ВИБРАЦИЈЕ И ИЗБОЧАВАЊЕ ПЛОЧА И ЉУСКИ ПРИМЕНОМ МЕТОДЕ ДИНАМИЧКЕ КРУТОСТИ

Transcript

1 УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ ГРАЂЕВИНСКИ ФАКУЛТЕТ Невенка Б. Коларевић ВИБРАЦИЈЕ И ИЗБОЧАВАЊЕ ПЛОЧА И ЉУСКИ ПРИМЕНОМ МЕТОДЕ ДИНАМИЧКЕ КРУТОСТИ докторска дисертација Београд, 6.

2 UNIVERSITY OF BELGRADE FACULTY OF CIVIL ENGINEERING Nevenka B. Kolarević VIBRATION AND BUCKLING OF PLATES AND SHELLS USING DYNAIC STIFFNE ETHOD DOCTORAL DIERTATION Belgrade, 6.

3 Невенка Б. Коларевић ВИБРАЦИЈЕ И ИЗБОЧАВАЊЕ ПЛОЧА И ЉУСКИ ПРИМЕНОМ МЕТОДЕ ДИНАМИЧКЕ КРУТОСТИ Ментор: доцент Др Марија НефовскаДаниловић, Грађевински факултет, Универзитет у Београду Чланови комисије: Проф. др Бранислав Пујевић, Универзитет у Београду Грађевински факултет Проф. др Мира Петронијевић, Универзитет у Београду Грађевински факултет Проф. др Ђорђе Лађиновић, Универзитет у Новом Саду Факултет техничких наука доцент. Др Ненад Марковић, Универзитет у Београду Грађевински факултет Датум одбране: I

4 ЗАХВАЛНОСТ Желим да се захвалим ментору доценту др Марији НефовскојДаниловић на драгоценој помоћи приликом израде докторске дисертације. Такође, велику захвалност дугујем проф. др Браниславу Пујевићу на указаном поверењу и подршци, као и проф. др Мири Петронијевић на рецензији дисертације и корисним сугестијама. Колегама из кабинета хвала на разумевању и преузимању дела мојих обавеза у раду са студентима током завршне фазе израде дисертације. Захваљујем се и својој породици на безрезервној подршци. II

5 ВИБРАЦИЈЕ И ИЗБОЧАВАЊЕ ПЛОЧА И ЉУСКИ ПРИМЕНОМ МЕТОДЕ ДИНАМИЧКЕ КРУТОСТИ Резиме Метод динамичке крутости (МДК представља алтернативу методу коначних елемената (МКЕ у анализи вибрација и избочавања конструкција. Основни елемент у МДК је континуални елемент, односно његова матрица крутости, која је формулисана на основу тачног решења диференцијалне једначине проблема, па је самим тим избегнута потреба за дискретизацијом домена. Да би МДК могао да нађе ширу примену, потребна је одговарајућа база континуалних елемената. У оквиру дисертације су по први пут формулисани континуални елементи за анализу вибрација indlinове правоугаоне плоче и сегмента кружне цилиндричне љуске по Donnellushtariевој и Flüggeовој теорији. За решење проблема слободних вибрација коришћен је Goranов метод суперпозиције, док је динамика матрица крутости формулисана помоћу метода пројекције. Такође, на основу решења у затвореном облику формулисани су следећи континуални елементи, односно одговарајуће матрице крутости, за анализу вибрација и избочавања: aurice Lévyеве плоче по indlinовој теорији, кружне цилиндричне љуске и сегмента кружне цилиндричне љуске са специјалним граничним условима по Donnellushtariевој и Flüggeовој теорији. Изведене матрице крутости су имплементиране у за ту сврху написани atlab програм за анализу вибрација и избочавања система плоча и љуски. Резултати многобројних нумеричких примера су упоређени са доступним резултатима из литературе, као и резултатима МКЕ, чиме је извршена верификација у раду формулисаних континуалних елемената. Кључне речи: метод динамичке крутости, метод суперпозиције, метод пројекције, континуални елемент, динамичка матрица крутости, динамика конструкција, стабилност конструкција Научна област: Грађевинарство Ужа научна област: Техничка механика и Теорија конструкција УДК број: 6.:5.(. III

6 VIBRATIONS AND BUCKLING OF PLATES AND SHELLS USING DYNAIC STIFFNE ETHOD Abstract Dynaic stiffness ethod (DS is an alternative to the Finite eleent ethod (FE in the vibration and buckling analysis. The essential eleent in the DS is a continuous eleent and the corresponding stiffness atri. The stiffness atri is forulated based on the eact solution of the governing equations. Consequently, the discretization of the doain is iniized. For a wider application of the DS, a suitable base of the continuous eleents is necessary. Within this thesis, the continuous eleents and the corresponding dynaic stiffness atrices for vibration analysis of the indlin plate and segent of circular cylindrical shells based on the Donnellushtari and Flügge theory are forulated for the first tie. Goran's ethod of superposition has been used for solution of the free vibrations proble, while the dynaic stiffness atri is forulated by using the Projection ethod. In addition, based on the closedfor solutions of the of free vibration and buckling proble, the following continuous eleents are forulated: aurice Lévy plate eleent based on the indlin theory, circular cylindrical shell and segented circular cylindrical shell with special boundary conditions eleent based on the Donnellushtari and Flügge theory. The developed stiffness atrices are ipleented in the atlab progra for the vibration and buckling analysis of plates and shells asseblies. The results of nuerous nuerical eaples are copared with the available results in the literature, as well as with the results obtained using the FE, and, in such way, the forulated continuous eleents are verified. Key words: dynaic stiffness ethod, superposition ethod, projection ethod, continuous eleent, dynaic stiffness atri, dynaic of structures, stability of structures Scientific field: Civil Engineering Specific scientific field: Engineering echanics and Theory of Structures UDK: 6.:5.(. IV

7 САДРЖАЈ УВОД.... Циљ истраживања.... Преглед литературе.... Садржај дисертације... 7 INDLINОВА ТЕОРИЈА ПЛОЧА Једначине кретања.... Једначине еластичне стабилности.... Једначине кретања плоче оптерећене аксијалним силама... КОНТИНУАЛНИ ЕЛЕМЕНТ ПРАВОУГАОНЕ INDLINОВЕ ПЛОЧЕ ЗА АНАЛИЗУ ВИБРАЦИЈА И ИЗБОЧАВАЊА Опште решење проблема слободних вибрација Двострука симетрија Динамичка матрица крутости K ɶ D..... Симетријаантисиметрија Динамичка матрица крутости K ɶ D..... Дупла антисиметрија АА Динамичка матрица крутости AA K ɶ D Динамичка матрица крутости правоугаоне плоче K ɶ D Динамичка матрица крутости aurice Lévyеве плоче K... D..6 Формирање глобалне динамичке матрице крутости, гранични услови, сопствене фреквенције и облици осциловања Нумерички примери Опште решење проблема избочавања aurice Lévyева плоча Матрица крутости за избочавање K I Нумерички примери V

8 . Опште решење проблема слободних вибрација плоче оптерећене константним силама у равни aurice Lévyева плоча Нумерички примери ТЕОРИЈА ТАНКИХ ЉУСКИ Основни појмови Loveова прва апроксимација (теорија танких љуски Кружна цилиндричнa љускa Donnellushtariева теорија Flüggeова теорија КОНТИНУАЛНИ ЕЛЕМЕНТ ЗАТВОРЕНЕ КРУЖНЕ ЦИЛИНДРИЧНЕ ЉУСКЕ ЗА АНАЛИЗУ ВИБРАЦИЈА И ИЗБОЧАВАЊА Опште решење проблема слободних вибрација затворене кружне цилиндричне љуске Donnellushtariева теоријa Flüggeова теорија Динамичка матрица крутости кружне цилиндричне љуске K D Асиметричне вибрације Ротационосиметричне вибрације = Формирање глобалне динамичке матрице крутости, гранични услови, сопствене фреквенције и облици осциловања Нумерички примери Опште решење проблема избочавања затворене кружне цилиндричне љуски услед константне аксијалне силе притиска Матрица крутости за избочавање затворене кружне цилиндричне љуске K I Нумерички примери КОНТИНУАЛНИ ЕЛЕМЕНТ СЕГМЕНТА КРУЖНЕ ЦИЛИНДРИЧНЕ ЉУСКЕ ЗА АНАЛИЗУ ВИБРАЦИЈА... VI

9 6. Опште решење проблема слободних вибрација Двострука симетрија Динамичка матрица крутости K ɶ D Симетријаантисиметрија Динамичка матрица крутости K ɶ D Двострука антисиметрија AA Динамичка матрица крутости AA K ɶ D Динамичка матрица крутости сегмента кружне цилиндричне љуске K ɶ D Динамичка матрица крутости сегмента кружне цилиндричне љуске са специјалним граничним условима K D Формирање глобалне динамичке матрице крутости, гранични услови, сопствене фреквенције и облици осциловања Нумерички резултати ЗАКЉУЧЦИ И ПРЕПОРУКЕ ЛИТЕРАТУРА ПРИЛОЗИ indlin ова плоча вибрације део део АА део Матрица трансформације T aurice Lévy indlinова плоча избочавање aurice Lévy Вибрације сегмента кружне цилиндричне љуске део део АА део Матрица трансформације T... VII

10 СПИСАК СЛИКА Слика. Поље померања и пресечне силе... 9 Слика. Силе које делују на диференцијално мали елемент... Слика. Константне аксијалне силе у равни плоче... Слика. деформација плоче... 6 Слика. Померања и ротације контура плоче Слика. Пресечне силе на контури плоче = a и y = b... = a и y = b... 6 Слика. деформација плоче... 8 Слика.5 АА деформација плоче... Слика.6 Нумерација контура плоче... 6 Слика.7 aurice Lévyјева плоча... Слика.8 Компоненте вектора q ˆ и Q ˆ за aurice Lévyјеву плочу... Слика.9 Нумерација плоча и контура и компонете вектора померања за =... Слика. Формирање глобалне динамичке матрице крутости система који се састоји од две слободне indlinове плоче за =... 5 Слика. Нумерација плоча и контура и компонете вектора померања... 6 Слика. Формирање глобалне динамичке матрице крутости система који се састоји од две aurice Lévyеве плоче... 7 Слика. Глобална динамичка матрица крутости система који се састоји од две aurice Lévyеве плоче за прва три хармоника... 7 Слика. Прва четири облика осциловања за CF правоугаону плочу ( a b = Слика.5 Прва четири облика осциловања за CFCF правоугаону плочу ( a b = Слика.6 Прва четири облика осциловања за CSFF правоугаону плочу ( a b = Слика.7 Плоча са скоковитом променом дебљине... 6 VIII

11 Слика.8 aurice Lévyјева плоча оптерећена константним аксијалним оптерећењем Слика.9 aurice Lévyјева плоча са CC граничним условима Слика. Утицај једноаксијаног оптерећења у равни на сопствене фреквенције... 8 Слика. Утицај двоаксијалног притиска на сопствене фреквенције... 8 Слика. Криволинијске координате... 8 Слика. Конвенција о позитивним напонима Слика. Конвенција о позитивним пресечним силама Слика. Кружна цилиндрична љуска... 9 Слика 5. Компоненте вектора померања ˆq... 7 Слика 5. Компоненте вектора сила ˆQ... 9 Слика 5. Формирање глобалне динамичке матрице крутости матрице K D... Слика 5. Аплицирање граничних услова... Слика 5.5 Првих дванаест облика осциловања за кружну цилиндричну љуску са SDF граничним условима: L a =, h a = Слика 5.6 Кружна цилиндрична љуска оптерећена константном силом N... 7 Слика 6. Сегмент кружне цилиндричне љуске... Слика 6. деформација сегмента кружне цилиндричне љуске... 5 Слика 6. Померања, ротације и силе на контури сегмента кружне цилиндричне љуске... 5 Слика 6. деформација сегмента кружне цилиндричне љуске... 5 Слика 6.5 АА деформација сегмента кружне цилиндричне љуске Слика 6.6 Координатни систем за сегмент кружне цилиндричне љуске са специјалним граничним условима p и p... 6 Слика 6.7 Шест могућих комбинација p и p граничних услова сегмента кружне цилиндричне љуске за које постоји решење у затвореном облику... 6 Слика 6.8 Сегменти кружне цилиндричне љуске променљиве дебљине и бачвасти кров IX

12 Слика 6.9 Нумерација контура сегмента кружне цилиндричне љуске.. 69 Слика 6. Прва четири облика осциловања слободног сегмента кружне цилиндричне љуске... 7 Слика 6. Прва четири облика осциловања сегмента кружне цилиндричне љуске са SD граничним условима на две паралелне контуре: h a =., L a =, θ =6º Слика 6. Прва четири облика осциловања сегмента кружне цилиндричне љуске са SDFSDF граничним условима: h a =., L a = Слика 6. Прва четири облика осциловања сегмента кружне цилиндричне љуске са FSSS граничним условима: h a =., L a =.5, θ =9º... 8 Слика 6. Диспозиција бачвастог крова Слика 6.5 Компоненте вектора померања у локалном и глобалном координатном систему X

13 СПИСАК ТАБЕЛА Табела. Првих осам бездимензионалних сопствених фреквенција ( b ω = ω ρh / D за правоугаону плочу ( a b =. са различитим комбинацијама граничних услова: ν =., k =5/6, h b = Табела. Првих осам бездимензионалних сопствених фреквенција ( b ω = ω ρh / D за правоугаону плочу ( a b =. са различитим комбинацијама граничних услова: ν =., k =5/6, h b = Табела. Првих десет бездимензионалних сопствених фреквенција ( b ω = ω ρh / D за квадратну плочу: a b =, ν =., k =5/ Табела. Првих десет бездимензионaлних сопствених фреквенција ( b ω = ω ρh / D за квадратну плочу: a b =, ν =., k =5/6, h b = Табела.5 Првих десет бездимензионалних сопствених фреквенција ( b ω = ω ρh / D за квадратну плочу: a b =, ν =.5, k =5/ Табела.6 Првих шест сопствених фреквенција у (Hz за правоугаону плочу са једностепеном променом дебљине: E = GPa, ν =., ρ =5 kg/, a =, b = b = b =, t =. и t = Табела.7 Kритични фактор избочавања ( λ π = N a D за квадратну плочу ( a b = за случај двоаксијалне компресије ( ξ = ξ =: ν =., k =5/ Табела.8 Kритични фактор избочавања ( λ π cr = N a D за квадратну плочу ( a b = за случај једноаксијалне компресије у правцу осе ( ξ = и ξ =: ν =., k =5/ Табела.9 Kритични фактор избочавања ( λ π cr = N a D за квадратну плочу ( a b = за случај једноаксијалне компресије у правцу yосе ( ξ = и ξ =: ν =., k =5/ cr XI

14 Табела. Kритични фактор избочавања ( λ π = N a D за правоугаону плочу за случај двоаксијалне и једноаксијалне компресије: h a =., ν =., k = Табела. Kритични фактор избочавања ( λ π cr = N a D за квадратну плочу (a b = за различите односе интензитета оптерећења у равни у правцу и yосе ( ξ =: ν =., k =5/ Табела. Kритични фактор избочавања ( λ π cr = N a D за квадратну плочу ( a / b = са једностепеном променом дебљине за случај двоаксијалне и једноаксијалне компресије: ν =., k =5/6, t / t =, b / b = cr Табела. Првих шест сопствених фреквенција у (Hz за квадратну плочу ( a b = која је оптерећена константним оптерећењем у равни у правцу yосе ( ξ = и ξ =: E = GPa, ρ =5 kg /, ν =., k =.86667, a =, h = Табела. Првих шест сопствених фреквенција у (Hz за квадратну плочу ( a b = са једностепеном променом дебљине која је оптерећена константним двоаксијалним притиском ( ξ = и ξ =: E = GPa, ρ =5 kg /, ν =., k =5/6, a =, b =., b =.8, t =., t = Табела 5. Бездимензионалне сопствене фреквенције ( ω ω ρ ν = a E за кружну цилиндричну љуску са SD SD граничним условима: ν = Табела 5. Прве четири бездимензионалне сопствене фреквенције ( ω ω ρ ν = a E кружне цилиндричне љуске за усвојено као и првих дванаест бездимензионалних сопствених фреквенција ω за које је приказано одговарајуће и n: L a =, h a =., ν = Табела 5. Првих девет сопствених фреквенција у (Hz за кружну цилиндричну љуску са СС граничним условима: E = GPa, ρ =785 kg, ν =., L =, a =, h =..... Табела 5. Најнижа бездимензионална сопствена фреквенција ( ω ω ρ ν = a E за усвојено слободне кружне цилиндричне љуске им условима: L a =, h a =.5, ν =..... XII

15 Табела 5.5 Прве четири бездимензионалне сопствене фреквенције ( ω ω ρ ν = a E за усвојено за кружну цилиндричну љуску са једностепеном променом дебљине: h a =., h h =.5, L L =/, ν =..... Табела 5.6 Прве четири бездимензионалне сопствене фреквенције ( ω ω ρ ν = a E за усвојено за кружне цилиндричне љуске са SDSD граничним условима и скоковитом променом дебљине: ν =..... Табела 5.7 Најниже бездимензионалне сопствене фреквенције ( ω ω ρ ν = a E за кружну цилиндричну љуску са два, односно три, прстенаста међуослонца (w= на једнаким међусобним растојањима: ν = Табела 5.8 Критични фактор избочавања λ N a ( ν ( Eh = за кружну цилиндричну љуску са SD SD граничним условима: ν =..... Табела 5.9 Критични фактор избочавања λ N a ( ν ( Eh = за кружну цилиндричну љуску са CF граничним условима: h a =/, ν =..... Табела 5. Критични фактор избочавања λ N a ( ν ( Eh = за кружну цилиндричну љуску са једним прстенастим међуослонцем: ν =..... Табела 5. Критични фактор избочавања λ N a ( ν ( Eh = за кружну цилиндричну љуску са прстенастенастим ослонцима на једнаким међусобним растојањима: L a =5, h a =/, ν =..... Табела 6. Првих девет бездимензионалних сопствених фреквенција ( ω ω ρ ν = a E слободног сегмента кружне цилиндричне љуске: ν =., h a =5, L a =.5, θ =5º Табела 6. Првих седам бездимензионалних сопствених фреквенција ( ω ω ρ ν = a E за сегмент кружне цилиндричне љуске са SD граничним условима на две паралелне контуре: ν =., h a =., L a =, θ =6º XIII

16 Табела 6. Првих шест бездимензионалних сопствених фреквенције ( ω ω ρ ν = a E за сегмент кружне цилиндричне љуске са SDFSDF комбинацијом граничних услова и различитом вредношћу угла θ : ν =., h a =., L a = Табела 6. Првих седам бездимензиналних сопствених фреквенција ( ω ω ρ ν = a E за сегмент кружне цилиндричне љуске са различитим комбинацијама граничних услова: ν =., h a =., L a =, θ =6º Табела 6.5(а Првих шест бездимензионалних сопствених фреквенције ω ωa ρ ( ν = E за сегмент кружне цилиндричне љуске са три слободне контуре: ν =., h a =., L a =.5, θ =9º Табела 6.5(б Првих шест бездимензионалних сопствених фреквенције ω ωa ρ ( ν = E за сегмент кружне цилиндричне љуске са две, једном и без слободних контура: ν =., h a =., L a =.5, θ =9º Табела 6.6 Првих шест бездимензионалних сопствених фреквенција ( ω ω ρ ν = a E за сегмент кружне цилиндричне љуске са једностепеном променом дебљине у правцу осе и са SDSD граничним условима на контурама ϕ = и ϕ = θ : ν =., L a =5, L L =/, θ =8º, h a =. и h h = Табела 6.7 Прве три бездимензионалне сопствене фреквенције ( ω ω ρ ν = a E за усвојено сегмента кружне цилиндричне љуске са SDSD граничним условима на контурама ϕ = и ϕ = θ и са једним прстенастим међуослонцем ( w = на половини дужине: L L =/, h a =., ν = Табела 6.8 Првих пет бездимензионалних сопствених фреквенција ( ω ω ρ ν = a E за бачвасти кров састављен од два сегмента кружне цилиндричне љуске: ν =., L a =5, θ =8º и h a = XIV

17 УВОД Метод коначних елемената (МКЕ је најчешће коришћен и широко прихваћен метод који пружа могућност за моделирање сложених конструкција. У МКЕ, решење парцијалних диференцијалних једначина (ПДЈ којима је дефинисан физички проблем је приближно и заснива се на апроксимацији поља померања (напона помоћу интерполационих функција које су најчешће усвојене у облику полинома. Тачност апроксимације зависи од избора интерполационих функција, као и од густине усвојене мреже коначних елемената. За разлику од статичке анализе, величина мреже у динамичкој анализи, која је потребна да би се добили резултати задовољавајуће тачности, зависи и од највише фреквенције од интереса. Према Alfordу (Alford, 97, максимална величина коначног елемента треба да буде пута мања од таласне дужине која одговара највишој фреквенцији у анализи. Повећање броја коначних елемената, како би се постигла одговарајућа тачност, захтева више времена, напора и ресурса да се одређени проблем реши. Увек ће постојати потреба за аналитичким решењима проблема заснованим на класичним теоријама, која представљају репер за проверу тачности приближних метода и дају бољи увид у напонскодеформацијско стање. Као алтернатива МКЕ у динамичкој анализи све се више користи тзв. метод динамичке крутости чија је главна идеја да споји флексибилност МКЕ и тачност и поузданост аналитичких метода. Основна замисао је да се матрице крутости континуалних елемената, које повезују силе и померања на крајевима елемента, одреде на основу тачног решења ПДЈ којима је дефинисан проблем. Метод динамичке крутости се користи под различитим именима у литератури: метод континуалних елемената (Kevorkian and Pascal,, коначни елементи високе прецизности (Kulla, 997 или спектрални елементи (Doyle, 997, (Lee, 9. Метод динамичке крутости је задобио пажњу многих истраживача у Европи почевши од 975. године, нарочито у области аеронаутичког и бродарског инжењеринга где се за конструкције подморница користио у области акустичних фреквенција. У почетку, метод динамичке крутости је био ограничен на примену код

18 . Увод једнодимензионалних елемената. тј греда (преглед се може наћи у књизи Leeа (U. Lee, 9. Решење ПДЈ којима је дефинисан проблем мора да буде неодређено што се тиче граничних услова, јер на нивоу елемента они још нису задати. За једнодимензионалне континууме гранични услови могу увек да буду задовољени на тачан начин. Сем пар изузетака, метод динамичке крутости није био аутоматизован и убачен у модуле програма. Неколико институција у Шведској, Француској, Великој Британији и Немачкој је развило програме које су користили у практичној примени. Сви ти програмски пакети дају тачне резултате у оквирима усвојене теорије. Њихова главна мана је био недостатак дводимензионалних елемената. Овај недостатак је био главна препрека за шире прихватање овог иначе моћног метода. За разлику од једнодимензионалних елемената који имају коначан број дискретних граничних услова, дводимензионални елементи имају континуалне граничне услове. Испуњавање континуалних граничних услова је еквивалентно испуњавању дискретних граничних услова у бесконачном броју тачака. То је главна препрека аналитичком решењу проблема. Само за специфичне проблеме (нпр. правоугаона плоча са две паралелне слободно ослоњене контуре, кружне цилиндрична љуска,... може да се добије тачно решење. У општем случају, континуални гранични услови морају да се апроксимирају низом дискретних граничних услова. Дискретизација увек уноси грешку. Континуалне функције, које представљају померања и силе дуж контуре, се апроксимирају Fourierовим редом. У практичним прорачунима, узимање коначног броја чланова ових бесконачних редова уноси грешку. Са друге стране, број чланова реда може једноставно да се контролише од стране корисника и да буде изабран тако да је при додавању још једног члана промена резултата мања од унапред усвојене тачности. Овај метод може да се класификује као приближан метод са високом и лако подесивом тачношћу. Када се одреди аналитичко решење ПДЈ може да сe успостави везa између сила и померања на крајевима елемента. Та веза је успостављена преко динамичке матрице крутости (ДМК, ако је ПДЈ био дефинисан проблем слободних вибрација у фреквентном домену, односно преко матрице крутости за извијање/избочавање (МКИ ако је ПДЈ био дефинисан проблем

19 . Увод еластичне стабилности. ДМК у себи садржи масу, крутост и пригушење, за разлику од МКЕ у коме су раздвојене, фреквентно независне, матрица крутости и матрица масе. Елементи ДМК и МКИ су трансцедентне функције фреквенције, односно фактора оптерећења. Пошто се не користи дискретизација континуума, ове матрице су тачне и садрже бесконачно сопствених вредности. Као последица, произвољни и теоријски чак и бесконачно велики елементи могу да се користе без губитка тачности. Ипак, у конкретним прорачунима, због нумеричке нестабилности неопходна је подела елемената великих димензија на више мањих елемената (Casiir, Nguyen and Tawfiq, 7. Када су одређене матрице крутости елемената, поступак формирања матрице крутости система је сличан као у МКЕ. Разлика је у томе што се дводимензионални континуални елементи спајају дуж контура, а не у чворовима, што је био случај у МКЕ. Сопствене вредности, за које матрица система постаје сингуларна, су сопствене фреквенције, односно фактори критичног оптерећења, при чему је најчешће само најмањи критични фактор оптерећења онај који је од интереса. За одређивање нула детерминанте динамичке матрице крутости, односно матрице крутости за избочавање, могу да се користе неке од техника претраживања. Применом WittrickWillias овог алгоритма (Wittrick and Willias, 97 се одређује број сопствених вредности мањих од неке унапред изабране и на тај начин елиминише могућност грешке. Потешкоће при одређивању нула детерминанте трансцедентних матрица је био још један од разлога који је ометао ширу прихваћеност метода динамичке крутости. Са друге стране, недостатак грешакa дискретизације не даје само тачније резултате, већ такође доводи до ширег разумевања теорије (структура динамичких система.. Циљ истраживања Циљ истраживања је да се одреде матрице крутости за дводимензионалне континуалне елементе и на тај начин прошири постојећа база ДМК, односно МКИ. Самим тим се повећава и број проблема у анализи конструкција који могу да се реше применом метода динамичке крутости. На основу досадашњег искуства истраживача у овој области, програми

20 . Увод који се заснивају на примени динамичких матрица крутости показују предности у односу на комерцијалне програме засноване на МКЕ при решавању динамичких проблема у зони високих фреквенција у погледу тачности и времена прорачуна. У оквиру дисертације тежиште ће бити на одређивању ДМК, односно МКИ, за: правоугаону плочу по indlin овој теорији, затворену кружну цилиндричну љуску по Donnelushtariевој и Flüggeовој теорији, сегмент кружне цилиндричне љуске по Donnelushtariевој и Flüggeовој теорији. Такође, у циљу решавања проблема вибрација и избочавања система плоча и љуски развијени су алгоритми за формирање глобалне динамичке матрице система плоча, односно љуски, који су имплементирани у рачунарски програм написан у atlabу (atlab,.. Преглед литературе Динамичка матрица крутости је прво била изведена за линијске елементе. За ове елементе је могуће решење парцијалне диференцијалне једначине кретања у затвореном облику. Одређивање матрице крутости за површинске елементе (плоче и љуске је сложенији проблем. Решење у затвореном облику постоји само за плоче које су на две паралелне контуре слободно ослоњене (. Wittrick и Willias ((W. H. Wittrick, 968, (W. H. Wittrick, 968, (Wittrick and Willias, 969 и (Wittrick and Willias, 97 су први извели тачну матрицу крутости за анализу вибрација и избочавања плоче користећи Kirchhoffову теорију. Ова теорија је неодговарајућа код умерено дебелих и дебелих плоча зато што прецењује сопствене фреквенције и фактор критичног оптерећења. То је последица занемаривања смичуће деформације, као и ротационе инерције у анализи вибрација. Anderson и Kennedy ((Anderson and Kennedy, 99, (Anderson and Kennedy, 99 су при извођењу матрице крутости за плочу узели у обзир смичуће деформације, док су Leung и Zou (Leung and Zou, 996 извели матрицу крутости за композитну плочу применом теорије смицања вишег реда. Матрица крутости је одређена нумерички. Boscolo и

21 . Увод Banerjee (Boscolo and Banerjee, су први извели динамичку матрицу крутости плоче са експлицитним изразима за њене чланове користећи indlinову теорију. У обзир су узели и ротациону инерцију. Касније су користили indlinову теорију за извођење ДМК за композитну плочу. Fazzolari је у свом раду (Fazzolari, Boscolo and Banerjee, за извођење ДМК за композитну плочу применио теорију смицања вишег реда, у којој није потребно коришћење коефицијента за корекцију смичућих напона (shear corection factor. Проблем слободних вибрација правоугаоне плоче за произвољне граничне услове применом Kirchhoffове теорије прво су решили Keveorkian и Pascal (Kevorkian and Pascal,. За опште решење ПДЈ користили су Goranов метод суперпозиције (Goran, 978. Силе и померања на крајевима контуре, које су функција просторне координате, представљени су бесконачним Fourierовом редом (Метод пројекције, (Kevorkian and Pascal, и на тај начин је омогућено извођење ДМК. Апроксимативност овог решења огледа се у томе што се у практичним прорачунима узима коначан број чланова реда. Применом Goranовог метод суперпозиције као и метода пројекције, за правоугаону плочу са произвољним граничним условима изведене су још и следеће ДМК: за вибрације у равни (NefovskaDanilovic and Petronijevic, 5, за попречне вибрације по indlinовој теорији (Kolarevic, Nefovska Danilovic and Petronijevic, 5, за попречне вибрације по теорији смицања вишег реда (Kolarevic, et al., 6. Систем ПДЈ којима је дефинисан проблем слободних вибрација љуски је сложенији него код плоча. Од свих ротационо симетричних љуски, највећи број теоријских и експерименталних истраживања је посвећен кружној цилиндричној. Разлог лежи у њеној доста једноставној геометрији, која доводи до лако решивог система ПДЈ са константним коефицијентима, као и њеној доста честој примени у реалним конструкцијама (димњаци, проточне цеви, трупови авиона,... Leung и Zou (Leung and Zou, 99 су извели ДМК за танку кружну цилиндричну љуску коришћењем једначина Donnellushtaria и Flüggea. Поред директног решавања система ПДЈ које су користили Leung и Zou, 5

