Στις ΗΠΑ διεξάγονται κάθε χρόνο διάφοροι µαθηµατικοί διαγωνισµοί από τους οποίους ο USAMO, που αποτελεί την εθνική µαθηµατική ολυµπιάδα της χώρας, έχε

Transcript

1

2 Στις ΗΠΑ διεξάγονται κάθε χρόνο διάφοροι µαθηµατικοί διαγωνισµοί από τους οποίους ο USAMO, που αποτελεί την εθνική µαθηµατική ολυµπιάδα της χώρας, έχει τα δυσκολότερα θέµατα. Άλλοι διαγωνισµοί µε σειρά δυσκολίας από τον ευκολότερο προς τον πιο δύσκολο είναι οι AMC 8, AMC 10, AMC 1 και AIME. Τα θέµατα των διαγωνισµών AMC 8, AMC 10 και AMC 1 είναι πολλαπλής επιλογής και είναι σχετικά εύκολα. Ο διαγωνισµός American Invitational Mathematics Examination (AIME) διεξάγεται στην Αµερική από το Σε αυτό το διαγωνισµό δίνονται 15 θέµατα προς ανάπτυξη στα οποία ο βαθµός δυσκολίας αυξάνει προοδευτικά. Τα θέµατα που ακολουθούν είναι από το αρχείο αυτού του διαγωνισµού. 310

3 Ο αριθµός ν έχει 4 ψηφία, τα οποία είναι διαδοχικοί αριθµοί σε φθίνουσα σειρά (από τα αριστερά προς τα δεξιά). Να βρείτε το άθροισµα των πιθανών υπολοίπων της διαίρεσης του ν µε το 37. Το σύνολο A αποτελείται από m διαδοχικούς ακέραιους µε άθροισµα m. Το σύνολο B αποτελείται από m διαδοχικούς ακέραιους µε άθροισµα m. Η διαφορά ανάµεσα στα µεγαλύτερα στοιχεία των συνόλων A και B είναι 99. Υπολογίστε την τιµή του m. Ένα κυρτό πολύεδρο P έχει 6 κορυφές, 60 ακµές and 36 έδρες. Οι 4 από τις έδρες του είναι τρίγωνα και οι 1 τετράπλευρα. Εσωτερική διαγώνιος είναι το ευθύγραµµο τµήµα που συνδέει δύο κορυφές οι οποίες δεν βρίσκονται στην ίδια έδρα. Πόσες εσωτερικές διαγώνιους έχει το P; 311

4 Έστω α, β, γ, δ οι ρίζες της εξίσωσης 4 3 x x x 1= 0. Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης p( α) + p( β ) + p( γ ) + p( δ ) όπου p( x) x x x x x =. Το γινόµενο Ρ τριών θετικών ακέραιων είναι εξαπλάσιο από το άθροισµά τους. Ένας από τους ακέραιους είναι ίσος µε το άθροισµα των άλλων δύο. Να υπολογίσετε το άθροισµα των διαφορετικών τιµών που µπορεί να πάρει το γινόµενο Ρ. Τα σηµεία A, B, C είναι διαδοχικά πάνω σε µια ευθεία έτσι, ώστε ΑΒ= 9 και BC= 1. Έστω D ένα σηµείο, όχι πάνω στο AC τέτοιο, ώστε AD= CD και οι αποστάσεις AD και BD είναι ακέραιες. Βρείτε το άθροισµα όλων των διαφορετικών τιµών του N, όπου Ν είναι η περίµετρος του τριγώνου ACD. 31

5 εξετάσεων Σε ένα επίπεδο είναι σχεδιασµένοι οµόκεντροι κύκλοι µε ακτίνες 1,, 3,..., 100. Το εσωτερικό του πρώτου κύκλου είναι βαµµένο µε κόκκινο χρώµα και οι δακτύλιοι είναι βαµµένοι εναλλάξ πράσινοι και κόκκινοι έτσι, ώστε να µην υπάρχουν δύο γειτονικές περιοχές µε το ίδιο χρώµα. Να υπολογίσετε τον λόγο του συνολικού εµβαδού των πράσινων περιοχών προς το εµβαδόν του µεγαλύτερου κύκλου. Πόσοι τετραψήφιοι ακέραιοι έχουν το άθροισµα των δύο αριστερότερων ψηφίων τους ίσο µε το άθροισµα των δύο δεξιότερων ψηφίων τους; Σε ένα τρίγωνο ABC είναι AC= BC και o ACB= 106. Έστω Μ ένα σηµείο στο εσωτερικό του o τριγώνου τέτοιο, ώστε MAC= 7 και o MCA = 3. Να υπολογίσετε τη γωνία CMB. 313

