7.7 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 156

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "7.7 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 156"

Νίκανδρος Βιλαέτης
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 1 7.7 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 156 ρωτήσεις ατανόησης 1. Στα παρακάτω σχήματα να βρείτε τα x, ψ (α) ε 1 ε x 1 2 ε 2 ψ 6 ε ε 4 ε 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 3 ε 2 ε 1 ε 2 4 x 1,5 ψ 3 4 ε 3 (β) (γ) ε 1 x ε 2 9 ε 1 ε x ε 1 20 (δ) 4 x (ε) 2 ψ 3 Λ x 3 6 ψ ε 2 πάντηση Στο σχήμα (α) με εφαρμογή του θεωρήματος Θαλή έχουμε 2 x x = 3 και 2 3 Στο σχήμα (β) ομοίως έχουμε 6 ψ = ,5 ψ = 2 και 3 4 x 4 x = 3 1,5 2 Στο σχήμα (γ) : Στο σχήμα (δ) : 9 x x 2 =36 x = 6 x 4 5 x x 20 απ όπου 5 x 5 10 x 20 x = 10 και Στο σχήμα (ε) είναι Λ διότι και τα τρία τμήματα είναι κάθετα στην ίδια ευθεία, οπότε 2 3 x = 4 και x 6 ψ = 24 3 ψ = 1,5 3 6

2 2 2. Να δικαιολογήσετε γιατί και Λ Ν στα παρακάτω σχήματα 3α Ο 4α 2α 6α 2 Λ 6 Ν 6 9 πάντηση Στο πρώτο σχήμα έχουμε και άρα πό το αντίστροφο του Θαλή έχουμε Στο δεύτερο σχήμα έχουμε και άρα αι αφού Λ Ν επειδή είναι κάθετες στην ίδια ευθεία, σύμφωνα με το αντίστροφο του Θαλή έχουμε και Λ Ν 3. Στο διπλανό σχήμα είναι i) Σ Λ ii) EZ Σ Να χαρακτηρίσετε ως σωστή Λ και να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. πάντηση i) φού 1, το (i) είναι σωστό ii) ίναι λάθος διότι δεν είναι (Σ) ή λανθασμένη (Λ) κάθε μία από τις προτάσεις

3 3 4. ίνεται τμήμα και δύο σημεία και ώστε ρκεί η παραπάνω σχέση για να είναι τα και συζυγή αρμονικά των και ; πάντηση Όχι, θα πρέπει το ένα να είναι εσωτερικό του τμήματος και το άλλο εξωτερικό 5. Στο παρακάτω σχήμα είναι Λ = 4, Λ = 2. Να βρείτε σημείο ώστε τα σημεία (, ) να είναι συζυγή αρμονικά των (, Λ) 4 Λ 2 πάντηση Πρέπει το να είναι εσωτερικό του Λ και να ισχύει 6 = Λ = 1 έτσι εντοπίζεται το σημείο 2 2 σκήσεις μπέδωσης 1. Στο διπλανό σχήμα είναι, και. Να αποδείξετε ότι (1) (2) (3) πό τις (1), (2), (3)

4 4 2. πό την κορυφή παραλληλογράμμου φέρουμε ευθεία ε, η οποία τέμνει τη διαγώνιο στο, την πλευρά σο και την προέκταση της στο. Να αποδείξετε ότι i) = i) ii) P αλλά άρα 2 =. = = = ii) ρκεί να αποδείξουμε ότι = = και = = 3. Οι μη παράλληλες πλευρές, τραπεζίου τέμνονται στο Ο. παράλληλη από το προς την τέμνει την στο. Να αποδείξετε ότι το Ο είναι μέσο ανάλογο των Ο και Ο. O ρκεί να αποδείξουμε ότι ή 2.

