Ρευστά. Πίνακας 1 : Πυκνότητες κοινών υλικών στους 0 o C και υπό πίεση 1 atm

Transcript

1 Ρευστά Ρευστά ονομάζονται τα υγρά και τα αέρια που έχουν την ικανότητα να ρέουν. Στα ρευστά τα μόρια κατανέμονται στον χώρο με τυχαίο τρόπο και συνδέονται μεταξύ τους με ασθενείς ελκτικές δυνάμεις Η ειδική βαρύτητα είναι ένα αδιάστατο μέγεθος, που αποτελεί μέτρο σύγκρισης της πυκνότητας διαφορετικών σωμάτων. Ορίζεται ως το πηλίκο της πυκνότητας ενός ρευστού και της πυκνότητας ενός δείγματος αναφοράς, που συνήθως είναι νερό στους 4 ο C: όύ όύ ειδική βαρύτητα ό C 1,000x10 kg m Γιατί οι φυσικές ιδιότητες των στερεών, υγρών και αερίων διαφέρουν μεταξύ τους? Λόγω των διαφορών ανάμεσα στις δυνάμεις που δεσμεύουν τα μόρια. Στα στερεά τα μόρια δεσμεύονται ισχυρά μεταξύ τους τα στερεά διατηρούν το σχήμα και τον όγκο τους. Στα υγρά οι δυνάμεις μεταξύ των μορίων είναι αρκετά ισχυρές ώστε να διατηρείται ο όγκος αλλά όχι το σχήμα (τα υγρά παίρνουν το σχήμα του δοχείου στο οποίο περιέχονται). Στα αέρια τα μόρια δεν δεσμεύονται μεταξύ τους δεν διατηρούν δεδομένο σχήμα ή όγκο αλλά πληρούν το δοχείο στο οποίο περιέχονται. Στα ρευστά, εκτός των νόμων της μηχανικής που ισχύουν στα στερεά, εμφανίζονται νέες δυνάμεις, όπως η άνωση και η επιφανειακή τάση, που είναι ιδιαιτέρως σημαντικές για την βιολογία και την ζωολογία. Χαρακτηριστικές ιδιότητες των ρευστών m Η πυκνότητα μάζας ορίζεται ως [SI kg/m 3 ] V Πίνακας 1 : Πυκνότητες κοινών υλικών στους 0 o C και υπό πίεση 1 atm στερεά υγρά αέρια Υλικό ρ (kg/m 3 ) Υλικό ρ (kg/m 3 ) Υλικό ρ (kg/m 3 ) Al 2700 Αίμα (37 o C) 1060 Αέρας 1.29 Cu 8890 Αιθυλική αλκοόλη 806 CO Σκυρόδεμα 2200 Hg He Διαμάντι 3520 Λάδι (υδραυλικό) 800 H Au Η 2 Ο (4 ο C) 1x10 3 N Ag Η 2 Ο (100 o C) 1.03x10 3 O πάγος 917 ελαιόλαδο 0.9x10 3 ΝΗ Ξύλο 550 γλυκερίνη 1.26x10 3 CO 1.25 Δύναμη και Πίεση στα Ρευστά. Η διάδοση των δυνάμεων στα ρευστά γίνεται με διαφορετικό τρόπο από ότι στα ρευστά: Δύναμη που ασκείται σε στερεό διαδίδεται διατηρώντας την διεύθυνση της αναλλοίωτη. Στα ρευστά η δύναμη διαδίδεται ομοιόμορφα προς όλες τις διευθύνσεις και ασκείται κάθετα στις επιφάνειες με τις οποίες έρχεται σε επαφή. Page 1 of 18 7/12/2010 Page 2 of 18 7/12/2010

2 F Η πίεση P που ασκείται από ένα ρευστό ορίζεται ως P όπου F το A μέτρο της δύναμης που ασκείται κάθετα σε επιφάνεια εμβαδού Α. Η πίεση που ασκείται σε ένα ρευστό μπορεί να μετρηθεί με την βοήθεια της απλής διάταξης που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Διάταξη για την μέτρηση της πίεσης σε ένα ρευστό. Το εσωτερικό του κυλίνδρου είναι υπό κενό. Όταν ο μετρητής βυθιστεί στο ρευστό το ελατήριο συμπιέζεται μέχρις ότου η δύναμη που ασκείται