Φυσική σημασία της παραγώγου Γεωμετρική προσέγγιση. υ 2 =

Transcript

1 Φσική σημασία της παραγώγο Γεωμετρική προσέγγιση Έστω ότι έχω ένα κνινούμενο σώμα M και καταγράφω με ένα αισθητήρα τη θέση το X i για διάφορες χρονικές στιγμές i με βήμα Δ 1 Δ 1 Δ 1 1 = +Δ 1 Η ταχύτητα 1 σε χρόνο μεταξύ και +Δ 1 είναι η κλίση Δ Δ 2 1 Δ Δ = Δ 2 Δ 2 < 1 Δ 1 +Δ 2 Η ταχύτητα 2 σε χρόνο μεταξύ και Δ 1 +Δ 2 είναι μια μικρότερη κλίση +Δ 1 Για ακόμα μικρότερο βήμα χρόνο Δ 3 Η ταχύτητα 3 σε χρόνο μεταξύ και +Δ 3 έχει κλίση ίδια με τη προηγούμενη Δ 3 Δ 2 Δ 3 Δ 1 Δ 3 3 = = Δ 2 3 Η κλίση 3 είναι πολύ κοντά στη γεωμετρική εφαπτομένη της καμπύλης X() Δ 2 Δ 1 +Δ 3 +Δ 2 +Δ 3 Επομένως για κάποιο Δ μικρότερο από κάποιο όριο Δ 3 η κλίση πρακτικά δεν αλλάζει είναι πολύ κοντά στη γεωμετρική εφαπτομένη Εφαρμοσμένη Φσική Κονάβης 3η Ενότητα 1

2 Τα διαδοχικά σημεία της X() μεταξύ και +Δ 3 ρίσκονται πρακτικά στην ίδια εθεία, την εφαπτομενενη της καμπύλης X() Δ 3 Δ 3 Δ 2 Δ 2 Λόγω το ότι σχηματίζονται όμοια τρίγωνα τότε: Δ 2 Δ = 3 Δ 2 Δ 3 Τότε όλες οι κλίσεις i Δ i i = Δi +Δ 3 +Δ 2 πο πολογίζονται με Δ i <Δ 3 έναι πρακτικά ίσες, στην ακρίβεια πο επιθμώ, με τη παράγωγο το διαστήματος ως προς το χρόνο Για Δ i <Δ 3 To Δ i είναι το Λύνοντας ως προς Δ i Δ i i = Δi Δ i = i Δ i Διαφορικό d ή = () = li d= () Δ Ισχύει όταν Δ i <Δ 3 Δ i Δ i d = Σημαντική σημείωση Το Δ Δεν σημαίνει αναγκαστικά ότι το Δ είναι ένας πολύ μικρός αριθμός (κοντά στο μηδέν). Δ i Δ i Εξαρτάται μόνο από το γεγονός το πότε το πηλίκο φθάνει το όριο και δεν αλλάζει για μικρότερα Δ πέρα από την ακρίβεια πο θέλω. Έτσι το Δ μπορεί να είναι λεπτά ή ώρες π.χ. κίνηση σε ρεστό με μεγάλο ιξώδες (τριβές) ή ακόμα και χιλιάδες ή εκατομύρια χρόνια προκειμένο να μετρήσω ταχύτητες μακρνών άστρων πο φαίνονται ακίνητα. Εφαρμοσμένη Φσική Κονάβης 3η Ενότητα 2

