ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ METAΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΜΕ ΘΕΜΑ: «Προσομοίωση τυχαίων πεδίων υδραυλικής αγωγιμότητας με τη μέθοδο Latin hypercube, και αξιολόγηση της μεθόδου με χρήση προσομοιώσεων ροής και μεταφοράς μάζας» Εκπονητής: Κατίκας Λουκάς Επιβλέπων καθηγητής: Δρ. Κυριακίδης Φαίδων Μυτιλήνη, Ιούνιος

2 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Οι προσομοιώσεις Monte Carlo αποτελούν μια φυσική και αποτελεσματική μέθοδο για την αξιολόγηση - εκτίμηση της αβεβαιότητας μίας παραμέτρου όπως εν προκειμένω η υδραυλική αγωγιμότητα. Η αβεβαιότητα αυτή αντιπροσωπεύεται από μια κατανομή πιθανότητας και ένα σύνολο στατιστικών στοιχείων όπως ο μέσος όρος, η διακύμανση και ο συντελεστής συσχέτισης των τιμών αυτών. Στην παρούσα διατριβή στόχος μας είναι η κατανόηση της λειτουργίας υπόγειων υδροφορέων η οποία αποτελεί βασική προϋπόθεση για την εφαρμογή πρακτικών ορθολογικής και αειφόρου διαχείρισής τους. Ένας από τους βασικούς ανασταλτικούς παράγοντες για την επιτυχημένη προσομοίωση της λειτουργίας των υδροφορέων είναι η αβεβαιότητα στην εκτίμηση ορισμένων από τις παραμέτρους που την επηρεάζουν, με χαρακτηριστικότερη περίπτωση, αυτή των υδρογεωλογικών παραμέτρων. Στην εργασία αυτή παρουσιάζονται τεχνικές αναγνώρισης του βαθμού αβεβαιότητας στη εκτίμηση του συντελεστή υδραυλικής αγωγιμότητας ενός υδροφορέα και των επιπτώσεων της στην λειτουργία του συστήματος. Με μια στοχαστική προσέγγιση, αναπτύσσεται ένα μοντέλο που αναπαριστά την καλύτερη εκτίμηση του συστήματος που εξομοιώνει. Αυτό το μοντέλο χρησιμοποιείται για να γίνουν προβλέψεις. Έπειτα, κάθε πρότυπο χρησιμοποιείται για να κάνει πρόβλεψη ή να αναπαραστήσει ένα δεδομένο σενάριο και τα αποτελέσματα θα χρησιμοποιηθούν για να υπολογίσουν την πιθανότητα πραγματοποίησης ενός συγκεκριμένου συμβάντος. Το τελικό συμβάν το οποίο εξετάζουμε στην παρούσα μελέτη είναι οι χρόνοι άφιξης ενός μολυντή, σε ένα από τα 4 πηγάδια άντλησης της περιοχής, που ελευθερώνεται στην περιοχή μελέτης, σε συνάρτηση με τις τιμές των υδραυλικών αγωγιμοτήτων του υπεδάφους. Παρόλο που αυτή η προσέγγιση βασίζεται σε υποθέσεις, που έχουν γίνει στη διαμόρφωση των αρχικών συνθηκών του μοντέλου, απεικονίζει πιο ρεαλιστικά την αβεβαιότητα του σχεδιασμού. 2

3 ABSTRACT The Monte Carlo simulations provide a natural and effective method for evaluating uncertainties of a parameter as the hydraulic conductivity. The uncertainty is represented by a probability distribution and a set of statistics such as the mean, variance and correlation coefficient of these values. In this thesis we try to understand the function of groundwater aquifer systems as it is a basic requirement for the implementation of rational and sustainable management practices. One of the most common drawbacks for the successful simulation of groundwater systems is the uncertainty in the estimation of some of the dominant parameters, with most characteristic example that of the hydrogeological parameters. In this paper techniques for simulating the uncertainty of the hydraulic conductivity coefficient are introduced, along with their impact on the function of the aquifer system. The proposed methodology is presented through the delineation of well head protection areas. Uncertainty is always a major factor that should be taken in mind when dealing with hydrogeological modeling. This uncertainty can be associated with the conceptual model or with the data and parameters concerning the various components of the model. There is a great deal of parameters such as hydraulic conductivity that are prone to uncertainty. Calibrating a model to a rich set of observation data may cope satisfactory with this kind of problems. In order to deal with this uncertainty, it is possible to deploy stochastic approach. On a deterministic approach, a single model is developed that represents the best estimate of the system being simulated. This model is used to make predictions. With a stochastic approach, a set of models is constructed where each model in the set is thought to be equally probable. Each model is then used to generate simulation of a given scenario or make predictions. The results are used to estimate a probability or risk that a certain outcome will occur. While this approach still relies on model assumptions to generate initial parameter estimates, it reflects more realistically the uncertainty associated with modeling. 3

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γενικά Δομή της εργασίας ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ MONTE CARLO Εισαγωγή Τυχαίοι αριθμοί Επιθυμητά χαρακτηριστικά τυχαίων αριθμών Εισαγωγή στις μεθόδους Monte Carlo Η έννοια της προσομοίωσης Εφαρμογή του προγράμματος Matlab Η μέθοδος της Απλής Τυχαίας Δειγματοληψίας (Simple Random Sampling) Η μέθοδος του Λατινικού Υπερκύβου (Latin Hypercube Sampling) Διαφορές μεταξύ Simple Random (τυχαίας δειγματοληψίας) και Latin Hypercube Προσομειώσεις τυχαίων αριθμών και υδρογεωλογικές παράμετροι Υδρογεωλογικές παράμετροι και αβεβαιότητα ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Μελέτη και σύγκριση της Απλής Τυχαίας και Latin Hypercube δειγματοληψίας για μία μεταβλητή (Univariate case) Μελέτη και σύγκριση της Απλής Τυχαίας και Latin Hypercube δειγματοληψίας σε πολυμεταβλητό επίπεδο (Multivariate case) CASE STUDY (ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ) Υπολογισμός θεωρητικού μοντέλου βαριογράμματος Υδρογεωλογικά δεδομένα Υδραυλική αγωγιμότητα (Περιοχή Μελέτης) Υδρογεωλογικά στοιχεία Μεθοδολογικά Στοιχεία ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ

5 5.1 Εκτίμηση της Υδραυλικής Αγωγιμότητας Μοντελοποίηση της Συγκέντρωση Ρύπου Μολυντή ΣΥΖΗΤΗΣΗ - ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Ευχαριστίες Θα ήθελα να εκφράσω τις ευχαριστίες μου στον επιβλέποντα καθηγητή μου κ. Κυριακίδη Φαίδων για τη συνεργασία μας, τη σημαντική καθοδήγηση και βοήθειά του καθώς και για το ενδιαφέρον και την κατανόηση του ή και ανοχή του κάποιες στιγμές. Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω ιδιαιτέρως, τον υποψήφιο διδάκτορα, κ. Λιοδάκη Στυλιανό για τη συνεργασία μας, τη σημαντική βοήθειά του και τον χρόνο που αφιέρωσε καθώς επίσης και για τη μεγάλη προθυμία και διάθεση να με βοηθήσει στην εκμάθηση κάποιων εκ των μεθοδολογικών εργαλείων που χρησιμοποιήθηκαν. Τέλος θα ήθελα να ευχαριστήσω τους γονείς μου για την υπομονή και την στήριξη τους όλο αυτό το διάστημα μέχρι να ολοκληρωθεί η παρούσα διατριβή. Στην οικογένειά μου,τους φίλους και την φίλη μου αφιερώνω την εργασία αυτή, γιατί ήταν και είναι πάντα θερμοί υποστηριχτές μου σε κάθε βήμα και κάθε προσπάθειά μου. 5

6 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Γενικά Πολλές φορές η επιστημονική κοινότητα έρχεται αντιμέτωπη με προβλήματα που δεν λύνονται αναλυτικά. Στην προσπάθεια επίλυσης τους χρησιμοποιούνται πολλές φορές προσεγγιστικές μέθοδοι, όπως για παράδειγμα η αριθμητική ανάλυση. Με την εξέλιξη όμως των υπολογιστών τα τελευταία χρόνια οι επιστήμονες έστρεψαν την προσοχή τους σε νέους δρόμους, και επέβαλαν την ανάπτυξη της στατιστικής και διαφόρων υπολογιστικών τεχνικών οι οποίες επικεντρώνονται γύρω από την μοντελοποίηση, την προσομοίωση και την εκτίμηση μίας σορείας παραμέτρων μέσω των ηλεκτρονικών υπολογιστών. Οι μέθοδοι προσομοίωσης Monte Carlo, που είναι και το θέμα αυτής της διπλωματικής είναι μια κατηγορία υπολογιστικών αλγόριθμων που μιμούνται την συμπεριφορά διαφόρων φυσικών και μαθηματικών συστημάτων. Οι προσομοιώσεις Monte Carlo αλλά και απλή τυχαία δειγματοληψία (Simple Random Sampling) είτε εξετάζοντας μία μεταβλητή είτε ένα σύνολο μελέτης πολλών μεταβλητών κατανομής πιθανοτήτων, χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό και την εκτίμηση της αβεβαιότητα καθώς και στην ανάλυση ευαισθησίας επί των προβλέψεων του εκάστοτε μοντέλου σε ένα ευρύ φάσμα επιστημονικών κλάδων, όπως η μηχανική, η υδρολογία, και γενικότερα στον κλάδο της Γεωλογίας. Όσον αφορά δε στην προσέγγιση των εκτιμήσεων, χρησιμοποιούνται δύο τεχνικές, η προσδιοριστική (ντετερμινιστική) και η στοχαστική. Η πρώτη μέθοδος βασίζεται στην αρχή ότι η καλή γνώση των χαρακτηριστικών ενός υδροφορέα μπορεί να οδηγήσει στη διαμόρφωση ενός μοντέλου προσομοίωσης που να μπορεί να προβλέψει τις αντιδράσεις του συστήματος σε οποιεσδήποτε συνθήκες λειτουργίας. Στην πραγματικότητα όμως η γνώση του ακριβούς τρόπου λειτουργίας του συστήματος και των τιμών των υδρογεωλογικών παραμέτρων είναι σχεδόν πάντα περιορισμένη λόγω της φύσης των προβλημάτων αυτού του τύπου, τα οποία εκ των πραγμάτων περιβάλλονται από ένα βαθμό αβεβαιότητας. Η παρατήρηση αυτή αποτελεί και τη βάση πάνω στην οποία αναπτύσσονται τα στοχαστικά μοντέλα (Θεοδοσίου κ.α., 2007). 6

7 Η δεύτερη θεώρηση αφορά στη στοχαστική θεώρηση του συντελεστή υδραυλικής αγωγιμότητας. Η προσέγγιση αυτή είναι αρκετά συνηθισμένη σε επίπεδο στοχαστικής θεώρησης, και βασίζεται στη στατιστική συσχέτιση της κατανομής του συντελεστή υδραυλικής αγωγιμότητας σε μία ιδεατή ή μη περιοχή μελέτης. Αφορά φυσικά, μέσες τιμές του συντελεστή υδραυλικής αγωγιμότητας χωρίς να λαμβάνει πάντοτε υπόψη τη γεωλογική δομή του υδροφορέα και τα χαρακτηριστικά των εδαφικών σχηματισμών που τον συνθέτουν. Είναι προφανές ότι κάτι τέτοιο θα ήταν αρκετά πιο ολοκληρωμένο σε επίπεδο μελέτης ωστόσο αρκετά χρονοβόρο και εμπεριστατωμένο για τα πλαίσια μιας μεταπτυχιακής διατριβής λόγω της καλής γνώσης του επιστημονικού πεδίου και του γνωστικού αντικειμένου όπως η μελέτη του υπεδάφους και η ανάλυση των αβεβαιωτήτων των παραμέτρων που το περιγράφουν. Θεωρούμε λοιπόν, ότι ένα πρώτο βήμα της μελέτης και «ανάδειξης» μίας μεθόδου προσομοίωσης όπως αυτή του Λατινικού Υπερκύβου μπορεί να γίνει και στην εξέταση μίας μόνο παραμέτρου του υπεδάφους εξετάζοντας την αβεβαιότητα της υδραυλικής αγωγιμότητας. Οι προσομοιώσεις Monte Carlo προσφέρουν τη δυνατότητα δύο μεθόδων για την αναπαραγωγή τυχαίων τιμών της εκάστοτε υπο διερεύνηση μεταβλητής, την απλή τυχαία δειγματοληψία και τη δειγματοληψία Latin Hypercube. Για την εφαρμογή της πρώτης μεθόδου απαιτείται ο ορισμός της μέσης τιμής, της μέγιστης και ελάχιστης τιμής και της τυπικής απόκλισης της μεταβλητής ή των πολλών μεταβλητών. Σε κάθε προσομοίωση της εφαρμογής της μεθόδου, προκύπτει ένας τυχαίος αριθμός για κάθε μεταβλητή σύμφωνα με την κατανομή και με τη χρήση των στατιστικών χαρακτηριστικών. Όσο περισσότερες οι προσομοιώσεις, τόσο μεγαλύτερη η πιθανότητα να εξεταστούν όλες οι πιθανές επιλογές. Η μέθοδος δειγματοληψίας Latin Hypercube εμφανίζεται ως ελκυστικότερη εναλλακτική λύση σε σχέση με τη συμβατική μέθοδο Monte Carlo, καθώς επιτρέπει μεγαλύτερο βαθμό αξιοπιστίας με μικρότερο πλήθος προσομοιώσεων και άρα μικρότερο υπολογιστικό χρόνο. Η τεχνική αυτή βασίζεται στα ίδια στατιστικά στοιχεία. Το πρόβλημα της έλλειψης επαρκών δεδομένων αποτελεί τον κυρίαρχο ανασταλτικό παράγοντα στην επιτυχή κατανόηση, αναγνώριση και προσομοίωση της λειτουργίας φυσικών συστημάτων, μεταξύ των οποίων φυσικά και των υπόγειων υδροφορέων. Το γεγονός ότι πολλά από τα χαρακτηριστικά των υπόγειων υδροφορέων δεν είναι ορατά, περιορίζει τη δυνατότητα άμεσης αναγνώρισής τους. Χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελεί η γεωλογική δομή ενός υδροφορέα και τα 7

8 χαρακτηριστικά που πηγάζουν απ αυτήν, όπως οι συντελεστές διαπερατότητας, αποθηκευτικότητας, πορώδους κλπ. 1.2 Δομή της εργασίας Η εργασία αυτή πραγματεύεται όπως προαναφέραμε την προσομοίωση των τιμών της υδραυλικής αγωγιμότητας για μία περιοχή μελέτης σε συνδιασμό με την εκτίμηση των χρόνων άφιξης ενός μολυντή σε τέσσερα πηγάδια της περιοχής όπως τα έχουμε ορίσει εξ αρχής. Παρακάτω ακολουθεί μια σύντομη διάρθρωση της εκπόνησης αυτής. Στο δεύτερο κεφάλαιο της εργασίας γίνεται μια σύντομη αναφορά στο σύνολο των προσομοιώσεων Monte Carlo και των τυχαίων αριθμών ενώ παράλληλα επικεντρωνόμαστε στην συνέχεια ολοένα και περισσότερο στα μοντέλα που θα αξιοποιήσουμε εμείς αλλά και σε ορισμένα γενικά χαρακτηριστικά του προγράμματος που θα χρησιμοποιήσουμε (Matlab) και πως αυτό σχετίζεται με τις προσομοιώσεις Monte Carlo. Το θέμα του τρίτου κεφαλαίου είναι η ανάλυση του μεθοδολογικού πλαισίου της μελέτης και των μεθόδων και τεχνικών που χρησιμοποιούνται για την επίλυση του προβλήματος εκτίμησης των άγνωστων σε μας παραμέτρων. Χωρίζεται στην μελέτη της μονο-μεταβλητής και της πολυμεταβλητής ανάλυσης των παραμέτρων και των δεδομένων μας όπως αυτά προκύπτουν. Στο τέταρτο κεφάλαιο γίνεται μια προσπάθεια παρουσίασης της περιοχής μελέτης ή πιο συγκεκριμένα μίας υποθετικής περιοχής μελέτης μικρής κλίμακας της οποίας γνωρίζουμε κάποια βασικά στοιχεία της μεταβολής της υδραυλικής της αγωγιμότητας. Θα αναλύσουμε λοιπόν πως αποτυπώνονται από τα γεωστατιστικά μοντέλα οι τιμές της υδραυλικής αγωγιμότητας σε αυτήν και με ποιες μεθόδους ενώ στην συνέχεια θα επισημάνουμε πως η συγκεκριμένη μεθοδολογία ενσωματώνεται στα μοντέλα υδρογεωλογίας για να εκτιμηθεί η τελική «συμπεριφορά» του μολυντή καθώς αυτός «ελευθερώνεται» στην περιχή. Ολοκληρώνοντας, στο πέμπτο και έκτο κεφάλαιο, παρατίθενται τα αποτελέσματα και συμπεράσματα που προέκυψαν από αυτή την εργασία υπό την μορφή διαγραμμάτων και εικόνων όσον αφορά τόσο τα στατιστικά χαρακτηριστικά που απορρέουν από το σύνολο της μεθοδολογίας όσο και σε οπτικό - ρεαλιστικό επίπεδο για το πώς 8

9 αναμένουμε τα χαρακτηριστικά αυτά να αποτυπώνονται στον πραγματικό κόσμο. Τέλος, παραθέτουμε μια σύντομη σύγκριση με τις πιο κλασσικές μεθόδους επίλυσης των προβλημάτων σε συνδιασμό με την μελλοντική βελτίωση και εξέλιξη της παρούσας μεθοδολογίας. 2. ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ MONTE CARLO Εισαγωγικές έννοιες της Γεωστατιστικής και Υδρογεωλογίας Γεωστατιστική ονομάζεται η επιστήμη που παρέχει μεθόδους για την εκτίμηση των παραμέτρων της χωρικής κατανομής εξαρτημένων τυχαίων μεταβλητών, όπως και μεθόδους εκτίμησης διάφορων ποσοτήτων σε σημεία που δεν υπάρχουν μετρήσεις. Εκτίμηση ονομάζεται η διαδικασία προσδιορισμού της βέλτιστης τιμής του πεδίου στο σημείο που μας ενδιαφέρει ή σε πολλά σημεία συγχρόνως βάσει κάποιου κριτηρίου βελτιστοποίησης, όπως η ελαχιστοποίηση του μέσου τετραγωνικού σφάλματος. Προσομοίωση ονομάζεται η διαδικασία παραγωγής πολλών πιθανών καταστάσεων του πεδίου. Οι καταστάσεις αυτές πρέπει να συμφωνούν ικανοποιητικά με τους στατιστικούς περιορισμούς που προκύπτουν από το πειραματικό δείγμα (όπως εμείς το έχουμε προκαθορίσει). Επομένως η προσομοίωση αποσκοπεί στην παραγωγή πολλών εναλλακτικών σεναρίων, τα οποία είναι πιθανά με βάση τις υπάρχουσες η τις προκαθορισμένες μετρήσεις (Χριστόπουλος 2004). Υδραυλική αγωγιμότητα σύμφωνα με τον νόμο του Darcy ονομάζεται «η ροή του νερού μέσα σε ένα πορώδες μέσο είναι ανάλογη προς την υδραυλική κλίση και ενός παράγοντα, γνωστού ως συντελεστή υδροπερατότητας, που είναι χαρακτηριστικός του πορώδους μέσου»..το 1856 ο Darcy, μετά από ανάλυση πειραματικών δεδομένων σε πορώδη μέσα, διατύπωσε τον ομώνυμο νόμο που και σήμερα θεωρείται θεμελιώδης για την κίνηση του νερού. Σύμφωνα με αυτό το νόμο, η βασική σχέση που εκφράζει το νόμο είναι : Q = -KA(dh/dl) 9

