Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ

Transcript

1 Κλίση συνάρτησης f Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ Αν σε κάθε σημείο Px, y,z ενός τμήματος Δ του χώρου μία τιμή, ορίζεται μια συνάρτηση. f x, y,z : Δ, Δ αντιστοιχίσουμε την οποία ονομάζουμε σημειακή συνάρτηση. Η θερμοκρασία σε κάθε σημείο ενός δωματίου είναι παράδειγμα σημειακής συνάρτησης. Έστω ότι η συνάρτηση f x,y,z έχει συνεχείς μερικές παραγώγους πρώτης τάξης στο Δ. Ονομάζουμε κλίση της συνάρτησης f, τη διανυσματική συνάρτηση f f f i j k x y z που συμβολίζεται με f ή gradf. Δηλαδή είναι: f f f f gradf i j k x y z Σημείωση: Ο τελεστής i j k ονομάζεται διαφορικός τελεστής ανάδελ-τα. x y z Παράδειγμα Έστω ότι η συνάρτηση f x,y,z x y yz xz Τότε η κλίση της f είναι: f f f f i j k f i j k x y z x y z f 4yx z x z j 6yz x k Απόκλιση διανυσματικής συνάρτησης divf ή F 1

2 Έστω η διανυσματική συνάρτηση F F x,y,z P x, y,z i Q x,y,z j R x, y,z k για την οποία υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι P Q R,, και είναι συνεχείς σ ένα τμήμα x y z Δ. F την πραγ- Ονομάζουμε απόκλιση της F και τη συμβολίζουμε με divf ή ματική συνάρτηση divf F i j k Pi Qj Rk x y z P Q R divf F. x y z Παρατήρηση Είναι: f div grad F f f f i j k i j k x y z x y z divgrad f f f f f x y z Παράδειγμα 1 Έστω η διανυσματική συνάρτηση Είναι x y 4 z F x, y, z y i 4y z j x y k P x, y,z x 4 y, Qx, y,z 4y z, y z R x, y,z x y

3 και P x, x y Q y 4, R z z οπότε: P Q R divf F x y z 4 x y z Παράδειγμα Έστω η συνάρτηση f x,y,z x y y z xz Είναι f f f grad f f i j k xy 1 i x y 4yz j xz k x y z grad f f xy 1 i x y 4yz j xz k με Px, y,z xy 1, Qx, y,z x y 4yz, R x, y,z P Q R divgradf f x y z div grad f f y x 4z x Επίσης είναι f xy 1, x f y, x f y f x y y x 4z, 4yz, f z Από (1) και () διαπιστώνουμε ότι ισχύει f f f divgrad f f x y z (1) f y z x () xz xz Στροφή (ή περιστροφή) διανυσματικής συνάρτησης Έστω η διανυσματική συνάρτηση F F x,y,z P x, y,z i Q x,y,z j R x, y,z k

4 για την οποία υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης και είναι συνεχείς σ ένα σύνολο Δ. Ονομάζουμε στροφή ή περιστροφή της F και συμβολίζουμε με rt F ή F τη διανυσματική συνάρτηση R Q P R Q P rt F F i j k y z z x x y Η (1) γράφεται και ως i j k rt F F x y z P Q R Το διάνυσμα που παριστάνει η σχέση (1) ονομάζεται στροφή ή περιστροφή ή στροβιλισμός της διανυσματικής συνάρτησης F και συμβολίζεται rt F ή F ή curlf Ισχύουν οι ταυτότητες. div rt F 0 1) ) rt grad f 0 F 0 f 0 ή ή (1) Σημείωση Για την πραγματική συνάρτηση f x, y : Δ, Δ F F x,y P x, y i Q x, y j και για τη διανυσματική συνάρτηση έχουμε: κλίση της f : f f grad f i j x y απόκλιση της f : P Q div F x y στροφή της f : Q P rt F, x y (πραγματική συνάρτηση) 4

