ΤΡΙΧΟΕΙΔΗ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΤΡΙΧΟΕΙΔΗ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ Περιεχόμενα 1. Τριχοειδή φαινόμενα 2. Συμπεριφορά υγρού μέσα σε Τριχοειδή σωλήνα 3. Ασκήσεις 1

2 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Τριχοειδή φαινόμενα Κοντά στα τοιχώματα του δοχείου η επιφάνεια του υγρού είναι καμπύλη, διότι εκεί σημαντικό ρόλο παίζουν οι δυνάμεις συνάφειας, δηλαδή οι δυνάμεις μεταξύ των μορίων του υγρού και των μορίων του στερεού. Η υπόλοιπη επιφάνεια είναι επίπεδη γιατί κυριαρχεί η δύναμη της βαρύτητας. Περίπτωση διαβροχής π/2 < π 0 π/2 διαβροχή μη διαβροχή Η γωνία ονομάζεται γωνία συνεπαφής. Όταν η επιφάνεια του υγρού κοντά στα τοιχώματα του δοχείου καμπυλώνεται προς τα πάνω (κοίλη), όπως στην περίπτωση νερού γυαλιού, η γωνία είναι μικρότερη των 90 ο και α λέμε ότι το υγρό διαβρέχει την επιφάνεια του στερεού, δηλαδή έχουμε διαβροχή. Όταν η επιφάνεια του υγρού κοντά στα τοιχώματα του δοχείου καμπυλώνεται προς τα κάτω (κυρτή), όπως στην υδραργύρου γυαλιού, η γωνία είναι μεγαλύτερη των 90 ο και α λέμε ότι το υγρό δεν διαβρέχει την επιφάνεια του στερεού, δηλαδή έχουμε μη διαβροχή. 2

3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Στην περίπτωση, όμως, ενός λεπτού σωλήνα (ακτίνα σωλήνα συγκρίσιμη με ακτίνα καμπυλότητας υγρού ), τα τοιχώματα α επιδρούν σε όλη την έκταση του υγρού και συνεπώς όλη η επιφάνεια του α είναι καμπύλη. Οι σωλήνες στους οποίους τα τοιχώματα επιδρούν σε όλη την έκταση του υγρού ονομάζονται τριχοειδείς. Η επιφανειακή τάση προκαλεί ανύψωση (στην περίπτωση της διαβροχής) ή ταπείνωση (στην περίπτωση της μη διαβροχής) του υγρού σε ένα στενό σωλήνα (τριχοειδή) και τα φαινόμενα αυτά ονομάζονται τριχοειδή. Βασική Αρχή της Υδροστατικής Όλα τα σημεία ενός υγρού που βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο έχουν την ίδια πίεση (υγρό που ισορροπεί). Εξίσωση aplace εφαρμογή σε τριχοειδή φαινόμενα Όταν το κέντρο της ακτίνας καμπυλότητας βρίσκεται εσωτερικά του υγρού α εωρούμε την ακτίνα καμπυλότητας αρνητική, αντίετα όταν βρίσκεται εξωτερικά ετική, για τα τριχοειδή φαινόμενα. 3

4 Περίπτωση 1 διαβροχής Ας υποέσουμε ότι έχουμε ένα δοχείο με (διαβρέχον) υγρό και έναν τριχοειδή σωλήνα ακτίνας. Βυίζουμε ένα μικρό μέρος του τριχοειδή σωλήνα στο υγρό. Επειδή ο σωλήνας είναι τριχοειδής η επίπεδη επιφάνεια του υγρού καμπυλώνει (ακτίνα καμπυλότητας ). Αυτό, όμως α έχει ως αποτέλεσμα να υπάρχει μία πρόσετη πίεση aplace Δ = 2σ/. Και τελικά παρατηρούμε ανύψωση της στάμης του υγρού. Με βάση την υδροστατική αρχή α πρέπει να ισχύει: A B όμως: A B ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ g 2 g Παρατήρηση: η καμπυλωμένη επιφάνεια του υγρού ονομάζεται μηνίσκος. Επιλέξαμε αυτό το πρόσημο διότι το κέντρο της ακτίνας καμπυλότητας του μηνίσκου είναι εξωτερικά του υγρού, όταν έχουμε διαβροχή σε τριχοειδή φαινόμενο α λαμβάνουμε αυτό το πρόσημο. Άρα, το υγρό α ανέρει μέχρις ενός ύψους ισορροπίας έτσι ώστε η υδροστατική πίεση ρg της στήλης του υγρού να εξισωεί με την πίεση aplace. Α Β 4