22 . Увод или у случају да оно није могуће, може да се користи алтернативни метод Метод једначина вектора стања (State vector equation ethod (U. Lee, 9. ДМК се изводи помоћу трансфер матрицe којa је формулисана директно из једначина кретања вектора стања (State vector equation of otion. Променљиве у вектору стања представљају изводе померања и пресечних сила по просторним координатама. Трансфер матрица, која је фреквентно зависна, повезује компоненте вектора стања на границама елемента. Код линијских елемената то су његови крајеви, док код површинских елемената границе су његове контуре. Код једноставнијих проблема трансфер матрице могу да се изведу у аналитичком облику, док код сложенијих проблема (површински елементи, елементи променљиве дебљине,... трансфер матрица, па самим тим и ДМК, се одређују нумерички за сваку кружну фреквенцију. Применом овог метода Le Sourne (Le Sourne, 998 је у својој докторској дисертацији одредио ДМК танке ротационо симетричне љуске, коју је користио у анализи вибрација цилиндричне и конусне љуске, као и ДМК закривљене цеви. Casiir (Casiir, Nguyen and Tawfiq, 7 је применом метода једначина вектора стања одредио ДМК за ротационо симетричну љуску по Reissnerовој теорији, при чему је узео у обзир смичуће деформације и ротациону инерцију. Khadiallah (Khadiallah, et al., је Casiirов рад проширио тако што је приказао процедуру за прорачун утицаја од хармонијског површинског и линијског оптерећења у анализи вибрација. Овa оптерећењa је заменио еквивалентним силама које делују на границама елемента. Применом метода једначина вектора стања и трансфер матрица Nguyen (Nguyen and Tran, је одредио ДМК дебеле зарубљене конусне љуске, односно Tounsi (Tounsi, et al., је одредио ДМК ојачане дебеле цилиндричне љуске. Када је диференцијална једначина којом је дефинисан проблем слободних вибрација са променљивим коефицијентима, решење у затвореном облику не постоји. У овом случају, осим већ поменутог метода једначина вектора стања, може да се користи и Frobeniusов метод. Frobeniusов метод се примењује у случају да променљиви коефицијенти могу да се представе у облику полинома. Тада се решење усваја у облику степених редова, чији су коефицијенти изражени преко рекурентних формула. Применом овог метода Efrai је одредио ДМК за танку цилиндричну и конусну љуску 6

23 . Увод (Efrai and Eisenberger, 6, као и ДМК за сегмент сферне љуске константне и линеарно променљиве дебљине (Efrai and Eisenberger,. Код извођења ДМК сегмента сферне љуске Efrai је узео у обзир смичуће деформације и ротациону инерцију.. Садржај дисертације Дисертација садржи укупно 7 Поглавља. После првог уводног Поглавља, у оквиру кога је дефинисан циљ рада и дат преглед претходних истраживања из области метода динамичке крутости, следи Поглавље где су дате основне једначине indlin ове теорије плоча у Descartesовим координатама. У Поглављу је приказано опште решење проблема слободних вибрација правоугаоне indlinове плоче, које је добијено применом Goranовог метода суперпозиције. На основу овог решења и уз коришћење метода пројекције изведена је ДМК правоугаоне indlinове плоче за произвољне граничне услове. За aurice Lévyеву плочу постоји добро познато аналитичко решење ПДЈ у облику Fourierовог реда. Ово решење је коришћено за одређивање тачних ДМК, МКИ као и ДМК за дејство константних аксијалних сила прaвоугаоне indlinове плоче са две паралелне слободно ослоњене контуре. Тачност резултата добијених применом изведених матрица крутости, на бази којих је написан програм у програмском језику atlab, је верификована кроз многобројне примере. У Поглављу су дате основне једначине теорије танких љуски по Donnell ushtariевој и Flüggeовој теорији. У оквиру 5. Поглавља су основне једначине теорије танких љуски по Donnellushtariевој и Flüggeовој теорији из претходног поглавља сведене на једначине које важе за кружну цилиндричну љуску. За затворену кружну цилиндричну љуску постоји аналитичко решење проблема слободних вибрација, на основу кога су изведене тачне ДМК за сваку од ове две теорије. За Flüggeову теорију решен је и проблем еластичне стабилности услед дејства константне аксијалне силе притиска и на основу тога је изведена тачна МКИ. На крају поглавља су дати нумерички примери. 7

24 . Увод У Поглављу 6 је дато опште решење проблема слободних вибрација сегмента кружне цилиндричне љуске по Donnellushtariевој и Flüggeовој теорији, које је одређено применом Goranовог метода суперпозиције. Коришћењем Goranовог решења и метода пројекције изведена је ДМК сегмента кружне цилиндричне љуске за произвољне граничне услове. Осим овог општег решења, приказано је и решење проблема слободних вибрација сегмента кружне цилиндричне љуске са специјалним граничним условима. Тада, као и у случају aurice Lévyеве плоче и затворене кружне цилиндричне љуске, постоји тачно аналитичко решење ПДЈ. На основу овог тачног решења су изведене и одговарајуће тачне ДМК сегмента кружне цилиндричне љуске за специјалне граничне услове. Кроз броје примере су верификовани резултати добијени применом изведених ДМК. У оквиру 7. Поглавља су изнети закључци и дате препоруке за даља истраживања. 8

25 INDLINОВА ТЕОРИЈА ПЛОЧА indlinова теорија савијања плоча (indlin, 95, која узима у обзир деформације смицања, заснива се на следећим претпоставкама: линијски елемент нормалан на средњу раван пре деформације остаје прав и непромењене дужине после деформације, али не и (обавезно управан на деформисану површ, нема деформацијa у средњој равни плоче, напон σ z може да се занемари у поређењу са напонима σ и σ y. Применом indlinове теорије добијају се смичући напони који су константни по висини попречног пресека. На основу става о коњугованости смичућих напона они би морали да буду једнаки нули за z = ± h, h je дебљина плоче. Да би се поправио овај недостатак уводи се коефицијент корекције смичућих напона k. indlinова теорија даје добре резултате за плоче умерене дебљине, док за веће односе дебљине и распона треба да се примени тачнија теорија која у обзир узима и кривљење пресека. На основу прве две претпоставке поље померања, Слика.(а, је усвојено у следећем облику: (,, = φy (, (,, = φ (, (,, = o (, u y z z y v y z z y w y z w y o где је w (, y угиб у средњој равни, док су φ (, y и (, y, односно око yосе. y (. φ ротације око а поље померања б пресечне силе Слика. Поље померања и пресечне силе 9

26 . indlin ова теорија плоча Кинематичке релације дефинисане су следећим изразима: (, y (, y (, y u φy u v φy φ ε = = z γ y = + = z y y ( w w u w ε z = = γ z = + = φy (, y + z z ( v φ, y v w w, y y = = z yz = + = (, y + ε γ φ y y z y y (, y (. Конститутивне једначине за хомоген, линеарно еластичан материјал су: ε = σ ν ( σ y σ z ( y y y E + = σ νσ γ = τ E G ε y = y ( z ( y yz yz E σ ν σ + σ = σ νσ γ = τ E G ε z = σ z ν ( σ σ y γ z τ z E + = = G (. где је E Youngов модул еластичности, G модул смицања и ν Poissonов коефицијент. Напони изражени у функцији деформација на основу једначине (. су: E σ = ( ε + νε ν τ = Gγ E σ = ( ε + νε ν τ = Gγ y y y y y yz yz ( σ = ν σ + σ τ = Gγ z y z z (. Из претпоставке да елемент управан на средњу раван током деформације не мења дужину ( ε z =, добија се да је напон σ z ако је ν, што следи из једначина (.. То је у супротности са претпоставком да σ z напони могу да се занемаре. Услов да симултано и деформација ε z и напон σ z буду једнаки нули је једна несагласност која постоји у indlinовој теорији плоча. Редукцијом напона на средњу раван добијају се изрази за пресечне силе: h σ h T τ z y = σ y zdz = dz T h y τ h yz y τ y (.5

27 . indlin ова теорија плоча Заменом израза (. у (.5 добија се: h h ( + y ( y h h E ε νε T τ z = zdz G dz = y ν T h ε νε y τ + h yz = G γ zdz y y (.6 Ако се у једначинама (.6 деформације изразе на основу једначине (., добијају се изрази за пресечне силе у функцији угиба и ротација: o φy φ w = D ν T = kgh + φy y o φ φ y w y = D + ν Ty = kgh φ y y ν φy φ y = y = D y где је D Eh ( ν = крутост плоче на савијање. (.7. Једначине кретања Слика. Силе које делују на диференцијално мали елемент Једначине кретања, на основу Слике., су:

28 . indlin ова теорија плоча T T y d d y + d d y ρ hw ɺɺ d d y = y y y d d y + d d y T d d y ɺɺ φ I yρ Pd y = y y ddy + ddy Tyddy + ɺɺ φρipd = y y (.8 где је ρ густина материјала, осе, односно I p поларни момент инерције пресека око y I p поларни момент инерције пресека око y осе. Симбол ii означава други извод функције по времену. Ако се пресечне силе у једначини (.8 изразе преко померања, једначине (.7, добија се следећи систем парцијалних диференцијалних једначина: o o o w φy φ w w kgh + + ρh = y y t o φy ν φy + ν φ w ρh φy D + kgh + φ y = y y t o φ ν φ + ν φ y w ρh φ D + + kgh φ = y y y t (.9 Једначинама (.9 је дефинисан проблем слободних вибрација indlinове плоче, при чему је ротациона инерција је узета у обзир.. Једначине еластичне стабилности Слика. Константне аксијалне силе у равни плоче

29 . indlin ова теорија плоча На Слици. је приказана правоугаона плоча у чијој средњој равни делују константне аксијалне силе. Услови равнотеже у том случају су (Ziegler, 98: T T y w w N + ξ + = y y y + T = y y y y + Ty = ξ (. У једначинама (., за разлику од услова равнотеже за случај слободних вибрација, једначина (.8, нема чланова који потичу од инерцијалних сила, али постоји додатни члан који потиче од аксијалне силе. Систем парцијалних диференцијалних једначина којима је дефинисан проблем еластичне стабилности indlinове плоче за константно аксијално оптерећење је: o o w φy φ w w w kgh + + N ξ + ξ = y y y o φy ν φy + ν φ w D + kgh + φ y = y y o φ ν φ + ν φ y w D + + kgh φ = y y y (. Једначинама (. је обухваћен случај једноаксијалног, ξ = или ξ =, као и двоаксијалног, ξ и ξ, напрезања у равни.. Једначине кретања плоче оптерећене аксијалним силама У пракси, статичко оптерећење доводи до појаве унутрашњих сила (напона у конструкцији, које значајно утичу на њене динамичке карактеристике. Број напонских стања услед статичког оптерећења је неограничен. Применом метода динамичке крутости је могућа анализа вибрација за константно и скоковито променљиво иницијално поље напона.

30 . indlin ова теорија плоча Систем парцијалних диференцијалних једначина којима је дефинисан проблем слободних вибрација indlinове плоче која је оптерећена константним аксијалним силама је: o o o w φy φ w w w w kgh + + ρh N ξ + ξ = y y t y o φy ν φy + ν φ w ρh φy D + kgh + φ y = y y t o φ ν φ ν φ + y w ρh φ D + + kgh y y φ = y t (. Овај систем ПДЈ има чланове који потичу и од инерцијалних и од аксијалних сила. Усвојено је да интензитет сила N и N y, Слика., не зависи од времена t, нити од угиба w. Ове претпоставке су усвојене да би се посматрале слободне, а не принудне вибрације, као и да би једначине кретања остале линеарне. Претпоставка да силе у равни не зависе од угиба може да се усвоји ако су (Leissa, 969: гранични услови такви да не спречавају померања у равни, угиби довољно мали тако да су силе у равни услед деформације занемарљиве у поређењу са почетним силама затезања, односно притиска.

31 КОНТИНУАЛНИ ЕЛЕМЕНТ ПРАВОУГАОНЕ INDLINОВЕ ПЛОЧЕ ЗА АНАЛИЗУ ВИБРАЦИЈА И ИЗБОЧАВАЊА. Опште решење проблема слободних вибрација Решење система парцијалних диференцијалних једначина (.9 је претпостављено у хармонијском облику: (,, ˆ (, φ (,, φ (, φ (,, φ (, iωt ˆ iωt ˆ iωt w y t = w y e y t = y e y t = y e (. y y где ω означава кружна фреквенцију. Заменом (. у (.9 и елиминисањем времена добија се: wˆ ˆ φ ˆ φ wˆ ˆ = y y ˆ φ ˆ φ ˆ φ ˆ D y y ˆ ˆ ˆ φ φy ˆ ν φ + ν w ˆ ρh D + + kgh φ ˆ + ω φ = y y y y kgh ρhω w y ν y + ν w ˆ ρh + kgh + φ ˆ y + ω φy = (. Да би се решио систем једначина (. уводи се напонска функција ˆ ψ (boundarylayer function (Nosier and Reddy 99: ˆ φ ˆ φ y ψˆ = + y (. Када се друга једначина (. диференцира по y, односно трећа једначина (. диференцира по, и саберу се, добија се: где је D ν ρh ψˆ kghψ ˆ + ω ψˆ = (. = + y Лапласов оператор. Диференцирањем друге једначине (. по, односно трећа по y, и њиховим одузимањем, добија се: ρh D Γ + kgh wˆ + ( kgh ω Γ = (.5 где је Γ = ˆ φ ˆ φ y. Увођењем помоћне функције Γ, прва једначина y (. може да се запише на следећи начин: ˆ ρ ω ˆ kgh w + kghγ + h w = (.6 5

32 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања Једначина (.6, после диференцирања Лапласовим оператором постаје: ˆ ρ ω ˆ kgh w + kgh Γ + h w = (.7 Ако се из једначина (.6 и (.7 Γ и Γ изразе у функцији угиба ŵ и замене у једначину (.5, добија се следећа једначина: ρ ρh ρhω ρh ω wˆ + + ω wˆ + wˆ = kg D D kgh (.8 На овај начин је проблем слободних вибрација indlinове плоче дефинисан, уместо системом три спрегнуте ПДЈ (., са две међусобно независне ПДЈ (. и (.8. Када су одређене функција угиба ŵ и напонска функција ψ ˆ, ротације ˆy φ и ˆ φ могу да се одреде из друге, односно из треће једначине (.: ρh ˆ ρω ν ψˆ kgh ω φ ˆ ˆ ˆ y = D w + D w + kghw + D kg y ρh ˆ ρω ν ψˆ kgh ω φ ˆ ˆ ˆ = D w + D w + kghw + D y kg (.9 Опште решење проблема слободних вибрација може да се добије применом метода суперпозиције (Goran and Wei, 996. Његова елеганција и логика су га учиниле веома атрактивним методом за добијање тачних аналитичких решења вибрација плоча. Произвољна деформација плоче може да се представи као збир четири деформације које су: симетрична око осе и око yосе, антисиметрична око осе, а симетрична око yосе, симетрична око осе, а антисиметрична око yосе AS, антисиметрична и око осе и око yосе AA. Слика. деформација плоче 6

33 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања На Слици. је приказан деформисани облик плоче. Координатни систем је постављен у средини плоче. Метод суперпозиције омогућава да се решења за угиб и ротације усвоје у следећем облику: AS AA wˆ (, y = wˆ (, y + wˆ (, y + wˆ (, y + wˆ (, y ˆ (, ˆ (, ˆ (, ˆ AS (, ˆ AA φy y = φy y + φy y + φy y + φy (, y ˆ (, ˆ (, ˆ (, ˆ AS (, ˆAA φ y = φ y + φ y + φ y + φ (, y (. Овим је омогућена анализа само четвртине посматране правоугаоне плоче. Непознате функције су одређене за сваки од четири случаја симетрије, при чему је решење за случај AS исто као за случај када ротације ˆy φ и ˆ φ, као и координате и y, замене место... Двострука симетрија Да би се задовољио услов двоструке симетрије, као и једначине (.9, функције угиба w ˆ у следећем облику:, ротација ˆ φ y и ˆ φ и напонска функција ψ ˆ су усвојене = = ( = ( ( α + ( ( β ( wˆ, y W y cos W cos y y y y = = ( y = ( y ( + ( ( y ( ˆ φ, Φ sin α Φ cos β = = ( y = ( y ( + ( ( y ( ˆ φ, Φ cos α Φ sin β = = ( y = ( y ( + ( ( y ( ψˆ, Ψ sin α Ψ sin β (. где је α = π / a и β = π / b. На основу деформисаног облика (Слика., као и једначинe (.9, може да се закључи да су функције W ( y, ( W, Φ ( y и Φ ( парне, односно Φ (, Φ ( y, Ψ ( y и Ψ ( y непарне. Уношењем дела једначине (.( у једначину (.8 добија се: где су: d ( ( ( α α α y W y d W y + c + ( c + c W ( y = (. dy dy kg D D kgh = ρ + ρh ω c ρhω ρh ω = c (. 7

34 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања Решење једначине (. је усвојено у облику ( карактеристична једначина: ( ( r a, r a, r y W y = e и добијена је + + = (. чији су коефицијенти једнаки: a = c α и a = α c α + c. Корени једначине (. су означени са: r,, непознату функцију:, r,,, r и ( =, cosh (, +, sinh (, + A, cosh ( r, y + A, sinh ( r, y W y A r y A r y, r,, док је решење за (.5 Заменом дела једначине (.( у (. добија се обична диференцијална једначина: d Ψ ( y a, Ψ dy ( y + = (.6 чија је одговарајућа карактеристична једначина: где су: ( r + a = (.7, a = c α и, означени са: r, и r, c ρh ω kgh =. Корени једначине (.7 су 6D ( ν, а решење за напонску функцију је: ( y A5, sinh ( r, y A6, cosh ( r, y Ψ = + (.8 Када се изрази (.5 и (.8 замене у једначину (.9 добијају се изрази за ротације: ( y =, A, cosh ( r, y +, A, sinh ( r, y + δ, A, cosh ( r, y + δ, A, sinh ( r, y + δ5, A5, cosh ( r, y + δ6, A6, sinh ( r, y Φ δ δ y Φ ( y = γ A sinh ( r y + γ A cosh ( r y,,,,,, ( γ cosh ( ( γ cosh ( + γ A sinh r y + A r y,,,,,, + γ A sinh r y + A r y 5, 5,, 6, 6,, (.9 8

35 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања На основу закључка да су функције W ( y и ( y ( y Φ парне, односно Φ непарна, задржава се само означени дeо решења из једначина (.5 и (.9. Уз преименовање константи: y A = A δ = δ γ = γ,,,,,, A = A δ = δ γ = γ,,,,,, A = A δ = δ γ = γ 5,, 5,, 5,, (. решење за део може да се запише на следећи начин: wˆ, y = A cosh r y cos = ( i, ( i, ( α ˆ φy, = δi i cosh i sin α = ( y, A, ( r, y ( ˆ φ, = γ i i sinh i cos α = ( y, A, ( r, y ( Изрази за коефицијенте δ i, и γ i, су: δ γ i, i, i =, α = r = { kg kgh + D (( ri, α + Dρω } kgh ( kg ρh ω S kg kgh + D (( r α + Dρω kgh( kg ρh ω { } S i, i, ( ν Dα ( ν 6D r 6, δ, = γ, = kgh ρh ω kgh ρh ω (. (. Када је =, једначина (.6 је идентички задовољена, пошто је напонска функција ψ ˆ усвојена у облику синусног реда који нема нулти члан, док једначина (. постаје: d ( d ( W y W y + + = (. dy dy c c Карактеристична једначина једначине (. је: ( ( r + c r + c = (. 9

36 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања Корени једначине (. су означени са: r,, r,,, решење за нулти члан функције угиба за део једнако: ( = cosh ( + sinh ( + A, cosh ( r, y + A, sinh ( r, y W y A r y A r y,,,, r и r,, док је (.5 Задржава се само означени, парни део решење, а константе се преименују на следећи начин: A = A и A = A. Да би се одредила непозната,, функција обртања ( y постаје:,, Φ, посматра се систем једначина (. који за = d ˆ φ d wˆ + + ˆ = dy dy ˆ φ ˆ D dy dy kgh ρhω w d dw ˆ ρh + kgh φ ˆ + ω φ = (.6 Израз за обртање ˆ φ, када је одређен израз за угиб ŵ, једначина (.5, може да се одреди из прве једначине (.6: ( y γ A sinh ( r y Φ = (.7 i, i, i, Израз за коефицијент γ i, је: ρω ( ri, + γ kg i, =, i =, (.8 r i, Да би се добило укупно решење за случај, део решења (. треба да се узме у прорачун по већ описаном поступку. Укупно решење за је: ( i, ( i, i, ( i, wˆ, y = A cosh r y + A cosh r + ( Ai, cosh ri, y cos( α + A ( r cos( β y = i, cosh i, (.9

37 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања ( y δ, A, ( r, ˆ φ, = sinh + y i i i ( δi, Ai, cosh ri, y sin ( α + A ( r cos ( β y = δi, i, sinh i, ( y γ (, A, r, y ˆ φ, = sinh + i i i ( γ i, Ai, sinh ri, y cos( α + A ( r sin ( β y = γ i, i, cosh i, где су одговарајуће карактеристичне једначине и коефицијенти δ i, и γ, за део дати следећим изразима: ( ( ( r a, r a, r a, + + = + = a = c β a = c β,, a = β c β + c, (. i (( i ri, { kg kgh + D (( ri, β + Dρω } kgh ( kg ρh ω β { kg kgh + D (( ri, β + Dρω } i kgh( Gk ρh ω δ = r + ρω kg r i,, i, δ γ δ i, i, = =, =, ( ν 6D r ( ν 6Dβ = γ = kgh ρh ω kgh ρh ω,,, (. Карактеристична једначина за нулти члан реда, =, за део је иста као за део, једначина (., само што корени имају сад горњи леви индекс уместо. Заменом израза (.9 у једначину (.7 добијају се изрази за пресечне силе за случај :

38 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања где су: (,,,,,, ˆ (, y = A cosh( r y + A cosh( r + i i i i i i i, Ai, cosh( ri, y cos( α + A r ( β y = i, i, cosh( i, cos ( (,,,,,, ˆ, y = A cosh( r y + A cosh( r + y yi i i yi i i ( y ˆ, y,, cosh(, cos( yi Ai ri y α + = yi, Ai, cosh( ri, cos( β y,, sinh(, sin( yi Ai ri y α + = = yi, Ai, sinh( ri, sin( β y (,,, sinh (, T y = T A r + i i i Ti, Ai, cosh ( ri, y sin ( α + T A ( r cos( β y = i, i, sinh i, ( (,,, Tˆ, y = T A sinh r y + y yi i i ( Tyi, Ai, sinh ri, y cos( α + T A ( r sin ( β y = yi, i, cosh i, (.

39 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања = ν D r γ = D r δ i, i, i, i, i, i, ( α δ ν γ ( δ νβ γ = D r = D r i, i, i, i, i, i, i, i, = D r γ = Dν r δ yi, i, i, yi, i, i, yi, = D( να δi, ri, γ i, yi, = D ν ri, δi, β γ i, yi, i, i, i, yi, i, i, i, ( δ α i, i,,, Tyi, = khg ri, γ i, ( ν ν = D ( r δ + α γ = D ( β δ γ r T = khg T = khg δ ( ( ( γ ( δ ( δ T = khg r + i, i, i, Ti, = khg ri, + i, T, = khg δ, ( ( γ Tyi, khg ri, γ i, Tyi, khg β γ = = i, Ty, = khg, Ty, = khg, i =,, ( (.... Динамичка матрица крутости Вектор померања q ˆ Вектор померања q ˆ, једначина (., садржи померања и ротације контура плоче изразима (.5. K ɶ D = a и y = b, која су приказана на Слици. и дата ( ˆ T ˆ ( ˆ ( ˆ ( ˆ ( ˆ,,,, (, ˆ = w a y φy a y φ a y w b φ b φy (, b 6 q (. Слика. Померања и ротације контура плоче = a и y = b

40 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања ( i, ( i, i, ( i, wˆ a, y = A cosh r y + A cosh r a + ( Ai, cosh ri, y ( + A ( r a cos( β y = i, cosh i, ( a y δ, A, ( r, a ˆ φ, = sinh + y i i i A ( r a cos( β y δi, i, sinh i, = ( a y γ (, A, r, y ˆ φ, = sinh + i i i ( γ i, Ai, sinh ri, y ( + A ( r a sin ( β y = γ i, i, cosh i, ( ( i ( (, i, i, i, wˆ, b = A cosh r b + A cosh r + ( Ai, cosh ri, b cos( α + A cosh ( ri ( = i,, ( b γ (, A, r, b ˆ φ, = sinh + i i i A ( r b cos( α γ i, i, sinh i, = ( b δ, A, ( r, ˆ φ, = sinh + y i i i ( δi, Ai, sinh ri, b cos( α + A sinh ( r ( = δi, i, i, (.5 Као што се види из једначине (.5, компоненте вектора q ˆ су функције, односно y координате. Из тог разлога, није могуће да се успостави директна веза између вектора q ˆ и вектора интеграционе константе у решењу (.9. C, који садржи непознате

41 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања Проблем може да се реши ако се померања и ротације контура плоче апроксимирају помоћу Fourierовог реда: y n n n n n= n= (, cos ( β ˆ (, cos( α wˆ a y W y w b W y y yn n n n n= n= ( a, y cos ( y ˆ (, b cos ( ˆ φ Φ β φ Φ α y n n y yn n n= n= ( a, y sin ( y ˆ (, b sin ( ˆ φ Φ β φ Φ α (.6 где је αn = nπ / a и βn = nπ / b. Fourierови коефицијенти се одређују на добро познат начин, нпр. израз за одређивање коефицијента W је: b W ˆ n = w ( a, y cos( βn y dy = b b Ai, cosh ( ri, y Ai, cosh ( ri, a + b ( = Ai, cosh ri, y ( cos( n y d b + β y b + = Ai, cosh ( ri, a cos( β y Уместо вектора q ˆ уводи се вектор "пројекције померања" n (.7 qɶ чије су компоненте Fourierови коефицијенти у једначини (.6. Сада је могуће да се успостави веза између вектора "пројекције померања" интеграционих константи ɶ C : qɶ и вектора qɶ = D C (.8 где су: ( qɶ T y y W Φy W Φ ( C = W Φ Φ W Φ Φ y y y n yn n n n yn W Φ Φ W Φ Φ y y y y y 6 T A, A, A, A, = A A A A A A,,,,,, A A A A A A ( +,,,,,, 6 ( + (.9 5

42 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања Да би матрица D ɶ била квадратна, потребно је да број чланова реда у једначинама (.6 и (. буде исти. Ред матрице у Прилогу. Вектор сила Q ˆ D ɶ је 6М+ и она је дата Вектор сила Q ˆ садржи трансверзалне силе и моменте на контурама плоче = a и y = b, Слика., и дефинисан је следећим изразом: T ( ˆ ˆ (, ˆ (, ˆ Q = T (, a y a y y a y ˆ T b ˆ b ˆ b (, (, (, 6 y y y (. Слика. Пресечне силе на контурама плоче Компоненте вектора Q ˆ на основу једначине (. су: = a и y = b (,, (, Tˆ a, y = T A sinh r a + i i i T A ( r a cos( β y i, i, sinh i, = (,,,,,, ˆ ( a, y = A cosh( r y + A cosh( r a + i i i i i i,, cosh(, ( i Ai ri y + = i, Ai, cosh( ri, cos ( β y ˆ y ( a, y = yi, Ai, sinh( ri, a sin( β y = (. 6

43 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања ( (,,, Tˆ, b = T A sinh r b + y yi i i T A ( r y cos( α yi, i, sinh i, = ( (,,,,,, ˆ, b = A cosh( r b + A cosh( r y yi i i yi i i,, cosh(, cos( yi Ai ri b α + = yi, Ai, cosh( ri, ( ˆ (, y b = yi, Ai, sinh( ri, b sin( α = Уз компоненте ˆ ( a, y и ˆ (, y y b је додат знак да би се смер момената, Слика.(b, поклапао са смером усвојених позитивних обртања, Слика.(a и Слика.. Пошто су компоненте вектора Q ˆ функције, односно y координате, као што је био случај и са компонентама вектора померања q ˆ, није могуће да се успостави директна веза између вектора Q ˆ и Зато се уводи вектор "пројекције сила" ( Q ɶ T T,, Ty, y, = Q ɶ : T T y, n, n y, n y, n y, n y, n T T y,, y, y, y, y, 6 ( + C. (. Компоненте вектора "пројекције сила" компоненти вектора Q ˆ у Fourierов ред: Q ɶ су коефицијенти у развоју, n n y y, n n n= n= (, cos ( β ˆ (, cos( α Tˆ a y T y T b T, n n y y, n n n= n= (, cos ( β ˆ (, cos( α ˆ a y y b y y y, n n y y, n n n= n= (, sin ( β ˆ (, sin ( α ˆ a y y b (. Веза између вектора "пројекције сила" константи C је: Q ɶ и вектора интеграционих 7

44 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања где је ɶ ɶ (. Q = F C F ɶ матрица реда 6М+ која је дата у Прилогу. Коришћењем једначина (.8 и (. може да се успостави веза између вектора "пројекције сила" Q ɶ и вектора "пројекције померања" qɶ : где је Qɶ = Kɶ qɶ (.5 D K ɶ D динамичка матрица крутости за део. Ред матрице и она се одређује нумерички на основу следећег израза: ( D K ɶ D је 6М+ K ɶ = F ɶ D ɶ (.6.. Симетријаантисиметрија Слика. деформација плоче Да би се задовољио услов да је деформисани облик плоче симетричноантисиметричан (Слика., као и једначина (.9, функције угиба w ˆ, ротација ˆ φ y и ˆ φ и напонска функција ψ ˆ се усвајају у следећем облику: * ( = ( ( α + ( ( β wˆ, y W y cos W sin y = = * ( y = ( y ( + ( ( y ˆ φ, Φ sin α Φ sin β y y y = = * ( y = ( y ( + ( ( y ˆ φ, Φ cos α Φ cos β = = * ( y = ( y ( + ( ( y ψˆ, Ψ sin α Ψ cos β = = (.7 8

45 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања где је α = π / a и =. Функције W (, Φ ( y, Φ ( * β ( π / b Ψ ( y су парне, а W ( y, Φ ( y, Φ ( и ( y y и Ψ непарне. Поступак за одређивање непознатих функција је исти као за случај и овде неће бити детаљно приказан. Коначни изрази за угиб и ротације за део су: где су: ( ( i, i, wˆ, y = A sinh r y + ( y ˆ φ, y (, sinh, cos( Ai ri y α + = * Ai, cosh ( ri, sin ( β y (,, sinh, sin ( δi Ai ri y α + = = * δi, Ai, sinh ( ri, sin ( β y ( y γ (, A, r, y ˆ φ, = cosh + i i i ( γ i, Ai, cosh ri, y cos( α + A ( r cos ( β y = * γ i, i, cosh i, γ i, = γ i, ( ri, ri, ( ri, ri, ( ri, ri, ( r, r, γ γ δ = δ γ = γ i, i, i, i, δ = δ =,,,, i, i, i, δi, = δi, * γ i, = γ i, β β β δ * ( β β γ, = γ, ( r, r,,, i =, r r r = δ r i, * β (.8 (.9 Карактеристичне једначине су исте као за део уз смену и β β. Пресечне силе за део, које су добијене заменом решења (.8 у изразе (.7, дате су следећим изразима: 9

46 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања где су: (,,, ˆ (, y = A sinh( r y + i i i i, Ai, sinh( ri, y cos( α + A r ( β y = * i, i, cosh( i, sin ( (,,, ˆ, y = A sinh( r y + y yi i i,, sinh(, cos( yi Ai ri y α + = * yi, Ai, cosh( ri, sin( β y,, cosh(, sin( yi Ai ri y α + ˆ y (, y = = * yi, Ai, sinh( ri, cos( β y,, sinh (, sin ( Ti Ai ri y α + ˆ T (, y = = * Ti, Ai, sinh ( ri, sin ( β y ( (,,, Tˆ, y = T A cosh r y + y yi i i ( Tyi, Ai, cosh ri, y cos( α + T A ( r cos ( β y = * yi, i, cosh i, (.5

47 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања = ν D r i, i, i, ( α δ ν γ ( δ νβ γ = D r = D r + * i, i, i, i, i, i, i, i, = D r γ γ yi, i, i, * yi, = D να δi, ri, γ i, yi, = D ν ri, δi, + β γ i, ( ( ν ν * yi, = D ( ri, δi, + α γ i, yi, = D ( β δi, γ i, ri, Ti, = khg ( δi, α Ti, = khg ( ri, + δi, T, = khg δ, T, = khg δ, Ty, i = khg ( ri, γ i, ( ( ( γ ( ( γ * Tyi, khg ri, γ i, Tyi, khg β γ = = i, Ty, = khg, Ty, = khg, i =,, (.5... Динамичка матрица крутости Вектори померања q ˆ и сила Q ˆ су: ( ( ( (, b (, b (, b K ɶ D ( ( ( ( b ( b ( b ˆ, ˆ w a y T a, y ˆ, ˆ φy a y a, y ˆ, ˆ, ˆ φ a y ˆ y a y q = ˆ Q = ˆ w Ty, (.5 ˆ ˆ φ y, ˆ ˆ φ y, y Као што је објашњено код извођења динамичке матрице крутости за део, директна веза између вектора померања q ˆ, односно вектора сила Q ˆ, и вектора интеграционих константи Уводе се вектор "пројекција померања" C не може да се успостави. qɶ и вектор "пројекције сила" Q ɶ, чије су компоненте коефицијенти развоја компоненти вектора q ˆ и Q ˆ у Fourierов ред, једначина (.5.