από το ρευστό εξισορροπηθεί από την δύναμη που ασκείται από το ελατήριο. Εάν το ελατήριο είναι βαθμολογημένο τότε η πίεση του ρευστού μετράται πολύ εύκολα. Μεταβολή της πίεσης με το βάθος από την επιφάνεια του ρευστού. Η πίεση στο ρευστό αυξάνει με το βάθος λόγω του βάρους των υπερκείμενων στρωμάτων του ρευστού. Αν θεωρήσουμε το κυλινδρικό «στοιχείο» ρευστού όπως φαίνεται στο σχήμα & υποθέσουμε ότι η πυκνότητα είναι σταθερή (ασυμπίεστο ρευστό) και το σύστημα είναι σε ισορροπία, τότε ισχύει: F PAj Po Aj Mgj 0 ή αφού η πίεση είναι αριθμητικό μέγεθος : PA P o A Ahg 0 P Po gh Η πίεση σε ένα ρευστό είναι η ίδια σε όλα τα σημεία που έχουν το ίδιο ύψος και δεν εξαρτάται από το σχήμα του δοχείου που περιέχει το ρευστό. Συνήθης μονάδα μέτρησης της πίεσης στα ρευστά είναι το mmhg ή torr (προς τιμήν του Evagelista Torricelli ( ) που κατανόησε πρώτος την φύση της ατμοσφαιρικής πίεσης). Σχέσεις μετατροπής μεταξύ διαφόρων μονάδων μέτρησης της πίεσης 1 torr =1 mmhg =1.33x10 3 dyn/cm 2 =1.32x10-3 atm =1.33x10 2 Pa (N/m 2 ) SI =1.93x10-2 psi (pound force per square inch) Η διαφορά της πίεσης μεταξύ 2 σημείων που απέχουν απόσταση κατά την κατακόρυφο h είναι P2 P1 gh Page 3 of 18 7/12/2010 Page 4 of 18 7/12/2010

3 Η αρχή του Pascal : Σε ένα ασυμπίεστο ρευστό η αύξηση της πίεσης σε ένα σημείο διαδίδεται αμετάβλητη σε όλα τα υπόλοιπα σημεία του ρευστού και τα τοιχώματα του δοχείου που το περιέχει. Εφαρμογή της αρχής του Pascal: Η υδραυλική πρέσα. Όταν στην επιφάνεια ενός υγρού με εμβαδόν Α 1 ασκείται δύναμη F 1 η πίεση στο ρευστό αυξάνεται κατά F P 1 A1 Η πίεση στα 2 πιστόνια είναι F1 F2 ίδια P η πίεση που A A ασκείται σε επιφάνεια εμβαδού Α 2 A θα είναι : F 2 2 PA2 F1 A >F 1 1 κατά παράγοντα (Α 2 /Α 1 ). Μετρητές πίεσης Βαρόμετρο: σωλήνας κλειστός στο ένα άκρο γεμίζεται με Hg και αντιστρέφεται σε δοχείο που περιέχει Ηg. Η πίεση στο άδειο κλειστό άκρο είναι 0. Η πίεση στο σημείο Α (λόγω του βάρους της στήλης του Hg) είναι ίση με την πίεση στο σημείο Β (λόγω της ατμοσφαιρικής πίεσης) διαφορετικά θα υπήρχε κίνηση του Hg. 1 2 Πόσο είναι το ύψος της στήλης του Hg για πίεση ίση με την ατμοσφαιρική (P o =1.013x10 5 Pa) αν ρ Hg =13.6x10 3 kg/m 3? Από την σχέση Po Hggh h 1atm =0.760m Μανόμετρο: Μέτρηση της άγνωστης πίεσης (P Α ) αερίου. Σωλήνας με σχήμα U που περιέχει υγρό συνδέεται με το ένα άκρο του με το υπό μέτρηση σύστημα ενώ το άλλο άκρο του παραμένει ανοιχτό στην ατμόσφαιρα. Ισχύει ότι P A =P B, όπου P A η άγνωστη πίεση, διαφορετικά θα υπήρχε κίνηση του υγρού. Επομένως P Α =P o +ρgh. H πίεση P (P A ) ονομάζεται απόλυτη πίεση ενώ η (P- P o ) ονομάζεται διαφορική πίεση (π.χ. η πίεση που μετράμε στις ρόδες ποδηλάτου). Η αρχή του Αρχιμήδη: Ένα σώμα που εμβαπτίζεται ολικώς ή μερικώς σε ένα ρευστό υφίσταται δύναμη άνωσης (F B, buoyant force) που έχει μέτρο ίσο προς το βάρος του εκτοπισμένου ρευστού. Αρχιμήδης των Συρακουσών: Έλληνας Μαθηματικός, Φυσικός και Μηχανικός ( πχ) Επομένως Po Hggh όπου ρ Hg η πυκνότητα του Hg. Page 5 of 18 7/12/2010 Page 6 of 18 7/12/2010