10 Όπου Q η παροχή, A είναι η διατομή της ροής, dh/dl είναι η υδραυλική κλίση και Κ ο συντελεστής του Darcy (Σημαντιράκη, 2008). 2.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε τα χαρακτηριστικά τόσο της Γεωστατιστικής σαν επιστήμη όσο και των προσομοιώσεων Monte Carlo μέσα από την παραγωγή τυχαίων αριθμών με την χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών. Με την μέθοδο αυτή χρειάζεται να δημιουργηθούν σύνολα τυχαίων αριθμών οι οποίοι αντίστοιχα θα εφαρμοστούν σε μία συνάρτηση πιθανότητας μια τυχαίας μεταβλητής η οποία θα εκφράζει κάποιο μέγεθος, χρήσιμο για την ανάλυση αξιοπιστίας του συστήματος. Ακολούθως θα παρουσιάσουμε τις τεχνικές αλγόριθμους με τις οποίες μπορούμε να προσομοιώσουμε τιμές από μια μεταβλητή της οποίας ξέρουμε την συνάρτηση κατανομής. Οπως έγινε φανερό από τα προηγούμενα, παρόλη την κανονικότητα που μπορεί να διακρίνουμε από σημείο σε σημείο στο χώρο για τις εδαφικές ιδιότητες, οι θεμελιώδεις φυσικοχημικές διεργασίες που λαμβάνουν χώρα είναι τόσο περίπλοκες ώστε να είναι αδύνατη η προσέγγιση τους με μαθηματικά ομοιώματα, αυτό που αποκαλούμε δηλαδή ως μοντέλα προσομοίωσης, χωρίς να περιλαμβάνονται οι έννοιες σφάλμα και αβεβαιότητα στην εξαγωγή των συμπερασμάτων. Στην περίπτωση αυτή, είναι χρήσιμο να δούμε τα δεδομένα σαν έκφραση χωρικών μεταβλητών (regionalized variables). Σύμφωνα με την θεωρία των χωρικών μεταβλητών τα διαθέσιμα δειγματοληπτικά δεδομένα είναι αποτέλεσμα μίας τυχαίας διεργασίας ή εκφράσεις μίας τυχαίας συνάρτησης όπως αναφέραμε και νωρίτερα, εισάγοντας έτσι ένα βαθμό πιθανότητας η αβεβαιότητας για την εκτίμηση μιας εδαφικής ιδιότητας όπως εν προκειμένω η υδραυλική αγωγιμότητα. Η στατιστική αυτή προσέγγιση για την εκτίμηση ενός φαινομένου καλείται συχνά γεωστατιστική. Η γεωστατιστική γνώρισε μεγάλη εφαρμογή στην έρευνα κυρίως χάρη στον Matheron (1965, 1971), Γάλλο μηχανικό και μεταλλειολόγο. Στην εδαφολογική έρευνα εφαρμόστηκε πρώτη φορά απο τους Burgess και Webster στις αρχές της δεκαετίας 80, οι οποίοι με μία σειρά δημοδιεύσεων στο περιοδικό The Journal of Soil Science έθεσαν τις βάσεις για την εφαρμογή γεωστατιστικών μεθόδων (Συλλαίος 2007). 10

11 2.2 Τυχαίοι αριθμοί Σαν τυχαίος αριθμός ορίζεται ένας αριθμός που εξάγεται από ένα σύνολο αριθμών, με τέτοιο τρόπο, ώστε κάθε αριθμός μέσα από τον πληθυσμό να έχει ίση πιθανότητα να εξαχθεί. Η βάση για την μελέτη ενός στοχαστικού φαινομένου μέσω προσομοίωσης αποτελείται από μια διαδικασία η οποία παράγει «τυχαίους αριθμούς». Με τον όρο τυχαίοι αριθμοί εννοούμε το αποτέλεσμα μιας πεπερασμένης ακολουθίας X 1 X 2,..., Xn ανεξάρτητων τιμών που κατανέμονται ομοιόμορφα στο διάστημα [0,1]. Στο παρελθόν για τη δημιουργία τυχαίων αριθμών, οι επιστήμονες χρησιμοποιούσαν τεχνικές όπως ρίψεις ζαριών, νομισμάτων, μετρητές ακτινών γ, τροχούς ρουλέτας κ.α., γιατί υπήρχε η θεώρηση ότι μόνο μηχανικές συσκευές μπορούσαν να παράγουν «πραγματικά» τυχαίους αριθμούς. Οι μέθοδοι αυτές ήταν πολύ αργές για γενικότερη χρήση, τα αποτελέσματά τους δεν ήταν δυνατό να αναπαραχθούν ενώ και τα αποτελέσματά τους ήταν μη ικανοποιητικά καθώς υπάρχει σημαντική συσχέτιση μεταξύ διαδοχικών αριθμών. Η ανάπτυξη της επιστήμης των υπολογιστών έφερε επανάσταση και στον τομέα των τυχαίων αριθμών. Ο von Neumann (1951) πρότεινε μια απλή μέθοδο, που στη διεθνή βιβλιογραφία αναφέρεται ως μέθοδος mid square, χρησιμοποιώντας τις αριθμητικές πράξεις ενός υπολογιστή. Σύμφωνα με αυτή: 1) ξεκινάμε από έναν τετραψήφιο αριθμό π.χ. τον 5232, 2) τον υψώνουμε στο τετράγωνο παίρνοντας τον , 3) από τα τέσσερα μεσαία ψηφία του παίρνουμε τον επόμενο τυχαίο αριθμό: και 4) η διαδικασία επαναλαμβάνεται με τον Η μέθοδος αυτή σύντομα αποδείχτηκε μη ικανοποιητική: αν π.χ. ανάμεσα στα ψηφία εμφανιστεί το 0, τότε αυτό θα συνεχίζει να εμφανίζεται και στους επόμενους τυχαίους αριθμούς της σειράς (Knuth, 1981), ενώ οι παραγόμενοι αριθμοί τείνουν να επαναλαμβάνονται μετά από ένα μικρό αριθμό επαναλήψεων (Γεωργούσης, 2000). Το 1955 η RAND Corporation δημοσίευσε ένα πασίγνωστο για την εποχή πίνακα τυχαίων αριθμών, που αποθηκευόταν στη μνήμη του υπολογιστή. Το πλεονέκτημά του ήταν η εύκολη επαναχρησιμοποίηση, ενώ μειονεκτήματά του ήταν η μικρή ταχύτητα αναζήτησης και η πιθανότητα να εξαντληθούν οι τιμές του πίνακα (Rubinstein, 1981). Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με τη δημιουργία τυχαίων 11

12 αριθμών με τη χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών, καθώς οι τυχαίοι αριθμοί αποτελούν την καρδιά της μεθόδου Monte Carlo (Γεωργούσης, 2000). 2.3 Επιθυμητά χαρακτηριστικά τυχαίων αριθμών Αν γίνει δεκτό ότι τα φυσικά φαινόμενα αποτελούν κακές πηγές τυχαίων αριθμών και στραφούμε στη λύση της δημιουργίας τυχαίων αριθμών με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή, το ερώτημα που εύλογα ανακύπτει είναι κατά πόσο ένα μηχάνημα που ακολουθεί ένα καθαρά ντετερμινιστικό αλγόριθμο για να κάνει μια εργασία, μπορεί να παράγει πραγματικά τυχαίους αριθμούς. Στην πραγματικότητα οι αριθμοί που παράγονται δεν είναι τυχαίοι, αλλά μοιάζουν με τυχαίους. Η ακριβέστερη ονομασία τους είναι ψευδοτυχαίοι (pseudorandom ή quasi random), αλλά τους καλούμε «τυχαίους» θυσιάζοντας το ιδανικό χάριν ευκολίας. Άλλωστε στη μέθοδο Monte Carlo αυτό που μας ενδιαφέρει είναι τα αποτελέσματα να είναι λογικοφανή. Oι σειρές των ψευδοτυχαίων αριθμών παράγονται μέσω κατάλληλων έτσι ώστε κανένα στατιστικό τεστ δεν θα είναι σε θέση να ανιχνεύσει κάποια απόκλιση τους από το τυχαίο πρότυπο. Επειδή ο αλγόριθμος μπορεί να παράγει άπειρους τυχαίους αριθμούς, κάποια στιγμή θα επαναλάβει έναν που είχε ήδη δημιουργήσει. Άρα θα επαναλαμβάνει μια σειρά αριθμών μετά από N το πολύ βήματα και συνεπώς ο αλγόριθμος θα χαρακτηρίζεται από μια συγκεκριμένη περίοδο. Η περίοδος του αλγόριθμου αποτελεί ποιοτικό κριτήριο αξιολόγησής του και για το λόγο αυτό πρέπει να εξασφαλιστεί ότι είναι μεγαλύτερη από το πλήθος των τυχαίων αριθμών που απαιτούνται σε κάποια εργασία. H τυχαιότητα ενός συνόλου αριθμών, εξαρτάται επιπλέον και από τη συγκεκριμένη τη χρήση των αριθμών αυτών. Έτσι αυτό που για μια εφαρμογή επιλέγεται σαν τυχαίο, για μια άλλη εφαρμογή δεν είναι αρκετά τυχαίο. Πέρα από το μέγεθος της περιόδου, άλλα βασικά κριτήρια για να θεωρήσουμε τους τυχαίους αριθμούς που παράγονται με τον ένα ή άλλο αλγόριθμο σαν «καλούς», είναι το να ακολουθούν την ομοιόμορφη κατανομή (uniform distribution) U(0,1), να είναι στατιστικά ανεξάρτητοι και να αναπαράγονται εύκολα. Επίσης ένας αλγόριθμος είναι «καλός» εάν είναι γρήγορος και απαιτεί μικρή κατανάλωση μνήμης και μπορεί να προγραμματιστεί εύκολα σε διάφορες γλώσσες. Πρέπει να τονισθεί όμως πως σπάνια 12

13 ικανοποιούνται όλες οι παραπάνω ιδιότητες από κάποιο αλγόριθμο (Γεωργούσης, 2000). 2.4 Εισαγωγή στις μεθόδους Monte Carlo. Οι αριθμητικές μέθοδοι που είναι γνωστές ως «μέθοδοι Monte Carlo» μπορούν να περιγραφούν ως μέθοδοι στοχαστικής προσομοίωσης, όπου ως στοχαστική προσομοίωση ορίζεται γενικά κάθε μέθοδος που χρησιμοποιεί τυχαίους αριθμούς για να εκτελέσει την προσομοίωση. Άρα λοιπόν, ο τίτλος «μέθοδος Monte Carlo» στην πραγματικότητα δεν αναφέρεται σε μια συγκεκριμένη μέθοδο αλλά σε ένα πλήθος μεθοδολογιών, των οποίων κοινό χαρακτηριστικό είναι ότι προσπαθούν να προσεγγίσουν την πραγματική λύση ενός προβλήματος με την επαναληπτική χρήση τυχαίων αριθμών. Ο Freeze (1975) χρησιμοποιώντας τον όρο «μέθοδος Monte Carlo» αναφέρεται σε ένα σύνολο επαναλαμβανόμενων προσομοιώσεων μιας διαδικασίας με τη χρήση ενός μαθηματικού μοντέλου και στη μετέπειτα στατιστική επεξεργασία των αποτελεσμάτων. Από τη στατιστική αυτήν επεξεργασία θα προκύψουν κάποια όρια μέσα στα οποία μπορεί να βρεθεί η λύση του προβλήματος υπό δεδομένη βεβαιότητα και ακρίβεια. Έτσι π.χ. αν δοθούν τα 95% όρια εμπιστοσύνης, αυτό σημαίνει ότι με βεβαιότητα 95% η λύση που επιζητούμε θα βρίσκεται εντός αυτών των ορίων (Γεωργούσης, 2000). Στην ξένη βιβλιογραφία αναφέρονται διάφορες μεθοδολογίες τύπου Monte Carlo όπως: crude Monte Carlo, hit or miss Monte Carlo, sample mean Monte Carlo κ.α. Κάθε μια από αυτές έχει διαφορετική απόδοση, τρόπο εφαρμογής, πεδίο εφαρμογής και πολυπλοκότητα στην επίλυση προβλημάτων, όπως ο υπολογισμός ολοκληρωμάτων, η επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων, ο υπολογισμός ιδιοτιμών κ.α. Στη βιβλιογραφία παρουσιάζονται εφαρμογές της μεθόδου σε πολλά διαφορετικά προβλήματα που μπορούν να αφορούν π.χ. το σχεδιασμό πυρηνικών αντιδραστήρων, τη θεραπεία καρκίνου με ακτινοβολία, την προσομοίωση της κυκλοφορίας των μεγαλουπόλεων, την αστρική εξέλιξη, την οικονομετρία, την πρόβλεψη του χρηματιστηριακού δείκτη Dow Jones όπως επίσης και στον κλάδο της Υδρογεωλογίας και της μελέτης των παραμέτρων αυτής στοιχείο το οποίο εξετάζουμε και στην παρούσα διατριβή κ.α.. Αξίζει να αναφέρουμε ότι η συγκεκριμένη μέθοδος 13

14 εφευρέθηκε από επιστήμονες το 1944 περίπου, και ονομάστηκε έτσι από την πόλη του Μονακό, εξαιτίας μιας ρουλέτας, δηλαδή μια απλής γεννήτριας τυχαίων αριθμών. Πρόκειται για μία τεχνική με την οποία παράγεται τεχνητά ένα πλήθος τιμών ενός μεγέθους/μεταβλητής, του οποίου μας ενδιαφέρει η πιθανοτική συμπεριφορά, χωρίς τη διεξαγωγή αντίστοιχου αριθμού φυσικών μετρήσεων. Η μέθοδος απαρτίζεται από 3 βασικά μέρη (Πετρομιχελάκης 2011): 1. Τη δημιουργία δειγμάτων τυχαίων μεταβλητών, μεγέθους Ν για κάθε μία από τις τυχαίες μεταβλητές που επιρεάζουν το υπό εξέταση μέγεθος. 2. Τον υπολογισμό του μεγέθους Ν φορές, χρησιμοποιώντας τα τεχνητά δείγματα των τυχαίων μεταβλητώνν. 3. Την στατιστική επεξεργασία Ν αποτελεσμάτων. Έστω ότι υπάρχει μοντέλο προσομοίωσης ενός φαινομένου και μια παράμετρός του θεωρείται στοχαστική (είναι γνωστή δηλαδή η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας την οποία ακολουθεί). Η επαναληπτική διαδικασία εισαγωγής n τυχαίων τιμών (που θα πρέπει να προέρχονται από την ίδια κατανομή με τη στοχαστική παράμετρο) στη θέση της στοχαστικής παραμέτρου και η εξαγωγή n διαφορετικών αποτελεσμάτων, περιγράφει την πιο απλή σε εφαρμογή μεθοδολογία Monte Carlo από τις διάφορες που αναφέρθηκαν πιο πάνω: την crude Monte Carlo (Γεωργούσης, 2000). Οι απαντήσεις της μεθόδου Monte Carlo που θα προκύψουν από στατιστική επεξεργασία, αποτελούν προσεγγίσεις της πραγματικότητας και όχο πιστό αντίγραφο αυτής καθώς εμπεριέχουν ποσά αβεβαιότητας που προκύπτουν από τη χρήση τυχαίων αριθμών. Μπορούν όμως να αποτελέσουν σημαντικό εργαλείο λήψης αποφάσεων, αν καταστεί δυνατή η μείωση της αβεβαιότητας αυτής σε μη σημαντικά επίπεδα όπως αποτυπώνεται στην σχήμα Μία κοινή πρακτική είναι να προέλθουν τα αποτελέσματα μετά από περισσότερες επαναλήψεις μετά από χρήση μεγαλύτερου αριθμού τυχαίων αριθμών n. 14

15 Σχήμα 2.4.1: Γραφική παρουσίαση της μεθόδου Monte Carlo Πηγή: Πετρομιχελάκη, 2011 Με τη χρήση περισσοτέρων επαναλήψεων οι απαντήσεις της μεθόδου Monte Carlo συγκλίνουν προς στην πραγματική λύση.γενικά έχει παρατηρηθεί πως η ακρίβεια είναι ανάλογη του όρου 1/sqrt(n). Πιο απλά, πρέπει να εκατονταπλασιαστεί ο αριθμός των επαναλήψεων για να επιτευχθεί μείωση του σφάλματος κατά δέκα φορές (Hammersley and Handscomb, 1964). Η πρακτική αυτή αν και βοηθά πάρα πολύ, προφανώς αποβαίνει εις βάρος του υπολογιστικού χρόνου (Γεωργούσης, 2000) γεγονός το οποίο προσπαθούμε να μειώσουμε και με την παρούσα μεθοδολογία όπως θα αναλύσουμε και σε επόμενο κεφάλαιο. Πλεονεκτήματα της μεθόδου Monte Carlo αποτελούν: 1. η ευκολία ενσωμάτωσής της μέσα στον αλγόριθμο ενός μοντέλου. 2. ότι οι επαναλαμβανόμενοι υπολογισμοί της θεωρητικά αντιστοιχούν σε μια σειρά παρατηρήσεων ή μετρημένων στο πεδίο τιμών και 3. ότι η μέθοδος μπορεί να χειριστεί δεδομένα εισόδου που χαρακτηρίζονται από μεγάλη μεταβλητότητα. 15