48 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања ( ( β * ( ( * ( a y ( y ( ( α ( b ( ( b ( ( ( β wˆ a, y W sin y Tˆ a, y T sin y * * n n n n n= n=, sin ˆ * y a y yn n y ( a, y n sin n n= n= ˆ φ Φ β β y ˆ φ, Φ cos β n n n= y wˆ, b W cos n= y n n n= ˆ φ, Φ cos α y y yn n n= ˆ φ, Φ sin α n n ( * ( ( β ˆ a, y cos y y yn n n= y yn n n= ( ( α Tˆ, b T cos y yn n n= ( ( α ˆ, b cos y y yn n n= ( ( α ˆ, b sin (.5 αn = nπ / a и * βn = (n π / b. Вектори qɶ, Q ɶ и F ɶ, реда 6М+, дате у Прилогу. ( q ( Q ( C C су дати једначиниом (.5, док су матрице T y y y y y W Φ Wn Φyn Φn Wn Φn Φyn ɶ = W Φ Φ W Φ Φ T y y y y y 6 T ɶ y = Ty y Tn n yn Tyn yn yn T T ( + y y y y y 6 = A A A A A A A A,,,,,,,,.. Дупла антисиметрија АА A A A A A A ( +,,,,,, 6 ( + D ɶ и (.5 Деформисани облик плоче у случају АА деформације је приказан на Слици.5: Слика.5 АА деформација плоче

49 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања Решење се усваја у следећем облику: AA AA * * ( = ( ( α + ( ( β AA AA AA wˆ, y W y sin W sin y = = * * ( y = ( y ( + ( ( y ˆ φ, Φ cos α Φ sin β AA AA AA y y y = = * * ( y = ( y ( + ( ( y ˆ φ, Φ sin α Φ cos β AA AA AA = = * * ( y = ( y ( + ( ( y AA AA AA ψˆ, Ψ cos α Ψ cos β * где је α = ( π / a и = = * β ( π / b (.55 AA AA =. Функције Φ ( y, ( Φ, AA AA AA AA AA AA Ψ ( y и Ψ ( су парне, док су W ( y, W (, Φ ( y и Φ ( непарне функције. y y Коначни изрази за угиб и ротације за АА део су: где су: ( y AA wˆ, ( y ˆ AA φ, y ( y ˆ AA φ, AA ( AA ( *, sinh, sin Ai ri y α + = = AA AA * Ai, sinh ( ri, sin ( β y AA AA ( AA ( *,, sinh, cos δi Ai ri y α + = = AA AA AA * δi, Ai, cosh ( ri, sin ( β y AA AA ( AA ( *,, cosh, sin γ i Ai ri y α + = = AA AA AA * γ i, Ai, sinh ( ri, cos( β y r r r r AA AA AA i, i, AA i, i, δi, = δi, γ * i, = γ i, * α α α α AA AA * ( r, r,, ( α δ = δ γ = γ α AA,,, r r r AA AA i, i, AA i, δi, = δi, * γ i, = γ i, β β β AA i, * β * AA ( β β =, ( r, r, δ = δ γ γ AA AA,,, i =, r (.56 (.57

50 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања Карактеристичне једначине су исте као за део уз смену α AA, α и β β. Пресечне силе за АА део добијају се заменом решење (.56 у изразе (.7: AA AA AA ( *,, sinh(, sin i Ai ri y α + ˆ AA (, y = = AA AA AA * i, Ai, sinh( ri, sin ( β y AA AA AA *,, sinh(, sin( yi Ai ri y α + ˆ AA y (, y = = AA AA AA * yi, Ai, sinh( ri, sin( β y AA AA AA *,, cosh(, cos( yi Ai ri y α + ˆ AA y (, y = = AA AA AA * yi, Ai, cosh( ri, cos( β y AA AA AA *,, sinh (, cos( Ti Ai ri y α + ˆ AA T (, y = = AA AA AA * Ti, Ai, cosh ( ri, sin ( β y AA AA ( AA ( *,, cosh, sin Tyi Ai ri y α + ˆ AA Ty (, y = = AA AA AA * Tyi, Ai, sinh ( ri, cos( β y где су: ( α δ ν γ ( δ νβ γ = D r = D r + AA * AA AA AA AA AA AA * AA i, i, i, i, i, i, i, i, = D( να δ r γ = D( ν r δ + β γ AA * AA AA AA AA AA AA * AA yi, i, i, i, yi, i, i, i, AA ν AA AA * AA AA ν * AA AA AA yi, = D ( ri, δi, α γ i, yi, = D ( β δ i, γ i, ri, AA AA * AA AA AA Ti, = khg ( δi, + α Ti, = khg ( ri, + δi, AA AA AA AA T, = khg δ, T, = khg δ, ( γ ( AA γ T = khg r T = khg i =,, AA AA AA yi, i, i, AA y,, ( T T * AA ( β γ AA ( γ = khg AA yi, i, = khg AA y,, (.58 (.59

51 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања... Динамичка матрица крутости Апроксимација компоненти вектора q ˆ AA и Q ˆ AA, које представљају AA K ɶ D померања и силе на контурама плоче, преко Fourierовог реда је: ( ( β * ( ( * ( a y ( y * ( n ( αn * ( b ( * ( b ( ( ( β wˆ a, y W sin y Tˆ a, y T sin y AA AA * AA AA * n n n n n= n= AA AA ˆ AA AA y a y yn n y ( a y n n= n= ˆ φ, Φ sin β, sin ˆ φ, Φ cos β AA AA n n n= AA y AA wˆ, b W sin n= ˆ φ, Φ sin α AA y AA n n n= ˆ φ, Φ cos α AA y AA y yn n n= * * где је αn = (n π / a и βn = (n π / b. Вектори AA qɶ, AA Q ɶ и које су реда 6М, су дате у Прилогу. ( qɶ ( Qɶ ( C * ( βn y * ( ( β ˆ a, y cos y AA AA y yn n n= AA * ( ( α Tˆ, b T sin AA y yn n n= AA * ( ( α ˆ, b sin AA y yn n n= * ( ( α ˆ, b cos AA y AA y yn n n= AA C су дати једначином (.6, а матрице AA T AA AA AA y AA y AA y AA W Φ y Φ W Φ Φ y = W Φ Φ W Φ Φ AA AA AA y AA y AA y AA y y 6 T AA AA AA AA AA AA y AA T y Ty y y = T T AA AA AA AA AA y AA y y y y 6 AA T AA AA AA AA AA AA = A, A, A, A, A, A, A A A A A A AA AA AA AA AA AA,,,,,, 6.. Динамичка матрица крутости правоугаоне плоче K ɶ D AA D ɶ и (.6 AA F ɶ, (.6 Динамичка матрица крутости континуалног елемента правоугаоне indlinове плоче K ɶ D може да се одреди када су дефинисане динамичке матрице крутости за све симетричне доприносе ( K ɶ, D K ɶ D, AS K ɶ D и AA K ɶ D. Угиби ŵ и ротације ˆy φ и ˆ φ контура плоче апроксимирају се Fourierовим редом који, за случај произвољног деформисаног облика, садржи и парне и непарне чланове: 5

52 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања nπ y wˆ a, y W + W cos + W sin ( ( ( ( ( a y S S A n n n= b n= nπ wˆ, b W + W cos + W sin S S A n n n= a n= nπ y wˆ a, y W + W cos + W sin S S A n n n= b n= nπ wˆ, b W + W cos + W sin ˆ φ, y S S A n n n= a n= nπ y + + S S A Φ y Φ yn cos Φ yn n= b n= ( ( ( n b ( n a ( n b ( n a ( n ˆ S A y (, b yn cos + yn sin n= a n= S S A y ( a y y + yn + yn n= b n= sin ˆ nπ y φ, Φ Φ cos Φ sin b ( n b π y π π y π π y n π nπ φ Φ Φ a π y ˆ S n π A nπ φy (, b Φ yn cos + Φ yn sin n= a n= a ˆ S ( n π y A nπ y φ ( a, y Φ n cos + Φ n sin b b n= n= ˆ nπ φ, Φ Φ cos Φ sin S S A ( b + n + n n= a n= ( ( n ˆ S A ( a, y n cos + n sin n= b n= ˆ nπ φ, Φ Φ cos Φ sin S S A ( b + n + n n= a n= a ( n a π n π y nπ y φ Φ Φ b π (.6 Горњи леви индекси,, и односе се на број контуре према следећој слици: Слика.6 Нумерација контура плоче 6

53 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања Уводи се вектор qɶ, једначина (.6, чије су компоненте дефинисане једначинама (.6 и (.65. [ n ] ( + 8 ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ (.6 T q = q q q q qɶ = W Φ W Φ W Φ W Φ (.6 T S S S S S S S S y y 8 T S A S A S A qɶ n = Wn Wn Φ yn Φ yn Φ n Φ n S A S A S A Wn Wn Φ yn Φ yn Φ n Φ n Са друге стране, већ су за симетричне доприносе дефинисани вектори qɶ, AS qɶ и AA qɶ, који формирају вектор qɶ : (.65 qɶ, T AS AA qɶ = qɶ qɶ qɶ qɶ + 8 (.66 ( Потребно је да се успостави веза између вектора qɶ и qɶ. Померања контура плочe = ± a за произвољан деформисани облик, на основу Goranовог метода суперпозиције, могу да се прикажу као: AS AA wˆ ( a, y = wˆ ( a, y + wˆ ( a, y + wˆ ( a, y + wˆ ( a, y AS AA wˆ ( a, y = wˆ ( a, y + wˆ ( a, y + wˆ ( a, y + wˆ ( a, y AS AA wˆ ( a, y = wˆ ( a, y + wˆ ( a, y + wˆ ( a, y + wˆ ( a, y AS AA wˆ ( a, y = wˆ ( a, y + wˆ ( a, y + wˆ ( a, y + wˆ ( a, y (.67 Сабирањем сва четири израза у једначини (.67 и уз узимање у обзир да је: wˆ ( a, y = wˆ ( a, y = wˆ ( a, y = wˆ ( a, y wˆ ( a, y = wˆ ( a, y = wˆ ( a, y = wˆ ( a, y AS AS AS AS wˆ ( a, y = wˆ ( a, y = wˆ ( a, y = wˆ ( a, y AA AA AA AA wˆ ( a, y = wˆ ( a, y = wˆ ( a, y = wˆ ( a, y (.68 добија се: wˆ ( a, y = [ wˆ ( a, y + wˆ ( a, y + wˆ ( a, y + wˆ ( a, y ] (.69 Из једначине (.6 следи: nπ y wˆ ( a, y W + Wn cos n= b (.7 док из првог и трећег израза у (.6 је: 7

54 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања nπ y wˆ a, y W + W cos + W sin ( ( S S A n n n= b n= nπ y wˆ a, y W + W cos W sin ( S S A n n n= b n= nπ y wˆ a, y W + W cos + W sin ( S S A n n n= b n= nπ y wˆ a, y W + W cos W sin S S A n n n= b n= ( n π y b n π y ( b n π y ( b n π y ( b (.7 На основу једначине (.69 може да се успостави веза између Fourierових коефицијента у изразима (.7 и (.7: W = ( W + W Wn = ( Wn + Wn (.7 S S S S Применом приказаног поступка на обртања контура плоче се следеће релације: Φ = Φ Φ Φ = Φ Φ S S Φ = Φ + Φ ( ( S S S S y y y yn yn yn Понављањем процедуре за контуре y између коефицијената: ( n n n = ± a добијају (.7 = ± b, добијају се и сви остали односи Вектор W = W + W W = W + W y S S Φ = Φ + Φ Φ = Φ Φ Φ = Φ Φ ( n ( n n y S S y S S ( yn yn yn ( ( y S S y S S n n n qɶ је записан у скраћеном облику: (.7 T ( qɶ = qɶ qɶ qɶ n qɶ ( 6 + (.75 где су: ( T y y W Φ y W Φ qɶ = (.76 ( T y y y n = Wn Φ yn Φ n Wn Φ n Φ yn 6 qɶ (.77 8

55 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања Везе између вектора qɶ и qɶ, односно вектора qɶ n и qɶ n, су дате једначинама (.78 и (.79, док је веза између елемената вектора успостављена преко матрице трансформације за део (.8: Матрице t, T qɶ и qɶ, једначина qɶ = t qɶ (.78 qɶ n = t qɶ n (.79 qɶ = T qɶ (.8 t и T су дате у Прилогу. На исти начин, преко матрица трансформација за, AS и AA део могу да се успоставе и везе између елемената вектора qɶ, AS qɶ, AA qɶ и вектора qɶ: AS AS AA AA qɶ = T qɶ qɶ = T qɶ qɶ = T qɶ (.8 Сада веза између вектора qɶ и qɶ може да се напише као: где је: qɶ = T qɶ (.8 T T T T T = AS AA ( + 8 ( + 8 (.8 Матрице T и AA T су такође дате у Прилогу. Применом приказаног поступка може да се успостави и веза између вектора сила Q ɶ и Q ɶ : ɶ ɶ (.8 T Q = T Q Ако се веза између вектора qɶ и Q ɶ запише као: где је: Q ɶ = K ɶ q ɶ (.85 9

56 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања Kɶ Kɶ D Kɶ D = AS Kɶ D Kɶ AA D ( + 8 ( + 8 (.86 онда коришћењем једначина (.8 и (.8 може да се добија веза између вектора qɶ и Q ɶ : Q ɶ = K ɶ q ɶ (.87 D K ɶ = T D T K ɶ T (.88 K ɶ D је динамичка матрица крутости правоугаоне indlinове плоче и њен ред је М Динамичка матрица крутости aurice Lévyеве плоче K D У претходном поглављу је изведена динамичка матрица крутости K ɶ D правоугаоне indlinове плоче на основу општег решења проблема слободних вибрација. Коришћено Goranово решење је независно од граничних услова, па из тог разлога, континуални елемент заснован на динамичкој матрица крутости K ɶ D може да се користи у анализи вибрација плоча и система плоча за произвољне граничне услове. Тачност овог континуалног елемента зависи од броја коришћених чланова реда решења М. Слика.7 aurice Lévyјева плоча

57 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања Насупрот томе, у овом поглављу биће изведена динамичка матрица крутости Мaurice Lévyеве плоче која је тачна, али је њена примена ограничена на плоче и системе плоча са две паралелне слободно ослоњенe контуре. Решење проблема слободних вибрација у случају Мaurice Lévyеве плоче, Слика.7, које a priori задовољава предефинисане граничне услове, усваја се у следећем облику: ( = ( ( α wˆ, y W y sin = ( y = ( y ( ˆ φ, Φ cos α y y = ( y = ( y ( ˆ φ, Φ sin α = ( y = ( y ( ψˆ, Ψ cos α = (.89 где је α = π / a. Види се да је Мaurice Lévyјево решење, уз смену α α, исто као решење за АА део, једначина (.55. Из тог разлога, за одређивање корена карактеристичне једначине и коефицијената δ i, и γ i, могу да се користе решења дата у Поглављу... Функције W ( y, Φ y ( y и ( y Φ, за разлику од решења за АА део, садрже и парне и непарне чланове. У случају да су гранични услови на контурама y = и y = b константи, решења за поједине хармонике су независна. Уместо решења у облику суме, једначина (.89, може да се посматра решење само за ти хармоник. Решења за непознате функције угиба и ротација за ти хармоник су: ( =, (, + (, + A, cosh ( r, y + A, sinh ( r, y sin ( α ( y =, A, ( r, y +, A, ( r, y + δ, A, cosh ( r, y + δ, A, sinh ( r, y + δ, A5, cosh ( r, y + δ, A6, sinh ( r, y cos( α (, y = γ, A, sinh ( r, y + γ, A, cosh ( r, y + γ, A, sinh ( r, y + γ, A, cosh ( r, y + γ, A5, sinh ( r, y + γ, A6, cosh ( r, y sin ( α wˆ, y A cosh r y A sinh r y ˆ φ, δ cosh δ sinh ˆ φ y (.9

58 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања Заменом једначина (.9 у (.7 добијају се изрази за пресечне силе: ( sin ( α ˆ (, y = y (,, sinh (,,, cosh (,, A, sinh ( r, y, A, cosh ( r, y, A5, sinh ( r, y +, A6, cosh ( r, y y = A r y + A r y + ( sin ( α ˆ (, y = y y y + + (,, sinh (,,, cosh (, y, A, sinh ( r, y y, A, cosh ( r, y y, A5, sinh ( r, y + y, A6, cosh ( r, y y = A r y + A r y + y y y ( = ( ( α ˆ, y y cos y y + + (,, cosh (,,, sinh (, y, A, cosh ( r, y y, A, sinh ( r, y y, A5, cosh ( r, y + y, A6, sinh ( r, y y = A r y + A r y + y y y ( = ( ( α Tˆ, y T y cos + + (,, sinh (,,, cosh (, T, A, sinh ( r, y T, A, cosh ( r, y T, A5, sinh ( r, y + T, A6, cosh ( r, y T y = T A r y + T A r y + ( = ( ( α Tˆ, y T y sin y y + + ( cosh (,, sinh (, Ty A cosh ( r y Ty, A, sinh ( r, y Ty A5 cosh ( r y + Ty, A6, sinh ( r, y T y = T A r y + T A r y + y y y + + (.9 где су изрази за амплитуде пресечних сила дате АА делом (чланови који имају индекс AA * једначине (.59, при чему је α замењено са α. Када су одређени изрази за померање, ротације и пресечне силе, може да се одреди динамичка матрица крутости за aurice Lévyјеву плочу. Вектор померања q ˆ и вектор сила Q ˆ, који садрже амплитуде померања и ротације, односно сила, на контурама плоче y = и y = b, су дати једначинама (.9, док су њихове компоненте приказане на Слици.8.

59 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( W Ty Φ y Φ y ˆ y qˆ = Q = (.9 W b Ty b Φ b y b Φ y b b 6 y 6 Слика.8 Компоненте вектора q ˆ и Q ˆ за aurice Lévyјеву плочу Веза између вектора померања q ˆ, односно вектора сила Q ˆ, и вектора интеграционих константи C, једначина (.9, успостављена је преко матрице D, односно преко матрице F, које су дате у Прилогу. C = A A A A A A (.9 T,,,, 5, 6, 6 Ред матрица D и F, као и матрице крутости K D за aurice Lévyјеву плочу, је Формирање глобалне динамичке матрице крутости, гранични услови, сопствене фреквенције и облици осциловања Глобална динамичка матрица крутости се формира на сличан начин као у МКЕ, са том разликом што су у методи динамичке крутости плоче уместо у чворовима повезане дуж контура. На Слици.9(а је приказан систем који се састоји од две плоче, повезане дуж контуре 7, на чијим контурама могу да буду задати произвољни гранични услови.

60 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања а структура система б компоненте вектора в компоненте вектора плоча qɶ и qɶ qɶ и qɶ Слика.9 Нумерација плоча и контура и компоненте вектора померања за = Основне непознате за сваку плочу су компоненте вектора qɶ, једначина (.6. Вектори померања који одговарају плочама и, за =, су: qɶ qɶ qɶ = qɶ = qɶ qɶ Компоненте вектора следећим изразима: ( ( qɶ qɶ и (.9 qɶ су приказане на Слици.9(б и (в и дате су T 7 S 7 S S S S S 5 S 5 S = W Φ y W Φ W Φ y W Φ 8 qɶ (.95 T 7 S 7 A 7 S 7 A 7 S 7 A W W Φ y Φ y Φ Φ ( ( qɶ = W W Φ Φ Φ Φ 5 S 5 A 5 S 5 A 5 S 5 A y y T S S S S 7 S 7 S 6 S 6 S = W Φ y W Φ W Φ y W Φ 8 (.96 qɶ (.97 T S A S A S A W W Φ y Φ y Φ Φ = W W Φ Φ Φ Φ 6 S 6 A 6 S 6 A 6 S 6 A y y (.98 У једначинама (.9(.98, горњи десни индекс односи се на број плоче, односно горњи леви индекс означава број контуре према Слици.9(а. Свакој плочи одговара динамичка матрица крутости континуалног елемента indlinове плоче K ɶ D. Ранг ових матрице је М+8 и оне су за = шематски приказане на Слици.. Формирање глобалне динамичке матрица крутости система њен ранг је n ( 6 c +, где је ncброј контура. G K ɶ D је приказано је на истој слици и У случају да се систем састоји од плоча које су на две паралелне контуре слободно ослоњене, може да се користи континуални елемент aurice Lévyеве плоче. Решења добијена применом динамичке матрице крутости K D су тачна. Такође, ред ових матрица је знатно нижи него ред матрица

61 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања K ɶ D, па је самим тим и време потребно за прорачун краће. Њихов недостатак је што не могу да се користе за произвољне граничне услове. Слика. Формирање глобалне динамичке матрице крутости система који се састоји од две indlinове плоче ( = 5

62 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања На Слици.(а је приказан систем који се састоји од две aurice Lévyеве плоче, повезане дуж контуре. а структура система плоча б компоненте вектора qɶ и Слика. Нумерација плоча и контура и компоненте вектора померања Основне непознате за сваку плочу су компоненте вектора q ˆ, једначина (.9, које су приказане на Слици.(б и дате следећим изразима: ( qˆ ( qˆ T W Φ Φ y W Φ Φ y = 6 T = W Φ Φ y W Φ Φ y 6 qɶ (.99 Горњи десни индекс се односи на број плоче, односно горњи леви индекс означава број контуре. Свакој плочи одговара динамичка матрица крутости континуалног елемента aurice Lévyеве плоче, која је реда 6. Шематски приказ ових матрица крутости, као и глобалне матрице крутости система приказан је на Слици.. Ред глобалне динамичке матрице крутости за сваки хармоник је паралелних са осом, Слика.(а. n c, где је ncброј контура На Слици. је шематски приказана глобална динамичка матрица крутости система са Слике.(а за три усвојена хармоника =, и. Треба напоменути да глобална динамичка матрица крутости на Слици. садржи тачне сопствене вредности које одговарају само.,. и. хармонику, док глобална динамичка матрица крутости на Слици. садржи све сопствене вредности, али њихова тачност зависи од броја чланова реда у решењу М. 6

63 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања Слика. Формирање глобалне динамичке матрице крутости система који се састоји од две aurice Lévyеве плоче Слика. Глобална динамичка матрица крутости система који се састоји од две aurice Lévyеве плоче за прва три хармоника 7

64 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања Када је формирана глобална динамичка матрица крутости, гранични услови се аплицирају кроз брисање врста и колона које одговарају спреченим померањима. У нумеричким примерима користиће се гранични услови који су дефинисани на следећи начин: слободно ослоњена контура S: у случају да је контура паралелне са осом, w и φ y су спречени, односно ако је паралелне са yосом, w и φ су спречени, укљештена контура С: померање w и обе ротације φ y и φ су спречени, слободна контура F: померање w и обе ротације φ y и φ су различити од нуле. det Kɶ, G Сопствене фреквенције одговарају фреквенцијама за које је ( односно ( K G D = det. Тражење нула детерминанте матрице крутости D = G замењено је тражењем максимума (peakова израза logdet ( D G logdet ( D K ɶ, односно K (Doyle 997, и за ту сврху је написан код у програму atlab. Када су одређене сопствене фреквенције, облици осциловања могу да се одреде на основу добро познате обрнуте (уназад процедуре. Вектор сила Q ɶ је идентички једнак нули па једначина (.87 постаје: K ɶ q ɶ = (. D Динамичка матрица крутости K ɶ D се израчуна за сопствену фреквенцију за коју се одређује облик осциловања и онда, брисањем једне њене врсте и додељивањем произвољне вредности једној компоненти вектора померања qɶ, могу да одреде све остале компоненте у функцији изабране...7 Нумерички примери За верификацију приказаног поступка написан је програм у atlabу, који се заснива на примени изведених динамичких матрица крутости K ɶ D и K D (aurice Lévyјева плоча континуалног елемента indlinове плоче, и служи за одређивање сопствених фреквенција и облика осциловања плоча и система плоча. Решења добијена применом динамичке матрице крутости K D (aurice Lévyјев континуални елемент су тачна и могу да 8

65 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања служе као репер при одређивању брзине конвергенције решeњa добијених применом динамичке матрице крутости K ɶ D, која зависе од број чланова реда решења М. Комбинација граничних услова означена са CF значи да је контура, Слика.6, укљештена, контуре и слободно ослоњене и контура слободна. Код примене aurice Lévyјевог континуалног елемента плоче, Слика.7, комбинација граничних услова означена са SF означава да је контура y = слободно ослоњена, односно да је контура y = b слободна. У свим примерима је ν =. и k = 5 6. Шест комбинација граничних услова, од могуће комбинације слободних, слободно ослоњених и укљештених контура (Liew, Xiang and Kitipornchai, 99, је изабрано да би се верификовао нумерички модел. Код плоче са CCCC комбинацијом граничних услова сва померања и ротације на контурама су једнаки нули, што доводи до брисања свих врста и колона у динамичкој матрици крутости. Из тог разлога, CCCC плоча мора да се моделира са најмање два континуална елемента. Пример. У првом примеру је испитана брзина конвергенције решења код примене континуалног елемента indlinове плоче. За правоугаону плочу, са односом страна a b =. и односом дебљине и распона h b =., одређено је првих осам бездимензионалних сопствених фреквенција ( b ω = ω ρh / D. Резултати за шест изабраних комбинација граничних услова су дати у Табели.. Коришћено је 5 чланова реда решења. У последњој колони приказана је релативна разлика у процентима за решење добијено са = и =5 чланова реда. Види се да ова релативна разлика, за све сопствене фреквенције и граничне услове у Табели., не прелази %. 9

66 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања Табела. Првих осам бездимензионалних сопствених фреквенција ( b ω = ω ρh / D за правоугаону плочу ( a b =. са различитим комбинацијама граничних услова: ν =., k =5/6, h b =.. ГУ тон ДМК = =5 =7 =9 = = =5 % = и =5 CCCC SCSC CF

67 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања ГУ тон ДМК = =5 =7 =9 = = =5 % = и = CFCF CSFF Пример. У оквиру овог примера су резултати добијени применом ДМК за =5 из Табеле. упоређени са доступним резултатима из литературе (Liew, Xiang and Kitipornchai, 99, (Xing and Liu, 9, као и са резултатима комерцијалног програма заснованог на МКЕAbaqusа (Abaqus, 9. Приказ резултата је дат у Табели.. У свом раду, Xing је сопствене фреквенције, за комбинацију слободно ослоњених S и укљештених контура C, одредио применом аналитичког решења у затвореном облику које се заснива на методи раздвајања променљивих, док је Liew користио pb RayleighRitzов метод. Помоћу програма Abaqus одређене су сопствене фреквенције плоче димензија.6 и дебљине.8, при чему су примењене три различите густине мреже коначних елемената: 8, 5, и 8. SR је назив коначног елемента љуске са чвора, који узима у обзир деформацију смицања, коришћеног у анализи. 5

68 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања Из Табеле. може да се закључи да постоји скоро потпуно поклапање између резултата добијених применом ДМК и резултата добијених применом pb RayleighRitzов метод, као и резултата из Abaqusа код примене мреже од 8 елемената. Сопствене фреквенције које је одредио Xing су нешто више. Знак у табели значи да Xing није решио проблем слободних вибрација плоче са слободним контурама F. Такође, што је виша сопствена фреквенција, то је већи број коначних елемената потребан у анализи да би се добили резултати задовољавајуће тачности, па у динамичкој анализи у области високих фреквенција највише долазе до изражаја предности метода динамичке крутости над МКЕ. Прва четири облика осциловања плоча са CF, CFCF и CSFF комбинацијом граничних услова су приказана на Сликама.,.5 и.6. Поред облика осциловања дате су и вредности одговарајућих сопствених фреквенција у (Hz за: b =, E = GPa и ρ =5 kg. Табела. Првих осам бездимензионалних сопствених фреквенција ( b ω = ω ρh / D за правоугаону плочу ( a b =. са различитим комбинацијама граничних услова: ν =., k =5/6, h b =.. ГУ тон ДМК =5 (Liew, 99 (Yufeng Xing, 9 Abaqus ( b = CCCC

69 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања 5 ГУ тон ДМК =5 (Liew, 99 (Yufeng Xing, 9 Abaqus ( b = SCSC CF CFCF CSFF

70 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања тон., f = 6 Hz тон., f = 59 Hz тон., f = 68 Hz тон., f = 89 Hz Слика. Прва четири облика осциловања за CF правоугаону плочу ( a b =. тон., f = 59 Hz тон., f = 55 Hz тон., f = 598 Hz тон., f = 77 Hz Слика.5 Прва четири облика осциловања за CFCF правоугаону плочу ( a b =. 5

71 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања тон., f = 6 Hz тон., f = Hz тон., f = 98 Hz тон., f = 576 Hz Слика.6 Прва четири облика осциловања за CSFF правоугаону плочу ( a b =. Пример. У Табели. је приказано првих бездимензионалних сопствених фреквенција ω добијених применом ДМК по indlinовој, као и Kirchhoffовој CPT (classical plate theory теорији плоча. Изабрана је квадратна плоча (b a = и истих шест комбинација граничних услова као и у Примеру.. Однос дебљине и распона иде од h b =. (танка плоча до h b =. (умерено дебела плоча. У табели је дата и релативна разлика у % између решења за ω заснованог на Kirchhoffовој теорији, које не зависе од односа h b, и indlinовој теорији за h b =.. На основу овог поређења, може да се закључи да ако се за умерено дебеле плоче h b =. користи Kirchhoffова теорија плоча добијају се прецењене сопствене фреквенције. Што је тон виши, то је и релативна разлика између решења већа, па за тотално укљештену плочу она иде и до. % (. тон. Број чланова реда, који је коришћен за добијање приказаних резултата, је такође дат у табели. 55