5 ο 2 g cs Ακτίνα τριχοειδή σωλήνα Ακτίνα καμπυλότητας υγρού cs Το ύψος που α ανέλει το υγρό α είναι: 2 2 cs g g Στην περίπτωση της πλήρους διαβροχής = 0 η καμπύλη του υγρού α είναι ένα ημισφαίριο, ενώ: 2 g 5

6 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Περίπτωση 2 μη διαβροχής Στην περίπτωση της μη διαβροχής, τα αποτέλεσμα μας είναι τα ίδια. Σε αυτή την περίπτωση όμως έχουμε ταπείνωση της στάμης του υγρού Με βάση την υδροστατική αρχή α πρέπει να ισχύει: A B όμως: A B. Επιλέξαμε αυτό το πρόσημο διότι το κέντρο της ακτίνας καμπυλότητας του μηνίσκου είναι εσωτερικά του υγρού, όταν έχουμε μη διαβροχή σε τριχοειδή φαινόμενο α λαμβάνουμε αυτό το πρόσημο. Α Β Το βάος που α κατέλει το υγρό α είναι: 2 2 cs g g Στην περίπτωση της πλήρους μη διαβροχής = π η καμπύλη του υγρού α είναι ένα ημισφαίριο, ενώ: 2 Εδώ πρέπει να λάβουμε υπόψη ότι σ < 0 g 6

7 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Συμπεριφορά υγρού μέσα σε τριχοειδή σωλήνα Τα τριχοειδή φαινόμενα παρατηρήηκαν από λεπτούς σωλήνες, η οποίοι προκαλούν μεταβολή του ύψους της ελεύερης επιφάνειας του υγρού. Σε πρώτη ματιά φάνηκε να αντιτίεται στους νόμους της Υδροστατικής. Εξηγήηκε και ήρε σε συμφωνία, όμως με αυτήν. Η ανύψωση η ταπείνωση του υγρού συμβαίνει, διότι δυνάμεις συνοχής των μορίων του υγρού είναι μικρότερες (ή μεγαλύτερες) από τις δυνάμεις συνάφειας μεταξύ των μορίων του υγρού και τα μόρια του σωλήνα. Όταν το υγρό διαβρέχει το σωλήνα, σχηματίζει κοίλο μηνίσκο και ανέρχεται, ενώ όταν δεν διαβρέχει το σωλήνα σχηματίζει κυρτό μηνίσκο και κατέρχεται. Επίσης, σε σύστημα συγκοινωνούντων τριχοειδών σωλήνων, αν ρίξουμε υγρό μέσα σε αυτό, η ελεύερη επιφάνεια του υγρού δεν βρίσκεται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο στους δύο σωλήνες. 7

8 ΑΣΚΗΣΗ 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Ασκήσεις Σε δοχείο με νερό βυίζουμε τριχοειδή σωλήνα, η εσωτερική διάμετρος του οποίου είναι d = 1mm. Το υγρό ανέρχεται μέσα στο τριχοειδή σωλήνα σε ύψος = 2.8 cm. Υπολογίστε την ακτίνα καμπυλότητας του μηνίσκου. Πόσο α ήταν το ύψος αν είχαμε πλήρη διαβροχή. Δίνονται ρ = 10 3 kg/m 3, σ = Ν/m. Το υγρό α ανέρει μέχρις ενός ύψους ισορροπίας έτσι ώστε η υδροστατική πίεση ρg της στήλης του υγρού να εξισωεί με την πίεση aplace. ο. 2 g 2 g Αντικαιστώντας βρίσκουμε την ακτίνα καμπυλότητας του μηνίσκου: N m m 0.5mm 3 m 2 10 kg m 2 s 8

