20 η ΒΑΛΚΑΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑ Α (ΒΜΟ) ΤΙΡΑΝΑ, ΑΛΒΑΝΙΑ. Επιµέλεια: Ανδρέας Φιλίππου Θεόκλητος Παραγυιού. Να λυθούν και τα τέσσερα προβλήµατα.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "20 η ΒΑΛΚΑΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑ Α (ΒΜΟ) ΤΙΡΑΝΑ, ΑΛΒΑΝΙΑ. Επιµέλεια: Ανδρέας Φιλίππου Θεόκλητος Παραγυιού. Να λυθούν και τα τέσσερα προβλήµατα."

ÊὙμέν Καραμήτσος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 0 η ΒΑΛΚΑΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑ Α (ΒΜΟ) ΤΙΡΑΝΑ, ΑΛΒΑΝΙΑ Μάιος 003 Χρόνος: 4 ½ Ώρες Επιµέλεια: Ανδρέας Φιλίππου Θεόκλητος Παραγυιού Να λυθούν και τα τέσσερα προβλήµατα. Πρόβληµα. Υπάρχει σύνολο Β µε στοιχεία 4004 διαφορετικούς θετικούς ακεραίους τέτοιο ώστε για κάθε υποσύνολο Α του Β µε 003 στοιχεία, το άθροισµα των στοιχείων του Α να µην διαιρείται από τον αριθµό 003; Πρόβληµα. Έστω ABC τρίγωνο µε ( AB) ( AC) και έστω D το σηµείο που η εφαπτο- µένη του περιγεγραµµένου κύκλου του τριγώνου ABC στο Α τέµνει την ευθεία BC.Εάν Ε,F τα σηµεία των µεσοκαθέτων των τµηµάτων ΑΒ,AC αντίστοιχα,έτσι ώστε BE και CF να είναι κάθετες στο ΒC,να αποδείξετε ότι τα σηµεία D,E,F είναι συνευθειακά. Πρόβληµα 3. Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f : Q R για τις οποίες ισχύει: (i) f ( + y) yf( ) f( y) = f( ) f( y) y+ y, για κάθε, y Q. (ii) f ( ) = f( + ) + +, για κάθε Q. (iii) f () + 0. Πρόβληµα 4. Έστω, σχετικά πρώτοι περιττοί ακέραιοι αριθµοί.ένα ορθογώνιο ABCD µε (ΑΒ)= και (ΑD)= διαµερίζεται σε µοναδιαία τετράγωνα. Ορίζουµε µε A, AA, 3,..., A τα διαδοχικά σηµεία τοµής της διαγωνίου ΑC µε τις πλευρές των µοναδιαίων τετραγώνων ( A AA, C). Να αποδείξετε ότι: j+ ( ) ( AA j J+ ) j= = + 36 Κυπριακή Μαθηματικη Εταιρεία

2 0 η ΒΑΛΚΑΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑ Α (ΒΜΟ) Μάιος 003 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Πρόβληµα. Υπάρχει σύνολο Β µε στοιχεία 4004 διαφορετικούς θετικούς ακεραίους τέτοιο ώστε για κάθε υποσύνολο Α του Β µε 003 στοιχεία, το άθροισµα των στοιχείων του Α να µην διαιρείται από τον αριθµό 003; ΛΥΣΗ. Η απάντηση είναι ότι υπάρχει Έστω C να είναι ένα σύνολο µε στοιχεία 00 διακριτούς ακεραίους καθένας από τους οποίους είναι ισότιµος od003, δηλαδή για κάθε C, (od 003), και έστω D να είναι ένα σύνολο µε στοιχεία 00 διακριτούς ακεραίους καθένας από τους οποίους είναι ισότιµος od003, δηλαδή για κάθε D, (od 003). Ορίζουµε Β= C D και θεωρούµε ένα υποσύνολο Α του Β µε 003 στοιχεία. Έστω ότι το σύνολο A D έχει στοιχεία, 00. Τότε το σύνολο A C έχει 003- στοιχεία. Το άθροισµα των ακεραίων στο Α είναι: ( ) ( ) ( ) S od od od 003 και άρα το S δεν είναι διαιρετό µε το 003. Πρόβληµα. Έστω ABC τρίγωνο µε ( AB) ( AC) και έστω D το σηµείο που η εφαπτο- µένη του περιγεγραµµένου κύκλου του τριγώνου ABC στο Α τέµνει την ευθεία BC.Εάν Ε,F τα σηµεία των µεσοκαθέτων των τµηµάτων ΑΒ,AC αντίστοιχα,έτσι ώστε BE και CF να είναι κάθετες στο ΒC,να αποδείξετε ότι τα σηµεία D,E,F είναι συνευθειακά. ΛΥΣΗ. Τα τρίγωνα DBE και DCF είναι και τα δύο ορθογώνια και εποµένως είναι αρκετό να αποδείξουµε ότι αυτά είναι όµοια ή ισοδύναµα αρκεί να αποδείξουµε την αναλογία: DB DC BE = () CF Αφού AD είναι η εφαπτοµένη προς τον περιγεγραµµένο κύκλο του τριγώνου ABC έ- χουµε DAB = ACB και άρα τα τρίγωνα DAB και DCA είναι όµοια. Άρα έχουµε: DB AB AD DB AB c = = = =,() DA AC DC DC AC b όπου AB= c και Α C = b. Έστω το µέσο Μ της πλευράς BC.Τότε από το ορθογώνιο τραπέζιο ΕΒΜΟ έχουµε ότι: BEK = 80 EOM = KBM = ABC = B.Όµοια c βρίσκουµε ότι: OFC = C. Από τα τρίγωνα ΒΕΚ και CLF έχουµε BE cos B = Μαθηματικό Βήμα

3 0 η ΒΑΛΚΑΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑ Α (ΒΜΟ) Μάιος 003 b BE c cosc, CF cosc = και άρα = (3). Από τα τρίγωνα ΟΒΚ και ΟCL έχουµε: CF b cos B b c Rcos B =, RcosC = και cos C c = (4). Από (3) και (4) βρίσκουµε: cos B b BE c c c = = (5).Από () και (5) αποδεικνύεται η () και άρα τα σηµεία D, E, F είναι CF b b b συνευθειακά. Πρόβληµα 3. Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f : Q R για τις οποίες ισχύει: (i) f( + y) yf( ) f( y) = f( ) f( y) y+ y, για κάθε, y Q. (ii) f ( ) = f( + ) + +, για κάθε Q. (iii) f () + 0. ΛΥΣΗ f + y + + y = f + f y + y (4) Η συνθήκη () γράφεται : ( ) ( ) ( ) Για = y = στην (4) έχουµε : f ( ) + = f 0 + Q. Άρα f ( ) 0 + και για (3) () 0 και άρα f + > f ( ) 0 = στην τελευταία έχουµε: ( ) + > Q. Από την () για = 0 έχουµε : f(0) = f() + (5). f + 0 όµως από την 38 Κυπριακή Μαθηματικη Εταιρεία

4 0 η ΒΑΛΚΑΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑ Α (ΒΜΟ) Μάιος 003 Η () για =, y = 0 γίνεται: f () + = [ f() + ] f(0) και λόγω της (5) Έχουµε: f [ f ] [ f ][ f ] () + = () + () + () + = 0 και λόγω της (3) έπεται ότι f () = και από την () για = 0 f (0) =. Παρατηρούµε ότι η (4) για y έχουµε : f ( ) + = f( ) + = [ ] Θα αποδείξουµε ότι επαγωγικά ισχύει: f ( ) [ f ( ) ] N. Πράγµατι: + = + (6) Q και [( + ) ] + ( + ) = ( + ) + + = ( ) + [ ( ) + ] = [ ( ) + ] f f f f f +, N. Η σχέση (6) ισχύει και Z.Θέτουµε όπου το άρα έχουµε: ( ) f ( ) + ( ) = f ( ) + και για έχουµε: ( ) f( ) + ( ) = f( ) + από τις τελευταίες σχέσεις αρκεί να δείξουµε ότι: f ( ) + ( ) = f + ( ) ( ) (7). Από την (4) για y = έχουµε: [ ][ ] [ ] f (0) = f( ) + f( ) + ( ) f( ) + ( ) = f( ) + και άρα f ( ) + ( ) = ( ) ( ) f +,εποµένως ισχύει f ( ) [ f ( ) ] + = +, Z. Για = και =, 0 έχουµε: f + = f + Άρα f f + = f + = + (8) Μαθηματικό Βήμα

5 0 η ΒΑΛΚΑΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑ Α (ΒΜΟ) Μάιος 003 Για = η (6) δίνει: f() + = f + f + = [ f() + ] και άρα f + = και τελικά λόγω της (8) έχουµε για = f + = f + = Q. άρα f ( ) + = f( ) =, Πρόβληµα 4. Έστω, σχετικά πρώτοι περιττοί ακέραιοι αριθµοί.ένα ορθογώνιο ABCD µε (ΑΒ)= και (ΑD)= διαµερίζεται σε µοναδιαία τετράγωνα. Ορίζουµε µε A, AA, 3,..., A τα διαδοχικά σηµεία τοµής της διαγωνίου ΑC µε τις πλευρές των µοναδιαίων τετραγώνων ( A AA, C). Να αποδείξετε ότι: j+ ( ) ( AA j J+ ) j= = + ΛΥΣΗ. Αφού και είναι σχετικά πρώτοι χωρίς βλάβη της γενικότητας µπορούµε να υποθέσουµε ότι.λέµε ότι ένα τµήµα A A + είναι πρώτου τύπου αν τα A και p p p A + είναι σηµεία τοµής της ΑC µε τις κάθετες γραµµές του κιγκλιδώµατος.όταν τα p Ap ή p A + είναι σηµεία τοµής της ΑC µε οριζόντια γραµµή του κιγκλιδώµατος λέµε ότι το τµήµα Ap A p + είναι δευτέρου τύπου. D C =5 =3 Α Β (,)= Υπάρχουν - σηµεία τοµής της ΑC µε τις κάθετες γραµµές του κιγκλιδώµατος. Αφού (,)= όλα αυτά τα σηµεία είναι διακριτά και άρα η ΑC διαµερίζεται σε +- τµήµατα. Αφού ο πρώτος όρος του αθροίσµατος έχει πρόσηµο + και ο +- είναι περιττός οι 40 Κυπριακή Μαθηματικη Εταιρεία

6 0 η ΒΑΛΚΑΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑ Α (ΒΜΟ) Μάιος 003 θετικοί όροι είναι ένας περισσότεροι από τους αρνητικούς.παρατηρούµε ότι αν A p είναι σηµείο τοµής του AC µε οριζόντια γραµµή του κιγκλιδώµατος τότε τα τµήµατα Ap Ap και A A + είναι του δεύτερου τύπου και αυτά έχουν αντίθετα πρόσηµα. p p Εποµένως τα τµήµατα του πρώτου τύπου που έχουν πρόσηµο +είναι ένα περισσότερα από τα τµήµατα του πρώτου τύπου που έχουν πρόσηµο -. Άρα τα τµήµατα του πρώτου τύπου συνεισφέρουν στο άθροισµα ακριβώς το µήκος ενός τέτοιου τµήµατος το οποίο ισούται µε + Για σταθερά =,,..., γράφουµε = t + r,όπου 0< <. Τότε τα σηµεία το- µής της AC µε την οριζόντια γραµµή αριθµού (δεν µετράµε την ΑΒ) έχουν συντεταγµένες t +, στο ορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων µε αρχή το Α και θετικούς η- µιάξονες τις ηµιευθείες που περιέχουν τα ΑΒ και AD.Το σηµείο αυτό είναι το σηµείο µε αριθµό s = + t. Αυτό δείχνει ότι όταν ο + t είναι άρτιος τότε το As As έχει πρόσηµο και το As A s + έχει πρόσηµο + και για τον ίδιο λόγο όταν ο + t είναι περιττός τότε το As As έχει πρόσηµο + και το As A s + έχει πρόσηµο -. Επιπλέον, παρατηρούµε ότι αν ο r είναι άρτιος και ο + t είναι άρτιος ενώ αν ο r είναι περιττός και ο + t είναι περιττός. Πράγµατι,αν ο είναι άρτιος τότε ο t + r είναι άρτιος το οποίο σηµαίνει ότι οι αριθµοί r και t είναι ή και οι δύο άρτιοι ή και οι δύο περιττοί.αν ο είναι περιττός τότε ο. t+ rείναι περιττός το οποίο σηµαίνει ότι αν ο α- ριθµός r είναι άρτιος τότε ο t είναι περιττός ενώ αν ο αριθµός r είναι περιττός τότε ο t είναι άρτιος.και στις δύο περιπτώσεις οι αριθµοί και οι δύο περιττοί. r και + t είναι ή και οι δύο άρτιοι ή Από την άλλη µεριά αφού p q(od ) ισχύει p q( od ),ο διατρέχει όλα τα υπόλοιπα od. Εποµένως όταν ο + r είναι άρτιος τότε ( ) r + r As As + AsAs+ = και όταν ο είναι περιττός τότε r + r ( ) r r + As As AsAs+ = Μαθηματικό Βήμα 003 4

7 0 η ΒΑΛΚΑΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑ Α (ΒΜΟ) Μάιος 003 Άρα έχουµε: ( ) = s s AA = j+ j J+ j= s= s= + + = =. Η Κυπριακή αποστολή στη Βαλκανική Ολυµπιάδα Μαθηµατικών που έγινε στην Αλβανία τον Μάιο του Κυπριακή Μαθηματικη Εταιρεία

Σχετικά έγγραφα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 27 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" ΣΑΒΒΑΤΟ, 27 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2010

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 27 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης ΣΑΒΒΑΤΟ, 27 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou