ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

Transcript

1 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Σε αντίθεση με την διακριτή τυχαία μεταβλητή, μία συνεχής τυχαία μεταβλητή παίρνει μη-αριθμήσιμο (συνεχές) πλήθος τιμών. Δεν μπορούμε να καταγράψουμε το σύνολο των τιμών διότι το πλήθος τους είναι άπειρο. Επειδή το πλήθος των τιμών είναι άπειρο, η πιθανότητα να πάρει η τυχαία μεταβλητή μία συγκεκριμένη τιμή είναι ουσιαστικά 0!!! Διαχείριση Πληροφοριών 3.1

2 ΣΗΜΕΙΑΚΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Επειδή υπάρχει άπειρο πλήθος τιμών, η πιθανότητα να πάρει η τυχαία μεταβλητή μία συγκεκριμένη τιμή είναι ουσιαστικά 0. Γι αυτό προσδιορίζουμε μία περιοχή μόνο τιμών. π.χ. για μία διακριτή τυχαία μεταβλητή όπως το πέταγμα του ζαριού, έχει νόημα να πούμε P(X=5). Για μία συνεχή τυχαία μεταβλητή (π.χ. χρονικό διάστημα), η πιθανότητα ότι ο χρόνος επιδιόρθωσης ενός μηχανήματος είναι ακριβώς 5 λεπτά είναι πολύ μικρή, έτσι ώστε P(X=5) = 0. Έχει νόημα να ομιλούμε για P(X 5). Διαχείριση Πληροφοριών 3.2

3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Η συνάρτηση f(x) λέγεται συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (στο διάστημα a x b αν έχει τις εξής ιδιότητες: 1) f(x) 0 για όλα τα x μεταξύ a και b, και f(x) a εμβαδόν = 1 b x 2) Το συνολικό εμβαδόν κάτω από την καμπύλη μεταξύ a και b είναι 1.0 Διαχείριση Πληροφοριών 3.3

4 ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Η ομοιόμορφη πιθανοτική κατανομή (uniform probability distribution) περιγράφεται από τη συνάρτηση: f(x) a b x εμβαδόν = πλάτος x ύψος = (b a) x = 1 Διαχείριση Πληροφοριών 3.4

5 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Οι ημερήσιες πωλήσεις βενζίνης σε ένα πρατήριο ακολουθούν την ομοιόμορφη κατανομή με min 2,000 λίτρα και max 5,000 λίτρα. f(x) 2,000 5,000 x Να βρεθεί η πιθανότητα οι ημερήσιες πωλήσεις να βρίσκονται μεταξύ 2,500 και 3,000 λίτρα. Ισοδύναμα: πόσο είναι P(2,500 X 3,000); Διαχείριση Πληροφοριών 3.5

6 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 (συνέχεια) P(2,500 X 3,000) = (3,000 2,500) x = f(x) 2,000 5,000 x η πιθανότητα οι ημερήσιες πωλήσεις να είναι μεταξύ 2,500 και 3,000 λίτρα είναι περίπου 0.17 Διαχείριση Πληροφοριών 3.6

7 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 (συνέχεια) Οι ημερήσιες πωλήσεις βενζίνης σε ένα πρατήριο ακολουθούν την ομοιόμορφη κατανομή με min 2,000 λίτρα και max 5,000 λίτρα. f(x) 2,000 5,000 x Να βρεθεί η πιθανότητα το πρατήριο να πουλήσει τουλάχιστον 4,000 λίτρα. Ισοδύναμα: πόσο είναι P(X 4,000); Διαχείριση Πληροφοριών 3.7

8 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 (συνέχεια) P(X 4,000) = (5,000 4,000) x = f(x) 2,000 5,000 x Η πιθανότητα οι ημερήσιες πωλήσεις να είναι περισσότερο από 4,000 λίτρα είναι Διαχείριση Πληροφοριών 3.8

9 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 (συνέχεια) Οι ημερήσιες πωλήσεις βενζίνης σε ένα πρατήριο ακολουθούν την ομοιόμορφη κατανομή με min 2,000 λίτρα και max 5,000 λίτρα. f(x) 2,000 5,000 x Να βρεθεί η πιθανότητα οι ημερήσιες πωλήσεις να είναι ακριβώς 2,500 λίτρα. Ισοδύναμα: πόσο είναι P(X = 2,500); Διαχείριση Πληροφοριών 3.9

10 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 (συνέχεια) P(X = 2,500) = (2,500 2,500) x = 0 f(x) 2,000 5,000 x Η πιθανότητα οι ημερήσιες πωλήσεις να είναι ακριβώς 2,500 λίτρα είναι 0 Διαχείριση Πληροφοριών 3.10