72 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања Табела. Првих десет бездимензионалних сопствених фреквенција ( b ω = ω ρh / D за квадратну плочу: a b =, ν =., k =5/6. ГУ тон CPT h b % CPT h b = CCCC ( = ( =

73 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања ГУ тон CPT h b % CPT h b = SCSC ( = CF ( =

74 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања ГУ тон CPT h b % CPT h b = CFCF ( = CSFF ( =

75 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања Пример. У Табели. су резултати за бездимензионалне сопствене фреквенције ω из Табеле. за однос h b =. упоређени са резултатима доступним у литератури (Liew, Xiang and Kitipornchai, 99, као и са резултатима добијеним помоћу програма Abaqus. У Abaqusу је плоча димензија моделирана са SR коначних елемената. Из табеле се види скоро апсолутно поклапање између резултата добијених применом ДМК, резултата добијених коришћењем pb RayleighRitzовог метода, као и резултата добијених помоћу МКЕ. Табела. Првих десет бездимензионaлних сопствених фреквенција ( b ω = ω ρh / D за квадратну плочу: a b =, ν =., k =5/6, h b =.. * двоструке сопствене фреквенције тон ГУ ДМК (Liew, 99 Abaqus ГУ ДМК (Liew, 99 Abaqus * CCCC ( = * CF ( = * * * ( = * 9.86* CFCF ( = * * *

76 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања тон ГУ ДМК (Liew, 99 Abaqus ГУ ДМК (Liew, 99 Abaqus SCSC ( = CSFF ( = Пример.5 Да би се одредио утицај Poissonовог коефицијента на сопствене фреквенције, за све плоче из Примера. су одређене сопствене фреквенције када је ν =.5, уместо ν =., и резултати су приказани у Табели.5. У последњој колони су дате, за однос h b =., релативне разлике у % између решења за сопствене фреквенције када је ν =. (Табела. и ν =.5 (Табела.5, које иду до 6.6%. На основу овог примера може да се закључи да када се Poissonов коефицијент смањује сопствене фреквенције расту. 6

77 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања Табела.5 Првих десет бездимензионалних сопствених фреквенција ( b ω = ω ρh / D за квадратну плочу: a b =,ν =.5, k =5/6. ГУ CCCC ( =7 ( =9 тон CPT h b % v =.5 ν = за h b =

78 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања ГУ SCSC ( =9 тон CPT h b % v =.5 ν = за h b = CF ( =

79 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања ГУ CFCF ( =9 тон CPT h b % v =.5 ν = за h b = CSFF ( =

80 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања Пример.6 Кроз овај последњи пример је демонстрирана примена изведених ДМК у анализи плоча са скоковитом променом геометријских карактеристика. Изабрана је плоча са једностепеном променом дебљине, Слика.7, за коју је: E = GPa, ρ =5 kg/, a =, b = b = b =, t =. и t =.8. Првих шест сопствених фреквенција у (Hz, које су одређене за три комбинације граничних услова: SC, SFSC и SFSF, приказано је у Табели.6. Комбинација граничних услова SFSC значи да је контура = a слободно ослоњена, y = b слободна, = слободно ослоњена и y = укљештена. Изабране комбинације граничних услова могу да се реше и применом континуалног елемента за aurice Lévyјеву плочу. На тај начин је омогућено поређење резултата добијених применом ДМК за усвојено М и тачне ДМК за aurice Lévyјеву плочу. Минималан број континуалних елемената система на Слици.7 је два. У Табели.6 су приказана решења за =, 5, 7 и 9 чланова реда код примене ДМК. У последњој колони, вредности сопствених фреквенција за =9 су упоређене са решењима добијеним применом тачне ДМК за aurice Lévyјеву плочу и ове разлике су изражене у процентима. Из табеле се види да релативне разлике за све изабране граничне услове и тонове не прелазе.%. Слика.7 Плоча са скоковитом променом дебљине 6

81 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања Табела.6 Првих шест сопствених фреквенција у (Hz за правоугаону плочу са једностепеном променом дебљине: E = GPa, ν =., ρ =5 kg/, a =, b = b = b =, t =. и t =.8. ГУ тон ДМК = =5 =7 =9 ДМК за. Lévyјеву плочу % =9 и.lévy SC SFSC SFSF Опште решење проблема избочавања Код проблема еластичне стабилности угиб w и обртања φ y и φ су, за разлику од проблема слободних вибрација, функције само просторних координата: (, ˆ (, φ (, φ (, φ (, φ (, w y = w y y = ˆ y y = ˆ y (. y y На основу поступка приказаног код проблема слободних вибрација, систем од три спрегнуте парцијалне диференцијалне једначине (. се увођењем напонске функције Ψ своди нa две раздвојене парцијалне диференцијалне једначине: D ν ψˆ kghψ ˆ = (. 65

82 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ N w ( w w N w w w ξ + ξ + ξ + ξ ξ ξ + + = kgh y y D y (. Када су одређене функција угиба ŵ и напонска функција ψ ˆ, ротације ˆy φ и ˆ φ могу да се одреде из друге, односно из треће једначине (.: ˆ ˆ ˆ kghφ = D wˆ + kghwˆ ξ + ξ + D y DN w w ν kgh y y ˆ DN wˆ wˆ ν ψˆ kghφ D wˆ kghwˆ D = + ξ ξ + + y kgh y ψˆ (... aurice Lévyева плоча Слика.8 aurice Lévyјева плоча оптерећена константним аксијалним оптерећењем Решење проблема еластичне стабилности aurice Lévyеве плоче усваја се у истом облику као и у случају слободних вибрација, једначина (.89. Заменом усвојених решења за угиб ŵ и напонску функцију ˆ ψ у једначину (., односно (., добијају се следеће обичне диференцијалне једначине: где су: ( d ( d W y W y + a, + a, W ( y = (.5 dy dy d Ψ dy ( y, ( y + a Ψ = (.6 66

83 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања a N N N N α + α ( ξ + ξ + ξ α ξ α ξ α = kgh D a = kgh D N N ξ ξ kgh kgh kgh a, = α D ν,, ( (.7 Решења за угиб, ротације и пресечне силе су дата једначинама (.9 и (.9, при чему су изрази за коефицијенте δ i, и γ i, сад једнаки: DN (( ri, α ξα ξ ( ri, ( α kgh + D + kgh δi, = kgh r kgh + D r + r kgh γ i, = kgh i =, δ DN ((, α ξα ξ (, ( ν Dα ( ν ( i, i i Dr, = γ = kgh kgh i,, (.8 Изрази за амплитуде пресечних сила су дате АА делом израза (.59, као и у случају слободних вибрација.... Матрица крутости за избочавање K I Вектор померања q ˆ и вектор интеграционих константи C дати су једначинама (.9 и (.9. Вектор сила Q ˆ за случај избочавања је: ( ( ( ( ( ( 6 Q ˆ T = Ty y y Ty b y b y b (.9 Компоненте вектора сила ( и T ( T y y b, преко којих је узета у обзир компонента аксијалне силе управна на деформисану површ, су једнаке: dw Ty ( = Ty ( ξn dy ( y dw Ty ( b = Ty ( b ξn dy y= ( y y= b (. Матрица D је иста као за случај вибрација, док се матрица F разликује и дата је у Прилогу. Матрица крутости за избочавање K I је, као и ДМК aurice Lévyјеве плоче, реда 6. 67

84 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања Све што је речено у вези формирања глобалне матрице крутости, аплицирања граничних услова, одређивања сопствених вредности и сопствених облика у случају слободних вибрација важи и овде. Једина разлика је у томе што је матрица крутости за избочавање K I функција фактора оптерећења N, а не кружне фреквенције. Пикови дијаграма log det ( K I одговарају траженим критичним факторима оптерећењима при чему је најчешће само најмањи критични фактор оптерећења (критични фактор избочавања онај које је од интереса... Нумерички примери Резултати за критичне факторе избочавања ( λ π = N a D, који су одређени помоћу atlab програма заснованог на матрицама крутости за избочавање K I Мaurice Lévyеве плоче, су упоређени са доступним резултатима из литературе. Испитан је случај једноаксијалног ( ξ = или ξ = и двоаксијалног ( ξ и ξ напрезања у равни. Решења су приказана за плоче константне дебљине, као и за плоче са скоковитом променом дебљине. Пошто је МКИ за Мaurice Lévyеву плочу тачна, сва решења добијена њеном применом се поклапају са тачним аналитичким решењима, што ће се видети кроз примере. cr Слика.9 aurice Lévyјева плоча са CC граничним условима Комбинација граничних услова означена са CS значи да је контура, Слика.8, укљештена, а контура слободно ослоњена. Код плоча са CC граничним условима морају да се користе минимум два континуална 68

85 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања елемента. aurice Lévyева плоча на Слици.9 је моделирана са два континуална елемента и, који су спојени дуж контуре. У свим примерима је коришћено ν =. и k =5/6, осим ако није друкчије наглашено. Критични фактори избочавања су одређени са кораком dλ=. Пример.7 У Примеру.7 су одређени критични фактори избочавања λ применом МКИ за квадратну плочу ( a b = за случај двоаксијалне компресије ( ξ ξ = = за свих шест комбинација граничних услова (Liew, Xiang and Kitipornchai, 99. За однос h a усвојене су вредности од (танка плоча до. (умерено дебела плоча. Ови резултати су упоређени су са аналитичким резултатима од (HosseiniHashei, Khorshidi and Aabili, 8 и (Liew, Xiang and Kitipornchai, 995, као и са високо тачним нумеричким решењем од (Shufrin and Eisenberger, 5. HosseiniHashei је решавао систем једначина (. зависно од комбинације граничних услова, док је Liew користио state space метод помоћу кога је систем једначина (. трансформисао у систем обичних линеарних диференцијалних једначина. Приказ резултата је дат у Табели.7. Због нумеричке нестабилности, критични фактори избочавања за однос h a = не могу да се добију коришћењем једног континуалног елемента, па су за резултате приказане у табели коришћена четири континуална елемента за избочавање aurice Lévyјеве плоче по indlinовој теорији. Пример.8 и Пример.9 У Табели.8 су приказани критични фактори избочавања λ за квадратну плочу ( a b = за случај једноаксијалне компресије у правцу осе ( ξ = и ξ =, док су у Табели.9 приказани критични фактори избочавања за случај константног притиска у равни које делује у правцу yосе ( ξ = и ξ =. У Табели.9 нису приказану резултати за граничне услове зато што су исти као у Табели.8. Резултати применом МКИ су упоређени са резултатима од (HosseiniHashei, Khorshidi and Aabili, 8, (Liew, Xiang and Kitipornchai, 995 и (Shufrin and Eisenberger, 5. 69

86 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања Табела.7 Kритични фактор избочавања ( λ π ( ξ ξ = =: ν =., k =5/6. = N a D за квадратну плочу (a/b= за случај двоаксијалне компресије cr ГУ резултати h/a (HosseiniHashei, b b FF (Shufrin, 5 (Liew, МКИ (HosseiniHashei, b b SF (Liew, МКИ (HosseiniHashei, b b CF (Liew, МКИ (HosseiniHashei, 8 a b b (Shufrin, МКИ SC (HosseiniHashei, 8 b МКИ CC (HosseiniHashei, 8 b МКИ a k=.8 b k=

87 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања Табела.8 Kритични фактор избочавања ( λ π правцу осе ( ξ = и ξ =: ν =., k =5/6. = N a D за квадратну плочу (a/b= за случај једноаксијалне компресије у cr ГУ резултати h/a (HosseiniHashei, b FF (Shufrin, МКИ SF (HosseiniHashei, 8 a МКИ b CF (HosseiniHashei, 8 a МКИ b (HosseiniHashei, 8 a.9978 b (Shufrin, МКИ SC (HosseiniHashei, 8 a МКИ b CC (HosseiniHashei, 8 a МКИ b a k= π / b k=

88 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања Табела.9 Kритични фактор избочавања ( λ π правцу yосе ( ξ = и ξ =: ν =., k =5/6. = N a D за квадратну плочу (a/b= за случај једноаксијалне компресије у cr ГУ резултати h/a (HosseiniHashei, b FF (Shufrin, 5 (Liew, МКИ SF (HosseiniHashei, 8 а (Liew, b МКИ (HosseiniHashei, 8 а.9.77 b CF (Liew, МКИ SC (HosseiniHashei, 8 а МКИ b CC (HosseiniHashei, 8 а МКИ b a k= π / b k=

89 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања Пример. Кроз Пример. је верификована примена изведене МКИ код правоугаоних плоча. За однос дужина страна плоче a b изабране су следеће вредности: a b =.5,,.5, и.5, док је за однос h a усвојена вредност.. Коришћене су три комбинације граничних услова: FF, FS и FC. У Табели. су приказани резултати за критични фактор избочавања λ за плочу која је оптерећена двоаксијалним притиском ( ξ = ξ =, као и за плочу оптерећену једноаксијалним притиском у правцу ( ξ = и ξ =, односно у правцу yосе ( ξ = и ξ =. За одређивање критичног фактора избочавања коришћен је коефицијент смичућих напона k = ради поређења са резултатима из литературе (Hosseini Hashei, Khorshidi and Aabili, 8. Табела. Kритични фактор избочавања ( λ π = N a D за правоугаону плочу за случај двоаксијалне и једноаксијалне компресије: h a =., ν =., k = cr ГУ ξ резултати ξ = ξ = (HosseiniHashei, 8 МКИ a/b FF ξ = ξ = (HosseiniHashei, 8 МКИ ξ = ξ = (HosseiniHashei, 8 МКИ ξ = ξ = (HosseiniHashei, 8 МКИ SF ξ = ξ = (HosseiniHashei, 8 МКИ ξ = ξ = (HosseiniHashei, 8 МКИ ξ = ξ = (HosseiniHashei, 8 МКИ CF ξ = ξ = (HosseiniHashei, 8 МКИ ξ = ξ = (HosseiniHashei, 8 МКИ

90 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања Пример. У Примеру. је вариран однос интензитета аксијалног оптерећења у правцу и yосе. Изабрана је квадратна плоча ( a b = са FF и CF комбинацијом граничних услова, док су за однос дебљине и распона изабране следеће вредности: h a =.5,. и.5. Критични фактори избочавања λ добијени применом МКИ су упоређени са резултатима од (Liew, Xiang and Kitipornchai, 995 и њихов приказ је дат у Табели.. Табела. Kритични фактор избочавања ( λ π = N a D за квадратну плочу (a/b= за различите односе интензитета оптерећења у равни у правцу и yосе ( ξ =: ν =., k =5/6. cr ГУ ξ резултати h/a.5..5 (Liew, 995 МКИ (Liew, 995 МКИ (Liew, 995 МКИ (Liew, 995 МКИ (Liew, 995 МКИ FF.5.6 (Liew, 995 МКИ (Liew, 995 МКИ (Liew, 995 МКИ (Liew, 995 МКИ (Liew, 995 МКИ (Liew, 995 МКИ ξ = (Liew, 995 а ξ = МКИ

91 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања ГУ ξ резултати (Liew, 995 МКИ h/a (Liew, 995 МКИ (Liew, 995 МКИ (Liew, 995 МКИ (Liew, 995 МКИ CF.5.6 (Liew, 995 МКИ (Liew, 995 МКИ (Liew, 995 МКИ (Liew, 995 МКИ (Liew, 995 МКИ (Liew, 995 МКИ ξ = ξ = (Liew, 995 МКИ a k=.8 Пример. Овим последњим примером је демонстрирана примене метода динамичке крутости у анализи еластичне стабилности система плоча. За ту сврху је изабрана квадратна плоча ( a b = са скоковитом променом геометријских карактеристика ( t t =, h a =., b b =., која је приказана на Слици.7. За моделирање ове плоче коришћена су два континуална елемента, што је уједно и минималан број елемената потребан у анализи. У Табели. су приказани резултати за критичне факторе избочавања λ. D је 75

92 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања крутост на савијање плоче чија је дебљина t. Контуре y = и y = b су слободно ослоњене, док су на контурама y = и y = b FS, FC и SC гранични услови. Решења су дата за случај двоаксијалне компресије ( ξ = ξ =, као и за случај једноаксијалне компресије у правцу ( ξ = и ξ =, односно yосе ( ξ = и ξ =. Резултати су упоређени са тачним решењима од (Xiang and Wei,, која су добијени коришћењем state space метода за решавање диференцијалних једначина (. и технике декомпозиције домена (doain decoposition technique за спајање плоча различите дебљине. Табела. Kритични фактор избочавања ( λ π = N a D за квадратну плочу (a/b= са једностепеном променом дебљине за случај двоаксијалне и једноаксијалне компресије: ν =., k =5/6, t / t =, b / b =.. cr ГУ ξ резултати t a.. ξ = ξ = (Xiang, МКИ FS ξ = ξ = (Xiang, МКИ ξ = ξ = (Xiang, МКИ ξ = ξ = (Xiang, МКИ FC ξ = ξ = (Xiang, МКИ ξ = ξ = (Xiang, МКИ ξ = ξ = (Xiang, МКИ SC ξ = ξ = (Xiang, МКИ ξ = ξ = (Xiang, МКИ

93 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања. Опште решење проблема слободних вибрација плоче оптерећене константним силама у равни Угиб w и обртања φ y и φ су функције просторних координата и времена, па се користи спектрална декомпозиција, једначина (.. Систем од три спрегнуте парцијалне диференцијалне једначине (. се увођењем напонске функције Ψ своди не две раздвојене ПДЈ: D ν ρh ω ψˆ kghψ ˆ + ψˆ = (. ρ ρh ρhω ρh ω N wˆ wˆ wˆ + + ω wˆ wˆ ξ ξ kg D + D + + kgh D y N wˆ wˆ wˆ ρh ω N wˆ wˆ ξ + ( ξ + ξ + ξ ξ ξ + = kgh y y kgh D y (. Када су одређене функција угиба ŵ и напонска функција ψ ˆ, ротације ˆy φ и ˆ φ могу да се одреде из друге, односно из треће једначине (.: ρh ˆ DN wˆ wˆ ρω kgh ω φ D wˆ kghwˆ ξ ξ D wˆ y = kgh y kg ν ψˆ + D y ρh ˆ DN wˆ wˆ ρω kgh ω φ D wˆ kghwˆ ξ ξ D wˆ = y kgh y kg ν ψˆ + D (. Ако се вредност ω = замени у (.(., добијају се једначине које важе у анализи еластичне стабилности, док ако се усвоји да је N=, добијају се једначине које се користе у анализи слободних вибрација... aurice Lévyева плоча Решење проблема слободних вибрација за aurice Lévyеву плочу која је оптерећена силама у равни усваја се у облику датом једначином (.89. Заменом усвојеног решења за угиб ŵ и напонску функцију ˆ ψ у једначину (., односно једначину (., добија се обична диференцијална једначина (.5, односно (.6, чији су коефицијенти сада једнаки: 77

94 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања a a a,,, N N ρh ω c α + α ( ξ + ξ + ξ kgh D kg = N ξ kgh = c kgh kg D N ξ kgh N ρh ω N + α ξ α c + ξ ρh ω kgh = α 6D ( ν (. c и c су дати једначином (.. Коначни изрази за угин, ротације и пресечне силе су дати једначинама (.9 и (.9, при чему су изрази за коефицијенте δ i, и γ i, једнаки: DN (( ri, α ξα ξ ( ri, ( ρω α kgh + D + D + kg kgh δi, = ρh ω kgh ρω r kgh + D + D r + r kg kgh γ i, = ρh ω kgh i =, δ DN (( α ξ α ξ ( i ( ν Dα ( ν ( i, i,, 6Dr 6 = γ = kgh ρh ω kgh ρh ω i,,, (.5 Изрази за амплитуде пресечних сила су дате АА делом израза (.59, као и у случају слободних вибрација. Вектор померања q ˆ и вектор интеграционих константи C су дати једначином (.9, односно (.9, редом, док је вектор сила Q ˆ дат једначином (.9. Матрице D и F су исте као за случај одређивања еластичне силе избочавања. 78

95 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања.. Нумерички примери Пример. У првом примеру, Табела., је приказан утицај једноаксијалног оптерећења у правцу yосе ( ξ = и ξ = на вредност првих шест сопствених фреквенција у (Hz. Изабрана је квадратна плоча (a/b= следећих карактеристика: E= GPa, ρ =5 kg/, ν =., k =.86667, a = и h =.. Вредност аксијалног оптерећења се креће од 99% критичног оптерећења, које је одређено у Табели., до % (константна сила затезања интензитета N cr делује у правцу yосе. Из овог примера се види да када аксијално оптерећење тежи критичном оптерећењу, прва сопствена фреквенција тежи нули. Оптерећење у равни које је повезано са нултом фреквенцијом је у ствари критична сила избочавања. Пример. У оквиру овог примера је за квадратну плочу (a/b= са скоковитом променом дебљине, чији су критични фактори избочавања cr ( π λ = N a D дати у Табели., одређен утицај интензитета оптерећења у равни на првих шест сопствених фреквенција. Приказ резултата је дат у Табели.. Сопствене фреквенције су одређене за случај двоаксијалног напрезања у равни ( ξ = ξ =, однос h a =. и за вредност силе у равни од до 99% N cr. Графички приказ резултата из Табела. и. је дат на Слици., односно на Слици.. 79

96 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања Табела. Првих шест сопствених фреквенција у (Hz за квадратну плочу ( a / b = која је оптерећена константним оптерећењем у равни у правцу yосе ( ξ = и ξ =: E = GPa, ρ =5 kg /, ν =., k =.86667, a =, h =.. ГУ тон N N cr % 5% % % 6% 8% 9% 99% (% FF FS FC Слика. Утицај једноаксијалног оптерећења у равни на сопствене фреквенције 8

97 . Континуални елемент indlin ове плоче за анализу вибрација и избочавања Табела. Првих шест сопствених фреквенција у (Hz за квадратну плочу ( a / b = са једностепеном променом дебљине која је оптерећена константним двоаксијалним притиском ( ξ = и ξ =: E = GPa, ρ =5 kg /, ν =., k =5/6, a =, b =., b =.8, t =., t =.8. ГУ тон N N cr (% % % 6% 8% 9% 99% FS FC SC Слика. Утицај двоаксијалног притиска на сопствене фреквенције 8

98 ТЕОРИЈА ТАНКИХ ЉУСКИ. Основни појмови Положај сваке тачке површи је дефинисан радијус вектором r = r ( α, β који је функција два независна параметра α и β. Изводи радијус вектора r у правцу тангенте на α линију ( β = const, односно β линију ( α = const, су вектори: r r r, α = r, β = (. α β чији су интензитети једнаки: r = A r = B, α, β (. Слика. Криволинијске координате Јединични вектори у правцу тангенте на α линију, односно β линију, су: iˆ r, α α = iβ = A ˆ r, β B (. Угао између координатних линија, који је означен са χ, и јединични вектор нормале, који је управан на векторе î α и î β, су дефинисани са: iˆ ˆ ˆ ˆ cos( ˆ α iβ iα iβ = χ in = (. sin ( χ 8

99 . Теорија танких љуски. Loveова прва апроксимација (теорија танких љуски У класичну теорију танких љуски, за случај да су померања мала, Love (Love, 89 је увео следеће претпоставке: дебљина љуске h је мала у поређењу са другим димензијама (нпр. најмањим полупречником кривине средње површи љуске, деформације и померања су довољно мала, тако да величине другог и вишег реда у кинематичким релацијама могу да се занемаре у односу на чланове првог реда, нормални напон σ z је мали у поређењу са друга два нормална напона и може да се занемари, нормала на недеформисану средњу површ остаје права и нормална на средњу површ после деформације и не мења дужину. Све ове четири претпоставке заједно чине оно што је Love назвао прва апроксимација теорије љуски и оне су прихваћене као основа од стране скоро свих истраживача приликом извођења различитих теорија танких љуски. У оквиру овог поглавља биће приказано извођење основних једначина Donnellushtariеве ((Donnell 98, (ushtari 98, и Flüggeове (Flügge 96 теорије танких љуски које ће се користити у анализи вибрација и избочавања у оквиру ове тезе. Donnellushtariева теорија је најједноставнија, док се Flüggeова теорија сматра једном од најтачнијих теорија танких љуски. И једна и друга теорија спадају у најчешће коришћене теорије танких љуски што за последицу има многобројне резултате добијене њиховом применом. На тај начин је омогућена лакша верификација резултата добијених применом динамичких матрица крутости, које ће бити изведене у оквиру тезе. Претпоставка ( дефинише основу теорије танких љуски. Из ње следи да виши степени израза z R и h R могу да се занемаре у поређењу са јединицом. Из претпоставке ( следи да су сви прорачуни везани за почетну (недеформисану конфигурацију, што за последицу има линеарне диференцијалне једначине. Претпоставка ( је позната као Kirchhoffова хипотеза. Из ње, за линеарно еластичан материјал чије је понашање услед оптерећења дефинисано Hookовим законом, следи да су смичући напони τ и τ β z једнаки нули: α z 8

100 . Теорија танких љуски γ γ α z β z ε = z = τ z Hook ов закон α = = τ β z = (.5 У том случају, смичући напони се одређују из услова равнотеже, како је то показно у (Kraus, 967. Још једна несагласност постоји у Loveовој првој апроксимацији теорије љуски, а то је да на основу претпоставки ( и ( треба истовремено и напон σ z и деформација ε z да буду једнаки нули. Кинематичке релације у ортогоналним криволинијским координатама Добро познати изрази за везу између деформација и померања у теорији љуски дати су следећим изразима (Leissa, 97: где су: u v A w εα = + + ( + z Rα A α AB β Rα u B v w ε β = + + ( + z R AB α B β R β β w ε z = z A( + z R u B( z R α + β v γ αβ = + B ( + z R β A( z Rα A( z R β + + α α B ( + z Rβ γ γ α z β z w u = + A( + z Rα A( + z Rα α z A( + z Rα w = + B + z B β ( + z Rβ ( Rβ v z B + z R ( β (.6 u, v и w померања на растојању z од средње површи у правцу тангенте на α, односно β линију, и у правцу нормале у посматраној тачки, R α и R β су полупречници кривине α, односно β линије, z је растојање у правцу нормале произвољне тачке љуске и њене одговарајуће тачке која лежи на средњој површи. Да би се задовољила ( претпоставка, компонентална померања су дефинисана следећим линеарним релацијама: 8

101 . Теорија танких љуски ( α, β, = ( α, β + ψ β ( α, β ( α, β, = ( α, β + ψ α ( α, β ( α, β, = ( α, β u z u z v z v z w z w (.7 где су: u, v и w померања у средњој површи у правцу α, β и нормале, ψ α и ψ β ротације нормале средње површи око осе α, односно око осе β. Када се прве две једначине из (.7 замене у изразе за клизања γ α z и γ β z, једначина (.6, која су на основу ( претпоставке једнака нули, добијају се изрази за обртања у функцији компоненталних померања: v w u w ψ α ( α, β = ψ β ( α, β = R B β R A α β α (.8 Заменом једначина (.7 у изразе за ε α, ε β и γ αβ, једначина (.6, добија се веза између деформација и померања која се користи у Flüggeовој теорији: ε = ε + κ ε = ε + κ ( ( ( ( z z + z R + z R α α α β β β α β z z z γ αβ = γ αβ + z + + καβ ( + z R ( z R Rα Rβ Rα R α + β β (.9 где су ε α, ε β и γ αβ дилатације и клизање у средњој површи који су дати изразима (., док су κ α и κ β промене кривина средње површи, односно κ αβ је промена мешовите кривине средње површи и дефинисани су једначинама (.. ε u v A w u B v w α = + + ε β = + + A α AB β Rα AB α B β Rβ A u B v γ αβ = + B β A A α B ψ β ψ α A ψ β B ψ α κα = + κ β = + A α AB β AB α B β κ αβ A ψ β B ψ α u v B v u A = B β A A α B Rα B β AB α Rβ A α AB β (. (. 85

102 . Теорија танких љуски Једначине (.9, (. и (. дефинишу кинематичке релације у оквиру Flüggeове теорије. Занемаривањем чланова z R α и z R β и њихових производа у (.9, као малих величина у односу на јединицу, добија се веза између деформација и померања која се користи у Donnellushtariевој теорији: ε = ε + zκ ε = ε + zκ γ = γ + zκ (. α α α β β β αβ αβ αβ где су деформације у средњој површи ε α, ε β и γ αβ дефинисане једначином (., док се изрази за промене кривина добијају када се у изразима (. занемаре померања u, v и њихови изводи: w w A w w B κα = κ β = A α A α AB β β B β B β A B α α (. B w A w κ αβ = A α B β B β A α Једначинама (.9, (. и (. су дефинисане кинематичке релације по Donnellushtariевој теорији. Деформација танке љуске је у потпуности одређена деформацијом средње површи и, у обе теорије, укупна деформација у било којој тачки састоји се од два дела: деформације у средњој површи и деформације услед савијања. Деформације у средњој површи су исте за обе теорије и дате су једначинама (., док су изрази за промене кривина κ α, κ β и κ αβ дате једначинама (. у случају Flüggeове теорије, односно једначинама (. у случају Donnellushtariеве теорији. Kraus (Kraus, 967 је показао да је Flüggeова теорија конзистентна, тј. да се заменом израза који представљају померање љуске као крутог тела у кинематичке релације не добијају деформације, док је Kadi (Kadi, 97 показао да Donnellushtariева теорија то није. Пресечне силе На основу Kirchhoffове хипотезе, претпоставка (, померања u и v су ограничена на она померања која су линеарна функција координате z. Као последица тога, у Donnellushtariевој теорији деформације су такође линеарне функције од z, једначина (., док је у Flüggeовој теорији ова 86

103 . Теорија танких љуски веза, једначина (.9, нешто компликованија, али је такође потпуно дефинисана у односу на z координату. Ако је дефинисана веза између напона и деформација, коју у случају линеарно еластичног и хомогеног материјала дефинише Hookов закон: ( + ν ε = σ ν ( σ σ z E + γ = τ E ( + ν ε = σ ν ( σ σ γ τ E + = E ( + ν ε = σ ν ( σ σ γ τ E + = E α α β αβ αβ β β α z α z α z z z α β β z β z (. онда може да се одреди редукциони момент и резултанта унутрашњих сила који делују на јединицу дужине елемента средње површи (Hajdin 989. Из једначине (., на основу Kirchhoffове хипотезе, претпоставка (, следи да је: ( τ = τ = σ = ν σ + σ (.5 α z β z z α β Једначина (.5 садржи две противречности које се јављају у теорији танких љуски (Leissa, 97. На основу Loveове претпоставке ( напон σ z је занемарљиво мали, док на основу другог израза, једначина (.5, он постоји и не може да се занемари. Друга противречност је да су напони τ α z и τ β z једнаки нули, а они постоје јер њихове резултанте (смичуће силе морају да задовоље услове равнотеже. Ипак, смичући напони τ α z и τ β z су обично мали у односу на остале компоненталне напоне σ α, σ β и τ αβ. Ако се усвоји да је σ z =, веза између деформација и напона, једначина (., је дефинисана једначином (.6, у случају да су деформације изражене у функцији напона, односно једначином (.7, ако су напони изражени у функцији деформација. ( + ν εα = ( σα νσ β ε β = ( σ β νσα γ αβ = ταβ (.6 E E E E E E σα = ( εα + νε β σ β = ( ε β + νεα ταβ = γ αβ (.7 ν ν + ν ( 87

104 . Теорија танких љуски На Слици. је приказан диференцијално мали елемент љуске. На елементарну површину која је управна на α осу делују компонентални напони σ α, τ αβ и τ α z компонентални напони σ β, τ βα и τ β z, док на површину која је управна на β осу делују. Дужине α и β линија у средњој површи, односно на растојању z од средње површи, Слика., су једнаке: ds = Adα ds = Bdβ α z z dsα ( z = A + dα dsβ ( z = B + dβ R α R β β (.8 Компоненте редукционог момента и резултанте унутрашњих сила у правцу координатних оса називају се пресечне силе и дефинисане су следећим изразима: Nα h σ α h z α σα z Nαβ = τ αβ + dz = + zdz h R β αβ τ h αβ R β Q α τ α z N β h σ h β z β σ β z Nβα = τ βα + dz = zdz h R + α βα τ h βα R α Q β τ β z (.9 Слика. Конвенција о позитивним напонима 88

105 . Теорија танких љуски Позитивна конвенција за пресечне силе је дата на Слици.. Иако су напони τ αβ и τ βα једнаки, на основу става о коњугованости смичућих напона, из једначине (.9 се види да смичуће силе и моменти торзије нису ( N αβ N,. βα αβ βα Слика. Конвенција о позитивним пресечним силама Ако се у изразима за пресечне силе (.9, напони изразе у функцији деформација, једначина (.7, и занемаре чланови z R α и z R β, добија се: h h N N α E E = + = + z α ν ν z β ( εα νε β dz ( ε β νεα h β h h Nαβ = Nβα E = γ αβ = βα ( + ν z h αβ dz dz (. Изрази за смичуће силе Q α и Q β су изостављени, зато што, као што је већ раније речено, у теорији танких љуски они морају да се одреде из услова равнотеже. Заменом (. у (. добијају се изрази за пресечне силе који се користе у Donnellushtariевој теорији: ( ε νε ( κ νκ ( ε νε ( κ νκ N = D + = K + α α β α α β N = D + = K + β β α β β α D ( ν K ( ν Nαβ = Nβα = γ αβ αβ = βα = καβ где је D = Eh ( ν крутост у равни љуске, а K Eh ( ν (. = крутост љуске на савијање. Да би се добили изрази за пресечне силе у функцији компоненталних померања потребно је да се у једначини (. ε, ε, γ α β αβ изразе помоћу једначине (., а промене кривина κα, κ β и κ αβ помоћу 89

106 . Теорија танких љуски једначине (.. У Donnellushtariевој теорији смичуће силе N αβ и N βα су једнаке, што важи и за моменте торзије αβ и βα. Заменом (.9 и (.7 у (.9 добијају се следећи изрази: h N E α z z α ν h z Rβ R α = + + ( εα + zκα + ν ( ε β + zκ β dz h Nβ E z z = ( ε β zκ β ν ( εα zκα dz β ν h z R α R β h N αβ E z z z z = + αβ ( + ν γ αβ + z + + κ h z R α Rα R β Rα R β h N E z βα z z z = γ αβ z βα ( ν h z Rβ Rα Rβ Rα R β καβ dz + После интеграције једначина (., при чему је израз ( z R αβ dz (. + i, i = α, β, развијен у Taylorов ред у околини z = и задржани су чланови реда до трећег степена (Leissa, 97, добијају се за изрази за пресечне силе који важе у Flüggeовој теорији: N h ε α α = D εα + νε β κα Rα R β Rα N N N ε h β β = D ε β + νεα κβ Rβ Rα Rβ αβ βα ( ν D h καβ γ αβ = γ αβ Rα R β R α ( ν D h καβ γ αβ = γ αβ Rβ R α R β (. = K κ + νκ ε α α β R R α α β = K κ + νκ ε β β α R R β β α 9

107 . Теорија танких љуски αβ βα ( ν K γ = καβ R ( ν αβ K γ = καβ R α αβ Изрази за деформације средње површи β ε α, ε β и γ αβ и промене кривина κα, κ β и κ αβ дефинисани у функцији компоненталних померања једначинама (. и (.. Једначине кретања Једначине кретања, које су изведене на основу D'Alabertовог принципа, представљају услове равнотеже диференцијално малог елемента љуске услед дејства инерцијалних сила и дате су следећим једначинама (Leissa, 97: A B AB ( BNα + ( ANβα + Nαβ Nβ + Qα + ABqα = α β β α R B A AB ( ANβ + ( BNαβ + Nβα Nα + Qβ + ABqβ = β α α β R AB AB Nα Nβ + ( BQα + ( AQβ + ABqn = R R α β α β A B ( Bα + ( A βα + αβ β ABQα + ABβ = α β β α B A ( A β + ( Bαβ + βα α ABQβ + AB β α α β N αβ αβ βα Nβα + = R R α β α β α = (. где су: u v w qα = ρh q h q β = ρ n = ρh t t t (.5 Ротациона инерција може да буде укључена у анализу преко компоненти момената α и β, али овај утицај постаје значајан тек код дебелих љуски ( h R >, Rје најмањи полупречник кривине средње површи љуски код којих мора да се узме у обзир и утицај деформације смицања. 9

108 . Теорија танких љуски Ако се у шесту једначину (. замене изрази (.9, добија се: z z ( ταβ τ βα + + dz = R α R (.6 β h h Једначина (.6 је идентички задовољена ако је ταβ = τ βα. Услови равнотеже (. важе у Flüggeовој теорији. Услови равнотеже у случају Donnellushtariеве теорије, који се добијају када се у прва два услова равнотеже, једначине (., занемаре чланови Q α и Q β, су: A B ( BNα + ( ANαβ + Nαβ Nβ + ABqα = α β β α B A ( ANβ + ( BNαβ + Nαβ Nα + ABqβ = β α α β AB AB Nα Nβ + ( BQα + ( AQβ + ABqn = R R α β A B ( Bα + ( Aαβ + αβ β ABQα + ABβ = α β β α B A ( A β + ( Bαβ + αβ α ABQβ + ABα = β α α β N αβ α β αβ αβ Nαβ + = R R α β (.7 Гранични услови У случају да се контуре поклапају са координатним линијама, услови да је рад контурних сила на померањима контуре једнак нули за α = α контуру, односно β = β контуру, су дефинисани на следећи начин (Leissa, 97: где је: β W = F u + Ω Bdβ = β ( α α α W = F u + Ω Adα = α ( β β α = α β = β (.8 u = uiˆ viˆ wiˆ α + β + n (.9 Ω = ψ iˆ + ψ iˆ α α β β 9

109 . Теорија танких љуски F α и F β су резултанте сила, док су α и β резултанте момената које делују у пресеку α = const, односно β = const, и дате су следећим изразима: Fα = Nαiα + Nαβiβ + Qαi Bd α = αβiα + αiβ Bdβ (. F = N i + N i + Q i Ad = i + i Adα ( ˆ ˆ ˆ ( ˆ ˆ n β ( ˆ ˆ ˆ ( ˆ ˆ n α β βα α β β β β β α βα β Заменом израза (.9, (.и (.8 у једначину (.8 добија се: β v w W = Nαu + Nαβv + Qα w + αβ + αψ β Bdβ = R B β β β α = α α u w W = Nβαu + Nβv + Qβw + βψ α + βα Adα = R A α α α β = β (. Након парцијалне интеграције: β β w αβ αβ dβ = αβ w wdβ β β β β β β α α α w αβ βα dα = βα w wdα α α α α α (. и замене израза (. у једначину (. добија се: β αβ αβ W = Nαu + Nαβ + v + Qα + w + αψ β Bdβ R B β β β α α = = β w = αβ α α β = = β α = α α βα βα W = Nβα + u + Nβv + Qβ + w + βψ α Adα R A α α α β β α w = αβ β α β = β (. Једначине (. су задовољене ако је сваки члан под интегралом, као и други део израза (. једнак нули, па су гранични услови на контурама α = const и β = const дати по: 9

110 . Теорија танких љуски α = const β = const βα Nα или u = Nβα + или u = R αβ Nαβ + или v = Nβ или v = R β αβ βα Qα + или w = Qβ + или w = B β A α или ψ = или ψ = α β β α β w = w = αβ β βα Ако су β и α криве затворене криве, онда су услови w α βα α = идентички задовољени. α α α w β αβ (. = и β. Кружна цилиндрична љуска У оквиру овог поглавља су основне једначине теорије танких љуски по Donnellushtariевој и Flüggeове теорији, које су дате у Поглављу., сведене на једначине које важе у случају кружне цилиндричне љуске. Код кружне цилиндричне љуске криволинијске координате су: α = и β = ϕ, главни полупречници кривина су: R α = и R = β a, A =, B = a, где је a полупречник кружне цилиндричне љуске, Слика.. Слика. Кружна цилиндрична љуска 9

111 . Теорија танких љуски.. Donnellushtariева теорија Везе између деформација и померања су: ε = ε + zκ ε = ε + zκ γ = γ + zκ (.5 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ где су: u v u v ε = εϕ = + w γ ϕ = + a ϕ a ϕ (.6 w w w κ = κ ϕ = κ ϕ = a ϕ a ϕ (.7 Изрази за пресечне силе и једначине кретања су дати једначинама (.8 и (.9: u ν v w ν w N = D + w + = K + a ϕ a ϕ Nϕ = D w + + = K + a ϕ a ϕ v u w w ν ϕ ν ( ν K ( ν D u v w N ϕ = Nϕ = + ϕ = ϕ = a ϕ a ϕ N N ϕ u + ρh = + = a ϕ t a ϕ ϕ ( Q ( Nϕ N ϕ v ϕ ϕ + ρh = + 5 ϕ = a ϕ t a ϕ Nϕ Q Qϕ w + + ρh = a a ϕ t ( Q ( ( (.8 (.9 Из четврте и пете једначине (.9 могу да се одреде трансверзалне силе: Q = + Qϕ = + a ϕ a ϕ ϕ ϕ ϕ (. Када се изрази (. замене у трећу једначину (.9, једначине кретања се своде на: 95

112 . Теорија танких љуски N N ϕ u + ρh = a ϕ t Nϕ N ϕ v + ρh = a ϕ t Nϕ ϕ ϕ w ρh = a a ϕ a ϕ t (. Заменом (.8 у (. добија се систем од три парцијалне диференцијалне једначине са три непознате u, v и w, који дефинише проблем слободних вибрација кружне цилиндричне љуске по Donnellushtariевој теорији: ( ν u ν v D u v u D + w ρh = a ϕ a ϕ a ϕ t ( ν v u D u v v D w + + ν + + ρh = a ϕ a ϕ a ϕ t (. D + a a ϕ a ϕ v u w ν w w + ν + K + w w w w + K ( ν + K ν ρh + = a ϕ a ϕ a ϕ a ϕ t Запис једначине (. у матричном облику, при чему су све једначине (. подељене са D, док је трећа једначина и помножена са минус један да би се добила симетрична матрица, је: ( ν ρh ( + ν ν + ϕ t ϕ a D a a u ( + ν ( ν ρh ϕ ϕ + t v ϕ a a D a = w ν K ρh ϕ + ϕ + ϕ + + t a a D a a a D где су: =, ϕ = ϕ и t = t. (. 96

113 . Теорија танких љуски.. Flüggeова теорија Да би се лакше уочила разлика у кинематичким релацијама, изразима за пресечне силе и у једначинама кретања између Donnellushtariеве и Flüggeове теорија, чланови у боји у оквиру овог поглавља су они који не постоје у Donnellushtariевој, а јављају се у Flüggeовој теорији. Везе између деформација и померања су: ε = ε + κ ε = ε + κ ( z ( ( z + z a ϕ ϕ ϕ z γ ϕ = γ ϕ + z + κ ϕ ( + z a a где су: u v u v ε ε γ a ϕ a ϕ = ϕ = + w ϕ = + w v w v w κ = κ ϕ = κ ϕ = a ϕ ϕ a ϕ Изрази за пресечне силе су: u ν N D w a v ϕ = + + v u N D w a ϕ N N K a ϕ = + + ν + w K w a ϕ + w ( ν ( ν D u v K v w a ϕ a ϕ ϕ = + + ( ν ( ν D u v K u w ϕ ϕ = a ϕ a a ϕ ϕ ϕ w ν w v u = K + a ϕ ϕ a w w ϕ = K w ν a + + ϕ ( ν K w v = a ϕ ( ν K w v u = + a ϕ a ϕ (. (.5 (.6 (.7 97

114 . Теорија танких љуски Једначине кретања су дате следећим изразима: N N ϕ u + ρh = + = a ϕ t a ϕ ϕ ( Q ( Nϕ N ϕ Qϕ v ϕ ϕ + + ρh = + 5 ϕ = a ϕ a t a ϕ Nϕ Q Qϕ w + + ρh = a a ϕ t ( Q ( ( (.8 Трансверзалне силе Q и Q ϕ, изражене из ( и (5 једначине (.8, су једнаке: Q = + Qϕ = + a ϕ a ϕ ϕ ϕ ϕ (.9 На основу већ приказаног поступка, добија се систем од три парцијалне диференцијалне једначине, записан у матричном облику, којим је дефинисан проблем слободних вибрација у случају Flüggeове теорије: ( ν K ρh ( + ν ν K K ( ν + + ϕ t ϕ + ϕ a Da D a a Da Da ( ν K + + u ϕ ( + ν a Da K ( ν ϕ ϕ ϕ v a ρh a D a = w t D ν K K ( ν K ( ν + a D a D a D a ϕ ϕ ϕ a K + ϕ + D ϕ a a ρh K K + + t + ϕ + a D D a D a (.5 98

115 5 КОНТИНУАЛНИ ЕЛЕМЕНТ ЗАТВОРЕНЕ КРУЖНЕ ЦИЛИНДРИЧНЕ ЉУСКЕ ЗА АНАЛИЗУ ВИБРАЦИЈА И ИЗБОЧАВАЊА 5. Опште решење проблема слободних вибрација затворене кружне цилиндричне љуске Поступак за решавање проблема слободних вибрација затворене кружне цилиндричне љуске биће приказан прво за Donnellushtariеву теорију, а онда ће бити наведене само разлике које се јављају у случају Flüggeове теорије. Надаље ће у тексту, ради једноставности, термин кружна цилиндрична љуска означавати затворену кружну цилиндричну љуску. 5.. Donnellushtariева теоријa Решење система диференцијалних једначина (. је претпостављено у облику производа две функције, при чему је једна функција просторних координата, а друга функција времена: (, ϕ, ˆ (, ϕ (, ϕ, ˆ(, ϕ (, ϕ, ˆ (, ϕ iωt iωt iωt u t = u e v t = v e w t = w e (5. Заменом (5. у (. добија се: ( ν ρhω ( + ν ν + ϕ + ϕ a D a a uˆ ( + ν ( ν ρhω ˆ ϕ ϕ + + v ϕ = a a D a wˆ ν K ρhω ϕ + ϕ + ϕ + a a D a a a D (5. За кружну цилиндричну љуску компонентална померања û, ˆv и ŵ морају да задовољавају услов периодичности у тангенцијалном правцу, па је решење система (5. усвојено у облику бесконачног Fourierовог реда: ( ϕ = ( ( ϕ + ( ( ϕ uˆ, U cos U sin = = ( ϕ = ( ( ϕ + ( ( ϕ vˆ, V sin V cos = =.део ( ϕ = ( ( ϕ + ( ( ϕ wˆ, W cos W sin где представља цео број. = =.део (5. 99

116 5. Континуални елемент кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација и избочавања У случају да гранични услови нису константи по обиму, решење проблема слободних вибрација би зависило од свих хармоника у једначини (5.. У оквиру тезе биће приказано решење за случај кад гранични услови не зависе од координате ϕ. Тада су решења за поједине хармонике независна, па уместо решења у облику суме (Fourierов ред може да се посматра само ти хармоник Асиметричне вибрације Избор тригонометријских функција у. делу решења, једначина (5., омогућава трансформацију система једначина (5. у систем три обичне диференцијалне једначине: ( ν ρhω ( + ν ν + a D a a ( U ( + ν ( ν ρhω + V ( = a a D a W ( ν K ρhω + + a a D a a a D (5. Исто важи и за. део решења (5.. У раду је приказан поступак за решење проблема слободних вибрација за. део решења, док се решење за. део одређују на идентичан начин. На крају, сопствене вредности добијене применом и једног и другог дела су исте, што значи да су код кружне цилиндричне љуске све сопствене фреквенције двоструке. Систем једначина (5. може да се запише у матричном облику: где су: ( ( ( c, + c, c, c, U c, c5, c6, c7, V + = c, c7, c8, c9, c, W + + (5.5 c = c = a + ρhω D, 6,, = + ρ ω 7, = ( ν ( ν c a h D c a c = + a c = K D, 8,, = ν 9, = 5, = ( ν, = + ρ ω c a c K Da c c K Da a h D (5.6 Развојем детерминанте, систем једначина (5.5 се своди на једну једначину осмог реда која важи за све три функције:

117 5. Континуални елемент кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација и избочавања 8 6 ( + a + a + a + a Ψ = (5.7,,,, где је Ψ = U ( или V ( или ( W и: a a a a,,,, c + c c + c c c = + c c c,, 5,, 6, 9,, 5, 8, ( ( ( c c c c c + c c c + c c + c c + c c = c c c,, 5,, 5,, 6, 8, 9,,, 5,, 6,, 5, 8, c c c c + c c + c c + c c + c c c + c c = c c c 6,, 9,,,,, 5,, 6,,, 7,, 7, ( + c c c c = c c c,, 6, 7,, 5, 8,, 5, 8, (5.8 Решење једначине (5.7 се усваја у облику карактеристична једначина: r Ψ = e и добија се Помоћу смене r + a r + a r + a r + a = (5.9 четвртог степена: 8 6,,,, µ = r једначина (5.9 се редукује на следећу једначину µ + µ + µ + µ + = (5. a, a, a, a, чији су корени означени са: r, = µ,, r, = µ,, r, = µ,, r, = µ,, r 5, = µ,, r 6, = µ,, r 7, = µ, и r 8, = µ,. Решења за непознате функције су: ri, ri, ri, ( = i, ( = i, ( = i, (5. U A e V B e W C e Само осам интеграционих константи од укупно ( i,, i,, i, A B C, једначина (5., су међусобно независне. Интеграционе константе A i,, B i, су изражене у функцији C i, : A = δ C B = γ C (5. i, i, i, i, i, i,

118 5. Континуални елемент кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација и избочавања δ i, и i, γ су коефицијенти који представљају однос амплитуда аксијалног u и радијалног w, односно тангенцијалног v и радијалног w померања, и дати су следећим изразима: δ γ ( (, 7, i,, i, ( 6, + 5, i, ( ( + 7, 6, 5, i,, 9, i, 8, i, i, =, 7,,, 9, i, 8, i, i, = c, c7, c, c6, c5, ri, i =,...,8 c c + c r c + c r + c r c c r c r c c r c c + c c + c r + c r (5. Коначно, аналитички изрази за померања кружне цилиндричне љуске су: 8 uˆ, = i, Ci, e cos = ri, ( ϕ δ ( ϕ 8 vˆ, = i, Ci, e sin = ri, ( ϕ γ ( ϕ 8 wˆ, = Ci, e cos = ri, ( ϕ ( ϕ (5. Заменом израза (5. у једначину (.8 и (. добијају се изрази за пресечне силе који важе у Donnellushtariевој теорији Ротационосиметричне вибрације = Слободне вибрације које не зависи од координате ϕ се називају ротационосиметричне вибрације и њима одговара решење за = у једначини (5.. За случај ротационосиметричних вибрација, систем једначина (5. се раздваја на два независна система једначина: ρhω ν d + d D a U ( = ν K ρhω W ( d d + a D a D (5.5 где је d ( d ( ν V ρhω + V ( = (5.6 d D = d d. У једначини (5.5 спрегнути су радијално померање w и аксијално померање u, док у једначини (5.6 фигурише само тангенцијално померање v, па се ове вибрације називају још и ротационосиметричне торзионе вибрације.

119 5. Континуални елемент кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација и избочавања Решење проблема ротационосиметричних вибрације за случај спрегнутог померања u и w Систем једначина (5.5 записан у матричном облику је: где су: ( ( cd + c c d U = c W d 5 c d + c c = c = K D = ρ ω 5 = ρ ω c h D c a h D c = ν a (5.7 (5.8 Развојем детерминанте систем једначина (5.7 се своде на једну једначину шестог реда: 6 ( d + a d + a d + a Ψ = (5.9 где је: Ψ = U ( или W (, и чија је карактеристична једначина: r + a r + a r + a = (5. 6 Коефицијенти карактеристичне једначине (5. су дефинисани следећим изразима: a = c c ( a = c + c c c c 5 a = c c c c 5 (5. Коначни изрази за померања су: ( uˆ ( wˆ = = 6 6 δ C e i C e ri i ri i (5. Коефицијенти δ i, који представљају однос амплитуде померања u и w, су једнаки: δ = c r i, i,...,6 c r = i i + c (5. Заменом израза (5. у једначине (.8 и (. добијају се изрази за пресечне силе, при чему је = = Q =. ϕ ϕ ϕ

120 5. Континуални елемент кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација и избочавања Решење проблема торзионих ротационосиметричних вибрација Решење за померање v у случај торзионих ротационосиметричних вибрација је: где је: ( vˆ ri = Bie (5. ( ( ν r = r = ρhω D (5.5 Заменом израза (5. у једначине (.8 и (. добијају се изрази за пресечне силе, при чему су све силе осим N 5.. Flüggeова теорија 5... Асиметричне вибрације ϕ = N једнаке нули. Код Flüggeове теорије заменом усвојеног решења, једначине (5. и (5. (. део, у (.5 добија се: где су: ϕ ( ( ( c, + c, c, c, + c5, U c, c6, c7, c8, c9, V + + = c, c5, c8, c9, c, c, c, W (5.6 c ρhω = c = + a D, 7, ( ν ρ ω ( ν K h K c, = + + c8, = a Da D Da a ( + ν c, = c9, = a a K K c = c =,, Da D ( ν ( ν ν K c c c K 5, =, = a Da D a K K 6, = + c, = + + Da D a a a a ρhω D (5.7

121 5. Континуални елемент кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација и избочавања Поступак за одређивање израза за померања је исти као у случају Donnell ushtariеве теорије. Разлика је једино у изразима за коефицијенте карактеристичне једначине и коефицијенте δ i, и γ i, који су сада једнаки: a a a a δ γ,,,, 6,,, 6,,, 7,, 7,, 8,, = c, c, c6, c, c6,,, c c + c c c + c c c + c c c c c + c c c c c c c c +,, 8,, 5, 6, c, c, c6, c, c6, ( c c c + c c + c c + c c c = c c c c c,, 5,,,, 6,, 7, 5, 6,, 7,,,, 6,, 6, ( ( c c c + c c + c c c c c c + c c + c c c c c, 5, 8,, 9,, 8, 9,, 5, 7,, 8,,, 6,, 6, ( c c + c c + c c + c c + c c c = c c c c c 5, 7,,,, 6,, 7,, 5, 9,,, 6,, 6, c c + c c c + c c c +, 9,, 8, 9,,, 7, c, c, c6, c, c6, c + c c c c, ( c, c7, + c9, c6, ( c, c, c, ( c ( ( 9, + c8, ri, + c7, + c6, ri, c, + c, ri, + c, ri, ri, ( c5, + c, ri, ( c7, + c6, ri, c, ri, ( c9, + c8, ri, c, c, + c5, c9, + ( c, c, + c5, c8, + c, c9, ri, c5, c7, c, c9, + ( c5, c6, + c c c c ri c c ( c, c, + c, c8, ri, c c c c + ( c + ri + =, i, i, = = + i =,...,8., 7,, 8,,, 6, i, c c c c c c c 5, 7,, 9, 5, 6,, 7,, 8,,, 6, i, (5.8 + r (5.9 Заменом израза (5. у једначину (.7 и (.9 добијају се изрази за пресечне силе који важе у Flüggeовој теорији Ротационосиметричне вибрације = Решење проблема ротационосиметричних вибрације за случај спрегнутог померања u и w Запис система диференцијалних једначина којима је дефинисан проблем слободних вибрација у матричном облику је: r 5

122 5. Континуални елемент кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација и избочавања где су: ρhω ν d + d d D a Da U ( = ν K K ρhω K W ( d d d + + a Da D a D Da K ( ( cd + c c d + c d U = c W d c d c d + c c = c = ν a = ρ ω 5 = = 6 = + ρ ω c h D c K D c K D a c K D a a h D (5. (5. (5. Као и за случај, и овде је поступак за одређивање решење за непозната померање исти као у случају Donnellushtariеве теорије. Једина разлика је у изразима за коефицијенте карактеристичне једначине и коефицијенте δ i, који су сада једнаки: ( ( ( ( ( a = c c c c c c c 5 5 a = c + c c c c c 6 5 a = c c c c c 6 5 (5. c r + c r δ =, i =,...,6 i i i cr i + c (5. Заменом израза (5. у једначине (.7 и (.9 добијају се изрази за пресечне силе који важе у Flüggeовој теорији. Решење проблема торзионих ротационосиметричних вибрација Диференцијална једначина којом је дефинисан проблем је: ( ν K d V ( ρhω ( + + V = D a d D (5.5 Решење за померање v је дато једначином (5., при чему су корени карактеристичне једначине дефинисани следећим изразом: ( ν ( r = r = ρhω a Da + K (5.6 Заменом израза (5. у једначину (.7 и (.9 добијају се изрази за пресечне силе који важе у случају Flüggeове теорије. 6

123 5. Континуални елемент кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација и избочавања 5.. Динамичка матрица крутости кружне цилиндричне љуске K D У оквиру овог поглавља биће дефинисани вектор померања и вектор сила, чије су компоненте померања, односно ротације, и пресечне силе на контурама = и = L. Веза између вектора померања и вектора сила биће успостављена преко динамичке матрице крутости K D, за, S A односно преко матрица K D и K D за случај ротационосиметричних вибрација Асиметричне вибрације Вектор померања ˆq Вектор померања ˆq садржи померања и ротације контура љуске = и = L: q ˆ T (, ϕ (, ϕ (, ϕ ψˆ (, ϕ = uˆ vˆ wˆ ϕ uˆ L vˆ L wˆ L L (, ϕ (, ϕ (, ϕ ψˆ ϕ (, ϕ 8 (5.7 Слика 5. Компоненте вектора померања ˆq Компоненте вектора ˆq, које су у правцу осе, тангенте и нормале у свакој тачки контуре, приказане су на Слици 5. и за ти хармоник су једнаке: 7

124 5. Континуални елемент кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација и избочавања (, ϕ = ( ( ˆ cos ϕ (, ϕ = ( cos ( ϕ (, ϕ = ( ( ˆ sin ϕ (, ϕ = ( sin ( ϕ (, ϕ = ( cos ( ˆ ϕ (, ϕ = ( cos( ϕ (, = ( cos ( ˆ ( L, = ( L cos( uˆ U u L U L vˆ V v L V L wˆ W w L W L ψˆ ϕ Ψ ϕ ψ ϕ Ψ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ (5.8 Уводи се нови вектор померања q ˆ, који садржи амплитуде померања и ротација за = и = L: ( q ˆ T U ( V ( W ( Ψ ( = U L V L W L L ϕ ( ( ( Ψϕ ( 8 (5.9 Веза између вектора q ˆ, чије су компоненте дефинисане једначином (5., и вектора интеграционих константи C је успостављена преко матрице D реда 8, на основу следећег израза: U (, 8, δ δ V ( γ, γ 8, W ( Ψ ( r, r8, ϕ r, L r8, L U ( L = δ, e δ8, e r r L 8, L V ( L γ, e γ 8, e r, L r8, L W ( L e e Ψ ϕ ( L r e r e r, L r8, L 8, 8, 88 Једначина (5. записана у скраћеном облику је: C C C C C C C C,,,, 5, 6, 7, 8, 8 (5. qˆ = D C (5. Вектор сила ˆQ Вектора сила ˆQ, чије су компоненте силе и моменти на контурама љуске = и = L (Слика 5., је дефинисан на следећи начин: T ( Q ˆ = Nˆ ˆ ˆ (, (, (, ˆ ϕ N ϕ ϕ Q ϕ (, ϕ Nˆ L N ˆ L Q ˆ L L (, ϕ (, ϕ (, ϕ ˆ (, ϕ ϕ 8 (5. 8

125 5. Континуални елемент кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација и избочавања Слика 5. Компоненте вектора сила ˆQ Компоненте вектора ˆQ, за ти хармоник, су: 8 ˆ ( ˆ ri, N, ϕ = N ( cos( ϕ = Ci, N i, e cos( ϕ ˆ 8 ˆ ˆ N ϕ = N ϕ + = N ϕ = Ci, N i, e a ϕ ˆ 8 ˆ Q ˆ = Q + = Q = Ci, Qi, e a ϕ ( ˆ ϕ ri,, ϕ ( sin ( ϕ sin ( ϕ ( ˆ ϕ ri,, ϕ ( cos( ϕ cos( ϕ 8 ˆ ( ˆ, ϕ = ( cos ( ϕ = C i, i, e ri, cos ( ϕ (5. где су изрази за амплитуде пресечних сила по Donnellushtariевој и Flüggeовој теорији дате једначинама (5., односно једначинама (5.5: ν N = D r δ + + a ( γ i, i, i, i, i, = K ri, ν ( i γ i δi + i ( ν ad ar,,, Kr, N ϕi, = a Qi, = Kri, ( ν r i, a a (5. 9

126 5. Континуални елемент кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација и избочавања N N Q i, ( Dν + γ + ad r δ Kr = a i, i, i, i, ( ν ad δi, + a D γ i, ri, + Kri, ( γ i, + = a K a r ar = a Kri, ( ν γ i, + ( ν + a K ν ( γ i, + + ari, δi, a r i, = a ϕi, ( ν δi, + i, ( δi, i, i, i, (5.5 Уводи се нови вектор померања Q ˆ, који садржи амплитуде компоненти вектора ˆQ, и дефинисан је на следећи начин: T ( Q ˆ ˆ ( ˆ ˆ ( ( ˆ = N N ϕ Q ( Nˆ ˆ ˆ ( ( ( ˆ L N ϕ L Q L ( L 8 (5.6 Веза између вектора Q ˆ и вектора интеграционих константи C, на основу израза (5., је успостављена преко матрице F реда 8 и дата је следећом релацијом: Nˆ ( N N N ˆ ( ϕ N N Q ˆ ( Q Q ˆ ( = ˆ N e N e N ( L ˆ N e N e N ϕ ( L Q, e Q ˆ ϕ ( L e e ˆ ( L, 8, ϕ, ϕ 8, ϕ, 8, 8, 8, r, L r8, L, 8, r, L r8, L ϕ, ϕ 8, r, L r8, L Q8, e r, L r8, L, 8, 88 Запис једначине (5.7 у скраћеном облику је: C C C C C C C C,,,, 5, 6, 7, 8, 8 (5.7 Qˆ = F C (5.8 Коришћењем једначина (5. и (5.8 може да се успостави веза између вектора Q ˆ и вектора q ˆ :

127 5. Континуални елемент кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација и избочавања Qˆ = K q ˆ (5.9 D где је K D динамичка матрица крутости кружне цилиндричне љуске за ти хармоник. Ред матрице K D је Ротационосиметричне вибрације = Случај спрегнутог аксијалног uи радијалног w померања За случај спрегнутог аксијалног u и радијалног w померања вектор померања је означен са q ˆ S и дефинисан је на следећи начин: S T ( ˆ uˆ ( wˆ ( ψˆ ( uˆ ( L wˆ ( L ˆ ϕ ψ ϕ ( L q = (5.5 Веза између вектора q ˆ S, чије су компоненте дефинисане једначинама (5., S и вектора интеграционих константи C, се успоставља преко матрице D реда 6: 6 ( ( ( ( ( ( uˆ δ δ6 C wˆ C ψˆ ϕ r r C = uˆ L δ e e C wˆ L e e C ψˆ ϕ L r e r e C 6 6 r L r6 L δ6 r L r6 L 5 r L r6 L (5.5 Компоненте вектора сила Q ˆ S су: T ( ˆ S = Nˆ ( ˆ ( ˆ ( ˆ ( ˆ ( ˆ Q N L Q L ( L Q (5.5 и могу да се одреде на основу следећих израза: ri ( ˆ ri ( ˆ ri = i i = i i ( = i i (5.5 Nˆ C N e Q C Q e C e Амплитуде пресечних сила по Donnellushtariевој теорији дате једначином (5.5, односно по Flüggeовој теорији једначином (5.55: ν N i = D riδ i + Qi = Kri i = Kri a (5.5 ( δ ( δ ν D + ad ri δi Kr Kr i i i ari Kri i ari N i = Qi = i = (5.55 a a a 6

128 5. Континуални елемент кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација и избочавања Веза између вектора Q ˆ S и вектора интеграционих константи C се S успоставља преко матрице F реда 6: ( ϕ ( ( ( L ( L ( L Nˆ N N 6 C Qˆ Q Q 6 C ˆ C Nˆ Qˆ ˆ 6 = r L r6 L N e N 6 e C r L r6 L Q e Q6 e C 5 ϕ r L r6 L e 6 e C (5.56 S Динамичка матрица крутости K D за ротационо симетричне вибрације за случај спрегнутог аксијалног u и радијалног померања w је дефинисана следећим изразом: ( K = F D (5.57 S S S D S Ред матрице K D је 6. Ротационосиметричне торзионе вибрације Вектор померања за случај торзионих ротационосиметричних вибрација је означен са q ˆ A и садржи тангенцијално померање v контура љуске = и = L: T A ( ˆ vˆ ( vˆ ( L q = (5.58 Веза између вектора q ˆ A, чије су компоненте дефинисане једначином (5., A и вектора интеграционих константи B се успоставља преко матрице D на следећи начин: ( = r L ( e e vˆ B r L vˆ L B (5.59 Компоненте вектора сила Q ˆ A су замењујуће смичуће силе на контурама љуске = и = L: T ( ˆ A = N ˆ ˆ ϕ ( N ϕ ( L Q (5.6 и могу да се одреде на основу следећих израза:

129 5. Континуални елемент кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација и избочавања ˆ ˆ ˆ ri N = N + = B N e (5.6 ϕ ϕ ( ϕ i ϕi a Амплитуда замењујуће смичуће силе по Donnellushtariевој теорији дата једначином (5.6, односно по Flüggeовој теорији једначином (5.6: N ϕ i N ϕi D r = ( ν i ( ν ( + (5.6 ri a D K = (5.6 a Веза између вектора Q ˆ A и вектора интеграционих константи B се A успоставља преко матрице F : N ˆ ( ϕ N ϕ N ϕ B = r ˆ L r L N ( N e N e B L ϕ ϕ ϕ (5.6 A Динамичка матрица крутости K D за торзионе ротационосиметричне вибрације је реда и може да се одреди на основу следећег израза: ( K = F D (5.65 A A A D 5.. Формирање глобалне динамичке матрице крутости, гранични услови, сопствене фреквенције и облици осциловања Динамичка матрица крутости K D, за свако, континуалног елемента облика кружне цилиндричне љуске је реда 8. За случај ротационосиметричних вибрација (спрегнута померања u и w динамичка матрица S крутости елемента K је реда 6, односно за случај торзионих ротационо A симетричних вибрација динамичка матрица крутости K је реда. Глобална динамичка матрица крутости система се формира на сличан начин као у МКЕ, само што се елементи међусобно спајају дуж контура, а не у чворовима. На Слици 5. је приказано, за случај, формирање глобалне динамичке матрице система који се састоји од два континуална елемента кружне цилиндричне љуске.

