Κινηματική σε 3 διαστάσεις. r = x x + y y +z z P. Η έννοια της παραγώγου στις 3 διαστάσεις

Transcript

1 Κινηματική σε 3 διαστάσεις = + + P παριστάνεται με την επιβατική ακτίνα κάθε σημείο P το χώρο (t τροχιά = Δ Δ (t+ διάνσμα θέσης d v= d μοναδιαία διανύσματα Η έννοια της παραγώγο στις 3 διαστάσεις Μέση ταχύτητα πέρνομε ταχύτητα στιγμιαία ταχύτητα Δ εφαπτομένη Ατό πρακτικά σημαίνει πως κάτω από ένα όριο το ο λόγος Δ θα παραμένει σταθερός πέραν το ορίο της ακρίβειας των μετρήσεων το Δ και και αντιπροσωπεύει την στιγμιαία ταχύτητα

2 v= Δ Δ = Δ + Δ +Δ Δ = Δ + Δ + Δ d = d + d + d v = + + Ότι ισχύει στις εξισώσεις της γραμμικής κίνησης ισχύει και στη περίπτωση των διανσμάτων στις 3 διαστάσεις πχ - ο = v ο t+ (1/2a t 2 v = v ο + a t a =σταθερή Αν γενικά = F(t + g(t +H(t Τότε παραγωγίζοντας παίρνω την ταχύτητα V(t= d = df(t + dg(t +dh(t Πχ Αν = (t+a + (mt 2 +b + c Τι είδος κίνηση έχομε

3 Επιτάχνση εφαπτομένη 2 1 τροχιά 2 1 Δ d a a= = 1 Μέση επιτάχνση Δ Δ πέρνομε a = d στιγμιαία επιτάχνση d

4 v= Δ Δ = Δ + Δ +Δ Δ = Δ + Δ + Δ d = d + d + d v = + + Ότι ισχύει στις εξισώσεις της γραμμικής κίνησης ισχύει και στη περίπτωση των διανσμάτων στις 3 διαστάσεις πχ - ο = v ο t+ (1/2a t 2 v = v ο + a t a =σταθερή Αν γενικά = F(t + g(t +H(t Τότε παραγωγίζοντας παίρνω την ταχύτητα V(t= d = df(t + dg(t +dh(t Πχ Αν = (t+a + (mt 2 +b + c Τι είδος κίνηση έχομε Eπιτάχνση κκλικό τόξο S a = a = d 2 Δ = d 2 2 Ομαλή κκλική κίνηση 1 1 θ = S θ 2 Σε ακτίνια Γι ατό μόνο τα ακτίνια έχον νόημα στη Φσική d Δ a = Δ κκλική τροχιά Δ a Δ 2 = a = 2 μέτρο κεντρομόλο επιτάχνσης Διάνσμα κεντρομόλο επιτάχνσης είναι πάντα κάθετο στην γιατί Δ γίνεται κάθετο στο η επιτάχνση βλέπει προς το εσωτερικό της τροχιάς a 45 τελική Δ = / μεταβολή cs45 ο Δ = = ΔS ω = = γ κ a = Δ όταν = αρχική = ω Έχομε σταθερα μέτρα γραμμικής, γωνιακής ταχύτητας και κεντρομόλο επιτάχνσης Έχομε μεταβαλλόμενο διάνσμα ταχύτητας Και κετρομόλο επιτάχνσης Δ πέρνομε a = d = d = ds ω = = = = ω

5 Μεταβαλλόμενη κκλική κίνηση 3 2 γε3 γολ Έχομε μεταβαλόμενα μέτρα της ταχύτητας, κεντρομόλο και επιτρόχιας επιτάχνσης γε2 γκ2 1 γκ1 γκ3 γε1 Αφορά μέτρο της Διάνσμα επιτρόχιο γ ε = d επιτάχνσης (εφαπτομένη Διάνσμα ολικής επιτάχνσης γ ολ = γ ε + γ ε Έχομε μεταβαλλόμενα διάνσματα ταχύτητας, Κετρομόλο και επιτρόχιας επιτάχνσης Διαφορικό - Ολοκλήρωση γ κ = 2 ω = α = dω Γωνιακή επιτάχνσης Το Διάστημα γίνεται ταχύτητα με παραγώγισή το = Δ αρχ = Δ = 1 = + Δ = = 1 + Δ = πέρνομε τελ : n = n-1 + Δ = n τελ = + Σ i i a = Δ αρχ = Δ = a 1 = + Δ = + a 1 2 = 1 + Δ = + a 1 + a 2 Η ταχύτητα γίνεται επιτάχνση με παραγώγισή της πέρνομε τελ : n = n-1 + Δ = + a 1 + a a n τελ = + Σ i a i V = d διαφορικό d = Η ταχύτητα γίνεται διάστημα με ολοκλήρωσή το αρχ = 1 = + d = = 1 + d = τελ : n = n-1 + d = n τελ = + Σ i i = + (t = + d = + [] = + ( τελ - = τελ t τελ Το άθροισμα γίνεται ολοκλήρωμα διαφορικό V = d d = a Η επιτάχνση γίνεται ταχύτητα με ολοκλήρωση το διαφορικού της αρχ = 1 = + d = + a 1 2 = 1 + d = + a 1 + a 2 τελ : n = n-1 + d = + a 1 + a a n τελ τελ = + Σ i a i = + a(t = + d = + [] = + ( τελ - = τελ t Το άθροισμα γίνεται ολοκλήρωμα τελ Πχ (t=at τελ = + a t = + ½ a ( 2 -t 2 t τελ Το φορτίο γίνεται ηλεκτρικό ρεύμα με παραγώγισή το i = dq διαφορικό dq = i q αρχ = q q 1 = q + dq = q + i 1 q 2 = q 1 + dq = q + i 1 + i 2 Το ηλεκτρικό ρεύμα γίνεται φορτίο με ολοκλήρωση το διαφορικού το q τελ : q n = q n-1 + dq = q + i 1 + i i n q τελ = q + Σ i i i = q + i(t = q + dq = q + [q] = q + (q τελ - q = q τελ t qτελ qτελ

6 Σφαίρα μάζας M με αρχική ταχύτητα ο προσκρούει σε ξύλινη πλάκα πάχος d Αν η αντίσταση πο δέχεται η σφαίρα μέσα στη ξύλινη πλάκα είναι ανάλογη της ταχύτητάς της (: 1 Να βρεθεί τοο ελάχιστο πάχος d min της πλάκας ώστε η σφαίρα να μη διαπεράσει τη πλάκα 2 Να βρεθεί η τελική ταχύτητα με την οποία η σφαίρα διαπερνά τη πλάκα όταν D<d min D F F τελ 2 F = ma = - m d - m = d (t ο d t = - ln m ] ] (t ο = - m t t] ] (t ln = - ο m t (t= e -(/mt 1 = - m d m d = - d = - m d d m d d = - d ο = - m d = - d m m min = d d m d = - d ο U (t= e -(/mt m = - = - m ( = - D m d = = ο e -(/mt d = ο e -(/mt d = ο e -(/mt t = ο m/ (1-e -(/mt tδ Ο χρόνος να διαπέρασει το πάχος D d = = ο e -(/mt d = ο e -(/mt d = ο e -(/mt D = ο m/ (1-e -(/mtδ e -(/mtδ = οm/k - D ο m/ D tδ tδ = m/ ln οm/k - D ο m/ tδ = D - ο m/ εξ = ο e -(/mtδ

7 Μελέτη βολής στη ατμόσφαιρα με αντίσταση Τ=- Ένα σώμα βάλλεται κατακόρφα προς τα επάνω με αρχική ταχύτητα ο Αν η αντίσταση πο δέχεται η σφαίρα μέσα από τον αέρα είναι ανάλογη της ταχύτητάς της (: Να βρεθεί τοο μέγιστο ύψος h ma Καθώς και ο χρόνος t ma πο χρειάζεται για να φθάσει στο ύψος ατό το σώμα m a = ΣF m d = - mg - t ma ΣF = - - mg - mg = m d mg + = - m/ d - /m = d mg/ + t ma - /m = d mg/ + t ma - /m = d(mg/ + mg/ + mg - t ma = m/ [ln(mg/+] = m/ ln( mg + mg + t ma = m/ ln( mg Στη γενική περίπτωση για οποιαδήποτε χρονική στιγμή t και όπο η ταχύτητα είναι και ερίσκεται σε οποιοδήποτε ύψος h κατά τη διάρκεια της ανόδο ή της καθόδο θα έχομε: t d(mg/ + mg + - t ma = m/ [ln(mg/+] = m/ ln( mg + mg + t = m/ ln( mg/ + mg + - /m = mg + ρ ρ mg + = e (m/ t mg + = (mg + e (-m/ t (-m/ t (-m/ t = -mg/+(mg/ + e = - ορ +( ορ + e = - ορ +( ορ + e (-m/ t = ( ορ + e [-m/ t] - ορ = - ορ = ορ (1- e (-m/ t (-m/ t + e h ma d d d d d d - mg = m = m = m = m d d m = - d mg + h d 1 +mg/-mg/ d = d = (1- mg/ d = -/m d mg + ο m mg/ + mg/+ [ -mg/ ln(mg/+ ] = - ο - mg/ [ ln(mg/ ln(mg/+ ο ] = -/m h ma = mg + h ma = m/ [ + mg/ ln( mg ] για μεγάλος χρόνος t>>t αν ο h ma Άρα δεν θα πρέπει να διαπραγματετώ τη κάθοδο ξεχωριστά χρεισιμοποιώντας την άλλη κατάλληλη Διαφ Εξισ m d = mg -