π 5 = 6 δηλ. μας δίνει την αρχή του κύματος (το σημείο Ο), το μέσο που διαδίδεται ( η έκφραση οµογενές

Transcript

1 Στην άσκηση για µηχανικό κύµα ο ακοοθεί, γίνεται ανατική εεξεργασία 7 ερωτηµάτων ΑΣΚΗΣΗ Αρµονικό κύµα διαδίδεται κατά µήκος γραµµικού οµογενούς εαστικού µέσο κατά τη διεύθνση το θετικού ηµιάξονα Ox. Η ηγή το κύµατος βρίσκεται στο αριστερό άκρο O και αρχίζει να τααντώνεται τη χρονική στιγµή = 0 Η εξίσωση το γραµµικού αρµονικού κύµατος είναι 0.ηµ (5 - x) (SI ) δη. y σε m, σε s και x σε m ίνονται: = 0, ηµ = 0 ηµ =, ηµ 6 5 = σν =, σν 5 = ηµ =, σν 0 = + και 6 6 ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ ΠΡΙΝ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΩΝ Πριν ξεκινήσω τα ερωτήµατα, αό την εκφώνηση αναύω τα δεδοµένα. Ατό, γιατί σκοός µο είναι να βρω τα µεγέθη, (εοµένως f, ω ) και. Όταν γνωρίζοµε ατά τα µεγέθη η ύση της άσκησης είναι εκοότερη. Στις ερισσότερες των εριτώσεων τα αραάνω µεγέθη δίνονται εµµέσως α. Η έκφραση «αρµονικό κύµα διαδίδεται κατά µήκος γραµµικού οµογενούς εαστικού µέσο κατά τη διεύθνση το θετικού ηµιάξονα Ox. Η ηγή το κύµατος βρίσκεται στο αριστερό άκρο O» σε ροετοιµάζει για το αρακάτω σχήµα y Ο χ δη. μας δίνει την αρχή το κύματος (το σημείο Ο), το μέσο ο διαδίδεται ( η έκφραση οµογενές εαστικό είναι στάνταρ) και τη φορά ο διαδίδεται (ρος τα δεξιά). Εομένως η εξίσωση της αομάκρνσης είναι της μορφής ηµ x β. Η έκφραση «αρχίζει να τααντώνεται τη χρονική στιγµή = 0» µας δίνει την εξίσωση ταάντωσης της ηγής (δεν άρχει αρχική φάση) ηµω γ. Τροοοιούµε την εξίσωση για να τη σγκρίνοµε µε την εξίσωση το βιβίο ηµ δη. 5 0.ηµ (5 - x) 0.ηµ x 0.ηµ (.5 x) Αό τη σύγκριση των εξισώσεων 0.ηµ (.5 x) και 7

2 ηµ ροκύτον = 0. m, =.5 = = 0. s, f = f =. 5Hz,.5 rad ω = f ω = 5 και = = = 0. 5m s x αντικαθιστώντας τα = 0. m, = 0. s και = 0. 5m στην γενική εξίσωση y = ηµ ( - ) έχοµε την εξίσωση 0.ηµ (.5 x) στο ( S. I) Ε Ρ Ω Τ Η Μ Α Τ Α Α Σ Κ Η Σ Η Σ ΕΡΩΤΗΜΑ ο ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΙΑ ΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΟΣ Να οογίσετε την ταχύτητα διάδοσης το κύµατος ( = f ) Γενική αρατήρηση Για να οογίσω την ταχύτητα κύµατος ρέει να γνωρίζω το µήκος κύµατος και τη σχνότητα f (ή την ερίοδο ή τη γωνιακή ταχύτητα ω ) Χρησιµοοιώ τις τιµές = f f =. 5Hz και = 0. 5m αό τα δεδοµένα και έχω = 0.5m.5Hz =.5m/s ΕΡΩΤΗΜΑ ο ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΣΗΜΕΙΩΝ Να οογίσετε τη µέγιστη ταχύτητα των σηµείων ( max = ω ) το εαστικού µέσο 8

3 Γενική αρατήρηση: Για να οογίσω τη µέγιστη ταχύτητα σηµείων το εαστικού µέσο ρέει να γνωρίζω το άτος (µέγιστη αοµάκρνση) και τη γωνιακή ταχύτητα ω (ή τη σχνότητα f ή την ερίοδο ) Χρησιµοοιώ τις τιµές max = ω max 0. m = και rad = 0.m5 s rad ω = 5 αό τα δεδοµένα και έχω s = m / s max ΕΡΩΤΗΜΑ 3ο ΓΡΑΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗΣ ΑΡΧΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ Να γράψετε την εξίσωση αοµάκρνσης το σηµείο O Γενική αρατήρηση: Για να γράψω την εξίσωση ρέει να γνωρίζω αν άρχει αρχική φάση ή όχι Αό την εκφώνηση γνωρίζω ότι η εξίσωση ταάντωσης της ηγής είναι Χρησιµοοιώ τις τιµές 0. m = και y ηµω = (δεν άρχει αρχική φάση). rad ω = 5 αό τα δεδοµένα και έχω y = s O ηµω y O = 0.ηµ5 ( S. I) ΕΡΩΤΗΜΑ ο ΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΣΤΙΓΜΙΟΤΥΠΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ y = f (x) = s Να σχεδιάσετε το στιγµιότο το κύµατος τη χρονική στιγµή. Στο διάγραµµα ο ροκύτει να σχεδιάσετε τη φορά της ταχύτητας των σηµείων Λ( x Λ = 0.m) και N N ( x = 0.m) Πριν το σχεδιασµό το στιγµιοτύο οογίζοµε στοιχεία ο είναι ααραίτητα α. Υοογίζοµε την αόσταση ο διαδίδεται το κύµα και τη σγκρίνοµε µε το µήκος κύµατος. Είσης σγκρίνοµε τη χρονική στιγµή µε την ερίοδο. 9

4 Εοµένως.Τη χρονική στιγµή = s το κύµα έχει διαδοθεί σε αόσταση x = = 0. 5m) x = +. Η χρονική στιγµή = s είναι = + ( εειδή 0. s = ) x =.5m / s s x. 5m = ή ( όγω β. Εξετάζοµε τη θέση σηµείο O τη σγκεκριµένη χρονική στιγµή ( για x = 0 ) Η εξίσωση 0. (.5 x) y O = ηµ για x = 0 και = s γράφεται yo = 0.ηµ5 y O = 0 Όταν η αοµάκρνση της ηγής είναι ίση µε µηδέν εξετάζοµε το εόµενο σηµείο Η εξίσωση 0.ηµ (.5 x) για x = και = s γράφεται 0.ηµ (.5 0.5) 0.ηµ. 5 0.ηµ ( + ) y(m) x = +0. m Α Λ Ο - Α 0.5 Ν.5 x(m) / Προσοχή Η γραφική αράσταση των στιγµιοτύων τεειώνει άντα στον άξονα Χ. Για το όγο ατό µορεί η γραφική αράσταση να ξεκινήσει ανάοδα, αό το τέος ρος την αρχή δη. αό το σηµείο στο οοίο έχει φτάσει το κύµα 0

5 Μερικές δνατές µορφές στιγµιοτύο y(m) Α -Α x (m) y(m) Α x (m) -Α y(m) Α x (m) -Α y(m) Α -Α x (m) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Όταν το στιγµιότο δίνεται στην εκφώνηση της άσκησης, αµέσως αό την αεικόνιση οογίζονται το και εµµέσως δε, µέσω των σχέσεων x= και = f, τα, f και ω ) ΕΡΩΤΗΜΑ 5ο ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΑΦΟΡΑΣ ΦΑΣΗΣ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Να οογίσετε τη διαφορά φάσης των τααντώσεων δύο σηµείων ( x =.75m) και M ( x M =.5m) το εαστικού µέσο

6 Αό την εξίσωση το κύµατος Οι φάσεις των σηµείων είναι φ ηµ η φάση είναι φ = M xm x = και φ = εοµένως xm x xm x x φ = φ = + φ M x = + φ = x φ = (.5.75) φ = 3rad 0.5 ΕΡΩΤΗΜΑ 6ο ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΤΡΟΥ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΣΗΜΕΙΟΥ ΤΟΥ ΕΛΑΣΤΙΚΟΥ ΜΕΣΟΥ Να οογίσετε το µέτρο της ταχύτητας ταάντωσης το σηµείο M τη χρονική στιγµή ο η αοµάκρνση το αό τη θέση ισορροίας είναι + 0.m ος τρόος Εξίσωση ενέργειας E = U + D ω -ω x = ος τρόος = Dx + m ω ( - x ) = ± mω 3 m / s = mω x + m ω = ω x + = Αό την εξίσωση της ταχύτητας αφού ρώτα βρούµε τη φάση το σηµείο αό την εξίσωση y = ηµω Η εξίσωση της ταχύτητας είναι y ροκύτει ηµω = = ωσνω ηµω 0. = 0. = 0. 5σν 6 ηµω = ω = rad ή ω = 5 rad = ( )m / s ή = 0. 5σν = ( )m / s εοµένως µέτρο ταχύτητας = m / s

7 ΕΡΩΤΗΜΑ 7ο ΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΦΑΣΗΣ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΗ ΧΡΟΝΙΚΗ ΣΤΙΓΜΗ φ = f (x) Να αραστήσετε γραφικά τις φάσεις των σηµείων το µέσο στο οοίο διαδίδεται το κύµα σε σνάρτηση µε την αόσταση x αό την ηγή O, τη χρονική στιγµή = 0. s Η φάση δίνεται αό τη σχέση φ = εοµένως οι φάσεις των σηµείων για = 0. s είναι 0. x φ = φ = φ = (- x) φ = - x φ για χ=0 φ= και για χ=/ φ=0 / χ Γενική µορφή αεικόνισης φ = f (x) Γενική µορφή αεικόνισης φ = f (x) αό τη σχέση φ = αό τη σχέση φ = + φ φ χ χ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Όταν η αεικόνιση δίνεται στην εκφώνηση της άσκησης, εεξεργαζόµενοι µαθηµατικά τη σχέση φ = ω (θέτοντας µια φορά χ=0... και µια φορά φ=0...) οογίζονται το,,, f και 3

8 ΕΡΩΤΗΜΑ 8ο ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑ ΝΑ ΦΤΑΣΕΙ ΤΟ ΚΥΜΑ ΣΕ ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΟ ΣΗΜΕΙΟ Να οογίσετε το χρόνο ο χρειάζεται ώστε το κύµα να διαδοθεί στο εαστικό µέσο έντε µήκη κύµατος Εειδή η κίνηση είναι εθύγραµµη οµαή έχοµε ή = 5 = 5 0. = s x = x = 5 = = = s ΕΡΩΤΗΜΑ 9ο ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΥΝΑΜΗΣ ΕΠΑΝΑΦΟΡΑΣ ΣΗΜΕΙΟΥ ΤΟΥ ΕΛΑΣΤΙΚΟΥ ΜΕΣΟΥ Να οογίσετε το µέτρο της δύναµης εαναφοράς ο δέχεται ικό σηµείο µάζας - m = 0 g τη χρονική στιγµή 3 = 0. 5s µετά την έναρξη της ταάντωσής το Σνδέοµε τη χρονική στιγµή µε την ερίοδο για να βρούµε σε οια θέση βρίσκεται το σηµείο Με βάση τα αραάνω, η χρονική στιγµή = 0. 5s 3 είναι εξετάζοµε βρίσκεται σε θέση µέγιστης αοµάκρνσης ( + ) 3 = + εοµένως το σηµείο το εαστικού µέσο ο Μέτρο δύναµης -7 rad F = -Dy F = -D F = D F = mω F = 0 g (5 ) 0. m s -7 rad -7 rad -6 F = 0 g 5 0. m F = 0 g m F = 50 N s s

9 ΕΡΩΤΗΜΑ 0ο ΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΦΑΣΗΣ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΤΟ ΧΡΟΝΟ φ = f () Να αραστήσετε γραφικά τη φάση ταάντωσης το σηµείο M ( x M =.5m) σε σνάρτηση µε το χρόνο Η φάση δίνεται αό τη σχέση Η φάση για xm φ = εοµένως η φάση το σηµείο είναι M είναι φm =.5 x M =. 5m είναι φm = φ M = (.5-5) φ M = 5-0 φ για φ=0 =s για =0 φ=-0-0 Γενική µορφή αεικόνισης φ = f () φ 5

10 ΕΡΩΤΗΜΑ ο ΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗΣ ΣΗΜΕΙΟΥ y = f () Να αραστήσετε γραφικά την αοµάκρνση το σηµείο ( x = +.75m) αό τη θέση ισορροίας σε σνάρτηση µε το χρόνο Πρώτα βρίσκοµε το χρόνο ο χρειάζεται το κύµα να φτάσει στο σηµείο (αό την εξίσωση x= ) x.75 Για να ξεκινήσει το σηµείο να τααντώνεται χρειάζεται χρόνο = = =.s εοµένως για.5 χρόνο =.s η αοµάκρνση το σηµείο είναι µηδέν. Το σηµείο αρχίζει να τααντώνεται τη χρονική στιγµή =.s. Η εξίσωση της αοµάκρνσης f () Για =.s y = 0 y = είναι y 0 0.s = ηµ. s x η αοµάκρνση το σηµείο είναι.75 y = ηµ y = 0.ηµ Είσης dy = d = ωσν = ωσν 0 = ω > 0 y(m) Ο Κ. (s) Κ Προσοχή Η γραφικές αραστάσεις της αοµάκρνσης των σηµείων ξεκινούν αό τον άξονα ΕΡΩΤΗΜΑ ο 6

11 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΧΡΟΝΙΚΗΣ ΣΤΙΓΜΗΣ ΤΗΝ ΟΠΟΙΑ ΜΕΓΕΘΗ ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ ΕΧΟΥΝ ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΗ ΤΙΜΗ Να οογίσετε τη χρονική στιγµή ο η ταχύτητα το σηµείο ( x = +.75m) µηδενίζεται για ρώτη φορά Αό την αεικόνιση της αοµάκρνσης βρίσκοµε ότι το σηµείο τη χρονική στιγµή =.s βρίσκεται στη θέση y = ) κινούµενο ρος ακραία θέση µε θετική φορά ( > 0 ) Ο µηδενισµός της ταχύτητας γίνεται ισορροίας ( 0 όταν το σηµείο βρίσκεται σε θέση µέγιστης αοµάκρνσης εοµένως χρονική στιγµή βρίσκεται αθροίζοντας το χρόνο ο χρειάζεται αό το σηµείο O µέχρι να φτάσει το σηµείο σν το χρόνο αό τη θέση ισορροίας σε θέση µέγιστης αοµάκρνσης δη ο = O + ο 0. =. + ο = ο =. 5s ΕΡΩΤΗΜΑ 3ο ΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΣΗΜΕΙΟΥ = f () Να αραστήσετε γραφικά την ταχύτητα ταάντωσης το σηµείο ( x = +.75m) σε σνάρτηση µε το χρόνο Πρώτα βρίσκοµε το χρόνο ο χρειάζεται το κύµα να φτάσει στο σηµείο (αό την εξίσωση Για να ξεκινήσει το σηµείο να τααντώνεται χρειάζεται χρόνο Κατόιν αντικαθιστούµε στην εξίσωση της ταχύτητας οογίζοµε την ταχύτητα. Εοµένως Η εξίσωση της ταχύτητας είναι f () είναι = x = ) x.75 = = =.s.5 = ωσν τη χρονική στιγµή =.s = ωσν = 0. 5σν0 =m / s 0 = σν s.s και 7

12 ( m / s) Ο Κ. (s) ΕΡΩΤΗΜΑ ο ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ (ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ) ΣΗΜΕΙΟΥ, ΟΤΑΝ ΓΝΩΡΙΖΟΥΜΕ ΤΙΜΕΣ ΜΕΓΕΘΩΝ ΑΛΛΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ Να οογίσετε την αοµάκρνση αό τη θέση ισορροίας το άκρο O (x = 0) τη χρονική στιγµή ο ξεκινά να τααντώνεται το σηµείο ( x = +.75m) Πρώτα βρίσκοµε το χρόνο ο χρειάζεται το κύµα να φτάσει στο σηµείο (αό την εξίσωση x = ) Για να ξεκινήσει το σηµείο να τααντώνεται χρειάζεται χρόνο x =. 75 = =.s. 5 Κατόιν ατή τη χρονική στιγµή την αντικαθιστούµε στην εξίσωση αοµάκρνσης το σηµείο ηµ x ν ρόκειται για τo άκρο ( x= 0) έχοµε y O = ηµω y = 0.ηµ 5. O y = 0.ηµ7 y = 0 O O ΕΡΩΤΗΜΑ 5ο 8

13 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗΣ Ή ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ Ή ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ ΣΗΜΕΙΟΥ Να οογίσετε την ειτάχνση το σηµείο ( x = +.75m) τη χρονική στιγµή = s Αό την εξίσωση της αοµάκρνσης βρίσκοµε την ταχύτητα a= ω ηµ dy ηµ µέσω της σχέσης = d = ωσν και µέσω της σχέσης a x Με αντικατάσταση των µεγεθών ροκύτει a = 0. 5 ηµ 0. d d = βρίσκοµε την ειτάχνση.75 a = 50ηµ3 a = ΕΡΩΤΗΜΑ 6ο ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΣΗΜΕΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΠΗΓΗ ΟΤΑΝ ΓΝΩΡΙΖΟΥΜΕ ΤΗ ΦΑΣΗ ΤΟΥΣ Να οογίσετε την αόσταση αό την ηγή δύο σηµείων και B των οοίων οι φάσεις κάοια χρονική στιγµή είναι φ = και φ B = Αό την εξίσωση το κύµατος Οι φάσεις των σηµείων είναι φ = (.5 ) και φ = (.5 ) x ηµ η φάση είναι φ = x xb φ = και φb = B x B εοµένως µε αντικατάσταση ροκύτον Αό τα δεδοµένα έχοµε φ φ (.5 x ) > (.5 x ) x > B B > x B x < x B 9

14 άρα ιο µακριά είναι το σηµείο B Για να γνωρίζοµε ακριβώς την αόσταση µας χρειάζεται η χρονική στιγµή ΕΡΩΤΗΜΑ 7ο ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΗΜΕΙΩΝ ΚΑΙ ΘΕΣΗΣ ΤΑ ΟΠΟΙΑ ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΣΕ ΣΥΜΦΩΝΙΑ ΦΑΣΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΘΕΣΗ ΦΑΣΗΣ ΜΕ ΤΗΝ ΠΗΓΗ Να οογίσετε τον αριθµό και τις θέσεις των σηµείων το µέσο τα οοία εριέχονται στο τµήµα αό τη θέση x = +. 75m µέχρι τη θέση x = +. 5m και είναι σε σµφωνία και αντίθεση φάσης µε την ηγή Η διαφορά φάσης ενός σηµείο αό την ηγή δίνεται αό τη σχέση Εοµένως όταν το σηµείο βρίσκεται σε σµφωνία φάσης θα ισχύει Με αντικατάσταση έχοµε x = 0. 5 N φ = x N = x x = N (Το σύµβοο της ανίσωσης γράφεται µετά αό µεέτη των άκρων ο γίνεται αρακάτω) Εοµένως.75< x. 5.75< 0.5N < N 5 Οι δνατές ακέραιες τιµές το N είναι και 5 Εοµένως οι θέσεις είναι x = 0.5N x= 0.5= m x = 0.5N x= 5 0.5=. 5m Όταν το σηµείο βρίσκεται σε αντίθεση φάσης θα ισχύει ( N + ) = x x= (N + ) x = N+ Με αντικατάσταση έχοµε x = 0.5N Εοµένως.75 x< N + 0.5< N <. 5 3 N <. 5 Οι δνατές ακέραιες τιµές το N είναι 3 και Εοµένως οι θέσεις είναι x = 0.5N x =. 75m x = 0.5N x =. 5m Σηµείωση 30

15 Τη χρονική στιγµή είναι y = s = 0.ηµ (.5.75) y η αοµάκρνση αό τη θέση ισορροίας των σηµείων = 0.ηµ (5 3.5) y = 0.ηµ3 y = 0 Το σηµείο () δεν βρίσκεται σε σµφωνία φάσης µε την ηγή x = +. 75m και x = +. 5m y = 0.ηµ (.5.5) y = 0.ηµ (5 5) Το σηµείο () βρίσκεται σε σµφωνία φάσης µε την ηγή y = 0.ηµ 0 y = 0 ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΜΕ ΣΤΙΓΜΙΟΤΥΠΟ Η αόσταση x = +. 5m σε σχέση µε το µήκος κύµατος είναι Εξετάζοµε τη θέση σηµείο O τη σγκεκριµένη χρονική στιγµή Η εξίσωση 0. (.5 x) y O x = 5 και έγινε σε χρόνο = s ( για x = 0 ) = ηµ για x = 0 και = s γράφεται yo = 0.ηµ0 y O = 0 Όταν η αοµάκρνση της ηγής είναι ίση µε µηδέν εξετάζοµε το εόµενο σηµείο Η εξίσωση 0.ηµ (.5 x) για 0.ηµ (5 0.5) x = και = s γράφεται 0.ηµ ηµ (9 + Π) x = 0. m Ρ = 5 = 5 0.= s Φ Τ y(m) Α Ο.75.5 x(m) - Α.5 / / Όως φαίνεται αό το στιγµιότο τα σηµεία ο βρίσκονται σε σµφωνία φάσης µε την ηγή είναι τα Ρ και Τ και σε αντίθεση φάσης τα σηµεία Π και Φ