130 5. Континуални елемент кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација и избочавања Слика 5. Формирање глобалне динамичке матрице крутости матрице K D Када је одређена динамичка матрица крутости система, гранични услови се аплицирају кроз брисање врста и колона које одговарају спреченим померањима (Слика 5.. Слика 5. Аплицирање граничних услова

131 5. Континуални елемент кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација и избочавања У нумеричким примерима ће бити приказана решења само за најчешће коришћене граничне услове, који су дефинисани на следећи начин: слободна контура F: сва три компонентална померања и ротација су различити од нуле, shear diaphrag SD: v = w =, укљештена контура C: u = v = w = ψ ϕ =. За случај кружне цилиндричне љуске са CC граничним условима дошло би до брисања свих врста и колона у матрици K D, па зато за ову комбинацију граничних услова морају да се користе минимум два континуална елемента. Иако теоријски један континуални елемент може да се користи за моделирање кружне цилиндричне љуске константних геометријских и материјалних карактеристика, код веома дугих љуски долази до нумеричке нестабилности па је потребно моделирање помоћу два или више континуалних елемената. det K. Сопствене фреквенције одговарају фреквенцијама за које је ( D = Уместо нула детерминанте матрице крутости, траже се пикови израза logdet ( K D. За ту сврху је написан код у програму atlab. Када су одређене сопствене фреквенције, облици осциловања могу да се одреде на основу добро познатог поступка који је објашњен у Поглављу..6. Облици осциловања љуски немају праве чворне линије (линије на површи дуж којих су сва три померања u, v и w једнака нули, него имају линије дуж којих су два померања једнака нули, а треће је максимално. У случају ротационо симетричних вибрација аксијално u, торзионо v и радијално w померање се раздвајају дајући независне чворне линије Нумерички примери Верификација изведених тачних динамичких матрица крутости по Donnell ushtariевој и Flüggeовој теорији извршена је упоређивањем сопствених фреквенција добијених применом atlab програма у који су ове матрице имплементиране са решењима доступним у литератури. У свим примерима усвојена вредност Poissonовог коефицијента је ν =.. 5

132 5. Континуални елемент кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација и избочавања Пример 5. У Табели 5. су упоређена решења за бездимензионалне сопствене фреквенције ω ωa ρ ( ν = E за љуску са SDSD граничим условима добијена применом ДМК по Donnellushtariевој и Flüggeовој теорији са тачним решењима датим у књизи (Leissa, 97. За SDSD граничнe условe облик решења за функције померања u, v и w, које a priori задовољава граничне услове, је познат и зависи од ( је број полуталаса у тангенцијалном правцу и n (броја полуталаса у правцу осе. У Табели 5. су приказана решења за односе a h = и 5 и =,,, и. Однос L a и n су приказани кроз коефицијент L ( n a зато што љуска са SDSD граничним условима, која је два пута дужа и има два пута већи број n, осцилује истим фреквенцијама као претходна, јер се чворне линије дуплирају. У Табели 5. није одређена најнижа фреквенција за усвојен број полуталаса у тангенцијалном правцу, као ни апсолутно најнижа фреквенција за било које и n. Пример 5. У оквиру овог примера су одређене бездимензионалне сопствене фреквенције ω за кружну цилиндричну љуску са SDF и SDC граничним условима ( L a =, h a =.. У Табели 5. су приказани резултати добијени применом ДМК по Donnellushtariевој теорији, решења од Xingа (Xing,, као и релативна разлика у процентима између ова два тачна решења (разлика не прелази %. У свом раду Xing је за сваку комбинацију граничних услова (SDF и SDC написао фреквентну једначину чијим је решавањем, уз помоћ Newtonове методе, одредио сопствене фреквенције. Xing је, што је и приказано у Табели 5., за усвојено одредио прве четири сопствене фреквенције (ротационо симетричне вибрације није разматрао, али није одредио најнижу (основну сопствену фреквенцију. Зато су у Табели 5. додата решења за првих дванаест сопствених фреквенција која су добијена применом ДМК и за њих је приказано одговарајуће и n. Првих дванаест облика осциловања за SDF граничне услове је приказано на Слици

133 5. Континуални елемент кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација и избочавања Табела 5. Бездимензионалне сопствене фреквенције ω ωa ρ ( ν условима: ν =.. теорија Flügge Donnell ushtari a h 5 5 = E за кружну цилиндричну љуску са SDSD граничним L ( n a..5 (Leissa, 97 ДМК (Leissa, 97 ДМК (Leissa, 97 ДМК (Leissa, 97 ДМК (Leissa, 97 ДМК

134 5. Континуални елемент кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација и избочавања Табела 5. Прве четири бездимензионалне сопствене фреквенције ( = a E кружне цилиндричне љуске за усвојено и првих дванаест ω ω ρ ν бездимензионалних сопствених фреквенција ω за које је приказано одговарајуће и n: L a =, h a =., ν =.. ГУ тон (Xing, ДМК Donnell ushtari % тон ДМК Donnell ushtari (, n SDF (, (, (, (, (, (, (, (, (5, (5, (, (5, SDC (, (, (, (, (, (5, (, (5, (, (5, (, (, је број полуталаса у тангенцијалном правцу n је број полуталаса у правцу осе 8

135 5. Континуални елемент кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација и избочавања тон. ( =, n = тон. ( =, n = тон. ( =, n = тон. ( =, n = тон 5. ( =, n = тон 6. ( =, n = тон 7. ( =, n = тон 8. ( =, n = тон 9. ( =5, n = тон. ( =5, n = тон. ( =, n = тон. ( =5, n = Слика 5.5 Првих дванаест облика осциловања за кружну цилиндричну љуску са SDF граничним условима: L a =, h a =.. 9

136 5. Континуални елемент кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација и избочавања Пример 5. У Табели 5. је приказано првих девет сопствених фреквенција у (Hz за љуску са СС граничним условима: E = GPa, ρ =785 kg, L =, a = и h =.. Приказана су решења из чланка (Zhang X..,, решења добијена применом ДМК по Donnellushtariевој и Flüggeовој теорији, као и решења добијена помоћу програма Abaqus. Zhang је користио LoveTioshenkoву теорију танких љуски ((Love, 888, (Tioshenko, 959 и метод простирања таласа (wave propagation approach. Таласни број у правцу у осе одредио апроксимативно као таласни број одговарајуће греде са сличним граничним условима. За прорачун у програму Abaqus су коришћена два различита типа коначног елемента: STRI (раван коначни елемент са 6 чворова по Kirchhoffовој теорији танких љуски и SR (коначни елемент љуске са чвора који узима у обзир деформацију смицања, чији утицај постаје веома мали како се смањује дебљина и тежи Kirchhoffовој теорији танких љуски. Из Табеле 5. се види да решења по Donnellushtariевој теорији дају нешто више сопствене фреквенције у односу на Flüggeову и LoveTioshenkoву теорију, као и у односу на решења заснована на примени МКЕ. Табела 5. Првих девет сопствених фреквенција у (Hz за кружну цилиндричну љуску са СС граничним условима: E = GPa, ρ =785 kg, ν =., L =, a =, h =.. тон (Zhang X.., ДМКFlügge ДМКDonnell ushtari SR Abaqus STRI

137 5. Континуални елемент кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација и избочавања Пример 5. У Табели 5. су приказане најниже бездимензионалне сопствене фреквенције ω за кружну цилиндричну љуску са FF граничним условима ( L a =, h a =.5 за усвојено =,,,, 5 и 6. Резултати добијени применом ДМК по Donnellushtariевој и Flüggeовој теорији су упоређени са резултатима из чланка (Zhang L., 6, као и са решењима добијеним помоћу програма Abaqus. У Табели 5. је такође приказана и релативна разлика у процентима између решења добијених помоћу програма Abaqus, где је кружна цилиндрична љуска полупречника a = моделирана са 5 STRI коначних елемента, и тачних (аналитичких решења. Zhang је у свом раду за решење проблема слободних вибрација користио GoldenveizerNovozhilovу теорију танких љуски ((Goldenveizear, 96, (Novozhilov, 96. и statespace метод за добијање хомогених диференцијалних једначина. Из Табеле 5. се види добро слагања резултата по GoldenveizerNovozhilovој и Flüggeовој теорији са резултатима добијеним помоћу МКЕ, док резултати по Donnellushtariевој теорији су и до % већи. Donnellushtariева теорија као најједноставнија теорија танких љуски, не рачунајући теорију плитких љуски, зависно од граничних услова, односа L a, h a и може да да резултате који се значајно разликују од резултата добијених применом неких тачнијих теорија танких љуски и о томе треба водити рачуна приликом њене примене. Табела 5. Најнижа бездимензионална сопствена фреквенција ( = a E за усвојено за кружну цилиндричну љуску са FF ω ω ρ ν граничним условима: L a =, h a =.5, ν =.. (Zhang L., 6 Δ% (Zhang L., 6 и Abaqus ДМК Flügge Δ% ДМК Flügge и Abaqus ДМК Donnell ushtari Δ% ДМК Donnell ushtari и Abaqus Abaqus (STRI коначни елемент

138 5. Континуални елемент кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација и избочавања Метода динамичке крутости може да се користи за решавање проблема слободних вибрација љуски са скоковитом променом материјалних и геометријских карактеристика. Кроз следећа два примера је приказана њена примена код одређивања сопствених фреквенција љуски са скоковитом променом дебљине. Пример 5.5 У првом примеру, Табела 5.5, су за усвојено одређене прве четири бездимензионалне сопствене фреквенције ω кружне цилиндричне љуске са једностепеном променом дебљине и CF, CSD и CC граничним условима. Решења добијена применом ДМК по Flüggeовој теорији су упоређена са решењима из чланка (Zhang L., 7. За љуску са CF граничним условима приказана су решења за однос L a = и = и, за љуску са CSD граничним условима је L a = и = и, односно за љуску са CC граничним условима L a =5 и =5 и 6. За све љуске је: h a =., h h =.5 и L L =.5, где су h и L дебљина и дужина првог сегмента љуске редом, hје дебљина другог сегмента и L је укупна дужина љуске. Zhang је користио Flüggeову теорију танких љуски, statespace метод за добијање хомогених диференцијалних једначина за сегмент и метод декомпозиције домена (doain decoposition ethod да би поставио услове равнотеже и компатибилности на споју два сегмента. У Табели 5.5 су, такође, приказане и релативне разлике у процентима између ова два решења, које не прелазе.%. Пример 5.6 У другом примеру, који се бави љускама са скоковитом променом дебљине, за усвојено =,, и су одређене прве четири бездимензионалне сопствене фреквенције ω кружне цилиндричне љуске са SDSD граничним условима и једностепеном, двостепеном и тростепеном променом дебљине. У Табели 5.6 су приказани резултати добијеним применом ДМК за Flüggeову теорију, као и резултати из чланка (Zhang L., 7. Коришћена су два различита односа дужине и полупречника љуске: L a = и 5, L је укупна дужина љуске, док је за однос h a изабрана вредност.. Све љуске из овог примера имају сегменте

139 5. Континуални елемент кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација и избочавања једнаке дужине, што нпр. за љуску са тростепеном променом дебљине значи да је L = L = L = L = L, где су L, L, L и L дужине првог, другог, трећег и четвртог сегмента редом. За љуску са једностепеном променом дебљине је h h =.5, у случају двостепене променом дебљине h h = и h h =, док је за љуску са тростепеном променом дебљине h h =, h h = и h h =. Релативна разлика у процентима између ова два решења, која не прелази.%, је такође приказана у табели. За одређивање ω применом динамичких матрица крутости је коришћен корак df =. Hz. Табела 5.5 Прве четири бездимензионалне сопствене фреквенције ( ω ω ρ ν = a E за усвојено за кружну цилиндричну љуску са једностепеном променом дебљине: h a =., h h =.5, L L =/, ν =.. тон (Zhang L., 7 ДМК Flügge Δ% (Zhang L., 7 и ДМК Flügge (Zhang L., 6 ДМК Flügge Δ% (Zhang L., 7 и ДМК Flügge = = CF L a = = = CSD L a = =5 =5 CC L a =

140 5. Континуални елемент кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација и избочавања Табела 5.6 Прве четири бездимензионалне сопствене фреквенције ω ωa ρ ( ν љуске са SDSD граничним условима и скоковитом променом дебљине: h a =., ν =.. = E за усвојено за кружне цилиндричне L a тон (Zhang L., 7 = = = = ДМК Flügge Δ% (Zhang L., 7 ДМК Flügge Δ% (Zhang L., 7 ДМК Flügge Δ% (Zhang L., 7 ДМК Flügge Δ% једностепена промена дебљине L = L = L h h =.5 L a = L a = двостепена промена дебљине L a = L = L = L = h h = h h = L L a =

141 5. Континуални елемент кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација и избочавања L a тон (Zhang L., 7 = = = = ДМК Flügge Δ% (Zhang L., 7 ДМК Flügge Δ% (Zhang L., 7 ДМК Flügge Δ% (Zhang L., 7 ДМК Flügge Δ% тростепена промена дебљине L = L = L = L = h h = h h = h h = L L a = L a =

142 5. Континуални елемент кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација и избочавања Пример 5.7 У последњем примеру, Табела 5.7, су одређене најниже бездимензионалне сопствене фреквенције ω за љуске са SDSD, CC и FF граничним условима које имају два, односно три, прстенаста међуослонца. Међуослонци се налазе на једнаким међусобним растојањима. На месту прстенастог међуослонца спречено је радијално померање, тј. w =. За однос L a је усвојена вредност 5 и, док је h a =.5 и 5. Резултати добијени применом ДМК по Flüggeовој теорији су упоређени са резултатима из чланка (Xiang Y.,. Xiang је користио GoldenveizerNovozhilovу теорију танких љуски, statespace метод за добијање хомогених диференцијалних једначина за појединачне сегменте и метод декомпозиције домена да би поставио услове равнотеже и компатибилности на споју два сегмента. У Табели 5.7 је дата и релативна разлика између ова два решења, која је.8%, као и које одговара основној сопственој фреквенцији. Табела 5.7 Најниже бездимензионалне сопствене фреквенције ( ω ω ρ ν = a E за кружну цилиндричну љуску са прстенастим међуослонцима (w= на једнаким међусобним растојањима: ν =.. ГУ L a h a (Xiang Y., два међуослонца ДМК Flügge Δ% (Xiang Y., три међуослонца ДМК Flügge Δ% SDSD CC FF ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 6

143 5. Континуални елемент кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација и избочавања 5. Опште решење проблема избочавања затворене кружне цилиндричне љуски услед константне аксијалне силе притиска Систем диференцијалних једначина којима је дефинисан проблем еластичне стабилности кружне цилиндричне љуске по Flüggeовој теорији услед константног аксијалног притиска, Слика 5.6, је (Leissa, 97: N ( ν ( ( K + ν ν K K ν + + ϕ ϕ + ϕ D a Da a a Da Da u ( + ν N ( ν ( K K ν ϕ ϕ + + ϕ ϕ v a a D Da a Da = w K + ϕ + ϕ ν K K ( ν K ( ν D a a + ϕ ϕ ϕ a Da Da a Da K K N + + ϕ + + a Da Da D (5.66 Слика 5.6 Кружна цилиндрична љуска оптерећена константном силом У једначини (5.66, за разлику од једначине (.5 којом је дефинисан проблем слободних вибрација кружне цилиндричне љуске по Flüggeовој теорији, нема чланова који потичу од инерцијалних сила, али су додати чланови који потичу од константне аксијалне силе притиска N N. Такође, у 7

144 5. Континуални елемент кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација и избочавања анализи еластичне стабилности непозната компонентална померања и w су функције само просториних координата. Запис једначина (5.66 у матричном облику, који је исти као за случај слободних вибрација, је дат једначином (5.6, али се сад изрази за коефицијенте, једначина (5.7, разликују у следећем: коефицијенти c,, c 7, и c, су без члана ρhω D који потиче од инерцијалних сила, o коефицијенти c, и c 6, имају додатни члан N D o коефицијент c, члан + N D, сви остали коефицијенти си исти као у једначини (5.7. u, v, односно Све остало што се тиче поступка решавања система једначина (5.66, карактеристичне једначине и њених коефицијената, коефицијената δ i, и γ i,, израза за померања и пресечне силе је исто као у случају слободних вибрација. 5.. Матрица крутости за избочавање затворене кружне цилиндричне љуске K I Вектор померања q ˆ Вектор померања q ˆ и матрица D су исти као за случај слободних вибрација и дати су једначинама (5.9 и (5.. Вектор сила Q ˆ Вектора сила Q ˆ се разликују од вектора сила за случај вибрација, који је дат једначином (5., у следећем: уместо чланова Q (, ϕ и Q (, ˆ чланови Q (, ϕ и Q (, израза: ˆ ˆ ˆ L ϕ су L ϕ, који могу да се одреде на основу следећег ˆ ˆ ˆ (, ˆ ϕ w Q ϕ = Q + N = a ϕ 8 ˆ = Q = Ci, Qi, e = = ri, ( cos ( ϕ cos( ϕ (5.67 8

145 5. Континуални елемент кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација и избочавања На овај начин је узета у обзир компонента константне аксијалне силе притиска N на правац нормале на средњу површ у благо деформисаном положају. Усвојена је претпоставка да сила правац. Израз за амплитуду пресечне силе Q (, Q ( ν δi, + + i, ( δi, i, K a r ar = a Kri, ( ν γ i, + ( ν + N r a i, N током деформације не мења ˆ i, ϕ је:, i =,...,8. (5.68 Разлика између амплитуда пресечних сила Q i, и Q i, је у члану N r. i, Као последица, и вектор Q ˆ и матрица F се такође разликују од вектора Q ˆ и матрице F за случај слободних вибрација, једначине (5.6 и (5.7. Уместо компоненти ( и Q ( ˆ Q ( ˆ Q ˆ L у вектору ˆ ˆ и Q су чланови ( L, док у матрици F уместо чланова Q i, су Q i,, i =,...,8. Матрица крутости за избочавање за ти хармоник K I,, је као и у случају слободних вибрација реда Нумерички примери Применом матрица крутости за избочавање K I по Flüggeовој теорији одређени су критични фактори избочавања λ N a ( ν ( Eh Q = за кружну цилиндричну љуску са и без прстенастих међуослонаца. Резултати су упоређена са резултатима из чланка (Xiang Y., 5. Xiang је за решење проблема еластичне стабилности по Flüggeовој теорији користио statespace метод, док је за спајање сегмената на месту међуослонаца користио метод декомпозиције домена. У примерима су коришћена два типа међуослонаца: Тип : w =, Тип : u =, v = и w =. За одређивање критичног фактора избочавања λ је усвојен корак dλ =. У табелама је приказана и релативна разлика у % између ова два решења, као и које одговара критичном фактору избочавања λ. У свим примерима је коришћена вредност Poissonовог коефицијента ν =.. 9

146 5. Континуални елемент кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација и избочавања Пример 5.8 У првом примеру, Табела 5.8, је одређен критични фактор избочавања λ за кружну цилиндричну љуску са SDSD граничним условима. Однос h a је и 5, док су за однос L a усвојене вредности, 5 и. Слагање између приказаних резултата је потпуно. Табела 5.8 Критични фактор избочавања λ N a ( ν ( Eh цилиндричну љуску са SD SD граничним условима: ν =.. = за кружну h/a L/a (Xiang Y., 5 МКИFlügge % (7 / ( ( ( / ( ( Пример 5.9 У другом примеру, Табела 5.9, су приказани резултати за критични фактор избочавања λ за кружну цилиндричну љуску без међуослонаца, као и са једним прстенастим међуослонцем Тип. Изабрана је CF комбинација граничних услова и следеће геометријске карактеристике: h a =/ и L a = и. Међуослонац се налази на. L од слободног краја. Решења приказана у табели се апсолутно поклапају. Табела 5.9 Критични фактор избочавања λ N a ( ν ( Eh = за кружну цилиндричну љуску са CF граничним условима: h a =/, ν =.. случај L/a (Xiang Y., 5 МКИ Flügge % без међуослонца са једним међуослонцем Тип u = v = w = ( ( ( ( (7

147 5. Континуални елемент кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација и избочавања Пример 5. У трећем примеру, Табела 5., су приказани резултати за критични фактор избочавања λ за кружну цилиндричну љуску са једним међуослонцем Тип, односно Тип. Изабране су CC и SDSD комбинације граничних услова, као и следеће геометријске карактеристике: h a =/ и /5, L a = и 5. Положај међуослонаца је на. L,. L и.5 L, где је L укупна дужина кружне цилиндричне љуске. Релативна разлика у резултатима је %. Пример 5. У последњем примеру, Табела 5., је за кружну цилиндричну љуску ( L a =5, h a =/ са CF, CC и SDSD комбинацијом граничних услова и два, три, четири, пет и шест међуослонаца одређен критични фактор избочавања λ. Резултати су приказани и за ослонац Тип, као и за ослонац Тип. Ослонци се налазе на истом међусобном растојању. Из Табеле 5. може да се закључи да повећање броја прстенастих међуослонаца на подједнаким растојањима не доводи обавезно и до повећања отпорности љуске на избочавање. Исто тако, ослонац Тип доводи до нешто већег повећања отпорности на избочавање љуске у односу на ослонац Тип.

148 5. Континуални елемент кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација и избочавања Табела 5. Критични фактор избочавања λ N a ( ν ( Eh међуослонцем: ν =.. = за кружну цилиндричну љуску са једним прстенастим положај прстенастог међуослонца ГУ тип међуослонца h a L a (Xiang Y., 5.L.L.5L МКИ Flügge Δ% (Xiang Y., 5 МКИ Flügge Δ% (Xiang Y., 5 МКИ Flügge Δ% SDSD Тип ( w = Тип ( u = v = w = / /5 / / (7 (6 ( ( (9 (7 ( ( (9 (6 (7 ( (9 (7 ( ( (9 (5 (5 (7 (8 (8 ( (9 CC Тип ( w = Тип ( u = v = w = / /5 / / (9 (8 ( (8 (9 (9 ( ( (9 (8 ( (8 (8 (8 ( ( (9 (8 ( (8 (8 (9 (9 (

149 5. Континуални елемент кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација и избочавања Табела 5. Критични фактор избочавања λ N a ( ν ( Eh = за кружну цилиндричну љуску са прстенастим ослонцима на једнаким међусобним растојањима: L a =5, h a =/, ν =.. Тип међуослонца Број ослонца ГУ (Xiang Y., 5 Тип ( w = Тип ( u = v = w = МКИ Flügge Δ% (Xiang Y., 5 МКИ Flügge Δ% SDSD CC CF (6 (9 ( (9 (9 (6 SDSD CC CF (6 (8 ( (9 (9 (7 SDSD CC CF (7 (9 ( (8 (9 (7 5 SDSD CC CF (7 (9 ( (9 (9 (7 6 SDSD CC CF (8 (8 ( (8 (8 (7

150 6 КОНТИНУАЛНИ ЕЛЕМЕНТ СЕГМЕНТА КРУЖНЕ ЦИЛИНДРИЧНЕ ЉУСКЕ ЗА АНАЛИЗУ ВИБРАЦИЈА Сегменти кружне цилиндричне љуске често се јављају у инжењерској пракси као делови различитих типова конструкција (кровне конструкције великог распона у грађевинарству, делови конструкција авиона и бродова у аероинжењерству и бродоградњи и сл.. Током животног века, односно током њихове примене, ове конструкције су изложене сложеним условима окружења који подразумевају најразличитије граничне услове и оптерећења, као што су нпр. силовити динамички утицаји који могу да доведу до колапса конструкције. Стога, потпуно познавање динамичких карактеристика ових конструктивних елемената је од велике важности да би се обезбедило сигурно, успешно и економски исплативо пројектовање. У оквиру овог поглавља биће изведена динамичка матрица крутости сегмента кружне цилиндричне љуске, која ће бити примењена у анализи слободних вибрација система састављених од једног или више сегмената са произвољним граничним условима. 6. Опште решење проблема слободних вибрација Слика 6. Сегмент кружне цилиндричне љуске Системи парцијалних диференцијалних једначина, којима је дефинисан проблем слободних вибрација сегмента кружне цилиндричне љуске у случају Donnellushtariеве и Flüggeове теорије, дати су у Поглављу (једначине (. и (.5. Произвољна деформација сегмента кружне

151 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација цилиндричне љуске приказаног на Слици 6. је, на основу метода суперпозиције, представљена као збир четири деформације: симетричне и око осе и око φосе, симетричне око осе, а антисиметричне око φосе, антисиметричне око осе, а симетричне око φосе AS, антисиметричне и око и око φосе AA. Изрази за компонентална померања û, ˆv и ŵ се усвајају у следећем облику: AS AA wˆ (, ϕ = wˆ (, ϕ + wˆ (, ϕ + wˆ (, ϕ + wˆ (, ϕ AS AA uˆ (, ϕ = uˆ (, ϕ + uˆ (, ϕ + uˆ (, ϕ + uˆ (, ϕ AS AA vˆ (, ϕ = vˆ (, ϕ + vˆ (, ϕ + vˆ (, ϕ + vˆ (, ϕ (6. На овај начин је омогућена анализа само четвртине сегмента кружне цилиндричне љуске и самим тим је смањен ред динамичких матрица крутости које одговарају сваком појединачном случају симетрије. У оквиру тезе су дата решења за, и AA случај симетрије. Решење за AS допринос може да се добије из решења за део када координате и ϕ, као и померања û и ˆv, замене места. 6.. Двострука симетрија Слика 6. деформација сегмента кружне цилиндричне љуске Компонентална померања за случај двоструко симетричне деформације, приказане на Слици 6., су: 5

152 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација = = ( ϕ = ( ( α ϕ + ( ϕ ( β uˆ, U cos U sin = = ( ϕ = ( ( α ϕ + ( ϕ ( β vˆ, V sin V cos = = ( ϕ = ( ( α ϕ + ( ϕ ( β wˆ, W cos W cos (6. где је α = π / θ и β = π / l. На основу скицираног деформисаног облика, Слика 6., може да се закључи да W (, W ( ϕ, V ( U ( ϕ треба да буду парне, односно U ( и V ( и ϕ непарне функције. Избор тригонометријских функција у једначини (6. омогућава трансформацију система три парцијалне диференцијалне једначине, којима је дефинисан проблем слободних вибрација, у систем три обичне диференцијалне једначине. Donnellushtariева теорија Заменом дела једначине (6. у једначину (5. добија се: ( ( ( c, + c, c, c, U c, c5, c6, c7, V + = c, c7, c8, c9, c, W + + где су: c = c = α a + ρhω D, 6, c, = ( ν α a + ρhω D c7, = α a c, = ( + ν α a c8, = K D c, = ν a c9, = Kα Da c5, = ( ν c, = Kα Da + a ρhω D (6. (6. Детерминантна једначина система (6. је: 8 6 ( + a + a + a + a Ψ = (6.5,,,, где је Ψ = U ( или V ( или W ( карактеристичне једначине су:. Изрази за коефицијенте 6

