Δείξτε ότι αν πιθανότητα Ρ(Α/Β) είναι μεγαλύτερη της πιθανότητας Ρ(Α), τότε πιθανότητα Ρ(Β/Α) είναι μεγαλύτερη της πιθανότητας Ρ(Β);

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Δείξτε ότι αν πιθανότητα Ρ(Α/Β) είναι μεγαλύτερη της πιθανότητας Ρ(Α), τότε πιθανότητα Ρ(Β/Α) είναι μεγαλύτερη της πιθανότητας Ρ(Β);"

Transcript

1 Μια παρέα αποτελούμενη από 10 άντρες και 5 γυναίκες, με τυχαίο τρόπο χωρίζονται σε ομάδες 3 ατόμων. Βρείτε την πιθανότητα ότι σε κάθε ομάδα θα υπάρχει ένας τουλάχιστον άνδρας. Απάντηση: Έστω το γεγονός Α={Ένας τουλάχιστον άνδρας σε κάθε τριμελή ομάδα} Θα υπολογιστεί η πιθανότητα Ρ(Αc) = 1-Ρ(Α). Το γεγονός Αc είναι ισοδύναμο με το γεγονός Βc={δεν σχηματίζεται ομάδα με αποκλειστική συμμετοχή γυναικών}., 4,83 ΛΑΘΟΣ

2 Σε ένα κουτί, που περιέχει n σφαίρες βάζουμε μια άσπρη σφαίρα, μετά εξάγουμε τυχαία μια σφαίρα.βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου η εξαγόμενη σφαίρα να είναι άσπρη, αν είναι ισοπίθανες όλες οι υποθέσεις για το χρώμα των σφαιρών που περιείχε αρχικά το κουτί. Λύση Έστω Ρ τα ενδεχόμενα για τα χρώματα των αρχικών σφαιρών, τα οποία παρουσιάζονται παρακάτω: Χ1: στο κουτί αρχικά, δεν περιέχεται καμία άσπρη σφαίρα Χ2: στο κουτί αρχικά, περιέχεται μια άσπρη σφαίρα Χ3: στο κουτί αρχικά, περιέχονται δύο άσπρες σφαίρες Χ4: στο κουτί αρχικά, περιέχονται τρεις άσπρες σφαίρες... Χn+1: στο κουτί αρχικά, περιέχονται n άσπρες σφαίρες Επειδή τα παραπάνω ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα, λόγω υποθέσεως, και το άθροισμα των πιθανοτήτων τους είναι ίσο με τη μονάδα, δηλαδή: Ρ(Χ1)+Ρ(Χ2)+Ρ(Χ3)+Ρ(Χ4)+ +Ρ(Χn+1)=1 συμπεραίνουμε ότι τελικά οι παραπάνω πιθανότητες θα είναι: Ρ(Χ1)=Ρ(Χ2)=Ρ(Χ3)=Ρ(Χ4)= =Ρ(Χn+1)= 1/(n+1) Έστω Ε το ενδεχόμενο να πάρουμε μια άσπρη σφαίρα από το κουτί ( αφού φυσικά έχουμε βάλει την άσπρη σφαίρα της εκφώνησης). Η δεσμευμένη πιθανότητα να πάρουμε άσπρη σφαίρα, σύμφωνα με το ενδεχόμενο Χ1, είναι: Ρ(Ε/Χ1)= 1/(n+1) Η δεσμευμένη πιθανότητα να πάρουμε άσπρη σφαίρα, σύμφωνα με το ενδεχόμενο Χ2, είναι: Ρ(Ε/Χ2)= 2/(n+1) Η δεσμευμένη πιθανότητα να πάρουμε άσπρη σφαίρα, σύμφωνα με το ενδεχόμενο Χ3, είναι: Ρ(Ε/Χ3)= 3/(n+1) Η δεσμευμένη πιθανότητα να πάρουμε άσπρη σφαίρα, σύμφωνα με το ενδεχόμενο Χ4, είναι: Ρ(Ε/Χ4)= 4/(n+1)... Η δεσμευμένη πιθανότητα να πάρουμε άσπρη σφαίρα, σύμφωνα με το ενδεχόμενο Χn+1, είναι: Ρ(Ε/Χn+1)= (n+1)/(n+1)=1 Τελικά, η ολική πιθανότητα να πάρουμε μια άσπρη σφαίρα, δίνεται από τον τύπο: Ρ(Ε)=Ρ(Χ1)Ρ(Ε/Χ1)+Ρ(Χ2)Ρ(Ε/Χ2)+Ρ(Χ3)Ρ(Ε/Χ3)+Ρ(Χ4)Ρ(Ε/Χ4)+ +Ρ(Χn+1)Ρ(Ε/Χn+1)= =1/(n+1) 1/(n+1)+1/(n+1) 2/(n+1)+1/(n+1) 3/(n+1)+1/(n+1) 4/(n+1)+...+1/(n+1) 1= = 1/(n+1)2 [ n+(n+1)]= =1/(n+1)2 [ (n+2)(n+1)/2]= =(n+2)/2(n+1) Άρα Ρ(Ε)=(n+2)/2(n+1)

3 Δείξτε ότι αν πιθανότητα Ρ(Α/Β) είναι μεγαλύτερη της πιθανότητας Ρ(Α), τότε πιθανότητα Ρ(Β/Α) είναι μεγαλύτερη της πιθανότητας Ρ(Β); Απάντηση: Από τον πολλαπλασιαστικό τύπο (ή νόμο του γινομένου ή νόμο των συνθέτων πιθανοτήτων) είναι: P (A/B)*P (B) =P (B/A)*P (A) όπου P (A), P (B)>0. Έτσι,P (A/B) = P (B/A)* P(A) / P(B). Χρησιμοποιώντας την τελευταία σχέση έχουμε: Εάν P (A/B) >P(A) => P (B/A)* P(A) / P(B) > P(A) => P(B/A) > P(B).

4 Μια συσκευή αποτελείται από 1000 εξαρτήματα, που λειτουργούν ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Η πιθανότητα να χαλάσει κάποιο από τα εξαρτήματα αυτά σε χρόνο Τ είναι 0,002. Βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου σε χρόνο Τ να χαλάσουν ακριβώς 3 εξαρτήματα. Η πιθανότητα Ρ(Α) να χαλάσει ένα εξάρτημα σε χρόνο Τ είναι Ρ(Α) = 2/1000 Οπόταν η πιθανότητα Ρ(Β) να χαλάσουν τρία εξαρτήματα σε χρόνο Τ είναι : Ρ(Β) = Ρ(Α) * Ρ(Α) * Ρ(Α) <=> Ρ(Β) = 0,

5 Η πιθανότητα κέρδους για κάθε λαχνό είναι 0,02. Ποια η πιθανότητα τουλάχιστον ενός κέρδους για 10 λαχνούς; Θα λύσουμε το πρόβλημα για n=10. Επειδή, κάθε λαχνός μπορεί να κερδίσει παράλληλα με άλλους λαχνούς που κερδίζουν άλλα ποσά, =10x0,02-0,182+ = 0,182927

6 Ένα εργοστάσιο φτιάχνει τηλεοράσεις. Η πιθανότητα του ενδεχομένου η παραγόμενη τηλεόραση να είναι ελαττωματική είναι 0,01. Βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου ανάμεσα σε 200 τηλεοράσεις να υπάρχουν ακριβώς 4 ελαττωματικές. Απάντηση: Για την λύση της άσκησης θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο της σχέσης Bernoulli που βρίσκεται στο βιβλίο στην σελίδα 64. (1) Όπου για την επίλυση του παίρνουμε τον τύπο: (2) Για την άσκηση θέτουμε: p = Πιθανότητα να υπάρχει ελαττωματική τηλεόραση 1% q = Υπόλοιπο της πιθανότητας,δηλαδή οι μη ελαττωματικές τηλεοράσεις 99% n = Το σύνολο των παραγόμενων τηλεοράσεων 200 κ = Οι ελαττωματικές τηλεοράσεις 4 Χρησιμοποιούμε τον τύπο (2) και παίρνουμε: 200! / [4!/196!] = (197*198*199*200)/(1*2*3*4) (Μετά απο απλοποίηση) Το αποτέλεσμα των πράξεων είναι = Το αποτέλεσμα αυτό το χρησιμοποιούμε στον αρχικό τύπο (1) και παίρνουμε: f(k) = x (1/100)4 x (99/100)196 = x 10-8 x = Άρα η πιθανότητα να έχουμε ακριβώς 4 ελαττωματικές τηλεοράσεις σε 200 παραγόμενες είναι περίπου 9%

7 Ένα παντοπωλείο αγόρασε 1000 μπουκάλια κρασί. Η πιθανότητα του ενδεχομένου να σπάσει το μπουκάλι κατά τη διάρκεια της μεταφοράς είναι 0,003. Βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου το παντοπωλείο να πάρει σπασμένα μπουκάλια : α)ακριβώς 2 β)το πολύ 2, γ) τουλάχιστον 2, δ) τουλάχιστον 1. Λύση Έστω Αι ={ σπάει το i μπουκάλι}, όπου i =1,2,, 1000 P(Ai) = 0,003 Μπορεί να συμβεί είτε το γεγονός Α1 Α2 Αc3 Αc1000, είτε οποιοδήποτε άλλο Αc1 Α2 Αc3 Α1000. Συνολικά υπάρχουν 1000 ανά 2 συνδυασμοί των καταστάσεων του συγκεκριμένου αριθμού μπουκαλιών. Η ζητούμενη πιθανότητα είναι Ρ( 2 ακριβώς σπασμένα στα 1000)= (0,003)2(0,997)998=0,22 Με ανάλογο τρόπο θα απαντήσετε στα λοιπά ερωτήματα.

8 Τρεις κυνηγοί ταυτόχρονα πυροβολήσανε σε μια αρκούδα, η οποία σκοτώθηκε από μια μόνο σφαίρα. Να βρεθεί η πιθανότητα ότι η αρκούδα σκοτώθηκε από τον πρώτο, δεύτερο ή τρίτο κυνηγό, αν οι πιθανότητες ευστοχίας για τους τρεις κυνηγούς είναι 0,2 0,4 0,6 αντίστοιχα. Λύση Έστω Α,Β,Γ τα γεγονότα κατά τα οποία ο 1ος ή ο 2ος ή ο 3ος κυνηγός αντίστοιχα σκότωσε την αρκούδα. Επειδή όμως η αρκούδα σκοτώθηκε από έναν κυνηγό (μόνο μια σφαίρα) οδηγούμαστε στο συμπέρασμα ότι τα γεγονότα Α, Β, Γ είναι ανα δύο ξένα. Άρα για τον 1ο κυνηγό έχουμε: Η πιθανότητα η αρκούδα να χτυπήθηκε από έναν εκ των άλλων δύο κυνηγών είναι Ρ(Β Γ) επομένως η πιθανότητα η αρκούδα να χτυπήθηκε από τον πρώτο κυνηγό είναι Ρ( (Β Γ) ) = 1 - Ρ(Β Γ) =1 - Ρ(Β)-Ρ(Γ) + Ρ(Β Γ), όμως επειδή τα Β και Γ είναι ξένα: Β Γ = άρα Ρ(Β Γ) =0 και επομένως Ρ( (Β Γ) ) = 1 - Ρ(Β)-Ρ(Γ)=0 Ομοίως για τον 2ο κυνηγό: Η πιθανότητα η αρκούδα να χτυπήθηκε από έναν εκ των άλλων δύο κυνηγών είναι Ρ(A Γ) επομένως η πιθανότητα η αρκούδα να χτυπήθηκε από τον δεύτερο κυνηγό είναι Ρ( (A Γ) ) = 1 - Ρ(A Γ) =1 Ρ(A)-Ρ(Γ) + Ρ(A Γ), όμως επειδή τα A και Γ είναι ξένα: A Γ = άρα Ρ(Α Γ) = 0 και επομένως Ρ( (Α Γ) ) = 1 - Ρ(Α)-Ρ(Γ)=0,2 Ομοίως για τον 3ο κυνηγό: Η πιθανότητα η αρκούδα να χτυπήθηκε από έναν εκ των άλλων δύο κυνηγών είναι Ρ(A Β) επομένως η πιθανότητα η αρκούδα να χτυπήθηκε από τον τρίτο κυνηγό είναι Ρ( (A Β) ) = 1 - Ρ(A Β) =1 Ρ(A)-Ρ(Β) + Ρ(A Β), όμως επειδή τα A και Β είναι ξένα: A Β = άρα Ρ(Α Β) = 0 και επομένως Ρ( (Α Β) ) = 1 - Ρ(Α)-Ρ(Β)=0,4 Σημείωση: όπου (Β Γ) το συμπληρωματικό του (Β Γ) όπου (Α Γ) το συμπληρωματικό του (Α Γ) όπου (Α Β) το συμπληρωματικό του (Α Β)

9 Το 1/3 μιας από τις τρεις παρτίδες εξαρτημάτων είναι ελαττωματικά. Ένα εξάρτημα που πήραμε από μια παρτίδα ήτανε κανονικό. Να βρεθεί η πιθανότητα ότι το εξάρτημα που πήραμε ήτανε από την παρτίδα που έχει ελαττωματικά κομμάτια; Επίσης να βρεθεί η ίδια πιθανότητα έχοντας υπόψη ότι ένα δεύτερο εξάρτημα που πήραμε από την ίδια παρτίδα πάλι ήτανε κανονικό, και αν το πρώτο εξάρτημα μετά από έλεγχο επιστράφηκε πάλι στη παρτίδα; Απάντηση: Έχουμε ότι Κ1=(εξάρτημα από το δοχείο με τα ελαττωματικά εξαρτήματα) Κ2=(εξάρτημα από το δοχείο με τα μη ελαττωματικά εξαρτήματα) Κ3=(εξάρτημα από το δοχείο με τα μη ελαττωματικά εξαρτήματα) Α=(Το πρώτο εξάρτημα μη ελαττωματικό) Σύμφωνα με τα δεδομένα Ρ(Κ1)=Ρ(Κ2)=Ρ(Κ3)=1/3 Ρ(Α/Κ1)=2/3 ΚΑΙ Ρ(Α/Κ2)=Ρ(Α/Κ3)=1 Οπότε σύμφωνα με το θεώρημα τις ολικής πιθανότητας Ρ(Α)=1/3(2/3+1+1)=8/9 Μετά το πρώτο πείραμα η πιθανότητα πως το δοχείο περιέχει ελαττωματικά εξαρτήματα είναι : Ρ(Κ1/Α)=Ρ(Κ1) Ρ(Α/Κ1)/Ρ(Α)=(1/3*2/3)/8/9 =1/4 Η πιθανότητα ότι το δοχείο έχει καλά εξαρτήματα είναι : ¾ Β=(δεύτερο εξάρτημα μη ελαττωματικό) Τότε Ρ(Β/Κ1)=2/3 Ρ(Β/Κ2)=0 Ρ(Β/Κ3)=0 Όποτε Ρ(Β)=1/4*2/3=1/6

10 Να βρεθεί η πιθανότητα ότι ο αριθμός κυκλοφορίας πρώτου τυχαίου αυτοκίνητου δεν περιέχει: α) τον αριθμό 5, β) 2 και περισσότερα πεντάρια, γ) ακριβώς 2 πεντάρια; Το πλήθος των πινακίδων στην Ελλάδα ανεξάρτητα τα γράμματα που προηγούνται είναι: Ν(Ω)=9*10*10*10=9000 Επιπλέον, το πλήθος των πινακίδων που δεν περιέχουν πεντάρια είναι: Ν(Α)=8*9*9*9=5832 Άρα, η πιθανότητα μια πινακίδα να μην περιέχει πεντάρια είναι: Ρ(Α)=Ν(Α)/Ν(Ω)=0.648 Το πλήθος των πινακίδων που δεν περιέχουν δύο ή περισσότερα πεντάρια προκύπτει αν από όλες αφαιρέσουμε αυτές που έχουν ένα (έστω Ν(Β)) ή και κανένα πεντάρι (Ν(Α)). Δηλαδή: Ν(Β)=8*9*9*1+1*9*9*9=1377 Άρα, η πιθανότητα μια πινακίδα να μην περιέχει δύο ή και περισσότερα πεντάρια είναι: Ρ(Γ)=[Ν(Α)+Ν(Β)]/Ν(Ω)=( )/9000=0.801 Αυτές που περιέχουν ακριβώς δύο πεντάρια είναι: Ν(Δ)=8*9*1*1+1*9*9*1=153 Και η πιθανότητα να προκύψει μία από αυτές είναι: Ρ(Δ)= Ν(Δ)/Ν(Ω)=0.017

11 Η πιθανότητα κέρδους για κάθε λαχνό είναι 0,02. Ποια η πιθανότητα τουλάχιστον ενός κέρδους για n λαχνούς αν n=1, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100; Απάντηση: Εχουμε πεπερασμένο σύνολο με ισοπίθανα ενδεχόμενα. Άρα ο δειγματικός χώρος είναι 1/0.02= 50 λαχνοί ( πχ.αριθμοί). Αν n = 1 έχουμε P(A)= 1/50= 0.02 Aν n =10 έχουμε P(A) = 10/50 = 0.2 Aν n =20 έχουμε P(A) = 20/50 = 0.4 Aν n =30 έχουμε P(A) = 30/50 = 0.6 Aν n =40 έχουμε P(A) = 40/50 = 0.8 Aν n =50 έχουμε P(A) = 50/50 = 1 Δεν είναι δυνατό να διατεθούν περισσότεροι των 50 λαχνών.

