5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
|
|
- Ὕδρα Παπακωνσταντίνου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1 5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα Είναι τα απλά ενδεχόµενα για τα οποία κάποιο εξ αυτών δεν έχει πλεονέκτηµα έναντι των άλλων όσον αφορά την επιλογή του. Με άλλα λόγια όλα τα απλά ενδεχόµενα έχουν την ίδια δυνατότητα επιλογής.. Κλασικός ορισµός της πιθανότητας Σε ένα πείραµα τύχης µε ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα ονοµάζουµε πιθανότητα του ενδεχοµένου Α και συµβολίζουµε µε Ρ(Α), το πηλίκο πλή θος ευνοϊκών περιπτώσεων Ν( Α) Ρ(Α) πλήθος δυνατών περιπτώσεων Ν( Ω) 3. Ισχύουν οι σχέσεις Ρ(Ω) Ν( Ω) Ν( Ω ) 1 0 Ρ(Ø) Ν( Ω ) 0 0 Ρ(Α) 1 για οποιοδήποτε ενδεχόµενο Α. 1 ος κανόνας λογισµού πιθανοτήτων Για δύο συµπληρωµατικά ενδεχόµενα Α και Α ισχύει Ρ(Α) + Ρ( Α ) 1 5. ος κανόνας λογισµού πιθανοτήτων : Αν Α, Β ενδεχόµενα του ίδιου δειγµατικού χώρου Ω, τότε Ρ(Α Β) + Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) Σηµείωση: Αν τα Α και Β είναι ασυµβίβαστα, είναι Οπότε Ρ( Α Β ) Ρ(Ø) 0. Α Β Ø. Εποµένως η παραπάνω σχέση δίνει Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β)
2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Από τις οικογένειες που έχουν τρία παιδιά επιλέγουµε µία στην τύχη και εξετάζουµε τα παιδιά της ως προς το φύλλο και την σειρά γέννησης. Θεωρούµε τα ενδεχόµενα Α: Το πρώτο παιδί κορίτσι Β: Το µεσαίο παιδί αγόρι Γ: Τουλάχιστον ένα κορίτσι : Ακριβώς δύο αγόρια Ε: Το πολύ δύο κορίτσια Να βρεθούν ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος και η πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Γ), Ρ( ), Ρ(Ε), Ρ(Α ), Ρ(Β ), Ρ( Α Β ), Ρ(Α Β ), Ρ( Α Β), Ρ(Α Β) Ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος, όπως έχουµε δει στην 5. παράδειγµα 3, µε τη βοήθεια σχετικού δεντροδιαγράµµατος είναι ο Ω { ΑΑΑ, ΑΑΚ, ΑΚΚ, ΑΚΑ, ΚΑΑ, ΚΑΚ, ΚΚΚ, ΚΚΑ } µε Ν(Ω) 8 Έχουµε Α { ΚΑΑ, ΚΑΚ, ΚΚΚ, ΚΚΑ }, µε Ν(Α) Β { ΑΑΑ, ΑΑΚ, ΚΑΑ, ΚΑΚ}, µε Ν(Β) Γ { ΑΑΚ, ΑΚΚ, ΑΚΑ, ΚΑΑ, ΚΑΚ, ΚΚΚ, ΚΚΑ}, µε Ν(Γ) 7 { ΑΑΚ, ΑΚΑ, ΚΑΑ}, µε Ν( ) 3 Ε { ΑΑΑ, ΑΑΚ, ΑΚΚ, ΑΚΑ, ΚΑΑ, ΚΑΚ, ΚΚΑ}, µε Ν(Ε) 7 Οπότε από τον κλασικό ορισµό της πιθανότητας έχουµε ότι Ν( Α) 1 Ν(Β) 1 Ν(Γ) 7 Ρ( Α ), Ρ(Β), Ρ(Γ), Ν( Ω) 8 Ν(Ω) Ν(Ω) 8 Ν( ) 3 Ν(Ε) 7 Ρ( ), Ρ(Ε) Θεωρία Ν( Ω) 8 Ν(Ω) 8 Είναι Α { ΑΑΑ, ΑΑΚ, ΑΚΑ, ΑΚΚ}, µε Ν(Α ) Β { ΑΚΚ, ΑΚΑ, ΚΚΚ, ΚΚΑ }, µε Ν(Β ) Α Β { ΚΑΑ, ΚΑΚ}, µε Ν( Α Β) Α Β { ΚΚΚ, ΚΑΚ, ΚΚΑ, ΚΑΑ, ΑΑΑ, ΑΑΚ }, µε Ν ( Α Β) 6 Α Β { ΚΚΚ, ΚΚΑ }, µε Ν ( Α Β ) Α Β {ΚΚΚ, ΚΑΚ, ΚΚΑ, ΚΑΑ, ΑΚΚ, ΑΚΑ }, µε Ν ( Α Β ) 6 και Άρα Ρ( Α ), Ρ( Β ), Ρ(Α Β), Ρ(Α Β) 1 3 Ρ( Α Β ), Ρ( Α Β )
3 3. Ρίχνουµε ένα ζάρι µία φορά και επιλέγουµε ένα ενδεχόµενο στην τύχη. Θεωρούµε τα ενδεχόµενα Α: ένδειξη µικρότερη του 5 Β : ένδειξη άρτιος αριθµός Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχοµένων α) Πραγµατοποιείται το Α β) Πραγµατοποιείται το Β γ) Πραγµατοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α, Β Ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος είναι Ω { 1,, 3,, 5, 6} µε Ν(Ω) 6 α) Α{ 1,, 3, }, µε Ν(Α), οπότε Ρ( Α ) 6 3 β) 3 1 Β {,, 6} µε Ν(Β) 3, οπότε Ρ(Β) 6 γ) Πραγµατοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α, Β είναι το ενδεχόµενο 5 Α Β { 1,, 3,, 6} µε Ν( Α Β ) 5, οπότε Ρ ( Α Β) 6