3 Πως μπορώ να καταγράφω σε ένα κνινούμενο σώμα M με τη βοήθεια αισθητήρων τη θέση το S για διάφορες χρονικές στιγμές. () Ένα κινούμενο σώμα πο κινείται με μεταβαλόμενη ταχύτητα (), την οποία θέλω να μετρήσω. Δ κάθε φορά πο περνά από μια φωτοπύλη, διακόπτεται η αντίστοιχη ακτίνα φωτός. Έτσι διαπιστώνεται με τη διακοπή το ρεύματος πο παράγεται από τη δέσμη φωτός στον αντίστοιχο αισθητήρα, και καταγράφεται (π.χ. σε ένα PC) η χρονική στιγμή i και το σημείο (δηλ σε πόσα Δ από την αρχή) σμβαίνει ατό. Εδώ για παράδειγμα το σύστημα με τις φωτοπύλες καταγράφει ότι τη χρονική στιγμή το κινούμενο σώμα έχει διανύσει απόσταση S=8Δ από την αρχή. Πηγές φωτός πχ LED αισθητήρες φωτός Ένα σύστημα με φωτοπύλες έχει εγκατασταθεί σε σταθερές αποστάσεις Δ. Όταν το κινούμενο σώμα θα έχει περάσει το σύστημα με τις φωτοπύλες θα έχον καταγραφεί, π.χ. σε ένα PC, οι χρονικές στιγμές και οι αντίστοιχες θέσεις S πο διέκοπτε τις φωτινές δέσμες φωτός Δηλ. θα πάρομε ένα πίνακα με 2 στήλες πο θα έχον καταγραφεί οι χρόνοι και τα διαστήματα S S Εφαρμοσμένη Φσική Κονάβης 3η Ενότητα 2 σμπλήρωμα

4 Φσική σημασία της παραγώγο Αριθμητική προσέγγιση Υπολογίζω τη ταχύτητες I Και τα διαστήματα κατά τη διάρκεια μιάς ομαλά επιταχνόμενης κίνησης με επιτάχνση α=.1 /s 2 Για Δi=1 s Για Δi=1 s i i =α i s i =1/2a 2 s i- (s i -s i-1 )/Δ (s) (/s) () () (/s) 5E-6 5E-5.1 1E-4 5E-6 2E-5 1.5E-4.2 2E-4 2E-5 4.5E-5 2.5E-4.3 3E-4 4.5E-5 8E-5 3.5E-4.4 4E-4 8E E-4 4.5E-4.5 5E E-4 1.8E-4 5.5E-4.6 6E-4 1.8E E-4 6.5E-4.7 7E E-4 3.2E-4 7.5E-4.8 8E-4 3.2E-4 4.5E-4 8.5E-4.9 9E-4 4.5E-4 5E-4 9.5E E-3 5E-4 6.5E E-8 5E-6.1 1E-5 5E-8 2E-7 1.5E-5.2 2E-5 2E-7 4.5E-7 2.5E-5.3 3E-5 4.5E-7 8E-7 3.5E-5.4 4E-5 8E E-6 4.5E-5.5 5E E-6 1.8E-6 5.5E-5.6 6E-5 1.8E E-6 6.5E-5.7 7E E-6 3.2E-6 7.5E-5.8 8E-5 3.2E-6 4.5E-6 8.5E-5.9 9E-5 4.5E-6 5E-6 9.5E-5.1 1E-4 5E-6 6.5E-6 1.5E-4 Παρατηρώ ότι το πηλίκο ΔS i /Δ den eίναι σταθερό και επομένως δεν μπορεί να εκφράζει τη στγμιαία ταχύτητα i. Για Δi=.1 s i i =α i s i =1/2a 2 s i-1 (s i -s i-1 )/Δ E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-5 Παρατηρώ ότι το πηλίκο ΔS i /Δ είναι σταθερό με ακρίβεια στο 2ο σημαντικό ψηφίο (ΣΨ) σε διαδοχικά χρονικά διαστήματα και επομένως μπορεί να εκφράζει τη στγμιαία ταχύτητα i μέσα στα πλαίσια το ορίο της παραγώγο. () = li Δ ΔS i Δ i εδώ ισχύει για Δ i <Δ=.1 s Με μικρότερο Δ i τότε η =ΔS i /Δ θα μπορεί να είναι σταθερή στο 3 ΣΨ.. ds = Εφαρμοσμένη Φσική Κονάβης 3η Ενότητα 3

5 Φσική σημασία το ολοκληρώματος Έστω ότι έχω καταγράψει με βήμα χρόνο Δ με ένα αισθητήρα την ταχύτητα () ενός κινούμενο σώματος M Θέλω να βρώ το σνολικό διάστημα πο έκανε το κινούμενο σώμα από χρόνο α σε τ Ισοδύναμα θέλω να βρώ το () Δ i Δ i d = = Δ i = i Δ i ή Διαφορικό d= () Δ Αριθμητικά είναι το στοιχειώδες εμβαδόν α Στο χρόνο α το Μ βρίσκεται στο Στο χρόνο α +Δ στη θέση Στο χρόνο α +Δ + Δ στη θέση i i +Δ τ α α +Δ 1 = α + 1 Δ α +Δ 1 +Δ 2 = α + 1 Δ + 2 Δ Στο χρόνο τ στη θέση α + ΣΔ i = α + Σ i Δ τ ΣΔ i = Σ i Δ i α τ α Εφαρμοσμένη Φσική Κονάβης 3η Ενότητα 4

