ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 113 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 152 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ 217 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 113 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 152 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ 217 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ"

Transcript

1 ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 113 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 15 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ 17 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 7 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ )

2 Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014

3 Περιεχόµενα 1 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1..1 ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ.1.1 ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ..1 ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ.3.1 ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ.4.1 ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ

4 3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ αx + β = ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Η ΕΞΙΣΩΣΗ x ν = α ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΠΡΟΣΗΜΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΚΑΙ ΠΗΛΙΚΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΠΡΟΟ ΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ

5 6 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αx + β ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Βιβλιογραφία Βιβλιογραφία Βιβλία 177 Βιβλία Ιστοσελίδες 177 Ιστοσελίδες 177

6

7 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.1 Τι ονοµάζουµε πείραµα τύχης ; Πείραµα τύχης ονοµάζουµε ένα πείραµα, του οποίου το αποτέλεσµα δεν µπορούµε να προβλέψουµε, πάρα το γεγονός ότι επαναλαµβάνεται κάτω από τις ίδιες συνθήκες (ϕαινοµενικά τουλάχιστον). ηλαδή το αποτέλεσµα της κάθε επανάληψης δεν επηρεάζει το αποτέλεσµα της επόµενης, ούτε επηρεάζεται από το αποτέλεσµα της προηγούµενης. Ερώτηση 1. Ποιο πείραµα λέγεται αιτιοκρατικό ; Αιτιοκρατικό είναι το πείραµα, του οποίου το αποτέλεσµα καθορίζεται πλήρως από τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγµατοποιείται. Ερώτηση 1.3 Τι ονοµάζουµε δειγµατικό χώρο ενός πειράµατος τύχης ; ειγµατικός χώρος είναι το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσµάτων του πειράµατος τύχης. Ερώτηση 1.4 Τι λέγεται ενδεχόµενο ; Ενδεχόµενο, είναι το σύνολο που περιέχει ένα ή περισσότερα αποτελέσµατα ενός πειράµατος τύχης. Ερώτηση 1.5 Ποιο ενδεχόµενο λέγεται απλό και ποιο σύνθετο ; Απλό λέγεται το ενδεχόµενο, που περιέχει µόνο ένα στοιχείο, και σύνθετο αυτό που περιέχει δυο ή και περισσότερα στοιχεία.

8 Ερώτηση 1.6 Ποιό ενδεχόµενο λέγεται ϐέβαιο και ποιο αδύνατο ; Βέβαιο λέγεται το ενδεχόµενο, που περιέχει όλα τα στοιχεία του δειγµατικού χώρου και πραγµατοποιείται πάντα. Αδύνατο είναι το κενό σύνολο και δεν πραγµατοποιείται ποτέ. Ερώτηση 1.7 Ποια ενδεχόµενα αντιστοιχούν στις παρακάτω εκφράσεις ; 1. Πραγµατοποιείται το Α. Πραγµατοποιείται µόνο το Α 3. Πραγµατοποιείτε το Α ή το Β ( Πραγµατοποιείται τουλάχιστον ένα από τα Α, Β). 4. Πραγµατοποιείται το Α και το Β (Πραγµατοποιούνται ταυτόχρονα τα Α και Β). 5. Πραγµατοποιείται µόνο ένα από τα Α και Β. 6. Πραγµατοποιείται το πολύ ένα από τα Α και Β. 7. εν πραγµατοποιείται το Α. 8. εν πραγµατοποιείται κανένα από τα Α και Β. 1. A. A B = A B 3. A B. 4. A B. 5. (A B) (B A). 6. (A B) = A B. 7. A. 8. (A B) = A B. Ερώτηση 1.8 Πότε τα ενδεχόµενα Α και Β λέγονται ασυµβίβαστα ; Ασυµβίβαστα λέγονται τα ενδεχόµενα που δεν έχουν κοινά στοιχειά. ηλαδή A B = Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 8

9 1.1. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ Θέµα 1.1 ιαθέτουµε τρεις κάρτες αριθµηµένες από το 1 έως το 5. Τοποθετούµε τυχαία µια µια τις κάρτες, µέχρι να εµφανιστούν µονές ή Ϲυγές ενδείξεις. Να ϐρείτε i. Το δειγµατικό χώρο του πειράµατος τύχης. ii. Το ενδεχόµενο Α να έχουµε τραβήξει µόνο κάρτες. iii. Το ενδεχόµενο Β να εµφανιστεί µόνο µια κάρτα µε Ϲυγή ένδειξη. Λύση 1.1 i. Ο δειγµατικός χώρος προσδιορίζεται από το παρακάτω δεντροδιάγραµµα και είναι το σύνολο ii. A = {ZZ, MM} iii. B = {ZMM, MZM} Ω = {ZZ, ZMZ, ZMM, MZZ, MZM, MM} Σχήµα 1.1: εντροδιάγραµµα Θέµα 1. Μέσα σ ένα κλειστό κουτί υπάρχουν 4 µπάλες αριθµηµένες από 1 έως το 4. Επιλέγω τυχαία µια µπάλα, καταγράφω τον αριθµό της, την ξαναβάζω µέσα στο κουτί και επαναλαµβάνω µια ακόµη ϕορά τη διαδικασία. i. Να ϐρείτε το δειγµατικό χώρο του πειράµατος τύχης. ii. Να ϐρείτε το ενδεχόµενο Α να έχουµε Ϲυγούς αριθµούς. Λύση 1. Θα µπορούσαµε να προσδιορίσουµε το δειγµατικό χώρο και µε δεντροδιάγραµ- µα, όπως στην προηγούµενη άσκηση, άλλα τώρα ϑα δείξουµε τον πίνακα διπλής εισόδου. 1η µπάλα η µπάλα (1,1) (1,) (1, 3) (1,4) (,1) (,) (, 3) (,4) 3 (3,1) (3,) (3, 3) (3,4) 4 (4,1) (4,) (4, 3) (4,4) Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 9

10 i. Ο δειγµατικός χώρος είναι ο Ω = {(1, 1), (1, ), (1, 3), (1, 4), (, 1), (, ), (, 3), (, 4), (3, 1), (3, ), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, ), (4, 3), (4, 4)} ii. Το ενδεχόµενο A = {(, ), (4, 4)} Θέµα 1.3 Σ ένα πείραµα τύχης δίνεται ο δειγµατικός χώρος Ω = {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} και τα ενδεχόµενα A = {1, 3, 5, 7, 8}, B = {, 4, 6, 8}. Να ϐρείτε τα ενδεχόµενα : i. Α ii. Β iii. A B iv. A B v. A B vi. B A Λύση 1.3 Κατασκευάζουµε το διάγραµµα Venn i. Τα στοιχεία του Α είναι όλα τα στοιχεία του Ω που δεν είναι στο Α. A = {, 4, 6, 9, 10} ii. Τα στοιχεία του Β είναι όλα τα στοιχεία του Ω που δεν είναι στο Β. B = {1, 3, 5, 7, 9, 10} iii. Τα στοιχεία του A B είναι στοιχεία του Ω που ανήκουν στο Α ή του Β. A B = {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8} iv. Τα στοιχεία του A B είναι στοιχεία του Ω που ανήκουν στο Α και του Β. A B = {8} v. Το Α - Β έχει στοιχεία του Α τα οποία όµως δεν ανήκουν στο Β A B = {1, 3, 5, 7} vi. Το Β - Α έχει στοιχεία του Β τα οποία όµως δεν ανήκουν στο Α B A = {, 4, 6} Σχήµα 1.: ιάγραµµα Venn Θέµα 1.4 Αν A = {, 3, 5}, B = {1, 3, 5, 6} δύο ενδεχόµενα του δειγµατικού χώρου Ω = {1,, 3, 4, 5, 6} να ϐρεθούν : i. Τα ενδεχόµενα (A B) και A B. Τι παρατηρείτε ; ii. Τα ενδεχόµενα (A B) και A B. Τι παρατηρείτε ; iii. Να δείξετε ότι (A B) (A B) = A. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 10

11 Λύση 1.4 i. A B = {1,, 3, 5, 6} άρα (A B) = {4} A = {1, 4, 6}, B = {, 4} άρα A B = {4} οπότε (A B) = A B ii. A B = {3, 5} άρα (A B) = {1,, 4, 6} A = {1, 4, 6}, B = {, 4} άρα A B = {1,, 4, 6} οπότε (A B) = A B iii. Ειναι,A B = {} και A B = {3, 5} άρα (A B) (A B) = {, 3, 5} = A Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 11

12 1.1.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Σ έναν διαγωνισµό χορού συµµετέχουν 4 γυναίκες (Άννα, Βάσω, Γιάννα, όµνα) και 4 άνδρες (Κώστας, Λάµπρος, Μανώλης, Νίκος). Αν µε κλήρωση επιλεγούν τα Ϲευγάρια για να διαγωνιστούν, να προσδιορίσετε τον δειγµατικό χώρο του πειράµατος.. Από το σύνολο {, 5} επιλέγουµε τυχαία ψηφία και σχηµατίζουµε έναν τριψήφιο αριθµό. Να ϐρεθούν : i. Ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος ii. Το ενδεχόµενο Α : «δύο τουλάχιστον ψηφία του αριθµού να είναι» iii. Το ενδεχόµενο Β: «ένα το πολύ ψηφίο του αριθµού να είναι» iv. τα ενδεχόµενα A B, A B, (A B) (B A) 3. Τρία άτοµα ένας άνδρας µια γυναίκα και ένα παιδί κάθονται σε τρία συνεχόµενα καθίσµατα. i. Να ϐρεθεί ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος. ii. Να ϐρεθεί το ενδεχόµενο Α : «Ο άνδρας να κάθεται δίπλα στη γυναίκα». iii. Να ϐρεθεί το ενδεχόµενο Β: «Το παιδί δεν κάθεται δίπλα στον άνδρα». 4. ύο παίκτες πριν παίξουν ένα παιχνίδι συµφωνούν ότι νικητής ϑα είναι αυτός που ϑα κερδίσει πρώτος δύο παιχνίδια. Αν α είναι το αποτέλεσµα να κερδίσει ο πρώτος παίκτης και ϐ να κερδίσει ο δεύτερος παίκτης ένα παιχνίδι. i. Να ϐρεθεί ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος. ii. Να ϐρεθεί το ενδεχόµενο Α : «ο παίκτης να κερδίσει δύο συνεχόµενα παιχνίδια». 5. Ρίχνουµε ένα νόµισµα και σταµατάµε όταν έρθουν Γράµµατα (Γ) ή 3 κεφαλές (Κ). i. Να ϐρεθεί ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος. ii. Να ϐρεθεί το ενδεχόµενο Α : «ο αριθµός των Κ να υπερβαίνει τον αριθµό των Γ» 6. Από µια τάξη του Λυκείου επιλέγουµε τυχαία µια µαθήτρια και ϑεωρούµε τα ενδεχόµενα Α : «Η µαθήτρια παίζει µπάσκετ» Β: «Η µαθήτρια παίζει ϐόλεϊ» Να παρασταθούν µε διαγράµµατα Venn και να γραφούν µε τη ϐοήθεια των συνόλων τα ενδεχόµενα που ορίζονται από τις εκφράσεις : (αʹ) η µαθήτρια να µην παίζει µπάσκετ (ϐʹ) η µαθήτρια να παίζει τουλάχιστον ένα από τα δύο αθλήµατα (γʹ) η µαθήτρια να παίζει και τα δύο αθλήµατα (δʹ) η µαθήτρια να παίζει µπάσκετ αλλά όχι ϐόλεϊ (εʹ) η µαθήτρια να παίζει µόνο ένα από τα δύο αθλήµατα 7. Αν Α, Β ενδεχόµενα του δειγµατικού χώρου Ω, να παρασταθούν µε διαγράµµατα Venn και να γραφούν µε τη ϐοήθεια των συνόλων τα ενδεχόµενα που ορίζονται από τις εκφράσεις : i. εν πραγµατοποιείται κανένα από τα Α και Β. ii. Πραγµατοποιείται το πολύ ένα από τα Α και Β. 8. Σ ένα πείραµα τύχης δίνεται ο δειγµατικός χώρος Ω = {0, 1,, 3, 4, 5, 6} και τα ενδεχόµενα A = {1,, 3, 4, 6}, B = {0,, 3}. Να ϐρεθούν τα ενδεχόµενα : i. Α ii. A B iii. (A B) iv. A B v. (A B) vi. A (B A) 9. Σ ένα πείραµα τύχης δίνεται ο δειγµατικός χώρος Ω = { 1, 0, 1,, 3, 4, 5} και τα ενδεχόµενα A = { 1,, 3, 4}, B = { 1, 3, 5}. i. Να ϐρεθούν τα ενδεχόµενα (A B) και A B και να δείξετε ότι (A B) = A B ii. Να ϐρεθεί το ενδεχόµενο Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 1

13 A (B A) και να δείξετε ότι A (B A) = A B. 10. Σ ένα πείραµα τύχης δίνεται ο δειγµατικός χώρος Ω = { 3, 1, 0, 1,, 3, 4, 6} και τα ενδεχόµενα A = { 1,, 3, 4}, B = { 3, 1, 0, }. Να δείξετε ότι : (αʹ) B A = A B (ϐʹ) (A B) = B A 11. Σ ένα πείραµα τύχης δίνεται ο δειγµατικός χώρος Ω = {0, 1,, 3, 4, 6} και τα ενδεχόµενα A = {1,, 3, 4}, B = {0,, 3}. Να δείξετε ότι : i. A = (A B) (A B) = (A B ) (A B) ii. B = (B A) (B A) = (B A ) (B A) Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 13

14 1. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1..1 ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.9 Να δώσετε τον ορισµό της σχετικής συχνότητας ενός ενδεχοµένου Α. Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράµατος ένα ενδεχόµενο Α πραγµατοποιείται κ ϕορές, τότε ο λόγος κ ν ονοµάζεται σχετική συχνότητα του Α και συµβολίζεται µε f A. ηλαδή f A = κ ν. Ερώτηση 1.10 Να δώσετε τον ορισµό της στατιστικής οµαλότητας ή νόµο των µεγάλων αριθµών. Αν ο αριθµός των δοκιµών ενός πειράµατος τύχης αυξάνεται απεριόριστα, τότε οι σχετικές συχνότητες πραγµατοποίησης των ενδεχοµένων του πειράµατος σταθεροποιούνται γύρω από κάποιους αριθµούς (όχι πάντοτε ίδιους). Το εµπειρικό αυτό εξαγόµενο, το οποίο επιβεβαιώνεται και ϑεωρητικά, ονοµάζεται στατιστική οµαλότητα ή νόµος των µεγάλων αριθµών. Ερώτηση 1.11 Να δώσετε τον κλασσικό ορισµό της πιθανότητας. Αν τα δυνατά αποτελέσµατα ενός πειράµατος τύχης (στοιχεία του Ω) είναι ισοπίθανα, ονο- µάζουµε πιθανότητα οποιουδήποτε ενδεχοµένου Α τον αριθµό : P (A) = N(A) N(Ω) N(A) το πλήθος των στοιχείων του ενδεχοµένου Α. N(Ω) το πλήθος των στοιχείων του δειγµατικού χώρου Ω Ερώτηση 1.1 Να δώσετε τον αξιωµατικό ορισµό της πιθανότητας. Εστω Ω = ω 1, ω,..., ω ν ένας δειγµατικός χώρος µε πεπερασµένο πλήθος στοιχείων. Σε κάθε απλό ενδεχόµενο ω i αντιστοιχίζουµε έναν πραγµατικό αριθµό, που τον συµβολίζουµε µε P (ω i ) έτσι ώστε να ισχύουν : 1. 0 P (ω i ) 1. P (ω 1 ) + P (ω ) P (ω ν ) = 1 Τον αριθµό P (ω i ) ονοµάζουµε πιθανότητα του ενδεχοµένου ω i. Ως πιθανότητα P (A) ενός ενδεχοµένου A = {ω 1, ω,..., ω κ } ορίζουµε το άθροισµα P (ω 1 ) + P (ω ) P (ω κ ), ενώ ως πιθανότητα του αδύνατου ενδεχοµένου ορίζουµε τον αριθµό P ( ) = 0. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 14

15 Ερώτηση 1.13 Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυµβίβαστα µεταξύ τους ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει : P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = N(A B) N(Ω) = N(A) + N(B) N(Ω) = N(A) N(Ω) + N(B) N(Ω) = P (A) + P (B) Ερώτηση 1.14 Να αποδείξετε ότι για δύο συµπληρωµατικά ενδεχόµενα Α και Α ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει : P (A ) = 1 P (A) Είναι A A = και A A = Ω. Αρα P (A A ) = P (Ω) P (A) + P (A ) = 1 P (A ) = 1 P (A) Ερώτηση 1.15 Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει : P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = N(A B) N(Ω) = N(A) + N(B) N(A B) N(Ω) = N(A) N(Ω) + N(B) N(A B) N(Ω) N(Ω) = P (A) + P (B) P (A B) Ερώτηση 1.16 Εστω Α, Β δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω. Αν A B, τότε να αποδείξετε ότι P (A) P (B). A B N(A) N(B) N(A) N(Ω) N(B) N(Ω) P (A) P (B) Ερώτηση 1.17 Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει : P (A B) = P (A) P (A B) Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 15

16 P (A B) = N(A B) N(Ω) = N(A)) N(A B) N(Ω) = N(A) N(A B) N(Ω) N(Ω) = P (A) P (A B) Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 16

17 1.. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ Θέµα 1.5 Σ ένα κουτί έχει 10 κόκκινες µπάλες, 15 πράσινες µπάλες, 0 γκρι, 5 µαύρες και 30 άσπρες µπάλες. Αν επιλέξουµε στην τύχη µια µπάλα, να ϐρείτε τι πιθανότητα έχει να εµφανιστεί το κάθε χρώµα. Λύση 1.5 Είναι : N(K) = 10, N(Π) = 15, N(Γ) = 0, N(M) = 5, N(A) = 30, N(Ω) = N(K) + N(Π) + N(Γ) + N(M) + N(A) = = 80 Άρα : P (K) = N(K) N(Ω) = = 1 8 P (Π) = N(Π) N(Ω) = = 3 16 P (Γ) = N(Γ) N(Ω) = 0 80 = 1 4 P (M) = N(M) N(Ω) = 5 80 = 1 16 P (A) = N(A) N(Ω) = = 3 8 Θέµα 1.6 Ρίχνουµε ένα αµερόληπτο" Ϲάρι. i. Να ϐρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων : Αʹ: η ένδειξη του Ϲαριού είναι αριθµός µικρότερος του 5 Βʹ: η ένδειξη του Ϲαριού είναι άρτιος αριθµός, µεγαλύτερος ή ίσος του 4 Γʹ: η ένδειξη του Ϲαριού είναι διαιρέτης του αριθµού 6 και αριθµός µεγαλύτερος ή ίσος του. ii. Να εξετάσετε αν τα ενδεχόµενα Α, Β και Γ είναι ανά δύο ασυµβίβαστα. Λύση 1.6 i. Ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος τύχης είναι Ω = {1,, 3, 4, 5, 6} µε N(Ω) = 6 µε τα ενδεχόµενα : A = {1,, 3, 4} µε N(A) = 4 B = {4, 6} µε N(B) = Γ = {, 3, 6} µε N(Γ) = 3 Οι πιθανότητες των παραπάνω ενδεχοµένων είναι : P (A) = N(A) N(Ω) = 4 6 = 3 P (B) = N(B) N(Ω) = 6 = 1 3 P (Γ) = N(Γ) N(Ω) = 3 6 = 1 ii. Είναι A B = {4} άρα τα A, B δεν είναι ασυµβίβαστα. Είναι A Γ = {, 3} άρα τα A, Γ δεν είναι ασυµβίβαστα. Είναι B Γ = {6} άρα τα Γ, B δεν είναι ασυµβίβαστα. Θέµα 1.7 Θεωρούµε το δειγµατικό χώρο, Ω = {ω 1, ω, ω 3, ω 4 } Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 17

18 i. Αν P (ω 1 ) = 1 4, P (ω ) = 1 5, P (ω 3) = 3 8, να ϐρείτε το P (ω 4 ). ii. Αν P (ω 1 ) = P (ω 3 ) = 1 4 και P (ω ) = P (ω 4 ) να ϐρείτε τις P (ω ), P (ω 4 ) iii. Αν A = {ω 1, ω } και B = {ω, ω 3 } P (ω 1 ) = 1 6, P (A) = 1 4, P (B) = 1 3 να ϐρείτε το P (ω 4 ) Λύση 1.7 i. Είναι, P (Ω) = 1 P (ω 1 ) + P (ω ) + P (ω 3 ) + P (ω 4 ) = P (ω 4) = P (ω 4) = 1 P (ω 4 ) = P (ω 4 ) = 7 40 ii. Είναι, P (Ω) = 1 P (ω 1 ) + P (ω ) + P (ω 3 ) + P (ω 4 ) = P (ω 4) P (ω 4) = P (ω 4) = 1 3P (ω 4 ) = 1 1 3P (ω 4 ) = 1 P (ω 4 ) = 1 6 και P (ω ) = 1 6 = 1 3 iii. Είναι, P (A) = 1 4 P (ω 1 ) + P (ω ) = P (ω ) = 1 4 P (ω ) = P (ω ) = 1 1 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 18

19 Ακόµη, P (B) = 1 3 P (ω ) + P (ω 3 ) = P (ω 3) = 1 3 P (ω 3 ) = P (ω 3 ) = 1 4 Επειδή, P (Ω) = 1 P (ω 1 ) + P (ω ) + P (ω 3 ) + P (ω 4 ) = P (ω 4) = P (ω 4) = 1 P (ω 4 ) = 1 1 P (ω 4 ) = 1 Θέµα 1.8 Για τα ενδεχόµενα A, B ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύουν τα παρακάτω : P (B ) = 3 4, P (A B) = 3 3 και P (A B) = 5 10 να υπολογίσετε τις παρακάτω πιθανότητες : i. P (B) ii. P (A) iii. P (A B ) iv. P [(A B) (B A)] Λύση 1.8 i. P (B) = 1 P (B ) = = 1 4 ii. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) 3 5 = P (A) = P (A) P (A) = 13 0 iii. P (A B ) = P (A B) = P (A) P (A B) = = 7 10 iv. P [(A B) (B A)] = P (A) + P (B) P (A B) = = 3 10 Θέµα 1.9 Αν A, B δυο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε P (A) = 5 και P (B) = 3 4 i. Να εξετάσετε αν τα A, B είναι ασυµβίβαστα. 3 ii. Να αποδείξετε ότι, 0 P (A B) 5 iii. Να δειχθεί ότι P (A B) 1 4 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 19

20 Λύση 1.9 i. Θεωρώ ότι P (A B) = 0 και από τον τύπο P (A B = P (A) + P (B) = = 3 0 > 1 ΑΤΟΠΟ. Άρα A, B δεν είναι ασυµβίβαστα. Μεθοδολογία 1.1 Για να αποδείξω ότι δυο ενδεχόµενα δεν είναι ασυµβίβαστα αρκεί να δείξω ότι, A B δηλαδή ότι P (A B) 0. Αυτό γίνεται µε ΆΤΟΠΟ. Θεωρώ ότι P (A B) = 0 και από τον τύπο P (A B) = P (A) + P (B) καταλήγω σε άτοπο. ii. Είναι : 3 0 P (A B) 3 P (A) + P (B) P (A B) 0 το οποίο ισχύει. P (A B) P (A B) P (A) 5 το οποίο ισχύει, γιατί A B A P (A B) 4 P (A B) P (A B) 1 Μεθοδολογία 1. Για να αποδείξω ανισότητες µε πιθανότητες, αντικαθιστώ τους τύπους από τους κανόνες λογισµού πιθανοτήτων και µε ισοδυναµίες προσπαθώ να καταλήξω σε κάτι το οποίο προφανώς ισχύει. iii. Είναι : P (A B) 1 4 P (A) P (A B) P (A B) P (A B) 3 0 το οποίο ισχύει από το το i. P (A B) Θέµα 1.10 Αν A, B δυο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε P (A) = 0, 4, P (B) = 0, 3 και P (A B) = 0, 1, να ϐρείτε τις πιθανότητες : i. Να πραγµατοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα A και B. ii. Να µην πραγµατοποιηθεί κανένα από τα A και B. iii. Να πραγµατοποιηθεί µόνο το A. iv. Να πραγµατοποιηθεί µόνο ένα από τα A και B. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 0

21 Μεθοδολογία 1.3 Ενδεχόµενα που αντιστοιχούν στις παρακάτω εκφράσεις Φυσική γλώσσα Πιθανότητα ενδεχοµένου Πραγµατοποιείται το Α P (A) Πραγµατοποιείται µόνο το Α P (A B) = P (A B ) Πραγµατοποιείται το Α ή το Β P (A B) ( Πραγµατοποιείτε τουλάχιστον ένα από τα Α, Β) Πραγµατοποιείται το Α και το Β P (A B) (Πραγµατοποιούνται ταυτόχρονα τα Α και Β) Πραγµατοποιείται µόνο ένα από τα Α και Β P ((A B) (B A)) Πραγµατοποιείται το πολύ ένα από τα Α και Β P ((A B) ) = P (A B ) εν πραγµατοποιείται το Α P (A ) εν πραγµατοποιείται κανένα από τα Α και Β P ((A B) ) = P (A B ) Η πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα A και B είναι : P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = 0, 4 + 0, 3 0, 1 = 0, 6. Λύση 1.10 ii. i. Η πιθανότητα να µην πραγµατοποιηθεί κανένα από τα A και B είναι : P (A B) = 1 P (A B) = 1 0, 6 = 0, 4. iii. Η πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί µόνο το A είναι : P (A B) = P (A) P (A B) = 0, 4 0, 1 = 0, 3. iv. Η πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί µόνο ένα από τα A και B είναι : P [(A B) (B A)] = P (A) + P (B) P (A B) = 0, 4 + 0, 3 0, 1 = 0, 5. Θέµα 1.11 Αν A, B δυο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε P (A ) 11 5, P (B ) 13, να αποδείξετε ότι : 5 i. P (A B) 6 P (A B). 5 ii. A B. Λύση 1.11 i. Είναι : P (A ) 11 5 Ακόµα είναι : P (B ) P (A) 11 5 P (A) P (A) 14 5 (1) 1 P (B) 13 5 P (B) P (A) 1 5 () Προσθέτοντας κατά µέλη, τις (1), () έχουµε P (A) + P (B) 6 5 (3) Για να αποδείξω P (A B) 6 P (A B), έχω : 5 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 1

22 P (A B) 6 6 P (A B) P (A) + P (B) P (A B) P (A B) 5 5 P (A) + P (B) 6 5 το οποίο ισχύει από την (3). ii. Αν A B = τότε P (A B) = 0 και P (A B) = P (A) + P (B) 6 > 1 το οποίο είναι άτοπο. Άρα, A B 5 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

23 1..3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Γράφουµε τυχαία έναν ϕυσικό αριθµό από το 1 έως το 30. Αν : i. Α είναι το ενδεχόµενο να γράψουµε αριθµό πολλαπλάσιο του 3. ii. Β είναι το ενδεχόµενο να γράψουµε πολλαπλάσιο του 4. iii. Γ είναι το ενδεχόµενο να γράψουµε πολλαπλάσιο του 6. Να ϐρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχοµένων : i. A B ii. A Γ iii. B Γ iv. A B Γ. Ρίχνουµε ένα νόµισµα ϕορές και καταγράφουµε τις ενδείξεις κορώνα(κ) ή γράµ- µατα(γ). Να ϐρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχοµένων. i. Α να εµφανίζονται ακριβώς κορώνες. ii. Β να εµφανίζονται τουλάχιστον γράµµατα. iii. Γ να εµφανίζονται το πολύ κορώνες. iv. να εµφανίζεται ακριβώς ένα γραµµα. 3. Ρίχνουµε ένα Ϲάρι 3 ϕορές. Να ϐρείτε τι πιθανότητα έχει το ενδεχόµενο, να εµφανιστούν ενδείξεις που έχουν άθροισµα µεγαλύτερο του Από τους 8 µαθητές µιας τάξης, τα µισά αγόρια και τα µισά κορίτσια, έχουν υπολογιστή. Αν η πιθανότητα, να µην έχει υπολογιστή ένα αγόρι είναι, να ϐρείτε 3 14 πόσα είναι τα κορίτσια και ποια είναι η πιθανότητα του ενδεχόµενου, σε µια τυχαία επιλογή µαθητή, να είναι κορίτσι ή να έχει υπολογιστή. 5. Αν A, B δυο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω, µε P (A ) = 0, 5, P (A B ) = 0, 5 και P [(A B) ] = 0,, να ϐρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχοµένων : i. A ii. A B iii. A B iv. B 6. Αν A, B δυο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω, µε P (A ) = 0, 6, P (A B) = 0, 35 και P (A B) = 0, 55, να ϐρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχοµένων : i. A ii. B iii. A B iv. A B v. A B vi. A B 7. Αν A, B δυο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω, µε P (A ) = 0, 35, P (B) = 0, 3 και P (A B) = 0, 15, να ϐρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχοµένων : i. A ii. A B iii. A B iv. A B v. A B vi. A B 8. Αν A, B δυο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω, µε P (A) = 1 8, P (B) = 1 και P (A B) = 5 8 : i. Να εξετάσετε αν τα Α, Β δεν είναι ασυµβίβαστα. ii. Να ϐρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχοµένων : i. A ii. (A B) iii. A B iv. A B v. A B vi. A B 9. Αν A, B δυο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω, µε P (A )+P (B ) = 1,, P (B) = 0, 3 και P (A B) = 0,, να ϐρείτε τις πιθανότητες Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 3

24 των παρακάτω ενδεχοµένων : i. B A ii. A B 10. Αν A, B δυο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω, µε 10 P (A) P (B) = 3, 10 P (A) 10 P (B ) = 1 και P (A B) = 1, να ϐρείτε 5 τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχοµένων : i. A ii. B iii. A B iv. A B v. A B vi. A B 11. Αν A, B δυο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω, µε P (A B) = 0, 3, P (B) = 0, 3 και P (B A) = 0, 3, να ϐρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχοµένων : i. Να πραγµατοποιείτε µόνο το Α. ii. Να πραγµατοποιείτε ακριβώς ένα από τα Α και Β. iii. Να µην πραγµατοποιείτε κανένα από τα Α και Β. iv. Να µην πραγµατοποιούνται ταυτόχρονα τα Α και Β. 1. Αν A, B δυο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω, µε P (A B) = 0, 8, P (B) = 0, 4 και P (A) = 0, 5, να ϐρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχοµένων : i. Να πραγµατοποιούνται ταυτόχρονα τα Α και Β. ii. Να πραγµατοποιείται µόνο το Α. iii. Να πραγµατοποιείται ακριβώς ένα από τα Α και Β. iv. Να µην πραγµατοποιείται κανένα από τα Α και Β. v. Να µην πραγµατοποιείται τουλάχιστον ένα από τα Α και Β. 13. Αν A, B δυο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω, µε P (A) = 0, 8, P (B) = 0, 4. I. Να εξετάσετε αν τα Α, Β είναι ασυµβίβαστα. II. Να αποδείξετε τις ανισώσεις : i. 0, P (A B) 0, 4 ii. 0, 8 P (A B) Αν A, B δυο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω, µε P (A ) 3 P (A), P (B ) 0, 5. i. Να αποδείξετε ότι P (A B) + P (A B) 1. ii. Να εξετάσετε αν τα Α και Β δεν είναι ασυµβίβαστα. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 4

25 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση.1 Ποιος είναι ο άξονας των πραγµατικών αριθµών ; Οι πραγµατικοί αριθµοί αποτελούνται από τους ϱητούς και τους άρρητους αριθµούς, οι οποίοι παριστάνονται από τα σηµεία ενός άξονα, ο οποίος ονοµάζεται άξονας των πραγµατικών αριθµών. Ερώτηση. Ποια µορφή µπορεί να πάρει ένας ϱητός αριθµός ; Κάθε ϱητός αριθµός µπορεί να γραφεί σε κλασµατική µορφή, δηλαδή στη µορφή : α, β όπου α, β ακέραιοι µε β 6= 0. Οπως επίσης κάθε ϱητός γράφεται ως δεκαδικός ή πεϱιοδικός αριθµός και, αντιστρόφως, κάθε δεκαδικός ή περιοδικός, µπορεί να πάρει την κλασµατική µορφή. Ερώτηση.3 Ποιοι αριθµοί λέγονται άρρητοι ; Οι αριθµοί που δεν γράφονται σε κλασµατική µορφή, δηλαδή, δεν είναι ούτε δεκαδικοί, ούτε περιοδικοί, λέγονται άρρητοι αριθµοί. Ερώτηση.4 Ποιες είναι οι ϐασικές ιδιότητες της πρόσθεσης ; i. ii. iii. iv. α + β = β + α αντιµεταθετική ιδιότητα α + (β + γ) = (α + β) + γ προσεταιριστική ιδιότητα α + 0 = 0 + α = α το 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης. α + ( α) = ( α) + α = 0 αντίθετοι αριθµοί είναι αυτοί που έχουν άθροισµα 0.