4 3. Ρίχνουµε ένα νόµισµα τρείς φορές την µία κατόπιν της άλλης και επιλέγουµε ένα αποτέλεσµα στην τύχη. α) Να βρείτε τον δειγµατικό χώρο του πειράµατος β) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων Α: Οι δύο πρώτες ρίψεις γράµµατα Β: Ένα τουλάχιστον κεφάλι Γ: Πρώτη ρίψη γράµµατα ή τρίτη ρίψη γράµµατα : Πρώτη ρίψη κεφάλι και δεύτερη ρίψη γράµµατα. γ) Να βρείτε επίσης τις πιθανότητες των ενδεχόµενων Β Γ και (Β Γ ) Σχεδιάζουµε το διπλανό δεντροδιάγραµµα, όπου Κ κεφάλι, Γ γράµµατα α) Ω { ΚΚΚ, ΚΓΚ, ΚΓΓ, ΚΚΓ, ΓΚΚ, ΓΚΓ, ΓΓΚ, ΓΓΓ } µε Ν(Ω) 8 β) Ν( Α) 1 Α { ΓΓΚ, ΓΓΓ} µε Ν(Α), οπότε Ρ( Α ) Ν( Ω) Β { ΚΚΚ, ΚΓΚ, ΚΓΓ, ΚΚΓ, ΓΚΚ, ΓΚΓ, ΓΓΚ} µε Ν(Β) 7, Ν(Β) 7 οπότε Ρ(Β) Ν(Ω) 8 Γ { ΚΓΓ, ΚΚΓ, ΓΚΚ, ΓΚΓ, ΓΓΚ, ΓΓΓ } µε Ν(Γ) 6, Ν(Γ) 6 οπότε Ρ(Γ) Ν(Ω) 8 Ν( ) 1 {ΚΓΚ, ΚΓΓ } µε Ν( ), οπότε άρα Ρ( ) Ν(Ω) γ) Β Γ {ΚΓΓ, ΚΚΓ, ΓΚΚ, ΓΚΓ, ΓΓΚ } µε Ν ( Β Γ) 5 Ν( Β Γ) 5 Άρα Ρ(Β Γ) Ν( Ω) 8 Το ενδεχόµενο πραγµατοποιούνται ταυτόχρονα τα Β, Γ και είναι το Β Γ {ΚΓΓ} µε Ν( Β Γ ) 1 Ν( Β Γ ) 1 Άρα Ρ(Β Γ ) Ν( Ω) 8
5 5. Αν Α και Β είναι ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω, να χαρακτηρίσετε µε Σ (σωστό ) ή Λ (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις Αν Ρ(Α) Ρ(Β) τότε Α Β i Αν Ρ(Α) Ρ(Β) τότε Α Β ii Αν Α Β τότε Ρ(Α) Ρ(Β) iν) Αν Α Β τότε Ρ(Α) Ρ(Β) ν) Αν Ρ(Α) + Ρ(Β) 1 τότε Β Α Λάθος, διότι µπορεί να είναι Ν(Α) Ν(Β) αλλά Α Β i Σωστό, διότι Ρ(Α) Ρ(Β) σηµαίνει και Ν(Α) Ν(Β). Άρα Α Β ii Σωστό, διότι ΑΒ σηµαίνει Ν(Α) Ν(Β), άρα Ρ(Α) Ρ(Β) iν) Λάθος, διότι µπορεί να είναι Α Β αλλά Ν(Α) Ν(Β), οπότε Ρ(Α) Ρ(Β) ν) Λάθος, αφού ξέρουµε ότι Ρ(Β) + Ρ(Β ) 1, οπότε η υπόθεση γίνεται Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Β) + Ρ(Β ) άρα Ρ(Α) Ρ(Β ), πράγµα που σύµφωνα µε το ( δεν σηµαίνει ότι Α Β. 5. Ένα δείγµα 50 οικογενειών ρωτήθηκε ως προς τον αριθµό των παιδιών τους. Τα αποτελέσµατα φαίνονται στον πίνακα Αριθµός Παιδιών Αριθµός οικογενειών ή περισσότερα Επιλέγουµε τυχαία µία οικογένεια. Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων Α: να µην έχει παιδιά Β: να έχει παιδιά αλλά όχι περισσότερα από 3 Γ: να έχει περισσότερα από 3 παιδιά : να µην έχει 3 ή παιδιά Ε: να έχει λιγότερα από ή περισσότερα από Εύκολα βρίσκουµε ότι Ν(Α) 6, Ν(Β) 36, Ν(Γ) 8, Ν( ) 36, Ν(Ε) 3 και Ν(Ω) Άρα Ρ( Α ), Ρ(Β), Ρ(Γ), Ρ( ) και Ρ(Ε)
6 6 6. Ο παρακάτω πίνακας αναφέρεται στους ασθενείς που πάσχουν από διαβήτη Επιλέγουµε έναν ασθενή στην τύχη και έστω τα ενδεχόµενα Α: Να έχει σοβαρή περίπτωση Β: Να είναι κάτω των 0 Γ: Οι γονείς του να είναι διαβητικοί Να βρείτε τις πιθανότητες: Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Γ), Ρ ( Β Γ), Ρ ( Α Β Γ) i Να περιγράψετε λεκτικά τα ακόλουθα ενδεχόµενα Α Β, Α Γ, Α Β Γ και να βρείτε τις πιθανότητές τους Από τον πίνακα φαίνεται ότι οι ασθενείς που είναι σοβαρά είναι το 0%. Άρα Ρ(Α) 0% Οι ασθενείς που είναι κάτω των 0 είναι το 35%. Άρα Ρ(Β) 35% Οι ασθενείς που έχουν διαβητικούς γονείς είναι το 58%. Άρα Ρ(Γ) 58% Οι ασθενείς που είναι κάτω των 0 µε διαβητικούς γονείς είναι το 3%. Άρα Ρ ( Β Γ) 3% Οι ασθενείς που είναι σοβαρά και είναι κάτω των 0 και οι γονείς τους είναι διαβητικοί είναι το 8%. Άρα Ρ ( Α Β Γ) 8% i Το ενδεχόµενο Α Β λεκτικά : Έχει ελαφριά περίπτωση και είναι άνω των 0. Οπότε Ρ ( Α Β ) 35% Το ενδεχόµενο Α Β λεκτικά : Έχει ελαφριά περίπτωση ή οι γονείς του δεν είναι διαβητικοί. Οπότε Ρ ( Α Β ) 7% Το ενδεχόµενο Α Β Γ λεκτικά : Έχει ελαφριά περίπτωση και είναι κάτω των 0 και οι γονείς του δεν είναι διαβητικοί. Οπότε Ρ ( Α Β Γ ) 10%.