16 Αντίθετα μειονεκτήματα της μεθόδου αποτελούν: 1. ο υπέρμετρος υπολογιστικός χρόνος για την επίτευξη ικανοποιητικής ακρίβειας η έστω και μικρή αβεβαιότητα των αποτελεσμάτων 2. Τόσο η δειγματοληψία μεγάλου πλήθους τυχαίων αριθμών, όσο και η επαναληπτική επίλυση του μοντέλου που χρησιμοποιείται, είναι δύο χαρακτηριστικά που καθιστούν επιτακτική όχι μόνο τη χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών, αλλά και την ύπαρξη ικανοποιητικής υπολογιστικής ισχύος. Σήμερα οι αλγόριθμοι Monte Carlo χρησιμοποιούνται σε ένα ευρύ επιστημονικό φάσμα εκτός των μαθηματικών όπως τη στατιστική φυσική, τη βιολογία, τη γενετική τα χρηματοοικονομικά και αλλού. Ορισμένα παραδείγματα όπου μπορεί να αξιοποιηθεί η μέθοδος της προσομοίωσης είναι (Κέντας 2012): 1. Συστήματα ουρών αναμονής (π.χ. τράπεζες, νοσοκομεία, δίκτυα υπολογιστών). 2. Έλεγχος αποθεμάτων αποθηκών. 3. Αξιοπιστία πολύπλοκων συστημάτων. 4. Κίνηση μετοχών σε μια χρηματιστηριακή αγορά. 5. Εξάπλωση ασθενειών. 6. Μελέτη μετεωρολογικών φαινομένων. 7. Προσομοίωση πειραμάτων πυρηνικής φυσικής. 8. Μελέτη αντοχής κτηρίων σε σεισμούς. Με την μέθοδο της προσομοίωσης είναι δυνατή και η μελέτη κάποιων πολύπλοκων στατιστικών προβλημάτων όπως π.χ. (Κέντας 2012): 1. Προσεγγιστικός υπολογισμός της μέσης τιμής μιας τυχαίας μεταβλητής που ακολουθεί 2. Κατανομή με πολύπλοκη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. 3. Προσεγγιστική εύρεση της κατανομής κάποιας πολύπλοκης στατιστικής συνάρτησης. 4. Ασυμπτωτική συμπεριφορά πολύπλοκων στοχαστικών μοντέλων. 16

17 5. Προσεγγιστικός υπολογισμός του p -τιμής ή της ισχύς ενός ελέγχου μιας υπόθεσης σε ένα σύνθετο μοντέλο. 2.5 Η έννοια της προσομοίωσης Τα τελευταία χρόνια χρησιµοποιούνται όλο και περισσότεροι µέθοδοι προσοµοίωσης (simulation) και µοντελοποίησης (modelling), προκειµένου να επιτευχθούν προσεγγιστικές λύσεις σε πολλά επιστηµονικά προβλήµατα όπως και την επιστήμη της Γεωλογίας. Πολλές φορές λοιπόν σε αρκετούς επιστημονικούς κλάδους ακούμε τον όρο προσομοίωση η οποία καλείται ως η διαδικασία εκείνη κατά την οποία η εφαρµογή ενός προτύπου µοντέλου οδηγεί στην αναπαραγωγή της πραγµατικότητας. Με τις µεθόδους προσοµοίωσης γίνεται προσπάθεια να περιγραφεί ένα φυσικό φαινόµενο µε τη βοήθεια µαθηµατικών µοντέλων, όσο γίνεται πιο ρεαλιστικά. Στην περίπτωση προσοµοίωσης της ροής νερού ή ενός ρύπου - μολυντή στο υπέδαφος έχουν αναπτυχθεί προγράµµατα σε Η/Υ που χρησιµοποιούν μία πληθώρα από αριθµητικές µεθόδους. Ως "πρότυπο" ή "µοντέλο" (model) παράλληλα καλείται η µορφοποιηµένη έκφραση µιας θεωρίας ή συνήθους κατάστασης που µεταβάλλεται και επαναλαµβάνεται. Γενικά, µοντέλο είναι κάθε τέχνασµα µε το οποίο είναι δυνατή η προσεγγιστική απεικόνιση των φυσικών συνθηκών. Υπάρχουν δυο ειδών µοντέλα : 1. τα φυσικά µοντέλα, τα οποία αναπτύσσονται σε εργαστήρια και απεικονίζουν απευθείας τις φυσικές συνθήκες, και 2. τα µαθηµατικά µοντέλα, τα οποία προσοµοιάζουν τις φυσικές συνθήκες έµµεσα, µέσω µαθηµατικών εξισώσεων και συνοριακών συνθηκών. Τα µαθηµατικά πρότυπα επιλύονται, είτε αναλυτικά, είτε αριθµητικά. Ποιος από τους δύο τύπους µοντέλων θα χρησιµοποιηθεί έχει να κάνει µε το είδος του προβλήµατος που καλείται να αντιµετωπισθεί. Το σύνολο των εντολών που χρησιµοποιούνται για την επίλυση του µοντέλου ονοµάζεται πρόγραµµα Η/Υ ή κώδικας. Υπάρχουν υπερασπιστές και πολέµιοι της µοντελοποίησης. Οι πρώτοι υποστηρίζουν ότι ένα µοντέλο µπορεί να οδηγήσει στην ανίχνευση προβληµάτων σε περιοχές που υπάρχει έλλειψη στοιχείων πεδίον ή να προβλέψουν την εξέλιξη ενός 17

18 συστήµατος ροής µέσα στο χρόνο, εντός ελεγχόµενων περιθωρίων σφάλµατος. Οι δεύτεροι ισχυρίζονται ότι ένα µοντέλο µπορεί να δώσει αποτελέσµατα ανεξέλεγκτου λάθους, καθώς για να λειτουργήσει πρέπει να εστιάσει σε µια µικρή περιοχή, αποµονώνει τα συστήµατα υπόγειας ροής και ποσοτικοποιεί παραµέτρους που από τη φύση τους είναι ποιοτικές. Σε κάθε περίπτωση, τα µοντέλα έχουν αρχίσει τα τελευταία χρόνια να καταλαµβάνουν εξέχουσα θέση στο χώρο της υδρογεωλογίας. Η πραγµατοποίηση της µοντελοποίησης απαιτεί προηγούµενη µακροχρόνια, επίπονη και συχνά υψηλού κόστους εργασία υπαίθρου. Κανένα µοντέλο δεν λειτουργεί χωρίς την εισαγωγή πραγµατικών στοιχείων πεδίου, των οποίων η πληθώρα καθορίζει σε σηµαντικό βαθµό και την ακρίβεια του µοντέλου. Ξεκινώντας την διαδικασία της µοντελοποίησης θα πρέπει λοιπόν: 1. να καθοριστούν εκ των προτέρων τα ερωτήµατα στα οποία αναµένεται να απαντήσει το µοντέλο, 2. να επιλεγεί ο τύπος του µαθηµατικού µοντέλου που θα χρησιµοποιηθεί, 3. να καθοριστεί ένα θεωρητικό µοντέλο της περιοχής ενδιαφέροντος, το οποίο θα χρησιµεύσει ως οδηγός, 4. να καθοριστεί ο κώδικας που θα χρησιµοποιηθεί, και 5. να ελεγχθεί εάν τα αποτελέσµατα που εξάγονται από το µοντέλο επιβεβαιώνονται και από παρατηρήσεις. 2.6 Εφαρμογή του προγράμματος Matlab Η επιλογή των τυχαίων αριθμών γίνεται συνήθως με χρήση γεννητριών τυχαίων αριθμών, που είτε υπάρχουν έτοιμες και ενσωματωμένες σε ένα υπολογιστικό περιβάλλον (όπως στην παρούσα εργασία το Matlab) είτε δημιουργούνται από την ανάλυση του συστήματος. Τα βήματα τα οποία περιληπτικά ακολουθούνται μέσω του λογισμικού του Matlab είναι (Σιατταούλας 2012): 1. Ορισμός των παραμέτρων των μεταβλητών 2. Αναπαραγωγή τυχαίων αριθμών από κατάλληλη κατανομή (προσομοίωση) 3. Κατασκευή των απαραίτητων συναρτήσεων 18

19 4. Ορισμός των αρχικών συνθηκών των συναρτήσεων (περιορισμοί, αρχικά σημεία) 5. Παρουσίαση των αποτελεσμάτων Η προσομοίωση είναι μία από τις πιο διαδεδομένες τεχνικές στις εφαρμογές της Χωρικής Στατιστικής και βασικό μεθοδολογικό εργαλείο στην παρούσα εργασία αποτελεί η γλώσσα προγραμματισμού Matlab της οποία μερικά από τα κύρια πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα θα παρουσιάσουμε παρακάτω. Βασικά πλεονεκτήματα λοιπόν της μεθόδου είναι ότι η προσομοίωση αποτελεί την πιο διαδεδομένη μέθοδο για την μελέτη περίπλοκων συστημάτων ενώ μας επιτρέπει παράλληλα να ερευνούμε ένα μοντέλο του προβλήματος που εξετάζουμε. Τα μοντέλα που χρησιμοποιεί η Matlab λαμβάνουν υπόψη τους τόσο τον χρόνο, τις μεταβλητές και τους περιορισμούς που εμπλέκονται όσο και το πώς όλα αυτά τα οποία σχετίζονται, αλληλεπιδρούν μεταξύ τους συναρτήσει του χρόνου. Λαμβάνοντας λοιπόν υπόψιν τα παραπάνω μπορούμε να πούμε ότι η προσομοίωση μας βοηθάει να κατασκευάσουμε «εικόνες» οι οποίες προσεγγίζουν ολοένα και περισσότερο την πραγματικότητα. Άρα μπορούμε να δοκιμάσουμε διαφορετικά σενάρια και ιδέες τις οποίες μπορούμε να εφαρμόσουμε και έτσι να βρούμε το ιδανικό μοντέλο το οποίο λειτουργεί πιο αποδοτικά και τείνει να μοιάζουν οι εκροές του με τον πραγματικό χώρο ή μία περιοχή μελέτης. Το κύριο πλεονέκτημα όμως της μεθόδου αυτής είναι ότι δεν απαιτεί υποθέσεις που απλοποιούν το πρόβλημα. Οι αναλυτικές μέθοδοι απαιτούν υποθέσεις για απλοποίηση στην επίλυση του προβλήματος, σε αντίθεση με την προσομοίωση που δεν έχει λιγότερους περιορισμούς. Επίσης μόλις κατασκευάσουμε το μοντέλο μας και το τρέξουμε μπορούμε να συλλέξουμε ακριβή δεδομένα. Άρα ο χρήστης δεν θα παρατηρήσει μόνο τη συμπεριφορά του μοντέλου σε μία γενική κλίμακα αλλά μπορεί να παρατηρήσει την λειτουργηκότητα σε βάθος (Σιατταούλας 2012). Ουσιαστικά η προσομοίωση μας παρέχει τη δυνατότητα της σύγκρισης και αξιολόγησης πολλαπλών εναλλακτικών σεναρίων και λύσεων ώστε να δούμε ποιες πληρούν τις προυποθέσεις. Μπορούμε στην ουσία να «εξερευνήσουμε» με τα δεδομένα μας και να δούμε που υπάρχουν μικρότερες ή μεγαλύτερες αποκλίσεις μεταξύ αυτών και του επιθυμητού για εμάς σεναρίου όπως το έχουμε εμείς προκαθορίσει. Κάτι τέτοιο πρακτικά σημαίνει, την μείωση των αβεβαιοτήτων στα μοντέλα που κατασκευάζουμε 19

20 επανεξετάζοντας τα διαστήματα εμπιστοσύνης των εισροών και των εκροών με σκοπό να καταλήξουμε στο πιο ασφαλές σενάριο παραδοχή. Από την άλλη πλευρά όπως όλες οι τεχνικές έτσι και η προσομόιωση έχει και τα μειονεκτήματά της. Πρώτα απ όλα, η προσομοίωση απαντά στις ερωτήσεις τύπου What if και δεν είναι μία τεχνική βελτιστοποίησης. Μπορούμε να την θεωρήσουμε σαν μέθοδο βελτιστοποίησης κάτω υπό διάφορες συνθήκες είναι όμως μία διαδικασία που απαιτεί πολύ χρόνο. Ακόμα το κάθε μοντέλο που κατασκευάζουμε είναι μοναδικό και πιθανόν να μην μπορεί να χρησιμοποιηθεί για παρόμοια προβλήματα. Επίσης θα πρέπει να σημειωθεί ότι ο όγκος δεδομένων και η ρεαλιστική προσομοίωση δίνουν μία υπερβολική αυτοπεποίθηση στο χρήστη για την εγκυρότητα του μοντέλου (Σιατταούλας 2012). 2.7 Η μέθοδος της Απλής Τυχαίας Δειγματοληψίας (Simple Random Sampling) Ένα τυχαίο δείγμα είναι ένα που επιλέγεται με μια μέθοδο που περιλαμβάνει ένα απρόβλεπτο συστατικό. Η τυχαία δειγματοληψία μπορεί επίσης να αναφερθεί στη λήψη διάφορων ανεξάρτητων παρατηρήσεων από την ίδια κατανομή πιθανότητας, χωρίς ανάμειξη οποιουδήποτε πραγματικού πληθυσμού. Ένα δείγμα πιθανότητας είναι ένα δείγμα στο οποίο κάθε στοιχείο έχει μια γνωστή πιθανότητα ύπαρξης στο δείγμα. Το δείγμα συνήθως δεν θα είναι απολύτως αντιπροσωπευτικό του πληθυσμού από τον οποίο προήλθε αυτήν η τυχαία παραλλαγή στα αποτελέσματα είναι γνωστή όπως λάθος δειγματοληψίας. Στην περίπτωση των τυχαίων δειγμάτων, η μαθηματική θεωρία δύναται να αξιολογήσει το λάθος δειγματοληψίας. Κατά συνέπεια, οι εκτιμήσεις που λαμβάνονται από τα τυχαία δείγματα μπορούν να συνοδευθούν από τα μέτρα της αβεβαιότητας που συνδέονται με την εκτίμηση. Στη τυχαία δειγματοληψία όλα τα μέλη του πληθυσμού έχουν μια ίση πιθανότητα της επιλογής ως τμήμα του δείγματος 20

21 2.8 Η μέθοδος του Λατινικού Υπερκύβου (Latin Hypercube Sampling) Η μέθοδος του Λατινικού Υπερκύβου χρησιμοποιείται κυρίως σε προβλήματα στατιστικής αλλά εφαρμόζεται και σε προβλήματα δομικών συστημάτων για την μείωση του υπολογιστικού φόρτου μέσω της μείωσης της διασποράς των αποτελεσμάτων. Ημέθοδος βασίζεται στον κατακερματισμό του πιθανοτικού χώρου και την λήψη ίσου πλήθους δειγμάτων ανά υποχώριο στοχεύοντας στη μείωση του υπολογιστικού φορτίου μέσω της μείωσης της αβεβαιότητας του αποτελέσματος. Ο πιθανοτικός χώρος Ψ διαστάσεων, διαχωρίζεται σε ομάδα Ν διακριτών μη επικαλυπτόμενων υποχωρίων. Βασικό πλεονέκτημα της μεθόδου είναι η αύξηση της πυκνότητας δειγματοληψίας στη γειτονιά του σημείου μέγιστης πιθανοφάνειας (Cullen and Frey 1998). Μια ανάλογη τεχνική, που δεν εμφανίζει τους περιορισμούς της Monte Carlo, είναι η δειγματοληψία Latin Hypercube ΛΥ, η οποία χρησιμοποιείται και στα πλαίσια της παρούσης εργασίας. Η συγκεκριμένη τεχνική θεωρείται ότι μπορεί να αποδώσει πιο ακριβείς εκτιμήσεις, ενώ επιπρόσθετα απαιτεί μικρότερο αριθμό επαναλήψεων. Αυτό που τη διαφοροποιεί είναι το γεγονός ότι πρόκειται για μια διαστρωματωμένη δειγματοληψία χωρίς επανάθεση (stratified sampling without replacement), δηλαδή ο αλγόριθμος συνυπολογίζει τις περιοχές, οι οποίες ήδη έχουν χρησιμοποιηθεί για την παραγωγή τυχαίων αριθμών και δεν τις ξαναχρησιμοποιεί. Στο σχήμα παρουσιάζεται ένα παράδειγμα δειγματοληψίας με την χρήση της τεχνικής Latin Hypercube, σε μια κανονική κατανομή με n=20 επαναλήψεις. Όπως χαρακτηριστικά φαίνεται, στα άκρα της κατανομής τα διαστήματα αυξάνουν, έτσι ώστε να αποκτήσουν ίση πιθανότητα εμφάνισης με τις περιοχές που βρίσκονται στο κεντρικό τμήμα. 21

22 Σχήμα 2.8.1: Μέθοδοι δειγματοληψίας με χρήση της μεθόδου του Latin Hypercube Sampling Πηγή: Πετρομιχελάκη, 2011 Κατά δειγματοληψία μιας λειτουργίας των μεταβλητών όπως φαίνεται και στο σχήμα 2.8.1, η σειρά κάθε μεταβλητής διαιρείται σε εξίσου πιθανά διαστήματα. Τα σημεία δειγμάτων τοποθετούνται για να ικανοποιήσουν τις απαιτήσεις του Latin Hypercube. Σημειωτέον, ότι αυτό αναγκάζει τον αριθμό τμημάτων να είναι ίσο για κάθε μεταβλητή. Επίσης, αυτή η μέθοδος δειγματοληψίας δεν απαιτεί περισσότερα δείγματα για περισσότερες διαστάσεις (μεταβλητές) αυτή η ανεξαρτησία είναι ένα από τα κύρια πλεονεκτήματα αυτού του τρόπου δειγματοληψίας. Με τον τρόπο αυτό πραγματοποιείται δειγματοληψία που συνεχίζει να είναι τυχαία, την ίδια όμως στιγμή εγγυάται την πιστή απόδοση της αρχικής κατανομής πιθανότητας που έχει επιλεχθεί για τις παραμέτρους εισαγωγής του μοντέλου. Η συγκεκριμένη δειγματοληψία βασίζεται στο γεγονός ότι τα επιλεγμένα δείγματα πρέπει να καλύπτουν όσο πιο ολοκληρωμένα γίνεται τον δειγματοληπτικό χώρο κάθε μεταβλητής, με το ελάχιστο πλήθος προσομοιώσεων. Μετά τον ορισμό των τμημάτων διακριτοποίησης κάθε μεταβλητή υπόκειται σε δειγματοληψία έως ότου επιλεγεί μια τιμή από κάθε τμήμα ίσης πιθανότητας. Ο συνολικός αριθμός των απαιτούμενων προσομοιώσεων προκύπτει από το άθροισμα των τμημάτων στα οποία διακρίνεται η καμπύλη πιθανότητας. Αναλυτικότερα, η 22

