MIRCEA RADEŞ ANALIZA CU ELEMENTE FINITE

Transcript

1

2 MIRCEA RADEŞ AALIZA CU ELEMEE IIE

3 Pfaţă Lucaa st o tauc a cusuu nt Emnt Anass pat stunţo anuu III a acutăţ Ingn în Lmb Stăn a Engză a Unvstata Pothnca Bucuşt încpân cu anu 99. Conţnutu cusuu s-a ăgt în tmp fn pat n 99 ş stunţo a facutata anspotu favozat apaţa ţo cacuatoa ş ncua sa în panu învăţământ a facutăţo cu pof mcanc. Pogama cusuu ca pv 8 o cus ş 8 o smna/aboato a fost stuctuată în confomatat cu comană AEMS pubcat în numău n Octomb 988 a vst BECHmak. Cusu pzntă oa o ntouc în anaza cu mnt fnt pntu ca am scs pogam smp cu un sngu tp mnt fnt ca să f utzat stunţ a zovaa uno tm casă. u s tatază învşu ş mnt tmnsona. În anu III panu învăţământ a.i.l.s. conţn cusu Computatona Stuctua Mchancs a ca stunţ apofunază moaa cu mnt fnt ş utzază un pogam fmă. La stuctuaa cusuu am avut în v ncstata fomă uno stunţ capab: a) să înţagă baza totcă b) să suşască stuctua pogamo cu mnt fnt pntu vntua cocţ ş zvotă c) să uz pogam ş să cunoască mt acstoa ) să poată vfca zutat ş ) să înţagă msaj oa ş să găsască moatăţ cocta a oo. Pogama cusuu a fost mtată a stuctu astc na bmnsona. S-a consat potvt să s pznt anaza cu mnt fnt în ouă tap: întâ pocsu asamba făă nc o apoma (apcat a gnz cu zăb) apo moaa cu mnt fnt ca psupun apomaa câmpuu pasă a tunghu cu fomaţ spcfc constant a mnt patuat zopaamtc ncuzân ntgaa numcă. S-a umăt ca stunţ să obânască: a) famatat cu mto matca ş cacuu matco gtat; b) înţga uttăţ cooonato oca ş goba; c) abtata foos pncpuu ng potnţa mnm ş a pncpuu ucuu mcanc vtua; ) tca a cooonat natua a cooonat fzc ş ncstata ntgă numc; ) o v ansambu asupa zovă sstmo agbc na (mnaa Gauss mtoa fontaă tc.) ş f) utzaa co patu tpu cuaţ chbu compatbtat consttutv ş conţ a mtă. În cusu ogna pat uno stunţ a căo mbă matnă nu st mba ngză au fost pous ps ş faz n căţ ş atco scs vobto natv a acst mb. Acastă tauc st o încca ntouc a tmnoog coct a Anaz cu mnt fnt în mba omână. Mca Raş

4 Cupns Pfaţă Cupns. Intouc. Obctu A.E... Mtoa pasăo în anaza cu mnt fnt. Istoc. Etap A.E.. 5. Mtoa pasăo 9. Ecuaţ chbu 9. Conţ compatbtat gomtcă. Raţ foţă/aung. Conţ a mtă.5 Rzovaa în funcţ pasă. Compaaţ înt mtoa foţo ş mtoa pasăo. Mtoa gtăţo 7. Matca gtat a unu mnt baă 7. ansfomaa n cooonat oca în cooonat goba 9.. ansfomaa cooonato 9.. ansfomaa foţo.. Matca gtat a unu mnt în cooonat goba.. Poptăţ a matc gtat a unu mnt. Mou u Lnk 5. Mtoa asambă ct.5 Compatbtata pasăo noa 8. Matca gtat panată a unu mnt 9.7 Matca gtat gobaă nusă

5 v AALIZA CU ELEMEE IIE.8 Ecuaţ chbu a foţo a nou.9 Matca gtat gobaă usă. Racţun ş foţ ntoa 5. Sacn ş tnsun tmc. umotaa nouo 7 Pobm. Ba ş abo 7. Emnt baă în pan 7.. Ecuaţa fnţaă chbu 7.. Cooonat ş funcţ fomă pntu mntu tuss 8.. Baa făă sacn înt capt 9.. Matca gtat a unu mnt în cooonat oca 5..5 Baa cu sacn înt capt 5.. Vctou foţo noa a un mnt Asambaa matc gtat ş a vctouu foţo goba 5..8 Efctu ptnsonă 59. Emnt pan abo Emp 5. Gnz ca ş gaj Dsctzaa cu mt fnt Anaza statcă a un gnz cu scţuna constantă 8 5. Gna făă sacn înt capt uncţ fomă Matca gtat a unu mnt gnă Smnfcaţa fzcă a mnto matc gtat Gna cu sacnă stbută înt capt Vctou cont a foţo noa uncţ ntpoa ga supo Momntu încovoto ş foţa tătoa Conţ convgnţă mnma 9 5. Emntu cau pan Efotu aa Matca gtat ş vctou foţo în cooonat oca 98

6 CUPRIS v 5.. ansfomaa cooonato Matca gtat ş vctou foţo în cooonat goba 5.7 Asambaa matc gtat goba 5.8 Gaj 5.9 Emntu gnă cu fofca 5.9. Anaza un gnz cu uncă spcfc constant p gosm uncţ fomă Matca gtat. Emnt astctat naă. otaţa matcaă pntu sacn tnsun ş fomaţ spcfc. Ecuaţ chbu în voumu V 5. Ecuaţ chbu p supafaţa S σ. Raţ înt fomaţ spcfc ş pasă 7.5 Raţ înt tnsun ş fomaţ spcfc 8. Efct tmc.7 Enga fomaţ 7. Mto ngtc 7. Pncpu ucuu mcanc vtua (PLMV) 7.. Dpasă vtua 7.. Lucu mcanc vtua a sacno toa 7.. Lucu mcanc vtua a foţo ntoa 7.. Pncpu pasăo vtua 7..5 Poba că PDV st chvant cu cuaţ chbu 7 7. Pncpu mnmuu ng potnţa tota Enga fomaţ Enga potnţaă toaă 7.. Enga potnţaă totaă 7. Mtoa Ragh-Rtz 7. M.E.. o vsun ocazată a mto Ragh-Rtz M.E.. în Mcanca stuctuo Dsctzaa Pncpu pasăo vtua 9

