Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα
|
|
- Δάμαλις Μπότσαρης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα 8 Θεµελίωση έννοιας αορίστου ολοκληρώµατος Στο 7 0 Κεφάλαιο ορίσαµε την έννοια της αντιπαραγώγου µιας συνάρτησης f σ ένα κλειστό και φραγµένο διάστηµα Γενικότερα Ορισµός 8 Μια συνάρτηση F καλείται αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f σ ένα σύνολο Ε, όταν είναι παραγωγίσιµη στο Ε και ισχύει F () = f() για κάθε Ε Θεώρηµα 8 Αν η F είναι µια αντιπαράγωγος της f στο διάστηµα Ε (ανοικτό ή κλειστό, φραγµένο ή όχι), τότε το σύνολο των αντιπαραγώγων της f είναι της µορφής: {F+c, c = σταθερά} Ορισµός 8 Εστω ότι η συνάρτηση f είναι ορισµένη στο διάστηµα Ι και έστω F είναι µια αντιπαράγωγος της f(), τότε το σύνολο { F + c, c = σταθερά} καλείται αόριστο ολοκλήρωµα της f και συµβολίζεται µε ηλαδή f ή µε f ( d ) f ( ) d = { F + c, c = σταθερα } Συνήθως γράφουµε για συντοµία f ( d ) = F( ) + c Προσοχή Ο τύπος f( ) d= F + c, c = σταθερα, δεν ισχύει στην περίπτωση που το Ε δεν είναι διάστηµα, πχ ο τύπος d = log + c δεν ισχύει στο σύνολο R-{0} Πίνακας βασικών αορίστων ολοκληρωµάτων n+ n d= + c, n, n Z, n + d = log + c, 0,
2 3 a+ a d= + c, a, a R, a + a 4 ad= + c, a> 0, log a 5 ed= e + c, 6 cos d = sin + c 7 sin d = cos + c, 8 d = εφ + c, cos 9 d = Arcsin + c, 0 d = τοξεφ + c + Θεώρηµα 8 Αν η f είναι συνεχής στο Ε, τότε η f είναι αντιπαραγωγίσιµη στο Ε Πρόταση 8 Αν οι συναρτήσεις f και g είναι αντιπαραγωγίσιµες στο Ε και αν c είναι µία σταθερά, τότε ( f ( ) + g( )) d = f( ) d+ g( ) d Aπόδειξη cf ( ) d = c f ( ) d ( f ( d ) + gd ( ) ) = ( f ( d ) ) + ( gd ( ) ) = f ( ) + g( ) Οµοια αποδεικνύεται και η άλλη σχέση 30
3 8 Μέθοδοι ολοκλήρωσης Η µέθοδος της αντικατάστασης Θεώρηµα 83 Εστω µία συνάρτηση f ορισµένη και συνεχής σ ένα διάστηµα Ε R, φ µια συνάρτηση µε συνεχή παράγωγο σ ένα διάστηµα J µε φ(j) Ε και F µια αντιπαράγωγος της f στο Ε, τότε f ( d ) f( ϕ( t)) ϕ = ( tdt ) = F( ϕ( t)) + c Παραδείγµατα Να υπολογιστεί το cos (5 ) d Λύση Θέτω y = 5, (kπ/0), dy = 5d, άρα σε διαστήµατα της µορφής (- kπ/0,kπ/0) k Z έχουµε: tan(5 ) d = dy = tan y + c = + c cos (5 ) 5 cos y 5 5 Να υπολογιστεί το d 3 Λύση Θέτω y = 3- ( < 5), ydy = -d, άρα σε κάθε διάστηµα που περιέχεται στο (-,5), έχουµε: d = dy = ln y + c = ln 3 + c 3 y y 3 Να υπολογιστεί το 4 d Λύση Θέτω = siny ( ), εποµένως d = cosy dy και στο διάστηµα [-,] έχουµε: 4 d = cos ydy = (+ cos( )) = Arcsin y dy sin Arcsin + + c sin( y) = y+ + c 4 Να υπολογιστεί το sin cos d Λύση Θέτω y = sin, dy = cos d, άρα: 3
4 3 3 y sin sin cos d = y dy = + c= + c Να υπολογιστεί το ln d Λύση Θέτω y = ln ( > 0), dy = (/)d, άρα για κάθε διάστηµα που περιέχεται στο (0,+ ) έχουµε: ln y (ln ) d = ydy = + c = + c 6 Να υπολογιστεί το e sin( e ) d Λύση Θέτω y = e, dy = e d, άρα: e sin( e ) d = sin( y) dy = cos( e ) + c Σηµείωση Ολοκληρώµατα που περιέχουν συναρτήσεις της µορφής: a, a, + a λύνονται µε αντικατάσταση = asiny, = αcoshy και = atany αντίστοιχα Oλοκλήρωση κατά παράγοντες Θεώρηµα 84 Εάν οι συναρτήσεις f,g έχουν συνεχείς παραγώγους στο διάστηµα Ε R, τότε Παραδείγµατα f ( ) g( d ) = f ( ) g( ) f ( ) g ( d ) Να υπολογιστεί το ln(+ )d Λύση ln( + )d = ln( + ) d + = ln( + ) d d = ln( + ) ln( + ) + c +, 3
