναγωγής σε τυρβώδη ροή.

94 68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΕΠΙΚΥΡΩΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟΥ ΚΩΔΙΚΑ Adiabatic wall Hot wall Cold wall H Adiabatic wall L W z y x Σχήμα 4.6: Η γεωμετρία που χρησιμοποιήθηκε για την προσομοίωση στρωτής ροής σε κλειστό κοίλωμα με λόγο πλευρών AR = H/L = 1. Σχήμα 4.7: Σύγκριση του πεδίου θερμοκρασίας (αριστερά) με τα αποτελέσματα του De Vahl Davis (1983) (δεξιά) για την περίπτωση φυσικής συναγωγής σε στρωτή ροή και για Ra H = 10 5.

95 4.2. ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΑΓΩΓΗ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΚΟΙΛΩΜΑ 69 Σχήμα 4.8: Σύγκριση των πεδίων ταχυτήτων (u πάνω, v κάτω) με τα αποτελέσματα του De Vahl Davis (1983) (b,d) για την περίπτωση φυσικής συναγωγής σε στρωτή ροή και για Ra H = 10 5.

96 70 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΕΠΙΚΥΡΩΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟΥ ΚΩΔΙΚΑ Τυρβώδης ροή Για την προσομοίωση τυρβώδους ροής, που στο πρόβλημα αυτό μελετάται για Ra H = , επιλέχθηκε η διάταξη των Cheesewright et al. (1986) που διεξήγαγαν πειραματικές μετρήσεις με εργαζόμενο μέσο τον αέρα και για μια διάταξη με λόγο πλευρών AR = H/L = 5 (Σχήμα 4.9α) και με σκοπό ακριβώς το να παράγουν δεδομένα για επικύρωση δισδιάστατων προσομοιώσεων. Αναφέρεται επίσης και το ενδεχόμενο, οι ροές που προέκυψαν να είχαν και κάποια τρισδιάστατα χαρακτηριστικά, καθώς υπήρχαν ατέλειες στα κατακόρυφα θερμαινόμενα τοιχώματα. Περιγράφεται επίσης και μια μέθοδος η οποία διορθώνει τα δεδομένα αφαιρώντας τα τρισδιάστατα χαρακτηριστικά που προέκυψαν. Η προσομοίωση της συγκεκριμένης διάταξης έγινε για αριθμό Rayleigh Ra H = (Ra L = ), με χρήση μη ομοιόμορφου πλέγματος ( ), ενώ οι οριακές συνθήκες είναι ίδιες με αυτές που χρησιμοποιήθηκαν στο κοίλωμα με λόγο πλευρών AR = H/L = 1 της στρωτής ροής. Στο Σχήμα 4.9β παρουσιάζεται ένα τρισδιάστατο στιγμιαίο πεδίο θερμοκρασίας (ισοθερμοκρασιακές επιφάνειες) στο οποίο φαίνεται ξεκάθαρα η τρισδιάστατη φύση του προβλήματος. Για την περαιτέρω σύγκριση των αποτελεσμάτων υπολογίστηκαν οι χρονικές μέσες τιμές αλλά και η χωρική μέση τιμή στην κατεύθυνση z. Με βάση τα παραπάνω, παρουσιάζονται στο Σχήμα 4.10 τα δισδιάστατα πεδία θερμοκρασίας, τυρβώδους κινητικής ενέργειας και οι γραμμές ροής. Παρατηρούμε πάλι ότι υπάρχει μία μοναδική δίνη που καταλαμβάνει ολόκληρο το κοίλωμα, ενώ από το πεδίο της τυρβώδους κινητικής ενέργειας προκύπτει ότι οι μέγιστες τιμές της είναι κοντά στα ισοθερμοκρασιακά τοιχώματα. Στο Σχήμα 4.11 παρουσιάζονται οι οριζόντιες κατανομές στο μέσο ύψος του κοιλώματος (y = 2.5) της κατακόρυφης ταχύτητας, της θερμοκρασίας και της τυρβώδους κινητικής ενέργειας. Παράλληλα γίνεται και σύγκριση με τα πειραματικά δεδομένα του Cheesewright et al. (1986) αλλά και με προσομοιώσεις LES από τους Zhang and Chen (2000a) και Zhang and Chen (2000b), οι οποίοι χρησιμοποίησαν το μοντέλο Smagorinsky και το Φιλτραρισμένο Δυναμικό μοντέλο (FDSM) αντίστοιχα. Το πλέγμα που χρησιμοποίησαν ( ) ήταν παραπλήσιο με αυτό που χρησιμοποιήθηκε και από τον παρόντα κώδικα, ως προς τις κύριες διαστάσεις x και y. Συγκρίνοντας τις κατανομές της κατακόρυφης ταχύτητας, παρατηρείται αρκετά καλή συμφωνία των αποτελεσμάτων του παρόντος LES κώδικα με τα πειραματικά δεδομένα. Το FDSM των Zhang and Chen (2000b), φαίνεται να δίνει σχετικά υψηλότερες τιμές της ταχύτητας κοντά στα τοιχώματα, ενώ τα αποτελέσματα με το Smagorinsky μοντέλο των Zhang and Chen (2000a) παρουσιάζουν πολύ μεγάλες αποκλίσεις, τόσο με τις πειραματικές μετρήσεις όσο και με τους άλλους δύο LES κώδικες.

97 4.2. ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΑΓΩΓΗ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΚΟΙΛΩΜΑ 71 Σχήμα 4.9: (α) Η γεωμετρία που χρησιμοποιήθηκε για την προσομοίωση τυρβώδους ροής σε κλειστό κοίλωμα με λόγο πλευρών AR = H/L = 5, για Ra H = (β) Τρισδιάστατο στιγμιαίο πεδίο θερμοκρασίας μετά την ολοκλήρωση της μεταβατικής περιόδου (t = ). Όσον αφορά την κατανομή της θερμοκρασίας, τα αποτελέσματα που προκύπτουν και από τους τρεις υπολογιστικούς κώδικες είναι παραπλήσια μεταξύ τους, αλλά οι τιμές είναι σχετικά ψηλότερες από τα πειραματικά. Το γεγονός αυτό οφείλεται στο ότι τα πάνω και κάτω τοιχώματα δεν ήταν πολύ καλά μονωμένα κατά τη διάρκεια των πειραμάτων (Cheesewright et al., 1986). Η κατανομή της τυρβώδους κινητικής ενέργειας (k ) φαίνεται να είναι και η πιο δύσκολη να προβλεφθεί. Από τις προσομοιώσεις με τον LES κώδικα προέκυψαν αποτελέσματα που υπερεκτιμούν τις τιμές της k ειδικά στην περιοχές κοντά στα κατακόρυφα τοιχώματα, ενώ στις ίδιες περιοχές ο κώδικας με το FDSM μοντέλο υποεκτιμά την k. Τα αποτελέσματα των Zhang and Chen (2000a) παρουσιάζουν και εδώ μεγάλες αποκλίσεις τόσο με τα πειραματικά, όσο και με τις άλλες προσομοιώσεις.

98 72 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΕΠΙΚΥΡΩΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟΥ ΚΩΔΙΚΑ Παρόλο που ο LES κώδικας και οι Zhang and Chen (2000a) χρησιμοποιούν και οι δύο μοντέλο Smagorinsky τα αποτελέσματα των Zhang and Chen (2000a) αποκλίνουν σημαντικά. Ο κυριότερος λόγος φαίνεται να είναι τα λιγότερα σημεία πλέγματος (12) που χρησιμοποίησαν στην Z-κατεύθυνση για τις προσομοιώσεις τους. Τόσο λίγα σημεία είναι πιθανό να μην επιτρέπουν την σωστή ανάπτυξη των τυρβωδών δομών.

99 4.2. ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΑΓΩΓΗ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΚΟΙΛΩΜΑ 73 Σχήμα 4.10: Το πεδίο θερμοκρασίας και γραμμές ροής (αριστερά), το πεδίο τυρβώδους κινητικής ενέργειας (δεξιά) για φυσική συναγωγή σε ορθογωνικό κοίλωμα με Ra H = , όπως προέκυψαν από τις χρονικές και χωρικές (κατεύθυνση z) μέσες τιμές, μετά την ολοκλήρωση της μεταβατικής περιόδου.

100 74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΕΠΙΚΥΡΩΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟΥ ΚΩΔΙΚΑ v * x * θ * 1.0 LES 0.8 Zhang and Chen (LES - FDSM) Zhang and Chen (LES - Smag) 0.6 Cheesewright et al. (exp) x * E E+07 k * 1E+07 5E x * Σχήμα 4.11: Σύγκριση των αποτελεσμάτων με τα πειραματικά δεδομένα των Cheesewright et al. (1986) και τα υπολογιστικά των Zhang and Chen (2000a) (μοντέλο Smagorinsky) και Zhang and Chen (2000b) (Φιλτραρισμένο Δυναμικό μοντέλο - FDSM) για φυσική συναγωγή σε ορθογωνικό κοίλωμα.

101 4.3. ΜΙΚΤΗ ΣΥΝΑΓΩΓΗ ΣΕ ΚΟΙΛΩΜΑ Μικτή συναγωγή σε κοίλωμα Το τελευταίο βήμα για την επικύρωση του κώδικα ήταν προσομοιώσεις σε περιπτώσεις μικτής συναγωγής, που είναι και η πλησιέστερη περίπτωση στα προβλήματα των δεξαμενών αποθήκευσης που ενδιαφέρουν εδώ. Συγκεκριμένα επιλέχθηκαν δυο διαφορετικές διατάξεις, όπου η πρώτη αφορά μία εφαρμογή με εργαζόμενο μέσο τον αέρα (Παράγραφος 4.3.1) ενώ η δεύτερη το νερό (Παράγραφος 4.3.2) Μικτή συναγωγή σε κοίλωμα με εργαζόμενο μέσο αέρα Μια πειραματική διάταξη η οποία χρησιμοποιήθηκε για την επικύρωση του υπολογιστικού κώδικα ήταν αυτή που μελέτησαν οι Blay et al. (1992). Συγκεκριμένα είναι μια περίπτωση μικτής συναγωγής με τυρβώδη ροή, όπου μια δέσμη κρύου αέρα εισέρχεται στην επάνω δεξιά γωνία ενός κοιλώματος, ενώ παράλληλα αέρας εξέρχεται από ένα άνοιγμα κάτω δεξιά. Το κάτω τοίχωμα βρίσκεται σε μία σταθερή θερμοκρασία υψηλότερη αυτής των τοιχωμάτων και της εισερχόμενης δέσμης αέρα. Στο Σχήμα 4.12 παρουσιάζεται με λεπτομέρεια η γεωμετρία της διάταξης. Incoming Air T in =15 o C T w =15 o C W H in H T w =15 o C T w =15 o C H out T f =35 o C L z y x Σχήμα 4.12: Η γεωμετρία που χρησιμοποιήθηκε για την προσομοίωση τυρβώδους ροής σε κλειστό κοίλωμα παρουσία μικτής συναγωγής. Οι Blay et al. (1992) διεξήγαγαν πειραματικές μετρήσεις με σκοπό την ανάλυση των αποτελεσμάτων τους να την χρησιμοποιήσουν για εφαρμογές κλιματισμού, για τον λόγο

102 76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΕΠΙΚΥΡΩΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟΥ ΚΩΔΙΚΑ αυτό το εργαζόμενο μέσο είναι ο αέρας. Οι διαστάσεις του κοιλώματος (Σχήμα 4.12) είναι L = 1.04m, H = 1.04m και W = 0.3m. Το ύψος του ανοίγματος εισροής του αέρα είναι H in = 0.018m και το ύψος του ανοίγματος εκροής H out = 0.024m. Το κάτω τοίχωμα βρίσκεται σε σταθερή θερμοκρασία T f = 35.5 o C ενώ το πάνω, δεξί και αριστερό τοίχωμα καθώς και ο εισερχόμενος αέρας έχουν σταθερή θερμοκρασία T w = 15.0 o C. Τα τοιχώματα στην κατεύθυνση z, είναι αδιαβατικά. Η ταχύτητα εισόδου του αέρα ήταν σταθερή και ίση με u in = 0.57m/s. Σύμφωνα με τις παραπάνω διαστάσεις και παραμέτρους οι αδιάστατοι αριθμοί που προκύπτουν παρουσιάζονται συγκεντρωμένοι στον Πίνακα 4.1. Πίνακας 4.1: Παράμετροι και αδιάστατοι αριθμοί για το πρόβλημα μικτής συναγωγής των Blay et al. (1992) θ in, θ w T in, T w θf T f u in [ o C] [ o C] 0.57[m/s] P r Re H Ra H Re in Ra in Για την προσομοίωση χρησιμοποιήθηκε πλέγμα , το οποίο ήταν ομοιόμορφο στις κατευθύνσεις x και z, ενώ στην κατεύθυνση y υπήρξε πύκνωση κοντά στο πάνω και στο κάτω τοίχωμα με σκοπό την εισαγωγή αρκετών κόμβων στα ανοίγματα εισροής και εκροής. Στον Πίνακα 4.2 παρουσιάζονται συγκεντρωμένες οι πληροφορίες για το πλέγμα που χρησιμοποιήθηκε. Πίνακας 4.2: Δεδομένα για το πλέγμα και το υπολογιστικό χωρίο που χρησιμοποιήθηκε για το πρόβλημα μικτής συναγωγής των Blay et al. (1992). Αριθμός των κόμβων Υπολογιστικό χωρίο Αριθμός κόμβων στο του πλέγματος L/H, H/H, W/H H in H out πλάτος των διατομών (NX,NY,NZ) εισόδου-εξόδου , 1.0, , 8 Στο Σχήμα 4.13 παρουσιάζεται το δισδιάστατο πεδίο θερμοκρασίας και οι γραμμές ροής όπως προέκυψαν από τις προσομοιώσεις του υπολογιστικού κώδικα στο κεντρικό κατακόρυφο επίπεδο (z = 0.15). Παρατηρείται μία μεγάλη δίνη που καταλαμβάνει τον μεγαλύτερο όγκο του κοιλώματος καθώς και μια μικρότερη (με αντίστροφη φορά) ακριβώς κάτω από το άνοιγμα εισροής.

103 4.3. ΜΙΚΤΗ ΣΥΝΑΓΩΓΗ ΣΕ ΚΟΙΛΩΜΑ 77 Σχήμα 4.13: Το δισδιάστατο πεδίο θερμοκρασίας και οι γραμμές ροής στο επίπεδο (z = 0.15) για την διάταξη μικτής συναγωγής των Blay et al. (1992). Με σκοπό την πληρέστερη σύγκριση των αποτελεσμάτων με τα πειραματικά δεδομένα, στο Σχήμα 4.14 παρουσιάζονται στο κεντρικό κατακορυφό επίπεδο (z = 0.15) κατακόρυφες (στην οριζόντια θέση x = 0.5) και οριζόντιες (στην κατακόρυφη θέση y = 0.5) κατανομές της ταχύτητας, θερμοκρασίας και της τυρβώδους κινητικής ενέργειας. Όσον αφορά τα προφίλ της ταχύτητας (Σχήμα 4.14a,d), υπάρχει αρκετά καλή σύγκλιση των αποτελεσμάτων με τα πειραματικά, με πολύ μικρή μόνο απόκλιση στις μέγιστες τιμές κοντά στα τοιχώματα. Στις κατανομές τις θερμοκρασίας (Σχήμα 4.14b,e) υπάρχει μια υπερεκτίμηση των αντίστοιχων πειραματικών τιμών, όμως η γενική μορφή των καμπύλων παραμένει η ίδια. Παρόμοια αποτελέσματα προκύπτουν και από την σύγκριση των κατανομών της τυρβώδους κινητικής ενέργειας (Σχήμα 4.14c,f), με την διαφορά ότι ο υπολογιστικός κώδικας παράγει μεγαλύτερες τιμές κοντά στα τοιχώματα. Η συμπεριφορά αυτή φαίνεται να είναι ανεξάρτητη από μοντέλο τύρβης που χρησιμοποιείται, σύμφωνα με την μελέτη των Ezzouhri et al. (2009).

104 78 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΕΠΙΚΥΡΩΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟΥ ΚΩΔΙΚΑ a) y * c) u * b) x * d) y * 0.4 θ * θ * x * e) f) 0.02 Blay et al. (exp) LES y * k * k * x * Σχήμα 4.14: Σύγκριση των αποτελεσμάτων της προσομοίωσης με τα πειραματικά Blay et al. (1992) στο κεντρικό κατακορυφό επίπεδο (z = 0.15).