4 Ο Αρχιμήδης ήταν ίσως ο μεγαλύτερος επιστήμονας της αρχαιότητας. Υπολόγισε με ακρίβεια τη σχέση διαμέτρου/περιφέρειας του κύκλου, το π, τον τρόπο υπολογισμού του όγκου και της επιφάνειας γεωμετρικών σχημάτων όπως η σφαίρα και ο κύλινδρος, ανακάλυψε την φύση της δύναμης της άνωσης ενώ έκανε και διάφορες κατασκευές όπως ο καταπέλτης και ο κοχλίας του Αρχιμήδη που χρησιμοποιείται ακόμη και σήμερα για την ανύψωση νερού. Η δύναμη της άνωσης ασκείται από το ρευστό και δεν εξαρτάται από τις ιδιότητες του σώματος που εμβαπτίζεται στο ρευστό. Όταν σώματα με διαφορετική πυκνότητα αλλά τον ίδιο όγκο εμβαπτιστούν σε ρευστό τότε υφίστανται την ίδια δύναμη της άνωσης. Εφαρμογή της αρχής του Αρχιμήδη: πότε ένα σώμα βυθίζεται ή επιπλέει σε ένα υγρό? Πως θα κινηθεί σώμα με όγκο V, πυκνότητα ρ και βάρος F g =mg=ρgv εμβαπτίζεται πλήρως σε ρευστό πυκνότητας ρ ρ και υφίσταται δύναμη άνωσης Β? Στο σώμα ασκείται δύναμη: Β-F g =(ρ ρ -ρ)gv. Η διεύθυνση κίνησης σώματος που εμβαπτίζεται σε ρευστό εξαρτάται μόνο από τις πυκνότητες του σώματος και του ρευστού. Εάν ρ<ρ ρ το σώμα επιταχύνεται προς τα επάνω Εάν ρ>ρ ρ το σώμα βυθίζεται Εάν ρ=ρ ρ το σώμα είναι σε ισορροπία Αντικείμενα που επιπλέουν: τι ποσοστό του σώματος είναι κάτω από την επιφάνεια του ρευστού? Εάν το σώμα έχει πυκνότητα ρ<ρ ρ και όγκο V και επιπλέει στο ρευστό (πυκνότητας ρ ρ ) ισχύει Β=mg όπου Β η δύναμη της άνωσης και (mg) το βάρος του σώματος. Επομένως : ρ ρ gv ρ =ρgv του όγκου που επιπλέει εξαρτάται από τον λόγο των πυκνοτήτων. V V δηλ. το ποσοστό Η πλευστότητα των ψαριών Τα σώματα ορισμένων ψαριών περιέχουν πορώδη οστά ή αεροθύλακες που μειώνουν την μέση πυκνότητα του σώματός τους και τα επιτρέπουν να επιπλέουν χωρίς να ξοδεύουν ενέργεια. Παράδειγμα το σώμα της σουπιάς που περιέχει ένα πορώδες οστό με πυκνότητα 0,62 gr/cm 3 ενώ το υπόλοιπο σώμα έχει πυκνότητα 1,067 gr/cm 3. Ερώτηση: Πιο είναι το ποσοστό του σώματος που πρέπει να καταλαμβάνεται από το πορώδες οστό έτσι ώστε η μέση πυκνότητα της σουπιάς να είναι ίση με αυτή του θαλασσινού νερού (1,026 gr/cm 3 ) X 100 X Απάντηση: = 9.2%. 100 Τα ψάρια που έχουν αεροθύλακες ελέγχουν την πυκνότητα τους μεταβάλλοντας την ποσότητα του αερίου που περιέχει. Επειδή η πυκνότητα του αέρα είναι μικρότερη του πορώδους οστού ο όγκος του αεροθύλακα είναι πολύ μικρότερος αυτού του πορώδους οστού. Στο προηγούμενο παράδειγμα ο αεροθύλακας θα καταλάμβανε μόνον το 4% του συνολικού όγκου του σώματος. Page 7 of 18 7/12/2010 Page 8 of 18 7/12/2010