12 Δυο μπασκετμπολίστες κάνουν 3 βολές με στατιστικά ανεξάρτητο τρόπο. Οι πιθανότητες ευστοχίας σε κάθε βολή είναι 0,6 και 0,7 αντίστοιχα. Να βρείτε τις πιθανότητες ότι: α) και οι δυο θα έχουν ίδιο αριθμό ευστοχίας, β) ο πρώτος μπασκετμπολίστας θα περισσότερες ευστοχίες από τον δεύτερο. Απάντηση: α) ΚΑΙ ΟΙ ΔΥΟ ΤΟΝ ΙΔΙΟ ΑΡΙΘΜΟ ΕΥΣΤΟΧΙΑΣ: Εδώ διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: 1)και οι δυο από καμία εύστοχη βολή 2)και οι δυο από 1 εύστοχη βολή 3)και οι δυο από 2 εύστοχες βολές 4)και οι δυο από 3 εύστοχες βολές οι οποίες αντιστοιχούνται στα ενδεχόμενα Α1,Α2,Α3,Α4 των οποίων τις πιθανότητες θα βρούμε: 1)Η πιθανότητα του πρώτου μπασκετμπολίστα να μην βάλει καμία βολή θα είναι: P(H1)=0,4*0,4*0,4=0,064 (ισχύει ότι P(H1) =1-P(H1)) Ομοίως για τον δεύτερο θα έχουμε ότι: P(H2)=0,3*0,3*0,3=0,027 Αρα : P(A1)=0,064*0,027=0, (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ) 2)Η πιθανότητα του πρώτου να βάλει 1 εύστοχη(και τις υπόλοιπες 2 βέβαια άστοχες) βολή θα είναι:p(h1)=0,6*0,4*0,4=0,096 Ομοίως για τον δεύτερο θα έχουμε ότι: P(H2)=0,7*0,3*0,3=0,063 Αρα: P(A2)=3*0,096*3*0,063=0, εύστοχος ο παίχτης) (πολ/με με 3 γιατί δεν γνωρίζουμε σε ποια ακριβώς βολή θα είναι 3) Η πιθανότητα του πρώτου να βάλει 2 εύστοχες θα είναι:p(h1)=0,6*0,6*0,4=0,144 Ομοίως για τον δεύτερο θα έχουμε ότι:p(h2)=0,7*0,7*0,3=0,147 Αρα: P(A3)=3*0,144*3*0,147=0, (για τον ίδιο λόγο) 4) πιθανότητα του πρώτου να βάλει 3 εύστοχες θα είναι:p(h1)=0,6*0,6*0,6=0,216 Ομοίως για τον δεύτερο θα έχουμε ότι:p(h2)=0,7*0,7*0,7=0,343 Αρα: P(A4)=0,216*0,343=0, Οποτε και η ολική πιθανότητα θα είναι: P=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)=0,32076<1 ΚΑΙ ΤΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΝΑΙ ΑΣΥΜΒΙΒΑΣΤΑ) (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ

13 Δυο μπασκετμπολίστες κάνουν 3 βολές με στατιστικά ανεξάρτητο τρόπο. Οι πιθανότητες ευστοχίας σε κάθε βολή είναι 0,6 και 0,7 αντίστοιχα. Να βρείτε τις πιθανότητες ότι: α) και οι δυο θα έχουν ίδιο αριθμό ευστοχίας, β) ο πρώτος μπασκετμπολίστας θα περισσότερες ευστοχίες από τον δεύτερο. β)ο ΠΡΩΤΟΣ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΕΣ ΕΥΣΤΟΧΙΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΔΕΥΤΕΡΟ Εδώ διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: 1)ο πρώτος 1 εύστοχη και ο δεύτερος 0 2)>> >> 2 >> >> >> 0 3)>> >> 3 >> >> >> 0 4)>> >> 2 >> >> >> 1 5)>> >> 3 >> >> >> 1 6)>> >> 3 >> >> >> 2 που αντιστοιχούνται στα ενδεχόμενα Α1,Α2,Α3,Α4,Α5,Α6 των οποίων τις πιθανότητες θα βρούμε: 1)Η πιθανότητα του πρώτου να βάλει 1 εύστοχη βολή θα είναι:p(h1)=0,096 Η πιθανότητα του δεύτερου να μην βάλει καμία θα είναι:p(h2)=0,027 Αρα: P(A1)=3*0,096*0,027=0, ) Η πιθανότητα του πρώτου να βάλει 2 εύστοχες βολές θα είναι:p(h1)=0,144. Η πιθανότητα του δεύτερου να μην βάλει καμία θα είναι:p(h2)=0,027 Aρα: P(A2)=3*0,144*0,027=0, ) Η πιθανότητα του πρώτου να βάλει 3 εύστοχες βολές θα είναι:p(h1)=0,216. Η πιθανότητα του δεύτερου να μην βάλει καμία θα είναι:p(h2)=0,027 Αρα: P(A3)=0,216*0,027=0, ) Η πιθανότητα του πρώτου να βάλει 2 εύστοχες θα είναι:p(h1)=0,144 ενώ του δευτέρου για 1 εύστοχη θα είναι:p(h2)=0,063 Αρα: P(A4)=3*0,144*3*0,063=0, ) Η πιθανότητα του πρώτου να βάλει 3 εύστοχες βολές θα είναι:p(h1)=0,216 ενώ του δευτέρου για 1 εύστοχη θα είναι:p(h2)=0,063 Αρα: P(A5)=0,216*3*0,063=0, ) Η πιθανότητα του πρώτου να βάλει 3 εύστοχες βολές θα είναι:p(h1)=0,216 ενώ του δευτέρου για 2 εύστοχες βολές θα είναι:p(h2)=0,147 Αρα: P(A6)=0,216*3*0,147=0, Oπότε και η ολική πιθανότητα θα είναι: P=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)+P(A5)+P(A6)=0,243<1 (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΤΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΝΑΙ ΑΣΥΜΒΙΒΑΣΤΑ)

14 Από κουτί, όπου υπάρχουν 20 άσπρες και 2 μαύρες μπάλες, n φορές παίρνουμε από μια μπάλα, και μετά από κάθε φορά την επιστρέφουμε πίσω στο κουτί. Να βρεθεί ο μικρότερος αριθμός n, για τον οποίον η πιθανότητα να πάρουμε τουλάχιστον μια μαύρη μπάλα να είναι πάνω από μισό. Λύση Ο δειγματοχώρος περιέχει 22 σφαίρες Α={Εξαγωγή μαύρης σφαίρας} Ρ(Α)=1/11 Β={εξάγεται τουλάχιστον μία μαύρη σφαίρα σε n δοκιμές} Ρ(Β)=1-Ρ(Βc)=1-(1-Ρ(Α))n(Ρ(Α))n-n= 1-(1-Ρ(Α))n Άρα 1-(1-Ρ(Α))n > 1/2 ½ > (1-Ρ(Α))n n ( log2) / log(10/11) = 7,27 Άρα: Ν = 8 ( ο μικρότερος αριθμός επανάληψης του πειράματος για να προκύψει η επιθυμητή πιθανότητα) Λύση 2η Πρόκειται για άγνωστο αριθμό ν δοκιμών Bernoulli me p=2/22 ή1/11. Η πιθανότητα να πάροθμε μία τουλάχιστον μαύρη σφαίρα είναι : 1-( ν ανά 0)*( 1/11)0*( 10/11)ν Είναι ( ν ανά 0) =1 και ( 1/11)0 =1 οπότε έχουμε : 1-(10/11)ν>0.5 (10/11)ν<0.5 ν(log10-log11)<log ν<-0.3 ν>7.142 ν=8

15 Ένας διαγωνισμός σκακιού αποτελείται από 100 παρτίδες. Να βρεθεί η πιθανότητα να τελειώσει ο διαγωνισμός με αποτέλεσμα 12:8, αν η πιθανότητα νίκης σε οποιαδήποτε παρτίδα για κάθε παίκτη είναι 0,2; Αν Ω ο δειγματικός χώρος που περιλαμβάνει τις 20 παρτίδες τότε έχω τα εξής ενδεχόμενα: {Ο αγώνας λήγει με 0:20 } {Ο αγώνας λήγει με 1:19 } {Ο αγώνας λήγει με 2:18 }... {Ο αγώνας λήγει με 20: 0 } που είναι συνολικά 21 ενδεχόμενα. Τα ευνοϊκά για τον πρώτο παίκτη ενδεχόμενα, μέσα στα οποία ανήκει και το 12:8 είναι 10. Άρα η πιθανότητα ένα αποτέλεσμα να είναι ευνοϊκό για τον πρώτο είναι 10/21. Επίσης η πιθανότητα να κερδίσει ο πρώτος οποιοδήποτε ματς είναι 0,2. Αν Α το ενδεχόμενο {ο πρώτος κερδίζει} και Β το ενδεχόμενο {ένα αποτέλεσμα είναι ένα από τα 10 ευνοϊκα για τον πρώτο} τότε Τα Α και Β είναι στατιστικά ανεξάρτητα. Επίσης Ρ(Α)=0,2 και Ρ(Β)=1/10 αφού τα 10 ευνοϊκα είναι ισοπίθανα Άρα το ενδεχομένο {ο πρώτος κερδίζει και το αποτέλεσμα έρχεται 12:8 που έιναι ένα από τα 10 ευνοϊκα για τον πρώτο} είναι η τομή των Α και Β και η πιθανότητά του δίνεται από τον τύπο: Ρ(Α Β) = Ρ(Α)*Ρ(Β) = 0,2*1/10 = 0,02 που είναι και το ζητούμενο.

16 Αεροπλάνο, το οποίο αποτελεί στόχο της αεράμυνας, αποτελείται από 3 ευάλωτα μέρη: 1) το πιλοτήριο και ο κινητήρας, 2) δοχεία με καύσιμα και, 3) η ουρά του. Για την κατάρριψη του αρκεί: μια εύστοχη βολή στο πρώτο μέρος ή δυο εύστοχες βολές στο δεύτερο μέρος ή τρεις εύστοχες βολές στο τρίτο μέρος. Σε μια εύστοχη βολή στο αεροπλάνο η πιθανότητα ευστοχίας στο πρώτο μέρος είναι p1, στο δεύτερο μέρος p2, στο τρίτο μέρος p3. Οι εύστοχες βολές κατανέμονται κατά μέρη του αεροπλάνου ανεξάρτητα ένα από το άλλο. Αν ξέρουμε ότι είχαμε m εύστοχες βολές κατά του αεροπλάνου, να βρείτε την πιθανότητα κατάρριψης του αεροπλάνου P(A m) για m = 1, 2, 3, 4. Για m=1. Η δεσμευμένη πιθανότητα κατάρριψης του αεροπλάνου, αν χτυπήσουμε το πρώτο μέρος, είναι 1. Ενώ οι αντίστοιχες δεσμευμένες πιθανότητες αν χτυπήσουμε τα μέρη 2 και 3 είναι 0, αφού δεν καταρρίπτεται το αεροπλάνο με μία μόνο βολή σε αυτά. Άρα: P(A M1) = 1, P(A M2) = 0, P(A M3) = 0, όπου Μ1, Μ2, Μ3 τα μέρη 1, 2 και 3. Άρα η πιθανότητα κατάρριψης του αεροπλάνου με μία εύστοχη βολή είναι: P(A) = p1* P(A M1) + p2* P(A M2) + p3* P(A M3)= p1*1=> P(A)= p1. Για m=2. Παρομοίως η δεσμευμένη πιθανότητα κατάρριψης, αν χτυπήσουμε το πρώτο μέρος, είναι 1. Αν χτυπήσουμε το δεύτερο μέρος είναι 0.5, αφού θα το χτυπήσουμε δύο ή μία ή καμία φορά. Αν χτυπήσουμε το τρίτο μέρος η δεσμευμένη πιθανότητα είναι 0, αφού το αεροπλάνο δεν θα πέσει ακόμα και αν χτυπήσουμε και τις δύο φορές στο τρίτο μέρος. Άρα: P(A M1) = 1, P(A M2) = 0.5, P(A M3) = 0, Έτσι η πιθανότητα κατάρριψης του αεροπλάνου με δύο εύστοχες βολές είναι: P(A) = p1* P(A M1) + p2* P(A M2) + p3* P(A M3)= p1*1 + p2*0.5 => P(A)= p1 +0.5*p2. Για m=3. Συνεχίζοντας με την ίδια λογική όπως και παραπάνω, η δεσμευμένη πιθανότητα κατάρριψης αν χτυπήσουμε το πρώτο μέρος είναι 1, το δεύτερο μέρος είναι 2/3 και το τρίτο είναι 1/3. Άρα: P(A M1) = 1, P(A M2) = 2/3, P(A M3) = 1/3, Έτσι η πιθανότητα κατάρριψης του αεροπλάνου με τρεις εύστοχες βολές είναι: P(A) = p1* P(A M1) + p2* P(A M2) + p3* P(A M3)= p1*1 + p2*2/3 + p3*1/3 => P(A)= p1 +2/3*p2 + 1/3*p3. Για m=4. Στην περίπτωση που ρίχνουμε 4 εύστοχες βολές, η πιθανότητα κατάρριψης είναι 1. Αυτό συμβαίνει διότι οποιοσδήποτε και να είναι ο συνδυασμός των μερών τα οποία θα χτυπηθούν ικανοποιείται μία από τις συνθήκες κατάρριψης του αεροπλάνου. Σε αυτήν την περίπτωση δηλαδή είναι: P(A) =1.

17 Ανάμεσα στα 64 τετράγωνα του σκακιού διαλέγονται τυχαία 2 διαφορετικά τετράγωνα και βάζουν σε αυτά 2 όμοια κομμάτια άσπρου και μαύρου χρώματος. Ποια είναι η πιθανότητα ότι τα κομμάτια αυτά δε θα χτυπούν ένα το άλλο, αν έχουν τοποθετηθεί 2 πύργοι? 2 αξιωματικοί? 2 ίπποι? 2 βασίλισσες? Η ζητούμενη πιθανότητα θα υπολογιστεί υπό τη συνθήκη ότι ήδη έχει καταληφθεί μία θέση στη σκακιέρα από το πρώτο πιόνι που τοποθετείται από τα δύο του προβλήματος. Ο δειγματικός χώρος μειώνεται κατά μία θέση κάθε φορά. έκαστος πύργος ελέγχει 14 τετράγωνα. Ο έτερος πύργος πρέπει να τοποθετηθεί σε ένα από τα εναπομένοντα τετράγωνα. Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι 49/63. έκαστος αξιωματικός ελέγχει 7 ή 9 ή 11 ή 13 τετράγωνα. Ο αντίπαλος αξιωματικός, που κινείται στο ίδιο χρώμα των τετραγώνων της σκακιέρας, θα πρέπει να τοποθετηθεί σε 31-7 ή 31-9, ή 31-11, ή τετράγωνα. Οι αντίστοιχες πιθανότητες είναι 24/31, 22/31, 20/31, ή 19/31 έκαστος ίππος ελέγχει 2 ή 4 ή 8 θέσεις. Ο αντίπαλος ίππος μπορεί να τοποθετηθεί σε 63-2, ή 63-4, ή 63-8 θέσεις με πιθανότητα 61/63, 59/63 ή 55/63. έκαστη βασίλισσα ελέγχει 21, ή 23, ή 25, ή 27 θέσεις και η αντίπαλη βασίλισσα μπορεί να τοποθετηθεί σε 63-21, 63-23, 63-25, 63-27,

18 Σε ποια περίπτωση ισχύει η παρακάτω ισότητα: Ρ(Α)=Ρ(Α/Β)+Ρ(Α/Β ) Λύση Έστω ότι Β και Β Ω. Επειδή από το θεώρημα ολικής πιθανότητας Ρ(Α) = Ρ(Α/Β)Ρ(Β) + Ρ(Α/Β )Ρ(Β ) = Ρ(Α/Β)(1- Ρ(Β )) + Ρ(Α/Β )(1-Ρ(Β)) = = Ρ(Α/Β)+Ρ(Α/Β ) [(Ρ(Α/Β)Ρ(Β ) + Ρ(Α/Β )Ρ(Β)] Συνεπώς η προς απόδειξη σχέση ισχύει αν [(Ρ(Α/Β)Ρ(Β ) + Ρ(Α/Β )Ρ(Β)] = 0 Από όπου ισχύει ότι ή Ρ(Α/Β)=0 ή Ρ(Α/Β )=0. Αυτό ισχύει όταν Ρ(Α Β)=0 (δηλαδή Α Β= ) ή όταν Ρ(Α Β )=0 (δηλαδή Α Β = ).

19 Το τραίνο Χ φθάνει σε ένα σταθμό μέσα στο χρονικό διάστημα [Τ,0] και παραμένει εκεί α λεπτά της ώρας. Το τραίνο Υ φθάνει στο σταθμό μέσα στο ίδιο χρονικό διάστημα και μένει εκεί β λεπτά της ώρας. Ποιος είναι ο δειγματικός χώρος των αφίξεων των δύο τραίνων; Ποιες οι πιθανότητες των γεγονότων, Α={Το Χ φθάνει πριν από το Υ}, Β= {τα δύο τραίνα συναντώνται στο σταθμό}, και Γ={όταν τα τραίνα συναντώνται, το Χ φθάνει πριν από το Υ}. Λύση Υ Κ(0,Τ) Σ(0,β) Υ(Τ-β,Τ) Ν(Τ,Τ) Φ(Τ,Τ+α) Ω=[0,Τ]Χ[0,Τ] Α={το Χ φθάνει πριν από το Υ}, Ρ(Α)=Ε(ΛΝΚ)/Ε(ΛΜΝΚ)=1/2 Β={Τα τραίνα συναντώνται στο σταθμό}, Ρ(Β)=Ε(ΛΖΦΝΥΣ)/Ε(ΛΜΝΚ)= ={(α+β)/τα}-{(α2 +β2)/2τ2 Ρ(Α/Β)=Ε(ΣΥΝΛ)/Ε(ΚΝΛ)=β((2Τ-β) Λ(0,0) Ζ(α,0) Μ(Τ,0) Χ

20 Σε μια παρτίδα 100 ημιαγωγικών διατάξεων, είναι γνωστό ότι 20 είναι ελαττωματικές. Επιλέγονται δύο με τυχαία διαδικασία, χωρίς επανατοποθέτηση στην παρτίδα. Με τη βοήθεια του θεωρήματος Ολικής Πιθανότητας, να υπολογίσετε την πιθανότητα ότι η δεύτερη κατά σειρά επιλεγόμενη διάταξη θα είναι ελαττωματική. Έστω Β ενδεχόμενο να πάρουμε την δεύτερη κατά σειρά επιλεγόμενη διάταξη ελαττωματική Β 1 - ενδεχόμενο πρώτη διάταξη ελαττωματική Β 2 -ενδεχόμενο πρώτη διάταξη μη ελαττωματική Ρ(Β 1 ) =20/100=1/5 Ρ(Β Β 1 ) =19/99 Ρ(Β 2 ) =80/100= 4/5 Ρ(Β Β 2 ) = 20/99 Ρ(Β)= Ρ(Β Β 1 ) Ρ(Β 1 ) + Ρ(Β Β 2 ) Ρ(Β 2 ) =(19/99)(1/5) + (20/99)(4/5) = 19/ /495 = = 99/495

21

22 940 πλακέτες ημιαγωγού παράγονται σε μια διαδικασία, όπου παρατηρούνται παράγοντες μόλυνσης σύμφωνα με τις εγγραφές του ως άνω πίνακα. Έστω Α το γεγονός ότι μια σε μια πλακέτα παρατηρείται υψηλό επίπεδο μόλυνσης, Β το γεγονός ότι μια πλακέτα βρίσκεται κοντά σε εστία μόλυνσης και Ε το γεγονός ότι μια πλακέτα δεν έχει μολυνθεί και δεν βρίσκεται κοντά σε εστία μόλυνσης. Υποθέτουμε ότι η πιθανότητα ότι ένα chip που έχει υψηλό επίπεδο μόλυνσης, προκαλεί αστοχία σε ένα μία διάταξη στην οποία έχει τοποθετηθεί είναι 0,1 η πιθανότητα ότι ένα chip που έχει μέτριο επίπεδο μόλυνσης, προκαλεί αστοχία σε ένα μία διάταξη στην οποία έχει τοποθετηθεί είναι 0,01 και η πιθανότητα ότι ένα chip με χαμηλό επίπεδο μόλυνσης προκαλεί αστοχία της διάταξης με πιθανότητα 0,001 Σε μια παραγωγική διαδικασία, 20% του παραγόμενου προϊόντος υπόκεινται σε υψηλό επίπεδο μόλυνσης, 30% υπόκειται σε μέσο επίπεδο και 50% σε χαμηλό επίπεδο. Ποια η πιθανότητα ότι μία διάταξη που χρησιμοποιεί ένα από τα παραγόμενα chps θα αστοχήσει; Θεωρώ Δ το γεγονός ότι η διάταξη που χρησιμοποιεί ένα από τα παραγόμενα chips να αστοχήσει. Θεωρώ τα γεγονότα : Α-20% των πλακετών υπόκεινται σε υψηλό επίπεδο μόλυνσης (188) Α-30% των πλακετών υπόκεινται σε μέσο επίπεδο μόλυνσης (282) Α-50% των πλακετών υπόκεινται σε χαμηλό επίπεδο μόλυνσης (470) Ρ(Α1) =188/940 = 1/5 = 0,2 Ρ(Δ Α1) =0,1 Ρ(Α2) = 282/940 = 3/10 = 0,3 Ρ(Δ Α2) =0,01 Ρ(Α3) = 470/940 = 1/2 = 0,5 Ρ(Δ Α3) = 0,001 Ο τύπος της ολικής πιθανότητας είναι : Ρ(Δ) = Ρ(Α1) Ρ(Δ Α1) + Ρ(Α2) Ρ(Δ Α2) + Ρ(Α3) Ρ(Δ Α3) = =(0,2)(0,1) + (0,3)(0,01) + (0,5)(0,001) = 0,02 + 0, ,0005 = = 0,0235

23 Μια laser οπτική διάταξη αποθήκευσης πληροφορίας (CD drive) χρησιμοποιεί μια διαδικασία διόρθωσης σφάλματος, που απαιτεί άμεση αναδραστική ανάγνωση οποιασδήποτε πληροφορίας καταγράφεται. Αν η αναδραστική ανάγνωση δεν είναι ικανοποιητική μετά από τρεις αναγνώσεις, ο συγκεκριμένος σέκτορας του δίσκου αποβάλλεται από τα περιεχόμενα, με τον χαρακτηρισμό μη αποδεκτός για αποθήκευση δεδομένων. Σε ένα αποδεκτό μέρος του δίσκου η πιθανότητα ικανοποιητικής αναδραστικής ανάγνωσης είναι 0,98. Υποθέστε στατιστική ανεξαρτησία μεταξύ των αναδραστικών αναγνώσεων. Ποια είναι η πιθανότητα ότι ένα αποδεκτό μέρος του δίσκου αποβάλλεται ως μη αποδεκτό για αποθήκευση δεδομένων; Θεωρώ τα γεγονότα : Α1 : «πρώτη ανάγνωση» Α2 : «δεύτερη ανάγνωση» Α3 : «τρίτη ανάγνωση» Δ : «πιθανότητα ικανοποιητικής αναδραστικής ανάγνωσης» Γ1 : «πιθανότητα ικανοποιητικής αναδραστικής ανάγνωσης μετά από 3 αναγνώσεις» Ρ(Α1)=0.333, Ρ(Α2)=0.333, Ρ(Α3)=0.333, Ρ(Δ)=0.98 Τα γεγονότα Α1, Α2, Α3 μπορούν να αντικατασταθούν με ένα στοιχείο Α : Ρ(Α)=Ρ(Α1 Α2 Α3)=Ρ(Α1)+ Ρ(Α2) +Ρ(Α3)- Ρ(Α1Α2)- Ρ(Α1Α3)- -Ρ(Α2Α3)+Ρ(Α1Α2Α3) Και επειδή υπάρχει στατιστική ανεξαρτησία : Ρ(Α)= Ρ(Α1)+ Ρ(Α2) +Ρ(Α3)- Ρ(Α1)P(Α2)- Ρ(Α1)P(Α3)- -Ρ(Α2)P(Α3)+Ρ(Α1)P(Α2)P(Α3)= =0.999 δηλαδή η πιθανότητα μετά από 3 αναγνώσεις για ικανοποιητική αναδραστική ανάγνωση είναι : Ρ(Γ1)= Ρ(Α) Ρ(Δ) = = Το Γ1 είναι το ζητούμενο: Άρα Ρ(Γ1 )= 1-Ρ(Γ1)= =0.021

Από μια τράπουλα 52 φύλλων παίρνουμε ένα φύλλο. Ποια η πιθανότητα το φύλλο να είναι σπαθί; Απάντηση: 0,25

Από μια τράπουλα 52 φύλλων παίρνουμε ένα φύλλο. Ποια η πιθανότητα το φύλλο να είναι σπαθί; Απάντηση: 0,25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1.10.1 Παίρνουμε τυχαία 2 θετικούς αριθμούς χ και ψ, οι αριθμοί αυτοί είναι μικρότεροι ή ίσοι με 2. Βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου το γινόμενο χψ να είναι μικρότερο του 1 και το πηλίκο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 2 η : Δεσμευμένη Πιθανότητα. Ολική Πιθανότητα-Θεώρημα Bayes, Ανεξαρτησία και Συναφείς Έννοιες. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ κεφ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Σε ένα συρτάρι υπάρχουν δύο κάρτες, μία άσπρη και μία κόκκινη Παίρνουμε στην τύχη μία κάρτα από το συρτάρι, καταγράφουμε το χρώμα της και την ξαναβάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

n B ' n B = n n ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ('Η ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ )

n B ' n B = n n ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ('Η ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ) ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ('Η ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ) Ενίοτε η πραγματοποίηση ενός γεγονότος εξαρτάται από την πραγματοποίηση άλλου τινός γεγονότος. Κατ' αντιστοιχία, η πιθανότητα ενός ενδεχομένου μπορεί να εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΓΕΡΓΙΟΣ Ε. ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ [] ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΡΙΑ: Πείραμα Τύχης Κάθε πείραμα κατά στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα. 1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει

Διαβάστε περισσότερα

1.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

1.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ . ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 7 9 Α ΟΜΑΔΑΣ. Από μία τράπουλα με 5 φύλλα παίρνουμε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Θεωρία Πιθανοτήτων. Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος

Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Θεωρία Πιθανοτήτων. Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής 1 Θεωρία Πιθανοτήτων Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος 2 Περιεχόμενα Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους 3 Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ο Γυμναστής ενός λυκείου προκειμένου να στελεχώσει την ομάδα μπάσκετ του λυκείου ψάχνει στην τύχη μεταξύ των μαθητών να βρει τρεις κοντούς (Κ) και τρεις ψηλούς (Ψ). Να

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Συχνότητα Σχετική συχνότητα Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται va φορές,τότε va ο αριθμός va λέγεται συχνότητα του ενδεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ.Ένα κουτί περιέχει τέσσερις λαχνούς αριθμημένους από το εώς το 4. Εκλέγουμε έναν λαχνό στην τύχη,σημειώνουμε το αποτέλεσμα και δεν ξανατοποθετούμε τον λαχνό στο κουτί. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης http://usersschgr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-

Διαβάστε περισσότερα

Α ΕΝΟΤΗΤΑ. Πιθανότητες. Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα. Η έννοια της πιθανότητας

Α ΕΝΟΤΗΤΑ. Πιθανότητες. Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα. Η έννοια της πιθανότητας Α ΕΝΟΤΗΤΑ Πιθανότητες Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Η έννοια της πιθανότητας Α.1 Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα. Απαραίτητες γνώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Ενότητα 1 η : Δεσμευμένη Πιθανότητα, Ολική Πιθανότητα, Ανεξαρτησία. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Χημικών Μηχανικών Α.Π.Θ.

Στατιστική. Ενότητα 1 η : Δεσμευμένη Πιθανότητα, Ολική Πιθανότητα, Ανεξαρτησία. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Χημικών Μηχανικών Α.Π.Θ. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1 η : Δεσμευμένη Πιθανότητα, Ολική Πιθανότητα, Ανεξαρτησία Γεώργιος Ζιούτας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ. Δ. Α. Γεωργίου. Μάθημα 1ο

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ. Δ. Α. Γεωργίου. Μάθημα 1ο ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Δ. Α. Γεωργίου 1 Εισαγωγή Μαθηματική Θεωρία Μέτρου Εισάγει το μέτρο της αβεβαιότητας για την εξέλιξη των φυσικών φαινομένων Διαισθητική αντίληψη της έννοιας. Τι εννοεί ο μη ειδήμων όταν

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος

1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος 1. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος Κάθε πείραμα στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως το αποτέλεσμα λέγεται αιτιοκρατικό πείραμα. Τέτοια πειράματα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ

Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (3η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 38 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς : Ο τομέας των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, που ασχολείται με την αξιολόγηση κατάλληλων στοιχείων έτσι ώστε να είναι μετρήσιμη η προσδοκία μας για την πραγματοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια της Πιθανότητας. 1 Βρείτε την πιθανότητα του καθ ενός απ τα παρακάτω ενδεχόμενα:

Η Έννοια της Πιθανότητας. 1 Βρείτε την πιθανότητα του καθ ενός απ τα παρακάτω ενδεχόμενα: 1 Η Έννοια της Πιθανότητας Η Έννοια της Πιθανότητας 1 Βρείτε την πιθανότητα του καθ ενός απ τα παρακάτω ενδεχόμενα: α) Να εμφανιστεί περιττός αριθμός κατά την ρίψη ενός ζαριού. (1/2) β) Να εμφανιστεί τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ

Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ 3ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 3ο Μάθημα Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f () είναι παραγωγίσιμη στο R με f () Α Αν είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος παρατηρήσεων μεγέθους ν ( ) να ορίσετε την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 2ης Διάλεξης 1 Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος 2 Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση 3 Διατάξεις - Συνδυασμοί 4 Παραδείγματα υπολογισμού πιθα

Περιεχόμενα 2ης Διάλεξης 1 Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος 2 Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση 3 Διατάξεις - Συνδυασμοί 4 Παραδείγματα υπολογισμού πιθα Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (2η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 54 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) o ΘΕΜΑ A. Aν n

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }.

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }. 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα Τύχης Ένα πείραμα του οποίου δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνεται φαινομενικά τουλάχιστον κάτω από

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Πιθανότητες Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Θεωρία πιθανοτήτων. Θεωρία Πιθανοτήτων. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017.

Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Θεωρία πιθανοτήτων. Θεωρία Πιθανοτήτων. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017. HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 02/05/2017 Θεωρία πιθανοτήτων Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 04-May-17 1 1 04-May-17 2 2 Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Στον προτασιακό και κατηγορηματικό

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ

ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 6-7: ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ Τυχαία Μεταβλητή (Τ.Μ.): Συνάρτηση πραγματικών τιμών

Διαβάστε περισσότερα

5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 1 5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα Είναι τα απλά ενδεχόµενα για τα οποία κάποιο εξ αυτών δεν έχει πλεονέκτηµα έναντι των άλλων όσον αφορά την επιλογή του. Με άλλα λόγια

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 4.4 : Πιθανότητα Δεσμευμένη Πιθανότητα- Όρια (ΙV). Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΕΞΑΜΗΝΟ: 3 ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Άσκηση 1.1 Να βρεθούν οι πιθανότητες:

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΕΞΑΜΗΝΟ: 3 ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Άσκηση 1.1 Να βρεθούν οι πιθανότητες: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2015-16 ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΕΞΑΜΗΝΟ: 3 ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Άσκηση 1.1 Να βρεθούν οι πιθανότητες: α) Να γεννηθούν δύο κορίτσια και ένα αγόρι σε τρεις

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ. Σχετική συχνότητα ενδεχοµένου Α : 2. Ιδιότητες της f, λ το πλήθος απλών ενδεχοµένων :

3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ. Σχετική συχνότητα ενδεχοµένου Α : 2. Ιδιότητες της f, λ το πλήθος απλών ενδεχοµένων : 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΘΕΩΡΙΑ. Σχετική συχνότητα ενδεχοµένου Α : Είναι το πηλίκο f κ A = ν ενδεχόµενου Α σε ν το πλήθος εκτελέσεις του πειράµατος όπου κ το πλήθος των πραγµατοποιήσεων του. Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 3 Το ύψος κύματος (σε μέτρα) σε μία συγκεκριμένη θαλάσσια περιοχή είναι τυχαία μεταβλητή X με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

ΘΕΜΑ 3 Το ύψος κύματος (σε μέτρα) σε μία συγκεκριμένη θαλάσσια περιοχή είναι τυχαία μεταβλητή X με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ TOMEAΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 26 Σεπτεμβρίου 2014 Ομάδα Θεμάτων Α ΘΕΜΑ 1 Ρίχνουμε ένα αμερόληπτο νόμισμα (δύο δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς.

Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς. Πιθανότητες Α Λσκείοσ Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς www.askisopolis.gr Πιθανότητες Εφαρμογές στον ορισμό πιθανότητας. Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε και τις

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική 2 ο Εξάμηνο Ασκήσεις Πράξης 1 Θεωρία Συνόλων - Δειγματικός Χώρος Άσκηση 1: Να βρεθούν και να γραφούν με συμβολισμούς της Θεωρίας Συνόλων οι δειγματοχώροι των τυχαίων πειραμάτων:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 Δοκιμές Bernoulli Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία (σειρά) πειραμάτων στην οποία ισχύουν τα επόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β. B. Το αντίστοιχο διάγραμμα Venn είναι το παρακάτω:

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β. B. Το αντίστοιχο διάγραμμα Venn είναι το παρακάτω: ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β Β1 α) Από τους κανόνες λογισμού των πιθανοτήτων έχουμε: P( A B) P( A) P( A B) P( A B) P( A) P( A B) και από τα δεδομένα 3 5 1 παίρνουμε: P( A B) P( A B) 4 8 8 β)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Συνοπτική Θεωρία Όλες οι αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις από την Τράπεζα Θεμάτων του Υπουργείου και προτεινόμενες Διαγωνίσματα

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β

Θέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β Θέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β 1. Δίνονται δύο ενδεχόμενα A, B ενός δειγματικού χώρου και οι πιθανότητες: 3 5 1 P( A), P( A B) και P( B) 4 8 4 α) Να υπολογίσετε την P( A B) β) i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn

Διαβάστε περισσότερα

Δεσμευμένη (ή υπο-συνθήκη) Πιθανότητα (Conditional Probability)

Δεσμευμένη (ή υπο-συνθήκη) Πιθανότητα (Conditional Probability) Δεσμευμένη (ή υπο-συνθήκη) Πιθανότητα (Condtonal robablty) Συχνά μας ενδιαφέρει η συσχέτισή 2 ενδεχομένων Α και Β, δηλ. να δούμε το κατά πόσο η γνώση του ενός από τα δύο (π.χ. Β) επηρεάζει τη πιθανότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΩΡΙΑ--ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΩΡΙΑ--ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΩΡΙΑ--ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ Δειγματικός Χώρος: Ενδεχόμενο: Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης καλείται δειγματικός χώρος. Συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 2: Θεωρία Πιθανοτήτων Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Πιθανότητες Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 7 / 0 / 0 6 Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις και τεχνικές σε 8 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο ΓΛΥΚΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ τηλ.

Διαβάστε περισσότερα

Συμπληρωματικές Ασκήσεις

Συμπληρωματικές Ασκήσεις Συμπληρωματικές Ασκήσεις Ασκήσεις Στατιστικής ΙΙ Αν για ένα ενδεχόμενο ισχύει Α, να ρείτε την πιθανότητα εμφάνισης του Έστω, τα ενδεχόμενα ότι ένας συγκεκριμένος γιατρός ρίσκεται στις πμ στο ιατρείο του

Διαβάστε περισσότερα

Chess Academy Free Lessons Ακαδημία Σκάκι Δωρεάν Μαθήματα. Οι κινήσεις των κομματιών Σκοπός της παρτίδας, το Ματ Πατ Επιμέλεια: Γιάννης Κατσίρης

Chess Academy Free Lessons Ακαδημία Σκάκι Δωρεάν Μαθήματα. Οι κινήσεις των κομματιών Σκοπός της παρτίδας, το Ματ Πατ Επιμέλεια: Γιάννης Κατσίρης Οι κινήσεις των κομματιών Σκοπός της παρτίδας, το Ματ Πατ Επιμέλεια: Γιάννης Κατσίρης Παρατήρηση: Μόνο σε αυτό το μάθημα όταν λέμε κομμάτι εννοούμε κομμάτι ή πιόνι και όταν λέμε κομμάτια εννοούμε κομμάτια

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }.

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Αν δηλαδή ω,,, ω2 ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4.

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4. ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. Δειγματικοί χώροι. Διαγράμματα Venn Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Κλασικός ορισμός πιθανότητας 4. Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων η Κατηγορία : Δειγματικοί χώροι ) Ρίχνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ 5η Εργασία ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Ακαδημαϊκό Έτος : 2013-2014 ΞΑΝΘΗ 15/3/2014 Ασκήσεις: 1. Να δείξετε ότι η μέση τιμή Τ.Μ. που υπακούει στη διωνυμική κατανομή, είναι ίση np. Επειδή η Τ.Μ. που

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Ανάλυση. Υπολογισμός της πιθανότητας σε διακριτούς χώρους με ισοπίθανα αποτελέσματα:

Συνδυαστική Ανάλυση. Υπολογισμός της πιθανότητας σε διακριτούς χώρους με ισοπίθανα αποτελέσματα: Συνδυαστική Ανάλυση Υπολογισμός της πιθανότητας σε διακριτούς χώρους με ισοπίθανα αποτελέσματα: P( A) N( A) N ( ) Ν(Α): πλήθος ευνοϊκών αποτελεσμάτων του Α Ν(Ω): πλήθος συνολικών αποτελεσμάτων του Ω Χρειαζόμαστε

Διαβάστε περισσότερα

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους

Πιθανότητες. Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους Πιθανότητες Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους «Πείραμα» Tύχης Οτιδήποτε συμβαίνει και δεν γνωρίζουμε από πριν το ακριβές αποτέλεσμά του. Απασχόλησαν

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1ης Ομάδας Ασκήσεων

Λύσεις 1ης Ομάδας Ασκήσεων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ Λύσεις ης Ομάδας Ασκήσεων Τμήμα Α Λ. Ισότητα συνόλων Έστω C = A i= B i και D = i= A B i. Θα αποδείξουμε ότι τα C, D ταυτίζονται,

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 1 1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 26 28 Α ΟΜΑΔΑΣ 1. Ένα κουτί έχει τρεις μπάλες, μια άσπρη, μια μαύρη και μια κόκκινη. Κάνουμε το εξής πείραμα : παίρνουμε από το κουτί μια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ . Να βρείτε το δειγµατικό χώρο της ρίψης ενός ζαριού.. Επιλέγουµε ένα µαθητή Λυκείου και σηµειώνουµε το φύλο και την τάξη του. Να βρείτε το δειγµατικό χώρο Ω του πειράµατος. 3. Τραβάµε ένα φύλλο από µία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 7 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2016

Βιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2016 Βιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 06 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολο υποθέσεων και του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε

3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Π ε ι ρ α μ α τ υ χ η ς - Δ ε ι γ μ α τ ι κ ο ς χ ω ρ ο ς. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε το αποτελεσμα,.

Διαβάστε περισσότερα

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ . Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 54 56 Α ΟΜΑ ΑΣ. Από µία τράπουλα µε 5 φύλλα παίρνουµε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν είναι 5 i) εχόµαστε

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου

Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 Ορισµός Πιθανότητας Στοιχεία Συνδυαστικής Κλασικός Ορισµός της Πιθανότητας Εστω Ω ο δειγµατοχώρος ενός πειράµατος

Διαβάστε περισσότερα

= 14 = 34 = Συνδυαστική Ανάλυση

= 14 = 34 = Συνδυαστική Ανάλυση 1. Συνδυαστική Ανάλυση 1.1 Ένα κουτί περιέχει 8 κόκκινες, 3 άσπρες και 9 μπλε σφαίρες. Εάν βγάλουμε 3 σφαίρες στην τύχη χωρίς επανατοποθέτηση, ποια είναι η πιθανότητα (α) να είναι και οι 3 κόκκινες, (β)

Διαβάστε περισσότερα

Η πιθανότητα επομένως που ζητείται να υπολογίσουμε, είναι η P(A 1 M 2 ). Η πιθανότητα αυτή μπορεί να γραφεί ως εξής:

Η πιθανότητα επομένως που ζητείται να υπολογίσουμε, είναι η P(A 1 M 2 ). Η πιθανότητα αυτή μπορεί να γραφεί ως εξής: Άσκηση 1: Ένα κουτί περιέχει 3 άσπρες και 2 μαύρες μπάλες. Αφαιρούμε τυχαία δύο μπάλες διαδοχικά. Ποια η πιθανότητα η πρώτη μπάλα να είναι άσπρη και η δεύτερη μπάλα να είναι μαύρη; Λύση: Αρχικά ορίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης;

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; =. β) Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8

2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 5 και Ρ(Β) = Ρ(Α ). Αν τα Α, Β είναι ασυµβίβαστα, να εξετάσετε αν είναι ασυµβίβαστα και τα Α, Β 5 i είξτε ότι Ρ(Α Β)=

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 2ο Κανόνες Απαρίθμησης (συνέχεια) 2 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΕ ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ, ΒΙΒΛΙΟ & ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΜΑΤΩΝ www.unipi.gr/faculty/mkoutras/index.htm

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α.

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 6 3 α) Να λύσετε την εξίσωση : 3 β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : < α. ΘΕΜΑ α) Να λύσετε την ανίσωση : + < 7. β) Αν ο είναι λύση της ανίσωσης του

Διαβάστε περισσότερα

5. 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

5. 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ 77. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ Κλασικός ορισμός πιθανότητας Αν ένα στοιχείο του συνόλου του δειγματικού χώρου επιλέγεται στην τύχη και δεν έχει κανένα πλεονέκτημα έναντι των άλλων,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε να προβλέψουμε ή να παρατηρήσουμε την

Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε να προβλέψουμε ή να παρατηρήσουμε την Μαθηματικά Πληροφορικής 8ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89. Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις Σ Λ 2. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει η ισότητα: A ( ) ( ') ( ' )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89. Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις Σ Λ 2. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει η ισότητα: A ( ) ( ') ( ' ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89 Ον/μο:.. Α Λυκείου Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις 6-0- Θέμα ο : Α.. Να δώσετε τον ορισμό της εξίσωσης ου βαθμού (μον.) Α.. Αν, ρίζες της εξίσωσης 0, να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,...

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,... Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 96) Άσκηση ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω οι παρατηρήσεις δυο δειγμάτων αντίστοιχα των μεταβλητών Χ και Ψ Δίνεται ότι η μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕ.Λ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου

ΓΕ.Λ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : 013-014 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Μέση τιμή, διασπορά, τυπική απόκλιση. 1) Για την τυχαία διακριτή μεταβλητή Χ ισχύει Ρ(Χ=x i)=

Μέση τιμή, διασπορά, τυπική απόκλιση. 1) Για την τυχαία διακριτή μεταβλητή Χ ισχύει Ρ(Χ=x i)= Μέση τιμή, διασπορά, τυπική απόκλιση Όπου χρειάζεται να γίνει χρήση του μικροϋπολογιστή 3x 1) Για την τυχαία διακριτή μεταβλητή Χ ισχύει Ρ(Χ=x i)= i-2 22, xi=1,2,3,4. α) Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Πιθανότητες Πραγματικοί αριθμοί Εξισώσεις Ανισώσεις Πρόοδοι Βασικές έννοιες των συναρτήσεων Μελέτη βασικών συναρτήσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Συνδυαστική

Διακριτά Μαθηματικά Συνδυαστική Διακριτά Μαθηματικά Γεώργιος Χρ. Μακρής http://users.sch.gr/gmakris 8 Αυγούστου 2012 Η Αρχή του Dirichlet ή της περιστεροφωλιάς Aν γνωρίζουμε πως σε κάποια μέτρηση στις n ϕωλιές καταμετρήθηκαν συνολικά

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΛ ΝΕΑΣ ΠΕΡΑΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ-ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Στατιστική ομαλότητα ή Νόμος των μεγάλων αριθμών

ΓΕΛ ΝΕΑΣ ΠΕΡΑΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ-ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Στατιστική ομαλότητα ή Νόμος των μεγάλων αριθμών ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ-ΛΟΓΙΣΜΟΣ Στατιστική ομαλότητα ή Νόμος των μεγάλων αριθμών Οι σχετικές συχνότητες πραγματοποίησης των ενδεχομένων ενός πειράματος σταθεροποιούνται γύρω από κάποιους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ (.,.2) Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ).. Αν Ω είναι δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΟΜΙΚΩΝ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ Σ.Τ.Ε.Φ Τ.Ε.Ι. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΠΑΠΑΔΑΚΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ 008 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ I. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 3: Πιθανότητες. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 3: Πιθανότητες. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 3: Πιθανότητες Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

#(A B) = (#A)(#B). = 2 6 = 1/3,

#(A B) = (#A)(#B). = 2 6 = 1/3, Κεφάλαιο 4 Πιθανότητες και συνδυαστική Οπως είδαμε σε κάποια παραδείγματα των προηγουμένων κεφαλαίων, συχνά συναντάμε καταστάσεις όπου όλες οι δυνατές εκφάνσεις ενός τυχαίου πειράματος έχουν την ίδια πιθανότητα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 1 A 2 ) P (A n A 1 A 2 A n 1 ).

P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 1 A 2 ) P (A n A 1 A 2 A n 1 ). Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη 31 Οκτωβρίου 2014 Πιθανότητες και Στατιστική Διάλεξη 7 Ασκήσεις ΙΙ Δεσμευμένη πιθανότητα, Συνδυαστικά επιχειρήματα Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50]

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Η καταληκτική ημερομηνία για την παραλαβή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ (ημιτελές Version )

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ (ημιτελές Version ) ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ (ημιτελές Version 24-3-2016) 2001 2001 επαναληπτικές 2002 2002 επαναληπτικές 2003 2003 επαναληπτικές 2006 2006 επαναληπτικές 2005 2005 επαναληπτικές 2006 2006 επαναληπτικές 2007 2007

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β art time Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unipi.gr Η έννοια της Πιθανότητας Ο όρος πιθανότητα είναι συνδέεται άμεσα με τη μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 017 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (0/06/017, 1:00) ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ. Ε.1 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής

Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ. Ε.1 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ Ε. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής i) Αν Α= {0,5,8,3,89}, τότε το Α. ii) Αν Α = {, {,5}, 8, 0}, τότε το Α. iii) Τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

Η διακριτή συνάρτηση μάζας πιθανότητας δίνεται από την

Η διακριτή συνάρτηση μάζας πιθανότητας δίνεται από την Η ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ενδιαφερόμαστε για την απλούστερη μορφή πειραματικής διαδικασίας, όπου η έκβαση των αποτελεσμάτων χαρακτηρίζεται μόνο ως "επιτυχής" ή "ανεπιτυχής" (δοκιμές Beroulli). Ορίζουμε λοιπόν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 6, Γραφ. 102, Στρόβολος 200, Λευκωσία Τηλ. 57-2278101 Φαξ: 57-2279122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 201 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 07 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ(3)

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις ΠΝΕΛΛΔΙΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ 07 ΠΝΕΛΛΔΙΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ 07 ΘΗΤΙ ΓΕΝΙΗΣ ΠΙΔΕΙΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ Θέματα και παντήσεις Επιμέλεια: Ομάδα αθηματικών http://www.othisi.gr ΠΝΕΛΛΔΙΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ 07 Δευτέρα, Ιουνίου 07 Γ ΛΥΕΙΟΥ ΓΕΝΙΗΣ ΠΙΔΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 2004, ΜΑΪΟΣ 2008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Απόδειξη

Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 2004, ΜΑΪΟΣ 2008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Απόδειξη ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 59 Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 004, ΜΑΪΟΣ 008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Έχουμε f (x+h) - f (x) = c - c = 0 και για h 0 είναι f (x + h) - f (x) 0 m

Διαβάστε περισσότερα