5 5 4. πό σημείο της πλευράς τριγώνου φέρουμε την παράλληλη προς τη διάμεσο, που τέμνει τις ευθείες και στα σημεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι AE AB. AZ A Στην αποδεικτέα αναλογία αλλάζουμε μέσους, οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι =. A = = =, αφού = =. 5. ίνεται τετράπλευρο και σημείο της διαγωνίου. Οι παράλληλες από το προς τις, τέμνουν τις, στα και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι. Z ρκεί να αποδείξουμε ότι = = = =

6 6 6. ίνεται τρίγωνο και σημεία, της πλευράς, ώστε = <. Οι 2 παράλληλες από τα, προς τις και αντίστοιχα τέμνουν την στο κα την στο. Να αποδείξετε ότι. ρκεί να αποδείξουμε ότι = = = Τα δεύτερα μέλη ίσα, άρα και τα πρώτα. 7. πό τυχαίο σημείο της διαμέσου τριγώνου φέρουμε παράλληλες προς τις και, που τέμνουν τη στα και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι =. P = P = Τα πρώτα μέλη ίσα, άρα και τα δεύτερα, άρα = και επειδή = θα είναι =.

7 7 8. ίνεται τραπέζιο ( ) και το μέσο της μικρής βάσης. ν η τέμνει τη στο και την προέκταση της στο, να αποδείξετε ότι τα, είναι συζυγή αρμονικά των,. ρκεί να αποδείξουμε ότι = τα τρίγωνα, έχουν πλευρές ανάλογες = (1) τα τρίγωνα, έχουν πλευρές ανάλογες = (2) Τα δεύτερα μέλη ίσα, άρα και τα πρώτα. 9. εξαμενή ύψους υ = 12m περιέχει νερό που φτάνει σε ύψος h. Ράβδος μήκους 15m τοποθετείται στη δεξαμενή, όπως στο διπλανό 12m 15m h σχήμα. γάζουμε τη ράβδο και παρατηρούμε ότι το τμήμα που βρέχτηκε έχει μήκος 10m. πορούμε να υπολογίσουμε το ύψος h του νερού; 12m 15m h = 12 το ύψος της δεξαμενής = h το ύψος του νερού = 15 η ράβδος. Τότε = 10 P = h h = 120 h = 8

8 8 ποδεικτικές σκήσεις 1. ν τα, είναι συζυγή αρμονικά των, και Ο είναι το μέσο του, να αποδείξετε ότι τα και βρίσκονται προς το ίδιο μέρος του Ο. ε Ο Έστω >, τότε > Ο, άρα δεξιά του Ο. A > B > 1 αλλά A B = A A > 1 > δεξιά του B B άρα και του Ο. 2. Να διαιρεθεί ευθύγραμμο τμήμα = α σε τμήματα x, y, ω τέτοια, ώστε 4x = 6y = 3ω. 4x 6y 3 4x = 6y = 3ω x y (1) Λ x Έστω = α. ράφουμε τυχαία ημιευθεία x. Πάνω στην x θεωρούμε τα διαδοχικά τμήματα = 3μ, Λ = 2μ, Λ = 4μ, όπου μ τυχαία μονάδα. ράφουμε τη και από τα Λ, παράλληλές της που τέμνουν το τμήμα στα, αντίστοιχα. Υποστηρίζουμε (και θα το αποδείξουμε) ότι = x, = y και = ω Θεώρημα Θαλή (2) πό τις (1) και (2) = x, = y, = ω

9 9 3. ίνεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,R) και έστω η τομή της διαμέτρου με τη. ν και είναι οι προβολές του στις και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι P. ABE ˆ 1 διότι βαίνει σε ημικύκλιο Ο λλά και άρα = Ομοίως = = P (αντίστροφο του Θ. Θαλή στο τρ.) 4. ίνεται παραλληλόγραμμο και σημείο της τέτοιο, ώστε = 1 5. ν η τέμνει την στο, να αποδείξετε ότι = 3. = 1 5 = = 1 (1) 4 = (1) 1 (2) 4 (τα τρ., έχουν πλευρές ανάλογες) πειδή =, η (2) = 1 3 = 3. = 1 4 = 1 41

10 10 5. πό την κορυφή παραλληλογράμμου φέρουμε ευθεία ε που τέμνει την πλευρά στο και την προέκταση της στο. Να αποδείξετε ότι = 1. = = (1) (2) (1) (2) = = = = = 1 6. ίνεται τρίγωνο και τα σημεία, της ώστε = =. παράλληλη από το προς την τέμνει τη διάμεσο στο. Να αποδείξετε ότι i) το είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου ii) KE A i) μέσο της και μέσο του = 1 και 2 = 1 2 ii) ποδείχθηκε ότι = 1 2 = M M = 1 2 και M = 1 2 = M = 1 2 κ.βάρους KE A (αντίστροφο του Θ.Θ)

11 11 7. Τραπεζίου ( ) οι διαγώνιες, τέμνονται στο Ο. πό το Ο φέρουμε παράλληλες προς τις, που τέμνουν τη στα και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι =. O Ο E E Ο = = = πό την (3), τα δεύτερα μέλη των (1), (2) είναι ίσα, άρα και τα πρώτα E E = E E = E = = (1) (2) (3) Σύνθετα Θέματα 1. ίνεται τρίγωνο και τα σημεία και των πλευρών του και αντίστοιχα, ώστε Λ =. Να αποδείξετε ότι τα μέσα, Λ, των, και αντίστοιχα, είναι συνευθειακά σημεία. Φέρουμε = πό υπόθεση είναι = = = = αι επειδή μέσο της μέσο και του. = Στο τρ. το τμήμα ενώνει τα μέσα P Στο τρ. το τμήμα Λ ενώνει τα μέσα Λ, Λ, συνευθειακά.

12 12 2. πό το μέσο της πλευράς τριγώνου φέρουμε τυχαία ευθεία, που τέμνει τις και στα και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι. =. ρκεί να αποδείξουμε ότι Φέρουμε P P = P = = πειδή =, τα δεύτερα μέλη είναι ίσα άρα και τα πρώτα. 3. ίνεται ευθεία ε, τέσσερα διαδοχικά σημεία της,,, και σημείο Ο εκτός αυτής. πό το φέρουμε παράλληλη προς την Ο, η οποία τέμνει τις Ο, Ο στα και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα, είναι συζυγή αρμονικά των,, αν και μόνο αν =. O Ο = (1) Ο = (2), αρμονικά συζυγή των, = (1),(2) = =

13 13 4. ν ένα σημείο χωρίζει εσωτερικά την πλευρά τριγώνου σε λόγο λ και ένα σημείο χωρίζει εσωτερικά το σε λόγο κ, να υπολογισθεί ο λόγος στον οποίο χωρίζει η ευθεία την πλευρά. M Ρ Έστω το σημείο τομής των,. ναζητάμε το λόγο. εταφέρουμε τους δοσμένους λόγους = λ και = κ πάνω στην, όπου ανήκει και ο ζητούμενος, φέρνοντας Ρ Ρ = = λ, Ρ = = κ (1). (2) = 1 = 1 M = 1 M = 1 κ (1) = 1 = κ (2) 5. εφαπτομένη ενός κύκλου σε σημείο του τέμνει τις εφαπτόμενες στα άκρα, μιας διαμέτρου, στα σημεία και αντίστοιχα. ν είναι το σημείο τομής των,, να αποδείξετε ότι. ρκεί να αποδείξουμε ότι σαν κάθετες στην τα τρ., έχουν πλευρές ανάλογες, δηλαδή = αλλά = και = σαν εφαπτόμενα τμήματα = ε το αντίστροφο του Θ.Θαλή στο τρ. έχουμε

Σχετικά έγγραφα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 1 7.8 7.9 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 162 163 ρωτήσεις Κατανόησης 1. Να εξηγήσετε γιατί τα ίχνη, της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας τριγώνου είναι συζυγή αρμονικά των και. πάντηση