Διαστατική Ανάλυση και Υπολογισμός της Ισχύος και

Transcript

1 Διαστατική Ανάλυση και Υπολογισμός της Ισχύος και Άλλων Μεγεθών της Πρώτης Ατομικής Βόμβας Διονύσης Στεφανάτος Ειδικός Επιστήμονας, Στρατιωτική Σχολή Ευελπίδων

2 Περίληψη Εισαγωγή Η διαστατική ανάλυση στη Φυσική Παραδείγματα Προσεγγιστικός υπολογισμός της ισχύος και άλλων χαρακτηριστικών μεγεθών (ταχύτητας και πίεσης του ωστικού κύματος, ταχύτητας ανόδου του «μανιταριού») της πρώτης ατομικής βόμβας

3 Εισαγωγή Τα φυσικά μεγέθη που συνοδεύονται από μονάδες λέμε ότι έχουν διαστάσεις. Οι καθαροί αριθμοί όπως το 2 ή το π χαρακτηρίζονται ως αδιάστατοι Η βασική αρχή της διαστατικής ανάλυσης είναι ότι σε μία εξίσωση το δεξιό και το αριστερό μέλος πρέπει να έχουν τις ίδιες διαστάσεις Όπως θα δούμε, αυτή η απλή αρχή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δώσει γρήγορες προσεγγιστικές απαντήσεις σε ενδιαφέροντα προβλήματα

4 Θεμελιώδεις διαστάσεις Σε πολλά προβλήματα πχ από τη Μηχανική, απαντώνται συνήθως 3 θεμελιώδεις διαστάσεις Μήκος L, μάζα M, χρόνος T Οι διαστάσεις των υπολοίπων μεγεθών μπορούν να εκφραστούν με βάση τις θεμελιώδεις Συμβολίζουμε τη διάσταση ενός μεγέθους X με X

5 Απλά παραδείγματα από τη Μηχανική Ταχύτητα v v = LT 1 Επιτάχυνση a a = LT 2 Δύναμη F = ma F = LMT 2 Ενέργεια E = 1 2 mv2 E = L 2 MT 2 Βαρυτική σταθερά G = Fr2 Mm G = L 3 M 1 T 2

6 Περιορισμοί Υπάρχουν περιπτώσεις φυσικών μεγεθών όπου οι τρεις θεμελιώδεις διαστάσεις δεν επαρκούν για να τα περιγράψουν Πχ, σε κάποια προβλήματα είναι χρήσιμη η εισαγωγή περαιτέρω διαστάσεων, όπως η θερμοκρασία ή το ηλεκτρικό φορτίο Σε άλλες περιπτώσεις μπορεί να χρησιμοποιήσουμε διαφορετικές μονάδες για το ίδιο μέγεθος, όταν πχ ένα σώμα κινείται πάνω σε ένα τραπέζι η μετατόπιση του μετριέται σε εκατοστά, ενώ οι διακυμάνσεις στο ύψος του επειδή το τραπέζι δεν είναι λείο σε δέκατα του χιλιοστού

7 Το βασικό θεώρημα της διαστατικής ανάλυσης Κάθε εξίσωση που εξάγουμε πρέπει να είναι διαστατικά συνεπής, δηλαδή το αριστερό και δεξιό μέλος να έχουν τις ίδιες διαστάσεις Αυτός ο απλός έλεγχος μας βοηθά να διαπιστώσουμε άμεσα αν μια λύση είναι σωστή ή όχι Επιπλέον, υπάρχουν προβλήματα που μπορούν να απαντηθούν με χρήση μόνο διαστατικής ανάλυσης, αποφεύγοντας έτσι περίπλοκους υπολογισμούς! Θα δώσουμε το γενικό πλαίσιο αυτών των προβλημάτων

8 Το βασικό θεώρημα της διαστατικής ανάλυσης Ξεκινάμε με την παρατήρηση ότι φυσικά μεγέθη που έχουν διαστάσεις, όπως το μήκος L, μπορούν να εμφανίζονται σε μια εξίσωση μόνο με τη μορφή δύναμης, πχ L k Ένα μέγεθος με διαστάσεις δεν μπορεί να εμφανίζεται σε συναρτήσεις όπως e L, sin L, ln L γιατί πχ e L = 1 + L 1! + L2 2! + L3 3! + Η παραπάνω εξίσωση υποδηλώνει ότι πρέπει να προσθέσουμε έναν καθαρό αριθμό (1) με μήκος (L), εμβαδόν (L 2 ), όγκο (L 3 ) κλπ