6 Με ατό τον τρόπο από τα i () βρίσκω τα ( i ) προσθέτοντας στο X α τις διαδοχικές μετατοπίσεις Δ= i ()Δ X() Έτσι μια τχαία χρονική στιγμή η θέση το Μ βρίσκεται από το ( i )= α +Σ i Δ τ ( i ) Δ i α Δ 2 Δ 1 li ΣΔ i = li Σ i Δ Δ Όρια ως προς τη μεταβλητή α +Δ+Δ α +Δ τ α τ α Δ i +Δ i α Υπάρχει ένα Δ i όπο για Δ<ΔXi το άθροισμα ΣΔ δεν αλλάζει στο ψηφίο το σφάλματος τότε: τ τ α d = () α τ Όρια ως προς τη μεταβλητή Ορισμός ολοκληρώματος τ α Ολ = [] = ( - ) = () To To α τ α τ αντιστοιχεί στο αντιστοιχεί στο α τ = αριθμητικά με το εμβαδόν κάτω από τη καμπύλη της () από α έως τ. Δηλ. το διάστημα προκύπτει από την ολοκλήρωση της () Εφαρμοσμένη Φσική Κονάβης 3η Ενότητα 5

7 Π.χ. () = α n + β Να βρεθεί το S() αν S()=d και το γ() Όριο είναι η μεταβλητή χρόνος () d = () - L = ( ) = = L (α n + β ) [α/(n+1) n+1 + β/2 2 ] () = L + α/(n+1) n+1 + β/2 2 Εφαρμοσμένη Φσική Κονάβης 3η Ενότητα 6

8 Κινηματική σε 3 διαστάσεις z r y κάθε σημείο P το χώρο r = + y y +z z P z z z διάνσμα θέσης r y παριστάνεται με την επιβατική ακτίνα r z y y y y z μοναδιαία διανύσματα Η έννοια της παραγώγο στις 3 διαστάσεις z r() τροχιά Μέση ταχύτητα = Δ Δ Δr r(+δ) y z dr Δ v= dr στο όριο πέρνομε ταχύτητα στιγμιαία ταχύτητα εφαπτομένη Δr y v= Δr Δ v= r τελ-r αρχ Δ Εφαρμοσμένη Φσική Κονάβης 3η Ενότητα 8

9 v= Δr Δ Δr = Δ + Δy y +Δz z Δr = Δ + Δy y + Δz z Δ Δ Δ Δ Δ Ότι ισχύει στις εξισώσεις της γραμμικής κίνησης ισχύει και στη περίπτωση των διανσμάτων στις 3 διαστάσεις π.χ. dr = d + dy y + dz z v = + y y + z z Ατό πρακτικά σημαίνει πως Δ Δy Δz οι λόγοι Δ Δ Δ κάτω από ένα όριο το Δ θα παραμένον σταθεροί πέραν το ορίο της ακρίβειας των μετρήσεων το Δ και Δ Το ίδιο ισχύει και για τος άλλος λόγος δηλ ο λόγος Δ Δ = li Δ Εχει φτάσει το όριο της της παραγώγο Δ Δ = d Εκφράζει τη παράγωγο = στιγμιαία ταχύτητα Αν γενικά r = F() + g() y +H() z Τότε παραγωγίζοντας παίρνω την ταχύτητα V()= dr = df() + dg() y +dh() z r = (k+a) + ( 2 +b) y + c z Π.χ. Αν Να βρεθούν τα διανύσματα της ταχύτητας και επιτάχνσης. Τι είδος κίνηση έχομε? Εφαρμοσμένη Φσική Κονάβης 3η Ενότητα 9

10 Ομαλή κκλική κίνηση Eπιτάχνση y a = a = d Δ = Δ Δ d 2 r 2 Έχομε σταθερα μέτρα γραμμικής, γωνιακής ταχύτητας και κεντρομόλο επιτάχνσης 2 S κκλικό τόξο θ r 2 r θ = S r 1 Δ 1 r 1 Σε ακτίνια Γι ατό μόνο τα ακτίνια έχον νόημα στη Φσική d Δ 2 1 Δθ dθ Δ στο όριο a 2 a = Δ Δ στο όριο Δθ a Δ = Δθ Δ a = 2 r Δ = Δθ Διάνσμα κεντρομόλο επιτάχνσης = ΔS Δ Δθ Δ 45 o Δ = /cos45 ο μεταβολή = μέτρο κεντρομόλο επιτάχνσης Δ είναι πάντα κάθετο στην γιατί Δ γίνεται κάθετο στο όταν Δ Δ πέρνομε d κκλική τροχιά η επιτάχνση βλέπει προς το εσωτερικό της τροχιάς Δθ dθ ω = τελική = a = Δ Δ rδθ r Δ αρχική Έχομε μεταβαλλόμενο διάνσμα ταχύτητας Και κετρομόλο επιτάχνσης γ κ = r ω Εφαρμοσμένη Φσική Κονάβης 3η Ενότητα 1

11 a = d = dθ = ds dθ = Μεταβαλλόμενη κκλική κίνηση z ω = Έχομε μεταβαλόμενα μέτρα της ταχύτητας, κεντρομόλο και επιτρόχιας επιτάχνσης εφαπτομένη = r rdθ = r ω τροχιά 2 Δθ 1 r 2 r 1 Δ d a a= = Δ 1 Δ Δ Μέση επιτάχνση Επιτάχνση y Δ στο όριο Δ πέρνομε a = d d στιγμιαία επιτάχνση 2 γ ε3 γ ε2 1 γ ε1 Διάνσμα επιτρόχιο επιτάχνσης (εφαπτομένη) 3 γ κ2 γ κ1 γ κ3 Διάνσμα ολικής επιτάχνσης γ ολ ω = dθ Αφορά μέτρο της γ ε = d γ κ = 2 r γ ολ = γ ε + γ ε α = Γωνιακή επιτάχνσης dω Εφαρμοσμένη Φσική Κονάβης 3η Ενότητα 11

12 1oς Νόμος ΣF = Τ Τ = ΣF = Νόμοι το Newon = τραχεία επιφάνεια το σώμα σταματάει γρήγορα λόγω τριβών Λεία επιφάνεια το σώμα δεν σταματάει Νόμος αδράνειας Αν σε ένα σώμα ΣF= τότε το σώμα διατηρεί την κινητική το κατάσταση : σταθερή Ελεύθερο σώμα : όταν στο σώμα δεν επιδρά καμμία εξωτ. δύναμη Αδράνεια : η τάση των σωμάτων να διατηρούν σταθερή την κινητική τος κατάσταση. Αδρανειακό σύστημα αναφοράς το σύστημα για το οποίο ισχύει ο 1ος νόμος το Newon. Πως διακρίνομε αν ένα σύστημα είναι αδρανειακό? a ' Κινούμενο όχημα με σταθερή Αδρανειακό σύστημα αναφοράς και το εκκρεμές ΣF= ισορροπεί ικανοποιείται ο 1ος νόμος το Newon. Κινούμενο όχημα με επιτάχνση a Για το Μη Αδρανειακό σύστημα αναφοράς το εκκρεμές "ανεξήγητα" δεν ισορροπεί φαίνεται ακίνητο ενώ ΣF= δεν φαίνεται να ικανοποιείται ο 1ος νόμος το Newon. Εφαρμοσμένη Φσική Κονάβης 3η Ενότητα 12

13 Τι είναι Αδρανειακό σύστημα αναφοράς Πως διακρίνομε αν ένα σύστημα είναι αδρανειακό? Σύστημα αναφοράς : κινούμενο όχημα με ταχύτητα σταθερή Α T W Ο παρατηρτής Α στο σύστημα αναφοράς το εδάφος και ο στο σύστημα αναφοράς το οχήματος διαπιστώνον ότι εκκρεμές ισορροπεί γιατί βάρος (W)=(T) τάση το νήματος και το εκκρεμές ισορροπεί ΣF= Τότε το σύστημα αναφοράς ικανοποιείται ο 1ος νόμος το Newon. Το κινούμενο όχηματος με Αδρανειακό σύστημα αναφοράς (ΑΣΑ) σταθερή ταχύτητα λέμε ότι είναι: Γιατί δεν έχει επιτάχνση Σύστημα αναφοράς Σύστημα αναφοράς Κινούμενο όχημα με επιτάχνση a Κινούμενο όχημα με επιτάχνση a a ' Α T W F a ' Ο παρατηρτής Α στο σύστημα αναφοράς το εδάφος διαπιστώνει ότι εκκρεμές ισορροπεί στη λοξή θέση λόγω το ότι το εκκρεμές επιταχύνεται λόγω της σνισταμένης δύναμης F των Τ και W Σύστημα αναφοράς Κινούμενο όχημα με επιτάχνση a Σύστημα αναφοράς Κινούμενο όχημα με επιτάχνση a a ' Α Μ T W F a ' Ο παρατηρητής στο σύστημα αναφοράς το οχήματος μη έχοντας πληροφορία ότι το όχημα επιταχύνεται διαπιστώνει ότι εκκρεμές ισορροπεί στη λοξή θέση ενώ το ΣF=. Τότε το σύστημα αναφοράς Έτσι δεν φαίνεται να ικανοποιείται ο 1ος νόμος το Newon. Το κινούμενο όχηματος με σταθερή ταχύτητα λέμε ότι είναι: Μη Αδρανειακό φαίνεται ακίνητο ενώ ΣF= Γιατί έχει επιτάχνση Εδώ ο αναγκαζεται να επινοήσει μια επιπλέον «μστηριώδη» ανύπαρκτη δύναμη Μ ώστε να διακιολογίσει την ισορροπία Εφαρμοσμένη Φσική Κονάβης 3η Ενότητα 13

14 Η Γη πρακτικά θεωρείται αδρανειακό σύστημα αναφοράς προσεκτικά πειράματα δείχνον πως η Γη δεν είναι αδρανειακό. Πείραμα Foucaul. το εκκρεμμές δεν μπορεί να σστρέφεται σταθερό επίπεδο ταλάντωσης η Γη όμως περστρέφεται γύρω από το σταθερό επίπεδο ταλάντωσης η διεύθνση ταλάντωσης το μεγάλο μήκος εκκρεμούς βαθμιαία αλλάζει κατά την διάρκεια της ημέρας ακραία περίπτωση το εκκρεμές στος πόλος της Γης λόγω της περιστροφής της Γης. Λόγω της περιστροφής της Γης πάρχει η κεντρομόλος επιτάχνση, a k, η οποία όμως είναι πολύ μικρή R E cosθ Για παρατηρητή στη Γη Νorh R E θ στον ισημερινό R E cosθ N a k Φαίνεται να πάρχει φγόκεντρος δύναμηεπιτάχνση a k a k = φ 2 r cosθ=1 (δεν τη σχεδιάζομε δεν πάρχει στη πραγματικότητα) 2πr 1 = ( ) 2 R E cosθ = 4π 2 T r Για παρατηρητή στο διάστημα a k =.34 /s 2 T 2 Νorh Χωρίς την περιστροφή της Γης N= Souh Souh R E θ θ F K a k ak = F K= a k Φαίνεται να πάρχει κεντρομόλος δύναμη 2 r = ( 2πr T ) 2 /r Πόση είναι η γωνία φ για το γεωγραφικό πλάτος θ=38 ο της Πάτρας? Πόσο θα διέφερε ένα κιλό χρσού από το πραγματικό το βάρος? Νorh θ N F K φ N cosφ = Λαμβάνοντας ποψην την περιστροφή της Γης Souh Σε ποιο μέρος της Γης είναι ιδανικό για να μετράμε το ακριβές βάρος των σωμάτων? Εφαρμοσμένη Φσική Κονάβης 3η Ενότητα 14

15 2oς Νόμος a F βρέθηκε πειραματικά Πρότπη μάζα : F 1 kilogra (kg) π = a = σταθερό = a F = a αδρανειακή μάζα Δύναμη : 1Newon (N) Δύναμη 1N προσδίδει επιτάχνση 1/s 2 σε σώμα μάζας 1 kg 1N = 1 kg 1/s 2 άγνωστη μάζα a π μετρούμενες επιταχύνσεις γνωστή μάζα = Έτσι προσδιορίζεται μιά άγνωστη μάζα στο διάστημα Στη Γη οι μάζες μετρούνται με τος ζγούς W = g βαρτική μάζα = αδρανειακή μάζα 3oς Νόμος Α F Α F Α = -F Σε κάθε δράση πάρχει πάντα μια αντιτιθέμενη και ίση αντίδραση F αβαρές νήμα Τ 1 Τ 1 ' αλσίδα με βάρος, Τ 1 = -Τ 2 Τ 1 ' = -Τ 2 - αλ Τ 2 Τ 2 Εφαρμοσμένη Φσική Κονάβης 3η Ενότητα 15

16 Ένα επιταχνσιόμετρο Μπορεί να χρησιμεύσει ένα εκκρεμές θ=45 o 2g 1g θ g -1g -2g T T = (/cosθ) θ θ F anθ=1 Άρα a=g T B F = a = Tsinθ = (/cosθ) sinθ =g a = g anθ Μετρώντας τη anθ βρίσκω την a Δνάμεις επαφής (τριβή) F k Τ F N F s ' F S F μη διανσματική η σχέση στατική τριβή F S = μ S F k όταν = F s ' = μ k F k όταν = τριβή ολισθήσεως Εφαρμοσμένη Φσική Κονάβης 3η Ενότητα 16

17 Σφαίρα μάζας M με αρχική ταχύτητα ο προσκρούει σε ξύλινη πλάκα πάχος d. Αν η αντίσταση πο δέχεται η σφαίρα μέσα στη ξύλινη πλάκα είναι ανάλογη της ταχύτητάς της (k): 1) Να βρεθεί η ταχύτητα της σφαίρας σναρτήσει το χρόνο μέσα στη πλάκα. 2) Να βρεθεί το ελάχιστο πάχος d in της πλάκας ώστε η σφαίρα να μη διαπεράσει τη πλάκα. 3) Να βρεθεί η τελική ταχύτητα με την οποία η σφαίρα διαπερνά τη πλάκα όταν d<d in. D F F F o τελ 1) Παρατηρώ πως η ταχύτητα της σφαίρας καθώς εισέρχεται στο ξύλο μειώνεται σνεχώς με το χρόνο. Πάντα ξεκινάω με το 2ο νόμο το Νεύτωνα αφο k > F = a k = + - Δ Δ Χρησιμοποιώ αρχικά + και και μετά θα αποφασίσω ποιο πρόσημο είναι κατάλληλο τότε Διαφορική εξίσωση της κίνησης της σφαίρας Χρησιμοποιώ αρχικά (γειτονικές) διαφορές αντί για παραγώγος ή διαφορικά Γιατί η ταχύτητα κατά τη φορά της της ταχύτητας ελλατώνεται Δ=( τελική - ( - αρχική )< τελική - αρχική ) k = + ( τελική - αρχική ) k = - Δ k = - d Δ k = - d - k = Οι τελικές τιμές είναι μεταβλητές και είναι μια τχαία τιμή το χρόνο Είναι χωριζομένων μεταβλητών Δ=( τελική - αρχική )> Oi διαδοχικές διαφορές αναφέρονται πάντα στη τελική μείον την αρχική τιμή Και στη διαφορική μορφή d χωρίζω τις μεταβλητές < Και ολοκληρώνω () ο d = - k ln ] Αρχικές τιμές πρέπει να αντιστοιχούν ] () ο Δηλ. όταν εισέρχεται η σφαίρα έχει ταχύτητα ο και οχρόνος είναι = k ] ] Εφαρμοσμένη Φσική Κονάβης 3η Ενότητα 17

18 Από τη Αριθμητική λύση της διαφορικής και το προβλήματος Με την αριθμητική λύση επιλύω το φσικό πρόβλημα και προσδιορίζω τις λύσεις με αρκετή ακρίβεια όταν η διαφορική εξίσωση δεν επιλύεται αναλτικά Διαφορική εξίσωση της κίνησης της σφαίρας k = - Δ Δ Την γράφω με τη μορφή διαφορών Επιλέγω ένα Δ π.χ. Δ =1 s k = - d και λύνω ως προς Δ Έτσι για 1 = o ( 1 )= o k( για 2 = o + Δ ( 2 )= ( 1 ) + (- 1 ) ) Δ k( για 3 = o + Δ + Δ ( 3 )= ( 2 ) + (- 2 ) ) Δ. k( για i = o + (i-1)δ ( i )= ( i-1 ) + (- i-1 ) ) Δ Έτσι βρίσκω όλα τα (). Επιλέγω ένα μικρότερο Δ π.χ. Δ =.5 s Διαφορικό το Δ = - k Δ Επαγωγικός τύπος Η σχέση ατή μπορεί να χρησιμοποιηθεί σαν επαγωγικός τύπος για να βρώ αριθμητικά όλα τα () της σφαίρας από τη στιγμή o πο εισέρχεται στη ξύλινη πλάκα με αρχική ταχύτητα ο και για κάθε. Και επαναλαμβάνω την παραπάνω διαδικασία και βρίσκω νέα ( i ), αφού ατές εξαρτώνται από το βήμα Δ πο επέλεξα. Αν τα ( i ) πο βρίσκω είναι ίδια στην ακρίβεια πο με ικανοποιεί με ατά πο βρήκα με το προηγούμενο βήμα Δ, τότε σταματώ και κρατώ τις τιμές πο πολόγησα, αλλιώς επναλαμβάνω με μικρότερο βήμα Δ μέχρι να φθάσω οι τιμές ( i ) πο πολογίζω να διαφέρον από τις προηγούμενες στην ακρίβεια πο επιθμώ. Πρόβλημα για εξάσκηση 1. Πώς λύνεται το παραπάνω πρόβλημα όταν αντί για την ο γνωρίζω την τελική τιμή της ταχύτητας εξ της σφαίρας όταν ατή εξέρχεται από τη ξήλινα πλάκα. 2. Πώς βρίσκω αριθμητικά το S() πο διανύει η σφαίρα μέσα στη ξύλινη πλάκα καθώς και την επβράδνση α() Πο φίσταται η σφαίρα. Εφαρμοσμένη Φσική Κονάβης 3η Ενότητα 17 σμπλήρωμα

19 ΟΟ ΟΟ ln () ο = - k ()= o e -(k/) Η λύση της διαφορικής εξίσωσης της κίνησης της σφαίρας Κάνω όλος τος δνατούς ελέγχος για να ελέγξω την ορθότητα της λύσης. 2) k = k - d d = - d k = - d d = - d Όταν = τότε η ταχύτητα θα είναι Μπορώ να βάλω κάποια τχαία απόσταση πο διανύει η σφαίρα στο ξύλο όπο ταχύτητα για να βρώ την () = - k U() d d ο ()= o e -(k/) d Η λύση ()= o e -(k/) για = για =Άπειρο = = ο e -(k/) ()= o e -(k/) = o Στη πραγματικότητα το άπειρο το θεωρούμε έναν πολύ μεγάλο αριθμό k in d ο d k = - d = - d k k in = k = - () = - k (d) = k - D d = = ο e -(k/) d = ο e -(k/) σωστό ()= o e -(k/) = Για να βρώ την απόσταση πο μπορεί να σταματήσει η σφαίρα ή το ελάχιστο πάχος in για να διαπεράσει τη ξήλινη πλάκα....θα πρέπει να εισάγω τη μεταβλητή στη διαφορική εξίσωση Για =D Παίρνω... Για Xin Τότε η ταχύτητα θα είναι τη ταχύτητα πο εξέρχεται από τη πλάκα Εξασφαλίζει σνεχή μείωση της με το χρόνο σωστό σωστό Δηλ σε κάποιο πεπερασμένο χρόνο η σφαίρα θα σταματήσει () = ο /k (1-e -(k/) )...ατό γίνεται θεωρώντας την σνάρτηση () και τη βοήθεια της σύνθετης παραγώγισης : Εφαρμοσμένη Φσική Κονάβης 3η Ενότητα 18 d d

20 δ Ο χρόνος να διαπέρασει το πάχος D D δ d = = ο e -(k/) d = ο e -(k/) d = ο e -(k/) δ = D - ο /k D = ο /k (1-e -(k/)δ ) e -(k/)δ = ο/k - D ο /k δ = /k ln ο/k - D ο /k εξόδο = ο e -(k/)δ Εφαρμοσμένη Φσική Κονάβης 3η Ενότητα 17

21 Μελέτη κατακόρφης βολής στη ατμόσφαιρα με αντίσταση Τ=-k. Ένα σώμα βάλλεται κατακόρφα προς τα επάνω με αρχική ταχύτητα ο. Αν η αντίσταση πο δέχεται η σφαίρα μέσα από τον αέρα είναι ανάλογη της ταχύτητάς της (k): Να βρεθεί το μέγιστο ύψος h a Καθώς και ο χρόνος a πο χρειάζεται για να φθάσει στο ύψος ατό το σώμα a h a Τ = k ο Τ = k o ΣF = a Πάντα ξεκινάω με το 2ο νόμο το Νεύτωνα Γιατί η ταχύτητα κατά τη φορά της κίνησης ελλατώνεται - g - k = Αφού είναι αρνητικό το αποτέλεσμα θα πρέπει οι δνάμεις να είναι και οι δύο γιατί έχον την ίδια φορά - k g = d Είναι χωριζομένων μεταβλητών Χρησιμοποιώ αρχικά + και και μετά θα αποφασίσω ποιο πρόσημο είναι κατάλληλο + - g + - k = d g k Δ=( τελική - αρχική )< Δ < Δ Δ> Διαφορική εξίσωση της κίνησης το σώματος + = - /k χωρίζω τις μεταβλητές d - k/ = d g/k + a - k/ = d g/k + a - k/ = d(g/k + ) g/k + - a = /k [ln(g/k+)] = /k ln( g ) g + k a = /k ln( g + k ) g Εφαρμοσμένη Φσική Κονάβης 3η Ενότητα 2

22 Στη γενική περίπτωση για οποιαδήποτε χρονική στιγμή και όπο η ταχύτητα είναι και ερίσκεται σε οποιοδήποτε ύψος h κατά τη διάρκεια της ανόδο ή της καθόδο θα έχομε: - k/ = d(g/k + ) g/k + - = /k [ln(g/k+)] = /k ln( g + k ) g + k = /k ln( ) g + k g +k g + k g +k = e (k/ ) (-k/ ) g + k= (g + k )e oρ oρ (-k/ ) = -g/k+(g/k + )e = - ορ +( ορ + )e = ( ορ + )e [-k/ ] - ορ = - ορ = για μεγάλος χρόνος >> αν Άρα το σώμα κατέρχεται με οριακή ταχύτητα (- ορ ) Άρα δεν θα πρέπει να διαπραγματετώ τη κάθοδο ξεχωριστά χρησιμοποιώντας π.χ. την άλλη κατάλληλη Διαφ Εξισ (-k/ ) h a d d d dy d - k g = = = = dy dy d = - dy g + k d = g - k d 1 +g/k-g/k g/k d = d = (1- ) d = g + k g/k + g/k+ ο h a -k/ dy [ -g/k ln(g/k+) ] = - ο - g/k [ ln(g/k) ln(g/k+ ο ) ] = -k/ h a g +k o h a = /k [ o + g/k ln( )] g Εφαρμοσμένη Φσική Κονάβης 3η Ενότητα 21

23 Τ Τ' Δνάμεις τριβής σε ρεστό = < ορ a g h oρ = ορ oρ Τ' oρ h Τ=k g - k oρ = g - k = a oρ = g/k d = g - k d k = g k - d k = oρ - χωρίζω μεταβλητές d oρ - = k d(-) k = - oρ - V=- oρ v dv d( ορ -) = - oρ - k - ορ V V() dv V oρ = - k ( ορ -) [ ] = [ e -(k/) ] ορ V ln ( ορ -) = [ ] V() oρ [- k ] () = oρ [1-e -(k/) ] ln ( ορ -) ορ = - k Εφαρμοσμένη Φσική Κονάβης 3η Ενότητα 22

24 Ο Τ = oρ Α Τ' oρ [1-e -(k/) ] oρ Τ' y y = = oρ y dy = = oρ [1-e -(k/) ] dy = oρ [1-e -(k/) ] dy = oρ [1-e -(k/) ] oρ [1-e -(k/) ] = ορ - oρ e -(k/) () [ oρ ] ] + [ oρ e -(k/) k y() = oρ [-(/k)(1-e -(k/) )] Πρακτικά για = 4 ή 5/k τότε η ταχύτητα φθάνει στην ορική της τιμή = oρ oρ [1-e -(k/) ] y και διανύει διάστημα y=oa y=oa = oρ [4 ή 3(/k)] Εφαρμοσμένη Φσική Κονάβης 3η Ενότητα 23