7 7 7. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) 0,7, Ρ(Β) 0,5 και Ρ( Α Β) 0,3. Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχόµενων εν πραγµατοποιείται το Α i Ένα τουλάχιστον από τα Α, Β πραγµατοποιείται ii εν πραγµατοποιούνται ταυτόχρονα τα Α και Β iν) Κανένα από τα Α, Β δεν πραγµατοποιείται εν πραγµατοποιείται το Α σηµαίνει ότι πραγµατοποιείται το Α. Θεωρία Ρ(Α ) + Ρ(Α) 1 οπότε Ρ(Α ) 1 Ρ(Α) 1 0,7 0,3 i Ένα τουλάχιστον από τα Α, Β πραγµατοποιείται σηµαίνει ότι πραγµατοποιείται το ενδεχόµενο Α Β. Είναι Ρ( Α Β ) +Ρ( Α Β ) Ρ( Α ) +Ρ( Β ) άρα Ρ(Α Β) + 0,3 0,7 + 0,5 Ρ(Α Β) 0,9 Θεωρία 5 ii εν πραγµατοποιούνται ταυτόχρονα τα Α, Β σηµαίνει ότι πραγµατοποιείται το ενδεχόµενο ( Α Β) και αφού Ρ(Α Β) + Ρ(Α Β) 1 έχουµε Ρ( Α Β ) 1 Ρ( Α Β ) 1 0,3 0,7 iν) Κανένα από τα Α, Β δεν πραγµατοποιείται σηµαίνει ότι πραγµατοποιείται το ενδεχόµενο ( Α Β) και αφού Ρ(Α Β) + Ρ(Α Β) 1 έχουµε Ρ ( Α Β) 1 Ρ( Α Β) 1 0,9 0,1 8. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου µε Ρ(Α) 0,9, Ρ(Β) 0,8 και Ρ( Α Β) 0,3. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων Πραγµατοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α, Β i Κανένα από τα Α, Β δεν πραγµατοποιείται. Πραγµατοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α, Β σηµαίνει ότι πραγµατοποιείται το ενδεχόµενο Α Β. Όµως Ρ( Α Β ) +Ρ( Α Β ) Ρ( Α ) +Ρ( Β ) και Ρ(Α Β) + Ρ(Α Β) 1 άρα Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) και Ρ(Α Β) 1 Ρ(Α Β) άρα Ρ(Α Β) 0,9+ 0,8 (1 Ρ( Α Β ) ) 0,9 + 0,8 1+ 0,3 1 i Κανένα από τα Α,Β δεν πραγµατοποιείται σηµαίνει ότι πραγµατοποιείται το ενδεχόµενο ( Α Β ) και από τη σχέση Ρ(Α Β) + Ρ(Α Β) 1 έχουµε Ρ(Α Β) 1 Ρ(Α Β) 1 1 0
8 8 9. Σ ένα κλουβί υπάρχουν 0 καναρίνια και 36 κοτσύφια. Τα τέσσερα πέµπτα των καναρινιών και τα µισά κοτσύφια κελαηδάνε. Εκλέγουµε ένα πουλί στην τύχη. Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων Είναι καναρίνι i Είναι κοτσύφι και κελαηδάει ii Το πουλί κελαηδάει iν) Είναι καναρίνι ή κελαηδάει Έστω τα ενδεχόµενα Α : Το πουλί είναι καναρίνι Β : Το πουλί είναι κοτσύφι Γ : Το πουλί κελαηδάει Γνωρίζουµε ότι τα καναρίνια που κελαηδάνε είναι τα κοτσύφια που κελαηδάνε είναι το σύνολο των πουλιών είναι Ν(Α) 0 και Ν(Ω) 56 άρα Ρ(Α) 56 i Το ενδεχόµενο είναι κοτσύφι και κελαηδάει είναι το Β Γ µε Ν(Β Γ ) Άρα P (Β Γ ) 56 ii Είναι Ν(Γ) 3 άρα Ρ (Γ) iν) Το ενδεχόµενο : είναι καναρίνι ή κελαηδάει είναι το Α Γ ενώ το ενδεχόµενο : είναι καναρίνι και κελαηδάει είναι το Α Γ µε Ρ(Α Γ ) και αφού Ρ( Α Γ ) +Ρ( Α Γ ) Ρ( Α ) +Ρ( Γ ) έχουµε Θεωρία Ρ( Α Γ) Ρ( Α) +Ρ( Γ) Ρ( Α Γ)
9 9 10. Ένα σχολείο έχει εκπαιδευτικούς, από τους οποίους οι 8 είναι άντρες µεταξύ των οποίων 3 είναι φιλόλογοι. Επίσης υπάρχουν 10 γυναίκες φιλόλογοι. Επιλέγουµε έναν εκπαιδευτικό στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων Είναι γυναίκα και όχι φιλόλογος i Είναι άντρας φιλόλογος ii Είναι άντρας ή φιλόλογος iν) εν είναι φιλόλογος Από τα δεδοµένα προκύπτει ότι οι γυναίκες εκπαιδευτικοί είναι 16, εκ των οποίων οι 10 είναι φιλόλογοι. Άρα οι 6 γυναίκες δεν είναι φιλόλογοι. 8 Έστω τα ενδεχόµενα Α : είναι άντρας, οπότε Ρ(Α). Τότε Α είναι το ενδεχόµενο : δεν είναι 16 άντρας δηλαδή είναι γυναίκα µε Ρ(Α ) 13 Φ : είναι φιλόλογος µε Ρ(Φ) Το ενδεχόµενο : είναι γυναίκα και όχι φιλόλογος είναι το 6 1 µε Ρ( Α Φ ) i Το ενδεχόµενο : είναι άντρας φιλόλογος είναι το ii Το ενδεχόµενο είναι άντρας ή φιλόλογος είναι το και αφού Ρ( Α Φ ) +Ρ( Α Φ ) Ρ( Α ) +Ρ( Φ ) Ρ( Α Φ ) Ρ( Α ) +Ρ( Φ) Ρ( Α Φ ) iν) Το ενδεχόµενο : εν είναι φιλόλογος είναι το Φ. Α Φ µε Α Φ έχουµε Όµως Ρ(Φ) + Ρ(Φ ) 1 άρα Ρ(Φ ) 1 Ρ(Φ) 1 Α Φ Ρ ( Α Φ) 3