23 διαδικασία πραγματοποίησης της δειγματοληψίας ΛΥ, κατά βήματα είναι (Κρασσόπουλος Ταμβάκης 2011): 1. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας διαιρείται σε n διαστήματα ίσης πιθανότητας, όπου n είναι ο αριθμός των επαναλήψεων που θα πραγματοποιηθούν. Στην πρώτη επανάληψη, το ένα από αυτά τα διαστήματα επιλέγεται χρησιμοποιώντας έναν τυχαίο αριθμό. 2. Στη συνέχεια παράγεται ένας δεύτερος τυχαίος αριθμός για να προσδιοριστεί η θέση του μέσα σε αυτό το χρονικό διάστημα, η F(x) πρέπει να βρίσκεται. Στην πράξη, το δεύτερο μισό του πρώτου τυχαίου αριθμού μπορεί να χρησιμοποιηθεί για το σκοπό αυτό γεγονός που επιτυγχάνει την μείωση του χρόνου προσομοίωσης. Η ίδια διαδικασία πραγματοποιείται και για τη δεύτερη επανάληψη, μόνο που το διάστημα που έχει ήδη χρησιμοποιηθεί την πρώτη φορά, πλέον δεν συμπεριλαμβάνεται ως πιθανή επιλογή. 3. Η συνάρτηση x = G (f (x)) υπολογίζεται για τη συγκεκριμένη τιμή του F(x) 4. Η διαδικασία πραγματοποιείται για το συνολικό αριθμό των επαναλήψεων. Έτσι, αφού ο αριθμός των διαστημάτων είναι ίσος με τον αριθμό των διαστημάτων που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να ληφθεί η τιμή της F(x), η δειγματοληψία γίνεται μόνο μια φορά σε κάθε διάστημα, εξασφαλίζοντας την αξιόπιστη αναπαραγωγή της συνάρτησης. 5. Ο συγκεκριμένος τύπος δειγματοληψίας μειώνει τη στατιστική διακύμανση στην προσομοίωση των τυχαίων μεταβλητών για ένα δεδομένο μέγεθος δείγματος (Κρασσόπουλος, 2011). Η μέθοδος δειγματοληψίας Latin Hypercube εμφανίζεται ως ελκυστικότερη εναλλακτική λύση σε σχέση με τη συμβατική μέθοδο Monte Carlo, καθώς επιτρέπει μεγαλύτερο βαθμό αξιοπιστίας με μικρότερο πλήθος προσομοιώσεων και άρα μικρότερο υπολογιστικό χρόνο. Η τεχνική αυτή βασίζεται στα ίδια στατιστικά στοιχεία. Το γεγονός ότι η τεχνική αυτή αποδίδει μεγαλύτερη βεβαιότητα με μικρότερο πλήθος προσομοιώσεων προκύπτει από την πιο ολοκληρωμένη εξέταση όλων των συνδυασμών των μεταβλητών που εμπλέκονται. 23

24 2.9 Διαφορές μεταξύ Simple Random (τυχαίας δειγματοληψίας) και Latin Hypercube Στις δύο διαστάσεις η διαφορά μεταξύ της τυχαίας δειγματοληψίας και της δειγματοληψίας Latin Hypercube μπορεί να εξηγηθεί ως εξής: 1. Στην τυχαία δειγματοληψία τα νέα σημεία δειγμάτων παράγονται χωρίς να λάβουν υπόψη τα σημεία που παράχθηκαν προηγουμένως. Έτσι δεν πρέπει απαραιτήτως να είναι γνωστό εκ των προτέρων πόσα σημεία δειγμάτων απαιτούνται. 2. Στη δειγματοληψία Latin Hypercube πρέπει πρώτα να αποφασιστεί πόσα σημεία δειγμάτων θα χρησιμοποιηθούν και για κάθε σημείο δειγμάτων να σημειώνεται σε ποια σειρά και στήλη λήφθηκε το σημείο δειγμάτων. (Βαγιωνας 2009) 2.10 Προσομειώσεις τυχαίων αριθμών και υδρογεωλογικές παράμετροι Οι προσομοιώσεις Monte Carlo αλλά και απλή τυχαία δειγματοληψία (Simple Random Sampling) είτε εξετάζοντας μία μεταβλητή είτε είναι σύνολο μελέτης πολλών μεταβλητών κατανομής πιθανοτήτων, χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό και την εκτίμηση της αβεβαιότητα καθώς και στην ανάλυση ευαισθησίας επί των προβλέψεων του εκάστοτε μοντέλου σε ένα ευρύ φάσμα επιστημονικών κλάδων, όπως η μηχανική, η υδρολογία, και γενικότερα στον κλάδο της Γεωλογίας και της Υδρογεωλογίας. Όσον αφορά δε στην προσέγγιση των εκτιμήσεων, χρησιμοποιούνται δύο τεχνικές, η προσδιοριστική (ντετερμινιστική) και η στοχαστική. Η πρώτη μέθοδος βασίζεται στην αρχή ότι η καλή γνώση των χαρακτηριστικών ενός υδροφορέα μπορεί να οδηγήσει στη διαμόρφωση ενός μοντέλου προσομοίωσης που να μπορεί να προβλέψει τις αντιδράσεις του συστήματος σε οποιεσδήποτε συνθήκες λειτουργίας. Στην πραγματικότητα όμως η γνώση του ακριβούς τρόπου λειτουργίας του συστήματος και των τιμών των υδρογεωλογικών παραμέτρων είναι σχεδόν πάντα περιορισμένη λόγω της φύσης των προβλημάτων αυτού του τύπου, τα οποία εκ των πραγμάτων περιβάλλονται από ένα 24

25 βαθμό αβεβαιότητας. Η παρατήρηση αυτή αποτελεί και τη βάση πάνω στην οποία αναπτύσσονται τα στοχαστικά μοντέλα (Θεοδοσίου κ.α., 2007). Η δεύτερη θεώρηση αφορά στη στοχαστική θεώρηση του συντελεστή υδραυλικής αγωγιμότητας. Η προσέγγιση αυτή είναι αρκετά συνηθισμένη, σε επίπεδο στοχαστικής θεώρησης και βασίζεται στη στατιστική συσχέτιση της κατανομής του συντελεστή υδραυλικής αγωγιμότητας όπως προκύπτει από δύο διαφορετικές δειγματοληπτικές μεθόδους στην περιοχή μελέτης που έχει καθορισθεί. Αφορά φυσικά, μέσες τιμές του συντελεστή υδραυλικής αγωγιμότητας χωρίς να λαμβάνει υπόψη τη γεωλογική δομή του υδροφορέα και τα χαρακτηριστικά των εδαφικών σχηματισμών που τον συνθέτουν. Το πρόβλημα της έλλειψης επαρκών δεδομένων αποτελεί τον κυρίαρχο ανασταλτικό παράγοντα στην επιτυχή κατανόηση, αναγνώριση και προσομοίωση της λειτουργίας φυσικών συστημάτων, μεταξύ των οποίων φυσικά και των υπόγειων υδροφορέων. Το γεγονός ότι πολλά από τα χαρακτηριστικά των υπόγειων υδροφορέων δεν είναι ορατά, περιορίζει τη δυνατότητα άμεσης αναγνώρισής τους. Χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελεί η γεωλογική δομή ενός υδροφορέα και τα χαρακτηριστικά που πηγάζουν απ αυτήν, όπως οι συντελεστές διαπερατότητας, αποθηκευτικότητας, πορώδους κλπ Υδρογεωλογικές παράμετροι και αβεβαιότητα Όπως αναφέραμε και στο αμέσως προηγούμενο κεφάλαιο η έλλειψη επαρκών δεδομένων αλλά και η αναλυτική και λεπτομερής παρατήρηση του υπεδάφους είναι αναμενόμενο να αυξάνει τα ποσοστά της αβεβαιότητας σε μία στοχαστική προσέγγιση στην μελέτη μίας υδρογεωλογικής παραμέτρου. Οι περισσότερες προσεγγίσεις στην μελέτη της διακύμανσης του εδάφους και των ιδιοτήτων του απαιτούν συνήθως την υιοθέτηση ενός ομοιώματος, ικανού να περιγράψει με σαφήνεια την διαφοροποίηση τους στο χώρο. Στην ιδεατή περίπτωση θα είχαμε στην διάθεση μας μία εκτεταμένη και λεπτομερή περιγραφή όλων εκείνων των φυσικών διεργασιών που λαμβάνουν χώρα και σχετίζονται με το φαινόμενο την εδαφική ιδιότητα. Έχοντας ικανοποιητική γνώση των μηχανισμών διαφοροποίησης των μετρούμενων τιμών στο φυσικό περιβάλλον, και εισάγοντας όλες αυτές τις πληροφορίες σε ένα ομοίωμα αιτιοκρατικής φύσεως, θα μπορούσαμε ουσιαστικά να 25

26 αναπαράγουμε το φαινόμενο. Στην πραγματικότητα παρόλη την κανονικότητα που μπορεί να διακρίνουμε από σημείο σε σημείο στο χώρο για τις εδαφικές ιδιότητες, οι θεμελιώδεις φυσικοχημικές διεργασίες που λαμβάνουν χώρα είναι τόσο περίπλοκες ώστε να είναι αδύνατη η αιτιοκρατική μοντελοποίηση τους κάτω από οποιαδήποτε κλίμακα. Η προσέγγιση της εδαφολογικής ταξινόμησης του εδάφους είναι διακριτής μορφής, καθώς επιχειρείται η κατηγοριοποίηση των εδαφών σε κλάσεις, οι οποίες στο χωρικό περιβάλλον αποτελούν υποδιαιρέσεις πεπερασμένων περιοχών των οποίων τα όρια αρκετές φορές δεν είναι εύκολο να διακριτοποιηθούν με μεγάλη ευκολία (Freeze,Massmann,Smith,Sperling and James 1990). Η χωρική διακύμανση των εδαφικών ιδιοτήτων, σχετίζεται άμεσα με την κλίμακα παρατήρησης της. Είναι σαφές λοιπόν ότι κάθε άλλο παρά απλή είναι η μοντελοποίηση των εδαφικών παραμέτρων γι αυτό όπως και θα επισημάνουμε σε επόμενα κεφάλαια,στην παρούσα μελέτη περίπτωσης θεωρούμε ότι δεν υπάρχουν διαφοροποιήσεις στην σύσταση του εδάφους ενώ η μοναδική εδαφική ιδιότητα που εξετάζουμε είναι η υδραυλική αγωγιμότητα. Όπως αποτυπώνεται και στον πίνακα τα χαρακτηριστικά που περιγράφουν το υπέδαφος είναι αρκετά ενώ οι διακυμάνσεις των τιμών που το χαρακτηρίζουν ακόμα πιο διευρημένες. Πίνακας : Τυπική διακύμανση εδαφικών ιδιοτήτων Πηγή: Συλλαίος 2007 Η χωρική διακύμανση και διαφοροποίηση των εδαφικών ιδιοτήτων, δε μπορεί να αποδοθεί στην επίδραση μόνο εδαφογενετικών παραγόντων, αλλά και: α) στις πεδογενετικές διεργασίες που λαμβάνουν χώρα (σεισμοί,δημιουργία ρηγμάτων κ.α), β) στην ανθρωπογενή επίδραση στο εδαφικό περιβάλλον (διάνοιξη δρόμων και 26

27 γενικότερα σταγανοποίηση εδαφών) ή γ) στο σφάλμα που εμπεριέχει η ταξινόμηση και χαρτογράφηση των εδαφών (Συλλαίος 2007). Πιο συγκεκριμένα και και αν επικεντρώσουμε σε επίπεδο μελέτης της γεωτεκτονικής ανάλυσης του υπεδάφους η διαφοροποίηση των υδρογεωλογικών συνθηκών οφείλεται: (α) στην παρουσία της ρηξιγενούς επιφάνειας, ιδίως όταν συνοδεύεται από τεκτονικά πετρώματα, τα οποία είναι δυνατό να μεταβάλουν δραστικά τη διαπερατότητα (β) στην παρουσία σχηματισμών διαφορετικής υδρογεωλογικής συμπεριφοράς και ταυτόχρονα (γ) στην παρουσία σχηματισμών που χαρακτηρίζονται από διαφορετική τεκτονική δομή, η οποία με τη σειρά της ορίζει σε μακροεπίπεδο την κυκλοφορία των υπογείων υδάτων. Η διαφοροποίηση των υδρογεωλογικών συνθηκών ολοκληρώνοντας μπορεί να γίνει αντιληπτή μέσω: (α) της παρουσίας πηγών κατά μήκος της τεκτονικής επαφής, (β) της έντονης υδροφορίας κατά μήκος της ρηξιγενούς ζώνης, η οποία μπορεί να οφείλεται στην διαφορετική περατότητα των σχηματισμών των δύο ρηξιτεμαχών (γ) του διαφορετικού βάθους της ελεύθερης επιφάνειας του υδροφορέα, (δ) της διαφορετικής γεωμετρίας των υπό πίεση υδροφόρων οριζόντων, κ.ά (Λέκκας Κράνης 2003). 3. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Στο συγκεκριμένο κεφάλαιο θα αναλύσουμε βήμα προς βήμα τις διεργασίες που έγιναν τόσο για την κατασκευή και την αξιοποίηση όσο και για την σύγκριση των αποτελεσμάτων των μοντέλων και των προσομοιώσεων αναφορικά με την εκτίμηση της υδραυλικής αγωγιμότητας για την περιοχή μελέτης καθώς και τις διαδικασίες που ακολουθήσαμε σε υδρογεωλογικό επίπεδο αναφορικά με τα μοντέλα εκτίμησης ροής και συγκέντρωσης του μολυντή. Υπάρχουν δύο κύριες μέθοδοι μέσω των οποίων μπορεί κανείς να προσομοιώσει προβλήματα ροής και μεταφοράς σε υπόγειους υδροφορείς, η προσδιοριστική (ντετερμινιστική) και η στοχαστική. Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια στοχαστική προσέγγιση της υδραυλικής αγωγιμότητας, που αποτελεί την παράμετρο με τον σημαντικότερο βαθμό αβεβαιότητας σε προβλήματα υπόγειων υδροφορέων, τόσο λόγω της δυσκολίας στον προσδιορισμό της όσο και της χωρικής μεταβλητότητας που την χαρακτηρίζει, με στόχο τον προσδιορισμό της ζώνης σύλληψης γεώτρησης άντλησης. Η μέθοδος που εφαρμόζεται για την επίλυση των στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν την ροή και την μεταφορά ρυπαντών σε υπόγειους 27

28 υδροφορείς είναι η τεχνική Monte Carlo (Pinder, 2006). Η εφαρμογή αυτής της τεχνικής απαιτεί την περιγραφή της μεταβλητής, η τιμή της οποίας χαρακτηρίζεται από αβεβαιότητα με μια κατανομή πιθανότητας. Η μέθοδος περιλαμβάνει την επαναληπτική αναπαραγωγή τυχαίων τιμών της μεταβλητής. Οι προσομοιώσεις Monte Carlo παρέχουν τη δυνατότητα εφαρμογής δύο μεθόδων για την αναπαραγωγή τυχαίων τιμών της εκάστοτε υπο διερεύνηση μεταβλητής, την απλή τυχαία δειγματοληψία Monte Carlo και τη δειγματοληψία Latin Hypercube. Για την εφαρμογή και των δύο μεθόδων απαιτείται ο ορισμός της συνάρτησης αθροιστικής κατανομής μιας ή περισσότερων τυχαίων μεταβλητών. Σε κάθε προσομοίωση της εφαρμογής της μεθόδου, προκύπτει ένας τυχαίος αριθμός για κάθε μεταβλητή σύμφωνα με την κατανομή και με τη χρήση των στατιστικών χαρακτηριστικών. Όσο περισσότερες οι προσομοιώσεις, τόσο μεγαλύτερη η πιθανότητα να εξεταστούν όλες οι πιθανές επιλογές. Η μέθοδος δειγματοληψίας Latin Hypercube εμφανίζεται ως ελκυστικότερη εναλλακτική λύση σε σχέση με τη συμβατική μέθοδο Monte Carlo, καθώς επιτρέπει μεγαλύτερο βαθμό αξιοπιστίας με μικρότερο πλήθος προσομοιώσεων και άρα μικρότερο υπολογιστικό χρόνο. Η τεχνική αυτή βασίζεται στα ίδια στατιστικά στοιχεία. Σκοπός μας λοιπόν είναι να συγκρίνουμε τις τιμές των μέσων όρων, των διακυμάνσεων, των τυπικών αποκλίσεων αλλά και τους συντελεστές συσχέτισης όπως αυτοί αναπαράγωνται από τις 2 μεθόδους δειγματοληψίας. Όπως έχει ήδη αναφερθεί η μέθοδοι Monte Carlo είναι στατιστικές μέθοδοι που βασίζονται στην θεωρία των πιθανοτήτων. Για να γίνει η οποιαδήποτε προσέγγιση με την μέθοδο αυτή χρειάζεται να δημιουργηθεί μία πληθώρα τυχαίων αριθμών, οι οποίοι θα εφαρμοστούν σε μία συνάρτηση πιθανότητας, την οποία επιλέγουμε εμείς, η οποία περιγράφει το προς επίλυση μοντέλο και θα δώσουν ένα σύνολο τυχαίων μεταβλητών ως αποτέλεσμα οι οποίες σε πρώτο στάδιο αναφέρονται στις εκτιμήσεις των τιμών της υδραυλικής αγωγιμότητας για την περιοχή μελέτης. Το σύνολο των τιμών που θα εξαχθούν θα εκφράζει κάποιο μέγεθος χρήσιμο για την ανάλυση της αξιοπιστίας του συστήματος και εν προκειμένω για τα επίπεδα αξιοπιστίας των αποτελεσμάτων μεταξύ της Απλής Τυχαίας προσωμοίωσης και της Latin Hypecube. Η μαθηματική μέθοδος δημιουργίας τυχαίων αριθμών προυποθέτει ότι οι αριθμοί δεν μπορούν να είναι εντελώς ασχυσχέτιστοι μεταξύ τους γι αυτό και οι τιμές συσχέτισης τους για τα δύο διαφορετικά μοντέλα που χρησιμοποιούμε είναι αρκετά σημαντικές και μας δίνουν μία ξεκάθαρη εικόνα της αποτελεσματικότητας των δύο 28