9 Το βασικό θεώρημα της διαστατικής ανάλυσης Το συμπέρασμα είναι ότι το όρισμα x συναρτήσεων της μορφής e x, sin x, ln x κλπ πρέπει να είναι αδιάστατο, ενώ αν το x έχει διαστάσεις μπορεί να εμφανίζεται μόνο σε δυνάμεις x k Ας θεωρήσουμε ένα φυσικό μέγεθος X που η διάστασή του μπορεί να εκφραστεί βάσει των τριών θεμελιωδών διαστάσεων. Σύμφωνα με τα παραπάνω X = L k M l T m Οι εκθέτες k, l, m δεν είναι απαραίτητα ακέραιοι, γενικά όμως είναι ρητοί αριθμοί.

10 Το βασικό θεώρημα της διαστατικής ανάλυσης Συνήθως θέλουμε να εκφράσουμε το μέγεθος X συναρτήσει άλλων μεγεθών X i, που αποτελούν τα δεδομένα του προβλήματος Εστιάζουμε στην περίπτωση που έχουμε τρία τέτοια μεγέθη X 1, X 2, X 3 τα οποία πρέπει να είναι διαστατικά ανεξάρτητα, δηλαδή με κατάλληλους συνδυασμούς τους να μπορούμε να φτιάξουμε μεγέθη με διαστάσεις μήκος, μάζα και χρόνο. Αν X 1 = L k 1M l 1T m 1, X 2 = L k 2M l 2T m 2, X 3 = L k 3M l 3T m 3 Όπου οι εκθέτες k i, l i, m i για i = 1, 2, 3 είναι γνωστοί αφού τα αντίστοιχα μεγέθη είναι γνωστά

11 Το βασικό θεώρημα της διαστατικής ανάλυσης Τότε μπορούμε να εκφράσουμε το άγνωστο μέγεθος X ώς X = CX 1 x X 2 y X 3 z, όπου το C είναι μια αδιάστατη σταθερά Οι άγνωστοι εκθέτες x, y, z προσδιορίζονται από την απαίτηση να συμφωνούν οι διαστάσεις στα δύο μέλη της εξίσωσης, δηλαδή X = L k M l T m X 1 x X 2 y X 3 z = L k M l T m

12 Το βασικό θεώρημα της διαστατικής ανάλυσης Χρησιμοποιώντας τις γνωστές διαστάσεις των X 1, X 2, X 3 έχουμε L k 1M l 1T m 1 x L k 2M l 2T m 2 y L k 3M l 3T m 3 z = L k M l T m L k 1x+k 2 y+k 3 z M l 1x+l 2 y+l 3 z T m 1x+m 2 y+m 3 z k 1 x + k 2 y + k 3 z = k l 1 x + l 2 y + l 3 z = l m 1 x + m 2 y + m 3 z = m = L k M l T m

13 Το βασικό θεώρημα της διαστατικής ανάλυσης Οι άγνωστοι εκθέτες προσδιορίζονται από την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους Όταν τα μεγέθη X 1, X 2, X 3 είναι διαστατικά ανεξάρτητα, η ορίζουσα του συστήματος είναι μη μηδενική και το σύστημα έχει μοναδική λύση Ο άγνωστος αδιάστατος συντελεστής C στην εξίσωση X = CX 1 x X 2 y X 3 z μπορεί να είναι απλά ένας αριθμός ή να εξαρτάται από τυχόν αδιάστατες παραμέτρους του προβλήματος

14 Παράδειγμα: Μέγιστο ύψος και βεληνεκές πλάγιας βολής Θα θέλαμε να βρούμε εκφράσεις για το μέγιστο ύψος h και το βεληνεκές R συναρτήσει των μεταβλητών του προβλήματος Και τα δύο μεγέθη έχουν διαστάσεις μήκους h = R = L

15 Παράδειγμα: Μέγιστο ύψος και βεληνεκές πλάγιας βολής Υπάρχουν 4 μεταβλητές από τις οποίες μπορεί να εξαρτώνται τα μεγέθη αυτά Η αδιάστατη γωνία φ, φ = 0 Η μάζα του βλήματος m, m = M Η επιτάχυνση της βαρύτητας g, g = LT 2 Η αρχική ταχύτητα v 0, v 0 = LT 1