5 Περί πεδίων Η έννοια του πεδίου. Πεδίο ονομάζεται μια περιοχή του χώρου εντός της οποίας έχει κατανεμηθεί ένα φυσικό μέγεθος, κατά τέτοιο τρόπο ώστε σε κάθε σημείο της περιοχής του χώρου να αντιστοιχεί μία τιμή του μεγέθους αυτού. Βαθμωτό ή αριθμητικό πεδίο Βαθμωτό καλείται το πεδίο το οποίο, σε κάθε σημείο του Mx,y,z αντιστοιχεί η τιμή f M ενός βαθμωτού μεγέθους. Η πραγματική συνάρτηση f καλείται βαθμωτή συνάρτηση ή βαθμωτό πεδίο Διανυσματικό πεδίο Διανυσματικό λέγεται ένα πεδίο, όταν σε κάθε σημείο τιμή FM M x,y,z αντιστοιχεί η ενός διανυσματικού μεγέθους. Η διανυσματική συνάρτηση F M F x,y,z P x, y,z i Q x,y,z j R x, y,z k ορισμένη σε κάθε σημείο Mx,y,z του πεδίου λέγεται και διανυσματικό πεδίο. Αστρόβιλο διανυσματικό πεδίο Ένα διανυσματικό πεδίο λέγεται αστρόβιλο, τότε και μόνο τότε, αν σε κάθε σημείο του πεδίου η περιστροφή είναι μηδέν, δηλαδή: rt F 0 Σωληνοειδές διανυσματικό πεδίο Ένα διανυσματικό πεδίο λέγεται σωληνοειδές, τότε και μόνο τότε, όταν σε κάθε σημείο του πεδίου η απόκλιση είναι μηδέν, δηλαδή: divf 0 5

6 Διανυσματικό πεδίο που προέρχεται από δυναμικό Ένα δυναμικό πεδίο F M F x,y,z P x, y,z i Q x,y,z j R x, y,z k προέρχεται από δυναμικό αν υπάρχει μια βαθμωτή συνάρτηση f f x, y,z τέτοια ώστε f f f P x,y,z, Q x, y,z, R x, y,z x y z Η συνάρτηση f f x, y,z διανυσματικού πεδίου FM λέγεται τότε δυναμικό (ή δυναμική συνάρτηση) του. Ικανή και αναγκαία συνθήκη, ώστε το δυναμικό πεδίο FM δυναμικό είναι rt F 0 Η δυναμική συνάρτηση, τότε δίνεται από τον τύπο όπου x y f x,y,z P t, y,z dt Q x,t,z dt R x, y,t dt c x y z x,y,z σημείο του πεδίου ορισμού της FM z. να προέρχεται από Παράγωγος συνάρτησης κατά δοθείσα κατεύθυνση Έστω η πραγματική συνάρτηση f x,y,z ορισμένη σ ένα ανοικτό σύνολο Δ Δ. Υποθέτουμε ότι υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης της συνάρτησης f x,y,z, για κάθε x, y,z Δ και είναι συνεχείς. Έστω επίσης Μ x, y,z ένα εσωτερικό σημείο του Δ και το μοναδιαίο διάνυσμα u u1i u j uk καθώς και σημείο M x tu, y tu,z tu 1 * t τέτοιο ώστε να είναι M M Δ. 6

7 Είναι MM t u, MM // u. Ορισμός. Ονομάζουμε παράγωγο της συνάρτησης f στο σημείο κατεύθυνση του διανύσματος u u 1,u,u, και συμβολίζουμε με f M D f ή ή f M την τιμή του ορίου, αν υπάρχει, Δηλαδή είναι u M u t0 u f M lim f M t, Μ x, y,z κατά την * t f x tu, y tu,z tu f x,y,z D uf f u M lim M t0 t Στη συνεχεία αποδεικνύεται ότι 1 f M D uf fu M M u f x,y,z u f x, y,z u f x, y,z u x 1 y z (1) Παρατήρηση 1 Από την (1) συμπεραίνουμε ότι η παράγωγος της f κατά την κατεύθυνση του διανύσματος u u 1,u,u είναι ίση με το εσωτερικό γινόμενο του διανύσματος f f x, y,z i f x, y,z j f x,y,z k. u επί το διάνυσμα x y z Αν η κατευθυνόμενη παράγωγος γραφεί με τη μορφή Df f u f u csθ f csθ τότε: u 1. Η κατευθυνόμενη παράγωγος έχει τη μεγαλύτερη θετική τιμή όταν csθ 1, δηλαδή όταν το διάνυσμα u είναι ομόρροπο με το διάνυσμα της κλίσης της f, το f. 7