26 Ερώτηση.5 Ποιες είναι οι ϐασικές ιδιότητες του πολλαπλασιασµού ; i. α β = β α αντιµεταθετική ιδιότητα ii. α (β γ) = (α β) γ προσεταιριστική ιδιότητα iii. α 1 = 1 α = α το 1 είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασµού. iv. α 1 α = 1 α = 1, α 0 αντίστροφοι αριθµοί είναι αυτοί που έχουν γινόµενο 1. α Ερώτηση.6 Πως ορίζεται η αφαίρεση µε τη ϐοήθεια της πρόσθεσης ; α + ( β) = α β αφαίρεση Ερώτηση.7 Πως ορίζεται η διαίρεση µε τη ϐοήθεια του πολλαπλασιασµού ; α ( 1 β ) = α β διαίρεση Ερώτηση.8 Ποιες άλλες ιδιότητες γνωρίζετε για την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασµό ; i. (α = β και γ = δ) α + γ = β + δ δηλαδή δυο ισότητες µπορούµε να τις προσθέσουµε κατά µέλη. ii. (α = β και γ = δ) α γ = β δ δηλαδή δυο ισότητες µπορούµε να τις πολλαπλασιάσουµε κατά µέλη. iii. α = β α + γ = β + γ δηλαδή σε µια ισότητα µπορούµε να προσθέσουµε ή να αφαιρέσουµε τον ίδιο αριθµό και στα δυο µέλη. iv. α = β α γ = β γ δηλαδή σε µια ισότητα µπορούµε να πολλαπλασιάσουµε ή να διαιρέσουµε τον ίδιο µη µηδενικό αριθµό και τα δυο µέλη. α = 0 v. α β = 0 ή β = 0 α 0 vi. α β 0 και β 0 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 6

27 Ερώτηση.9 Πως ορίζονται οι δυνάµεις ; Η δύναµη α ν, µε το α που ονοµάζεται ϐάση και είναι πραγµατικός αριθµός και µε το ν που ονοµάζεται εκθέτης και είναι ϕυσικός αριθµός µε ν, είναι το γινόµενο που αποτελείται από ν παράγοντες του α Επίσης ορίζουµε : i. α 1 = α ii. α 0 = 1, µε α 0 iii. α ν = 1 α ν, µε α 0 α ν = α α α }{{} ν, παράγοντες Ερώτηση.10 Ποιες είναι οι ιδιότητες των δυνάµεων ; Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΥΝΑΜΕΩΝ 1. α µ α ν = α µ+ν 4. α ν β ν = (α β) ν α µ. α ν = α ν αµ ν 5. β ν = ( α) ν β 3. α µ ν = ( ( ) α µ) ν α ν ( ) β ν 6. = β α Πίνακας.1: Ιδιότητες των δυνάµεων Ερώτηση.11 Να δειχθεί ότι, α = β α ν = β ν ; Ισχύει και το αντίστροφο ; Αν πολλαπλασιάσουµε ν ϕορές κατά µέλη την ισότητα α = β, ϑα έχουµε α ν = β ν. Το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα, αφού για παράδειγµα : ( ) = = 4 αλλά. Ερώτηση.1 Τι ονοµάζουµε ταυτότητα στην άλγεβρα ; Είναι ισότητες που περιέχουν µεταβλητές και επαληθεύονται για όλες τις τιµές των µετα- ϐλητών. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 7

28 Ερώτηση.13 Να γράψετε τις ϐασικές αλγεβρικές ταυτότητες και να τις αποδείξετε. Αποδείξεις : ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ i.(α + β) = α + αβ + β ii.(α β) = α αβ + β iii.(α β)(α + β) = α β iv.α 3 + β 3 = (α + β)(α αβ + β ) v.α 3 β 3 = (α β)(α + αβ + β ) vi.(α + β) 3 = α 3 + 3α β + 3αβ + β 3 vii.(α β) 3 = α 3 3α β + 3αβ β 3 Πίνακας.: Ταυτότητες i. ii. iii. iv. v. vi. vii. (α + β) = (α + β)(α + β) = α + αβ + βα + β = α + αβ + β (α β) = (α β)(α β) = α αβ βα + β = α αβ + β (α β)(α + β) = α + αβ βα + β = α β (α + β)(α αβ + β ) = α 3 α β + αβ + βα αβ + β 3 = α 3 + β 3 (α β)(α + αβ + β ) = α 3 + α β + αβ βα αβ β 3 = α 3 β 3 (α + β) 3 = (α + β) (α + β) = (α + αβ + β )(α + β) = α 3 + α β + α β + αβ + β α + β 3 = α 3 + 3α β + 3αβ + β 3 (α β) 3 = (α β) (α β) = (α αβ + β )(α β) = α 3 α β α β + αβ + β α β 3 = α 3 3α β + 3αβ β 3 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 8

29 Ερώτηση.14 Να αναφέρετε ποιες άλλες ταυτότητες γνωρίζετε και να τις αποδείξετε. ΑΛΛΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ i.α + β = (α + β) αβ ii.α 3 + β 3 = (α + β) 3 3αβ(α + β) iii.( α β) = (α + β) και γενικά : ( α β) ν = (α + β) ν iv.(α β) = (β α) και γενικά : (α β) ν = (β α) ν v.(α + β + γ) = α + β + γ + αβ + αγ + βγ vi.(α β + γ) = α + β + γ αβ + αγ βγ vii.α ν β ν = (α β)(α ν 1 + α ν β αβ ν + β ν 1 ) viii. Αν α + β + γ = 0 α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ Πίνακας.3: Ταυτότητες Αποδείξεις : i. ii. iii. iv. v. vi. (α + β) αβ = α + αβ + β αβ = α + β (α + β) 3 3αβ(α + β) = α 3 + 3α β + 3αβ + β 3 3α β 3αβ ( α β) = [ (α + β)] = (α + β) (α β) = [ (β α)] = (β α) = α 3 + β 3 (α + β + γ) = (α + β + γ)(α + β + γ) = α + αβ + αγ + βα + β + βγ + γα + γβ + γ = α + β + γ + αβ + αγ + βγ (α β + γ) = (α β + γ)(α β + γ) vii. Χωρίς απόδειξη. viii. α + β + γ = 0 α = β γ = α αβ + αγ βα + β βγ + γα γβ + γ = α + β + γ αβ + αγ βγ Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 9

30 α 3 + β 3 + γ 3 = ( β γ) 3 + β 3 + γ 3 = [ (β + γ)] 3 + β 3 + γ 3 = (β + γ) 3 + β 3 + γ 3 = (β 3 + 3β γ + 3βγ + γ 3 ) + β 3 + γ 3 = β 3 3β γ 3βγ γ 3 + β 3 + γ 3 = 3β γ 3βγ = 3βγ( β γ) = 3αβγ Ερώτηση.15 Ποιες µεθόδους απόδειξης γνωρίζετε ; I. Ευθεία απόδειξη. i. Με ισότητες ii. Με ισοδυναµίες iii. Με αντιπαράδειγµα. II. Απαγωγή σε άτοπο. Ερώτηση.16 Να γράψετε τις ιδιότητες των αναλογιών και να τις αποδείξετε. Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ i. α β = γ δ αδ = βγ αν βδ 0 ii. α β = γ δ α γ = β αν βδγ 0 δ iii. α β = γ δ α + β = γ + δ αν βδ 0 β δ iv. α β = γ δ α β = γ δ = α + γ αν βδ(β + δ) 0 β + δ Πίνακας.4: Αναλογίες Αποδείξεις : i. ii. α β = γ δ α β = γ δ βγ α β = γ δ βγ αδ = βγ αδ = βδ αδ γδ = βγ γδ α γ = β δ Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 30

31 iii. α β = γ δ iv. Θέτω : α β = γ δ α β + 1 = γ δ + 1 α + β β = γ + δ δ = λ, άρα α = λβ και γ = λδ, όποτε : α + γ = λβ + λδ = λ(β + δ) Άρα λ = α + γ β + δ Οπότε : α β = γ δ α β = γ δ = α + γ β + δ Ερώτηση.17 Τι είναι η παραγοντοποίηση και ποιους τρόπους χρησιµοποιούµε για να παραγοντοποίησουµε µια αλγεβρική παράσταση ; Είναι η διαδικασία µε την οποία µια παράσταση που είναι άθροισµα, µετατρέπεται σε γινόµενο παραγόντων. Η παραγοντοποίηση µπορεί να γίνει µε τους εξής τρόπους : i. Κοινός παράγοντας Οταν όλοι οι όροι µιας αλγεβρικής παράστασης έχουν κοινό παράγοντα, τότε αυτή µετατρέπεται σε γινόµενο µε τη ϐοήθεια της επιµεριστικής ιδιότητας. Ισχύει ότι : αβ + αγ = α(β + γ) Η εύρεση του κοινού παράγοντα γίνεται ως εξής : (αʹ) Βρίσκουµε τον Μ.Κ.. των συντελεστών κάθε όρου (ϐʹ) Βρίσκουµε τον µικρότερο εκθέτη της µεταβλητής ή µεταβλητών που είναι κοινές σε κάθε όρο. Ο κοινός παράγοντας είναι το γινόµενο των δύο παραπάνω όρων. ii. Κοινός παράγοντας κατά οµάδες (Οµαδοποίηση) Οταν οι όροι µια παράστασης δεν έχουν κοινό παράγοντα, τότε τους χωρίζουµε σε οµάδες, ϕροντίζοντας ώστε : (αʹ) Κάθε οµάδα που δηµιουργούµε να έχει κοινό παράγοντα (ϐʹ) Οι παραστάσεις που µένουν µετά την εξαγωγή του κοινού παράγοντα να είναι οι ίδιες iii. ιαφορά τεραγώνων α β = (α β)(α + β) Χρησιµοποιώντας ιδιότητες των δυνάµεων ή τις ταυτότητες : (α + β) = α + αβ + β, (α β) = α αβ + β εµφανίζω διάφορα τετραγώνων. iv. Αθροισµα ή ιαφορά κύβων α 3 + β 3 = (α + β)(α αβ + β ), α 3 β 3 = (α β)(α + αβ + β ) Χρησιµοποιώντας ιδιότητες των δυνάµεων ή τις ταυτότητες : (α + β) 3 = α 3 + 3α β + 3αβ + β 3, (α β) 3 = α 3 3α β + 3αβ β 3 εµφανίζω άθροισµα ή διαφορά κύβων. v. Ταυτότητες Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 31

32 Χρησιµοποιούµε από το ο προς το 1ο µέλος τις ταυτότητες : (α + β) = α + αβ + β, (α β) = α αβ + β (α + β) 3 = α 3 + 3α β + 3αβ + β 3, (α β) 3 = α 3 3α β + 3αβ β 3 vi. Τριώνυµο της µορφής αx βx + γ Για να παραγοντοποιήσουµε ένα τριώνυµο ϐρίσκουµε τη διακρίνουσα = β 4αγ. Αν : (αʹ) > 0, τότε αx βx + γ = α(x x 1 )(x x ) όπου x 1, = β + α (ϐʹ) = 0, τότε αx βx + γ = α(x x 1 ) µε x 1 = β α (γʹ) < 0, τότε το τριώνυµο δεν παραγοντοποιείται. Ειδική περίπτωση : x (α + β)x + α β = (x α)(x β) x + (α + β)x + α β = (x + α)(x + β) Ερώτηση.18 Που χρησιµοποιούµε την παραγοντοποίηση ; i. Για να απλοποιήσουµε µια κλασµατική αλγεβρική παράσταση, κάνοντας χρήση της αγ ιδιότητας : βγ = α β ii. Να λύσουµε µια εξίσωση, κάνοντας χρήση της ιδιότητας : α β = 0 α = 0 ή β = 0 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 3

33 .1. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ Θέµα.1 Να δειχθεί ότι : (α + β )(x + y ) = (αx + βy) + (αy βx) (1) Λύση.1 (1) α x + α y + β x + β y = α x + αxβy + β y + α y αyβx + β x 0 = 0 που ισχύει. Θέµα. Αν α β = 5 να υπολογίσετε το : α(α + ) + β(β ) αβ Λύση. α(α + ) + β(β ) αβ = α + α + β β αβ = α + β αβ + α β = (α β) + (α β) α β=5 = = 35 Θέµα.3 Να εξετάσετε αν ισχύει : α > α για κάθε πραγµατικό αριθµό α. Λύση.3 Για α = 1 έχω : 1 4 > 1 το οποίο, ΕΝ ισχύει. Άρα το α > α δεν ισχύει για κάθε πραγµατικό αριθµό α. Θέµα.4 Αν ο α είναι άρρητος και ο ρ είναι ϱητός, να δείξετε ότι ο α + ρ είναι άρρητος. Λύση.4 Αφού το ρ είναι ϱητός, γράφεται ρ = κ λ Εστω ότι και ο α + ρ είναι ϱητός. Τότε κι αυτός γράφεται α + ρ = µ ν Άρα : α + ρ = µ ν α + κ λ = µ ν α = µ ν κ λ µλ κν α = νλ Άρα α ϱητός, το οποίο είναι άτοπο. Άρα το α + ρ είναι άρρητος. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 33

34 Θέµα.5 Το άθροισµα δυο άρρητων είναι πάντα άρρητος ; Λύση.5 Θεωρούµε δυο άρρητους αριθµούς, τον και το προσθέσω έχω : = 8 R Άρα το άθροισµα δυο άρρητων ΕΝ είναι πάντα άρρητος. Αν τους Θέµα.6 Αν ο α είναι άρτιος, να δείξετε ότι και ο α είναι άρτιος. Λύση.6 Εστω ότι ο α είναι περιττός, δηλαδή α = κ + 1, κ Z. Τότε : α = κ + 1 α = (κ + 1) α = 4κ + κ + 1 α = (κ + κ) + 1 το οποίο είναι άτοπο. Άρα ο α είναι άρτιος. α περιττός, Θέµα.7 Να δειχθεί ότι ο είναι άρρητος. Λύση.7 Εστω ότι ο είναι ϱητός, δηλαδή : = κ λ, κ, λ N και το κλάσµα κ λ είναι ανάγωγο. Τότε είναι : Άρα από : = κ λ = κ λ κ = λ κ άρτιος κ άρτιος κ = µ κ = λ (µ) = λ 4µ = λ λ = µ λ άρτιος λ άρτιος λ = ν οπότε το κλάσµα κ λ = µ ν = µ ν Άρα το είναι άρρητος. δεν είναι ανάγωγο, το οποίο είναι άτοπο. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 34

35 Θέµα.8 Να γίνουν οι παρακάτω παραγοντοποιήσεις : i. x 5 + 4x 4 y + 6x ii. 3x + αx + 3y + αy iii. x 6x + 9 iv. x 4 v. x 3 8 vi. x 5x + 6 vii. x 6x + 9 Λύση.8 i. x 5 + 4x 4 y + 6x = x (x 3 + x y + 3) ii. 3x + αx + 3y + αy 1ος τρόπος : 3x + αx + 3y + αy = 3(x + y) + α(x + y) = (x + y)(3 + α) ος τρόπος : 3x + αx + 3y + αy = x(3 + α) + y(3 + α) = (3 + α)(x + y) iii. x 6x + 9 = x 3 x + 3 = (x 3) iv. x 4 = x = (x )(x + ) v. x 3 8 = x 3 3 = (x )(x + x + ) = (x )(x + x + 4) vi. x 5x + 6 Υπολογίζουµε τη διακρίνουσα = β 4αγ = ( 5) = 5 4 = 1 > 0. Άρα ϐρίσκουµε ότι : x 1 = β + α = ( 5) = = 6 = 3 οπότε x 1 = β α = ( 5) 1 1 = 5 1 x 5x + 6 = (x 3)(x ). = 4 = vii. x 6x + 9 Υπολογίζουµε τη διακρίνουσα = β 4αγ = ( 6) = = 0, άρα x 1 = β α = ( 6) 1 = 6 = 3. οπότε x 6x + 9 = (x 3). Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 35

36 .1.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. ίνεται η παράσταση : [ (x A = y 3) ( xy 3 ) ] ( ) 4 x 3 3 : y 1 i. Να δειχθεί ότι : A = x 9 y 9 ii. να ϐρείτε την τιµή της παράστασης για x = 01 και y = [ (xy. Να ϐρείτε την τιµή της παράστασης A = 1 ) ( : x 3 y 7) ] 1 για x = 0, 4 και y =, 5 3. i Να δειχθεί ότι (α + β) (α β) = 4αβ ii Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης : ( ) ( ) Να γίνουν οι παρακάτω παραγοντοποιήσεις : i. 8αβ 4α ii. 5α β 10αβγ 0αβ δ iii. 5αβ 5βα iv. (α β)(x y) (α β)(x 3y) v. α(x y) β(y x) vi. α(3α 4) (4 3α) 3 vii. α 3α + αβ 3β viii. xy + x 1 y ix. αβ(x + y ) + xy(α + β ) x. 16x y 4 4κ 4 xi. 3α 3 β 7αβ 3 xii. 9 (α + 3β) xiii. 5x + 10x + 1 xiv. α 4αβ + 4β 4 xv. x 3x + xvi. x 3x + 5. Να ϐρεθεί η αριθµητική τιµή της παράστασης : A = [x(xy + ) x( y )] : xy όταν x = 4, 15 και y = 3, Αν α + β = 1 αβ, να ϐρεθεί η τιµή της παράστασης A = (α + β)3 α 3 β Αν αx(α + x) 0, να δείξετε ότι η παράσταση A = x ( x(α + x) 1 + α α α + x 1 ), είναι ανεξάρτητη των α, x. x 8. i. Να δειχθεί ότι : (α + β )(x + y ) (αx + βy) = (αy βx) ii. Να γράψετε το γινόµενο 5 6 ως άθροισµα τετραγώνων δυο ακεραίων. 9. Αν α 1 = 5, να υπολογίσετε τα γινόµενα : α i. α + 1 α ii. α 3 1 α 3 iii. α + 1 α Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 36

37 iv. α α Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : α 3 α + α i. α α (α α) + α ii. ( α 1 iii. α 1 ) α3 + α α (α + 1) 3 α + α + 1 iv. α 1 α + 1 α 3 1 v. (x + y) (x 1 + y 1 ) x + y vi. x y x 1 y 1 x ( y x 3 + y 3 ) ( ) x 11. Να δειχθεί ότι : x y : x y y = Να δείξετε ότι : i. Αν ο α είναι ϱητός και ο ϐ άρρητος, τότε ο α+β είναι άρρητος. ii. Αν ο α είναι ϱητός, µε α 0, και ϐ άρρητος, τότε ο αβ άρρητος. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 37

38 . ΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ..1 ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση.19 Πως ορίζονται οι έννοιες µεγαλύτερος από ή µικρότερος από ; Ενας αριθµός α είναι µεγαλύτερος από έναν αριθµό β και γράφουµε α > β, όταν το α β > 0. Σ αυτή την περίπτωση λέµε επίσης ότι και α µικρότερο από το β και γράφουµε α < β. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι : Κάθε ϑετικός αριθµός θ είναι µεγαλύτερος από το µηδέν θ > 0 Κάθε αρνητικός αριθµός α είναι µικρότερος από το µηδέν α < 0 Κάθε ϑετικός αριθµός θ είναι µεγαλύτερος από κάθε αρνητικό αριθµό α, θ > α Άρα ο αρχικός ορισµός γράφεται ισοδύναµα : α > β α β > 0 Γεωµετρικά αυτό σηµαίνει ότι όσο µεγαλύτερος είναι ένας αριθµός, τόσο ποιο δεξιά στον άξονα των πραγµατικών αριθµών ϐρίσκεται. Ερώτηση.0 Τι σηµαίνει ότι ο α είναι µεγαλύτερος ή ίσος από τον β ; Οτι α > β ή α = β Ερώτηση.1 Τι προκύπτει άµεσα από τον ορισµό της διάταξης και τον τρόπο µε τον οποίο εκτελούνται οι πράξεις ; i. Αν (α > 0 και β > 0) α + β > 0 ii. Αν (α < 0 και β < 0) α + β < 0 iii. α, β οµόσηµοι α β > 0 α β > 0 iv. α, β ετερόσηµοι α β < 0 α β < 0 v. α 0 για κάθε α R Το = ισχύει µόνο για α = 0 vi. α + β = 0 α = β = 0 vii. α + β 0 α 0 ή β 0 Ερώτηση. Να αναφέρετε τις ιδιότητες της διάταξης. i. Αν (α > β και β > γ) α > γ ii. α > β α + γ > β + γ iii. α > β γ>0 αγ > βγ iv. α > β γ>0 α γ > β γ v. α > β γ<0 αγ < βγ vi. α > β γ<0 α γ < β γ Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 38

39 vii. Αν (α > β και γ > δ) α + γ > β + δ viii. Αν α, β, γ, δ > 0 µε (α > β και γ > δ) αγ > βδ ix. Αν α, β > 0 και ν ϑετικός ακέραιος τότε για : α > β α ν > β ν Ερώτηση.3 Είναι σωστό ή λάθος, ότι : αν α > β και γ > δ τότε α γ > β δ ; Είναι λάθος, γιατί, 15 > 5 και 5 > 1, άλλα δεν ισχύει 15 5 > 5 1. (Απόδειξη µε αντιπαράδειγµα) Ρ ΠΡΟΣΟΧΗ!!! ΕΝ διαιρούµε ανισότητες κατά µέλη. Ερώτηση.4 Είναι σωστό ή λάθος, ότι : αν α > β και γ > δ τότε α γ > β δ; Είναι λάθος, γιατί : 10 > 9 και 8 > 1, άλλα δεν ισχύει 10 8 > 9 1. (Απόδειξη µε αντιπαράδειγµα) Ρ ΠΡΟΣΟΧΗ!!! ΕΝ αφαιρούµε ανισότητες κατά µέλη. Ερώτηση.5 Είναι σωστό ή λάθος, ότι αν :α > β α > β; Είναι λάθος, γιατί : ( 3) >, άλλα δεν ισχύει 3 >. (Απόδειξη µε αντιπαράδειγµα) Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 39

40 .. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ Μεθοδολογία.1 Για να αποδείξω µια ανισότητα, τα πηγαίνω όλα στο 1ο µέλος, κάνω απαλοιφές (αν γνωρίζω το πρόσηµο αυτού που πλλαπλασιάζω), κάνω τις πράξεις, τις παραγοντοποιήσεις αν χρειάζεται και προσπαθώ να καταλήξω σε κάτι το οποίο προφανώς ισχύει. Θέµα.9 Αν α, β, οµόσηµοι, τότε ν.δ.ο. α > β 1 α < 1 β Λύση.9 Αφού α, β, οµόσηµοι, αβ > 0, τότε έχουµε : α > β α αβ > β αβ 1 β > 1 α 1 α < 1 β Θέµα.10 Ν.δ.ο. α + β αβ Λύση.10 α + β αβ α + β αβ 0 (α β) 0 που ισχύει. Θέµα.11 Αν α > 0, τότε ν.δ.ο.: α + 1 α Λύση.11 α + 1 α αα + α 1 α α α + 1 α α + 1 α 0 (α + 1) 0 που ισχύει. Θέµα.1 Αν α < 0, τότε ν.δ.ο.: α + 1 α Λύση.1 Οµοίως µε το προηγούµενο. Θέµα.13 Ν.δ.ο. α + αβ + β 0 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 40

41 Λύση.13 α + αβ + β 0 α + αβ + β 0 α + αβ + β + α + β 0 (α + β) + α + β 0 που ισχύει. Θέµα.14 Ν.δ.ο. α αβ + β 0 Λύση.14 Οµοίως µε το προηγούµενο. Θέµα.15 Ν.δ.ο. α + β 0 Λύση.15 Είναι : α 0 και α 0, άρα αν τις προσθέσουµε κατά µέλη έχουµε το Ϲητούµενο, α + β 0 Θέµα.16 Ν.δ.ο. α 0 α = 0 Λύση.16 i. Αν α = 0 τότε και α = 0 όποτε προφανώς, α 0 ii. Αν α 0 τότε α = 0 ή α < 0 το οποίο είναι αδύνατο. Άρα έχω µόνο το α = 0. Οπότε, α 0 α = 0 Θέµα.17 Αν x 0 και y > 0 τότε ν.δ.ο. x + y > 0 Λύση.17 x 0 x + y y > 0 Θέµα.18 Αν x 0 και y < 0 τότε ν.δ.ο. x + y < 0 Λύση.18 Οµοίως µε την προηγούµενη. Θέµα.19 Αν x y και α > β τότε ν.δ.ο. x + α > y + β Λύση.19 x y x y 0 α > β α β > 0 Άρα, (x y) + (α β) > 0 (x + α) (y + β) > 0 x + α > y + β Θέµα.0 Αν x y και α < β τότε ν.δ.ο. x + α < y + β Λύση.0 Οµοίως µε την προηγούµενη. Θέµα.1 Ν.δ.ο. α + β > 0 α 0 ή β 0 Λύση.1 Αντίστροφο : i. Αν α = 0 και β 0 τότε, α = 0 και β > 0 οπότε : α + β > 0 ii. Αν β = 0 και α 0 τότε, β = 0 και α > 0 οπότε : α + β > 0 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 41

42 iii. Αν α 0 και β 0 τότε, α > 0 και β > 0 οπότε : α + β > 0 Ευθύ : Αν α + β > 0 και α = β = 0 τότε α + β = 0 το οποίο είναι άτοπο. Άρα α 0 ή β 0 Θέµα. Εστω : 0 < α < β i. Να διατάξετε από το µικρότερο προς το µεγαλύτερο τους αριθµούς 1, α β, β α ii. Να δείξετε ότι πάνω στον άξονα ο α β είναι ποιο κοντά στο 1, από τον β α. Λύση. i. Επειδή, 0 < α < β, το α β < 1 και το β α > 1 Άρα έχουµε α β < 1 < β α. ii. Αρκεί να δείξουµε ότι : 1 α β < β α 1 Το αβ > 0 άρα, µε απαλοιφή έχουµε : 1 α β < β α 1 αβ1 αβ α β < αβ β α αβ1 που ισχύει. αβ α < β αβ α + β αβ > 0 (α β) > 0 Θέµα.3 Αν < x < 4 και 1 < y <, να ϐρείτε µεταξύ ποιων αριθµών ϐρίσκονται οι παρακάτω παραστάσεις : i. x + y ii. x 3y x iii. y 1 iv. x + 1 y Λύση.3 i. Είναι : < x < 4 και 1 < y < προσθέτοντας κατά µέλη, έχουµε : 3 < x + y < 6 ii. Είναι : < x < 4 4 < x < 8 και 1 < y < 6 < 3y < 3 προσθέτοντας κατά µέλη, έχουµε : < x 3y < 5 Ρ ΠΡΟΣΟΧΗ!!! εν µπορώ να αφαιρέσω κατά µέλη. iii. Είναι : < x < 4 4 < x < 16 και 1 < y < 1 < 1 y < 1 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 4

43 πολλαπλασιάζοντας κατά µέλη, έχουµε : < x y < 16 Ρ ΠΡΟΣΟΧΗ!!! εν µπορώ να διαιρέσω κατά µέλη. iv. Είναι : < x < < 1 x < 1 και 1 < y < 1 < 1 y < 1 προσθέτοντας κατά µέλη, έχουµε : < 1 x + 1 y < Άρα : 3 4 < 1 x + 1 y < 3 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 43

44 ..3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να αποδείξετε ότι : i. α + 9 6α ii. (α + β ) (α + β) iii. α + α + > 0. Να αποδείξετε ότι α + β α Πότε ισχύει η ισότητα ; 3. Να αποδειχθούν οι ανισότητες : i. α + β + γ γ(α β) ii. (α + β + γ) 4β(α + γ α 4. Αν 0 α < β, να δειχθεί ότι : 1 + α < β 1 + β 5. Αν α > 1 > β, να δειχθεί ότι : α + β ( > 1 + αβ 1 6. Αν α, β > 0, να δειχθεί ότι (α + β) α + 1 ) 4 β 7. ίνεται ένα κλάσµα α µε ϑετικούς όρους και ένας ϑετικός αριθµός γ. Να αποδείξετε β ότι : i. Αν α α + γ < 1, τότε β β + γ > α β ii. Αν α > 1, τότε α + γ β β + γ < α β 8. Αν α < β < 0, να δειχθεί ότι : α < αβ α + β < β 9. Αν α > β > 0, να δειχθεί ότι : α 3 β 3 > (α β) Αν 1 < x <, να συγκρίνετε τους αριθµούς x 3 και x + x 11. Αν α < β, να συγκρίνετε τους αριθµούς A = α 3 β 3 και B = αβ βα. 1. Αν ν ϕυσικός µε ν 3, να δείξετε ότι : A = 10ν + 8 3ν + 1 < 13. i. Αν x > 0, να δειχθεί ότι :x + 1 ( x ii. Αν x, y > 0, να δειχθεί ότι : 1 + x ) + y ( 1 + y x) Αν 4 < x < 5 και < y < 6, να ϐρείτε τα όρια µεταξύ των οποίων είναι η τιµή της κάθε παράστασης παρακάτω : i. x + y ii. x + 3y iii. 3x y iv. xy v. xy + 4 vi. x y 15. Αν 3 < x < και 4 < y < 1, να ϐρείτε µεταξύ ποιων αριθµών είναι το γινόµενο xy. 16. Να ϐρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς x, y σε κάθε µια, από τις παρακάτω περιπτώσεις : i. Αν (x ) + (y + 1) 0 ii. Αν x + y x + 4y Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 44

45 .3 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ.3.1 ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση.6 Πως ορίζεται η απόλυτη τιµή ενός πραγµατικού αριθµού ; Θεωρούµε έναν αριθµό α που παριστάνεται µε το σηµείο A πάνω σε έναν άξονα. Σχήµα.1: Απόλυτη τιµή Η απόσταση του σηµείου A από την αρχή O, δηλαδή το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος OA, ονοµάζεται απόλυτη τιµή του αριθµού α και συµβολίζεται α. Η απόλυτη { τιµή ορίζεται από τον τύπο : α, αν α 0 α = α, αν α < 0 Ερώτηση.7 Ποιες είναι οι ιδιότητες των απόλυτων τιµών ; i. α = α 0 ii. α 0, α α, α α iii. α = α iv. α β = α β v. α α = β β vi. α β α + β α + β vii. α ν = α ν Ερώτηση.8 Ποιες ιδιότητες των απόλυτων τιµών σχετίζονται µε την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων ; i. Αν θ > 0 τότε : i. x = θ x = θ ή x = θ ii. x = α x = α ή x = α ii. Αν θ > 0 τότε : i. x < θ θ < x < θ ii. x > θ x < θ ή x > θ Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 45

46 Ερώτηση.9 Να αποδείξετε ότι : i. α β = α β ii. α α = β β iii. α + β α + β i. ii. που ισχυει. α β = α β α β = ( α β ) α β = α β α β = α β (α β) = α β α ( α β = β ( ) α = α β β ( ) α = α β β ) που ισχύει. iii. επειδή, και τα δυο µέλη της ανίσωσης, α + β α + β, είναι ϑετικά, έχουµε : α + β α + β α + β ( α + β ) (α + β) α + α β + β α + αβ + β α + α β + β αβ αβ που ισχύει. Προφανώς η ισότητα ισχύει µόνο αν αβ > 0, δηλαδή όταν α,β οµόσηµοι. Ερώτηση.30 Να δειχθεί ότι το µέσο του διαστήµατος [α,β] είναι : α + β Θεωρούµε το διάστηµα [α, ϐ] και Α,Β το σηµεία που παριστάνουν στον άξονα, τα άκρα α,β. Αν Μ το σηµείο που παριστάνει στον άξονα το µέσο του [α,β] το x 0, τότε ισχύει : ΜΑ = ΜΒ εποµένως : (MA) = (MB) d(x 0, α) = d(x 0, β) ο αριθµός x 0 = α + β x 0 α = x 0 β x 0 α = β x 0, αφου α < x 0 < β x 0 = α + β x 0 = α + β που αντιστοιχεί στο µέσο του ΑΒ, ονοµάζεται και κέντρο του Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 46

47 διαστήµατος [α,β], ενώ ο αριθµός ρ = β α λέγεται ακτίνα του [α,β]. Ερώτηση.31 Να γράψετε τη ανίσωση x x 0 < ρ σε µορφή διαστήµατος και σε µορφή ανίσωσης χωρίς απόλυτο. Για κάθε x 0 R και ρ > 0 ισχύει : x x 0 < ρ x (x 0 ρ, x 0 + ρ) x 0 ρ < x < x 0 + ρ Ερώτηση.3 Να γράψετε τη ανίσωση x x 0 > ρ σε µορφή διαστήµατος και σε µορφή ανίσωσης χωρίς απόλυτο. Για κάθε x 0 R και ρ > 0 ισχύει : x x 0 > ρ x (, x 0 ρ) (x 0 + ρ, + ) x < x 0 ρ ή x > x 0 + ρ Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 47

48 .3. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Θέµα.4 Να αποδείξετε τις ισότητες : i) α β 3 = β α + 3 α ii) α = α α Λύση.4 i) Οι αριθµοί α β 3 και β α + 3 είναι αντίθετοι άρα ϑα έχουν και ίσες απόλυτες τιµές, επειδή α = α. α ii) α = α α α = α που ισχύει. Θέµα.5 Να ϐρείτε την απόλυτη τιµή των αριθµών : i) α ii) α iii) α + 1 iv) α + { α, α 0 Λύση.5 i) Είναι α = α = α, α < 0 ii) Αν α 0 = α, τότε α = α Αν α < 0 = α <, τότε α = α + Τα παραπάνω ϑα µπορούσαµε να τα υπολογίσουµε ϕτιάχνοντας έναν πίνακα προσήµων για το α. Λύνουµε την εξίσωση α = 0 και ϐάζουµε τη λύση της πάνω σ έναν άξονα όπως ϐλέπουµε στο σχήµα πίνακας προσήµων (1). εξιά από τη λύση α = ϐάζουµε το πρόσηµο του συντελεστή του αγνώστου και αριστερά το αντίθετο. { α, α Άρα έχουµε : α = α +, α < iii) Λύνουµε την εξίσωση α + 1 = 0 = α = 1 και µε τη ϐοήθεια του πίνακα προσήµων (), έχουµε : α+1 = iv) παρατηρούµε ότι α + > 0 άρα έχουµε : α + = α + { α + 1, α < 1 α 1, α 1 Σχήµα.: Πίνακας προσήµων (1) Σχήµα.3: Πίνακας προσήµων () Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 48

49 Θέµα.6 Να απλοποιηθεί η παράσταση A = x Λύση.6 Λύνουµε την εξίσωση x 1 = 0 = x = 1 και ϕτιάχνουµε τον πίνακα προσήµων (3) Άρα έχουµε τις περιπτώσεις : i) Για x < 1 είναι : A = x = ( x + 1) + 3 = x = x + 5 ii) Για { x 1 είναι : A = x = (x 1) + 3 = x + 3 = x + 1 x + 5, x < 1 Άρα A = x + 1, x 1 Σχήµα.4: Πίνακας προσήµων (3) Θέµα.7 Να γραφεί χωρίς απόλυτα η παράσταση A = 3 1 x + x + 5 Λύση.7 Εχω δυο απόλυτα και ϑα ϕτιάξω πίνακα προσήµων για το κάθε ένα ξεχωριστά Είναι οι πίνακες (4) και (5). Ενοποιούµε τους δυο πίνακες (4) και (5), σε έναν, τον πίνακα (6) Παρατηρούµε ότι προκύπτουν τρία διαστήµατα x < 1, 1 x και x > όπου ϑα πρέπει να προσδιορίσουµε το Α στο καθένα περίπτωση 1η Για x < 1 είναι : περίπτωση η Για 1 x είναι : περίπτωση 3η Για x > είναι : A = 3(1 x) + ( x + ) + 5 = 3 + 3x x = x + 6 A = 3( 1 + x) + ( x + ) + 5 = 3 3x x = 5x + 1 A = 3( 1 + x) + (x ) + 5 = 3 3x + x = x + 4 x + 6, x < 1 Άρα A = 5x + 1, 1 x x + 4, x > Σχήµα.5: Πίνακας προσήµων (4) Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 49

50 Σχήµα.6: Πίνακας προσήµων (5) Σχήµα.7: Πίνακας προσήµων (6) Θέµα.8 Τι συµπεράσµατα ϐγάζετε για τους x, y, w R από τη σχέση i) x + y + w = 0; ii) x + y + w > 0; Λύση.8 Επειδή είναι για κάθε α R είναι α 0 για να ισχύει η i) ϑα πρέπει x = y = w = 0 ενώ για να ισχύει η ii) ϑα πρέπει κάποιο από τα x, y, w να είναι 0 Θέµα.9 Αν x + y 3 + 3x y + 1 = 0, να ϐρείτε τα x, y. Λύση.9 Σύµφωνα µε τα συµπεράσµατα της προηγούµενης άσκησης, ϑα πρέπει x + y 3 = 0 3x y + 1 = 0 λύνοντας το σύστηµα ϐρίσκουµε x = 1 y = Θέµα.30 Να απαντήσετε στα παρακάτω i) Πότε ισχύει α + β = α + β ; ii) Να αποδειχθεί η σχέση : α β α + β. Πότε ισχύει το =; Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 50

51 Λύση.30 i) α + β = ( α + β ) (α + β) = ( α + β ) α + β + αβ = α + β + α β α + β + αβ = α + β + α β αβ = α β αβ 0 ii) άρα οι α, β είναι οµόσηµοι α β α + β α β α + β ( α β ) (α + β) α + β α β α + β + αβ α β αβ α β αβ αβ αβ το οποίο ισχύει, άρα ισχύει και το αρχικό το = προφανώς ισχύει όταν αβ 0 δηλαδή όταν α, β είναι ετερόσηµοι. Θέµα.31 Αν α β 1 και β γ, να αποδείξετε ότι α γ 3 Λύση.31 Είναι : α γ = α β + β γ α β + β γ 1 + = 3 Θέµα.3 Αν x <, να αποδείξετε ότι 3x 5x Λύση.3 Είναι : 3x 5x + 1 = 3x + ( 5x) + 1 3x + 5x + 1 = 3 x + 5 x = = 3 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 51

52 Θέµα.33 Να δειχθεί ότι : i) Αν α + 4 α + 1 =, τότε α = x y + y x ii) Αν =, τότε x, y οµόσηµοι µε x, y 0. xy Λύση.33 i) α + 4 α + 1 = α + 4 α + 1 = ii) α + 4 = α + 1 α + 4 = 4 α + 1 (α + 4) = 4(α + 1) α + 8α + 16 = 4(α + α + 1)... α = 4 α = α = x y + y x xy = x y + y x = xy x y + y x = 4 xy (x y + y x ) = 4(xy) x y + xy xy + x y = 4x y xy xy = x y (x, y 0) xy = xy xy > 0 άρα x, y οµόσηµοι. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 5

53 .3.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς απόλυτες τιµές (αʹ) π 3 (ϐʹ) π 4 (γʹ) 3 π + 4 π (δʹ) 3 3. Αν 3 < x < 4 να γράψετε χωρίς απόλυτη τιµή την παράσταση A = x 3 + x 4 3. Να γράψετε χωρίς απόλυτη τιµή την παράσταση A = x 3 4 x αν : (αʹ) x < 3 (ϐʹ) x > 4 4. Αν α < β < γ να γραφεί χωρίς απόλυτα η παράσταση : Π = α β + 3 γ α β γ 5. Αν 0 < β < α να απλοποιηθεί η παράσταση : Π = 3 α β β α + α + β 5 α + β 6. Αν α β, να ϐρείτε την τιµή της παράστασης α β β α 7. Να γραφούν χωρίς απόλυτα οι παραστάσεις (αʹ) x + (ϐʹ) 3x (γʹ) 4x 3 (δʹ) x + 1 (εʹ) 3x 8. Να γραφούν χωρίς απόλυτα οι παραστάσεις (αʹ) x + x + 1 (ϐʹ) x + 3 x x (γʹ) x 3 (δʹ) x 3 x 1 7 x 5 (εʹ) 7 x + 6 x x Αν x 0 και y 0 να ϐρείτε τις τιµές που µπορεί να πάρει η παράσταση : x x + y y 10. Να αποδείξετε ότι : x y x w + w y. 11. Αν α > β, να αποδείξετε ότι α + β + α β (αʹ) α = α + β α β (ϐʹ) β = 1. Τι σηµαίνει για τους αριθµούς x και y (αʹ) η ισότητα x + y = 0; (ϐʹ) η ανισότητα x + y > 0; 13. Να ϐρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς α, β R, για τους οποίους ισχύει : (αʹ) α β + 3 = 0 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 53

54 (ϐʹ) (α + β ) + 3α 5β + = Να ϐρεθεί ο αριθµός α, όταν : (αʹ) α α α 1 = 0 (ϐʹ) α 1 + α + 1 = ίνονται οι αριθµοί 1, α β, β α, µε 0 < α < β (αʹ) Να τους διατάξετε (ϐʹ) Να δείξετε ότι στον πραγµατικό άξονα ο α β είναι ποιο κοντά στο 1 από ότι, ο β α 16. Αν είναι : x και y 5,, να αποδείξετε ότι : (αʹ) 3x + y 11 (ϐʹ) x 3y + 11 < Αν α 1, να αποδείξετε ότι : 3α 3 + α 8 < Αν α και β 1, να αποδείξετε ότι : α 4β Να µεταφέρετε στο τετράδιο σας και να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα όπως δείχνει η πρώτη γραµµή του. Απόλυτη Τιµή Απόσταση Ανίσωση ιάστηµα x 4 d(x, 4) x 6 [, 6] x + 3 < 4 x 4 > x d(x, 5) < 1 d(x, 1) > d(x, 5) 1 d(x, 1) x < 5 ήx > 1 5 x 1 (, ) (, ] [, ) Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 54

55 .4 ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ.4.1 ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση.33 Πως ορίζεται η τετραγωνική ϱίζα ενός µη αρνητικού αριθµού ; Η τετραγωνική ϱίζα ενός µη αρνητικού αριθµού α συµβολίζεται µε α και είναι ο µη αρνητικός αριθµός, που αν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον α. Άρα µπορούµε να πούµε ότι : Αν α 0, η α παριστάνει τη µη αρνητική λύση της εξίσωσης x = α. Ερώτηση.34 Ποιες είναι οι ιδιότητες της τετραγωνικής ϱίζας; i. α = α, α R ii. α = α, α 0 iii. α β = αβ, α, β 0 iv. α β = α β, α 0, β > 0 Ερώτηση.35 Πως ορίζεται η ν-οστή ϱίζα ενός µη αρνητικού αριθµού ; Η ν-οστή ϱίζα ενός µη αρνητικού αριθµού α συµβολίζεται µε ν α και είναι ο µη αρνητικός αριθµός, που αν υψωθεί στην ν, δίνει τον α, µε ν N. Άρα µπορούµε να πούµε ότι : Αν α 0, η ν α παριστάνει τη µη αρνητική λύση της εξίσωσης x ν = α. Ρ ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Είναι 1 α = α και α = α Ερώτηση.36 Ποιες είναι οι ιδιότητες της ν-οστής ϱίζας; i. ν α ν = α αν α R και ν άρτιος ν ii. α ν = ν α ν = α, α 0 ν iii. α ν β = ν αβ, α, β 0 ν α α iv. ν = β ν β, α 0, β > 0 µ v. ν α = µν α, α 0 νρ vi. α µρ = ν α, α 0 vii. ν α κ = ( ν α) κ viii. ν α ν β = α ν β ix. Αν α, β 0 τότε για α < β ν α < ν β Ερώτηση.37 Πως ορίζεται η δύναµη µε ϱητό εκθέτη; Αν α > 0, µ Z, ν N, τότε ορίζουµε α µ ν = ν α µ Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 55

56 Αν µ, ν N τότε ορίζουµε 0 µ ν = 0 Ερώτηση.38 Να αποδείξετε τις παρακάτω ιδιότητες : ν i. α ν β = ν αβ, α, β 0 ν α α ii. ν = β ν β, α 0, β > 0 µ iii. ν α = µν α, α 0 νρ iv. α µρ = ν α, α 0 i. ii. iii. iv. που ισχύει. που ισχύει. ν α ν β = ν αβ ( ν α ν β) ν = ( ν αβ) ν ( ν α) ν ( ν β)ν = αβ αβ = αβ ν α ν β = ν α β ( ν α ν β ) ν = µ ν α = µν α ( ν α) ν ( ν β ) ν = α β α β = α β ( ν α β ) ν ( ) µν µ ν α = ( µν α ) µν [( ) µ ] ν µ ν α = α ( ν α ) ν = α που ισχύει. νρ α µρ = ν ρ α µρ = ν ρ (α µ ) ρ = ν α µ Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 56

57 .4. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Μεθοδολογία. Παραστάσεις, που περιέχουν ϱιζικά ϑα ορίζονται, όταν οι υπόρρι- Ϲες ποσότητες είναι µεγαλύτερες ή ίσες του µηδενός (α 0). (Παράδειγµα 5) Αν η παράσταση του υπόρριζου είναι στο τετράγωνο, τότε ϑα εφαρµόζουµε την ιδιότητα : α = α, α R. (Παράδειγµα 1) Για να ϐρούµε το εξαγόµενο µιας πράξης µε ϱιζικά, αναλύουµε τον κάθε υπόρριζο αριθµό σε γινόµενο πρώτων παραγόντων. (Παράδειγµα ) Για να µετατρέψουµε παραστάσεις σε ισοδύναµες µε ϱητό παρονοµαστή, διακρίνουµε τις µορφές και πολλαπλασιάζουµε : Αρχική µορφή Πολλαπλασιασµός αριθµητή και παρονοµαστή µε A α α A ν ν α κ α ν κ A α β α ± β A 3 3 α ± 3 α 3 α 3 β + 3 β β (Παραδείγµατα 8, 9) Ολες οι ιδιότητες των δυνάµεων ισχύουν και στους ϱητούς εκθέτες. Το γεγονός αυτό διευκολύνει τις πράξεις µε ϱιζικά, που µπορούν να γίνουν δυνάµεις µε ϱητό εκθέτη. Αν α > 0, µ Z, ν N, τότε : α µ ν = ν α µ Θέµα.34 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις i. A = ( ) ii. B = x 4 x + 1 iii. Γ = α 4 β α β 4 Λύση.34 i. ii. A = ( ) = = + Επειδή < 0, αφού <. B = x 4 x + 1 = (x 1) = x 1 Εδώ επειδή δεν γνωρίζουµε το πρόσηµο του x 1 αφήνουµε το αποτέλεσµα όπως είναι, µε το απόλυτο. iii. Γ = α 4 β α β 4 = (α β) (αβ ) = α β αβ = α β α β Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 57

58 5 5 = Θέµα.35 Να ϐρείτε το εξαγόµενο : Λύση.35 Αναλύουµε τα υπόρριζα σε γινόµενο πρώτων παραγόντων : Άρα 8 = Άρα 18 = Άρα 7 = Άρα 50 = 5 Εποµένως, αντικαθιστώντας έχουµε : = = = = Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 58

59 Θέµα.36 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : i. 3 ii Λύση.36 Θα γράψουµε το κάθε υπόρριζο ως τέλειο τετράγωνο ενός αριθµού i. Θεωρώ το ως το διπλάσιο γινόµενο ενός αναπτύγµατος της ταυτότητας, διαφορά στο τετράγωνο (α β) = α αβ + β κι έχουµε : 3 = + 1 = = + 1 ( 1) = 1 = 1 γιατί > 1 ii. Θεωρώ το 15 ως το διπλάσιο γινόµενο ενός αναπτύγµατος της ταυτότητας, άθροισµα στο τετράγωνο (α + β) = α + αβ + β κι έχουµε : = γιατί > 0 = = ( 5 + 3) = = Θέµα.37 Να γράψετε µε µόνο µια ϱίζα τις παραστάσεις : i. A = ii. B = Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 59

60 Λύση.37 i. A = = = 1 3 ii. 3 = 1 3 = = 8 3 B = = = = = = Θέµα.38 Για ποιες τιµές των µεταβλητών έχουν νόηµα οι παραστάσεις i. 11 x 3 ii. x 1 iii. ν 5x 5 iv. α + 8 Λύση.38 Για να έχουν νόηµα οι παραστάσεις µε ϱίζες, ϑα πρέπει οι υπόρριζες ποσότητες να είναι 0. i. 11 x 0 x 11 ii. iii. iv. x [, 11] x 1 0 x 1 x 1, x 1 5x 0 5x x (, 1] [1, + ) x 5 x (, 5 ] α το οποίο ισχύει για κάθε α R Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 60

61 Θέµα.39 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις : i. A = ii. B = Λύση.39 i. A = = 3 (3 3)(3 + 3) = = = 3 6 = 3 3 = 3 = 3 ii. B = = (7 4 3)( ) = = = 1 = 1 Θέµα.40 Να συγκρίνετε τους αριθµούς : 3 3 και Λύση.40 Επειδή οι ϱίζες είναι διαφορετικής τάξης, ϑα ϐρούµε το ε.κ.π.(,3)=6 και ϑα εφαρµόσουµε την ιδιότητα : ν α ρ = µ ν α µ ρ Είναι 3 3 = 3 3 = 6 9 και = 3. 3 = 6 8 Επειδή 6 9 > 6 8 είναι 3 3 > Θέµα.41 Να συγκριθούν οι αριθµοί α = και β = Λύση.41 Επειδή, όπως δίνονται οι αριθµοί δεν µπορούν να συγκριθούν, ϑα συγκρίνου- µε τα τετράγωνα τους. Γιατί αν α, β 0 και α β τότε α β Είναι : Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 61

62 α = (5 + 3) = = β = (3 + 5) = = Τώρα πρέπει να συγκρίνω τα α, β α β = ( ) = = 14 + ( ) Επειδή (5 3) = 5 3 = 75 και (3 5) = 9 5 = > > 0 οπότε α β > 0 άρα α > β άρα α > β Θέµα.4 Να µετατρέψετε τις παρακάτω παραστάσεις σε ισοδύναµες µε ϱητούς παρονοµαστές i. 3 ii. iii. iv. v Λύση.4 i. Πολλαπλασιάζω µε το 3 και τον αριθµητή και τον παρονοµαστή κι έχω : = = 3 3 = 3 3 ii. Πολλαπλασιάζω µε το και τον αριθµητή και τον παρονοµαστή κι έχω : Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 6

63 1 = 1 = = iii. Πολλαπλασιάζω µε = 4 5 και τον αριθµητή και τον παρονοµαστή κι έχω : = = = iv. Πολλαπλασιάζω µε τη συζυγή παράσταση του παρονοµαστή και τον αριθµητή και τον παρονοµαστή κι έχω : 5 1 = ( 5 + 1) ( 5 1) ( 5 + 1) = ( 5 + 1) 5 1 = ( 5 + 1) 5 1 = ( 5 + 1) 4 v. Πολλαπλασιάζω µε τη συζυγή παράσταση του παρονοµαστή 7 3 και τον αριθµητή και τον παρονοµαστή κι έχω : = 4 ( 7 3) ( 7 + 3) ( 7 3) = 4 ( 7 3) 7 3 = 4 ( 7 3) 7 3 = 4 ( 7 3) 4 = 7 3 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 63

64 Θέµα.43 Να µετατρέψετε την παράσταση σε ισοδύναµη µε ϱητό παρονοµαστή Λύση.43 Θα πολλαπλασιάσουµε και ϑα διαιρέσουµε τον αριθµητή και τον παρονοµαστή µε παράγοντα που ϑα µας δώσει στον παρονοµαστή διαφορά κύβων, ώστε να απλοποιηθούν οι τρίτες ϱίζες µε τους κύβους. Θα προσπαθήσουµε λοιπόν να εµφανίσουµε την ταυτότητα α 3 β 3 = (α β)(α αβ + β ) Για τη συγκεκριµένη άσκηση α = 3 3 και β = 3 άρα, ϑα πολλαπλασιάσουµε και ϑα διαιρέσουµε µε Εχουµε : = ( ) ( )( ) = ( ) = ( ) 3 = ( ) = ( ) Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 64

65 .4.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να υπολογίσετε τις ϱίζες : (αʹ) (π 4) (ϐʹ) ( 0) (γʹ) (x 1) x (δʹ) 4. Να ϐρεθεί η τιµή της παράστασης : A = α + 3αβ 5β για α = και β = Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : α i. A = α x (x + 1) ii. B = x x + 1 iii. Γ = x x x x iv. ( 3 1) + ( + 1) Να δείξετε ότι : ( 3 ) + ( 3 + ) = 4 5. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : i. A = α 4 β + α β 4 ii. B = ( ) + ( 5 1) iii Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : i. A = 3 ii. B = iii. Γ = 17 1 iv. = v. E = vi. Z = Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : i ii. ( ) (1 + 5) iii iv. ( 8 18) ( ) v vi Να αποδείξετε ότι : i. + = 3 3 ii = 9. Να αποδείξετε ότι : 5 1 i. 75 = 10 ii = 18 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 65

66 10. Αν α = + + 3, β = + 3 και γ = + 3 να δείξετε ότι : α β γ = Για ποιες τιµές του x ορίζονται οι παραστάσεις i. x 1 ii. 1 3x iii. x + x x + 1 iv. 3 x v. x + 1 x vi. 5 + x vii. x 4 viii. x ίνεται η παράσταση A = ( x 5 x + 3) ( x 5 + x + 3) i. Να ϐρείτε για ποιες τιµές του x ορίζεται η παράσταση Α. ii. Να αποδείξετε ότι Α= ίνεται η παράσταση A = x + x 1 + x x 1 i. Να ϐρείτε για ποιες τιµές του x ορίζεται η παράσταση Α. ii. Να απλοποιήσετε την Α. 14. Να συγκριθούν οι αριθµοί : i. 3 και 5 3 ii. + 3 και + 7 iii. 7 και 5 + iv. 1 και 3 v. 3 + και Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις 3 i. α 3 3 ii. α 3 α y iii. 9x 3x 3 iv. α 3 β 6 γ 1 3 v. 64x x 3 y vi. y x 4 3 vii viii ix. α 3ν+µ x xi. α α 3 α 16. Να αποδείξετε ότι : α µ 4ν 3 i. = 3 9 ii = iii = iv. 3 = 3 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 66

67 v = Να µετατρέψετε τα κλάσµατα σε ισοδύναµα µε ϱητό παρονοµαστή 3 i. ii. iii. iv. v. vi. vii. viii α 5 x 4 x 3 3 ix. 9 x 3 x xi Να µετατρέψετε τα κλάσµατα σε ισοδύναµα µε ϱητό παρονοµαστή 1 i. 3 4 ii. 5 3 iii. 3 1 iv. v. vi. vii. viii Να αποδείξετε ότι : 3 5 i. + = ii. 1 ( 3) 1 ( + 3) = Να αποδείξετε ότι : i = Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 67

68 ii Αν α, β > 0 τότε : α α β β α β = (α + β) + αβ 1. i. Να ϐρείτε τα αναπτύγµατα των (3 + 7) και (3 7) ii. Να αποδείξετε ότι : = 6. Να ϐρείτε τους αντίστροφους των αριθµών α = 3 και α = Να µετατρέψετε τα κλάσµατα σε ισοδύναµα µε ϱητό παρονοµαστή 7 i ii Να µετατρέψετε τα κλάσµατα σε ισοδύναµα µε ϱητό παρονοµαστή i ii Να συγκρίνετε τους αριθµούς i. 5 και ii. 6 και 4 4 iii. 4 6 και Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης : A = [ ] α 3 β (α β ) 1 (α 1 ) 3 3 για α = και β = 1 3 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 68

69 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ αx + β = 0 ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Η ΕΞΙΣΩΣΗ xν = α ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 3. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ αx + β = 0 ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 3.1 Τι είναι εξίσωση ; Οι εξισώσεις µιας µεταβλητής, είναι σχέσεις της µορφής f (x) = g(x), µε f, g συναρτήσεις ορισµένες σε υποσύνολα του R. Οι οποίες επαληθεύονται για συγκεκριµένες τιµές των µεταβλητών, που ονοµάζονται ϱίζες ή λύσεις της εξίσωσης. Ερώτηση 3. Πως λύνεται η εξίσωση αx + β = 0 για τις διάφορες τιµές των α, β R; Είναι : αx + β = 0 αx = β Τώρα διακρίνουµε τις περιπτώσεις : β α. Αν α = 0 τότε από : αx = β 0x = β 1. Αν α 6= 0 τότε από : αx = β x =, µοναδική λύση. τώρα αν : i. β 6= 0 έχουµε, 0x = β 6= 0 το οποίο είναι αδύνατο, άρα η εξίσωση είναι αδύνατη, δεν έχει πραγµατικές ϱίζες. ii. β = 0 έχουµε, 0x = 0 το οποίο ισχύει για κάθε x R, άρα η εξίσωση είναι ταυτότητα, έχει άπειρες πραγµατικές ϱίζες.

