39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam Theoretical Problem No. 3. Λύση

Transcript

1 39th International Physics Olymiad - Hanoi - Vietnam - 28 ύση. ια μια στοιχειώδη υψομετρική διαφορά dz, η στοιχειώδης μεταβολή της ατμοσφαιρικής πίεσης είναι: d = ρgdz () όπου g είναι η επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας, θεωρώντας σταθερή την πυκνότητα, ρ του αέρα, τον οποίο θεωρούμε ως ιδανικό αέριο, έχουμε: m μ ρ = = V R Θέτοντας αυτή την έκφραση στην () : d μg = dz R.. Αν η θερμοκρασία του αέρα είναι παντού η ίδια και ίση με d μg = dz R Μετά την ολοκλήρωση, έχουμε:.2. Εάν τότε μg z R e z = (2) z = z (3) d μg = dz R z (4).2.. αμβάνοντας υπ όψιν ότι : dz d z = = ln z z Ολοκληρώνοντας και στα δύο μέλη της (4), παίρνουμε : g z z μg z μ ln = ln = ln R R ( z)

2 39th International Physics Olymiad - Hanoi - Vietnam - 28 z = z μg R.2.2. Η ελεύθερη μεταφορά προκύπτει όταν: ρ ρ ( z) > (5) Ο λόγος των πυκνοτήτων μπορεί να εκφραστεί ως: ρ z z z = = ρ z μg R Ο τελευταίος όρος είναι μεγαλύτερος της μονάδας όταν ο εκθέτης του είναι αρνητικός: μg < R Έτσι : μ g. 29 K > = =. 35 R 83. m 2. Σε κατακόρυφη κίνηση, η πίεση του πακέτου αέρα είναι συνεχώς ίση με εκείνη του περιβάλλοντος αέρα, η οποία εξαρτάται από το υψόμετρο. Η θερμοκρασία του πακέτου εξαρτάται από την πίεση. 2.. Μπορούμε να γράψουμε: d d d = dz d dz είναι η πίεση του αέρα στο πακέτο και εκείνη του περιβάλλοντος αέραr. Έκφραση για d d Χρησιμοποιώντας την εξίσωση για την αδιαβατική διαδικασία V γ = const και την καταστατική εξίσωση, μπορούμε να πάρουμε την εξίσωση που μας δίνει τη μεταβολή της πίεσης με τη θερμοκρασία σε μια quasi-αδιαβατική μεταβολή του 2

3 39th International Physics Olymiad - Hanoi - Vietnam - 28 πακέτου: γ γ = const (6) όπου c γ = είναι ο λόγος των ειδικών θερμοτήτων υπό σταθερή πίεση και υπό c V σταθερό όγκο του αέρα. Παραγωγίζοντας την (6), έχουμε: d γ d + = γ ή d d = (7) γ γ Σημείωση: μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον πρώτο νόμο της θερμοδυναμικής για να υπολογίσουμε τη θερμότητα που μεταφέρεται στο πακέτο σε μια στοιχειώδη διαδικασία: m dq = cv d + dv, αυτή είναι μηδέν σε μια αδιαβατική διαδικασία. μ Επιπρόσθετα, χρησιμοποιώντας την καταστατική εξίσωση για το πακέτο m V = R μπορούμε να βρούμε (6) μ Έκφραση για d dz Από την () παίρνουμε: d gμ = ρ g = dz R όπου είναι η θερμοκρασία του περιβάλλοντος αέρα. Με τη βοήθεια αυτών των δύο εκφράσεων, παίρνουμε την έκφραση για d / dz : d γ μg = = G (8) dz γ R ενικά, G δεν είναι σταθερά. 3

4 39th International Physics Olymiad - Hanoi - Vietnam Εάν σε κάθε ύψος, =, τότε αντί για G in (8), έχουμε : ή γ μg = = const (9) γ R g = (9 ) c Αριθμητική τιμή: K 2 K = = m m Έτσι, η έκφραση για τη θερμοκρασία στο ύψος z σ αυτήν την ειδικού τύπου ατμόσφαιρα (η οποία καλείται αδιαβατική ατμόσφαιρα) είναι : z = z () 2.3. Οι υδρατμοί είναι ένα τριατομικό αέριο, η ειδικές τους θερμότητες είναι C = 4R και C = 3R V, ο λόγος τους c γ =.Αν το πακέτο περιέχει μη c V κορεσμένους υδρατμούς, τότε το περιεχόμενό του είναι ένα μίγμα αέρα με water water γραμμομοριακό λόγο και υδρατμών με γραμμομοριακό λόγο. Οι ειδικές του θερμότητες είναι οι ακόλουθες: c 7 ( water) R+ water4r 2 7 water = = R+ R 2 2 c V 5 water = R+ R 2 2 Οι υδρατμοί στο πακέτο δεν είναι κορεσμένοι, έτσι water < 2.64 kpa. Θέτουμε water 2. 6 ε = < =. 3 << 2 2 4