153 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација ( c, + c, c5, + c, c 6, c9, a, = + c, c5, c8, ( ( (, 6, 8,, 5, 9,,, 5,, 6, c c c c c c + c c + c c + c c, a, = + c8, c, c5, a (( ( c, c, + c, c5, c, c6, + c, c, c7, + c, c6, c9,, = c, c5, c8, + ( c c + c, 6, 7, c 5, 8, ( + (,, 6, 7, a, = c, c5, c8, c c c c c (6.6 Корени карактеристичне једначине диференцијалне једначине (6.5 су означени са r i,, i =,,,. Решења за непознате функције су: ( =, sinh (, U A r i i ( =, cosh (, V B r i i ( =, cosh (, W C r i i Код функције U ( функција V ( и W ( (6.7 је задржан непарни део решења, односно код парни део решења. Само четири, од укупно дванаест интеграционих константи ( A, B, C, су међусобно независне. Константе A и B су изражене у функцији константи C на следећи начин: i, i, i, i, i, i, A = δ C B = γ C (6.8 i, i, i, i, i, i, где су: δ i, r i, c, c7, + c, ( c6, + c5, ( ri, (, (, +, +, (, 6, + 5 = (6.9 ( (, (, c ri c c ri c c ri 7

154 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација γ = i, c, c7, + ( c, c, + c, c7, ( ri, ( ( i + + ( i + ( ( ( i c, r, c, c, r, c6, c5, r, i =,,,. Решење (6.7 важи за случај када је. Када је =, систем једначина (5. се трансформише у: где су: ( ( c, d + c, c,d U = c,d c,d + c5, W (6. c = c = K D,, c, = ρhω D c5, = a ρhω D c, = ν a (6. Детерминантна једначина система (6. је: 6 ( d + a d + a d + a Ψ = (6.,,, где је Ψ = U ( или W ( једначине су:. Изрази за коефицијенте карактеристичне a = c c,,, ( ( a = c + c c c c,,, 5,,, a = c c c c,, 5,,, (6. Корени карактеристичне једначине, која одговара диференцијалној једначини (6., су означени са функције за случај = је: r, i =,,. Решење за непознате i, ( = δi i sinh ( i U C r,,, ( = i cosh ( i W C r,, (6. Коефицијент δ i, представља однос амплитуде померања у правцу осе и радијалног померања и дефинисан је следећим изразом: 8

155 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација S ( ( i δ = c r c + c r S i,, i,,,, i =,,. (6.5 Да би се добило укупно решење за допринос, део решења (6. мора да се узме у обзир. Поступак за одређивање непознатих компоненталних померања за део је исти као и за део, па ће бити само укратко приказан. Заменом дела једначине (6. у једначину (5. добија се: ( ϕ ( ϕ ( ϕ c, ϕ + c, c, c, U ϕ c, c5, c6, c5, V ϕ ϕ + ϕ = c, c5, ϕ c7, ϕ c8, ϕ c 9, W + + где су: ( ( c = ν a c = β ν + ρhω D, 6, c, = β + ρhω D c7, = K Da c, = β ( + ν a c8, = βk a D c, = νβ a c9, = Kβ D + a ρhω D c5, = a (6.6 (6.7 Детерминантна једначина система (6.6 је: 8 6 ( a a a a = (6.8 ϕ, ϕ, ϕ, ϕ, Ψ где је: Ψ = ( ϕ или V ( ϕ или W ( U једначине (6.8 једнаки: ϕ, док су коефицијенти ( c + c c + c c c,, 5,, 6, 8, a, = + c, c5, c7, a a ( c, c6, c7, + c, c8, + c, c 5, c8,, = c, c5, c7, + ( c c c + c c + c c c c, 6, 8, 5, 5, 9,, 5, 7, ( ( c, c, c5, + c, c5, c, c5,, = c, c5, c7, + (( c c c + c c + c c + c c, 6, 8, 9,,, 5,, 6, c c c, 5, 7, (6.9 9

156 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација a (( + c c c c 6,,, 9,, = c, c5, c7, Коефицијенти, који представљају однос амплитуда померања, за део су: Са i, δ γ i, i, = c, c6, + ( c, c, c5, ( ri, ( + + ( + = i =,,,. ( c, ri, ( ( ( + ( + ( i + ( c, + c, ( ri, ( c6, + c5, ( ri, c, ri, c, c, ri, c6, c5, ri, r c c c c c r i,,, 5,,,, (6. r, i =,,,, су означени корени карактеристичне једначине која одговара диференцијалној једначини (6.8. Када је =, систем једначина (5. постаје: где је d ϕ ( ϕ ( ϕ c, dϕ + c, c, d V ϕ = c, dϕ c,dϕ + c, W = d dϕ и: c = a c = K D a,, c, = ρhω D c, = a ρhω D (6. (6. Детерминантна једначина система и њени коефицијенти су: 6 ( d a d a d a = (6. ϕ, ϕ, ϕ, Ψ a = c c,,, ( ( a = c + c c,,,, a = c c c c,,,,, (6. Изрази за непознате функције и коефицијент γ i, су: ( ϕ = γ i i sinh ( i ϕ ( ϕ = i cosh ( i ϕ V C r W C r,,,,, S ( ( i γ = c r c + c r S i,, i,,,, i =,,. (6.5 (6.6

157 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација Са r, i =,,, су означени корени карактеристичне једначине која i, одговара диференцијалној једначини (6.. Коначно, укупно решење за део је: ( ϕ δ ( i, i, i, uˆ, = C sinh r + ( δi, Ci, sinh ri, cos ( αϕ + C ( r sin ( = δi, i, cosh i, ϕ β ( ϕ γ i, i, ( i, ϕ vˆ, = C sinh r + γ i, Ci, cosh ( ri, sin ( αϕ + C ( r cos ( = γ i, i, sinh i, ϕ β ( ϕ ( ( i, i, i, i, ϕ wˆ, = C cosh r + C cosh r + = ( cos( α ϕ C i, cosh ri, Ci, cosh ri, + β ( ϕ cos( (6.7 Заменом израза (6.7 у једначине (.8 и (. добијају се изрази за пресечне силе за допринос: ( ϕ ( ( ϕ Nˆ, = N cosh r C + N cosh r C + i, i, i, i, i, i, ( N i, cosh ri, Ci, cos ( αϕ + N ( r ϕ C cos( β = i, cosh i, i, ( ϕ ( ( ϕ Nˆ, = N cosh r C + N cosh r C + ϕ ϕi, i, i, ϕi, i, i, ( Nϕi, cosh ri, Ci, cos( αϕ N ( r ϕ C cos ( β = ϕi, cosh i, i, (6.8

158 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација где су: ( ϕ ˆ N, ϕ (, sinh,, sin ( N ϕi ri Ci αϕ = = N ϕi, sinh ( ri, ϕ Ci, sin ( β i, i, i ( ϕ ( Qˆ, = Q sinh r C + ( Qi, sinh ri, Ci, cos ( αϕ Q ( r ϕ C sin ( β = i, cosh i, i, ( ϕ ϕ ( ϕ Qˆ, = Q sinh r C + ϕ i, i, i, ( Qϕ i, cosh ri, Ci, sin ( αϕ Q ( r ϕ C cos( β = ϕi, sinh i, i, ( ϕ ( ( ϕ ˆ, = cosh r C + cosh r C + i, i, i, i, i, i, ( i, cosh ri, Ci, cos ( αϕ ( r ϕ C cos( β = i, cosh i, i, ( ϕ ( ( ϕ ˆ, = cosh r C + cosh r C + ϕ ϕi, i, i, ϕi, i, i, (, cosh,, cos( ϕi ri Ci αϕ = ϕi, cosh ( ri, ϕ Ci, cos( β (, sinh,, sin ( ϕi ri Ci αϕ ˆ ϕ (, ϕ = = ϕi, sinh ( ri, ϕ Ci, sin ( β

159 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација N ν ν = D r δ + N = D a a + r N N ν = D r δ + ( + α γ a ν = D ( + r γ + β δ a N D = D ν r δ + N = + ri a a,,, ( Nϕi = D ν ri δi + + α γ i, a,, ( Nϕi = D νβ δi + + ri, γ i, a D ( ν, ( N ϕi = α δi, a γ i, ri, a D ( ν, ( N ϕi = aβ γ i, δi, ri, a ( γ i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, ϕi, i, i, ϕi, Q i, = K ( ri, (, γ i, ( ri α, Q i, = K ri, ( ri, Qi, = Kβ β a ( i ϕi,, ( ri α α i,, Qϕ i, = K ( ri, Q ϕi, = K β = (, = ν K ( ri, a α ( ri, = ν ( = β ν i, i, i a Q = K r a r a a a a K r ( K r K a i, i, i, ( ri, ϕi, = ν i, ϕi, = K r K a α, ϕi, = K ν ( ri, ϕi, = K νβ a a K ( ν K ( ν ϕi, = α r ϕ = β r a a i =,,,. ( a ( ri i, i, i, (6.9

160 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација Flüggeова теорија Решење по Flüggeовој теорији, у односу на решење по Donnellushtariевој теорији, разликује се у следећем: заменом једначине (5. и дела једначине (6. у једначину (.5 добија се: c, + c, c, c, + c5, U ( c, c6, + c7, c8, + c9, V ( = (6. c, + c5, c8, c9, c, + c, + c, W ( где су: a a c = c = α a + ρhω D, 7, ( ν α ( ( ( ν α ( c = + K D a a c = K D a, 8, + ρhω D c, = ( + ν α ( a c9, = α a c, = K ( Da c, = K D ( ( ( ( ν ( c ( (, = K α α + Da c = ν a K ν α D a c = Kα D a 5,, c = + K D a 6, + ρ ω a h D (6. коефицијенти детерминантне једначине (6.5 и коефицијенти δ i, и γ су: i, ( ( c6, ( c, c, ( c, ( ( c, c, + c, c, c7, + c8, c, c7, + c, c, c8,, = = + c c + c c c c,,,,, 5, c, c, + ( c, c, c, c5, ( c5, c6, + ( c, c8, c9, c, c5, c7, c6, ( c, c, ( c, c, ( c5, c8, + c, c9, + c, (( c, + c, c6, + c, c7, + c6, c, c, ( c,, + ( ( c c c + c c, 7,,, 8, ( c c c c 6,,,, ( (6.

161 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација a a δ γ (( ( c6, c, c, ( c, c, c, + c, c6, + c, c7, + c, c9, + c, c, c7,, = + ( ( + ( c6, c, c, ( c, c9, c, c5, c, c8, c5, c7, ( ( + ( ( ( c c c c,, 7, 9,, = c6, c, c, c, ( ( ( ri + ( ri + + r + ( + r ( + ( r + ( r, ( c5 c ( c7 c6 ( ri c ri ( c9 + c8 ( ri, 9, 8, i, 7, 6, i,,, i,, i i, =,,,,,,,,,,, i, = + c c c c c c c c ( ( r ( c c, ( r, c, c, ( ri, S S ( c, c, + c, c8, ( ri, S ( 7 8 ( r c, c6, ( r, c + c c + c c + c c + c c,, 5, 9,,, 5, 8,, 9, i, c5, c7, c, c9, + c5, c6, + c, c7,, 8 i + 6 S c5, c7, c, c9, + c5, c6, + c, c, c, c, i, + i (6. једначина (6. у случају Flüggeове теорије постаје: где су: ( ( c, d + c, c,d + c,d U = c,d + c,d c5,d + c6, W c = c = ν a,, c, = ρhω D c5, = K D ( ( c = K D a c = K D a + a ρhω D, 6, коефицијенти детерминантне једначине (6. су: ( (( (( (( ( ( a = c c c c c c c,,,, 5,,, 5, a = c c c c c c,,, 6,,, 5, a = c c c c c,, 6,,, 5, израз за коефицијент δ i, је: S ( c, ( ri, c, ri, c, c, ( ri, ( S δi, = + + i =,,. (6. (6.5 (6.6 (6.7 5

162 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација једначина (6.6 постаје: ( ϕ ( ϕ ( ϕ c, ϕ + c, c, ϕ c, ϕ + c 5, U c, c6, c7, c8, V ϕ ϕ + ϕ = c, ϕ c5, c8, ϕ c9, ϕ c, ϕ c, W + + где су: = ( ν + ( ( = ρ ω β ( ν + ( = β + ρ ω = + ( ν β ( = β ( + ν ( = ( = β ( ν ( = ( β ( = νβ β ( = K ( β + a D + a ρhω D c K D a a c h D K D a, 7, c h D c a K D a, 8, c a c K D a, 9, c K D a c K a a D,, c a K D a c 5,, (6.8 (6.9 c = a 6, a a a коефицијенти карактеристичне једначине (6.8 су једнаки: ( ( ( ( c6, c, c, + c, + c9, c, + c, c6, + c, c7,, = c, c6, c9, (( c c c + c c + c c + c c, 7, 9,,,, 6,, 7,, = c, c6, c9, = + ( ( + + ( c c c c c c c c c c c, 5, 6,, 7,, 8,,, 6, 8, c c c, 6, 9, ( ( c5, c6, + c, c7, c, + c5, c, c7, c, c8,, c, c6, c9, a + (( + + ( c, c, c, c6, c, c7, c, c8, (( + c c c c 7, 5,,,, = c, c6, c9, c c c, 6, 9, (6. коефицијенти δ i, и γ i, су: 6

163 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација δ γ i, i, = = c, c6, + ( c, c, c5, ( ri, ( + + ( + ( ( ( S ( + + ( + ( ( ( (, i, +, +, i, 7, + 6, i, c r c c r c c r, i,,, i, 7, 6, i, r c c c c c c c c r S i,, 5,, 8,,,, 8, i, ( ( c r c c r c c r i =,,,. једначина (6. у случају Flüggeове теорије је: c, dϕ + c, c, d ϕ V ( ϕ = c, dϕ c,dϕ + c,dϕ + c, W ( ϕ где су: c = a c = K D a,, ( c = ρhω D c = a + K D a ρhω D,, коефицијенти карактеристичне једначине (6. су: a = c c,,, ( ( a = c + c c,,,, a = c c c c,,,,, израз за коефицијент γ i, је: ( S S ( c, ri, c, c, ( ri γ = + S S i,, i =,,. изрази за амплитуде пресечних сила су: ( ( ri, ν Dν N = D r δ + K N = + r a a a ( ri, ( γ i, i, i, i, i, i, ν N = D r δ + ( + α γ K a i, i, i, i, ν a N i, = D + ri, γ i, + β δi, + K a β a (6. (6. (6. (6. (6.5 (6.6 K D K ( ( a a a a K N = D ν r δ + ( + α γ ( α a + a K N = D νβ δ + ( + r γ + + r a ( a Nϕi, = D ν ri, δi, + + N ϕi, = + ri, γ i, + + r i, ϕi, i, i, i, ϕi, i, i, i, i, 7

164 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација ( ν K ( ( ν D N = a γ r α δ + r α + γ a a D ( ν K ( ( ν N = δ r aβ γ + β r γ a a ( ϕi, i, i, i, i, i, ( ϕi, i, i, i, i, i, K K = a r a r = r r a a K = α ν ( α γ a r ( δ a r a + + K = ν r ( δ r + aβ ( aβ + δ a ( δ ν ( δ i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, i, K ( K ( a ϕ a K ( a K ( a ϕi, = ν r i, a i, = + r i, ϕi, = ν r i, a α ϕi, = r i, + νβa ( ν ( ν K K = r ( α + γ = β r γ a a ( ϕi, i, i, ϕi, i, i, K Q = ( r ( δ a r a,, ( (, (,, K aα γ i ri ν a ri δi a r + + i Qi, = a α δi, ( ν a r + + i, i, i, i, i, Q K = a i, a β ( aβ + δi, + ( + ν ( aβ γ i, ri, + δi, +( r aβ ( ν i, K Q = r + r a K Q = + a r + a K Q = a r r + r a ( { α ( α ( α γ ( ν } { β γ ( ν ( } ϕi, i, i, ϕi, i, i, ϕi, i, i, i, i, 8

165 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација Треба напоменути да су изрази за силе N ϕ и ϕ исти као изрази за силе N ϕ и ϕ у једначини (6.8, али се амплитуде пресечних сила разликују и једнаке су: ( ν K ( ( ν D N = a γ r α δ α δ + a r a a D ( ν K ( ( ν N = δ r aβ γ + r δ aβ a a ( ν ( ϕi, i, i, i, i, i, ( ϕi, i, i, i, i, i, ϕi, i, i, i, ϕi, K = α δ a r ( α γ a + + K ( ν = δ r + aβ γ r a ( i, i, i, i, 6... Динамичка матрица крутости K ɶ D (6.7 Вектори померања q ˆ и сила Q ˆ, чије су компоненте (померања и ротације, односно силе на контурама сегмента кружне цилиндричне љуске приказане на Слици 6., дати су следећим изразима: T ( q ˆ uˆ ( l, ϕ vˆ ( l, ϕ wˆ ( l, ϕ ψˆ ϕ ( l, ϕ = vˆ (, θ uˆ (, θ wˆ (, θ ψˆ (, θ ( 8 ( ( ˆ ˆ ˆ w, ϕ v, θ w, ϕ ψˆ ( l, ˆ ϕ ϕ = ψ (, θ = a a ϕ = l ϕ= θ T ( ˆ ˆ ˆ ˆ (, (, (, ˆ Q N l ϕ N ϕ l ϕ Q l ϕ ( l, ϕ = ˆ N ˆ N ˆ Q ˆ (, θ (, θ (, θ (, θ ϕ ϕ ϕ ϕ ( l ϕ ˆ ˆ, ( ˆ ϕ N ϕ l, ϕ = N ϕ ( l, ϕ + a ˆ ˆ (, ( ˆ ϕ ϕ Q l, ϕ = Q ( l, ϕ + a ϕ ( ϕ ˆ ˆ, ( ˆ ϕ Qϕ l, ϕ = Qϕ ( l, ϕ + ϕ= θ = l 8 (6.8 9

166 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација а компоненте вектора q ˆ б компоненте вектора ˆ Q Слика 6. Померања, ротације и силе на контури сегмента кружне цилиндричне љуске Код Donnellushtariеве теорије ˆ ( ˆ N, ϕ = N (, ϕ, ˆ ( ˆ, ϕ = (, ϕ и израз за обртање пресека у правцу осе је: ˆ (, ˆ (, ϕ ϕ ϕ ϕ ψ θ = w ϕ a ϕ. ϕ = θ Компоненте вектора померања q ˆ и сила Q ˆ су функције, односно φ координате. Све што је речено код извођење динамичке матрице крутости indlinове плоче важи и овде, па је компоненте вектора померања q ˆ и сила Q ˆ потребно приказати у облику Fourierовог реда: ( ϕ ( α ϕ ˆ, cos ˆ u l U N l, ϕ N cos α ϕ n= ( ϕ ( α ϕ vˆ l, V sin n= ( ϕ ( α ϕ wˆ l, W cos n= ( l ( ψˆ, ϕ Ψ cos α ϕ ϕ n= ϕ ( θ ( β vˆ, V cos n= ϕ ( θ ( β uˆ, U sin n= ϕ ( θ ( β wˆ, W cos n= n n n= ( ( ψˆ, θ Ψ cos β n n n n ϕn n n n n n n n n n ( ( n= ϕ ϕ n n n= N ˆ l N (, ϕ sin ( α ϕ n n n= Q ˆ l Q (, ϕ cos ( α ϕ n n n= ( ϕ ( α ϕ ˆ l, cos ( θ ( β ˆ N, N cos ϕ n= ϕ ϕn n n= ( θ ( β Nˆ, N sin ˆ Q Q ϕ (, θ cos( β n= ( ( β ˆ, b cos ϕ n= n ϕn ϕn ϕn n n n n (6.9 где је αn = nπ / θ и βn = nπ / l. 5

167 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација Вектори пројекција померања и сила, коефицијенте из једначине (6.9: ( qɶ T ϕ ϕ U W Ψ ϕ V W Ψ ( Qɶ = qɶ и U V W Ψ V U W ϕ ϕ ϕ n n n ϕn n n n n U V W Ψ V U W ϕ ϕ ϕ ϕ 8 6 T N Q Nϕ Qϕ ϕ = N N Q N N n ϕn n n ϕn ϕn ϕn ϕn N N Q N N Q ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 8 6 Веза између вектора пројекција померања сила Q ɶ, и вектора интеграционих константи успостављена преко матрица ( C D ɶ и T C, C, C, C, C, C, = Матрице Q Q ɶ, садрже Fourierове Ψ Ψ ( + ( + (6.5 qɶ, односно вектора пројекције C, једначина (6.5, је F ɶ на основу израза (.8 и (.. C C C C C C C C,,,,,,,, C C C C C C C C,,,,,,,, 8 6 D ɶ и матрица крутости за део ( + (6.5 F ɶ, чији је ред 8М+6, дате су у Прилогу. Динамичка нумерички на основу једначине ( Симетријаантисиметрија СА K ɶ D је такође реда 8М+6 и одређује се Слика 6. деформација сегмента кружне цилиндричне љуске 5

168 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација Да би се задовољио услов да је деформисани облик сегмента кружне цилиндричне љуске симетричан осе осе, а антисиметричан око φосе, Слика 6., компонентална померања се усвајају у следећем облику: ( ϕ = ( ( αϕ + ( ϕ ( β uˆ, U cos U cos = = ( ϕ = ( ( αϕ + ( ϕ ( β vˆ, V sin V sin = = ( ϕ = ( ( αϕ + ( ϕ ( β wˆ, W cos W sin где је: α π / θ = = (6.5 = и β = ( π / (. Функције U (, U ( l W ( ϕ треба да буду парне, односно V (, W ( и V ( буду непарне функције. Donnellushtariева теорија ϕ и ϕ треба да Уз смену, за део важе једначине (6.(6.6, (6.9(6. и (6.5, док за део важе једначине (6.6,(6.8(6., као и једначина (6.7 уз следеће измене: c = c c = c, i =,,5,...,9,, i, i, c, = c, β β (6.5 део нема нулти члан. Коначни изрази за померања за део су: ( ϕ δ ( i, i, i, uˆ, = C cosh r + ( ϕ vˆ, ( δi, Ci, cosh ri, cos( αϕ + C ( r cos( = δi, i, cosh i, ϕ β = ( sin ( α ϕ + C ( r ( γ i, Ci, sinh ri, = γ i, i, sinh i, ϕ sin β (6.5 5

169 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација ( ϕ ( i, i, wˆ, = C sinh r + ( Ci, sinh ri, cos( αϕ + C ( r ϕ sin ( β = i, cosh i, Заменом израза (6.5 у једначину (.8 и (. добијају се изрази за пресечне силе за случај : i, i, i, ( ϕ ( Nˆ, = N sinh r C + ( N i, sinh ri, Ci, cos ( αϕ + N ( r ϕ C sin ( β = i, cosh i, i, ϕ i, i, i, ( ϕ ϕ ( Nˆ, = N sinh r C + (, sinh,, cos ( Nϕi ri Ci αϕ + = Nϕi, cosh ( ri, ϕ Ci, sin ( β (, cosh,, sin ( N ϕi ri Ci αϕ + ˆ N ϕ (, ϕ = = N ϕi, sinh ( ri, ϕ Ci, cos( β i, i, i, ( ϕ ( Qˆ, = Q cosh r C + (, cosh,, cos( Qi ri Ci αϕ + = Qi, cosh ( ri, ϕ Ci, cos ( β (, sinh,, sin ( Qϕ i ri Ci αϕ + ˆ Qϕ (, ϕ = = Qϕ i, sinh ( ri, ϕ Ci, sin ( β (6.55 5

170 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација i, i, i, ( ϕ ( ˆ, = sinh r C + ( i, sinh ri, Ci, cos( αϕ + ( r ϕ C sin ( β = i, cosh i, i, ϕ i, i, i, ( ϕ ϕ ( ˆ, = sinh r C + (, sinh,, cos ( ϕi ri Ci αϕ + = ϕi, cosh ( ri, ϕ Ci, sin ( β (, cosh,, sin ( ϕi ri Ci αϕ + ˆ ϕ (, ϕ = = ϕi, sinh ( ri, ϕ Ci, cos( β при чему за амплитуде пресечних сила важе изрази (6.9 уз следеће смене:, β β β и ( β. Flüggeова теорија У Flüggeовој теорији, уз смену, важе следећи једначине: за део важе једначине (6.(6.7, за део важе једначине (6.8, (6. и (6., док изрази за коефицијенте у (6.8 могу да се добију из једначине (6.9 на основу следећих релација: c = c c = c,, 5, 5, c c ci ci i, =,, =,, =,,6,..., β β (6.56 амплитуде пресечних сила су дефинисане једначинама (6.6 и (6.7 уз смену β β β и ( β, при чему су изрази за силе N ϕ и ϕ исти као и изрази за силе N ϕ и ϕ у једначини (6.55. Изрази за померања и пресечне силе су исти као и у случају Donnell ushtariеве теорије и дати су једначинама (6.5 и (

171 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација 6... Динамичка матрица крутости Компоненте вектора померања q ˆ и сила Q ˆ, које су дефинисане изразима (6.8 уз замену, апроксимирају се Fourierов редом на следећи начин: ( ϕ ( α ϕ n= ( ϕ ( α ϕ n= ( ϕ ( α ϕ n= ( l ( n= ϕ * ( θ n ( βn n= ϕ * ( θ n ( βn n= ϕ * ( θ n ( βn n= * ( ( n n n= K ɶ D uˆ l, U cos Nˆ vˆ l, V sin wˆ l, W cos ψˆ, ϕ Ψ cos α ϕ ϕ где је α nπ / θ ( qɶ ( Qɶ n vˆ, V sin uˆ, U cos wˆ, W sin ψˆ, θ Ψ sin β n n n ϕn * = и β ( π / ( T U W Ψ ϕ = n n n n = n l. Вектори n n n n= ( l, ϕ N cos( α ϕ ϕ ϕ n n n= N ˆ l N (, ϕ sin ( α ϕ n n n= Q ˆ l Q (, ϕ cos( α ϕ n n n= ( ϕ ( α ϕ ˆ l, cos * ( θ ϕn ( βn ˆ N, N sin ϕ * ( θ ϕ ( β * (, θ ϕn sin ( βn ( θ n= Nˆ, N cos ϕ n n n= ˆ Q Q ϕ n= ˆ, sin ϕ qɶ, U V W Ψ V U W n= Q ɶ и ϕ ϕ ϕ n n n ϕn n n n n U V W Ψ V U W ϕn * ( βn C су једнаки: ϕ ϕ ϕ ϕ 8 T N Q ( C = N N Q N N Q n ϕ n n n ϕn ϕn ϕn ϕn N N Q ϕ T C, C, C, = Матрице N N Q Ψ Ψ ϕ ϕ ϕ ϕ 8 C C C C C C C C,,,,,,,, C C C C C C C C ( + ( +,,,,,,,, 8 D ɶ и F ɶ, чији је ред 8М+, дате су у Прилогу. ( + (6.57 (

172 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација 6.. Двострука антисиметрија АА Слика 6.5 АА деформација сегмента кружне цилиндричне љуске Да би се задовољио услов да је деформисани облик антисиметричан и око и око φосе, Слика 6.5, компонентална померања се усвајају у следећем облику: АА ( ϕ = ( ( αϕ + ( ϕ ( β AA AA AA uˆ, U sin U cos = = ( ϕ = ( ( αϕ + ( ϕ ( β AA AA AA vˆ, V cos V sin = = ( ϕ = ( ( αϕ + ( ϕ ( β AA AA AA wˆ, W sin W sin = = где је α = ( π ( θ и β = ( π ( AA. U ( и V AA ( l AA AA AA буду парне, односно V (, W (, U ( ϕ и W AA ( АА (6.59 ϕ треба да ϕ треба да буду непарне функције. Donnellushtariеве теорија Уз смену АА, за АА део важе једначине (6., (6. уз коришћење релација (6.6, (6.5, (6.6 и (6.9, док за АА део важе једначине (6.6, (6.7 уз коришћење једначине (6.6, и једначине (6.8(6.. c = c c = c, i =,,,5,6,8,9 AA AA,, i, i, AA c7, = c7, α α c = c c = c, i =,,5,...,9 AA AA,, i, i, AA c, = c, β β (6.6 (6.6 56

173 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација Део АA нема нулти члан. Коначни изрази за померања за АА део су: ( ϕ AA uˆ, ( ϕ AA vˆ, AA AA ( AA,, cosh, sin ( δi Ci ri αϕ + = = AA AA AA δi, Ci, sinh ( ri, ϕ cos( β = ( cos( α ϕ AA AA γ i, Ci, sinh ri, AA AA γ i, Ci, cosh ( ri, ϕ sin ( β = AA ( AA, sinh, sin ( Ci ri αϕ + AA wˆ (, ϕ = = AA AA Ci, sinh ( ri, ϕ sin ( β Заменом израза (6.6 у једначине (.8 и (. добијају се изрази за пресечне силе за АА део: ( ϕ ˆ AA N, ( ϕ ˆ AA N, ϕ ( ϕ ˆ AA N, ϕ ( ϕ ˆ AA Q, ( ϕ ˆ AA Q, ϕ + AA ( AA AA, sinh,, sin ( N i ri Ci αϕ = = AA AA AA N i, sinh ( ri, ϕ Ci, sin ( β ( AA AA, sinh,, sin ( Nϕi ri Ci αϕ = = AA AA Nϕi, sinh ( ri, ϕ Ci, sin ( β AA ( AA AA, cosh,, cos ( N ϕi ri Ci αϕ = = AA AA AA N ϕi, sinh ( ri, ϕ Ci, sin ( β AA ( AA AA, cosh,, sin ( Qi ri Ci αϕ = = AA AA AA Qi, sinh ( ri, ϕ Ci, cos( β AA ( AA AA, sinh,, cos( Qϕ i ri Ci αϕ = = AA AA AA Qϕ i, cosh ( ri, ϕ Ci, sin ( β (6.6 (6.6 57

174 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација ( ϕ ˆ AA, ( ϕ ˆ AA, ϕ ( ϕ ˆ AA, ϕ AA ( AA AA, sinh,, sin ( i ri Ci αϕ = = AA AA AA i, sinh ( ri, ϕ Ci, sin ( β AA ( AA AA, sinh,, sin ( ϕi ri Ci αϕ = = AA AA AA ϕi, sinh ( ri, ϕ Ci, sin ( β AA ( AA AA, cosh,, cos( ϕi ri Ci αϕ = = AA AA AA ϕi, cosh ( ri, ϕ Ci, cos ( β Изрази за амплитуде пресечних сила су дати једначином (6.9 уз следеће смене: АА, α α α, ( α, β β β и ( β. Flüggeова теорија Изрази за компонентална померања и пресечне силе за AА део су исти као у случају Donnellushtariеве теорије и дати су једначинама (6.6 и (6.6, док остале једначине које важе у Flüggeовој теорији, уз смену АA, су: за АA део једначине (6., једначина (6. уз релације дате у једначини (6.6 и једначине (6. и (6., c = c c = c AA AA,, 9, 9, AA AA c c ci ci i α 8, = 8,, =,, =,,,5, 6, 7,,, α (6.6 за АA део једначине (6.8, (6. и (6. и једначина (6.9 уз следеће релације: c = c c = c AA AA,, 5, 5, AA AA c c ci ci i, =,, =,, =,,6,..., β β једначине (6.6 и (6.7 које уз смене α и β ( β α α, ( (6.65 α, β β дефинишу амплитуде пресечних сила. Изрази за силе N ϕ и ϕ су исти као и изрази за силе N ϕ и ϕ у једначини (