5 όπου η παραπάνω σχέση ισχύει σε κάθε διάστηµα που περιέχεται στο (-,+ ) Να υπολογιστεί το ed Λύση ed= e ed= e e + ed = + + e e e c 3 Να υπολογιστεί το I = ecosd Λύση I = = e + e cosd cos e sind = + + e cos e sin e cos c e (cos + sin ) = e (cos + sin ) I + c I = + c d 4 Να υπολογιστεί το I n =, n N n ( + a ) Λύση d = +n d n n n+ ( + a ) ( + a ) ( + a ) = + n d - na d n n n+ ( + a ) ( + a ) ( + a ) άρα = +ni -na I n ( + a ) n n+ na I = - I -n( +a ) -n n n n+ Χρήσιµες Παρατηρήσεις (α) Σε ολοκληρώµατα που περιέχουν την εκθετική συνάρτηση, ξεκινούµε την παραγοντική ολοκλήρωση πάντοτε από την παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης (β) Σε ολοκληρώµατα που περιέχουν τη λογαριθµική συνάρτηση, ξεκινούµε την παραγοντική ολοκλήρωση από την αντιπαράγωγο της άλλης συνάρτησης (γ) Σε ολοκληρώµατα που περιέχουν γινόµενα ηµιτόνων ή συνηµιτόνων µε πολυώνυµα, ξεκινούµε από την αντιπαράγωγο του ηµιτόνου ή του συνηµιτόνου Πολλές φορές η εύρεση τέτοιων ολοκληρωµάτων ανάγεται στον υπολογισµό ενός αναγωγικού τύπου 33
6 83 Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Ορισµός 83 Α Το πηλίκο δύο αλγεβρικών πολυωνύµων m Pm( ) b0 + b + + bm f( ) = = n Q ( ) a + a + + a, n 0 n όπου α n,b m 0, m 0, n καλείται ρητή συνάρτηση ή ρητό κλάσµα Ορισµός 84 Ρητές συναρτήσεις της µορφής A A+B,, k N k k ( - a) ( + p + q) *, καλούνται µερικά κλάσµατα Θεώρηµα 85 Kάθε πολυώνυµο µε πραγµατικούς συντελεστές µπορεί να γραφεί σαν γινόµενο πρωτοβάθµιων διωνύµων και δευτεροβάθµιων τριωνύµων µε πραγµατικούς συντελεστές (σαφώς είναι δυνατόν να έχουµε επανάληψη των παραγόντων) Τα τριώνυµα µπορούµε να δεχθούµε ότι δεν έχουν πραγµατικές ρίζες διότι αλλιώς θα αναλύονταν σε γινόµενα πρωτοβάθµιων παραγόντων Εργαζόµαστε ως εξής: (α) αν ο βαθµός του αριθµητή είναι µεγαλύτερος από το βαθµό του παρονοµαστή (m > n) διαιρούµε το P m () µε το Q n () και έχουµε P () R () Q() Q(), m k f()= = S()+, k < n n n όπου S() είναι το πηλίκο της διαίρεσης, βαθµού m-n (β) Αναλύουµε το πολυώνυµο Q n () σε γινόµενο πρωτοβάθµιων διωνύµων και δευτεροβάθµιων τριωνύµων (όπως στο Θεώρηµα 85), δηλαδή Q ( ) = ( a ) ( a ) ( + p + q ) n k k i m i m ( + p ) j j+ qj, όπου k ++ k i+ (m +m j )= n, p j - 4q j < 0 (γ) Αναλύουµε το κλάσµα Rk ( ) Q ( ) n σε µερικά κλάσµατα ως εξής: για κάθε παράγοντα της µορφής ( a) k στην ανάλυση του Q n () παίρνουµε το άθροισµα των κλασµάτων: 34
7 A A Ak + + +, k ( a) ( a) ( a) όπου A, A,, A k είναι σταθερές που θα προσδιοριστούν Οµοια, για κάθε παράγοντα της µορφής άθροισµα των κλασµάτων: + + στην ανάλυση του Q n (), παίρνουµε το ( p q) k A + B A + B A k + Bk k ( + p+ q) ( + p+ q) ( + p+ q) Oι συντελεστές υπολογίζονται από τη λύση ενός συστήµατος εξισώσεων το οποίο προκύπτει από την εξίσωση: Rk ( ) Q ( ) = A A,, k k ( a ) + + ( a ) + n A + B A + B ( p q ) ( p q ) j, j, jm, j jm, j m j + j + j + j + j Aρα, το ολοκλήρωµα ρητής συνάρτησης µπορεί να παρασταθεί σαν άθροισµα ενός ολοκληρώµατος πολυωνύµου και ολοκληρωµάτων των παρακάτω τύπων: A A (α) d = + c, k >, k k ( a) ( k ) ( a) A (β) d = A ln a + c, ( a) (γ) A + B d n p < ( + p+ q) n,, -4q 0 Αρκεί λοιπόν να υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα (γ) A + B A + B I = d = d n ( ) n + p+ q p 4q p Θέτουµε p 4q p + = t, οπότε το ολοκλήρωµα γίνεται: at + b a b I = dt = + c + dt t n t t n n n ( + ) ( ) ( + ) ( + ) b Eστω In = dt n ( t + ) 35
8 b Για n = έχουµε I = dt = bτοξεφt + c ( t + ) t + t Για n έχουµε In = b dt = b dt n n ( t + ) ( t + ) t = b dt-b dt n- n- (t +) (t +) b -n bt(t+) =In- - td(t +) =In- - (- n) (- n) -n b b bt(t+) + dt= + I - -n n- (- n) (t +) (- n) (- n) -n, οπότε, b bt(t+) I n = + In- - (- n) (- n) -n Παραδείγµατα Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα ( + ) 4 d Λύση 4 3 A B E + + Γ + +Ζ = ( + ) ( + ) ( + ) Από την τελευταία µετά την απαλοιφή των παρονοµαστών και την αναγωγή οµοίων όρων καταλήγουµε στη µορφή = ( A+ E) + ( B+Ζ ) + ( A+Γ+ E) ( B ) A B, + + +Ζ + + οπότε εξισώνοντας τους συντελεστές των οµοιοβάθµιων όρων έχουµε και λύνοντας το σύστηµα έχουµε: Το ολοκλήρωµα λοιπόν παίρνει τη µορφή Α = Ε = Ζ = Γ = 0, Β = = ( + ) ( + ) ( + ) d 4 d = d + d + Αλλά: d = d d ( + ) ( + ) ( + ) 36