9 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Η σχέση που συνδέει την ακτίνα καμπυλότητας με την ακτίνα του τριχοειδή σωλήνα είναι: cs Ακτίνα τριχοειδή σωλήνα Ακτίνα καμπυλότητας υγρού cs d 2cs ο Το ύψος που α ανέλει το υγρό α είναι: 2 4 cs g gd Στην περίπτωση της πλήρους διαβροχής = 0 η καμπύλη του υγρού α είναι ένα ημισφαίριο, ενώ: 4 gd Αντικαιστώντας βρίσκουμε το ύψος στην πλήρη διαβροχή: N m 2.92cm gd 3 m 3 10 kg m 2 s 9

10 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΑΣΚΗΣΗ 2 Ένας τύπος δένδρου της οικογενείας Σεκόγια φτάνει σε ύψος 120 m. ΑΝ και ο μηχανισμός της ανόδου των χυμών από τη ρίζα του, που είναι 30 m κάτω από το έδαφος, είναι διαφορετικός (δυναμικός) υποέστε ότι αυτή οφείλεται αποκλειστικά σε τριχοειδή φαινόμενα. Υπολογίστε την ακτίνα R του τριχοειδούς σωλήνα σε nm ώστε να φτάνουν οι χυμοί από το άκρο της ρίζας στο ανώτατο ύψος. Δίδονται για το χυμό που ανέρχεται η επιφανειακή του τάση σ = 0.09Ν/m, η πυκνότητα ρ = 1,210 3 Kg/m 3, το g = 10m/s 2 και η γωνία συνεπαφής = 60 ο. Το υγρό α ανέρει μέχρις ενός ύψους ισορροπίας έτσι ώστε η υδροστατική πίεση ρg της στήλης του υγρού να εξισωεί με την πίεση aplace.. R 2 g 2 cs g 2 g R cs ο R R Όπου είναι το συνολικό μήκος του δέντρου Αντικαιστώντας βρίσκουμε: m 8 R cs m 50nm 3 Kg m m 3 2 m s 10

11 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΑΣΚΗΣΗ 3 Υπολογίστε τη διαφορά υψών σε δύο συγκοινωνούντες τριχοειδής σωλήνες, οι εσωτερικές διάμετροι των οποίων είναι d 1 = 1 mm και d 2 = 2 mm, για υδράργυρο με σ = 0.5 Ν/m. Θεωρήστε ότι έχουμε πλήρη μη διαβροχή. ρ = kg/m 3 d 1 d Α Β g1 1 g Αφού έχουμε πλήρης μη διαβροχή η ακτίνα καμπυλότητας του μηνίσκου σε κάε σωλήνα α είναι ίσο με την ακτίνα του σωλήνα. d d ,1,2 Λόγω της υδροστατικής αρχής στα σημεία Α και Β η πίεση πρέπει να είναι η ίδια, δηλαδή, A = B. g g A 1 1 B g g 1 2 d1 d d, d Αυτό σημαίνει ότι όντως στο 2 ο τριχοειδή σωλήνα το g d d υγρό α ανυψωεί περισσότερο.,2 2 11

12 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ d 1 d g d1 d2 d 1 = 1 mm d 2 = 2 mm σ = 0.5 Ν/m 1 2 Α Β Αντικαιστώντας βρίσκουμε: N 40.5 m mm kg m m 210 m 3 2 m s ρ = kg/m 3 12