10 Σε ένα σύνολο µαθητών, το 0% δεν µαθαίνει Αγγλικά, το 60% δεν µαθαίνει Γαλλικά και το 15% δεν µαθαίνει ούτε Αγγλικά ούτε Γαλλικά. Επιλέγουµε έναν µαθητή στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων Ο µαθητής µαθαίνει και τις δύο γλώσσες i Ο µαθητής µαθαίνει µία τουλάχιστον γλώσσα Έστω τα ενδεχόµενα Α : Ο µαθητής δεν µαθαίνει Αγγλικά µε Ρ(Α) 0% Γ : Ο µαθητής δεν µαθαίνει Γαλλικά µε Ρ(Γ) 60% τότε Α Γ : Ο µαθητής δεν µαθαίνει καµία από τις δύο γλώσσες µε Ρ( Α Γ) 15% Με την βοήθεια του παρακάτω διαγράµµατος Venn, παρατηρούµε ότι µέσα στην γραµµή Α Ω είναι οι µαθητές που δεν µαθαίνουν Αγγλικά Γ Α και µέσα στην γραµµή Γ είναι οι µαθητές που δεν µαθαίνουν Γαλλικά. Οπότε στην σκούρα περιοχή θα βρίσκονται οι µαθητές που µαθαίνουν και Αγγλικά και Γαλλικά. Η σκούρα περιοχή είναι το ενδεχόµενο ( Α Γ). Αλλά Ρ(Α Γ ) + P(Α Γ ) 1 άρα Ρ( Α Γ ) 1 Ρ( Α Γ ) 1 [Ρ(Α) +Ρ(Γ) Ρ( Α Γ) ] 1 Ρ(Α) Ρ(Γ) + Ρ( Α Γ) i Το ενδεχόµενο ο µαθητής µαθαίνει µία τουλάχιστον γλώσσα είναι το Α Γ Όµως Ρ( Α Γ ) + Ρ( Α Γ ) Ρ(Α ) + Ρ(Γ ) άρα Ρ ( Α Γ ) Ρ( Α ) +Ρ( Γ ) Ρ( Α Γ ) 1 Ρ(Α) + 1 Ρ(Γ) Ρ ( Α Γ ) Σηµείωση : Από το διάγραµµα του Venn διαπιστώνουµε ότι 35 άρα Ρ (Α Γ ) Ρ ( Α Γ) 100 ( Α Γ) Α Γ
11 11 1. Έστω Ω {,, 6, 8, 10, 1, 1, 16} ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης µε ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα, και τα ενδεχόµενα Α {α Ω µε α πολλαπλάσιο του } ( x 6x+ 8)( x 3) Β β Ω µε β ρίζα της εξίσωσης 0 x Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ( Α Β), Ρ(Α Β) Προφανώς είναι Α{, 8, 1, 16} ακόµα (x 6x+ 8)(x 3) Βρίσκοντας τις λύσεις της εξίσωσης 0 έχουµε x (x 6x + 8)(x 3) 0 και x άρα x ή x 3 συνεπώς Β {3, } Ν Οπότε Ρ(Α) ( Α ) 1 Ν(Β) 1 και Ρ(Β) Ν( Ω) 8 Ν(Ω) 8 Επίσης Α Β { 3,, 8,1, 16} µε Ν( Α Β ) 5, Α Β {} µε Ν( Α Β ) 1 N(A B) 5 Ν(Α Β) 1 Άρα Ρ( Α Β ) και Ρ(Α Β) N( Ω) 8 Ν(Ω) Σ ένα χωριό µε 8 οικογένειες, οι 36 έχουν έγχρωµη τηλεόραση, οι 16 ασπρόµαυρη και οι 6 έχουν και έγχρωµη και ασπρόµαυρη. Αν επιλέξουµε µία οικογένεια στην τύχη, να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων Να έχει ένα τουλάχιστον είδος τηλεόρασης. i Να µην έχει ούτε έγχρωµη ούτε ασπρόµαυρη τηλεόραση Έστω τα ενδεχόµενα Ε : η οικογένεια έχει έγχρωµη τηλεόραση Μ : η οικογένεια έχει ασπρόµαυρη τηλεόραση Τότε Ε Μ είναι το ενδεχόµενο : η οικογένεια έχει και έγχρωµη και ασπρόµαυρη Από υπόθεση έχουµε Ρ(Ε) 36 16, Ρ(Μ) και Ρ(Ε Μ) Το ζητούµενο ενδεχόµενο είναι το Ε Μ. Από τη σχέση Ρ ( Ε Μ ) + Ρ ( Ε Μ ) Ρ(Ε) + Ρ(Μ) συµπεραίνουµε Ρ ( Ε Μ ) Ρ( Ε ) +Ρ( Μ) Ρ( Ε Μ )
12 1 i Το ζητούµενο ενδεχόµενο είναι το (Ε Μ ) και αφού Ρ( Ε Μ ) + Ρ(Ε Μ ) 1, έχουµε Ρ( Ε Μ ) 1 Ρ( Ε Μ ) Από 10 µαθητές ενός Λυκείου, µαθητές συµµετέχουν στον διαγωνισµό της Ελληνικής Μαθηµατικής Εταιρείας, 0 µαθητές συµµετέχουν στον διαγωνισµό της Ένωσης Ελλήνων Φυσικών και 1 µαθητές συµµετέχουν και στους δύο διαγωνισµούς. Επιλέγουµε τυχαία έναν µαθητή. Ποια είναι η πιθανότητα ο µαθητής Να συµµετέχει σε ένα τουλάχιστον από τους δύο διαγωνισµούς i Να µην συµµετέχει σε κανέναν από τους διαγωνισµούς Έστω M : το ενδεχόµενο ο µαθητής µετέχει στην µαθ/ική εταιρεία µε Ρ(Μ) 10 Φ : το ενδεχόµενο ο µαθητής µετέχει στην ένωση φυσικών µε Ρ(Φ) 0 10 Τότε Μ Φ : είναι το ενδεχόµενο ο µαθητής µετέχει και στους δύο διαγωνισµούς µε Ρ(Μ Φ) 1 10 Ο µαθητής µετέχει σε έναν τουλάχιστον διαγωνισµό είναι το ενδεχόµενο Μ Φ Από τη σχέση Ρ(Μ Φ) + Ρ(Μ Φ) Ρ(Μ) + Ρ(Φ) έχουµε Ρ(Μ Φ) Ρ(Μ) + Ρ(Φ) Ρ(Μ Φ) i Ο µαθητής δεν µετέχει σε κανέναν διαγωνισµό είναι το ενδεχόµενο (Μ Φ) µε Ρ(Μ Φ) + Ρ(Μ Φ) 1 άρα Ρ(Μ Φ) 1 Ρ(Μ Φ)
13 Σε ένα δοχείο έχουµε 30 σφαίρες αριθµηµένες από το 1 έως και το 30. Επιλέγουµε µία σφαίρα στην τύχη. Έστω Α το ενδεχόµενο ο αριθµός της σφαίρας είναι άρτιος και Β το ενδεχόµενο ο αριθµός της σφαίρας είναι πολλαπλάσιο του 5. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες Ρ(A) και Ρ(Β) i Ρ(Α Β) ii Ρ(Α Β) Έχουµε ότι Ω { 1,, 3,., 8, 9, 30} µε Ν(Ω) 30 Α {,, 6, 8, 10, 1, 1, 16, 18, 0,,, 6, 8, 30} µε Ν(Α) 15 Β { 5, 10, 15, 0, 5, 30} µε Ν(Β) 6 Άρα Ρ(Α) N(A) N( Ω ) και Ρ(Β) N( Β ) N( Ω ) i Είναι Α Β { 10, 0, 30} µε Ν(Α Β ) 3 και Ρ(Α Β) N(A Β ) N( Ω ) ii Είναι Ρ(Α Β) + Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) άρα Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) Ένα κουτί περιέχει κόκκινες και µαύρες σφαίρες. Παίρνουµε τυχαία µία σφαίρα. Η πιθανότητα αυτή να είναι µαύρη είναι Ρ(Μ) 1. Αν για το πλήθος Ν(Ω) των σφαιρών που υπάρχουν στο κουτί ισχύει 6 < Ν(Ω) < 7, τότε Να δείξτε ότι Ν(Ω) 68 i Να βρείτε πόσες µαύρες και πόσες κόκκινες µπάλες υπάρχουν στο κουτί ii Να βρείτε την πιθανότητα η µπάλα είναι κόκκινη Ρ(Μ) 1 Ν( Μ) άρα Ν( Ω ) 1 οπότε Ν(Μ) Ν(Ω) Όµως 6 < Ν(Ω) < 7 άρα 6 < Ν(Μ) < 7 16 < Ν(Μ) < 18 και επειδή το Ν(Μ) είναι ακέραιος, θα είναι Ν(Μ) 17. Εποµένως Ν(Ω) Ν(Μ) 68 i Αφού Ν(Μ) 17 θα είναι Ν(Κ) ii Ν Ρ(Κ) ( Κ ) Ν( Ω )