105 4.3. ΜΙΚΤΗ ΣΥΝΑΓΩΓΗ ΣΕ ΚΟΙΛΩΜΑ Μικτή συναγωγή σε κοίλωμα με εργαζόμενο μέσο νερό Για την περαιτέρω επαλήθευση του υπολογιστικού κώδικα σε περιπτώσεις μικτής συναγωγής μελετήθηκε ακόμα μια διάταξη, της οποίας τα κύρια χαρακτηριστικά είναι παρόμοια με αυτά της φόρτισης και εκφόρτισης της κυβικής δεξαμενής που πρόκειται να διερευνηθεί παρακάτω. Ειδικότερα, το συγκεκριμένο πρόβλημα μελετήθηκε για πρώτη φορά από τους Mo and Miyatake (1996), κατά το οποίο ζεστό νερό εισέρχεται μέσω ανοίγματος στην επάνω αριστερά γωνία μιας δεξαμενής (διαστάσεων: 0.40m 0.43m 0.15m), ενώ ταυτόχρονα κρύο νερό εξέρχεται από άνοιγμα που βρίσκεται στην κάτω δεξιά γωνία (Σχήμα 4.15). Η δεξαμενή είναι θερμικά μονωμένη σε όλα τα τοιχώματα αλλά και στην επιφάνεια του νερού. Αρχικά η δεξαμενή είναι γεμάτη με κρύο νερό αδιάστατης θερμοκρασίας θ = 0. Ζεστό νερό θερμοκρασίας θ = 1 εισέρχεται στην δεξαμενή με ταχύτητα u in = 1. Περισσότερες πληροφορίες για τις παραμέτρους και τους αδιάστατους αριθμούς που χαρακτηρίζουν την πειραματική διάταξη, βρίσκονται στον Πίνακα 4.3. Πίνακας 4.3: Παράμετροι και αδιάστατοι αριθμοί για το πρόβλημα μικτής συναγωγής των Mo and Miyatake (1996) θ in 1 (ομοιόμορφη, χρονικά σταθερή) P r 6.7 Re H 5000 Gr H Ar H u in 1.0 Για τις προσομοιώσεις χρησιμοποιήθηκαν τρία διαφορετικά πλέγματα (G1v, G2v, G3v), τα οποία παρουσίαζαν πύκνωση κοντά στα τοιχώματα στην x και y κατεύθυνση, ενώ στην z κατεύθυνση (περιοδικές οριακές συνθήκες) τα πλέγματα ήταν ομοιόμορφα. Αναλυτικές πληροφορίες για κάθε πλέγμα παρουσιάζονται στον Πίνακα 4.4. Οι τιμές της απόστασης του πρώτου εσωτερικού σημείου από τα τοιχώματα (σε μονάδες τοίχου) είναι της τάξης του x + i 3.0 για το G1v πλέγμα, x + i 1.8 για το G2v πλέγμα και x + i 1.0 για το G3v πλέγμα. Τα αποτελέσματα από τον υπολογιστικό κώδικα συγκρίνονται με τα πειραματικά δεδομένα των Mo and Miyatake (1996) αλλά και με τα URANS αποτελέσματα των Ji and Homan (2006). Συγκεκριμένα στο Σχήμα 4.16 συγκρίνονται οι οριζόντιες μέσες τιμές της χρονικής εξέλιξης της θερμοκρασίας, σε τέσσερις κάθετες θέσεις της δεξαμενής κατά τη διάρκεια της εκφόρτισης του κρύου νερού. Παρόλο που εμφανίζονται κάποιες διαφορές

106 80 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΕΠΙΚΥΡΩΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟΥ ΚΩΔΙΚΑ Πίνακας 4.4: Δεδομένα για το πλέγμα και το υπολογιστικό χωρίο που χρησιμοποιήθηκε για το πρόβλημα μικτής συναγωγής των Mo and Miyatake (1996). όνομα αριθμός κόμβων Υπολογιστικό χωρίο Αριθμός κόμβων πλέγματος NX NY NZ L/H in H/H in W/H in εισόδου εξόδου G1v G2v G3v μεταξύ της προσομοίωσης και των πειραματικών δεδομένων, ειδικότερα όταν η θερμοκρασία πλησιάζει το 1.0 στην πλευρά της εισόδου της θερμοκλίνης, ο υπολογιστικός κώδικας προβλέπει την χρονική ανάπτυξη της βαθμίδας της θερμοκρασίας με ικανοποιητική ακρίβεια. Όσον αφορά την σύγκριση με τις URANS προσομοιώσεις, τα αποτελέσματα είναι σχεδόν πανομοιότυπα. Η συνολική επίδοση του υπολογιστικού κώδικα με βάση όλες τις περιπτώσεις που μελετήθηκαν σε αυτό το κεφάλαιο, κρίνεται ικανοποιητική. Η εφαρμογή του κώδικα σε μοντελοποίηση περιπτώσεων που είναι παρόμοιες με την υπό μελέτη κυβική δεξαμενή αναδεικνύει έτσι την καταλληλότητα του για την περαιτέρω χρήση του σε πιο σύνθετα προβλήματα. Επιπλέον, πληροφορίες όπως οι τιμές των παραμέτρων για το μοντέλο του Smagorinsky, C s = 0.1, A = 2.0 και B = 4.0 (Εξισώσεις 3.12 και 3.13) που χρησιμοποιήθηκαν για τις προσομοιώσεις, αποτελούν "οδηγό" για την κυβική δεξαμενή που θα μελετηθεί στη συνέχεια.

107 4.3. ΜΙΚΤΗ ΣΥΝΑΓΩΓΗ ΣΕ ΚΟΙΛΩΜΑ 81 Incoming hot water Free slip, Adiabatic surface W H in Adiabatic wall H Adiabatic wall H out Adiabatic wall L Outlet opening y z x Σχήμα 4.15: Το φυσικό μοντέλο που χρησιμοποιήθηκε για την προσομοίωση τυρβώδους ροής στην δεξαμενή ζεστού νερού των Mo and Miyatake (1996) για τους σκοπούς της επικύρωσης του υπολογιστικού κώδικα θ * t * exp y * =33.92 exp y * =24.38 exp y * =13.97 exp y * =4.00 URANS LES G1v LES G2v LES G3v Σχήμα 4.16: Χρονική εξέλιξη της θερμοκρασίας σε τέσσερα διαφορετικά ύψη όπως προκύπτει από την προσομοίωση της φόρτισης της δεξαμενής των Mo and Miyatake (1996) και σύγκριση με αποτελέσματα άλλων ερευνητών.

108

109 Κεφάλαιο 5 Δεξαμενή μεγάλου κυβισμού - Αποτελέσματα προσομοίωσης της διεργασίας φόρτισης Η υπό μελέτη κυβική δεξαμενή νερού (Σχήμα 5.1) έχει διαστάσεις 2m 2m 2m. Κατά την διαδικασία της φόρτισης το ζεστό νερό εισέρχεται από ένα γραμμικό διαχύτη (ύψος σχισμής H in = 0.02m), που βρίσκεται στο επάνω μέρος του κάθετου τοίχου, και το κέντρο του στη θέση y = 1.91m. Στην πειραματική διάταξη ο διαχύτης σχεδιάστηκε έτσι ώστε να διασφαλίζει ομοιόμορφη κατανομή της ταχύτητας στο πλάτος των 2 m. Το κρύο νερό εξέρχεται της δεξαμενής από ένα πανομοιότυπο διαχύτη στο κάτω μέρος της δεξαμενής του ίδιου κατακόρυφου τοίχου με το κέντρο του στη θέση y = 0.01m. Έτσι, αναμένεται ένα δισδιάστατο στις βασικές του δομές ροϊκό πεδίο, με κάποιες αποκλίσεις μόνο στην περιοχή των πλευρικών τοιχωμάτων κατά την τρίτη διάσταση. Τρία διαφορετικά σενάρια φόρτισης μελετήθηκαν με βάση την αρχική θερμοκρασιακή κατανομή της δεξαμενής και της θερμοκρασίας του εισερχόμενου νερού. Η θερμοκρασία του εισερχόμενου νερού στη δεξαμενή ήταν είτε σταθερή (Περίπτωση A) είτε μεταβλητή (Περιπτώσεις B1 και B2) χρονικά. Περισσότερες λεπτομέρειες για τα σενάρια φόρτισης θα δοθούν παρακάτω. Οι παράμετροι και οι αδιάστατοι αριθμοί επιλέχθηκαν με τέτοιο τρόπο ώστε να ταιριάζουν με τις συνθήκες της πειραματικής διάταξης, όπως περιγράφονται από Papanicolaou and Belessiotis (2009). Οι θερμοφυσικές ιδιότητες που ήταν απαραίτητες για τον υπολογισμό των αδιάστατων αριθμών υπολογίστηκαν με βάση την μέση θερμοκρασία του νερού. Για τις προσομοιώσεις χρησιμοποιήθηκε το υπολογιστικό χωρίο που φαίνεται στο Σχήμα 5.1. Το προφίλ ταχύτητας στην είσοδο θεωρήθηκε ομοιόμορφο και διαταράσσεται 83

110 84 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΟΡΤΙΣΗΣ με τυχαίες διαταραχές η ένταση των οποίων ισούται με 1%. Στα τοιχώματα του υπολογιστικού χωρίου εφαρμόστηκαν αδιαβατικές οριακές συνθήκες, όπως και στην επιφάνεια του νερού. Στην κατεύθυνση z εφαρμόστηκαν περιοδικές οριακές συνθήκες, καθώς το υπολογιστικό χωρίο είναι μικρότερο σε αυτή την κατεύθυνση σε σχέση με την πραγματική γεωμετρία της δεξαμενής. Για τις οριακές συνθήκες των ταχυτήτων, στα τοιχώματα εφαρμόστηκαν συνθήκες μη-ολίσθησης, ενώ η ελεύθερη επιφάνεια του νερού θεωρήθηκε μη παραμορφώσιμη, u = 0, w = 0, v = 0. Στην έξοδο χρησιμοποιήθηκε η οριακή y y συνθήκη συναγωγής (Εξίσωση 3.57). Για τις προσομοιώσεις χρησιμοποιήθηκαν διάφορα πλέγματα, για τα οποία περισσότερες πληροφορίες παρουσιάζονται στον Πίνακα 5.1. Το πρώτο πλέγμα είναι δισδιάστατο, μη-ομοιόμορφο, παρόμοιο με αυτό που χρησιμοποίησαν οι Papanicolaou and Belessiotis (2009) για τις URANS προσομοιώσεις και χρησιμοποιήθηκε για κάποιες αρχικές προσομοιώσεις. Τα πλέγματα G2 και G3, είναι ομοιόμορφα στις κατευθύνσεις x και z, ενώ στην κατεύθυνση y είναι μη ομοιόμορφα με πύκνωση κοντά στην είσοδο και την έξοδο. Το χρονικό βήμα που χρησιμοποιήθηκε ήταν t = 10 4, το οποίο σε συνδυασμό με τις υπόλοιπες υπολογιστικές παραμέτρους του προβλήματος (Πίνακας 5.2), προκύπτει αριθμός CFL ίσος με Πίνακας 5.1: Πληροφορίες για τα πλέγματα που χρησιμοποιήθηκαν για την υπόγεια δεξαμενή. Όνομα Αριθμός κόμβων L, H, W Αριθμός κόμβων πλέγματος (NX, NY, NZ) (x, y, z) H in H out στα ανοίγματα εισόδου-εξόδου G , 1.0, , 8 G , 1.0, , 3 G , 1.0, , 4

111 85 Incoming hot water Free slip, Adiabatic surface H in Adiabatic wall Adiabatic wall H Outlet Diffuser H out L Adiabatic wall W z y x Σχήμα 5.1: Υπολογιστικό χωρίο της κυβικής δεξαμενής αποθήκευσης χωρητικότητας 8 m 3.

112 86 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΟΡΤΙΣΗΣ 5.1 Σενάρια φόρτισης Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, για την διαδικασία της φόρτισης της δεξαμενής επιλέχθηκαν τρία διαφορετικά σενάρια με βασικό κριτήριο την χρονική εξέλιξη της θερμοκρασίας εισόδου (θin). Στο Σχήμα 5.2a παρουσιάζεται αναλυτικά αυτή η χρονική εξέλιξη για όλα τα σενάρια τα οποία είναι αυτά που χρησιμοποιήθηκαν στην εργασία των Papanicolaou and Belessiotis (2009) και αντιστοιχούν σε ημερήσιους κύκλους φόρτισης της δεξαμενής (περίπου 7 ώρες πραγματικού χρόνου). Συγκεκριμένα, στην περίπτωση σταθερής θερμοκρασίας εισόδου (περίπτωση A) η θερμοκρασία διατηρεί τιμή ίση με 1 (θin = 1) και είναι η περίπτωση που απαντάται κατά κανόνα σε αντίστοιχες μελέτες τις βιβλιογραφίας. Για την περίπτωση της ηλεκτρικής θέρμανσης του εισερχόμενου νερού (περίπτωση B1) η θin ξεκινά στην αρχή της διαδικασίας από μη μηδενική τιμή, θin = 0.4, στην συνέχεια αυξάνεται μέχρι την μέγιστη τιμή (θin = 1) στην χρονική στιγμή (t = 245) και μετά εμφανίζει πτωτική πορεία. Το σενάριο αυτό επιλέχθηκε με κριτήριο το ότι υπάρχουν διαθέσιμα πειραματικά δεδομένα προς σύγκριση. Στο τρίτο σενάριο, προσομοιώνεται η φόρτιση της δεξαμενής από ένα ηλιακό πεδίο κατά την διάρκεια μια τυπικής ηλιόλουστης ημέρας. Για το λόγο αυτό η θin έχει μηδενική τιμή στην αρχή της φόρτισης και αυξάνεται σταδιακά μέχρι να πάρει την μέγιστη τιμή της την χρονική στιγμή t = 225. Στη συνέχεια μειώνεται η τιμή της θin, γεγονός που είναι φυσιολογικό καθώς ακολουθεί τη μείωση της έντασης της ηλιακής ακτινοβολίας μετά το ηλιακό μεσημέρι. Στα σενάρια της σταθερής θερμοκρασίας εισόδου (περίπτωση A) και της ηλιακής φόρτισης (περίπτωση B2) η αρχική κατανομή της θερμοκρασίας του νερού μέσα στην δεξαμενή θεωρήθηκε σταθερή και ίση με μηδέν, όπως φαίνεται και στο Σχήμα 5.2b. Για το σενάριο της ηλεκτρικής φόρτισης (περίπτωση B1) η αρχική κατανομή της θερμοκρασίας μέσα στην δεξαμενή βασίστηκε σε πραγματικά δεδομένα από μετρήσεις που εμφάνιζαν μεταβολή καθ' ύψος, η οποία και λήφθηκε υπ' όψη στις προσομοιώσεις (Σχήμα 5.2b). Στον Πίνακα 5.2 παρουσιάζονται συγκεντρωμένοι όλοι οι αδιάστατοι αριθμοί και παράμετροι που προέκυψαν για τα τρία διαφορετικά σενάρια φόρτισης.

113 5.1. ΣΕΝΑΡΙΑ ΦΟΡΤΙΣΗΣ 87 Σχήμα 5.2: Χρονική μεταβολή των θερμοκρασιών εισόδου (αριστερά) για τις τρεις χαρακτηριστικές περιπτώσεις (σενάρια) και αρχική κατακόρυφη κατανομή της θερμοκρασίας (t = 0) μέσα στην δεξαμενή (δεξιά). Στην δεύτερη εικόνα διακρίνεται η ειδική μορφή της περίπτωσης Β1 (δεδομένα από πειραματικές μετρήσεις). Πίνακας 5.2: Παράμετροι και αδιάστατοι αριθμοί για τα διάφορα σενάρια φόρτισης της κυβικής δεξαμενής. Παράμετρος Σενάριο A Σενάριο B1 Σενάριο B2 θin Σταθερή (=1) f(t ) f(t ) P r Re H Gr H T o [ o C] u in t sim [h]

114 88 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΟΡΤΙΣΗΣ 5.2 Σταθερή θερμοκρασία εισόδου (Σενάριο A) Παρ' όλο που δεν υπάρχουν πειραματικά δεδομένα για αυτό το σενάριο, κρίθηκε αναγκαίο να γίνουν προσομοιώσεις καθώς η απλότητα της οριακής συνθήκης θερμοκρασίας στην είσοδο, βοηθά στην ανάδειξη των βασικών χαρακτηριστικών της ροής. Επιπλέον, αυτό το σενάριο φόρτισης εμπίπτει στην "θεμελιώδη" κατηγορία μελετών της βιβλιογραφίας που ασχολούνται με την ανάπτυξη της θερμοκλίνης και την ανάμειξη μέσα στην δεξαμενή, καθώς επιτρέπει να αναπτυχθεί μια ευκρινώς καθορισμένη θερμοκλίνη. Καθώς η πλειοψηφία των παρόμοιων εργασιών που υπάρχουν στην βιβλιογραφία (Homan (2003), Oliveski et al. (2003) και Shin et al. (2004)) έχουν χρησιμοποιήσει την ίδια συνθήκη εισόδου, διευκολύνονται βέβαια και οι άμεσες συγκρίσεις με τα ευρήματα της παρούσας εργασίας (όσον αφορά το πάχος της θερμοκλίνης). Το πλέγμα G2 χρησιμοποιήθηκε από τον υπολογιστικό κώδικα LES, και τα αποτελέσματα που προέκυψαν συγκρίθηκαν με αυτά ενός κώδικα URANS του Papanicolaou and Belessiotis (2009), που προήλθαν από ένα μοντέλο συζευγμένης μεταφοράς θερμότητας (conjugate heat transfer), σε ένα διευρυμένο υπολογιστικό χωρίο που συμπεριελάμβανε τα τοιχώματα της δεξαμενής και το περιβάλλον έδαφος. Οι Papanicolaou and Belessiotis (2009) χρησιμοποίησαν το πλέγμα G1 για την προσομοίωση του ρευστού, το οποίο είχε έντονη μη ομοιόμορφη κατανομή κοντά στα τοιχώματα. Παράλληλα, ο κώδικας URANS χρησιμοποίησε διάφορα μοντέλα k ϵ χαμηλού αριθμού Reynolds για την προσομοίωση της τύρβης, αλλά και μια μορφή του μοντέλου δύο στρωμάτων (two-layer) κατάλληλα προσαρμοσμένης για περιπτώσεις μικτής συναγωγής. Ακόμα, για την περαιτέρω επικύρωση του κώδικα, πραγματοποιήθηκε σύγκριση με αποτελέσματα ενός δεύτερου υπολογιστικού κώδικα βασισμένου στη μεθοδολογία της προσομοίωσης μεγάλων δινών (ο οποίος από εδώ και πέρα θα αναφέρεται με το όνομα LES-G), που αναπτύχθηκε από τους Grigoriadis et al. (2003). Ο κώδικας αυτός βασίζεται στις πεπερασμένες διαφορές σε μετατοπισμένα (staggered) καρτεσιανά πλέγματα και χρησιμοποιεί την προσέγγιση κλασματικού βήματος (fractional step). Η χρονική διακριτοποίηση γίνεται με το δεύτερης τάξης ακρίβειας σχήμα Adams-Bashforth, οι εξισώσεις των ταχυτήτων διακριτοποιήθηκαν με κεντρικές διαφορές, ενώ για την εξίσωση της θερμοκρασίας χρησιμοποιεί το σχήμα Power Law ή το HLPA. Για την μοντελοποίηση της τύρβης χρησιμοποίησε το μοντέλο φιλτραρισμένης δομικής συνάρτησης (filtered structure function). Οι προσομοιώσεις έγιναν για χρονική διάρκεια λίγο μεγαλύτερη του t = 100, που αντιστοιχεί στον απαιτούμενο χρόνο για μια "μη αναμειγνυόμενη" εισροή νερού (plug flow) να φορτίσει πλήρως την δεξαμενή με ζεστό νερό (διαμορφώνοντας παράλληλα συν-