6 Οι θετικοί ακέραιοι αριθµοί a, b, c είναι διαδοχικοί όροι µιας αύξουσας γεωµετρικής προόδου, ο αριθµός b a είναι τέλειο τετράγωνο και log6 a+ log6 b+ log6 c= 6. Να υπολογίσετε το άθροισµα a+ b+ c. 314

7 εξετάσεων H Βρετανική Μαθηµατική Ολυµπιάδα διεξάγεται κάθε χρόνο σε γύρους. Στον πρώτο γύρο, που γίνεται τον εκέµβριο, συµµετέχουν µαθητές που πέτυχαν υψηλή βαθµολογία στον προκαταρκτικό διαγωνισµό µε την ονοµασία Senior Mathematics Challenge. Στον πρώτο γύρο συµµετέχουν περίπου 800 µαθητές οι οποίοι καλούνται να απαντήσουν σε 5 προβλήµατα. Σύµφωνα µε τα στατιστικά των αποτελεσµάτων 30 µε 40 µαθητές πετυχαίνουν βαθµολογία µεγαλύτερη του 50% ενώ πάνω από 90% µόλις 1 ή µαθητές. 100 µαθητές µε τις καλύτερες επιδόσεις στον διαγωνισµό του πρώτου γύρου καλούνται να συµµετάσχουν στον δεύτερο γύρο ο οποίος γίνεται τον Φεβρουάριο και αποτελείται από 4 προβλήµατα. Και στους δύο γύρους τα προβλήµατα είναι σχεδιασµένα έτσι, ώστε να ελέγχουν την ικανότητα των υποψηφίων να εφαρµόσουν βασικές ιδέες σε ασυνήθιστα προβλήµατα και όχι τις γνώσεις σε προχωρηµένα θέµατα των µαθηµατικών. 315

8 ίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο ABC µε ορθή τη γωνία C. Οι διχοτόµοι των γωνιών BAC και ABC τέµνουν τις BC και CA στα P και Q αντίστοιχα. Έστω M και N τα ίχνη των κάθετων από τα P και Q προς την AB. Υπολογίστε τη γωνία MCN. ύο κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά στο σηµείο Α. Από ένα σηµείο P του εξωτερικού κύκλου, διαφορετικό από το Α, φέρουµε τις χορδές PQ και PR οι οποίες εφάπτονται στον εσωτερικό κύκλο στα σηµεία X και Y αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι QA R= X A Y. Ένα τρίγωνο έχει πλευρές µε µήκη abc,, και είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο ακτίνας R. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο αν και µόνο αν a + b + c = 8R. 316

9 Να βρείτε, δείχνοντας τον τρόπο που το πετύχατε, έναν εξαψήφιο φυσικό αριθµό n µε τις ιδιότητες: (α) ο n είναι τέλειο τετράγωνο, (β) ο αριθµός που αποτελείται από τα τρία τελευταία ψηφία του n είναι κατά 1 µεγαλύτερος από τον αριθµό που αποτελείται από τα τρία πρώτα ψηφία του n. Έστω ABC είναι ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο µε πλευρές AB= BC= 1. Θέλουµε να χωρίσουµε το τρίγωνο κατά το µήκος ενός ευθύγραµµου τµήµατος σε δύο ισεµβαδικές περιοχές. Ένα τέτοιο τµήµα είναι η διάµεσος ΒΜ του τριγώνου. Να βρείτε τη θέση και το µήκος του µικρότερου δυνατού τµήµατος. Έστω abc,, είναι θετικοί πραγµατικοί αριθµοί (α) Να αποδείξετε ότι 4( a + b ) ( a+ b). (β) Να αποδείξετε ότι ( a + b + c ) ( a+ b+ c). 317

