ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Transcript

1 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός

2 Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από τα σημαντικότερα μαθήματα, καθώς περιέχει απαραίτητες γνώσεις για τις επόμενες τάξεις του Λυκείου. Κάθε κεφάλαιο περιέχει : Βασική θεωρία Μεθοδολογίες και σχόλια Λυμένα παραδείγματα Ασκήσεις όλων των επιπέδων δυσκολίας Θέματα από την τράπεζα της Α Λυκείου του υπουργείου Καλή μελέτη ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ... ΕΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ.5. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ... ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ.9.4 ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ.45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.5. Η ΕΞΙΣΩΣΗ.60. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 4. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΗΛΙΚΟ.0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΠΡΟΟΔΟΙ 5. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ.. 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 6. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ.. 6. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f ( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο : ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 7. ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f ( ) 7. ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f ) f )..58 ( ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (...6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

4 . ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με βεβαιότητα το αποτέλεσμα. Πείραμα τύχης ονομάζουμε κάθε πείραμα το οποίο όσες φορές και να επαναληφθεί κάτω από τις ίδιες συνθήκες, δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα του. π.χ. η ρίψη ενός ζαριού είναι ένα πείραμα τύχης. Δειγματικός χώρος Ω ενός πειράματος τύχης, ονομάζεται το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων που μπορούν να εμφανιστούν κατά την εκτέλεση του πειράματος. Το πλήθος των στοιχείων ενός δειγματικού χώρου συμβολίζεται με (). π.χ. στη ρίψη ενός ζαριού ο δειγματικός χώρος είναι,,,4,5, 6 με ( ) 6. Ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης ονομάζεται το σύνολο που έχει ως στοιχεία του ένα ή περισσότερα δυνατά αποτελέσματα του πειράματος. Δηλαδη κάθε ενδεχόμενο είναι υποσύνολο του δειγματικου χώρου και συμβολίζεται συνήθως με ένα κεφαλαίο γράμμα. Το πλήθος των στοιχείων ενός ενδεχομένου συμβολίζεται με (). π.χ. στη ρίψη ενός ζαριού το ενδεχόμενο Α η ρίψη να είναι περιττός αριθμός είναι,, 5 με ( ) Βέβαιο ενδεχόμενο ονομάζεται ο δειγματικός χώρος Ω, γιατί πραγματοποιείται σε κάθε εκτέλεση του πειράματος. π.χ. στη ρίψη ενός ζαριού το ενδεχόμενο Α η ρίψη να είναι αριθμός από -6 είναι,,,4,5, 6 Αδύνατο ενδεχόμενο είναι αυτό που δεν πραγματοποιείται σε καμία εκτέλεση του πειράματος και συμβολίζεται με το κενό σύνολο. π.χ. στη ρίψη ενός ζαριού το ενδεχόμενο Α η ρίψη να είναι αριθμός μεγαλύτερος του 6 είναι Απλό ονομάζεται το ενδεχόμενο που έχει μόνο ένα στοιχειό, ενώ σύνθετο ονομάζεται το ενδεχόμενο που έχει περισσότερα από ένα στοιχεία. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Επειδή τα ενδεχόμενα είναι υποσύνολα του δειγματικού χώρου Ω, εφαρμόζονται γι αυτά οι γνωστές πράξεις συνόλων. Έτσι αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικου χώρου Ω, ισχύει : Τομή των Α, Β : / & Δηλαδή η Τομή των Α, Β περιέχει τα κοινά τους στοιχεία. Ένωση των Α, Β : / ή ή Δηλαδή η Ένωση των Α, Β περιέχει τα στοιχεία και των δυο συνόλων. Συμπλήρωμα του Α ή αντίθετο του Α : ' / Δηλαδή περιέχει τα στοιχεία του δειγματικου χώρου που δεν ανήκουν στο Α. Διαφορά του Β από το Α ονομάζεται το ενδεχόμενο /,, Δυο ενδεχόμενα Α και Β ονομάζονται ασυμβίβαστα όταν δεν έχουν κανένα κοινό στοιχειό δηλ.. Ρίχνουμε ένα ζάρι και έστω Α, Β δυο ενδεχόμενα τέτοια ώστε, και,4, 5. Προφανώς,,,4,5, 6. Να βρείτε τα ενδεχόμενα : i. ii. iii. ' iv. i. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 4

6 ii.,,4,5 iii. ',4,5,6 iv. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 5

7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Ρίχνουμε ένα ζάρι και έστω Α, Β δυο ενδεχόμενα τέτοια ώστε,, και,, 5. Προφανώς,,,4,5, 6. Να βρείτε τα ενδεχόμενα : i. ii. iii. ' iv. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Α : ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ (ΔΕΝΔΡΟΔΙΑΓΡΑΜΜΑ) Πολλές φορές για τον προσδιορισμό του δειγματικού χώρου ενός πειράματος τύχης και των ενδεχομένων του χρησιμοποιούμε δενδροδιαγραμματα. Όταν η διαδικασία εκτέλεσης ενός πειράματος τύχης μπορεί να χωριστεί σε δυο τουλάχιστον φάσεις ή βήματα, τότε ο δειγματικός χώρος προσδιορίζεται με τη βοήθεια ενός διαγράμματος στο οποίο περιγράφουμε διαδοχικά τα δυνατά αποτελέσματα σε κάθε φάση του πειράματος. Το διάγραμμα αυτό καλείται δενδροδιαγραμμα. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Τρεις φίλοι, ο Αντρέας, ο Βασίλης και ο Γιώργος διαγωνίστηκαν μεταξύ τους σε ένα μαθηματικό τεστ. Η κατάταξη ως προς τις θέσεις που κατέλαβαν ήταν ανάλογη των αποτελεσμάτων τους στο παραπάνω τεστ. i. Να βρεθεί το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ως προς τη σειρά κατάταξης τους. (Δειγματικός χώρος) ii. Έστω τα ενδεχόμενα Α : ο Γιώργος βγήκε πρώτος και Β : ο Βασίλης βγήκε Λύση : i. δεύτερος. Να γράψετε τα ενδεχόμενα Α, Β,,, ', Άρα ο δειγματικός χώρος είναι,,,,, ii.,,,,,,,,,,, ', ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

8 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Β : ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ (ΠΙΝΑΚΑΣ ΔΙΠΛΗΣ ΕΙΣΟΔΟΥ) Σε κάποια πειράματα τύχης (συνήθως ρίψη δυο ζαριών) για τον προσδιορισμό του δειγματικού χώρου θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τον πίνακα διπλής εισόδου. Ο πίνακας διπλής εισόδου κατασκευάζεται ως εξής : Βρίσκουμε τα δυνατά αποτελέσματα της ης φάσης και τα γράφουμε στην πρώτη στήλη του πίνακα. Βρίσκουμε τα δυνατά αποτελέσματα της ης φάσης και τα γράφουμε στην πρώτη γραμμή του πίνακα. Τέλος συμπληρώνουμε τον πίνακα με ζεύγη της μορφής (α,β) όπου α και β είναι το αντίστοιχο αποτέλεσμα της ης και της ης φάσης. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 4. Ρίχνουμε ένα ζάρι φορές. i. Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος ii. Να βρεθούν τα ενδεχόμενα : Α : το αποτέλεσμα της ης ρίψης είναι μεγαλύτερο από το αποτέλεσμα της ης. Β : το άθροισμα των ενδείξεων είναι μεγαλύτερο του 7. iii. Να βρεθεί το ενδεχόμενο Λύση: i. η ρίψη η ρίψη (,) (,) (,) (,4) (,5) (,6) (,) (,) (,) (,4) (,5) (,6) (,) (,) (,) (,4) (,5) (,6) 4 (4,) (4,) (4,) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,) (5,) (5,) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,) (6,) (6,) (6,4) (6,5) (6,6) Άρα ο δειγματικός χώρος είναι (,),(,),(,),...,(6,6 ) ii. (,),(,),(,),(4,),(4,),(4,),(5,),(5,),(5,),(5,4),(6,),(6,),(6,),(6,4),(6,5) (,6),(,5),(,6),(4,4),(4,5),(4,6),(5,),(5,4),(5,5),(5,6),(6,),(6,),(6,4),(6,5),(6,6) (5,),(5,4),(6,),(6,),(6,4),(6,5) iii. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 5. Μια οικογένεια έχει 4 παιδιά. Εξετάζουμε την οικογένεια ως προς το φύλο και τη σειρά γέννησης των παιδιών. i. Να γράψετε το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων (Δειγματικό χώρο) ii. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα Α : το πρώτο παιδί είναι κορίτσι, Β : τα δυο μικρότερα παιδιά είναι αγόρια. Να βρεθούν τα ενδεχόμενα Α, Β, Α, Β,,,, 6. Ρίχνουμε ένα νόμισμα φορές. i. Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος. ii. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα Α : μια φορά τουλάχιστον κεφαλή Β : το πολύ μια φορά γράμματα. Να βρεθούν τα ενδεχόμενα Α, Β, Α,,,( )' ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

9 7. Ρίχνουμε ένα ζάρι φορές. i. Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος ii. Να βρεθούν τα ενδεχόμενα : Α : το αποτέλεσμα της ης ρίψης είναι μικρότερο από το αποτέλεσμα της ης. Β : το άθροισμα των ενδείξεων είναι μικρότερο του 8. Γ : το γινόμενο των ενδείξεων είναι μικρότερο του 5. iii. Να βρεθούν τα ενδεχόμενα,,,( ) 8. Μεταξύ των οικογενειών με 4 παιδία, Επιλέγουμε τυχαία μια οικογένεια και καταγράφουμε τα παιδία ως προς το φύλο και ως προς τη σειρά γέννησης. Να βρεθούν : i. Ο δειγματικός χώρος του πειράματος. ii. Τα ενδεχόμενα : Α : Η οικογένεια έχει μόνο ένα παιδί διαφορετικού φύλλου από το πρώτο. Β : Τα δυο μικρότερα παιδία είναι του ίδιου φύλλου 9. Ένα κουτί περιέχει μπάλες, άσπρη και μαύρη. Επιλέγουμε από το κουτί τυχαία μια μπάλα, καταγράφουμε το χρώμα της και την επανατοποθετούμε στο κουτί, στη συνεχεία Επιλέγουμε άλλη μια μπάλα. Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος. 0. Δυο κουτιά περιέχουν μπάλες. Το πρώτο κουτί περιέχει άσπρη, μαύρη και πράσινη μπάλα. Το δεύτερο κουτί περιέχει άσπρη και μαύρη μπάλα. Επιλέγουμε τυχαία ένα κουτί και στη συνεχεία μια μπάλα μέσα από αυτό. Να βρεθούν : i. Ο δειγματικός χώρος του πειράματος. ii. Το ενδεχόμενο να επιλέγει άσπρη μπάλα.. Ένα κουτί περιέχει 6 μπάλες αριθμημένες από το έως το 6. Τραβάμε από το κουτί μια μπάλα έως ότου επιλέγει η μπάλα με τον αριθμό 6. Να βρείτε το δειγματικο χώρο του πειράματος.. Ένας καθηγητής διορθώνει γραπτά 5 μαθητών και γνωρίζει από τον επιτηρητή ότι μαθητές έχουν αντιγράψει. i. Να βρείτε το δειγματικο χώρο του πειράματος, αν ο καθηγητής διορθώσει γραπτά. ii. Με την προϋπόθεση ότι ο καθηγητής διορθώνοντας κάποιο γραπτό μπορεί να καταλάβει αν είναι προϊών αντιγραφής, να βρείτε το ενδεχόμενο όπου ο καθηγητής μπορεί να βρει τους αντιγραφείς διορθώνοντας μόνο γραπτά.. Έστω ένας μαθητής της γ λυκείου και τα ενδεχόμενα : Α : «ο μαθητής είναι άριστος στα μαθηματικά» Β : «ο μαθητής είναι άριστος στη φυσική» Να γράψετε με λόγια καθένα από τα παρακάτω ενδεχόμενα : i. Α ii. iii. iv. v. ( )' vi. ( )' vii. ( ) ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

10 ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΟΤΗΤΑ. 4. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

11 . Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΣΧΕΤΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ Έστω ότι εκτελούμε ένα πείραμα τύχης ν φορές. Αν στις ν εκτελέσεις του πειράματος τύχης ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται κ φορές, τότε ο λόγος λέγεται σχετική συχνότητα του ενδεχομένου Α και συμβολίζεται με f. Επειδή 0 τότε ισχύει : 0 f. Στην περίπτωση που ο δειγματικός χώρος του πειράματος τύχης είναι το σύνολο :,,..., τότε για τις σχετικές συχνότητες f, f,..., f των απλών ενδεχομένων,,, ισχύει : f f... f. π.χ. ρίχνουμε ένα νόμισμα 00 φορές και έστω το ενδεχόμενο να εμφανιστεί κορόνα και το ενδεχόμενο να εμφανιστεί γράμματα με,. Ας υποθέσουμε ότι το (κορόνα) εμφανίζεται 55 φορές και το (γράμματα) εμφανίζεται 45 φορές. Τότε f f. 00 Προφανώς ισχύει 0 f και 0 f και f f Αν επαναλάβουμε το παραπάνω πείραμα άπειρες φορές τότε η σχετική συχνότητα του ενδεχομένου (κορόνα) θα γίνει f, αντίστοιχα και του (γράμματα) θα γίνει f. Η παραπάνω διαπίστωση είναι γνωστή ως νόμος των μεγάλων αριθμών ή στατιστική ομαλότητα. ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ - ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Έστω ένα πείραμα τύχης όπου κάθε απλό ενδεχόμενο, έχει την ίδια δυνατότητα να εμφανιστεί, δηλαδή όπως λέμε τα απλά ενδεχόμενα είναι ισοπιθανα. Τότε ορίζουμε πιθανότητα του ενδεχομένου Α τον αριθμό : ( ) P(A)= ( ) N(A) : το πλήθος των ευνοϊκών περιπτώσεων για το Α Ν(Ω) : το πλήθος των δυνατών περιπτώσεων του πειράματος Συνέπειες : ( ) P(Ω)= = Δηλαδή, το βέβαιο ενδεχόμενο έχει πιθανότητα ίση με. ( ) ( ) 0 ( ) 0 Δηλαδή το αδύνατο ενδεχόμενο έχει μηδενική ( ) ( ) πιθανότητα. Για κάθε ενδεχόμενο Α δειγματικού χώρου Ω, ισχύει : άρα ( ) ( ) ( ) ( ). Επιπλέον, αν, τότε Ν(Α) 0 ( ) 0 Γενικά ισχύει : 0 ( ). ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

12 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : (π.χ. ζαριά, ρίψη κέρματος κ.α.) Αν δίνεται πείραμα τύχης, του οποίου τα απλά ενδεχόμενα είναι ισοπιθανα και ζητείται η πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α του πειράματος, τότε : Θα γράφουμε τον δειγματικο χώρο του πειράματος και θα βρίσκουμε το πλήθος Ν(Ω) των στοιχείων του. Θα βρίσκουμε τα απλά ενδεχόμενα που ικανοποιούν το Α και αν είναι δυνατόν, θα γράφουμε το Α με αναγραφή. Θα βρίσκουμε το πλήθος Ν(Α) των στοιχείων του Α. ( ) Τέλος, η ζητούμενη πιθανότητα είναι : P(A)= ( ). Ρίχνουμε ένα ζάρι. Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων : Α : η ένδειξη του ζαριού να είναι περιττός. Β : η ένδειξη του ζαριού είναι άρτιος και μεγαλύτερος του. Γ : η ένδειξη του ζαριού είναι περιττός ή μικρότερος του και να εξετάσετε αν τα Β και Γ είναι ασυμβίβαστα. Λύση :,,,4,5,6 με ( ) 6 ( ),,5 με ( ), άρα ( ) ( ) 6 ( ) 4,6 με ( ), άρα ( ) ( ) 6 ( ) 4,,,5 με ( ) 4, άρα ( ) ( ) 6 Τα ενδεχόμενα Β και Γ είναι ασυμβίβαστα γιατί δεν έχουν κανένα κοινό στοιχείο δηλ... Θεωρούμε τον δειγματικό χώρο,,,...,0 και τα ενδεχόμενα /, και /, Να βρείτε τις πιθανότητες (), (), ( ), ( ) Λύση : ( ) 0,4,6,8,0,,4,6,8,0 με ( ) 0, άρα ( ) ( ) 0 ( ) 6,6,9,,5,8 με ( ) 6, άρα ( ) ( ) 0 0 ( ) 6,,8 με ( ), άρα ( ) ( ) 0 ( ) 7,4,8,0,4,6,0 με ( ) 7, άρα ( ) ( ) 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

13 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Ρίχνουμε ένα ζάρι. Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων : Α : η ένδειξη του ζαριού να είναι άρτιος. Β : η ένδειξη του ζαριού είναι περιττός και μεγαλύτερος του. Γ : η ένδειξη του ζαριού είναι περιττός ή μικρότερος του και να εξετάσετε αν τα Α και Γ είναι ασυμβίβαστα. 4. Θεωρούμε τον δειγματικό χώρο,,,...,0 και τα ενδεχόμενα /, και /,5 Να βρείτε τις πιθανότητες (), (), ( ), ( ) 5. Ένας αριθμός σχηματίζεται με τα ψηφία, 0, 9, που χρησιμοποιούνται μια φορά το καθένα. Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων : i. Α : «ο αριθμός διαιρείται με το» ii. Β : «ο αριθμός διαιρείται με το 4» 6. Ρίχνουμε ζάρια το ένα μπλε και το άλλο κόκκινο. Να βρεθεί η πιθανότητα των ενδεχομένων : i. Α : «οι δυο ενδείξεις να είναι ισες» ii. Β : «το μπλε ζάρι έχει μικρότερη ένδειξη από το κόκκινο» 7. Σε ένα κουτί υπάρχουν άσπρες, 4 μπλε, 6 πράσινες και 8 κόκκινες σφαίρες. Επιλέγουμε τυχαία μια σφαίρα από το κουτί. Να βρείτε την πιθανότητα η σφαίρα : i. Να είναι μπλε ii. Να είναι άσπρη ή πράσινη iii. Να μην είναι άσπρη 8. Σε ένα κουτί υπάρχουν 6 άσπρες, 5 μπλε, 6 και 4 κόκκινες σφαίρες. Επιλέγουμε τυχαία μια σφαίρα από το κουτί. Να βρείτε την πιθανότητα η σφαίρα : i. Να είναι άσπρη ii. Να είναι άσπρη ή κόκκινη iii. Να μην είναι μπλε 9. Έστω,,,4,5,6,7,8,9, 0 ένας δειγματικός χώρος, ο οποίος αποτελείται από απλά ισοπιθανα ενδεχόμενα. Επιλέγουμε τυχαία ένα απλό ενδεχόμενο. Να βρείτε την πιθανότητα η εξίσωση 4 0 να μην έχει πραγματικές ρίζες. 0. Ο Γιώργος γραφεί 4 κάρτες για 4 φίλους του. Πάνω στο γραφείο του υπάρχουν οι αντίστοιχοι φάκελοι με τις διευθύνσεις των παραληπτών. Αφηρημένος ο Γιώργος βάζει τυχαία τις κάρτες στους φακέλους. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : Α : ο κάθε παραλήπτης να πάρει τη δική του κάρτα Β : μόνο ένας παραλήπτης να πάρει τη δική του κάρτα Γ : κανένας παραλήπτης να μην πάρει τη δική του κάρτα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