29 τρόπων δειγματοληψίας. Παράλληλα, οι αριθμοί που αναγεννόνται κατανέμονται ομοιόμορφα στο διάστημα [0,1] και είναι σημαντικό να έχουν όσο το δυνατόν μικρότερη σχέση μεταξύ τους. Αφού γίνει η παραγωγή των ομοιόμορφα κατανεμημένων αριθμών, με κατάλληλο μετασχηματισμό παράγονται από αυτούς, τυχαίοι αριθμοί που ακολουθούν την κατάλληλη κατανομή όπως αυτή περιγράφεται από το μοντέλο. Πιο απλουστευμένα αυτό σημαίνει ότι: 1. Αρχικά παράγεται ο τυχαίος αριθμός που κατανέμεται ομοιόμορφα στο διάστημα [0,1] με συνάρτηση κατανομής: 2. Στη συνέχεια βρίσκεται την τιμή της τυχαίας μεταβλητής χ, ώστε Fχ(χ) = u. Η εύρεση του χ γίνεται με αντιστροφή της συνάρτησης όπως παρακάτω: 3. Η τυχαία μεταβλητή χ που βρέθηκε, θα ακολουθεί την συνάρτηση κατανομής Fχ(χ) η οποία περιγράφει το προς επίλυση αντίστοιχο μοντέλο. Με τον τρόπο αυτό πραγματοποιείται δειγματοληψία που συνεχίζει να είναι τυχαία, την ίδια όμως στιγμή εγγυάται την πιστή απόδοση της αρχικής κατανομής πιθανότητας που έχει επιλεχθεί για τις παραμέτρους εισαγωγής του μοντέλου Μελέτη και σύγκριση της Απλής Τυχαίας και Latin Hypercube δειγματοληψίας για μία μεταβλητή (Univariate case) Μέσω του Matlab μας παρέχεται η δυνατότητα δύο μεθόδων για την αναπαραγωγή τυχαίων τιμών της εκάστοτε υπο διερεύνηση μεταβλητής, την απλή τυχαία δειγματοληψία Monte Carlo και τη δειγματοληψία Latin Hypercube. Για την 29

30 εφαρμογή και των δύο μεθόδων απαιτείται ο ορισμός της συνάρτησης αθροιστικής κατανομής. Σε κάθε προσομοίωση της εφαρμογής της μεθόδου, προκύπτει ένας τυχαίος αριθμός για κάθε μεταβλητή σύμφωνα με την κατανομή και με τη χρήση των στατιστικών χαρακτηριστικών. Όσο περισσότερες οι προσομοιώσεις, τόσο μεγαλύτερη η πιθανότητα να εξεταστούν όλες οι πιθανές επιλογές. Όπως έχουμε προαναφέρει και στο θεωρητικό μας πλαίσιο, η Latin Hypercube δειγματοληψία έχει δείξει ότι στο σύνολό της οι εκροές του μοντέλου παρουσιάζουν μικρότερη μεταβλητότητα όσον αφορά τα στατιστικά της σε σύγκριση με την Απλή Τυχαία δειγματοληψία για τον ίδιο αριθμό επαναλήψεων (Number of Iterations). Πιο συγκεκριμένα, παρατηρήθηκε ότι όσο το μέγεθος δείγματος αυξάνει, οι τιμές της διακύμανσης, του μέσου όρου αλλά και των συντελεστών συσχέτισης, μειώνονται ενώ αρκετά σημαντική «συρρίκνωση» των τιμών διακρίνεται και όσο ο αριθμός επαναληψιμότητας των προσομοιώσεων μεγαλώνει τόσο τα αποτελέσματα των εκροών είναι πιο αντιπροσωπευτικά. Αν λοιπόν ο αριθμός των επαναλήψεων είναι από εως επαναλήψεις και πάνω τα αποτελέσματα του μοντέλου είναι πιο αντιπροσωπευτικά χωρίς να θεωρούμε ότι η διαδικασία είναι αναποτελεσματική ή αρκετά χρονοβόρα. Στα διαγράμματα που παρουσιάζονται στην συνέχεια γίνεται μία αποτύπωση όσων έχουμε αναφέρει προηγουμένως καθώς παρουσιάζονται και αναλύονται οι διαφορές μεταξύ των 2 μεθόδων δειγματοληψίας. Το 5%, 25%, 75% και το 95% διάστημα πιθανότητας λοιπόν, απεικονίζεται με οριζόντια ευθύγραμμα τμήματα ως προς τον άξονα των Υ, ενώ η κόκκινη κάθετη γραμμή εντός του παραλληλογράμμου αποτυπώνει την διάμεσο που εν προκειμένω συμπίπτει με την μέση τιμή καθώς η κατανομή είναι κανονική (Σχήμα 3.1.1). 30

31 Σχήμα 3.1.1: Απεικόνηση ενός γραφήματος Boxplot όπως αυτό αποτυπώνεται από το πρόγραμμα Matlab Μπορεί να φανεί ότι η Latin Hypercube δειγματοληψία οδηγεί σε πολύ στενότερα διαστήματα πιθανότητας από την Απλή Τυχαία, ιδίως για την περίπτωση του μέσου όρου του δείγματος. Όπως αναφέρθηκε και στο θεωρητικό μας πλαίσιο, η Latin Hypercube δειγματοληψία έχει δείξει ότι οδηγεί εκροές με μικρότερη μεταβλητότητα δειγματοληψίας από την Απλή Τυχαία δειγματοληψία σε επίπεδο μελέτης των στατιστικών ενός μοντέλου προσομοίωσης (μέσο όρο, τυπική απόκλιση και διακύμανση), για τον ίδιο αριθμό των υλοποιήσεων κάτι το οποίο αποτυπώνεται στις εικόνες 3.1.1, 3.1.2, και Κατασκευάσαμε λοιπόν, μέσω του προγράμματος Matlab σχετικά γραφήματα προκειμένου να αποτυπώσουμε ποσοτηκά τις διαφοροποιήσεις αυτής της μεταβλητότητας μεταξύ των 2 μεθόδων. Σχήμα 3.1.1: Αποκλίσεις στις διαφοροποιήσεις των μέσων τιμών για την απλή τυχαία δειγματοληψία και με την μέθοδο του λατινικού υπερκύβου αν η κατανομή ήταν κανονική για μεγέθη δείγματος N = 10, 25, 50 και

32 Ορίσαμε λοιπόν στο μοντέλο να δημιουργήσει 1000 τυχαία δείγματα κάθε φορά χρησιμοποιώντας την SR και την LH δειγματοληψία από μία Γκαουσιανή τυχαία μεταβλητή, όπου το μέγεθος δείγματος (sample size) ήταν αντίστοιχα N = 10, 25, 50 και 100. Στην συνέχεια ακολουθήθηκε η ίδια διαδικασία τη συνάρτηση (y = x 3 ) όπως φαίνεται και στην Εικόνα προκειμένου να αποτυπώσουμε την συμπεριφορά των 2 τρόπων δειγματοληψίας σε μη γραμμικές συναρτήσεις τιμών. Παρατηρήσαμε λοιπόν ότι, τα στατιστικά των κατανομών για τα 2 μοντέλα «συρρικνώθηκαν» εξίσου, πλησίασαν δηλαδή ακόμα πιο κοντά στο κέντρο της κατανομής ενώ στην LH δειγματοληψία οι τυπικές αποκλίσεις σχεδόν προσεγγίζουν τον μέσο όρο. Σχήμα 3.1.2: Αποκλίσεις στις διαφοροποιήσεις των μέσων τιμών για την απλή τυχαία δειγματοληψία και με την μέθοδο του λατινικού υπερκύβου για μία μη γραμμική συνάρτηση για μεγέθη δείγματος N = 10, 25, 50 και

33 Σχήμα (Subplots): Αποκλίσεις στις διαφοροποιήσεις των μέσων τιμών για την Απλή Τυχαία δειγματοληψία και με την μέθοδο του Latin Hypercube για μέγεθος δείγματος N = 10 και Ν =

34 Kάτι αντίστοιχο παρατηρούμε και στα γραφήματα της διακύμανσης για μέγεθος δείγματος Ν = 10 και 100. Όσο αυξάνει το μέγεθος δείγματος οι διακυμάνσεις τείνουν να ελαχιστοποιούνται σε τιμές γύρω στο 1 για την Latin Hypercube δειγματοληψία και από 0.7 εως 1.5 για την Απλή Τυχαία. Πρέπει να σημειώσουμε ότι κυρίως για γραμμικές συναρτήσεις παρόλο που η LH φαίνεται να είναι πιο αποτελεσματική για τον ίδιο αριθμό δείγματος, δεν ισχύει το ίδιο όταν αναφερόμαστε στις ακραίες τιμές αυτής όπου και παρατηρείται μία σαφής μείωση της αποδοτικότητας της μεθόδου. Σχήμα 3.1.4: Γράφημα με τις αποκλίσεις στις διαφοροποιήσεις των διακυμάνσεων για την απλή τυχαία δειγματοληψία και με την μέθοδο του λατινικού υπερκύβου αν η κατανομή ήταν κανονική για μέγεθος δείγματος N = 10 34

35 Εικόνα 3.1.5: Γράφημα με τις αποκλίσεις στις διαφοροποιήσεις των διακυμάνσεων για την απλή τυχαία δειγματοληψία και με την μέθοδο του λατινικού υπερκύβου αν η κατανομή ήταν κανονική για μέγεθος δείγματος N = Από την αξιολόγηση λοιπόν της σχετικής απόδοσης των δύο μεθόδων δειγματοληψίας σε σχέση με την αναπαραγωγή των γνωστών παραμέτρων μιας τυπικής Γκαουσιανής κατανομής προκύπτει παράλληλα ότι: α) όσο καλύτερη είναι η αναπαραγωγή της τιμής μίας παραμέτρου αναφοράς από τις προσομοιώσεις μίας μεθόδου δειγματοληψίας με συγκεκριμένο μέγεθος δείγματος, τόσο πιο μικρό είναι το εύρος της δειγματοληπτικής κατανομής του αντίστοιχου στατιστικού αναφοράς (μέσο όρο, διακύμανση) και τόσο πιο κοντά το κέντρο της κατανομής αυτής στην τιμή της παραμέτρου αναφοράς που έχουμε ορίσει. H δειγματοληψία ΛΥ λοιπόν, οδηγεί σε αρκετά μικρότερου εύρους διαστήματα πιθανότητας απ ότι η ΑΤ ειδικότερα στην περίπτωση του μέσου όρου όπως αυτός αποτυπώνεται και στις εικόνες και (εκθετική συνάρτηση) στοιχείο το οποίο αποτυπώνεται εντονότερα όταν ορίσουμε ως εκθετική την συνάρτηση αναφοράς που ακολουθούν οι τυχαίες τιμές. Παρ όλα αυτά, η αποδοτικότητα της δειγματοληψίας ΛΥ σε σχέση με την ΑΤ δειγματοληψία είναι 35

36 μικρότερη για την περίπτωση της τυπικής απόκλισης ως στατιστικό αναφοράς καθώς αποτελεί μη γραμμικό στοιχείο ως προς τις τιμές μίας μεταβλητής. 3.2 Μελέτη και σύγκριση της Απλής Τυχαίας και Latin Hypercube δειγματοληψίας σε πολυμεταβλητό επίπεδο (Multivariate case) Σε πρώτο στάδιο δημιουργήσαμε έναν αλγόριθμο που απλώς αναπαράγει τυχαίες τιμές για δύο pixel (κελιά) και για τις δύο μεθόδους δειγματοληψίας ορίζοντας εξ αρχής τον επιθυμητό συντελεστή συσχέτισης προκειμένου να δούμε τις διαφορές μεταξύ της απλής τυχαίας και ΛΥ δειγματοληψίας. Πιο αναλυτικά, ορίσαμε τους μέσους όρους για τα 2 pixel ίσους με 0 και τις τυπικές αποκλίσεις ίσες με 1 ενώ δηλώσαμε ότι η συσχέτιση μεταξύ των 2 τυχαίων μεταβλητών που ορίζουμε στα 2 pixel είναι corrref (correlation reference) και έχει τιμή 0.7. Ο συντελεστής συσχέτισης είναι ο ίδιος με την συνδιακύμανση covref (covariance reference), γιατί οι διακυμάνσεις των μεταβλητών είναι ίδιες καθώς εμείς το ορίσαμε ίσες με C = [Var(1) Cov(1,2); Cov(2,1) Var(1)], όπου Var είναι οι διακυμάνσεις επειδή όμως εδώ μιλάμε για Var(1) = Var(2) = 1, έχουμε έναν τελικό πίνακα συνδιακύμανσης C τον ίδιο με τον πίνακα συσχέτισης R = [1 Corr(1,2); Corr(2,1) 1]. Κατασκευάζουμε λοιπόν στην συνέχεια ένα σύνολο 4 στηλών: 2 στήλες για την SR για τις τιμές των δύο pixel και 2 στήλες για την LH με μέγεθος πίνακα (N x 2) και πλήθος τιμών 10 και αριθμό επαναλήψεων (niter) για την κάθε στήλη, δηλαδή για το κάθε κελί pixel έχω τιμές 2*10 και 2*10 για τις 2 δειγματοληψίες ενώ πάνω σε αυτές τις στήλες υπολογίζω τους συντελεστές συσχέτισης. 36

37 Σχήμα : Κατανομή των συντελεστών συσχέτισης για την LH και SR δειγματοληψίας σε γράφημα Boxplot με όριο αποδοχής συσχέτισης το 0.7 Όπως αποτυπώνεται και στην εικόνα η Latin Hypercube δειγματοληψία είναι σε θέση να αναπαράγει συσχετίσεις μεταξύ των τυχαίων μεταβλητών ενώ αναπαράγει τα στατιστικά των δειγμάτων (samples) όπως εμείς τα έχουμε προκαθορίσει. Η συγκεκριμένη μέθοδος λοιπόν αναπαράγει έτσι τα ζεύγη δειγμάτων ώστε να παρουσιάζουν όσο το δυνατόν την επιθυμητή μεταξύ τους χωρίς να χρειάζεται να αναπαράγουμε την δειγματοληψίας πολλές φορές και να έχουμε τα ίδια αποτελέσματα για μικρά μεγέθη δείγματος (sample size = 10, 25, 50,100). Η μέθοδος που επιλέχθηκε για να γίνει εφικτό ένα τέτοιο σενάριο είναι αυτή του Stein η οποία προτάθηκε το Πιο συγκεκριμένα με την μέθοδο του Stein: 1. Μετατρέπεται ένα δείγμα μίας Simple Random δειγματοληψίας με συσχετιζόμενες τιμές, σε ένα δείγμα Latin Hypercube με την αξιοποίηση των τάξεων του δείγματος SR. 2. Είμαστε σε θέση, κατ 'αρχήν να διαχειριστούμε και να αξιοποιήσουμε πολλαπλές τυχαίες μεταβλητές και κατανομές αντίστοιχα. 37

38 3. Από την άλλη σημαντικό μειονέκτημα είναι ότι δεν διευκρινίζεται πώς το δείγμα της SR δειγματοληψίας παράγεται. Μετατρέπεται δηλαδή έναν αριθμό τιμών Χ (μέγεθος δείγματος) με ένα δείγμα SR μεγέθους Ν από K τυχαίων μεταβλητών σε μέγεθος δείγματος τιμών X L με ένα δείγμα LH δειγματοληψίας, εφαρμόζοντας την ακόλουθη λειτουργία σε κάθε xk και κάθε στήλη του X αξιοποιώντας τον ακόλουθο τύπο: όπου vk είναι (Ν * 1) διάνυσμα των ομοιόμορφων τυχαίων αριθμών στο διάστημα [0 1], και οι κλάσεις του (Χk) υποδηλώνουν (Ν * 1) διάνυσμα των ακεραίων από 1 έως Ν αντιστοιχεί στις τάξεις των εγγραφών του SR δείγματος του Χk Χαρακτηριστικά των 2 μεθόδων: 1. Δείγμα LH και τιμών X L το οπόιο περιέχει ένα σύνολο στηλών με συσχετιζόμενες καταχωρήσεις. Επιπλέον, οι καταχωρήσεις οποιασδήποτε στήλης των τιμών X L είναι στρωματοποιημένη, σε αντίθεση με τις εγγραφές της κάθε στήλης για τις τιμές του αρχικού X. 2. Δεν είναι εγγυημένη με την παρούσα μεθοδολογία η αναπαραγωγή της συσχέτισης στο αρχικό SR δείγμα για όλες τις τιμές του αρχικού X. Η παραπάνω προσέγγιση μεθοδολογία χρησιμοποιείται όταν τα στατιστικά των τιμών Χ είναι ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Ωστόσο, δεδομένου ότι έχουμε να κάνουμε με ένα πεδίο υδραυλικών αγωγιμοτήτων, οι οποίες θεωρούμε ότι έχουν έναν βαθμό συσχέτισης μεταξύ τους, η αυτοσυσχέτιση των τιμών του πεδίου πρέπει να εξεταστεί. Υποθέτουμε ότι γνωρίζουμε τα στατιστικά στοιχεία της υδραυλικής αγωγιμότητας του πεδίου, το οποίο συνήθως αποτυπώνεται από μία πολυμεταβλητή λογαριθμική ή λογαριθμοκανονική κατανομή. Η βασική ιδέα είναι να επιτευχθεί μια μήτρα συσχέτισης που είναι κοντά στον στόχο με αναδιάταξη, σύμφωνα με ένα 38

39 στόχο μήτρα συσχέτισης, οι υλοποιήσεις που λαμβάνονται από το ΛΥ τεχνική. Για να παραχθούν κανονικές τυχαίες μεταβλητές που συσχετίζονται μεταξύ τους σύμφωνα με τον εκτιμώμενο πίνακα συνδιακυμάνσεων αξιοποιώντας την δειγματοληψία ΛΥ, χρησιμοποιείται η αποσύνθεση Cholesky. Τα βήματα που ακολουθούμε στην συγκεκριμένη μεθοδολογία είναι τα εξής: 1. Εκτίμηση - Κατασκευή του πίνακα συνδιακυμάνσεων 2. Αποσύνθεση του πίνακα συνδιακυμάνσεων, έτσι ώστε να προκύψει ο πίνακας Cholesky, υπό την μορφή ενός χαμηλότερου τριγωνικού πίνακα 3. Παραγωγή ενός διανύσματος με ασυσχέτιστες κανονικές τιμές από τυχαίες μεταβλητές 4. Πολλαπλασιασμός του τριγωνικού πίνακα με το αντίστοιχο διάνυσμα που δημιουργήθηκε έτσι ώστε να προκύψει ένα διάνυσμα με τιμές κανονικών τυχαίων μεταβλητών που συσχετίζονται σύμφωνα με τον εκτιμώμενο πίνακα διακυμάνσεων συνδιακυμάνσεων. Παρόλα αυτά στη συγκεκριμένη μεθοδολογία η αξιοπιστία των εκροών είναι ανάλογη του αριθμού των προσομοιώσεων καθώς όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός αυτός τόσο η εκτιμώμενη κατανομή των τυχαίων τιμών τείνει να συγλίνει με την θεωρητική κατανομή. Εικόνα : Κατανομή των συσχετίσεων για τις 2 μεθόδους δειγματοληψίας ενώ έχουν ορίση την τιμή του συντελεστή συσχέτισης στο

40 Εικόνα : Κατανομή των συσχετίσεων για τις 2 μεθόδους δειγματοληψίας ενώ έχουν ορίση την τιμή του συντελεστή συσχέτισης στο

41 Εικόνα : Κατανομή των συσχετίσεων για τις 2 μεθόδους δειγματοληψίας ενώ έχουν ορίση την τιμή του συντελεστή συσχέτισης στο 0.9 Από τις εικόνες , και παρατηρούμε ότι για μικρά μεγέθη δειγμάτων (S = 10, 25) η αναπαραγωγή της επιθυμητής συσχέτισης από τα δείγματα ΛΥ παρέχει μία εκτίμηση της μεροληψίας 1 στην αναπαραγωγή μιας επιθυμητής συσχέτισης από τα δείγματα της δειγματοληψίας τα οποία δημιουργούνται από δύο τυπικές Γκαουσιανές ΤΜ με συσχέτιση 0.75 (Εικόνα ) και 0.9 (Εικόνα ) αντίστοιχα. Φαίνεται ότι ο μέσος όρος της δειγματοληπτικής κατανομής του συντελεστή συσχέτισης για την μέθοδο ΛΥ είναι αρκετά διαφοροποιημένος από τον επιθυμητό μας στόχο του συντελεστή συσχέτισης καθώς οι διαφοροποιήσεις των δύο μεθόδων ως προς το εύρος των συντελεστών είναι πολύ μικρές. Κάτι τέτοιο βέβαια ήταν μερικώς αναμενόμενο δεδομένου ότι η ΛΥ δειγματοληψία έχει ως στόχο την 1 Η μεροληψία είναι ιδιότητα της εκτιμήτριας και όχι της παραμέτρου που εκτιμάται. Συχνά αναφερόμαστε σε μεροληπτική εκτίμηση αλλά στην πραγματικότητα μιλάμε για εκτίμηση μέσω μιας μεροληπτικής εκτιμήτριας. Επίσης συχνά υπάρχει η σύγχυση μεταξύ της έννοιας του «σφάλματος» μιας μεμονωμένης εκτιμώμενης τιμής με την μεροληψία της εκτιμήτριας. Το ότι το σφάλμα μιας εκτιμώμενης τιμής είναι μεγάλο δεν σημαίνει ότι η εκτιμήτρια είναι μεροληπτική. Στην πραγματικότητα ακόμα κι αν όλες οι εκτιμώμενες τιμές έχουν πολύ μεγάλες τιμές σφάλματος, αν η αναμενόμενη τιμή του σφάλματος είναι μηδέν τότε η εκτιμήτρια είναι αμερόληπτη. Επιπλέον το ότι η εκτιμήτρια είναι μεροληπτική δεν αποκλείει το γεγονός το εκτιμώμενο σφάλμα να είναι μηδέν (να σταθήκαμε δηλαδή ενδεχομένως τυχεροί). Η ιδανική κατάσταση φυσικά, είναι να έχει αμερόληπτη εκτιμήτρια χαμηλής διασποράς και ταυτόχρονα να επιχειρείται ο περιορισμός των στοιχείων του δείγματος που το σφάλμα είναι υπερβολικό. 41

42 περιθωρειακά στρωματοποιημένη δειγματοληψία καθώς προσπαθεί να δημιουργήσει όσο το δυνατόν ασυσχέτιστους στρωματοποιημένους αριθμούς, κάτι το οποίο θα αναλύσουμε και θα προσπαθήσουμε να επιτύχουμε στην εξέλιξη της παρούσας έρευνας και θα παρουσιαστεί σε επόμενο κεφάλαιο. Τελικός μας στόχος πρέπει να επισημάνουμε είναι να μειώσουμε τον υπολογιστικό χρόνο επί της διαδικασίας αλλά και να περιορίσουμε τα κατάλοιπα αυτής. Παρόλο που κάτι τέτοιο γίνεται εφικτό από την Latin Hypercube δειγματοληψία σε σύγκριση με την Simple Random όπως αποτυπώνεται και στα γραφήματα 3.2.1, και 3.3.3, η Latin Hypercube δειγματοληψία υποπέφτει σε μερικά «σφάλματα». Αρχικά, η περιορισμένη τεχνική αντιστοίχιση η οποία αναπτύχθηκε από Iman και Connover και εφαρμόστηκε και εδώ, δημιουργήθηκε για να διορθώσει την ανεπάρκεια της Latin Hypercube δειγματοληψίας καθώς περιλαμβάνει την στρωματοποιημένη δειγματοληψία, μόνο τυχαία στην αντιστοίχιση των τιμών των εισροών τυχαίων μεταβλητών. Παρατηρήθηκε λοιπόν ότι οι μεγάλες «πλασματικές» συσχετίσεις ελήφθησαν ακόμη και όταν το ζευγάρι των τιμών έγινε τυχαία. Για να μειωθούν αυτές οι πλασματικές συσχετίσεις ορίσαμε τους βαθμούς αυτοσυσχέτισης των τιμών σε 0.5, 0.75 και 0.9 αντίστοιχα προκειμένου να παρατηρήσουμε την αξιοπιστία των αποτελεσμάτων και κατά πόσον αυτά είναι καλύτερα από την Απλή τυχαία δειγματοληψία. Παρατηρούμε λοιπόν ότι, οι μεγαλύτερες διαφοροποιήσεις της Latin Hypercube και της Απλής Τυχαίας δειγματοληψίας εντοπίζονται όταν ορίσαμε τον συντελεστή συσχέτισης στο 0.9 και για μέγεθος δείγματο Ν = 10 η τιμή του συντελεστή για την ΛΥ είναι αρκετά μικρότερη ενώ τα δείγματα παρουσιάζουν συσχέτιση μεταξύ τους 0.82 και 0.89 αντίστοιχα για τις 2 μεθόδους. Όσο αυξάνει το μέγεθος δείγματος για Ν = 25, 50 και 100 αντίστοιχα οι 2 μέθοδοι παρουσιάζουν αρκετά μικρές αποκλίσεις.παράλληλα, η ΛΥ φειγματοληψία προβλέπει τη δυνατότητα των ακραίων τιμών να προσομοιωθεί ακόμα και μέσα σε ένα δεδομένο στρώμα. 42

43 4. CASE STUDY (ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ) 4.1 Υπολογισμός θεωρητικού μοντέλου βαριογράμματος Η Γεωστατιστική στηρίζεται στη μαθηματική έννοια του τυχαίου πεδίου. Ένα πεδίο μπορεί να θεωρηθεί ως ένα σύνολο τυχαίων μεταβλητών κατανεμημένων στον χώρο. Παράλληλα, ένα τυχαίο πεδίο αναπαριστά μία φυσική μεταβλητή όπως εν προκειμένω οι τιμές της υδραυλικής αγωγιμότητας σε μία περιοχή μελέτης, ενώ προσδιορίζει τις πιθανότητες η μεταβλητή αυτή να λαμβάνει συγκεκριμένες τιμές σε κάθε σημείο του χώρου. Σε αντίθεση με τις αιτιοκρατικές συναρτήσεις, το τυχαίο πεδίο αντιπροσωπεύει ένα σύνολο «δυνατών» καταστάσεων αλληλοσυσχέτισης. Σε ένα τυχαίο πεδίο λοιπόν η κατανομή των πιθανοτήτων είναι τέτοια ώστε η εκάστοτε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας σε ένα σημείο Α να εξαρτάται από την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας στα γειτονικά σημεία. Αυτή η χωρική εξάρτηση είναι το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό των τυχαίων πεδίων που τα διαφοροποιεί από ένα σύνολο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών. Μέση τιμή του πεδίου ή αλλιώς τάση ονομάζεται η μέση τιμή της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας υπολογισμένη ως προς τιο σύνολο των καταστάσεων του πεδίου όπως αποτυπώνεται και στην σχέση 4.1. (4.1.) x(s) είναι οι τιμές μίας κατάστασης του πεδίου, η συνάρτηση f x [x(s)] είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του πεδίου, ενώ με Χ(s) συμβολίζεται το πεδίο. Συνήθως η τάση αντιπροσωπεύει τις αργές μεταβολές στην τιμή του πεδίου και τις περισσότερες φορές μπορεί να περιγράφει με μία αιτιοκρατική συνάρτηση όπως ένα πολυώνυμο. Διατάραξη του πεδίου ονομάζεται το τυχαίο πεδίο που προκύπτει από τη διαφορά του πεδίου με την μέση τιμή όπως φαίνεται στην εξίσωση 4.2 όπου και συμβολίζεται με χ(s). χ(s) = Χ(s) m x (s) (4.2) 43

44 H στατιστική ομοιογένεια είναι ιδίοτητα μερικών τυχαίων πεδίων καθώς σημαίνει ότι οι στατιστικές ιδίοτητες του πεδίου είναι ανεξάρτητες από τις χωρικές συντεταγμένες του εξεταζόμενου σημείου. Ένα πεδίο είναι στατιστικά ομοιογενές όταν η μέση τιμή είναι σταθερή και η συνάρτηση συνδιακύμανσης (covariance) εξαρτάται αποκλειστικά από το δυάνυσμα της απόστασης r(si - sj) μεταξύ δύο σημείων. Τέλος, η στατιστική ομοιογένεια πρακτικά σημαίνει πως η μεταβολή των τιμών του πεδίου μπορεί να αποδοθεί σε διακυμάνσεις γύρω από την συνάρτηση της μέσης τιμής και ότι οι ιδιότητες του πεδίου δεν εξαρτώνται από τη θέση αλλά μόνο από την απόσταση των σημείων (Χριστόπουλος 2004). Το βαριόγραμμα λοιπόν ενός τυχαίου πεδίου ορίζεται βάσει της εξίσωσης 4.3: [4.3] Όπου r είναι το βήμα της απόστασης. Το βαρίογραμμα δηλαδή ορίζεται σε σχέση με τα ζεύγη σημείων που εμφανίζονται σε έναν κάνναβο πλέγμα. Στην ουσία το βαριόγραμμα μετρά πόσο διαφέρουν μεταξύ τους οι τιμές ενός πεδίου σαν συνάρτηση της απόστασης. Αν παράλληλα οι στατιστικές ιδιότητες του πεδίου Χ δεν εξαρτώνται από τις χωρικές συντεταγμένες του σημείου, όπως και στην παρούσα μελέτη, τότε το πεδίο ορίζεται ως στατιστικά ομοιογενές και το βαριόγραμμα αυτού συνδέεται άμεσα με την συνάρτηση συνδιασποράς μέσω της εξίσωσης 4.4. [4.4] Ένα ισότροπο τυχαίο πεδίο καλείται το πεδίο εκείνο που η συνάρτηση της συνδιασποράς του εξαρτάται μονάχα από το μέτρο της απόστασης r και όχι από την κατεύθυνση αυτού του διανύσματος. Προφανώς όταν ένα τυχαίο πεδίο είναι ισότροπο είναι και ομοιογενές χωρίς να ισχύει υποχρεωτικά το αντίστροφο. Η διερεύνυση της ανισοτροπίας επομένως ενός πεδίου, δηλαδή η εξάρτηση της συνδιασποράς από την κατεύθυνση του διανύσματος συσχέτισης r είναι μείζονος σημασίας στις γεωστατιστικές μεθόδους που χρησιμοποιούν στην εκτίμησή τους την μεταβλητότητα. Για παράδειγμα ένα μοντέλο που παρουσιάζει ανισοτροπία σημαίνει 44

45 ότι περιλαμβάνει διαφορετικά μήκη συσχέτισης, ένα για κάθε διάσταση του χώρου. Στην παρούσα μεθοδολογία θεωρήσαμε το μοντέλο ως ισοτροπικό. Οι παράμετροι λοιπόν του βαριογράμματος καθορίζουν την χωρική εξάρτηση συσχέτιση των τιμών του πεδίου σε δύο γειτονικά σημεία. Δηλαδή πρακτικά το βαριόγραμμα είναι ένα εργαλείο που δείχνει την εξάρτηση των σημείων του πεδίου με την απόσταση τους (Χριστόπουλος 2004). Αφού υπολογιστεί το πειραματικό βαριόγραμμα, πρέπει να βρεθεί ένα θεωρητικό μοντέλο το οποίο ταιριάζει καλύτερα στο πειραματικό βαριόγραμμα. Το θεωρητικό μοντέλο αντίστοιχα επιτρέπει τον υπολογισμό του βαριογράμματος για οποιαδήποτε απόσταση μεταξύ των κελιών στο σύνολό τους και για όλους τους δυνατούς συνδιασμούς. Στην συνέχεια παρουσιάζονται οι εξισώσεις για τα αντίστοιχα μοντέλα που χρησιμοποιήθηκαν και στην παρούσα μεθοδολογία όπως αποτυπώνονται στις εξισώσεις 4.5 και 4.6. Η εξίσωση για το εκθετικό μοντέλο είναι: [4.5] Όπου ξ ορίζεται ως το μήκος της συσχέτισης, δηλαδή ένα μήκος που κανονικοποιεί την απόσταση r και ορίζει το διάστημα μέσα στο οποίο υπάρχει ισχυρή αλληλεξάρτηση τιμών του πεδίου. Αντίστοιχα το γκαουσιανό ισοτροπικό μοντέλο υπολογίζεται ως εξής: [4.6] Η απόδοση της εξίσωσης 4.5 υπό την μορφή γραφήματος αποτυπώνεται και στο σχήμα 4.1 όπως υπολογίστηκε και για το μοντέλο βαριογράμματος της παρούσας μεθοδολογίας όπου ορίζονται το εύρος επιρροής = 20 και η οροφή του μοντέλου είναι 10. Οι τιμές αυτές ουσιαστικά αποδίδουν την εξάρτηση που υπάρχει μεταξύ των ζευγαριών των κόμβων σε σχέση με την απόσταση, είναι λογικό ότι όσο μεγαλώνει η 45

46 απόσταση, η εξάρτηση συσχέτιση μεταξύ των τιμών μειώνεται. Παράλληλα, η εξάρτηση της απόστασης με την τιμή που αποδίδεται στην υδραυλική αγωγιμότητα για το κάθε τμήμα (κόμβο) του καννάβου υπολογίζεται από τον πίνακα συνδιακύμανσης των αποστάσεων μεταξύ όλων των ζευγών των κόμβων του καννάβου (Σχήμα 4.2). Σχήμα 4.1: Μοντέλο συνδιακύμανσης που ορίζεται ως εκθετική συνάρτηση της απόστασης, με τις παραμέτρους οροφή και αποτελεσματικό εύρος αντίστοιχα. Σχήμα 4.2: Πίνακας συνδιακύμανσης αποστάσεων μεταξύ όλων των ζευγών των κόμβων του καννάβου. 46

47 Αρκετές φορές σε γεωστατιστικές μελέτες δεν καθίσταται απόλυτα εφικτή η επιλογή ενός συγκεκριμένου μαθηματικού μοντέλου βαριογράμματος, αν αυτή βασίζεται σε κριτήρια στατιστικής φύσεως όπως το άθροισμα των τετραγώνων των διαφορών πειραματικών θεωρητικών τιμών καθώς μιλάμε για αποστάσεις και έχουμε να υπολογίσουμε διανύσματα. Παρόλα αυτά με την χρήση τέτοιων κριτηρίων υπάρχει ο κίνδυνος της υπεραπλούστευσης του προβλήματος της εφαρμογής ομοιωμάτων σε πειραματικά βαριογράμματα, στο μαθηματικό επίπεδο της εφαρμογής συναρτήσεων σε πειραματικά δεδομένα, προσέγγιση κάθε άλλο παρά ρεαλιστική. Ο αντικειμενικός σκοπός της όλης προσπάθειας είναι η δημιουργία ενός ρεαλιστικού θεωρητικού βαριογράμματος που να περιγράφει με την μεγαλύτερη δυνατή σαφήνεια τα χωρικά χαρακτηριστικά της εδαφικής ιδιότητας ή παραμέτρου που εξετάζεται όπως στην παρούσα μελέτη η υδραυλική αγωγιμότητα. Κάτι τέτοιο φαίνεται να είναι εφικτό μέσα από την χρήση αριθμητικών μεθόδων για την εφαρμογή στα πειραματικά βαριογράμματα, ομοιωμάτων που αρχικά επιλέγονται ή ορίζονται από τον χρήστη. Η μέθοδος Cholesky χρησιμοποιείται για να κατασκευαστεί ένα χωρικά δηλαδή συσχετιζόμενο δείγμα με την κλασσική μέθοδο απλής τυχαίας δειγματοληψίας (από συσχετιζόμενες μεταβλητές). Προκειμένου να κατασκευάσουμε τον πίνακα συνδιακυμάνσεων όπως αποτυπώνεται στο σχήμα 4.2 με σκοπό να παραχθούν δείγματα ή προσομοιώσεις από συσχετιζόμενες κανονικές τυχαίες μεταβλητές από ένα ασυσχέτιστο δείγμα και που συσχετίζονται μεταξύ τους αξιοποιώντας την 47

48 δειγματοληψία ΛΥ, χρησιμοποιείται η αποσύνθεση Cholesky την οποία έχουμε ήδη επεξηγήσει και στο κεφ. 3 ενώ η διαδικασία αυτή οπτικοποιείται στο σχήμα 4.3 όπου παρουσιάζονται ορισμένες προσομοιώσεις. Σχήμα 4.3: Σύνολο 10 πραγματοποιήσεων, δείγματος μεγέθους S = 10 ενός γκαουσιανού τυχαίου πεδίου (δεξιά) με ισοτροπικό εκθετικό μοντέλο συνδιακύμανσης με οροφή 1 και εύρος επιρροής 20 το οποίο δημιουργήθηκε από ένα ασυσχέτιστο γκαουσιανό πεδίο (αριστερά) Αντίστοιχα στο σχήμα 4.4 αποτυπώνεται η εφαρμογή της αποσύνθεσης του Cholesky κατασκευάζοντας και οπτικοποιώντας τον πίνακα συνδιακυμάνσεων (Σχήμα 4.2) και πως στο επόμενο στάδιο εφαρμόζοντας την μεθοδολογία του Stein περνάμε από ασυσχέτιστα δείγματα σε δείγματα ΛΥ μεγέθους S = 10 (μέγεθος δείγματος) του οποίου οι τιμές αποτελούν τα ποσοστημόρια μιας τυπικής Γκαουσιανής ΤΜ που αντιστοιχούν στις στρωματοποιημένες πιθανότητες ενός συσχετιζόμενου δείγματος. 48

49 Σχήμα 4.4: Διατάξεις του ΑΤ δείγματος (Α), Τυχαίοι ομοιόμορφοι αριθμοί στο διάστημα [0,1] (Β), Συσχετισμένες τιμές πιθανότητας περιθωρειακά στρωματοποιημένες (Γ) (οι οποίες προέρχονται από τα Α και Β), και (Δ) Τελικό δείγμα ΛΥ 4.2 Υδρογεωλογικά δεδομένα Υδραυλική αγωγιμότητα (Περιοχή Μελέτης) Υδρογεωλογικά στοιχεία Στο συγκεκριμένο κεφάλαιο παρουσιάζεται η περιοχή μελέτης στην οποία έγιναν οι συγκρίσεις των 2 διαφορετικών τρόπων δειγματοληψίας, της απλής τυχαίας (Simple Random) και αυτής με την μέθοδο του λατινικού υπερκύβου (Latin Hypercube) με σκοπό τον υπολογισμό - εκτίμηση της ροής και μεταφοράς ενός ρύπου δια μέσου ενός ετερογενούς πορώδους μέσου. Οι 2 μεθοδολογίες εφαρμόστηκαν σε 49