14 1 17. Από τους µαθητές µιας τάξης ενός σχολείου επιλέγουµε τυχαία έναν µαθητή. Αν ν φυσικός αριθµός µε ν 3, τότε η πιθανότητα του ενδεχοµένου ο µαθητής 3ν να µαθαίνει : Γαλλικά είναι ν + Ισπανικά είναι και τις δύο παραπάνω γλώσσες είναι µία τουλάχιστον από τις παραπάνω γλώσσες είναι ίση µε τη µεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης 5x + 5x 10 0 είξτε ότι το ενδεχόµενο : ο µαθητής µαθαίνει µία τουλάχιστον από τις παραπάνω δύο γλώσσες, είναι βέβαιο i είξτε ότι ν 3 ii Αν ο αριθµός των µαθητών που µαθαίνουν και τις δύο παραπάνω γλώσσες είναι 3, να βρείτε τον αριθµό των µαθητών της τάξης. 3ν Έστω Γ το ενδεχόµενο : ο µαθητής µαθαίνει Γαλλικά µε Ρ(Γ) ν + Ι το ενδεχόµενο : ο µαθητής µαθαίνει Ισπανικά µε Ρ(Ι) Τότε το ενδεχόµενο : ο µαθητής µαθαίνει και τις δύο γλώσσες είναι το (Γ Ι) µε Ρ(Γ Ι) Και το ενδεχόµενο ο µαθητής µαθαίνει µία τουλάχιστον γλώσσα είναι το ( Γ Ι) µε Ρ( Γ Ι) η µεγαλύτερη λύση της εξίσωσης 5x + 5x 10 0 Έχουµε ότι 5x + 5x Λύνοντας την εξίσωση βρίσκουµε x ή x 1 Οπότε Ρ( Γ Ι) 1, άρα το ενδεχόµενο Γ Ι είναι βέβαιο. i Είναι Ρ( Γ Ι) + Ρ(Γ Ι) Ρ(Γ) + Ρ(Ι) άρα Ρ( Γ Ι) Ρ(Γ) + Ρ(Ι) Ρ(Γ Ι) 3ν 1 + ν + λύνοντας την εξίσωση βρίσκουµε ν 0 ή ν 3 δεκτή λύση η ν 3 λόγω των περιορισµών iν) Είναι Ν(Γ Ι) Αλλά Ρ(Γ Ι) N(Γ Ι) Ν(Ω) άρα 10 3 N(Ω) άρα Ν(Ω) 80
15 Κάποιος έχει την δυνατότητα να βάλει υποψηφιότητα για πρόεδρος σε δύο συλλόγους Σ 1 και Σ. Έστω τα ενδεχόµενα Α: Εκλέγεται πρόεδρος στον Σ 1 Β: Εκλέγεται πρόεδρος στον Σ Αν η πιθανότητα να εκλεγεί πρόεδρος στον Σ 1 είναι 1, να µην εκλεγεί στον Σ είναι 3 και να µην εκλεγεί συγχρόνως και σους δύο συλλόγους είναι 6 5, να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων Εκλέγεται στον Σ i Εκλέγεται και στους δύο συλλόγους ii Εκλέγεται σ έναν τουλάχιστον σύλλογο iν) εν εκλέγεται σε κανέναν ν) Το πολύ σε έναν σύλλογο εκλέγεται 1 ίνεται Ρ(Σ 1 ), Ρ(Σ ) 3 και Ρ( 5 Σ1 Σ ) 6 1 Ρ(Σ ) + Ρ(Σ ) 1 άρα Ρ(Σ ) 1 Ρ(Σ ) i 5 1 Ρ( Σ1 Σ ) + Ρ( Σ1 Σ ) 1 άρα Ρ( Σ1 Σ ) 1 Ρ( Σ1 Σ ) ii Ρ( Σ1 Σ ) + Ρ( Σ1 Σ ) Ρ(Σ 1 ) + Ρ(Σ ) άρα 1 1 Ρ( Σ1 Σ ) Ρ(Σ 1 ) + Ρ(Σ ) Ρ( Σ1 Σ ) iν) Ρ( Σ1 Σ ) + Ρ( Σ1 Σ ) 1 άρα Ρ( Σ1 Σ ) 1 Ρ( Σ1 Σ ) 1 5 ν) Το ενδεχόµενο : Το πολύ σε έναν σύλλογο εκλέγεται είναι το ( Σ1 Σ ) Oπότε Ρ( Σ1 Σ ) 5 6
3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ. Σχετική συχνότητα ενδεχοµένου Α : 2. Ιδιότητες της f, λ το πλήθος απλών ενδεχοµένων :
3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΘΕΩΡΙΑ. Σχετική συχνότητα ενδεχοµένου Α : Είναι το πηλίκο f κ A = ν ενδεχόµενου Α σε ν το πλήθος εκτελέσεις του πειράµατος όπου κ το πλήθος των πραγµατοποιήσεων του. Ιδιότητες
Διαβάστε περισσότεραΣτέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς.
Πιθανότητες Α Λσκείοσ Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς www.askisopolis.gr Πιθανότητες Εφαρμογές στον ορισμό πιθανότητας. Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε και τις
Διαβάστε περισσότερα5.2 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ
1 5.2 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πείραµα τύχης : Το πείραµα του οποίου δε µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το αποτέλεσµα. 2. ειγµατικός χώρος : Το σύνολο των δυνατών αποτελεσµάτων ενός πειράµατος
Διαβάστε περισσότερα3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ
. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 54 56 Α ΟΜΑ ΑΣ. Από µία τράπουλα µε 5 φύλλα παίρνουµε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν είναι 5 i) εχόµαστε
Διαβάστε περισσότερα3 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 21. (1)
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 η ΕΚΑ Α. Το 50% των κατοίκων µιας πόλης διαβάζουν την εφηµερίδα (α), ενώ το 30% των κατοίκων διαβάζουν την εφηµερίδα (α) και δε διαβάζουν την εφηµερίδα (β). Ποια είναι η πιθανότητα ένας
Διαβάστε περισσότερα4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31.