5 39th International Physics Olymiad - Hanoi - Vietnam - 28 c γ = < ε =. 2 c V Χρησιμοποιώντας την έκφραση (9) για τη βαθμίδα αδιαβατικής μείωσης, μπορούμε να βρούμε το όριο σχετικής μείωσης: Δ 4 < 2.4. ια να βρούμε τη ( z ) Αντικαθιστούμε την στην (7) από την έκφρασή της στην (3), και έχουμε: d γ μg dz = γ R z Ολοκληρώνοντας έχουμε: Τελικά, παίρνουμε: 2.5. z γ μg z ln = ln γ R z ( z) = Από την () έχουμε: z ( z) = Εάν z <<, τότε θέτοντας x = παίρνουμε z ( z) = + x Έτσι, x z z z e z z () z (2) 5

6 39th International Physics Olymiad - Hanoi - Vietnam Σταθερότητα της ατμόσφαιρας Με σκοπό να μελετήσουμε τη σταθερότητα της ατμόσφαιρας, μπορούμε να ελέγξουμε τη σταθερότητα της ισορροπίας ενός πακέτου αέρα στην ατμόσφαιρα αυτή. Σε ύψος z, όπου ( z ) = ( z ), το πακέτο αέρα είναι σε ισορροπία. Πράγματι, στην περίπτωση αυτή η πυκνότητα ρ του αέρα του πακέτου είναι ίση με ρ '- εκείνη του περιβάλλοντος αέρα της ατμόσφαιρας. Επομένως, η άνωση που ασκείται στο πακέτο από τον περιβάλλοντα αέρα είναι ίση με το βάρος του πακέτου. Η συνισταμένη αυτών των δύο δυνάμεων είναι μηδέν. Θυμηθείτε ότι η θερμοκρασία του πακέτου αέρα ( z ) iδίνεται από την (7), στην οποία μπορούμε να υποθέσουμε ότι κατά προσέγγιση G = σε κάθε ύψος z κοντά στο z = z. Υποθέστε ότι το πακέτο αέρα ανεβαίνει σε υψηλότερη θέση, σε ύψος z + d (με d>), ( + ) = και z d z d z + d = z d. Στην περίπτωση κατά την οποία η ατμόσφαιρα έχει βαθμίδα ελάττωσης της θερμοκρασίας >, έχουμε ( z + d) > ( z + d), έτσι ρ < ρ '. Η άνωση τότε είναι μεγαλύτερη από το βάρος του πακέτου, η συνισταμένη είναι προς τα πάνω και σπρώχνει το πακέτο μακριά από τη θέση ισορροπία του. Αντίστροφα, στην περίπτωση που το πακέτο αέρα είναι χαμηλότερα από το ύψος d (d>), έχουμε ( z d) < ( z d) και έτσι ρ > ρ '. z Η άνωση είναι τότε μικρότερη από το βάρος του πακέτου; η συνισταμένη είναι προς τα κάτω και σπρώχνει το πακέτο μακριά από τη θέση ισορροπίας του (κοίτα εικόνα ) Έτσι η ισορροπία του πακέτου είναι ασταθής, και βρίσκουμε ότι: AΜια ατμόσφαιρα με βαθμίδα ελάττωσης της θερμοκρασίας > είναι ασταθής. Σε μια ατμόσφαιρα με βαθμίδα ελάττωσης της θερμοκρασίας <, αν το πακέτο αέρα ανεβαίνει σε υψηλότερη θέση, σε ύψος z + d (με d>), z + d < z +d, τότε ρ > ρ '. Η άνωση είναι τότε μικρότερη από το βάρος του πακέτου, η συνισταμένη είναι προς τα κάτω και το σπρώχνει πίσω προς τη θέση 6

7 39th International Physics Olymiad - Hanoi - Vietnam - 28 ισορροπίας του. Αντίστροφα, εάν το πακέτο αέρα κατέβει σε ύψος z d (d >), z d > z d και τότε ρ < ρ '. Η άνωση είναι τότε μεγαλύτερη από το βάρος του πακέτου, η συνισταμένη είναι προς τα πάνω και σπρώχνει το πακέτο επίσης πίσω προς τη θέση ισορροπίας του (κοίτα Εικόνα 2). Έτσι η ισορροπία του πακέτου είναι σταθερή, και βρίσκουμε ότι: AΜια ατμόσφαιρα με βαθμίδα μείωσης της θερμοκρασίας <είναι σταθερή. z > z +d z z -d > ρ < ρ < ρ πάνω > ρ κάτω ασταθής ( z ) Εικόνα z < z +d z z -d < ρ > ρ > ρ πάνω < ρ κάτω σταθερή ( z ) Εικόνα 2 7

8 39th International Physics Olymiad - Hanoi - Vietnam - 28 Σε ατμόσφαιρα με βαθμίδα μείωσης της θερμοκρασίας =, αν το πακέτο φύγει από τη θέση ισορροπίας του και πάει σε οποιαδήποτε άλλη θέση, θα μείνει εκεί, η ισορροπία είναι αδιάφορη. Μια ατμόσφαιρα με βαθμίδα μείωσης της θερμοκρασίας =είναι ουδέτερη 3.2. Σε μια σταθερή ατμόσφαιρα, με <, ένα πακέτο αέρα, το οποίο στο έδαφος έχει θερμοκρασία > και πίεση ίση με αυτή της ατμόσφαιρας, μπορεί να ανέρχεται και να φτάνει σε μέγιστο ύψος h, όπου h = ( h ) Σε κατακόρυφη κίνηση από το έδαφος στο ύψος h, το πακέτο αέρα υφίσταται μια αδιαβατική quasi-static (ημι-στατική) διαδικασία, κατά την οποία η θερμοκρασία του μεταβάλλεται από σε ( h) = ( h ). Χρησιμοποιώντας την (), μπορούμε να γράψουμε: h = = h h h = ( ) - - h = h= ( - - ) = Έτσι, το μέγιστο ύψος h δίνεται από την παρακάτω έκφραση: h= ( ) ( ) (3) 8

9 39th International Physics Olymiad - Hanoi - Vietnam Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα του Πίνακα, παίρνουμε τα σημεία του τα οποία φαίνονται στην Εικόνα 3. z έναντι της 3 Altitude [m] 2 D(2.6 o C;42 m) C(2.8 o C; 9 m) B(2. o C; 96 m) A( 22 o C; m) emerature [ o C] Figure Μπορούμε να διαιρέσουμε την ατμόσφαιρα κάτω από τα 2m σε τρία στρώματα, αντίστοιχα με τα ακόλουθα ύψη: K () < z < 96 m, = = m (2) 96 m < z < 9 m, =, ισόθερμο στρώμα K (3) 9 m < z < 25 m, = = m Στο στρώμα (), η θερμοκρασία του πακέτου μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας την () 96m = K 294. K that is 2. o C 9

10 39th International Physics Olymiad - Hanoi - Vietnam - 28 Στο στρώμα (2), η θερμοκρασία του πακέτου μπορεί να υπολογιστεί με τη βοήθεια z = ex της έκφρασής της σε ισόθερμη ατμόσφαιρα ( z) Το ύψος 96 m χρησιμοποιείται ως αρχή, αντίστοιχη με τα m. Το ύψος 9 m αντιστοιχεί σε 23 m. Παίρνουμε την ακόλουθη τιμή για τη θερμοκρασία του πακέτου: 9 m = K η οποία είναι 2.8 o C 4.2. Στο στρώμα (3), που αρχίζει από τα 9 m, από την (3) βρίσκουμε το μέγιστο ύψος h = 23 m, και την αντίστοιχη θερμοκρασία K (ή 2.6 o C). Τέλος, το ύψος ανάμειξης είναι H = = 42 m. Και 42 m = K δηλαδή 2.6 o C Από αυτή τη σχέση, βρίσκουμε. 9 m K και h = 23 m. Σημείωση: Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την προσεγγιστική σχέση 5. Θεωρείστε μια αέρια μάζα στην ατμόσφαιρα της Μητροπολιτικής περιοχής του Hanoi να έχει σχήμα παραλληλεπίπεδο με ύψος H, και πλευρές βάσης L και W. Ο ρυθμός εκπομπής αερίου μονοξειδίου του άνθρακα CO από τα μηχανάκια μεταξύ 7 πμ και 8 πμ M = /36 = 3 3 g/s Η συγκέντρωση CO στον αέρα είναι παντού η ίδια σε όλα τα σημεία του παραλληλεπιπέδου και συμβολίζεται με C( t ). 5.. Μετά από στοιχειώδη χρόνο dt, λόγω της εκπομπής από τα μηχανάκια, η μάζα του αερίου CO στο παραλληλεπίπεδο αυξάνεται κατά Mdt. Ο άνεμος πνέει παράλληλα προς της μικρές πλευρές W, απομακρύνοντας μια ποσότητα CO με μάζα LHC t udt. () Έτσι η συγκέντρωση του CO αυξάνεται κατά μια ποσότητα παραλληλεπίπεδο. Οπότε: Mdt LHC ( t) udt = LWHdC dc σε όλο το

11 39th International Physics Olymiad - Hanoi - Vietnam - 28 η dc u M + C() t = (4) dt W LWH 5.2. Η γενική λύση της (4) είναι : ut M C() t = Kex + W LHu (5) Από την αρχική συνθήκη C =, παίρνουμε : M ut C() t = ex LHu W (6) 5.3. Παίρνοντας ως αρχή των χρόνων τη χρονική στιγμή 7: πμ, τότε η χρονική στιγμή 8: πμ αντιστοιχεί σε t =36 s. Θέτοντας τα δεδομένα στην (5), έχουμε: 3 ( 36 s) (. 64) 2. 3 mg/m C = =