14 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Πιθανότητα Ερμηνεία Τύπος ( ) Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί Αν (ασυμβίβαστα), τότε ( ) ( ) ( ) τουλάχιστον ένα από Γενικά : τα Α και Β ( ) ( ) ( ) ( ) Η πιθανότητα να ( ) πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα τα Α και Β (') Η πιθανότητα να μη ( ') ( ) ( ) ή ( ' ) ( ) ( ) ( ) ή ( ' ' ) ( ) ή ( ' ' ) πραγματοποιηθεί το Α Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί μόνο το Α Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β Η πιθανότητα να μη πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β. Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα το πολύ από τα Α και Β (ή δεν πραγματοποιούνται ταυτόχρονα τα Α,Β) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ' ') ( )' ( ) ( ' ') ( ) ( ) ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση 7 σελ. 55 Α ομάδας σχολικό βιβλίο) 7 Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν ( ), 0 ( ). Να βρείτε την ( ). Λύση : 7 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (Άσκηση 8 σελ. 55 Α ομάδας σχολικό βιβλίο) Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν ( ) και 5 ( ). Να βρείτε την (). 6 7 ( ), 5 ( ), ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

15 Λύση : 5 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (Άσκηση 0 σελ. 55 Α ομάδας σχολικό βιβλίο) Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν και ( ). Να βρείτε την ( ). Λύση : ( ') ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ), ( ) 4. Έστω Α και Β δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα : να μη πραγματοποιηθεί το Α είναι 0 να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα Α και Β είναι 5 9 να πραγματοποιηθεί τουλάχιστον ένα από τα Α, Β είναι 0 Να βρείτε την πιθανότητα : i. να πραγματοποιηθεί το Α ii. να πραγματοποιηθεί το Β iii. να πραγματοποιηθεί μόνο το Α (αλλά όχι το Β) iv. να πραγματοποιηθεί το μόνο Β (αλλά όχι το Α) v. να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β vi. να μη πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β vii. πραγματοποιηθεί ένα το πολύ από τα Α και Β Λύση : i. Πρώτα μεταφράζουμε τα δεδομένα : Η πιθανότητα να μη πραγματοποιηθεί το Α είναι, άρα ( ') 0 0 Η πιθανότητα να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα Α και Β είναι 5, άρα ( ) 5 9 Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί τουλάχιστον ένα από τα Α, Β είναι, άρα 0 ( ) 9 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 4

16 7 ( ') ( ) ( ) ( ) ii. 9 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) iii ( ) ( ) ( ) iv. 6 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) vi. 9 ( ' ') ( )' ( ) 0 0 vii. 4 6 ( ' ' ) ( ) ( ) 0 0 v. 5. Από τους μαθητές ενός σχολείου το 80% μαθαίνει αγγλικά, το 0% μαθαίνει γαλλικά και το 0% μαθαίνει και τις γλώσσες. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή, να βρείτε την πιθανότητα : i. να μαθαίνει αγγλικά ή γαλλικά ii. να μαθαίνει αγγλικά αλλά όχι γαλλικά iii. να μη μαθαίνει ούτε αγγλικά ούτε γαλλικά iv. να μαθαίνει μόνο μια από τις γλώσσες v. να μαθαίνει το πολύ μια από τις γλώσσες vi. να μη μαθαίνει αγγλικά ή να μαθαίνει γαλλικά vii. να μη μαθαίνει γαλλικά ή να μαθαίνει αγγλικά Λύση : i. Έστω Α το ενδεχόμενο ο μαθητής να μαθαίνει αγγλικά και έστω Γ το 80 0 ενδεχόμενο ο μαθητής να μαθαίνει γαλλικά. Τότε ( ), ( ) και ( ). Τότε ( ) ( ) ( ) ( ) ii. ( ) ( ) ( ) iii. ( ' ') ( )' ( ) iv. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v. ( ' ' ) ( ) ( ) vi. ( ' ) ( ') ( ) ( ' ) ( ) ( ) ( ') ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) vii. ( ' ) ( ') ( ) ( ' ) ( ) ( ) ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 5

17 ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 6. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν ( ), ( ), 40 8 ( ). Να βρείτε την ( ) Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν ( ), 4 ( ) και ( ). Να βρείτε την () Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν ( ) 0,, ( ) 0,65 και ( ) 0, 5. Να βρείτε την ( ). 9. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν ( ), ( ) και 6. Να βρείτε τις πιθανότητες : i. ( ) ii. ( ) iii. iv. ( ' ) 0. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν ( '), ( ) και ( ). Να βρείτε τις πιθανότητες : 4 4 i. () ii. ( ' ) iii. ( ) ( ) iv. ( ' ). Δίνονται τα ενδεχόμενα Α, Β και Γ ενός δειγματικού χώρου Ω, τέτοια ώστε το Α να είναι ασυμβίβαστο με καθένα από τα Β και Γ. Επίσης ισχύουν ( ') 70%, ( ) 90% και ( ) 80%. Να βρείτε τις πιθανότητες : i. ( ), ( ) και () ii. να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα Β και Γ είναι ασυμβίβαστα. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν ( ) 0,, ( ) 0,5 και ( ) 0, 9. Να βρείτε τις πιθανότητες : i. ( ), ( ) και ( ) ii. ( ' ) iii. ( ' ' ) iv. ( ' ' ). Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν ( ) 0, 8, ( ) 0, και ( ' ') 0, 9. Να βρείτε τις πιθανότητες : i. ( ), ( ) και ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

18 ii. ( ' ' ) iii. ( ' ) 4. Έστω Α και Β δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα : να μη πραγματοποιηθεί το Α είναι να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα Α και Β είναι 6 να πραγματοποιηθεί τουλάχιστον ένα από τα Α, Β είναι Να βρείτε την πιθανότητα : i. να πραγματοποιηθεί το Α ii. να πραγματοποιηθεί το Β iii. να πραγματοποιηθεί μόνο το Α (αλλά όχι το Β) iv. να πραγματοποιηθεί το μόνο Β (αλλά όχι το Α) v. να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β vi. να μη πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β vii. πραγματοποιηθεί ένα το πολύ από τα Α και Β 5. Έστω Α και Β δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα : να πραγματοποιηθεί το Α είναι 60 % να μην πραγματοποιηθεί το Β είναι 70 % να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα Α και Β είναι 0 % Να βρείτε την πιθανότητα : i. να πραγματοποιηθεί το Α ή το Β ii. να πραγματοποιηθεί μόνο το Α (αλλά όχι το Β) iii. να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β 6. Έστω Α και Β δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα : να πραγματοποιηθεί το Β και να μην πραγματοποιηθεί το Α είναι 5 να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα Α και Β είναι 5 να πραγματοποιηθεί τουλάχιστον ένα από τα Α, Β είναι 5 Να βρείτε την πιθανότητα : i. να πραγματοποιηθεί το Β ii. να πραγματοποιηθεί το Α iii. να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β iv. να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β v. να πραγματοποιηθεί το Β ή να μην πραγματοποιηθεί το Α 7. Σε δυο διαγωνίσματα Μαθηματικών οι μαθητές που έγραψαν κάτω από τη βάση αποτελούσαν το 0% στο ο, το 40% στο ο και το 5% και στα δυο. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή της τάξης. Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου ο μαθητής μα έγραψε : i. κάτω από τη βάση σε ένα τουλάχιστον διαγώνισμα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

19 ii. iii. iv. από τη βάση και πάνω (τουλάχιστον βάση) και στα δυο διαγωνίσματα κάτω από τη βάση μόνο στο ο διαγώνισμα κάτω από τη βάση σε ένα μόνο διαγώνισμα 8. Από τις οικογένειες των 0 μαθητών μιας αγροτικής περιοχής, 5 έχουν αγροτικό αυτοκίνητο, 0 έχουν Ι.Χ. αυτοκίνητο και 0 έχουν αγροτικό και Ι.Χ. Επιλέγουμε τυχαία μια οικογένεια. Να βρείτε την πιθανότητα : i. να έχει ένα τουλάχιστον αυτοκίνητο ii. να μην έχει κανένα αυτοκίνητο iii. να μην έχει δυο αυτοκίνητα iv. να έχει μόνο αγροτικό v. να έχει ένα μόνο αυτοκίνητο 9. Οι επιβάτες ενός λεωφορείου είναι άνδρες και 8 γυναίκες. Από τους άνδρες οι 6 και από τις γυναίκες οι 8 είναι πάνω από 0 ετών. Αν επιλέξουμε τυχαία έναν επιβάτη του λεωφορείου, να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου : i. να είναι πάνω από 0 ετών ii. να είναι άνδρας iii. να είναι άνδρας πάνω από 0 ετών iv. να είναι άνδρας πάνω από 0 ετών ή γυναίκα όχι πάνω από 0 ετών 0. Από τους μαθητές ενός σχολείου το 60% είναι αγόρια, το 40% υποστηρίζουν τον ΑΡΗ και το 0% είναι αγόρια και ΑΡΗΣ. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή, να βρείτε την πιθανότητα : i. να είναι αγόρι ή ΑΡΗΣ ii. να είναι αγόρι αλλά να μην είναι ΑΡΗΣ iii. να μην είναι ούτε αγόρι, ούτε ΑΡΗΣ iv. να μην είναι αγόρι ή να είναι ΑΡΗΣ v. να μην είναι ΑΡΗΣ ή να είναι αγόρι. Από τους μαθητές της Γ λυκείου ενός σχολείου, το 40% ανήκουν στη Θεωρητική κατεύθυνση, το 60% έχει επιλέξει ως μάθημα επιλογής Βιολογία και το 5% ανήκουν στη Θεωρητική και έχουν επιλέξει Βιολογία. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή, να βρείτε την πιθανότητα : i. να ανήκει στη Θεωρητική ή να έχει επιλέξει Βιολογία ii. να ανήκει στη Θεωρητική, αλλά να μην έχει επιλέξει Βιολογία iii. να μην ανήκει στη Θεωρητική και να μην έχει επιλέξει Βιολογία iv. να μην ανήκει στη Θεωρητική ή να εξεταστεί στη Βιολογία. Σε ένα σχολείο το 65% των μαθητών έχει laptop, το 5% έχει ipad και δεν έχει laptop και το 60% δεν έχει τουλάχιστον ένα από τα δυο (δεν έχει laptop ή δεν έχει ipad). Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή. Να βρείτε την πιθανότητα : i. Να έχει και laptop και ipad ii. Να έχει ipad iii. Να μην έχει ούτε laptop ούτε ipad iv. Να έχει μόνο ένα από τα δυο. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

20 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Αν, τότε ( ) ( ) Για την απόδειξη ανισοτήτων της μορφής : ( ) ή ( ) Χρησιμοποιώ τα εξής :, ά, ( ) ( ) (), ά, ( ) ( ), ά, ( ) ( ) (), ά, ( ) ( ) Παρατηρώ ότι τα ( ), ( ) πιθανόν να ισούνται με ένα από τα α,β, χρησιμοποιώ τις () και () και σε συνδυασμό με τον τύπο : ( ) ( ) ( ) ( ) καταλήγω σε μια ανισότητα η οποία προφανώς ισχύει (π.χ. ( ), ή ( ) 0 ) Για την απόδειξη ανισοτήτων της μορφής : ( ) Χρησιμοποιώ τα εξής :, ά, ( ) ( ),(), ά, ( ) ( ),() Παρατηρώ ότι τα ( ), ( ) πιθανόν να ισούνται με ένα από τα α,β, χρησιμοποιώ τις () και () και σε συνδυασμό με τον τύπο : ( ) ( ) ( ) καταλήγω σε μια ανισότητα η οποία προφανώς ισχύει. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Έστω Α, Β δυο ενδεχόμενα ενός δ.χ. Ω με ( ) 0, 8, ( ') 0, 6 i. Να εξετάσετε αν τα Α, Β είναι ασυμβίβαστα. ii. Να δείξετε ότι 0, ( ) 0, 4. Λύση : i. Έστω ότι τα Α, Β είναι ασυμβίβαστα, τότε ( ) ( ) ( ), ( ') 0, 6 ( ) 0, 6 ( ) 0, 4, άρα ( ) ( ) ( ) 0,8 0,4, που είναι άτοπο. Άρα τα ενδεχόμενα Α, Β είναι ασυμβίβαστα. ii. Θα δείξουμε ότι ( ) 0, 4 και ότι 0, ( ) Παρατηρώ ότι ( ) 0, 4 είναι το ένα άκρο της ανίσωσης που θέλω να αποδείξω άρα :, άρα ( ) ( ) ( ) 0, 4 () Επίσης ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () () Θέλω να δείξω ότι 0, ( ) 0, ( ) ( ) ( ) 0, 0,8 0,4 ( ) ( ) που ισχύει. Άρα ισχύει ότι 0, ( ) () Από () και () προκύπτει 0, ( ) 0, 4 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

21 4. Έστω Α, Β δυο ενδεχόμενα ενός δ.χ. Ω με. Λύση : Θα δείξουμε ότι 0 ( ' ' ) και ότι ( ) ( ' ') 0 ( ' ' (), ισχύει εξ ορισμού.. Να δείξετε ότι 0 ( ' ') Η ανισότητα ) ' ' ' άρα ( ' ') ( ' ) ( ' ') ( ) ( ' ') ( ' ') (). Άρα από () και () έχω 0 ( ' ') 5. Έστω Α, Β δυο ενδεχόμενα ενός δ.χ. Ω με ( ), ( ). Να δείξετε ότι 5 ( ). 0 Λύση : Θα δείξουμε ότι ( ) και ότι ( ) 0, άρα ( ) ( ) ( ) () Θέλω να δείξω ότι ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Η τελευταία σχέση στην 0 5 οποία κατέληξα, ισχύει γιατί. Άρα ισχύει και ( ) () 0 Από () και () ( ). 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 6. Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με αποδείξετε ότι : i. ( ) 5 ii. ( ) ( ) και ( ). Να 4 7. Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με ( ) 0, 8 και ( ) 0, 4. Να αποδείξετε ότι : 0, ( ) 0, Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με ( ) 0, 5 και ( ) 0,. Να αποδείξετε ότι : 0, ( ) 0, 5. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

22 ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

25 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 4

26 . ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. 5 Έτσι π.χ. οι αριθμοί, κτλ. είναι ρητοί. Όμως και όλοι οι ακέραιοι μπορούν 4 να γραφούν στη μορφή κλάσματος π.χ.. Άρα και οι ακέραιοι ανήκουν στους ρητούς. Άρρητοι λέγονται οι αριθμοί που δεν μπορούν να γραφούν στη μορφή κλάσματος. Τέτοιοι αριθμοί είναι αυτοί που έχουν άπειρα δεκαδικά ψηφία μη επαναλαμβανόμενα όπως οι ρίζες των μη τέλειων τετραγώνων π.χ, ή όπως το,4... Άρρητοι αριθμοί : Q...,,...,,.. 5,... Πραγματικοί είναι το σύνολο των αριθμών που αποτελείται από τους ρητούς και από τους άρρητους. Πραγματικοί αριθμοί : R Q Q Πράξεις και Ιδιότητες Αντιμεταθετική :, Προσεταιριστική : ( ) ( ), ( ) ( ) Ουδέτερο Στοιχειό : Πρόσθεση: 0 0, Πολλαπλασιασμός: Αντίθετο και Αντίστροφο Στοιχειό : ( ) ( ) 0, οι αριθμοί και λέγονται αντίθετοι. 0 λέγονται αντίστροφοι. Επιμεριστική : ( ) Οι Πράξεις της Αφαίρεσης και της Διαίρεσης Ονομάζουμε διαφορά του β από το α δηλαδή : ( ). (Αφαίρεση είναι η πρόσθεση του αντιθέτου) Ονομάζουμε πηλίκο του α δια β δηλαδή :, 0. (Διαίρεση είναι ο πολλαπλασιασμός του αντιστρόφου) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 5

27 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6 Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός Κατά Μέλη Αν και τότε Αν και τότε Νόμος Διαγραφής Αν 0, τότε Ιδιότητα Γινομένου 0, 0, 0 ή 0, 0, 0 Δυνάμεις Αν α πραγματικός αριθμός και ν φυσικός τότε:...,, 0 ( 0 ),, Αν ν περιττός : ενώ αν ν άρτιος : ή,,,, Ταυτότητες ) )( ( ) )( ( ) )( (

28 ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Ιδιότητα : 0 0, ή, 0 π.χ. ( 6 )( ) ή 0 Όταν έχουμε, χωρίς περιορισμό για το α, τότε : 0 ( ) 0 0 ή 0 π.χ. 0 ( ) 0 0 ή 0 0 0,, 0 δηλ. ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ Παραγοντοποίηση λέγεται η διαδικασία κατά την οποία μια παράσταση από άθροισμα μετατρέπεται σε γινόμενο παραγόντων. Τα εργαλεία της παραγοντοποίησης είναι : ΚΟΙΝΟΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ. ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ π.χ. y 5y y(y 5), π.χ. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ). ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ π.χ. 5 0 ( 4) 5( 4) ( 4)( 5) ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ. ΔΙΑΦΟΡΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 5. (Άσκηση σελ. 5 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Δίνεται η παράσταση : y y i. Να δείξετε ότι 9 y 9. ΔΙΑΦΟΡΑ ΚΥΒΩΝ ( )( ). ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΥΒΩΝ ( )( ) π.χ. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις : i) 6 4 (4 )(4 ) ii) ( ) 8 ( ) 9 ( 9)( 9) ( 0)( 8) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ : y

29 ii. Να βρείτε την τιμή της παράστασης για 00 και Λύση : y y i. y y : y y : y 0 6 y y 9 y 9 y 9 9 y 9 y 9 ii. Έχω y ( y) αν και y τότε : (Άσκηση 4 σελ. 5 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) i. Να αποδείξετε ότι ( ) ( ) ii. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης : Λύση : i. Ένας τρόπος για να αποδείξω μια ισότητα είναι να ξεκινήσω από το ένα μέλος και με διαδοχικές ισότητες να καταλήξω στο άλλο : ( ) ( ) ( ) 4 ii. Από i. έδειξα ότι ( ) ( ) 4, άρα αν και τότε : (Άσκηση 6 σελ. 5 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να δείξετε ότι η διαφορά των τετραγώνων δυο διαδοχικών φυσικών ακεραίων (του μικρότερου από τον μεγαλύτερο) ισούται με το άθροισμα τους. Λύση : Έστω ν ένας φυσικός ακέραιος, τότε ο ν+ είναι ο επομένως φυσικός ακέραιος. Για να δείξω ότι η διαφορά των τετραγώνων τους (του μικρότερου από τον μεγαλύτερο) ισούται με το άθροισμα τους αρκεί να δείξω ότι : ( ) ( ) ( ) Ξεκινώ από το πρώτο μέλος και έχω : ( ) άρα ισχύει. 8. (Άσκηση σελ. 5 Β ομάδας σχολικού βιβλίου) Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : i. ii. ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

30 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9 Λύση : i. Για να απλοποιήσω ένα κλάσμα, θα πρέπει πρώτα να παραγοντοποιήσω αριθμητή και παρανομαστή : ) ( ) ( ) ( ii. ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( 9. (Άσκηση σελ. 5 Β ομάδας σχολικού βιβλίου) Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : i. ) ( ii. Λύση : i. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )( ( ii. ) )( ( ) )( ( ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 0. Να υπολογίσετε την τιμή στις επόμενες παραστάσεις, αν οι,y είναι αντίστροφοι : i ) ( y ii ) (6 6 ) ( y iii. ) ( ) ( ) ( y y y. Να αποδείξετε τις ταυτότητες που ακλουθούν : i. ) ( ii. ) ( 0 iii. iv. ) ( ) ( y y y y. Να αποδείξετε την ταυτότητα : ) )( (. Στη συνέχεια με τη βοήθεια της να υπολογίσετε τις δυνάμεις : α) 99 β) 999 γ) 999

31 . Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις, αφού πρώτα βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ορίζονται : i. 6 9 ii. 5 5 iii. ( 4) 4 ( )( ) iv v. ( )( ) ( )( 7) 9 vi. 4 ( )( ) 4. Αν,y 0, να εκτελέσετε τις πράξεις: i. iv. 5 y y 8 7 : 5 y y ii. 4 5 y y iii. 4 y y v. y : y vi. : y : : y 5. Να βρείτε τις τιμές των επόμενων παραστάσεων, αν =8 και y=: Α= 4 5 y y y B= 6. Να κάνετε τις πράξεις: y 4 y y 4 i. 6 ii. a 5 4a a ii. 4 6 iv. 7. Να αποδείξετε τις ταυτότητες: i. 5 0 ii. y y y y iii. a 5 iv. v. vi. 9 9 vii. 6 viii Αν ισχύει 6 να αποδείξετε ότι α+β= 9. Αν ισχύει ότι α-β=, να αποδείξετε ότι: 4 0. Να αποδείξετε ότι, αν 0 τότε ισχύει : ( ) ( ) ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

32 . i. Να αποδείξετε την ταυτότητα : y ( y) y ii. Στο παρακάτω ορθογώνιο οικόπεδο το πλάτος του διαφέρει από το μήκος του y κατά 0m. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του οικοπέδου. ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΟΤΗΤΑ. :.. 4. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

33 . ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισμός της Διάταξης : 0 και 0 Κανόνες Προσήμων Διάταξης : i. ( 0 και 0 ) 0 ii. ( 0 και 0 ) 0 iii., ομόσημοι 0 0 iv., ετερόσημοι 0 0 v. 0 για κάθε (το = ισχύει μόνο όταν α=0) Ιδιότητες των Ανισοτήτων i. Αν και, τότε ii. iii. Αν 0 τότε iv. Αν 0 τότε v. Αν () και (), τότε προσθέτω κατά μέλη της () και () και έχω : (Προσοχή : δεν γίνεται να προσθέσω κατά μέλη ανισότητες που έχουν διαφορετική φορά.) vi. Αν,,, θετικοί αριθμοί τότε αν () και (), τότε πολλαπλασιάζω κατά μέλη της () και () και έχω : (Προσοχή : δεν γίνεται να πολλαπλασιάσω κατά μέλη ανισότητες που έχουν διαφορετική φορά.) Διάταξη και Δυνάμεις Αν, είναι θετικοί αριθμοί και ν φυσικός διαφορετικός του μηδέν, τότε ισχύει : i. ii. (Προσοχή : αν, αρνητικοί τότε :, ό ), ά Διαστήματα i. Κλειστό διάστημα : [, ] ii. Ανοιχτό διάστημα : (, ) iii. Ανοιχτό δεξιά διάστημα : [, ) iv. Ανοιχτό αριστερά διάστημα : (, ] v. (, ] vi. (, ) vii. [, ) viii. (, ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

34 ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Δεν αντιστρέφουμε τα μέλη μιας ανισότητας, εκτός αν ξέρουμε το πρόσημο τους. Ισχύει : Αν, ομόσημοι και τότε Αν, ετερόσημοι και τότε Δεν υψώνουμε στο τετράγωνο τα μέλη μιας ανισότητας, εκτός αν ξέρουμε ότι και τα δυο είναι θετικά οπότε η φορά παραμένει ίδια ή ότι και τα δυο είναι αρνητικά οπότε η φορά αλλάζει. Δεν μπορούμε να κάνουμε «χιαστή» σε ανισοτικές σχέσεις, εκτός αν ξέρουμε το πρόσημο των παρανομαστών οπότε και κάνουμε απαλοιφή. Πρόσθεση ή πολλαπλασιασμό κατά μέλη γίνεται μόνο σε ανισότητες που έχουν την ίδια φορά. Δεν γίνεται ούτε αφαίρεση, ούτε διαίρεση κατά μέλη. 0 0,, 0 Όπως είπαμε αν τότε ισχύει :, είναι θετικοί αριθμοί και ν φυσικός διαφορετικός του μηδέν,. Αν όμως, είναι τυχαίοι πραγματικοί αριθμοί τότε για κάθε ν φυσικό αριθμό ισχύει : (το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα). 0, ή,, _ ά Όμως ισχύει ότι :, _ ό ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση σελ. 59 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να δείξετε ότι : i. 9 6 ii. Λύση : i ( ) 0 που ισχύει. ii. 0 0 που ισχύει.. (Άσκηση σελ. 59 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να δείξετε ότι : 0. Πότε ισχύει η ισότητα; Λύση : ( ) 0 που ισχύει καθώς ( ) 0 και 0 άρα και για το άθροισμα τους θα ισχύει ότι ( ) 0. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

35 Για την ισότητα : 0 0 ( ) 0 ( ) 0 0 και 0 0. Άρα η ισότητα ισχύει αν 0. (Άσκηση σελ. 59 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς και y σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις : i. Αν ( ) ( y ) 0 ii. Αν y 4y 5 0 Λύση : i. ( ) ( y ) 0 ii. ( ) 0 0 και ( y ) 0 y 0 y y 4y 5 0 y 4y 4 0 ( ) ( y ) 0 ( ) 0 0 και ( y ) 0 y 0 y 4. (Άσκηση 4 σελ. 60 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Αν 4,5 4, 6 και 5, y 5, 4, να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή καθεμίας από τις παραστάσεις : i. y ii. y iii. iv. y y Λύση : i. 4,5 4, 6 () και 5, y 5, 4 () Προσθέτω κατά μέλη τις () και () και έχω : 4,5 5, y 4,6 5,4 9,8 y 0 ii. Επειδή δεν γίνεται αφαίρεση ανισοτήτων κατά μέλη, θα σχηματίσω το y πολλαπλασιάζοντας τη () με - οπότε έχω : 5, y 5, 4 5,4 y 5, () Προσθέτω κατά μέλη τις () και () και έχω : 4,5 5,4 y 4,6 5, 0,9 y 0,7 iii. Επειδή δεν γίνεται διαίρεση ανισοτήτων κατά μέλη, θα σχηματίσω το y. Για να γίνει αυτό αντιστρέφουμε τα μέλη της () που είναι θετικά οπότε έχω : (4). Πολλαπλασιάζω κατά μέλη () και (4) και έχω : 5,4 y 5, 4,5 4,6 4,5 4,6 5,4 y 5, 5,4 y 5, 5, y 5,4 iv. Πρέπει να σχηματίσω τα, y. Τα μέλη των () και () είναι θετικά, άρα αν τα υψώσω στο τετράγωνο δεν αλλάζει η φορά τους. Δηλαδή : (4,5) (4,6) 0,5,6 (5) (5,) y (5,4) 8,09 y 9,6 (6) Προσθέτω κατά μέλη τις (5)&(6) και έχω 0,5 8,09 y,6 9,6 48,4 y 50, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 4

36 5. (Άσκηση 6 σελ. 60 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Αν 0, να δείξετε ότι. Λύση : Έχω ότι 0 άρα 0 ομοίως και 0 άρα 0 Στην ανισότητα απαγορεύεται το χιαστή, μπορώ όμως να κάνω απαλοιφή παρανομαστών αφού γνωρίζω ότι το ΕΚΠ των παρανομαστών ( )( ) 0. Έχω : ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) που ισχύει από το δεδομένο (Άσκηση σελ. 60 Β ομάδας σχολικού βιβλίου) Αν, να δείξετε ότι. Λύση : 0 0 ( ) 0 ( ) 0 ( )( ) 0 ( )( ) 0 (). Αρκεί να δείξω ότι ισχύει η σχέση (). Από τη σχέση έχω ότι : 0 0. Επίσης : 0 0. Άρα ( )( ) 0 7. (Άσκηση 4 σελ. 60 Β ομάδας σχολικού βιβλίου) Να αποδείξετε ότι : i. 0 ii. 0 Λύση : i ( ) 0 που ισχύει. ii ( ) 0 που ισχύει. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 8. Αν,y είναι πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι : i. ii. 4y 4y iii. ( y) 4y 9. Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α,β να αποδείξετε ότι : i. ( ) ii. iii. ( )( ) 4 ( 4)( 4) 4( ) 0. Αν 0, να αποδείξετε ότι : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 5

37 i. ii. 4. Να αποδείξετε ότι : i. αν 4, τότε 5( ) 5 ii. αν και, τότε iii. αν 4 και, τότε ( ) 4. Να αποδείξετε ότι αν 6, τότε : i. 9 ii. 8. Αν οι αριθμοί,y είναι ομοσημοι με y, να αποδείξετε ότι : y. y 4y 4. Αν ισχύει : y z, να αποδείξετε ότι : α) y 7 y z β) z 5. Να βρείτε τους αριθμούς α και β για τους οποίους ισχύει: 0 i. ii. iii. 4 iv Αν α>0, να συγκρίνετε τους αριθμούς: i. και ii. και 7. Να αποδείξετε ότι: i ii Αν ισχύει <α< και -<β<-, να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών περιέχεται η τιμή καθεμίας από τις παραστάσεις: i. 4α-β ii. iii. αβ- 9. Αν και y 5, να αποδείξετε ότι : i. y 9 ii. 8 y 5 iii. 0 y iv. 5 y 0. Αν και 7, να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών είναι οι παραστάσεις : i. 5 ii. 4 iii.. α) Να αποδειχθεί ότι: 4 β) Ένα ορθογώνιο, του οποίου οι διαστάσεις είναι και y, έχει περίμετρο 0m. i. Να εκφραστεί το y με τη βοήθεια του. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

38 ii.να εκφραστεί το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου με τη βοήθεια του, χρησιμοποιώντας τη σχέση του ερωτήματος (α). iii. Να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν Ε είναι μικρότερο ή ίσο των 5m. ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΟΤΗΤΑ. :.. 4. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

40 . ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισμός Απόλυτης Τιμής :, 0, 0 Συνέπειες του Ορισμού :. 0. και. 4. Για κάθε 0 ισχύει : ή π.χ. 5 5 ή 5 π.χ. ή 4 ή 5. ή π.χ. ( ) 6 9 ή ( ) 6 4 Ιδιότητες Απολύτων Τιμών :., π.χ. 4 ( )( ). 4 4 ( )( ), π.χ.. Απόσταση Δυο Αριθμών : Ισχύει : d (, ), π.χ. d ( 4,) π.χ. d (,) ή 5 8 ή Επίσης :. d(, ) (, ) 0 0. d(, ) (, ) (, ), ή , 0 π.χ. π.χ. 4 d (, ) 4 ( 4, 4) ( 7, ) ή 7 4 d(,4) (,4 ) (4, ) (,) (6, ) 9 4 ή, ή, 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

41 ΠΡΟΣΟΧΗ!!! ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ Όταν σε μια άσκηση υπάρχουν απόλυτες τιμές και θέλω να απαλλαγώ από αυτές τότε : Αν η παράσταση που βρίσκεται μέσα στην απόλυτη τιμή είναι πάντα θετική, τότε φεύγει η απόλυτη τιμή και η παράσταση που είναι μέσα της γράφεται όπως είναι. Δηλ. π.χ., επειδή 0 για κάθε. π.χ. 7 7, επειδή 7 0 Αν η παράσταση που βρίσκεται μέσα στην απόλυτη τιμή είναι πάντα αρνητική, τότε η απόλυτη τιμή γίνεται παρένθεση και βγαίνει ένα μείων (-) απέξω. Δηλ. π.χ. ( ), επειδή 0 για κάθε. π.χ. 8 ( 8 ) 8, επειδή 8 0. Αν η παράσταση που βρίσκεται μέσα στην απόλυτη τιμή δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο τότε πρέπει να διακρίνω περιπτώσεις με βάση τον ορισμό. ( ),, ( ) 0,, 0 ( ). Δηλ ( ),, ( ) 0 ( ),, 0,,,, Το ίδιο μπορεί να γίνει με πινακάκι και περιπτώσεις : Μηδενίζω την παράσταση που βρίσκεται μέσα στην απόλυτη τιμή, βρίσκω τη ρίζα ή τις ρίζες της και κάνω πινακάκι. Από το πινακάκι διακρίνω τις αντίστοιχες περιπτώσεις και βγάζω το πρόσημο της παράστασης στο διάστημα που θέλω. Δηλ., το δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο άρα, Αν ή [, ) τότε (αφού 0 για κάθε [, ) ) Αν ή (, ) τότε ( ) (αφού 0 για κάθε (, ) ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 40

42 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση σελ. 66 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς απόλυτες τιμές. i. ii. 4 iii. 4 iv. Λύση : i. Επειδή 0, τότε ii. Επειδή 4 0, τότε 4 ( 4) 4 4 iii. Επειδή 0 και 4 0, τότε 4 ( ) 4 4 iv. Επειδή 0 και 0, τότε 0. (Άσκηση σελ. 66 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Αν 4 να γράψετε χωρίς απόλυτες τιμές την παράσταση : 4 Λύση : Επειδή 4, τότε : 0 και 4 0 Οπότε : 4 ( 4) 4. (Άσκηση σελ. 66 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να γράψετε χωρίς απόλυτες τιμές την παράσταση : 4 όταν : i. ii. 4 Λύση : i. Επειδή 0, επίσης άρα και Οπότε : 4 ( ) (4 ) 4 ii. Επειδή , επίσης 4 άρα και 0 Οπότε : 4 (4 ) 4 4. (Άσκηση 4 σελ. 67 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Αν, να βρείτε την τιμή της παράστασης Λύση : Έχω : ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 4

43 5. (Άσκηση σελ. 68 Β ομάδας σχολικού βιβλίου) Αν να δείξετε ότι i. ii. Λύση : i. Επειδή 0 Οπότε : ii. Επειδή 0 ( ) Οπότε : ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 6. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις : i ii. 5 4, iii Αν, να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : i. ii. iii. 8. Αν, να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : 4 5 και Αν 0, να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : και 5 0. Να γράψετε χωρίς απόλυτες τιμές την παράσταση : όταν : i. ii. iii.. Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής: i. Α= - ii. Β= + + iii. Γ= - - iv. Δ= - 4- v. Ε= vi. Ζ= - -. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις : 4 5 i. ii. B= iii.γ= 6 v. Ε= vi. iv. Δ=, και ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Να αποδείξετε ότι: i. 4 ii. ( a ) iii. ( ) iv. ( )( ) 4. Αν α<<β, να βρείτε την τιμή της παράστασης: Κ=d(,α)+d(,β)-d(α,β)

44 5. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Απόλυτη τιμή Απόσταση Διάστημα ή ένωση διαστημάτων < 4 > 5 [,] ( 6,6) (, 8) [8, ) (, 0) (0, ) d (,) 5 d (, 4) 7 d (, ) 5 d (,) ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΟΤΗΤΑ. : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 4

46 .4 ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισμός Τετραγωνικής Ρίζας : Τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με και είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον α. Δηλαδή :, με 0 και 0. Η, με 0, παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης. Ιδιότητες Τετραγωνικής Ρίζας : 4. Αν 0, τότε : ή 5. Αν, 0, τότε : και 6. Για κάθε πραγματικό αριθμό α είναι :, 0 (Προσοχή : ) Ορισμός ν-οστης Ρίζας : Η ν-οστη ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με και είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στη ν, δίνει τον α. Δηλαδή :, με 0 και 0. Η, με 0, παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης. π.χ. 7 γιατί 7. Η 7 είναι η μη αρνητική ρίζα της εξίσωσης 7. Επίσης : Ιδιότητες Ριζών :. Αν 0, ενώ, τότε : ή, αλλά και. Αν 0 και ν άρτιος τότε. Αν, 0, τότε : και, 0 4. Αν 0, τότε : 5. Αν 0, τότε : 6, π.χ , π.χ π.χ Αν 0, μ ακέραιος και ν θετικός ακέραιος, τότε ορίζουμε : π.χ., π.χ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 45

47 ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Όταν κάτω από τη ρίζα υπάρχει αριθμός που είναι τέλειο τετράγωνο τότε εύκολα υπολογίζω το αποτέλεσμα. π.χ. 5 5, 44 κτλ. Όταν όμως ο αριθμός δεν είναι τέλειο τετράγωνο κοιτώ μήπως μπορώ να απλοποιήσω τη ρίζα γράφοντας τον αριθμό σαν γινόμενο δυο αριθμών εκ των οποίων ο ένας να είναι τέλειο τετράγωνο. π.χ π.χ π.χ Όταν έχω κλάσμα που στον παρανομαστή υπάρχει μια ρίζα, τότε πολλαπλασιάζω αριθμητή και παρανομαστή με τη ρίζα αυτή ώστε να προκύψει κλάσμα που στον παρανομαστή δεν έχει ρίζα. π.χ. π.χ. Όταν έχω κλάσμα που στον παρανομαστή υπάρχει παράσταση της μορφής,,, τότε για να απαλλαγώ από τη ρίζα στον παρανομαστή πολλαπλασιάζω αριθμητή και παρανομαστή με τη συζυγή παράσταση του παρανομαστή. ( 5 ) π.χ ( 5 ) ( 5 ) π.χ π.χ. 5 6 ( ( 5 6 ( 5 6) ( 6) 5 6) ( ) ) ( ) Απαραίτητη προϋπόθεση όταν έχουμε ρίζα είναι η υπόριζη ποσότητα να είναι μεγαλύτερη ή ίση με το μηδέν. π.χ. η παράσταση έχει νόημα μόνο όταν 0 π.χ. η παράσταση 6 έχει νόημα μόνο όταν π.χ. η παράσταση 4 δεν έχει νόημα, δηλαδή είναι λάθος, αφού 4 0 Αν, y 0, τότε ισχύει η ισοδυναμία : y y ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 46

48 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση σελ. 74 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να υπολογίσετε τις ρίζες : i ii iii. 0, 0 0, , , 0000 Λύση : i ii iii. 0, , , , (Άσκηση σελ. 74 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς τις ρίζες : i. ii. iii. iv. Λύση : ( 4) ( 0) ( ) 4 40 i. ( 4) 4 ( 4) 4 4 ii. ( 0) 0 0 iii. ( ), _ 0, _, _ ( ), _ 0, _, _ iv (Άσκηση σελ. 74 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να δείξετε ότι : ( 5) ( 5) Λύση : Έχω ( 5) 5 5 ( 5) ( 50 5) 5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 47

49 4. (Άσκηση 4 σελ. 74 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να δείξετε ότι : Λύση : Πρώτα πρέπει να πάρω περιορισμούς, πρέπει : () και 0 (). Άρα από () και () έχω 5. ( )( ) Έχω : ( ) (Άσκηση 5 σελ. 74 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να δείξετε ότι : i Λύση : i. Έχω (Άσκηση 6 σελ. 74 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να δείξετε ότι : ii. 5 5 Λύση : 5 5 ii. Έχω (Άσκηση 7 σελ. 74 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να δείξετε ότι : 5 ii. Λύση : ii. Έχω (Άσκηση 8 σελ. 74 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να δείξετε ότι : ii. Λύση : ii. Έχω (Άσκηση 0 σελ. 75 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να μετατρέψετε τις παρακάτω παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητούς παρανομαστές : 7 6 iii. 7 6 Λύση : 6 iii. Έχω ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 48

50 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 0. Να κάνετε τις πράξεις: 5 5 ii iii. i iv. 5 5 v vi Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: i. Α= ( 48 7) ii. Β= ( 50 8) 8 iii. Γ= ( 0 45)( 80 5) iv. Δ= ( 6 54) 4. Να κάνετε τις πράξεις: i. iii. ( 5 ) ( 5 ) ii. ( 7 6)( 7 6) ( ) 6 iv. 5 ( 5 ). Να δείξετε ότι : i. ii. iii. 6 5 iv Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζονται οι παραστάσεις : i. ii. 4 4 iii Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζονται οι επόμενες παραστάσεις. i. Α= ii. Β= 6 5 iii. Γ= 4 7 iv. Δ= Αν ισχύει ότι: και y να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: i. Α= ( y ) ii. Β= y iii. Γ= y iv. Δ= 7. Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: y y i. Α= 8 ii. Β= ( 50 ) 6 6 iii. Γ= ( 5 ) (7 0) iv. Δ= 8 8. i. Να βρείτε τα αναπτύγματα ( ) και ( ). ii. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α= 9. Αν ισχύει -<<, να απλοποιήσετε την παράσταση Α= ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 49

51 0. Δίνεται η παράσταση: Α= ( 4 )( 4 ) i. Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η παράσταση Α. ii. Να απλοποιήσετε την παράσταση Α.. Να δείξετε ότι : Να δείξετε ότι : ( 0) (5 0). Να μετατρέψετε τις παρακάτω παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητούς παρανομαστές: i. ii. iii. iv. v Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : i ii. 4 ( ) Αν, 0, να αποδείξετε ότι: i. ( ) ii. ( ) 4 iii. ( )( ) ( ) iv Δίνεται ο αριθμός: α= ( ) i. Να βρείτε τον αριθμό α. ii. Να βρείτε τον αριθμό β= 8( iii. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α= ( 6 )( ) 7. Να μετατρέψετε τα επόμενα κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρανομαστή: i. 8 iv. ( 5) 0 ii v. 6 5 ( 7 6) 4 iii. ( ) 6 vi. 7 4 ( 5 ) 8. Αν α 0, να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις με τη μορφή μιας ρίζας: i. Α= ii. Β= 5 iii. Γ= iv. Δ= Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις : i. 4 4, αν d (,) ii., αν d (, ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 50

52 ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΟΤΗΤΑ.4 : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 5

54 . ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ κάθε αριθμός που την επαληθεύει λέγεται ρίζα ή λύση της εξίσωσης. Οι αριθμοί α,β λέγονται συντελεστές της εξίσωσης. Αν α 0, η () έχει μόνο μια λύση (ρίζα), την. Αν α=0 και β 0, η () είναι αδύνατη (δεν έχει λύση). Αν α=0 και β=0, η () είναι ταυτότητα ή αόριστη (αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό ). ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 5. (Άσκηση σελ. 8 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις εξισώσεις : iii. 4 ( ) iv Λύση : iii. 4 ( ) iv. Πρώτα από όλα θέλω να απαλλαγώ από τα κλάσματα. Βρίσκω ( 4,5,0) 0 και στη συνέχεια πολ/ζω κάθε όρο με το ΕΚΠ ώστε να κάνω απαλοιφή (4,5,0) παρανομαστών ( 4 ) 5( ) (Άσκηση σελ. 8 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις εξισώσεις : iii. ( ) ( ) iv. Λύση : iii. ( ) ( ) Η εξίσωση είναι αδύνατη (δηλ. δεν επαληθεύεται για καμία τιμή του, καμία λύση) iv. 6 6 (5 ) Η εξίσωση είναι ταυτότητα (δηλ. αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό, άπειρες λύσεις) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 5

55 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 7. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. 5( ) ii. 6 iv. 4 6 ( ) 5 6 iii Δίνονται οι εξισώσεις: ( ) () και (6) 5 ( 4 ) (). 4 Να βρείτε τον αριθμό μ, ώστε οι εξισώσεις () και () να έχουν κοινή λύση. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Σε μια ο βάθμια εξίσωση 0, αν οι συντελεστές α,β είναι παράμετροι, τότε η εξίσωση λέγεται παραμετρική. Στις παραμετρικές εξισώσεις ο άγνωστος συνήθως συμβολίζεται με ενώ η παράμετρος με λ ή μ ή κάποιο άλλο γράμμα. Έτσι όταν χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους, κάθε ορος που περιέχει το θεωρείται άγνωστος και μεταφέρεται στο ο μέλος, ενώ κάθε ορος που περιέχει το λ (ή μ κτλ) θεωρείται γνωστός και μεταφέρεται στο ο μέλος. Για να λύσουμε μια παραμετρική ο βάθμια εξίσωση : Βήμα : φέρνω την εξίσωση στη μορφή Βήμα : βρίσκω τις τιμές της παραμέτρου για τις οποίες ισχύει : 0 Βήμα : όταν 0 η εξίσωση έχει ακριβώς μια λύση τη Βήμα 4 : για τις τιμές της παραμέτρου που ισχύει 0, αντικαθιστώ στην αρχική εξίσωση και προκύπτει είτε αδύνατη είτε ταυτότητα (αόριστη) ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 9. Να λύσετε την εξίσωση : για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου. Λύση : Βήμα : ( ) Βήμα : 0 ή 0 0 ( )( ) 0 ή 0 Βήμα : Αν και η εξίσωση έχει μοναδική λύση : ( ) ( )( ) Βήμα 4 : Αν τότε : ( ) ( ) 0 0 είναι ταυτότητα Αν τότε : ( ) ( ) 0 είναι αδύνατη. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 54

56 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 40. Να λύσετε την εξίσωση : 4 για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου. 4. Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ, να λυθούν οι εξισώσεις i. ( ) ii. ( ) iii. ( 4) 4 iv. ( ) 4. Να λύσετε την εξίσωση : ( 4) 4 4( ) για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου. 4. Έστω η εξίσωση : ( 5) 6( 5) (). Να βρεθεί για ποιες τιμές του η εξίσωση () i. Έχει λύση το ii. Έχει μοναδική λύση το iii. Είναι αδύνατη. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ Οι εξισώσεις αυτές λύνονται με τη βοήθεια της πρότασης : «Ένα γινόμενο παραγόντων είναι μηδέν, όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι μηδέν». Η διαδικασία που ακλουθούμε είναι η εξής : Βήμα : μεταφέρω όλους τους όρους στο ο μέλος, οπότε στο ο μένει μηδέν Βήμα : παραγοντοποιώ το ο μέλος, ώστε να σχηματιστεί γινόμενο παραγόντων ισο με το μηδέν, οπότε εφαρμόζουμε την παραπάνω πρόταση. ΘΥΜΗΣΟΥ : ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΚΟΙΝΟΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ 4. ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ π.χ. y 5y y(y 5), π.χ. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 5. ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ π.χ. 5 0 ( 4) 5( 4) ( 4)( ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ. ΔΙΑΦΟΡΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ 5). ΔΙΑΦΟΡΑ ΚΥΒΩΝ ( )( ). ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΥΒΩΝ ( )( ) π.χ. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις : i) 6 4 (4 )(4 ) ii) ( ) 8 ( ) 9 ( 9)( 9) ( 0)( 8) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 55

57 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 44. (Άσκηση 7 σελ. 84 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ( 4) ( 4) ( 4) 0 ii. ( ) ( )(4 ) 0 Λύση : i. ( 4) ( 4) ( 4) 0 ( 4)( ) 0 ( 4)( ) ή 0 ii. ( ) ( )(4 ) 0 ( ) (4 ) ( ) ( )(4 ) 0 ( ) 0 0 ( )( 4 ) 0 ( )( ) 0 ή (Άσκηση 0 σελ. 84 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις εξισώσεις : i. 0 ii. ( )( ) 0 Λύση : i. 0 ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 0 ή 0 ii. ( )( ) 0 ( ) ( )( ) 0 ( )( ) 0 ( )( ) 0 0 ή 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 46. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ( )( ) ( )( ) ii. ( 5) 5 0 iii. ( 7) 49 0 iv. ( ) ( )( ) 0 v. ( ) vi. ( 64)( ) ( 4)( 8) vii. 4 4( )( 4) 0 viii. i. i. ( ) ( ). ( 4) [( ) ( 6)] 6 ( ) ( 5) 6 0 ( ) (0 7) ( )( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 56

58 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4 : ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Για να λύσω μια κλασματική εξίσωση, δηλ. εξίσωση που έχει άγνωστο στον παρανομαστή, Βήμα : παραγοντοποιώ τους παρανομαστές και βρίσκω το ΕΚΠ τους, Βήμα : παίρνω περιορισμούς, Βήμα : πολλαπλασιάζω κάθε όρο με το ΕΚΠ ώστε να γίνει απαλοιφή παρανομαστών και λύνω την εξίσωση που προκύπτει, Βήμα 4 : ελέγχω αν οι λύσεις που βρήκαμε ικανοποιούν τους περιορισμούς. 47. (Άσκηση σελ. 84 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ii. 4 Λύση : i. ( )( ) ( )( ) Πρέπει : ( )( ) 0 & Έτσι έχω : ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) απορρίπτεται. Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη. ii. 4 4 ( ) ( ) Πρέπει : ( ) 0 0 & 0 4 Έτσι έχω : ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ταυτότητα δηλ. η εξίσωση επαληθεύεται για κάθε,0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 48. Να λύσετε τις εξισώσεις : 5 i. ii. 4 iv. v. 7 5 iii vi ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 57

59 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 5 : ΜΟΡΦΗ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ Οι εξισώσεις αυτές έχουν ή μπορούν να πάρουν μια από τις επόμενες μορφές : ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ f () για 0 δίνει f () ή f () για α=0 δίνει f()=0 και για α<0 είναι αδύνατη π.χ. Να λυθεί η εξίσωση : Λύση: ή 4 ή ή =- ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ f ( ) g( ) f ( ) g( ) ή f ( ) g( ) π.χ. Να λυθεί η εξίσωση : Λύση: ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ f ( ) g( ) 9 ( ) 6 9 ή ( ) για g ( ) 0, έχω : f ( ) g( ) f ( ) g( ) ή f ( ) g( ) για g ( ) 0, η εξίσωση f ( ) g( ) είναι αδύνατη π.χ. Να λυθεί η εξίσωση : Λύση: πρέπει 0. Έτσι για έχω :,. ή ( ),. ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4 f ( ) g( ) h( ) Σε αυτή την περίπτωση βρίσκω τις ρίζες των f ( ) 0 και g ( ) 0, φτιάχνω πινακάκι στο οποίο βάζω τις ρίζες των παραπάνω εξισώσεων και στη συνέχεια διακρίνω περιπτώσεις για τα αντίστοιχα διαστήματα που δημιουργούνται. π.χ. Να λυθεί η εξίσωση : Λύση: () Έχω : 0 και Διακρίνουμε τις περιπτώσεις : Αν (, ) η () γίνεται : ( ) ( ) 5 αδύνατο γιατί (, ) Αν [, ) η () γίνεται : ( ) (δεκτή) Αν [, ) η () γίνεται : ( ) (δεκτή) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 58

60 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 49. (Άσκηση 4 σελ. 84 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις εξισώσεις : i. 5 ii. 4 iii. Λύση : 5 i. 5 ή ii. 4 5 iii., πρέπει ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 8 ή 4 ή 4 ( ) ή 4 ή ή 0 ( ) 4 5 ή 5. Έτσι για έχω :,. ή, ή 50. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ii. 5 iii. 4 4 iv. v. vi Να λύσετε τις εξισώσεις : 5 i. ii. 4 4 iii. ( 4) iv. v. ( 4) 6 0 vi. 4 vii viii. i i iii. iv. 5. Δίνεται η παράσταση: Α= 9 9 v. ii i. Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η παράσταση Α και να την απλοποιήσετε. ii. Να λύσετε την εξίσωση Α=. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 59

61 v. Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Έχουν τη μορφή *,. Οι λύσεις της εξίσωσης είναι : ) Αν α>0 και ν περιττός έχει ακριβώς μια λύση a ) Αν α>0 και ν άρτιος έχει ακριβώς δυο λύσεις a ) Αν α<0 και ν περιττός έχει ακριβώς μια λύση a 4) Αν α<0 και ν άρτιος δεν έχει λύσεις (αδύνατη) π.χ.) Να λύσετε την εξίσωση : π.χ.) Να λύσετε την εξίσωση : π.χ.) Να λύσετε την εξίσωση : π.χ.4) Να λύσετε την εξίσωση : Αδύνατη. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση σελ. 87 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις εξισώσεις : i. 5 0 Λύση : i (Άσκηση σελ. 87 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις εξισώσεις : 5 ii. 4 0 Λύση : ii (Άσκηση 4 σελ. 87 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις εξισώσεις : 5 iii. 6 0 Λύση : iii. 6 0 ( 6) 0 0 ή αδύνατη. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 4. Να λύσετε τις εξισώσεις : 4 i. 8 0 ii. 6 0 iii iv. 8 0 v. 0 vi vii viii. 0 i. (5 ) ( ) i. ( )( 8) 0 ii. iv. 5 ( ) 8 8 v. ( ) 8 iii. 5 ( ) 6 48 vi. 4 ( 5) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 60

62 . ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 0 0 Διακρίνουσα 4 Αν Δ>0 τότε η εξίσωση έχει δυο ρίζες άνισες :, Αν Δ=0 τότε η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα : Αν Δ<0 τότε η εξίσωση είναι αδύνατη στο π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : 0 Είναι , έχει δυο πραγματικές ρίζες άνισες τις ( ), π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : Είναι , έχει μια πραγματική διπλή ρίζα την π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : ( ) 4 ( ) Είναι ( ) , άρα η εξίσωση είναι αδύνατη. Προσοχή : Όταν β=0 ή γ=0, τότε η εξίσωση 0 μπορεί να λυθεί πιο εύκολα χωρίς τη χρήση της διακρινουσας. Πιο συγκεκριμένα : Αν β=0 τότε 0 π.χ π.χ π.χ. 0 4 π.χ Αδύνατη. Αν γ=0 τότε 0 π.χ. 5 0 ( 5) 0 0 ή π.χ. 6 0 ( 6) 0 0 ή ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

63 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Να λύσετε τις εξισώσεις : i ii iii. ( ) iv. 9 0 v. 9 0 vi. 7 0 vii. 0 6 i i. 5 0 ii.. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ii. ( ) ( )( ) ( ) 6 iii. iv. ( ) ( )( ) v. ( ) ( ) ( )( ) ( 9) viii. 7 0 ( ) ( ) 5 ( )( ) ( ) ( )( ) 6 4( ) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΤΥΠΟΙ ΤΟΥ VIETA Σε περίπτωση που η εξίσωση : 0, 0 έχει πραγματικές ρίζες, τότε για το άθροισμα S και το γινόμενο P ισχύει : S S P P Οι παραπάνω τύποι είναι γνωστοί ως τύποι του Vieta. Με τη βοήθεια των τύπων του Vieta η εξίσωση : 0 μετασχηματίζεται : ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση 6 σελ. 94 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να βρείτε την εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς : i. και ii. και iii. 5 6 και 5 6 Λύση : i. Η εξίσωση θα είναι της μορφής S P 0 με S S S 5 και P P P 6, 0 S P 0 άρα ii. Η εξίσωση θα είναι της μορφής S P 0 με S S S και P P P, άρα 0 0 iii. Η εξίσωση θα είναι της μορφής S P 0 με S S S 0 και P P (5 6) (5 6) P 5 ( 6) P 5 4 P, άρα 0 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

64 4. (Άσκηση 7 σελ. 94 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να βρείτε δυο αριθμούς, εφόσον υπάρχουν, που να έχουν i. Άθροισμα και γινόμενο -5 ii. Άθροισμα 9 και γινόμενο 0. Λύση : i. Έχω S S και P P 5, άρα οι αριθμοί που ψάχνω θα είναι ρίζες της εξίσωσης : S P 0 5 0, έχω ( ) και, ii. Έχω S S 9 και P P 0, άρα οι αριθμοί που ψάχνω θα είναι ρίζες της εξίσωσης : και ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :, S P , έχω ( 9) Να βρείτε την εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς : i. -5 και ii. 4 και iii. 7 και 7 iv. 5 και Να βρείτε δυο αριθμούς, εφόσον υπάρχουν, που να έχουν i. Άθροισμα και γινόμενο - ii. Άθροισμα 6 5 και γινόμενο 6 iii. Άθροισμα και γινόμενο 7. Να προσδιορίσετε τις ρίζες των παρακάτω εξισώσεων, χωρίς να υπολογίσετε τη διακρίνουσα τους. i ii iii. 0 iv Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης παραστάσεων: i. ii. iii. iv. 0, να βρείτε τις τιμές των παρακάτω v. vi. 9. Έστω και οι ρίζες της εξίσωσης 5 0. Να βρείτε εξίσωση ου βαθμού που να έχει ρίζες τους αριθμούς: ii. iii. iv. i. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

65 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΟΡΦΗ : 0, 0 Επειδή : τότε : 0 0 και έπειτα θέτω 0, οπότε η αρχική εξίσωση γίνεται 0, 0 π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : 5 0 Λύση : Έχω Θέτω 0 άρα η εξίσωση γίνεται 5 0, , 5, ή 44, ή 7,. Για ή 5 Για 7 7 Αδύνατη. 4 ΜΟΡΦΗ : 0 (ΔΙΤΕΤΡΑΓΩΝΗ) 4 Έχουν τη μορφή 0, 0 και λύνονται με αντικατάσταση : 0 4 π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : Λύση : Θέτω 0 άρα η εξίσωση γίνεται Είναι 49 4 ( 4) , Για 4 4 Για Αδύνατη., ( 7) , ή ή,. ΜΟΡΦΗ : ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Για να λύσω μια κλασματική εξίσωση, δηλ. εξίσωση που έχει άγνωστο στον παρανομαστή, ον παραγοντοποιώ τους παρανομαστές και βρίσκω το ΕΚΠ τους, ον παίρνω περιορισμούς, ον πολλαπλασιάζω κάθε όρο με το ΕΚΠ ώστε να γίνει απαλοιφή παρανομαστών και λύνω την εξίσωση που προκύπτει, 4 ον ελέγχω αν οι λύσεις που βρήκαμε ικανοποιούν τους περιορισμούς. 8 π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : 8 8 Λύση : ( )( ) ( )( ) Πρέπει ( )( ) 0 & 8 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) (δεκτή) ή (δεκτή). ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 64

66 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 0. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις : i ii iii iv v vi Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις : i. ( 5) ii. (4 ) iii iv. ( 4) 7( 4) v vi vii viii i i ii. iii. 4 iv. 6 v vi Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις : i ii. 5 5 iii. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 65

67 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4 : ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Σε μια ο βάθμια εξίσωση 0, 0, αν οι συντελεστές α,β,γ είναι παράμετροι, τότε η εξίσωση λέγεται παραμετρική. Στις παραμετρικές εξισώσεις ο άγνωστος συνήθως συμβολίζεται με ενώ η παράμετρος με λ ή μ ή κάποιο άλλο γράμμα. Αν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι η εξίσωση 0, 0 : έχει δυο ρίζες άνισες, αρκεί να δείξουμε ότι 0 έχει πραγματικές ρίζες (δηλ. τουλάχιστον μια), αρκεί να δείξουμε ότι 0 έχει μια διπλή ρίζα, αρκεί να δείξουμε ότι 0 δεν έχει πραγματικές ρίζες (δηλ. είναι αδύνατη), αρκεί να δείξουμε ότι 0 Επιπλέον οι τύποι του Vieta μπορούν να συνδυαστούν με τις ρίζες τις εξίσωσης, δηλαδή αν θέλουμε η εξίσωση 0, 0 να έχει : δυο ρίζες άνισες θετικές, τότε πρέπει 0, P 0 και S 0 δυο ρίζες άνισες αρνητικές, τότε πρέπει 0, P 0 και S 0 δυο ρίζες άνισες ετερόσημες, τότε πρέπει 0, P 0 δυο ρίζες αντιστροφές, τότε πρέπει 0, P δυο ρίζες αντίθετες, τότε πρέπει 0, S 0 μια ρίζα θετική (διπλή), τότε πρέπει 0, S 0 μια ρίζα αρνητική (διπλή), τότε πρέπει 0, S 0 μια ρίζα το μηδέν (διπλή), τότε πρέπει 0, S 0 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση σελ. 9 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν πραγματικές ρίζες : i. ( ) 0, 0 ii. ( ) 0, 0 Λύση : i. Αρκεί να δείξω ότι 0. Έχω :,, ( ) 4 4 ( ) 4 4( ) ( ) 4( ) 0 ισχύει για κάθε (άρα και για κάθε 0 ) ii. Αρκεί να δείξω ότι 0. Έχω :,, 4 ( ) 4 4 ( ) 0 ισχύει για κάθε, (άρα και για κάθε 0 ) 4. (Άσκηση 4 σελ. 9 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η εξίσωση 0, 0 έχει διπλή ρίζα. Λύση : Για να έχει η εξίσωση μια διπλή ρίζα πρέπει 0, έχω :,, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 66

68 Οπότε ή ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 5. Να αποδείξτε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν πραγματικές ρίζες i. ( ) 0 ii Να βρείτε για ποιες τιμές του η εξίσωση : ( ) 0, έχει μια διπλή ρίζα. 7. Δίνεται η εξίσωση : ( ) 0 () i. Να αποδειχτεί ότι για κάθε έχει πραγματικές ρίζες. ii. Να βρεθεί για ποιες τιμές του η () έχει ρίζες αντίθετες. iii. Να βρεθεί για ποιες τιμές του η () έχει ρίζες αντίστροφες. 8. Δίνεται η εξίσωση : ( ) 0 () i. Να αποδειχτεί ότι για κάθε έχει πραγματικές ρίζες. ii. Να βρεθεί για ποιες τιμές του η () έχει ρίζες αντίθετες. iii. Να βρεθεί για ποιες τιμές του η () έχει ρίζες αντίστροφες. 9. Δίνεται η εξίσωση (6 ) έχει ρίζα τον αριθμό. i. Να βρεθεί ο λ ii. Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση έχει και άλλη μια ρίζα, διαφορετική του. 0. Αν, με, να δειχτεί ότι η εξίσωση : ( ) ( ) 0 έχει δυο ρίζες άνισες. *. Δίνεται η εξίσωση ( ) 0 με,. Να αποδείξετε ότι : i. η εξίσωση έχει δυο πραγματικές ρίζες άνισες, ii. οι αριθμοί και είναι ρίζες της εξίσωσης.. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ, ώστε η εξίσωση 4 0 να έχει: i. μια διπλή ρίζα, ii. δύο ρίζες ετερόσημες, iii. δύο ρίζες αρνητικές, iv. δύο ρίζες θετικές v. δύο ρίζες αντίστροφες.. Δίνεται η εξίσωση ( ) 0 () i. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση () έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. ii. Αν και είναι οι ρίζες της εξίσωσης (), να βρείτε το λ, ώστε να ισχύει: 4. Δίνεται η εξίσωση 0 (). i. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση () έχει πραγματικές ρίζες. ii. Να βρείτε το λ, ώστε η μια ρίζα της εξίσωσης () να είναι ίση με το τετράγωνο της άλλης. iii. Έστω και οι ρίζες της εξίσωσης () για την μικρότερη τιμή του λ που βρήκατε. α. Να υπολογίσετε την επόμενη παράσταση: Α= β. Να βρείτε εξίσωση ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς και. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 67

69 ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΓΙΑ ΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ... ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 68

74 .. 4. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

75 4. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Για να λύσω μια ανίσωση της μορφής : 0 ή 0 ος τρόπος : Λειτουργώ όπως και στις εξισώσεις πρώτου βαθμού, δηλαδή χωρίζω γνωστούς από αγνώστους, και στη συνέχεια διαιρώ με το συντελεστή του αγνώστου. Αν σε κάποιο στάδιο πολλαπλασιάσω ή διαιρέσω και τα μέλη με αρνητικό αριθμό αλλάζει η φορά της ανίσωσης. ος τρόπος : Αν θέλω να λύσω την ανίσωση με τη βοήθεια του πίνακα πρόσημου τότε λύνω την αντίστοιχη εξίσωση και στη συνέχεια βάζω τη ρίζα στο πινακάκι. Για τα πρόσημα ισχύει ότι δεξιά από το 0 είναι ομόσημο του α ενώ αριστερά ετερόσημο του α. Δηλ. - + α+β ετερόσημο α 0 ομόσημο α π.χ. Να λυθεί και με τους τρόπους η ανίσωση : 8 0 Λύση: ος ή (,6] Λύση: ος Έχω Άρα επειδή θέλω 8 0 τότε (,6] ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Για να βρούμε τις κοινές δυο (ή περισσοτέρων) ανισώσεων, τις λύνουμε ξεχωριστά και παριστάνουμε τις λύσεις τους στον ίδιο άξονα αριθμών. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Για να λύσουμε μια διπλή ανίσωση ( ) ( ) ( ), λύνουμε ξεχωριστά τις ανισώσεις ( ) ( ) και ( ) ( ) και βρίσκουμε τις κοινές τους ΛΥΜΕΝΕΣ λύσεις. ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 5. (Άσκηση σελ. 04 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις ανισώσεις : v. 4 6 vi. 4 vii Λύση : v. 6( ) ( ) ή, vi ( ) αδύνατη 0 vii ( ) ( ) που ισχύει για κάθε 54. (Άσκηση σελ. 04 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 74

76 Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισώσεις : 5 και Λύση : Έχω : () Επίσης : 4 4 () Άρα ή [, ). ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 55. Να λύσετε τις ανισώσεις : i. ( ) ii. 6 6 iii. 9 6 iv. 0 ( ) ( ) 5 0 v. vi Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισώσεις : i και ii και iii. 6( 6) 7( ) και Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ισχύει : i. 6 ii iii iv. 5 ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 75

77 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Για να λύσω μια παραμετρική ανίσωση, εργάζομαι ως εξής : Βήμα : Φέρνουμε την ανίσωση στη μορφή : ή Βήμα : Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις για το α, μια 0, μια 0 και μια 0 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 58. Να λύσετε την ανίσωση : ( ) για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ. Λύση : Έχω : ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) αν 0 τότε : (): ( ) ( ) ( ) ( ) αν 0 τότε : (): ( ) ( ) αν 0 τότε : (): ( ) ( ) 0 0 που ισχύει για κάθε. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 59. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ i. ( 5) 6 ii. ( 4) ( )( ) 4( ) ( ) iii. 4 iv Δίνεται η εξίσωση: i. Να λύσετε την εξίσωση για τις διάφορες τιμές του λ. ii. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει μοναδική λύση που είναι μεγαλύτερη του αριθμού Αν για τους αριθμούς α και β ισχύει: να λύσετε τις ανισώσεις: 6 i ii. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 76

78 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 6. (Άσκηση 5 σελ. 04 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις ανισώσεις : i. ii. 4 iii. 5 Λύση : i. ή (,) ii ή [,5] iii ή (,) 6. (Άσκηση 5 σελ. 04 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις ανισώσεις : i. ii. ή ή αλλιώς (, ] [, ) 4 4 ή 4 5 ή ή αλλιώς (, ) (5, ) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ Για τις ανισώσεις με απόλυτη τιμή υπάρχουν οι παρακάτω σημαντικές ιδιότητες : ) (α>0) ) ή (α>0) π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : 5 6 Λύση: ή αλλιώς, π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : 7 5 Λύση: () ή 7 9 () 5,, π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : Λύση: Αν συναληθευσω της () και () ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 77

79 iii. 5 5 ή 5 4 ή 6 ή ή αλλιώς (, ] [, ) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4 : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ (ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΜΟΡΦΕΣ) ΜΟΡΦΗ : ( ) ( ) ή ( ) ( ) εδώ θα πρέπει πρώτα να βγάλουμε το απόλυτο διακρίνοντας δυο περιπτώσεις ( ) 0 και ( ) 0. Έπειτα συναληθεύουν τις λύσεις με τον αντίστοιχο περιορισμό. ΜΟΡΦΗ : ( ) ( ) ή ( ) ( ) εδώ υψώνω και τα δυο μέλη στο τετράγωνο και σύμφωνα με την ιδιότητα, φεύγουν τα απόλυτα και λύνω κανονικά την ανίσωση. ΜΟΡΦΗ : ( ) ( ) ( ) ή ( ) ( ) ( ) εδώ πρέπει να κάνουμε απαλοιφή των απολύτων, σχηματίζοντας πίνακα προσήμων για τις παραστάσεις () και (). ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 64. Να λύσετε τις ανισώσεις : i. 5 ii. iii. Λύση: i. 5 () Αν 0 τότε η () γίνεται : Άρα και 8 δηλ. Άρα τελικά [,8 ) Αν 0 τότε η () γίνεται : 5 5 ii. Άρα και δηλ. Άρα τελικά (, ) 4 4 4( 4 4) 4 ( ) ( ) 4( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 78

80 iii. () Διακρίνουμε τις περιπτώσεις : Αν (, ) η () γίνεται : ( ) ( ) 6 0, οπότε αν το συναληθευσουμε με το (, ) παίρνουμε (, 0) Αν [, ) η () γίνεται : ( ) ( ) 6 5, οπότε αν το 5 συναληθευσουμε με το [, ) παίρνουμε, 5 Αν [, ) η () γίνεται : 4 ( ) 6 4, οπότε αν το συναληθευσουμε με το [, ) παίρνουμε [, ). Άρα οι λύσεις της ανισώσεις είναι (, 0) ή, ή [, ) δηλ. (, 0) ή 5, 5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 65. Να λύσετε τις ανισώσεις : i. 7 ii. iii. iv. 7 v. 4 5 vi. 6 9 vii. 5 viii. i Να λύσετε τις ανισώσεις : i. ii. 0 iii. 5 iv. 7 v. 4 5 vi. 4 vii. 7 4 viii. vi Να λύσετε τις ανισώσεις : i ii iii. iv ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 79

81 68. Να λύσετε τις ανισώσεις: i. 5 ii iii. 4 iv. 4 8 v. vi. 4 vii. 4 0 viii Να λύσετε τις ανισώσεις: i. ii. iii. iv. v. vi. vii. viii. 70. Να λύσετε τις ανισώσεις: i. ii. iii. 7 0 iv Να λύσετε τις ανισώσεις: i ii Δίνεται η εξίσωση: 4 ( ) 0 () i. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει μια διπλή ρίζα για κάθε πραγματικό αριθμό λ. ii. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ, η διπλή ρίζα της εξίσωσης είναι: i) ίση με 8, ii) μικρότερη του, iii) ανήκει στο διάστημα [4,6]. 7. Έστω Ω={0,,,,9} ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: i. Α= { / η εξίσωση 6 5 0έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες} ii. Β={ / το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης από το γινόμενο των ριζών της} 5 0 είναι μικρότερο 74. Έστω Α και Β δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, για τα οποία ισχύει ότι: η πιθανότητα να μην πραγματοποιηθεί το Β είναι 5 8 η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το Α και να μην πραγματοποιηθεί το Β είναι η πιθανότητα να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα Α και Β είναι 4. i. Να βρείτε τις πιθανότητες P( A), P( B), P( A B) ii. Να λύσετε την ανίσωση: ' ' P A B P B A P A B B A ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 80

82 ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

85 5. 6. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 84

86 4. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ Για να παραγοντοποιήσουμε ένα τριώνυμο της μορφής, 0 βρίσκω τη διακρίνουσα του και έπειτα : Αν 0 το τριώνυμο έχει ρίζες, ( )( ) π.χ. Να παραγοντοποιηθεί το τριώνυμο : Λύση : έχω 5 6 0, 5 4 0,, Άρα : 5 6 ( )( ) αρχικά και παραγοντοποιείται ως εξής : Αν 0 το τριώνυμο έχει διπλή ρίζα και παραγοντοποιείται ως εξής : ( ) π.χ. Να παραγοντοποιηθεί το τριώνυμο : Λύση : έχω 6 9 0, 6 6 0,, Άρα : 6 9 ( ) Αν 0 το τριώνυμο δεν παραγοντοποιείται. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση σελ. Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα : i. ii. Λύση : i. έχω 0, 9 8 0,, Άρα : ( )( ) ii. έχω 0, , Άρα : ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :, 5 4. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα : i. 5 ii. 9 6 iii. 4 iv. v. 6 vi ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 85

87 . Να παραγοντοποιήσετε και στη συνέχεια να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις, αφού πρώτα βρείτε τις τιμές του για τα οποίες ορίζονται. i. 5 9 ii. 4 iii. 7 6 iv. 4 4 v vi. 5 vii viii. 4 6 i i Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: i. iii : 5 6 ii : iv : : 5. Να λύσετε τις εξισώσεις: i iii. ii. 4 4 iv Δίνεται η παράσταση: Α= 4 i. Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η παράσταση Α. ii. Να απλοποιήσετε την παράσταση Α. iii. Να λύσετε την εξίσωση Α= ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 86

88 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 0 Για να λύσουμε μια ανίσωση της μορφής : 0 ή 0 αρκεί να βρούμε το πρόσημο του τριωνύμου και τις τιμές του που γίνεται θετικό ή αρνητικό. Πιο συγκεκριμένα λύνω την εξίσωση 0 βρίσκω τις ρίζες, και τις τοποθετώ στο πινακάκι από το οποίο και βρίσκω το πρόσημο τις συνάρτησης στο διάστημα που θέλω. η περίπτωση: Δ>0 Τιμές του χ - + Πρόσημο του αχ +βχ+γ ομόσημο του α 0 ετερόσημο του α η περίπτωση: Δ=0 Τιμές του χ - + Πρόσημο του αχ +βχ+γ ομόσημο του α ομόσημο του α η περίπτωση: Δ<0 Τιμές του χ - Πρόσημο του αχ +βχ+γ ομόσημο του α π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : Λύση: Έχω : άρα, Άρα επειδή θέλω τότε (,) (, ) ομόσημο του α Παρατήρηση Αν είχα να λύσω την ανίσωση θα έκανα ακριβώς την ίδια διαδικασία απλά στο τέλος θα έγραφα (,] [, ) Παρατήρηση Αν είχα να λύσω την ανίσωση θα έκανα ακριβώς την ίδια διαδικασία απλά στο τέλος θα έγραφα (,) Παρατήρηση Αν είχα να λύσω την ανίσωση θα έκανα ακριβώς την ίδια διαδικασία απλά στο τέλος θα έγραφα [,] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 87

89 π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : Λύση: Έχω : άρα (Διπλή ρίζα) Άρα επειδή θέλω τότε (Όταν η Διακρίνουσα είναι Ο το τριώνυμο είναι ανάπτυγμα ταυτότητας δηλ. 6 9 ( ) οπότε μπορούμε να καταλάβουμε ακόμα καλυτέρα γιατί ισχύουν τα πρόσημα στο πινακάκι) Παρατήρηση Αν είχα να λύσω την ανίσωση θα έκανα ακριβώς την ίδια διαδικασία απλά στο τέλος θα έγραφα Παρατήρηση Αν είχα να λύσω την ανίσωση θα έκανα ακριβώς την ίδια διαδικασία απλά στο τέλος θα έγραφα ότι είναι αδύνατη Παρατήρηση Αν είχα να λύσω την ανίσωση θα έκανα ακριβώς την ίδια διαδικασία απλά στο τέλος θα έγραφα π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : 5 0 Λύση: Έχω Άρα επειδή θέλω 5 0 τότε [5,5] ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 7. (Άσκηση σελ. Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Για τις διάφορες τιμές του, να βρείτε το πρόσημο των τριωνύμων : i. 5 ii. 4 4 iii. 4 Λύση : i. Για το τριώνυμο 5 έχω : 5 0, , 8 5, Άρα 5 0 για κάθε (, ) (5, ) και 5 0 για κάθε (,5). ii. Για το τριώνυμο 4 4 έχω : 4 4 0, 6 6 0, ρίζα) (Διπλή 8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 88

90 Άρα για κάθε (Άλλωστε θα μπορούσα εξ αρχής να παρατηρήσω ότι : 4 4 ( ). Γενικά όταν η Διακρινουσα ενός τριωνύμου είναι 0 τότε το τριώνυμο είναι ανάπτυγμα ταυτότητας) iii. Για το τριώνυμο 4 έχω : 4 0, Άρα 4 0 για κάθε. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να λύσετε τις ανισώσεις : i. 0 ii. 0 0 iii. 4 0 iv Να λύσετε τις ανισώσεις : i. 5 0 ii. 4 0 iii. 6 0 iv Να λύσετε τις ανισώσεις : i. ( ) 4( ) ii. 4( 5) ( 4)( 4) 0 iii. ( ) ( ) 4 ( ) iv Να βρείτε τις κοινές λύσεις των παρακάτω ανισώσεων : i. 0 και 0 ii. 0 και 8 0 iii και 4 0 iv. 6 0 και 0 v. 8 vi. 8 6 ( ) 8 5. Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει : i. 4 ( ) ii. ( )( ) ( 7) iii. 8 ( ) ( )( ). Να λύσετε τις ανισώσεις : i ii iii iv v. ( ) vi. ( ) Να λύσετε τις ανισώσεις : i. ii. 9 6 iii. iv. 4 v. ( 6) vi. 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 89

91 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Το τριώνυμο 0 διατηρεί σταθερό πρόσημο για κάθε, όταν : 0 Για το τριώνυμο 0 ισχύει : 0 για κάθε, όταν : 0 και a 0 0 για κάθε, όταν : 0 και a 0 Για το τριώνυμο 0 ισχύει : 0 για κάθε, όταν : 0 και a 0 0 για κάθε, όταν : 0 και a 0 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 5. (Άσκηση 4 σελ. 4 Β ομάδας σχολικού βιβλίου) Δίνεται η εξίσωση : 5 0,. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση : i. έχει ρίζες ισες ii. έχει ρίζες άνισες iii. είναι αδύνατη Λύση : i. Στην εξίσωση 5 0 () έχω :,, 5 Αρχικά για να είναι η εξίσωση ο βαθμια πρέπει 0 0. Έστω ότι 0 τότε η () γίνεται αδύνατη. Άρα πρέπει 0 Για να έχει η εξίσωση () ρίζες ισες θα πρέπει να ισχύει : 0 () 4( 5) ( 4) 0 ή. Όμως πρέπει 0, άρα ii. Για να έχει η εξίσωση () ρίζες άνισες θα πρέπει να ισχύει : 0 () 4( 5) Έχω : ( 4) 0 ή λ Άρα επειδή θέλω τότε (,0) (4, ), που ικανοποιεί και τον περιορισμό 0. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 90

92 iii. Για να είναι η εξίσωση () αδύνατη πρέπει : 0 () 4( 5) , άρα όπως προκύπτει από το παραπάνω πινακάκι (0,4) 6. (Άσκηση 5 σελ. 4 Β ομάδας σχολικού βιβλίου) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η ανίσωση 0 αληθεύει για κάθε. Λύση : Για να αληθεύει η ανίσωση 0 πρέπει να ισχύει : 0 και 0 Εδώ : 0, και. Άρα αρκεί 0. Έχω : 0 () Έχω : (9 4) 0 ή λ Άρα επειδή θέλω τότε 0,. 9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 7. Να βρείτε για ποιες τιμές του το τριώνυμο 4, με 0, διατηρεί σταθερό πρόσημο για κάθε. 8. Να βρείτε για ποιες τιμές του το τριώνυμο ( ) ( )( ), διατηρεί σταθερό πρόσημο για κάθε. 9. Να βρείτε για ποιες τιμές του η εξίσωση : ( ) ( ) 5 0 έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες. 0. Να βρείτε για ποιες τιμές του η εξίσωση : ( ) 0 έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες.. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η ανίσωση : ( ) 4 0 με, αληθεύει για κάθε.. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η ανίσωση : ( ) 0 με 0, αληθεύει για κάθε.. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η ανίσωση : 4 4( ) 4 0, αληθεύει για κάθε. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

93 ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

100 0... ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 99

104 4. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΗΛΙΚΟ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ : ( ) ( )... ( ) 0 Ή ( ) ( )... ( ) 0 Για να λύσουμε μια ανίσωση της μορφής ( ) ( )... ( ) 0 ή ( ) ( )... ( ) 0 Βήμα : βρίσκουμε τις ρίζες (αν υπάρχουν) των παραγόντων ( ), ( ),..., ( ) Βήμα : διατάσσουμε τις ρίζες σε έναν άξονα (από τη μικρότερη στη μεγαλύτερη) Βήμα : κάτω από τον άξονα σχηματίζουμε πίνακα με τα πρόσημα των παραγόντων, στα διαστήματα που χωρίζεται ο άξονας από τις ρίζες. Βήμα 4 : στην τελευταία γραμμή του πίνακα βρίσκουμε το πρόσημο του γινομένου εφαρμόζοντας τους κανόνες προσήμου : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση σελ. 7 Ομάδας σχολικού βιβλίου) Να βρείτε το πρόσημο του γινομένου : ( ) ( )( )( ) Λύση : Έχω : 0 0 ή 0, αδύνατη Σχηματίζουμε τον πίνακα προσήμων : () Άρα ( ) 0 για κάθε (, ), και ( ) 0. για κάθε,, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

105 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Να λύσετε τις επόμενες ανισώσεις: i. 0 ii. 4 0 iii. 4 0 iv vi. v Να λύσετε τις ανισώσεις: i ii iii. iv. 4 5 v vi Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: 5 0 και ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ : ( ) ( ) 0 ( ) Ή 0 ( ) ( ) ( ) Μια κλασματική ανίσωση της μορφής 0 ή 0 γράφεται ισοδύναμα ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ή ( ) ( ) 0 [όπου ( ) 0 ] και αυτό γιατί το γινόμενο και το πηλίκο δυο αριθμών έχουν το ίδιο πρόσημο. ( ) Μια κλασματική ανίσωση της μορφής ( ) γράφεται : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 [ ( ) ( ) ( )] ( ) 0 και λύνεται όπως ( ) ( ) η προηγούμενη. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 5. Να λυθεί η ανίσωση : Λύση: Πρέπει και 4 Έχω : 0 ( )( 5 4) ( )( 5 4) 0 0 ( ) 0 0, ή, 0 ή ή 4 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 04

106 Γινόμενο - Πηλίκο Άρα επειδή θέλω 0 ( )( 5 4) (Στο (,4) είναι ανοιχτό λόγο του περιορισμού) 6. Να λυθεί η ανίσωση : Λύση: Πρέπει και Έχω : 0 ( )( 5 6) ( )( 5 6) 0 0, ύ ή ή Γινόμενο - Πηλίκο τότε [,0] (,4 ). Άρα επειδή θέλω 0 ( )( 5 6) 0 τότε (,). 5 6 (Όταν μια παράσταση είναι πάντα θετική τότε δεν επηρεάζει το πρόσημο στην τελευταία σειρά στο πινακάκι. Οπότε θα μπορούσε να παραληφτεί εντελώς.) 8 7. Να λυθεί η ανίσωση : 8 Λύση: Έχω : 0 ( )( ) ( )( ) Πρέπει ( )( ) 0 &. (Σε αυτό το σημείο όμως δεν κάνω απαλοιφή παρανομαστών όπως στις αντίστοιχες κλασματικές εξισώσεις, αλλά ομώνυμα κλάσματα. Αυτό γιατί η απαλοιφή παρανομαστών δεν επιτρέπεται στις ανισώσεις καθώς η παράσταση με την οποία θα πολλαπλασιάσω κάθε όρο, δεν γνωρίζω αν είναι θετική ή αρνητική) 8 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 6 0 ( 6)( ) 0 Έχω : ( 6)( ) ή ή 0 ή ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 05

107 Γινόμενο Πηλίκο Άρα επειδή θέλω 0 ( 6)( ) 0 τότε (, ] (,) [, ). (Στο (-,) είναι ανοιχτό λόγο του περιορισμού) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 8. Να λύσετε τις ανισώσεις: 5 i. 0 ii iii. 0 iv Να λύσετε τις ανισώσεις: i. v. 45 ii. iii. 7 vi. iv. 0. Να λύσετε τις ανισώσεις: i. 0 ii Να λύσετε τις ανισώσεις: iv iii. i. 5 0 ii. 0. Να βρείτε για ποιες τιμές του λr, η εξίσωση : ρίζες ετερόσημες.. Δίνεται η εξίσωση: έχει δυο i. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές και άνισες ρίζες για κάθε λr. ii. Αν και είναι οι ρίζες της εξίσωσης, να βρείτε για ποιες τιμές του λ ισχύουν: α) β) 7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 06

108 5. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Γενικά ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση των φυσικών αριθμών,,,...,ν,... στους πραγματικούς αριθμούς. Ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο καλείται πρώτος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο καλείται δεύτερος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με κ.λ.π. Γενικά ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ένας φυσικός αριθμός ν καλείται ν-οστός ή γενικός όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με. Σε μια ακολουθία ο πρώτος όρος είναι ο, εκτός και αν έχει οριστεί διαφορετικά, ενώ ο ν-οστός όρος δεν είναι ο τελευταίος Όρος, εκτός κι αν έχει έτσι οριστεί. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Προσδιορισμός όρων μιας ακολουθίας, όταν γνωρίζουμε τον γενικό της όρο. Όταν γνωρίζουμε τον γενικό όρο μιας ακολουθίας, τότε για να βρούμε οποιονδήποτε όρο της, αρκεί να θέσουμε στον τύπο της. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 75. (Άσκηση σελ. 4 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να βρείτε τους πέντε πρώτους όρους των ακολουθιών : i) ii) iii) Λύση : i), 5, 7, 4 9, 5 4 4, 4 ii), 4, 8, 6, 5 iii), (Άσκηση σελ. 4 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να βρείτε τους πέντε πρώτους όρους των ακολουθιών : Αναδρομικός τύπος μιας ακολουθίας ονομάζεται μια σχέση που συνδέει δυο ή περισσότερους γενικούς όρους της ακολουθίας. Με τη βοήθεια του αναδρομικού τύπου μπορούμε να βρούμε οποιονδήποτε άλλο όρο της ακολουθίας. Για να ορίζεται μια ακολουθία αναδρομικά, απαιτείται να γνωρίζουμε: (i) Τον αναδρομικό της τύπο και (ii) Όσους αρχικούς όρους μας χρειάζονται, ώστε ο αναδρομικός τύπος να αρχίσει να δίνει όρους. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Προσδιορισμός αναδρομικού τύπου ακολουθίας, όταν γνωρίζουμε τον γενικό όρο της. Για να ορίσουμε αναδρομικά μια ακολουθία, συνήθως εργαζόμαστε ως εξής : ον Βρίσκουμε τον όρο ον Προσπαθούμε να εκφράσουμε τον όρο με τη βοήθεια του όρου. ον Βρίσκουμε όσους αρχικούς όρους χρειάζονται , 0, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 07

109 i), ii) 0, Λύση : i) Από τον αναδρομικό τύπο για : έχω : έχω : έχω : έχω : ii) Από τον αναδρομικό τύπο για : έχω : 0 έχω : έχω : 5 4 έχω : (Άσκηση σελ. 4 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να ορίσετε αναδρομικά τις ακολουθίες : i) 5 ii) iv) 5 Λύση : i) 5 6 Για να βρω μια σχέση που να συνδέει τους όρους και, υπολογίζω τη διαφορά : ( ) 5 ( 5) 5 5. Άρα. Άρα η ακολουθία ορίζεται αναδρομικά ως εξής : 6 και ii) Για να βρω μια σχέση που να συνδέει τους όρους και, υπολογίζω το πηλίκο :. Άρα. Άρα η ακολουθία ορίζεται αναδρομικά ως εξής : και iv) 5 8 Για να βρω μια σχέση που να συνδέει τους όρους και, υπολογίζω τη διαφορά : 5( ) (5 ) Άρα 5 5. Άρα η ακολουθία ορίζεται αναδρομικά ως εξής : 8 και 5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 08

110 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 78. Να βρείτε τους πέντε πρώτους όρους των ακολουθιών : i. ii. 4 iii. iv. 79. Να ορίσετε αναδρομικά τις ακολουθίες : (ΑΠΟ ΓΕΝΙΚΟ ΤΥΠΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ ΣΕ ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΟ) i. ii. iii. iv. v. vi. vii. 80. Να βρείτε το ν-οστό (γενικό) όρο των ακολουθιών : (ΑΠΟ ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΟ ΤΥΠΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ ΣΕ ΓΕΝΙΚΟ) i. και ii. 7 και iii. και iv. και v. 8 και 8. Δίνεται η ακολουθία ( ) με γενικό όρο 4. Να βρείτε : i. τους τέσσερις πρώτους όρους και τον 00 ο όρο της ii. τη διαφορά. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 09

111 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Μια ακολουθία λέγεται αριθμητική πρόοδος, αν κάθε όρος της (από τον δεύτερο και μετά) προκύπτει από τον προηγούμενο του με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Τον αριθμό αυτό τον συμβολίζουμε με ω και τον λέμε διαφορά της προόδου. Έτσι ισχύουν : ή Ο ν-οστός όρος μιας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο και διαφορά ω είναι ( ) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Προσδιορισμός και ω μιας αριθμητικής προόδου όταν γνωρίζουμε στοιχεία για διάφορους όρους της. Όταν έχουμε ως δεδομένα σχέσεις μεταξύ διαφόρων όρων μιας αριθμητικής προόδου, τότε αντικαθιστούμε όλους τους όρους σύμφωνα με τον τύπο ( ). (Ασκήσεις - 5 σχολικό βιβλίο Α ομαδας σελ. 9,0) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Αριθμητικός Μέσος Τρεις αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, αν και μόνο αν ισχύει :. Ο β λέγεται αριθμητικός μέσος των α και γ. (Ασκήσεις 6-7 σχολικό βιβλίο Α ομαδας σελ. 0) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Άθροισμα ν διαδοχικών όρων αριθμητικής προόδου Έστω μια αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω. Το άθροισμα S των πρώτων ν ( ) S ( (Ασκήσεις 8 - σχολικό βιβλίο Α ομαδας σελ. 0) όρων της δίνεται από τον τύπο : S, προκύπτει ο τύπος : ). Αν αντικαταστήσουμε το Υποπερίπτωση : αν το άθροισμα είναι της μορφής :... τότε αρχικά από τον τύπο ( ), υπολογίζω το ν ή το (ανάλογα με την εκφώνηση) και στη συνέχεια από τον τύπο S υπολογίζω το ζητούμενο άθροισμα. (Άσκηση 0 Α ομάδας σελ. 0, Ασκήσεις, Β ομαδας σελ. ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

112 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4 : Πως αποδεικνύουμε ότι μια ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος, όταν γνωρίζουμε τον ν-οστό όρο της. Για να αποδείξουμε ότι μια ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος, όταν γνωρίζουμε τον γενικό όρο της, εργαζόμαστε ως εξής : ον Βρίσκουμε τον όρο, θέτοντας όπου ν το ν+, στον τύπο του ον Υπολογίζουμε τη διαφορά ον Αν η παραπάνω διαφορά είναι σταθερός αριθμός (ανεξάρτητος του ν), τότε η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος, με διαφορά ω ιση με τον σταθερό αυτό αριθμό. (Άσκηση Β ομάδας σελ. ). (Άσκηση σελ. 9 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) (ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ) Να βρείτε το ν-οστό όρο των αριθμητικών προόδων : i. 7,0,,... iii. 5,,,... v. 6, 9,,... Λύση : i. Στην αριθμητική πρόοδο 7,0,,... έχω : 7 και 0 7 Άρα : ( ) 7 ( ) 7 4 iii. Στην αριθμητική πρόοδο 5,,,... έχω : 5 και 5 Άρα : ( ) 5 ( )( ) 5 8 v. Στην αριθμητική πρόοδο 6, 9,,... έχω : 6 και 9 6 Άρα : ( ) 6 ( )( ) 6. (Άσκηση σελ. 9 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) (ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ) Να βρείτε το ζητούμενο όρο σε καθεμία από τις αριθμητικές προόδους : 5 i. τον 5 της,,8,... vi. τον 47 της,,,... 4 Λύση : i. Στην αριθμητική πρόοδο,,8,... έχω : και 5 Άρα : (5 ) vi. Στην αριθμητική πρόοδο,,,... έχω : 4 και Άρα : 47 (47 ) (Άσκηση 6 σελ. 0 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) (ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ) i. Να βρείτε τον αριθμητικό μέσο των 0 και 40 ii. Να βρείτε για ποια τιμή του ο αριθμητικός μέσος των 5 και είναι ο. Λύση : 0 40 i. Ο αριθμητικός μέσος των 0 και 40 είναι ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

113 ii. Οι αριθμοί 5, και είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου 5 αν και μόνο αν ισχύει : (Άσκηση 8 σελ. 0 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) (ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ) Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 40 όρων των αριθμητικών προόδων : i. 7,9,,... Λύση : i. Στην αριθμητική πρόοδο 7,9,,... έχω : 7 και Άρα : S ( ) S40 7 (40 ) S S 5. (Άσκηση 0 σελ. 0 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) (ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Υπο/πτωση) Να βρείτε τα αθροίσματα : i Λύση : i. Οι αριθμοί,5,9,..., 97 αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου με και 5 4. Είναι 97 και ψάχνουμε το ν. Έτσι έχω : ( ) 97 ( ) Άρα : S S S 598 S (Εναλλακτικά θα μπορούσα να χρησιμοποιήσω και τον άλλο τύπο του αθροίσματος : 50 S50 (50 ) S S S ) 6. (Άσκηση σελ. Β ομάδας σχολικού βιβλίου) (ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4) Ο ν-ος ορος μιας ακολουθίας είναι 4. Να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι αριθμητική πρόοδος και να γράψετε τον πρώτο όρο της και τη διαφορά της. Λύση : Αρχικά βρίσκουμε τον όρο 4( ) , θέτοντας όπου ν το ν+, στον τύπο του δηλαδή : Στη συνέχεια υπολογίζουμε τη διαφορά 8 4 ( 4 ) ( Η διαφορά 4 είναι δηλαδή σταθερός αριθμός άρα η ακολουθία ) είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά 4 και πρώτο όρο : ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 7. Να βρείτε το ο όρο των αριθμητικών προόδων : i.,4,7,... ii. 9, 5,,... iii. 7,5,, Σε μια αριθμητική πρόοδο ( ) είναι και. Να βρείτε : i. τον 0 ο όρο της προόδου, ii. ποιος ορος της προόδου είναι ισος με 6. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

114 9. Σε μια αριθμητική πρόοδο ( ) είναι 5 και 7 9. Να βρείτε : i. τη διαφορά ω της προόδου ii. τον ο όρο της προόδου, iii. ποιος ορος της προόδου είναι ισος με Σε μια αριθμητική πρόοδο ( ) είναι 8 και. Να βρείτε : i. τον πρώτο όρο της προόδου ii. τον 9 ο όρο της προόδου, iii. ποιος ορος της προόδου είναι ισος με Να βρείτε τον αριθμητικό μέσο των αριθμών : i. 5 και 7 ii. και iii. και. Να βρείτε για ποια τιμή του ο αριθμητικός μέσος των και 7 είναι ο 5.. Να βρείτε για ποια τιμή του, οι αριθμοί : 5, 5, 6 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 4. Σε μια αριθμητική πρόοδο ( ) είναι 4 και. Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 0 όρων της προόδου. 5. Να βρείτε το άθροισμα των 0 πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου : i.,5,7,... ii. 8,,,... iii.,, 4, Να υπολογίσετε τα αθροίσματα : i ii iii i. Δίνεται αριθμητική πρόοδος (α ν ) και έστω S ν,s ν και S ν τα αθροίσματα των πρώτων S S S ν,ν και ν όρων της αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: ii. Σε μια αριθμητική πρόοδο (α ν ) ισχύει: Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 0 όρων της. 8. Σε μια αριθμητική πρόοδο (α ν ) είναι α 6 =8 και α =. Να βρείτε: i. Τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου ii. Πόσοι πρώτοι όροι της προόδου έχουν άθροισμα 4 iii. Το άθροισμα S= a 5 a 6... a 5 iv. Το άθροισμα S a a... a9 9. Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 50 θετικών πολλαπλασίων του. 0. Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 40 θετικών πολλαπλασίων του 5.. Να βρείτε το άθροισμα : i. των άρτιων αριθμών μεταξύ και 5 ii. των περιττών αριθμών μεταξύ 0 και 70 iii. των πολλαπλασίων του μεταξύ 40 και 00 iv. των πολλαπλασίων του 5 μεταξύ και 06. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

115 5. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Μια ακολουθία λέγεται γεωμετρική πρόοδος, αν κάθε όρος της (από τον δεύτερο και μετά) προκύπτει από τον προηγούμενο του με πολλαπλασιασμό επί του ίδιου πάντοτε αριθμού. Τον αριθμό αυτό τον συμβολίζουμε με λ και τον λέμε λόγο της προόδου. Έτσι ισχύουν : ή Ο ν-οστός όρος μιας γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο και λόγο λ είναι ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Προσδιορισμός και λ μιας γεωμετρικής προόδου όταν γνωρίζουμε στοιχεία για διάφορους όρους της. Όταν έχουμε ως δεδομένα σχέσεις μεταξύ διαφόρων όρων μιας γεωμετρικής προόδου, τότε αντικαθιστούμε όλους τους όρους σύμφωνα με τον τύπο. Στη συνέχεια συνήθως διαιρούμε κατά μέλη τις σχέσεις που προκύπτουν. (Ασκήσεις - 7 σχ. βιβλίο Α ομαδας σελ. 6-7) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Γεωμετρικός Μέσος Τρεις μη μηδενικοί αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, αν και μόνο αν ισχύει :. Ο β λέγεται γεωμετρικός μέσος των α και γ (Πρέπει να είναι πάντα θετικός αριθμός). (Άσκηση 8 σχ. βιβλίο Α ομαδας σελ. 7, Άσκηση σχ. βιβλίο Β ομαδας σελ. 8) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Άθροισμα ν διαδοχικών όρων γεωμετρικής προόδου Έστω μια γεωμετρική πρόοδος με λόγο 0. Το άθροισμα S των πρώτων ν όρων της δίνεται από τον τύπο : S. Αν αντικαταστήσουμε το, προκύπτει ο τύπος : S. Με τον τύπο αυτό υπολογίζουμε το άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας γεωμετρικής προόδου, χωρίς να γνωρίζουμε το πλήθος αυτών, αρκεί να γνωρίζουμε τα,, (Ασκήσεις 9-0 σχ. βιβλίο Α ομαδας σελ. 8) Υποπερίπτωση : αν το άθροισμα είναι της μορφής :... τότε αρχικά από τον τύπο, υπολογίζω το ν ή το (ανάλογα με την εκφώνηση) και στη συνέχεια από τον τύπο Α ομάδας σελ. 8) S υπολογίζω το ζητούμενο άθροισμα. (Άσκηση ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 4

116 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση σελ. 6 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) (ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ) Να βρείτε το ν-οστό όρο των γεωμετρικών προόδων : i.,6,,... ii.,,6,... vi. 8,6,,... Λύση : 6 i. Στην γεωμετρική πρόοδο,6,,... έχω : και Άρα : ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4 : Πως αποδεικνύουμε ότι μια ακολουθία είναι γεωμετρική πρόοδος, όταν γνωρίζουμε τον ν-οστό όρο της. Για να αποδείξουμε ότι μια ακολουθία είναι γεωμετριή πρόοδος, όταν γνωρίζουμε τον γενικό όρο της, εργαζόμαστε ως εξής : ον Βρίσκουμε τον όρο, θέτοντας όπου ν το ν+, στον τύπο του ii. Στην γεωμετρική πρόοδο,,6,... έχω : και Άρα : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 5 vi. Στην γεωμετρική πρόοδο 8,6,,... έχω : 8 Άρα : 8 και 8 6. (Άσκηση σελ. 7 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) (ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ) Να βρείτε το ζητούμενο όρο σε καθεμία από τις γεωμετρικές προόδους : i. τον 9 της,,,... iv. τον 0 της,,4,... 4 Λύση : i. Στην γεωμετρική πρόοδο,,,... έχω : 4 4 και Άρα : iv. Στην γεωμετρική πρόοδο,,4,... έχω : και Άρα : 0 ( ) 0 ον Υπολογίζουμε το πηλίκο ον Αν το παραπάνω πηλίκο είναι σταθερός αριθμός (ανεξάρτητος του ν), τότε η ακολουθία είναι γεωμετρική πρόοδος, με λόγο λ ισο με τον σταθερό αυτό αριθμό. (Άσκηση Β ομάδας σελ. 8) 9 ( 5 0 ) 0

117 . (Άσκηση 8 σελ. 7 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) (ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ) i. Να βρείτε τον γεωμετρικό μέσο των αριθμών 5 και 0 καθώς και των και. ii. Να βρείτε τον ώστε οι αριθμοί 4,, 9 να αποτελούν γεωμετρική πρόοδο. Λύση : i. Ο γεωμετρικός μέσος των 5 και 0 είναι ο Ο γεωμετρικός μέσος των και είναι ο ii. Οι αριθμοί 4, και 9 είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν ισχύει : ( ) ( 4)( 9) (Άσκηση 8 σελ. 0 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) (ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ) Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 0 όρων των γεωμετρικών προόδων : i.,,4,... Λύση : i. Στην γεωμετρική πρόοδο,,4,... έχω : και Άρα : S S S0 0 0 S 5. (Άσκηση 0 σελ. 8 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) (ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Υπο/πτωση) Να υπολογίσετε τα αθροίσματα : i Λύση : i. Οι αριθμοί,8,,..., 89 αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου με 8 και 4. Είναι 89 και ψάχνουμε το ν. Έτσι έχω : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Άρα : S S7 S S (Εναλλακτικά θα μπορούσα να χρησιμοποιήσω και τον άλλο τύπο του αθροίσματος : 89 4 S S S ) 6. (Άσκηση σελ. 8 Β ομάδας σχολικού βιβλίου) (ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4) Ο ν-ος ορος μιας ακολουθίας είναι. Να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι γεωμετρική πρόοδος και να γράψετε τους και λ. Λύση : Αρχικά βρίσκουμε τον όρο, θέτοντας όπου ν το ν+, στον τύπο του δηλαδή :

118 Στη συνέχεια υπολογίζουμε το λόγο : Ο λόγος πρόοδος με λόγο και πρώτο όρο : ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 6 9 είναι δηλαδή σταθερός αριθμός άρα η ακολουθία ( ) είναι γεωμετρική Να βρείτε το 8 ο όρο των παρακάτω γεωμετρικών προόδων : i.,,4,... ii.,6,8,... iii. 7 9,,,... iv.,,, Σε μια γεωμετρική πρόοδο ( ) είναι 4 και. Να βρείτε : i. τον 8 ο όρο της ( ) ii. ποιος ορος της ( ) είναι ισος με. 9. Σε μια γεωμετρική πρόοδο ( ) είναι i. τον λόγο λ της ( ) 9 και 6 4. Να βρείτε : ii. τον 6 ο όρο της ) 0. Οι αριθμοί,, 8 είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Να βρείτε το.. Ο αριθμός 6 είναι ο γεωμετρικός μέσος των αριθμών και 8. Να βρείτε ποιες τιμές μπορεί να πάρει ο αριθμός.. Οι αριθμοί,, 4 4 είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Να βρείτε το.. Οι αριθμοί,, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Να βρείτε ποιες τιμές μπορεί να πάρει ο αριθμός. 4. Οι αριθμοί 6,, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. i. Να βρείτε ποιες τιμές μπορεί να πάρει ο αριθμός. ii. Για τη μεγαλύτερη από τις τιμές του που βρήκατε στο i. να βρείτε τον γεωμετρικό μέσο των αριθμών και Να βρείτε το άθροισμα των 7 πρώτων όρων της γεωμετρικής προόδου : 4,,6, Να βρείτε το άθροισμα των 7 πρώτων όρων της γεωμετρικής προόδου : 9,96,48, Να υπολογίσετε τα αθροίσματα : i ii S0 8. Δίνεται γεωμ. πρόοδος για την οποία ισχύει. Να βρείτε: S5 S6 i. τον λόγο λ της (α ν ) ii. το πηλίκο a. 6 (. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

119 9. Ο ν-ος ορος μιας ακολουθίας είναι. Να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι γεωμετρική πρόοδος και να γράψετε τους και λ. ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΠΡΟΟΔΟΥΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Δίνεται η ακολουθία με γενικό όρο :. i. να αποδείξετε ότι η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος και έχει πρώτο όρο 9 και διαφορά ω=. ii. Να βρείτε το άθροισμα S..., όπου,,..., είναι διαδοχικοί όροι της προόδου. iii. Να αποδείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης : είναι διαδοχικοί όροι της προηγούμενης προόδου.. Δίνεται αριθμητική πρόοδος, της οποίας ο ος ορος είναι - και το άθροισμα των πρώτων 8 όρων της είναι 84. i. Να βρείτε τον πρώτο όρο και τη διαφορά της αριθμητικής προόδου. 4 ii. Να λύσετε την εξίσωση 7 5. iii. Να λύσετε την ανίσωση 0 S 5. Οι αριθμοί 4, 4, 4 με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου. i. Να βρείτε την τιμή του Αν ο αριθμός 4, είναι ο πέμπτος ορος της αριθμητικής προόδου, να βρείτε : ii. τον και τη διαφορά ω της iii. το άθροισμα των 0 πρώτων όρων της iv. ποιος ορος της είναι ισος με 00 v. το πλήθος των πρώτων όρων της που έχουν άθροισμα 80. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ 4. Δίνεται η εξίσωση 0 () i. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει πραγματικές ρίζες για κάθε. ii. Αν, είναι ρίζες της εξίσωσης (), να βρείτε για ποιες τιμές του λ, οι αριθμοί :,, αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου. 5. Σε μια γεωμετρική πρόοδο ο τρίτος ορος είναι ισος με 6 και ο έκτος ορος είναι ισος με. Να βρείτε : i. τον πρώτο όρο και τον λόγο της ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

120 ii. τον δέκατο όρο της iii. το άθροισμα των πρώτων 6 όρων της iv. τον γεωμετρικό μέσο των αριθμών 8 και 4 ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΘΕΜΑ ( ο Πανελλήνιες 999 Επαναληπτικές) Ο πρώτος όρος μιας γεωμετρικής προόδου είναι α =7 και ο λόγος της είναι. α) Να βρείτε τον τέταρτο όρο της προόδου. (Μονάδες 7) β) Το άθροισμα των πέντε πρώτων όρων της προόδου είναι ίσο με: Α. - 6, Β. 6, Γ. -6, Δ. 6 (Μονάδες 8) γ) Το άθροισμα των απείρων όρων της προόδου είναι ίσο με: Α. - 8, Β. 8, Γ. 8, Δ. - 8 (εκτός ύλης) (Μονάδες 0) 4 4 ΘΕΜΑ ( ο Πανελλήνιες 999) Έστω γεωμετρική πρόοδος της οποίας ο τρίτος όρος είναι ίσος με 6 και ο έκτος όρος είναι ίσος με. α) Ο πρώτος όρος α και ο λόγος λ της γεωμετρικής προόδου είναι : Α. α = 64 και λ = - / Β. α = - 64 και λ = - / Γ. α = 64 και λ = / Δ. α = και λ = / Μονάδες 9 β) Να βρείτε τον δέκατο όρο της γεωμετρικής προόδου. Μονάδες 9 γ) Να βρείτε το άθροισμα των άπειρων όρων της γεωμετρικής προόδου.(εκτός ύλης) Μονάδες 7 ΘΕΜΑ ( ο Πανελλήνιες 000 Επαναληπτικές) α. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού για τις οποίες οι αριθμοί - 4, + 4 και - 4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Μονάδες 0 β. Αν ο αριθμός + 4 είναι ο έκτος όρος της αριθμητικής προόδου του α. ερωτήματος, να βρείτε τον πρώτο όρο της. Μονάδες 7 γ. Να βρείτε το άθροισμα των 0 πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου του α. ερωτήματος. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 4 (4 ο Πανελλήνιες 000) Ένας πληθυσμός βακτηριδίων τριπλασιάζεται σε αριθμό κάθε μια ώρα. A. Αν αρχικά υπάρχουν 0 βακτηρίδια, να βρείτε το πλήθος των βακτηριδίων ύστερα από 6 ώρες. Μονάδες 9 B. Στο τέλος της έκτης ώρας ο πληθυσμός των βακτηριδίων ψεκάζεται με μια ουσία, η οποία σταματά τον πολλαπλασιασμό τους και συγχρόνως προκαλεί την καταστροφή 0 βακτηριδίων κάθε ώρα. B.. Να βρείτε το πλήθος των βακτηριδίων που απομένουν 0 ώρες μετά τον ψεκασμό. Μονάδες 8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

121 B..Μετά από πόσες ώρες από τη στιγμή του ψεκασμού θα καταστραφούν όλα τα βακτηρίδια; Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 5 (4 ο Πανελλήνιες 00 Επαναληπτικές) Σε ένα θέατρο, η πρώτη σειρά έχει 70 καθίσματα και η τελευταία έχει 50 καθίσματα. Το πλήθος των καθισμάτων κάθε σειράς σχηματίζει αριθμητική πρόοδο. Η προτελευταία σειρά έχει 40 καθίσματα περισσότερα από τη δεύτερη σειρά. α. Να αποδείξετε ότι κάθε σειρά καθισμάτων του θεάτρου έχει 0 καθίσματα περισσότερα από την προηγούμενη σειρά. Μονάδες 0 β. Να υπολογίσετε το πλήθος των καθισμάτων του θεάτρου. Μονάδες 7 γ. Την πρώτη παράσταση ενός θεατρικού έργου παρακολούθησαν 00 θεατές, ενώ σε κάθε επόμενη παράσταση ο αριθμός των θεατών διπλασιαζόταν. Ποια είναι η παράσταση στην οποία για πρώτη φορά θα γεμίσει το θέατρο; Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 6 (4 ο Πανελλήνιες 00 Επαναληπτικές) Έστω δύο κοινωνίες βακτηριδίων Α και Β. Αν συμβολίσουμε με Α 0 τον αρχικό πληθυσμό της κοινωνίας Α και με Β 0 τον αρχικό πληθυσμό της κοινωνίας Β, τότε 9Α 0 =0 Β 0. Ο πληθυσμός της κοινωνίας Α μειώνεται κάθε ώρα κατά το του αρχικού πληθυσμού 00 της, ενώ ο πληθυσμός της κοινωνίας Β αυξάνεται ανά ώρα με γεωμετρική πρόοδο με λόγο λ. Οι δύο πληθυσμοί γίνονται ίσοι 0 ώρες μετά την αρχική στιγμή. α. Να δείξετε ότι ο λόγος της γεωμετρικής προόδου που αναφέρεται στον πληθυσμό Β είναι λ = 0. Μονάδες 0 β. Πέντε ώρες μετά την αρχική στιγμή ο πληθυσμός της κοινωνίας Β είναι 0 0 βακτηρίδια. Να δείξετε ότι ο αρχικός πληθυσμός της κοινωνίας Β ήταν 0 5 βακτηρίδια. Μονάδες 8 γ. Να βρείτε τον πληθυσμό της κοινωνίας Α, 99 ώρες μετά την αρχική στιγμή. Μονάδες 7 ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΓΙΑ ΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΠΡΟΟΔΟΙ.. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

126 .. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 5

129 6. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας), με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ακριβώς ένα στοιχείο του συνόλου Β. Το σύνολο Α λέγεται πεδίο ορισμού της συνάρτησης και περιέχει τις δυνατές τιμές που μπορούμε να δώσουμε στη μεταβλητή. (το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f το συμβολίζουμε συνήθως όλες τις τιμές της () f ). Το σύνολο Β λέγεται σύνολο τιμών της f και περιέχει D f ή f για τα αντίστοιχα ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ P( ) Q ( ) 0 f ( ) Q( ) f ( ) v P( ) P ( ) 0 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : ) Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : i. f ( ) ii. f ( ) iii. f ( ) iv. f ( ) 6 v. 5 f ( ) vi. f ( ) vii. f ( ) Λύση : i. Δεν υπάρχει κάποιος περιορισμός για το άρα D ii. Πρέπει : 0. Άρα D f 0 &. Άρα D, iii. Πρέπει : iv. Πρέπει : Άρα D (,6] v. Πρέπει : 0 και 0. Άρα D [,) (, ) f vi. 0 Πρέπει : [, ]. Άρα D f 0 [, ] vii. Πρέπει : 0 () και 0 () ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8 f f f

130 Έχω Άρα επειδή θέλω 0 [, ] () Από () & () D [,0) (0, ]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : f ) Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : 7 i. f ( ) 7 5 ii. f ( ) iii. f ( ) iv. f 8 ( ) v. f ( ) 4 vi. f ( ) vii. f ( ) ) Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : i. f ( ) ii. f ( ) iii. f ( ) iv. f ( ) v. f ( ) vi. f ( ) vii. f ( ) ) Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : 7 i. f( ) ii. f( ) iii. g ( ) iv. g ( ) v. h ( ) vi. h ( ) ) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των επόμενων συναρτήσεων: i. f ( ) ii. f( ) iii. g ( ) iv. g ( ) v. h ( ) 7 6) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των επόμενων συναρτήσεων: i. f( ) ii. f( ) iii. g( ) iv. g( ) v. h ( ) vi. h( ) vi. h( ) 5, 0 7) Δίνεται η συνάρτηση: f( ) 7, 0 i. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της f; 5 ii. Να βρείτε τις τιμές: α) f ( ) β) f γ) f ( ) δ) (0) f ε) f iii. Να λύσετε την εξίσωση f()= 8) Δίνεται η συνάρτηση f ( ). i. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της f; στ) f ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