10 ύο κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά σε ένα σηµείο M. Μια ευθεία εφάπτεται στον εσωτερικό κύκλο στο σηµείο P και τέµνει τον εξωτερικό κύκλο στα σηµεία Q και R. Να αποδείξετε ότι QMP = RMP. Έστω N είναι ένας τετραψήφιος ακέραιος, ο οποίος δεν τελειώνει σε 0, και R( N ) ο τετραψήφιος ακέραιος που προκύπτει αν γράψουµε τα ψηφία του N αντίστροφα, για παράδειγµα R (375) = 573. Να προσδιορίσετε όλους τους παραπάνω ακέραιους αριθµούς N για τους οποίους ισχύει R( N) = 4N

11 ύο τεµνόµενοι κύκλοι C 1 και C έχουν µια κοινή εφαπτοµένη που εφάπτεται στον κύκλο C 1 στο σηµείο P και στον κύκλο C στο σηµείο Q. Οι δύο κύκλοι τέµνονται στα σηµεία M και N, όπου το N είναι πλησιέστερα στο εφαπτόµενο τµήµα PQ από το Μ. Η ευθεία PN τέµνει πάλι τον κύκλο C στο σηµείο R. Να αποδείξετε ότι η MQ είναι διχοτόµος της γωνίας PMR. Αν α, β, γ > 1 αποδείξετε ότι αβγ 8. και = 1, να 1+ α 1+ β 1+ γ 319

12 Στην Καναδική Μαθηµατική Ολυµπιάδα (CMO) συµµετέχουν κάθε χρόνο 100 περίπου µαθητές οι οποίοι έχουν επιλεγεί από έναν προκριµατικό διαγωνισµό µε την ονοµασία Canadian Open Mathematics Challenge (COMC). Τα προβλήµατα που ακολουθούν προέρχονται και από τους δύο διαγωνισµούς. Να βρείτε όλες τις τιµές του πραγµατικού αριθµού c για τις οποίες η εξίσωση x 4x c 8x 3x 8c = 0 έχει ακριβώς δύο διαφορετικές πραγµατικές ρίζες ως προς x. 30

13 Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε θετικούς αριθµούς abc,, ισχύει a b c + + a+ b+ c. bc ca ab Πότε ισχύει η ισότητα; (CMO) Να βρείτε τον τριψήφιο αριθµό abc που τα ψηφία του a, b, c ικανοποιούν την ισότητα 49a+ 7b+ c= 86. (COMC) 31

14 Έστω S ένα υποσύνολο του { 1,,,9}, τέτοιο ώστε όλα τα δυνατά αθροίσµατα που προκύπτουν από την πρόσθεση δύο διαφορετικών αριθµών του S να είναι διαφορετικά µεταξύ τους. Για παράδειγµα, 1,,3,5 έχει αυτή την ιδιότητα, αλλά το υποσύνολο { } το { 1,,3, 4,5 } δεν την έχει, αφού τα ζεύγη { 1, 4 } και {,3 } έχουν το ίδιο άθροισµα, δηλαδή 5. Ποιος είναι ο µεγαλύτερος αριθµός στοιχείων που µπορεί να έχει το S? (CMO) Έστω N ένας πενταψήφιος φυσικός αριθµός. Αν τοποθετήσουµε το ψηφίο 1 στα δεξιά του αριθµού N προκύπτει ένας εξαψήφιος αριθµός P. Αν τοποθετήσουµε το ψηφίο 1 στα αριστερά του αριθµού N προκύπτει ένας εξαψήφιος αριθµός Q. Αν ο P είναι τριπλάσιος από τον Q να βρείτε τον αριθµό N. (COMC) 3

15 ισχύει Να βρείτε τους ακέραιους x, y για τους οποίους 6x 3xy 13x 5y 11 + =. (COMC) Έστω DEF ένα οξυγώνιο τρίγωνο. Με διαµέτρους τις DF και DE γράφουµε τους κύκλους C 1 και C αντίστοιχα. Έστω EY και FZ τα ύψη του τριγώνου DEF. Το τµήµα EY και η προέκταση του τέµνουν τον κύκλο C 1 στα σηµεία P και R, ενώ το τµήµα FZ και η προέκτασή του τέµνουν τον κύκλο C στα σηµεία Q και S. Να αποδείξετε ότι το PQRS είναι εγγράψιµο. (COMC) Να λύσετε το σύστηµα: x yz+ xy+ zx= 8 y zx+ xy+ yz= 18. z xy+ zx+ yz= 18 (COMC) 33