5 Παράδειγμα 1: τι ποσοστό (f) του παγόβουνου βρίσκεται κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας? Δεδομένα: πυκνότητα και όγκος παγόβουνου: 917 kg/m 3 & V i, αντίστοιχα. Πυκνότητα θαλασσινού νερού ρ W =1030 kg/m 3. Το βάρος του παγόβουνου είναι F g =ρ i V i g. H δύναμη της άνωσης είναι Β=ρ w V w g όπου V w ο όγκος του εκτοπισμένου νερού που είναι ίσος με τον όγκο του βυθισμένου κομματιού του παγόβουνου. V Επομένως: ρ i V i g=ρ w V w g f w i 0.89 ή 89%. Vi w Ο όγκος της κορώνας V κ =V w (πλήρως βυθισμένη στο νερό) 1.00N Αρα: V κ =V w = 1.02x104m3 (1000 kgm3)(9.80 ms2) Και η πυκνότητα της κορώνας είναι: m m g k V Vg 7.84N 1.02x104m39.80ms2 7.84x103kgm3 Όμως η πυκνότητα του χρυσού είναι 19.3x10 3 kgm -3. Επομένως η κορώνα ήταν είτε νοθευμένη είτε δεν ήταν συμπαγής. Παράδειγμα 2: Εύρηκα!! Ο Αρχιμήδης ρωτήθηκε αν η κορώνα του βασιλιά των Συρακουσών ήταν από ατόφιο χρυσό. Δεδομένα: η κορώνα στον αέρα ζυγίζει 7,84Ν ενώ όταν είναι πλήρως βυθισμένη στο νερό 6,84Ν. (ρ Η20 =1000kgm -3 ) Εικόνα (α): T 1 =F g Εικόνα (β): F B T2 Fg 0 B Fg T N H δύναμη της άνωσης Β= βάρος εκτοπισμένου νερού (όγκου V w ) ρ w gv w =1.00 N Page 9 of 18 7/12/2010 Page 10 of 18 7/12/2010

6 Η επιφανειακή τάση Τα μόρια που βρίσκονται στην επιφάνεια ενός υγρού υφίστανται την επίδραση δυνάμεων που οφείλονται στην ασυμμετρία εκατέρωθεν της επιφάνειας. Ειδικότερα: τα μόρια που βρίσκονται στον όγκο του υγρού έχουν τον ίδιο αριθμό πρώτων γειτόνων η συνισταμένη των ενδομοριακών δυνάμεων που ασκείται επάνω τους είναι μηδενική. Τα μόρια που βρίσκονται στην επιφάνεια του υγρού υφίστανται την επίδραση των δυνάμεων μόνο από τα υποκείμενα μόρια ενώ δεν υπάρχουν υπερκείμενα τα μόρια της επιφάνειας υφίστανται ελκτικές δυνάμεις μόνο προς τον όγκο του υγρού η επιφάνεια συστέλλεται και συμπεριφέρεται σαν τεταμένη μεμβράνη. Η συνολική δύναμη F T που ασκείται εφαπτομενικά λόγω της επιφανειακής τάσης στην διεπιφάνεια υγρού/τοιχωμάτων (μήκους L) είναι F T TL. Όταν ένα υγρό βρίσκεται μέσα σε ένα δοχείο τα μόρια της επιφάνειας που είναι κοντά στα τοιχώματα υφίστανται δυνάμεις συνάφειας & συνοχής. Η δύναμη συνάφειας (adhesion) εμφανίζεται μεταξύ διαφορετικών μορίων και ασκείται ανάμεσα στο υγρό & τα τοιχώματα. Οφείλεται σε πολλούς δυνατούς μηχανισμούς όπως σχηματισμό δεσμών, μεταφορά φορτίου και ανάπτυξη ηλεκτροστατικών δυνάμεων, φαινόμενα διάχυσης κλπ. Η δύναμη συνοχής (coherence) εμφανίζεται μεταξύ ομοίων μορίων και ασκείται μεταξύ των μορίων του υγρού. Οφείλεται σε δυνάμεις Coulomb, λόγω σχηματισμού δεσμών, ή σε δυνάμεις Van der Waals που αναπτύσσονται μεταξύ πολικών μορίων. Τα μόρια στην επιφάνεια του ρευστού υφίστανται ελκτικές δυνάμεις μόνον από τα υποκείμενα μόρια. Επομένως η επιφάνεια συστέλλεται, καμπυλώνεται και σχηματίζεται κοίλος ή κυρτός μηνίσκος. Η επιφανειακή τάση Τ που αναπτύσσεται στην επιφάνεια του υγρού ασκείται εφαπτομενικά στην διεπιφάνεια υγρού-τοιχωμάτων και ανθίσταται στην αύξηση της ελεύθερης επιφάνειας του υγρού. Ως αποτέλεσμα των δυνάμεων συνάφειας & συνοχής, η επιφάνεια του υγρού καμπυλώνεται και γίνεται κοίλη ή κυρτή ανάλογα με το εάν τα μόρια έλκονται ισχυρότερα από τα τοιχώματα ή από τα μόρια του υγρού, αντίστοιχα. Η καμπυλότητα της επιφάνειας του υγρού σε τριχοειδή σωλήνα προσδιορίζεται από την γωνία θ που ορίζεται από το τοίχωμα και την εφαπτομένη στην επιφάνεια του υγρού στο σημείο επαφής με το τοίχωμα. Η γωνία θ είναι σαφώς Page 11 of 18 7/12/2010 Page 12 of 18 7/12/2010

7 Παραδείγματα καθορισμένη για δεδομένο ζεύγος υγρού και στερεού (π.χ. για το σύστημα νερό-γυαλί είναι 25 ο ) Λόγω των ισχυρών δυνάμεων συνοχής οι σταγόνες του νερού είναι σφαιρικές. Αυτό γίνεται προφανές στο διάστημα όπου δεν υπάρχει βαρύτητα και η σταγόνα αιωρείται. Ο υδράργυρος παίρνει σχεδόν σφαιρικό σχήμα επειδή οι δυνάμεις συνοχής είναι ισχυρότερες των συνάφειας. Ο σχηματισμός των σταγόνων του νερού οφείλεται σε δυνάμεις συνοχής. Οι σταγόνες είναι σφαιρικές λόγω της επιφανειακής τάσης ενώ οι δυνάμεις συνάφειας συγκρατούν τις σταγόνες επάνω στα αντικείμενα. Όταν ένας τριχοειδής σωλήνας εμβαπτίζεται σε ρευστό τότε το ύψος της στήλης του ρευστού στον τριχοειδή μεταβάλλεται η επιφάνεια του ρευστού στον τριχοειδή καμπυλώνεται και σχηματίζεται μηνίσκος. Αν η δύναμη συνάφειας > της δύναμης συνοχής το υγρό ανεβαίνει στον τριχοειδή σε ύψος h. Αν η δύναμη συνοχής > της δύναμης συνάφειας το υγρό που περιέχεται στον τριχοειδή κατεβαίνει σε ύψος h. Ερώτηση: Πόση είναι η μεταβολή του ύψους του υγρού στον τριχοειδή σωλήνα? Το βάρος (W) της στήλης (ύψους h) του υγρού (πυκνότητας ρ) είναι : W R2hg όπου R η διάμετρος του τριχοειδούς σωλήνα. Η μέγιστη δύναμη F m λόγω της επιφανειακής τάσης που ασκείται κατά μήκος της περιφέρειας της στήλης του υγρού είναι F m 2RT. Η συνιστώσα της F m που συγκρατεί το βάρος της στήλης του υγρού είναι 2πRTcosθ και αυτή πρέπει να πληροί την συνθήκη: 2 RTcos R2 2T cos hg. Επομένως h. Rg Page 13 of 18 7/12/2010 Page 14 of 18 7/12/2010