13 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΑΣΚΗΣΗ 4 Υγρό πυκνότητας ρ και συντελεστή επιφανειακής τάσης σ, πέφτει με τη μορφή σταγόνων από σωλήνα διαμέτρου. Αν εωρήσετε τις σταγόνες σφαιρικές, υπολογίστε την ακτίνα τους συναρτήσει της ακτίνας του σωλήνα. Στο σχήμα φαίνεται η διαδικασία δημιουργίας της σταγόνας. R Σταδιακά η δύναμη της βαρύτητας έλκει το υγρό προς τα κάτω μέχρι το υγρό έξω από τον σωλήνα να αποκτήσει ένα συγκεκριμένο μέγεος, από την άλλη την διαδικασία αυτή όμως την εμποδίζουν οι δυνάμεις επιφανειακής τάσης. Όταν οι δυνάμεις επιφανειακής τάσης εξισωούν με τη δύναμη της βαρύτητας τότε η σταγόνα που δημιουργείται αποσπάται. Λίγο πριν την αποκοπή δημιουργείται ένας λαιμός, όπου αν κι έχει μικρότερη ακτίνα από την ακτίνα του σωλήνα α εωρήσουμε ότι είναι περίπου το ίδιες. Την στιγμή της αποκοπής, η δύναμη της επιφανειακής τάσης που ασκείται στο λαιμό καμπύλης μήκους 2π α είναι ίση με τη δύναμη του βάρους της σταγόνας, δηλαδή α ισχύει: 4 3 F B 2 mg 2 Vg 2 R g R 3 2g 3 3 S R 3 2g 1/3 Παρατήρηση η σχέση είναι προσεγγιστική και η μέγαλη σταγόνα συνοδεύεται πάντα από μία μικρότερη 13

14 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΑΣΚΗΣΗ 5 Πετρέλαιο φεύγει από δοχείο μέσω κατακόρυφου σωλήνα με εσωτερική διάμετρο d = 1 mm. Οι σταγόνες αποσπώνται σε χρόνο Δτ = 1 s μία μετά την άλλη. Σε πόσο χρόνο τα α διαφύγει μάζα m = 10 g πετρελαίου; Δίνεται σ = 26 mn/m Την στιγμή της αποκοπής, η δύναμη της επιφανειακής τάσης που ασκείται στο λαιμό καμπύλης μήκους 2π α είναι ίση με τη δύναμη του βάρους της σταγόνας, δηλαδή α ισχύει: 2 d FS B 2 mg m ό m ό g g Σε 1 sec φεύγει μία σταγόνας μάζας m σταγόνας Σε t sec φεύγει μάζα m m όt m t m m ό mg t d Αντικαιστώντας βρίσκουμε: m 2 10 Kg 10 s 2 t 1224sec 20min N m2610 m 14

15 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΑΣΚΗΣΗ 6 Τριχοειδής σωλήνας μήκους και εσωτερικής ακτίνας βυίζεται κατακόρυφα στο νερό. Το επάνω άκρο του σωλήνα είναι κλειστό. Τι μήκος z πρέπει να βυιστεί στο νερό, ώστε το επίπεδο του υγρού στον τριχοειδή να συμπίπτει με το επίπεδο του έξω από αυτόν; Έστω, ότι το υγρό ανέρχεται σε ύψος. Εξισώνοντας τις πιέσεις στα σημεία Α και Β έχουμε: A B g Θεωρούμε, ότι έχουμε πλήρης διαβροχή, άρα η ακτίνα καμπυλότητας του υγρού α είναι ίση με την ακτίνα του σωλήνα, δηλαδή =. H πίεση aplace α είναι: 2 2 Από τα προηγούμενα α έχουμε: A B g 2 Α (1) Β z 15

16 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Αρχικά (πριν την βύιση) στον τριχοειδή σωλήνα υπάρχει ατμοσφαιρικός αέρας έτσι α ισχύει: πίεση όγκος V 2 Τελικά (μετά την βύιση) στον τριχοειδή σωλήνα ο ατμοσφαιρικός αέρας που υπάρχει συμπιέζεται έτσι α ισχύει: z πίεση όγκος 2 V z Θεωρούμε ότι ο ατμοσφαιρικός αέρας είναι ιδανικό αέριο και ότι η μεταβολή αυτή έγινε υπό σταερή ερμοκρασία, κατά συνέπεια : 2 2 V V z z (2) 16