50 συνδιασμό με την μοντελοποίηση της χωρικής κατανομής της κορεσμένης υδραυλικής αγωγιμότητας και την εφαρμογή των υδρογεωλογικών μοντέλων προκειμένου να υπολογιστούν εκτιμηθούν οι χρόνοι άφιξης του μολυντή στα σημεία της περιοχής μελέτης που έχουμε προκαθορίσει (4 πηγάδια στις αντίστοιχες γωνίες της περιοχής). Σε πρώτο στάδιο οι δύο μέθοδοι δειγματοληψίας αξιολογούνται αναφορικά με την ικανότητά τους να αναπαράγουν το σύνολο των στατιστικών και χαρακτηριστικών του τυχαίου πεδίου που έχουμε ορίσει. Έχουμε λοιπόν ως εισροές, τις τιμές που προκύπτουν από ένα μαθηματικό μοντέλο ροής μεταφοράς με χωρικά κατανεμημένες παραμέτρους όπως την υδραυλική αγωγιμότητα του πορώδους ενώ ως εκροές ότι ανακύπτει από τις προσομειώσεις των μοντέλων σε σχέση με τις συγκεντρώσεις του ρύπου για την περιοχή μελέτης. Το πρόβλημα που καλούμαστε να απαντήσουμε είναι ότι η χωρική κατανομή των εισροών είναι άγνωστη γι αυτό λοιπόν ακολουθούνται οι παρακάτω διαδικασίες: 1. Προσομoίωση και εκτίμηση της χωρικής κατανομής της υδραυλικής αγωγιμότητας με μεθοδολογικό εργαλείο την χρήση 2 διαφορετικών τρόπων δειγματοληψίας για την περιοχή μελέτης, της απλής τυχαίας (Simple Random) και αυτής με την μέθοδο του λατινικού υπερκύβου (Latin Hypercube). 2. Αξιολόγηση των μοντέλων 3. Κατασκευή και κατανομή των αποτελεσμάτων των μοντέλων 4. Εκτέλεση των υδρογεωλογικών μοντέλων και ανάλυση των αποτελεσμάτων αυτών. Η κατανομή των αποτελεσμάτων των μοντέλων γίνεται από υδρογεωλογικής πλευράς μέσω του λογισμικού Modflow, το οποίο αποτελεί ένα μαθηματικό ντετερμινιστικό αριθμητικό μοντέλο πεπερασμένων διαφορών. Δηλαδή, για να περιγράψει στοιχεία της υπόγειας ροής χρησιμοποιεί μαθηματικές εξισώσεις, οι οποίες σχηματίζονται βάσει των φυσικών νόμων που διέπουν την υπόγεια ροή (ντετερμινιστικό μοντέλο). Κατορθώνει έτσι να περιγράψει ολόκληρη την υπόγεια ροή του περιβάλλοντος που εξετάζεται την ίδια στιγμή, δίνοντας λύσεις για όσα σημεία επιθυμεί ο χρήστης. Το µοντέλο Modflow χρησιµοποιεί τη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών στις τρεις διαστάσεις, όπου το συνεχές σύστηµα αντικαθίσταται από ένα πεπερασµένο αριθµό διακριτών σηµείων τόσο ως προς το 50

51 χώρο, όσο και ως προς το χρόνο (Ψαροπούλου 2010) όπως αποτυπώνεται στο σχήμα Η αριθµητική λύση των συστηµάτων αυτών δίνει τιµές για το φορτίο σε συγκεκριµένα σηµεία του χώρου και για συγκεκριµένα χρονικά βήµατα. Σχήμα : Διαίρεση του χρόνου προσομοίωση σε περιόδους τάσης και χρονικά βήματα Πηγή: Ψαροπούλου 2010 Το Modflow (Modular three dimensional finite difference ground water flow model) της Αμερικανικής Υπηρεσίας Γεωλογικών Ερευνών (U.S.G.S.) αποτελεί τον πιο διαδεδομένο υπολογιστικό κώδικα προσομοίωσης ροής υπόγειου νερού. Το πρόγραμμα στηρίζεται στην αριθμητική επίλυση μιας κύριας διαφορικής εξίσωσης, όπως προκύπτει από την εφαρμογή της εξίσωσης διατήρησης της μάζας και του νόμου του Darcy. Πρόκειται για ένα μοντέλο πεπερασμένων διαφορών με επίλυση των εξισώσεων στο κέντρο των κυψελίδων του κανάβου (block-centered), που προσομοιώνει την κίνηση του υπόγειου νερού στην κορεσμένη ζώνη πορώδους μέσου. Σημειώνεται ότι το Modflow δεν είναι ένα πρόγραμμα διαχείρισης των υδατικών πόρων αλλά ένα πρόγραμμα προσομοίωσης των υδροφόρων συστημάτων, για την εφαρμογή του οποίου είναι απαραίτητη η πλήρης γνώση των υδραυλικών, υδρογεωλογικών και υδρολογικών χαρακτηριστικών τους γι αυτό και ήταν σημαντικός στην παρούσα μελέτη ο καλύτερα προσεγγιστικός υπολογισμός των 51

52 τιμών της υδραυλικής αγωγιμότητας στην περιοχή μελέτης αλλά και η επιλογή της βέλτιστης μοθοδολογίας δειγματοληπτικής μεθόδου. Το λογισμικό που στηρίζεται στους κώδικες Modflow και που αναπτύχθηκε την τελευταία δεκαετία αποτελεί το βασικό εργαλείο για την προσομοίωση ομοιογενών υδροφόρων συστημάτων. Παράλληλα αναπτύχθηκαν πακέτα μετα-επεξεργασίας «post-processing» που με βάση την προσομοίωση, σε μόνιμη ροή, με το Modflow δίνουν τρισδιάστατη παράσταση των γραμμών ροής (MODPATH) με εκτεταμένη εφαρμογή στην προσομοίωση της μεταφοράς της ρύπανσης και στον καθορισμό των θέσεων των γεωτρήσεων απορρύπανσης στα συστήματα «άντλησης επεξεργασίας» τομείς δηλαδή που απευθύνονται και τα αποτελέσματα της παρούσης έρευνας και μεθοδολογίας. Η αξιοπιστία της προσομοίωσης που προσφέρει το Modflow είναι συνάρτηση της ομοιογένειας του υδροφόρου συστήματος που προσομοιώνεται αλλά κυρίως της αξιοπιστίας των στοιχείων εισόδου στο πρόγραμμα, όπως οι υδραυλικές και υδρολογικές παράμετροι. Το Modflow αυτό καθ εαυτό είναι ένα πρόγραμμα που αποτελείται από διάφορα «πακέτα», δηλαδή από ανεξάρτητες «υπορουτίνες» που εκτελούν ειδικές λειτουργίες προσομοίωσης, στηριζόμενες στην τεχνική των «πεπερασμένων διαφορών». Η ενδεχόμενη κατά συνέπεια αναξιοπιστία ενός στοιχείου εισόδου είναι αρκετή για να δώσει συνολικά αναξιόπιστα αποτελέσματα (Παππά 2010). Οι βασικές αρχές που διέπουν τον κώδικα είναι οι εξής: 1. Το υδρογεωλογικό σύστημα μπορεί να προσομοιωθεί για σταθερή κατάσταση (steady case) 2. Το μαθηματικό υπόβαθρο στηρίζεται στη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών για το κέντρο κάθε κυψελίδας (cell) του μοντέλου. 3. Δεν υπάρχει ροή έξω από τα όρια του μοντέλου. 4. Το μέσο (κατά πρώτιστα πορώδες) το οποίο προσομοιώνεται μπορεί να είναι ομοιογενές ή ανισότροπο. 5. Το σύστημα ροής μπορεί να έχει ακανόνιστο σχήμα και να περικλείει συνδυασμούς υδροφόρων στρωμάτων, δηλαδή ελεύθερα, ημι-ελεύθερα και υπό πίεση. Στην περίπτωση συνδυασμού υδροφόρων στρωμάτων, το ανώτερο στρώμα συνήθως σχεδιάζεται ως ελεύθερο. 52

53 6. Η ροή μπορεί να προσομοιωθεί πλήρως σε τρισδιάστατη μορφή ή απεικόνιση Μεθοδολογικά Στοιχεία Υποθέτουμε λοιπόν ένα δισδιάστατο συνθετικό σύστημα ροής υπόγειων υδάτων παρόμοιο με αυτό που χρησιμοποιήθηκε από τους Zhang and Pinder (2003) με προκαθορισμένες διαστάσεις καννάβου και μέγεθος κελιού, ενώ το πορώδες παραμένει σταθερό ενώ οι οριακές συνθήκες ροής αποτελούνται από σταθερή πιεζομετρική στάθμη ύψους 0 μέτρων στις γωνίες και 250 μέτρων στο κέντρο του καννάβου. Ορίστικαν παράλληλα συνθήκες μη μόνιμης ροής στα υπόλοιπα όρια της περιοχής ενώ το λογισμικό το οποίο αξιοποιήθηκε είναι το Modflow προκειμένου να υπολογιστεί η λύση της σταθερής κατάστασης του πεδίου ροής. Δεδομένου ότι η εξίσωση μεταφοράς μάζας περιγράφει τις μεταβολές της συγκέντρωσης μίας ουσίας ή ενός ρύπου, για την επίλυση της εξίσωσης είναι απαραίτητες οι αρχικές συνθήκες. Η αρχική συνθήκη στην γενική της μορφή γράφεται με τον ακόλουθο συμβολισμό: C(x,y,z) = C o (x,y,z) στο σύνολο του Ω (ολόκληρη η περιοχή έρευνας- μελέτης) για t = 0 όπου C o (x,y,z) είναι η γνωστή κατανομή συγκέντρωσης. Μία ειδική περίπτωση της παραπάνω συνθήκης είναι C(x,y,z) = 0 όπου η αρχική συγκέντρωση είναι μηδενική σε όλη την έκταση του πεδίου, θεώρηση που ισχύει και για την παρούσα μελέτη καθώς πολλά προβλήματα μεταφοράς μάζας έχουν σκοπό την εκτίμηση μίας πιθανής ρύπανσης η οποία και υπολογίζεται με αυτόν τον τρόπο. Η επίλυση λοιπόν, της βασικής εξίσωσης μεταφοράς μάζας, απαιτεί τον ορισμό των οριακών συνθηκών. Από πλευράς λογισμικού για τον υπολογισμό των παραμέτρων που αναφέρθηκαν, χρησιμοποιήθηκε το λογισμικό ΜΤ3D το οποίο αποτελεί στην ουσία ένα υπο μοντέλο του λογισμικού Modflow και διαφοροποιείται ως προς τον καθορισμό των οριακών συνθηκών για την εξίσωση μεταφοράς μάζας προκειμένου να υπολογιστούν οι καμπύλες χρόνου πρώτης άφιξης ρύπου στα τέσσερα πηγάδια παρατήρησης που βρίσκονται στους τέσσερις γωνιακούς κόμβους του καννάβου. Ο συνδυασμός του υπολογισμού της ροής και της μεταφοράς επιτυγχάνεται μέσω μιας ταυτόχρονης σταδιακής προσέγγισης, κατά την οποία πραγματοποιείται εναλλάξ υπολογισμός της 53

54 εξίσωσης της ροής με το πρόγραμμα Modflow και υπολογισμός της εξίσωσης μεταφοράς διαλυμένης μάζας με το πρόγραμμα MT3D (Zheng,Whang 1999). Πιο συγκεκριμένα, σαν περιοχή μελέτης λοιπόν ορίζεται μία έκταση μεγέθους 5,1 επί 5,1 km (χιλιομέτρων) η οποία μεταφράζεται σε ένα πλέγμα (Grid) 51 * 51 κελιών με μέγεθος κελιού (cell size) τα 100 μέτρα (Σχήμα ). Το πορώδες του εδάφους θεωρείται σταθερό για όλη την περιοχή μελέτης με τιμή ίση με 0,25 θεωρόντας βέβαια ότι το υπέδαφος αποτελείται από μόνο έναν γεωλογικό σχηματισμό αν συνυπολογίσουμε ότι οι τιμές του πορώδους και κατ επέκταση της υδραυλικής αγωγιμότητας δεν γίνεται να είναι οι ίδιες για όλους τους γεωλογικούς σχηματισμούς. Για τις συνθήκες της ροής και της αγωγιμότητας του εδάφους γνωρίζουμε ότι στις 4 γωνίες της περιοχής μελέτης καννάβου το υψόμετρο είναι 0m και 250 m μέτρα αντίστοιχα στο κέντρο αυτού. Σε όλα τα υπόλοιπα κελιά οι συνθήκες και οι τιμές της ροής και της αγωγιμότητας είναι άγνωστες. Θεωρούμε ότι η συγκέντρωση του ρύπου στην αρχή είναι 0 ενώ σε χρόνο t = 0 εκλύεται στο κεντρικό κελί του καννάβου (250 m) ρύπος με συγκέντρωση Co = 100 mg/l. Ορίζονται συνθήκες μη μεταφοράς (θc/θn = 0) κατά μήκος των ορίων της περιοχής μελέτης, ενώ οι διαμήκεις και εγκάρσιες οριζόντιες διασπορές θεωρούνται ίσες με 5μ. και 0.5μ., αντίστοιχα. Σχήμα : Απεικόνηση του δυσδιάστατου χωρικού πλαισίου που εφαρμόζονται οι προσομοιώσεις όπου S το κέντρο του καννάβου με υψόμετρο τα 250 μέτρα και O οι 4 γωνίες αυτού με υψόμετρο τα 0 μέτρα αντίστοιχα. 54

55 Στην συνέχεια οι χωρικές κατανομές των τιμών της υδραυλικής αγωγιμότητας μοντελοποιούνται ορίζοντας την μέση τιμή και την διακύμανσή της λογαριθμικής κατανομής με μ y = -5,64 m και σ 2 y = 1,79 ( m / sec) 2 οι οποίες αντιστοιχούν με μ z = 0,0176 m και σ 2 z = 0,0073 ( m / sec)2 των στατιστικών της κανονικής κατανομής. Αξίζει να υπογραμμίσουμε ότι η λογαριθμοκανονική κατανομή προκύπτει από την κανονική κατανομή και με τον μετασχυματισμό y = lnx σε x = e y. Έτσι λέμε ότι η μεταβλητή Χ ακολουθεί την λογαριθμοκανονική κατανομή δύο παραμέτρων αν η Υ ακολουθεί κανονική κατανομή, μετατρέπει δηλαδή τον υπό μελέτη πληθυσμό σε ένα σχεδόν κανονικό πληθυσμό. Παράλληλα, ορίζουμε στο μοντέλο ώστε να υπολογιστεί η λύση του πεδίου συγκέντρωσης ρύπου λόγω μεταφοράς, το υδρολογικό μοντέλο να «τρέχει» μέχρι την χρονική στιγμή t = 2 * 10 6 δευτερόλεπτα. Τα στατιστικά αναφοράς για την συγκέντρωση διαλυμένης ουσίας προέρχονται από ένα σύνολο 300 πραγματοποιήσεων υδραυλικής αγωγιμότητας οι οποίες παρήχθησαν από την απλή τυχαία δειγματοληψία προκειμένου να δημιουργήσουμε την «πραγματική» εικόνα, ή τουλάχιστον όσο το δυνατόν περισσότερο μπορεί αυτή να προσεγγίζει, την περιοχή 55

56 μελέτης ενώ στις εκροές του μοντέλου αποτυπώνονται ο μέσος όρος των μέσων τιμών και η δiακύμανση όπως προαναφέραμε αλλά και οι συντελεστές συσχέτισης και οι συνδιακυμάνσεις μεταξύ των κελιών του καννάβου.. Δύο τέτοιες πραγματοποιήσεις συγκέντρωσης που προέρχονται από τις πραγματοποιήσεις αγωγιμότητας (Σχ. Reference) φαίνονται στο Σχήμα 4.2.1: Η απόδοση των διαφόρων μεθόδων δειγματοληψίας που εξετάζονται στην παρούσα μελέτη για δείγματα μεγέθους S = 10, 30, 50 αξιολογούνται ως προς την αναπαραγωγή των εν λόγω στατιστικών συγκέντρωσης αναφοράς μέσω της δειγματοληπτικής κατανομής των στατιστικών σφάλματος (Root Mean Square Error). Τα στατιστικά αναφοράς της συγκέντρωσης διαλυμένης ουσίας αποτελούνται από: α) το πεδίο του συνολοκού μέσου όρου, β) το πεδίο της συνολικής τυπικής απόκλισης, γ) τις τιμές του άνω τριγωνικού τμήματος του πίνακα συσχετίσεων του πεδίου της περιεκτικότητας χωρίς να επικεντρώνεται στην αναπαραγωγή σε μικρές αποστάσεις, λόγω της μη στασιμότητας του πεδίου συγκέντρωσης ενώ δ) την συνολική κατανομή των χρόνων πρώτης άφιξης του ρύπου μολυντή σε οποιοδήποτε από τα τέσσερα πηγάδια παρατήρησης. 5. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται μία συνθετική μελέτη περίπτωσης στην οποία συγκρίνονται οι μέθοδοι Απλής Τυχαίας δειγματοληψίας και δειγματοληψίας Λατινικού Υπερκύβου από ένα λογαριθμικοκανονικό τυχαίο πεδίο. Το τυχαίο αυτό πεδίο μοντελοποιεί την χωρική κατανομή της κορεσμένης υδραυλικής αγωγιμότητας σε ένα υποθετικό πορώδες μέσο για το οποίο επιλύεται ένα υδρογεωλογικό πρόβλημα ροής και μεταφοράς. Στην Ενότητα που ακολουθεί οι δύο μέθοδοι δειγματοληψίας αξιολογούνται ως προς την ικανότητα τους να αναπαράγουν στατιστικά του τυχαίου πεδίου υδραυλικής αγωγιμότητας, οι τιμές αναφοράς των στατιστικών αυτών υπολογίστηκαν από ένα πολύ μεγάλο σύνολο πραγματοποιήσεων αγωγιμότητας που δημιουργήθηκε από την μέθοδο Απλής Τυχαίας δειγματοληψίας. Στην Ενότητα 5.2, το μεγάλο σύνολο πεδίων αγωγιμότητας χρησιμοποιείται για να κατασκευαστεί ένα αντιστοίχου μεγέθους σύνολο πεδίων συγκέντρωσης, μέσω της επίλυσης ενός προβλήματος ροής και μεταφοράς για κάθε πεδίο αγωγιμότητας. Οι δύο μέθοδοι δειγματοληψίας συγκρίνονται και πάλι στην συνέχεια αναφορικά με την ικανότητά 56

