ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ. Διδάσκων: Παπασιώπη Νυμφοδώρα Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Ε.Μ.Π. Ενότητα 2 η : Αγωγή Μονοδιάστατη αγωγή

Transcript

1 ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ Διδάσκων: Παπασιώπη Νυμφοδώρα Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Ε.Μ.Π. Ενότητα η : Αγωγή Μονοδιάστατη αγωγή

2 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Ceative Cmmns. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.

3 . Αγωγή - Περιεχόμενα. ΑΓΩΓΗ. Γενική εξίσωση ενέργειας για την αγωγή.. Εξίσωση αγωγής θερμότητας σε επίπεδο τοίχωμα.. Εξίσωση αγωγής θερμότητας σε κύλινδρο μεγάλου μήκους..3 Εξίσωση αγωγής θερμότητας σε σφαίρα..4 Εξισώσεις μονοδιάστατης αγωγής (ανακεφαλαίωση). Συνοριακές και αρχικές συνθήκες για τις εξισώσεις αγωγής.3 Μονοδιάστατη αγωγή σε μόνιμη κατάσταση χωρίς παραγωγή θερμότητας.3. Επίπεδο τοίχωμα.3. Κυλινδρικό τοίχωμα.3.3 Σφαιρικό τοίχωμα.4 Μεταβαλλόμενη αγωγιμότητα Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -

4 . Γενική εξίσωση ενέργειας για την αγωγή (/9) Η ροή θερμότητας έχει κατεύθυνση, είναι δηλ. διανυσματικό μέγεθος. q n Η θερμοκρασία είναι βαθμωτό μέγεθος. Η κλίση της θερμοκρασίας (μεταβολή στο χώρο) είναι διάνυσμα. Σχήμα.. Η μεταφορά θερμότητας είναι διανυσματική ποσότητα. d dn n : κατεύθυνση μεταβολής της θερμοκρασίας και κατεύθυνση της ροής θερμότητας Το σύνολο των σημείων που έχουν την ίδια θερμοκρασία καθορίζουν μία ισοθερμοκρασιακή επιφάνεια. Η ροή θερμότητας και η κλίση της θερμοκρασίας είναι διανύσματα κάθετα στις ισοθερμοκρασιακές επιφάνειες. Νόμος Fuie q n Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας - n A n d dn

5 . Γενική εξίσωση ενέργειας για την αγωγή (/9) Σε σύστημα ορθογώνιων συντεταγμένων (καρτεσιανό σύστημα). Γενικό ισοζύγιο ενέργειας για αγωγή στον όγκο ελέγχου. q q y y q z z q C p t Σχήμα.. Στοιχειώδης όγκος σε ορθογώνιες συντεταγμένες. Θερμότητα που εξέρχεται από τον όγκο ελέγχου - θερμότητα που εισέρχεται Ρυθμός παραγωγής θερμότητας στο εσωτερικό του όγκου ελέγχου Ρυθμός μεταβολής ενεργειακού περιεχομένου στον όγκο ελέγχου Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -3

6 . Γενική εξίσωση ενέργειας για την αγωγή (3/9) Σε σύστημα ορθογώνιων συντεταγμένων (καρτεσιανό σύστημα). Γενικό ισοζύγιο ενέργειας για αγωγή στον όγκο ελέγχου. q q y y q z z q C p t y y y z z q C z p t Σχήμα.. Στοιχειώδης όγκος σε ορθογώνιες συντεταγμένες. Για λ σταθερό και α=λ/(ρc p ) y z q t Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -4

7 Σε σύστημα ορθογώνιων συντεταγμένων (καρτεσιανό σύστημα). t q z y Ειδικές περιπτώσεις Εξίσωση Fuie t z y Εξίσωση Pissn 0 q z y Εξίσωση Laplace 0 z y Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -5. Γενική εξίσωση ενέργειας για την αγωγή (4/9)

8 Τελεστής Laplace σε ορθογώνιες, κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες. t q z y t q z y z sin sin sin Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -6. Γενική εξίσωση ενέργειας για την αγωγή (5/9) Σχήμα.3. Οι διάφορες αποστάσεις και γωνίες για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου.