17 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Συγκεντρώνουμε τις δύο σχέσεις που βρήκαμε: g z 2 2 g z Εφόσον έλουμε το επίπεδο της στάμης στον τριχοειδή σωλήνα να συμπίπτει με την εξωτερική στάμη (δηλαδή = 0) προκύπτει: 2 z Το ζητούμενο είναι το βάος βύισης του τριχοειδούς σωλήνα z z z z z d z

18 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Παρατηρήσεις I II III IV z Περίπτωση Ι Περίπτωση ΙΙ Περίπτωση ΙΙΙ Περίπτωση ΙV g 2 g 2 g 2 2 Αν εκτρέψουμε το σωλήνα από την κατακόρυφο, το κατακόρυφο ύψος δεν α μεταβληεί V V V 2 2 V V V 2 V 2 V z 18

19 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΑΣΚΗΣΗ 7 Δίνεται τριχοειδής σωλήνας ακτίνας ανοικτός και στα δύο άκρα του, ο οποίος φέρεται κατακόρυφα στην επιφάνεια υγρού που δεν διαβρέχει το σωλήνα και έχει γωνία συνεπαφής με τα τοιχώματά του και βρίσκεται σε δοχείο μεγάλων διαστάσεων. i) Υπολογίστε τη μεταβολή του ύψους στο εσωτερικό του σωλήνα ως προς το επίπεδο της στάμης του δοχείου. ii) Στη συνέχεια φράζουμε το άνω άκρο του σωλήνα και τον ανασύρουμε μέχρις ότου το επίπεδο στο εσωτερικό του σωλήνα εξισωεί με το επίπεδο της στάμης στο δοχείο. Εξηγείστε γιατί κάτι τέτοιο μπορεί να συμβεί με ανάσυρση και υπολογίστε πόσο πρέπει να ανυψωεί ο σωλήνας για να εξισωούν οι δύο στάμες. Θεωρείστε τον αέρα ιδανικό αέριο και τη μεταβολή ισόερμη. Δίνεται η επιφανειακή τάση του υγρού σ και η πυκνότητά του ρ Α Β Γ Δ z 19

20 i) 2 cs cs cs (1) ακτίνα καμπυλότητας μηνίσκου ακτίνα τριχοειδούς Α Β Γ Δ z Το μη διαβρέχον υγρό καμπυλώνεται και κατέρχεται μέσα στον τριχοειδή σωλήνα. A g B A 2 (1) 2 g 2 cs g π - ο Τόσο α είναι η στάμη που α κατέβει το υγρό μέσα στον τριχοειδή σωλήνα σε σχέση με την επιφάνεια του υγρού. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ

21 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ii) Όταν φράξουμε τον τριχοειδή από πάνω τότε εγκλωβίζουμε μέσα σε αυτόν ατμοσφαιρικό αέρα και α ισχύει: πίεση Α Β Γ Δ z όγκος V 2 Τραβώντας προς τα πάνω τον τριχοειδή σωλήνα αν το αέριο είναι ιδανικό και η διαδικασία ισόερμη, αυξάνει ο όγκος του αερίου και ελαττώνεται η πίεση με αποτέλεσμα τελικά να ανέρχεται το υγρό λόγω της πίεση aplace για να εξισορροπήσει την μεταβολή. Αν δεν φράζαμε το πάνω μέρος του σωλήνα δεν α μπορούσε να ανέλει το υγρό προς τα πάνω γιατί είναι μη διαβρέχον. Τραβάμε τον σωλήνα μέχρις ότου η στάμη του υγρού εξισωεί με το επίπεδο της επιφάνειας του υγρού εξωτερικά. Τελικά α ισχύει: πίεση όγκος 2 V z Εφόσον, η διαδικασία είναι ισόερμη ισχύει: 2 2 V V z z 21

22 2 g z z z z z 1 2 z z Α Β 2 1 z 1 Γ Δ z Πρέπει να τραβήξουμε τον σωλήνα z, ώστε να εξισωεί η στάμη του μηνίσκου με την εξωτερική επιφάνεια, το και z, τα έχουμε υπολογίσει. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