175 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација 6... Динамичка матрица крутости Компоненте вектора померања q ˆ AA и сила Q ˆ AA, које су дефинисане AA K ɶ D изразима (6.8 уз замену АА, апроксимирају се Fourierовим редом на следећи начин: ( ( ˆ ϕ n αnϕ ( ϕ n ( αnϕ AA AA AA AA uˆ l, U sin N l, N sin n= n= ˆ ( ϕ n ( αnϕ ϕ ( ϕ ϕ n ( αnϕ AA AA AA AA vˆ l, V cos N l, N cos n= n= ˆ ( ϕ n ( αnϕ ( ϕ n ( αnϕ AA AA AA AA wˆ l, W sin Q l, Q sin n= n= ( ( ˆ l ϕn n ( l n ( nϕ AA AA AA AA ψˆ, ϕ Ψ sin α ϕ, ϕ sin α ϕ n= ϕ * * ( θ ( ˆ n βn ϕ ( θ ϕn ( βn AA AA AA AA vˆ, V sin N, N sin ϕ * * ( θ ( ˆ n βn ϕ ( θ ϕn ( βn ϕ * * ( θ ˆ n ( βn ϕ ( θ ϕn ( βn * ( ( ˆ AA * ϕ ( b ϕ sin ( βn n= n= n= AA AA AA AA uˆ, U cos N, N cos n= n= AA AA AA AA wˆ, W sin Q, Q sin n= n= ψˆ, θ Ψ sin β, AA AA AA n n n n= n= где је α = ( n π / ( θ и * β ( π / ( n Вектори ( qɶ ( Qɶ AA ( C AA qɶ, AA Q ɶ и AA C су једнаки: n = n l. AA T AA AA AA AA ϕ AA ϕ AA ϕ AA AA U V W Ψ ϕ V U W Ψ = U V W Ψ V U W Ψ AA AA AA AA ϕ AA ϕ AA ϕ AA AA ϕ 8 T AA AA AA AA AA AA AA AA AA N N ϕ Q Nϕ Nϕ Qϕ ϕ = N N Q N N Q T AA AA AA AA AA AA AA AA ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 8 AA AA AA AA AA AA A AA = C, C, C, C, C, C, C, C, A A A A A A A A C, C, C, C, C, C, C, C, 8 (6.66 (6.67 Матрице AA D ɶ и AA F ɶ, чији је ред 8М, дате су у Прилогу. 59

176 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација 6.. Динамичка матрица крутости сегмента кружне цилиндричне љуске K ɶ D Када су одређене динамичке матрице крутости свих симетричних доприноса ( K ɶ, D K ɶ D, AS K ɶ D и AA K ɶ D може да се одреди динамичка матрица крутости за произвољан деформисани облик. Померања и ротације контура сегмента кружне цилиндричне љуске се апроксимирају Fourierовим редом који садржи и парне и непарне чланове: nπϕ wˆ l, W + W cos + W sin ( ϕ ( θ ( ϕ ( θ S S A n n n= θ n= nπ wˆ, W + W cos + W sin S S A n n n= l n= nπϕ wˆ l, W + W cos + W sin S S A n n n= θ n= nπ wˆ, W + W cos + W sin ( ϕ ( ϕ S S A n n n= l n= nπϕ uˆ l, U + U cos + U sin S S A n n n= θ n= ( ( ( n θ ( n l ( n θ ( n l ( n S A ˆ (, θ n cos + n sin n= l n= nπϕ uˆ l, U + U cos + U sin S S A n n n= θ n= θ ( n θ S A ˆ (, θ n cos + n sin n= l n= πϕ π πϕ π πϕ n π nπ u U U l πϕ n π nπ u U U l ( θ ( θ ( n S A vˆ ( l, ϕ Vn cos + Vn sin n= θ n= nπ vˆ, V + V cos + V sin S S A n n n= l n= ( n πϕ πϕ ( n S A vˆ ( l, ϕ Vn cos + Vn sin n= θ n= nπ vˆ, V + V cos + V sin S S A n n n= l n= nπϕ θ l ( n l π nπϕ θ π (6.68 6

177 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација nπϕ ψˆ, ϕ Ψ Ψ cos Ψ sin S S A ϕ ( l ϕ + ϕn + ϕn n= θ n= ( ( ( n S A ˆ ϕ (, ϕn cos + ϕn sin n= l n= nπϕ ψˆ, ϕ Ψ Ψ cos Ψ sin S S A ϕ ( l ϕ + ϕn + ϕn n= θ n= ( n S A ˆ ϕ (, ϕn cos + ϕn sin n= l n= θ n π nπ ψ θ Ψ Ψ l θ πϕ πϕ n π nπ ψ θ Ψ Ψ l ( n πϕ ψ ϕ Ψ Ψ S A ˆ ( l, n cos + n sin n= θ n= nπ ψˆ, θ Ψ Ψ cos Ψ sin S S A ( + n + n n= l n= ( n πϕ ψ ϕ Ψ Ψ ( n S A ˆ ( l, n cos + n sin n= θ n= nπ ψˆ, θ Ψ Ψ cos Ψ sin S S A ( + n + n n= l n= nπϕ θ l ( n l π nπϕ θ Горњи леви индекс у (6.68 се односи на број контуре према Слици 6.9. Да би се одредила динамичка матрица крутости за сегмент кружне цилиндричне љуске K ɶ D, треба да се одреди матрица трансформације T, као што је то објашњено у поглављу.., и примени израз (.88. Матрица K ɶ се одређује на основу израза (.86 и њен ред је М+. Вектор qɶ, једначина (.6, има М+ компоненти које су дате следећим изразима: π T S S S S S S qɶ = U W Ψ ϕ V W Ψ U W Ψ V W Ψ S S S S S S ϕ T S A S A S A S A qɶ n = U n U n Vn Vn Wn Wn Φϕn Φϕn S A S A S A S A Vn Vn U n U n Wn Wn Φ n Φ n (6.69 (6.7 За везу између вектора и (.8. Матрице T, qɶ, T, qɶ, AS qɶ, AS T и AA qɶ и вектора qɶ важе једначине (.8 AA T, чији је величина (8М+6(М+, (8М+(М+, (8М+(М+ и 8М(М+, дате су у Прилогу. Од ових матрица се формира матрица T на основу једначине (.8, чији је ред М+. 6

178 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација 6..5 Динамичка матрица крутости сегмента кружне цилиндричне љуске са специјалним граничним условима K D У претходном поглављу је изведена динамичка матрица крутости сегмента кружне цилиндричне љуске K ɶ D, која може да се користи у динамичкој анализи сегмената и система сегмената кружних цилиндричних љуски за произвољне граничне услове. Резултати добијени применом ове ДМК зависе од броја чланова реда М у решењу. Насупрот томе, решење проблема слободних вибрација сегмента кружне цилиндричне љуске са специјалним граничним условима може да се одреди у затвореном облику. Динамичка матрица крутости изведена на основу овог решења је тачна и њен ред је знатно нижи него ред матрице K ɶ D потребан да би се добили резултати задовољавајуће тачности. Мана ових матрица је што је лимитиран број граничних услова код којих оне могу да се примене. На Слици 6.6 је приказан сегмент кружне цилиндричне љуске и координатни систем у коме су дефинисани специјални гранични услови, означени са p и p (Yu, Cleghorn and Fenton 995: p гранични услов =, L ϕ =,θ u = v = v u w w ψ = ψ = ϕ p гранични услов =, L ϕ =,θ u v v = u = w = w = ψ ψ ϕ Слика 6.6 Координатни систем за сегмент кружне цилиндричне љуске са специјалним граничним условима p и p 6

179 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација Гранични услов p се у литератури назива SDshear diaphrag. На Слици 6.7 је приказано шест могућих комбинација p и p граничних услова за које постоје тачна аналитичка решења, при чему гранични услови на друге две контуре могу да буду произвољни. Анализиран је случај. Слика 6.7 Шест могућих комбинација p и p граничних услова сегмента кружне цилиндричне љуске за које постоји решење у затвореном облику комб, комб и комб граничних услова За ове три комбинације граничних услова усвајају се решења у облику који a priori задовољава граничне услове на контурама ϕ = и ϕ = θ. комб и комб Компонентална померања су усвојена у следећем облику: ( ϕ = ( ( α ϕ uˆ, U cos = ( ϕ = ( ( α ϕ vˆ, V sin = ( ϕ = ( ( α ϕ wˆ, W cos = где је α = π / ( θ у случају комб, односно α ( π / ( θ (6.7 = у случају комб. Може да се примети да је решење за непозната компонентална померања, једначина (6.7, у истом облику као и решење за део, једначина (6.. Корени карактеристичне једначине и коефицијенти δ i, и γ i, одређују на основу израза приказаних у приказаних у поглављу 6.., док су коначни изрази за померања: 6

180 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација 8 ˆ u, C e cos = ri, ( ϕ = δ ( α ϕ i, i, 8 ˆ v, C e sin = ri, ( ϕ = γ ( α ϕ i, i, 8 ˆ w, Ci, e cos = ri, ( ϕ = ( α ϕ (6.7 комб За случај граничних услова дефинисаних за комб, компонентална померања се усвајају у следећем облику: ( ϕ = ( ( α ϕ uˆ, U sin = ( ϕ = ( ( α ϕ vˆ, V cos = ( ϕ = ( ( α ϕ wˆ, W sin = где је α π / ( θ (6.7 =. Једначина (6.7, уз смену α α, одговара АА делу једначина (6.59. Из тог разлога, за одређивање корена карактеристичне једначине и коефицијената δ i. и γ i. могу да се корист изрази дати у Поглављу 6... Коначни изрази за померања су: 8 ˆ u, C e sin = ri, ( ϕ = δ ( α ϕ i, i, 8 ˆ v, C e cos = ri, ( ϕ = γ ( α ϕ i, i, 8 ˆ w, Ci, e sin = ri, ( ϕ = ( α ϕ (6.7 Заменом израза (6.7 и (6.7 у једначине (.8 и (. у случају Donnell ustariеве теорије, односно у једначине (.7 и (.9 у случају Flüggeове теорије, добијају се изрази за пресечне силе. За комб, комб и комб граничних услова, вектори померања ˆq и сила ˆQ, чије су компоненте померања и ротације, односно силе на контурама плоче = и = L, дати су дати изразима (5.7 и (5.. Компоненте вектора померања ˆq и сила ˆQ су у облику Fourierовог реда, као и код кружне цилиндричне љуске. За случај да гранични услови на контурама = и = L не зависе од координате ϕ, решења за поједине хармонике су 6

181 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација независна, па уместо суме може да се посматра само ти хармоник Уводе се вектори померања q ˆ и сила Q ˆ, који садржи амплитуде померања и ротација, односно сила, за = и = L, за које важе изрази (5.9 и (5.6. Матрице D и F су дефинисане изразима (5. и (5.7. Динамичке матрице крутости K D (за сваки хармоник за комб, комб и комб су тачне и њихов ред је 8, као и у случају затворене кружне цилиндричне љуске. комб, комб 5 и комб 6 граничних услова За ове три комбинације граничних услова усвајају се решења у облику који a priori задовољава граничне услове на контурама = и = L. комб и комб 6 граничних услова Решења за непозната компонентална померања, које a priori задовољава предефинисане граничне услове за ове две комбинације, је: ( ϕ = ( ϕ ( β uˆ, U sin = ( ϕ = ( ϕ ( β vˆ, V cos = ( ϕ = ( ϕ ( β wˆ, W cos где је β π / L = = у случају комб, односно β ( (6.75 = π / L у случају комб 6. Решење (6.75 је у истом je облику као и решење за део, једначина (6.. Корени карактеристичне једначине и коефицијенти δ i, и γ, одређују на основу израза за део приказаних у приказаних у поглављу 6.., док су коначни изрази за компонентална померања: i 8 ˆ u, i, Ci, e sin = ri, ϕ ( ϕ = δ ( α 8 ˆ v, i, Ci, e cos = ri, ϕ ( ϕ = γ ( α 8 ˆ w, Ci, e cos = ri, ϕ ( ϕ = ( α (

182 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација комб 5 граничних услова Изрази за компонентална померања су: ( ϕ = ( ϕ ( β uˆ, U cos = ( ϕ = ( ϕ ( β vˆ, V sin = ( ϕ = ( ϕ ( β wˆ, W sin = (6.77 где је β = π / L. Решење (6.77, уз смену β β, je исто као део једначине (6.5. Корени карактеристичне једначине и коефицијенти δ i, и γ i, одређују се на основу израза за део приказаних у приказаних у Поглављу 6.., док су коначни изрази за компонентална померања једнаки: 8 ˆ u, i, Ci, e cos = ri, ϕ ( ϕ = δ ( α 8 ˆ v, i, Ci, e sin = ri, ϕ ( ϕ = γ ( α 8 ˆ w, Ci, e sin = ri, ϕ ( ϕ = ( α (6.78 Заменом једначина (6.76 и (6.78 у једначине (.8 и (. у случају Donnell ustariеве теорије, односно у једначине (.7 и (.9 у случају Flüggeове теорије, добијају се изрази за пресечне силе. За комб, комб 5 и комб 6 граничних услова, вектори померања ˆq и сила ˆQ, чије су компоненте померања и ротације, односно силе на контурама плоче ϕ = и ϕ = θ, дати су следећим изразима: T ( q ˆ = vˆ (, uˆ (, wˆ (, ψˆ (, vˆ (, θ uˆ (, θ wˆ (, θ ψˆ (,θ 8 ( ˆ T Q = N ˆ ˆ (, N ˆ (, (, ˆ ϕ ϕ Qϕ ϕ (, Nˆ Nˆ Q ˆ ˆ (, θ (, θ (, θ (,θ ϕ ϕ ϕ ϕ 8 (6.79 Компоненте вектора померања ˆq и сила ˆQ су у облику Fourierовог реда. За случај да гранични услови на контурама ϕ = и ϕ = θ не зависе од координате, решења за поједине хармонике су независна, па уместо суме 66

183 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација може да се посматра само ти хармоник. Уводе се вектори померања q ˆ и сила Q ˆ, који садрже амплитуде померања и ротација, односно сила, на контурама ϕ = и ϕ = θ : T ( qˆ V ( U ( W ( Ψ ( V ( θ U ( θ W ( θ Ψ ( θ = 8 ( ˆ T Q ˆ ( ˆ ˆ ( ( ˆ = Nϕ Nϕ Qϕ ϕ ( Nˆ Nˆ Q ˆ ˆ ( θ ( θ ( θ ( θ ϕ ϕ ϕ ϕ Матрице D и F, реда 8, су једнаке: 8 (6.8 D γ, γ 8, δ, δ 8, ( γ, r, a ( γ 8, r8, a = r, θ r8, θ γ, e γ 8, e r, θ r8, θ δ, e δ8, e r, θ r8, θ e e r, θ r8, θ ( γ, r, a e ( γ 8, r8, a e 88 (6.8 F Nϕ, Nϕ8, N, N ϕ ϕ 8, Qϕ, Q ϕ 8, ϕ, ϕ8, = r, θ r8, θ Nϕ, e Nϕ8, e r, θ r8, θ Nϕ, e Nϕ 8, e r, θ r8, θ Qϕ, e Qϕ 8, e r, θ r8, θ ϕ, e ϕ 8, e 88 У случају Donnellustariеве теорије израз ( i, ri, D постаје ri, комб 5 и комб 6 су такође реда 8. a (6.8 γ a, i =,...,8, у матрици. Тачне динамичке матрице крутости K D за комб, 67

184 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација 6..6 Формирање глобалне динамичке матрице крутости, гранични услови, сопствене фреквенције и облици осциловања Код формирања глобалне динамичке матрице крутости система који се састоји од више континуалних елемената сегмента кружне цилиндричне љуске важе иста правила као и при формирању глобалне динамичке матрице крутости система који се састоји од више континуалних елемената правоугаоне indlinове плоче. Ред ове глобалне динамичке матрице крутости је n ( 8 c +, где је ncброј контура сегмента кружне цилиндричне љуске. У случају формирања глобалне динамичке матрице крутости система који се састоји од континуалних елемената сегмента кружне цилиндричне љуске са специјалним граничним условима (комб комб 6, поступак је исти као код примене континуалног елемента aurice Levyјеве плоче или затворене кружне цилиндричне љуске. Ред глобалне динамичке матрице крутости за сваки хармоник је n c, где је ncброј контура сегмента са произвољним граничним условима. За аплицирање граничних услова, одређивање сопствених фреквенција и облика осциловања користе се стандардни поступци који су у оквиру тезе више пута објашњени. Неки од примера система који могу да се реше применом изведених динамичких матрица крутости су дати на Слици 6.8. Слика 6.8 Сегменти кружне цилиндричне љуске променљиве дебљине и бачваст кров 68

185 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација 6..7 Нумерички примери Применом atlab програма, заснованог на изведеним динамичким матрицама крутости по Donnellustariевој и Flüggeовој теорији, одређене су сопствене фреквенције сегмента кружне цилиндричне љуске. Добијени резултати су упоређени са доступним резултатима из литературе, као и са резултатима добијеним помоћу програма Abaqus. У нумеричким примерима ће бити приказана решења само за најчешће коришћене граничне услове, који се обележавају на следећи начин: слободна контура F: сва три померања u, v и w и ротација ψ ϕ на контурама различити од нуле, = ± l, односно ротација ψ на контурама ϕ = ± θ су shear diaphrag SD: на контурама = ± l су спречена померања v и w, а на контурама ϕ = ± θ су спречена померања u и w, слободно ослоњена котура S: сва три компонентална померања u, v и w су спречена, укљештена контура C: спречена су сва три померања u, v и w и ротација ψ ϕ контурама = ± l, односно ротација ψ на контурама ϕ = ± θ. Комбинација граничних услова SDFFC означава да контура, Слика 6.9, има SD гранични услов, контуре и су слободне, док је контура укљештена. У свим примерима је усвојена вредност Poissonовог коефицијента ν =.. Слика 6.9 Нумерација контура сегмента кружне цилиндричне љуске 69

186 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација Пример 6. У првом примеру је испитана брзина конвергенције решења за слободан сегмент кружне цилиндричне љуске. У Табели 6. је дато првих девет бездимензионалних сопствених фреквенција ω ωa ρ ( ν = E за однос h a =5, L a =.5 и θ =5º. Резултати су добијени применом ДМК по Donnellustariевој и Flüggeовој теорији коришћењем 5,, 5 и чланова реда решења. У табели је дата разлика у % између решење за =5 и =, као и резултати из чланка (Ye,. Ye је користио Qatuову формулацију теорије танких љуски. Компонентална померања је представио помоћу Chebyshevљевих полиномима прве врсте, чије је коефицијенте одредио Rayleigh Ritzовим поступком. Из Табеле 6. се види да се применом ДМК за = јављају две непостојеће сопствене фреквенције. Разлог је у недовољном броја чланова решења М, јер како се М повећава ове сопствене фреквенције теже нули (тонови који одговарају померању сегмента као крутог тела. За =, што је уједно и највећи број чланова реда за које може да се изврши прорачун за ту сврху написаним atlab програмом, вредности бездимензионалних сопствених фреквенција су: 555 и 9 по Donnellustariевој, односно 5776 и 9 по Flüggeовој теорији. Из Табеле 6. се такође може да се закључи, да прва сопствена фреквенција има најлошију конвергенцију, док је за све остале тонове релативна разлика у % између решење за =5 и = мања од %. Бездимензионална сопствена фреквенција за први тон за = је:.68 по Donnellustariевој, односно.9 по Flüggeовој теорији, и ове вредности се доста добрo слажу са резултатима од Yeа. Најлошија конвергенција прве сопствене фреквенције је последица одговарајућег облика осциловања, који је линеарна функција од координате. Као што је познато, за апроксимацију линеарних функција помоћу Fourierовог реда потребан је већи број чланова реда како би се добили резултати задовољавајуће тачности. У Табели 6. је поред редног броја сопствене фреквенције, у загради, описана и деформација одговарајућег облика осциловања. На Слици 6. су приказана прва четири облика осциловања. 7

187 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација Табела 6. Првих девет бездимензионалних сопствених фреквенција ω ωa ρ ( ν цилиндричне љуске (FFFF: ν =., h a =5, L a =.5, θ =5º. = E слободног сегмента кружне тон ДМК Donnellustari =5 = =5 = % =5 и = ДМК Flügge =5 = =5 = % =5 и = (Ye, (AA ( (AA ( ( (AS 5 ( 6 ( 7 (AA 8 (AS 9 (AA тон. тон. тон. тон. Слика 6. Прва четири облика осциловања слободног сегмента кружне цилиндричне љуске 7

188 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација Пример 6. У овом примеру је испитана брзина конвергенције решења за случај сегмената кружне цилиндричне љуске који на две паралелне контуре имају SD граничне услове (комбинацијe граничних услова и 5, Слика 6.7. Изабран је сегмент следећих карактеристика: h a =., L a = и θ =6º. Резултати добијени применом динамичке матрице крутости K ɶ D по Donnellustariевој и Flüggeовој теорији, чија тачност зависи од броја чланова реда решења М, су упоређени са тачним решењима која су добијена применом динамичке матрице крутости K D по Donnellustariевој и Flüggeовој теорији за сегмент са две паралелне SD контуре (комб и комб 5, као и са резултатима из чланка (Ye,. Резултати за првих седам бездимензионалних сопствених фреквенција ω ωa ρ ( ν = E су дати у Табели 6.. За SDFSDF комбинацију граничних услова коришћена је тачна динамичка матрица крутости K D за комб 5, за FSDFSD комбинацију граничних услова K D за комб, док за SDSDSDSD комбинацију граничних услова може да се користи K D и за комб и за комб 5. Решења добијена применом K D за комб и комб 5 су тачна и могу да служе за одређивање брзине конвергенције решења које се добија применом K ɶ D. У Табели 6. је приказана и релативна разлика у процентима између тачног решења добијеног применом K D и решења за = добијеног помоћу K ɶ D. Види се да је она мања од % за све тонове осим за први тон за SDFSDF, односно за други тон за FSDFSD комбинацију граничних услова. За ове тонове резултати исконвергирају, тј идентични су са тачним решењима, када је =8. Такође, може да се примети да за поједине тонове резултати исконвергирају већ за 5, односно чланова реда решења. Знак у Табели 6. значи да одговарајућа сопствена фреквенција није одређена у чланку (Ye,. На Слици 6. су приказана прва четири облика осциловања за све три комбинације граничних услова. 7

189 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација Табела 6. Првих седам бездимензионалних сопствених фреквенција ω ωa ρ ( ν са SD граничним условима на две паралелне контуре: ν =., h a =., L a =, θ =6º. ГУ SDFSDF FSDFSD SDSDSDSD т о н = E за сегмент кружне цилиндричне љуске ДМК Donnellustari ДМК Flügge (Ye, =5 = =5 = тачно решење Δ % =5 = =5 = тачно решење Δ %

190 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација ГУ тон. тон. тон. тон. SDSDSDSD FSDFSD SDFSDF Слика 6. Прва четири облика осциловања сегмента кружне цилиндричне љуске са SD граничним условима на две паралелне контуре: h a =., L a =, θ =6º. 7

191 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација Пример 6. У Примеру 6. је, за сегмент кружне цилиндричне љуске са SDFSDF комбинацијом граничних услова из Примера 6., испитан утицај угла θ на брзину конвергенције решења. У Табели 6. су приказани резултати за првих шест бездимензионалних сопствених фреквенција ω по Donnell ustariевој и Flüggeовој теорији који су добијени применом ДМК, као и тачне ДМК за комб 5, Слика 6.7. Релативна разлика у процентима између решења за = у случају примене K ɶ D и тачног решења добијеног коришћењем K D је такође дата у табели. Када је θ >8º и 5, за поједине тонове, уместо једне јављају се две или више блиских вредности за ω, које нису приказане у табели и уместо њих је стављен знак. Закључак који може да се изведе из овог примера је да, за изабрану комбинацију граничних услова, резултати спорије конвергирају за углове θ >8º. На Слици 6. су приказана прва четири облика осциловања за сваку вредност угла θ из Табеле 6., као и први облик осциловања одговарајуће затворене кружне цилиндричне љуске. Са Слике 6. се види да први облик осциловања затворене кружне цилиндричне љуске одговара четвртом облику осциловања одговарајуће отворене кружне цилиндричне ( θ =6º. 75

192 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација Табела 6. Првих шест бездимензионалних сопствених фреквенције ω ωa ρ ( ν = E за сегмент кружне цилиндричне љуске са SDFSDF комбинацијом граничних услова и различитом вредношћу угла θ : ν =., h a =., L a =. θ 9º 8º 7º 6º тон Donnellustari =5 = =5 = тачно Δ % =5 = =5 = тачно Δ % Flügge

193 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација θ тон. тон. тон. тон. θ =6º θ =7º θ =8º θ =9º тон. затворена кружна цилиндрична љуска Слика 6. Прва четири облика осциловања сегмента кружне цилиндричне љуске са SDFSDF граничним условима: h a =., L a =. 77

194 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација Кроз следећа два примера је испитан утицај граничних услова на брзину конвергенције решења. За комбинације граничних услова које су коришћене у Примерима 6. и 6.5 не постоје решења у затвореном облику. За добијање приказаних резултата коришћена је динамичка матрица крутости K ɶ D. Пример 6. За овај пример изабран је сегмент кружне цилиндричне љуске истих геометријских карактеристика као у Примеру 6.. Такође, коришћене су и исте комбинације граничних услова, само што је SD гранични услов замењен S граничним условом. Резултати за првих седам бездимензионалних сопствених фреквенција ω су приказани у Табели 6.. Сопствене фреквенције су одређене коришћењем ДМК по Donnellustariевој и Flüggeовој теорији уз коришћење различитог број чланова реда решења: =5,, 5 и. У Табели 6. су поред ових резултата дати и резултати из чланка (Ye,, као и из програма Abaqus. У Abaqusу је сегмент кружне цилиндричне љуске ( a =. моделиран мрежом од SR, односно STRI коначних елемената. Релативна разлика у % између решења за =5 и = код примене ДМК, која је мања од.%, је такође дата у табели. На основу поређења резултата из Табела 6. и 6. може да се изведе закључак да смањење броја степени слободе на контури повећава брзину конвергенције решења. Пример 6.5 Кроз овај пример је испитана брзина конвергенције решења за још неке комбинације граничних услова, за које не постоје решења у затвореном облику. У Табели 6.5 је приказано првих шест бездимензионалних сопствених фреквенција ω одређених применом ДМК, као и резултати из чланка (Ye,. Геометријске карактеристике сегмента кружне цилиндричне љуске су: h a =., L a = и θ =9º. Код примене метода динамичке крутости, коришћене су ДМК по Donnellustariевој и Flüggeовој теорији. Зависно од брзине конвергенције решења Табела 6.5 је подељена на два дела. У Табели 6.5(а су приказани резултати за комбинације граничних услова у којима су три контуре слободне: FFFS и FFFC. Решења за сегменте са три слободне контуре показују 78

195 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација најспорију конвергенцију у односу на остале комбинације граничних услова из овог примера, тј њихови поједини тонови. Стога су у Табели 6.5 (а приказана решења добијена коришћењем 5, и 5 чланова реда, као и релативна разлика између решења за = и =5. За све тонове, осим за.тон у случају FFFS граничних услова, односно за. тон у случају FFFC граничних услова, ова релативна разлика је.8%, што представља задовољавајућу тачност решења. Из тог разлога, наставак испитивања конвергенције решења је спроведен само за претходно поменуте тонове, и резултати су следећи: Donnellustariева теорија за =:. тон (FFFS ω =.98,. тон (FFFC ω =.796, Flüggeова теорија за =:. тон (FFFS ω =.786,. тон (FF FC ω = У Табели 6.5(б су приказани резултати за ω сегмента кружне цилиндричне љуске са две, једном, односно без слободних контура, који су добијени коришћењем 5, и 5 чланова реда решења. У табели је дата и релативна разлика у процентима између решења за = и =5. На основу приказаних резултата може да се закључи да, после комбинације граничних услова са три слободне контуре, најспорију конвергенцију показују сегменти са две суседне слободне контуре. Ипак, релативна разлика решења за = и =5 не прелази %. Резултати за сегменте са једном слободном контуром, односно без слободних контура, исконвергирају за =5. Код потпуно укљештеног сегмента (CCCC коришћена су два континуална елемента. На Слика 6. су приказана прва четири облика осциловања сегмента кружне цилиндричне љуске са FFFS комбинацијом граничних услова. 79

196 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација Табела 6. Првих седам бездимензионалних сопствених фреквенција ω ωa ρ ( ν са различитим комбинацијама граничних услова: ν =., h a =., L a =, θ =6º. = E за сегмент кружне цилиндричне љуске ГУ тон ДМК Donnellustari ДМК Flügge Abaqus =5 = =5 = % =5 = =5 = % SR STRI (Ye, SFSF FSFS SSSS

197 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација Табела 6.5(а Првих шест бездимензионалних сопствених фреквенције ( ω ω ρ ν = a E за сегмент кружне цилиндричне љуске са три слободне контуре: ν =., h a =., L a =.5, θ =9º. ГУ т о н ДМК Donnellustari ДМК Flügge =5 = =5 % = =5 = % (Ye, FFFS FFFC Табела 6.5(б Првих шест бездимензионалних сопствених фреквенције ( ω ω ρ ν = a E за сегмент кружне цилиндричне љуске са две, једном и без слободних контура: ν =., h a =., L a =.5, θ =9º. ГУ т о н ДМК Donnellustari ДМК Flügge =5 = =5 % =5 = =5 % (Ye, FFSS FFCC

198 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација 8 ГУ т о н ДМК Donnellustari ДМК Flügge (Ye, =5 = =5 % =5 = =5 % FSSS FCCC SSSS SSSC SSCC SCCC

199 6. Континуални елемент сегмента кружне цилиндричне љуске за анализу вибрација ГУ т о н ДМК Donnellustari ДМК Flügge =5 = =5 % =5 = =5 % (Ye, CCCC тон. тон. тон. тон. Слика 6. Прва четири облика осциловања за сегмент кружне цилиндричне љуске са FS граничним условима: h a =., L a =.5, θ =9º. Пример 6.6 Овим примером је демонстрирана могућност примене метода динамичке крутости на решење проблема слободних вибрација сегмента кружне цилиндричне љуске са скоковитом променом дебљине. Изабрана је љуска са једностепеном променом дебљине у правцу осе и са SD граничним условима на контурама ϕ = и ϕ = θ (комб, да би резултати могли да се упореде са тачним резултатима доступним у литератури (Zhang L., 6. Zhang је користио Flüggeову теорију танких љуски, statespace метод за добијање хомогених диференцијалних једначина за сегмент и метод декомпозиције домена (doain decoposition ethod да би поставио услове 8