9 . Γενική εξίσωση ενέργειας για την αγωγή (6/9).. Εξίσωση αγωγής θερμότητας σε επίπεδο τοίχωμα (Μονοδιάστατη αγωγή σε ορθογωνικές συντεταγμένες) Μονοδιάστατη αγωγή Μεταβλητή αγωγιμότητα q C p t Σχήμα.4. Μονοδιάστατη αγωγή θερμότητας διαμέσου ενός στοιχείου όγκου σε έναν μεγάλο επίπεδο τοίχο. Πολυδιάστατη αγωγή Σταθερή αγωγιμότητα q y z t Μονοδιάστατη αγωγή Σταθερή αγωγιμότητα Μονοδιάστατη αγωγή Σταθερή αγωγιμότητα Χωρίς παραγωγή θερμότητας Μόνιμη κατάσταση q q t 0 0 d 0 d t Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -7

10 . Γενική εξίσωση ενέργειας για την αγωγή (7/9).. Εξίσωση αγωγής θερμότητας σε κύλινδρο μεγάλου μήκους (Μονοδιάστατη αγωγή σε κυλινδρικές συντεταγμένες) Μονοδιάστατη αγωγή Μεταβλητή αγωγιμότητα q C p t Σχήμα.5. Μονοδιάστατη αγωγή θερμότητας διαμέσου ενός στοιχείου όγκου σε έναν κύλινδρο με μεγάλο μήκος. Μονοδιάστατη αγωγή Σταθερή αγωγιμότητα q t Πολυδιάστατη αγωγή Σταθερή αγωγιμότητα q t z Μονοδιάστατη αγωγή Σταθερή αγωγιμότητα Χωρίς παραγωγή θερμότητας Μόνιμη κατάσταση d d q d d 0 0 t 0 Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -8

11 . Γενική εξίσωση ενέργειας για την αγωγή (8/9)..3 Εξίσωση αγωγής θερμότητας σε σφαίρα (Μονοδιάστατη αγωγή σε σφαιρικές συντεταγμένες) Μονοδιάστατη αγωγή Μεταβλητή αγωγιμότητα q C p t Σχήμα.6. Μονοδιάστατη αγωγή θερμότητας διαμέσου ενός στοιχείου όγκου σε μία σφαίρα. Πολυδιάστατη αγωγή Σταθερή αγωγιμότητα q... t... Μονοδιάστατη αγωγή Σταθερή αγωγιμότητα Μονοδιάστατη αγωγή Σταθερή αγωγιμότητα Χωρίς παραγωγή θερμότητας Μόνιμη κατάσταση d d q q t 0 0 d 0 d t Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -9

12 . Γενική εξίσωση ενέργειας για την αγωγή (9/9) Μονοδιάστατη αγωγή Σταθερή αγωγιμότητα Χωρίς παραγωγή θερμότητας Μόνιμη κατάσταση..4 Εξισώσεις μονοδιάστατης αγωγής (ανακεφαλαίωση) Πίνακας.. Συγκεντρωτικός Πίνακας Εξισώσεων μονοδιάστατης αγωγής Επίπεδο τοίχωμα Κύλινδρος Σφαίρα q C p t q C p t q C p t q t q t q t t t t d d 0 d d d 0 d d d d 0 d Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -0

13 . Συνοριακές και αρχικές συνθήκες για τις εξισώσεις αγωγής (/) Η επίλυση μιας εξίσωσης αγωγής έχει σαν αντικείμενο: (α) τον υπολογισμό της χωρικής κατανομής της θερμοκρασίας. (β) το υπολογισμό των μεταβολών της χωρικής κατανομής συναρτήσει του χρόνου (στην περίπτωση μη μόνιμης κατάστασης). Για την επίλυση πρέπει να ορισθούν οι κατάλληλες συνοριακές και αρχικές συνθήκες. Συνοριακές συνθήκες: αφορούν την κατανομή στο χώρο. Αρχικές συνθήκες: αφορούν τις χρονικές μεταβολές. Οι εξισώσεις αγωγής είναι: ης τάξης ως προς τον χώρο χρειάζονται συνοριακές συνθήκες για κάθε διάσταση οι συνοριακές συνθήκες μπορεί να περιλαμβάνουν (α) συγκεκριμένες τιμές της θερμοκρασίας θ, (β) τιμές της ης παραγώγου της θ ης τάξης ως προς τον χρόνο χρειάζεται αρχική συνθήκη, π.χ. η κατανομή της θερμοκρασίας θ(,y,z) σε t =0 Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -

14 . Συνοριακές και αρχικές συνθήκες για τις εξισώσεις αγωγής (/) Οι συνοριακές συνθήκες που συναντάμε συνήθως αφορούν: (α) καθορισμένη θερμοκρασία. (β) καθορισμένη ροή θερμότητας. (γ) καθορισμένες συνθήκες συναγωγής και ακτινοβολίας. Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -

15 .3 Μονοδιάστατη αγωγή σε μόνιμη κατάσταση, χωρίς παραγωγή θερμότητας (/7).3. Επίπεδο τοίχωμα Διαφορική εξίσωση: d d 0 d d c c c Οριακές συνθήκες: Σχήμα.7. Κατανομή θερμοκρασίας στο επίπεδο τοίχωμα. α) =0, θ=θ β) =L, θ=θ L και c c Ρυθμός ροής θερμότητας (νόμος Fuie): Ολοκληρωμένη εξίσωση: d d L q L ή L Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -3

16 .3 Μονοδιάστατη αγωγή σε μόνιμη κατάσταση, χωρίς παραγωγή θερμότητας (/7).3. Επίπεδο τοίχωμα Παράδειγμα. Συνοριακή συνθήκη ροής θερμότητας Σχήμα.8. Σχηματική απεικόνιση για το Παράδειγμα.. Δεδομένα: Πυθμένας κατσαρόλας: D=0cm, L=0.3cm. Υλικό: αλουμίνιο λ=37 W/(m C). Ηλεκτρική μονάδα θέρμανσης: 800W. Το 90% της θερμότητας που παράγεται από το στοιχείο θέρμανσης μεταφέρεται στην κατσαρόλα. Κατά τη μόνιμη λειτουργία, η θερμοκρασία της εσωτερικής επιφάνειας του πυθμένα είναι 0 C. Ζητούνται: Η θερμοκρασία στην εξωτερική επιφάνεια του πυθμένα. Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -4

17 .3 Μονοδιάστατη αγωγή σε μόνιμη κατάσταση, χωρίς παραγωγή θερμότητας (3/7).3. Επίπεδο τοίχωμα Παράδειγμα. Συνοριακή συνθήκη ροής θερμότητας Λύση: d d 0 d d c c c Σχήμα.8. Σχηματική απεικόνιση για το Παράδειγμα.. D=0cm, L=0.3cm λ=37 W/(m C) Ισχύς = 800 W (90% στην κατσαρόλα) Συνοριακές συνθήκες: α) =L, θ=θ =0 C β) q W 70 W q q q A D d q d d 96.6 d 0.70kW.9kW/ m / 4 (0.m) / 4 d q.9kw/ m d 0.37kW/(m C) C/ m Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -5

18 .3 Μονοδιάστατη αγωγή σε μόνιμη κατάσταση, χωρίς παραγωγή θερμότητας (4/7).3. Επίπεδο τοίχωμα Παράδειγμα. Συνοριακή συνθήκη ροής θερμότητας Λύση: d d 0 d d c c c Σχήμα.8. Σχηματική απεικόνιση για το Παράδειγμα.. D=0cm, L=0.3cm λ=37 W/(m C) Ισχύς = 800 W (90% στην κατσαρόλα) Συνοριακές συνθήκες: α) =L=0.003m, θ=θ =0 C d β) 96.6 C/ m d c c d d 96.6 C/ m cl 0( C) 96.6( C/ m) 0.003(m) 0 θ c 0.9 C 0.9 C Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -6

19 .3 Μονοδιάστατη αγωγή σε μόνιμη κατάσταση, χωρίς παραγωγή θερμότητας (5/7).3. Επίπεδο τοίχωμα Συνοριακή συνθήκη συναγωγής ή ακτινοβολίας. Αγωγή θερμότητας στην επιφάνεια προς μία διεύθυνση = Συναγωγή θερμότητας στην επιφάνεια προς την ίδια διεύθυνση Αγωγή θερμότητας στην επιφάνεια προς μία διεύθυνση = Ανταλλαγή ακτινοβολίας στην επιφάνεια προς την ίδια διεύθυνση Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -7