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Οι µηνιαίες αποδοχές, σε, ν υπαλλήλων είναι x, x,, x ν και αυτές αποτελούν οµοιογενές δείγµα µε µέση τιµή 000. Αν το 8% έχει µισθό Α, το 6% Β και οι υπόλοιποι Γ : Να βρείτε το
Διαβάστε περισσότερα1.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
. ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 7 9 Α ΟΜΑΔΑΣ. Από μία τράπουλα με 5 φύλλα παίρνουμε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν
Διαβάστε περισσότερα2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8
1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 5 και Ρ(Β) = Ρ(Α ). Αν τα Α, Β είναι ασυµβίβαστα, να εξετάσετε αν είναι ασυµβίβαστα και τα Α, Β 5 i είξτε ότι Ρ(Α Β)=
Διαβάστε περισσότεραΠ Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ο Γυμναστής ενός λυκείου προκειμένου να στελεχώσει την ομάδα μπάσκετ του λυκείου ψάχνει στην τύχη μεταξύ των μαθητών να βρει τρεις κοντούς (Κ) και τρεις ψηλούς (Ψ). Να
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
. Να βρείτε το δειγµατικό χώρο της ρίψης ενός ζαριού.. Επιλέγουµε ένα µαθητή Λυκείου και σηµειώνουµε το φύλο και την τάξη του. Να βρείτε το δειγµατικό χώρο Ω του πειράµατος. 3. Τραβάµε ένα φύλλο από µία
Διαβάστε περισσότερα5. 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ 77. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ Κλασικός ορισμός πιθανότητας Αν ένα στοιχείο του συνόλου του δειγματικού χώρου επιλέγεται στην τύχη και δεν έχει κανένα πλεονέκτημα έναντι των άλλων,
Διαβάστε περισσότερα1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4.
ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. Δειγματικοί χώροι. Διαγράμματα Venn Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Κλασικός ορισμός πιθανότητας 4. Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων η Κατηγορία : Δειγματικοί χώροι ) Ρίχνουμε
Διαβάστε περισσότερα3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με
Διαβάστε περισσότεραΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ
κεφ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Σε ένα συρτάρι υπάρχουν δύο κάρτες, μία άσπρη και μία κόκκινη Παίρνουμε στην τύχη μία κάρτα από το συρτάρι, καταγράφουμε το χρώμα της και την ξαναβάζουμε
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ρίχνουµε ένα νόµισµα τρείς φορές (i) Να βρείτε τον δειγµατικό χώρο του πειράµατος τύχης. (ii) Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων: Α: Οι τρεις ενδείξεις είναι ίδιες. Β:
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΓΕΡΓΙΟΣ Ε. ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ [] ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΡΙΑ: Πείραμα Τύχης Κάθε πείραμα κατά στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως
Διαβάστε περισσότερα3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω η συνάρτηση f() = 80 αν < < 0 αν 0 αν i ) Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης Α = f( ) + f(0) 5f() f + f( ) Αν Μ(, ) και Ν(, 0) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΜΝ i
Διαβάστε περισσότερα1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η εκάδα
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η εκάδα. Στην αρχή της σχολικής χρονιάς, οι 50 µαθητές της τρίτης τάξης ενός λυκείου ρωτήθηκαν σχετικά µε τον αριθµό των βιβλίων που διάβασαν την περίοδο των διακοπών τους. Τα δεδοµένα
Διαβάστε περισσότερα3.1 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ. 1. Πείραµα τύχης : Το πείραµα του οποίου δε µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το αποτέλεσµα.
1 3.1 ΕΙΓΜΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝ ΘΕΡΙ 1. Πείραµα τύχης : Το πείραµα του οποίου δε µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το αποτέλεσµα. 2. ειγµατικός χώρος : Το σύνολο των δυνατών αποτελεσµάτων του πειράµατος
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι. Ενότητα 3: Πιθανότητες. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών
Στατιστική Ι Ενότητα 3: Πιθανότητες Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραΟι Ασκήσεις της Α Λυκείου
Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 0-0 Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου ΣΥΝΟΛΑ. Σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής
Διαβάστε περισσότεραΘέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β
Θέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β 1. Δίνονται δύο ενδεχόμενα A, B ενός δειγματικού χώρου και οι πιθανότητες: 3 5 1 P( A), P( A B) και P( B) 4 8 4 α) Να υπολογίσετε την P( A B) β) i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn
Διαβάστε περισσότεραε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.
1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ
ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Πιθανότητες Πραγματικοί αριθμοί Εξισώσεις Ανισώσεις Πρόοδοι Βασικές έννοιες των συναρτήσεων Μελέτη βασικών συναρτήσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α
Διαβάστε περισσότεραÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ÊÑÇÔÇÓ
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 07 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι f ( x) + g( x) = f ( x) + g ( x), για κάθε
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β. B. Το αντίστοιχο διάγραμμα Venn είναι το παρακάτω:
ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β Β1 α) Από τους κανόνες λογισμού των πιθανοτήτων έχουμε: P( A B) P( A) P( A B) P( A B) P( A) P( A B) και από τα δεδομένα 3 5 1 παίρνουμε: P( A B) P( A B) 4 8 8 β)
Διαβάστε περισσότεραΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ.Ένα κουτί περιέχει τέσσερις λαχνούς αριθμημένους από το εώς το 4. Εκλέγουμε έναν λαχνό στην τύχη,σημειώνουμε το αποτέλεσμα και δεν ξανατοποθετούμε τον λαχνό στο κουτί. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 2ο Κανόνες Απαρίθμησης (συνέχεια) 2 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΕ ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ, ΒΙΒΛΙΟ & ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΜΑΤΩΝ www.unipi.gr/faculty/mkoutras/index.htm
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 19 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 19 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Όνομα/Επίθετο: Ζήτημα 1ο Να γράψετε στη γλώσσα των συνόλων και λεκτικά ποιο ενδεχόμενο παριστάνει κάθε ένα
Διαβάστε περισσότερα4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 31. Έστω Α, Β δύο ενδεχόµενα του ίδιου δειγµατικού χώρου. Αν Ρ(Α ) 0,8 και Ρ(Β ) 0,71 δείξτε ότι Ρ( Α Β) 1,01 Ρ( Α Β) i Το ενδεχόµενο Α Β δεν είναι το κενό. Έχουµε Ρ( Α
Διαβάστε περισσότερα1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος
1. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος Κάθε πείραμα στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως το αποτέλεσμα λέγεται αιτιοκρατικό πείραμα. Τέτοια πειράματα
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001
Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα 1ο Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) = Ρ (Α) Ρ (Α Β). Μονάδες
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Οµάδα η. Αν Ω={ω,ω,,ω 6 } είναι ο δ.χ ενός πειράµατος τύχης να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(ω ),,Ρ(ω 6 ) αν είναι γνωστό ότι αυτές αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου µε
Διαβάστε περισσότερα3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Π ε ι ρ α μ α τ υ χ η ς - Δ ε ι γ μ α τ ι κ ο ς χ ω ρ ο ς. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε το αποτελεσμα,.
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ÈÅÌÅËÉÏ
Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 Ζήτηµα 1ο Α.1. Α.2. Β.1. Β.2. Β.3. Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) = Ρ (Α)
Διαβάστε περισσότεραΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ανδρεσάκης Δ. ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΛΓΕΡ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙ 1 Tα πειράματα των οποίων δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνονται (φαινομενικά τουλάχιστον) κάτω από τις ίδιες συνθήκες
Διαβάστε περισσότερα1 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή
1 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή Υπάρχει σε πολλούς η εντύπωση ότι το κύριο κίνητρο για την ανάπτυξη της Θεωρίας των Πιθανοτήτων προήλθε από το ενδιαφέρον του ανθρώπου για τα τυχερά παιχνίδια. Σημαντική μάλιστα
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 2: Θεωρία Πιθανοτήτων Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000
Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.α) ίνεται η συνάρτηση F() f() + g(). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F () f () + g
Διαβάστε περισσότεραΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Συχνότητα Σχετική συχνότητα Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται va φορές,τότε va ο αριθμός va λέγεται συχνότητα του ενδεχομένου
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. 1. Ο παρακάτω πίνακας δίνει το βαθμολογικό επίπεδο των μαθητών ενός σχολικού συγκροτήματος.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Προβλήματα 1. Ο παρακάτω πίνακας δίνει το βαθμολογικό επίπεδο των μαθητών ενός σχολικού συγκροτήματος. Βαθμολογικά ΚΟΡΙΤΣΙΑ ΑΓΟΡΙΑ επίπεδα Γυμνάσιο Λύκειο Γυμνάσιο Λύκειο Χαμηλή
Διαβάστε περισσότεραΠ Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ
Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) o ΘΕΜΑ A. Aν n
Διαβάστε περισσότερα2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση
00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης http://usersschgr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-
Διαβάστε περισσότεραΣχολικός Σύµβουλος ΠΕ03
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ω Ν ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ0 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηµατικών µε πολλά
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000 ÈÅÌÅËÉÏ
Ζήτηµα ο Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 000 Α. α) ίνεται η συνάρτηση F() = f() + g(). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F () = f () + g () (Μονάδες
Διαβάστε περισσότερα3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }.
3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα Τύχης Ένα πείραμα του οποίου δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνεται φαινομενικά τουλάχιστον κάτω από
Διαβάστε περισσότερα1 και Ρ(Β) = τότε η Ρ (Α Β) είναι ίση µε: 2 δ και Ρ(Α Β) = 4
ΘΕΜΑ ο Α.. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) Ρ (Α) Ρ (Α Β). Μονάδες 8, Α.. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω σχέσεις και να συµπληρώσετε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. Μονάδες
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Συνοπτική Θεωρία Όλες οι αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις από την Τράπεζα Θεμάτων του Υπουργείου και προτεινόμενες Διαγωνίσματα
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα
Διαβάστε περισσότεραΠιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd
1 Πιθανότητες Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 2 Ενότητα 2 η Πιθανότητες Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν ένα πείραμα τύχης
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΗΡΙ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΡΓΑΣΗΡΙ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Αθήνα 2012-0- Στόχοι 1. Η αναγνώριση ενός πειράµατος φαινοµένου ως πείραµα τύχης (στοχαστικό) 2. Ο προσδιορισµός του δειγµατικού χώρου και ενδεχοµένων αυτού, µε
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ( Version ) 2001
ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ( Version 17-4--2016) 2001 ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) = Ρ (Α) Ρ (Α Β). Μονάδες 8,5 Απόδειξη: Επειδή τα ενδεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης;
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; =. β) Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο «ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ»
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα
Διαβάστε περισσότερα1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ
1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙ ΠΙΘΝΟΤΗΤΩΝ 1. Πείραμα τύχης Πείραμα τύχης (π.τ.) ονομάζουμε κάθε πείραμα που μπορεί να επαναληφθεί όσες φορές επιθυμούμε υπό τις ίδιες συνθήκες και του οποίου το αποτέλεσμα είναι
Διαβάστε περισσότερα1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Έστω η εξίσωση (k 5k+ 4) x (k 1)x + 1= 0 Να βρείτε την τιµή του k ώστε η εξίσωση να έχει µία µόνο ρίζα την οποία ρίζα να προσδιορίσετε i Να βρείτε την τιµή του k ώστε η
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 20 ΜΑΙΟΥ 2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 20 ΜΑΙΟΥ 2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ. 150 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α2. Θεωρία
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Α Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως αληθής (Α) ή ψευδής (Ψ)
Κριτήριο αξιολόγησης στις πιθανότητες Ομάδα: Α Όνομα.Επώνυμο....ημ/νία Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως αληθής (Α) ή ψευδής (Ψ). Δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα δεν είναι ασυμβίβαστα.. Αν Α και
Διαβάστε περισσότεραΗ Έννοια της Πιθανότητας. 1 Βρείτε την πιθανότητα του καθ ενός απ τα παρακάτω ενδεχόμενα:
1 Η Έννοια της Πιθανότητας Η Έννοια της Πιθανότητας 1 Βρείτε την πιθανότητα του καθ ενός απ τα παρακάτω ενδεχόμενα: α) Να εμφανιστεί περιττός αριθμός κατά την ρίψη ενός ζαριού. (1/2) β) Να εμφανιστεί τουλάχιστον
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ
ΜΑΘΗΜΑ ΙΑΡΚΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 3 ΩΡΕΣ ΘΕΜΑ Ο Α ) Να αποδείξετε ότι για δυο ασυµβίβαστα ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει P( A B) = P( A) + P( B) ( µονάδες 8 ) Β ) Να δώσετε τον
Διαβάστε περισσότεραΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ.ΣΠ. ΛΥΚΟΥΔΗΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Θεωρία Πιθανοτήτων Εάν οι συνθήκες τέλεσης ενός πειράματος καθορίζουν πλήρως το αποτέλεσμα του, τότε το πείραμα λέγεται αιτιοκρατικό. Είναι γνωστό ότι το αποσταγμένο νερό βράζει στους 100 βαθμού κελσίου.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ΝΤΑΙΦΩΤΗΣ
ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ΝΤΑΙΦΩΤΗΣ Θ Ε Μ Α 1 Από τους 120 μαθητές ενός Λυκείου, οι 24 μαθητές συμμετέχουν σε ένα διαγωνισμό Α, οι 20 μαθητές συμμετέχουν σε ένα διαγωνισμό Β και οι 12 μαθητές
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα
Διαβάστε περισσότεραΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }.