9 = Arc tan + d ( + ) ( + ) = Arc tan + Arc tan + c ( + ) Τελικά: d = ( + ) 4 + Arc tan + Arc tan + c ( + ) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα d 3+ Λύση Προφανώς, από το σχήµα Horner έχουµε: = ( )( + ) = ( ) ( + ), άρα A B = Γ 3 + ( ) ( + ) Mε απαλοιφή των παρονοµαστών και αναγωγή οµοίων όρων καταλήγουµε στη µορφή = ( ) ( ) Το ολοκλήρωµα λοιπόν παίρνει τη µορφή d = ln + 3ln + + c 3 3+ ( ) 3 Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα d Λύση 0 d = + + ( + ) + 9 d Θέτω + = 3y, d = 3dy, άρα: + d = dy = Arc tan + c ( ) 9 3 y
10 84 Oλοκληρώµατα άρρητων συναρτήσεων που ανάγονται σε ολοκληρώµατα ρητών συναρτήσεων Ι Ολοκληρώµατα της µορφής r r r R (,,, k ) d όπου r i ρητοί και R µια ρητή συνάρτηση k-µεταβλητών Εστω ότι r i = p i /q i µε p i,q i Z q i >0 και έστω n = ΕΚΠ{q,q,,q k } Mε αντικατάσταση = t n παίρνουµε r r r R (,,, k ) d = nr nr (,,, nr n R t t t k ) nt dt R () tdt, = όπου R (t) είναι µια ρητή συνάρτηση του t Παράδειγµα Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα 3 d + Λύση Στην περίπτωση αυτή είναι q = και q = 3, άρα ΕΚΠ = 6, οπότε θέτω = t 6, d = 6t 5 dt, oπότε: 5 d t dt t dt t t t + = + = + dt = + = t + 6 ( t ) dt 4 3t t 4ln t c ΙΙ Ολοκληρώµατα της µορφής: (, a + R b n ) d c + d όπου R είναι µια ρητή συνάρτηση µιας µεταβλητής ορισµένη καταλλήλως Με την αντικατάσταση a + b n = t c + d, το ολοκλήρωµα ανάγεται σε ολοκλήρωµα ρητής συνάρτησης του t 38
11 Παράδειγµα Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα d + Λύση Θέτουµε 4 = t = t, d = t, + + t ( + t ) οπότε d t = 4 dt + ( t )( t + ) Αλλά: t A B Ct+ D = + +, ( t )( t + ) t t+ t + οπότε µετά από πράξεις βρίσκουµε Α = /4, Β = -/4, C = 0, D = / και το ολοκλήρωµα γίνεται t 4 dt = dt dt + dt ( t )( t + ) ( t ) ( t+ ) t + t = ln + Arctan t t + ΙΙΙ Ολοκληρώµατα της µορφής n n (, +,, k + ) R a b a b d όπου R είναι µια ρητή συνάρτηση Eστω n = ΕΚΠ{n,n,,n k } Τότε για κάθε i n υπάρχει m i Ν έτσι ώστε n i m i = n Κάνοντας την αντικατάσταση n a + b = t έχουµε: mi n n i n- ( ) ni m n a + b = a + b = t, = ( t b), d = t dt, a a και η εύρεση του ολοκληρώµατος ανάγεται στον υπολογισµό ολοκληρώµατος ρητής συνάρτησης Παράδειγµα Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα ( + ) d ( + )
12 Λύση Θέτουµε t t, d=tdt + = + =, οπότε ( + ) d t( t ) dt ( t ) dt = = ( + ) + + t + t t+ = dt 4 dt = t 4ln t + + c t + ΙV Ολοκληρώµατα της µορφής + + R (, a b cd ) όπου R είναι ρητή συνάρτηση του t H εύρεση τέτοιων ολοκληρωµάτων ανάγεται στον υπολογισµό ολοκληρωµάτων ρητών συναρτήσεων όταν χρησιµοποιήσουµε τους παρακάτω µετασχηµατισµούς του Εuler: (a) αν a>0 θέτουµε a + b + c = t ± a (b) αν c>0 θέτουµε a + b + c = t ± c (c) αν b -4ac>0 και 0 είναι µια οποιαδήποτε ρίζα του τριωνύµου θέτουµε + + = ( ) a b c t 0 Με τους παραπάνω µετασχηµατισµούς έχουµε = ρητή συνάρτηση του t, d = ρητή συνάρτηση του t και a + b + c =ρητή συνάρτηση του t, άρα η εύρεση του ολοκληρώµατος ανάγεται στον υπολογισµό ολοκληρώµατος ρητής συνάρτησης V Ολοκληρώµατα της µορφής p ( ) p ( ) I = d, J= d a + b + c ( ρ) k a + b + c, όπου p() είναι πολυώνυµο βαθµού n Εστω n A I = ( A AN ) a + b+ c d a + b + c Παραγωγίζοντας την παραπάνω παίρνουµε p ( ) + + a b c = (( n ) A + + A ) a + b + c n 0 N n a + b A + ( A AN ) + a + b + c a + b + c 40