16 Να λύσετε το σύστηµα: xy+ yω = 18 yω + ωx= 0. ωx+ xy= 8 3 x x Αν α, β, γ είναι οι ρίζες της εξίσωσης 1= 0, υπολογίστε την τιµή της παράστασης 1 α 1 β 1 γ α 1+ β 1+ γ. (CMO) 34

17 Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς x, y που επαληθεύουν το σύστηµα ( x 1)( y + 6) = y( x + 1) ( 1)( + 6) = ( + 1) y x x y (1997) Αν x, y, z είναι θετικοί αριθµοί µε xyz= 1, να αποδείξετε ότι x y z xy yz zx ( x y z) (1991) 35

18 Έστω n ένας θετικός ακέραιος αριθµός και έστω X ένα σύνολο n+ ακεραίων µε απόλυτη τιµή το πολύ ίση µε n. Αποδείξτε ότι υπάρχουν τρεις διαφορετικοί αριθµοί abc,, µέσα στο σύνολο X τέτοιοι ώστε a+ b= c. (1998) Να λύσετε το σύστηµα: x + xy+ xω x= y + yx+ yω y= 4. ω + ωx+ ωy ω = 6 (000) 36

19 Αν a και β είναι θετικοί αριθµοί µε αβ = 1, να αποδείξετε ότι ( α + 00α + 1)( β + 00β+ 1) 004. (00) ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ = ΑΓ και το µέσο Μ της ΑΒ. Η κάθετη από το Α προς την ευθεία ΓΜ και η κάθετη προς την ΑΒ στο σηµείο Β τέµνονται στο σηµείο. Να αποδείξετε ότι Α = Γ. (1995) 37

20 Στη Ρωσία υπάρχει µια µεγάλη παράδοση στη δηµιουργία και λύση δύσκολων και πολύπλοκων προβληµάτων. Αυτή η παράδοση φαίνεται να ξεκινάει τον 19 ο αιώνα. Τη δεκαετία έγιναν οι πρώτες ολυµπιάδες µαθηµατικών όµως συστηµατικά διεξάγονται από το 1961 µε την ονοµασία All Russian Mathematical Olympiad. Η ονοµασία του διαγωνισµού άλλαξε σε All Soviet Union Mathematical Olympiad το 1967, ενώ σήµερα ονοµάζεται Russian Mathematical Olympiad. Ο διαγωνισµός αυτός απευθύνεται σε µαθητές Λυκείου. Τα ευκολότερα θέµατα έχουν βαθµό δυσκολίας συγκρίσιµο µε τους µαθηµατικούς διαγωνισµούς που γίνονται στην Ελλάδα, ενώ τα δυσκολότερα θέµατα µπορούν να συγκριθούν µε εκείνα των ιεθνών Μαθηµατικών Ολυµπιάδων. 38

21 Οι εξισώσεις x + ax+ 1= 0 και x + bx+ c= 0 έχουν µια κοινή πραγµατική ριζά και οι εξισώσεις x + x+ a= 0 και x + cx+ b= 0 έχουν µια κοινή πραγµατική ριζά. Υπολογίστε το άθροισµα a+ b+ c. 4 4 Να αποδείξετε ότι x + y + z xyz 8 για όλους τους θετικούς πραγµατικούς αριθµούς x, y, z. Βρείτε ένα τετραψήφιο φυσικό αριθµό µε την ιδιότητα αν αλλάξουµε τη θέση 3 ψηφίων του ο αριθµός που θα προκύπτει να µην είναι πολλαπλάσιο του

22 Έστω Ε ένα σηµείο της διαγωνίου Β ενός τετραγώνου ΑΒΓ. Έστω Ζ, Η τα περίκεντρα των τριγώνων ΑΒΕ και Α Ε. Να αποδείξετε ότι το ΑΖΕΗ είναι τετράγωνο. Έστω ΑΒ µια χορδή ενός κύκλου που δεν είναι διάµετρος και P ένα σηµείο στο κυρτό τόξο ΑΒ. Έστω Q και R σηµεία του κύκλου (διαφορετικά από το P) τέτοια ώστε AP = AQ και BP = BR. είξτε ότι το σηµείο τοµής των AR και BQ είναι το συµµετρικό του P ως προς την ΑΒ. Να αποδείξετε ότι x+ y+ z xy+ yz+ zx για όλους τους θετικούς πραγµατικούς αριθµούς x, y, z µε άθροισµα