70 Ερώτηση 3.3 Η εξίσωση αx = β πότε έχει : i. Μια µόνο λύση ii. Άπειρες λύσεις iii. Καµία λύση i. Μια µόνο λύση, έχει όταν : α 0 ii. Άπειρες λύσεις, έχει όταν : α = β = 0 iii. Καµία λύση, δεν έχει όταν : α = 0 και β 0 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 70

71 3.1. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Θέµα 3.1 Να λύσετε τις εξισώσεις i. (x + 1) = x + 3 ii. x + 3 = (x 3) x iii. 5(x 3) x = 4x 15 Μεθοδολογία 3.1 Για να λύσουµε µια εξίσωση 1ου ϐαθµού, κάνουµε τις πράξεις, χωρίζου- µε γνωστούς από αγνώστους και αν ο συντελεστής του αγνώστου είναι 0 διαιρούµε µε αυτόν και τα δυο µέλη, διαφορετικά η εξίσωση είναι ή αδύνατη ή αόριστη. Λύση 3.1 i. (x + 1) = x + 3 x + = x + 3 x + x = 3 3x = 1 x = 1 3 άρα η εξίσωση έχει µοναδική λύση. ii. x + 3 = (x 3) x x + 3 = x 6 x x x + x = 6 3 0x = 8 το οποίο είναι αδύνατο, άρα η εξίσωση δεν έχει λύση. iii. 5(x 3) x = 4x 15 5x 15 x = 4x 15 5x x 4x = x = 0 το οποίο ισχύει για κάθε x R, άρα η εξίσωση είναι αόριστη, δηλαδή έχει άπειρες λύσεις. Θέµα 3. Να λυθούν οι εξισώσεις : i. (x ) (x 1) = (1 3x) ( 3x) (1) ii. x 7x + 6 = 0 () x + 7 iii. x + 5 = x + x (3) iv. v. x + 1 x x 1 x = 6 x 3 x + 3 = 1 x 9 x (x 1) (4) (5) Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 71

72 Λύση 3. i. (1) x 4x + 4 (x x + 1) = 1 6x + 9x (4 1x + 9x ) x 4x + 4 x + x 1 = 1 6x + 9x 4 + 1x 9x 4x x 1 = 1 6x 4 + 1x x + 3 = 6x 3 x 6x = 3 3 8x = 6 x = 6 8 = 3 4 ii. () x (6 + 1)x = 0 (x 6) (x 1) = 0 x 6 = 0 ή x 1 = 0 x = 6 ή x = 1 iii. (3) 1 x x + 5 = 1 x 1 + x (x + 7) 4(x + 5) = 3( x) 6( + x) 6x + 1 8x 0 = 6 3x 1 6x 6x + 1 8x 0 = 6 3x 1 6x 6x 8x + 3x + 6x = x = 7 x = 1 iv. (4) x + 1 x(x 1) 1 x = x (x 1), x 0, x 1 x(x 1) x + 1 x(x 1) x(x 1 1) x (x 1)(x + 1) (x 1) = x x + x x 1 x + x 1 = x x = x(x 1) (x 1) x = δεκτή αφού ικανοποιεί τους περιορισµούς v. (5) 6 x 3 x + 3 = 1 (x 3)(x + 3), x 3, x 3 6 (x 3)(x + 3) x 3 (x 3)(x + 3) x + 3 = (x 3)(x + 3) 1 (x 3)(x + 3) 6(x + 3) (x 3) = 1 6x + 18 x + 6 = 1 6x x = x = 1 x = 3 απορρίπτεται αφού δεν ικανοποιεί τους περιορισµούς Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 7

73 άρα η εξίσωση (5) είναι αδύνατη Θέµα 3.3 Να προσδιοριστεί ο πραγµατικός αριθµός λ, ώστε η εξίσωση (λ + 1)x (λ + x) = λ(λ ) 9 να είναι ταυτότητα. Λύση 3.3 Από τη ϑεωρία γνωρίζουµε ότι η εξίσωση αx = β είναι ταυτότητα αν και µόνο αν α = β = 0. Εποµένως ϑα πρέπει να ϕέρουµε την εξίσωση σ αυτή τη µορφή. (λ + 1)x (λ + x) = λ(λ ) 9 λx + x λ 4x = λ λ (λ 3)x = λ 9 Άρα για είναι ταυτότητα πρέπει : λ 3 = 0 λ 9 λ = 3 λ = ±3 λ = 3 Θέµα 3.4 Να προσδιοριστεί ο πραγµατικός αριθµός λ, ώστε η εξίσωση (λ + 3)x 4(x λ) = λ + 3 να είναι αδύνατη. Λύση 3.4 Από τη ϑεωρία γνωρίζουµε ότι η εξίσωση αx = β είναι αδύνατη αν και µόνο αν α = 0 και β 0. Εποµένως ϑα πρέπει να ϕέρουµε την εξίσωση σ αυτή τη µορφή. (λ + 3)x 4(x λ) = λ + 3 xλ + 3x 4x + 4λ = λ + 3 xλ + 3x 4x = λ + 3 4λ x(λ 1) = λ 4λ + 3 Άρα για να είναι αδύνατη ϑα πρέπει : λ 1 = 0 λ = 1 ή λ = 1 λ 4λ λ 3 και λ 1 Άρα για να είναι αδύνατη ϑα πρέπει λ=1. λ = 1 Θέµα 3.5 Να προσδιοριστεί ο πραγµατικός αριθµός λ, ώστε η εξίσωση λ x = 4x + 1 να έχει µοναδική λύση. λ Λύση 3.5 Από τη ϑεωρία γνωρίζουµε ότι η εξίσωση αx = β έχει µοναδική λύση αν και µόνο αν α = β = 0. Εποµένως ϑα πρέπει να ϕέρουµε την εξίσωση σ αυτή τη µορφή. Για να έχει νόηµα η εξίσωση ϑα πρέπει λ 0. Με αυτή την προϋπόθεση έχουµε : Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 73

74 λ x λ = 4x + 1 λ λ x λ λ = λ 4x + λ 1 λ 3 x = 4λx + λ λ 3 x 4λx = λ + x(λ 3 4λ) = λ + Άρα για να έχει µοναδική λύση ϑα πρέπει : λ 0 λ 3 4λ 0 λ(λ 4) 0 λ 4 0 λ 0,, Θέµα 3.6 Να λυθεί η εξίσωση λ x 1 = x + λ (1) για τις διάφορες τιµές του λ R. Λύση 3.6 Για να λύσω την παραµετρική εξίσωση, ϑα πρέπει να ϕέρω την εξίσωση στη µορφή : αx = β λ x 1 = x + λ λ x x = 1 + λ (λ 1)x = 1 + λ τώρα διακρίνουµε τις περιπτώσεις : I. Αν λ 1 0 λ ±1 λ R { 1, 1} τότε η εξίσωση έχει µοναδική λύση την : x = 1 + λ λ 1 = 1 + λ (λ 1)(λ + 1) = 1 λ 1 II. Αν λ=-1, αντικαθιστώντας στην (1) έχουµε : 0x = 0 άρα η εξίσωση είναι αόριστη, έχει άπειρες λύσεις. III. Αν λ=1, αντικαθιστώντας στην (1) έχουµε : 0x = άρα η εξίσωση είναι αδύνατη, δεν έχει καµία λύση. Θέµα 3.7 Να λυθεί η εξίσωση λ x + λ(x ) = µ 1 (1) για τις διάφορες τιµές του λ, µ R. Λύση 3.7 Για να λύσω την παραµετρική εξίσωση, ϑα πρέπει να ϕέρω την εξίσωση στη µορφή : αx = β λ x + λ(x ) = µ 1 λ x + λx λ = µ 1 λ x + λx = λ + µ 1 x(λ + λ) = λ + µ 1 ιακρίνουµε τις περιπτώσεις : I. Αν λ + λ 0 λ(λ + 1) 0 λ 0 και λ 1 τότε έχουµε : x = λ + µ 1 λ µοναδική λύση. + λ Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 74

75 II. Αν λ=0, τότε η εξίσωση γίνεται : 0x = µ 1. i. Αν µ 1 0 µ 1 τότε η εξίσωση είναι αδύνατη. ii. Αν µ 1 = 0 µ = 1 τότε η εξίσωση είναι αόριστη. III. Αν λ=-1, τότε η εξίσωση γίνεται : 0x = µ 3. i. Αν µ 3 0 µ 3 τότε η εξίσωση είναι αδύνατη. ii. Αν µ 3 = 0 µ = 3 τότε η εξίσωση είναι αόριστη. Θέµα 3.8 Να προσδιοριστεί ο λ, ώστε το x = 1 να είναι λύση της εξίσωσης (λ + 1)(x 1) + x = λ 5λ + 5 (1) Λύση 3.8 Αφού το 1 είναι λύση της εξίσωσης, ϑα πρέπει να την επαληθεύει Αντικαθιστώντας στην (1) όπου x = 1 έχω : λ = 1 1 = λ 5λ + 5 λ 5λ + 4 = 0 λ = 4 Θέµα 3.9 Να προσδιοριστεί ο λ, ώστε το x = 0 να είναι µοναδική λύση της εξίσωσης (λ + 3)x λ 3 = 4(x λ) + λ(λ ) (1) Λύση 3.9 Από τη ϑεωρία γνωρίζουµε ότι η αx = β έχει µοναδική λύση όταν α 0 (1) xλ + 3x λ 3 = 4x 4λ + λ λ xλ + 3x 4x = 4λ + λ λ + λ + 3 x(λ 1) = λ 4λ + 3 Άρα για να έχει µοναδική λύση πρέπει λ 1 0 λ 1 και η µοναδική λύση είναι : x = λ 4λ + 3 λ 1 επειδή η µοναδική λύση είναι η x = 0, πρέπει : Άρα έχω : 0 = λ 4λ + 3 λ 4λ + 3 = 0 λ 1 λ 1 λ 1 λ = 3 λ 4λ + 3 = 0 λ = 1 ή λ = 3 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 75

76 Ρ ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Είναι λάθος να αντικαταστήσουµε από την αρχή όπου x = 0, γιατί δεν λέει ότι έχει απλά λύση το 0, αλλά ότι το 0 είναι µοναδική λύση. Θέµα 3.10 Αν η εξίσωση : λ (x 1) 5(x λ) = 11x + 4 (1) είναι αδύνατη, να δείξετε ότι η εξίσωση : λ(x 7) + 4(x + 1) = λ () είναι ταυτότητα. Λύση 3.10 Θα ϕέρουµε την (1) στη µορφή αx = β, και για να είναι αδύνατη ϑα πρέπει α = 0 και β 0 (1) λ x λ 5x + 5λ) = 11x + 4 λ x 5x 11x = λ 5λ + 4 x(λ 16) = λ 5λ + 4 Άρα για να είναι αδύνατη πρέπει : λ 16 = 0 λ 5λ λ = 4 ή λ = 4 λ 4 και λ 1 λ = 4 Αντικαθιστώντας λ = 4 στην (), έχουµε : 4(x 7) + 4(x + 1) = ( 4) 4x x + 4 = 3 Άρα η () είναι αόριστη. 0x = 0 Θέµα 3.11 Να λυθούν οι εξισώσεις : i. x = 0 ii. x = 0 iii. x 1 3 x + 5 = 0 iv. x + 1 = x + 1 v. x 4 = x + 4 vi. 3x 6 = x vii. x 4 + 3x 6 = 0 Λύση 3.11 i. Οταν έχω εξίσωση της µορφής f(x) = θ > 0 x = ±θ. Εποµένως εφαρµόζοντας τη συγκεκριµένη ιδιότητα των απολύτων τιµών, έχουµε : Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 76

77 x = 0 x + 1 = 6 x + 1 = 3 x + 1 = 3 x + 1 = 3 x = x = 4 ii. Οταν έχω εξίσωση της µορφής f(x) = α < 0 η εξίσωση είναι αδύνατη Άρα η εξίσωση : x = 0 x + 7 = 9 είναι αδύνατη. f(x) = g(x) iii. Οταν έχω εξίσωση της µορφής f(x) = g(x) f(x) = g(x) x 1 3 x + 5 = 0 x 1 = 3 x + 5 x 1 = 3(x + 5) x 1 = 3(x + 5) x 1 = 3x + 15 x 1 = 3x 15 x = 16 4x = 14 x = 8 x = 7 iv. Από τη σχέση : f(x) = f(x) f(x) > 0 Οπότε από την εξίσωση x + 1 = x + 1 x + 1 > 0 x > 1 v. Από τη σχέση : f(x) = f(x) f(x) < 0 Οπότε από την εξίσωση x 4 = x + 4 x 4 < 0 x < 4 x < vi. Οταν έχω εξισώσεις της µορφής f(x) = g(x), επειδή το f(x) 0 ϑα πρέπει και το g(x) 0 Άρα από την εξίσωση f(x) = g(x) g(x) 0 f(x) = g(x) f(x) = g(x) Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 77

78 3x 6 = x x 0 3x 6 = x 3x 6 = x + x 1 x = 4 x = 8 5 x = 4 x = 8 5 vii. Οταν έχω εξισώσεις της µορφής f(x) + g(x) = 0 επειδή f(x) 0 και g(x) 0 πρέπει να είναι : f(x) = g(x) = 0 Άρα από την εξίσωση : x 4 = 0 x 4 + 3x 6 = 0 3x 6 = 0 x = ± x = x = Θέµα 3.1 Να λυθεί η εξίσωση : (x 3) 3 8x 3 + (x + 3) 3 = 0 (Εκτός ύλης) Λύση 3.1 Από την ταυτότητα του Euler έχουµε ότι : αν α + β + γ = 0 α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ Η εξίσωση που µας δίνεται, γράφεται : (x 3) 3 (x) 3 + (x + 3) 3 = 0 κι έχουµε : x 3 x + x + 3 = 0 άρα από : Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 78

79 (x 3) 3 8x 3 + (x + 3) 3 = 0 (x 3) 3 (x) 3 + (x + 3) 3 = 0 (x 3) 3 (x) 3 + (x + 3) 3 = 0 3(x 3)(x)(x + 3) = 0 x 3 = 0 x = 0 x + 3 = 0 x = 3 x + 0 x = 3 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 79

80 3.1.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να λυθούν οι εξισώσεις : i. 19x = 7x 4 ii. 7x 15 = 7 iii. 4x 3(x 1) = 7x 4 iv. (3x 1) 3(x 1) = 4 v. 6(x + 4) = 4(x 1) + 8 vi. 3(x + 1) 4(x 1) + 5x + = 0 vii. 7x + 16 = 15x 4(x 4) viii. x(x ) = x 4x + 4. Να λυθούν οι εξισώσεις : x i. = x x + 1 ii. = 1 5 x 4 iii. = 5x 1 4x iv. x + 1 = x v. x 5 x vi. vii. = x 3 (3x + ) = x 7 3 5(4x 3) x 1 (x + 3) = 1 6 x Να λυθούν οι εξισώσεις : 5(x ) i. x + x 6 x + 3 = 3 x 3 ii. x 4 6 = x 5 3x 6 11 x + 1 iii. x + x + 1 x = x + 4 x 4 x iv. x 1 = 1 x x x + 1 v. x 1 + x x + 1 = 0 1 vi. x x + 1 = x 1 3 vii. x + x = x 4 x + x x x viii. x 1 = x x + 1 x 3 8 ix. x = x x 1 x 1 x 1 + x 3 x. = 1 + x 1 x 1 14 x 4. Να ϐρεθούν οι κοινές λύσεις των εξισώσεων : (x 1) (x 1) = 1 και (x 1) 3 = (x 1) 5. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις για τις διάφορες τιµές του λ R i. (λ 1)x = λ 1 ii. (λ )x = λ iii. λ(λ 1)x = λ 1 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 80

81 iv. λ(λ 1)x = λ + λ v. x(λ + 1) + 3 = 4(λ x) λ x x + λ vi. x + λ = 1 λ 3 x + 1 vii. x λ x 1 (λ + 1) = x + λ x λ x + α viii. x α = x x α 6. Να λυθούν οι εξισώσεις για τις διάφορες τιµές των λ, µ R i. λx + λ = µx + µ ii. λ(3x + λ) + 7 λ = λ + 3(1 + µx) iii. (λ µ)x = λ (λ + µ)x iv. (x + λ) (x µ) = λ(λ + µ) Αν λ + µ 0 v. (λx 1)(x + 1) + µ(x 1) λ(x + 1) = 0 x λ vi. = x µ µ λ λx vii. µ µx 1 = 1 λ µ 7. Να προσδιορίσετε το λ R ώστε η εξίσωση (λ )x = λ λ : i Να είναι αδύνατη ii Να είναι αόριστη iii Να έχει µοναδική λύση 8. Να προσδιορίσετε το λ R ώστε η εξίσωση (λ + 3)(x 10) = λ 11λ + 18 να έχει λύση το x = Να προσδιορίσετε το λ R ώστε η εξίσωση λ(x + ) 15 = 3(x λ) + λ(λ 3) να έχει µοναδική λύση το x = Αν η εξίσωση (3λ 1)x + 9x = 1 έχει δυο λύσεις, να προσδιοριστεί το λ. 11. Να προσδιορίσετε το λ R ώστε η εξίσωση (λ +5λ+6)x = λ+3 να έχει τουλάχιστον λύσεις. 1. Αν (λ 3)κ + 3λ = (λ 1) 5κ, να δείξετε ότι η εξίσωση κ(λ + )x = λ(λ + x) + (x 1), είναι αδύνατη. 13. Να ϐρείτε τα α, β R, ώστε η εξίσωση (α 9)x = α + 3 να είναι αόριστη και η εξίσωση (4 β )x = β + να είναι αδύνατη. 14. Να ϐρείτε τα λ, µ R, ώστε η εξίσωση (λ 4)x = µ 9 να είναι αόριστη και η εξίσωση (λ )x = λ + µ + 1 να είναι αδύνατη. 15. Αν η εξίσωση (λ + )(x 1) = 3(x + 1) (λ + 1), είναι ταυτότητα, να δείξετε ότι, η εξίσωση λ(x 1) 3(x + 1) = λ + 4(λ + 1 x) 3 είναι αδύνατη. 16. Αν η εξίσωση λ(1 x) = µ 4x + 1 είναι ταυτότητα, να δείξετε ότι η εξίσωση µ(x + 1) + (λ 7)x = λ(λ + µ) είναι αδύνατη. 17. Αν ϱ η µικρότερη ϱίζα της εξίσωσης (x ) 3 + (x + 3) 3 (x + 1) 3 = 0, να λυθεί η εξίσωση ρ(ρx + λ ) ρ 3 = λ (x + ρ). 18. Ποιοι περιορισµοί πρέπει να ισχύουν για τα α, β R ώστε η εξίσωση x α x = 1 να έχει λύση ; β 19. Να λυθούν οι εξισώσεις : i. x 3 = 5 ii. x 4 = x 1 iii. x = x 1 iv. x 1 = x v. x x = 3 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 81

82 x + 1 vi. x 1 = 1 3 vii. 3 x 3 + x = 4 viii. x 1 x = x 1 ix. x 1 = 3 x. x x + 1 = 3x 5 0. Να λυθούν οι εξισώσεις : x x i. = 3 15 ii. x x 15 = 0 iii. x x x = 0 1. Να λυθούν οι εξισώσεις : i. x + 3 = λ + 4 ii. x 4 = λ + λ 1. Να λυθούν οι εξισώσεις : ι. x x = 0 ι. x x + x 3x + 0 ι. x y y = 0 x Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 8

83 3. Η ΕΞΙΣΩΣΗ x ν = α 3..1 ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 3.4 Να λύσετε την εξίσωση x ν = α, α R, ν N I. Για α > 0 και ν περιττό, η λύση της εξίσωσης είναι x = ν α II. Για α > 0 και ν άρτιο, η λύση της εξίσωσης είναι x = ± ν α III. Για α < 0 και ν περιττό, η λύση της εξίσωσης είναι x = ν α IV. Για α < 0 και ν άρτιο, η εξίσωση είναι αδύνατη Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 83

84 3.. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Θέµα 3.13 Να λυθούν οι εξισώσεις i. x = 4 ii. x 4 = 34 iii. x 3 = 8 iv. x 3 = 15 v. x 0 = 0 Λύση 3.13 i. x = 4 x = ± 4 = ± ii. x 4 = 34 η εξίσωση είναι αδύνατη. iii. x 3 = 8 x = 3 8 = iv. x 3 = 15 x = 3 15 = 5 v. x 0 = 0 x = 0 Θέµα 3.14 Να λυθούν οι εξισώσεις i. x 4 + 8x = 0 ii. x 5 = 16x iii. x 6 = 3x iv. (x + 6) 3 = 8 Λύση 3.14 i. x 4 + 8x = 0 x(x = 0) x = 0 x 3 = 8 x = 0 x = 3 8 x = 0 x = ii. x 5 = 16x x 5 16x = 0 x(x 4 16) = 0 x = 0 x 4 = 16 x = 0 x = 4 16 x = 0 x = ± Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 84

85 iii. iv. x 6 = 3x x 6 + 3x = 0 x(x 5 + 3) = 0 x = 0 x 5 = 3 x = 0 x = 5 3 x = 0 x = (x + 6) 3 = 8 x + 6 = 3 8 x + 6 = x = 4 x = Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 85

86 3..3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να λυθούν οι εξισώσεις : i. x 3 15 = 0 ii. x 5 43 = 0 iii. x 7 1 = 0 iv. x = 0 v. x = 0 vi. x = 0 vii. x 64 = 0 viii. x 4 81 = 0 ix. x 6 64 = 0 x. x 5 8x = 0 xi. x 4 + x = 0 xii. x x = 0. i. (x + 1) 3 = 64 ii x 3 = 0 iii. (x 1) 4 7(x 1) = 0 iv. (x 1) 5 = 81(x 1) v. x 9 = x 6 vi. (x 3 9) = 0 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 86

87 3.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 3.5 Ποια εξίσωση ονοµάζουµε ου ϐαθµού ; Κάθε εξίσωση της µορφής αx + βx + γ = 0, µε α 0. Ερώτηση 3.6 Πως λύνουµε µια εξίσωση ου ϐαθµού ; Υπολογίζουµε τη διακρίνουσα = β 4 α γ. Αν > 0, τότε η εξίσωση έχει δύο λύσεις τις x 1, = β ± α Αν = 0, τότε η εξίσωση έχει µία διπλή λύση την x = β α Αν = 0, τότε η εξίσωση δεν έχει πραγµατική λύση (αδύνατη). Ερώτηση 3.7 Να γράψετε τους τύπους του Vietta και να τους αποδείξετε. Οταν έχουµε την εξίσωση αx + βx + γ = 0, µε α 0 και > 0, η οποία έχει δυο λύσεις x 1, x τότε ισχύει : S = x 1 + x = β α και P = x 1 x = γ α Απόδειξη : Είναι : x 1 = β +, x = β α α S = x 1 + x = β + α + β α = β + β α = β α = β α P = x 1 x = β + α = ( β) 4α = β (β 4αγ) 4α = β β + 4αγ 4α = 4αγ 4α = γ α β α Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 87

88 Ερώτηση 3.8 Πως µετασχηµατίζεται η εξίσωση αx + βx + γ = 0, µε α 0 και > 0, µε τη ϐοήθεια των τύπων του Vietta; Είναι : αx + βx + γ = 0 x + β α x + γ α = 0 x (x 1 + x )x + x 1 x = 0 x Sx + P = 0 Ερώτηση 3.9 Ποιες εξισώσεις ονοµάζονται διτετράγωνες ; Είναι οι εξισώσεις τις µορφής αx ν + βx ν + γ = 0 και λύνονται µε αντικατάσταση, ϑέτοντας ω = x ν Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 88

89 3.3. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Θέµα 3.15 Να λύσετε τις εξισώσεις : i. x + x = 0 ii. x + 6x = 0 iii. x 4 = 0 iv. 3x + 16 = 0 v. x 5x + 3 = 0 vi. x 6x + 9 = 0 vii. 3x + 4x + = 0 Λύση 3.15 i. x + x = 0 x(x + ) = 0 x = 0 x + = 0 x = 0 x = ii. x + 6x = 0 x(x + 3) = 0 x = 0 x + 3 = 0 x = 0 x = 3 iii. x 4 = 0 x = 4 iv. x = ± 3x + 16 = 0 3x = 16 αδύνατη v. x 5x + 3 = 0 είναι της µορφής αx + βx + γ = 0 µε α =, β = 5, γ = 3, τότε η = β 4αγ = ( 5) 4 3 = 1 > 0 άρα η εξίσωση έχει δυο λύσεις τις x 1, = β ± α x 1, = ( 5) ± 1 = 5 ± 1 x 1 = x 1 = 6 4 x 1 = 3 = = = 4 x = 5 1 x = 4 x = vi. Η εξίσωση x 6x + 9 = 0 έχει = β 4αγ = ( 6) = 0 άρα έχει διπλή ϱίζα την x = 6 = 3 vii. Η εξίσωση 3x + 4x + = 0 έχει = β 4αγ = (4 4 3 = 8 < 0 άρα η εξίσωση είναι αδύνατη. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 89

90 Θέµα 3.16 Να λυθούν οι εξισώσεις : i. x 7 x + 1 = 0 ii. (x 1) + 4 x 1 5 = 0 iii. ( x + 1 x) 5 ( x + 1 x ) + 6 = 0 iv. 4x x 3 = 0 v. x + x 3 x + x x x = 0 Λύση 3.16 i. x 7 x + 1 = 0 x 7 x + 1 = 0 ϑέτω x = ω ω 7ω + 1 = 0 ω 1 = 4 = 1 άρα έχει δυο λύσεις ω = 3 ω 1 = 4 x = 4 x =ω == ω = 3 x = 3 x = ±4 x = ±3 ii. (x 1) + 4 x 1 5 = 0 x x 1 5 = 0 ϑέτω x 1 = ω κι έχω : ω + 4ω 5 = 0, = 36, άρα : ω 1 = 5 x 1 = 5 αδύνατη iii. x 1 =ω ==== ω = 1 x 1 = 1 x = 0 εποµένως, x 1 = 1 x 1 = ±1 x = ( x + x) 1 ( 5 x + 1 ) + 6 = 0, x 0 ϑέτω x ( x + 1 x ) = ω Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 90

91 κι έχω : ω 5ω + 6 = 0 x+ 1 x =ω ==== ω 1 = ω = 3 x + 1 x = x + 1 x = 3 x x + 1 = 0 x 3x + 1 = 0 x = 1 x = x = 3 5 iv. 4x x 3 = 0, ϑέτω x = ω 4ω + 11ω 3 = 0 ω 1 = 3 ω = 1 4 x = 3 αδυνατη x = 1 4 x = 1 x = 1 v. Εχω την εξίσωση : x + x 3 x + x x = 0 µε x 0 και x x x + x 3 x + x x x = 0 x + x 3 x + x x(x ) = 0 x(x ) x + x(x )x 3 x (x ) + x(x 3) + x = 0 x 4 + x 3x + x = 0 x x = 0, = 9 x 1 = απορρίπτεται x = 1 + x(x ) x x(x ) = 0 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 91

92 Θέµα 3.17 Να προσδιοριστεί το λ R ώστε να είναι ου ϐαθµού η εξίσωση (λ 3λ + )x λx + 1 = 0 Λύση 3.17 Για να είναι ου ϐαθµού ϑα πρέπει : λ 3λ + 0 ηλαδή λ 1, = 3 ± λ 1,, 1 Θέµα 3.18 Να προσδιοριστεί το λ R ώστε η εξίσωση : (λ 3λ + )x + x (λ 1)(λ ) = 0 να έχει δυο πραγµατικές και άνισες λύσεις. Λύση 3.18 Για να έχει η εξίσωση δυο πραγµατικές και άνισες λύσεις ϑα πρέπει : 1. Να είναι ου ϐαθµού, δηλαδή,ο συντελεστής του x ο λ 3λ + 0 λ 1 και λ. Και η διακρίνουσα, > (λ 3λ + )(λ 1)(λ ) > (λ 3λ + ) > 0 το οποίο ισχύει για κάθε λ R. Άρα η εξίσωση έχει δυο πραγµατικές και άνισες λύσεις για κάθε λ R {1, } Θέµα 3.19 Να λύσετε την εξίσωση : x + α = β αx, α.β R Λύση 3.19 x + α = β αx x + αx + α β = 0 = (α) 4(α β ) = 4α 4α + 4β = 4β 1. Αν = 4β = 0 β = 0 τότε x = α. Αν β 0 τότε x 1, = α ± 4β α + β = +α + β = α + β α β Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 9

93 Θέµα 3.0 ίνεται η εξίσωση α x α 3 x + α 4 1 = 0, α 0. i. Να ϐρείτε τη διακρίνουσα. ii. Να λύσετε την εξίσωση. Λύση 3.0 i. = β 4αγ = ( α 3 ) 4α (α 4 1) = 4α 6 4α 6 + 4α = 4α ii. Επειδή η διακρίνουσα είναι ϑετική η εξίσωση ϑα έχει δύο πραγµατικές λύσεις. x 1, = β ± α Άρα x 1 = α + 1 α = α3 ± 4α α και x = α 1 α = α3 ± α α Μεθοδολογία 3. Οταν έχω παραµετρικές εξισώσεις της µορφής αx + βx + γ = 0, ϑα πρέπει να λάβω υπόψιν µου τα παρακάτω. Εχει πραγµατικές ϱίζες α 0, 0 εν έχει πραγµατικές ϱίζες α 0, < 0 Εχει µια διπλή πραγµατική ϱίζα α 0, = 0 Εχει πραγµατικές και άνισες ϱίζες α 0, > 0 Οι ϱίζες είναι αντίθετες α 0, 0, S = 0 Οι ϱίζες είναι αντίστροφες α 0, 0, P = 1 Οι ϱίζες είναι οµόσηµες α 0, > 0, P > 0 Οι ϱίζες είναι ετερόσηµες α 0, > 0, P < 0 Οι ϱίζες είναι ϑετικές α 0, > 0, P > 0, S > 0 Οι ϱίζες είναι αρνητικές α 0, > 0, P > 0, S < 0 Θέµα 3.1 Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν πραγµατικές ϱίζες : i. λx + x (λ ) = 0, λ 0 ii. αx + (α + β)x + β = 0, α 0 Λύση 3.1 i. λx + x (λ ) = 0 Για να έχει η εξίσωση πραγµατικές ϱίζες Θα πρέπει λ 0, 0 Άρα έχω : λ 0 το οποίο δίνεται και 0 4λ[ (λ )] λ + 8λ 0 ( + λ) 0 το οποίο ισχύει. Άρα η εξίσωση έχει πραγµατικές ϱίζες. ii. αx + (α + β)x + β = 0, α 0 Για να έχει η εξίσωση πραγµατικές ϱίζες, ϑα πρέπει α 0, 0 Άρα έχω : α 0 το οποίο δίνεται και Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 93

94 0 (α + β) 4αβ 0 α + αβ + β 4αβ 0 α αβ + β 0 (α β) 0 το οποίο ισχύει. Άρα η εξίσωση έχει πραγµατικές ϱίζες. Θέµα 3. Να ϐρείτε τις τιµές του µ R, για τις οποίες η εξίσωση µx + x + µ = 0, µ 0 έχει διπλή ϱίζα. Λύση 3. Για να έχει η εξίσωση µx + x + µ = 0 διπλή ϱίζα, ϑα πρέπει µ 0, = 0 Άρα έχω : µ 0 το οποίο δίνεται και = 0 4µ = 0 µ = 1 µ = ±1 Θέµα 3.3 Αν α β, να δείξετε ότι η εξίσωση (α + β )x + (α + β)x + = 0 είναι αδύνατη. Να εξετάσετε τι γίνεται στην περίπτωση που α = β. Λύση 3.3 Για να είναι η εξίσωση (α + β )x + (α + β)x + = 0 αδύνατη, ϑα πρέπει < 0 < 0 4(α + β) 8(α + β ) < 0 4α + 4β + 8αβ 8α 8β < 0 (4α + 4β 8αβ) < 0 (α β) < 0 το οποίο ισχύει. Οταν α = β τότε = 0 και η εξίσωση έχει µια διπλή ϱίζα. Θέµα 3.4 Να ϐρείτε τις τιµές του α R, για τις οποίες η εξίσωση x + (α 9)x + α + 3α + 4 = 0 έχει διπλή ϱίζα. Λύση 3.4 Για να έχει διπλή ϱίζα ϑα πρέπει : = 0 (α 9) 4 (α + +3α + 4) = 0 α 18α α 4α 3 = 0 7α 4α + 49 = 0 α + 6α 7 = 0 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 94

95 άρα α 1, = 6 ± 64 άρα α = 1 ή α = 7 = 6 ± 8 Θέµα 3.5 Αν η εξίσωση x 8x + λ = 0 έχει ϱίζες πραγµατικές, τότε η µεγαλύτερη ακέραια τιµή του λ R είναι το 18. Λύση 3.5 Για να έχει πραγµατικές ϱίζες ϑα πρέπει : 0 ( 8) 4 1 (λ ) λ λ λ 18 Άρα η µεγαλύτερη ακέραια τιµή του λ είναι το 18. Θέµα 3.6 Αν η εξίσωση x κx + (α + β) = 0, α β (1), έχει ακριβώς µια λύση, τότε να δειχθεί ότι η εξίσωση x κx + αβ = 0 () έχει ϱίζες πραγµατικές και άνισες. Λύση 3.6 Για να έχει η (1) ακριβώς µια ϱίζα ϑα πρέπει : = 0 ( κ) 4 1 (α + β) = 0 4κ = 4(α + β) κ = (α + β) (3) Αντικαθιστώντας στην διακρίνουσα της εξίσωσης () έχουµε : = κ 4αβ = (α + β) 4αβ = (α β) > 0 Αφού α β Θέµα 3.7 Να ϐρείτε την εξίσωση που έχει ϱίζες τους αριθµούς 5 6 και Λύση 3.7 Η εξίσωση ϑα είναι της µορφής : x Sx + P = 0 µε S = x 1 + x, P = x 1 x. S = x 1 + x = = 10 και P = x 1 x = (5 6)(5 + 6) = 5 ( 6) = 1 Άρα η εξίσωση είναι η : x 10x + 1 = 0 Θέµα 3.8 Να λύσετε την εξίσωση : x ( 5 + 3)x + 15 = 0 Λύση 3.8 Η εξίσωση ϑα είναι της µορφής : x Sx + P = 0 µε S = x 1 + x = 5 + 3, P = x 1 x = 15 = 3 5. Άρα x 1 = 5, x = 3 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 95

96 Θέµα 3.9 Αν x 1, x είναι οι λύσεις της εξίσωσης x + 9x 5 = 0(1), να σχηµατίσετε την εξίσωση ου ϐαθµού που έχει ϱίζες του αριθµούς, ρ 1 = x 1 + x και ρ = x + x 1. Λύση 3.9 Αφού οι x 1, x είναι οι λύσεις της εξίσωσης (1) τότε x 1 + x = 9 και x 1 x = 5 Η εξίσωση που έχει ϱίζες τις ρ 1 = x 1 + x και ρ = x + x 1 ϑα είναι της µορφής x Sx + P = 0 µε : S = ρ 1 + ρ = x 1 + x + x + x 1 = 3(x 1 + x ) = 3( 9) = 7 P = ρ 1 ρ = (x 1 + x )(x + x 1 ) = 5x 1 x + (x 1 + x ) = 5x 1 x + [(x 1 + x ) x 1 x = 157 Άρα η εξίσωση είναι η : x + 7x = 0 Θέµα 3.30 Αν x 1, x οι λύσεις της εξίσωσης x + x 1 = 0, να υπολογιστούν οι παραστάσεις : i. x 1 + x ii. x 1 x iii. x 1 + x iv. x x3 v. (x 1 x ) vi. x 1 x x 1 vii. + x x x 1 Λύση 3.30 Στην εξίσωση x + x 10 = 0, είναι α = 1, β = 1, γ = 1 άρα : i. S = x 1 + x = β γ = 1 ii. P = x 1 x = γ α = 1 iii. x 1 + x = (x 1 + x ) x 1 x = ( 1) ( 1) = = 5 iv. x x3 = (x 1 + x )(x 1 x 1x + x ) = 1(5 + 1) = 37 v. (x 1 x ) = x 1 x 1x + x = 5 ( 1) = 49 vi. x 1 x = (x 1 x ) = 49 = 7 x 1 vii. + x = x3 1 + x3 = 37 x x 1 x 1 x 1 = 37 1 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 96

97 Θέµα 3.31 ίνεται η εξίσωση x + λx 8 = 0 i. Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγµατικές ϱίζες για κάθε λ πραγµατικό. ii. Αν η µια ϱίζα της εξίσωσης είναι ίση µε το τετράγωνο της άλλης, τότε να ϐρεθούν οι ϱίζες και το λ. Λύση 3.31 Στην εξίσωση x + λx 8 = 0 α = 1, β = λ, γ = 8 i. = β 4αγ = 4λ + 3 > 0 Άρα η εξίσωση έχει δυο πραγµατικές και άνισες λύσεις ρ 1, ρ. ii. Επειδή η µια ϱίζα είναι ίση µε το τετράγωνο της άλλης, ϑεωρούµε ρ 1 = ρ και ρ = ρ Από τους τύπους του Vietta είναι : ρ 1 + ρ = λ ρ + ρ = λ(1) ρ 1 ρ = 8 ρ ρ = 8 ρ 3 = 8 ρ = Άρα : ρ 1 = ρ = 4 (1) + 4 = λ λ = 1 Θέµα 3.3 Να προσδιορίσετε το λ R ώστε η εξίσωση 3x + (x + 1)λ xλ = (1 10x) να έχει δυο ϱίζες αντίθετες. Λύση 3.3 Θα πρέπει να ϕέρω την εξίσωση στη µορφή αx + βx + γ = 0. Κάνοντας τις πράξεις έχω : 3x + ( λ + λ + 0)x + λ = 0 µε α = 3, β = λ + λ + 0, γ = λ για να έχει δυο ϱίζες αντίθετες ϑα πρέπει : > 0 (1) και S = x 1 + x = 0 () Επειδή το (1) είναι δύσκολο να το εξετάσω, ξεκινάω από το () S = 0 λ + λ + 0 λ 1 = 4 = 0 λ + λ + 0 = 0 = 3 λ = 5 και ϑα δω µε αντικατάσταση ποια από τις δυο ϱίζες επαληθεύει την (1). i. Για λ = 4 έχω = ( λ + λ + 0) 4 3 (λ ) = [ ( 4) + ( 4) + 0] 4 3 [( 4) ] = 7 > 0 Άρα λ = 4 δεκτή. ii. Για λ = 5 έχω = ( λ + λ + 0) 4 3 (λ ) = ( ) 4 3 (5 ) = 36 < 0 Άρα λ = 5 απορρίπτεται. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 97

98 3.3.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να λυθούν οι εξισώσεις : i. x 18 = 0 ii. x x 80 = 0 iii. x 3x + 6 = 0 iv. (x + 1) (x 1)(x + = x(3 x)) v. (x 1) 3(x 1) = 0 vi. x(x 3) = (x + 1) (x 1)(x + ) vii. (1 )x (1 + )x = viii. 3x (1 + 3)x + 1 = 0 ix. x + ( 1)x = 0. Να ϐρεθεί το λ R, ώστε η εξίσωση x x + λ 1 = 0 να έχει : i Ρίζες πραγµατικές και άνισες. ii Ρίζες πραγµατικές. iii Μια διπλή ϱίζα. iv Καµιά πραγµατική ϱίζα. 3. Να ϐρεθεί το λ R ώστε η εξίσωση x λx + λ = 0 να έχει ϱίζα το. Μετά να δειχθεί ότι, αυτή η ϱίζα, είναι διπλή. 4. Αν η εξίσωση αx + βx + γ = 0 έχει ϱίζα το 1, να δειχθεί ότι : α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ 5. Να εξετάσετε αν έχουν ϱίζες και πόσες, οι παρακάτω εξισώσεις : i. αx + (α 3)x α = 0, α 0 ii. x (α + )x α = 0, α R iii. x αx + α + β + γ = 0, β 0 iv. x αx β = 0 6. Να λυθούν οι εξισώσεις : i. x 9λx + 14λ = 0 ii. x (α β)x αβ = 0 iii. x αx + α β = 0 iv. (x + α)(x α) = α + 1 v. 4x 4αx + α β = 0 vi. (x + κ)(x λ) = (x λ) + κλ 7. Αν η εξίσωση x + 6x + κ = 0 έχει ϱίζες πραγµατικές και άνισες, να ϐρεθεί η µεγαλύτερη ακέραια τιµή του κ. 8. Αν οι εξισώσεις x (λ + 1)x + = 0 και x + x λ = 0, λ, έχουν κοινή ϱίζα, να ϐρεθεί η κοινή ϱίζα και το λ. 9. Εστω f(x) = αx + βx + γ, α 0. Αν f(0) = 1, f(1) = 7, f() = 1, να δειχθεί ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει ϱίζες πραγµατικές και άνισες. 10. ίνεται η εξίσωση x (5 )x = 0 i. Να δείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι τέλειο τετράγωνο. ii. Να λύσετε την εξίσωση. 11. Αν ο αριθµός ρ είναι ϱίζα της εξίσωσης αx + βx + γ = 0 µε αγ 0, να δείξετε ότι, ο αριθµός 1 ρ είναι ϱίζα της εξίσωσης γx + βx + α = 0 1. Να προσδιοριστεί η εξίσωση που έχει ϱίζες : i. 1, 0 1 ii. 4, 8 iii. 4, 1 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 98

99 iv. 4, 4 v , 1 3 vi. 4, Να προσδιοριστεί η εξίσωση που έχει ϱίζες : i. λ, λ 1 κ + λ ii. λ, λ + κ κ iii. α 3β, α + 3β α iv. β, β γ 14. Αν x 1, x είναι οι ϱίζες της εξίσωσης x x 8 = 0, να υπολογιστούν οι παραστάσεις : i. x 1 + x ii. x 1 x iii. x 1 + x x 1 iv. + x x x 1 1 v. x x vi. x 1 x + x x ίνεται η εξίσωση x + λx 1 = 0, λ R i. Να δειχθεί ότι η εξίσωση έχει δυο ϱίζες πραγµατικές και άνισες. ii. Αν x 1, x είναι οι ϱίζες της εξίσωσης, να υπολογιστούν οι παραστάσεις, συναρτήσει του λ i. x 1 + x ii. x 1 x iii. x 1 + x x 1 iv. + x x x 1 1 v. x x vi. x 1 x + x x Αν η εξίσωση x + αx + β = 0 έχει ϱίζες δυο διαδοχικούς ακεραίους, να αποδειχθεί ότι α 4β = Αν x 1, x είναι οι ϱίζες της εξίσωσης x λx + 3 = 0, να λυθεί η ανίσωση : (x 1 + x )x (λ 1)x < x 1 x 18. ίνεται η εξίσωση (λ 1)x λx + λ 1 = 0, να ϐρείτε το λ, αν υπάρχει, ώστε η εξίσωση να έχει : i. ϱίζες πραγµατικές ii. µια ϱίζα το 0 iii. ϱίζες αντίστροφες iv. ϱίζες αντίθετες. 19. Εστω f(x) = αx + βx + γ και ρ 1, ρ ϱίζες της f(x) = 0. Να αποδειχθεί ότι : f ( ) ( ) S S + κ = f κ για κάθε κ, R 0. Να ϐρεθεί το λ R ώστε οι ϱίζες ρ 1, ρ της εξίσωσης x +x λ+1 = 0 να επαληθεύουν τη σχέση ρ 1 + 3ρ 1 + ρ + ρ 1 ρ = 1. Αν η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0, έχει δυο ϱίζες x 1, x άνισες, να αποδειχθεί ότι : Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 99

100 x 1 x = α Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 100

101 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΠΡΟΣΗΜΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΚΑΙ ΠΗΛΙΚΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 4. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 4.1 Να λύσετε για τις διάφορες τιµές των α, β R την ανίσωση αx + β > 0 Είναι αx + β > 0 αx > β i. Αν α > 0 β αx > β x > α ii. Αν α < 0 β αx > β x < α iii. Αν α = 0 Εχουµε 0x > β Η οποία αληθεύει για κάθε x R αν, β > 0 Και είναι αδύνατη, αν β 0. Ερώτηση 4. Η ανίσωση αx + β > 0 µε α, β R πότε είναι αδύνατη και πότε ισχύει όλες τις τιµές του x; i. Αδύνατη είναι όταν, α = 0 και β 0 ii. Αόριστη είναι όταν, α = 0 και β < 0 Ερώτηση 4.3 Ποιες ιδιότητες των απόλυτων τιµών χρησιµοποιούµε για να λύσουµε ανι- σώσεις µε απόλυτα ; i. x < θ θ < x < θ ii. x > θ x < θ ή x > θ

102 Ερώτηση 4.4 Πως ϕτιάχνω πίνακα προσήµων για την παράσταση αx + β µε α, β R Λύνω την εξίσωση αx + β = 0 x = β κι έχω α β x α αx + β ετερόσηµο 0 οµόσηµο του α του α + Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 10

103 4.1. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Θέµα 4.1 Να λυθούν οι ανισώσεις 5x i > (x 3)5 9 ii. (x 1) + 3 < x 3(x + 1) Λύση 4.1 i. 5x > (x 3)5 9 15x 1 > 5(x 3) 10x > 14 x > ii. x > 7 5 (x 1) + 3 < x 3(x + 1) x x < x 3x 3 x < 7 Θέµα 4. Να λυθεί η ανίσωση (4x 1) 3 > 10 5(x 1) Λύση 4. (4x 1) > 10 4(x 1) 8x + > 10 4x + 4 8x + 4x > x > 14 x < 7 Θέµα 4.3 Να λυθεί η ανίσωση x + 3 < (x 3) x Λύση 4.3 x + 3 < (x 3) x x + 3 < x 6 x x x + x < 6 3 0x < 8 το οποίο είναι αδύνατο, άρα η ανίσωση δεν έχει λύσεις. Θέµα 4.4 Να λυθεί η ανίσωση 5(x 3) x > 4x 16 Λύση 4.4 5(x 3) x = 4x 15 5x 15 x > 4x 16 5x x 4x > x > 1 το οποίο, ισχύει για κάθε x R, άρα η ανίσωση είναι αόριστη, δηλαδή έχει άπειρες λύσεις. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 103

104 Θέµα 4.5 Να λυθούν οι ανισώσεις και στη συνέχεια να ϐρεθούν οι κοινές τους λύσεις 4x i > x 3 3 ii. (x 1) + 3 < x + (x + 1) Λύση 4.5 i. 4x > x 9 3 ii. 1x 5 > 3x 45 8x > 40 x < 5 (x 1) + 3 < x + (x + 1) x x < x + x + 4x < 4 x > 1 Άρα κοινές λύσεις έχουµε για 1 < x < 5 Θέµα 4.6 Να λυθεί η ανίσωση λ(x 3) 1 + x Λύση 4.6 λ(x 3) 1 + x λx 3λ 1 + x λx x 1 + 3λ (λ )x 1 + 3λ (1) Αν λ > 0 λ > τότε (1) x > 1 + 3λ λ ii. i. Αν λ < 0 λ < τότε (1) x < 1 + 3λ λ iii. Αν λ = 0 λ = τότε, αντικαθιστώντας στην (1) έχουµε : 0x > 7 αδύνατη. Θέµα 4.7 Να λυθεί η ανίσωση λ(x 3λ) µ(x 3µ) Λύση 4.7 λ(x 3λ) µ(x 3µ) λx 3λ µx 3µ (λ µ)x 3(λ µ ) (1) Αν λ µ > 0 λ > µ τότε (1) x λ µ x 3(λ + µ) λ µ ii. i. Αν λ µ < 0 λ < µ τότε (1) x λ µ x 3(λ + µ) λ µ iii. Αν λ µ = 0 λ = µ τότε, αντικαθιστώντας στην (1) έχουµε : 0x 0 ταυτότητα. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 104

105 Θέµα 4.8 Να λυθεί η ανίσωση λ(x 1) + x > µ(x + ) 3 Λύση 4.8 λ(x 1) + x > µ(x + ) 3 λx λ + x > µx + µ 3 λx + x µx > λ + µ 3 (λ + 1 µ) > λ + µ 3 (1) Αν λ + 1 µ > 0 τότε (1) x > λ + µ 3 λ + 1 µ ii. i. Αν λ + 1 µ < 0 τότε (1) x < λ + µ 3 λ + 1 µ iii. Αν λ + 1 µ = 0 µ = λ + 1 τότε, αντικαθιστώντας στην (1) έχουµε : 0x > 3λ 1 () οπότε διακρίνουµε τις περιπτώσεις : (αʹ) Αν 3λ 1 < 0 λ < 1 3 από τη () έχουµε : 0x > 3λ 1 > 0 που ισχύει για κάθε πραγµατικό x. (ϐʹ) Αν 3λ 1 > 0 λ > 1 3 από τη () έχουµε : 0x > 3λ 1 < 0 που είναι αδύνατο. (γʹ) Αν 3λ 1 = 0 λ = 1 3 από τη () έχουµε : 0x = 3λ 1 > 0 που είναι αδύνατο : Θέµα 4.9 Να λυθούν οι ανισώσεις : i. x 3 < ii. x 3 > 5 iii. x 7 < 4 iv. x 6 0 v. x Λύση 4.9 i. x 3 < < x 3 < ii. + 3 < x < < x < 5 x (1, 5) x 3 > 5 x 3 < 5 ή x 3 > 5 x < ή x > x < ή x > 8 x < 1 ή x > 4 x (, 1) (4, + ) iii. x 7 < 4 είναι αδύνατη Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 105

106 iv. x 6 0 x 6 = 0 x = 6 x = 3 v. x ισχύει για κάθε x R Θέµα 4.10 Να λυθεί η ανίσωση : x 1 < x Μεθοδολογία 4.1 Οταν έχω ανίσωση της µορφής A(x) < B(x) τότε υψώνω στο τετράγωνο και τα δυο µέλη για να ϕύγουν τα απόλυτα. Λύση 4.10 x 1 < x x 1 < x (x 1) < (x ) x x + 1 < x 4x + 4 4x x < 4 1 x < 3 Θέµα 4.11 Να λυθεί η ανίσωση : x 1 < x + 3 Μεθοδολογία 4. Οταν έχω ανίσωση της µορφής κ A(x) + λ B(x) + ρ Γ(x) + µ < 0 τότε ϕτιάχνω πίνακα προσήµων για τις παραστάσεις που είναι µέσα στα απόλυτα. Λύση 4.11 Ο πίνακας προσήµων που προκύπτει είναι ο παρακάτω. x 1 + x x 0 + Άρα έχω τις περιπτώσεις : i. Για x (, 1) Εχω, ( x + 1) < ( x + ) + 3 x + < x x < 3 x > 3 Η οποία δεν συναληθεύει µε τον περιορισµό x (, 1) Άρα η ανίσωση δεν έχει λύση για x ( 3, 1) ii. Για x (1, ) Εχω, (x 1) < ( x + ) + 3 x < x x < 7 x < 7 3 Την οποία συναληθεύω µε τον περιορισµό x (1, ) Άρα x (1, ) Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 106

107 iii. Για x (, + ) Εχω, (x 1) < (x ) + 3 x < x + 3 x < 3 Την οποία συναληθεύω µε τον περιορισµό x (, + ) Άρα x (, 3) Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 107

108 4.1.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να λύσετε τις ανισώσεις : 3x 5 i. + x > 7x x 1 5x + ii. > x x 4 iii. 3x 7x x iv. + 1 x < x 5 10 ( 5 1 v. x x 1 ) x Να ϐρεθούν οι τιµές του x, για τις οποίες ισχύει : x 4 4( + x) 5 + x 3. Να συναληθεύσετε τις ανισώσεις (Να ϐρείτε τις κοινές τους λύσεις): x x 1 > x 3 x 3 4 x > 5(x 1) 1 4. Να συναληθεύσετε τις ανισώσεις (Να ϐρείτε τις κοινές τους λύσεις): 3x 1 > x x(x + 1) 4 1 > x Να ϐρείτε τις κοινές ακέραιες λύσεις των ανισώσεων : x + x 1 > x 3 4 x 3 x + 1 x Να ϐρείτε τις κοινές ακέραιες λύσεις των ανισώσεων : x x 1 8 > x x 4 + x + 1 < 0 7. Να λυθεί η ανίσωση ( + λ) x > 3 + 4λx για τις διάφορες τιµές του λ R 8. Οµοίως οι παρακάτω ανισώσεις : i. λ(x 1) < ( x + 3 λx λ ii λ ) x 4 iii. λ + µ x > λ x + λµ Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 108

109 iv. (x λ) (µ x) < λ + µ 9. Εχουµε την εξίσωση (µ )x = µ 4, µ R. Να ϐρεθούν οι τιµές του µ R, ώστε η εξίσωση να έχει µοναδική λύση, η οποία : i. να είναι ϑετική ii. να είναι αρνητική iii. να µην υπερβαίνει το 10 iv. να ανήκει στο διάστηµα [4, 1) 10. Αν η εξίσωση λ(λx ) = x έχει αρνητική λύση, να λυθεί η ανίσωση (λ )x < λ Να λυθούν οι ανισώσεις : i. x + 1 < 4 ii. x 3 < 5 iii. x + 5 < iv. x + 1 < 1 v. x 5 > 1 vi. 3x + 4 > 6 vii. x + 1 > 9 viii. x Να λυθούν οι ανισώσεις : i. < x + 1 < 4 ii. 3 < x 4 < 5 iii. x 1 < 5 iv. x < v. x + 1 < x vi. x 5 > x + 1 vii. x 1 > x Να λυθούν οι ανισώσεις : i. ii. x x x > x 1 + x 4 < x 4 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 109

110 4. ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ 4..1 ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 4.5 Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυµο αx + βx + γ µε α 0 αx + βx + γ = α(x + β α x + γ α ) [ = α x + x β ( ) ( ) β β α + 4α 4α + γ ] α [ ( = α x + β ) ] β 4αγ α 4α Θέτω = β 4αγ[ κι έχω : ( αx + βx + γ = α x + β ) ] α 4α i. Αν > 0 [ ( αx + βx + γ = α x + β ) ] α 4α ( = α x + β ) ( ) α α ( = α x + β ) ( α + x + β ) α α α ( = α x β ) ( x β + ) α α (1) = α(x ρ 1 )(x ρ ) ii. Αν = 0 [ ( αx + βx + γ = α x + β ) ] α [ ( = α x β ) ] α = α(x ρ) iii. Αν < 0 η (1) δεν παραγοντοποιείται. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 110

111 4.. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Θέµα 4.1 Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυµα : i. x 3x + ii. x 8x + 8 iii. x x + Λύση 4.1 i. Η x 3x + έχει διακρίνουσα = 1 > 0. Άρα οι δυο ϱίζες της είναι ρ 1 = και ρ = 1 Εποµένως x 3x + = (x )(x 1) ii. Η x 8x + 8 έχει διακρίνουσα = 0. Άρα η ϱίζα της είναι ρ = Εποµένως x 8x + 8 = (x ) iii. Η x x + έχει διακρίνουσα = 7 < 0. Άρα δεν παραγοντοποιείται το τριώνυµο. Θέµα 4.13 Να απλοποιήσετε την παράσταση : x 3x + x 8x + 8 Λύση 4.13 Χρησιµοποιώντας τις παραγοντοποιήσεις από την προηγούµενη άσκηση, έχου- µε : x 3x + (x )(x 1) x = 8x + 8 (x ) = x 1 (x ) Θέµα 4.14 Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση : x + (β α)x αβ Λύση 4.14 Η παράσταση x + (β α)x αβ µπορεί να ϑεωρηθεί ως τριώνυµο µε άγνωστο το x και συντελεστές του τριωνύµου : α =, β = (β α), γ = αβ Εχει διακρίνουσα = (β α) + 4 αβ = 4β + α 4αβ + 8αβ = 4β + α + 4αβ = (β + α) 0 Οι δυο ϱίζες του τριωνύµου είναι : Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 111

112 ρ 1, = (β α) ± (β + α) 4 (β α) ± (β + α) = 4 α = β Άρα x + (β α)x αβ = (x α )(x + β) Θέµα 4.15 Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση : α 4 + β 4 + α β Λύση 4.15 Η συγκεκριµένη παραγοντοποίηση, δεν ϑα γίνει µε τη ϐοήθεια της διακρίνουσας, άλλα χρησιµοποιώντας ένα τέχνασµα. α 4 + β 4 + α β = α 4 + β 4 + α β + α β α β = α 4 + β 4 + α β α β = (α + β ) (αβ) = (α + β + αβ)(α + β αβ) Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 11

113 4..3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις : i. x + 8x 4 x 49 ii. 4x 1x + 9 x 5x + 3. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις : i. α + αβ β α αβ 6β ii. x αx + βx αβ x 3αx + α Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 113

114 4.3 ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 4.6 Να ϕτιάξετε τους πίνακες προσήµων για το τριώνυµο αx + βx + γ, α 0 για τις διάφορες τιµές της διακρίνουσας. i. ii. iii. x ρ 1 ρ + αx + βx + γ οµόσηµο 0 ετερόσηµο 0 οµόσηµο > 0 του α του α του α µε ρ 1, ρ τις ϱίζες της εξίσωσης αx + βx + γ = 0 x ρ + αx + βx + γ οµόσηµο 0 οµόσηµο = 0 του α του α µε ρ τη ϱίζα της εξίσωσης αx + βx + γ = 0 x + αx + βx + γ οµόσηµο < 0 του α Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 114

115 4.3. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Μεθοδολογία 4.3 Για να λύσω µια ανίσωση ου ϐαθµού, ϑα πρέπει να ϕτιάξω πίνακα προσήµων!!! Θέµα 4.16 Να προσδιορίσετε το πρόσηµο των παρακάτω τριωνύµων : i. x 5x + 6 ii. x + x + 1 iii. 3x + x + 4 Λύση 4.16 i. Η εξίσωση x 5x + 6 = 0 έχει ϱίζες το και το 3, εποµένως ο πίνακας προσήµων είναι ο : x 3 + x 5x και είναι : x 5x + 6 > 0 για x (, ) (3. + ) x 5x + 6 < 0 για x (, 3) x 5x + 6 = 0 για x =, x = 3 ii. Η εξίσωση x x + 1 = 0 έχει διπλή ϱίζα το 1, εποµένως ο πίνακας προσήµων είναι ο : x 1 + x + x και είναι : x + x + 1 > 0 για κάθε x R {1} x + x + 1 = 0 για x = 1 iii. Η εξίσωση 3x +x+4 = 0 είναι αδύνατη, εποµένως ο πίνακας προσήµων είναι ο : x + 3x + x και είναι : 3x + x + 4 > 0 για κάθε x R Θέµα 4.17 Να λύσετε τις ανισώσεις : i. x + 3x 4 ii. x + 9 6x iii. 1 4 (x 4x + 3) > 0 Λύση 4.17 i. x + 3x 4 x + 3x 4 0 Λύνουµε την αντίστοιχη εξίσωση : x + 3x 4 = 0 η οποία έχει λύσεις τις 1 και -4 Άρα έχουµε τον πίνακα προσήµων : Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 115

116 ii. x x + 3x Άρα η x + 3x 4 έχει λύσεις x ( 4, 1) x + 9 6x x + 9 6x 0 (x 3) 0 (x 3) = 0 x = 3 iii. 1 4 (x 4x + 3) > 0 Λύνουµε την αντίστοιχη εξίσωση : 1 4 (x 4x + 3) = 0 η οποία έχει λύσεις τις 1 και 3 Άρα έχουµε τον πίνακα προσήµων : x (x 4x + 3) Άρα η 1 4 (x 4x + 3) > 0 έχει λύσεις x (1, 3) Θέµα 4.18 Να ϐρείτε τις λύσεις της ανίσωσης : x 1 < x 4 < 1 x 1 < x 4 Λύση 4.18 x 1 < x 4 < 1 x 4 < 1 τις οποίες πρέπει να συναληθεύσω. Η x 1 < x 4 x x 3 > 0 Η εξίσωση x 1 < x 4 = 0 έχει λύσεις -1 και 3, όποτε ο πίνακας προσήµων είναι : x x x Άρα η x x 3 > 0 έχει λύσεις x (, 1) (3, + ) Η x 4 < 1 x 16 < 0 Η εξίσωση x 16 = 0 έχει λύσεις -4 και 4, όποτε ο πίνακας προσήµων είναι : x x Άρα η x 16 < 0 έχει λύσεις x ( 4, 4) Άρα οι κοινές λύσεις των δυο ανισώσεων είναι : x ( 4, 1) (3, 4) Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 116

117 Θέµα 4.19 Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f(x) = x 6x 16 Λύση 4.19 Θα πρέπει x 6x 16 0, όποτε έχω να λύσω την παραπάνω ανίσωση ου ϐαθµού. Η εξίσωση x 6x 16 = 0 έχει ϱίζες x 1 = και x = 6. Ο πίνακας προσήµων είναι : x x 6x Άρα D f = (, ) (6, + ) Θέµα 4.0 ίνεται η εξίσωση : λx + 3λx + λ + 5 = 0, λ R. Να ϐρείτε τις τιµές του λ για τις οποίες : i. έχει ϱίζες ίσες ii. έχει ϱίζες άνισες iii. είναι αδύνατη Λύση 4.0 Το πλήθος των ϱιζών µιας εξίσωσης ου ϐαθµού, εξαρτάται από το πρόσηµο της διακρίνουσας. = (3λ) 4λ(λ + 5) = 9λ 4λ 0λ = 5λ 0λ = 5(λ 4λ) Οι ϱίζες της εξίσωσης = 0 είναι : λ 1 = 0, λ = 4. Και ο πινάκας προσήµων της διακρίνουσας είναι : x λ 4λ Άρα για να έχει η αρχική εξίσωση : i. Ρίζες ίσες ϑα πρέπει, = 0 λ 1 = 0, λ = 4 ii. Ρίζες άνισες ϑα πρέπει, > 0 λ (, 0) (4, + ) iii. Για να είναι αδύνατη ϑα πρέπει, < 0 λ (0, 4) Θέµα 4.1 Να προσδιορίσετε το λ R ώστε η ανίσωση : λx + (λ 1)x + (λ 1) < 0 να ισχύει για κάθε x R Λύση 4.1 Για να είναι το τριώνυµο λx + (λ 1)x + (λ 1) < 0 ϑα πρέπει : λ < 0 < 0 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 117

118 Λύνουµε την ανίσωση < λ + λ + 1 < 0 Η τελευταία έχει ϱίζες τα λ 1 = 1 3 και λ = 1, όποτε ο πίνακας προσήµων της είναι : x x + 3x λ < 0 Άρα έχω λ < 1 3 ή λ > 1 που συναληθεύουν για λ < 1 3 Θέµα 4. Να δειχθεί ότι : α + β αβ για κάθε α, β R Λύση 4. α + β αβ α + β αβ 0 Θεωρούµε το 1ο µέλος α αβ + β ως ένα τριώνυµο µε άγνωστο το α Η διακρίνουσα του οποίου είναι = ( β) 4 1 β = 3β 0 Άρα σύµφωνα µε τον πίνακα προσήµων ενός τριωνύµου µε 0 και συντελεστή του α > 0 είναι : α αβ + β 0 Θέµα 4.3 Αν το τριώνυµο x + γx + δ δεν έχει πραγµατικές ϱίζες, να δείξετε ότι : i. δ > 0 ii. + γ + δ > 0 Λύση 4.3 Επειδή το τριώνυµο δεν έχει πραγµατικές ϱίζες, ϑα πρέπει η < 0 και αφού ο συντελεστής του x είναι > 0 Θα έχουµε : x + γx + δ > 0 για κάθε πραγµατικό x. Άρα : i. Για x = 0 είναι δ > 0 ii. Για x = 1 είναι + γ + δ > 0 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 118

119 4.3.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να λυθούν οι ανισώσεις : i. x 3x 0 ii. x 4x > 4 iii. x 4x + 4 < 0 iv. x + 4x > 10 v. x 4x + 3 > 0 vi. x + 10x 1 > 0 vii. 3x < 7x viii. 4x + 16 < 0. Να ϐρείτε τις τιµές του x R ώστε οι παρακάτω ανισώσεις να συναληθεύουν : i. x 4x 5 < 0 και x x 6 > 0 ii. x + 3x + 5 < 0 και x 5x + 6 > 0 iii. x < x < 8x 3. Να ϐρείτε τις τιµές του λ R για τις οποίες η ανίσωση x + 3λx + λ > 0 αληθεύει για κάθε x R. 4. Οµοίως για τη ανίσωση (λ + )x λx + 3λ < 0. λ 5. i. Να δείξετε ότι, α αβ + β > 0 για όλα τα α, β R ii. Να προσδιορίσετε το πρόσηµο της παράστασης A = α β + β α 1 για τις διάφορες τιµές των α, β Για τις διάφορες τιµές του λ R να εξεταστεί, αν έχει ϱίζες και πόσες έχει, η εξίσωση : (λ 3)x (λ + )x + λ + 1 = 0, λ 3 7. Αν για κάθε x R ισχύει : 8x + κ(1 x) > 7 x, να δείξετε ότι : 3 < κ < Να γραφούν χωρίς απόλυτα οι παραστάσεις : i. A = x 5x + 6 ii. B = x + 4x 3 9. Να λυθεί η ανίσωση x 1 < x + Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 119

120 4.4 ΠΡΟΣΗΜΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΚΑΙ ΠΗΛΙΚΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 4.7 Πως ϐρίσκουµε το πρόσηµο ενός γινοµένου παραγόντων πρώτου και δευτέρου ϐαθµού ; Φτιάχνουµε πίνακα προσήµων για τον κάθε παράγοντα ξεχωριστά και µετά ϕτιάχνουµε έναν ενιαίο πίνακα για όλο το γινόµενο µαζί. Ερώτηση 4.8 Πως ϐρίσκουµε το πρόσηµο ενός πηλίκου, όπου στον αριθµητή και τον παρονοµαστή έχει πολυώνυµα ; i. Αν είναι της µορφής : A(x) B(x) > 0 A(x)B(x) > 0 και κάνω πίνακα προσήµων για το γινόµενο. ii. Αν είναι της µορφής : A(x) A(x) > Γ(x) B(x) B(x) Γ(x) > 0 A(x) B(x)Γ(x) > 0 B(x) [A(x) B(x)Γ(x)]B(x) > 0 και κάνω πίνακα προσήµων για το γινόµενο, µε την προϋπόθεση B(x) 0. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 10

121 4.4. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Μεθοδολογία 4.4 Για να ϐρούµε το πρόσηµο ενός γινοµένου παραγόντων, ϕτιάχνουµε πίνακα προσήµων για τον κάθε παράγοντα ξεχωριστά και µετά ϕτιάχνουµε έναν ενιαίο πίνακα για όλο το γινόµενο µαζί. Θέµα 4.4 Να προσδιορίσετε το πρόσηµο της παρακάτω παράστασης : (x 5x + 6)(x + x + 1) Λύση 4.4 Οι πίνακες προσήµων για τους δυο παράγοντες είναι : Η x 5x + 6 = 0 έχει ϱίζες το και το 3, εποµένως ο πίνακας προσήµων είναι ο : x 3 + x 5x Η x x + 1 = 0 έχει διπλή ϱίζα το 1, εποµένως ο πίνακας προσήµων είναι ο : x 1 + x + x Ο ενιαίος πίνακας είναι : x x 5x x + x (x 5x + 6)(x + x + 1) Άρα το : (x 5x + 6)(x + x + 1) > 0 για x (, 1) ( 1, ) (3, + ) (x 5x + 6)(x + x + 1) < 0 για x (, 3) (x 5x + 6)(x + x + 1) = 0 για x = 1,, 3 Θέµα 4.5 Να προσδιορίσετε το πρόσηµο της παρακάτω παράστασης : A = x 4x + 3 x + 6x + 9 Μεθοδολογία 4.5 Για να προσδιορίσουµε το πρόσηµο ενός πηλίκου, ϐρίσκουµε το πρόση- µο του αντίστοιχου γινοµένου. Για να είναι το α > 0 ϑα πρέπει τα β α, β να είναι οµόσηµα, δηλαδή αβ > 0 Λύση 4.5 Εχω τον περιορισµό x + 6x x 3 Η παράσταση A = x 4x + 3 x έχει το ίδιο πρόσηµο µε την : + 6x + 9 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 11

122 (x 4x + 3)(x + 6x + 9) Η x 4x + 3 = 0 έχει ϱίζες το 1 και το 3, εποµένως ο πίνακας προσήµων είναι ο : x x 4x Η x + 6x + 9 = 0 έχει διπλή ϱίζα το -3, εποµένως ο πίνακας προσήµων είναι ο : x 3 + x + 6x Ο εννιαίος πίνακας είναι : x x 4x x + 6x A = x 4x x + 6x + 9 Άρα το : (x 4x + 3)(x + 6x + 9) > 0 για x (, 3) ( 3, 1) (3, + ) (x 4x + 3)(x + 6x + 9) < 0 για x (1, 3) x 4x + 3 x = 0 για x = 1, 3 + 6x + 9 Θέµα 4.6 Να λύσετε την ανίσωση x x 1 x + 1 < 8 x 1 Ρ ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Στις ανισώσεις ΕΝ κάνω απαλοιφή παρονοµαστών, αν δεν γνωρίζω το πρόσηµο του Ε.Κ.Π.. Συγκεντρώνω όλες τις παραστάσεις στο 1ο µέλος και κάνω οµώνυµα. Λύση 4.6 Εχω τους περιορισµούς x 1 και x 1 x x 1 x + 1 < 8 x 1 x x 1 x (x 1)(x + 1) < 0 x(x + 1) (x 1) 8 < 0 (x 1)(x + 1) x + x x + 8 (x 1)(x + 1) x x 6 (x 1)(x + 1) < 0 < 0 (x x 6)(x 1)(x + 1) < 0 Η x x + 6 = 0 έχει ϱίζες το - και το 3, εποµένως ο πίνακας προσήµων είναι ο : x 3 + x x Η (x 1)(x+1) = 0 έχει ϱίζες το -1 και το 1, εποµένως ο πίνακας προσήµων είναι ο : Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 1

123 x (x 1)(x + 1) Ο εννιαίος πίνακας είναι : x x x (x 1)(x + 1) (x x 6)(x 1)(x + 1) Άρα το : (x x 6)(x 1)(x + 1) < 0 για x (, 1) (1, 3) Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 13

124 4.4.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να προσδιορίσετε το πρόσηµο των παραστάσεων : i. (x 1)(x 4)( x + 6) ii. ( x + 1)(x 5x + 6) iii. (x + )( x + 3)(x + ) iv. (x 4x + 3)(x + 5)( x + 16) v. x(x 4)(x 50)(x 4x + 4) vi. 3x(x + x + 1)( x + 5x 6) vii. ( x)(x + 3)(3x + 9x) viii. (x + 5)( x 5)(x 49). Να λύσετε τις ανισώσεις : i. (x )(x + 3x)(x 5) < 0 ii. x( x + 6)(x x)(x 5x + 6) 0 x 1 iii. < 4x x 1 iv. > 0 x x 4 v. x 3x 4 > 0 x( x + 4) vi. x + 3x 0 x x vii. x 1 x < 0 x + 3 viii. x 1 < 4 x ix. 3x x 3x 10 x. + > 0 x 1 x xi. xii. 3x 5 x 1 5 x x + 3 > 7 6 xiii. 3 < x 1 x + 3 < 5 3. Να ϐρείτε για ποιες τιµές του x ορίζονται οι παρακάτω παραστάσεις :: i. x 81 ii. x 5x iii. x 5x + 6 iv. x + 4 v. x 3 16x x vi. x + 3 x 1 vii. 3x + 6 x viii. 4x x + x 1 ix. x 4 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 14

125 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 5. ΠΡΟΟ ΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 5.1 Τι ονοµάζουµε ακολουθία ; Ακολουθία είναι µια συνάρτηση, µε πεδίο ορισµού το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N. Ερώτηση 5. Τι πρέπει να γνωρίζουµε για να ορίζεται µια ακολουθία αναδροµικά ; Τον αναδροµικό της τύπο και όσους όρους της χρειάζονται, για να δίνει ο τύπος όρους.

126 5.1. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Μεθοδολογία 5.1 Η συνάρτηση f(x) = x + 1, x N είναι µια ακολουθία και γράφεται : α ν = ν + 1 Η τιµή της συνάρτησηςf(1) = = 3 γίνεται 1ος όρος της ακολουθίας α 1 = = 3 Η τιµή της συνάρτησηςf() = + 1 = γίνεται ος όρος της ακολουθίας α = + 1 = Η τιµή της συνάρτησηςf(3) = = 5 γίνεται 3ος όρος της ακολουθίας α 3 = = 5 κ.ο.κ. Παρατηρούµε ότι : Οι τιµές που παίρνω, δεν είναι µόνο ϕυσικοί αριθµοί, αλλά οποιοσδήποτε πραγµατικός αριθµός. Άρα το σύνολο τιµών µιας ακολουθίας είναι υποσύνολο των πραγµατικών αριθµών. Θέµα 5.1 Να ϐρείτε τους 5 πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών : i. α ν = ν + 1 ii. α ν = ν + 4 iii. α ν = ν + 3 iv. α ν = ν + ν Λύση 5.1 i. α ν = ν + 1 Για ν = 1 α 1 = = 3 Για ν = α = + 1 = 5 Για ν = 3 α 1 = = 7 Για ν = 4 α 1 = = 9 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 16

127 Για ν = 5 α 1 = = 11 ii. α ν = ν + 4 Για ν = 1 α 1 = = 5 Για ν = α = + 4 = 6 Για ν = 3 α 3 = = 7 Για ν = 4 α 4 = = 8 Για ν = 5 α 5 = = 9 = 3 iii. α ν = ν + 3 Για ν = 1 α 1 = = Για ν = α = + 3 = 7 Για ν = 3 α 3 = = 11 Για ν = 4 α 4 = = 19 Για ν = 5 α 5 = = 35 iv. α ν = ν + ν Για ν = 1 α 1 = = 3 Για ν = α = + = 8 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 17

128 Για ν = 3 α 3 = = 17 Για ν = 4 α 4 = = 3 Για ν = 5 α 5 = = = 57 Θέµα 5. ίνεται η ακολουθία, µε α 1 = και α ν+1 = α ν + 3. Να ϐρείτε τους 5 πρώτους όρους της. Λύση 5. α 1 = α = α = + 3 = 7 α 3 = α + 3 = = 17 α 4 = α = = 37 α 5 = α = = 77 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 18

129 5.1.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να προσδιορίσετε τους πέντε πρώτους όρους των ακολουθιών : i. α ν = ν 3ν ν + 1 ii. α ν = 4ν + 4 iii. α ν = ν + 3( 1) ν iv. α ν = ν + ( ) ν. Να προσδιορίσετε τους πέντε πρώτους όρους των ακολουθιών : i. Με α 1 = 1 και α ν+1 = α n + 1 ii. µε α 1 = και α ν+1 = α ν 4 iii. µε α 1 = 1 και α ν+1 = 3α n α n iv. µε α 1 = και α ν+1 = (α n + 3) 5 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 19

130 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5..1 ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 5.3 Ποια ακολουθία ονοµάζεται αριθµητική πρόοδος ; Αυτή, που ο κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο, προσθέτοντας πάντα τον ίδιο αριθµό. ηλαδή ισχύει : α ν+1 = α ν + ω. Το ω = α ν+1 α ν λέγεται διαφορά της αριθµητικής προόδου. Ερώτηση 5.4 Να αποδείξετε ότι ο ν-οστός όρος τη αριθµητικής προόδου δίνεται από τον τύπο α ν = α 1 + (ν 1)ω Είναι : α 1 = α 1 α = α 1 + ω α 3 = α + ω α ν 1 = α ν + ω α ν = α ν 1 + ω προσθέτοντας κατά µέλη, έχουµε : α ν = α 1 + (ν 1)ω Ερώτηση 5.5 Να δειχθεί ότι, α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου, αν και µόνο αν β = α + γ Αφού α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου, ϑα έχουµε : α = α β = α + ω γ = β + ω Άρα, α + γ = α + β + ω = α + α + ω + ω = (α + ω) = β Αντίστροφα Αν : β = α + γ β + β = α + γ β α = γ β Άρα, οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου. Ερώτηση 5.6 Να δειχθεί ότι το άθροισµα των ν-πρώτων όρων µιας αριθµητικής προόδου δίνεται από τον τύπο S ν = ν [α 1 + (ν 1)ω] Είναι S ν = ν (α 1 + α ν ) Επειδή α ν = α 1 + (ν 1)ω Εχω S ν = ν [α 1 + (ν 1)ω] Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 130

131 Ερώτηση 5.7 Να γράψετε όλους τους τύπους που ισχύουν στην αριθµητική πρόοδο. ιαφορά της ΑΠ ω = α ν+1 α ν Ο ν-οστός όρος της ΑΠ α ν = α 1 + (ν 1)ω Το άθροισµα των ν-πρώτων όρων της ΑΠ S ν = α 1 + α + + α ν = ν [α 1 + (ν 1)ω] α, ϐ, γ, διαδοχικοί όροι ΑΠ β = α + γ Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 131

132 5.. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Θέµα 5.3 Να εξετάσετε αν η παρακάτω ακολουθία αριθµών είναι αριθµητική πρόοδος : 3, 5, 7,... Λύση 5.3 Εχουµε, 7 5 = 5 3 = Άρα είναι αριθµητική πρόοδος µε α 1 = 3 και ω = Θέµα 5.4 Εχουµε την ακολουθία µε τύπο α ν = ν+1. Να εξετάσετε αν είναι αριθµητική πρόοδος. Μεθοδολογία 5. Για να είναι αριθµητική πρόοδος ϑα πρέπει η διαφορά α ν+1 α ν να είναι ανεξάρτητη του ν. Σ αυτή την περίπτωση ο σταθερός αριθµός που προκύπτει είναι η διαφορά της αριθµητικής προόδου ω Λύση 5.4 α ν+1 α ν = (ν + 1) + 1 (ν + 1) = ν ν 1 = Άρα είναι αριθµητική πρόοδος µε α 1 = = 3 και ω =. Θέµα 5.5 ίνεται η ακολουθία αριθµών, 1, 5, 9,... i. Να εξετάσετε αν είναι αριθµητική πρόοδος και να την προσδιορίσετε. ii. Να ϐρείτε τον 50ο όρο της. iii. Να ϐρείτε το άθροισµα των 100 πρώτων όρων της. Μεθοδολογία 5.3 Για να προσδιορίσω την αριθµητική πρόοδο, ϑα πρέπει να ϐρω τον α 1 και το ω Λύση 5.5 i. Είναι 9 5 = 5 1 = 4 άρα είναι ΑΠ µε ω = 4 και α 1 = 1 ii. Από τον τύπο του ν-οστού όρου α ν = α 1 + (ν 1)ω έχουµε α 50 = 1 + (50 1)4 = = = 197 iii. Από τον τύπο του αθροίσµατος των ν πρώτων όρων S ν = ν [α 1 + (ν 1)ω] έχουµε S 100 = 100 [ 1 + (100 1)4] = 50( + 396) = = Θέµα 5.6 Αν σε µια αριθµητική πρόοδο, ο α 5 = 0 και ο α 10 = 60, να ϐρείτε : i. Τον α 1 και το ω ii. Τον πεντηκοστό όρο. iii. Το άθροισµα των 60 πρώτων όρων. Μεθοδολογία 5.4 Οταν µου δίνουν δυο όρους της αριθµητικής προόδου και µου Ϲητάνε Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 13

133 να την προσδιορίσω, τότε ϕτιάχνω ένα σύστηµα µε αγνώστους τα α 1, ω, και το λύνω µε αφαίρεση κατά µέλη. Λύση 5.6 i. Από τον τύπο α ν = α 1 + (ν 1)ω. α 5 = α 1 + 4ω 0 = α 1 + 4ω Είναι α 10 = α 1 + 9ω 60 = α 1 + 9ω ω = 8 α 1 = 1 ii. α 50 = α ω = = = = 5ω ω = 8 iii. S 60 = 60 [ ( 1) ] = 30( ) = = άρα Θέµα 5.7 Να ϐρείτε το άθροισµα Λύση 5.7 Οι προσθετέοι του αθροίσµατος αποτελούν αριθµητική πρόοδο µε α 1 = 1, ω = και α ν = 199 Για να υπολογίσουµε το άθροισµα ϑα χρησιµοποιήσουµε τον τύπο S ν = ν [α 1 + (ν 1)ω] για τον οποίο, όµως δεν γνωρίζουµε το ν. Αυτό ϑα το προσδιορίσουµε από τον τύπο του ν-οστού όρου α ν = α 1 + (ν 1)ω. Εχουµε : Οπότε : α ν = α 1 + (ν 1)ω 199 = 1 + (ν 1) 199 = 1 + ν ν = 00 ν = = S 100 = 100 ( ) = 50( + 198) = = Θέµα 5.8 Αν ο ν-οστός όρος µιας ακολουθίας είναι α ν = 3ν, να εξετάσετε αν είναι αριθµητική πρόοδος και να ϐρείτε το άθροισµα α 10 +α α 0 Λύση 5.8 Οταν µας δίνουν το α ν, για να εξετάσω αν είναι αριθµητική πρόοδος, ϑα πρέπει η διαφορά α ν+1 α ν να είναι ανεξάρτητη του ν. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 133

134 Εχω : α ν+1 α ν = 3(ν + 1) (3ν ) = 3ν + 3 3ν + = 3 Άρα είναι αριθµητική πρόοδος µε ω = 3 και α 1 = 3 1 = 1 Για να υπολογίσω το άθροισµα α 10 + α α 0, επειδή δεν είναι άθροισµα πρώτων όρων (δεν ξεκινάει από το α 1 ), το γράφω ως εξής : α 10 + α α 0 = α 1 + α α 0 (α 1 + α α 10 ) = S 0 S 10 = 0 ( ) [10( )] = = = 345 Θέµα 5.9 Να ϐρείτε τον αριθµητικό µέσο των 0 και 50. Λύση 5.9 Αν ο αριθµητικός µέσος των 0 και 50 είναι x, τότε : x = x = 35 Θέµα 5.10 Να ϐρείτε τον x, ώστε ο αριθµητικός µέσος των x + 9 και x 1 να είναι το x Λύση 5.10 Θα πρέπει, x x 1 = x x = 8 Θέµα 5.11 Μεταξύ των αριθµών 10 και 64 να παρεµβάλλετε άλλους 5 αριθµούς, ώστε όλοι µαζί να αποτελούν µια αριθµητική πρόοδο. Λύση 5.11 Εχω την αριθµητική πρόοδο 10, 10 + ω, 10 + ω, ω, ω ω, 64 α 7 = 50 α 1 + (7 1) ω = ω = 64 ω = 9 Άρα η ακολουθία είναι η 10, 19, 8, 37, 46, 55, 64 Μεθοδολογία 5.5 Γενικά : Τέτοια προβλήµατα λέγονται προβλήµατα παρεµβολής όρων. Και οι όροι που παρεµ- ϐάλλω έχουν διαφορετική µορφή, αν έχουν περιττό πλήθος και διαφορετική, αν έχουν άρτιο πλήθος. Αν έχουν περιττό πλήθος, είναι της µορφής : Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 134

135 ..., x ω, x ω, x, x + ω, x + ω,... Αν έχουν άρτιο πλήθος, είναι της µορφής :..., x ω, x ω, x + ω, x + ω,... Αυτή τη µεθοδολογία τη χρησιµοποιώ κυρίως όταν πρέπει να χρησιµοποιήσω το άθροισµα των ν πρώτων όρων της ακολουθίας. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 135

136 5..3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να ϐρείτε το Ϲητούµενο όρο σε κάθε µια από τις παρακάτω ακολουθίες. i. Τον α 0, στην ακολουθία 5, 10, 15,... ii. Τον α 50, στην ακολουθία 1, 3, 5,... iii. Τον α 15, στην ακολουθία 1, 1, 3,.... Να ϐρείτε τους όρους που Ϲητούνται στις παρακάτω αριθµητικές προόδους. i. Τον α 10, στην ακολουθία µε α = 5 και α 6 = 50 ii. Τον α, στην ακολουθία µε α 10 = 35 και α 15 = 75 iii. Τον α 00, στην ακολουθία µε α 6 = 30 και α 50 = Να ϐρείτε τα αθροίσµατα των 0 πρώτων όρων των παρακάτω αριθµητικών προόδων : i. 1,, 3,... ii., 4, 6,... iii. 1, 3, 5,... iv. 5, 10, 15, Να υπολογίσετε τα παρακάτω αθροίσµατα : i ii iii iv Πόσους όρους πρέπει να προσθέσουµε από την ακολουθία i. 5, 47, 4,... για να έχουν άθροισµα 90; ii. 4, 8, 1,... για να έχουν άθροισµα 180; iii. 5, 10, 15,... για να έχουν άθροισµα 80; 6. Ο ν-οστός όρος µιας ακολουθίας είναι α ν = 1 4ν. Να εξετάσετε αν είναι αριθµητική πρόοδος και να ϐρείτε το άθροισµα των πρώτων 30 όρων της. 7. Να ϐρείτε το άθροισµα των πολλαπλασίων του 4, µεταξύ των αριθµών 19 και Να ϐρείτε το άθροισµα των ϕυσικών αριθµών από το 10 έως και το 100, που δεν είναι όµως πολλαπλάσια του 3 και του Να ϐρείτε το άθροισµα των : i. 0 πρώτων όρων της ακολουθίας α ν = ν 1 ii. 60 πρώτων όρων της ακολουθίας α ν = 3ν Να ϐρείτε το ελάχιστο πλήθος όρων της αριθµητικής προόδου, 1, 5, 9,... που το άθροισµα τους δεν ξεπερνά το Να συµπληρώσετε τον πίνακα (τα στοιχεία της κάθε γραµµής ανήκουν στην ίδια αριθµητική πρόοδο). α 1 ω ν α ν S ν Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 136

137 5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 5.8 Ποια ακολουθία ονοµάζεται γεωµετρική πρόοδος ; Αυτή, που ο κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο, πολλαπλασιάζοντας πάντα τον ίδιο αριθµό. ηλαδή ισχύει : α ν+1 = α ν λ. Το λ = α ν+1 λέγεται λόγος της γεωµετρικής προόδου. α ν Ερώτηση 5.9 Να αποδείξετε ότι ο ν-οστός όρος της γεωµετρικής προόδου δίνεται από τον τύπο α ν = α 1 λ ν 1 Είναι : α 1 = α 1 α = α 1 λ α 3 = α λ α ν 1 = α ν λ α ν = α ν 1 λ πολλαπλασιάζοντας κατά µέλη, έχουµε : α ν = α 1 λ ν 1 Ερώτηση 5.10 Να δειχθεί ότι, α, β, γ και µόνο αν β = α γ είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου, αν Αφού α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου, ϑα έχουµε : α = α β = α λ γ = β λ Άρα, α γ = α β λ = α α λ λ = (α λ) = β Αντίστροφα Αν : β = α γ β β = α γ β α = γ β Άρα, οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 137

138 Ερώτηση 5.11 Να δειχθεί ότι το άθροισµα των ν-πρώτων όρων µιας αριθµητικής προόδου δίνεται άπω τον τύπο S ν = α 1 (λ ν 1) λ 1, για λ 1 Είναι, S ν = α 1 + α 1 λ + α 1 λ α 1 λ ν 1 (1) λ S ν = α 1 +α 1 λ + α 1 λ α 1 λ ν () Αφαιρώντας κατά µέλη () (1) έχουµε : λ S ν S ν = α 1 λ ν α 1 (λ 1) S ν = α 1 (λ ν 1) S ν = α 1 (λ ν 1) λ 1 Για λ = 1 προφανώς είναι : S ν = ν α 1 Ερώτηση 5.1 Να γράψετε όλους τους τύπους που ισχύουν στην γεωµετρική πρόοδο. Λόγος της ΓΠ λ = α ν+1 Ο ν-οστός όρος της ΓΠ α ν = α 1 λ ν 1 Το άθροισµα των ν-πρώτων όρων της ΓΠ S ν = α 1 (λ ν 1) λ 1 α, ϐ, γ, διαδοχικοί όροι ΓΠ β = α γ α ν Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 138

139 5.3. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Θέµα 5.1 Να εξετάσετε αν η παρακάτω ακολουθία αριθµών είναι γεωµετρική πρόοδος : 3, 9, 7,... Λύση 5.1 Εχουµε 9 3 = 7 9 µε α 1 = 3 και λ = 3 = 3. Άρα είναι γεωµετρική πρόοδος Θέµα 5.13 Εχουµε την ακολουθία, µε τύπο α ν = ν. Να εξετάσετε αν είναι γεωµετρική πρόοδος. Μεθοδολογία 5.6 Για να είναι γεωµετρική πρόοδος, ϑα πρέπει ο λόγος α ν+1 να είναι α ν ανεξάρτητος του ν. Σ αυτή την περίπτωση, ο σταθερός αριθµός που προκύπτει είναι ο λόγος της γεωµετρικής προόδου λ Λύση 5.13 α ν+1 = ν+1 α ν ν = Άρα είναι γεωµετρική πρόοδος µε α 1 = και λ =. Θέµα 5.14 ίνεται η ακολουθία αριθµών 1, 5, 5,... i. Να εξετάσετε αν είναι γεωµετρική πρόοδος και να την προσδιορίσετε. ii. Να ϐρείτε τον 50ο όρο της. iii. Να ϐρείτε το άθροισµα των 100 πρώτων όρων της. Μεθοδολογία 5.7 Για να προσδιορίσω την γεωµετρική πρόοδο, ϑα πρέπει να ϐρω τον α 1 και το λ Λύση 5.14 i. Είναι 5 5 = 5 1 = 5 άρα είναι ΓΠ µε λ = 5 και α 1 = 1 ii. Από τον τύπο του ν-οστού όρου α ν = α 1 λ ν 1 έχουµε α 50 = = 5 49 iii. Από τον τύπο του αθροίσµατος των ν πρώτων όρων S ν = α 1 (λ ν 1) λ 1 έχουµε S 100 = Θέµα 5.15 Αν σε µια γεωµετρική πρόοδο, είναι α 4 = 3 4 και ο α 9 = 3 18, να ϐρείτε : i. Τον α 1 και το λ ii. Τον πεντηκοστό όρο. iii. Το άθροισµα των 60 πρώτων όρων. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 139

140 Μεθοδολογία 5.8 Οταν µου δίνουν δυο όρους της γεωµετρικής προόδου και µου Ϲητάνε να την προσδιορίσω, τότε ϕτιάχνω ένα σύστηµα µε αγνώστους τα α 1, λ, και το λύνω µε διαίρεση κατά µέλη. Λύση 5.15 i. Από τον τύπο α ν = α 1 λ ν 1. 3 α 4 = α 1 λ 3 4 = α 1 λ 3 Είναι α 9 = α 1 λ = α 1 λ 8 ii. α 50 = 6 ( 1 )49 = 6 ( 1 )49 λ 5 = 1 λ = 1 3 άρα α 1 = 6 iii. S 60 = 6 (( 1 )60 1) 1 = 8 (( 1 )60 1) Θέµα 5.16 Να ϐρείτε το γεωµετρικό µέσο των αριθµών 10 και 40. Λύση 5.16 Αν ο γεωµετρικός µέσος των 10 και 40 είναι x, τότε ισχύει : x = x = 400 x = ±0 Θέµα 5.17 Να προσδιορίσετε το x, ώστε οι παρακάτω παραστάσεις να αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωµετρικής προόδου. x. x + 1, x + 3 Λύση 5.17 Θα πρέπει να ισχύει, (x + 1) = x (x + 3) x + x + 1 = x + 3x x = 1 Θέµα 5.18 Να υπολογίσετε το άθροισµα : Λύση 5.18 Οι προσθετέοι του αθροίσµατος είναι όροι γεωµετρικής προόδου µε α 1 = 1, λ = 3, α ν = Από τον τύπο του ν-οστού όρου είναι : = 1 3 ν = 3 ν 1 ν = 10 Οπότε = S 10 = = 954 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 140

141 5.3.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να ϐρείτε το Ϲητούµενο όρο στις παρακάτω ακολουθίες : i. Τον α 7, της, 6, 18,... ii. Τον α 10, της 1,, 4,... iii. Τον α 9, της 1 4, 1, 1,... iv. Τον α 8, της 79, 43,.... Να ϐρείτε τον πρώτο όρο της γεωµετρικής προόδου, όταν α 5 = 3 και ο λόγος λ = Οµοίως, όταν α 4 = 7 18 και ο λόγος λ = Να ϐρείτε τους παρακάτω όρους : i. Τον α 10, της ΓΠ µε α = 8 και α 5 = 56 ii. Τον α 15, της ΓΠ µε α 4 = 81 και α 6 = 79 iii. Τον α 0, της ΓΠ µε α 4 = 15 και α = iv. Τον α 0, της ΓΠ µε α = και α 1 = 3 5. Να ϐρείτε ποιος όρος της ΓΠ, 4, 8,... είναι ο Να ϐρείτε τον πρώτο όρο της ΓΠ 3, 9, 7... που υπερβαίνει το Να υπολογίσετε τα παρακάτω αθροίσµατα : i. Το S 0, της, 6, 18,... ii. Τον S 10, της 1,, 4,... iii. Τον S 15, της 1 4, 1, 1,... iv. Τον S 5, της 79, 43, Να υπολογίσετε τα παρακάτω αθροίσµατα : i ii iii iv Να ϐρείτε το γεωµετρικό µέσο των 5 και Να ϐρείτε το x, ώστε οι x 4, x + 1, x 19 να αποτελούν διαδοχικούς όρους ΓΠ. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 141

142

143 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f (x) = αx + β ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 6. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 6.1 Τι ονοµάζουµε πραγµατική συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α, υποσύνολο του R; Είναι µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ έναν µόνο πραγµατικό αριθµό. Ερώτηση 6. Πότε µια συνάρτηση είναι ορισµένη ; Μια συνάρτηση f : A R είναι ορισµένη, αν και µόνο αν : 1. Ξέρουµε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης, το Α και. ξέρουµε ή µπορούµε να υπολογίσουµε το f (x) για κάθε x A Ερώτηση 6.3 Οταν το f (x) εκφράζεται µόνο µε ένα αλγεβρικό τύπο, ποιο είναι το πεδίο ορισµού ; Είναι το ευρύτερο υποσύνολο του R, στο οποίο το f (x) έχει νόηµα πραγµατικού αριθµού. ή διαφορετικά, το σύνολο A = {x R f (x) R} Ερώτηση 6.4 Το πεδίο ορισµού µια συνάρτησης είναι πάντα διάστηµα ή ένωση διαστη- µάτων ; Για τη συνάρτηση f (x) = x 1 το πεδίο ορισµού είναι : A = {x R x 1 0} = x (, 1) (1, + ) 100 το πεδίο ορισµού είναι : Ενώ για τη συνάρτηση f (x) = 7 x + 3x x + 7 A = {x R x + 3x x + 6= 0} το οποίο δεν µπορεί να γραφεί σαν ένωση διαστηµάτων γιατί η εξίσωση 4x7 + 3x x + = 0 δεν λύνεται.

144 Άρα το πεδίο ορισµού δεν γράφεται πάντα ως ένωση διαστηµάτων. Ερώτηση 6.5 Ποιος είναι ο τύπος µιας συνάρτησης, ποια είναι η εξαρτηµένη και ποια η ανεξάρτητη µεταβλητή ; Αν µε µια συνάρτηση f από το A στο B, το x A αντιστοιχίζεται στο y B γράφουµε τον τύπο της συνάρτησης y = f(x) το x είναι η ανεξάρτητη µεταβλητή και το y η εξαρτηµένη. Ερώτηση 6.6 Πότε ένας αριθµός είναι τιµή µιας συνάρτησης ; Ενας αριθµός y R είναι τιµή της συνάρτησης f : A R, αν και µόνο αν : υπάρχει x A µε f(x) = y ή ισοδύναµα Η εξίσωση f(x) = y έχει τουλάχιστον µία λύση x A Ερώτηση 6.7 Ποιο είναι το σύνολο τιµών µια συνάρτησης f : A R Είναι το σύνολο των αριθµών y R, για τους οποίους η εξίσωση f(x) = y (µε άγνωστο το x) έχει τουλάχιστον µια λύση στο Α. f(a) = {y R η εξίσωσηf(x) = y έχει τουλάχιστον µια λύση στο Α} ή f(a) = {y R x A, f(x) = y} Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 144

145 6.1. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Θέµα 6.1 Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων i. f(x) = x + 3x ii. g(x) = x + 1 x iii. h(x) = x 4 iv. t(x) = 3 x 5x x 3 Μεθοδολογία 6.1 Οταν γνωρίζουµε µόνο τον τύπο µιας συνάρτησης f, τότε το πεδίο ορισµού της είναι το ευρύτερο υποσύνολο του R στο οποίο ο τύπος της f(x) έχει νόηµα πραγµατικού αριθµού. Γενικά το πεδίο ορισµού είναι όλο το R. Εκτός αν έχω περιορισµούς από το ίδιο το πρόβληµα π.χ. η µεταβλητή του χρόνου είναι πάντα µεγαλύτερη ή ίση από το 0 όπως και η απόσταση κ.ο.κ. ή έχω περιορισµούς από τον τύπο,οπότε ϑα ϐρίσκουµε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f ϑέτοντας κατάλληλους περιορισµούς σύµφωνα µε τον Συνάρτηση f Περιορισµός παρακάτω πίνακα. f(x) = P (x) Q(x) Q(x) 0 f(x) = ν P (x), ν N {1} P (x) 0 Λύση 6.1 i. Η f(x) = x +3x δεν έχει περιορισµούς ούτε από τη ϕύση της µεταβλητής ούτε από τον τύπο. Άρα το πεδίο ορισµού είναι A = R ii. g(x) = x + 1 δεν έχει περιορισµούς από τη ϕύση της µεταβλητής, αλλά έχει από x τον τύπο. Πρέπει ο παρονοµαστής x 0 άρα το πεδίο ορισµού είναι A = R {0} iii. h(x) = x 4 πρέπει το υπόρριζο x 4 0. Για την οποία ϕτιάχνω τον παρακάτω πίνακα προσήµων. Η x 4 = 0 έχει ϱίζες το - και το, εποµένως ο πίνακας προσήµων είναι ο : x - + x Άρα το πεδίο ορισµού είναι A = (, ] [, + ) iv. Η t(x) = 3 x 5x έχει περιορισµούς και από τον παρονοµαστή και x 3 από το υπόριζο. Πρέπει { x } 5x x 3 0 Φτιάχνω τον πίνακα προσήµων για την ανίσωση : x 3 + x 5x κι εχω, { } x (, ] [3, + ) A = (, ] (3, + ) x 3 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 145

146 x Θέµα 6. Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f(x) = 3 x x 4 Λύση 6. Από τον τύπο της συνάρτησης έχω τους παρακάτω περιορισµούς : x x 4 > 0 x > x > 0 x 4 x > x 4 ισχύει x x 4 0 x x ή x Άρα A = [, + ] Θέµα 6.3 Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της f(x) = x x 4x + λ, λ R Λύση 6.3 Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης είναι A = {x R x 4x + λ 0} Η εξίσωση x 4x + λ = 0 έχει διακρίνουσα = 16 4λ µε πίνακα προσήµων : λ Εποµένως έχω τις περιπτώσεις : i. Αν λ < 4 έχω > 0, οπότε η εξίσωση x 4x + λ = 0 έχει δυο ϱίζες, τις x 1, = 4 ± 16 4λ = ± 4 λ Άρα το πεδίο ορισµού της f είναι A = R { 4 λ, + 4 λ} ii. Αν λ = 4 έχω = 0, οπότε η εξίσωση x 4x + λ = 0 έχει µια ϱίζα, την x = Άρα το πεδίο ορισµού της f είναι A = R {} iii. Αν λ > 4 έχω < 0, οπότε η εξίσωση x 4x + λ = 0 δεν έχει ϱίζες Άρα το πεδίο ορισµού της f είναι A = R Θέµα 6.4 Να ϐρείτε το σύνολο τιµών της f(x) = x 3x + 1 x 3 Μεθοδολογία 6. Για να προσδιορίσουµε το σύνολο τιµών της f, ϑα ϐρούµε όλους τους αριθµούς y R, για τους οποίους η εξίσωση f(x) = y (µε άγνωστο το x) έχει τουλάχιστον µια λύση στο Α. Λύση 6.4 Το πεδίο ορισµού είναι A = R {3} f(x) = y x 3x + 1 = y x 3 y(x 3) = x 3x + 1 x + x( y 3) + 3y + 1 = 0 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 146

147 η οποία έχει λύση στο Α αν και µόνο αν 0 x 3 (y + 3) 4(3y + 1) ( y 3) + 3y y 6y (που ισχύει) y 1ή y 5 Άρα το σύνολο τιµών είναι f(a) = (, 1] [5, + ) { x 5x + 6 x 1 Θέµα 6.5 Εχουµε τη συνάρτηση f(x) = x x < 1 x 1 Να ϐρείτε τις τιµές της συνάρτησης, f(0), f(1), f() Λύση 6.5 i. Για να υπολογίσω το f(0) ϑα χρησιµοποιήσω τον τύπο f(x) = x x 1, γιατί 0 < 1 Άρα f(0) = = 0 ii. Για να υπολογίσω το f(1) ϑα χρησιµοποιήσω τον τύπο f(x) = x 5x + 6, γιατί 1 1 Άρα f(1) = = iii. Για να υπολογίσω το f() ϑα χρησιµοποιήσω τον τύπο f(x) = x 5x + 6, γιατί 1 Άρα f() = = 0 Θέµα 6.6 Να ϐρείτε για ποιες τιµές του x, η συνάρτηση f(x) = x 8 δίνει τιµή 7. Λύση 6.6 Είναι f(x) = 7 x 8 = 7 x = ± 15 x = ±1 x 8 = 7 x 8 = 7 x = 15 x = 1 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 147

148 6.1.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων i. f(x) = x 3 + x ii. g(x) = x + 1 x 3 + x iii. h(x) = x 16 iv. t(x) = x 4x x v. k(x) = x x x 1 5 vi. b(x) = x 3x + x 3 4x x 4x. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων i. f(x) = x x 1 x 1 ii. g(x) = x x Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων 16 x i. f(x) = x 4 ii. g(x) = + x x 8x 4. Να ϐρείτε για ποιες τιµές του λ R η συνάρτηση x (5λ + )x 8 f(x) = (λ 1)x (λ 1)x + 3 έχει πεδίο ορισµού όλο το R. { x 3 x < 1 5. Εχουµε τη συνάρτηση f(x) = x + 3 x 1 Να ϐρείτε τις τιµές της συνάρτησης, f(0), f(1), f() 6. Να ϐρείτε για ποιες τιµές του x, η συνάρτηση f(x) = x 16 x 4x δίνει τιµή. 7. Να προσδιορίσετε το σύνολο τιµών των παρακάτω συναρτήσεων i. f(x) = x x 4 ii. g(x) = x + x + 1 x + x + 8. ίνεται η συνάρτηση f(x) = x µε πεδίο ορισµού A = [ 1, ]. Να ϐρείτε το σύνολο τιµών της. { αx 1 x < 0 9. Αν f(x) = β x x 0 Να ϐρείτε τα α, β R, ώστε να είναι : f(0) = 3 και f( ) = 1. Στη συνέχεια να ϐρείτε την τιµή της παράστασης : 10. Αν f(x) = { x + x < 1 x x 1 Να ϐρείτε το x ώστε : f(x) = 1 { 1, x ϱητός 11. Αν f(x) = 0, x άρητος A = f(0) 3f(1) 3f( 1 ) + 5f(1 ) i. Να ϐρεθούν τα f(0), f( 3), f(3500), f(π) ii. Να λυθεί η ανίσωση x + 1 f( 3) < f(181) 1. ίνεται η συνάρτηση f(x) = x + 3, να δειχθεί ότι : i. f(α + β) = f(α) + f(β) 3 ii. f( α + β) f( α) + f( β) Αν f(x) = x x + 3, να λύσετε την εξίσωση f(x + 1) f(x) + 3f( 1) = 14 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 148

149 14. Στο σύνολο Z των ακεραίων αριθµών, ορίζουµε τη συνάρτηση f(x) = 3( 1) x + ( 1) x+1 { 1, x άρτιος i. Να αποδείξετε ότι f(x) = 1, x περιττός ii. Να ϐρείτε τις τιµές f( 3), f( 55), f(0), f(1000), f(8) Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 149

150 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6..1 ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 6.8 Τι ονοµάζουµε γραφική παράσταση ή καµπύλη της f σε ένα καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων Oxy; Τι είναι η εξίσωση της γραφικής παράστασης της f; Γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f, που έχει πεδίο ορισµού το Α, ονοµάζουµε το σύνολο των σηµείων M(x, f(x)), για όλα τα x A. Εξίσωση της γραφικής παράστασης της ϕ είναι η εξίσωση y = f(x)που επαληθεύεται µόνο από τα Ϲεύγη (x, y) που είναι συντεταγµένες σηµείων της γραφικής παράστασης της f Ενα σηµείο σηµείο A(x o, y o ) είναι σηµείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f αν και µόνο αν y o = f(x o ) Σχήµα 6.1: Σηµείο γραφικής παράστασης Ερώτηση 6.9 Να γράψετε τα συµµετρικά του σηµείου M(x, y) ως προς τους άξονες, την αρχή των αξόνων O(0, 0) και την ευθεία y = x Το συµµετρικό ως προς τον xx είναι M (x, y) Το συµµετρικό ως προς τον yy είναι M ( x, y) Το συµµετρικό ως προς το Ο είναι M ( x, y) Το συµµετρικό ως προς την y = x είναι M (y, x) Ερώτηση 6.10 Να γράψετε και να αποδείξετε τον τύπο της απόστασης σηµείων A(x 1, y 1 ) και B(x, y ) Εχουµε, (AK) = x x 1 και (BK) = y y 1 Είναι : (AB) = (AK) + (BK) = x x 1 + y y 1 = (x x 1 ) + (y y 1 ) Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 150

151 Αρα (AB) = (x x 1 ) + (y y 1 ) Ερώτηση 6.11 Ποιά συµπεράσµατα ϐγάζουµε από τη γραφική παράσταση συνάρτησης ; Πεδίο ορισµού Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f είναι το διάστηµα [α, ϐ), η προβολή της γραφικής παράστασης στον xx Σχήµα 6.: Πεδίο ορισµού συνάρτησης Σύνολο τιµών Το σύνολο τιµών είναι της συνάρτησης f είναι το διάστηµα [γ, δ), η προβολή της γραφικής παράστασης στον yy Σχήµα 6.3: Σύνολο τιµών συνάρτησης Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 151

152 Η γραφική παράσταση σε σχέση µε τον xx Η γραφική παράσταση τέµνει τον xx στα σηµεία ϱ και µ τα οποία είναι ϱίζες της εξίσωσης f(x) = 0 Η γραφική παράσταση της f(x) είναι πάνω από τον xx στα διαστήµατα (α, ρ) (µ, β), στις λύσεις της ανίσωσης f(x) > 0 Η γραφική παράσταση της f(x) είναι κάτω από τον xx στο διάστηµα (ρ, µ),στις λύσεις της ανίσωσης f(x) < 0 Σχήµα 6.4: Σχετική ϑέση γραφικής παράστασης µε τον xx Μονοτονία Η γραφική παράσταση είναι ϕθίνουσα στα διαστήµατα (α, ɛ) (0, ζ) εκεί που ισχύει x 1, x D f µε x 1 < x f(x 1 ) < f(x ) Η γραφική παράσταση είναι αύξουσα στα διαστήµατα (ɛ, 0) (ζ, β) εκεί που ισχύει x 1, x D f µε x 1 < x f(x 1 ) > f(x ) Σχήµα 6.5: Μονοτονία συνάρτησης Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 15

153 Ακρότατα-Μέγιστο Η γραφική παράσταση έχει τοπικά µέγιστα στο α το f(α) = η και στο 0 το f(0) = θ στα x o όπου x που ανήκει σε µια περιοχή του x o ισχύει f(x) f(x 0 ) Ολικό µέγιστο έχω στο α το f(α) = η γιατί θ < η Ρ ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Στο β δεν έχω µέγιστο γιατί δεν ανήκει στο πεδίο ορισµού! Σχήµα 6.6: Μέγιστο συνάρτησης Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 153

154 Ακρότατα-Ελάχιστο Η γραφική παράσταση έχει τοπικά ελάχιστα στο ɛ το f(ɛ) = γ και στο ζ το f(ζ) = γ στα x o όπου x που ανήκει σε µια περιοχή του x o ισχύει f(x) f(x 0 ) Ολικό ελάχιστο έχω στο ɛ και στο ζ γιατί f(ɛ) = f(ζ)) = θ Σχήµα 6.7: Ελάχιστο συνάρτησης Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 154

155 Ερώτηση 6.1 Ποια συµπεράσµατα ϐγάζουµε από τις γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων ; Κοινά σηµεία δύο γραφικών παραστάσεων Οι γραφικές παραστάσεις τέµνονται στα σηµεία µε τετµηµένες x 1, x, x 3 οι οποίες είναι οι λύσεις της εξίσωσης f(x) = g(x) Σχήµα 6.8: Κοινά σηµεία γραφικών παραστάσεων Η f µεγαλύτερη από την g Η γραφική παράσταση της f είναι πάνω από τη γραφική παράσταση της g στα διαστήµατα (x 1, x ) (x 3, β) Τα οποία είναι λύσεις της ανίσωσης f(x) > g(x) Σχήµα 6.9: Σχετικές ϑέσεις γραφικών παραστάσεων Ι Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 155

156 Η f µικρότερη από την g Η γραφική παράσταση της f είναι κάτω από τη γραφική παράσταση της g στα διαστήµατα (α, x 1 ) (x, x 3 ) Τα οποία είναι λύσεις της ανίσωσης f(x) < g(x) Σχήµα 6.10: Σχετικές ϑέσεις γραφικών παραστάσεων ΙΙ Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 156

157 Μελέτη συνάρτησης Σχήµα 6.11: Μελέτη συνάρτησης Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 157

158 6.. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Θέµα 6.7 Να ϐρείτε το συµµετρικό του A(, 5), ως προς : i. τον xx ii. τον yy iii. το 0(0, 0) iv. την διχοτόµο 1ου 3ου τεταρτηµορίου y = x Μεθοδολογία 6.3 Το συµµετρικό του M(x, y) ως προς τον xx είναι M (x, y) δηλαδή κρατάω ίδιο το x και αλλάζω το πρόσηµο του y ως προς τον yy είναι M ( x, y) δηλαδή αλλάζω το πρόσηµο του x και κρατάω ίδιο το y ως προς το Ο είναι M ( x, y) δηλαδή αλλάζω το πρόσηµο του x και του y ως προς την y = x είναι M (y, x) δηλαδή αλλάζω τη ϑέση του x και του y Λύση 6.7 i. Το συµµετρικό του A(, 5), ως προς τον xx είναι το (, 5) ii. Το συµµετρικό του A(, 5), ως προς τον yy είναι το (, 5) iii. Το συµµετρικό του A(, 5), ως προς το 0(0, 0) είναι το (, 5) iv. Το συµµετρικό του A(, 5), ως προς την y = x είναι το (5, ) Θέµα 6.8 Να προσδιορίσετε το λ R ώστε να είναι συµµετρικά ως προς τον xx τα A( 1, 5) και B( 1, λ + 1) Λύση 6.8 Για να είναι συµµετρικά ως προς τον xx ϑα πρέπει να έχουν ίσες τετµηµένες 1 = 1 και τεταγµένες µε αντίθετα πρόσηµα. 5 = 5 = λ + 1 λ = 4 λ + 1 Θέµα 6.9 Να αποδείξετε ότι τα σηµεία A(, ), B( 1, 1), Γ(3, 6) είναι κορυφές ισοσκελούς τριγώνου. Μεθοδολογία 6.4 Θα υπολογίσω τα µήκη των πλευρών ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ και για να είναι το τρίγωνο ισοσκελές, ϑα πρέπει τουλάχιστον οι από τις τρεις πλευρές να είναι ίσες. Λύση 6.9 AB = ( + 1) + ( 1) = 10 AΓ = (3 ) + ( 6 ) = 65 BΓ = (3 + 1) + ( 6 1) = 65 Άρα AΓ = BΓ Θέµα 6.10 Να αποδείξετε ότι τα σηµεία A(1, 1), B(3, 1), Γ(1, 3) είναι κορυφές ισοσκελούς και ορθογωνίου τριγώνου. Μεθοδολογία 6.5 Θα υπολογίσω τα µήκη των πλευρών ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ και για να είναι το τρίγωνο ισοσκελές, ϑα πρέπει τουλάχιστον οι από τις τρεις πλευρές να είναι ίσες, ενώ για να είναι ορθογώνιο, ϑα πρέπει τα µήκη των πλευρών να ικανοποιούν το Πυθαγόρειο Θεώρηµα Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 158

159 Λύση 6.10 AB = (3 1) + (1 1) = AΓ = (1 1) + (3 1) = BΓ = (3 1) + ( 3 + 1) = 8 Άρα AΓ = AB και BΓ = 8, AB + AΓ = = 8 Άρα BΓ = AB + AΓ οπότε το τρίγωνο είναι και ορθογώνιο. Θέµα 6.11 Να εξετάσετε αν το σηµείο Α(-1, 1) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης µε τύπο f(x) = x x + 1 Μεθοδολογία 6.6 Ενα σηµείο A(x o, y o ) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) αν και µόνο αν y o = f(x o ) Λύση 6.11 Για να είναι το Α(-1, 1) σηµείο της f(x) = ϑα πρέπει να ισχύει f( 1) = 1. f( 1) = x x ( 1) + 1 = 1 1 άρα το Α(-1, 1) δεν είναι σηµείο της f(x) = x x + 1 Θέµα 6.1 ίνεται η συνάρτηση f(x) = 5x 1. Να ϐρείτε το κ R, ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης να διέρχεται από το A(, κ). Λύση 6.1 Αφού η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το το A(, κ) ϑα πρέπει : f() = κ 5 1 = κ κ = 9 Θέµα 6.13 Να ϐρείτε σε ποια σηµεία τέµνει τους άξονες η συνάρτηση f(x) = x 4 και σε ποια διαστήµατα είναι πάνω από τον xx. Μεθοδολογία 6.7 Για να ϐρω σε ποιο σηµείο η γραφική παράσταση της f τέµνει τον yy, υπολογίζω την τιµή της συνάρτησης f(0). Για να ϐρω σε ποιο σηµείο η γραφική παράσταση της f τέµνει τον xx, λύνω την εξίσωση f(x) = 0. Για να ϐρω σε ποια διαστήµατα η γραφική παράσταση της f είναι πάνω από τον xx, λύνω την ανίσωση f(x) > 0, ενώ για κάτω από τον xx, την f(x) < 0 Λύση 6.13 f(0) = 0 4 = 4. Άρα τέµνει τον yy στο A(0, 4) f(x) = 0 x 4 = 0 x = ±. Άρα τέµνει τον xx στο B(, 0) και Γ(, 0) f(x) > 0 x 4 > 0 x > 4 x > 4 x (, ) (, + ) Θέµα 6.14 Εχουµε τις συναρτήσεις f(x) = x 5x + 4 και g(x) = x 6. Να ϐρείτε : i. Τα κοινά σηµεία των C f, C g ii. Τις τετµηµένες των σηµείων της C f που ϐρίσκονται κάτω από τη C g Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 159

160 Μεθοδολογία 6.8 Για να ϐρω σε ποια σηµεία η γραφική παράσταση της f τέµνει τη γραφική παράσταση της g, λύνω την εξίσωση f(x) = g(x). Για να ϐρω σε ποια διαστήµατα η γραφική παράσταση της f είναι πάνω από τη γραφική παράσταση της g, λύνω την ανίσωση f(x) > g(x). Λύση 6.14 i. f(x) = g(x) x 5x + 6 = x 6 x 7x + 1 = 0, = 1 x 1, = 5 ± 1 x 1 = 3, x = Τα κοινά σηµεία των C f, C g είναι τα A(3, g(3)) = (3, 0) και B(, g()) = (, ) ii. Για την ανίσωση f(x) > g(x) x 7x + 1 > 0 έχω τον παρακάτω πίνακα προσήµων : x 3 + x 7x Άρα οι τετµηµένες των σηµείων της C f που ϐρίσκονται κάτω από τη C g είναι τα x (, ) (3, + ) Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 160

161 6..3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να ϐρείτε τα συµµετρικά σηµεία, ως προς τον xx, τον yy, την αρχή των αξόνων O(0, 0) και τη διχοτόµο 1ου 3ου τεταρτηµορίου y = x, των παρακάτω σηµείων : i. το A(1, ) ii. το B(, 3) iii. το Γ( 3, 1) iv. το (0, 5). Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Α(1, ), Β(4, -) και Γ(-3, 5) είναι κορυφές ισοσκελούς τριγώνου. 3. Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Α(1, -1), Β(-1, 1) και Γ(4, ) είναι κορυφές ορθογωνίου τριγώνου. 4. Να ϐρείτε τα κοινά σηµεία των παρακάτω συναρτήσεων µε τους άξονες, καθώς και τα διαστήµατα στα οποία, οι γραφικές τους παραστάσεις ϐρίσκονται πάνω από τον xx : i. f(x) = x + 3 ii. g(x) = x + 8 iii. h(x) = x 3x iv. το k(x) = x x x 5. ίνεται η συνάρτηση f(x) = x 3 + (κ 1), κ R. Να ϐρείτε το κ R, ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης να διέρχεται από το O(0, 0). Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 161

162 6.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αx + β ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 6.13 Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ευθείας ; Η συνάρτηση f(x) = αx + β έχει γραφική παράσταση µια ευθεία, µε συντελεστή διεύθυνσης λ ɛ = α = ɛφω και τέµνει τον yy στο σηµείο A(0, β) Σχήµα 6.1: Ευθεία Ερώτηση 6.14 Ποιος είναι ο συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας ; Ο συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας, είναι η εφαπτόµενη της γωνιάς που σχηµατίζει η ευθεία µε τον xx Σχήµα 6.13: Συντελεστής διεύθυνσης Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 16

163 Ερώτηση 6.15 Τι συµπεράσµατα ϐγάζουµε αν ο συντελεστής διεύθυνσης είναι ϑετικός, ο συντελεστής διεύθυνσης είναι αρνητικός ή µηδέν ; Ο συντελεστής διεύθυνσης είναι ϑετικός, όταν η γωνία που σχηµατίζει η ευθεία µε τον xx είναι οξεία. (0 o ω 90 o ) Ο συντελεστής διεύθυνσης είναι αρνητικός, όταν η γωνία που σχηµατίζει η ευθεία µε τον xx είναι αµβλεία. (90 o ω 180 o ). Σχήµα 6.14: Συντελεστής διεύθυνσης ϑετικός Σχήµα 6.15: Συντελεστής διεύθυνσης αρνητικός Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 163

164 Ο συντελεστής διεύθυνσης είναι µηδέν, όταν η ευθεία είναι παράλληλα µε τον µε τον xx, δηλαδή ω = 0 o. Σχήµα 6.16: Συντελεστής διεύθυνσης 0 Ρ ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Οταν ο συντελεστής διεύθυνσης δεν ορίζεται, η ευθεία είναι κάθετη στον xx δηλαδή ω = 90 o και δεν αποτελεί γραφική παράσταση συνάρτησης. Σχήµα 6.17: εν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 164

165 Ερώτηση 6.16 Ποια είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = αx ; Είναι µια ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ ɛ = α και διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Σχήµα 6.18: Η ευθεία y = αx Ερώτηση 6.17 Ποιος είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία A(x 1, y 1 ) και B(x, y ); Είναι λ = y y 1 x x 1, x 1 x. Σχήµα 6.19: Συντελεστής διεύθυνσης από σηµεία Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 165

166 Ερώτηση 6.18 Τι ισχύει για τις παράλληλες ευθείες ; Αν οι συντελεστές διεύθυνσης ευθειών ορίζονται, τότε : Οι ευθείες είναι παράλληλες αν-ν οι συντελεστές διεύθυνσης είναι ίσοι ɛ 1 ɛ λ 1 = λ Σχήµα 6.0: Παράλληλες ευθείες Ερώτηση 6.19 Τι ισχύει για τις κάθετες ευθείες ; Αν οι συντελεστές διεύθυνσης ευθειών ορίζονται, τότε : Οι ευθείες είναι κάθετες αν και µόνο αν οι συντελεστές διεύθυνσης είναι αντίθετοι και αντίστροφοι ɛ 1 ɛ λ 1 λ = 1 Σχήµα 6.1: Κάθετες ευθείες Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 166

167 6.3. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Θέµα 6.15 ίνεται η ευθεία y = x 5, να ϐρείτε : i. Το συντελεστή διεύθυνσης. ii. Τη γωνία που σχηµατίζει η ευθεία µε τον xx. iii. Σε ποια σηµεία τέµνει τους άξονες. iv. Το εµβαδόν του τριγώνου, που σχηµατίζει η ευθεία µε τους άξονες. Λύση Επειδή η εξίσωση της ευθείας είναι της µορφής y = αx + β, ο συντελεστής διεύθυνσης είναι ο συντελεστής του x. Άρα λ = 1. Γνωρίζουµε ότι, λ ɛ = α = ɛφω = ɛφω = 1 = ω = 45 o 3. Η ευθεία τέµνει τον xx για y = 0, δηλαδή 0 = x 5 = x = 5. Στο σηµείο A(5, 0) τέµνει τον yy για y = 0, δηλαδή x = 0 5 = y = 5. Στο σηµείο B(0, 5) 4. Το εµβαδόν του τριγώνου που σχηµατίζει µε τους άξονες είναι : E = 1 (OA)(OB) = = τ.µ. Θέµα 6.16 Να ϐρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία A(, 1) και B(3, 1). Λύση 6.16 Η εξίσωση της ευθείας είναι της µορφής y = αx + β Άρα τα σηµεία από τα οποία διέρχεται την επαληθεύουν y = αx + β ==== A(,1) 1 = α + β y = αx + β ===== B(3, 1) 1 = 3α + β Αφαιρώντας κατά µέλη έχουµε : α = Αντικαθιστώντας στην πρώτη εξίσωση έχουµε : 1 = α + β ==== α= 1 = 6 + β = β = 5 Άρα η εξίσωση είναι y = x + 5. Θέµα 6.17 Να ϐρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία A(, 4) και B(, 0) και τη γωνιά που σχηµατίζει η ευθεία µε τον xx. Λύση 6.17 Είναι λ = y y 1 A(,4) 4 0, x 1 x ===== x x 1 B(,0) + = 1 Επειδή ɛφ45 o = 1 = ω = 45 o Θέµα 6.18 Να ϐρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το το σηµείο A(, 3) και είναι παράλληλη στην y = 4x 3. Λύση 6.18 Η ευθεία έχει εξίσωση της µορφής y = αx + β. υο ευθείες όταν είναι παράλληλες, έχουν ίσους συντελεστές διεύθυνσης. Επειδή η y = 4x 3 έχει συντελεστή διεύθυνσης 4, οπότε ϑα πρέπει α = 4. Άρα y = 4x + β A(,3) ==== 3 = 4 + β = β = 5. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 167

