3.1 Ο ΚΥΚΛΟΣ. 1. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) 2. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου. 3. Εφαπτοµένη κύκλου

Transcript

1 3. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) + y ρ. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου ρσυνφ και y ρηµφ 3. Εφαπτοµένη κύκλου + yy ρ 4. Εξίσωση κύκλου µε κέντρο το σηµείο Κ( o, y ο ) και ακτίνα ρ ( o ) + (y y ο ) ρ 5. Η εξίσωση + y + Α + Βy + Γ 0 µε Α + Β 4Γ > 0 Α Β Είναι εξίσωση κύκλου µε κέντρο Κ, και ακτίνα Α +Β 4Γ ρ

2 ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ. Γενική µέθοδος Για την επίλυση του µεγάλου όγκου των προβληµάτων : α) Θεωρούµε τους απαραίτητους αγνώστους. β) Μετατρέπουµε τις υποθέσεις του προβλήµατος σε εξισώσεις γ) Λύνουµε το σύστηµα των εξισώσεων δ) Ακολουθούµε βήµα βήµα την εκφώνηση. Από την Ευκλείδεια Γεωµετρία α) Η µεσοκάθετος χορδής κύκλου διέρχεται από το κέντρο του κύκλου. β) Η ακτίνα στο σηµείο επαφής είναι κάθετη στην εφαπτοµένη γ) Σηµείο Μ σε κύκλο (Κ, ρ) ΚΜ ρ Σηµείο Μ στο εσωτερικό κύκλου (Κ, ρ) Σηµείο Μ στο εξωτερικό κύκλου (Κ, ρ) ΚΜ < ρ ΚΜ > ρ 3. Σχετικές θέσεις ευθείας ε και κύκλου (Κ, ρ) : α) Η ε εφάπτεται του κύκλου d(k, ε) ρ Το σύστηµα των εξισώσεών τους έχει µία µόνο λύση (διπλή ρίζα) β) Η ε τέµνει τον κύκλο d(k, ε) < ρ Το σύστηµα των εξισώσεών τους έχει δύο λύσεις. γ) Η ε δεν έχει κοινό σηµείο µε τον κύκλο d(k, ε) > ρ Το σύστηµα των εξισώσεών τους είναι αδύνατο. 4. Σχετικές θέσεις δύο κύκλων : α) Εφάπτονται Το σύστηµα των εξισώσεών τους έχει µία µόνο λύση (διπλή ρίζα) β) Τέµνονται Το σύστηµα των εξισώσεών τους έχει δύο ακριβώς λύσεις β) εν έχουν κοινό σηµείο Το σύστηµα των εξισώσεών τους είναι αδύνατο

3 3 5. Επισήµανση Η µορφή + yy ρ της εφαπτοµένης κύκλου ισχύει µόνο για κύκλο της µορφής + y ρ 6. Στο ορθογώνιο τρίγωνο Το κέντρο του περιγεγραµµένου κύκλου είναι το µέσο της υποτείνουσας και η ακτίνα το µισό της υποτείνουσας. 7. Στον κύκλο Η µεσοκάθετος της χορδής διέρχεται από το κέντρο του κύκλου

4 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σηµεία (3, ), (,3) και έχει το κέντρο του στην ευθεία ε : y 3.. Έστω C : ( ο ) + (y y ο ) ρ η ζητούµενη εξίσωση κύκλου. Α C (3 ο ) + ( y ο ) ρ 9 6 ο + ο + y ο + y ο ρ ο + y ο 6 ο y ο + 0 ρ () B C ( ο ) + (3 y ο ) ρ + ο + ο y ο + y ο ρ ο + y ο + ο 6 y ο + 0 ρ () Το κέντρο Κ ε y ο 3 o (3) Σύστηµα των (), (), (3) : Σχόλιο ο + y ο 6 ο y ο + 0 ρ ο + y ο 6 ο y ο + 0 ρ ο + y ο + ο 6 y ο + 0 ρ () () : 8 ο + 4y ο 0 y ο 3 o y ο 3 o Άρα C : ( ) + (y 4) 0 ο + y ο 6 ο y ο + 0 ρ y ο o y ο 3 o ο + y ο 6 ο y ο + 0 ρ y ο o o 3 o ο + y ο 6 ο y ο + 0 ρ y ο 4 o ρ ρ 0 y ο 4 y ο 4 o o

