Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.

Transcript

1 Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε τα arccos και arcsin των 0, ±, ±, ±, ±. Λύση: Στο διάστημα [ π, π ] είναι (κατά αύξουσα διάταξη των γωνιών και άρα κατά αύξουσα διάταξη των ημιτόνων τους): sin( π ) =, sin( π ) =, sin( π 4 ) =, sin( π 6 ) =, sin 0 = 0, sin π 6 =, sin π 4 =, sin π =, sin π =. Άρα έχουμε αντιστοίχως: arcsin( ) = π, arcsin( ) = π, arcsin( ) = π 4, arcsin( ) = π 6, arcsin 0 = 0, arcsin = π 6, arcsin = π 4, arcsin = π, arcsin = π. Στο διάστημα [0, π] είναι (κατά αύξουσα διάταξη των γωνιών και άρα κατά φθίνουσα διάταξη των συνημιτόνων τους): cos 0 =, cos π 6 =, cos π 4 =, cos π =, cos π = 0, cos π =, cos π 4 =, cos 5π 6 =, cos π =. Άρα έχουμε αντιστοίχως: arccos = 0, arccos = π 6, arccos = π 4, arccos = π, arccos 0 = π, arccos( ) = π, arccos( ) = π 4, arccos( ) = 5π 6, arccos( ) = π.. (i) Αποδείξτε ότι arccos y + arcsin y = π για κάθε y [, ]. (ii) Αποδείξτε ότι arctan y + arccot y = π για κάθε y. Λύση: (i) Έστω y [, ] και x = arcsin y. Αυτό σημαίνει ότι x [ π, π ] και sin x = y. Ορίζουμε το z = π x. Τότε z [0, π] και cos z = cos( π x) = sin x = y. Αρα arccos y = z = π x = π arcsin y. (ii) Έστω x = arctan y. Αυτό σημαίνει ότι x ( π, π ) και tan x = y. Ορίζουμε το z = π x. Τότε z (0, π) και cot z = cot( π x) = tan x = y. Αρα arccot y = z = π x = π arctan y.

2 . Σχεδιάστε τα γραφήματα των x = arccos(y + ), x = arctan y+. Λύση: (i) Μεταφέρουμε οριζόντια το γράφημα της x = arccos y κατά και έτσι προκύπτει το γράφημα της x = arccos(y + ). Πολλαπλασιάζουμε τις y-συντεταγμένες των σημείων του τελευταίου γραφήματος με και προκύπτει το γράφημα της x = arccos(y +). Τέλος, πολλαπλασιάζουμε τις x-συντεταγμένες των σημείων του τελευταίου γραφήματος με και προκύπτει το γράφημα της x = arccos(y + ). (i) Ξεκινάμε από το γράφημα της x = arctan y και πολλαπλασιάζουμε τις y-συντεταγμένες των σημείων του με και προκύπτει το γράφημα της x = arctan y. Μεταφέρουμε το τελευταίο γράφημα οριζόντια κατά και προκύπτει το γράφημα της x = arctan y+. 4. Βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της y = arcsin x+ Λύση: Το x+ x x. πρέπει να ανήκει στο [, ]. Εύκολα βλέπουμε ότι x+ x x. Άρα το πεδίο ορισμού της y = arcsin x+ x είναι το (, ]. Το σύνολο τιμών της συνάρτησης αποτελείται από εκείνα τα y για τα οποία η εξίσωση = y με άγνωστο το x έχει τουλάχιστον μία λύση στο πεδίο ορισμού. Αν y / [ π, π x+ ], η εξίσωση arcsin x = y δεν έχει λύση. Αν y [ π, π ], τότε arcsin x+ x arcsin x+ x = y x+ x = sin y (sin y )x = sin y +.