16 Παράδειγμα: Μέγιστο ύψος και βεληνεκές πλάγιας βολής Τα τρία τελευταία μεγέθη είναι διαστατικά ανεξάρτητα Η αδιάστατη γωνία φ μπορεί να εμφανίζεται μόνο στο συντελεστή C. Σχηματίζουμε λοιπόν την έκφραση C φ m x v 0 y g z Η έκφραση αυτή μπορεί να περιγράψει τη διαστατική εξάρτηση τόσο του μέγιστου ύψους όσο και του βεληνεκούς, αφού και τα δύο μεγέθη έχουν την ίδια διάσταση (μήκος). Σε καθένα μέγεθος θα αντιστοιχεί ένας διαφορετικός αδιάστατος συντελεστής C φ

17 Παράδειγμα: Μέγιστο ύψος και βεληνεκές πλάγιας βολής Από τη σχέση m x v y 0 g z = L προκύπτει το σύστημα x = 0 y + z = 1 y + 2z = 0 Η λύση είναι x = 0, y = 2, z = 1

18 Παράδειγμα: Μέγιστο ύψος και βεληνεκές πλάγιας βολής Τελικά h = C h φ v 0 2, R = C g R φ v 2 0. Αν δεν μας ενδιαφέρουν οι g σταθερές, μπορούμε να γράψουμε h~ v 0 2, R~ v 2 0 g g Από τις παραπάνω σχέσεις μπορούμε να εξάγουμε χρήσιμες πληροφορίες. Πχ αν διπλασιάσουμε την αρχική ταχύτητα, το μέγιστο ύψος και το βεληνεκές τετραπλασιάζονται! Από τη Μηχανική γνωρίζουμε ότι C h φ = sin2 φ 2, C R φ = sin 2φ

19 Παράδειγμα: Δύναμης αντίστασης σε σώμα που κινείται εντός ρευστού Θεωρούμε ένα σώμα ενεργού διατομής A που κινείται με ταχύτητα v εντός ρευστού πυκνότητας ρ Θέλουμε να εκφράσουμε τη δύναμη αντίστασης D που δέχεται το σώμα συναρτήσει των παραπάνω μεγεθών

20 Παράδειγμα: Δύναμης αντίστασης σε σώμα που κινείται εντός ρευστού Οι διαστάσεις των διαφόρων μεγεθών είναι Δύναμη D = LMT 2 Πυκνότητα ρ = L 3 M Επιφάνεια A = L 2 Ταχύτητα v = LT 1

21 Παράδειγμα: Δύναμης αντίστασης σε σώμα που κινείται εντός ρευστού D ~ ρ x A y v z D = ρ x A y v z x = 1 3x + 2y + z = 1 z = 2

22 Παράδειγμα: Δύναμης αντίστασης σε σώμα που κινείται εντός ρευστού x = 1, y = 1, z = 2 D ~ ρav 2 Πόση ισχύ P χρειάζεται το σώμα για να κινείται με σταθερή ταχύτητα? P = Dv P~ρAv 3

23 Παράδειγμα: Οι θεμελιώδεις σταθερές της Φυσικής και η ενέργεια του επιταχυντή LHC στο CERN

24 Παράδειγμα: Οι θεμελιώδεις σταθερές της Φυσικής και η ενέργεια του επιταχυντή LHC στο CERN Οι 3 θεμελιώδεις σταθερές της Φυσικής Βαρυτική σταθερά G m 3 Kg 1 s 2 (Παγκόσμια Έλξη, Γενική Σχετικότητα) Ταχύτητα του φωτός c ms 1 (Ηλεκτρομαγνητισμός, Ειδική Σχετικότητα) Σταθερά του Planck ħ m 2 Kg s 1 (Κβαντομηχανική)

25 Παράδειγμα: Οι θεμελιώδεις σταθερές της Φυσικής και η ενέργεια του επιταχυντή LHC στο CERN Από τις 3 σταθερές, που είναι διαστατικά ανεξάρτητες, θέλουμε να συνθέσουμε ένα μέγεθος με διαστάσεις μήκους, το λεγόμενο μήκος του Planck Αυτό είναι το χαρακτηριστικό μήκος στο οποίο η Βαρύτητα, η Κβαντομηχανική και η δομή του χωροχρόνου παίζουν όλες σημαντικό ρόλο Όλες οι ενδείξεις συγκλίνουν στο ότι αυτή είναι η μικρότερη χωρική κλίμακα στο σύμπαν. Για μικρότερες αποστάσεις η ίδια η έννοια του χώρου φαίνεται να χάνει το νόημά της

