Άρρητοι αριθµοί: Προαγγελία της πρώτης κρίσης

Transcript

1 Άρρητοι αριθµοί: Προαγγελία της πρώτης κρίσης Οι πρώτοι αριθµοί µε τους οποίους ερχόµαστε σε επαφή στα πρώτα παιδικά µας χρόνια είναι οι λεγόµενοι φυσικοί ή θετικοί ακέραιοι αριθµοί 1, 2, 3,... Αυτοί οι αριθµοί είναι αφαιρέσεις που προκύπτουν από τη διαδικασία αρίθµησης πεπερασµένων συνόλων αντικειµένων. Λίγο αργότερα συνειδητοποιούµε ότι οι ανάγκες της καθηµερινής ζωής απαιτούν, εκτός από την αρίθµηση µεµονωµένων αντικειµένων, και τη µέτρηση διάφορων ποσοτήτων όπως το µήκος, το βάρος, ο χρόνος. Για να ικανοποιήσουµε τις απλές αυτές ανάγκες µέτρησης χρειαζόµαστε τα κλάσµατα, γιατί είναι σπάνιο ένα µήκος, για παράδειγµα, να περιέχει ακριβώς ένα ακέραιο πλήθος προκαθορισµένων µονάδων µήκους. Για µερικές µετρήσεις όπως είναι η καταγραφή πολύ χαµηλών θερµοκρασιών, το µηδέν, οι αρνητικοί ακέραιοι και τα αρνητικά κλάσµατα αποδεικνύονται χρήσιµα. Το αριθµητικό µας σύστηµα έχει διευρυνθεί. Αν όµως ορίσουµε ένα ρητό αριθµό ως το πηλίκο δύο ακεραίων, p/q, q 0, τότε αυτό το σύστηµα των ρητών αριθµών είναι αρκετό για όλους τους ακέραιους και όλα τα κλάσµατα. Οι ρητοί αριθµοί έχουν µια απλή γεωµετρική παράσταση. Σηµειώστε δύο διαφορετικά σηµεία Ο και Ι (βλ. σχήµα 1) σε µια οριζόντια ευθεία γραµµή, έτσι ώστε το Ι να βρίσκεται δεξιά από το Ο και πάρτε το τµήµα ΟΙ σαν µονάδα µήκους. Αν θεωρήσουµε ότι τα Ο και Ι παριστάνουν αντίστοιχα τους αριθµούς Ο και 1, τότε οι θετικοί και οι αρνητικοί ακέραιοι µπορούν να παρασταθούν από ένα σύνολο σηµείων πάνω στην ευθεία που απέχουν µεταξύ τους κατά τη µονάδα µήκους. Οι θετικοί ακέραιοι βρίσκονται δεξιά από το Ο και οι αρνητικοί αριστερά από το Ο. Τα κλάσµατα µε παρονοµαστή q παριστάνονται µε τα σηµεία που διαιρούν κάθε µοναδιαίο διάστηµα σε q ίσα µέρη. Τότε για κάθε ρητό αριθµό υπάρχει ένα µοναδικό σηµείο πάνω στην ευθεία. Οι πρώτοι µαθηµατικοί θεωρούσαν προφανές, όπως εξάλλου θεωρούν και σήµερα όσοι δεν έχουν εµβαθύνει στα µυστήρια της ευθείας των αριθµών, ότι µ' αυτό τον τρόπο εξαντλούνται όλα τα σηµεία της ευθείας η κοινή λογική αυτό ακριβώς µαρτυρά. Πρέπει να αποτέλεσε πραγµατικό πνευµατικό σοκ για τον άνθρωπο η γνώση ότι υπάρχουν σηµεία στην ευθεία των αριθµών που δεν αντιστοιχούν σε κανένα ρητό αριθµό. Αυτή η ανακάλυψη ήταν ασφαλώς µία από τις µεγαλύτερες επιτυχίες των αρχαίων Ελλήνων και πρέπει να έγινε κάπου στον έκτο ή τον πέµπτο π.χ. αιώνα από την αδελφότητα των πυθαγορείων. Είχε ανατείλει µια πραγµατικά µεγάλη στιγµή των µαθηµατικών. Οι πυθαγόρειοι, πιο συγκεκριµένα, ανακάλυψαν ότι δεν υπάρχει ρητός αριθµός που να αντιστοιχεί στο σηµείο Ρ της ευθείας των αριθµών (βλ. σχήµα 2) η απόσταση ΟΡ είναι ίση µε τη διαγώνιο τετραγώνου, πλευράς ίσης µε τη 1

2 µονάδα. Αργότερα βρέθηκαν κι άλλα σηµεία της ευθείας των αριθµών που δεν αντιστοιχούσαν σε ρητούς αριθµούς. Έπρεπε λοιπόν να επινοηθούν νέοι αριθµοί που να αντιστοιχούν σ' αυτά τα σηµεία και αφού αυτοί οι αριθµοί δεν µπορούσαν να είναι ρητοί ονοµάστηκαν άρρητοι αριθµοί 1. Σχήµα 1 Σχήµα 2 Επειδή, σύµφωνα µε το πυθαγόρειο θεώρηµα, το µήκος της διαγωνίου ενός τετραγώνου πλευράς ίσης µε τη µονάδα είναι 2, για να αποδείξουµε ότι το παραπάνω σηµείο Ρ δεν παριστάνεται από ρητό αριθµό, αρκεί να αποδείξουµε ότι ο 2 είναι άρρητος. Παρατηρούµε λοιπόν αρχικά ότι για κάθε θετικό ακέραιο α, ο α είναι άρτιος, αν και µόνο αν ο α είναι άρτιος. Ας υποθέσουµε τώρα, για το σκοπό της απόδειξης, ότι ο 2 είναι ρητός, δηλαδή ότι 2 = p/q,, όπου ρ και q πρώτοι προς αλλήλους ακέραιοι 2. Τότε p = q 2, ή p 2 = 2q 2. Αφού ο p 2 είναι το διπλάσιο ενός ακεραίου, συµπεραίνουµε ότι ο p 2 και συνεπώς και ο p πρέπει να είναι άρτιος. Έστω λοιπόν p = 2ν. Τότε η τελευταία εξίσωση γίνεται: 4ν 2 = 2q 2, ή 2ν 2 = q 2 από την οποία καταλήγουµε ότι το q 2 και συνεπώς και ο q πρέπει να είναι άρτιος. Αυτό όµως είναι αδύνατο αφού υποθέσαµε ότι οι ρ και q είναι πρώτοι προς αλλήλους. Έτσι η υπόθεση ότι ο 2 είναι ρητός µας οδήγησε σε µια αδύνατη κατάσταση και συνεπώς η υπόθεση πρέπει να απορριφθεί. Αυτή η 1 Στο βιβλίο γίνεται το εξής σχόλιο: Οι ρητοί αριθµοί λέγονται από το ratio (= λόγος). Έτσι οι αριθµοί που δεν είναι rational (δηλαδή δε γράφονται µε τη µορφή λόγου) είναι irrational (το πρόθεµα ir είναι στερητικό). Κάτι αντίστοιχο ισχύει και στα ελληνικά, όπου ρητός είναι αυτός που µπορεί να εκφραστεί. Σύµφωνα λοιπόν µε µια άποψη οι ρητοί αριθµοί είναι αυτοί που µπορούν να εκφραστούν (πεπερασµένο πλήθος ψηφίων ή απεριόριστο αλλά περιοδικά επαναλαµβανόµενο) ενώ οι άρρητοι αυτοί που δεν µπορούν (Σ.τ.µ.). 2 ύο ακέραιοι είναι πρώτοι προς αλλήλους αν δεν έχουν κοινό θετικό και ακέραιο διαιρέτη, εκτός από τη µονάδα. Έτσι οι 5 και 18 είναι πρώτοι προς αλλήλους, ενώ οι 12 και 18 δεν είναι. 2

3 απόδειξη ότι ο 2 είναι άρρητος είναι ουσιαστικά αυτή που αναφέρεται στον Αριστοτέλη ( π.χ.). Σύµφωνα µε τον Πλάτωνα ( π.χ.) µετά την απόδειξη αυτή ο Θεόδωρος ο Κυρηναίος (περίπου 425 π.χ.) απέδειξε ότι και οι : 2, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14, 15, 17 είναι επίσης άρρητοι. Η ανακάλυψη της ύπαρξης άρρητων αριθµών ανέτρεψε µια άλλη πίστη των αρχαίων Ελλήνων. εδοµένων δύο ευθύγραµµων τµηµάτων η κοινή λογική οδηγούσε στο συµπέρασµα ότι πρέπει να υπάρχει ένα τρίτο ευθύγραµµο τµήµα, ίσως πολύ πολύ µικρό, που να χωράει ακέραιες φορές σε καθένα από τα δεδοµένα ευθύγραµµα τµήµατα. Το ίδιο πράγµατι διαισθάνονται ακόµα και σήµερα όλοι που δεν γνωρίζουν το αντίθετο. Αλλά ας πάρουµε σαν ευθύγραµµα τµήµατα την πλευρά α και µια διαγώνιο δ ενός τετραγώνου. Αν υπάρχει ένα τρίτο ευθύγραµµο τµήµα µ που να χωράει ακέραιες φορές στα α και δ τότε θα έχουµε: α = qµ και δ = pµ, όπου p και q θετικοί αριθµοί. Αλλά δ = α 2, οπότε pµ = qµ 2. ηλαδή ρ = q 2, οπότε ο 2 = ρ/q είναι ρητός αριθµός. Συνεπώς σε αντίθεση µε τη διαίσθηση υπάρχουν ασύµµετρα ευθύγραµµα τµήµατα, δηλαδή ευθύγραµµα τµήµατα που δεν έχουν κοινή µονάδα µέτρησης. Ας δώσουµε µια άλλη, γεωµετρική, απόδειξη ότι ο 2 είναι άρρητος αριθµός, δείχνοντας ότι η πλευρά και η διαγώνιος τετραγώνου είναι ασύµµετρα ευθύγραµµα τµήµατα. Υποθέτουµε ότι ισχύει το αντίθετο. Τότε, σύµφωνα µε αυτή την υπόθεση, υπάρχει ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΡ (βλ. σχήµα 3) τέτοιο ώστε και η διαγώνιος ΑΓ και η πλευρά ΑΒ του τετραγώνου ΑΒΓ να είναι ακέραια πολλαπλάσια του ΑP δηλαδή τα ΑΓ και ΑΒ να είναι ασύµµετρα ως προς ΑΡ. Στην ΑΓ παίρνουµε τµήµα ΓΒ 1 = ΑΒ και φέρνουµε την Β 1 Γ 1 κάθετη στην ΓΑ. Τότε µπορούµε να αποδείξουµε εύκολα ότι Γ 1 Β = Γ 1 Β 1 = ΑΒ 1, οπότε το ΑΓ 1 = ΑΒ -ΑΒ 1 και το ΑΒ 1 είναι σύµµετρα ως προς ΑΡ. Αλλά τα ΑΓ 1 και ΑΒ 1 είναι η διαγώνιος και η πλευρά ενός τετραγώνου µε πλευρά µικρότερη από το µισό της πλευράς του αρχικού τετραγώνου. Αν επαναλάβουµε τη διαδικασία αυτή αρκετές φορές θα προκύψει τελικά ένα τετράγωνο του οποίου η διαγώνιος ΑΓν και η πλευρά ΑΒν θα είναι σύµµετρα ευθύγραµµα τµήµατα ως προς το ΑΡ και ΑΓν < ΑΡ. Αυτό όµως είναι άτοπο κι έτσι αποδεικνύεται το θεώρηµα. 3

4 Σχήµα 3 ιαπιστώνουµε ότι όλοι οι παραπάνω συλλογισµοί που αποδείχνουν ότι ο 2 είναι άρρητος αριθµός χρησιµοποιούν την έµµεση µέθοδο απόδειξης ή εις άτοπο απαγωγή. Ο διαπρεπής Άγγλος µαθηµατικός Τζ. Χ. Χάρντυ (G.H. Hardy, ) έχει κάνει µια θαυµάσια παρατήρηση γι' αυτόν τον τύπο απόδειξης. Στο σκάκι, η κίνηση κατά την οποία προσφέρεται ένα πιόνι στον αντίπαλο είναι ένα κόλπο στο οποίο ένα πιόνι ή ένα άλλο κοµµάτι θυσιάζεται για να επιτευχθεί µια πιο πλεονεκτική θέση. Ο Χάρντυ έδειξε ότι η εις άτοπο απαγωγή «είναι ένα πολύ καλύτερο τέχνασµα από αυτό του σκακιού: ο παίχτης στο σκάκι θυσιάζει ένα πιόνι ή ένα άλλο κοµµάτι, ενώ ο µαθηµατικός θυσιάζει το παιχνίδι) 3. Η εις άτοπο απαγωγή εµφανίζεται ως το πιο θαυµαστό τέχνασµα που µπορεί να συλλάβει ο ανθρώπινος νους. 3 G.H. Hardy, A Mathematician's Apology, New York: Cambridge University Press, 1941, σελ. 34 4

5 Σχήµα 4 Σχήµα 5 Μια ενδιαφέρουσα αντιµετώπιση των άρρητων αριθµών βρίσκουµε στους αρχαίους χρόνους όταν οι Έλληνες γεωµέτρες προσπάθησαν να κατασκευάσουν κανονικό πολύγωνο πέντε πλευρών. Εύκολα είχαν κατασκευάσει, κανονικά πολύγωνα τριών και τεσσάρων πλευρών, δηλαδή ισόπλευρο τρίγωνο και τετράγωνο και η κατασκευή κανονικού εξαγώνου δεν παρουσίαζε ασφαλώς καµιά δυσκολία. Αλλά η κατασκευή κανονικού πολυγώνου µε πέντε πλευρές δηλαδή κανονικού πενταγώνου είναι µια εντελώς άλλη υπόθεση. Το ζήτηµα είναι να κατασκευαστεί γωνία 36, αφού το διπλάσιο της η γωνία 72, είναι η κεντρική γωνία που βρίσκεται απέναντι από κάθε πλευρά του κανονικού και εγγεγραµµένου σε κύκλο πενταγώνου. Σ' ένα ισοσκελές τρίγωνο όταν καθεµιά από τις δύο γωνίες της βάσης του είναι το διπλάσιο της γωνίας της κορυφής του (βλ. σχήµα 4), τότε οι γωνίες της βάσης είναι 72 και η γωνία της κορυφής είναι 36. Συνεπώς το πρόβληµα ανάγεται στην κατασκευή ενός τέτοιου ισοσκελούς τριγώνου. Στο σχήµα 4 έστω ΑΓ η διχοτόµος της γωνίας ΟΑΒ της βάσης. Τότε ΟΓ = ΑΓ = ΑΒ και το τρίγωνο ΒΑΓ είναι όµοιο µε το ΑΟΒ. Αν πάρουµε το ΟΑ = 1 και ονοµάσουµε το ΑΒ= χ, τότε έχουµε διαδοχικά ΑΒ/ΒΓ = ΟΑ/ΑΒ, χ(1-χ) = 1/χ, χ 2 +χ-1 =0. Αυτό συνεπάγεται,: χ = ( 5 1)/2. Η κατασκευή αυτού του χ είναι εύκολη υπόθεση και δίνεται στο σχήµα 5. Στο σχήµα αυτό έχουµε ΟΑ = 1 και ΜΟ = 1/2 και συνεπώς ΑΜ = 5 /2 και ΑΒ = ΑΝ = ΑΜ-ΜΝ = (75-1)/2 = χ. Η κατασκευή του εγγεγραµµένου κανονικού πενταγώνου είναι τώρα εύκολη. Όταν ένα ευθύγραµµο τµήµα ΟΒ (όπως το ΟΒ στο σχήµα 4) διαιρείται από ένα 5

6 σηµείο Γ έτσι. ώστε το µεγαλύτερο τµήµα ΟΓ να είναι µέσο ανάλογο του µικρότερου τµήµατος ΓΒ και του όλου τµήµατος ΟΒ, δηλαδή όταν ΓΒ ΟΓ = ΟΓ ΟΒ λέµε ότι το ευθύγραµµο τµήµα ΟΒ διαιρείται σε χρυσή τοµή. Είδαµε παραπάνω ότι αν το χ παριστάνει, έναν από τους λόγους ΓΒ/ΟΓ ή ΟΓ/ΟΒ, τότε χ = ( 5-1)/2. Αυτός ο αριθµός ή µερικές φορές ο αντίστροφος του y =1/χ = ( 5 +1)/2 1,618, ονοµάζεται χρυσός λόγος και αυτός ο λόγος φαίνεται, ότι βρίσκεται παντού µέσα στη φύση και αλλού. Τις εµφανίσεις του χρυσού λόγου στη φύση θα τις σχολιάσουµε αργότερα στη ιάλεξη 15. Εδώ απλά σηµειώνουµε ότι ψυχολογικά τεστ τείνουν να δείξουν πως το ορθογώνιο παραλληλόγραµµο, που είναι, πιο ευχάριστο στο µάτι για τους περισσότερους ανθρώπους, είναι αυτό που ο λόγος του πλάτους προς το µήκος του είναι ο χρυσός λόγος χ. Αυτό το ορθογώνιο που λέγεται, χρυσό ορθογώνιο είναι θεµελιακό σε µια καλλιτεχνική τεχνική γνωστή ως «δυναµική συµµετρία», που έχει µελετηθεί από τον Τζ. Χάµπιτζ (Jay Hambidge) και άλλους. Ο χρυσός λόγος και το χρυσό ορθογώνιο έχουν παρατηρηθεί στην ελληνική αρχιτεκτονική και κεραµική και έχουν εφαρµοστεί στη γλυπτική, τη ζωγραφική, το αρχιτεκτονικό σχέδιο, τη σχεδίαση επίπλων και την τυπογραφική εµφάνιση. Πλήθος καλλιτέχνες, όπως ο γνωστός Αµερικανός ζωγράφος Τζορτζ Μπέλλοους (George Bellows), έχουν χρησιµοποιήσει εκτενώς στη δουλειά τους τις αρχές της δυναµικής συµµετρίας. Μια βασική διαφορά µεταξύ ρητών και άρρητων αριθµών συνειδητοποιήθηκε µετά την επινόηση των δεκαδικών κλασµάτων. Μπορούµε εύκολα να αποδείξουµε ότι κάθε ρητός αριθµός γράφεται σε δεκαδική µορφή είτε µε ένα πεπερασµένο πλήθος ψηφίων είτε µε περιοδική επανάληψη µιας οµάδας ψηφίων, και αντίστροφα, κάθε δεκαδική µορφή πεπερασµένη ή περιοδικά επαναλαµβανόµενη παριστάνει ένα ρητό αριθµό. Για παράδειγµα: 7/4 = 1,75 και 47/22 = 2,13 63, όπου η γραµµή πάνω από το 63 δηλώνει ότι το δεκαδικό µέρος 63 επαναλαµβάνεται απεριόριστα. Συνεπώς, η δεκαδική παράσταση ενός άρρητου αριθµού είναι µη πεπερασµένη και µη επαναλαµβανόµενη και, αντίστροφα, κάθε µη πεπερασµένη και µη επαναλαµβανόµενη δεκαδική µορφή παριστάνει κάποιον άρρητο αριθµό. Η διάκριση ανάµεσα στις δεκαδικές παραστάσεις των ρητών και των άρρητων αριθµών είναι πολύ χρήσιµη στον προσδιορισµό ορισµένων ιδιοτήτων των αριθµών αυτών. Ας υποθέσουµε, για παράδειγµα, πως θέλουµε να αποδείξουµε ότι µεταξύ δύο θετικών άρρητων αριθµών υπάρχει πάντα ένας ρητός. Συµβολίζουµε τους δύο άρρητους µε α και β, (0<α<b, και τις δεκαδικές τους παραστάσεις ως α = α ο, α ι,α 2... και β = β ο, β 1,β 2. Έστω κ η πρώτη τιµή του ν για την οποία αν βν (ν = 0, 1, 2,...). Τότε ο αριθµός γ = β ο, β 1,β 2... β κ είναι ένας ρητός αριθµός µεταξύ α και β. 6

7 Ένας πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται απλά κανονικός αν όλα τα δέκα ψηφία (0, 1,... 9) εµφανίζονται στη δεκαδική του παράσταση µε την ίδια συχνότητα. Ονοµάζεται δε κανονικός αν όλες οι οµάδες ψηφίων ίδιου µήκους, εµφανίζονται µε την ίδια συχνότητα. Αποτελεί πεποίθηση, αλλά δεν έχει αποδειχτεί ότι οι αριθµοί π, e και 2, για παράδειγµα, είναι κανονικοί αριθµοί. Για να αποκτήσουµε και στατιστική απόδειξη της υποτιθέµενης κανονικότητας αυτών των αριθµών, έχουµε υπολογίσει τις δεκαδικές τους παραστάσεις µέχρι ένα µεγάλο αριθµό δεκαδικών θέσεων. Στα 1967, Βρετανοί µαθηµατικοί εργαζόµενοι σε έναν υπολογιστή προσδιόρισαν ψηφία από τη δεκαδική παράσταση του 2. Στα 1971 ο Ζακ Ντούτκα (Jacques Dutka) του Πανεπιστηµίου της Κολούµπια υπολόγισε πάνω από ένα εκατοµµύριο ψηφία για το 2 µετά από 47,5 ώρες λειτουργίας του υπολογιστή, η µηχανή κατέγραψε τη δεκαδική παράσταση του 2 µε τουλάχιστον σωστά ψηφία, γεµίζοντας 200 πυκνογραµµένες σελίδες εκτυπωτή, µε ψηφία σε κάθε σελίδα. Αυτή είναι η µεγαλύτερη προσέγγιση άρρητου αριθµού που έγινε ποτέ. Ασκήσεις 5.1 (α) Το σύµβολο της αδελφότητας των πυθαγορείων ήταν το πεντάγραµµο, δηλαδή το αστέρι που σχηµατίζεται από τις πέντε διαγώνιους ενός κανονικού πενταγώνου. Αποδείξτε ότι κάθε πλευρά του πενταγράµµου διαιρεί τις άλλες δυο πλευρές που τέµνει σε χρυσή τοµή. (β) Αν χ είναι ο χρυσός λόγος ( 5-1)/2 αποδείξτε ότι: 1 1 x = = x x (α) Κατασκευάστε µε κανόνα και διαβήτη ένα κανονικό πεντάγωνο αν δίνεται µία πλευρά του πενταγώνου. (β) Ας υποθέσουµε ότι οι κ και λ είναι πρώτοι προς αλλήλους θετικοί ακέραιοι και ότι µπορούµε να κατασκευάσουµε µε κανόνα και διαβήτη ένα κανονικό κ- γωνο και ένα κανονικό λ-γωνο. Απο-8είζτε ότι µπορούµε να κατασκευάσουµε µε τον ίδιο τρόπο και ένα κανονικό κλ-γωνο. (γ) Αποδείξτε την Πρόταση XIII, 10 των Στοιχείων του Ευκλείδη: Η πλευρά ενός κανονικού πενταγώνου, ενός κανονικού εξαγώνου και ενός κανονικού δεκαγώνου εγγεγραµµένων στον ίδιο κύκλο αποτελούν πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου. 5.3 (α) Βρείτε το ρητό αριθµό που έχει δεκαδική παράσταση 3,239. (β) Αποδείξτε ότι ο αριθµός 0, , του οποίου η δεκαδική παράσταση αποτελείται από τους διαδοχικούς θετικούς ακέραιους, είναι άρρητος αριθµός. 5.4 (α) Αποδείξτε ότι µεταξύ δύο διαφορετικών ρητών αριθµών υπάρχουν 7

8 άπειροι στο πλήθος ρητοί καθώς και άπειροι το πλήθος άρρητοι αριθµοί. (β) Αποδείξτε ότι µεταξύ δυο διαφορετικών άρρητων αριθµών υπάρχουν άπειροι στο πλήθος ρητοί καθώς και άπειροι το πλήθος άρρητοι αριθµοί. Λύσεις Σχήµα (α) Στο σχήµα 6, τα. ισοσκελή τρίγωνα ΑΗ και Θ Γ είναι όµοια. Συνεπώς Α : Η = Γ : ΘΓ, οπότε ΑΒ : Η = Η: ΗΒ. 5.2 (α) Στο σχήµα 6, έστω ΒΘ η δεδοµένη πλευρά. Σχεδιάστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΠΡΣ µε καθέτους ΠΣ και ΡΣ ίσες µε ΒΘ και ΒΘ/2 αντίστοιχα. Στην ΠΡ που προκύπτει, σηµειώστε το Τ ώστε Ρ Τ = ΡΣ. Τότε ΠΤ = ΗΒ = ΗΓ=ΘΓ, κ.ο.κ. (β) Επειδή οι κ και λ είναι πρώτοι προς αλλήλους, υπάρχουν θετικοί ακέραιοι α και β, ώστε ακ - βλ = ±1. Συνεπώς η διαφορά ανάµεσα στη γωνία που έχει την κορυφή της στο κέντρο και βαίνει σε α πλευρές ενός κ-γώνου και στη γωνία που έχει την κορυφή της στο κέντρο και βαίνει σε β πλευρές ενός λ-γώνου είναι: α (360 /κ) -β (360 /λ) = (ακ -βλ) (360 /κλ) = ±360 /κλ (γ) Έστω α, β, γ τα µήκη των πλευρών ενός κανονικού πενταγώνου, δεκαγώνου και εζαγώνου αντίστοιχα, εγγεγραµµένων σε κύκλο µε µοναδιαία ακτίνα. Τότε γ =1, β = ( 5-1)/2. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο µε βάση β και τις ίσες πλευρές να έχουν µήκος 1, έστω κ το ύφος πάνω σε µία από τις ίσες πλευρές και λ η προβολή της βάσης πάνω στην ίδια πλευρά. Τότε. λ 2 = β 2 -κ 2, κ 2 =1-(1-λ 2 ) από τις οποίες παίρνουµε: α 2 = 4κ 2 = 4β 2 - β 4. είξτε 8

9 τώρα ότι α 2 = ρ 2 + γ (α) Έστω χ = 3,239 και y = 0,39. Τότε 10χ = 32+y, 1000χ = y. Με απαλοιφή του y βρίσκουµε 990χ = 3207 ή χ = 3207/990. (β) Η ανάπτυξη ούτε τελειώνει ούτε επαναλαµβάνεται. Σχετική Βιβλιογραφία 1. Hambidge Jay, The Elements of Dynamic Symmetry. New York: Dover Publications, Heath T.L., History of Greek Mathematics, 2 τοµ. New York: Oxford University Press, Huntley H.E., The Divine Proporation, a Study of Mathematical Beauty, New York: Dover Publications,