23 Πάνω σε ένα τραπέζι υπάρχουν 3 άδεια κουτιά Χ, Υ και Ζ. Τρεις παίκτες οι Α, Β και Γ παίζουν διαδοχικά ο ένας µετά τον άλλο ένα παιχνίδι. Ο Α τοποθετεί ένα χαρτάκι στα κουτιά Υ ή Ζ, ο Β τοποθετεί ένα χαρτάκι στα κουτιά Ζ ή Χ και ο Γ τοποθετεί ένα χαρτάκι στα κουτιά Χ ή Υ. Ο παίκτης που θα τοποθετήσει πρώτος το 1999 ο χαρτάκι σε κάποιο κουτί χάνει. Να αποδείξετε ότι ανεξάρτητα από το ποιος θα παίξει πρώτος και ποιος θα παίξει δεύτερος (από εκεί και µετά καθορίζεται η σειρά του παιχνιδιού) οι Α και Β µπορούν πάντα να συνωµοτήσουν για να αναγκάσουν τον Γ να χάσει. Έστω ABCD ένα παραλληλόγραµµο και P ένα σηµείο στο εσωτερικό του, τέτοιο ώστε το µέσο Μ του AD να βρίσκεται στη µεσοκάθετο του PC και το µέσο Ν του CD να βρίσκεται στη µεσοκάθετο του PA. Έστω Q του µέσο του PB. Να δείξετε ότι PAQ = PCQ. 331

24 001 ψηφία, κάθε ένα από τα οποία είναι 1, ή 3 γράφονται στη σειρά το ένα µετά το άλλο. Ανάµεσα σε δύο ψηφία µε την ένδειξη 1 υπάρχει ένα τουλάχιστον ψηφίο, ανάµεσα σε δύο ψηφία µε την ένδειξη υπάρχουν δύο τουλάχιστον ψηφία, και ανάµεσα σε δύο ψηφία µε την ένδειξη 3 υπάρχουν τρία τουλάχιστον ψηφία. Ποιο είναι το µεγαλύτερο πλήθος των ψηφίων 3 που µπορεί να υπάρχουν; (α) Nα αποδείξετε ότι δεν µπορούµε να γράψουµε τους φυσικούς αριθµούς 1,,,16 σε κυκλική διάταξη έτσι ώστε το άθροισµα δύο διαδοχικών αριθµών να είναι τέλειο τετράγωνο. (β) Να γράψετε τους φυσικούς αριθµούς 1,,,16 σε ευθεία διάταξη έτσι ώστε το άθροισµα δύο διαδοχικών αριθµών να είναι τέλειο τετράγωνο. 33

25 εξετάσεων ίνεται ένας κύκλος και δύο σηµεία του Α και Β όχι αντιδιαµετρικά. Οι εφαπτοµένες του κύκλου στα Α και Β τέµνονται στο Γ. Η παράλληλη από το Α προς τη ΒΓ τέµνει τον κύκλο στο. Η Γ τέµνει τον κύκλο στο Ε και η ΑΕ τέµνει τη ΒΓ στο Ζ. Να αποδείξετε ότι το Ζ είναι µέσο του ΒΓ. (1994) Αν f ( x ) =, να υπολογίσετε την τιµή της x 4 + παράστασης Α= f + f + + f (001) 333

26 Να βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης 3 ( x + y)( x+ y ) = ( x+ y). (003) Βρείτε όλους τους φυσικούς αριθµούς x, y για τους οποίους: (α) 1 1 = 1 x y 3 (β) = x y 3 xy (Βουλγαρία 1999) 334

27 Έστω ΑΒ µια διάµετρος ενός κύκλου και (ε) η εφαπτοµένη του κύκλου στο σηµείο Β. Έστω C και D δύο σηµεία της (ε) εκατέρωθεν του Β. Οι AC, AD τέµνουν τον κύκλο στα E, F αντίστοιχα, ενώ οι CF, DE τέµνουν τον κύκλο στα G, H αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο CDFE είναι εγγράψιµο. ( ιαγωνισµός Κεντρικής Αµερικής 003) 335

28