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Αν δηλαδή ω,,, ω2 ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος
Διαβάστε περισσότεραΤυχαία Μεταβλητή (Random variable-variable aléatoire)
Τυχαία Μεταβλητή (Random varable-varable aléatore) Σε πολλούς τύπους πειραμάτων τα αποτελέσματα είναι από τη φύση τους πραγματικοί αριθμοί. Παραδείγματα τέτοιων πειραμάτων αποτελούν οι μετρήσεις των υψών
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 6 η ΕΚΑ Α
1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 6 η ΕΚΑ Α 51. Να γίνει γινόµενο παραγόντων η παράσταση α β + αβ α β Αν α β + β α = α + β, να δείξετε ότι οι αριθµοί α και β είναι ίσοι ή αντίθετοι. α β + αβ α β = αβ(α + (α + β )
Διαβάστε περισσότερα4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 31. Έστω Α, Β δύο ενδεχόµενα του ίδιου δειγµατικού χώρου. Αν Ρ(Α ) 0,8 και Ρ(Β ) 0,71 δείξτε ότι Ρ( Α Β) 1,01 Ρ( Α Β) i Το ενδεχόµενο Έχουµε Α Βδεν είναι το κενό. Ρ( Α Β)
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 20 ΜΑΪΟΥ 2013 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. x x x 4
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 0 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελ. 8 Α. Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελ. 4 Α. Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελ. 87 Α4.
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου
Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέµα Α A1. Για δυο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι: Ρ( Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ( Α Β) Α. Πότε µια συνάρτηση f µε
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2
ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ
Διαβάστε περισσότεραιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ [Δεν είναι σκόπιμο να αποκαλύψεις στο παιδί σου ότι οι μεγάλοι άντρες δεν είχαν ιδέα από άλγεβρα] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Μ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ
Διαβάστε περισσότεραΘέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β
ΘΕΜΑ Β 1. Δίνονται δύο ενδεχόμενα A, B ενός δειγματικού χώρου και οι πιθανότητες: 3 5 1 P( A), P( A B) και P( B) 4 8 4 α) Να υπολογίσετε την P( A B) β) i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και να γράψετε
Διαβάστε περισσότεραΓΕΛ ΝΕΑΣ ΠΕΡΑΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ-ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Στατιστική ομαλότητα ή Νόμος των μεγάλων αριθμών
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ-ΛΟΓΙΣΜΟΣ Στατιστική ομαλότητα ή Νόμος των μεγάλων αριθμών Οι σχετικές συχνότητες πραγματοποίησης των ενδεχομένων ενός πειράματος σταθεροποιούνται γύρω από κάποιους αριθμούς
Διαβάστε περισσότεραΓ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου
Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ. Ηµεροµηνία: Κυριακή 17 Απριλίου 2016 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 016 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 016 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς
Διαβάστε περισσότεραΑ) Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόμενο που παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράμματα Venn.
Άσκηση 1 Α) Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόμενο που παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράμματα Venn. B) Αν ( ), ( ), ( ), να εκφράσετε τις πιθανότητες
Διαβάστε περισσότεραΠιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α
Πιθανότητες Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 7 / 0 / 0 6 Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις και τεχνικές σε 8 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο ΓΛΥΚΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ τηλ.
Διαβάστε περισσότεραhttp://lisari.blogspot.com .1 Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη διατύπωση
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών
Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραÈÅÌÁÔÁ 2007 ÏÅÖÅ ( ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ
Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο Α.Τι λέγεται δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης; Μονάδες. Πώς ορίζεται η διάµεσος ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων; (ν θετικός ακέραιος) Μονάδες 4 B. Αν η
Διαβάστε περισσότερα1.1 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ
1 1.1 ΕΙΓΜΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝ ΘΕΩΡΙ 1. Πείραµα τύχης : Το πείραµα του οποίου δε µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το αποτέλεσµα. 2. ειγµατικός χώρος : Το σύνολο των δυνατών αποτελεσµάτων ενός πειράµατος
Διαβάστε περισσότεραΠεριοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,...
Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 96) Άσκηση ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω οι παρατηρήσεις δυο δειγμάτων αντίστοιχα των μεταβλητών Χ και Ψ Δίνεται ότι η μέση τιμή
Διαβάστε περισσότεραΑ ΕΝΟΤΗΤΑ. Πιθανότητες. Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα. Η έννοια της πιθανότητας
Α ΕΝΟΤΗΤΑ Πιθανότητες Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Η έννοια της πιθανότητας Α.1 Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα. Απαραίτητες γνώσεις
Διαβάστε περισσότεραΠ Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ
Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς : Ο τομέας των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, που ασχολείται με την αξιολόγηση κατάλληλων στοιχείων έτσι ώστε να είναι μετρήσιμη η προσδοκία μας για την πραγματοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Γνωριµία και ερµηνεία των πιθανοτήτων Χρήση σε πρακτικά προβλήµατα και σε θέµατα στατιστικής συµπερασµατολογίας. Προσθετικός και πολλαπλασιαστικός κανόνας των πιθανοτήτων Έννοια της
Διαβάστε περισσότερα1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ
1 1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 26 28 Α ΟΜΑΔΑΣ 1. Ένα κουτί έχει τρεις μπάλες, μια άσπρη, μια μαύρη και μια κόκκινη. Κάνουμε το εξής πείραμα : παίρνουμε από το κουτί μια
Διαβάστε περισσότεραΑ4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η
ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 7 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 203 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α. Για δυο ασυµβίβαστα ενδεχόµενα
Διαβάστε περισσότεραα) Αν Α, Β, Γ είναι τρία ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης, να διατυπώσετε λεκτικά τα παρακάτω ενδεχόμενα:
ΘΕΜΑ 2 (479) α) Αν Α, Β, Γ είναι τρία ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης, να διατυπώσετε λεκτικά τα παρακάτω ενδεχόμενα: i) A B ii) B Γ iii) (A B) Γ iv) A (Μονάδες 12) β) Στο παρακάτω
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Πιθανότητες Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές
ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β art time Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unipi.gr Η έννοια της Πιθανότητας Ο όρος πιθανότητα είναι συνδέεται άμεσα με τη μελέτη
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012
Ε_3.Μλ3Γ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 01 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ (ημιτελές Version )
ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ (ημιτελές Version 24-3-2016) 2001 2001 επαναληπτικές 2002 2002 επαναληπτικές 2003 2003 επαναληπτικές 2006 2006 επαναληπτικές 2005 2005 επαναληπτικές 2006 2006 επαναληπτικές 2007 2007
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil
Διαβάστε περισσότεραΠιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου
Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 εσµευµένη Πιθανότητα Πολλαπλασιαστικός Νόµος Ανεξάρτητα Γεγονότα Θεώρηµα Ολικής Πιθανότητας Κανόνας Bayes
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ. Ε.1 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής
Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ Ε. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής i) Αν Α= {0,5,8,3,89}, τότε το Α. ii) Αν Α = {, {,5}, 8, 0}, τότε το Α. iii) Τα σύνολα
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
Ζήτηµα ο Α.. Α.. Β.. Β.. Β.. Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) Ρ (Α) Ρ
Διαβάστε περισσότερα