3 Αν sin y = δηλαδή αν y = π, τότε η τελευταία εξίσωση δεν έχει λύση. Αν sin y δηλαδή αν y [ π, π ), τότε η τελευταία εξίσωση έχει λύση: x = sin y+ sin y. Βλέπουμε εύκολα ότι η λύση που βρήκαμε ανήκει στο πεδίο ορισμού (, ] της συνάρτησης. Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το [ π, π ). 5. Ποιά είναι η αντίστροφη συνάρτηση της y = arcsin x; Ποιό είναι το πεδίο ορισμού της και το σύνολο τιμών της; Λύση: Η συνάρτηση x = sin y με πεδίο ορισμού το [ π, π ] και σύνολο τιμών το [, ] έχει αντίστροφη συνάρτηση την y = arcsin x με πεδίο ορισμού το [, ] και σύνολο τιμών το [ π, π ]. Άρα η αντίστροφη συνάρτηση της y = arcsin x με πεδίο ορισμού το [, ] και σύνολο τιμών το [ π, π ] είναι η x = sin y με πεδίο ορισμού το [ π, π ] και σύνολο τιμών το [, ]. Προσοχή: η αντίστροφη συνάρτηση της y = arcsin x δεν είναι η συνηθισμένη συνάρτηση x = sin y η οποία έχει πεδίο ορισμού το (, + ). 6. Σχεδιάστε τα γραφήματα των y = arcsin(sin x), y = arctan(tan x). Λύση: (i) Έστω x [ π + kπ, π + kπ] για k Z. Τότε το z = sin x ανήκει στο [, ] και το y = arcsin(sin x) = arcsin z ορίστηκε ως ο (μοναδικός) αριθμός στο [ π, π ] με την ιδιότητα: sin y = z. Δηλαδή: sin y = sin x. Από την εξίσωση αυτή προκύπτει το y από το x. Η εξίσωση έχει δύο λύσεις: y = x + mπ ή y = π x + mπ με m Z. () Επειδή y [ π, π ], από την πρώτη δυνατότητα στην () έχουμε π x + mπ π ή, ισοδύναμα, π mπ x π mπ. Από την αρχική μας υπόθεση π + kπ x π + kπ βλέπουμε ότι πρέπει να είναι k = m, δηλαδή ότι το k είναι άρτιος ακέραιος και ότι το y δίνεται από την y = x kπ όταν το k είναι άρτιος ακέραιος. Πάλι, επειδή y [ π, π ], από την δεύτερη δυνατότητα στην () έχουμε π π x + mπ π ή, ισοδύναμα, π + (m + )π x π + (m + )π. Από την αρχική μας υπόθεση π + kπ x π + kπ βλέπουμε ότι πρέπει να είναι k = m +, δηλαδή ότι το k είναι περιττός ακέραιος και ότι το y δίνεται από την y = x + kπ όταν το k είναι περιττός ακέραιος. Όταν το k διατρέχει το Z τα αντίστοιχα διαστήματα [ π + kπ, π + kπ] είναι διαδοχικά και καλύπτουν ολόκληρο το (, + ), οπότε το γράφημα της y = arcsin(sin x) είναι το:

4 (ii) Έστω x ( π + kπ, π + kπ) για k Z. Τότε το z = tan x ανήκει στο (, + ) και το y = arctan(tan x) = arctan z ορίστηκε ως ο (μοναδικός) αριθμός στο ( π, π ) με την ιδιότητα: tan y = z. Δηλαδή: tan y = tan x. Από την εξίσωση αυτή προκύπτει το y από το x. Η εξίσωση έχει μία λύση: Επειδή y ( π, π ), έχουμε ή, ισοδύναμα, y = x + mπ με m Z. () π < x + mπ < π π mπ < x < π mπ. Από την αρχική μας υπόθεση π +kπ < x < π +kπ βλέπουμε ότι πρέπει να είναι k = m και ότι το y δίνεται από την y = x kπ. Όταν το k διατρέχει το Z τα αντίστοιχα διαστήματα ( π + kπ, π + kπ) είναι διαδοχικά και καλύπτουν ολόκληρο το (, + ) (εκτός από τα σημεία π +kπ με k Z) και παίρνουμε το γράφημα της y = arctan(tan x): 7. Βρείτε τα σύνολα των όρων των ακολουθιών ( +( ) n ( n [ n ]). ), ( a+b ) ( a b +( )n, n [ n ]), Λύση: (i) Για n άρτιο έχουμε ότι +( )n = 0 και για n περιττό ότι +( )n =. Άρα το σύνολο των όρων της ακολουθίας είναι το δισύνολο {0, }. (ii) Για n άρτιο έχουμε ότι a+b a b +( )n = b και για n περιττό ότι a+b a b +( )n = a. Άρα το σύνολο των όρων της ακολουθίας είναι το δισύνολο {a, b}. 4

5 (iii) Αν το n = k είναι άρτιος, τότε το n = k είναι ακέραιος, οπότε [ n ] = [k] = k και άρα n [ n ] = k k = 0. Αν το n = k + είναι περιττός, τότε το n = k + είναι ανάμεσα στους ακέραιους k και k +, οπότε [ n ] = [k + ] = k και άρα n [ n ] = k + k =. Άρα το σύνολο των όρων της ακολουθίας είναι το δισύνολο {0, }. (iv) Αν n = k με ακέραιο k, τότε το n = k είναι ακέραιος, οπότε [ n ] = [k] = k και άρα n [ n ] = k k = 0. Αν n = k + με ακέραιο k, τότε το n = k + είναι ανάμεσα στους ακέραιους k και k +, οπότε [ n ] = [k + ] = k και άρα n [ n ] = k + k =. Αν n = k + με ακέραιο k, τότε το n = k + είναι ανάμεσα στους ακέραιους k και k +, οπότε [ n ] = [k + ] = k και άρα n [ n ] = k + k =. Άρα το σύνολο των όρων της ακολουθίας είναι το τρισύνολο {0,, }. 8. Υπολογίστε τον n-οστό όρο καθεμίας από τις τέσσερις ακολουθίες οι οποίες ορίζονται από τους (κοινούς και για τις τέσσερις) πρώτους όρους x = x = και από τους αναδρομικούς τύπους x n+ = x n, x n+ = x n+ + x n, x n+ = x n+ x n, x n+ = x n+ x n. (Υπόδειξη: Διαβάστε την άσκηση..4.) Λύση: (i) Βάσει του αναδρομικού τύπου x n+ = x n κάθε όρος της ακολουθίας προσδιορίζει τον μεθεπόμενο όρο: από τον x προσδιορίζονται οι όροι με περιττούς δείκτες και από τον x προσδιορίζονται οι όροι με τους άρτιους δείκτες. Έχουμε διαδοχικά: x =, x = x = =, x 5 = x =, x 7 = x 5 =, x 9 = x 7 = 4. Υποψιαζόμαστε ότι x k = k για κάθε k N και το αποδεικνύουμε επαγωγικά. Το x k = k ισχύει για k = αφού είναι το ίδιο με το x =. Έστω ότι ισχύει x k = k για κάποιο m N. Τότε x (m+) = x m+ = x m = m = m = (m+). Άρα το x k = k ισχύει και για το m +. Επίσης έχουμε διαδοχικά: x =, x 4 = x = =, x 6 = x 4 =, x 8 = x 6 =, x 0 = x 8 = 4. Υποψιαζόμαστε ότι x k = k για κάθε k N και το αποδεικνύουμε επαγωγικά. Το x k = k ισχύει για k = αφού είναι το ίδιο με το x =. Έστω ότι ισχύει x k = k για κάποιο m N. Τότε x (m+) = x m+ = x m = m = m = (m+). Άρα το x k = k ισχύει και για το m +. Καταλήγουμε στον τύπο { (n/), αν n είναι άρτιος x n = (n )/, αν n είναι περιττός Επίσης, ισχύει και ο τύπος x n = [(n )/]. (ii) Θεωρούμε την εξίσωση x = x +. Αυτή έχει τις λύσεις: ρ = + 5 και ρ = 5. Προσδιορίζουμε κ, λ ώστε κ + λ = x = και κρ + λρ = x =. Αυτά είναι τα: 5

6 κ = + 5 και λ = Τώρα μπορούμε να αποδείξουμε επαγωγικά ότι x n = κρ n + λρ n για κάθε n N. Η σχέση αυτή ισχύει για n = και για n = αφού για n = γίνεται κ + λ = x = και για n = γίνεται κρ + λρ = x =. Τώρα έστω ότι για κάποιο m N η σχέση ισχύει όταν το n είναι ίσο με m και όταν το n είναι ίσο με m +. Τότε x m+ = x m+ + x m = (κρ m + λρ m ) + (κρ m + λρ m ) = κρ m (ρ + ) + λρ m (ρ + ) = κρ m+ + λρ m+ οπότε η σχέση ισχύει και όταν το n είναι ίσο με m +. Άρα ισχύει για κάθε n N. Πιο συγκεκριμένα, έχουμε ότι: x n = + ( ) n 5 ( 5 5 ) n ( 5 = ) n ( 5 5 ) n για κάθε n N. (iii) Θεωρούμε την εξίσωση x = x. Αυτή έχει την μοναδική λύση: ρ =. Προσδιορίζουμε κ, λ ώστε κ = x = και κρ + λρ = x =. Αυτά είναι τα: κ = και λ = 0. Τώρα μπορούμε να αποδείξουμε επαγωγικά ότι x n = κρ n + λ(n )ρ n για κάθε n N. Η σχέση αυτή ισχύει για n = και για n = αφού για n = γίνεται κ = x = και για n = γίνεται κρ + λρ = x =. Τώρα έστω ότι για κάποιο m N η σχέση ισχύει όταν το n είναι ίσο με m και όταν το n είναι ίσο με m +. Τότε x m+ = x m+ x m = (κρ m + λmρ m ) (κρ m + λ(m )ρ m ) = κρ m (ρ ) + λρ m (mρ m + ) = κρ m+ + λ(m + )ρ m+ οπότε η σχέση ισχύει και όταν το n είναι ίσο με m +. Άρα ισχύει για κάθε n N. Πιο συγκεκριμένα (με κ =, λ = 0 και ρ = ), έχουμε ότι: x n = για κάθε n N. (iv) Θεωρούμε την εξίσωση x = x. Αυτή έχει τις μιγαδικές λύσεις: ρ = +i και ρ = i. Παρατηρούμε ότι cos π = και sin π =, οπότε ρ = cos π + i sin π και ρ = cos π i sin π. Προσδιορίζουμε κ, λ ώστε κ = x = και κ cos π +λ sin π = x =. Αυτά είναι τα: κ = και λ =. Τώρα μπορούμε να αποδείξουμε επαγωγικά ότι x n = κ cos (n )π + λ sin (n )π για κάθε n N. Η σχέση αυτή ισχύει για n = και για n = αφού για n = γίνεται κ = x = και για n = γίνεται κ cos π + λ sin π = x =. Τώρα έστω ότι για κάποιο m N η σχέση ισχύει όταν το n είναι ίσο με m και όταν το n είναι ίσο με m +. Τότε x m+ = x m+ x m = ( κ cos mπ ) ( mπ + λ sin κ cos (m )π + λ sin (m )π ) = κ ( cos mπ (m )π ) ( cos + λ sin mπ (m )π ) sin = κ cos (m+)π + λ sin (m+)π. οπότε η σχέση ισχύει και όταν το n είναι ίσο με m +. Άρα ισχύει για κάθε n N. Πιο συγκεκριμένα, έχουμε ότι: x n = cos (n )π + sin (n )π για κάθε n N. 6

7 9. Αποδείξτε ότι οι ακολουθίες (n 4 / n ) και (8 n /n!) δεν είναι μονότονες αλλά και ότι είναι μονότονες από κάποια τιμή του δείκτη και πέρα. Είναι φραγμένες; Λύση: (i) Έστω x n = n4 n. Ελέγχουμε την γνήσια μονοτονία της ακολουθίας: x n < x n+ n4 n < (n+)4 n+ < ( + n )4 n < Ομοίως, Άρα x n > x n+ n4 n > (n+)4 n+ > ( + n )4 n > x < x < x < x 4 < x 5 < x 6 > x 7 > x 8 >.... Δηλαδή η ακολουθία είναι γνησίως αύξουσα μέχρι τον έκτο όρο της και γνησίως φθίνουσα από τον έκτο όρο της και πέρα. Η ακολουθία είναι φραγμένη: όλοι οι όροι της βρίσκονται ανάμεσα στο 0 και στον έκτο όρο της. (ii) Έστω x n = 8n n!. Ελέγχουμε την γνήσια μονοτονία της ακολουθίας: Ομοίως, Άρα x n < x n+ 8n n! < 8n+ (n+)! n + < 8 n < 7. x n > x n+ 8n n! > 8n+ (n+)! n + > 8 n > 7. x < x < x < x 4 < x 5 < x 6 < x 7 = x 8 > x 9 > x 0 > x >.... Δηλαδή η ακολουθία είναι γνησίως αύξουσα μέχρι τον έβδομο όρο της και γνησίως φθίνουσα από τον όγδοο όρο της και πέρα. Η ακολουθία είναι φραγμένη: όλοι οι όροι της βρίσκονται ανάμεσα στο 0 και στον έβδομο όρο της. 0. Χρησιμοποιώντας τον ορισμό του ορίου, δηλαδή παίρνοντας ϵ > 0 και υπολογίζοντας κατάλληλο n 0 N συναρτήσει του ϵ, όπως στα παραδείγματα, αποδείξτε ότι n 0, ( ) n 0, n+ n+5, sin n n n 0, n +n 0. Λύση: (i) Παίρνουμε τυχαίο ϵ > 0 και θα βρούμε n 0 N ώστε: n n 0 n < ϵ. Λύνουμε την ανισότητα n < ϵ, δηλαδή την n < ϵ, ως προς n: n < ϵ n > ϵ. n n 0 n > ϵ. Αυτή η συνεπαγωγή ισχύει αν θεωρήσουμε ως n 0 οποιονδήποτε φυσικό μεγαλύτερο από τον αριθμό ϵ. Ο μικρότερος φυσικός ο οποίος είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό ϵ δίνεται από τον τύπο [ ϵ ] +. n 0 [ ϵ ] +. 7