168 και η ευθεία είναι y = 4x 5. Θέµα 6.19 Να ϐρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το το σηµείο A(, 1) και είναι κάθετη στην y = x + 5. Λύση 6.19 Η ευθεία έχει εξίσωση της µορφής y = αx + β. υο ευθείες όταν είναι κάθετες, έχουν συντελεστές διεύθυνσης αντίστροφους και αντίθετους (έχουν γινόµενο 1). Επειδή η y = x + 5 έχει συντελεστή διεύθυνσης, ϑα πρέπει α = 1 α = 1 Άρα y = 1 x + β ===== A(,1) 1 = 1 ( ) + β = β = 0 και η ευθεία είναι y = 1 x. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 168

169 Θέµα 6.0 Να προσδιορίσετε το λ R ώστε οι παρακάτω ευθείες να είναι παράλληλες y = (λ + 3 λ )x + (ɛ 1 ) και y = 4x + 5 (ɛ ). Λύση 6.0 υο ευθείες όταν είναι παράλληλες, έχουν ίσους συντελεστές διεύθυνσης. Άρα, λ + 3 λ = 4 λ + 3 λ 4 = 0 ϑέτω λ = ω κι έχω : ω 1 = 1 ω + 3ω 4 = 0 ω = 4 λ = 1 λ = 4, αδύνατη λ = ±1 Θέµα 6.1 Να προσδιορίσετε το λ R ώστε οι παρακάτω ευθείες να είναι κάθετες y = ( λ + 3 λ)x + (ɛ 1) και y = x + 5 (ɛ ) Λύση 6.1 υο ευθείες όταν είναι κάθετες, όταν οι συντελεστές διεύθυνσής τους έχουν γινόµενο -1. ( λ + 3 λ)( ) = 1 λ + 3λ 1 = 0 λ = 1 λ = Θέµα 6. Να ϐρείτε την εξίσωση της ευθείας, που είναι κάθετη στην y = 1 3 x διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών y = x και y = x + 1. και Λύση 6. Το σηµείο τοµής των ευθειών y = x και y = x + 1 είναι η λύση του συστήµατος y = x x = x + 1 y = x + 1 x = 1 αντικαθιστώντας στην y = x x= 1 === y = 1 το κοινό σηµείο των ευθειών y = x και y = x + 1 είναι το A( 1, 1 ) Η ευθεία που ψάχνουµε έχει εξίσωση της µορφής y = αx + β Ως γνωστό, δυο ευθείες όταν είναι παράλληλες, έχουν ίσους συντελεστές διεύθυνσης η y = 1 3 x έχει συντελεστή διεύθυνσης 1 3, Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 169

170 άρα ϑα πρέπει α = 1 3 Εποµένως y = 1 3 x + β A( 1,1 ) ===== 1 = β = β = = β = 3 Άρα η ευθεία είναι y = 1 3 x + 3 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 170

171 6.3.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να ϐρείτε τη γωνία που σχηµατίζουν µε τον xx οι παρακάτω ευθείες : i. y = x + ii. 3y = x + 4 iii. y 4 = 0 iv. 3x 6 = 0 v. y = 3x + 1 vi. x + y + 3 = 0. Να ϐρείτε την τιµή του λ R ώστε η ευθεία y = 3λ + 4 x + να σχηµατίζει µε τον xx γωνία 45 o 3. Να προσδιορίσετε την εξίσωση της ευθείας που σχηµατίζει τον xx γωνία 60 o και διέρχεται από το σηµείο A( 3, 1). 4. Να προσδιορίσετε την εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη στην 6x y+3 = 0 και διέρχεται από το σηµείο A(3, 4). 5. Να προσδιορίσετε την εξίσωση της ευθείας που είναι κάθετη στην y = 1 x + 1 και διέρχεται από το σηµείο A( 1, ). 4 3x +, x 6. ίνεται η συνάρτηση, αx + 4, x i. Να προσδιορίσετε το α R y = 4f(1) β x + 3 ii. Να ϐρείτε το β R ώστε οι ευθείες y = (β + 1) x παράλληλες. x, x < 0 7. Να ϕτιάξετε την γραφική παράσταση της f(x) =, 0 x < 3 3x 7, x 3 y = (α 4α)x + 3α + 1 = 0 8. ίνονται οι ευθείες y = (α + 14)x 5 i. Να προσδιορίσετε το α R ώστε οι ευθείες να είναι παράλληλες. ii. Να προσδιορίσετε το α R ώστε οι ευθείες να ταυτίζονται. 9. Να προσδιορίσετε το λ R ώστε η ευθεία y = (λ + )x + 4 να είναι : i. παράλληλη στον xx. ii. παράλληλη στην y = 3 x 4. να είναι iii. παράλληλη στην y = (λ )x Να προσδιορίσετε το λ R ώστε η ευθεία y = λ 1 1 λ x 5 λ να είναι : λ 1 i. παράλληλη στον xx. ii. παράλληλη στην y = x + 1. iii. διερχόµενη από την αρχή των αξόνων. iv. διερχόµενη από το σηµείο A(1, ) 11. Να προσδιορίσετε το λ R ώστε τα σηµεία A(3, ) B( 1, 4) Γ(λ, λ 1) να είναι συνευθειακά. 1. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες y = (λ + )x λ 1, που προκύπτουν για τις διάφορες Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 171

172 τιµές του λ R, διέρχονται από το ίδιο σηµείο. 13. Θεωρούµε τη συνάρτηση f : R R, µε f(x) = 3 x + 1 i. Να ϐρείτε την τιµή της παράστασης A = f( 1) + f(0) + f( ) + f() ii. Να ϕτιάξετε τη γραφική παράσταση C f της f iii. Να ϐρείτε ένα σηµείο της γραφικής παράστασης της f στο οποίο η τετµηµένη είναι τριπλάσια από την τεταγµένη. iv. Να προσδιορίσετε το α R ώστε το σηµείο N( α + 1, α 1 ) να είναι σηµείο 3 της C f. 14. ίνεται η συνάρτηση f(x) = λx +, λ > 0. Να ϐρείτε : i. Τα σηµεία τοµής της C f µε τους άξονες. ii. Το εµβαδόν του τριγώνου, που σχηµατίζει η C f µε τους άξονες. iii. Την τιµή του λ ώστε το εµβαδόν να είναι τ.µ. 15. ίνεται η συνάρτηση f : R R, µε f(x) = 3x + 1 i. Να ϐρείτε τα α, β ώστε τα σηµεία M(α, 5) και N(, β + 5) να ανήκουν στην C f ii. Να δείξετε ότι τα σηµεία A(0, 1), B(1, ), Γ(, 5), ( 1, 0) είναι συνευ- 3 ϑειακά. iii. Να ϕτιάξετε τη γραφική παράσταση της f. 16. Εστω η συνάρτηση f : R R, µε f(x) = nx + n 4, h R i. Να ϐρείτε την τιµή n για την οποία, η γραφική παράσταση της f, διέρχεται από το A(n, ) ii. Να ϐρείτε την τιµή n για την οποία, η γραφική παράσταση της f, σχηµατίζει µε τους άξονες, τρίγωνο µε εµβαδόν E = n αx + 5, x < Εστω η συνάρτηση f : R R, µε f(x) = 3x + β, x 0 i. Να ϐρείτε τα α, β αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα M( 1, 1) και N(, 3) ii. Για α = 3 και β = 9 i. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της f ii. Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f( x) = 7 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 17

173 7. ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. (8ο ΕΛΙ 010, 4ο ϑέµα) ίνεται η εξίσωση (λ + 1)x x + 1 λ = 0 (1) i. Για λ = 1, να λύσετε την εξίσωση (1). ii. Να ϐρείτε το λ ώστε η (1), να έχει διπλή ϱίζα. iii. Για το λ του ιι) ερωτήµατος να ϐρείτε τη διπλή ϱίζα.. (4ο ΕΛΙ 009, ο ϑέµα) ίνονται οι ανισώσεις : 1 x 1 3 x x και x 1 < Να ϐρεθούν οι κοινές τους λύσεις. 3. (4ο ΕΛΙ 009, 4ο ϑέµα) ίνεται η εξίσωση 3(λ 1)x x 1 = 0. i. Να ϐρείτε για ποιες τιµές του λ η εξίσωση είναι ου ϐαθµού. ii. Να ϐρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει ϱίζες πραγµατικές και άνισες. iii. Αν x1, x είναι οι άνισες ϱίζες τις εξίσωσης, να ϐρείτε το λ ώστε x1 x + x1 x < (1ο ΕΛΙ 006, ο ϑέµα) ίνεται f (x) = x 9. x 3 i. Να ϐρείτε για ποιες τιµές του x ορίζεται η συνάρτηση. ii. Να απλοποιηθεί ο τύπος της συνάρτησης. iii. Να λυθεί η ανίσωση f (x) (1ο ΕΛΙ 006, 4ο ϑέµα) ίνεται η εξίσωση (λ )x + λx + 1 = 0. i. Να δείξετε ότι έχει ϱίζες πραγµατικές και άνισες x1, x. ii. Να ϐρείτε τα x1 + x και το x1 x. iii. Αν x1, x είναι ετερόσηµες, να ϐρείτε το λ. iv. Να ϐρείτε το λ ώστε, x1 + x x1 x. 6. (3ο ΕΛΙ 006, ο ϑέµα) x 1 x 1 1 x 1 <. 4 3 ii. Αν x 1 < και y < 3, να δείξετε ότι x y < 7. i. Να λύσετε την ανίσωση

174 7. (3ο ΕΛΙ 006, 3ο ϑέµα) ίνεται το τριώνυµο f(x) = λx (3λ 1)x + λ (1), λ 0. i. Αν το τριώνυµο έχει ϱίζα το 3, να ϐρείτε το λ. ii. Να ϐρείτε το λ, ώστε το τριώνυµο να έχει διπλή ϱίζα. iii. Αν η (1) έχει δυο ϱίζες x 1, x ϑετικές και η µια είναι τερτραπλάσια της άλλης, να ϐρείτε : i. x 1 + x ii. x 1 x iii. x 1 iv. x v. λ 8. (3ο ΕΛΙ 006, 4ο ϑέµα) i. ίνεται η ευθεία ɛ 1 : y = αx + β. Αν η ευθεία διέρχεται από τα σηµεία Α(,1) και Β(-1, -5), να δείξετε ότι α= και ϐ=-3 ii. Αν η ευθεία ɛ : y = λ + 1 x + 3 είναι παράλληλη στην ɛ 1, να ϐρείτε το λ. 9. (3ο ΕΛΙ 003, ο ϑέµα) ίνονται η ευθείες ɛ : y = 4λ 1λ + 9x 003 και δ : y = λ 1 x i. Ποιος είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της ɛ και της δ; ii. Αν είναι η ɛ παράλληλη στην δ, να ϐρείτε το λ. 10. (3ο ΕΛΙ 003, 4ο ϑέµα) ίνεται η εξίσωση : x + (µ + 3)x + µ + = 0.. i. Να ϐρείτε η ii. Να δείξετε ότι έχει πάντα πραγµατικές ϱίζες. iii. Να υπολογίσετε την παράσταση x 1 x + x 1 x συναρτήσει του µ. iv. Να λύσετε την ανίσωση x 1 x + x 1 x > (3ο ΕΛΙ 000, 1ο ϑέµα) Εστω x 1 < 3 και y + 1 < 1. i. Να δείξετε ότι : x + y < 4. ii. Να ϐρείτε τις τιµές που { µπορεί να πάρει η παράσταση K = x + y 1. x + x 1 1. i. ίνεται η συνάρτηση x. Να υπολογίσετε τα x x > 1 f( ), f( 1), f(1), f(α + β). ii. Να ϐρείτε τα κ, λ, µ αν είναι γνωστό ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, µε τύπους f(x) = κx 3, g(x) = 3x λx + και h(x) = x µ + 1 διέρχονται όλες από το σηµείο Α(1, -) iii. ίνονται τα σηµεία A(, y), B( 4, 1), Γ(1, 1). Να ϐρείτε το y, ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισοσκελές µε ϐάση το ΒΓ. 13. (3ο ΕΛΙ 000, 4ο ϑέµα) i. Να προσδιορίσετε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία Α(3,6) και Β(, ). ii. Αν το σηµείο A(, λ 1 ), ανήκει στην ευθεία να ϐρείτε το λ. 14. (7ο ΕΛΙ 007, 3ο ϑέµα) i. Να αποδείξετε ότι ii. Να λύσετε την ανίσωση 3 x = Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 174

175 15. (7ο ΕΛΙ 007, ο ϑέµα) ίνονται η ευθείες ɛ : y = (λ λ)x + λ 6 και δ : y = λx 1. i. Ποιος είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της ɛ και της δ; ii. Αν είναι η ɛ παράλληλη στην δ, να ϐρείτε το λ. 16. (1ο ΕΛΙ 007, ο ϑέµα) ίνεται η εξίσωση (α + 4α + 5)x = (α + ). i. Να αποδείξετε ότι έχει µια µοναδική ϱίζα και να την προσδιορίσετε, σε συνάρτηση του α ii. Να αποδείξετε ότι αυτή η ϱίζα είναι µικρότερη της µονάδας. 17. (Πειραµατικό Λύκειο Ηρακλείου 000, 1ο ϑέµα) i. Να λυθεί η ανίσωση x ii. Αν x < 1 < y να απλοποιήσετε την παράσταση A = 1 x 1 y + y (Πειραµατικό Λύκειο Ηρακλείου 000, ο ϑέµα) ίνεται το τριώνυµο f(x) = x (λ )x + λ 3 4, λ R. i. Να ϐρείτε το λ ώστε το τριώνυµο να έχει διπλή ϱίζα. ii. Να ϐρείτε το λ ώστε το τριώνυµο να έχει ϱίζες πραγµατικές και άνισες. iii. Να ϐρείτε το λ ώστε το γινόµενο των ϱιζών του τριωνύµου να είναι (Πειραµατικό Λύκειο Ηρακλείου 000, 4ο ϑέµα) Το άθροισµα των ηλικιών δυο αδερφών είναι 1 έτη. Αν διαιρέσουµε την ηλικία του µεγαλύτερου µε την ηλικία του µικρότερου, ϐρίσκου- µε πηλίκο και υπόλοιπο 3. Να ϐρείτε τις ηλικίες των αδερφών. 0. (Ζωσιµαία 005, 3ο ϑέµα) i. Να λυθεί η εξίσωση x + 1 < 3. x x ii. Αν 0 < x < 3 να ϐρεθεί η τιµή της παράστασης, A = x 6x + 9. x 3 1. (Ζωσιµαία 005, 4ο ϑέµα) ίνεται το τριώνυµο f(x) = x + λx + λ 1. i. Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει τουλάχιστον µια ϱίζα πραγµατική. ii. Να ϐρείτε τα διαστήµατα στα οποία ανήκει το λ, ώστε για κάθε x R να ισχύει, f(x) > 1. iii. Αν λ (0, 1) να δείξετε, ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει ως ϱίζα το -1 και µια ϑετική ϱίζα ϐρίσκεται µεταξύ του 0 και του 1.. (1ο ΕΛΙ 008, ο ϑέµα) ίνεται η συνάρτηση f(x) = 3x x 1. i. Να λυθεί η εξίσωση f(x) = 0. ii. Να λυθεί η ανίσωση f(x) > x x (1ο ΕΛΙ 008, ο ϑέµα) ίνεται εξίσωση x (λ + 1)x + λ 1 = 0, η οποία έχει πραγµατικές ϱίζες. i. Να ϐρείτε το λ. 1 ii. Να αποδείξετε ότι + 1 = 1 x 1 x λ 1. 1 iii. Να ϐρείτε για ποιες τιµές του λ ισχύει + 1 > 1. x 1 x 4. (Ζωσιµαία 007, ο ϑέµα) Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 175

176 i. Είναι < x < 0, να απλοποιήσετε την παράσταση x x A = x + 4x + 4. x + x ( 1 x 3) ii. Να λυθεί η εξίσωση = 3 x (Ζωσιµαία 007, ο ϑέµα) Για ποιες τιµές του α 0 η εξίσωση (α 3)x αx + 6α = 0 έχει ϱίζες διαφορετικές και οµόσηµες ; 6. (7ο ΕΛΙ 008, ο ϑέµα) Εστω η f(x) = αx + β. i. Αν η ευθεία διέρχεται από τα σηµεία Α(1, -) και Β(-, -5) να ϐρείτε τα α, ϐ. ii. Αν α=1 και ϐ= -3, να ϐρείτε πόσο κάνει το f(x). iii. Να ϐρείτε το λ ώστε οι ευθείες ɛ : y x = 1 και δ : λ y x = να είναι παράλληλες. 7. (7ο ΕΛΙ 008, 3ο ϑέµα) ίνεται η συνάρτηση f(x) = λx + (λ + )x + λ + = 0, λ 0. i. Να ϐρείτε το λ ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης να τέµνει τον xx σε σηµεία. ii. Αν x 1, x οι ϱίζες της εξίσωσης f(x) = 0 να δειχθεί ότι, x 1 x x 1 x < 0. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 176

177 Βιβλία Βιβλία Ιστοσελίδες Ιστοσελίδες 8. Βιβλιογραφία 8.1 Βιβλία Μπαραλός Αλγεβρα Κυριακόπουλος Αλγεβρα Μαυρογιάννης Αλγεβρα Παπακωνσταντίνου Αλγεβρα Σχολικό ΟΕ Β Αλγεβρα Μπάρλας Αλγεβρα Λουκόπουλος Αλγεβρα Μιχαηλιδης Αλγεβρα Ιστοσελίδες

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ο κεφάλαιο: Πραγματικοί αριθμοί ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 016-017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΡΗΤΟΙ λέγονται οι αριθµοί : ΟΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΙ αριθµοί είναι :. ΑΡΡΗΤΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα 1

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ της Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ της Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ της Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. 1 ο (ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ) Ο ρ ι σ µ ο ί Πείραµα τύχης (π.τ.) είναι το πείραµα για το οποίο δεν µπορούµε εκ των προτέρων να προβλέψουµε το αποτέλεσµά του αν και επαναλαµβάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 5ο κεφάλαιο: Πρόοδοι ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα 1 ΠΡΟΟ

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4.

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4. ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. Δειγματικοί χώροι. Διαγράμματα Venn Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Κλασικός ορισμός πιθανότητας 4. Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων η Κατηγορία : Δειγματικοί χώροι ) Ρίχνουμε

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή,

Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή, ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Οι αριθμοί 0,1,,,4, είναι οι Φυσικοί αριθμοί. Οι Φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετούς τους αποτελούν τους Ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή ακέραιοι είναι οι αριθμοί,-,-,-1,0,1,,,

Διαβάστε περισσότερα

ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ

ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΟΡΙΣΜΟΙ Θετικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο το + (πολλές φορές το + παραλείπεται) π.χ. +3, +105, +, + 0,7, 326. Αρνητικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A ΑΛΓΕΒΡΑ Α' Γενικού Λυκείου Σάββατο 1 Απριλίου 018 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑΤΑ Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f (x) από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β ονομάζουμε το σύνολο Α, στο οποίο φαίνονται οι

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ανισότητα : Είναι µία σχέση µεταξύ δύο αριθµών που δεν είναι ίσοι µεταξύ τους 2. ιάταξη δύο πραγµατικών αριθµών που έχουµε παραστήσει µε σηµεία στον

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 6ο κεφάλαιο: Συναρτήσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος

1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος 1. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος Κάθε πείραμα στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως το αποτέλεσμα λέγεται αιτιοκρατικό πείραμα. Τέτοια πειράματα

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π.

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π. ΜΕΡΟΣ Α : Α Λ Γ Ε Β ΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και πράξεις τους 1. Γράψε τα βασικότερα σύνολα τιμών: Aπάντηση Ν{0,1,,,4,5,6,..+

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης; 10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Άσκηση 1102 Δίνονται δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και οι πιθανότητες α) Να υπολογίσετε την (Μονάδες 9) β) i) Να υπολογίσετε με διάγραμμα Venn και να γράψετε στη γλώσσα των συνόλων το ενδεχόμενο:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ. Ε.1 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής

Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ. Ε.1 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ Ε. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής i) Αν Α= {0,5,8,3,89}, τότε το Α. ii) Αν Α = {, {,5}, 8, 0}, τότε το Α. iii) Τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς

Διαβάστε περισσότερα

R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός }

R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός } o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ Οι ρητοί και οι άρρητοι αριθμοί λέγονται πραγματικοί αριθμοί. Το σύνολο που περιέχει όλους τους πραγματικούς αριθμούς λέγεται σύνολο των πραγματικών αριθμών και συμβολίζεται με R.

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ

Α. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ Κεφάλαιο o : Εξισώσεις - Ανισώσεις ΜΑΘΗΜΑ Υποενότητα.: Ανισώσεις ου Βαθµού Θεµατικές Ενότητες:. Ανισότητες - Κανόνες Ανισοτήτων.. Η έννοια της ανίσωσης.. Τρόπος επίλυσης ανισώσεων ου βαθµού. Α. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω. ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΣΥΝΟΛΑ-ΥΠΟΣΥΝΟΛΑ-ΙΣΑ ΣΥΝΟΛΑ

Α. ΣΥΝΟΛΑ-ΥΠΟΣΥΝΟΛΑ-ΙΣΑ ΣΥΝΟΛΑ ΜΑΘΗΜΑ 22 Κεφάλαιο 5o : Πιθανότητες Υποενότητα 5.1: Σύνολα. Θεµατικές Ενότητες: 1. Σύνολα-Υποσύνολα-Ίσα Σύνολα. 2. ιαγράµµατα Venn. 3. Πράξεις µε Σύνολα. Α. ΣΥΝΟΛΑ-ΥΠΟΣΥΝΟΛΑ-ΙΣΑ ΣΥΝΟΛΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Σύνολο είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

1.1 A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ

1.1 A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ . A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ. Τα σύνολα των αριθµών Το σύνολο των φυσικών αριθµών. Το σύνολο των ακεραίων αριθµών. N {0,,, 3 } Z { 3,,, 0,,, 3 } Το σύνολο των ρητών αριθµών. Q

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. Φυσικοί αριθμοί : Ν = {0,1,,3,4,...}. Ακέραιοι αριθμοί : Ζ = {...-4,-3,-,-1,0,1,,3,4,...} 3. Ρητοί αριθμοί : Q = { ì í, μ Ζ, ν Ζ* } Σημ. Το σύνολο Q των ρητών αριθμών ταυτίζεται με

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1 Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1 Εξίσωση πρώτου βαθμού ή πρωτοβάθμια εξίσωση με άγνωστο x ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Το βιβλίο αυτό απευθύνεται στους μαθητές της Α Λυκείου που θέλουν ένα μεθοδικό και πλήρες βοήθημα στην Άλγεβρα. Το μάθημα αυτό αποτελεί τη γέφυρα ανάμεσα στο γυμνάσιο και το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ Να δείξετε ότι (x 2) 3 + (3x 4) 3 + (6 4x) 3 = 3(x 2)(3x 4)(6 4x). Λύση Στο 1 0 μέλος βλέπουμε άθροισμα κύβων 3 αριθμών, εξετάζουμε αν έχουν άθροισμα 0, (x 2) + (3x 4) + (6

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα

Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα Ερωτήσεις Θεωρίας Θέματα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Α. Θεωρία - Αποδείξεις.. Σελ. Β. Θεωρία-Ορισμοί. Σελ.16 Γ. Ερωτήσεις Σωστού Λάθους...

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ. Σχετική συχνότητα ενδεχοµένου Α : 2. Ιδιότητες της f, λ το πλήθος απλών ενδεχοµένων :

3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ. Σχετική συχνότητα ενδεχοµένου Α : 2. Ιδιότητες της f, λ το πλήθος απλών ενδεχοµένων : 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΘΕΩΡΙΑ. Σχετική συχνότητα ενδεχοµένου Α : Είναι το πηλίκο f κ A = ν ενδεχόµενου Α σε ν το πλήθος εκτελέσεις του πειράµατος όπου κ το πλήθος των πραγµατοποιήσεων του. Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ 1 4. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Η γενική µορφή του τριωνύµου µε µεταβλητή x R i) α x + βx + γ, α 0 ii) β α x + α 4α, α 0. Ειδικές µορφές του τριωνύµου Όταν > 0 τότε α x + βx + γ α(x x 1 )(x x ), όπου

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Παραστάσεις

Αλγεβρικές Παραστάσεις Αλγεβρικές Παραστάσεις 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (Επαναλήψεις-συμπληρώσεις) 1 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (Επαναλήψεις-συμπληρώσεις) Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Πραγματικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι

Διαβάστε περισσότερα

Π.χ. Ιδιότητα Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός. Αντιμεταθετική α + β = β + α αβ = βα. Προσεταιριστική α + (β + γ) = (α + β) + γ α(βγ) = (αβ)γ

Π.χ. Ιδιότητα Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός. Αντιμεταθετική α + β = β + α αβ = βα. Προσεταιριστική α + (β + γ) = (α + β) + γ α(βγ) = (αβ)γ Η θεωρία της Γ Γυμνασίου 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Πραγματικοί αριθμοί είναι όλοι οι αριθμοί που γνωρίσαμε στις προηγούμενες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Οι Πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ; Ποιοι είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων 1. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις µόνο µε αριθµούς, λέγεται αριθµητική παράσταση. Παράδειγµα: + + 1 =. είναι µια αριθµητική παράσταση, το αποτέλεσµα των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος)

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) 1. Πως προσθέτουμε δυο πραγματικούς αριθμούς; Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

(α > β και γ > δ)=> αγ > βδ. τύπο S. άνισες. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f( χ )= y j x »/ Ç + 3. παρακάτω προτάσεις: ΜΟΝΑΔΕΣ 2x5=10

(α > β και γ > δ)=> αγ > βδ. τύπο S. άνισες. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f( χ )= y j x »/ Ç + 3. παρακάτω προτάσεις: ΜΟΝΑΔΕΣ 2x5=10 ΓΕ.Λ. ΛΙΒΑΔΕΙΑΣ ΖΗΤΗΜΑ A ΑΊ. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 05 ΛΙΒΑΔΕΙΑ 4 ΜΑΪΟΥ 05 ΤΑΞΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) κάθε μία

Διαβάστε περισσότερα

Οι εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα

Οι εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα Οι εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα Ιούνιος 04 . Έννοια της πιθανότητας GI_A_ALG 497 Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται µε ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 1 ï. Ïé ñçôïß áñéèìïß

ÊåöÜëáéï 1 ï. Ïé ñçôïß áñéèìïß ÊåöÜëáéï 1 ï Ïé ñçôïß áñéèìïß ÂéâëéïìÜèçìá 1 ï ÅðáíÜëçøç âáóéêþí åííïéþí Ðñüóèåóç ñçôþí áñéèìþí èñïéóìá ðïëëþí ðñïóèåôýùí ÁðáëïéöÞ ðáñåíèýóåùí ÂéâëéïìÜèçìá ï Ðïëëáðëáóéáóìüò ñçôþí áñéèìþí Ãéíüìåíï ðïëëþí

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΓΕΡΓΙΟΣ Ε. ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ [] ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΡΙΑ: Πείραμα Τύχης Κάθε πείραμα κατά στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ÊÑÇÔÇÓ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ÊÑÇÔÇÓ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 07 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι f ( x) + g( x) = f ( x) + g ( x), για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ . ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα σύνολα των αριθμών είναι τα εξής : i. Φυσικοί αριθμοί : 0,,,,......,,,,0,,,,...

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» 1 2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ιδιότητες των πράξεων Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με την οήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

7.5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΡΗΤΩΝ

7.5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΡΗΤΩΝ 1 7.5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΡΗΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Κανόνας πολλαπλασιασµού : Το γινόµενο δύο οµοσήµων αριθµών είναι θετικός ενώ το γινόµενο δύο ετεροσήµων είναι αρνητικός ηλαδή (+) (+) = + και ( ) ( ) = + Ενώ (+) (

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης;

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; =. β) Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο Μιχάλης (Μ) και γυναίκες:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου

Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 0-0 Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου ΣΥΝΟΛΑ. Σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3()

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3() ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Με πολυ μερακι Για τους μικρους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Β'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Β'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Β'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της B Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν βάση των µαθηµατικών του

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - -. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Αν + y = -, να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: α A = + y + ( + y β B = ( - y -( y γ Γ = -(

Διαβάστε περισσότερα

Η Ευκλείδεια διαίρεση

Η Ευκλείδεια διαίρεση 1 Η Ευκλείδεια διαίρεση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Αποδεικνύεται ότι για οποιουσδήποτε ακέραιους α και β, β 0, ισχύει το παρακάτω θεώρηµα και διατυπώνεται ως εξής : Αν α και β ακέραιοι µε β

Διαβάστε περισσότερα

A. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

A. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Μάθηµα 1 Κεφάλαιο: Εισαγωγικό Θεµατικές Ενότητες: A. Το Λεξιλόγιο της Λογικής B. Σύνολα A. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Ορισµός Πρόταση λέµε κάθε φράση που µε βάση το νοηµατικό της περιεχόµενο µπορούµε να

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. x x x x β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα