ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Transcript

1 5ο κεφάλαιο: Πρόοδοι ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ )

2 Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014

3 Περιεχόµενα 1 ΠΡΟΟ ΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Βιβλιογραφία Βιβλία 3. Ιστοσελίδες

4

5 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. ΠΡΟΟ ΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.1 Τι ονοµάζουµε ακολουθία ; Απάντηση Ακολουθία είναι µια συνάρτηση, µε πεδίο ορισµού το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N. Ερώτηση 1. Τι πρέπει να γνωρίζουµε για να ορίζεται µια ακολουθία αναδροµικά ; Απάντηση Τον αναδροµικό της τύπο και όσους όρους της χρειάζονται, για να δίνει ο τύπος όρους.

6 1.1. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Μεθοδολογία 1.1 Η συνάρτηση f(x) = x + 1, x N είναι µια ακολουθία και γράφεται : α ν = ν + 1 Η τιµή της συνάρτησηςf(1) = = 3 γίνεται 1ος όρος της ακολουθίας α 1 = = 3 Η τιµή της συνάρτησηςf() = + 1 = γίνεται ος όρος της ακολουθίας α = + 1 = Η τιµή της συνάρτησηςf(3) = = 5 γίνεται 3ος όρος της ακολουθίας α 3 = = 5 κ.ο.κ. Παρατηρούµε ότι : Οι τιµές που παίρνω, δεν είναι µόνο ϕυσικοί αριθµοί, αλλά οποιοσδήποτε πραγµατικός αριθµός. Άρα το σύνολο τιµών µιας ακολουθίας είναι υποσύνολο των πραγµατικών αριθµών. Θέµα 1.1 Να ϐρείτε τους 5 πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών : i. α ν = ν + 1 ii. α ν = ν + 4 iii. α ν = ν + 3 iv. α ν = ν + ν Λύση 1.1 i. α ν = ν + 1 Για ν = 1 α 1 = = 3 Για ν = α = + 1 = 5 Για ν = 3 α 1 = = 7 Για ν = 4 α 1 = = 9 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 6

7 Για ν = 5 α 1 = = 11 ii. α ν = ν + 4 Για ν = 1 α 1 = = 5 Για ν = α = + 4 = 6 Για ν = 3 α 3 = = 7 Για ν = 4 α 4 = = 8 Για ν = 5 α 5 = = 9 = 3 iii. α ν = ν + 3 Για ν = 1 α 1 = = Για ν = α = + 3 = 7 Για ν = 3 α 3 = = 11 Για ν = 4 α 4 = = 19 Για ν = 5 α 5 = = 35 iv. α ν = ν + ν Για ν = 1 α 1 = = 3 Για ν = α = + = 8 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 7

8 Για ν = 3 α 3 = = 17 Για ν = 4 α 4 = = 3 Για ν = 5 α 5 = = = 57 Θέµα 1. ίνεται η ακολουθία, µε α 1 = και α ν+1 = α ν + 3. Να ϐρείτε τους 5 πρώτους όρους της. Λύση 1. α 1 = α = α = + 3 = 7 α 3 = α + 3 = = 17 α 4 = α = = 37 α 5 = α = = 77 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 8

9 1.1.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να προσδιορίσετε τους πέντε πρώτους όρους των ακολουθιών : i. α ν = ν 3ν ν + 1 ii. α ν = 4ν + 4 iii. α ν = ν + 3( 1) ν iv. α ν = ν + ( ) ν. Να προσδιορίσετε τους πέντε πρώτους όρους των ακολουθιών : i. Με α 1 = 1 και α ν+1 = α n + 1 ii. µε α 1 = και α ν+1 = α ν 4 iii. µε α 1 = 1 και α ν+1 = 3α n α n iv. µε α 1 = και α ν+1 = (α n + 3) 5 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 9

10 1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 1..1 ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.3 Ποια ακολουθία ονοµάζεται αριθµητική πρόοδος ; Απάντηση Αυτή, που ο κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο, προσθέτοντας πάντα τον ίδιο αριθµό. ηλαδή ισχύει : α ν+1 = α ν + ω. Το ω = α ν+1 α ν λέγεται διαφορά της αριθµητικής προόδου. Ερώτηση 1.4 Να αποδείξετε ότι ο ν-οστός όρος τη αριθµητικής προόδου δίνεται από τον τύπο α ν = α 1 + (ν 1)ω Απάντηση Είναι : α 1 = α 1 α = α 1 + ω α 3 = α + ω α ν 1 = α ν + ω α ν = α ν 1 + ω προσθέτοντας κατά µέλη, έχουµε : α ν = α 1 + (ν 1)ω Ερώτηση 1.5 Να δειχθεί ότι, α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου, αν και µόνο αν β = α + γ Απάντηση Αφού α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου, ϑα έχουµε : α = α β = α + ω γ = β + ω Άρα, α + γ = α + β + ω = α + α + ω + ω = (α + ω) = β Αντίστροφα Αν : β = α + γ β + β = α + γ β α = γ β Άρα, οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου. Ερώτηση 1.6 Να δειχθεί ότι το άθροισµα των ν-πρώτων όρων µιας αριθµητικής προόδου δίνεται από τον τύπο S ν = ν [α 1 + (ν 1)ω] Απάντηση Είναι S ν = ν (α 1 + α ν ) Επειδή α ν = α 1 + (ν 1)ω Εχω S ν = ν [α 1 + (ν 1)ω] Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 10

11 Ερώτηση 1.7 Να γράψετε όλους τους τύπους που ισχύουν στην αριθµητική πρόοδο. Απάντηση ιαφορά της ΑΠ ω = α ν+1 α ν Ο ν-οστός όρος της ΑΠ α ν = α 1 + (ν 1)ω Το άθροισµα των ν-πρώτων όρων της ΑΠ S ν = α 1 + α + + α ν = ν [α 1 + (ν 1)ω] α, ϐ, γ, διαδοχικοί όροι ΑΠ β = α + γ Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 11

12 1.. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Θέµα 1.3 Να εξετάσετε αν η παρακάτω ακολουθία αριθµών είναι αριθµητική πρόοδος : 3, 5, 7,... Λύση 1.3 Εχουµε, 7 5 = 5 3 = Άρα είναι αριθµητική πρόοδος µε α 1 = 3 και ω = Θέµα 1.4 Εχουµε την ακολουθία µε τύπο α ν = ν+1. Να εξετάσετε αν είναι αριθµητική πρόοδος. Μεθοδολογία 1. Για να είναι αριθµητική πρόοδος ϑα πρέπει η διαφορά α ν+1 α ν να είναι ανεξάρτητη του ν. Σ αυτή την περίπτωση ο σταθερός αριθµός που προκύπτει είναι η διαφορά της αριθµητικής προόδου ω Λύση 1.4 α ν+1 α ν = (ν + 1) + 1 (ν + 1) = ν ν 1 = Άρα είναι αριθµητική πρόοδος µε α 1 = = 3 και ω =. Θέµα 1.5 ίνεται η ακολουθία αριθµών, 1, 5, 9,... i. Να εξετάσετε αν είναι αριθµητική πρόοδος και να την προσδιορίσετε. ii. Να ϐρείτε τον 50ο όρο της. iii. Να ϐρείτε το άθροισµα των 100 πρώτων όρων της. Μεθοδολογία 1.3 Για να προσδιορίσω την αριθµητική πρόοδο, ϑα πρέπει να ϐρω τον α 1 και το ω Λύση 1.5 i. Είναι 9 5 = 5 1 = 4 άρα είναι ΑΠ µε ω = 4 και α 1 = 1 ii. Από τον τύπο του ν-οστού όρου α ν = α 1 + (ν 1)ω έχουµε α 50 = 1 + (50 1)4 = = = 197 iii. Από τον τύπο του αθροίσµατος των ν πρώτων όρων S ν = ν [α 1 + (ν 1)ω] έχουµε S 100 = 100 [ 1 + (100 1)4] = 50( + 396) = = Θέµα 1.6 Αν σε µια αριθµητική πρόοδο, ο α 5 = 0 και ο α 10 = 60, να ϐρείτε : i. Τον α 1 και το ω ii. Τον πεντηκοστό όρο. iii. Το άθροισµα των 60 πρώτων όρων. Μεθοδολογία 1.4 Οταν µου δίνουν δυο όρους της αριθµητικής προόδου και µου Ϲητάνε Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 1

13 να την προσδιορίσω, τότε ϕτιάχνω ένα σύστηµα µε αγνώστους τα α 1, ω, και το λύνω µε αφαίρεση κατά µέλη. Λύση 1.6 i. Από τον τύπο α ν = α 1 + (ν 1)ω. α 5 = α 1 + 4ω 0 = α 1 + 4ω Είναι α 10 = α 1 + 9ω 60 = α 1 + 9ω ω = 8 α 1 = 1 ii. α 50 = α ω = = = = 5ω ω = 8 iii. S 60 = 60 [ ( 1) ] = 30( ) = = άρα Θέµα 1.7 Να ϐρείτε το άθροισµα Λύση 1.7 Οι προσθετέοι του αθροίσµατος αποτελούν αριθµητική πρόοδο µε α 1 = 1, ω = και α ν = 199 Για να υπολογίσουµε το άθροισµα ϑα χρησιµοποιήσουµε τον τύπο S ν = ν [α 1 + (ν 1)ω] για τον οποίο, όµως δεν γνωρίζουµε το ν. Αυτό ϑα το προσδιορίσουµε από τον τύπο του ν-οστού όρου α ν = α 1 + (ν 1)ω. Εχουµε : Οπότε : α ν = α 1 + (ν 1)ω 199 = 1 + (ν 1) 199 = 1 + ν ν = 00 ν = = S 100 = 100 ( ) = 50( + 198) = = Θέµα 1.8 Αν ο ν-οστός όρος µιας ακολουθίας είναι α ν = 3ν, να εξετάσετε αν είναι αριθµητική πρόοδος και να ϐρείτε το άθροισµα α 10 +α α 0 Λύση 1.8 Οταν µας δίνουν το α ν, για να εξετάσω αν είναι αριθµητική πρόοδος, ϑα πρέπει η διαφορά α ν+1 α ν να είναι ανεξάρτητη του ν. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 13

14 Εχω : α ν+1 α ν = 3(ν + 1) (3ν ) = 3ν + 3 3ν + = 3 Άρα είναι αριθµητική πρόοδος µε ω = 3 και α 1 = 3 1 = 1 Για να υπολογίσω το άθροισµα α 10 + α α 0, επειδή δεν είναι άθροισµα πρώτων όρων (δεν ξεκινάει από το α 1 ), το γράφω ως εξής : α 10 + α α 0 = α 1 + α α 0 (α 1 + α α 10 ) = S 0 S 10 = 0 ( ) [10( )] = = = 345 Θέµα 1.9 Να ϐρείτε τον αριθµητικό µέσο των 0 και 50. Λύση 1.9 Αν ο αριθµητικός µέσος των 0 και 50 είναι x, τότε : x = x = 35 Θέµα 1.10 Να ϐρείτε τον x, ώστε ο αριθµητικός µέσος των x + 9 και x 1 να είναι το x Λύση 1.10 Θα πρέπει, x x 1 = x x = 8 Θέµα 1.11 Μεταξύ των αριθµών 10 και 64 να παρεµβάλλετε άλλους 5 αριθµούς, ώστε όλοι µαζί να αποτελούν µια αριθµητική πρόοδο. Λύση 1.11 Εχω την αριθµητική πρόοδο 10, 10 + ω, 10 + ω, ω, ω ω, 64 α 7 = 50 α 1 + (7 1) ω = ω = 64 ω = 9 Άρα η ακολουθία είναι η 10, 19, 8, 37, 46, 55, 64 Μεθοδολογία 1.5 Γενικά : Τέτοια προβλήµατα λέγονται προβλήµατα παρεµβολής όρων. Και οι όροι που παρεµ- ϐάλλω έχουν διαφορετική µορφή, αν έχουν περιττό πλήθος και διαφορετική, αν έχουν άρτιο πλήθος. Αν έχουν περιττό πλήθος, είναι της µορφής : Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 14

15 ..., x ω, x ω, x, x + ω, x + ω,... Αν έχουν άρτιο πλήθος, είναι της µορφής :..., x ω, x ω, x + ω, x + ω,... Αυτή τη µεθοδολογία τη χρησιµοποιώ κυρίως όταν πρέπει να χρησιµοποιήσω το άθροισµα των ν πρώτων όρων της ακολουθίας. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 15

16 1..3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να ϐρείτε το Ϲητούµενο όρο σε κάθε µια από τις παρακάτω ακολουθίες. i. Τον α 0, στην ακολουθία 5, 10, 15,... ii. Τον α 50, στην ακολουθία 1, 3, 5,... iii. Τον α 15, στην ακολουθία 1, 1, 3,.... Να ϐρείτε τους όρους που Ϲητούνται στις παρακάτω αριθµητικές προόδους. i. Τον α 10, στην ακολουθία µε α = 5 και α 6 = 50 ii. Τον α, στην ακολουθία µε α 10 = 35 και α 15 = 75 iii. Τον α 00, στην ακολουθία µε α 6 = 30 και α 50 = Να ϐρείτε τα αθροίσµατα των 0 πρώτων όρων των παρακάτω αριθµητικών προόδων : i. 1,, 3,... ii., 4, 6,... iii. 1, 3, 5,... iv. 5, 10, 15, Να υπολογίσετε τα παρακάτω αθροίσµατα : i ii iii iv Πόσους όρους πρέπει να προσθέσουµε από την ακολουθία i. 5, 47, 4,... για να έχουν άθροισµα 90; ii. 4, 8, 1,... για να έχουν άθροισµα 180; iii. 5, 10, 15,... για να έχουν άθροισµα 80; 6. Ο ν-οστός όρος µιας ακολουθίας είναι α ν = 1 4ν. Να εξετάσετε αν είναι αριθµητική πρόοδος και να ϐρείτε το άθροισµα των πρώτων 30 όρων της. 7. Να ϐρείτε το άθροισµα των πολλαπλασίων του 4, µεταξύ των αριθµών 19 και Να ϐρείτε το άθροισµα των ϕυσικών αριθµών από το 10 έως και το 100, που δεν είναι όµως πολλαπλάσια του 3 και του Να ϐρείτε το άθροισµα των : i. 0 πρώτων όρων της ακολουθίας α ν = ν 1 ii. 60 πρώτων όρων της ακολουθίας α ν = 3ν Να ϐρείτε το ελάχιστο πλήθος όρων της αριθµητικής προόδου, 1, 5, 9,... που το άθροισµα τους δεν ξεπερνά το Να συµπληρώσετε τον πίνακα (τα στοιχεία της κάθε γραµµής ανήκουν στην ίδια αριθµητική πρόοδο). α 1 ω ν α ν S ν Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 16

17 1.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.8 Ποια ακολουθία ονοµάζεται γεωµετρική πρόοδος ; Απάντηση Αυτή, που ο κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο, πολλαπλασιάζοντας πάντα τον ίδιο αριθµό. ηλαδή ισχύει : α ν+1 = α ν λ. Το λ = α ν+1 λέγεται λόγος της γεωµετρικής προόδου. α ν Ερώτηση 1.9 Να αποδείξετε ότι ο ν-οστός όρος της γεωµετρικής προόδου δίνεται από τον τύπο α ν = α 1 λ ν 1 Απάντηση Είναι : α 1 = α 1 α = α 1 λ α 3 = α λ α ν 1 = α ν λ α ν = α ν 1 λ πολλαπλασιάζοντας κατά µέλη, έχουµε : α ν = α 1 λ ν 1 Ερώτηση 1.10 Να δειχθεί ότι, α, β, γ και µόνο αν β = α γ είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου, αν Απάντηση Αφού α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου, ϑα έχουµε : α = α β = α λ γ = β λ Άρα, α γ = α β λ = α α λ λ = (α λ) = β Αντίστροφα Αν : β = α γ β β = α γ β α = γ β Άρα, οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 17

18 Ερώτηση 1.11 Να δειχθεί ότι το άθροισµα των ν-πρώτων όρων µιας αριθµητικής προόδου δίνεται άπω τον τύπο S ν = α 1 (λ ν 1) λ 1, για λ 1 Απάντηση Είναι, S ν = α 1 + α 1 λ + α 1 λ α 1 λ ν 1 (1) λ S ν = α 1 +α 1 λ + α 1 λ α 1 λ ν () Αφαιρώντας κατά µέλη () (1) έχουµε : λ S ν S ν = α 1 λ ν α 1 (λ 1) S ν = α 1 (λ ν 1) S ν = α 1 (λ ν 1) λ 1 Για λ = 1 προφανώς είναι : S ν = ν α 1 Ερώτηση 1.1 Να γράψετε όλους τους τύπους που ισχύουν στην γεωµετρική πρόοδο. Απάντηση Λόγος της ΓΠ λ = α ν+1 Ο ν-οστός όρος της ΓΠ α ν = α 1 λ ν 1 Το άθροισµα των ν-πρώτων όρων της ΓΠ S ν = α 1 (λ ν 1) λ 1 α, ϐ, γ, διαδοχικοί όροι ΓΠ β = α γ α ν Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 18

19 1.3. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Θέµα 1.1 Να εξετάσετε αν η παρακάτω ακολουθία αριθµών είναι γεωµετρική πρόοδος : 3, 9, 7,... Λύση 1.1 Εχουµε 9 3 = 7 9 µε α 1 = 3 και λ = 3 = 3. Άρα είναι γεωµετρική πρόοδος Θέµα 1.13 Εχουµε την ακολουθία, µε τύπο α ν = ν. Να εξετάσετε αν είναι γεωµετρική πρόοδος. Μεθοδολογία 1.6 Για να είναι γεωµετρική πρόοδος, ϑα πρέπει ο λόγος α ν+1 να είναι α ν ανεξάρτητος του ν. Σ αυτή την περίπτωση, ο σταθερός αριθµός που προκύπτει είναι ο λόγος της γεωµετρικής προόδου λ Λύση 1.13 α ν+1 = ν+1 α ν ν = Άρα είναι γεωµετρική πρόοδος µε α 1 = και λ =. Θέµα 1.14 ίνεται η ακολουθία αριθµών 1, 5, 5,... i. Να εξετάσετε αν είναι γεωµετρική πρόοδος και να την προσδιορίσετε. ii. Να ϐρείτε τον 50ο όρο της. iii. Να ϐρείτε το άθροισµα των 100 πρώτων όρων της. Μεθοδολογία 1.7 Για να προσδιορίσω την γεωµετρική πρόοδο, ϑα πρέπει να ϐρω τον α 1 και το λ Λύση 1.14 i. Είναι 5 5 = 5 1 = 5 άρα είναι ΓΠ µε λ = 5 και α 1 = 1 ii. Από τον τύπο του ν-οστού όρου α ν = α 1 λ ν 1 έχουµε α 50 = = 5 49 iii. Από τον τύπο του αθροίσµατος των ν πρώτων όρων S ν = α 1 (λ ν 1) λ 1 έχουµε S 100 = Θέµα 1.15 Αν σε µια γεωµετρική πρόοδο, είναι α 4 = 3 4 και ο α 9 = 3 18, να ϐρείτε : i. Τον α 1 και το λ ii. Τον πεντηκοστό όρο. iii. Το άθροισµα των 60 πρώτων όρων. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 19

20 Μεθοδολογία 1.8 Οταν µου δίνουν δυο όρους της γεωµετρικής προόδου και µου Ϲητάνε να την προσδιορίσω, τότε ϕτιάχνω ένα σύστηµα µε αγνώστους τα α 1, λ, και το λύνω µε διαίρεση κατά µέλη. Λύση 1.15 i. Από τον τύπο α ν = α 1 λ ν 1. 3 α 4 = α 1 λ 3 4 = α 1 λ 3 Είναι α 9 = α 1 λ = α 1 λ 8 ii. α 50 = 6 ( 1 )49 = 6 ( 1 )49 λ 5 = 1 λ = 1 3 άρα α 1 = 6 iii. S 60 = 6 (( 1 )60 1) 1 = 8 (( 1 )60 1) Θέµα 1.16 Να ϐρείτε το γεωµετρικό µέσο των αριθµών 10 και 40. Λύση 1.16 Αν ο γεωµετρικός µέσος των 10 και 40 είναι x, τότε ισχύει : x = x = 400 x = ±0 Θέµα 1.17 Να προσδιορίσετε το x, ώστε οι παρακάτω παραστάσεις να αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωµετρικής προόδου. x. x + 1, x + 3 Λύση 1.17 Θα πρέπει να ισχύει, (x + 1) = x (x + 3) x + x + 1 = x + 3x x = 1 Θέµα 1.18 Να υπολογίσετε το άθροισµα : Λύση 1.18 Οι προσθετέοι του αθροίσµατος είναι όροι γεωµετρικής προόδου µε α 1 = 1, λ = 3, α ν = Από τον τύπο του ν-οστού όρου είναι : = 1 3 ν = 3 ν 1 ν = 10 Οπότε = S 10 = = 954 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 0

21 1.3.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να ϐρείτε το Ϲητούµενο όρο στις παρακάτω ακολουθίες : i. Τον α 7, της, 6, 18,... ii. Τον α 10, της 1,, 4,... iii. Τον α 9, της 1 4, 1, 1,... iv. Τον α 8, της 79, 43,.... Να ϐρείτε τον πρώτο όρο της γεωµετρικής προόδου, όταν α 5 = 3 και ο λόγος λ = Οµοίως, όταν α 4 = 7 18 και ο λόγος λ = Να ϐρείτε τους παρακάτω όρους : i. Τον α 10, της ΓΠ µε α = 8 και α 5 = 56 ii. Τον α 15, της ΓΠ µε α 4 = 81 και α 6 = 79 iii. Τον α 0, της ΓΠ µε α 4 = 15 και α = iv. Τον α 0, της ΓΠ µε α = και α 1 = 3 5. Να ϐρείτε ποιος όρος της ΓΠ, 4, 8,... είναι ο Να ϐρείτε τον πρώτο όρο της ΓΠ 3, 9, 7... που υπερβαίνει το Να υπολογίσετε τα παρακάτω αθροίσµατα : i. Το S 0, της, 6, 18,... ii. Τον S 10, της 1,, 4,... iii. Τον S 15, της 1 4, 1, 1,... iv. Τον S 5, της 79, 43, Να υπολογίσετε τα παρακάτω αθροίσµατα : i ii iii iv Να ϐρείτε το γεωµετρικό µέσο των 5 και Να ϐρείτε το x, ώστε οι x 4, x + 1, x 19 να αποτελούν διαδοχικούς όρους ΓΠ. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 1

22

23 Βιβλία Ιστοσελίδες. Βιβλιογραφία.1 Βιβλία Μπαραλός Αλγεβρα Κυριακόπουλος Αλγεβρα Μαυρογιάννης Αλγεβρα Παπακωνσταντίνου Αλγεβρα Σχολικό ΟΕ Β Αλγεβρα Μπάρλας Αλγεβρα Λουκόπουλος Αλγεβρα Μιχαηλιδης Αλγεβρα Ιστοσελίδες

24