115 5.2. ΣΤΑΘΕΡΗ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΕΙΣΟΔΟΥ (ΣΕΝΑΡΙΟ A) 89 θήκες μιας πλήρως διαστρωματωμένης δεξαμενής) ή ισοδύναμα ο χρόνος που χρειάζεται να αντικατασταθεί νερό όγκου ίσο με αυτόν της δεξαμενής. Στο Σχήμα 5.3α φαίνεται η χρονική εξέλιξη της μέσης θερμοκρασίας του νερού κατά τη φόρτιση της δεξαμενής όπως προέκυψε από τους δύο LES κώδικες και τα διαφορετικά σχήματα διακριτοποίησης. Είναι φανερό ότι τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων είναι περιορισμένα μεταξύ της μη αναμειγνυόμενης ή πλήρως διαστρωματωμένης κατάστασης (fully stratified state) και της πλήρως αναμεμειγμένης (fully mixed state), όπως προέκυψαν από το μονοδιάστατο μοντέλο Multinode. Κατά τα πρώτα στάδια της φόρτισης (μέχρι t = 50), όλες οι διαφορετικές προσομοιώσεις προβλέπουν πανομοιότυπη εξέλιξη της μέσης θερμοκρασίας (θavg) και της θερμοκρασίας εξόδου (θout). Στη συνέχεια, παρατηρείται καλή σύγκλιση ανάμεσα στους δυο LES υπολογιστικούς κώδικες με το ίδιο σχήμα διακριτοποίησης, ειδικά για την θερμοκρασία εξόδου θout (Σχήμα 5.3β). Οι παρατηρούμενες διαφορές, αναδεικνύουν την εξάρτηση της υπολογιζόμενης κατανομής της θερμοκρασίας και κατά συνέπεια του πάχους της θερμοκλίνης (δ ), από το σχήμα διακριτοποίησης. Η παραπάνω υπόθεση επιβεβαιώνεται και από το Σχήμα 5.3γ, όπου η σημαντική επιρροή του σχήματος διακριτοποίησης για τον όρο της συναγωγής είναι εμφανής, καθώς το σχήμα HLPA παράγει πιο λεπτή θερμοκλίνη και για τους δύο κώδικες. Η χρήση του σχήματος Power-Law έδωσε διαφορετικά αποτελέσματα για καθέναν από τους κώδικες. Συγκεκριμένα στον LES κώδικα το πάχος της θερμοκλίνης προκύπτει συστηματικά μεγαλύτερο από το αντίστοιχο του LES-G κώδικα. Μάλιστα, αυτά τα τελευταία αποτελέσματα, είναι παρόμοια με αυτά από τον κώδικα URANS, όπου το μεγαλύτερο πλάτος θερμοκλίνης προκύπτει από την επίδραση της αγωγής της θερμότητας μέσω των τοιχωμάτων. Ο Homan (2003) πρότεινε μια εξίσωση για την εξέλιξη του πάχους της θερμοκλίνης της μορφής δ t b, όπου b = για αριθμούς Peclet της τάξης του 100 με Στη συγκεκριμένη περίπτωση, οι αριθμοί Peclet έχουν σαφέστατα μεγαλύτερες τιμές (P e = ), και αφού η διάχυση είναι ανάλογη του 1/P e αναμένεται να είναι μικρότερη. Ο παραπάνω ισχυρισμός επιβεβαιώνεται και από το Σχήμα 5.3γ. Για τον λόγο αυτό, προκύπτουν μικρότερες τιμές των συντελεστών b, ειδικότερα για τις προσομοιώσεις με το HLPA (b LES = 0.19 και b LES G = 0.11). Για τα αποτελέσματα με το σχήμα Power Law, τα οποία εμφάνισαν μεγαλύτερη διάχυση, προκύπτουν οι συντελεστές: b LES = 0.94 και b LES G = Αυτές οι τιμές προσεγγίζουν τον συντελεστή από τις προσομοιώσεις με URANS, που έχει ακόμη μεγαλύτερη τιμή (b = 0.89) λόγω του πρόσθετου μηχανισμού μεταφοράς θερμότητας με αγωγή μέσω των τοιχωμάτων. Θα πρέπει να τονιστεί βέβαια ότι η σύγκριση με τα αποτελέσματα του Homan είναι ανα-

116 90 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΟΡΤΙΣΗΣ γκαίο να γίνει με κάποια επιφύλαξη, καθώς, η υπό εξέταση ροή δεν μπορεί να αναχθεί σε μονοδιάστατη όπως είναι η βασική υπόθεση στην εργασία του Homan. Εδώ θα πρέπει να αναφερθεί ακόμη και η ανεξαρτησία της λύσης από το μοντέλο υποκλίμακας (SGS model), αφού παρ' όλο που ο LES-G κώδικας χρησιμοποίησε το μοντέλο φιλτραρισμένης δομικής συνάρτησης, οι λύσεις είχαν ελάχιστες διαφορές μεταξύ τους. Η σύγκριση της κατακόρυφης κατανομής της θερμοκρασίας για τους διάφορους υπολογιστικούς κώδικες και σχήματα διακριτοποίησης (Σχήμα 5.4) επιβεβαιώνει τους παραπάνω ισχυρισμούς. Όπως φαίνεται, προκύπτει πιο λεπτή θερμοκλίνη και από τους δύο υπολογιστικούς κώδικες με χρήση του σχήματος HLPA, ενώ πιο πλατιά θερμοκλίνη προκύπτει αντίθετα από τον υπολογιστικό κώδικα LES για το σχήμα Power-Law. Οι κατακόρυφες κατανομές της ταχύτητας (Σχήμα 5.5) δεν εμφανίζουν μεγάλες διαφορές μεταξύ των δυο υπολογιστικών κωδίκων, για όλες τις χρονικές στιγμές (t = ). Με βάση τα παραπάνω αποτελέσματα, είναι ασφαλές να συμπεράνουμε ότι το HLPA σχήμα παρέχει την μεγαλύτερη ακρίβεια και ότι ο LES κώδικας της παρούσας εργασίας παρέχει αποτελέσματα παρόμοιας ποιότητας και ακρίβειας με τον ήδη δοκιμασμένο LES-G κώδικα. Τα αποτελέσματα που θα παρουσιαστούν στην συνέχεια, είναι αποκλειστικά από τον υπολογιστικό κώδικα LES χρησιμοποιώντας το HLPA ως το βέλτιστο σχήμα. Όσον αφορά τα πεδία θερμοκρασίας, ροής και στροβιλότητας, στο Σχήμα 5.6 απεικονίζονται τα διανύσματα της ταχύτητας (μεσαία στήλη) ανάμεσα στα πεδία θερμοκρασίας (αριστερή στήλη) και τα πεδία στροβιλότητας (δεξιά στήλη) για διάφορες χρονικές στιγμές. Τα πεδία που παρουσιάζονται είναι δισδιάστατα, καθώς δεν προέκυψαν σημαντικές τρισδιάστατες ροϊκές δομές από τις προσομοιώσεις όπως και ήταν αναμενόμενο λόγω του γραμμικού διαχύτη. Η ταχύτητα της ροής έχει αρχικά υψηλές τιμές μόνο στην σχετικά λεπτή ζώνη κοντά στην επάνω ελεύθερη επιφάνεια, όπου το εισερχόμενο νερό εκτρέπεται αμέσως από την είσοδο προς τα πάνω, λόγω των ισχυρών ανωστικών δυνάμεων που προκαλούνται από τις μεγάλες διαφορές θερμοκρασίας. Στη συνέχεια κινείται οριζόντια, παράλληλα με την ελεύθερη επιφάνεια μέχρι να προσκρούσει στον απέναντι τοίχο και επιστρέψει, ξανά σε οριζόντια διεύθυνση, σχηματίζοντας ένα λεπτό στρώμα διάτμησης (shear layer) αλληλεπιδρώντας με την δέσμη του εισερχόμενου νερού. Με την πάροδο του χρόνου και καθώς το ζεστό νερό καταλαμβάνει όλο και μεγαλύτερο όγκο στην δεξαμενή, μια δίνη με ωρολογιακή φορά περιστροφής αρχίζει να σχηματίζεται στην επάνω δεξιά γωνία της βαθμιαία αυξανόμενης ισοθερμοκρασιακής περιοχής, πάνω από την θερμοκλίνη (t = 72 και t = 92). Σε αυτές τις χρονικές στιγμές, η εισερχόμενη δέσμη έχει

117 5.2. ΣΤΑΘΕΡΗ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΕΙΣΟΔΟΥ (ΣΕΝΑΡΙΟ A) 91 σταματήσει να επηρεάζεται από τις ανωστικές δυνάμεις και καθοδηγείται μόνο από την ορμή της. Με αυτό τον τρόπο μπορεί να διεισδύει βαθύτερα στην κατακόρυφη διεύθυνση και προς τα κάτω μετά την πρόσκρουση της στον απέναντι κατακόρυφο τοίχο. Όπως αναφέρθηκε νωρίτερα, στο Σχήμα 5.6 παρουσιάζονται και τα πεδία στροβιλότητας για τους ίδιους χρόνους. Το διατμητικό στρώμα στο επάνω μέρος της δεξαμενής, μπορεί εύκολα να παρατηρηθεί στο πεδίο στροβιλότητας για t = 20, σαν μια οριζόντια ζώνη με υψηλές θετικές τιμές. Επιπλέον όμως, μία πιο λεπτομερής ματιά στις χρονικές στιγμές t = 72 και t = 92 αποκαλύπτει και ένα ενδιαφέρον φαινόμενο όπου μια ομάδα από δίνες εμφανίζονται κατανεμημένες κατά μήκος της γραμμής πλήρωσης (fill line) και ακολουθούν την κίνησή της προς τα κάτω. Παρατηρείται ειδικότερα ότι το κέντρο των δινών είναι ακριβώς πάνω στη γραμμή πλήρωσης, το μέγεθος τους είναι περίπου ίσο με το πάχος της θερμοκλίνης και ότι δυο συνεχόμενες δίνες έχουν αντίθετη στροβιλότητα, παρουσιάζοντας χαρακτηριστική ομοιότητα με τις κυψελίδες που εμφανίζονται στη συναγωγή (Rayleigh - Benard cells) (Getling, 1998). Το φαινόμενο αυτό θα αναλυθεί περισσότερο στη συνέχεια, κατά την μελέτη της εκφόρτισης της δεξαμενής, όπου επίσης είναι ιδιαίτερα έντονο. Επιπλέον μία από τις περιοχές της δεξαμενής που παρουσιάζει μεγάλο ενδιαφέρον, είναι και η περιοχή της εισροής. Ο σχεδιασμός της διάταξης εισροής (εδώ γραμμικός διαχύτης) και η κατακόρυφη θέση του επηρεάζει σημαντικά την διαστρωμάτωση της δεξαμενής (Zurigat and Ghajar (2002)). Για μια λεπτομερή εικόνα της περιοχής εισόδου, όπου πραγματοποιείται ένα σημαντικό μέρος της ανάμειξης, το Σχήμα 5.7 δείχνει σε μεγέθυνση τα στιγμιαία πεδία θερμοκρασίας και στροβιλότητας για διάφορες χρονικές στιγμές (t = 0.04, 0.06, 0.08) στα πρώτα στάδια της φόρτισης. Τα αποτελέσματα αυτά προέρχονται από ξεχωριστές προσομοιώσεις μόνο για τις αρχικές στιγμές της φόρτισης, χρησιμοποιώντας ένα δισδιάστατο πλέγμα κελιών και το HLPA σχήμα. Η χρήση ενός τόσο πυκνού πλέγματος για προσομοιώσεις σε ολόκληρο το τρισδιάστατο υπολογιστικό χωρίο θα ήταν απαγορευτική, αλλά για τις αρχικές στιγμές η δισδιάστατη προσομοίωση της περιοχής εισόδου μπορεί να γίνει αποδεκτή, αφού στο μεγαλύτερο όγκο της δεξαμενής δεν υπάρχουν τρισδιάστατες κινήσεις για την συγκεκριμένη χρονική περίοδο. Η κυριαρχία των ανωστικών δυνάμεων σε αυτή τη φάση της διαδικασίας φαίνεται ξεκάθαρα στο Σχήμα 5.7 καθώς η εισερχόμενη ροή εκτρέπεται άμεσα προς το πάνω μέρος της δεξαμενής, σχηματίζοντας ένα επιτοίχιο πλούμιο (wall plume). Από την αρχή της διαδικασίας (t = 0.04), μία δίνη δημιουργείται, ενισχύοντας την ανάμειξη, καθώς το ζεστό νερό εισχωρεί βαθύτερα στην ζώνη με το κρύο νερό, όπως φαίνεται και στην χρονική στιγμή t = 0.08.

118 92 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΟΡΤΙΣΗΣ Τέλος άλλη μία περιοχή που παρουσιάζει ενδιαφέρον είναι ο τοίχος απέναντι από τα ανοίγματα εισροής-εκροής, ειδικότερα τη στιγμή πρόσπτωσης του μετώπου θερμοκρασίας. Στο Σχήμα 5.7, τη χρονική στιγμή t = 0.63 το μέτωπο της θερμοκρασίας πρόκειται να προσκρούσει στον απέναντι τοίχο. Στον χρόνο t = 0.72 φαίνεται η μέγιστη κατακόρυφη διείσδυση του μετώπου της θερμοκρασίας. Το βάθος αυτής της διείσδυσης περιορίζεται λόγω των ανωστικών δυνάμεων. Μικρότερος ανωστικός όρος θα επέτρεπε στο μέτωπο της θερμοκρασίας να κινηθεί βαθύτερα και να ενισχύσει την διαδικασία της ανάμειξης. Τέλος στον χρόνο t = 0.81, η ροή εμφανίζεται να έχει εκτραπεί και να κινείται ήδη κατ' αντίστροφη φορά, οριζόντια προς την είσοδο.

119 5.2. ΣΤΑΘΕΡΗ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΕΙΣΟΔΟΥ (ΣΕΝΑΡΙΟ A) Fully Stratified 1 LES PL LES HLPA LES-G PL LES-G HLPA 0.8 Fully Stratified 0.6 θ * avg 0.4 Fully Mixed 0.6 θ * out 0.4 Fully Mixed 0.2 LES PL LES HLPA LES-G PL LES-G HLPA θ * θ * δ * t * RANS HLPA LES PL LES HLPA LES-G PL LES-G HLPA Σχήμα 5.3: Η χρονική εξέλιξη της μέσης θερμοκρασίας (α), θερμοκρασίας εξόδου (β) και του πάχους της θερμοκλίνης (γ) κατά την φόρτιση της περίπτωσης Α, όπως υπολογίζεται με τον LES και τους άλλους κώδικες.

120 94 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΟΡΤΙΣΗΣ 1 x * =0.5, t * =20 1 x * =0.5, t * =40 1 x * =0.5, t * =60 1 x * =0.5, t * =80 1 x * =0.5, t * = LES PL LES HLPA LES-G PL LES-G HLPA y * y * y * y * y * θ * θ * θ * θ * θ * Σχήμα 5.4: Η κατακόρυφη κατανομή της θερμοκρασίας σε διάφορες χρονικές στιγμές για την φόρτιση της περίπτωσης Α. 1 x * =0.50, t * =20 1 x * =0.50, t * =40 1 x * =0.50, t * =60 1 x * =0.50, t * =80 1 x * =0.50, t * = LES HLPA LES-G HLPA y * y * y * y * y * u * u * u * u * u * Σχήμα 5.5: Η κατακόρυφη κατανομή της οριζόντιας ταχύτητας σε διάφορες χρονικές στιγμές για την φόρτιση της περίπτωσης Α.

121 5.2. ΣΤΑΘΕΡΗ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΕΙΣΟΔΟΥ (ΣΕΝΑΡΙΟ A) 95 Σχήμα 5.6: Πεδία θερμοκρασίας, διανυσμάτων ροής και στροβιλότητας για την περίπτωση A σε επιλεγμένες χρονικές στιγμές της διεργασίας.

122 96 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΟΡΤΙΣΗΣ Σχήμα 5.7: Πεδία θερμοκρασίας και στροβιλότητας (α) περιοχή εισόδου στην πάνω δεξιά γωνία της δεξαμενής (β) σε επιλεγμένες, αρχικές χρονικές στιγμές της φόρτισης της περίπτωσης Α.

123 5.3. ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΕΙΣΟΔΟΥ (ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΦΟΡΤΙΣΗ - ΣΕΝΑΡΙΟ B1) Μεταβλητή θερμοκρασία εισόδου (ηλεκτρική φόρτιση - Σενάριο B1) Όπως αναφέρθηκε και στο Κεφάλαιο 5.1 στο σενάριο B1 (Σχήμα 5.2), η χρονική μεταβολή της θερμοκρασίας εισόδου προέρχεται από τα πειραματικά δεδομένα που είναι διαθέσιμα και έχουν ληφθεί κατά την φόρτιση με ηλεκτρική θέρμανση του εισερχόμενου νερού. Η θερμοκρασία εισόδου, έχει προσεγγιστεί με ένα 6 oυ βαθμού πολυώνυμο της μορφής: θi (t ) = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 + a 4 t 4 + a 5 t 5 + a 6 t 6 (5.1) Οι συντελεστές του πολυωνύμου δίνονται στον Πίνακα 5.3. Η αρχική θερμοκρασία της δεξαμενής δεν μπορούσε να διατηρηθεί ομοιόμορφη στα πειράματα λόγω του μεγάλου όγκου νερού που περιείχε. Για το λόγο αυτό και σύμφωνα με τις αρχικές πειραματικές τιμές, προσδιορίστηκε μια τμηματική γραμμική κατακόρυφη κατανομή ανάμεσα στις θερμοκρασίες θ = 0.06 και θ = 0.25 (βλ. Σχήμα 5.2). Ο απαιτούμενος χρόνος για μια την πλήρη φόρτιση της δεξαμενής, υπολογίστηκε στα 428 λεπτά, με βάση παροχή όγκου ίση με 3m 3 /h. Αναλυτικά όλες οι παράμετροι εμφανίζονται στον Πίνακα 5.2. Πίνακας 5.3: Οι συντελεστές του πολυώνυμου 6 oυ βαθμού για την περίπτωση της ηλεκτρικής φόρτισης a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a Σε αντίθεση με τους υπολογισμούς του URANS, στην παρούσα διατριβή όλοι οι υπολογισμοί πραγματοποιήθηκαν χωρίς να ληφθεί υπ' όψη η μεταφορά θερμότητας δια μέσου των τοιχωμάτων (συζευγμένη περίπτωση). Αντ' αυτού τα τοιχώματα θεωρήθηκαν αδιαβατικά, αφού η χρονική διάρκεια της φόρτισης είναι σχετικά μικρή και μέσα από τα τσιμεντένια τοιχώματα δεν υπάρχουν μεγάλες θερμικές απώλειες. Για την προσομοίωση χρησιμοποιήθηκε το G3 πλέγμα (που είναι πυκνότερο σε σχέση με το πλέγμα G2 που χρησιμοποιήθηκε στην περίπτωση A), ενώ ο βασισμένος σε μεθόδους URANS κώδικας χρησιμοποίησε το G1 πλέγμα (Πίνακας 5.1).

124 98 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΟΡΤΙΣΗΣ Τα πεδία θερμοκρασίας, ροής και στροβιλότητας που υπολογίστηκαν από τις προσομοιώσεις παρουσιάζονται στο Σχήμα 5.8 για διάφορες χρονικές στιγμές (t = 40, 80, 120, 220). Γίνεται φανερό ότι υπάρχουν σημαντικές διαφορές σε σύγκριση με τα αποτελέσματα της περίπτωσης A. Στην παρούσα περίπτωση, το διατμητικό στρώμα στο επάνω μέρος της δεξαμενής (κόκκινο χρώμα), διατηρεί σχεδόν σταθερό πάχος για όλη τη χρονική διάρκεια, σε αντίθεση με την περίπτωση A, όπου το αρχικό διατμητικό στρώμα εξελίχθηκε σε δίνη ανακυκλοφορίας στην επάνω δεξιά γωνία της δεξαμενής. Επιπλέον τα πεδία στροβιλότητας για τις χρονικές στιγμές t = 120 και t = 220, αποκαλύπτουν μια τροχιά κίνησης τύπου μαιάνδρου του ρευστού στην καθοδική του πορεία προς τον διαχύτη της εξόδου (οριζόντιες ραβδώσεις εναλλασσόμενου χρώματος), της οποίας μάλιστα το πλάτος καταλαμβάνει όλη την δεξαμενή στο επάνω μέρος και μειώνεται σταδιακά καθώς το ρεύμα κατεβαίνει προς την εκροή. Η κίνηση αυτή οφείλεται στην επίδραση της διαρκώς αυξανόμενης θερμοκρασίας στην είσοδο, η οποία δημιουργεί διαστρωματωμένες ζώνες διαφορετικής θερμοκρασίας (άρα και πυκνότητας) που με την σειρά τους αναγκάζουν το ρευστό να κινηθεί οριζόντια καθώς δεν μπορεί να διεισδύσει προς τα κάτω, σε κατακόρυφη διεύθυνση. Όπως φαίνεται και από την χρονική εξέλιξη της μέσης θερμοκρασίας της δεξαμενής και της θερμοκρασίας εξόδου στο Σχήμα 5.9, τα αποτελέσματα από όλους τους υπολογιστικούς κώδικες προσεγγίζουν περισσότερο την πλήρως διαστρωματωμένη κατάσταση, παρ' όλο που τα τα πειραματικά δεδομένα είναι πιο κοντά στην πλήρως αναμεμειγμένη κατάσταση. Τα αίτια για αυτή την διαφορά είναι κυρίως οι επιπλέον πηγές ανάμειξης στην πειραματική εγκατάσταση, που προέρχονται από την παρουσία των πλέγματος των θερμοστοιχείων και των σωληνώσεων, αλλά και στις διαφορετικές οριακές συνθήκες των LES προσομοιώσεων (αδιαβατικά τοιχώματα) και της πειραματικής εγκατάστασης (θερμικές απώλειες από τα τοιχώματα και την ελεύθερη επιφάνεια του νερού). Ο λόγος που η θavg στον κώδικα URANS υπερβαίνει οριακά την τιμή της πλήρους διαστρωματωμένης κατάστασης μέχρι t = 95 είναι λόγω αγωγής στα τοιχώματα, η οποία αυξάνει την θερμοκρασία του νερού κάτω από το επίπεδο της γραμμής πλήρωσης με γρηγορότερο ρυθμό σε σύγκριση με τα αδιαβατικά τοιχώματα. Και οι δυο κώδικες είχαν καλύτερη συμφωνία με τα πειραματικά δεδομένα στα πρώτα και στα τελικά στάδια της διαδικασίας της φόρτισης. Στο Σχήμα 5.10 παρουσιάζονται οι κατακόρυφες κατανομές της οριζόντιας ταχύτητας για τις χρονικές στιγμές t = 8, 16, 24, 32, 40. Παρατηρείται γενικότερη σύγκλιση των αποτελεσμάτων μεταξύ των δυο υπολογιστικών κωδίκων με κάποιες διαφορές μόνο στο επάνω μέρος. Στον LES προκύπτουν μεγαλύτερες τιμές της οριζόντιας ταχύτητας, παρ'

125 5.3. ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΕΙΣΟΔΟΥ (ΣΕΝΑΡΙΟ B1) 99 όλο που ο LES-G έχει μεγαλύτερη μέγιστη ταχύτητα εισόδου. Στο Σχήμα 5.11 παρουσιάζονται και οι κατακόρυφες κατανομές της θερμοκρασίας για τις χρονικές στιγμές t = 8, 16, 24, 32, 40 στο μέσο της δεξαμενής (x = 0.5). Ο LES κώδικας διαφέρει σημαντικά με τον URANS κώδικα, κυρίως στο μέσο του ύψους της δεξαμενής. Οι διαφορές οφείλονται στην συζευγμένη επίλυση των πεδίων θερμοκρασίας στα στερεά τοιχώματα και το ρευστό. Για να ποσοτικοποιηθεί η ανάμειξη που λαμβάνει χώρα μέσα στην δεξαμενή, υπολογίζεται αρχικά το πάχος της θερμοκλίνης. Όμως για την περίπτωση B1, υπάρχουν δύο παράγοντες που αποτρέπουν τον άμεσο υπολογισμό του πάχους της θερμοκλίνης όπως αυτός έχει καθιερωθεί μέχρι τώρα (βλ. παράγραφο 2.4.1). Ο πρώτος παράγοντας είναι ότι η θερμοκρασία εισόδου (άρα και η μέγιστη θερμοκρασία των θερμών στρωμάτων του όγκου του νερού) δεν είναι σταθερή (θin = 1) αλλά μεταβάλλεται με τον χρόνο. Ο δεύτερος παράγοντας είναι ότι η δεξαμενή έχει μια αρχική μη-ομοιόμορφη θερμοκρασιακή κατανομή με τιμές θo > 0 (άρα τα όρια της ψυχρής περιοχής του όγκου νερού δεν είναι ευδιάκριτα). Έτσι, στην μέθοδο υπολογισμού χρειάστηκε να εισαχθούν κάποιες τροποποιήσεις ώστε να ληφθούν υπόψη οι παραπάνω παράγοντες. Συγκεκριμένα: Για κάθε χρονικό βήμα υπολογίζεται μία καινούρια θερμοκρασιακή κατανομή, πανομοιότυπη με την αρχική κατανομή της δεξαμενής, θεωρώντας απλά ότι αυτή έχει μετατοπιστεί παράλληλα προς τα κάτω με την ταχύτητα της γραμμής πλήρωσης, δηλαδή ένα ιδανικό plug flow. Αφαιρώντας, σε κάθε χρονικό βήμα, την κατανομή αυτή από την πραγματική κατανομή, δηλ. αυτή που έχει προέλθει από τους υπολογισμούς η επίδραση της αρχικής κατάστασης (ή το αρχικό ενεργειακό περιεχόμενο της δεξαμενής) απαλείφεται από τον υπολογισμό της θερμοκλίνης, αφήνοντας μόνο την επιρροή της διάχυσης να καθορίσει το πάχος της όπως γίνεται και με τη συνήθη μεθοδολογία. Επιπλέον, με δεδομένο ότι το θin μεταβάλλεται χρονικά και ότι μπορεί η τιμή του να μην ξεπερνά το 0.9θmax (όπου θmax το μέγιστο της καμπύλης του Σχήματος 5.2), το κριτήριο αυτό δεν θεωρείται κατάλληλο για τον προσδιορισμό του επάνω ορίου της θερμοκλίνης. Για τον λόγο αυτό ως θmax ορίζεται να είναι η τρέχουσα τιμή της θερμοκρασίας εισόδου. Η τροποποιημένη αυτή διαδικασία αποτελεί μια γενίκευση του τρόπου υπολογισμού του πάχους της θερμοκλίνης και εξασφαλίζει ότι οι τιμές που υπολογίζονται για περιπτώσεις μεταβλητών θερμοκρασιών όπως η περίπτωση B1 αντικατοπτρίζουν την χρονική ανάπτυξη μόνο λόγω διάχυσης, καθιστώντας τα αποτελέσματα συγκρίσιμα με αυτά που

126 100 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΟΡΤΙΣΗΣ αντιστοιχούν σε διαφορετική κατανομή της αρχικής θερμοκρασίας της δεξαμενής. Όπως φαίνεται και στην Σχήμα 5.12 η τιμή του συντελεστή b υπολογίστηκε ίση με b LES = Η απότομη αύξηση του δ που παρατηρείται σε μεγάλους χρόνους t = 80 οφείλεται στο γεγονός ότι η θερμοκρασία του εισερχόμενου νερού έχει ήδη εισέλθει στο τμήμα της γραμμικής αύξησης (Σχήμα 5.2) και η κατακόρυφη κατανομή της θερμοκρασίας αλλάζει με αντίστοιχο ρυθμό. Λόγω της ιδιαίτερης σημασίας της περιοχής εισόδου και των φαινομένων αυτής και όπως και στην προηγούμενη παράγραφο (περίπτωση Α), στο Σχήμα 5.13α παρουσιάζονται και εδώ τα στιγμιαία πεδία θερμοκρασίας και στροβιλότητας για διάφορες χρονικές στιγμές (t = 0.04, 0.08, 0.12) στα πρώτα στάδια της φόρτισης. Όπως και στην περίπτωση A, οι προσομοιώσεις έγιναν με το ίδιο δισδιάστατο πλέγμα και το σχήμα HLPA. Η κυριαρχία των ανωστικών δυνάμεων σε αυτή τη φάση της διαδικασίας είναι ευδιάκριτη καθώς η εισερχόμενη ροή εκτρέπεται άμεσα προς τα πάνω στρώματα της δεξαμενής. Η διαφορά με την περίπτωση A έγκειται στο γεγονός ότι η ροή εισχωρεί λίγο βαθύτερα στην δεξαμενή πριν αρχίσει την ανοδική της πορεία, ενώ στην περίπτωση A δημιουργείται άμεσα ένα επιτοίχιο πλούμιο. Η αιτία είναι η μικρότερη θερμοκρασιακή διαφορά μεταξύ νερού εισόδου (θin) και της θερμοκρασίας της δεξαμενής (θo), που υπάρχει στην παρούσα περίπτωση και που αλλάζει τον λόγο των ανωστικών δυνάμεων σε σχέση με τις αδρειανειακές δυνάμεις. Στον απέναντι τοίχο (Σχήμα 5.13β), το μέτωπο της θερμοκρασίας πλησιάζει τη χρονική στιγμή t = 0.95, προσκρούει στο τοίχωμα και φτάνει στο μέγιστο βάθος κατακόρυφης διείσδυσης τη στιγμή t = Στη συνέχεια (t = 1.15), η ροή αντιστρέφει πλήρως κατεύθυνση και αρχίζει να κινείται οριζόντια προς την είσοδο. Συγκριτικά με την περίπτωση A, ο χρόνος που παρέρχεται μέχρι την πρόσκρουση στο απέναντι τοίχωμα είναι μεγαλύτερος (t = 1.05 > t = 0.72).

127 5.3. ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΕΙΣΟΔΟΥ (ΣΕΝΑΡΙΟ B1) 101 Σχήμα 5.8: Πεδία θερμοκρασίας, διανυσμάτων ροής και στροβιλότητας σε επιλεγμένες χρονικές στιγμές του κύκλου φόρτισης για την περίπτωση Β1

128 102 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΟΡΤΙΣΗΣ 1 Inlet 1 Inlet θ * avg Fully Stratified LES URANS Exp Fully Mixed θ * out Fully Stratified LES Fully Mixed Exp URANS t * t * Σχήμα 5.9: Χρονική μεταβολή της μέσης θερμοκρασίας και θερμοκρασίας εξόδου για όλη την χρονική διάρκεια του κύκλου φόρτισης για την περίπτωση B1. 1 x * =0.50, t * =8 1 x * =0.50, t * =16 1 x * =0.50, t * =24 1 x * =0.50, t * =32 1 x * =0.50, t * = y * y * y * y * y * URANS LES u * u * u * u * u * Σχήμα 5.10: Κατακόρυφη κατανομή της οριζόντιας ταχύτητας σε διάφορες χρονικές στιγμές του κύκλου φόρτισης για την περίπτωση B1.

129 5.3. ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΕΙΣΟΔΟΥ (ΣΕΝΑΡΙΟ B1) x * =0.5, t * =8 1 x * =0.5, t * =16 1 x * =0.5, t * =24 1 x * =0.5, t * =32 1 x * =0.5, t * = y * y * y * y * y * URANS LES θ * θ * θ * θ * θ * Σχήμα 5.11: Κατακόρυφη κατανομή της θερμοκρασίας σε διάφορες χρονικές στιγμές για την περίπτωση B δ * ~ t * δ * t * 10 2 Σχήμα 5.12: Η χρονική εξέλιξη του πάχους της θερμοκλίνης για την περίπτωση B1.

130 104 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΟΡΤΙΣΗΣ Σχήμα 5.13: Πεδία θερμοκρασίας και στροβιλότητας (α) περιοχή εισόδου στην πάνω δεξιά γωνία της δεξαμενής (β) σε επιλεγμένες, αρχικές χρονικές στιγμές της φόρτισης της περίπτωσης B1.

131 5.4. ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΕΙΣΟΔΟΥ (ΗΛΙΑΚΗ ΦΟΡΤΙΣΗ - ΣΕΝΑΡΙΟ B2) Μεταβλητή θερμοκρασία εισόδου (ηλιακή φόρτιση - Σενάριο B2) Από τα τρία σενάρια φόρτισης της δεξαμενής, η περίπτωση B2 αντιπροσωπεύει το πιο ρεαλιστικό, καθώς η θερμοκρασία εισόδου (θin) προσομοιώνει το ημερήσιο κύκλο λειτουργίας ενός πεδίου ηλιακών συλλεκτών. Η θερμοκρασία εισόδου, προσεγγίστηκε με ένα 6oυ βαθμού πολυώνυμο της μορφής: θi (t ) = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 + a 4 t 4 + a 5 t 5 + a 6 t 6 (5.2) και οι συντελεστές του πολυωνύμου δίνονται στον Πίνακα 5.4. Στο Σχήμα 5.14 παρουσιάζεται η θερμοκρασία εισόδου του νερού για όλη την διάρκεια της φόρτισης. Από εκεί επιλέχθηκαν τέσσερις χαρακτηριστικές χρονικές στιγμές a t = 40, b t = 150, c t = 225, d t = 250, για την παρουσίαση των δισδιάστατων πεδίων θερμοκρασίας, ροής και στροβιλότητας (Σχήμα 5.15). Όπως φαίνεται από τα πεδία θερμοκρασίας, η σταθερή αύξηση της θin έχει σαν αποτέλεσμα τη δημιουργία ενός μεγάλου αριθμού οριζόντιων ζωνών διαφορετικής θερμοκρασίας και ενός γραμμικά διαστρωματωμένου όγκου νερού. Η συγκεκριμένη κατανομή επηρεάζει την ροή, αναγκάζοντας την, όπως και στην περίπτωση Β1, σε μια κίνηση σε τροχιά με μορφή μαιάνδρου στην πορεία της προς την έξοδο. Το πλάτος αυτής της κίνησης ταυτίζεται με το πλάτος της δεξαμενής στα επάνω στρώματα και ελαττώνεται καθώς η ροή πλησιάζει το κάτω μέρος της δεξαμενής ενώ και η ταχύτητα της φθίνει. Από την χρονική στιγμή t = 225 και έπειτα η θin αρχίζει να μειώνεται και νερό χαμηλότερης θερμοκρασίας εισέρχεται στην δεξαμενή δημιουργώντας μια δέσμη αρνητικής άνωσης (negatively buoyant jet). Αυτό φαίνεται ξεκάθαρα την χρονική στιγμή t = 250, όπου η εισερχόμενη ροή αλλάζει σταδιακά κατεύθυνση από οριζόντια σε κατακόρυφη, Πίνακας 5.4: Οι συντελεστές του πολυώνυμου 6ου βαθμού για την περίπτωση της ηλιακής φόρτισης a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a

132 106 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΟΡΤΙΣΗΣ μέχρι να συναντήσει ζώνη ίδιας θερμοκρασίας. Από πρακτικής άποψης, η συγκεκριμένη κατάσταση θα πρέπει να αποφεύγεται καθώς αυξάνεται ριζικά η ανάμειξη με συνέπεια τη μείωση της απόδοσης b c d 0.6 θ * in a t * Σχήμα 5.14: Θερμοκρασία νερού εισόδου για την περίπτωση της ηλιακής φόρτισης (B2) Όπως και στις προηγούμενες δυο περιπτώσεις (A και B1), η χρονική εξέλιξη της μέσης θερμοκρασίας της δεξαμενής και της θερμοκρασίας εξόδου (Σχήμα 5.16), προσεγγίζει περισσότερο (σχεδόν ταυτίζεται) την πλήρως διαστρωματωμένη κατάσταση που αιτιολογείται λόγω της χρήσης του γραμμικού διαχύτη. Στο Σχήμα 5.17 φαίνονται οι κατακόρυφες κατανομές της οριζόντιας ταχύτητας για τις επιλεγμένες από πριν χρονικές στιγμές (t = 40, 150, 225, 250). Μέχρι τη χρονική στιγμή t = 225, οι κατανομές μοιάζουν ποιοτικά μεταξύ τους και αποκαλύπτουν την ελικοειδή οριζόντια κίνηση που αναφέρθηκε προηγουμένως. Επίσης αποκαλύπτουν και την ένταση της εξασθένησης της κίνησης αυτής, καθώς το μέτρο της ταχύτητας μειώνεται σημαντικά καθ' ύψος. Τη χρονική στιγμή t = 250, αλλάζει εντελώς αυτό το μοτίβο, λόγω της δημιουργίας της δέσμης νερού αρνητικής άνωσης που υπερισχύει στο πεδίο ταχυτήτων. Στη συγκεκριμένη περίπτωση παρατηρείται ότι η επίδραση του φτάνει μέχρι το ύψος (y 0.6). Αντίστοιχα, στο Σχήμα 5.18 παρουσιάζονται οι κατακόρυφες κατανομές της θερμοκρασίας. Παρατηρείται ότι στις πρώτες τρεις χρονικές στιγμές η κατανομή είναι γραμμική χωρίς έντονες βαθμίδες ενώ στις δύο τελευταίες είναι εμφανής η τάση προς την ομογενοποίηση της θερμοκρασίας. Για την λεπτομερέστερη εξέταση της περιοχής εισόδου στο Σχήμα 5.19 παρουσιάζονται και εδώ τα στιγμιαία πεδία θερμοκρασίας και στροβιλότητας για τις χρονικές στιγμές

133 5.4. ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΕΙΣΟΔΟΥ (ΣΕΝΑΡΙΟ B2) 107 t = 0.35, 0.7, 1.7 στα πρώτα στάδια της φόρτισης. Όπως και στις περιπτώσεις A και B1 οι προσομοιώσεις έγιναν με το δισδιάστατο πλέγμα Στην περίπτωση B2, η θ in ξεκινάει από μηδενικές τιμές και αυξάνει πολύ αργά, ώστε στις πρώτες χρονικές στιγμές η ροή είτε δεν υπόκειται σε ανωστικές δυνάμεις, είτε αυτές είναι εξαιρετικά ασθενείς. Τις χρονικές στιγμές t = 0.35 και 0.7 η εισερχόμενη ροή έχει οριζόντια διεύθυνση ενώ ένα νέο χαρακτηριστικό εδώ είναι η απόσχιση στροβίλων που παρατηρείται, οι οποίοι και λόγω έλλειψης ανωστικών δυνάμεων κινούνται ελεύθερα μέχρι το μέσο του ύψους της δεξαμενής (t = 0.7). Στις περιπτώσεις A και B1 αρχικά η ροή είχε πάντα ανοδική πορεία, ενώ στην B2 αυτό αρχίζει να συμβαίνει μετά τον χρόνο t = 1.7. Στον απέναντι τοίχο (Σχήμα 5.19), το μέτωπο της θερμοκρασίας φτάνει πολύ καθυστερημένο (t = 3.9) σε σχέση με τις περιπτώσεις A και B1 (t = 0.72 και t = 1.05 αντίστοιχα). Επίσης και εδώ οι ασθενείς ανωστικές δυνάμεις επιτρέπουν στο μέτωπο της θερμοκρασίας να εισχωρήσει περισσότερο εις βάθος στη δεξαμενή, αλλά με πολύ χαμηλότερη ένταση, καθώς οι τιμές της στροβιλότητας είναι μικρότερες σε σχέση με τις αντίστοιχες των περιπτώσεων A και B1. Εκ πρώτης όψεως, φαίνονται στις πρώτες χρονικές στιγμές (t < 5) της περίπτωσης Β2 οι μηχανισμοί της ανάμειξης να είναι πιο έντονοι (μεγαλύτερο βάθος εισχώρησης), αλλά λόγω της πολύ μικρής θερμοκρασιακής διαφοράς δεν υπάρχει τόσο μεγάλο αντίκτυπο στην ανάμειξη. Ο παραπάνω ισχυρισμός επιβεβαιώνεται και στο επόμενο κεφάλαιο.

134 108 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΟΡΤΙΣΗΣ Σχήμα 5.15: Πεδία θερμοκρασίας, διανυσμάτων ροής και στροβιλότητας σε επιλεγμένες χρονικές στιγμές για την περίπτωση της ηλιακής φόρτισης (B2)

135 5.4. ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΕΙΣΟΔΟΥ (ΣΕΝΑΡΙΟ B2) Inlet 1 Inlet Fully Stratified 0.6 θ * avg 0.4 Fully Mixed θ * out 0.4 Fully Mixed 0.2 LES t * t * Fully Stratified LES Σχήμα 5.16: Χρονική μεταβολή της μέσης θερμοκρασίας και θερμοκρασίας εξόδου για όλη την χρονική διάρκεια του κύκλου φόρτισης για την περίπτωση B2. 1 x * =0.50, t * =40 1 x * =0.50, t * =100 1 x * =0.50, t * =150 1 x * =0.50, t * =225 1 x * =0.50, t * =250 LES y * y * y * y * y * u * u * u * u * u * Σχήμα 5.17: Κατακόρυφη κατανομή της οριζόντιας ταχύτητας σε διάφορες χρονικές στιγμές για την περίπτωση B2.

136 110 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΟΡΤΙΣΗΣ 1 x * =0.5, t * =40 1 x * =0.5, t * =100 1 x * =0.5, t * =150 1 x * =0.5, t * =225 1 x * =0.5, t * = LES y * y * y * y * y * θ * θ * θ * θ * θ * Σχήμα 5.18: Κατακόρυφη κατανομή της θερμοκρασίας σε διάφορες χρονικές στιγμές για την περίπτωση B2.

137 5.4. ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΕΙΣΟΔΟΥ (ΣΕΝΑΡΙΟ B2) 111 Σχήμα 5.19: Πεδία θερμοκρασίας και στροβιλότητας: (α) περιοχή εισόδου και (β) στην πάνω δεξιά γωνία της δεξαμενής σε επιλεγμένες, αρχικές χρονικές στιγμές της φόρτισης της περίπτωσης B2

138 112 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΟΡΤΙΣΗΣ 5.5 Χαρακτηρισμός ανάμειξης Στην παράγραφο 2.4 παρουσιάστηκαν διάφορες μεθοδολογίες που επιτρέπουν τον υπολογισμό της ανάμειξης ποιοτικά και ποσοτικά. Σύμφωνα με την βιβλιογραφία, δεν υπάρχει μια συγκεκριμένη παράμετρος που να καλύπτει πλήρως τον χαρακτηρισμό της ανάμειξης στην διαδικασία της φόρτισης και κατά συνέπεια είναι αναγκαίος ο υπολογισμός όλων μεταβλητών που παρουσιάστηκαν στο Κεφάλαιο 2.4 για την πληρέστερη κατανόηση και ποσοτική ανάλυση του φαινομένου Πάχος θερμοκλίνης Στο Σχήμα 5.20 παρουσιάζεται η χρονική εξέλιξη του πάχους της θερμοκλίνης (δ ) και για τα τρία διαφορετικά σενάρια φόρτισης (A, B1, B2). Σύμφωνα με την σχέση (δ t b ) που έχει προτείνει ο Homan και αναφέρθηκε στην παράγραφο 5.2, οι συντελεστές b που προκύπτουν είναι οι εξής: b A = 0.19, b B1 = 0.31 και b B2 = Παρατηρούμε ότι ενώ στις περιπτώσεις A και B1 οι τιμές του συντελεστή b αλλά και το πάχος της θερμοκλίνης έχουν παραπλήσιες τιμές για την περίπτωση B2 δεν ισχύει κάτι τέτοιο. Πρακτικά η θερμοκλίνη στην περίπτωση B2, για t 100, καταλαμβάνει ολόκληρο το ύψος της δεξαμενής, χωρίς να υπάρχουν ευδιάκριτες ζώνες θερμού και ψυχρού νερού. Το γεγονός αυτό οφείλεται στην συνεχή αύξηση της θερμοκρασίας εισόδου (θin) από μηδενικές τιμές, αποτρέποντας τη δημιουργία μεγάλων βαθμίδων θερμοκρασίας με το νερό της δεξαμενής δ t * Case A Case B1 Case B2 Σχήμα 5.20: Η χρονική εξέλιξη του πάχους θερμοκλίνης για όλα τα σενάρια φόρτισης

139 5.5. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΑΝΑΜΕΙΞΗΣ Ρυθμός παραγωγής εντροπίας - αριθμός Bejan Για την μελέτη της χωρικής μεταβολής της ανάμειξης και του μηχανισμού ενεργειακού απωλειών υπολογίστηκαν τα πεδία του ρυθμού παραγωγής εντροπίας. Από τα Σχήματα 5.21, 5.22 και 5.23 όπου παρουσιάζονται τα πεδία της Ṡ g για διάφορες χρονικές στιγμές όλων των σεναρίων φόρτισης (αριστερή στήλη), εξάγεται το συμπέρασμα ότι υπάρχει μία περιοχή όπου η Ṡ g εμφανίζει της μέγιστες τιμές της. Η περιοχή αυτή είναι η θερμοκλίνη, όπου η Ṡ g έχει τιμές τουλάχιστον δύο τάξεις μεγέθους μεγαλύτερες σε σχέση με την υπόλοιπη δεξαμενή. Ακόμα στα Σχήματα 5.21, 5.22 και 5.23 παρουσιάζονται τα δισδιάστατα πεδία του αδιάστατου αριθμού Bejan (Be) (δεξιά στήλη). Όπως αναφέρθηκε στην Παράγραφο ο αριθμός Bejan εκφράζει τον βαθμό στον οποίο η παραγωγή εντροπίας οφείλεται στην θερμική διάχυση (Be = 1) ή κυριαρχούν τα φαινόμενα συνεκτικότητας (Be = 0). Παρατηρείται ότι για το σενάριο A και την χρονική στιγμή t = 20 η θερμική διάχυση υπερισχύει στο επάνω μέρος της δεξαμενής στο οποίο εισέρχεται το ζεστό νερό. Ο όγκος του νερού κάτω από την θερμοκλίνη είναι ισοθερμοκρασιακός, οπότε είναι λογικό ο αριθμός Bejan να έχει μηδενικές τιμές. Το ίδιο μοτίβο συνεχίζεται και στις επόμενες χρονικές στιγμές με εξαίρεση τα άνω στρώματα της δεξαμενής, τα οποία σιγά σιγά αποκτούν ίδια θερμοκρασία, θ = 1, με συνέπεια να αρχίζουν να υπερισχύουν τα φαινόμενα συνεκτικότητας στην παραγωγή της εντροπίας. Το σενάριο B1 παρουσιάζει μεγάλες διαφορές συγκριτικά με το A, καθώς η αρχική θερμοκρασιακή κατανομή, θ o(y ), αλλά και η θερμοκρασία εισόδου θ in(t ) δημιουργούν θερμοκρασιακές βαθμίδες καθ' όλη τη διάρκεια της φόρτισης, με συνέπεια ο όρος Ṡ g,h να υπερισχύει σε όλο τον όγκο της δεξαμενής και ο Be να παίρνει τιμές κοντά στο 1. Η περίπτωση B2 είναι ένας συνδυασμός των προηγούμενων δυο περιπτώσεων, καθώς η αρχική θερμοκρασιακή κατανομή είναι ομοιόμορφη (περίπτωση A), θ o(y ) = 0, αλλά η θερμοκρασία εισόδου μεταβάλλεται συνεχώς (περίπτωση B1). Έτσι, την χρονική στιγμή t = 40 στον όγκο του νερού κάτω από την θερμοκλίνη υπερισχύει ο όρος Ṡ g,f, δηλαδή Be = 0. Παράλληλα όμως καθώς συνεχίζεται η φόρτιση, το επάνω μέρος της δεξαμενής δεν είναι ισοθερμοκρασιακό όπως στην περίπτωση A, έτσι ώστε και σε αυτή την περιοχή ο Be = 0 να παίρνει χαμηλές τιμές. Τέλος, την χρονική στιγμή t = 250, η δέσμη αρνητικής άνωσης δημιουργεί μία ζώνη (y = ) έντονης ανάμειξης λόγω φαινομένων συνεκτικότητας, που ισοσκελίζει σχεδόν την ανάμειξη λόγω θερμικής διάχυσης (Be 0.6). Για μια πιο λεπτομερή ανάλυση της Ṡ g, στο Σχήμα 5.24 παρουσιάζονται οι κατακόρυφες κατανομές της στο μέσο του μήκους της δεξαμενής για τις χρονικές στιγμές t = 40

140 114 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΟΡΤΙΣΗΣ και t = 80, για όλα τα σενάρια φόρτισης. Προκύπτει ότι για τις περιπτώσεις A και B1 μεγάλες τιμές της Ṡ g παρουσιάζονται μόνο στην περιοχή της θερμοκλίνης και μέγιστο στην γραμμή πλήρωσης. Η μέγιστη τιμή της Ṡ g στην περίπτωση A είναι μεγαλύτερη από τα άλλα δυο σενάρια, καθώς η κλίση της θερμοκρασίας είναι πιο απότομη λόγω της υψηλής θερμοκρασίας τους εισερχόμενου νερού. Στην περίπτωση B2, οι τιμές της Ṡ g είναι σαφώς χαμηλότερες καθώς η κλίση της θερμοκρασίας είναι πολύ πιο ομαλή. Τέλος είναι χαρακτηριστικό ότι η Ṡ g στην περίπτωση B2 έχει τις μεγαλύτερες τιμές της στο επάνω μέρος της δεξαμενής, ανεξαρτήτως χρονικής στιγμής. Χρήσιμα συμπεράσματα μπορούν επίσης να εξαχθούν και αν υπολογιστεί η συνολική παραγωγή εντροπίας Ṡ g καθώς και η εξέλιξη της με τον χρόνο. Όπως φαίνεται και στο Σχήμα 5.25, στις πρώτες χρονικές στιγμές η Ṡ g έχει την μέγιστη τιμή της για τις περιπτώσεις A και B1. Οι αυξημένες τιμές οφείλονται κυρίως στην ανάμειξη της εισερχόμενης ροής καθώς αυτή αλληλεπιδρά με το νερό της δεξαμενής που βρίσκεται σε χαμηλότερη θερμοκρασιακή τιμή. Στην συνέχεια ελαττώνεται μέχρι μία σχεδόν σταθερή τιμή, πριν αυξηθεί και πάλι με μέγιστη τιμή την χρονική στιγμή t = 100 (χρόνος πλήρωσης). Ο λόγος για την αύξηση αυτή οφείλεται στην έλευση της θερμοκλίνης, (στρώμα με έντονη βαθμίδα θερμοκρασίας) τον χρόνο αυτό, στο κάτω μέρος της δεξαμενής όπου και εξαναγκάζεται να περάσει από τον διαχύτη εξόδου. Στην περίπτωση B2, η συμπεριφορά είναι εντελώς διαφορετική καθώς η Ṡ g τις πρώτες χρονικές στιγμές ξεκινά από την ελάχιστη τιμή της, στη συνέχεια αυξάνεται απότομα και μετά τον χρόνο t = 50 παραμένει σταθερή. Οι μεταβολές της Ṡ g με τον χρόνο κατανοούνται καλύτερα αν γίνει παράλληλα σύγκριση και με την παράλληλη μεταβολή μίας άλλης παραμέτρου, του στιγμιαίου αριθμού Αρχιμήδη (Ar(t )). Ο αριθμός Αρχιμήδη (ή διαφορετικά αριθμός Richardson, όπως επίσης συναντάται στην βιβλιογραφία) είναι ένας αδιάστατος αριθμός που χρησιμοποιείται στον χαρακτηρισμό του σχετικού μεγέθους των ανωστικών δυνάμεων ως προς τις δυνάμεις αδράνειας. Βασικά χαρακτηρίζει αν ο κυρίαρχος μηχανισμός μεταφοράς θερμότητας είναι ή εξαναγκασμένη, φυσική ή μικτή συναγωγή. Ειδικότερα, στην παρούσα μελέτη, ο στιγμιαίος αριθμός Αρχιμήδη (Ar(t )) χαρακτηρίζει την εισερχόμενη ροή και ορίζεται ως Ar(t) = gβh T (t)/u 2 in χρησιμοποιώντας τη διαφορά T (t) = T in (t) T avg (t). Επίσης οι θερμοφυσικές ιδιότητες του ρευστού μεταβάλλονται και αυτές χρονικά, υπολογιζόμενες με θερμοκρασία αναφοράς την T avg (t). Στο Σχήμα 5.25 φαίνεται ότι ο Ar(t ) για τις περιπτώσεις A και B1, ξεκινά με την μέγιστη τιμή, η οποία αντιστοιχεί σε έντονη ανωστική δέσμη στην είσοδο. Στη συνέχεια, ο Ar(t ) μειώνεται απότομα μέχρι τον χρόνο πλήρωσης (t = 100), καθώς η θ in παραμένει

141 5.5. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΑΝΑΜΕΙΞΗΣ 115 σταθερή ενώ η θavg αυξάνεται. Μετά τον χρόνο t = 100, για την περίπτωση B1, ο Ar(t ) αρχίζει να αυξάνει, αλλά με μικρότερο ρυθμό σε σύγκριση με τους αρχικούς χρόνους. Στην περίπτωση B2, η χρονική εξέλιξη του Ar(t ) έχει παρόμοια συμπεριφορά με αυτή της Ṡ g. Αρχικά ξεκινάει από μηδενική τιμή (ελάχιστη τιμή) παρουσιάζει μέγιστο κοντά στην χρονική στιγμή t = 100 και στην συνέχεια ελαττώνεται με ομαλό ρυθμό. Γίνεται επομένως φανερό, μέσω της σύγκρισης της Ṡ g και του Ar(t ) ότι το μέγεθος της ανάμειξης, όπως εκφράζεται από την χρονική εξέλιξη της ολικής παραγωγής εντροπίας, ακολουθεί την αντίστοιχη χρονική εξέλιξη της έντασης των ανωστικών δυνάμεων και των αντίστοιχων βαθμίδων θερμοκρασίας μεταξύ εισερχομένου και εξερχομένου νερού που επικρατούν μέσα στην δεξαμενή την εκάστοτε χρονική στιγμή.

142 116 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΟΡΤΙΣΗΣ Σχήμα 5.21: Πεδία ρυθμού παραγωγής εντροπίας (αριστερή στήλη) και αριθμού Bejan (δεξιά στήλη) σε επιλεγμένες χρονικές στιγμές για την περίπτωση A.

143 5.5. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΑΝΑΜΕΙΞΗΣ 117 Σχήμα 5.22: Πεδία ρυθμού παραγωγής εντροπίας (αριστερή στήλη) και αριθμού Bejan (δεξιά στήλη) σε επιλεγμένες χρονικές στιγμές για την περίπτωση B1

144 118 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΟΡΤΙΣΗΣ Σχήμα 5.23: Πεδία ρυθμού παραγωγής εντροπίας (αριστερή στήλη) και αριθμού Bejan (δεξιά στήλη) σε επιλεγμένες χρονικές στιγμές για την περίπτωση B2

145 5.5. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΑΝΑΜΕΙΞΗΣ Case-A t * =40 Case B1 t * =40 Case B2 t * =40 Case-A t * =80 Case B1 t * =80 Case B2 t * =80 y * E-06. 4E-06 6E-06 S g * Σχήμα 5.24: Κατακόρυφη κατανομή του ρυθμού παραγωγής εντροπίας για όλα τα σενάρια και για τις χρονικές στιγμές t = 40 και t = 80.

146 120 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΟΡΤΙΣΗΣ 10-5 Case A Case B1 Case B * S g t * Ar (t*) t * Σχήμα 5.25: Χρονική εξέλιξη του ολικού ρυθμού παραγωγής εντροπίας και του στιγμιαίου αριθμού Αρχιμήδη για όλα τα σενάρια φόρτισης.

147 5.5. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΑΝΑΜΕΙΞΗΣ Αδιάστατη ειδική εξέργεια Η αδιάστατη ειδική εξέργεια (ξ ) υπολογίστηκε μόνο για την περίπτωση με τα πειραματικά αποτελέσματα (B1). Στο Σχήμα 5.26, παρουσιάζεται η χρονική εξέλιξη της ξ, από την οποία συνάγονται πληροφορίες για την ποσοτική ανάμειξη μέσα στην δεξαμενή. Πιο συγκεκριμένα, οι τιμές της ξ ξεκινούν από 0.1 και μειώνονται με έναν σταθερό ρυθμό στην πρώτη χρονική περίοδο. Αυτές οι σχετικά υψηλές τιμές στους πρώτους χρόνους είναι μία ένδειξη για τις αρχικές απώλειες λόγω ανάμειξης καθώς η εισερχόμενη ροή αλληλεπιδρά με το νερό της δεξαμενής που βρίσκεται στη χαμηλότερη θερμοκρασιακή τιμή. Επιπλέον μια τέτοια τιμή μπορεί να θεωρηθεί χαρακτηριστική του γραμμικού διαχύτη, αφού, συγκριτικά, άλλες λιγότερο βελτιστοποιημένες διατάξεις εισροής νερού της βιβλιογραφίας, όπως ένας μικρός κυλινδρικός σωλήνας (Consul et al. (2004)), έχουν σημαντικά υψηλότερες τιμές (ξ από 0.3 μέχρι 0.5 ή και υψηλότερες). Μετά τους πρώτους χρόνους t < 20, οι τιμές της ξ σταθεροποιούνται και παραμένουν σχετικά μικρές (ξ 0.030), κάτι που είναι σε συμφωνία με το γεγονός ότι τα υπολογιζόμενα πεδία θερμοκρασίας αντιστοιχούν σε μια πλήρως διαστρωματωμένη δεξαμενή (η ξ έχει τιμές κοντά στο 0 σε αυτή την περίπτωση). Την χρονική στιγμή t = 100, που αντιστοιχεί στον χρόνο πλήρωσης της δεξαμενής (ο χρόνος που χρειάζεται για να αντικατασταθεί νερό όγκου ίσο με τον όγκο της δεξαμενής), παρατηρείται μια αιφνίδια μεταβολή (πτώση τιμής), που συμπίπτει με την αντίστοιχη απότομη μεταβολή της θout (Σχήμα 5.9). Στην συνέχεια και μέχρι την χρονική στιγμή t = 140, οι τιμές της ξ διατηρούν σταθερή τιμή, που είναι και η ελάχιστη τιμή του κύκλου. Η συμπεριφορά αυτή αιτιολογείται από την μικρή αύξηση της θavg (Σχήμα 5.9) και τη σταθερή τιμή της θout, δηλαδή από ότι δεν υπάρχουν σημαντικές μεταβολές στην θερμοκρασιακή κατανομή της δεξαμενής. Μετά τη χρονική στιγμή t = 140, παρατηρείται μία μικρή αύξηση του ξ, η οποία συμπίπτει με την ξαφνική αύξηση της θout ξ Fill time t * Σχήμα 5.26: Χρονική εξέλιξη της αδιάστατης ειδικής εξέργειας για την περίπτωση B1.

148

149 Κεφάλαιο 6 Δεξαμενή μεγάλου κυβισμού - Αποτελέσματα προσομοίωσης της διεργασίας εκφόρτισης 6.1 Γενικά χαρακτηριστικά Τα κύρια χαρακτηριστικά αυτού του προβλήματος καθώς και το υπολογιστικό χωρίο που χρησιμοποιήθηκε για την προσομοίωση της διαδικασίας της εκφόρτισης της κυβικής δεξαμενής, παρουσιάζονται στο Σχήμα 6.1. Οριζόντια δέσμη κρύου νερού εισέρχεται στην δεξαμενή από τον γραμμικό διαχύτη (ύψος διατομής 0.02m) που βρίσκεται στο κάτω μέρος του κάθετου τοίχου (μπλε βέλος). Παράλληλα δέσμη ζεστού νερού εξέρχεται από τον πανομοιότυπο διαχύτη στο επάνω μέρος του ίδιου τοίχου (κόκκινο βέλος). Σε σχέση δηλαδή με το πρόβλημα της φόρτισης, υπάρχει αμοιβαία εναλλαγή των ανοιγμάτων εισροής-εκροής. Το προφίλ της ταχύτητας εισόδου θεωρήθηκε ομοιόμορφο στην είσοδο και, σε αντίθεση με την διεργασία της φόρτισης, η θερμοκρασία του εισερχομένου νερού λαμβάνεται εδώ χρονικά σταθερή σε όλα τα σενάρια, τα οποία για τη διεργασία της εκφόρτισης διαμορφώνονται με διαφορετικά κριτήρια όπως θα περιγραφεί αναλυτικά στη συνέχεια. 123

150 Adiabatic wall Adiabatic wall 124 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΚΦΟΡΤΙΣΗΣ Outlet diffuser Free slip, Adiabatic surface H Gravity current Reverse flow Current reflection W Incoming cold water Adiabatic floor L Y Z X Σχήμα 6.1: Το υπολογιστικό χωρίο για την προσομοίωση της εκφόρτισης και σχηματική αναπαράσταση των βασικών δομών της ροής.

151 6.2. ΣΕΝΑΡΙΑ ΕΚΦΟΡΤΙΣΗΣ Σενάρια εκφόρτισης Τα σενάρια αυτά διαμορφώνονται με βάση τυπικές καταστάσεις που συναντώνται σε πρακτικές εφαρμογές και αφορούν την διεργασία της εκφόρτισης. Πιο συγκεκριμένα, με βάση την αρχική κατανομή της θερμοκρασίας μέσα στην δεξαμενή, θεωρήθηκε μια πρώτη περίπτωση όπου αυτή ήταν σταθερή (Περίπτωση 1) και μια κατά την οποία η αρχική κατανομή παρουσίαζε κάποια μεταβολή καθ' ύψος (Περίπτωση 2), όπως φαίνεται και στο Σχήμα 6.2. Η αρχική κατακόρυφη κατανομή της θερμοκρασίας της περίπτωσης 2 είναι το τελικό αποτέλεσμα της φόρτισης της δεξαμενής μετά από ένα τυπικό ημερήσιο κύκλο λειτουργίας ενός πεδίου συλλεκτών. Αυτή η κατανομή, που προέκυψε από τα υπολογιστικά αποτελέσματα της εργασίας των Kaloudis et al. (2012), και συγκεκριμένα της περίπτωσης B2, προσεγγίζεται από ένα πολυώνυμο 5 oυ βαθμού: 5 θ (y ) = α l (y ) l (6.1) l=0 Οι συντελεστές α l του πολυωνύμου δίνονται στον Πίνακα 6.1. Για την εκφόρτιση, χρησιμοποιήθηκαν δύο επιπλέον σενάρια, ανάλογα και με τη διάρκεια της ή τον τρόπο υλοποίησης της. Στο πρώτο (Μορφή α) η εκφόρτιση θεωρείται συνεχής και η διάρκειά της για αδιάστατη παροχή Q in = 0.01 είναι (σε αδιάστατο χρόνο) t = 100, που αντιστοιχεί σε όγκο νερού ίσο με έναν όγκο της δεξαμενής. Στο δεύτερο σενάριο (Μορφή β), που είναι πιο συνηθισμένο σε πρακτικές εφαρμογές, η εκφόρτιση γίνεται διακοπτόμενα. Για την παρούσα διατριβή και χωρίς περιορισμό της γενικότητας ο συνολικός χρόνος της εκφόρτισης χωρίστηκε σε τρία διαστήματα. Αρχικά η εκφόρτιση διακόπτεται την χρονική στιγμή t = 50, και ακολουθεί ένα χρονικό διάστημα ίσο με t id = 50 όπου η δεξαμενή αφήνεται σε ηρεμία. Μετά και από αυτήν την περίοδο η εκφόρτιση συνεχίζεται για χρονικό διάστημα t d2 = 50 ( t d1 = t d2 = t id ). Πρακτικά και στα δύο σενάρια ο ολικός Πίνακας 6.1: Οι συντελεστές α l του πολυωνύμου 5 oυ βαθμού για την προσέγγιση της αρχικής θερμοκρασιακής κατανομής της περίπτωσης 2. συντελεστής τιμή α α α α α α

152 126 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΚΦΟΡΤΙΣΗΣ όγκος νερού που απομαστεύεται από την δεξαμενή είναι ο ίδιος ( t d = t d1 + t d2 ), αλλά στο δεύτερο σενάριο (Μορφή β) υπάρχει ένα ενδιάμεσο χρονικό διάστημα όπου η δεξαμενή είναι σε ηρεμία (static mode). Αυτό, από πλευράς θερμοϋδραυλικής ανάλυσης της δεξαμενής, έχει ως αποτέλεσμα το πρόβλημα της μεταφοράς θερμότητας να μετατρέπεται από ένα μικτής συναγωγής σε ένα φυσικής συναγωγής. Συνδυάζοντας τις δύο αρχικές θερμοκρασιακές κατανομές και τα δύο σενάρια εκφόρτισης, προκύπτουν συνολικά τέσσερις διαφορετικές περιπτώσεις, με ονομασία 1a, 1b, 2a και 2b (Σχήμα 6.2). Οι περιπτώσεις 2a και 2b, είναι μια προσπάθεια προσομοίωσης πιο ρεαλιστικών (υπό την έννοια της πρακτικής εφαρμογής) σεναρίων εκφόρτισης. Οι αδιάστατοι αριθμοί που Σχήμα 6.2: Διαμόρφωση 4 αντιπροσωπευτικών σεναρίων εκφόρτισης με βάση: α) την αρχική καθ' ύψος κατανομή θερμοκρασίας (επάνω) στην δεξαμενή και β), γ) τα χαρακτηριστικά χρονικά διαστήματα της εκφόρτισης (μεταβολές στην παροχή όγκου) για όλες τις περιπτώσεις.

153 6.2. ΣΕΝΑΡΙΑ ΕΚΦΟΡΤΙΣΗΣ 127 χρησιμοποιήθηκαν παρουσιάζονται στον Πίνακα 6.2, και ορίστηκαν με τέτοιο τρόπο (επιλογή χαρακτηριστικών μηκών, διαφορών θερμοκρασίας κλπ.) ώστε να αντιπροσωπεύουν αμετάβλητες, γενικές τιμές που να μην εξαρτώνται από τις χρονικές μεταβολές. Οι ορια- Πίνακας 6.2: Παράμετροι και αδιάστατοι αριθμοί για την περίπτωση της εκφόρτισης. θin Σταθερή (=0) P r Re H Gr H Ar H T o [ o C] u in 1.0 κές συνθήκες που χρησιμοποιήθηκαν είναι ίδιες με αυτές στην περίπτωση της φόρτισης της δεξαμενής. Οι τιμές των παραμέτρων για το μοντέλο του Smagorinsky, C s, A και B (Εξισώσεις 3.12 και 3.13) είναι ίδιες με αυτές που χρησιμοποιήθηκαν για τις προσομοιώσεις επικύρωσης του υπολογιστικού κώδικα (Παράγραφος 4.3.2, δηλαδή C s = 0.1, A = 2.0 και B = 4.0. Η τιμή της απόστασης του πρώτου εσωτερικού σημείου από τα τοιχώματα (σε μονάδες τοίχου) είναι της τάξης του x + i 1.2 για όλες τις περιπτώσεις. Ακόμα μικρότερες τιμές παρατηρήθηκαν για τις περιπτώσεις 1b και 2b όταν η διαδικασία βρισκόταν στην αδρανή φάση (t = ). Το χρονικό βήμα και εδώ είχε τιμή t = 10 4 με αποτέλεσμα ο αριθμός CFL να ισούται με Στη συνέχεια παρουσιάζονται αναλυτικά αποτελέσματα για όλες τις περιπτώσεις της εκφόρτισης. Συγκεκριμένα, έχει γίνει διαχωρισμός, σε δύο χαρακτηριστικές φάσεις, η πρώτη ξεκινά από την αρχή της διαδικασίας (t = 0) μέχρι και την δημιουργία της θερμοκλίνης. Η φάση αυτή χαρακτηρίζεται από την ροή βαρυτικού ρεύματος (gravity current) (βλ. παρ ) και η συναγωγή είναι η κύρια πηγή της ανάμειξης. Στη συνέχεια ακολουθεί η περίοδος κατά την οποία η θερμοκλίνη κινείται κατακόρυφα προς τα επάνω, ενώ η οριζόντια εισερχόμενη ροή δεν υπόκειται πλέον σε ισχυρές ανωστικές δυνάμεις καθώς συναντά ένα ισοθερμοκρασιακό στρώμα νερού με εξίσου χαμηλή θερμοκρασία, και κατά συνέπεια η θερμική ανάμειξη μειώνεται. Κατά μήκος της θερμοκλίνης, ο κύριος μηχανισμός ανάμειξης είναι η διάχυση. Αυτή η δεύτερη διακριτή φάση διαρκεί είτε μέχρι το πέρας της εκφόρτισης (μορφή a), είτε την διαδέχεται η κατάσταση ηρεμίας (50 < t < 100) και μετά η τελική φάση της εκφόρτισης (μορφή b).

154 128 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΚΦΟΡΤΙΣΗΣ 6.3 Αρχικοί χρόνοι - Βαρυτικό ρεύμα Στιγμιότυπα θερμοκρασίας και πεδίων ροής Σενάρια 1a και 1b Στο Σχήμα 6.3 παρουσιάζονται τα πεδία θερμοκρασίας για τις αρχικές στιγμές της διαδικασίας (t 2.8) στην περιοχή εισόδου του νερού. Η συγκεκριμένη χρονική περίοδος είναι σημαντική, καθώς αρκετά φαινόμενα λαμβάνουν χώρα, επηρεάζοντας την συνολική απόδοση της δεξαμενής. Από τις πρώτες στιγμές της εκφόρτισης, κρύο νερό ρέει κατά μήκος της κάτω επιφάνειας στη μορφή ενός ρεύματος βαρύτητας (t = 0.40). Τα κύρια χαρακτηριστικά ενός ρεύματος βαρύτητας όπως έχει ήδη περιγραφεί στην παράγραφο είναι ένα κυρίως σώμα, λίγο πιο στενό σε σχέση με το ύψος της εισόδου, ενώ προηγείται το κεφάλι, ή μέτωπο, που αντιπροσωπεύει την μεταβατική περιοχή μεταξύ του ρεύματος και του ρευστού που υπήρχε αρχικά αποθηκευμένο στην δεξαμενή (Yoo et al. (1986), Hallworth et al. (1996)). Από την στιγμή που σχηματιστεί το ρεύμα βαρύτητας, ταξιδεύει με μικρή ανάμειξη εκτός από το κεφάλι (Yoo et al. (1986)). Το μέτωπο του ρεύματος διακρίνεται καθαρά στην πρώτη εικόνα των ισοϋψών της θερμοκρασίας του Σχήματος 6.3 (t = 0.40) και ταξιδεύει με ταχύτητα που υπολογίστηκε σε u f = και η μορφή του διατηρείται μέχρι t = 0.90, χρονική στιγμή στην οποία συγκρούεται με τον απέναντι τοίχο και ανακλάται. Η ορμή του ανακλώμενου ρεύματος, είναι αρκετή ώστε να υπερνικήσει τις ισχυρές ανωστικές δυνάμεις, ωθώντας το ρευστό να διεισδύσει σε ψηλότερα επίπεδα κατά μήκος του κάθετου τοίχου, συγκεκριμένα σχεδόν μέχρι το ύψος y = 0.01 (t = 1.00). Για την παρουσίαση των χαρακτηριστικών του πεδίου ροής στην περιοχή του ρεύματος βαρύτητας και ειδικά στα εξωτερικά του όρια, ένα κατάλληλο μέγεθος είναι το λεγόμενο κριτήριο Q (Q-criterion). Αυτό το μέγεθος ορίζεται ως: Q = 1 Ωij Ω ( ) 2 ij S ij S ij > 0, όπου Ω ij είναι ο φιλτραρισμένος τανυστής της στροβιλότητας Haller (2005). Οι ισοϋψείς του μεγέθους Q παρουσιάζονται στη δεξιά στήλη του Σχήματος 6.3 για τις επιλεγμένες χρονικές στιγμές. Το μέγεθος Q προτιμήθηκε για την αναγνώριση των δινών έναντι της στροβιλότητας, καθώς το Q δεν λαμβάνει υπ' όψη του άλλες πηγές στροβιλισμού όπως η τριβή από τα τοιχώματα ή τα διατμητικά στρώματα. Μετά την ανάκλαση, το ρευστό αρχίζει να κινείται προς τα πίσω προς τον αριστερό κατακόρυφο τοίχο. Και εδώ (t = 1.2) διακρίνεται ένα μέτωπο ρεύματος κινούμενο με μικρότερη μετωπική ταχύτητα (u f = 0.780). Καθώς το ρεύμα πλησιάζει τον αριστερό τοίχο, ο αριθμός των κυματοειδών μορφών-διαταραχών μπροστά από το μέτωπο (t = 1.60) αυξάνει και ένας αριθμός δινών γίνεται πλέον ευδιάκριτος στα πεδία του

155 6.3. ΑΡΧΙΚΟΙ ΧΡΟΝΟΙ - ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΡΕΥΜΑ 129 Q. Οι συγκεκριμένες δίνες έχουν παρόμοια μορφή με αυτές που συναντώνται σε αστάθειες τύπου Kelvin-Helmholtz (Drazin, 2002). Οι δίνες συγκρούονται με το τοίχωμα την χρονική στιγμή t = 2.00 δημιουργώντας επιπλέον διαταραχές στην περιοχή πάνω από την είσοδο. Τα παραπάνω αποτελέσματα δεν βρίσκονται σε συμφωνία με τα ευρήματα των Yoo et al. (1986), στα οποία, για παρόμοιους αριθμούς Froude, το ανάστροφο ρεύμα σταμάτησε να κινείται οριζόντια πριν φτάσει στο τοίχωμα που βρίσκεται το άνοιγμα εισροής. Από την χρονική στιγμή t = 2.3 (όταν το ανάστροφο ρεύμα συγκρούεται με το αριστερό τοίχωμα) και έπειτα, μια ευδιάκριτη δομή που να χαρακτηρίζει το μέτωπο του νερού που αρχικά εισήλθε μέσα στην δεξαμενή, σταματά να υπάρχει. Μέχρι την χρονική στιγμή t = 2.8 τα χαμηλότερα στρώματα της δεξαμενής παραμένουν σε μία διαταραγμένη κατάσταση λόγω της προαναφερθείσας ροής του βαρυτικού ρεύματος, της ανάκλασης και της αλληλεπίδρασης μεταξύ της εισερχόμενης και της ανακλώμενης ροής υπό τη μορφή ενός διατμητικού στρώματος. Αυτό εκδηλώνεται κυρίως με την εμφάνιση ενός αριθμού από δίνες (δομές) με οριζόντια κίνηση που εξαπλώνονται σε ολόκληρο το πλάτος της δεξαμενής. Σε μεταγενέστερους χρόνους και στην περιοχή ακριβώς πάνω από την είσοδο, όπως φαίνεται και στο Σχήμα 6.4, t = 6.00, οι προαναφερθείσες δομές έχουν διαλυθεί. Παρόλα αυτά, τις δομές αυτές διαδέχεται ένας αριθμός διαφορετικών, μικρών δινών που ξεκινούν να μετακινούνται προς τα δεξιά και πάνω ύστερα από την δημιουργία τους. Σταδιακά οι δίνες αυτές περιορίζονται μέσα στα όρια της θερμοκλίνης. Το φαινόμενο της δημιουργίας των ευδιάκριτων αυτών δινών, λαμβάνει χώρα σε ένα περιορισμένο χρονικό διάστημα. Καθώς ο χρόνος περνά (t = 17.00), η ομάδα των δινών που δημιουργήθηκε νωρίτερα στην περιοχή πάνω από την είσοδο, δεν διαλύεται, αλλά αυτές μεγαλώνουν σε μέγεθος, το οποίο σταδιακά γίνεται συγκρίσιμο με το πάχος της θερμοκλίνης και ακολουθούν την κατακόρυφη κίνηση της θερμοκλίνης. Στην παράγραφο θα παρουσιαστεί μια λεπτομερέστερη ανάλυση για την συμπεριφορά και την ανάπτυξη των συγκεκριμένων δινών καθώς αυτή η συμπεριφορά σαν ρευστομηχανικό φαινόμενο παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον Σενάρια 2a και 2b Στο Σχήμα 6.5, παρουσιάζονται τα αποτελέσματα τα αντίστοιχα με αυτά του Σχήματος 6.3 για την περίπτωση 2. Συγκεκριμένα απεικονίζονται τα πεδία θερμοκρασίας και Q στην περιοχή εισόδου για τις πολύ αρχικές στιγμές (t 4.0). Υπενθυμίζεται ότι η διαφορά μεταξύ των περιπτώσεων 1 και 2 είναι η αρχική κατακόρυφη κατανομή της θερμοκρασίας. Έτσι, στην περίπτωση 2 το κρύο νερό που εισέρχεται στο κάτω μέρος

156 130 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΚΦΟΡΤΙΣΗΣ Σχήμα 6.3: Πεδία θερμοκρασίας (αριστερά) και Q (δεξια) στην περιοχή εισόδου (δάπεδο δεξαμενής) κατά τις πρώτες χρονικές στιγμές (t 2.8), για την περίπτωση 1. της δεξαμενής αλληλεπιδρά με νερό χαμηλότερης θερμοκρασίας απ' ότι προηγουμένως (θ 0.55). Τη χρονική στιγμή t = 0.50 η μορφή του βαρυτικού ρεύματος έχει τα ίδια χαρακτηριστικά με την περίπτωση 1, παρόλο που δεν διακρίνεται ξεκάθαρα κάποιο μέτωπο στα πεδία θερμοκρασίας. Το μέτωπο του ρεύματος φτάνει στον απέναντι τοίχο την χρονική στιγμή t = 1.00, κατά t = 0.10 αργότερα από την χρονική στιγμή που το μέτωπο του βαρυτικού ρεύματος της περίπτωσης 1 φτάνει στο ίδιο σημείο. Το γεγονός ότι η ταχύτητα του μετώπου είναι μικρότερη (u f = 0.838), οφείλεται στα μικρότερης έντασης ανωστικά φαινόμενα. Τη στιγμή t = 1.20 το ανακλώμενο ρεύμα αγγίζει το μέγιστο ύψος διείσδυσης και ξεκινά να κινείται προς το αριστερό τοίχωμα (t = 1.40), σχηματίζοντας ένα διατμητικό στρώμα με το εισερχόμενο ρευστό που κινείται από κάτω του. Σε αντίθεση με την περίπτωση 1, το ανακλώμενο μέτωπο μπορεί να επιστρέψει μόλις σχεδόν μέχρι το μέσο της δεξαμενής (t = 2.20) και ποτέ δεν προσεγγίζει τον αριστερό τοίχο. Τις χρονικές στιγμές t = 3.00 και t = 4.00, παρατηρείται παρόμοια συμπεριφορά όπως στην περίπτωση 1 την στιγμή t = 6.00, όπου οι διαταραχές που δημιουργήθηκαν νωρίτερα και διαδίδονταν προς τα αριστερά, φτάνουν στην περιοχή πάνω από την είσοδο, και δημιουργούνται εκεί νέες μικρές δίνες. Όπως φαίνεται στην συνέχεια η ομάδα αυτή

157 6.3. ΑΡΧΙΚΟΙ ΧΡΟΝΟΙ - ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΡΕΥΜΑ 131 Σχήμα 6.4: Πεδία θερμοκρασίας (αριστερά) και Q (δεξια) στην περιοχή εισόδου (δάπεδο δεξαμενής) κατά τις πρώτες χρονικές στιγμές (t 14.85), για την περίπτωση 1. με τις δίνες δεν κινείται κατακόρυφα μαζί με την θερμοκλίνη, όπως στην περίπτωση 1. Η αιτία είναι η έλλειψη καθορισμένης θερμοκλίνης στην παρούσα περίπτωση, καθώς τα στρώματα πάνω από εισερχόμενο κρύο νερό εμφανίζουν μία ομαλή κατακόρυφη θερμοκρασιακή κατανομή και όχι απότομη όπως στην περίπτωση 1.

158 132 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΚΦΟΡΤΙΣΗΣ Σχήμα 6.5: Πεδία θερμοκρασίας (αριστερά) και Q (δεξια) στην περιοχή εισόδου (δάπεδο δεξαμενής) κατά τις πρώτες χρονικές στιγμές (t 4, 0), για την περίπτωση 2.

159 6.3. ΑΡΧΙΚΟΙ ΧΡΟΝΟΙ - ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΡΕΥΜΑ Στιγμιότυπα πεδίων ρυθμού παραγωγής εντροπίας Για τον χαρακτηρισμό της απόδοσης της διαδικασίας εκφόρτισης μία επιπλέον παράμετρος που μπορεί και εδώ να υπολογιστεί από τα υπάρχοντα δεδομένα είναι ο ρυθμός παραγωγής εντροπίας (Ṡ g ) όπως έχει οριστεί στην παράγραφο Για την πληρέστερη μελέτη των αρχικών χρόνων, πεδία του ρυθμού παραγωγής εντροπίας στην περιοχή εισόδου (κάτω επιφάνεια) παρουσιάζονται για την περίπτωση 1 (Σχήμα 6.6). Όπως περιέγραψαν και οι Hallworth et al. (1996), σε ένα τυπικό προφίλ ροής ενός βαρυτικού ρεύματος υπάρχουν συγκεκριμένες, διακριτές περιοχές, μερικές από τις οποίες έχουν ήδη αναφερθεί στην Παράγραφο 6.3.1, όπως η περιοχή του διάχυτου απόρρου (diffuse wake). Η περιοχή αυτή διαχωρίζει την ουρά του βαρυτικού ρεύματος από τον περιβάλλον ρευστό και επικρατεί ανάμειξη μεταξύ ζεστού και κρύου νερού. Τη χρονική στιγμή t = 0.4, αυτή είναι η περιοχή όπου η Ṡ g βρέθηκε να έχει τις μεγαλύτερες τιμές, αφού οι παράγωγοι της θερμοκρασίας και των ταχυτήτων είναι και αυτές μέγιστες. Στις ακόλουθες χρονικές στιγμές t = 0.9, 1.0, 1.2, είναι φανερό ότι οι μέγιστες τιμές της Ṡ g εξακολουθούν να εμφανίζονται στην περιοχή διάχυτου απόρρου, αλλά και κοντά στον απέναντι κάθετο τοίχο, όπου λαμβάνει χώρα η ανάκλαση του ρεύματος. Τη στιγμή t = 1.6, εμφανίζεται μια πιο διαταραγμένη διάταξη, που οφείλεται στην ανάπτυξη των δινών, όπως αυτή περιγράφηκε στο Σχήμα 6.3. Από τη στιγμή t = 2.8, οι τιμές της Ṡ g αρχίζουν να εξομαλύνονται και να εξαπλώνονται στον χώρο, σχηματίζοντας μια οριζόντια περιοχή της οποίας το πάχος και η θέση συμπίπτουν με αυτά της θερμοκλίνης. Αντίστοιχα, για την περίπτωση 2, το Σχήμα 6.7 δείχνει το πεδίο της Ṡ g στην περιοχή εισόδου (κάτω επιφάνεια) στις πρώτες χρονικές στιγμές. Συγκριτικά με την περίπτωση 1 οι τιμές της Ṡ g είναι μειωμένες περίπου κατά μία τάξη μεγέθους. Το παραπάνω προκύπτει από τις χαμηλότερες τιμές των παραγώγων της θερμοκρασίας. Όπως και στην περίπτωση 1 η μορφή των προφίλ της Ṡ g είναι παρόμοια για τους αντίστοιχους χαρακτηριστικούς χρόνους. Στην περίπτωση 2 και στους χρόνους t = , κυματοειδείς μορφές εμφανίζονται κατά μήκος της επάνω περιοχής του κρύου νερού, με κατακόρυφη διείσδυση μεγαλύτερη σε σχέση με την περίπτωση 1 για τις αντίστοιχες χρονικές στιγμές.

160 134 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΚΦΟΡΤΙΣΗΣ Σχήμα 6.6: Πεδία ρυθμού παραγωγής εντροπίας στην περιοχή εισόδου (δάπεδο δεξαμενής) κατά τις πρώτες χρονικές στιγμές (t 2.8), για την περίπτωση 1.

161 6.3. ΑΡΧΙΚΟΙ ΧΡΟΝΟΙ - ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΡΕΥΜΑ 135 Σχήμα 6.7: Πεδία ρυθμού παραγωγής εντροπίας στην περιοχή εισόδου (δάπεδο δεξαμενής) κατά τις πρώτες χρονικές στιγμές (t 4.0), για την περίπτωση 2.

162 136 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΚΦΟΡΤΙΣΗΣ 6.4 Μεταγενέστεροι χρόνοι - Ανάπτυξη θερμοκλίνης Στιγμιότυπα θερμοκρασίας και πεδίων ροής Εδώ είναι αναγκαίο να γίνει διαχωρισμός ανάμεσα στα σενάρια 1a και 1b (αντίστοιχα 2a και 2b), καθώς στους χρόνους που μελετώνται υπάρχει και το διάστημα της διακοπής της εκφόρτισης (περιπτώσεις 1b και 2b). Έτσι στο Σχήμα 6.8 παρουσιάζονται τα στιγμιαία πεδία θερμοκρασίας και στροβιλότητας για ολόκληρη τη δεξαμενή για την περίπτωση 1a για μεταγενέστερες χρονικές στιγμές, t = 25, 50, 75. Στις πρώτες χρονικές στιγμές, το εισερχόμενο νερό κινείται οριζόντια προς τον απέναντι τοίχο. Οι ισχυρές ανωστικές δυνάμεις δεν αφήνουν το νερό να διεισδύσει κάθετα μετά την ανάκλαση του στον τοίχο, εξαναγκάζοντας το σε ανάστροφη ροή με κατεύθυνση αντίθετη με αυτή του εισερχομένου νερού, σχηματίζοντας έτσι ένα διατμητικό στρώμα. Καθώς περνά ο χρόνος και η κρύα ισοθερμοκρασιακή ζώνη μεγαλώνει, το διατμητικό στρώμα εξελίσσεται σε μία δίνη ανακυκλοφορίας στην κάτω δεξιά γωνία της δεξαμενής. Το μέγεθος της δίνης πάντα περιορίζεται από το κάτω όριο της θερμοκλίνης. Επίσης από τα πεδία της στροβιλότητας στο Σχήμα 6.8 παρατηρείται η ενδιαφέρουσα διάταξη μιας ομάδας ευδιάκριτων δινών, η οποία όπως ήδη σχολιάστηκε στην παράγραφο αρχικά αναπτύσσεται κατά μήκος της γραμμής πλήρωσης και στη συνέχεια ακολουθεί την ίδια ανοδική πορεία μ' αυτήν. Οι δίνες αυτές, η προέλευση των οποίων έχει επίσης περιγραφεί στην προηγούμενη παράγραφο (6.3.1), φαίνεται να είναι εγκλωβισμένες μέσα στην περιοχή της θερμοκλίνης. Εφόσον οι περιπτώσεις 1a και 1b είναι πανομοιότυπες μέχρι την χρονική στιγμή t = 50, στο Σχήμα 6.9 τα πρώτα πεδία θερμοκρασίας και στροβιλότητας για την περίπτωση 1b (διακοπτόμενη εκφόρτιση) παρουσιάζονται για τις χρονικές στιγμές t = 75, 100 και 125. Οι αδιάστατοι χρόνοι 75 και 100 αντιστοιχούν στην περίοδο ηρεμίας. Γίνεται φανερό ότι η δίνη στην κάτω δεξιά γωνία που υπήρχε τον χρόνο t = 50 έχει εξασθενίσει στο χρόνο t = 75 και τελικά εξαφανίζεται λίγο πριν ξεκινήσει η 2η περίοδος εκφόρτισης (t = 100). Συγκρίνοντας την περίπτωση 1a στον χρόνο t = 75 και την 1b για t = 125, προκύπτει το συμπέρασμα ότι μόνο μικρές αλλαγές συμβαίνουν κατά την διάρκεια της περιόδου ηρεμίας στα πεδία θερμοκρασίας και στροβιλότητας. Παρόλα αυτά παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον το ότι η ομάδα με τις δίνες που δημιουργήθηκαν στην 1 η περίοδο εκφόρτισης, εξακολουθούν να υπάρχουν, παρόλο που η ένταση των άλλων κινήσεων του ρευστού σταδιακά εξασθενεί. Αυτή η αυτοσυντηρούμενη κίνηση που εξελίσσεται πλέον με μηχανισμούς φυσικής συναγωγής, μελετάται με μεγαλύτερη λεπτομέρεια στην επόμενη ενότητα (6.4.2). Στη συνέχεια, την χρονική στιγμή t = 125 σημαντική δραστηριότητα αρχίζει να αναπτύσσεται ξανά στο πεδίο ροής, παρόμοια με αυτή που είχε

163 6.4. ΜΕΤΑΓΕΝΕΣΤΕΡΟΙ ΧΡΟΝΟΙ - ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΘΕΡΜΟΚΛΙΝΗΣ 137 παρατηρηθεί για t = 75 στην περίπτωση 1a, σχεδόν αμέσως μετά την επανεκκίνηση της εκφόρτισης. Στο Σχήμα 6.10 παρουσιάζονται τα πεδία θερμοκρασίας και στροβιλότητας για την περίπτωση 2a. Εδώ πλέον δεν υπάρχουν δύο ευδιάκριτες ισοθερμοκρασιακές ζώνες, αλλά η επάνω (ζώνη) είναι μια μη-ομοιόμορφη, ενδιάμεσης θερμοκρασίας ζώνη που προέρχεται από την αρχική κατακόρυφη θερμοκρασιακή κατανομή, όπως περιγράφηκε στο Σχήμα 6.2. Η κατώτερη ζώνη, είναι ισοθερμοκρασιακή χαμηλής θερμοκρασίας, και σ' αυτήν κυριαρχεί το εισερχόμενο νερό που καταλαμβάνει διαρκώς μεγαλύτερο όγκο αυτής της περιοχής της δεξαμενής. Παρά το γεγονός αυτό, τα κύρια χαρακτηριστικά του πεδίου ροής είναι παρόμοια με αυτά της περίπτωσης 1a. Φαίνεται ότι η έλλειψη αυστηρά καθορισμένης θερμοκλίνης αποτρέπει εδώ την δημιουργία των χαρακτηριστικών δινών στην περιοχή της θερμοκλίνης, όπως αυτή παρατηρήθηκε στην 1a. Όπως και στην περίπτωση 1b, στο Σχήμα 6.11 παρουσιάζονται τα πεδία θερμοκρασίας και στροβιλότητας για την περίπτωση 2b. Είναι ξεκάθαρο ότι η βασική δομή της ροής (μια κυρίαρχη δίνη ανακυκλοφορίας στην κάτω δεξιά γωνία και έντονη ανάμειξη στην περιοχή της γραμμής πλήρωσης) σταδιακά εξασθενεί στην περίοδο ηρεμίας. Όταν ξεκινά η δεύτερη περίοδος εκφόρτισης (t = 125) τα αποτελέσματα είναι παρόμοια με τα αυτά της περίπτωσης 2a.

164 138 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΚΦΟΡΤΙΣΗΣ Σχήμα 6.8: Στιγμιαία αποτελέσματα στο επίπεδο x y, για την περίπτωση 1a, και για διάφορες χρονικές στιγμές (t = 25, 50 και 75). Αριστερή στήλη: πεδία θερμοκρασίας, δεξιά στήλη: πεδία στροβιλότητας.

165 6.4. ΜΕΤΑΓΕΝΕΣΤΕΡΟΙ ΧΡΟΝΟΙ - ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΘΕΡΜΟΚΛΙΝΗΣ 139 Σχήμα 6.9: Στιγμιαία αποτελέσματα στο επίπεδο x y, για την περίπτωση 1b, και για διάφορες χρονικές στιγμές (t = 75, 100 και 125). Αριστερή στήλη: πεδία θερμοκρασίας, δεξιά στήλη: πεδία στροβιλότητας.

166 140 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΚΦΟΡΤΙΣΗΣ Σχήμα 6.10: Στιγμιαία αποτελέσματα στο επίπεδο x y, για την περίπτωση 2a, και για διάφορες χρονικές στιγμές (t = 25, 50 και 75). Αριστερή στήλη: πεδία θερμοκρασίας, δεξιά στήλη: πεδία στροβιλότητας.

167 6.4. ΜΕΤΑΓΕΝΕΣΤΕΡΟΙ ΧΡΟΝΟΙ - ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΘΕΡΜΟΚΛΙΝΗΣ 141 Σχήμα 6.11: Στιγμιαία αποτελέσματα στοεπίπεδο x y, για την περίπτωση 2b, και για διάφορες χρονικές στιγμές (t = 75, 100 και 125). Αριστερή στήλη: πεδία θερμοκρασίας, δεξιά στήλη: πεδία στροβιλότητας.

168 142 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΚΦΟΡΤΙΣΗΣ Δομές κυψελίδων στη θερμοκλίνη Η ομάδα των δινών που αναφέρθηκε πρώτα στα Σχήματα 6.8 και 6.9 παρουσιάζεται λεπτομερέστερα και σε μεγεθυμένη απεικόνιση για μία από τις περιπτώσεις, την περίπτωση 1b, στα Σχήματα 6.12 και Οι χρονικές στιγμές που παρουσιάζονται ανήκουν στην περίοδο ηρεμίας (70 < t < 90), που χαρακτηρίζεται μόνο από φαινόμενα φυσικής συναγωγής και πιθανώς παραμένουσες κινήσεις ρευστού λόγω των ρευμάτων εισροής και εκροής, οι οποίες όμως γρήγορα εξασθενούν. Ύστερα από μια πιο προσεκτική μελέτη, διακρίνονται δύο ξεχωριστοί τύποι δινών (κυψελικών δομών ή κυψελίδων) και αποκαλύπτονται επιπρόσθετα χαρακτηριστικά της κίνησης των κυψελίδων. Συγκεκριμένα αυτές όχι μόνο ακολουθούν την θερμοκλίνη κατά την ανοδική της πορεία, όπως έχει ήδη αναφερθεί, αλλά βρέθηκε ότι κινούνται και οριζόντια, σε μορφή οδευόντων κυμάτων (travelling waves). Η πρώτη κατηγορία κυψελίδων είναι η στατική, για παράδειγμα η κυψελίδα Α (Σχήματα 6.12) που προέρχεται από την περιοχή κοντά στα πλευρικά τοιχώματα. Τον χρόνο t = έχει την ελάχιστη τιμή στροβιλότητας και αριστερόστροφη περιστροφή. Καθώς ο χρόνος περνάει, η περιστροφική κίνηση εξασθενεί (t = 80.03), αλλάζει σε δεξιόστροφη (t = 80.06) και βαθμιαία αποκτά τη μέγιστη τιμή της στροβιλότητας (t = 80.08), ολοκληρώνοντας μισή περίοδο. Στη συνέχεια, η στροβιλότητα μειώνετε ξανά σε αρνητικές τιμές (t = 80.11), πλησιάζει την χαμηλότερη τιμή (t = 80.14) και ολοκληρώνει με αυτόν τον τρόπο ένα κύκλο (περίοδο). Η δεύτερη κατηγορία κυψελίδων χαρακτηρίζονται σαν κινούμενες π.χ. οι κυψελίδες Α', Β' και C' (Σχήμα 6.13). Οι κυψελίδες αυτές διατηρούν την φορά περιστροφής τους σταθερή (για την κυψελίδα Α' και C' είναι πάντα δεξιόστροφη και για την B' αριστερόστροφη) και κινούνται οριζόντια, παραμένοντας πάντα μέσα στα κατακόρυφα όρια της θερμοκλίνης. Από το Σχήμα 6.13 γίνεται φανερό ότι οι τιμές της στροβιλότητας των κυψελίδων είναι χρονικά μεταβαλλόμενες. Επιπρόσθετα, δημιουργούνται στο δεξιό μισό του στρώματος της θερμοκλίνης και η οριζόντια κίνηση τους από τα δεξιά προς τα αριστερά εκτείνεται μέχρι μια απόσταση που μόλις υπερβαίνει το μέσο της δεξαμενής (x = 0.5). Με στόχο μια λεπτομερέστερη ανάλυση της χρονικά μεταβαλλόμενης, ταλαντούμενης συμπεριφοράς των κυψελίδων που αναφέρθηκε προηγουμένως, κρίθηκε σκόπιμη μια φασματική ανάλυση ώστε να εντοπιστούν οι χαρακτηριστικές συχνότητες. Το χρονικό διάστημα 70 < t < 90 της περίπτωσης 1b επιλέχθηκε για την καταγραφή της χρονικής μεταβολής της κατακόρυφης ταχύτητας σε δύο οριζόντιες θέσεις (x = 0.50 και x = 0.95). Τα δεδομένα παρουσιάζονται στην Σχήμα 6.14a και για την ανάλυση της

169 6.4. ΜΕΤΑΓΕΝΕΣΤΕΡΟΙ ΧΡΟΝΟΙ - ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΘΕΡΜΟΚΛΙΝΗΣ 143 ταλαντούμενης μεταβολής εφαρμόστηκε ο διακριτός Ταχύς Μετασχηματισμός Fourier (Fase Fourier Transform ή FFT). Τα αποτελέσματα του FFT για κάθε θέση παρουσιάζονται στο Σχήμα 6.14b, όπου ο κάθετος άξονας είναι το κανονικοποιημένο πλάτος και ο οριζόντιος άξονας αντιστοιχεί στην συχνότητα. Το πρώτο συμπέρασμα είναι ότι για τη θέση κοντά στον τοίχο (x = 0.95) που βρίσκεται μέσα στην περιοχή που καταλαμβάνει η κυψελίδα Α του Σχήματος 6.12, προκύπτουν περισσότερες συχνότητες. Αναλυτικά οι πληροφορίες (συχνότητα, περίοδος) για κάθε κορυφή παρουσιάζονται στον Πίνακα 6.3. Γίνεται φανερό ότι οι κορυφές 1, 2 και 3 της θέσης x = 0.50 έχουν την ίδια συχνότητα με τις κορυφές 2, 4 και 6 της θέσης x = Συνεπώς οι συχνότητες των κορυφών 1, 3 και 5 της θέσης x = 0.95, αντιστοιχούν στα στάσιμα κύματα των στάσιμων δινών που δημιουργούνται κοντά στα κατακόρυφα τοιχώματα. Πίνακας 6.3: Οι συχνότητες και οι αντίστοιχες περίοδοι για τη φασματική ανάλυση του Σχήματος 6.14 x = 0.50 x = 0.95 Αριθμός κορυφής Συχν. Περίοδος (1/f) Συχν. Περίοδος (1/f) Σε αναζήτηση παρόμοιων φαινομένων στη βιβλιογραφία, αρχικά βρέθηκε ότι μορφές που μοιάζουν με κυψελίδες τύπου Rayleigh-Benard έχουν παρατηρηθεί από τον Norris (2012) στην αριθμητική μελέτη του για παρόμοια διάταξη, που περιελάμβανε εισροή θερμού ρευστού καθώς και πειραματικά από τον Schöpf and Stiller (1997). Στις παραπάνω μελέτες, ο κεντρικός άξονας των κυψελικών δομών συμπίπτει με την κατεύθυνση της εισερχόμενης ροής. Αντίθετα, στα αποτελέσματα που παρουσιάστηκαν εδώ, ο άξονας βρέθηκε να είναι κάθετος στην εισροή ενώ βρέθηκαν και έντονες χρονικές μεταβολές. Ωστόσο, η παρατηρηθείσα συμπεριφορά θα πρέπει να θεωρηθεί ως μια εκδήλωση εσωτερικών κυμάτων (internal waves) που παρατηρήθηκαν επίσης και σε δεξαμενές αποθήκευσης ψυχρού νερού από τους Homan and Soo (1997). Μάλιστα, οι συγγραφείς τα χαρακτήρισαν ειδικότερα ως μεμονωμένα κύματα (solitary waves), που είχαν μελετηθεί παλαιότερα από άλλους ερευνητές σε διαστρωματωμένα ρευστά με θερμοκλίνη και

170 144 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΚΦΟΡΤΙΣΗΣ οπτικοποιήθηκαν με πειραματικές μεθόδους, π.χ. Honji et al. (1995), ενώ υπάρχουν και πιο πρόσφατες σχετικές εργασίες όπως των Tarawneh and Homan (2008). Οι Davis and Acrivos (1967) περιέγραψαν τα χαρακτηριστικά των μεμονωμένων κυμάτων ως αυτά που αναπτύσσονται σε διαστρωματωμένο ρευστό με δύο στρώματα διαφορετικής πυκνότητας που συνδέονται μέσω μιας λεπτής ενδιάμεσης ζώνης και διαδίδονται κατά μήκος αυτής της ζώνης με τη βαθμίδα πυκνότητας χωρίς να της μεταβάλλουν το σχήμα. Η μορφή που εμφανίζουν εδώ οι περιοδικές μεταβολές που παρουσιάστηκαν στα Σχήματα 6.12 και 6.13, όπου επίσης υπάρχουν τα δύο στρώματα με ρευστό ομοιόμορφης θερμοκρασίας και μια λεπτή θερμοκλίνη ενδιάμεσα εμφανίζουν μεγάλη ομοιότητα με τα χαρακτηριστικά των μεμονωμένων κυμάτων που παρουσιάστηκαν από τους ερευνητές στις προαναφερθείσες εργασίες. Η παρούσα εργασία επιπλέον εντοπίζει και κάποια ιδιαίτερα χαρακτηριστικά αυτών των κυμάτων, που εκδηλώνονται με την μορφή οριζόντιας κίνησης δομών κυψελίδων, και με μια εντυπωσιακή αυτοσυντηρούμενη μορφή ταλάντωσης, όπως έδειξε η παρουσίαση των αποτελεσμάτων στην ανενεργή περίοδο της φόρτισης στην περίπτωση 1β. Επιπλέον, η παρατηρηθείσα κυψελική δομή εμφανίζει σημαντική ομοιότητα με τα μεμονωμένα κύματα μορφής κλειστής γραμμής ροής (closed streamline), όπως αυτά παρουσιάστηκαν από τους Honji et al. (1995). Επίσης, είναι σημαντικό το γεγονός ότι οι συμπεριφορές στάσιμων και οδεύοντων κυμάτων που εντοπίστηκαν στις ταλαντώσεις της παρούσας περίπτωσης αναφέρθηκαν και οι δύο στα ευρήματα της εργασίας των Homan and Soo (1997).

171 6.4. ΜΕΤΑΓΕΝΕΣΤΕΡΟΙ ΧΡΟΝΟΙ - ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΘΕΡΜΟΚΛΙΝΗΣ 145 Σχήμα 6.12: Λεπτομερής εικόνα από την περιοχή στο μέσο ύψος της δεξαμενής για την περίπτωσης 1b, όπου αναδεικνύεται η συμπεριφορά των στάσιμων κυμάτων (standing waves). Στιγμιαία πεδία στροβιλότητας στο ΧΥ επίπεδο, που εμφανίζουν την κυψελίδα Α κοντά στο τοίχωμα, να παραμένει στη θέση της, αλλά να αλλάζει το μέγεθος της, στις αδιάστατες χρονικές στιγμές (από πάνω προς τα κάτω): t = 80.00, t = 80.03, t = 80.06, t = 80.08, t = 80.11, t = 80.14

172 146 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΚΦΟΡΤΙΣΗΣ Σχήμα 6.13: Λεπτομερής εικόνα από την περιοχή στο μέσο ύψος της δεξαμενής για την περίπτωσης 1b, όπου αναδεικνύεται η συμπεριφορά των οδεύοντων κυμάτων (travelling waves). Στιγμιαία πεδία στροβιλότητας στο ΧΥ επίπεδο, που εμφανίζουν τις χαρακτηριστικές κυψελίδες Α',Β',C' να κινούνται αριστερά, κατά μήκος της γραμμής πλήρωσης, στις αδιάστατες χρονικές στιγμές (από πάνω προς τα κάτω): t = 84.29, t = 84.32, t = 84.35, t = 84.38, t = 84.40, t = 84.44