8 Όταν η δύναμη της συνοχής υπερτερεί της συνάφειας (η γωνία θ>90 ο ) 2T cos τότε η εξίσωση h οδηγεί σε αρνητική τιμή του h και το ύψος Rg του υγρού στον σωλήνα χαμηλώνει. Τα πιο συνηθισμένα επιφανειοδραστικά μόρια έχουν το ένα άκρο τους υδρόφιλο/ υδατοδιαλυτό (hydrophilic) ενώ το άλλο είναι υδρόφοβο/αδιάλυτο στο νερό (hydrophobic). Το σφαιρικό σχήμα των σταγόνων των υγρών οφείλεται στην επιφανειακή τάση. Η πίεση μέσα στην σφαιρική σταγόνα είναι υψηλότερη της εξωτερικής πίεσης. H διαφορά της πίεσης ΔP για σφαιρική σταγόνα με ακτίνα R είναι: 2T P. R Για να δημιουργήσουμε φυσαλίδες αέρα με διάμετρο R μέσα σε υγρό με επιφανειακή τάση Τ πρέπει η πίεση του αέρα που εγχέουμε μέσα στην 2T φυσαλίδα να είναι μεγαλύτερη της πίεσης στο υγρό κατά P. R Το υδρόφιλο άκρο του μορίου έλκεται ισχυρά από το νερό ενώ το υδρόφοβο άκρο απωθείται από το νερό, ενώ διαλύεται εύκολα σε ελαιώδη υγρά. Επιφανειοδραστικές ενώσεις (Surfactants ) Οι επιφανειοδραστικές ενώσεις είναι μόρια που μειώνουν την επιφανειακή τάση των υγρών επιτρέποντας ευκολότερη κάλυψη επιφανειών ή μείωση της διεπιφανειακής τάσης σε συστήματα διαφορετικών υγρών ή στερεούυγρού. Εφαρμογές στα απορρυπαντικά, καλλυντικά, υλικά διαβροχής, γαλακτοματοποιητές, υλικά επιφανειακής διασποράς και διαβροχής μεταξύ 2 υγρών κλπ. Page 15 of 18 7/12/2010 Page 16 of 18 7/12/2010

9 Εφαρμογή των επιφανειοδραστικών μορίων στα απορρυπαντικά Στα απορρυπαντικά τα υδρόφοβα άκρα διαλύονται στην ελαιώδη επιφάνεια, μειώνοντας έτσι την επιφανειακή τάση του ελαίου, ενώ τα υδρόφιλα άκρα μένουν εκτεθειμένα στο νερό. διάσπαση του ελαιώδους λεκέ σε μικρές σταγόνες που περιβάλλονται από τα υδρόφιλα άκρα του μορίου, διαλύονται στο νερό και απομακρύνονται. Εύκολη επίδειξη στο σπίτι μπορεί να γίνει με μια οδοντογλυφίδα της οποίας το ένα άκρο καλύπτεται με σαπούνι. Αν τοποθετηθεί σε νερό τα επιφανειοδραστικά μόρια του σαπουνιού μειώνουν την επιφανειακή τάση και η οδοντογλυφίδα προωθείται μακριά από το διαλυμένο σαπούνι. Επιφανειοδραστικά μόρια & πειραματική βιοχημεία : Για παράδειγμα υπάρχουν υδρόφοβες πρωτεΐνες, π.χ. πρωτεΐνες μεμβρανών και λιποπρωτεΐνες, που πρέπει να διαλυθούν σε νερό. Τα επιφανειοδραστικά μόρια συμβάλλουν στην διάλυση των πρωτεϊνών: τα υδρόφοβα άκρα των μορίων διαλύονται στην επιφάνεια της πρωτεΐνης ενώ τα υδρόφιλα άκρα που περιβάλλουν την πρωτεΐνη διαλύονται στο νερό. Στάση & κίνηση εντόμων στην επιφάνεια του νερού. Τα έντομα κατά την κίνηση τους εκκρίνουν από την κοιλιά τους μία ουσία που μειώνει την επιφανειακή τάση του νερού πίσω από το σώμα τους (ενδεικτική μείωση από 73dyn/cm σε 50 dyn/cm που στο έντομο Microvelia προσδίδει ταχύτητα 17 cm/sec) προωθούνται προς τα εμπρός. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται προώθηση Marangoni. Page 17 of 18 7/12/2010 Page 18 of 18 7/12/2010