131 ii. Να βρείτε τις επόμενες τιμές: i) f(-) ii) f(-) iii) f(0) iv) iii. Να υπολογίσετε την παράσταση: Α=f(α+β)+f(α-β)-(f(α)+f(β)) iv. Να λύσετε την εξίσωση f(-)+f()=- f 9) Δίνεται η συνάρτηση f ( ) 4 5. i. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της f; ii. Να βρείτε τις τιμές: i) f(-) ii) f(0) iii) f(5) iii. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: i) f(-α) ii) f( a ) iv. Να λύσετε την εξίσωση f()= v. Να λύσετε την ανίσωση f ( ) f ( ) iii) f(α-β) 6 0) Δίνεται η συνάρτηση f( ) 8 i. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της f; ii. Να απλοποιήσετε τον τύπο της f iii. Να βρείτε τις τιμές: i) f() ii) f(4) iii) f(-4) iv) f ) Δίνεται η συνάρτηση f ( ) a για την οποία ισχύει f(4)=6. i. Να βρείτε τον αριθμό α ii. Να βρείτε τις τιμές f(-),f(-),f(0) και f(). iii. Να λύσετε την εξίσωση f()=. iv. Να λύσετε την ανίσωση f()<6. a ) Δίνεται η συνάρτηση f( ) 4 i. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της f; ii. Να βρείτε τον αριθμό α. iii. Να λύσετε την εξίσωση f( ) iv. Να λύσετε την ανίσωση f( ) 0. για την οποία ισχύει f(-5)=-. ) Δίνεται η συνάρτηση f ( ) 5. Να αποδείξετε ότι: i. f ( ) f( ) f( ) 5 ii. f f f ( ) ( ) ( ) 4) Δίνεται συνάρτηση f:rr για την οποία ισχύει: f ( ) f () ( ) για κάθε R. Να βρείτε: α) την τιμή f(), β) τον τύπο f() της συνάρτησης. 5) Δίνεται η συνάρτηση: f( ) 6 a i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. ii. Να βρείτε τον αριθμό α. iii. Να απλοποιήσετε τον τύπο της f. 9 iv. Να λύσετε την εξίσωση f( ). v. Να λύσετε την ανίσωση f( ). για την οποία ισχύει f (5). 4 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

132 a, 6) Δίνεται η συνάρτηση: f( ) για την οποία ισχύει f(-)=-7. a, i. Να βρείτε τους αριθμούς α και β. ii. Να λύσετε την εξίσωση f()=-8. iii. Να μετατρέψετε το κλάσμα: σε ισοδύναμο με ρητό παρανομαστή. f( 6) f( 6) iv. Να λύσετε την ανίσωση ( ) f(f( 6)). 7) Δίνεται η συνάρτηση f( ) και η εξίσωση 0. () a Ισχύει: f ( ) όπου Δ η διακρίνουσα της εξίσωσης (). 6 i. Να βρείτε τον αριθμό α και το πεδίο ορισμού της f. ii. Αν και είναι οι ρίζες της εξίσωσης (), να σχηματίσετε εξίσωση ου βαθμού, που να έχει ρίζες τους αριθμούς f( ) και f( ). 8) Ένα ορθογώνιο έχει περίμετρο 0m και πλάτος m. i. Να εκφράσετε το εμβαδόν του ορθογωνίου ως συνάρτηση του. ii. Να βρείτε για ποιες τιμές του το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι m. 9) Σε μια κοινότητα όλοι οι καταναλωτές νερού πληρώνουν 6 πάγιο κάθε μήνα, ανεξαρτήτως κατανάλωσης. Για τα πρώτα m νερού πληρώνουν 0, 60 / m. Για κάθε επιπλέον m από τα m πληρώνουν, 80 0 / m. Να βρεθεί συνάρτηση y f () που να δίνει το κόστος y του νερού, αν σε ένα μήνα καταναλωθούν m νερό. 4, 0) Δίνεται η συνάρτηση: f( ) a όπου R. Γνωρίζουμε ότι η εξίσωση, 8 f ( ) f (75) 0 (), έχει μοναδική ρίζα. i. Να αποδείξετε ότι α=- και να βρείτε την ρίζα της εξίσωσης (). ii. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύουν: P( A B) f (4) ( ) 0 f P AB.Να βρείτε την πιθανότητα Ρ(Β)., f P A και ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

133 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ Έστω δυο σημεία, y ) και, y ). Ο τύπος που δίνει την απόσταση των ( ( σημείων Α και Β είναι :. y y ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Αν ( 4, ) και (, ), να βρείτε την απόσταση των σημείων Α και Β. Λύση : y y ( 4) ( ) 6 6. Δίνονται τα σημεία Α(,) και Β(-,6). i. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Α από το Β. ii. Να βρείτε σημείο Γ που ανήκει στον άξονα, τέτοιο ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισοσκελές με ( ) ( ) Λύση : i. y y ( ) (6 ) ( ) ii. Το (,0). Επίσης ( ) ( ) ( ) ( 0) ( ) (6 0) ( ) 4 [ ( )] 6 ( ) 4 ( ) άρα (8,0) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

134 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f (συμβ. C f ) ισχύουν τα παρακάτω : Για όλα τα σημεία (, y) που ανήκουν στη C f ισχύει y f (). Δηλ. (, f ( )). Πιο συγκεκριμένα το σημείο (, 0 0) C f, αν και μόνο αν 0 0 Η C f βρίσκεται πάνω από τον f ( ) 0 Η C f βρίσκεται κάτω από τον f ( ) 0 Η C f βρίσκεται πάνω από τη C g f ( ) g( ) Η C f βρίσκεται κάτω από τη C g f ( ) g( ) ΣΗΜΕΙΑ ΤΟΜΗΣ ΜΕ ΑΞΟΝΕΣ Η C τέμνει τον σε σημεία της της μορφής ( 0,0), οπότε για να τα f βρούμε λύνουμε την εξίσωση y f ( ) 0 Η C τέμνει τον y y σε σημεία της της μορφής 0, y ), οπότε για να τα f ( 0 βρούμε, βάζουμε όπου το 0 δηλ. υπολογίζουμε το f (0) Για να βρούμε κοινά σημεία C f και C g λύνουμε την εξίσωση f ( ) g( ). ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Για ποιες τιμές του η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα όταν : i. f ( ) 4 ii. f ( ) iii. f ( ) e Λύση : i. Η C f βρίσκεται πάνω από τον f ( ) Έχω 4 0, ή, Άρα επειδή θέλω 4 0 τότε (,) (, ) ii. Η C f βρίσκεται πάνω από τον f ( ) 0 0 ( )( ) 0 Έχω ( )( ) Άρα επειδή θέλω ( )( ) 0 0 (, ) iii. Η C f βρίσκεται πάνω από τον 0 e e 0 άρα ( 0, ) f ( ) 0 e 0 e ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

135 4. Για ποιες τιμές του η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g, όταν : i. f ( ) και g ( ) ii. f ( ) και g ( ) Λύση : i.η C βρίσκεται πάνω από τη C f ( ) g( ) 0 f Έχω 0 ( ) 0 0 ή 0 αδύνατη Γινόμενο Άρα επειδή θέλω 0 (0, ) ii.η C f βρίσκεται πάνω από τη g C g f ( ) g( ) 0 Έχω 0 ( ) 0 0 0, ή, Γινόμενο Άρα επειδή θέλω 0 (, ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 5. Δίνεται η συνάρτηση στην καμπύλη της f. f ( ). Να εξετάσετε αν τα σημεία Α(,5) και Β(,7) ανήκουν 6. Να βρεθούν οι τιμές των,, ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) να διέρχεται από τα σημεία Α(-,) και Β(,7). 7. Να βρεθούν οι τιμές των,,, ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) να διέρχεται από τα σημεία Α(0,), Β(-,0) και Γ(-,-). 8. Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των παρακάτω συναρτήσεων με τους άξονες. i. f ( ) ii. f ( ) 9 iii. f ( ), 9. Δίνεται η επόμενη συνάρτηση: f (), Να εξετάσετε αν τα παρακάτω σημεία ανήκουν στην γραφική παράσταση της f: i. Α(5,0) ii. Β(-,) iii. Γ(,-) iv. Δ(,0) v. Ε(,0) vi. Ζ(4,-) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 4

136 , 0. Δίνεται η συνάρτηση: f( ) 4, Να βρείτε: α) το πεδίο ορισμού της f, β) τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες.. Δίνεται η συνάρτηση f ( ) 5 4 i. το πεδίο ορισμού της f, ii. τα σημεία τομής της C f με τους άξονες.. Να βρείτε:. Το σημείο Μ(-,-5) ανήκει στη γραφική παράσταση της f ( ) 8. Να βρείτε: α) τον αριθμό λ, β) τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες. a,. Δίνεται η συνάρτηση: f( ), διέρχεται από τα σημεία Α(-,5) και Β(5,0). i. Να βρείτε τις τιμές των α και β. ii. Να βρείτε τα σημεία τομής της C f με τους άξονες. iv. της οποίας η γραφική παράσταση Αν είναι Μ(,f()) και Ν(-,f(-)), να βρείτε την απόσταση (ΜΝ). 4. Οι γραφικές παραστάσεις των επόμενων συναρτήσεων: f ( ) και g( ) 5 τέμνουν τον άξονα στο ίδιο σημείο. Να βρείτε: i. το πεδίο ορισμού της f ii. τον αριθμό λ iii. τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της g με τους άξονες. 5. Δίνεται η συνάρτηση f ( ) 5. Να βρείτε: i. το πεδίο ορισμού της f ii. τα σημεία τομής της C f με τους άξονες. iii. τα διαστήματα στα οποία η C f βρίσκεται: i) πάνω από τον άξονα ii) κάτω από τον άξονα 6. Δίνονται οι συναρτήσεις f ( ) 5 6 και διαστήματα, στα οποία: i. η C f δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα ii. η C g δεν βρίσκεται κάτω από τον άξονα iii. η C f δεν βρίσκεται κάτω από τη C g g( ) 5. Να βρείτε τα 7. Δίνεται η συνάρτηση f ( ) 7 a η οποία τέμνει τον άξονα y y σε σημείο με τεταγμένη 4. i. Να βρείτε τον αριθμό α. ii. Να βρείτε τα διαστήματα, στα οποία η C f βρίσκεται: i) πάνω από τον άξονα ii) κάτω από τον άξονα. a, 8. Δίνεται η συνάρτηση: f( ) της οποίας η γραφική a, παράσταση τέμνει τον άξονα y y στο σημείο με τεταγμένη -. Να βρείτε: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 5

137 i. την τιμή του α ii. τα διαστήματα, στα οποία η C f βρίσκεται κάτω από τον άξονα. iii. τα σημεία της C f που έχουν τεταγμένη Δίνεται η συνάρτηση f ( ) a, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Μ(-4,). i. Να βρείτε τον αριθμό α και το πεδίο ορισμού της f. ii. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f. 0. Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης: f( ) 5 η οποία τέμνει τον άξονα y y στο σημείο με τεταγμένη 5 και διέρχεται από το σημείο Μ(,6). Να βρείτε: i. το πεδίο ορισμού της f ii. τους αριθμούς λ και μ iii. τα σημεία τομής της C f με τον άξονα iv. το συμμετρικό του σημείου Ν(4,f(4)) ως προς: i) τον άξονα, ii) τον άξονα y y, iii) την αρχή των αξόνων, iv) τη διχοτόμο της ης και της ης γωνίας των αξόνων. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

138 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f ( ) Γωνία ευθείας (ε) με τον άξονα Έστω Οy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ε μια ευθεία που τέμνει τον άξονα στο σημείο Α. y O Α ε ω ε y O Α ω y y Τη γωνία ω που διαγράφει ο άξονας όταν στραφεί γύρω από το Α κατά τη θετική φορά μέχρι να συμπέσει με την ευθεία ε τη λέμε γωνία που σχηματίζει η ε με τον άξονα. Αν (ε)//, είναι ω=0 Αν (ε)//y y, είναι ω= 90 ή 0 Σε κάθε περίπτωση είναι 0 80 ή 0 Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείας Συντελεστής διεύθυνσης λ ευθείας, ονομάζεται η εφαπτομένη της γωνίας την οποία σχηματίζει η ευθεία, με τον άξονα. Δηλ.: λ=εφω με: 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙA : Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) είναι μια ευθεία με εξίσωση : ( ) : y Κάθε ευθεία παράλληλη στον άξονα έχει συντελεστή διεύθυνσης: α=0. ( ( ) // 0) Δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης για ευθεία παράλληλη του άξονα y y. ( ( ) // yy -- δεν ορίζεται) Αν 0 τότε η (ε) σχηματίζει οξεία γωνία με τον άξονα Αν 0 τότε η (ε) σχηματίζει αμβλεία γωνία με τον άξονα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

139 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Αν μια ευθεία (ε) περνάει από τα σημεία: (, y) και (, y) έχει συντελεστή y y διεύθυνσης: (, διότι αν η ΑΒ είναι κάθετη στον άξονα, άρα δεν έχουμε συντελεστή διεύθυνσης). ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας (ΑΒ) η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(-,-5) και Β(-9,). Ποια είναι η γωνία που σχηματίζει η (ΑΒ) με τον άξονα ; y y ( 5) 6 6 Λύση :, δηλ., άρα 9 ( ) ή 4 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Μια ευθεία γενικά έχει τη μορφή (ε) : y όπου είναι ο συντελεστής διεύθυνσης. Για να βρούμε τα κοινά σημεία δυο ευθειών λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων τους. Αν το σύστημα έχει μια λύση οι ευθείες τέμνονται, αν έχει άπειρες λύσεις τότε ταυτίζονται ενώ αν είναι αδύνατο τότε οι ευθείες δεν έχουν κανένα κοινό σημείο. Για να βρούμε το σημείο τομής μιας ευθείας με τον άξονα, θέτουμε y=0 στην εξίσωση της. Για να βρούμε το σημείο τομής μιας ευθείας με τον άξονα y y, θέτουμε =0 στην εξίσωση της. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Δίνονται οι ευθείες (ε) : y 4 και (ζ) : 7 y. Να βρείτε : i., ii. το σημείο τομής των (ε) και (ζ) iii. τα σημεία τομής της (ε) με τους άξονες Λύση : i. (ε) : y 4 άρα, (ζ) : 7 7 y άρα ii. Για να βρω το σημείο τομής των (ε) και (ζ) θα λύσω το σύστημα των εξισώσεων y 4 y 4 y 4 ( ) 4 y 8 τους : 7 προσθέτω y y 7 7 y 7 y κατά μέλη και έχω 6 άρα πάω στην πρώτη και έχω : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

140 4 y 8 8 y 8 y 6 y 8. Άρα το σημείο τομής των (ε) και (ζ) είναι το σημείο (,8) iii. Για να βρούμε σημείο τομής της (ε) με τον θέτω y 0 στην εξίσωση της : y0 ( ) : y 40 4, άρα το σημείο τομής της (ε) με τον είναι το (,0) Για να βρούμε σημείο τομής της (ε) με τον y y θέτω 0 στην εξίσωση της : 0 ( ) : y 4 y 0 4 y 4, άρα το σημείο τομής της (ε) με τον y y είναι το (0,4) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4 : (ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΙΑΣ & ΚΑΘΕΤΟΤΗΤΑΣ ΕΥΘΕΙΩΝ) Δύο ευθείες ( ),( ) είναι παράλληλες αν και μόνο αν έχουν ίσους συντελεστές διεύθυνσης, δηλ. ( ) //( ). Δύο ευθείες είναι κάθετες αν και μόνο αν έχουν συντελεστές διεύθυνσης αντιθετοαντίστροφους, δηλ. ) ( ). ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Να βρείτε τον αριθμό για τον οποίο : i. Οι ευθείες y ( 5) 4 και y είναι παράλληλες. ii. Oι ευθείες ( ) : y ( ) και ( ) : y είναι κάθετες. Λύση : i. Έστω ( ) : y ( 5) 4 και ( ) : y. ( ) //( ) ii. Έστω ( ) : y ( ) και ( ) : y. ( ) ( ) 0 ( ) 0 0 ή 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : ( 4. Δίνονται οι ευθείες: ε: y=-+4 και ζ: y=+9. i. Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών. ii.να σχεδιάσετε τις ευθείες ε και ζ στο ίδιο σύστημα αξόνων. 5. Η γραφική παράσταση της f( ) διέρχεται από το σημείο Α(-,-). i.να βρείτε τον αριθμό λ. ii. Να βρείτε το f(). iii. Να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

141 6. Η ευθεία ε: y=(λ-6)+λ- είναι παράλληλη στον άξονα. i. Να βρείτε τον αριθμό λ. ii. Να σχεδιάσετε την ευθεία ε. 7. Η ευθεία ε: y=(-λ)+λ+ σχηματίζει με τον άξονα γωνία i. Να βρείτε τον αριθμό λ. ii. Να σχεδιάσετε την ευθεία ε. 8. Δίνεται η συνάρτηση : f ( ) 4 i. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f ii.να λύσετε την ανίσωση f()<0 iii.να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης f()=α για τις διάφορες τιμές του αr. 9. Δίνεται η συνάρτηση: f ( ) 4 4 i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. ii. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f. 0. H γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) τέμνει τον άξονα y y στο σημείο με τεταγμένη 5 και τον άξονα στο σημείο με τετμημένη. i. Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ. ii. Να κάνετε τη γραφική παράστασης της f.. Δίνονται οι ευθείες ε: y=(α+)+7α+4 και ζ: y=(β-α)-β-α. Η ευθεία ε διέρχεται από το σημείο Μ(-,) και ισχύει ότι ε//ζ. Να βρείτε: i. τις τιμές των α και β ii. το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η ευθεία ζ με τους άξονες.. Δίνονται οι ευθείες ε : y=-+, ε : y=4- και ε : y=-+6. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας: i. που είναι παράλληλη στην ε και διέρχεται από το σημείο τομής των ε και ε ii. που διέρχεται από το σημείο τομής των ε και ε και το σημείο της ε με τετμημένη -.. H ευθεία ε: y=λ-4 σχηματίζει αμβλεία γωνία με τον άξονα, ενώ το τρίγωνο που σχηματίζει με τους άξονες έχει εμβαδόν 4 τ.μ. Να βρείτε τον αριθμό λ. 4. H ευθεία ε: y διέρχεται από το σημείο Α(-4,5). Να βρείτε: i. τον αριθμό λ, ii. την ευθεία ζ που είναι κάθετη στην ε και διέρχεται από το σημείο Β(4,6) iii. το σημείο στο οποίο η ευθεία ε τέμνει την ευθεία ζ που βρήκατε στο (β). 5. Δίνεται η συνάρτηση f ( ) και έστω Α και Β τα σημεία της γραφικής της παράστασης με τετμημένες - και 5 αντίστοιχα. i. Να βρείτε τις τεταγμένες των σημείων Α και Β, καθώς και την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από τα σημεία Α και Β. ii. Να σχεδιάσετε την C f και την παραπάνω ευθεία ε στο ίδιο σύστημα αξόνων. 5 iii. Να λύσετε γραφικά την ανίσωση. 4 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 40

142 6. Δύο πόλεις Α και Β απέχουν 40km. Ένας ποδηλάτης ξεκινά από την πόλη Α και πηγαίνει στην πόλη Β έχοντας σταθερή ταχύτητα 8 km/h. i. Να βρείτε τη συνάρτηση που εκφράζει την απόσταση του ποδηλάτη από την πόλη Β, ώρες αφού ξεκίνσησε. ii. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και να κάνετε τη γραφική της παράσταση Η γραφική παράστασης της συνάρτησης f( ) τέμνει τον άξονα y y σε σημείο με τεταγμένη -. i. Να βρείτε τον αριθμό λ. ii. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να απλοποιήσετε τον τύπο της. iii. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της f. 8. Οι κορυφές ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι τα σημεία Α(0,-), Β(4,0) και Γ(,-). Να βρείτε: i. το μήκος της πλευράς ΒΓ ii. την εξίσωση της ευθείας ΒΓ iii. την εξίσωση του ύψους ΑΔ του τριγώνου ΑΒΓ iv. το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΓΙΑ ΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ... ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 4