26 Παράδειγμα: Οι θεμελιώδεις σταθερές της Φυσικής και η ενέργεια του επιταχυντή LHC στο CERN

27 Παράδειγμα: Οι θεμελιώδεις σταθερές της Φυσικής και η ενέργεια του επιταχυντή LHC στο CERN l p = G x ħ y c z l p = G x ħ y c z x + y = 0 3x + 2y + z = 1 2x y z = 0

28 Παράδειγμα: Οι θεμελιώδεις σταθερές της Φυσικής και η ενέργεια του επιταχυντή LHC στο CERN x = y = 1 2, z = 3 2 l p = Għ c 3 ~10 35 m Αυτό είναι το μήκος του Planck. Θα το χρησιμοποιήσουμε για να υπολογίσουμε την τάξη μεγέθους της ενέργειας. Ο χρόνος t p που χρειάζεται το φως για να διανύσει αυτό το μήκος είναι t p = l p c με αντίστοιχη συχνότητα ω = 1 t p

29 Παράδειγμα: Οι θεμελιώδεις σταθερές της Φυσικής και η ενέργεια του επιταχυντή LHC στο CERN E = ħω από την Κβαντομηχανική, οπότε E p = ħ = ħc ~10 9 J~10 19 GeV (1GeV~10 10 J) t p l p Αν θέλουμε να διερευνήσουμε την Κβαντική Βαρύτητα (συνδυασμός Κβαντομηχανικής και Γενικής Σχετικότητας) στη Γη, θα πρέπει να φτιάξουμε επιταχυντές που επιταχύνουν τα σωματίδια σε ενέργειες της τάξης του E p Ο επιταχυντής LHC του CERN λειτουργεί σε ενέργειες της τάξης των 10ΤeV = 10 4 GeV

30 Παράδειγμα: Διαστατικά εξαρτημένα μεγέθη Έστω ότι θέλουμε να εκφράσουμε το φυσικό μέγεθος της δύναμης F ως συνάρτηση των μεγεθών της της μάζας m, της ταχύτητας v και της ενέργειας E, F~ m x v y E z F = m x v y E z x = 0 y + z = 1 y + z = 2

31 Παράδειγμα: Διαστατικά εξαρτημένα μεγέθη Το γραμμικό σύστημα δεν έχει λύση και εύκολα μπορούμε να επαληθεύσουμε ότι η ορίζουσά του είναι ίση με 0 Αυτό συμβαίνει γιατί τα μεγέθη m, v, E είναι διαστατικά εξαρτημένα Η αλληλεξάρτηση αυτή γίνεται προφανής αν αναλογιστούμε την έκφραση για την κινητική ενέργεια E~mv 2

32 Προσεγγιστικός υπολογισμός της ισχύος της πρώτης ατομικής βόμβας Θα δούμε πως με τη χρήση διαστατικής ανάλυσης μπορούμε να εξάγουμε μια εξίσωση για την ενέργεια μιας ατομικής βόμβας Στη συνέχεια και με χρήση απλών πειραματικών δεδομένων θα υπολογίσουμε μια προσέγγιση αυτής της ενέργειας Το παράδειγμα αυτό επιδεικνύει την ισχύ της διαστατικής ανάλυσης ως μεθόδου για τη γρήγορη εκτίμηση ενός μεγέθους

33 Σύντομη ιστορική αναδρομή Το 1941, ο Βρετανός φυσικός Geoffrey Taylor συνέταξε μια απόρρητη μελέτη των μηχανικών φαινομένων που ακολουθούν την απελευθέρωση μιας μεγάλη ποσότητα ενέργειας σε πολύ μικρό χώρο, όπως συμβαίνει κατά την έκρηξη μιας ατομικής βόμβας. Την ίδια εποχή, ο διάσημος μαθηματικός John Von Neumann που εργαζόταν στο πρόγραμμα Μανχάταν για την κατασκευή της ατομικής βόμβας, δημοσίευσε την ακριβή λύση του προβλήματος σε μια απόρρητη τεχνική αναφορά. Στη Σοβιετική Ένωση η επίλυση του προβλήματος έγινε από τον Leonid Sedov, μετέπειτα πρώτο διευθυντή του Σοβιετικού διαστημικού προγράμματος.

34 Σύντομη ιστορική αναδρομή Το 1945 πραγματοποιήθηκε η πρώτη έκρηξη ατομικής βόμβας (δοκιμή Trinity), στο Νέο Μεξικό των Η.Π.Α. Λίγα χρόνια αργότερα, μια σειρά φωτογραφιών της έκρηξης, που έφεραν επάνω χωρική κλίμακα αλλά και το χρόνο λήψης από την έναρξη του φαινομένου, είδαν το φως της δημοσιότητας. Χρησιμοποιώντας τις φωτογραφίες αυτές, ο Taylor κατάφερε να εκτιμήσει την ενέργεια της έκρηξης, που τότε ήταν ακόμα απόρρητη.

35 Φωτογραφίες της έκρηξης

36 Φωτογραφίες της έκρηξης Πώς κατάφερε ο Taylor να εκτιμήσει την ενέργεια της έκρηξης?

37 Βίντεο της έκρηξης

38 Εκτίμηση της ενέργειας της έκρηξης με χρήση διαστατικής ανάλυσης Η ανάλυση που ακολουθεί στηρίζεται σε δύο υποθέσεις: Η απελευθέρωση της ενέργειας E της έκρηξης έγινε σε πολύ μικρό χώρο, που μπορεί ιδανικά να θεωρηθεί σαν ένα σημείο Το ωστικό κύμα έχει σφαιρική συμμετρία ως προς το σημείο αυτό, οπότε η θέση του μπορεί να προσδιοριστεί από την ακτίνα R ως συνάρτηση του χρόνου t

39 Εκτίμηση της ενέργειας της έκρηξης με χρήση διαστατικής ανάλυσης Από τις φωτογραφίες μπορούν να προσδιοριστούν τιμές της ακτίνας R για διάφορες τιμές του χρόνου t. Για να μπορέσουμε να εκμεταλλευτούμε τις πληροφορίες αυτές θα πρέπει να εκφράσουμε την ακτίνα συναρτήσει των μεγεθών: Ενέργεια έκρηξης E Χρόνος t Αρχική πυκνότητα αέρα ρ (η πυκνότητα του μέσου που περιβάλλει το ωστικό κύμα)

40 Εκτίμηση της ενέργειας της έκρηξης με χρήση διαστατικής ανάλυσης Διαστάσεις εμπλεκομένων μεγεθών: Ακτίνα ωστικού κύματος R = L Ενέργεια έκρηξης E = L 2 MT 2 Χρόνος t = T Αρχική πυκνότητα αέρα ρ = L 3 M

41 Εκτίμηση της ενέργειας της έκρηξης με χρήση διαστατικής ανάλυσης R~ E x t y ρ z R = E x t y ρ z x + z = 0 2x 3z = 1 y 2x = 0

42 Εκτίμηση της ενέργειας της έκρηξης με χρήση διαστατικής ανάλυσης x = 1 5, y = 2 5, z = 1 5 R~ E 1/5 t 2/5 ρ 1/5 Αν στην παραπάνω σχέση πάρουμε την αδιάστατη σταθερά ίση με τη μονάδα και λύσουμε ως προς την ενέργεια βρίσκουμε: E = ρr5 t 2

43 Εκτίμηση της ενέργειας της έκρηξης με χρήση διαστατικής ανάλυσης Από τη φωτογραφία βρίσκουμε R 80 m για t = s Για την πυκνότητα του αέρα παίρνουμε την τιμή: ρ 1.20 kg/ m 3 Αντικαθιστώντας τις παραπάνω τιμές στον τύπο για την ενέργεια βρίσκουμε

44 Εκτίμηση της ενέργειας της έκρηξης με χρήση διαστατικής ανάλυσης E J Η ενέργεια που εκλύεται κατά την έκρηξη ενός τόνου TNT είναι 1 ton of TNT J Τελικά βρίσκουμε: E tons = 26.1 kilotons of TNT Η πραγματική ενέργεια της δοκιμής ήταν 20 kilotons of TNT

45 Εκτίμηση της ταχύτητας του ωστικού κύματος Ως ταχύτητα U του ωστικού κύματος ορίζεται ο ρυθμός αύξησης της ακτίνας R U = dr dt Για να βρούμε την παράγωγο, αναδιατάσσουμε την εξίσωση που δίνει την ενέργεια R 5 = E ρ t2 Στη συνέχεια παραγωγίζουμε και τα δύο μέλη ως προς χρόνο ( E ρ σταθερό)

46 Εκτίμηση της ταχύτητας του ωστικού κύματος 5R 4 U = 2E ρ t Όμως R 5 = E ρ t2 t = Τελικά ρr5 E U = 2 5 E ρr 3

47 Εκτίμηση της ταχύτητας του ωστικού κύματος Για R 80 m, ρ 1.20 kg/m 3, E J βρίσκουμε U 5300 m/s Θα συγκρίνουμε την ταχύτητα του ωστικού κύματος με την ταχύτητα του ήχου στον αέρα Για το σκοπό αυτό, θα κάνουμε μια εκτίμηση της ταχύτητας του ήχου

48 Σύγκριση με την ταχύτητα του ήχου στον αέρα Η ταχύτητα του ήχου στον αέρα εξαρτάται από την πυκνότητα ρ και την ατμοσφαιρική πίεση p 0 Αν και έχουμε μόνο 2 μεγέθη αντί για 3, μπορούμε να φτιάξουμε από αυτά ένα μέγεθος με διαστάσεις ταχύτητας v = LT 1 v~ρ x y p 0 ρ = L 3 M p 0 = L 1 MT 2

49 Σύγκριση με την ταχύτητα του ήχου στον αέρα v ~[ρ x ][p y 0 ] 3x y = 1 x + y = 0 2y = 1 x = 1, y = 1 2 2

50 Σύγκριση με την ταχύτητα του ήχου στον αέρα v~ p 0 ρ ρ 1.20 kg/m 3, p 0 = 1 atm Pa (1 Pa = 1N/m 2 ) v~290 m/s (υπενθυμίζουμε ότι η ταχύτητα του ήχου ~340 m/s) Τελικά προκύπτει ότι η ταχύτητα του ωστικού κύματος στα 80 m από το σημείο της έκρηξης είναι υπερδεκαπλάσια από αυτήν του ήχου!

51 Εκτίμηση της πίεσης του ωστικού κύματος Θα εκφράσουμε την πίεση p του ωστικού κύματος συναρτήσει της πυκνότητας ρ, της ενέργειας E και της ακτίνας R p~ρ x E y R z p = L 1 MT 2 E = L 2 MT 2 ρ = L 3 M [R] = L

52 Εκτίμηση της πίεσης του ωστικού κύματος p = ρ x [E y ][R z ] 3x + 2y + z = 1 x + y = 1 2y = 2 x = 0, y = 1, z = 3

53 Εκτίμηση της πίεσης του ωστικού κύματος p~ E R 3 E J, R 80 m p Pa 2100 atm Για να έχουμε μια εικόνα αυτού του μεγέθους, θα υπολογίσουμε το ύψος που πρέπει να έχει μία στήλη νερού για να ασκεί την ίδια πίεση στον πυθμένα

54 Σύγκριση με υδροστατική πίεση Η πίεση P που ασκεί μία στήλη νερού βάρους B σε επιφάνεια A του πυθμένα είναι P = B A Όμως B = mg, όπου m η μάζα του νερού, g η επιτάχυνση της βαρύτητας m = ρv, όπου ρ η πυκνότητα του νερού, V ο όγκος της στήλης V = Ah, h το ύψος της στήλης

55 Σύγκριση με υδροστατική πίεση Τελικά P = B A = ρgh Στο ίδιο αποτέλεσμα θα καταλήγαμε και με χρήση διαστατικής ανάλυσης h = P ρg

56 Σύγκριση με υδροστατική πίεση Η πυκνότητα του νερού είναι ρ = 1 g kg 3 = 103 g 9.81 m/s 2 P Pa Τελικά βρίσκουμε h 20 km Στο βαθύτερο σημείο των ωκεανών που είναι η Τάφρος των Μαριανών, το βάθος φτάνει μόλις τα 11 km!!! cm m 3

57 Σύγκριση με υδροστατική πίεση Στο βαθύτερο σημείο των ωκεανών που είναι η Τάφρος των Μαριανών, το βάθος φτάνει μόλις τα 11 km!!!

58 Προσεγγιστικός υπολογισμός της ταχύτητας ανόδου του «μανιταριού» της έκρηξης Όταν το ωστικό κύμα εξασθενήσει, αφήνει πίσω του ένα σφαιρικό νέφος χαμηλής πυκνότητας, σε σχέση με αυτή του αέρα, και πολύ υψηλής θερμοκρασίας Το θερμό σφαιρικό νέφος κινείται προς τα πάνω όπως ένα μπαλόνι με θερμό αέρα, σχηματίζοντας το γνωστό «μανιτάρι» Θα εκτιμήσουμε την ταχύτητα ανόδου του μανιταριού

59 Προσεγγιστικός υπολογισμός της ταχύτητας ανόδου του «μανιταριού» της έκρηξης Άνωση Αντίσταση αέρα Στο σφαιρικό νέφος ασκούνται κυρίως η άνωση και η αντίσταση του αέρα Αφού η πυκνότητα του νέφους είναι πολύ μικρότερη από αυτή του ατμοσφαιρικού αέρα, μπορούμε να αγνοήσουμε το βάρος του

60 Προσεγγιστικός υπολογισμός της ταχύτητας ανόδου του «μανιταριού» της έκρηξης Άνωση Αντίσταση αέρα Η αρχή του Αρχιμήδη μας λέει ότι η άνωση είναι ίση με το βάρος του ρευστού που εκτοπίζεται Το βάρος του ατμοσφαιρικού αέρα που εκτοπίζεται από το νέφος εξαρτάται από την πυκνότητα ρ του αέρα, την επιτάχυνση της βαρύτητας g, και την ακτίνα r του νέφους αφού ο όγκος του είναι V~r 3

61 Προσεγγιστικός υπολογισμός της ταχύτητας ανόδου του «μανιταριού» της έκρηξης Άνωση Αντίσταση αέρα Το βάρος του ατμοσφαιρικού αέρα που εκτοπίζεται από το νέφος εξαρτάται από την πυκνότητα ρ του αέρα, την επιτάχυνση της βαρύτητας g, και την ακτίνα r του νέφους αφού ο όγκος του είναι V~r 3 Η αντίσταση του αέρα εξαρτάται από την πυκνότητα ρ, την ταχύτητα ανόδου του νέφους v, και την ενεργό διατομή A~r 2

62 Προσεγγιστικός υπολογισμός της ταχύτητας ανόδου του «μανιταριού» της έκρηξης Το νέφος ανέρχεται με σταθερή ταχύτητα όταν η αντίσταση του αέρα εξισορροπεί την άνωση Στην περίπτωση αυτή, η ταχύτητα ανόδου v μπορεί να εκφραστεί συναρτήσει της πυκνότητας ρ του αέρα, της επιτάχυνσης της βαρύτητας g, και της ακτίνας r του νέφους v~ρ x g y r z

63 Προσεγγιστικός υπολογισμός της ταχύτητας ανόδου του «μανιταριού» της έκρηξης v = LT 1 ρ = L 3 M g = LT 2 r = L 3 M v ~ ρ x g y [r z ]

64 Προσεγγιστικός υπολογισμός της ταχύτητας ανόδου του «μανιταριού» της έκρηξης 3x + y + z = 1 x = 0 2y = 1 x = 0, y = 1 2, z = 1 2

65 Προσεγγιστικός υπολογισμός της ταχύτητας ανόδου του «μανιταριού» της έκρηξης v~ gr Ο Taylor εκτίμησε την ακτίνα του νέφους σε r 290 m g 9.81 m/s 2 v 53 m/s Η τιμή της ταχύτητας ανόδου όπως προκύπτει από τις φωτογραφίες της έκρηξης είναι 35 m/s. Η απόκλιση οφείλεται στην απουσία από τον τύπο που δίνει την εκτίμηση της ταχύτητας ενός παράγοντα 2/3, ο οποίος δεν μπορεί να εξαχθεί με διαστατική ανάλυση.

66 Αναφορές J. Doyle, Σημειώσεις, Physics 125 (Widely Applied Physics), Harvard University. Sir G. Taylor, The formation of a blast wave by a very intense explosion I: Theoretical discussion, Proceedings of the Royal Society A, vol. 201, pp , Sir G. Taylor, The formation of a blast wave by a very intense explosion II: The atomic explosion of 1945, Proceedings of the Royal Society A, vol. 201, pp , M. Deakin, G. I. Taylor and the Trinity test, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, vol. 42, pp , 2011 Α. Χαρτά και Γ. Κυριακάκη, Μαθήματα Φυσικής, Μέρος Πρώτο (Μηχανική 2, Ακουστική, Θερμότητα), Έκδοση Σ.Σ.Ε., 2005.