13 Εξισώνοντας τους συντελεστές των οµοιοβάθµιων δυνάµεων του παίρνουµε ένα σύστηµα από το οποίο υπολογίζουµε τους συντελεστές Α,Α i To ολοκλήρωµα J µε το µετασχηµατισµό ρ = t ανάγεται σε ολοκλήρωµα της µορφής Ι VII Ολοκληρώµατα της µορφής R a d R a + d (, ), (, ) R a d 3 (, ) η µέθοδος Τα παραπάνω ολοκληρώµατα µπορούν µε χρήση των µετασχηµατισµών Euler να αναχθούν σε ολοκληρώµατα ρητών συναρτήσεων η µέθοδος Για τις µορφές,, 3 έχουµε αντίστοιχα τις αντικαταστάσεις = asint ή = acost = a tant ή = a sinht 3 a = sin t ή a = cost ή = acο sht VIII ιωνυµικά ολοκληρώµατα Εχουν τη µορφή p m n ( a + b ) d, m,n,p Q Υπολογίζονται µόνον όταν ένας από τους τρεις αριθµούς είναι ακέραιος p, m + m +, + p n n (α) όταν ο p είναι ακέραιος κάνουµε την αντικατάσταση = t r, όπου r = ΕΚΠ{m,n} (β) όταν ο (m+)/n είναι ακέραιος κάνουµε την αντικατάσταση t s = α + b n, όπου s o παρονοµαστής του p (γ) όταν ο p+(m+)/n είναι ακέραιος κάνουµε την αντικατάσταση t s = α + b -n, όπου s o παρονοµαστής του p IX Ολοκληρώµατα τριγωνοµετρικών συναρτήσεων Ι Μορφή: R(sin,cos ) d, όπου R είναι µια ρητή συνάρτηση των συναρτήσεων sin και cos 4
14 Γνωστές µορφές: tan d = ln cos + c, cot d = ln sin + c, π d = ln tan + c, d = ln tan + + c, sin cos 4 sin d = sin( ) + c 4 Θέτουµε t = tan, -π < < π, οπότε = tan t, και d = dt + t Με χρήση των γνωστών τύπων της τριγωνοµετρίας: tan( / ) tan ( / ) sin =, cos =, + tan( /) + tan ( /) t t έχουµε: sin =, cos =, + t + t άρα η εύρεση του ολοκληρώµατος ανάγεται στην εύρεση ολοκληρώµατος ρητής συνάρτησης ΙΙ Ολοκληρώµατα της µορφής sinλ sin µ d, cosλ cos µ d, sinλ cos µ d Χρησιµοποιούµε τους γνωστούς τύπους της τριγωνοµετρίας: sin λ sin µ = (cos(( µ λ ) ) cos(( µ + λ) )) cos λ cos µ = (cos(( µ + λ ) ) + cos(( µ λ) )) ΙΙI Ολοκληρώµατα της µορφής sin λ cos µ = (sin(( µ + λ ) ) + sin(( µ + λ) )) m n sin cos d, m,n Z (α) Εστω m+n = περιττός Τότε ένας από τους m,n είναι περιττός Εστω m = k+ και cos = t, τότε παίρνουµε: 4
15 I = d= d m n k n mn, sin cos ( cos ) cos sin = = k n k n ( cos ) cos d cos ( t ) t dt, δηλαδή αρκεί να υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα της πολυωνυµικής συνάρτησης (β) Εστω m+n = άρτιος Τότε οι m,n είναι άρτιοι ή περιττοί Αν οι m,n είναι περιττοί έχουµε την προηγούµενη περίπτωση Εστω m = k και n = l τότε: m n cos( ) + cos( ) sin cos =, και ο υπολογισµός του ολοκληρώµατος ανάγεται σε ολοκλήρωµα της µορφής p q sin cos d, 0 p + q (m + n) Με αντικατάσταση = t αναγόµαστε στην παραπάνω περίπτωση X Ολοκληρώµατα της µορφής R(tan h) d, R(sinh,cos h) d, 3 R(sin h,cosh, tan h) d η µέθοδος Με αντικατάσταση του tanh(/) = t, έχουµε: k l t t t sin h =, cosh =, tanh =, d = dt + t + t + t t και η εύρεση των παραπάνω ανάγεται στην εύρεση ολοκληρωµάτων ρητών συναρτήσεων η µέθοδος Με αντικατάσταση του e = t, έχουµε: t sin h = t, cosh = t +, tanh =, d = dt t t t + t και η εύρεση των παραπάνω ανάγεται στην εύρεση ολοκληρωµάτων ρητών συναρτήσεων 43
16 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 44
17 45
18 46
19 47
20 48
21 49
22 50
23 5
24 5
25 53
26 54
27 55
28 56
29 57
30 58
31 59
32 Να υπολογιστούν τα ολοκληρώµατα ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ /3 (Arctan) d d d,,, + a a d d d, tand,, + a sin cos d, a d, sin e d lnd, Arctand, cosd, e sin3d, Arcsind,, a 0 d + a > d, d, d ( )
ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ
ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο Α. Ένα από τα βασικότερα προβλήματα της Μαθηματικής Ανάλυσης είναι ο προσδιορισμός μιας συνάρτησης F/ A με F = f για κάθε
Διαβάστε περισσότεραόπου είναι γνήσια. ρητή συνάρτηση (δηλαδή ο βαθµός του πολυωνύµου υ ( x)
ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στην παράγραφο αυτή θα εξετάσουµε την ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων, δηλαδή συναρτήσεων της µορφής p f ( ( q(, όπου p( και q ( είναι πολυώνυµα µιας µεταβλητής του µε συντελεστές
Διαβάστε περισσότερα13 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemann
3 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemnn 3. Μέθοδος αντικατάστασης ή αλλαγής µεταβλητής Πρόταση 3.. Εστω ότι η u = f (y) είναι συνεχής στο διάστηµα I, η y = g() έχει συνεχή παράγωγο στο διάστηµα Ι και
Διαβάστε περισσότερα4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-
Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει
Διαβάστε περισσότερα2x 2 + x + 1 (x + 3)(x 1) 2 dx, 2x (x + 1) dx. b x 1 + x dx x x 2 1, 6u 5 u 3 + u 2 du = 6u 3 u + 1 du. = u du.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 8: Τεχνικές ολοκλήρωσης Α Οµάδα. Υπολογίστε τα ακόλουθα ολοκληρώµατα : + + d, + + ( + 3)( ) d, 3 + 3 + 3 + + + d. Υπόδειξη. (α) Γράφουµε + + d
Διαβάστε περισσότεραΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ
ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων
Διαβάστε περισσότεραΑόριστο Ολοκλήρωµα ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου
Αόριστο Ολοκλήρωµα ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Ακ. Ετος 2018-2019 Θεωρούµε µια συνάρτηση f : I R, όπου το I είναι διάστηµα του R. Ορισµός Μια συνάρτηση F : I R λέγεται αντιπαράγωγος ή αρχική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΝα γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των ακόλουθων συναρτήσεων σε χαρτί µιλιµετρέ αφού πρώτα φτιάξετε τους πίνακες των τιµών τους.
Άσκηση. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των ακόλουθων συναρτήσεων σε χαρτί µιλιµετρέ αφού πρώτα φτιάξετε τους πίνακες των τιµών τους. α) y, β) y, γ) y, δ) y, ε) y ( ) Να προσδιοριστούν γραφικά και µε
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ MSc PROGRAM ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Ι Ι ΚΟΥΓΙΑΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΑΝΤΙΡΡΙΟ 0-0 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Το
Διαβάστε περισσότεραΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ. Παρατήρηση: Για να εφαρμόσουμε τον τύπο πρέπει μία από τις δύο συναρτήσεις να είναι ή να την γράψουμε υπό μορφή παραγώγου
ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Β. Ολοκλήρωση κατά παράγοντες Γενικά η μέθοδος αυτή εφαρμόζεται όταν έχουμε γινόμενο δύο συναρτήσεων Εκφράζεται με τον τύπο της παραγοντικής ολοκλήρωσης: f()g ()d= f()g() - f ()g()d
Διαβάστε περισσότεραf (x) dx = f (x) + c a f (x) f (x) cos 2 (f (x)) f (x) dx = tan(f (x)) + c 1 sin 2 (f (x)) f (x) dx = cot(f (x)) + c e f (x) f (x) dx = e f (x) + c
Ασκήσεις στα Μαθηματικά Ι Τμήμα Χημ. Μηχανικών ΑΠΘ Μουτάφη Ευαγγελία Θεσσαλονίκη 208-209 Ορισμοί ΤΟ ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Αντιπαράγωγος συνάρτησης Εστω συνάρτηση f : R, R διάστημα. Αν για τη συνάρτηση F :
Διαβάστε περισσότεραΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
ΤΥΠΛΓΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Βασικά σύνολα Σύνολο φυσικών: Í {,,,L} Σύνολο ακεραίων: Æ { L,,,,,, L} Σύνολο ρητών: Q / Æ, ë Æ * ë Άρρητος λέγεται ένας αριθµός που δεν µπορεί να γραφτεί µε τη µορφή κλάσµατος ακεραίων.
Διαβάστε περισσότεραΚΕΝΤΡΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΕΝΤΡΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Γ Ιωσηφίδης, Μαθηµατικός, Βέροια Ορισµός Ένα σηµείο Κ λέγεται κέντρο συµµετρίας (συντοµογρ ΚΣ) ενός σχήµατος (Σ), αν το συµµετρικό του (Σ) ως προς το Κ ταυτίζεται µε το (Σ)
Διαβάστε περισσότεραΓιάνναρος Μιχάλης. 9x 2 t 2 7dx 3) 1 x 3. x 4 1 x 2 dx. 10x. x 2 x dx. 1 + x 2. cos 2 xdx. 1) tan xdx 2) cot xdx 3) cos 3 xdx.
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ασκηση. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: ( ) 6e ) ( + ) ) 3) ( + ) 3 + + ( 5) 3 5 ) + 3 6) + 3 ( + ) Ασκηση. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: ) cos sin ) cos ( 3) cos sin
Διαβάστε περισσότεραΔηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής
D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί
Διαβάστε περισσότεραΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE ΚΑΙ ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ KAI ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ O μετασχηματισμός lc-ο αντίστροφος μετασχηματισμός
Διαβάστε περισσότεραΟλοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό αποτελεί το «πέρασμα» από το Διαφορικό στον Ολοκληρωτικό Λογισμό Η θεμελιώδης έννοια, για το σκοπό αυτό, είναι η αντιπαράγωγος ή αόριστο
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:
Διαβάστε περισσότεραΟλοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης Ο λογισμός είναι λογικά εσφαλμένος, ωστόσο δίνει σωστά αποτελέσματα, γιατί τα λάθη αλληλοεξουδετερώνονται Αφού κατανοήσουμε το πνεύμα της απειροελάχιστης μεθόδου,
Διαβάστε περισσότεραΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x
o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - Α ΠΡΟΣΗΜΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ Μέχρι τώρα ξέρουµε να βρίσκουµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου βαθµού ή δεύτερου βαθµού Για να βρούµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου f πρώτου f βαθµού µεγαλύτερου
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.
5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα
Διαβάστε περισσότεραΧΡΗΣΙΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΡΙΩΝ
ΧΡΗΣΙΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΡΙΩΝ Όταν lim f ( ) =l, εννοούµε ότι οι τιµές f () βρίσκονται όσο θέλουµε κοντά στο l, για τα τα οποία βρίσκονται αρκούντως κοντά στο. f () y f() y f() y 9 f ( ) =l f () l f() l
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Β)
ΜΑΘΗΜΑ 5 Κεφάλαιο o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποενότητα.: Κλασµατικές Εξισώσεις Θεµατικές Ενότητες:. Κλασµατικές Εξισώσεις (Μέρος Β). Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Β) ΟΡΙΣΜΟΙ Κλασµατική εξίσωση λέγεται
Διαβάστε περισσότεραΙγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5
Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο
Διαβάστε περισσότερα3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδοι ολοκλήρωσης. Ολοκληρωτικός Λογισμός μιας μεταβλητής Ι
Μέθοδοι ολοκλήρωσης Ολοκληρωτικός Λογισμός μιας μεταβλητής Ι (A) Μέθοδος Αντικατάστασης f ( g( )) g '( ) d = f ( u) du Βήμα 1 ο : Αντικαθιστώ u u=g() & du=g ()d ψάχνω το f(u)du Βήμα ο : Ολοκληρώνω ως προς
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,
ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση
Διαβάστε περισσότερα2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις
. Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (
Διαβάστε περισσότεραΑόριστο Ολοκλήρωμα Μέθοδοι Ολοκλήρωσης
8 Αόριστο Ολοκλήρωμα Μέθοδοι Ολοκλήρωσης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα Δ. Ονομάζουμε αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ, μια συνάρτηση F παραγωγίσιμη
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Παράγωγος
Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της
Διαβάστε περισσότερα12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες
Διαβάστε περισσότερα6 Εφαρµογές των παραγώγων στον υπολογισµό ορίων α- προσδιόριστων µορφών - Κανόνες L Hôpital
6 Εφαρµογές των παραγώγων στον υπολογισµό ορίων α- προσδιόριστων µορφών - Κανόνες L Hôpital Στην ενότητα αυτή ϑα µελετήσουµε εφαρµογές των παραγώγων συναρτήσεων στον υπολογισµό απροσδιόριστων µορφών ορίων
Διαβάστε περισσότεραΠαντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr
VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ
ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγµατικό µέρος φανταστικό µέρος u( x, y) x y = και v( x, y) = ( x + y xy), όπου = x+
Διαβάστε περισσότεραΒιοµαθηµατικά BIO-156
Βιοµαθηµατικά BIO-56 Ολοκλήρωση Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάµηνο, 08 lik@uo.gr Ορισµός αντιπαραγώγου ή παράγουσας ή αρχικής συνάρτησης Μια συνάρτηση F ονοµάζεται αντιπαράγωγος της σε ένα διάστηµα Ι, αν F' για
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ)
ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ) A. Εύρεση Πεδίου Τιµών Συναρτήσεων ίνεται η συνάρτηση h, h ( ) = 4+, [ 1,4] Να βρεθεί το πεδίο τιµών της συνάρτησης. Η λογική για
Διαβάστε περισσότεραΠολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές
0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...
KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()
Διαβάστε περισσότερα(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier
Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier CLR, κεφάλαιο 3 Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier
Διαβάστε περισσότεραΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Βασικά σύνολα Í,,,L Σύνολο φυσικών: { } Σύνολο ακεραίων: Æ { L,,,,,, L} Σύνολο ρητών: Q ê / ê Æ, ë Æ * ë Άρρητος λέγεται ένας αριθµός που δεν µπορεί να γραφτεί
Διαβάστε περισσότεραΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:
ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται
Διαβάστε περισσότεραΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ.
ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. 4598 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Μεθοδολογία Λυμένα
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ . ΔΙΑΒΑΖΩ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ Σελ.303: Ορισμός (Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα) Σελ.304: Απόδειξη του
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 1. i) ============================================================== Πρέπει αρχικά να είναι συνεχής στο x = 1: lim. lim. 2 x + x 2.
http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις 4ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 008-009: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε
Διαβάστε περισσότεραΠολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις
4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α
Διαβάστε περισσότεραf (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ
KΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ορισµοί Ας θεωρήσουµε δύο σύνολα Α, Β Μία απεικόνιση f : A B καλείται συνάρτηση αν σε κάθε στοιχείο A αντιστοιχεί ένα και µόνο ένα στοιχείο y B Το σύνολο Α καλείται πεδίο
Διαβάστε περισσότεραA2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ
A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία
Διαβάστε περισσότερα12 Το αόριστο ολοκλήρωµα
Το αόριστο ολοκλήρωµα. Αντιπαράγωγοι Εστω ότι η y = f ( ορίζεται στο διάστηµα I, οποιουδήποτε τύπου. Αν µια δεύτερη συνάρτηση y = F(, που ορίζεται στο ίδιο διάστηµα I, έχει την ιδιότητα F ( = f (, για
Διαβάστε περισσότερα6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet).
6 Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Diichlet) Aρµονικές συναρτήσεις Ορισµός 61 Εστω E είναι ανοικτό σύνολο και f : E είναι µια πραγµατική συνάρτηση δύο πραγµατικών µεταβλητών και y Θα λέµε
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση
8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ανάπτυξη πολύπλοκων υπολογιστικών συστηµάτων, έκανε επιτακτική την ανάγκη οργάνωσης αριθµητικών µεθόδων, για την επίλυση πολύπλοκων προβληµάτων επιστηµονικών εφαρµογών.
Διαβάστε περισσότερα( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a
7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση)
ΜΑΣ: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ:. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα: 5 d d csc cot d (β) Απάντησεις: C (β) ln C C. Να υπολογιστούν τα ορισμένα ολοκληρώματα: d csc( ) C C d d (β) /5
Διαβάστε περισσότερα5 Παράγωγος συνάρτησης
5 Παράγωγος συνάρτησης Ας ϑεωρήσουµε µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το [a, b]. Για κάθε 0 [a, b] ορίζουµε µια νέα συνάρτηση µε τύπο µε πεδίο ορισµού D(Π 0 ) = D(f ) { 0 }. Την συνάρτηση Π 0 Π 0 () =
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 - ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση. (6 µον.) Ελέγξτε ποια από τα επόµενα σύνολα είναι διανυσµατικοί χώροι
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ 5 Πολυωνυµική παρεµβολή Εστω f πραγµατική συνάρτηση της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x ) σε + σηµεία x = του πεδίου ορισµού της Το πρόβληµα εύρεσης µιας συνάρτησης φ (από
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!
ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info
Διαβάστε περισσότερα5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές.
5 Σειρές Taylor και Lauret Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές Σειρές Taylor και Lauret Θεωρούµε µια δυναµοσειρά ( ) a a µε κέντρο δοθέν σηµείο Υπενθυµίζουµε ότι για µια τέτοια δυναµοσειρά υπάρχει πάντα
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.
5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 8// Γ ΕΡΓΑΣΙΑ Μαθηµατικά για την Πληροφορική Ι (ΘΕ ΠΛΗ Η ύλη της εργασίας είναι παράγραφοι 6 και 6 από τη Γραµµική Άλγεβρα και Ενότητες,,, από τον Λογισµό
Διαβάστε περισσότεραy 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx,
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 07/1/017 Μέρος 1ο: Μη Ομογενείς Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης Θεωρούμε τη γραμμική μή-ομογενή διαφορική εξίσωση y + p(x) y + q(x) y = f(x), x
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Συνοπτικές Ενδεικτικές Λύσεις
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ 00 Συνοπτικές Ενδεικτικές Λύσεις Άσκηση. ( µον.) ίνεται το σύστηµα y +
Διαβάστε περισσότεραµηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;
ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται
Διαβάστε περισσότεραΕ ι σ α γ ω γ ι κ ά Μ α θ η µ α τ ι κ ά. γ ι α Γ Ε Π Α. Λ.
Ε ι σ α ω ι κ ά Μ α θ η µ α τ ι κ ά ι α Γ Ε Π Α. Λ. ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ a b a ab b. Τετράωνο αθροίσµατος. Τετράωνο διαφοράς. ιαφορά τετραώνων a b a ab b a b a b a b ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α' ΒΑΘΜΟΥ Εξίσωση α αθµού
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. Απειροστικός Λογισµός Ι. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. Απειροστικός Λογισµός Ι - 3η Σειρά Ασκήσεων
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Απειροστικός Λογισµός Ι ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Απειροστικός Λογισµός Ι - η Σειρά Ασκήσεων Ασκηση.. Ανάπτυξη σε µερικά κλάσµατα Αφου ο ϐαθµός του αριθµητή
Διαβάστε περισσότεραe-mail@p-theodoropoulos.gr
Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ολοκλήρωση
Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί
Διαβάστε περισσότερα2. Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις.
Στοιχειώδεις µιγαδικές συναρτήσεις Γενικά Εστω A, B και f : A B είναι µια απεικόνιση τέτοια ώστε σε κάθε µιγαδικό αριθµό A να αντιστοιχεί µοναδικός µιγαδικός αριθµός w= f Λέµε τότε ότι η f είναι µια µιγαδική
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος
Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος. Πως ορίζεται η έννοια. Το όριο. To f() f() ; f() εφόσον υπάρχει είναι μονοσήμαντα ορισμένο; εξαρτιέται από τα άκρα α, β των ( α, ) και (, β ) ;. Πως ορίζονται τα πλευρικά
Διαβάστε περισσότεραΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1(ΑΝΑΛΥΣΗ)
ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΦΥΛΛΑΔΙΟ (ΑΝΑΛΥΣΗ) Ι. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις και οι αντίστροφές τους. Η συνάρτηση = sin. Η συνάρτηση sin : -, [,], = sin είναι, αφού (sin ) = cos >, για κάθε -,. Άρα
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 1. i) α) ============================================================== α > 0. Πρέπει κατ αρχήν να ορίζεται ο λογάριθµος, δηλ.
http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις 4ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 007-008: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει
μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,
Διαβάστε περισσότεραΣηµειώσεις στις συναρτήσεις
Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος
Διαβάστε περισσότερα1ο Κεφάλαιο: Συστήματα
ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.
Διαβάστε περισσότερα1 Οι πραγµατικοί αριθµοί
1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς
Διαβάστε περισσότερα1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών
Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Μερικές χρήσιμες ταυτότητες + r + r 2 + + r n = rn r r + 2 + 3 + + n = 2 n(n + ) 2 + 2 2 + 3 2 + n 2 = n(n + )(2n + ) 6 Ανισότητα Cauchy Schwarz ( n ) 2 ( n x i y i i=
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ»
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Πεδίο
Διαβάστε περισσότερατα βιβλία των επιτυχιών
Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από
Διαβάστε περισσότεραόπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.
3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία
ΜΑΘΗΜΑ 5.. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εφαπτοµένη ευθεία Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθροίσµατος γινοµένου - πηλίκου Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση
Διαβάστε περισσότεραf x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j
Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του
Διαβάστε περισσότεραΣχολικός Σύµβουλος ΠΕ03
Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις
Διαβάστε περισσότεραΑόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα.
Αόριστο ολοκλήρωμα Αντιπαράγωγος μίας συνάρτησης f() ορισμένης σε ένα διάστημα [α,β] λέγεται κάθε συνάρτηση F() που επαληθεύει την ισότητα F( ) f ( ) F( ) c επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα
Διαβάστε περισσότερα1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R
. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...
Διαβάστε περισσότεραO1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f x
O ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f ) Εντοπίζω τα σημεία που συναντώνται οι δύο καμπύλες ) Η τεταγμένη y αυτού του σημείου είναι το όριο της f και η τετμημένη η θέση y lim f Πλευρικά όρια lim f λ lim
Διαβάστε περισσότερα( e ) 2. 4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 31.
1 4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 31. ίνονται οι συναρτήσεις f() = ln(e e + 3) και g() = ln3 + ln(e 1) i. Να βρείτε το πεδίο ορισµού τους. ii. Να βρείτε τα σηµεία τοµής των γραφικών παραστάσεων των f, g
Διαβάστε περισσότερα1.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : π α) f() = + ηµ β) g() = + συν( ) 6 π π γ) f() = ηµ( ) δ) g() = συν( ) Να γίνει η µελέτη και η γραφική παράσταση
Διαβάστε περισσότεραx(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 216-17 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Σήµατα και Συστήµατα Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραΓ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).
1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.). Έστω z ο µιγαδικός αριθµός z i, µε, R. (α) ίνεται η εξίσωση: z
Διαβάστε περισσότεραΗ Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου
Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑ 9 Κεφάλαιο o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποενότητα.9: Ρητές Αλγεβρικές Παραστάσεις. Θεµατικές Ενότητες:. Ρητές Αλγεβρικές Παραστάσεις. Α. ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Ρητή αλγεβρική παράσταση
Διαβάστε περισσότεραΑνισώσεις Γινόμενο και Ανισώσεις Πηλίκο
Ανισώσεις Γινόμενο και Ανισώσεις Πηλίκο Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» www.ma8eno.gr Ανισώσεις γινόμενο και ανισώσεις πηλίκο Πρόσημο γινομένου της μορφής P()
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y
ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Καταρχήν θα µελετήσουµε την συνάρτηση f Η f γράφεται f ( ) = ( x + )( x ) ( x ) ή ακόµα f ( ) = u( x,
Διαβάστε περισσότερα