5 5. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου ο οποίος εφάπτεται στην ευθεία ε : + y 5 0 στο σηµείο Α(6, ) και διέρχεται από το σηµείο Β(6,). Έστω C : ( ο ) + (y y ο ) ρ Α C (6 ο ) + ( y ο ) ρ 36 ο + ο + + y ο + y ο ρ η ζητούµενη εξίσωση κύκλου. Σχόλιο ο + y ο ο + y ο + 37 ρ () B C (6 ο ) + ( y ο ) ρ 36 ο + ο + y ο + y ο ρ ο + y ο ο y ο + 37 ρ () Β(6, ) Κ Α(6, -) + y ΚΑ ε λ ΚΑ. λ ε yο + ( ) 6 ο y ο + ο 6 y ο ο 7 (3) Σύστηµα των (), (), (3) : ο + y ο ο + y ο + 37 ρ ο + y ο ο y ο + 37 ρ ο + y ο ο y ο + 37 ρ () () : 4y ο 0 y o o 7 o 7 Άρα ο ζητούµενος κύκλος είναι ( 7) + y ρ y ο 0 o 7 ρ ρ y ο 0 y ο 0 o 7 o 7

6 6 3. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου ο οποίος διέρχεται από τα σηµεία Α(8, 0), Ο(0,0) και εφάπτεται της ευθείας ε : y Έστω C : ( ο ) + (y y ο ) ρ εξίσωση κύκλου. ΚΑ ΚO (ΚΑ ) (ΚΟ ) η ζητούµενη (8 ο ) + (0 y ο ) (0 ο ) + (0 y ο ) 64 6 ο + ο + y ο ο + y ο 64 6 ο 0 ο 4 d (K, ε) ΚΟ d (K, ε) yο y ο 0 + (y ο + ) 6 + y ο + y ο ο y ο + 4 y ο y ο 4 y ο y ο 3 Σχόλιο ρ ΚΟ + y ο ο Άρα ο ζητούµενος κύκλος είναι ( 4) + (y 3) 5

7 7 4. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου ο οποίος διέρχεται από τα σηµεία Α(, ), Β(, ), Γ(0, ) Το κέντρο Κ του ζητούµενου κύκλου είναι το σηµείο τοµής των µεσοκαθέτων (ε ), (ε ) των χορδών ΒΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Ν µέσο της ΒΓ N + 0 και y N + 3 ε ΒΓ λε λ ΒΓ λ ε 0 λ ε ε : y 3 ( ) y 3 + y + 4 y + () Σχόλιο 7 Οµοίως ε : y () Σύστηµα των (), () Κ(, ) Ακτίνα του κύκλου : ρ ΚΓ (0 ) + ( ) Άρα ο ζητούµενος κύκλος είναι ( ) + (y )

8 8 5. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου ο οποίος έχει ακτίνα 4, εφάπτεται στον και διέρχεται από το σηµείο Α(5, 4) Επειδή ο κύκλος εφάπτεται στον και διέρχεται από το σηµείο Α(5, 4) το οποίο έχει θετική τεταγµένη, αυτός θα βρίσκεται πάνω από τον. Έστω ( ο ) + (y y ο ) 4 Αφού ο κύκλος εφάπτεται στον Θα είναι 4 ρ ΚΒ y ο y ο η ζητούµενη εξίσωση. Η εξίσωση του κύκλου γίνεται ( ο ) + (y 4) 6 Α(5, 4) στον κύκλο (5 ο ) + (4 4) 6 (5 ο ) 6 5 ο 4 ή 5 ο - 4 ο ή ο 9 Υπάρχουν λοιπόν δύο κύκλοι που λύνουν το πρόβληµα. Οι εξισώσεις τους είναι ( 9) + (y 4) 6 ή ( ) + (y 4) 6.

9 9 6. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου ο οποίος εφάπτεται στους άξονες και στην ευθεία ε : 3 + 4y 0 Έστω Κ( ο, y ο ) το κέντρο και ρ η ακτίνα. Θα είναι d (K, ε) d (K, ) d (K, y y ) ρ 3 + 4y ο y ο y ο ο y ο ο y ο ο ο + o 5 ο y 5 ο 3 ο + 4y ο ± 5y ο και 3 ο + 4y ο ± 5 ο Για 3 ο + 4y ο 5y ο και 3 ο + 4y ο 5 ο 3 ο y ο και 4y ο ο 3 ο y ο και 4(3 ο ) ο 3 ο y ο και ο 48 ο 3 ο y ο και 0 ο 60 3 ο y ο και ο 6 8 y ο και ο 6 y ο 6 και ο 6 Άρα ο ζητούµενος κύκλος είναι ( 6) + (y 6) 6 Οµοίως θα έχουµε άλλες τρεις περιπτώσεις συνδυάζοντας τα ±, από τις οποίες θα βρούµε ακόµα µία λύση του προβλήµατος τον κύκλο ( ) + (y ), αφού στις υπόλοιπες προκύπτουν αδύνατα συστήµατα.

10 0 7. είξτε ότι η εξίσωση + y y 0 παριστάνει κύκλο. Ποιο είναι το κέντρο του και ποια η ακτίνα του; ιαιρώντας µε το η εξίσωση γίνεται + y y 0, η οποία είναι της µορφής + y + Α + Βy + Γ 0 Και επειδή Α + Β 4Γ Κέντρο : Κ( Α, Β 3 ) (, ) > 0 παριστάνει κύκλο και ακτίνα ρ 4 4 Α +Β 4Γ 6 4

11 8. Έστω η εξίσωση + y + y 3 + λ( + y ) 0 () είξτε ότι i) Η () παριστάνει κύκλο για κάθε λ R. ii) Για τις διάφορες τιµές του λ, όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την () διέρχονται από δύο σταθερά σηµεία. i) () + y + y 3 + λ + λy λ 0 + y + (λ+) + (λ )y λ 3 0 Η εξίσωση αυτή είναι της µορφής + y + Α + Βy + Γ 0 µε Α + Β 4Γ (λ + ) + (λ ) 4( λ 3) λ + 4λ λ λ + +8λ + λ + 0λ + 6 (λ + 5λ + 8) ιακρίνουσα < 0 Άρα το τριώνυµο είναι οµόσηµο του α δηλαδή θετικό για κάθε λ R, οπότε Α + Β 4Γ (λ + 5λ + 8) > 0 Εποµένως η () είναι εξίσωση κύκλου για κάθε λ R µε κέντρο Κ( Α, Β) Κ( λ+, λ ) και ακτίνα ρ Α + Β 4Γ λ + 0λ+ 6 ίνουµε δύο τιµές στο λ ώστε να έχουµε δύο συγκεκριµένους από τους κύκλους () Για λ, κύκλος C : + y + y 3 + ( + y ) 0 + y Για λ, κύκλος C : + y + y 3 ( + y ) 0 + y + y 3 y y 3y + 0 Σύστηµα των C, C : Αφαιρώντας παίρνουµε 3 + 3y y 0 y () C + ( ) ή Για, η () δίνει y σηµείο τοµής Α(, ) Για 5, η () δίνει y σηµείο τοµής Α(, 5) Ελέγχουµε αν η () επαληθεύεται από το Α(, ) για κάθε λ R λ( + ) λ 0 που ισχύει Άρα οι κύκλοι () διέρχονται από το Α. Οµοίως για το σηµείο Β.

12 9. Αν Α Β Γ 5, να αποδείξετε ότι οι κύκλοι C : όπου Α, Β, Γ R, διέρχονται από σταθερό σηµείο. + y + A+ By+Γ 0, Βρίσκουµε δύο συγκεκριµένους κύκλους C δίνοντας αυθαίρετες τιµές στα Β, Γ. Για Β 0 και Γ 0 η Α Β Γ 5 Α 5 Κύκλος C : + y Για Β 0 και Γ η Α Β Γ 5 Α 4 Κύκλος C : + y Λύνουµε το σύστηµα των C, C για να βρούµε τα σηµεία τοµής τους. + + y y ( ) : y y 5 0 y 4 y ή y Σηµεία τοµής των C, C : Κ(, ), Λ(, ) Ελέγχουµε αν οι κύκλοι C επαληθεύονται από το Κ. ηλαδή αν ( ) + + A( ) + B +Γ Α + Β + Γ 0 5 Α Β Γ που ισχύει. Εποµένως οι κύκλοι C διέρχονται από το σταθερό σηµείο Κ(, )

13 3 0. Να βρείτε τη σχετική θέση των κύκλων C : + y 6 y + 9 0, C : + y 6 0y Κέντρο Κ ( A, B) Κ 6 (, ) Κ (3, ) και ακτίνα ρ Α + Β 4Γ Κέντρο Κ 6 0 (, ) (3, 5) + ( 6) ( ) και ακτίνα ρ ( 6) + ( 0) ιάκεντρος : Κ Κ (3 3) + ( 5) 4 Αλλά ρ + ρ 4, άρα Κ Κ ρ + ρ, εποµένως οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά

14 4. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτοµένων του κύκλου + y 9, οι οποίες είναι παράλληλες στην ευθεία η : y + 3 Έστω Μ(, y ) το σηµείο επαφής και ε : + y y 9 εφαπτοµένη. y ε // η λ ε λ η y () Μ(, y ) ανήκει στον κύκλο + y 9 () Σύστηµα των (), () : + y 9 y + 9 y 9 y 3 / ή 3 / y 3 / ή 3 / y 3 / ή y 3 / Άρα ε : 3 y 3 9 ή 3 + y 3 9 y 3 ή + y 3

15 5. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτοµένων του κύκλου + y 9, οι οποίες άγονται από το σηµείο Α(3, 6). Έστω Μ(, y ) το σηµείο επαφής και ε: + y y 9 ζητούµενη εφαπτοµένη. Α ε y 9 + y 3 () Μ(, y ) ανήκει στον κύκλο + y 9 () Σύστηµα των (), () : + y 9 + y 3 + y 9 3 y (3 y ) + y 9 3 y 9 y + 4 y + y 9 3 y Άρα ε : 3 + y 0 9 ή 9 ( ) + y ή 3 + 4y 5 5y y 0 3 y y (5 y ) 0 3 y y 0 ή y / 5 3 y y 0 ή y / 5 3 ή 9 / 5

16 6 3. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης του κύκλου + y στο σηµείο του Α(, ). Κέντρο του κύκλου : Κ( A, B) 8 0 Κ(, ) λ ΚΑ 0 4 Κ(4, 0) Η εφαπτοµένη ε στο Α είναι κάθετη στην ακτίνα ΚΑ ε : y ( ) y λε λ ΚΑ λ ε ( ) λ ε

17 7 4. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου ο οποίος εφάπτεται στις ευθείες ε : + y 5 0 και ε : + y +5 0 και το ένα σηµείο επαφής είναι το Α(, ) Εύκολα διαπιστώνουµε ότι ε ε και ότι το Α είναι σηµείο της ε. Το κέντρο του ζητούµενου κύκλου είναι το σηµείο τοµής της µεσοπαράλληλης των ε, ε µε την κάθετη ΑΚ της ε στο σηµείο Α. Εξίσωση της µεσοπαράλληλης : Έστω Μ(, y) το τυχαίο σηµείο της d(m, ε ) d(m, ε ) Εξίσωση της ΑΚ : + y y y 5 + y+ 5 + y 5 + y + 5 ή + y 5 ( + y + 5) 5 5 ή + y 5 y 5 αδύνατη ή 4 + y 0 y 5 ΑΚ ε λ ΑΚ. λ ε λ ΑΚ ( ) λ ΑΚ ΑΚ : y ( ) y Σύστηµα των y 5 και y Κ(, ) Ακτίνα του κύκλου : ρ d(k, Α) ( ) + ( ) 0 5 Εξίσωση του κύκλου : ( + ) + (y + ) 0

18 8 5. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης του κύκλου + y () που άγεται από το σηµείο Α(3, 3). ος τρόπος. (Για οποιαδήποτε κωνική τοµή) Αφού η ζητούµενη εφαπτοµένη ε διέρχεται από το Α(3, 3) ε : 3 ή ε : y 3 λ( 3) Όταν ε : 3 () θα είναι Σχόλιο 3α ε εφαπτοµένη το σύστηµα των εξισώσεων (), () έχει διπλή ρίζα. Η () ( ) 3 + y y y 7 η οποία δεν έχει διπλή ρίζα, άρα η ευθεία 3 δεν είναι εφαπτοµένη. Όταν ε : y 3 λ( 3) y λ + 3 3λ (3) ε εφαπτοµένη το σύστηµα των εξισώσεων (), (3) έχει διπλή ρίζα. Η () ( 3 ) + (λ + 3 3λ ) ιπλή ρίζα 0 + λ λ + 6λ - 6λ 8λ (λ +) + (6λ 6λ 8) + (9λ 8λ + 7) 0 (λ +) + (3λ 3λ 4) + (9λ 8λ + 7) 0 (3λ 3λ 4) (λ +)( 9λ 8λ + 7) 0 9λ + 9λ λ 3 4λ + 4λ 9λ 4 +8 λ 3 7λ 9λ + 8λ 7 0 7λ 6λ 0 δ > 0, λ 6± 8 ή 4 7 Από την (3), η η ζητούµενη εφαπτοµένη ε είναι y ή y + 3 3( ) 7 7 y ή y y ή y

19 9 ος τρόπος. (Μόνο για κύκλο) Κέντρο του κύκλου : 8 0 Κ(, ) Ακτίνα του κύκλου : ρ (4, 0) ( ) Αφού η ζητούµενη εφαπτοµένη ε διέρχεται από το Α(3, 3) ε : 3 ή ε : y 3 λ( 3) Όταν ε : () ε εφαπτοµένη d(κ, ε) ρ αδύνατο, θα είναι Σχόλιο 3α άρα η ευθεία 3 δεν είναι εφαπτοµένη Όταν ε : y 3 λ( 3) λ + y +(3λ 3) 0 (3) ε εφαπτοµένη d(κ, ε) ρ λ λ 3 λ + λ 3 (λ + 3 ) 8( λ + ) λ + λ + 6λ + 9 8λ + 8 7λ 6λ > 0, λ 6± 8 ή 4 7 Από την (3), η ζητούµενη εφαπτοµένη ε είναι + y 0 ή 7 + y y ή y

20 0 6. ίνεται ο κύκλος C : + y + λ λy 0, λ 0 και η ευθεία ε : y +. Να βρείτε το λ ώστε η ε να είναι εφαπτοµένη του κύκλου. Κέντρο του κύκλου : λ λ Κ(, ) λ +λ 4 0 Ακτίνα του κύκλου : ρ ε εφαπτοµένη του κύκλου d(k, ε) ρ λ λ + λ λ λ λ+ λ ( λ ) λ + λ λ λ λ λ

21 7. Έστω το πολυώνυµο Ρ() 3 + (y 5) + y 3. Να αποδείξετε ότι i) Το Ρ() έχει παράγοντα το + ii) Η εξίσωση 3 + y + y παριστάνει έναν κύκλο και µία ευθεία που εφάπτεται στον κύκλο. i) Ρ( ) y y 3 0 το + είναι παράγοντας του Ρ(). ii) 3 + y + y (y 5) + y 3 0 Ρ() 0 Εφαρµόζοντας σχήµα Horner για το Ρ() για βρίσκουµε Ρ() ( + )( + y 3) Η εξίσωση Ρ() ή + y 3 0 Η + 0 είναι εξίσωση ευθείας ε. Η + y 3 0 είναι εξίσωση κύκλου αφού Α + Β 4Γ > 0 Α Β Κέντρο του κύκλου Κ(, ) Κ(, 0) Ακτίνα του κύκλου ρ 6 d(k, ε) + ρ, άρα η ευθεία ε εφάπτεται στον κύκλο 8. ίνονται τα σηµεία Α(,3) και Β(, 3). Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των σηµείων Μ για τα οποία ισχύει ΜΑ + ΜΒ 4 Έστω Μ(,y) τυχαίο σηµεία του γεωµετρικού τόπου ΜΑ + ΜΒ 4 ( ) + (y 3 ) + ( ) + (y 3 ) y 6y y 6y y 6 y y 9 3 6y + 0 Η εξίσωση είναι της µορφής + y + Α + Βy + Γ 0 µε Α + Β 4Γ > 0, άρα είναι εξίσωση κύκλου µε κέντρο Κ( 3, 3) και ακτίνα ρ 7

22 9. Έστω οι ευθείες ε : λ y 0 και ε : + λy λ 0 Να δείξτε ότι i) Oι ευθείες τέµνονται για κάθε λ R ii) Το σηµείο τοµής τους κινείται σε κύκλο κέντρου Ο (αρχή των αξόνων). i) Σύστηµα των ε : λ y, ε : + λy λ λ D λ +, D λ λ, Dy λ λ λ λ λ Αφού D λ + 0 για κάθε λ R το σύστηµα έχει πάντοτε µία λύση την D λ Dy λ και y D λ + D λ + Άρα οι ευθείες τέµνονται στο σηµείο λ λ Α, λ + λ + ii) λ λ Έστω Α(, y) τυχαία θέση του Α και y λ + λ + λ λ + y + λ + λ + 4 4λ λ λ λ + λ + λ + λ + 4 λ + λ + 4 λ + λ + Εποµένως το Α κινείται στον κύκλο + y µε κέντρο Ο(0, 0) και ρ.

23 3 0. y Στην ευθεία ε : + τα α, β µεταβάλλονται έτσι, ώστε + α β α β κ, όπου κ θετική σταθερά. Να αποδείξετε ότι η προβολή της αρχής Ο των αξόνων στην ευθεία ε ανήκει σε σταθερό κύκλο (ανεξάρτητο των α, β). Έστω Μ(, y) η προβολή του Ο στην τυχαία ε. y Μ ε + α β ΟΜ ΑΒ ΟΜ ΑΒ 0 () () ( ) ( 3 ) β β + αy αβ () OM AB + yom yab 0 ( 0)(0 α) + (y 0)(β 0) 0 α yβ 0 β α y α + αy α α y y y + y α y () + y α α + y y Η υπόθεση + α β κ (4) ( 3 ),( 4 ) + y Απαλοιφή των α, β ( + y ) (3) + y Β(0, β) Μ(, y) Ο Α(α, 0) y ( + y ) κ ε + y ( + y ) + y + y κ κ κ

24 4. Ένας κύκλος εφάπτεται στον άξονα. Αν Α(, y ) και Β(, y ) είναι άκρα µιας διαµέτρου του κύκλου, να δείξτε ότι ( ) 4y y Αφού ο κύκλος εφάπτεται στον άξονα, θα είναι ρ y o Έτσι η εξίσωσή του θα είναι της µορφής ( o ) + (y y o ) y o () Το κέντρο του Κ( ο, y o ) θα είναι το µέσο του ΑΒ, οπότε + o και y o Επειδή το Α ανήκει στον κύκλο, η () γίνεται y + y + + y + y y y + y + y y y + y ( ) 4 + ( ) ( y y + ) 4 ( y y ) ( y + y ) 4 ( y + y ) ( ) + ( y y ) ( y y ) ( ) 4y y

25 5. y Η ευθεία ε : + και ο κύκλος C : + y ρ τέµνονται στα σηµεία α β Α και Β. Να βρείτε τις συντεταγµένες του µέσου Μ της χορδής ΑΒ συναρτήσει των α, β. Οι συντεταγµένες των Α, Β είναι οι λύσεις του συστήµατος των ε, C. y y ε : + α β β αβ β y () α α C : + y ρ ( ) + α + ( αβ β ) ρ α α β αβ + β ( α + β ) αβ + α β Οι ρίζες της εξίσωσης () είναι οι A, B Επειδή Μ µέσο της ΑΒ Μ ε y M αβ β M α M ( A + B ) β β α M β β α ( ) α ρ α ρ 0 () αβ α +β αβ α +β

26 6 3. Για τους,, y, y, λ, µ R µε λ, µ 0 ισχύουν + y λ + µy και + y λ + µy. + y y λ + µ. Να αποδείξετε ότι ( ) ( ) H Η + y λ + µy + y λ + µy + y λ µy 0 () + y λ µy 0 () Αποτυπώνουµε όλα τα στοιχεία του προβλήµατος σε σχήµα Θεωρούµε τον κύκλο C : +y λ µy 0, ο οποίος προφανώς διέρχεται από το Ο(0, 0) και έχει κέντρο Κ λ µ, Οπότε (ΚΟ ) ( ) λ µ + λ + 4 ( λ + µ ) µ 4 (ΚΟ ) y O Α Κ Α Θεωρούµε επίσης τα σηµεία Α (, y ), Α (, y ), τα οποία λόγω των (), () ανήκουν στον κύκλο. + y y λ + µ γράφεται Η αποδεικτέα ( ) ( ) ( ) ) ΑΑ ΚΟ χορδή διαµέτρου, ΑΑ 4 (ΚΟ που ισχύει

27 7 4. Για κάθε σηµείο Μ(, y ) του κύκλου + y ρ να αποδείξετε ότι ρ 4 y και + εδώ, y 0 y ρ ( ) y ρ y y y 0 ρ + y + y + y y 0 ( y ) που ισχύει 4 + y ρ ρ y + ρ 4 ρ (y + ) 4 y ρ ρ 4 y ρ 4 (y) y ρ y, που ισχύει από το προηγούµενο ερώτηµα. Με ύψωση στο τετράγωνο µπορούµε να αποδείξουµε τις ανισώσεις y ρ ± χρησιµοποιώντας και την ισοδυναµία y ρ ρ ρ y