8 Η κατευθυνόμενη παράγωγος, λοιπόν στο σημείο Μ x, y,z γίνεται μέγιστη κατά την κατεύθυνση του διανύσματος. f x, y,z f x, y,z i f x, y,z j f x, y,z k x y z Η μέγιστη τιμή της κατευθυνόμενης παραγώγου (ή αλλιώς του ρυθμού με- Μ x, y,z είναι ίση με το μέτρο του ταβολής) της f x,y,z στο σημείο διανύσματος f x, y,z. Δηλαδή max D f f x,y,z cs0 f x, y,z u M. Η f x,y,z μειώνεται με το μεγαλύτερο ρυθμό, στο σημείο Μ x, y,z κατά την κατεύθυνση του διανύσματος f x,y,z Ο ρυθμός μεταβολής προς αυτή την κατεύθυνση είναι ίσος με min D uf f x, y,z cs π f x, y,z M. Ισχύουν οι παρακάτω ισότητες D uf f u f u D uf 4. Αν τα διανύσματα u και gradf f είναι κάθετα τότε π D uf f cs f 0 0 u 1,0,0 τότε f M f x, y,z 5. Εάν u 0,1,0 τότε f M f x, y,z u 0,0,1 τότε f M f x, y,z u x u y u z Ιδιότητες Αν f x,y,z και gx,y,z δύο συνεχείς συναρτήσεις ορισμένες σ ένα ανοικτό σύνολο Δ, τέτοιες ώστε να υπάρχει η παράγωγός τους κατά την κατεύθυνση του διανύσματος u u,u,u 1 Δ, τότε ισχύουν οι ιδιότητες f 1. Αν η f είναι σταθερή τότε 0 u για κάθε Μx,y,z 8

9 .. f g f g u u u Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ f g f g g f u u u f g g f f u u, u g g g x, y,z cf u f c, όπου c σταθερά. u Παράδειγμα 1. στο ση- yz Να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης f x, y,z x e μείο M 1,0,1 και προς την κατεύθυνση του σημείου M, 1,. Προς ποια κατεύθυνση επιτυγχάνεται ο μέγιστος ρυθμός μεταβολής στο ση- M 1,0,1 και ποια είναι η μέγιστη τιμή του; μείο Λύση Είναι: M M 1, 1 0, 1 1, 1, M M Το μοναδιαίο διάνυσμα u κατά την κατεύθυνση του διανύσματος M M M M u,, Επίσης έχουμε MM είναι 9

10 yz 0 fx e fx 1,0,1 e 1 yz 0 fy xze fy 1,0,1 1 1e 1 yz 0 fz xye fz 1,0,1 1 0e 0 οπότε ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης f στο σημείο M κατά την κατεύθυνση του διανύσματος u είναι: f M 1 1 D uf fu M M u 6 6 Ο ρυθμός μεταβολής γίνεται μέγιστος κατά την κατεύθυνση του διανύσματος f f 1,0,1 i f 1,0,1 j f 1,0,1 k i j x y z M Η μέγιστη τιμή του ρυθμού μεταβολής στο σημείο M 1, 0, 1 είναι f 11 M Παράδειγμα. Έστω ότι η θερμοκρασία Τ στο σημείο Mx,y,z του χώρου δίνεται (σε βαθμούς Κελσίου) από τη συνάρτηση Tx, y,z 100 x y z. Οι μονάδες μήκους στο χώρο είναι μέτρα (m). i) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της θερμοκρασίας στο σημείο M, 4,5 κατά την κατεύθυνση του διανύσματος V i 4 j 1k. ii) Προς ποια κατεύθυνση η θερμοκρασία Τ αυξάνει με το μεγαλύτερο ρυθμό στο σημείο M ; iii) Ποια είναι η μέγιστη τιμή της κατευθυνόμενης παραγώγου στο σημείο M. Λύση i) Το μοναδιαίο διάνυσμα u κατά την κατεύθυνση του διανύσματος V είναι V 4 1 u i j k, V V Είναι: 10

11 Tx x Tx, 4,5 6 Ty y Ty, 4,5 8 Tz z Tz, 4,5 10 οπότε αριθμός μεταβολής της θερμοκρασίας Τ κατά την κατεύθυνση του διανύσματος V στο σημείο M είναι T M D uf Tu M M u T M 170 u 1 ii) Η θερμοκρασία Τ στο σημείο κατεύθυνση του διανύσματος T T, 4,5 i T, 4,5 j T, 4,5 k x y z M M T 6i 8 j 10k M αυξάνει με το μεγαλύτερο ρυθμό κατά την iii) Η μέγιστη τιμή της κατευθυνόμενης παραγώγου στο σημείο το μέτρο του διανύσματος T. M M T M είναι ίση με 11