20 .3 Μονοδιάστατη αγωγή σε μόνιμη κατάσταση, χωρίς παραγωγή θερμότητας (6/7).3. Επίπεδο τοίχωμα Παράδειγμα. Συνοριακή συνθήκη συναγωγής Σχήμα.9. Σχηματική απεικόνιση για το Παράδειγμα.. Δεδομένα: Ηλεκτρικό σίδερο με αντίσταση θέρμανσης ισχύος 00W. Πλάκα βάσης: Α=300cm, L=0.5 cm, λ=5 W/(m C). Η εσωτερική επιφάνεια της πλάκας θερμαίνεται ομοιόμορφα με τις ηλεκτρικές αντιστάσεις του σίδερου. Από την εξωτερική επιφάνεια της πλάκας αποβάλλεται θερμότητα προς το περιβάλλον με συναγωγή. Συντελεστής συναγωγής, h=80 W/(m C). Θερμοκρασία περιβάλλοντος, θ π =0 C. Η απώλεια θερμότητας λόγω ακτινοβολίας θεωρείται αμελητέα. Ζητούνται: Οι θερμοκρασίες στην εσωτερική και εξωτερική επιφάνεια της πλάκας Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -8

21 .3 Μονοδιάστατη αγωγή σε μόνιμη κατάσταση, χωρίς παραγωγή θερμότητας (7/7) Σχήμα.9. Σχηματική απεικόνιση για το Παράδειγμα.. 00 W Α=300cm, L=0.5 cm λ=5 W/(m C) h=80 W/(m C), θ π =0 C Παράδειγμα. Συνοριακή συνθήκη συναγωγής ).3. Επίπεδο τοίχωμα Λύση: q d 0 d d d c Συνοριακές συνθήκες: α) =0, q 00W β) =L, hl q A d q d L c c q d d 00W 40000W / m 0.03m 40000W / m 5W /(m C) q h 667 C/ m 40000W / m 0 80W /(m C) q A C d d c L C/ m C Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -9

22 .3 Μονοδιάστατη αγωγή σε μόνιμη κατάσταση, χωρίς παραγωγή θερμότητας (8/7).3. Επίπεδο τοίχωμα Παράδειγμα. Συνοριακή συνθήκη συναγωγής Λύση: d 0 d d d c Συνοριακές συνθήκες: α) =0, q 00W d d β) =L, hl c c q q A d d Σχήμα.9. Σχηματική απεικόνιση για το Παράδειγμα.. 00 W Α=300cm, L=0.5 cm λ=5 W/(m C) h=80 W/(m C), θ π =0 C c c 667 C/ m L 50 C (L) cl 50( C) 667( C/ m) 0 c 533 C L 50 C 0.005(m) c 533 C Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -0

23 Ψυχρό ρευστό.3 Μονοδιάστατη αγωγή σε μόνιμη κατάσταση, χωρίς παραγωγή θερμότητας (9/7).3. Κυλινδρικό τοίχωμα Διαφορική εξίσωση: d d d d 0 d d Συνοριακές συνθήκες: c c ln c Θερμό ρευστό α) =, θ=θ c β) =, θ=θ ln( ) και c c ln Ολοκληρωμένη εξίσωση: Σχήμα.0. Αγωγή στο κυλινδρικό τοίχωμα, (α) φυσικό σύστημα, (β) κατανομή θερμοκρασίας. ( ln( ) ln( ) ) ή ln( ln( ) ) Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -

24 Ψυχρό ρευστό.3 Μονοδιάστατη αγωγή σε μόνιμη κατάσταση, χωρίς παραγωγή θερμότητας (0/7).3. Κυλινδρικό τοίχωμα Ρυθμός ροής θερμότητας (νόμος Fuie): Στο κυλινδρικό τοίχωμα ο ρυθμός ροής θερμότητας υπολογίζεται ευκολότερα εάν θεωρήσουμε το ισοζύγιο ενέργειας στον κατάλληλο στοιχειώδη όγκο. Θερμό ρευστό Σχήμα.. Αγωγή στο κυλινδρικό τοίχωμα, φυσικό σύστημα. ( ln( ) ln( ) ) Θεωρούμε κυλινδρικό δακτύλιο με : εσωτερική ακτίνα, εξωτερική ακτίνα +Δ μήκος L Μόνιμη κατάσταση dq Χωρίς παραγωγή θερμότητας q q ή 0 d q d d d L d q d θ Ld q L θ ) ln( Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -

25 .3 Μονοδιάστατη αγωγή σε μόνιμη κατάσταση, χωρίς παραγωγή θερμότητας (/7).3. Κυλινδρικό τοίχωμα Αντιστοίχηση εξισώσεων ρυθμού ροής θερμότητας: (α) σε επίπεδο και (β) σε κυλινδρικό τοίχωμα L q q L ln( ) q L ln( ) A A ln(a A ) q A lm Α lm μέση λογαριθμική τιμή των επιφανειών Σχήμα.0. Αγωγή στο κυλινδρικό τοίχωμα, (α) φυσικό σύστημα, (β) κατανομή θερμοκρασίας. Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -3

26 .3 Μονοδιάστατη αγωγή σε μόνιμη κατάσταση, χωρίς παραγωγή θερμότητας (/7).3. Κυλινδρικό τοίχωμα Παράδειγμα.3 Απώλεια θερμότητας διαμέσου κυλινδρικού σωλήνα Σχήμα.. Σχηματική απεικόνιση για το Παράδειγμα.3. Δεδομένα: Σωλήνας μήκους L=0 m, εσωτερικής ακτίνας =6cm και εξωτερικής ακτίνας = 8cm χρησιμοποιείται για μεταφορά υδρατμών. Η θερμική αγωγιμότητα του σωλήνα είναι λ=0 W/(m C). Η εσωτερική επιφάνεια διατηρείται σε μέση θερμοκρασία θ = 50 C και η εξωτερική σε 60 ο C. Ζητούνται: Η γενική σχέση για την κατανομή της θερμοκρασίας στο εσωτερικό του σωλήνα. Ο ρυθμός απώλειας θερμότητας από τους υδρατμούς διαμέσου του σωλήνα. Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -4

27 .3 Μονοδιάστατη αγωγή σε μόνιμη κατάσταση, χωρίς παραγωγή θερμότητας (3/7).3. Κυλινδρικό τοίχωμα Παράδειγμα.3 Απώλεια θερμότητας διαμέσου κυλινδρικού σωλήνα ln( ln( ) ) q A lm A lm A A ln(a A ) Λύση: ( ln( ) ln( ) ) 50( C) 90( C) ln( / 0.06) ln(0.08/ 0.06) Σχήμα.. Σχηματική απεικόνιση για το Παράδειγμα.3. L=0m, =6cm, = 8cm λ=0 W/(m C) θ = 50 C, θ = 60 C 50( C) 3.8( C) ln( ) Εξίσωση κατανομής θερμοκρασίας στο τοίχωμα του σωλήνα Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -5

28 .3 Μονοδιάστατη αγωγή σε μόνιμη κατάσταση, χωρίς παραγωγή θερμότητας (4/7).3. Κυλινδρικό τοίχωμα Παράδειγμα.3 Απώλεια θερμότητας διαμέσου κυλινδρικού σωλήνα ln( ln( ) ) q A lm A lm A A ln(a A ) Λύση: A A L m L m A lm m ln( ) 8.73 m Σχήμα.. Σχηματική απεικόνιση για το Παράδειγμα.3. L=0m, =6cm, = 8cm λ=0 W/(m C) θ = 50 C, θ = 60 C Ρυθμός απώλειας θερμότητας q W m m C q σταθερή q q A q L lm C m W q kw Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -6

29 .3 Μονοδιάστατη αγωγή σε μόνιμη κατάσταση, χωρίς παραγωγή θερμότητας (5/7).3.3 Σφαιρικό τοίχωμα Διαφορική εξίσωση: d d d 0 d d d c c c Σχήμα.3. Αγωγή σε σφαιρικό τοίχωμα. Συνοριακές συνθήκες: c α) =, θ=θ β) =, θ=θ c Ολοκληρωμένη εξίσωση: και Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -7

30 .3 Μονοδιάστατη αγωγή σε μόνιμη κατάσταση, χωρίς παραγωγή θερμότητας (6/7).3.3 Σφαιρικό τοίχωμα Ρυθμός ροής θερμότητας (νόμος Fuie): Σχήμα.3. Αγωγή σε σφαιρικό τοίχωμα. q q Θεωρούμε σφαιρικό δακτύλιο με : εσωτερική ακτίνα, εξωτερική ακτίνα +Δ Ισοζύγιο ενέργειας (μόνιμη κατάσταση, χωρίς παραγωγή θερμότητας): ή dq d 0 q d d 4 d θ q 4d q 4 θ d d σταθερό Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -8

31 .3 Μονοδιάστατη αγωγή σε μόνιμη κατάσταση, χωρίς παραγωγή θερμότητας (7/7).3.3 Σφαιρικό τοίχωμα Αντιστοίχηση εξισώσεων ρυθμού ροής θερμότητας: (α) σε επίπεδο και (β) κυλινδρικό και (γ) σε σφαιρικό τοίχωμα L q q A lm q A gm μέση λογαριθμική τιμή των επιφανειών A A Alm A ln(a A ) gm μέση γεωμετρική τιμή των επιφανειών Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -9

32 .4 Μεταβαλλόμενη αγωγιμότητα (/4) Κατά κανόνα ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας μεταβάλλεται με την θερμοκρασία. Όταν οι μεταβολές είναι σχετικά μικρές αγνοούνται. Όταν πρέπει να ληφθεί υπόψη η μεταβολή του λ με την θερμοκρασία, χρησιμοποιούνται συνήθως εμπειρικές σχέσεις που αντιστοιχούν σε πολυώνυμα α ή β βαθμού: ή 0 0 Για μονοδιάστατη αγωγή, μόνιμη κατάσταση, χωρίς πρόβλημα αντιμετωπίζεται εύκολα. παραγωγή ενέργειας το Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -30

33 .4 Μεταβαλλόμενη αγωγιμότητα (/4) Παράδειγμα: Αγωγή σε επίπεδο τοίχωμα με μεταβαλλόμενη αγωγιμότητα Με τις υποθέσεις: (α) μονοδιάστατη αγωγή, (β) μόνιμη κατάσταση, (γ) χωρίς παραγωγή ενέργειας, ισχύει: d A d Εάν q και Α είναι σταθερά και Ισοδύναμη σχέση: q m q d q A A 0 q A 0( ) m d d προκύπτει : 0 Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -3

34 .4 Μεταβαλλόμενη αγωγιμότητα (3/4) Παράδειγμα: Αγωγή σε επίπεδο τοίχωμα με μεταβαλλόμενη αγωγιμότητα θ =350 C λ=λ 0 (+αθ) θ =50 C Δεδομένα: Μπρούτζινη πλάκα ύψους Η=m, πλάτους W=0.7m και πάχους L=0. m Η μία πλευρά διατηρείται σε σταθερή θερμοκρασία θ = 350C και η άλλη σε θ = 50C Η θερμική αγωγιμότητα της πλάκας στο συγκεκριμένο θερμοκρασιακό διάστημα μεταβάλλεται γραμμικά σύμφωνα με τη σχέση: λ=λ 0 (+αθ) όπου λ 0 = 48 W/(m C) και α= C -. Σχήμα.4. Σχηματική απεικόνιση για το Παράδειγμα «Αγωγή σε επίπεδο τοίχωμα με μεταβαλλόμενη αγωγιμότητα». Ζητούνται: Ο ρυθμός αγωγής θερμότητας δια μέσου της πλάκας. Υποθέσεις: μόνιμη και μονοδιάστατη μεταφορά θερμότητας, αμελητέες επιδράσεις των άκρων. Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -3

35 .4 Μεταβαλλόμενη αγωγιμότητα (4/4) Παράδειγμα: Αγωγή σε επίπεδο τοίχωμα με μεταβαλλόμενη αγωγιμότητα θ =350 C λ=λ 0 (+αθ) θ =50 C q Λύση: m A m d m 48(W /(m C) m 56.8W /(m C) 4 ( C 0 (350 50)( ) C) Σχήμα.4. Σχηματική απεικόνιση για το Παράδειγμα «Αγωγή σε επίπεδο τοίχωμα με μεταβαλλόμενη αγωγιμότητα». A Δεδομένα: Η=m, W=0.7m, L=0. m, θ = 350C και θ = 50C λ=λ 0 (+αθ), λ 0 = 48 W/(m ο C) α= C - q m W 56.8( ) (0.7.0)(m m C q 5930W C ) ( ) 0. m Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας -33

36 Κατάλογος Αναφορών Σχημάτων (/) Σχήμα.. Η μεταφορά θερμότητας είναι διανυσματική ποσότητα., Cengel Y.A.: Μεταφορά Θερμότητας Μια Πρακτική Προσέγγιση, Εκδόσεις Τζιόλα, 005. Σχήμα.. Στοιχειώδης όγκος σε ορθογώνιες συντεταγμένες., Υλικό με μη προσδιορισμένη προέλευση. Σε περίπτωση που είστε ο κάτοχος του κύριου δικαιώματος επικοινωνήστε μαζί μας. Σχήμα.3. Οι διάφορες αποστάσεις και γωνίες για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου., Cengel Y.A.: Μεταφορά Θερμότητας Μια Πρακτική Προσέγγιση, Εκδόσεις Τζιόλα, 005. Σχήμα.4. Μονοδιάστατη αγωγή θερμότητας διαμέσου ενός στοιχείου όγκου σε έναν μεγάλο επίπεδο τοίχο., Cengel Y.A.: Μεταφορά Θερμότητας Μια Πρακτική Προσέγγιση, Εκδόσεις Τζιόλα, 005. Σχήμα.5. Μονοδιάστατη αγωγή θερμότητας διαμέσου ενός στοιχείου όγκου σε έναν κύλινδρο με μεγάλο μήκος., Cengel Y.A.: Μεταφορά Θερμότητας Μια Πρακτική Προσέγγιση, Εκδόσεις Τζιόλα, 005. Σχήμα.6. Μονοδιάστατη αγωγή θερμότητας διαμέσου ενός στοιχείου όγκου σε μία σφαίρα., Cengel Y.A.:Μεταφορά Θερμότητας Μια Πρακτική Προσέγγιση, Εκδόσεις Τζιόλα, 005. Σχήμα.7. Κατανομή θερμοκρασίας στο επίπεδο τοίχωμα., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά θερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 98. Σχήμα.8. Σχηματική απεικόνιση για το Παράδειγμα.., Cengel Y.A.: Μεταφορά Θερμότητας Μια Πρακτική Προσέγγιση, Εκδόσεις Τζιόλα, 005. Σχήμα.9. Σχηματική απεικόνιση για το Παράδειγμα.., Cengel Y.A.: Μεταφορά Θερμότητας Μια Πρακτική Προσέγγιση, Εκδόσεις Τζιόλα, 005. Σχήμα.0. Αγωγή στο κυλινδρικό τοίχωμα, (α) φυσικό σύστημα, (β) κατανομή θερμοκρασίας., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά θερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 98.

37 Κατάλογος Αναφορών Σχημάτων (/) Σχήμα.. Αγωγή στο κυλινδρικό τοίχωμα, φυσικό σύστημα., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά θερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 98. Σχήμα.. Σχηματική απεικόνιση για το Παράδειγμα.3., Cengel Y.A.: Μεταφορά Θερμότητας Μια Πρακτική Προσέγγιση, Εκδόσεις Τζιόλα, 005. Σχήμα.3. Αγωγή σε σφαιρικό τοίχωμα., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά θερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 98. Σχήμα.4. Σχηματική απεικόνιση για το Παράδειγμα «Αγωγή σε επίπεδο τοίχωμα με μεταβαλλόμενη αγωγιμότητα»., Cengel Y.A.: Μεταφορά Θερμότητας Μια Πρακτική Προσέγγιση, Εκδόσεις Τζιόλα, 005.

38 Κατάλογος Αναφορών Πινάκων Πίνακας.. Συγκεντρωτικός Πίνακας Εξισώσεων μονοδιάστατης αγωγής. Παπασιώπη Νυμφοδώρα, (Προσωπικό αρχείο).

39 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ε.Μ.Π.» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.