Παράδειγμα. Στις χρονοσειρές σημαντικό ρόλο παίζει η αυτοσυσχέτιση: η αυτοσυσχέτιση. (lag k) ισούται με όπου γ
|
|
- Παναγιώτα Κασιδιάρης
- 9 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 MCMC Η Monte Carlo μεθοδολογία για την δημιουργία αριθμητικών προσεγγίσεων διαφόρων τιμών της εκ των υστέρων κατανομής, όπως του μέσου και της τυπικής απόκλισης, στηρίζεται στους Ασθενείς Νόμους των Μεγάλων Αριθμών: σε IID δείγμα, οι Monte Carlo εκτιμητές είναι συνεπείς, που σημαίνει ότι είναι πολύ κοντά στις πραγματικές τιμές με υψηλή πιθανότητα, καθώς ο αριθμός των επαναλήψεων m τείνει στο άπειρο. Πριν δούμε πως οι Metropolis et al. προσπάθησαν να επιτύχουντοίδιοαποτέλεσμαγιαέναμηiid Monte Carlo δείγμα ας δούμε το πρακτικό επακόλουθο της εναλλαγής των δεδομένων από IID σε Μαρκοβιανά.
2 Παράδειγμα Πίσω στο παράδειγμα με το ποσοστό ποδηλάτων στο Berkeley. Τρέχοντας τον IID αλγόριθμο απόρριψης για m επαναλήψεις, δημιουργούμε την επονομαζόμενη Monte Carlo βάση δεδομένων:
3 Παράδειγμα Τρέχοντας τον αλγόριθμο του Metropolis για το ίδιο παράδειγμα, δημιουργούμε την επονομαζόμενη MCΜC βάση δεδομένων, η οποία έχει περίπου την ίδια δομή με την προηγούμενη με την διαφορά ότι οι γραμμές χωρίζονται σε 3 φάσεις: Iteration (επανάληψη) 0 είναι η αρχική τιμή. Iterations (1-b) αφορούν την burn-in περίοδο, επαναλήψεις μέχρις ότου επιτευχθεί η στασιμότητα (δεν τις λαμβάνουμε υπόψιν). Iterations (b+1)-(b+m), οι υπό παρακολούθηση επαναλήψεις (monitoring run), από τις οποίες θα λάβουμε εκτιμήσεις για τις ποσότητες της εκ των υστέρων που ενδιαφερόμαστε.
4 Παράδειγμα
5 Παράδειγμα Στις χρονοσειρές σημαντικό ρόλο παίζει η αυτοσυσχέτιση: η αυτοσυσχέτιση στάσιμης χρονοσειράς μίας για υστέρηση κ * * (lag k) ισούται με όπου γ γ κ = C( θt, θt k) είναι 0 η συνδιακύμανση της σειράς με τον εαυτό της πριν από κ επαναλήψεις (δηλαδή πρόκειται για μία μέτρηση του βαθμού εξάρτησης της σειράς από το παρελθόν της). γ κ * θ t ρ κ
6 Παράδειγμα Για τον IID αλγόριθμο απόρριψης η χρονοσειρά που δημιουργούμε έχει μηδενική αυτοσυσχέτιση σε κάθε υστέρηση. Αντιθέτως η χρονοσειρά που δημιουργείται από τον αλγόριθμο του Metropolis έχει μή μηδενική αυτοσυσχέτιση, συνήθως θετική, με άλλα λόγια κάθε φορά που προσομοιώνουμε κάποια νέα τιμή από την Μαρκοβιανή αλυσίδα παίρνουμε κάποια νέα πληροφορία για την εκ των υστέρων κατανομή η οποία συνδυάζεται με την παλιά πληροφορία που είχαμε. Βασιζόμενοι όμως στο Εργοδικό Θεώρημα καταλήγουμε στο αποτέλεσμα πως όλα τα περιγραφικά μέτρα της εκ των υστέρων κατανομής είναι ακόμα και σε αυτή την περίπτωση συνεπείς εκτιμητές αρκεί η αλυσίδα να έχει συγκλίνει στην στάσιμη κατανομή. Άρα οι δυο μεθοδολογίες δίνουν ισοδύναμα αποτελέσματα και διαφέρουνμόνοστηναποτελεσματικότητάτους, μιας και λόγω της θετικής αυτοσυσχέτισης με τον αλγόριθμο του Metropolis μαθαίνουμε πληροφορίες με πιο αργό ρυθμό (μεγαλύτερα τυπικά σφάλματα).
7 Metropolis Algorithm Όπως έχουμε ήδη αναφέρει με την μέθοδο απόρριψης στο χρονικό σημείο t προσομοιώνεις τιμή θ * από την κατανομή εισήγησης g(θ y) και την αποδέχεσαι ή την απορρίπτεις σύμφωνα με την πιθανότητα α θ y ( * ) R αποδοχής. Αν την δεχτείς μετακινείσαι στο θ *, αλλιώς προσομοιώνεις νέα τιμή. ΜετοντρόποαυτόδημιουργείςμίαIID σειρά προσομοιωμένων τιμών από την εκ των υστέρων κατανομή p(θ y). Οι Metropolis et al. γενίκευσαν την παραπάνω ιδέα σε περιπτώσεις όπου το IID δείγμα είναι δύσκολο. Επέτρεψαν στην κατανομή εισήγησης στον χρόνο t να εξαρτάται από την τωρινή κατάσταση θ t της αλυσίδας και εν συνεχεία, για να επιτύχουν την ζητούμενη στάσιμη κατανομή, όταν μία προτεινόμενη τιμή απορρίπτονταν ανάγκαζαν την αλυσίδα το μείνει στην κατάσταση που βρισκόταν για άλλη μια επανάληψη. Η αλυσίδα που καταλήγουμε τότε είναι Μαρκοβιανή αφού (α) οι τιμές είναι εξαρτημένες αλλά (β) από όλο το παρελθόν της μόνο η πιο πρόσφατη κατάσταση καθορίζει το μέλλον.
8 Metropolis Hastings Algorithm Με την παραπάνω μέθοδο υπάρχει μεγάλη ελευθερία στην επιλογή της κατανομής εισήγησης g(θ * θ t,y), όπου με θ * συμβολίζουμε την προτεινόμενη τιμή και με θ t την τωρινή κατάσταση. Η αρχική ιδέα των Metropolis et al. ήταν η χρησιμοποίηση συμμετρικής κατανομής εισήγησης, δηλ. g(θ * θ t,y) = g(θ t θ *,y), αλλά ο Hastings το 1970 γενίκευσε την ιδέα αυτή για μη συμμετρικές κατανομές εισήγησης, δημιουργώντας τον αλγόριθμο Metropolis Hastings. Βασιζόμενος στις ιδέες των Metropolis et al. o Hastings απέδειξε ότι καταλήγουμε στη σωστή στάσιμη κατανομή αρκεί να χρησιμοποιήσουμε ως πιθανότητα αποδοχής την ακόλουθη: (1)
9 Metropolis Hastings Algorithm
10 Metropolis Hastings Algorithm Έχει αρκετό ενδιαφέρον να συγκρίνουμε την συγκεκριμένη πιθανότητα αποδοχής με αυτή από τη μέθοδο απόρριψης. Η ουσιαστική διαφορά τους είναι πως η κατανομή εισήγησης τώρα δεν είναι σταθερή αλλά αλλάζει κάθε φορά. Παρατηρήστε πως η σχέση (1) είναι μια γενίκευση της πιθανότητας αποδοχής της μεθόδου απόρριψης: η νέα πιθανότητα αποδοχής μπορούμε να πούμε πως είναι το πηλίκο 2 πιθανοτήτων αποδοχής της μεθόδου απόρριψης, μίας που έχει να κάνει με το που είσαι τώρα και μίας που έχει να κάνει με το που σκέφτεσαι να πας (είναι επιπλέον ισοδύναμο να δουλεύεις με την g ήτηνg μιας και στην περίπτωση αυτή η σταθερά κανονικοποίησης θα απαλειφθεί στο πηλίκο).
11 Metropolis Hastings Algorithm Αξιοσημείωτο είναι το γεγονός ότι για οποιαδήποτε κατανομή εισήγησης η στάσιμη κατανομή θα είναι η εκ των υστέρων p. Απόδειξη Ο μεταβατικός πυρήνας για τον αλγόριθμο Metropolis-Hastings είναι: ( t+ 1 t) ( t+ 1 t y) ΜΗ ( t+ 1 t y) ( t 1 t) + ( t y) ΜΗ ( t y) θ θ = θ θ α θ θ + θ =θ θ θ α θ θ θ * * * P g,, I 1 g,, d, (2)
12 Metropolis Hastings Algorithm όπου I(.) είναι η δείκτρια συνάρτηση. Ο πρώτος όρος του δεξιού μέλους της προηγούμενης σχέσης προκύπτει από την * * αποδοχή του υποψηφίου θ =θ t + 1, οδεύτεροςόροςαπότην απόρριψης όλων των πιθανών υποψηφίων θ *. Χρησιμοποιώντας την σχέση: ( θt y) ( θt+ 1 θt y) αμη ( θt+ 1 θ t y) = ( θt+ 1 y) ( θt θt+ 1 y) αμη ( θt θt+ 1 y) p g,, p g,, η οποία προκύπτει από την (1) καταλήγουμε λόγω της (2) στην σχέση ( θ ) ( ) ( ) ( ) t y θt+ 1 θ t y = θt+ 1 y θt θt+ 1 y p P, p P,
13 Metropolis Hastings Algorithm Ολοκληρώνοντας την προηγούμενη σχέση ως προς θ t Το αριστερό μέρος της παραπάνω σχέσης μας δίνει την περιθώρια κατανομή της, υπό την προϋπόθεση ότι η προέρχεται από τηνεκτωνυστέρωνκατανομή. Άρα η παραπάνω σχέση μας λέει πως αν η ίδιο θα συμβαίνει και για την ( θ ) ( ) ( ) t θt+ 1 θt θ t = θt+ 1 p y P, y d p y. θ t θ t+ 1 προέρχεται από την εκ των υστέρων κατανομή το θ. t + 1 Άρα με το που λάβουμε δείγμα από την στάσιμη κατανομή όλα τα υπόλοιπα δείγματα θα προέρχονται από αυτή και το αποτέλεσμα αυτό ισχύει για οποιαδήποτε g. θ t
14 Metropolis Hastings Algorithm Η παραπάνω απόδειξη μας αποσαφηνίζει μόνο το γεγονός ότι η στάσιμη κατανομή είναι η εκ των υστέρων, χωρίς να δείχνει αν πράγματι η αλυσίδα συγκλίνει σε στάσιμη κατανομή. Όταν η κατανομή εισήγησης είναι συμμετρική τότε η * p( θ y) πιθανότητα αποδοχής ισούται με p( θ, που t y) σημαίνει πως θέλεις να επισκεφτείς σημεία με μεγαλύτερη συχνότητα πιο συχνά.
15 Παράδειγμα IID 2 2 Έστω (Y i σ ) ~ N( μ, σ ), i = 1,.., n (μ γνωστό). συνάρτηση πιθανοφάνειας τότε είναι: Η Αν επιλέξουμε ως εκ των προτέρων κατανομή την: p ( ) ν σ0 νσ 0 0 exp 2 2 σ σ 2σ
16 Παράδειγμα δηλαδή σ Inv χ ν, σ ) ( τότε: ( σ ) ( σ ) l ( σ ) p y p y ( ) ν n n ( ) 2 σ ν σ exp σ exp u σ 2σ 2σ ( ν + n) ( 0 0 ) σ exp ν σ + nu, 2σ Παρατηρούμε ότι νσ nu σ y Inv χ ν 0 + n,. ν 0 + n n 1 με u = μ n i = 1 ( y ) i 2
17 Παράδειγμα Αν και στο συγκεκριμένο παράδειγμα μπορούμε να υπολογίσουμε την εκ των υστέρων κατανομή πλήρως, ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε τον MH algorithm για προσομοίωση τιμών από αυτή. Για να χρησιμοποιήσουμε τον αλγόριθμο θα πρέπει να 2 2 διαλέξουμε την κατανομή εισήγησης g( σ σ, y). t Όπως αναφέραμε προηγουμένως η επιλογή της g δεν επηρεάζει την σύγκλιση στην εκ των υστέρων κατανομή. Επηρεάζει όμως την ταχύτητα σύγκλισης και πόσο καλά η αλυσίδα αναμιγνύεται (μίξη).
18 Παράδειγμα 1. Διαλέξτε μια κατανομή εισήγησης που μοιάζει με μία υπερκαλυπτόμενη έκδοση της εκ των υστέρων κατανομή (για αυτό το λόγο συχνά είναι αναγκαίο αρχικά να προβούμε σε μία πιλοτική μελέτη για να αποκτήσουμε μια πρόχειρη εικόνα για το σχήμα της εκ των υστέρων κατανομής). 2. Δημιουργήστε την κατανομή εισήγησης με τέτοιο τρόπο * ώστε E g θ θ t, y =θt. Δηλαδή η αναμενόμενη τιμή του πού πρόκειται να μετακινηθείς θ *, δεδομένου ότι έχεις δεχθεί να μετακινηθείς από την τωρινή κατάσταση θ t ισούται με τηντωρινήκατάστασηθ t. Άρα όταν κινείσαι υπάρχει ένα είδος αριστερής δεξιάς ισορροπίας στην κατεύθυνση που μετακινείσαι, και άρα επιτυγχάνεις καλύτερη εξερεύνηση στου χώρου.
19 Παράδειγμα Βάση της ιδέας (1) μια ικανοποιητική επιλογή για την κατανομή εισήγησης είναι η Η κατανομή αυτή έχει μέσο v* 2 * για v* 2. v 2 σ > ( ) g( σ σ, y) = Inv χ ν, σ. * t * * Άρα χρησιμοποιώντας την ιδέα (2) μπορώ να χρησιμοποιήσω ν * >2 και 2 v* 2 2 σ * = σt δηλαδή: v* v* 2 2 g( σ σ t, y) = Inv χ ν*, σt. v*
20 Παράδειγμα Διάλεξε μια τιμή για το ν * έτσι ώστε η αλυσίδα να αναμιγνύεται καλύτερα ν * =2.5 α MH =0.07 ν * =20 α MH =0.44 ν * =500 α MH =0.86
21 Παράδειγμα Η τυπική απόκλιση (SD) της κατανομής εισήγησης που χρησιμοποιούμε είναι ανάλογη της ποσότητας: 1 ν 4 η οποία είναι φθίνουσα συνάρτηση του ν *. Όταν το SD είναι μεγάλο (μικρό ν * όπως στο πρώτο γράφημα) ο αλγόριθμος κάνει μεγάλα άλματα γύρω από τον χώρο του σ 2 (πράγμα καλό), αλλά τα περισσότερα από αυτά απορρίπτονται (πράγμα κακό), και άρα υπάρχουν μεγάλες περίοδοι στις οποίες δεν έχουμε κίνηση. Αντίθετα όταν το SD είναι μικρό (μεγάλο ν* όπως στο τρίτο γράφημα) ο αλγόριθμος δέχεται σχεδόν όλες τις κινήσεις (πράγμα καλό) αλλά αυτές είναι τόσο μικρές έτσι ώστε να χρειάζεται πολύ χρόνο για να εξερευνήσει πλήρως τον χώρο (πράγμα κακό). *
22 Παράδειγμα Έχει δειχθεί ότι σε απλά προβλήματα με προσεγγιστικά κανονικές εκ των υστέρων κατανομές η βέλτιστη πιθανότητα αποδοχής είναι περίπου 44%. Στο παράδειγμα μας η άγνωστη ποσότητα ήταν μονοδιάστατη, αλλά ο αλγόριθμος δουλεύει χωρίς προβλήματα και με πολυδιάστατο θ. Το μεγάλο προτέρημα είναι ότι για να εφαρμόσουμε τον αλγόριθμο αρκεί να γνωρίζουμε την εκ των υστέρων χωρίς την σταθερά κανονικοποίησης.
23 Single Component M-H Όταν το θ = (θ 1,..,θ k ) τότε μπορούμε να εφαρμόζουμε τον αλγόριθμο M-H και να προσομοιώνουμε διανύσματα θ ή μπορούμε να δημιουργούμε ξεχωριστά τις συνιστώσες βάση διαφορετικών κατανομών εισήγησης. Κάθε δηλαδή επανάληψη του αλγορίθμου αποτελείτε από κ βήματα, στην αρχή δηλαδή της επανάληψης t, ανανεώνεις πρώτα το θ 1, μετά το θ 2 και στο τέλος το θ κ. Ας καλέσουμε θ t,i τηντιμήτηςi συνιστώσας στο χρόνο t και θ t,-i =(θ t+1,1, θ t+1,2,..., θ t+1,i-1, θ t,i+1,, θ t,k } * Το υποψήφιο σημείο θ i παράγεται από την κατανομή * εισήγησης g( θ θ, θ, y) με πιθανότητα αποδοχής: i i t,i t, i * * * p( θi θt, i, y)g i( θt,i θi, θt, i, y) αμη( θi θ t,i, θt, i, y) = min 1, p( * θt,i θt, i, y )g i ( θi θt,i, θt, i, y )
24 Gibbs Sampling Ειδική περίπτωση του Single Component M-H αποτελεί ο δειγματολήπτης Gibbs (Gibbs Sampling) όπου η κατανομή εισήγησης g( θ θ, θ, y) = p( θ θ, y) * * i i t,i t, i i t, i είναι η πλήρους δέσμευσης εκ των υστέρων κατανομή (full conditional posterior distribution) για το θ i. Στην περίπτωση αυτή η πιθανότητα αποδοχής ισούται με 1, με άλλα λόγια στο Gibbs Sampling προσομοιώνουμε τιμές από την full conditional posterior distribution (η οποία έχει το πλεονέκτημα ότι στις περισσότερες των περιπτώσεων είναι εύκολα υπολογίσιμη) και δεχόμαστε όλες τις προτεινόμενες κινήσεις.
25 Gibbs Sampling
26 Παράδειγμα όπου η t ν (μ, σ 2 ) είναι η scaled t-distribution με μέσο μ, παράμετρο κλίμακας σ 2 και παράμετρο μορφής ν. Είναι γνωστό από την Θεωρία Πιθανοτήτων ότι για να προσομοιώσεις τιμές από την συγκεκριμένη t κατανομή μπορείς αρχικά να προσομοιώσεις τιμές από μία αντίστροφη Γάμμα και μετά από μία Κανονική δεδομένων των τιμών που προσομοίωσες από την Γάμμα (Inverse Gamma mixture of Gaussians).
27 Παράδειγμα Εισάγοντας και τις συζυγείς εκ των προτέρων για τα μ και σ 2 καταλήγουμε στο ακόλουθο ιεραρχικό μοντέλο (hierarchical model)
28 Παράδειγμα
29 Παράδειγμα Ερωτήματα Υπολογισμός των full Conditionals. Αρχικές τιμές. Πόσο μεγάλα πρέπει να είναι τα b, m; Πως ξέρω ότι έχω σύγκλιση της αλυσίδας;
30 Υπολογισμός των Full Conditionals Ας θεωρήσουμε το εξής πιο απλό παράδειγμα:
31 Υπολογισμός των Full Conditionals Οπότε: δηλαδή Όμοια
32 Υπολογισμός των Full Conditionals Οπότε: δηλαδή
33 Υπολογισμός των Full Conditionals Παρατηρούμε ότι σε συζυγείς περιπτώσεις οι full conditional έχουν συζυγείς μορφές. Άρα είναι εφικτό με την βοήθεια ενός λογισμικού να υπολογιστούν αυτόματα οι full conditionals και να μην χρειαστεί να κάνουμε εμείς κάθε φορά τους υπολογισμούς. Ένα τέτοιο λογισμικό είναι το BUGS το οποίο τρέχει κάτω από Unix ή Dos καθώς και το αντίστοιχο λογισμικό κάτω από Windows το WinBugs. To Bugs/WinBugs δουλεύουν και για μή συζυγείς εκ των προτέρων κατανομές βασιζόμενο στα παρακάτω:
34 Directed Acyclic Graphs 1. Βλέποντας τα ιεραρχικά μοντέλα ως Κατευθυνόμενα Ακυκλικά Γραφήματα - Directed Acyclic Graphs (DAG). Η δεσμευμένη ανεξαρτησία των ιεραρχικών μοντέλων (οι ποσότητες στο μοντέλο εξαρτώνται μόνο από αυτές που είναι ένα στάδιο παραπάνω και όχι από τις υπόλοιπες) μας επιτρέπει να δούμε τις ποσότητες ως κόμβους σε ένα γράφημα. Το DAG είναι ένα γράφημα στο οποίο οι ποσότητες απεικονίζονται είτε ως κύκλοι (άγνωστες ποσότητες) είτε ως τετράγωνα (γνωστές ποσότητες) και εν συνεχεία βασισμένοι στην εξάρτηση τους τις συνδέουμε με ένα βέλος. Το γράφημα αυτό είναι ακυκλικό (acyclic) με την έννοια ότι ακολουθούμενος την πορεία του βέλους είναι αδύνατο να γυρίσεις σε κόμβο από τον οποίο πέρασες.
35 Adaptive Rejection Sampling 2. Εφαρμόζοντας την προσαρμοσμένη μέθοδο απόρριψης (Adaptive Rejection Sampling), για να προσομοιώσεις τιμές από full conditional distributions που δεν έχουν απλή μορφή (μή συζυγείς εκ των προτέρων). Όπως έχουμε δει η μέθοδος απόρριψης είναι μια γενική μέθοδος προσομοίωσης τιμών από την p(θ y) με την βοήθεια ενός φακέλου G(θ y). Ο αλγόριθμος για κανονικοποιημένη G είναι ο ακόλουθος:
36 Adaptive Rejection Sampling Για την κατασκευή του φακέλου G μπορούμε να εισάγουμε 2 συναρτήσεις a, b (squeezing functions) τέτοιες ώστε b(θ y) p(θ y) a(θ y) και να αντικαταστήσουμε την γραμμή 4 τουπροηγουμένουκώδικα(πιθανότητα αποδοχής) με το παρακάτω: H αναπροσαρμοσμένη μέθοδος απόρριψης (ARS) είναι μια αρκετά αποδοτική μέθοδος, που δουλεύει ως βάση του Gibbs Sampling σε περιπτώσεις όπου οι full conditionals είναι log-concave.
37 Adaptive Rejection Sampling Για μονοδιάστατο θ μπορεί εύκολα να κατασκευαστεί η logg(θ y) στην λογαριθμική κλίμακα φέρνοντας εφαπτόμενες στην logp(θ y) από σημεία ενός σύνολου S Οι εφαπτόμενες δημιουργούν τον φάκελο στην λογαριθμική κλίμακα και οι χορδές την συνάρτηση a.
38 Adaptive Rejection Sampling Ο φάκελος αποτελείτε από γραμμικές συναρτήσεις στην λογαριθμική κλίμακα, οπότε στην αρχική κλίμακα αποτελείτε από εκθετικές κατανομές από τις οποίες μπορούμε εύκολα να προσομοιώσουμε τιμές. Το πλεονέκτημα της μεθόδου είναι η αναπροσαρμογή στην κατασκευή του φακέλου που μπορούμε να πραγματοποιήσουμε. Καθώς μαθαίνουμε όλο και περισσότερα για το θ προσομοιώνοντας νέες τιμές, προσθέτουμε νέα σημεία στο σύνολο S και άρα ο φάκελος καλυτερεύει και πλησιάζει όλο και περισσότερο την πραγματική συνάρτηση.
Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC
Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC Περιεχόμενα Μαθήματος Εισαγωγή στο Πρόβλημα. Monte Carlo Εκτιμητές. Προσομοίωση. Αλυσίδες Markov. Αλγόριθμοι MCMC (Metropolis Hastings & Gibbs Sampling).
Διαβάστε περισσότεραΜπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC
Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Τομέας Μαθηματικών, Τηλέφωνο: (210) 772-1702, Φαξ: (210) 772-1775.
Διαβάστε περισσότεραΜαρκοβιανές Αλυσίδες
Μαρκοβιανές Αλυσίδες { θ * } Στοχαστική Ανέλιξη είναι μια συλλογή τ.μ. Ο χώρος Τ (συνήθως είναι χρόνος) μπορεί να είναι είτε διακριτός είτε συνεχής και καλείται παραμετρικός χώρος. Το σύνολο των δυνατών
Διαβάστε περισσότεραΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014
ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 14 Μαρτίου /34
Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 14 Μαρτίου 018 1/34 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Εχουμε δει εκτενώς μέχρι τώρα τρόπους εκτίμησης
Διαβάστε περισσότεραΣυνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος
ΜΑΘΗΜΑ 10 ο Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος Η μέθοδος της συνολοκλήρωσης είναι ένας τρόπος με τον οποίο μπορούμε να εκτιμήσουμε τη μακροχρόνια σχέση ισορροπίας που υπάρχει μεταξύ δύο ή
Διαβάστε περισσότεραΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ
ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,
Διαβάστε περισσότεραΠινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες
Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα. Για τα ΝΒ10 δεδομένα έχουμε το μοντέλο:
Παράδειγμα Για τα ΝΒ10 δεδομένα έχουμε το μοντέλο: or N(μ ο, ~σ 2 ) } Ερωτήματα Εκ των προτέρων κατανομή για το μ. Δεν γνωρίζω τίποτα για το πραγματικό βάρος του NB10, άρα πρέπει να χρησιμοποιήσω μια διακεχυμένη
Διαβάστε περισσότεραX = = 81 9 = 9
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (11η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 35 Σύνοψη
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Αίθουσα Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Ε.Μ.Π.
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Αίθουσα 005 - Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Ε.Μ.Π. Προσομοίωση Monte Carlo Αλυσίδων Markov: Αλγόριθμοι Metropolis & Metropolis-Hastings Προσομοιωμένη Ανόπτηση Simulated Annealing
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ
ΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Το ενδιαφέρον επικεντρώνεται πάντα στον πληθυσμό Το δείγμα χρησιμεύει για εξαγωγή συμπερασμάτων για τον πληθυσμό π.χ. το ετήσιο εισόδημα των κατοίκων μιας περιοχής Τα στατιστικά
Διαβάστε περισσότεραHMY 795: Αναγνώριση Προτύπων
HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διαλέξεις 7-8 Μπεϋζιανή εκτίμηση - συνέχεια Μη παραμετρικές μέθοδοι εκτίμησης πυκνότητας Δυαδικές τ.μ. κατανομή Bernoulli : Εκτίμηση ML: Εκτίμηση Bayes για εκ των προτέρων
Διαβάστε περισσότεραΧρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές
Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 μήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό μήμα, Πανεπιστήμιο
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα (2) Διανυσματικοί Χώροι
Παραδείγματα () Διανυσματικοί Χώροι Παράδειγμα 7 Ελέγξτε αν τα ακόλουθα σύνολα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητα ή όχι: α) v=(,4,6), v=(,,), v=(7,,) b) v=(,4), v=(,), v=(4,) ) v=(,,), v=(5,,), v=(5,,)
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 7-8 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές
Διαβάστε περισσότεραHMY 795: Αναγνώριση Προτύπων
HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 6 Κατανομές πιθανότητας και εκτίμηση παραμέτρων Κατανομές πιθανότητας και εκτίμηση παραμέτρων κανονικές τυχαίες μεταβλητές Εκτίμηση παραμέτρων δυαδικές τυχαίες μεταβλητές
Διαβάστε περισσότεραΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις
ΔΕΟ - Επαναληπτικές Εξετάσεις Λύσεις ΘΕΜΑ () Το Διάγραμμα Διασποράς εμφανίζεται στο επόμενο σχήμα. Από αυτό προκύπτει καταρχήν μία θετική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών. Επίσης, από το διάγραμμα φαίνεται
Διαβάστε περισσότεραconditional posterior distributions είναι standard δηλαδή ξέρουμε να κάνουμε δειγματοληψία από τις κατανομές π ( µτ,x) (, x) (, x) ( )
Δειγματοληψία από την posteror π ( τ, x - Gbbs saplg Υποθέτουμε ότι η posteror έχει μορφή π ( τ, x π ( τ x π ( x και τα δύο full codtoal posteror dstrbutos είναι stadard δηλαδή ξέρουμε να κάνουμε δειγματοληψία
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου
Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Στατιστική Συμπερασματολογία Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων εκτιμήτρια συνάρτηση, ˆ θ σημειακή εκτίμηση εκτίμηση με διάστημα εμπιστοσύνης
Διαβάστε περισσότερα(X1 X 2 ) 2}. ( ) f 1 (x i ; θ) = θ x i. (1 θ) n x i. x i log. i=1. i=1 t2 i
ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I: ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ 8 Ιουνίου 005 Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 005 ΘΕΜΑΤΑ Εστω X = (X,, X n ), n, τυχαίο δείγµα από κατανοµή Bernoull B(, θ), θ Θ = (0, ) (α) (0 µονάδες) Να δειχθεί
Διαβάστε περισσότεραΠολυτεχνείο Κρήτης Σχολή Ηλεκτρονικών Μηχανικών Και Μηχανικών Η/Υ. ΠΛΗ 513 Αυτόνομοι Πράκτορες
Πολυτεχνείο Κρήτης Σχολή Ηλεκτρονικών Μηχανικών Και Μηχανικών Η/Υ ΠΛΗ 53 Αυτόνομοι Πράκτορες Εύρεση του utility χρηστών με χρήση Markov chain Monte Carlo Παπίλαρης Μιχαήλ Άγγελος 29349 Περίληψη Η εργασία
Διαβάστε περισσότερα2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ
.5. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Η μέθοδος κατασκευής διαστήματος εμπιστοσύνης για την πιθανότητα που περιγράφεται στην προηγούμενη ενότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή διαστημάτων
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικές Προσομοιώσεις του πρότυπου ISING στις Τρεις Διαστάσεις
Αριθμητικές Προσομοιώσεις του πρότυπου ISING στις Τρεις Διαστάσεις Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ΚΟΡΝΑΡΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ Εισαγωγή ό ή ί ί μ έ ά μ έ Ising μ
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 07-08 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 6-7 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές
Διαβάστε περισσότεραΣ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii
Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium Iii Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι μία τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους και και συμβολίζουμε X N, αν έχει συνάρτηση πυκνότητας
Διαβάστε περισσότεραWinBUGS. Το BUGS (Bayesian inference Using Gibbs Sampling) είναι ένα ελεύθερο λογισµικό στο διαδίκτυο (http://www.mrcbsu.cam.ac.uk/bugs/welcome.
WinBUGS Το BUGS (Bayesian inference Using Gibbs Sampling) είναι ένα ελεύθερο λογισµικό στο διαδίκτυο (http://www.mrcbsu.cam.ac.uk/bugs/welcome.shtml) το οποίο χρησιµοποιεί MCMC µεθόδους για την επίλυση
Διαβάστε περισσότεραΔειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:
Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα (2 ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Παραδείγματα ( ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω ο υποχώρος W του R 5 που παράγεται από τα διανύσματα v=(,,-,,), v=(,,-,6,8), v=(,,,,6), v=(,,5,,8), v5=(,7,,,9). a)
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων
Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων
Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος
Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού
Διαβάστε περισσότεραHMY 795: Αναγνώριση Προτύπων
HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διαλέξεις 7 8 Μπεϋζιανή εκτίμηση συνέχεια Μη παραμετρικές μέθοδοι εκτίμησης πυκνότητας Εκτίμηση ML για την κανονική κατανομή Μπεϋζιανή εκτίμηση για την κανονική κατανομή Γνωστή
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Αίθουσα 005 - Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Ε.Μ.Π. Μοντέλα Στατιστικής Μηχανικής, Κινητικότητα & Ισορροπία Αλυσίδες Markov: Καταστάσεις, Εξισώσεις Μεταβάσεων καθ. Βασίλης Μάγκλαρης
Διαβάστε περισσότεραHMY 795: Αναγνώριση Προτύπων. Διάλεξη 2
HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 2 Επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Θεωρία πιθανοτήτων Τυχαία μεταβλητή: Μεταβλητή της οποίας δε γνωρίζουμε με βεβαιότητα την τιμή (αντίθετα με τις ντετερμινιστικές μεταβλητές)
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 5-6 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων
Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές
Διαβάστε περισσότεραΔειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:
Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον
Διαβάστε περισσότεραE [ -x ^2 z] = E[x z]
1 1.ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Σε αυτήν την διάλεξη θα πάμε στο φίλτρο με περισσότερες λεπτομέρειες, και θα παράσχουμε μια νέα παραγωγή για το φίλτρο Kalman, αυτή τη φορά βασισμένο στην ιδέα της γραμμικής
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που
Διαβάστε περισσότεραΤεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων 1ο Σετ Ασκήσεων - Λύσεις
Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων ο Σετ Ασκήσεων - Λύσεις Νοέμβριος - Δεκέμβριος 205 Ερώτημα (α). Η νοσοκόμα ακολουθεί μια Ομογενή Μαρκοβιανή Αλυσίδα Διακριτού Χρόνου με χώρο καταστάσεων το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραHMY 795: Αναγνώριση Προτύπων
HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 2 Επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Τυχαίες μεταβλητές: Βασικές έννοιες Τυχαία μεταβλητή: Μεταβλητή της οποίας δε γνωρίζουμε με βεβαιότητα την τιμή (σε αντίθεση με τις
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43
Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες
ΜΑΘΗΜΑ 3ο Βασικές έννοιες Εισαγωγή Βασικές έννοιες Ένας από τους βασικότερους σκοπούς της ανάλυσης των χρονικών σειρών είναι η διενέργεια των προβλέψεων. Στα υποδείγματα αυτά η τρέχουσα τιμή μιας οικονομικής
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Βάθος. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Συμπληρώσεις: Α. Παγουρτζής. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Αναζήτηση Κατά Βάθος Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Συμπληρώσεις: Α. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση
Διαβάστε περισσότερα5.1 Ο ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV
5. Ο ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV Έστω δύο ανεξάρτητα τυχαία δείγματα, 2,..., n και, 2,..., m n και m παρατηρήσεων πάνω στις τυχαίες μεταβλητές και, αντίστοιχα. Έστω, επίσης, ότι F (), (, ) και F (y), y (, ) είναι
Διαβάστε περισσότεραΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ. Credit Value at Risk
ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ Credit Value at Risk Credit Value at Risk: Εισαγωγή To Credit Value at Risk είναι μία βασική μέτρηση για τον καθορισμό των εποπτικών κεφαλαίων και των κεφαλαίων που η
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Συμπερασματολογία
Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 4 ου κεφαλαίου Ελεγχοσυναρτήσεις Γενικευμένου Λόγου Πιθανοφανειών Σταύρος Χατζόπουλος 27/03/2017, 03/04/2017, 24/04/2017 1 Εισαγωγή Έστω το τ.δ. X,,, από την κατανομή
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα (1 ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι
Παραδείγματα ( ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με y, V και του πολλαπλασιασμού:
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 4ο
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 4ο Διαδικασία των συντελεστών αυτοσυσχέτισης Ονομάζουμε συνάρτηση αυτοσυσχέτισης (autocorrelation function) και συμβολίζεται με τα γράμματα
Διαβάστε περισσότεραΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 7 ΚΑΙ 8
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 7 ΚΑΙ 8 Άσκηση Έστω X, X,..., X d τυχαίες μεταβλητές με Beroull ( p ), p, Να εξάγετε α) τη συνάρτηση πιθανοφάνειας στις 3 μορφές τις και β) τον εκτιμητή μέγιστης πιθανοφάνειας για την άγνωστη
Διαβάστε περισσότεραΑπλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017
Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης
Διαβάστε περισσότεραΗ ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Λύσεις 2η σειράς ασκήσεων Προθεσμία παράδοσης: 18 Μαίου 2015 Πρόβλημα 1. (14
Διαβάστε περισσότεραΟι παρατηρήσεις του δείγματος, μεγέθους n = 40, δίνονται ομαδοποιημένες κατά συνέπεια ο δειγματικός μέσος υπολογίζεται από τον τύπο:
Ένας Πληθυσμός, μεγάλο δείγμα, άγνωστη κατανομή Έλεγχος για την μέση τιμή, με άγνωστη διασπορά Δίνονται ομαδοποιημένες οι ημερήσιες καταναλώσεις ηλεκτρικής ενέργειας (σε 100-άδες κιλοβατώρες) μιας χημικής
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Σε αντίθεση με την διακριτή τυχαία μεταβλητή, μία συνεχής τυχαία μεταβλητή παίρνει μη-αριθμήσιμο (συνεχές) πλήθος τιμών. Δεν μπορούμε να καταγράψουμε το σύνολο των τιμών
Διαβάστε περισσότεραΔιαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς
Διαστήματα εμπιστοσύνης Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα διάστημα αριθμών
Διαβάστε περισσότερα3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex
3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι (3)
Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι () Παράδειγμα Δίνεται ο πίνακας A = 6. Να υπολογισθούν οι θεμελιώδεις υποχώροι που σχετίζονται με τον πίνακα Α. Να βρεθεί η διάστασή του κάθε ενός και από μία βάση τους.
Διαβάστε περισσότεραΕ π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ
Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ευθύγραμμη Ομαλά Μεταβαλλόμενη Κίνηση Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός https://physicscourseswordpresscom/ Βασικές έννοιες Ένα σώμα δεν κινείται πάντα με σταθερή
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός https://physicscorses.wordpress.com/ Βασικές Έννοιες Ένα σώμα καθώς κινείται περνάει από διάφορα σημεία.
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΧΩΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΚΡΗΤΙΚΟΥ ΚΑΤΕΡΙΝΑ NΙΚΑΚΗ ΚΑΤΕΡΙΝΑ NΙΚΟΛΑΪΔΟΥ ΧΡΥΣΑ
ΔΙΑΧΩΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΚΡΗΤΙΚΟΥ ΚΑΤΕΡΙΝΑ NΙΚΑΚΗ ΚΑΤΕΡΙΝΑ NΙΚΟΛΑΪΔΟΥ ΧΡΥΣΑ ΔΙΑΧΩΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ Είναι τεχνικές που έχουν σκοπό: τον εντοπισμό χαρακτηριστικών των οποίων οι αριθμητικές τιμές επιτυγχάνουν
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not defned. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης. ), για οποιοδήποτε μονοπάτι n 1
Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2016 17 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης 4.1. (α) Αποδείξτε ότι αν η h είναι συνεπής, τότε h(n
Διαβάστε περισσότεραΧ. Εμμανουηλίδης, 1
Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Παραμέτρων
Διαβάστε περισσότεραΟρισμός παραγώγου Εξίσωση εφαπτομένης
9 Ορισμός παραγώγου Εξίσωση εφαπτομένης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ι Ορισμός παράγωγου αριθμού Ορισμός 1 Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, αν f( f( υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΠεπερασμένες Διαφορές.
Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x
Διαβάστε περισσότεραΈλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης
1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική, Άσκηση 2. (Κανονική κατανομή)
Στατιστική, Άσκηση 2 (Κανονική κατανομή) Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται οι μέσες παροχές όπως προέκυψαν από μετρήσεις πεδίου σε μια διατομή ενός ποταμού. Ζητείται: 1. Να αποδειχθεί ότι το δείγμα προσαρμόζεται
Διαβάστε περισσότεραHMY 795: Αναγνώριση Προτύπων
HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 3 Επιλογή μοντέλου Επιλογή μοντέλου Θεωρία αποφάσεων Επιλογή μοντέλου δεδομένα επικύρωσης Η επιλογή του είδους του μοντέλου που θα χρησιμοποιηθεί σε ένα πρόβλημα (π.χ.
Διαβάστε περισσότεραmath-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr
III Όριο Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Πεπερασμένο Όριο στο Α Ορισμός Όριο στο : Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό,
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,
Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace 1. Επίλυση Γραμμικών
Διαβάστε περισσότεραΜ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΕ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΕ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ 6. Εισαγωγή 6. Μονομεταβλητές προβλέψεις Βέλτιστη πρόβλεψη και Θεώρημα βέλτιστης πρόβλεψης Διαστήματα εμπιστοσύνης 6.3 Εφαρμογές A. MILIONIS KEF. 6 08 BEA
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3
Διαβάστε περισσότεραΕκτιμητές Μεγίστης Πιθανοφάνειας (Maximum Likelihood Estimators MLE)
Εκτιμητές Μεγίστης Πιθανοφάνειας (Maximum Likelihood Estimators MLE) Εστω τ.δ. X={x, x,, x } με κατανομή με σ.π.π. f(x;θ). Η από-κοινού σ.π.π. των δειγμάτων είναι η συνάρτηση L f x, x,, x; f x i ; και
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R
Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)
Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ 3 ο ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ 3 ο ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΗ Σύμφωνα με στοιχεία από το Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης η πιθανότητα ένας φοιτητής να αποφοιτήσει μέσα σε 5 χρόνια από την ημέρα εγγραφής του στο
Διαβάστε περισσότερα6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης
6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης Μία διαφορετική μέθοδος εκπαίδευσης των νευρωνικών δικτύων χρησιμοποιεί ιδέες από την Στατιστική Φυσική για να φέρει τελικά το ίδιο αποτέλεσμα όπως οι άλλες μέθοδοι,
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Κύπρου Πολυτεχνική Σχολή
Πανεπιστήμιο Κύπρου Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών ΗΜΜΥ 795: ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 2010-11 Χειμερινό Εξάμηνο Practice final exam 1. Έστω ότι για
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας
Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σκ της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα Χ=(Χ, Χ,, Χ ) από πληθυσμό το
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 4
(ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com ιαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ ιάλεξη 4 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ Ρέθυμνο,
Διαβάστε περισσότεραHMY 795: Αναγνώριση Προτύπων
HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 5 Κατανομές πιθανότητας και εκτίμηση παραμέτρων Κατανομές πιθανότητας και εκτίμηση παραμέτρων δυαδικές τυχαίες μεταβλητές Διαχωριστικές συναρτήσεις Ταξινόμηση κανονικών
Διαβάστε περισσότεραΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής
ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής Υποθέσεις του Απλού γραμμικού υποδείγματος της Παλινδρόμησης Η μεταβλητή ε t (διαταρακτικός όρος) είναι τυχαία μεταβλητή με μέσο όρο
Διαβάστε περισσότεραΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα.
ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα. Στα παραπάνω ιστογράμματα, παρατηρούμε, ότι αν και υπάρχει διαφορά στη διασπορά των τιμών
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 08-09 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος
Διαβάστε περισσότεραΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Παπάνα Αγγελική
ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ 7o Μάθημα: Απλή παλινδρόμηση (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & ΠΑΜΑΚ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana
Διαβάστε περισσότεραΚινητά Δίκτυα Επικοινωνιών. Συμπληρωματικό υλικό. Προσαρμοστική Ισοστάθμιση Καναλιού
Κινητά Δίκτυα Επικοινωνιών Συμπληρωματικό υλικό Προσαρμοστική Ισοστάθμιση Καναλιού Προσαρμοστικοί Ισοσταθμιστές Για να υπολογίσουμε τους συντελεστές του ισοσταθμιστή MMSE, απαιτείται να λύσουμε ένα γραμμικό
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικές Στρατηγικές
Στοχαστικές Στρατηγικές 2 η ενότητα: Στοιχειώδη προβλήματα διαδρομής Τμήμα Μαθηματικών, ΠΘ καδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα γγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΠΘ & Πανεπιστήμιο Μακεδονίας
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης
Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης με παραγώγους Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo
Διαβάστε περισσότεραΜεταπτυχιακό Πρόγραμμα Φυσικού Τμήματος «Υπολογιστική Φυσική» Θέμα εργασίας στο A Μέρος του μαθήματος «Προσομοίωση Χαοτικών Συστημάτων»
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Φυσικού Τμήματος «Υπολογιστική Φυσική» Θέμα εργασίας στο A Μέρος του μαθήματος «Προσομοίωση Χαοτικών Συστημάτων» Οδηγίες: Σχετικά με την παράδοση της εργασίας θα πρέπει: Το κείμενο
Διαβάστε περισσότεραΤο Κεντρικό Οριακό Θεώρημα
Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που
Διαβάστε περισσότερα