8 (ii) Παίρνουμε τυχαίο ϵ > 0 και θα βρούμε n 0 N ώστε: n n 0 ( ) n < ϵ. Λύνουμε την ανισότητα ( )n < ϵ, δηλαδή την n < ϵ, ως προς n: < ϵ n > n ϵ n > log ϵ. n n 0 n > log ϵ. Αυτή η συνεπαγωγή ισχύει αν θεωρήσουμε ως n 0 οποιονδήποτε φυσικό μεγαλύτερο από τον αριθμό log ϵ. Ο μικρότερος φυσικός ο οποίος είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό log ϵ δίνεται από τον τύπο { [log ϵ ] +, αν 0 < ϵ, αν < ϵ { [log n 0 ϵ ] +, αν 0 < ϵ, αν < ϵ (iii) Παίρνουμε τυχαίο ϵ > 0 και θα βρούμε n 0 N ώστε: n n 0 n+ < ϵ. n+5 Λύνουμε την ανισότητα n+ n+5 < ϵ ως προς n: n+ n+5 < ϵ (n+5) < ϵ n > 9ϵ 5. n n 0 n > 9ϵ 5. Όπως στις προηγούμενες περιπτώσεις, αυτή η συνεπαγωγή ισχύει αν θεωρήσουμε ως n 0 οποιονδήποτε φυσικό μεγαλύτερο από τον αριθμό 9ϵ 5. Ο μικρότερος φυσικός ο οποίος είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό 9ϵ 5 δίνεται από τον τύπο { [ 9ϵ 5 ] +, αν 0 < ϵ 5, αν 5 < ϵ { [ n 0 9ϵ 5 ] +, αν 0 < ϵ 5, αν 5 < ϵ (iv) Παίρνουμε τυχαίο ϵ > 0 και θα βρούμε n 0 N ώστε: n n 0 sin n < ϵ. Η ανισότητα sin n n sin n < ϵ, δηλαδή η n n n έχει. Βρίσκουμε κάποια παράσταση του n μεγαλύτερη και απλούστερη από την n n < ϵ, δεν λύνεται ως προς n λόγω της μορφής που sin n n n n n. 8 sin n n n :

9 Λύνουμε την ανισότητα n < ϵ ως προς n: n n n 0 n n < ϵ. n n < ϵ n >. ϵ / n n 0 n > ϵ /. Ο μικρότερος φυσικός ο οποίος είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό ϵ / δίνεται από τον τύπο [ ϵ / ] +. n 0 [ ϵ / ] +. (v) Παίρνουμε τυχαίο ϵ > 0 και θα βρούμε n 0 N ώστε: n n 0 < ϵ. n +n Η ανισότητα n +n < ϵ, δηλαδή η n +n < ϵ, δεν λύνεται ως προς n λόγω της μορφής που έχει. Βρίσκουμε κάποια παράσταση του n μεγαλύτερη και απλούστερη από την n +n n. n n 0 n < ϵ. n +n : Λύνουμε την ανισότητα n < ϵ ως προς n: n < ϵ n > ϵ. n n 0 n > ϵ. Ο μικρότερος φυσικός ο οποίος είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό ϵ δίνεται από τον τύπο [ ] ϵ +. n 0 [ ϵ ] +. 9