11 ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Η κανονική κατανομή είναι η σημαντικότερη στη Στατιστική. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κανονικής τυχαίας μεταβλητής δίνεται από: Το διάγραμμά της έχει σχήμα καμπάνας και είναι συμμετρικό γύρω από το μέσο Διαχείριση Πληροφοριών 3.11

12 ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ (συνέχεια) Αξίζει να προσέξουμε ότι: Η κανονική κατανομή προσδιορίζεται πλήρως από δύο παραμέτρους, την τυπική απόκλιση και την αναμενόμενη τιμή. Η κανονική κατανομή έχει σχήμα καμπάνας και είναι συμμετρική γύρω από την αναμενόμενη τιμή Σε αντίθεση με την ομοιόμορφη κατανομή, το πεδίο ορισμού της κανονικής εκτείνεται από το μείον άπειρο στο συν άπειρο Διαχείριση Πληροφοριών 3.12

13 ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Η κανονική κατανομή με αναμενόμενη τιμή 0 και τυπική απόκλιση 1 λέγεται τυποποιημένη κανονική κατανομή Κάθε κανονική κατανομή μπορεί να μετασχηματιστεί σε μία τυποποιημένη κανονική κατανομή. Διαχείριση Πληροφοριών 3.13

14 ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ (συνέχεια) Η κανονική κατανομή περιγράφεται από δύο παραμέτρους: την αναμενόμενη τιμή και την τυπική απόκλιση. Μεταβολή της αναμενόμενης τιμής μετατοπίζει την καμπύλη δεξιά ή αριστερά. Διαχείριση Πληροφοριών 3.14

15 ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ (συνέχεια) Η κανονική κατανομή περιγράφεται από δύο παραμέτρους: την αναμενόμενη τιμή και την τυπική απόκλιση. Μεταβολή της τυπικής απόκλισης φαρδαίνει ή στενεύει την καμπύλη. Διαχείριση Πληροφοριών 3.15

16 ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ο παρακάτω μετασχηματισμός μετατρέπει μία κανονική τυχαία μεταβλητή Χ σε τυποποιημένη κανονική Ζ. 0 Καμπύλη της οικογένειας κανονικών κατανομών Διαχείριση Πληροφοριών 3.16

17 ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ (συνέχεια) Ο παρακάτω μετασχηματισμός μετατρέπει μία κανονική τυχαία μεταβλητή Χ σε τυποποιημένη κανονική Ζ. Μετατοπίζει τη μέση τιμή της X στο 0 0 Διαχείριση Πληροφοριών 3.17

18 ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ (συνέχεια) Ο παρακάτω μετασχηματισμός μετατρέπει μία κανονική τυχαία μεταβλητή Χ σε τυποποιημένη κανονική Ζ. 0 Αλλάζει το πλάτος της καμπύλης Διαχείριση Πληροφοριών 3.18

19 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Υποθέτουμε ότι σε ένα άλλο πρατήριο καυσίμων η ημερήσια ζήτηση της βενζίνης ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή 1,000 λίτρα και τυπική απόκλιση 100 λίτρα. Ο υπεύθυνος του πρατηρίου ένα πρωινό που ξεκίνησε την εργασία, διαπίστωσε ότι υπάρχουν ακριβώς 1,100 λίτρα βενζίνης στις αποθήκες του. Η επόμενη παραλαβή καυσίμων είναι προγραμματισμένη για το πρωί της επόμενης ημέρας. Ο υπεύθυνος του πρατηρίου ενδιαφέρεται να μάθει αν το απόθεμα που έχει στις αποθήκες του επαρκεί για την ικανοποίηση της σημερινής ζήτησης. Διαχείριση Πληροφοριών 3.19

20 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 (συνέχεια) Η ζήτηση Χ είναι κανονική τυχαία μεταβλητή με μέση τιμή µ = 1,000 και τυπική απόκλιση σ = 100. Θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα P(X < 1,100) = εμβαδόν κάτω από το κόκκινο μέρος της καμπύλης Διαχείριση Πληροφοριών 3.20

21 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 (συνέχεια) Αρχικά τυποποιούμε την Χ με τη βοήθεια του μετασχηματισμού τυποποίησης X P 1,100 1,000 P(X < 1,100) = = P(Z < 1.00) 100 Διαχείριση Πληροφοριών 3.21

22 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 (συνέχεια) Το παρακάτω σχήμα προσδιορίζει γραφικά την αντιστοίχηση της ζητούμενης πιθανότητας στην τυποποιημένη κλίμακα Διαχείριση Πληροφοριών 3.22

23 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 (συνέχεια) Η τιμή Z προσδιορίζει τη θέση της αντίστοιχης τιμής X. Η τιμή Z = 1 αντιστοιχεί στην τιμή X που απέχει 1 μία τυπική απόκλιση από τη μέση τιμή. Η μέση τιμή της Z, που είναι 0 αντιστοιχεί στη μέση τιμή της X. Διαχείριση Πληροφοριών 3.23

24 ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ (συνέχεια) Όταν γνωρίζουμε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση μιας κανονικής τυχαίας μεταβλητής Χ, μπορούμε να υπολογίσουμε τις πιθανότητες της Χ με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Ζ και του πίνακα των πιθανοτήτων της τυποποιημένης κανονικής κατανομής. Διαχείριση Πληροφοριών 3.24

25 ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ (συνέχεια) Για να υπολογίσουμε την πιθανότητα P(Z < 1.52) από τον πίνακα πιθανοτήτων της τυποποιημένης κανονικής κατανομής βρίσκουμε αρχικά το 1.5 από το αριστερό περιθώριο. Στη συνέχεια από την αντίστοιχη γραμμή βρίσκουμε την πιθανότητα που βρίσκεται κάτω από το Έτσι P(Z < 1.52) = Διαχείριση Πληροφοριών 3.25

26 ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ (συνέχεια) P(Z < 1.52) = Διαχείριση Πληροφοριών 3.26

27 ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ (συνέχεια) Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε πιθανότητες της μορφής P(Z>z). Για να βρούμε την πιθανότητα π.χ. ότι η Z είναι μεγαλύτερη από 1.80, αρχικά υπολογίζουμε την πιθανότητα ότι η Ζ είναι μικρότερη από 1.80 και την αφαιρούμε από το 1. Ο κανόνας του συμπληρώματος δίνει P(Z > 1.80) = 1 P(Z < 1.80) = = Διαχείριση Πληροφοριών 3.27

28 ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ (συνέχεια) P(Z > 1.80) = 1 P(Z < 1.80) = = Διαχείριση Πληροφοριών 3.28

29 ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ (συνέχεια) Επίσης μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα ότι η Ζ βρίσκεται ανάμεσα σε δύο τιμές z. Για παράδειγμα, να βρούμε την πιθανότητα P( 1.30 < Z < 2.10) Αρχικά βρίσκουμε τις αθροιστικές πιθανότητες και P(Z < 1.30) = P(Z < 2.10) = και μετά υπολογίζουμε τη διαφορά, P( 1.30 < Z < 2.10) = P(Z < 2.10) P(Z < 1.30) = = Διαχείριση Πληροφοριών 3.29

30 ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ (συνέχεια) P( 1.30 < Z < 2.10) = Διαχείριση Πληροφοριών 3.30

31 ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ (συνέχεια) Αξίζει να σημειωθεί ότι η μεγαλύτερη τιμή του z στον πίνακα με τις πιθανότητες της Ζ είναι z = 3.09 και P( Z < 3.09) = Αυτό σημαίνει ότι P(Z > 3.09) = = Επειδή ο πίνακας δεν έχει τιμές z μεγαλύτερες από 3.09, προσεγγίζουμε το εμβαδόν πέρα από το 3.10 με 0. Δηλαδή, P(Z > 3.10) = P(Z < 3.10) 0 Διαχείριση Πληροφοριών 3.31

32 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 (συνέχεια) Επιστρέφοντας στο παράδειγμα 2, βρίσκουμε την πιθανότητα P(X < 1,100) = P( Z < 1.00) = Διαχείριση Πληροφοριών 3.32

33 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 (συνέχεια) P(X < 1,100) = P( Z < 1.00) = Διαχείριση Πληροφοριών 3.33

34 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Σε μία επένδυση η απόδοσή της είναι τυχαία μεταβλητή με μέση τιμή 10% και τυπική απόκλιση 5%. (α) Να βρεθεί η πιθανότητα απώλειας χρημάτων. (β) Να βρεθεί η πιθανότητα απώλειας χρημάτων όταν η τυπική απόκλιση είναι 10%. Διαχείριση Πληροφοριών 3.34

35 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 (συνέχεια) (α) Η επένδυση έχει απώλεια χρημάτων όταν η απόδοσή της είναι αρνητική. Θέλουμε να βρούμε την πιθανότητα P(X < 0) Αρχικά τυποποιούμε την Χ X 0 10 P(X < 0) = P = P(Z < 2.00) 5 Διαχείριση Πληροφοριών 3.35

36 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 (συνέχεια) Από τον πίνακα πιθανοτήτων της τυποποιημένης κατανομής P(Z < 2.00) = και επομένως η πιθανότητα απώλεια χρημάτων είναι Διαχείριση Πληροφοριών 3.36

37 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 (συνέχεια) (β) Όταν η τυπική απόκλιση αυξηθεί στο 10% η πιθανότητα απώλειας χρημάτων είναι P(X < 0) = P X = P(Z < 1.00) = Διαχείριση Πληροφοριών 3.37

38 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΤΙΜΩΝ Z Συχνά χρειαζόμαστε να υπολογίσουμε την τιμή της Ζ που αντιστοιχεί σε μία συγκεκριμένη πιθανότητα. Για συγκεκριμένο εμβαδόν (Α) κάτω από την τυποποιημένη κανονική καμπύλη, να βρεθεί η τιμή z A της Ζ πάνω στον οριζόντιο άξονα που αντιστοιχεί στο εν λόγω εμβαδόν. Δηλαδή P(Z > z A ) = A Διαχείριση Πληροφοριών 3.38

39 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΤΙΜΩΝ Z (συνέχεια) Ποια τιμή z αντιστοιχεί σε εμβαδόν κάτω από την καμπύλη ίσο με 2.5%; Δηλαδή, ποια είναι η z ; (1 A) = ( ) = Area =.025 Αν δούμε το πρόβλημα αντίστροφα και ψάξουμε για το , θα βρούμε ότι z A = 1.96 Επειδή P(z > 1.96) = 0.025, έχουμε ότι z = 1.96 Διαχείριση Πληροφοριών 3.39

40 ΑΛΛΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Υπάρχουν τρεις ακόμη σημαντικές συνεχής κατανομές που θα χρειαστούμε στις Στατιστικές Μεθόδους Πρόβλεψης: Η κατανομή t Student, Η κατανομή χ 2 (Chi-Squared) και Η κατανομή F Διαχείριση Πληροφοριών 3.40

41 Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ t STUDENT Εδώ το γράμμα t χρησιμοποιείται επίσης για να συμβολίσει την αντίστοιχη τυχαία μεταβλητή. Η συνάρτηση πυκνότητας της κατανομής t Student δίνεται από όπου ν είναι οι βαθμοί ελευθερίας και Γ η συνάρτηση Gamma με Γ(k)=(k-1)(k-2) (2)(1) Διαχείριση Πληροφοριών 3.41

42 Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ t STUDENT (συνέχεια) Η κατανομή t Student μοιάζει με την κανονική κατανομή και είναι συμμετρική γύρω από τη μέση τιμή της. Η μέση τιμή και η διακύμανση της κατανομής t Student είναι E(t) = 0 και V(t) = για ν > 2. Διαχείριση Πληροφοριών 3.42

43 Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ t STUDENT (συνέχεια) Με τον ίδιο τρόπο που τα µ και σ προσδιορίζουν την κανονική κατανομή, οι βαθμοί ελευθερίας ν, προσδιορίζουν την κατανομή Student t. Καθώς οι βαθμοί ελευθερίας ν αυξάνουν, η κατανομή της t προσεγγίζει την τυποποιημένη κανονική κατανομή. Διαχείριση Πληροφοριών 3.43

44 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΤΙΜΩΝ t Η κατανομή t χρησιμοποιείται ευρέως στη στατιστική συμπερασματολογία. Η κατανομή έχει μελετηθεί για διάφορες τιμές και οι πιθανότητες έχουν καταχωρηθεί σε πίνακες. Πρόκειται για τις τιμές της τυχαίας μεταβλητής t με ελευθερίας έτσι ώστε: βαθμούς Οι τιμές για το A είναι οι προκαθορισμένες κρίσιμες τιμές, 10%, 5%, 2.5%, 1% και 0.5%. Διαχείριση Πληροφοριών 3.44

45 Ο ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕ ΤΙΣ ΤΙΜΕΣ ΤΗΣ t Για να υπολογίσουμε την τιμή της t με 10 βαθμούς ελευθερίας έτσι ώστε το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη να είναι 0.05 Εμβαδόν που αντιστοιχεί στο (t A ) : ΣΤΗΛΗ t 0.05,10 t 0.05,10 =1.812 Βαθμοί ελευθερίας: ΓΡΑΜΜΗ Διαχείριση Πληροφοριών 3.45

46 ΚΑΤΑΝΟΜΗ Η συνάρτηση πυκνότητας της κατανομής έχει τη μορφή: όπου είναι οι βαθμοί ελευθερίας. Διαχείριση Πληροφοριών 3.46

47 ΚΑΤΑΝΟΜΗ (συνέχεια) Παρατηρήσεις: Η κατανομή είναι ασύμμετρη. Το τετράγωνο, εξασφαλίζει την ύπαρξη μη αρνητικών τιμών (π.χ. η περίπτωση P( < 0) δεν έχει νόημα). Στον πίνακα με τις πιθανότητες της πιθανότητες της μορφής ψάχνουμε για P( > ) = A Διαχείριση Πληροφοριών 3.47

48 ΚΑΤΑΝΟΜΗ (συνέχεια) Για πιθανότητες της μορφής αυτής χρησιμοποιούμε 1 A, δηλαδή βρίσκουμε P( < ) = A Διαχείριση Πληροφοριών 3.48

49 ΚΑΤΑΝΟΜΗ (συνέχεια) Για να βρούμε το σημείο της κατανομής με 8 βαθμούς ελευθερίας, έτσι ώστε το εμβαδόν προς τα δεξιά να είναι 0.05, Εντοπίζουμε την τομή της γραμμής που αντιστοιχεί στους 8 β.ε. με τη στήλη που αντιστοιχεί στο απ όπου προκύπτει η τιμή 15.5 Διαχείριση Πληροφοριών 3.49

50 ΚΑΤΑΝΟΜΗ (συνέχεια) Για να βρούμε το σημείο της κατανομής με 8 βαθμούς ελευθερίας, έτσι ώστε το εμβαδόν προς τα αριστερά να είναι 0.05, Εντοπίζουμε την τομή της γραμμής που αντιστοιχεί στους 8 β.ε. με τη στήλη που αντιστοιχεί στο απ όπου προκύπτει η τιμή 2.73 Διαχείριση Πληροφοριών 3.50

51 ΚΑΤΑΝΟΜΗ (συνέχεια) Τα παρακάτω σημεία έχουν νόημα: =2.73 =15.5 Υπενθυμίζεται ότι ο άξονας αυξάνει! αρχίζει από το 0 και διαρκώς Διαχείριση Πληροφοριών 3.51

52 ΚΑΤΑΝΟΜΗ F Η συνάρτηση πυκνότητας της κατανομής F δίνεται από F > 0. Η κατανομή προσδιορίζεται από δύο παραμέτρους που είναι γνωστοί σαν βαθμοί ελευθερίας οι βαθμοί ελευθερίας του αριθμητή και οι βαθμοί ελευθερίας του παρονομαστή. Διαχείριση Πληροφοριών 3.52

53 ΚΑΤΑΝΟΜΗ F (συνέχεια) Η μέση τιμή και η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής F δίνονται από: και Η κατανομή F μοιάζει με την κατανομή στο ότι αρχίζει από το 0 (είναι μη αρνητική) και είναι ασύμμετρη. Διαχείριση Πληροφοριών 3.53

54 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΤΙΜΩΝ F Για να βρεθεί η τιμή της F για εμβαδόν 5% κάτω από τη δεξιά ουρά της καμπύλης με βαθμούς ελευθερίας 3 για τον αριθμητή και 7 για τον παρονομαστή, κοιτάμε τον πίνακα με τις πιθανότητες της F Υπάρχουν διαφορετικοί πίνακες για διαφορετικές τιμές A. F 0.05,3,7 F 0.05,3,7 =4.35 Βαθμοί ελευθερίας παρονομαστή: ΓΡΑΜΜΗ Βαθμοί ελευθερίας αριθμητή: ΣΤΗΛΗ Διαχείριση Πληροφοριών 3.54

55 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΤΙΜΩΝ F (συνέχεια) Για εμβαδά κάτω από την αριστερή ουρά της καμπύλης, χρησιμοποιούμε τη σχέση: Προσοχή στη σειρά των βαθμών ελευθερίας! Διαχείριση Πληροφοριών 3.55

56 Η ψηφιοποίηση του εκπαιδευτικού υλικού έγινε στο πλαίσιο υλοποίησης της πράξης με τίτλο «ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ στο ΤΕΙ ΚΑΒΑΛΑΣ», του Μέτρου 2.2 «Αναμόρφωση Προγραμμάτων Σπουδών - Διεύρυνση Τριτοβάθμιας Εκπαίδευσης» του ΕΠΕΑΕΚ ΙΙ, που συγχρηματοδοτείται από το Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο (Ε.Κ.Τ.) κατά 80% και Εθνικούς πόρους κατά 20%. Διαχείριση Πληροφοριών