57 τους να αναπαράγουν στατιστικά του πεδίου συγκέντρωσης. Τέλος, στην τελευταία ενότητα παρουσιάζεται η συζήτηση και σχολιασμός επί των αποτελεσμάτων που εξήχθησαν στο σύνολο της διαδικασίας. 5.1 Εκτίμηση της Υδραυλικής Αγωγιμότητας Όπως έχουμε ήδη αναφέρει και στο Κεφάλαιο 4 υποθέτουμε ένα δισδιάστατο συνθετικό σύστημα ροής υπόγειων υδάτων, παρόμοιο με αυτό που χρησιμοποιήθηκε από τους Zhang and Pinder (2003). Υιοθετήθηκε ένα δεύτερης τάξης στάσιμο και ισοτροπικό λογαριθμοκανονικό τυχαίο πεδίο με παραμέτρους που πάρθηκαν από προηγούμενη μελέτη των Sudicky, Illman, Goltz, Adams and McLaren (2010). Πιο συγκεκριμένα, ο μέσος όρος και η διακύμανση της λογαριθμικής αγωγιμότητας θεωρούνται μ y = m/sec και σ 2 y = (m/sec)2. Το βαριόγραμμα της λογαριθμικής αγωγιμότητας θεωρείται ότι έιναι εκθετικό, χωρίς συμμετοχή φαινομένου κόκκου (ποσοστό τυχαίας μεταβλητότητας), με αποτελεσματικό εύρος επιρροής τα 1000 μ. που αντιστοιχεί στο ένα πέμπτο του μεγέθους της περιοχής μελέτης κατά μήκος των δύο κύριων κατευθύνσεων. Τα στατιστικά αναφοράς υπολογίστηκαν από ένα σύνολο 300 πραγματοποιήσεων (Refference = nsim) υδραυλικής αγωγιμότητας από το τυχαίο πεδίο, οι οποίες δημιουργήθηκαν με απλή τυχαία (ΑΤ) δειγματοληψία. Τα στατιστικά αυτά αποτελούνται από: α) το πεδίο μέσου όρου (ensemble average) σταθερό και ίσο με μ z = 0,0176, β) το πεδίο της τυπικής απόκλισης (ensemble standard deviation) ίση με σ z = , γ) τη συνολική ανά ζεύγη συσχέτιση (ensemble correlation) μεταξύ κελιών του καννάβου αυτή εμπεριέχει καταχωρήσεις του άνω τριγωνικού τμήματος του πίνακα συνδιακύμανσης Σ z, δ) το ποσοστό των κόμβων του καννάβου με τιμές αγωγιμότητας που υπερβαίνουν το όριο των z = m/sec που αντιστοιχεί στο ποσοστημόριο της λογαριθμικής κατανομής με μέσο όρο m z = 0,0176 και διακύμανση σ 2 z = 0,0073 άρα μία σταθερά p = 1 0,695 = 0,305, και ε) το πεδίο πιθανότητας υπέρβασης του παραπάνω ορίου z = m/sec, το οποίο προκύπτει από το ποσοστό των προσομοιωμένων τιμών υδραυλικής αγωγιμότητας σε κάθε κόμβο του καννάβου που είναι μεγαλύτερες του ορίου που αναφέραμε. 57

58 Αναφορικά παράλληλα, το μέγεθος του δείγματος και τον αριθμό των πραγματοποιήσεων ανά μέθοδο, επιλέχθηκαν 3 μεγέθη S = 10,30 και 50, σε αντίθεση με την μονομεταβλητή ανάλυση περίπτωσης όπως προσεγγίστηκε στο Κεφάλαιο 3 προκειμένου να εξικονομήσουμε υπολογιστικό χρόνο επί της διαδικασίας και δεδομένου ότι το σύνολο της έρευνας θα είναι εξίσου κατατοπιστικό ως προς τα τελικά αποτελέσματα και συμπεράσματα για τα πλαίσια μιας μεταπτυχιακής διατριβής. Έτσι λοιπόν, για ένα συγκεκριμένο δείγμα μεγέθους S = 10 για παράδειγμα, ποσοτικοποιείται η απόκλιση μεταξύ των συνολικών στατιστικών των προσομοιωμένων τιμών και των στατιστικών αναφοράς όπως αυτά εξήχθησαν από το σύνολο των τριακοσίων επαναλήψεων της αγωγιμότητας που περιγράφησαν παραπάνω, μέσω της τετραγωνικής ρίζας του μέσου τετραγωνικού σφάλματος root mean squared error (RMSE). Ο υπολογισμός των εν λόγω στατιστικών σφάλματος επαναλαμβάνεται σε ένα σύνολο Ι (Ιterations) = 20 παρτίδων πραγματοποιήσεων, με κάθε παρτίδα να περιέχει το ίδιο μέγεθος δείγματος, π.χ S = 10, εκτιμώντας έτσι τη δειγματοληπτική κατανομή των τιμών (RMSE) για κάθε μέγεθος δείγματος και για κάθε μία από τις δύο μεθόδους. Αυτές οι κατανομές παρουσιάζονται μέσω του μέσου όρου και της διαμέσου τους, καθώς και των 75% και 95% διαστημάτων πιθανότητας. Όσο λοιπόν καλύτερη είναι η εκάστοτε αναπαραγωγή ενός στατιστικού αναφοράς από τις προσομοιώσεις μίας μεθόδου δειγματοληψίας για ένα συγκεκριμένο μέγεθος δείγματος (10, 30 και 50), τόσο μικρότερο είναι το εύρος της δειγματοληπτικής κατανομής του στατιστικού π.χ το RMSE και τόσο μικρότερο και πιο κοντά στην τιμή 0 είναι το κέντρο της δειγματοληπτικής κατανομής. Πιο συγκεκριμένα, η αναπαραγωγή του συνολικού (ensemble) μέσου όρου και της συνολικής τυπικής απόκλισης αναφοράς της υδραυλικής αγωγιμότητας από τις δύο μεθόδους δειγματοληψίας και τα τρία μεγέθη δείγματος που εξετάστηκαν παρουσιάζεται στο Σχήμα και Σχήμα 5.1.1: Αναπαραγωγή του συνολικού (ensemble) μέσου όρου 58

59 Σχήμα 5.1.2: Αναπαραγωγή της συνολικής τυπικής απόκλισης 59

60 Η αναπαραγωγή ποσοτικοποιείται μέσω της δειγματοληπτικής κατανομής των τιμών του RMSE μεταξύ των τιμών αναφοράς και των αντίστοιχων στατιστικών που προκύπτουν από τις προσομοιώσεις για το δείγμα 51 * 51 κόμβων του καννάβου. Σε αυτό όπως και σε όλα τα υπόλοιπα σχήματα, το 75% διαστήματα πιθανότητας του RMSE απεικονίζονται με οριζόντια ευθύγραμμα τμήματα, ενώ τα 95% διαστήματα πιθανότητας ως Χ. Οι τιμές των διαμέσων του RMSE απεικονίζονται ως αστερίσκοι ( * ), ενώ οι τιμές των μέσων όρων ως κύκλοι (ο). Από τα δύο πρώτα σχήματα μπορεί εύκολα να εκτιμηθεί ότι η δειγματοληψία ΛΥ αποδίδει την πιο πιστή αναπαραγωγή τόσο για τον μέσο όρο όσο και για την τυπική απόκλιση σε σχέση με την ΑΤ δειγματοληψία. Ειδικά για τον μέσο όρο οι αποκλίσεις των τιμών του μέσου τετραγωνικού σφάλματος μεταξύ των δύο μεθόδων δειγματοληψίας είναι ακόμα μεγαλύτερες και είναι εμφανές ότι η δειγματοληψία Λατινικού Υπερκύβου είναι αρκετά αποτελεσματικότερη. Κάτι τέτοιο είναι αναμενόμενο, αφού η δειγματοληψία ΛΥ στοχεύει στην οριακή διαστρωμάτωση και ως εκ τούτου, θα πρέπει να αναπαράγει καλύτερα τα περιθώρια στατιστικά της υδραυλικής αγωγιμότητας σε κάθε κόμβο του καννάβου. Το σχήμα παρουσιάζει την αναπαραγωγή της συνολικής (ensemble) συσχέτισης για τους πρώτης τάξης γειτονικούς κόμβους του καννάβου, για τις 2 μεθόδους δειγματοληψίας και τα 3 συνολικά μεγέθη δείγματος που εξετάσθηκαν. Οι γείτονες πρώτης τάξης ενός αυθαίρετου κόμβου του καννάβου ορίζονται χρησιμοποιώντας συνδεσιμότητα 8 κόμβων, δηλαδή περιλαμβάνουν τους τέσσερις άμεσους γείτονες (άνω, κάτω, αριστερά και δεξιά) του κεντρικού κόμβου, καθώς και τους τέσσερις διαγώνιους κόμβους αυτού. Η αναπαραγωγή ποσοτικοποιείται βάσει της δειγματοληπτικής κατανομής του RMSE μεταξύ των κατά ζεύγη συσχετισμών αναφοράς και των αντίστοιχων τιμών συσχέτισης που προκύπτουν από τις προσομοιωμένες τιμές υδραυλικής αγωγιμότητας σε πρώτης τάξης γειτονικούς κόμβους. Σχήμα 5.1.3: Αναπαραγωγή τιμών της συνολικής (ensemble) συσχέτισης για τις δύο μεθόδους δειγματοληψίας 60

61 Από το Σχήμα μπορεί εύκολα να γίνει αντιληπτό και κατανοητό ότι οι μέθοδος δειγματοληψίας ΛΥ παρουσιάζει ένα συστημικό σφάλμα (μεροληψία) σε αυτή τη μικρής κλίμακας αναπαραγωγή συσχέτισης αν εξαιρέσουμε ενδεχομένως την αναπαραγωγή της συσχέτισης για μέγεθος δείγματος Ν = 50 όπου και υπερέχει αισθητά η ΛΥ..Θα πρέπει παράλληλα, να σημειωθεί ότι οι δύο μέθοδοι εμφανίζουν την ίδια αναπαραγωγή συσχέτισης (Σχήμα: 5.1.3) όταν λαμβάνονται υπόψιν όλα τα δυνατά ζεύγη των κόμβων του καννάβου, δηλαδή κατά την αξιολόγηση της αναπαραγωγής ολόκληρου του ανώτερου διαγώνιου τμήματος του πίνακα συνδιακύμανσης Σ z της υδραυλικής αγωγιμότητας. Σχήμα 5.1.4: Αναπαραγωγή τιμών της καθολικής (ensemble) συσχέτισης μεταξύ της πρώτης τάξης γειτονικών κόμβων μεταξύ των δύο μεθόδων δειγματοληψίας 61

62 Το Σχήμα και δείχνει την αναπαραγωγή του συνολικού ποσοστού των κόμβων του καννάβου με τιμές αγωγιμότητας μεγαλύτερες των m/sec για τις υπό εξέταση δύο δειγματοληπτικές μεθόδους και τα τρία μεγέθη δείγματος. Το όριο της αγωγιμότητας αυτό αντιστοιχεί στο 0,695 ποσοστιμόριο μιας λογαριθμικής κατανομής με μέσο όρο m z = 0,0176 και διακύμανση σ 2 z = 0,0073 άρα ως εκ τούτου αποδίδει μία σταθερά p = 1 0,695 = 0,305. Η αναπαραγωγή ποσοτικοποιείται βάσει της δειγματοληπτικής κατανομής του RMSE που υπολογίζεται μεταξύ του ποσοστού αναφοράς p = και του μέσου ποσοστού των προσομοιωμένων τιμών αγωγιμότητας οι οποίες υπερβαίνουν το όριο αυτό σε κάθε παρτίδα προσομοιώσεων. Σχήμα 5.1.5: Αναπαραγωγή σε τοπικό επίπεδο της τιμής αναφοράς της συνολικής πιθανότητας υπέρβασης του ορίου αγωγιμότητας (0.007 m/sec) για τα δύο είδη δειγματοληψίας 62

63 Σχήμα 5.1.6: Αναπαραγωγή σε καθολικό επίπεδο της τιμής αναφοράς της συνολικής πιθανότητας υπέρβασης του ορίου αγωγιμότητας (0.007 m/sec) για τα δύο είδη δειγματοληψίας 63

64 Όπως ήταν αναμενόμενο, η δειγματοληψία ΛΥ αποδίδει την καλύτερη αναπαραγωγή για όλα τα μεγέθη δειγμάτων. Το Σχήμα παρουσιάζει την αναπαραγωγή της εν λόγω πιθανότητας υπέρβασης p = του ορίου m/sec σε κάθε κόμβο του καννάβου προσομοίωσης. Η αναπαραγωγή ποσοτικοποιείται βάσει της δειγματοληπτικής κατανομής του RMSE που υπολογίζεται μεταξύ της τιμής αναφοράς p = και των προσομοιώσεων τιμών πιθανότητας αυτής σε κάθε κόμβο του καννάβου. Η δειγματοληψία ΛΥ συνεχίζει λοιπόν να δίνει την καλύτερη αναπαραγωγή και στην προκειμένη περίπτωση, λόγω κυρίως της διαστρωμάτωσης των προσομοιωμένων τιμών αγωγιμότητας σε κάθε κόμβο. Η διαφοροποίηση μεταξύ των δύο μεθόδων είναι ακόμα πιο εμφανής στο σχήμα όπου αποτυπώνεται η αναπαραγωγή σε καθολικό επίπεδο της τιμής αναφοράς της συνολικής πιθανότητας υπέρβασης του ορίου αγωγιμότητας όπου τα αποτελέσματα για την ΛΥ σε συνδιασμό με το μέσο τετραγωνικό σφάλμα «συρικνώνονται» και τείνουν στο 0 όταν σχεδόν όλες οι τιμές για την ΑΤ υπερβαίνουν το όριο του συνολικού ποσοστού των κόμβων του καννάβου με τιμές αγωγιμότητας μεγαλύτερες των m/sec. 64

65 5.2 Μοντελοποίηση της Συγκέντρωση Ρύπου Μολυντή Τελικός μας στόχος είναι όπως έχουμε τονίσει η εκτίμηση και απεικόνηση της τελικής συγκέντρωσης και εξάπλωσης του ρύπου για την περιοχή μελέτης. Για το πρόβλημα μελέτης και μεταφοράς της διαλυμένης ουσίας λοιπόν, αρχικά θεωρείται μία μηδενική συγκέντρωση για όλη την περιοχή του μοντέλου. Δεδομένου αυτού, σε χρόνο t = 0, ένας ρύπος εισάγεται με σταθερή συγκέντρωση Co = 100 mg/l στο κεντρικό κελί του καννάβου ενώ ορίζονται σαν συνθήκες μεταφοράς (θc/θn = 0) κατά μήκος των ορίων της περιοχής μελέτης καθώς οι διαμήκεις και εγκάρσιες οριζόντιες διασπορές θεωρούνται ίσες με 5 μ. και 0.5 μ. αντίστοιχα. Οφείλουμε να αναφέρουμε και πάλι πως οι τιμές που προαναφέραμε, ορίζονται από εμάς βασιζόμενοι σε προηγούμενη μελέτη σύμφωνα με την οποία το αντίστοιχο ομογενές πεδίο υδραυλικής αγωγιμότητας και τα χαρακτηριστικά της περιοχής μελέτης όσον αφορά τις συνθήκες ροής είχαν υπολογιστεί σε αυτή την τάξη τιμών. Από πλευράς λογισμικού χρησιμοποιήθηκε το ΜΤ3D (Zheng, 1999) για να υπολογιστούν οι καμπύλες χρόνου πρώτης άφιξης ρύπου στα τέσσερα πηγάδια παρατήρησης που βρίσκονται στις τέσσερις γωνίες του καννάβου, καθώς επίσης και για να υπολογιστεί η λύση του πεδίου συγκέντρωσης ρύπου μεταφοράς μέχρι την χρονική στιγμή t = 2 * 10 6 δευτερόλεπτα. Αξίζει να σημειωθεί ότι, ο υπολογιστικό χρόνος άφιξης του ρύπου ορίστηκε στον συγκεκριμένο χρόνο δεδομένου ότι θεωρείται ως ο ελάχιστος πιθανός χρόνος προκειμένου ο ρύπος να φτάσει σε ένα από τα τέσσερα πηγάδια. Τα στατιστικά αναφοράς για την συγκέντρωση της διαλυμένης ουσίας προέρχονται από ένα σύνολο 300 επιλύσεων του προβλήματος μεταφοράς, βάσει των 300 πραγματοποιήσεων υδραυλικής αγωγιμότητας που παρήχθησαν στην περασμένη ενότητα μέσω της απλής τυχαίας δειγματοληψίας. Κάποιες από τις πραγματοποιήσεις που παρήχθησαν αποτυπώνονται ενδεικτικά στο σχήμα

66 Σχήμα 5.2.1: Τέσσερεις πραγματοποιήσεις συγκέντρωσης οι οποίες αντιστοιχούν σε τέσσερεις πραγματοποιήσεις υδραυλικής αγωγιμότητας (Sim ) Η απόδοση των δύο μεθόδων δειγματοληψίας που εξετάζονται στην παρούσα μελέτη για τα δείγματα μεγέθους S = 10, 30, 50 αξιολογούνται ως προς την αναπαραγωγή των εν λόγω στατιστικών συγκέντρωσης αναφοράς μέσω της δειγματοληπτκής κατανομής των στατιστικών σφάλματος (RMSE). Προσπαθούμε δηλαδή από τα τελικά γραφήματα που θα παραχθούν να συγκρίνουμε τόσο την αποτύπωση των στατιστικών μελέτης για τις δύο μεθόδους δειγματοληψίας σε συνδιασμό με την απόδοση του μικρότερου σφάλματος στην τελική απόδοση επί των στατιστικών αναφοράς. Τα στατιστικά αναφοράς της συγκέντρωσης διαλυμένης ουσίας αποτελούνται από: α) το πεδίο του συνολικού (ensemble) μέσου όρου β) το πεδίο της συνολικής τυπικής απόκλισης, γ) το πεδίο συνολικής κατά ζεύγη συσχέτισης μεταξύ των κόμβων όπου και περιλαμβάνονται όλες οι τιμές του άνω τριγωνικού τμήματος του πίνακα συσχετίσεων του πεδίου της περιεκτηκότητας, όπως αυτός τροποποιήθηκε κατά την αποσύνθεση του Cholesky, χωρίς να επικεντρώνεται στην αναπαραγωγή σε μικρές αποστάσεις, λόγω της μη στασιμότητας του πεδίου συγκέντρωσης ενώ τέλος δ) την συνολική κατανομή των χρόνων πρώτης άφιξης 66