7 v AALIZA CU ELEMEE IIE 7.. uncţ apoma pntu un mnt Compatbtata înt fomaţ spcfc ş pasă Matca gtat ş vctou foţo unu mnt Asambaa matc gtat goba ş a vctouu goba a foţo 7..8 Rzovaa cuaţo chbu ş cacuu tnsuno 5 8 Emnt bmnsona 5 8. unghu cu fomaţ spcfc constant Dsctzaa stuctu Apomaa ponomaă a câmpuu pasă Apomaa noaă a câmpuu pasă Matca [ B ] Matca gtat a mntuu ş vctou foţo Consaţ gna 8. Emnt ptunghua Dptunghu cu patu nou (na) Dptunghu cu opt nou (pătatc) Emnt tunghua Cooonat a unghu cu fomaţ spcfc na unghu cu fomaţ spcfc pătatc Echbu convgnţă ş compatbtat Echbu ş compatbtat Convgnţă ş compatbtat 88 9 Emnt sopaamtc 9 9. Emntu patuat na Cooonat natua uncţ fomă Câmpu pasăo ansfomaa n cooonat natua în cooonat catzn Matca gtat a unu mnt Vctou foţo noa a unu mnt Intgaa numcă 5

8 CUPRIS v 9.. Intgaa Gauss unmnsonaă 9.. Intgaa Gauss în ouă mnsun 9.. Intgaa n matca gtat 9.. Cacuu tnsuno 7 9. Emntu patuat cu opt nou uncţ fomă Dvat funcţo fomă 9.. Dtmnantu matc jacobn 9.. Matca gtat a unu mnt 9..5 Cacuu tnsuno 9.. oţ noa cont 9. Emntu patuat cu nouă nou Emntu tunghua cu şas nou 9. Snguatata matc jacobn Emnt pacă încovoată 5. oa păco subţ (Kchhoff) 5. oa păco Rssn-Mnn 9. Emnt pacă încovoată ptunghua.. Emntu ACM (nconfom).. Emntu BS (confom) 8.. Emntu HK 9. Emnt pacă încovoată tunghua.. Emnt tangua subţ (nconfom) 5.. Emntu H (confom) 8.. unghu cu constâng Kchhoff sct (DK) 5 Bbogaf 57 In 5

9 . IRODUCERE Anaza cu mnt fnt (A.E..) apcată stuctuo st o mtoă mutscpnaă bazată p cunoştnţ n t omn: ) Mcanca stuctuo ncuzân toa astctăţ zstnţa matao toa pastctăţ namca stuctuo tc ) Anaza numcă ncuzân mto apomatv zovaa sstmo cuaţ agbc na pobm vao pop tc ş ) Ştnţa apcată a cacuatoao ca s ocupă cu zvotaa ş mpmntaa uno pogam ma cacuato. A.E.. st utzată pntu zovaa uno pobm anatc ma mnsun. Obctvu acsta st moaa ş sca compotă mcanc a stuctuo cu gomt compă. Mtoa st un pocu sctza: foma gomtcă ş câmpu pasăo fomaţo spcfc ş tnsuno sunt scs pn canttăţ sct (. cooonat) stbut în toată stuctua. Acasta mpun o notaţ matcaă. Unt sunt cacuatoa numc capab să mmoz st ung num ş să pucz.. Obctu A.E.. Obctu A.E.. st înocua sstmuu cu numă nfnt ga btat întânt în apcaţ ftoa a contnuum pnt-un sstm fnt ca posă acaş bază înt-o anază sctă. Scopu st găsa un souţ apomatv a o pobmă cu conţ a mtă boca sau cu paamt nţa pn împăţa omnuu sstmuu în ma mut subomn mnsun fnt ntconctat înt avân mnsun ş fom ft ş pn fna vaabo sta ncunoscut pnt-o combnaţ naă funcţ apoma. Subomn s numsc mnt fnt totatata mnto fnt fomază o ţa (msh) a funcţ apoma s numsc funcţ ntpoa. Impunân compatbtata funcţo fnt nvua p fca subomnu în anumt punct numt nou funcţa ncunoscută st apomată p întgu omnu.

10 AALIZA CU ELEMEE IIE Pncpaa fnţă înt A.E.. ş at mto apomatv pntu zovaa pobmo cu conţ a mtă (fnţ fnt zuu ponat Ragh-Rtz Gakn) constă în faptu că în A.E.. apomaa s fac p subomn atv mc. A.E.. st o vsun ocazată a mto Ragh-Rtz. În oc să s găsască o funcţ amsbă ca să satsfacă conţ a mtă p întgu omnu ca c asa st fc acă nu mposb în A.E.. funcţ amsb (numt funcţ fomă) s fnsc p omnu uno mnt cu gomt smpă ş nu ţn cont compcaţ a font. Doac întgu omnu st vzat în ma mut mnt ş funcţa st apomată pn (în funcţ ) vao a nou mnto vauaa un astf funcţ ncstă zovaa uno cuaţ agbc smutan. Acst ucu st posb oa cu ajutou cacuatoao. Succsu ncontstab a mto mnto fnt tbu atbut în ma măsuă apaţ acsta a momntu potvt. Dzvotaa mto mnto fnt s-a făcut în paa cu ca a cacuatoao numc ma capactat ca c a conus a automatza. Cacuatoa sunt capab nu numa să zov cuaţ chbu sctzat c ş să ajut a fomuaa cuaţo pn cz pvn afnaa ţ sctza ş a asambaa matco gtat. Da c ma mpotant st că mtoa mnto fnt poat f apcată uno sstm cu gomt compă ş stbuţ compcat a paamto. Laga utza a mto casc Ragh-Rtz a fost mtată mposbtata gnă uno funcţ amsb acvat pntu un ma numă pobm pactc. Înt-avă sstm cu conţ a mtă comp sau cu gomt compcată nu pot f scs acvat pn funcţ amsb goba fnt p întgu omnu ca tn să abă ps compcat fc utzat în mo sstmatc. În schmb în A.E.. s constuşt o souţ apomatvă p baza uno funcţ amsb oca fnt p subomn mc a stuctu. Pntu a sc un contu nguat sau o stbuţ nunfomă a uno paamt A.E.. poat mofca nu numa mnsuna mnto fnt c ş foma acstoa. Acastă vsattat tmă combnată cu zvotaa uno pogam cacuato pfomant bazat p acastă mtoă un stbut gatut ca susă schsă (opn souc) au făcut ca A.E.. să f aoptată ca mtoa pfată pntu anaza stuctuo. În A.E.. cuaţ chbu s obţn n pncp vaaţona ca mpcă staţonatata funcţona fnt nga potnţaă totaă. În tmp c zovaa cuaţo fnţa cu conţ a mtă compcat st fcă ntgaa cha apomatvă a uno funcţ ponoma st ma facă. Dn punct A b st chvant cu a mnmza v matmatc a zova [ ]{ } { } P ( ) { } [ A]{ } { } { b} [].. Acasta st snţa A.E.. apcată stuctuo

11 . IRODUCERE. Mtoa pasăo în anaza cu mnt fnt În moaa cu mnt fnt o stuctuă st sctzată (pottc) în mnt fnt. P contuu ş în ntou acstoa s fnsc punct numt nou. Dpasă nouo s ag ca vaab sct pma. Dpasă în ntou mnto s pmă în funcţ pasă noa pn funcţ ntpoa numt funcţ fomă. Emnt fnt sunt atât mc încât foma câmpuu pasă poat f apomată cu oa atv mcă umân a s tmna oa ntnstata acstua. om sunt ponoam putân f utzat ş funcţ tgonomtc. Emnt sunt asambat astf încât pasă să f contnu (înt-un anumt f) a tavsaa font tnsun ntn să f în chbu cu sacn apcat ş conţ a mtă să f satsfăcut. În fna cuaţ chbu sunt gnat pnt-o mtoă vaaţonaă. Pma pat a pocsuu moa cu mnt fnt constă în aga uno mnt coct ş acvat înţga pg-uu acstoa ş ntptaa zutato ncoct gnat utzaa uno mnt npotvt. Pata a oua a pocsuu constă în asambaa mnto ş zovaa cuaţo chbu a stuctu. Acasta mpcă cunoaşta msajo oa cân acst pocs st întupt sau cân vn nfcnt atotă moă ncospunzătoa a stuctu. În A.E.. s pacug umătoa şas tap pncpa: ) sctzaa contnuumuu; ) aga funcţo ntpoa; ) fna poptăţo mnto; ) asambaa poptăţo mnto; 5) zovaa sstmuu cuaţ ş ) tocacuu pntu tmnaa uno măm supmnta. Pncpa sus apoma sunt: ) fna omnuu (fzcă sau gomtcă); ) sctzaa omnuu (tăa coţuo înocua no cub cu n pt ş a mnto cub cu mnt pan) ş ) agotm zova a cuaţo. Moaa îmbnăo ş a contactuu înt păţ componnt a un stuctu ş moaa amotză în pobm namc sunt c ma fc. Rafnaa ţo (ş gnaa automată a acstoa) nu conuc napăat a o cşt a pcz cacuo. O ţa ma fnă conuc a matc gtat ma ma a un numă ma ma cuaţ zovat c ncstă o mmo ma ma a cacuatouu ş un tmp ma ung zova. Pnt motv pntu ca A.E.. a căpătat o accpta atât agă s număă: ) aga facă a funcţo fomă ) uşunţa gnă matco gtat (ş a vctoo foţo noa) pn smpa asamba a uno matc spcfc fcău mnt ş ) vsattata. Dzvotată nţa ca o mtoă pntu anaza tnsuno în stuctu aonautc A.E.. a vouat înt-o mtoă ca poat f apcată unu numă ma pobm ngnşt na ş nna statc stabtat ş namc.

12 AALIZA CU ELEMEE IIE. Istoc Ia pzntă unu omnu at pn mnt sct a apăut înanta mto mnto fnt. În antchtat matmatcn au stmat vaoaa număuu p apomân ccumfnţa unu cc pn pmtu unu pogon guat înscs în cc. Rcnt a a găst apcaţ în anaza stuctu avoano un ap ş fusaj sunt tatat ca ansambu ongoan s panou nvu ş mnt gza. Apomaa un funcţ ncunoscut pnt-o funcţ contnuă fntă ft p subomn a fost utzată încă n 9 Couant în stuu pobm tosun (Sant-Vnant) împăţn scţuna un ba în mnt tunghua mc ş foosn pncpu mnmuu ng potnţa tota. Motvu pntu ca atcou u Couant nu a atas atnţa poat f atbut apaţ acstua înt-un momnt npotvt. La încputu ano 9 nu stau cacuatoa capab să zov sstm ma cuaţ astf că mtoa a apăut a f npactcă. Baza totcă a A.E.. o pzntă mto ngtc n Mcanca stuctuo ş mto apomatv cacu. Pm tom ngtc au fost fomuat Maw (8) ş Castgano (875). Mto apomatv au fost zvotat Ragh (877) Rtz (98) ş Gakn (95). Pma cat sp mtoa fomaţo a fost pubcată Ostnf (9). După c -a oa ăzbo mona Mtoa foţo (mtoa fbtăţ) a fost pomovată Lv (97) ş Gav (95) a Mtoa matcaă a pasăo (mtoa gtăţ) a fost utzată Lv (95) în anaza ap săgată a avoano. un a fomuat ş pfcţonat Mtoa ctă a gtăţ a Bong (959). Dzvotaa Mto foţo a înctat în 99. Dzvotaa apo ta a avoano a vgoat ntsu pntu mtoa gtăţo. Moaa acstoa ncstă mnt panou bmnsona cu gomt abtaă. După o pmă încca făcută Lv (95) cu mnt tunghua înt-o s atco pubcat Ags în patu num a vst Acaft Engnng (95 955) coctat apo înt-o cat Ags ş Ks (9) s pzntă zvotaa matc gtat a unu panou ptunghua pan utzân funcţ ntpoa bna a pasăo. S-a constatat însă că mnt ptunghua nu sunt acvat pntu moaa apo ta. Pzntaa fomaă a mto mnto fnt st atbută u un Cough Matn ş opp (95) ca în poaa au uşt să cacuz ct gtata unu panou tunghua a Bong. mnu mnt fnt a fost utzat pntu pma ată Cough (9). Pma cat cată A.E.. a fost scsă Znkwcz ş Chung (97) umată căţ u Pzmnck (98) ş Gaagh (97). Atco mpotant au fost pubcat ajs Vubk (9) Ags (95) Ions ş

13 . IRODUCERE 5 coaboato (9 9 97). Cctă în omnu s-au făcut cu osb a Cv Engnng Dpatmnt Bk conus Cough a Washngton Unvst conus Matn ş a Swansa Unvst sub conuca u Znkwcz. Încpân n 9 pogam cacuato bazat p mtoa mnto fnt au fost ăspânt gatut în afaa comuntăţ aospaţa. Contbuţ majo au aus B. M. Ions ca a nvntat mnt zopaamtc funcţ fomă agotm zova fontaă a cuaţo na ş tstu ptcuu (9-98) R. J. Mosh ca a sstmatzat cacuu p baz vaaţona a matco gtat ş a cunoscut că A.E.. st o mtoă Ragh-Rtz apcată p mnt mc mnsun (9) J. S. Ach ca a ntous concptu matc masă contă (9) ş E. L. Wson ca a stuat mto asamba a matco a ş zova a sstmo na afnt (9) a zvotat agotmu connsa statcă (97) pcum ş t pogam cacuato SAP (pma susă gatută softwa în A.E..). Ma tâzu s-a aătuat K.-J. Bath împună cu ca a zvotat pogam SAP (97) SAP5 ş OSAP. Încpân n 95 sstmu anază cu mnt fnt ASRA a fost zvotat COSMIC Maca Schwn Matn Batmo ş B Ao Sstms sub contact cu ASA comptat în 98 ş vzut pma ată în 97. At pogam cu mnt fnt sunt ASYS zvotat Swanson Anass Sstms (97) SRUDL - Cv Engnng Dpatmnt a Massachustts Insttut of chnoog ş McDonn Dougas Automaton Compan (97) SARDYE Mchancs Rsach Inc ADIA zvotat K.-J. Bath a M.I.. (975) SESAM căt Dt osk Vtas ISA Engnng Mchancs Rsach Copoaton MARC Mac Anass Rsach Copoaton ABAUS Hbbtt Kasson & Sonsn Inc. (978) COSMOS- M Stuctua Rsach & Anass Cop. (985) SAMCE SAMECH (95) IDEAS-MS PARA ALGOR tc. Pogam uz gna pmt anaz namc ncuzân cacuu fcvnţo pop anaza ăspunsuu na ş nna ăspunsu a şoc cacuu stabtăţ statc ş namc pcum ş cacuu a soctă tmc. După 97 A.E.. a fost apcată cu succs a zovaa pobmo mcanca fuo câmpu ctomagntc ş tansf căuă.. Etap A.E.. A.E.. mpcă t tap stnct: ) ppocsaa ) pocsaa ş ) postpocsaa ato. Ppocsaa ncu ntouca ş pgăta ato cooonat noa conctvtata mnto conţ a mtă poptăţ matao ş încăcă. Intouca ato s poat fac f ntactv pnt-o ntfaţă us-

14 AALIZA CU ELEMEE IIE fn sau pn ct nt-un fş at. Un at nta pot f mpotat n at pogam C.A.D. sau A.E.. Gnaa automată a ţ sctza poat f utzată pntu fna cooonato noa numotaa optmă a nouo ş fna conctvtăţ mnto. Afşaa snuu ţ st un mo ut ş smpu vfca a ato nta. În acst f s pot pun în vnţă nou ampasat ncoct sau bocaa gştă a nouo p contu. g.. Două ţ sctza tmnsona obţnut cu pogamu SIMPA zvotat I..I.Itaa pzntat cu afşaa oa a no vzb sunt at în fgua. pntu o bă ş în fgua. pntu un pston moto automob. g..

15 . IRODUCERE 7 Mou cu mnt fnt a cauu cabn unu autotusm obţnut cu pogamu MSC/ASRA st aătat în fgua.. g.. În tapa pocsa pogamu cu mnt fnt pucază at nta ş cacuază ma întâ vaab noa cum sunt pasă ş tmpatu (zovaa cuaţo) apo măm ca tnsun ş vat vaabo pma (tocacuu). g.. În anaz namc pocsaa ncu zovaa un pobm vao pop sau tmnaa ăspunsuu tanztou pn mto ncmnta. Costu anaz namc măsuat în funcţ sus cacuatouu cşt cu puta a ta a mnsun pobm. În anaz statc costu zovă sstmuu cuaţ agbc na cşt oa na cu mnsun pobm. În pncpu în anaz namc pa a f convnabă utzaa acuaş mo cu mnt fnt ca c constut pntu anaza statcă. otuş asa mou statc conţn ma mut ta cât sunt ncsa în anaza namcă astf că s fac ap a connsa sau substuctua namcă pntu a uc onu pobm namc înanta tap pocsa.

16 8 AALIZA CU ELEMEE IIE Postpocsaa s ocupă cu pzntaa zutato. Pogam cacu ma vch utzau staa tabaă. Majotata pogamo actua pzntă gafc confguaţa fomată fom mouo pop vbaţ ş stbuţa tnsuno. gua. aată ţaua nţaă ş foma fomată a unu tun ăc sub acţuna vântuu obţnut utzân pogamu ALGOR SUPERSAP. g..5 Vaab noa scaa cum sunt tmpatu ş psun s pzntă sub fomă n contu paamtu constant ca zotm ş zoba. Pogam cu mnt fnt ma cnt ofă pzntă anmat a confguaţ fomat ca ca n fgua.5 pntu un abo cott. a g.. b gua. a pzntă ţaua nţaă bmnsonaă pntu anaza unu nt oată nţată constân n 7 mnt tunghua cu nou. gua. b aată ţaua optmzată obţnută cu postpocsou ESERE constân n numa 8 mnt ş ca a conus a o oa sctza gobaă patu o ma mcă.

17 . MEODA DEPLASǍRILOR La zovaa pobmo statc ntmnat tbu utzat patu tpu aţ: cuaţ chbu aţ înt fomaţ spcfc ş pasă aţ înt tnsun ş fomaţ spcfc ş conţ a mtă. Pntu a usta mtoa anatcă uzuaă s va utza un sstm t ba atcuat. Vaab ca ntvn în cacu sunt acţun ş foţ ntoa n ba pasă capto bao ş aung acstoa. Dacă s mnă foţ ş aung ş pm vaab cacuat sunt pasă atcuaţo atunc pocu st numt mtoa pasăo. E st apcab acă stuctua st statc tmnată sau nu. După tmnaa pasăo acsta sunt înocut în cuaţ compatbtat pntu a obţn aung c fomaţ spcfc apo s cacuază tnsun n aţ înt tnsun ş fomaţ spcfc.. Ecuaţ chbu La sstmu n fgua. [7] s psupun că toat ba sunt soctat a întn ş s scu cuaţ chbu pntu fca atcuaţ. S notază foţ în ba ş 5 acţun în azm. g..

18 AALIZA CU ELEMEE IIE Pntu ou (fg.. a) cuaţ chbu p ozontaă ş p vtcaă sunt /. La ou (fg.. b) cuaţ chbu s scu În ou (fg.. c) / /. (.) (.) 9 / 5 / / /. (.) C şas cuaţ (.) (.) conţn şapt ncunoscut. Sstmu st statc ntmnat. Rzovaa nu st posbă foosn oa cuaţ chbu tbu utzat ş conţ fomaţ. a b c g... Conţ compatbtat gomtcă Ecuaţ compatbtat pmă aung bao pasă capto. Δ în funcţ S consă o baă atcuată a capt - fg.. încnată cu unghu θ faţă aa X a sstmuu cooonat goba. Dpasă în sstmu cooonat oca O pot f pmat în funcţ pasă în sstmu cooonat goba sub foma u u Aunga ba st U U cosθ V snθ cosθ V snθ. (.)

19 . MEODA DEPLASǍRILOR ( U U ) θ ( V ) snθ Δ u u cos V. (.5) g.. Scn aţa (.5) pntu fca baă a sstmuu consat s obţn Δ (.) U -U Δ ( U U) ( V V ) (.7) Δ ( U U ) ( V V ). (.8) C t cuaţ (.) (.8) conţn nouă ncunoscut şas pasă ş t aung. Dc avm 9 cuaţ cu ncunoscut.. Raţ foţă/aung Ba atcuat a capt sunt f întns f compmat. Utzân ga u Hook pntu soctă unaa aţ foţă/aung s scu sau Δ E A Δ E A Δ E A Δ E A Δ E A Δ. (.9) E A S-au aăugat astf încă t cuaţ c stă acum cuaţ cu ncunoscut. Ma tbu stabt cuaţ.

20 AALIZA CU ELEMEE IIE. Conţ a mtă C cuaţ ncsa sunt conţ a mtă U V V U (.) ca comptază sstmu cuaţ agbc na..5 Rzovaa în funcţ pasă Raţ (.9) pot f utzat pntu tansfomaa cuaţo compatbtat (.) (.8) în aţ foţă/pasa E A Δ E A Δ E A Δ E A ( U U ) E A ( U U V V ) E A ( U U V V ). Înocun ps foţo în cuaţ chbu (.) (.) zută umătoa cuţ U V U U V E A U V U V E A U U V U V U V U V E A E A 5 U V U V U E A U V U V V 9. E A Ţnân cont conţ a mtă (.) acst sstm şas cuaţ s poat sc în fomă matcaă

21 . MEODA DEPLASǍRILOR V U EA 9 5. (.) A ta ş a şasa cuaţ pot f cupat V U EA 9 zutân pasă ncunoscut E A U A E V. (.) Înocun U ş V în c patu cuaţ nutzat s obţn acţun (.) Înocun acţun în cuaţ chbu (.) (.) zută foţ ntoa în ba ca sunt ga ş sns conta cu foţ ca acţonază asupa atcuaţo. Împăţn foţ ntoa a aa cospunzătoa a scţun ba s obţn tnsun în ba..5 Compaaţ înt mtoa foţo ş mtoa pasăo Pobma u av. sstmu 7 ba atcuat n fgua.. În atcuaţa 8 acţonază o foţă componnt ş. S c să s tmn foţ n ba ş pasaa atcuaţ 8. Mtoa foţo otân ( )...7 foţ apcat ba asupa atcuaţo a capt cuaţ chbu a atcuaţ 8 s pot sc 7 7 sn cos. θ θ (.)

22 AALIZA CU ELEMEE IIE Acsta st un sstm ouă cuaţ cu şapt ncunoscut c st statc ntmnat. S ag X X X 5 X ş X 5 7 ncunoscut statc ntmnat. Enga fomaţ st g.. 5 U X (.5) EA un ş sunt funcţ X.. X 5 confom (.). Doac pasă în azm sunt nu c cnc conţ fomaţ s pot sc utzân toma u Mnaba sau U X (...5) (.) X. (...5) (.7) X X Acsta st un sstm cnc cuaţ na pn zovaa căua s cacuază c cnc foţ hpstatc X. X 5. Componnt pasă atcuaţ 8 s obţn n a oua tomă a u Castgano U U u 8 v 8. (.8)

23 . MEODA DEPLASǍRILOR 5 În mtoa foţo cu cât numău bao st ma ma cu atât ma ma st numău foţo statc ntmnat c numău cuaţo (.). Mtoa pasăo Ecuaţ compatbtat înt aung ş pasă (.5) s scu Δ Lungm bao sunt. (...7 ) u 8 cosθ v 8 snθ a snθ. (...7 ) Înocun (.9) în aţ înt foţ ş aung Δ EA s obţn aţ înt foţ ş pasă EA a (...7 ) ( u 8 cosθ v 8 snθ ) snθ. (...7 ) (.9) (.) (.) (.) Înocun (.) în cuaţ chbu (.) a atcuaţ 8 zută a EA a EA u u cos θ snθ v cosθ sn θ v sn θ cosθ sn θ (.) n ca s cacuază u 8 ş v 8. Înpnnt numău bao concunt s obţn oa c ouă cuaţ n ca s cacuază componnt pasă atcuaţ comun. În fomă matcaă acsta s pot sc un cofcnţ gtat sunt K K K K u v 8 8 (.)

24 AALIZA CU ELEMEE IIE K K K EA a K EA a 7 7 EA a EA cos θ snθ 9 a 7 cosθ sn θ EA sn θ 57. a (.5) Rzovân (.) zută u a E A v a 8 9 E A. (.) Pocu foost în mtoa pasăo st acaş nfnt acă stuctua st statc tmnată sau nu.

25 . MEODA RIGIDIǍŢILOR Mtoa mnto fnt (M.E..) s-a zvotat ca o tns a mto gtăţo sau a mto pasăo. În mtoa gtăţo apcată stuctuo n ba s consă că mnt stuctu sunt ntconctat pn mnt asamba sct. Raţ înt foţ ş păsă capto mnto s pmă pnt-o matc gtat a mntuu. S poat magna că stuctua st azată aăugân mnt unu cât unu fca mnt fn pasat înt-o pozţ ptmnată. P măsuă c mnt sunt aăugat stuctu s măşt capactata acsta a pua sacn toa c s aaugă cva matc gtat a stuctu ca pmă gătua înt foţ a capt mnto ş pasă acstoa. Dacă mnt stuctu sunt ba atcuat a capt acsta sunt componnt stnct ca nu ncstă nco apoma. E sunt mnt fnt natua. În acst caz ntsază în pmu ân asambaa matco gtat a mnto ş zovaa cuaţo chbu în funcţ pasă. Ponn a gnz n ba atcuat a capt s poat pca uşo pocsu asamba ş pznta o ntouc în mtoa gtăţo în fomua matcaă. În contnua s pzntă tap pncpa a Mto ct a gtăţo utzân o gnă cu zăb pană.. Matca gtat a unu mnt baă În M.E.. num atcuaţ ş baă sunt înocut pn no ş spctv mnt. S consă un mnt cu ouă nou atcuat a capt în sstmu cooonat oca (fg..) fnt pn ungma aa scţun tansvsa A ş mouu astctat ongtuna E. ou sunt numotat convnab ş. Asupa mntuu acţonază foţ noa f f. Dpasă noa sunt q q.

26 8 AALIZA CU ELEMEE IIE În gna s consă că mnt baă au moù gtat constant ( EA const. ) sunt atcuat a capt na astc încăcat aa (nu sunt înot) ş soctat pn foţ apcat oa a capt. g.. Dpasă noa q q ş foţ noa f f sunt poztv în snsu poztv a a. Ecuaţa chbu a mntuu baă s sc f f. (.) În contnua s utzază aţ foţă/aung ca ncu aţ compatbtat ş aţ înt tnsun ş fomaţ spcfc. Dacă s fază f capătu ş capătu s poat pasa b atunc pntu q q E A q sau E A. (.) f q f Sma acă s fază capătu ş capătu s poat pasa b f q ş E A E A. (.) f q f Combnân cuaţ (.) ş (.) s obţn f E q A (.) f q fot noa matca gtat { } [ k ] { q } pasa noa f (.5) un matca gtat a mntuu în cooonat oca st E A [ k ]. (.)

27 . MEODA RIGIDIǍŢILOR 9. ansfomaa n cooonat oca în goba Înt-o gnă cu zăb ba au ft ontă în spaţu. Dfna gtăţ acstoa tbu făcută faţă un sstm goba cooonat ataşat întg stuctu. oţ ş pasă capto bao au cât ouă componnt a fca no astf că foţ noa ş pasă noa pot f gupat în vcto cooană cu mnt gaţ pnt-o matc gtat pătată onu... ansfomaa cooonato În fgua. st pzntat un mnt baă atcuată a capt (tuss) în pozţa nţaă ş în pozţa fomată. Dpasă noa sunt notat cu t mc în sstmu cooonat oca O ş cu t ma - în sstmu cooonat goba XOY. g.. Baa st încnată cu unghu θ faţă aa X a sstmuu cooonat goba. D fapt θ st unghu înt cţa poztvă a a X ş cţa poztvă a ba (fntă a a ). Dpasă în sstmu cooonat oca O pot f pmat în funcţ pasă în sstmu cooonat goba ca în (.) q q cosθ cosθ snθ snθ. Raţ (.7) s pot sc matca sub foma (.7)

28 AALIZA CU ELEMEE IIE sau un q cos sn θ θ q cos sn θ θ pasa matc oca tansfoma { } [ ] { } pasa goba (.8) q (.9) cosθ snθ [ ] cosθ st o matc tansfoma a cooonato. snθ (.) Utzân at ftoa a cooonat noa notân ( Y ) ( X ) cooonat nouo ş s cacuază Y X X cosθ sn Y Y X ş θ ( X X ) ( Y ). Y Măm fnt ma sus ntvn în mnt matc (.)... ansfomaa foţo baa atcuată a capt (fg..) soctată foţ f ş f apcat a capt ş. g.. Componnt foţo în sstmu cooonat goba sunt

29 . MEODA RIGIDIǍŢILOR sau În fomă matcaă f f componnt a foto goba cosθ snθ f f cosθ snθ. (.) cosθ snθ f (.) cosθ f sn θ tansfo matc ma { } [ ] { f } fot oca. (.) Ecuaţa (.) poat f obţnută ct n ps ucuu mcanc. Acsta st o măm scaaă avân acaş vaoa nfnt sstmu în ca st cacuat c { } { q } { } { } f. (.) Înocun pasă oca n psa (.9) cuaţa (.) vn ca pn tanspozţ vn (.). { f } { q } { f } [ ] { } { } { } { f } [ ] { }.. Matca gtat a unu mnt în cooonat goba Înocun psa (.5) în (.) apo psa (.9) în pousu matca ş compaân cu (.) { } [ ] { f } [ ] [ k ] { q } [ ] [ k ][ ] { } zută un { } [ K ] { } (.5) [ K ] [ ] [ k ] [ ].. (.)

30 AALIZA CU ELEMEE IIE Efctuân înmuţ matca ş utzân (.) s obţn matca gtat a mntuu în cooonat goba [ K ] E A un c cosθ ş s snθ. c cs c cs cs s cs s c cs c cs cs s (.7) cs s Matca gtat a mntuu st un facto popoţonatat înt vctou foţo apcat nou asupa mntuu ş vctou pasăo noa în cooonat goba c E A sm cs s c cs c cs s cs. (.7 a) s.. Poptăţ a matc gtat a unu mnt Matca gtat a mntuu st smtcă cu mnt agona poztv snguaă ( ang ş on ) a suma mnto p fca cooană (n) st zo.... Matc smtcă Matc gtat sunt smtc [ ] [ K ] K. Epmân pasă în funcţ foţ s obţn { } [ K ] { } [ δ ] { } un zută că învsa matc gtat st matca fbtat [ K ] [ δ ]. (.8) Confom tom cpoctăţ fomuat Maw matca fbtat [ ] δ tbu să f smtcă faţă agonaa pncpaă. La f tbu să f nvsa acsta matca gtat.

31 . MEODA RIGIDIǍŢILOR La acaş zutat s ajung n consnt ngtc. La stuctu na pasă sunt popoţona cu sacn apcat. Cân foţ csc a zo a vao fna ucu mcanc tota a acsto foţ st W { } { }. (.9) În psa fcto namc acst ucu mcanc st absobt stuctuă sub fomă ng fomaţ. Înocun (.5) în (.9) s obţn nga fomaţ ca st o măm scaaă c U { } [ K ] { }. (.) Acasta st gaă cu tanspusa pousuu matca U ca c fnşt smta. { } [ K ] { } (. a) [ ] [ K ] K... Matc snguaă Matca gtat a mntuu st onu ş ang. Dfcnţa ang st ca c cospun cu c t fom npnnt mşca cop g în pan pntu baa bă: ouă tansaţ ş o otaţ. O baă bă (nzmată) poat f pasată în spaţu ca un cop g făă să f fomată c cu ng fomaţ nuă. Rzută că stă un numă pntu ca U { } [ K ] { } pasă cop g { } c [ K ]{ } { }. În acst caz tmnantu matc [ ] K st zo. S spun că matca [ K ] st snguaă. Mou cop g sunt fnt vcto pop cospunzăto vaoo pop nu. Anuaa tmnantuu psupun stnţa uno aţ na înt cooan (n) sa. Rangu un matc st ga cu onu c ma ma submatc pncpa cu tmnant ft zo. S poat vfca în acst caz că tmnanţ onu ş onu sunt zo c matca gtat a angu.... Emnt agona poztv ca mnt p agonaa matc [ ] K st poztv. În caz conta foţa ş pasaa cospunzătoa a f ontat în snsu conta ca c st

32 AALIZA CU ELEMEE IIE fzc mposb. Ma mut matca [ K ] st poztv smfntă. Cu at cuvnt foma pătatcă c pzntă nga fomaţ (.) st poztvă sau zo.... Suma mnto p fca cooană (n) st zo un mnt baă cu capătu f ( ) o pasa gaă cu în ungu a goba X ( ) ş capătu avân ca în fgua.. Ecuaţa (.7 a) s poat sc un s obţn k k k k k k g (.) k k. (.) Rzută că pma cooană a matc gtat pzntă foţ ca tbu apcat mntuu pntu a- mnţn în chbu cân ş toat cat pasă sunt nu. Dpasaa pouc o scuta aaă cosθ cosθ ca cospun un foţ compsun E A cosθ a că componnt tbu chbat foţ toa k k k ş k. Ecuaţ chbu a foţo ozonta ş a co vtca sunt k k k k

33 . MEODA RIGIDIǍŢILOR 5 c suma mnto p pma cooană st zo. Acaş ucu s poat monsta ş pntu cat cooan. În matca gtat a mntuu baă fca cooană pzntă un sstm foţ noa în chbu pous o pasa gaă cu untata p unu n ga btat.. Mou u Lnk Pntu a usta asambaa matc gtat goba n matc gtat a mnto s consă gna cu zăb anazată Lnk [7] n fgua.5 stuată ja în Captou fg... g..5 Gna a mnt ş nou; st smpu zmată în ş atcuată în ş încăcată cu foţ ş 9. Dpasă goba ş foţ noa sunt ş. vnţat în fg... În nou pasă ş foţ au nc ( ) a g.. b

34 AALIZA CU ELEMEE IIE Dat sp mnt ş nfomaţ ut în cacu sunt pzntat în abu.. Pm t cooan fnsc conctvtata mnto acă ocazaa acstoa în cau stuctu. umotaa mnto st abtată. abu. ou Baa j θ θ cos θ sn c s cs EA EA EA EA 5 EA EA 5 EA EA. Mtoa asambă ct Utzân at n abu. s cacuază matc gtat a mnto (.7) [ ] E A K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K [ ] 5 5 E A K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K

35 . MEODA RIGIDIǍŢILOR 7 ş [ K ] 5 E A 5 K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K. Dasupa ş în apta matco gtat a mnto s ncă numotaa cooonato în matca gtat gobaă confom abuu.. Emntu abu. ou Dcţa X Y X Y Cooonata noaă ocaă Cooonata noaă gobaă 5 5 Asambaa matc gtat goba nus (.8) s fac sstmatc pasân fca cofcnt a matco gtat a mnto în ocu cospunzăto n matca gobaă (pntu acst mpu) aşa cum s ncă pn punct ng vntua aăugânu- cofcnţo ja acumuaţ în pozţa spctvă. Acst pocu s numşt mtoa matcaă ctă. D mpu mntu st stuat în stuctuă înt nou n stânga ş nou n apta j (nc noa ş j pot f abta). În matca gobaă c ouă componnt a foţo ş pasăo (în ungu ao X ş Y) pntu nou sunt numotat ş a c pntu nou j sunt numotat j 5 ş j. Smpa auna a cofcnţo gtat nt-o ocaţ s bazază p faptu că cuaţ mouu cu mnt fnt sunt fapt cuaţ chbu a nouo astf că acă un no st comun ma muto mnt atunc fca mnt va contbu cu o foţă pntu mnţna chbuu înt-o confguaţ cu anumt vao a pasăo noa. O ată pcaţ agbcă a pocsuu asamba a matco gtat a sstmuu st pzntată în contnua.

36 8 AALIZA CU ELEMEE IIE.5 Compatbtata pasăo noa Compatbtata pasăo noa a unu mnt cu pasă noa a întg stuctu poat f pmată pn cuaţ foma { } [ ] { } ~ (.) un { } st vctou pasăo mntuu în cooonat goba { } st vctou tutuo pasăo stuctu ba ş [ ] ~ st o matc conctvtat sau ocaza ca a mnt ga cu untata a pasă noa a mntuu. Pntu sstmu ba n fg..5 apcân cuaţa (.) co t mnt s obţn { } [ ][ ] ~ 5 { } [ ][ ] ~ 5 5 { } [ ][ ] ~ 5 5.

37 . MEODA RIGIDIǍŢILOR 9. Matca gtat panată a unu mnt Enga fomaţ a unu mnt în cooonat goba poat f pmată în funcţ vctou pasăo goba înocun (.) în (.a) { } [ ] [ ] [ ]{ } ~ K ~ U sau { } [ ]{ } K ~ U un matca gtat panată a unu mnt [ ] [ ] [ ] [ ] ~ K ~ K ~ (.) a mnsun matc goba a sstmuu. Pntu sstmu ba n fg..5 n cuaţa (.) zută [ ] [ ] [ ][ ] EA ~ K ~ K ~ sau [ ] EA K ~. [ ] [ ] [ ][ ] EA ~ K ~ K ~

38 AALIZA CU ELEMEE IIE sau [ ] EA K ~ ş [ ] [ ] [ ][ ] EA ~ K ~ K ~ sau [ ] EA K ~..7 Matca gtat gobaă nusă Enga fomaţ a întg stuctu { } [ ]{ } K U (.5) poat f cacuată pn smpa însuma a ngo fomaţ a mnto { } [ ]{ } { } [ ] { } K ~ K ~ U U. (.) Compaân ps (.5) ş (.) s obţn [ ] [ ] K ~ K. (.7) Matca gtat gobaă st gaă cu suma matco gtat panat a mnto.

39 . MEODA RIGIDIǍŢILOR Matca gtat nusă [ K ] st smtcă snguaă cu mnt poztv p agonaa pncpaă ş cu suma mnto n fca cooană gaă cu zo. Ea cospun stuctu făă azm. Matca gtat a stuctu zmat s obţn connsân acastă matc utzân conţ a mtă. Efctu azmo astc moat ca acu sct poat f ncus aăugân gtăţ acstoa în ocaţ spctv p agonaa pncpaă a matc gtat. Pntu stuctua n fg..5 cuaţa (.7) s sc EA K. (.8) [ ] [ K ~ ] [ K ~ ] [ K ~ ] Matc gtat panat a mnto au fost foost ma sus oa pntu a sc agbc asambaa matc gtat goba; în pactcă acsta nu sunt utzat. Pousu matca (.) st coststo ş nu st cacuat ncoată. Asambaa matc gtat goba s fac pn ampasaa cofcnţo nnu a matco gtat a mnto ct în ocaţ o n matca gtat gobaă mpus conctvtata mnto..8 Ecuaţ chbu a foţo a nou Asambaa matc gtat goba s-a făcut p baza uno consaţ ngtc. În contnua s fac o pznta ftă bazată p cuaţ chbu a foţo a nou utzân stuctua ba n fg..5. Ecuaţ chbu a mnto (.) utzat până acum conţn oa foţ apcat nou asupa mnto. În contnua s utzază cuaţ chbu a nouo în ca apa foţ apcat mnt asupa nouo. În fg..7 s pzntă stuctua sfăcută în mnt componnt. În afaa foţo toa ş a acţuno n azm asupa nouo acţonază foţ ga ş sns conta co apcat mnto. Pntu catata pun foţ ga au acaş notaţ. Dscompunân foţ noa în componnt ozonta ş vtca s obţn şas cuaţ chbu.

40 AALIZA CU ELEMEE IIE. 5 g..7 În fomă matcaă [ ] [ ] [ ] 5 ~ ~ ~ ş pn patţona ca sumă pous scaa { } [ ] { } [ ] { } [ ] { } ~ ~ ~ sau în gna { } [ ] { } ~. (.9)

41 . MEODA RIGIDIǍŢILOR Înocun (.5) ş (.) aţa (.9) vn { } [ ~ ] [ K ]{ } [ ~ ] [ K ] [ ~ ] { } apo utzân aţ (. ş (.7) s poat sc { } [ K ~ ] { } [ K ] { } (.). (.) K pmă vctou nus a Matca gtat gobaă nusă [ ] foţo noa { } în funcţ vctou nus a pasăo noa { }..9 Matca gtat gobaă usă Stuctua n ba tbu zmată cospunzăto ş nu tbu să conţnă vun mcansm nto. Conţ a mtă mnă posbtata ca stuctua să s mşt ca un cop g. Un tp gna conţ a mtă sunt pasă mpus a nouo n azm foma a ( a n s ) un n s st numău azmo. Dobc pasă noa a azmo sunt zo. Un at tp sunt gătu mutp cum sunt c n azm încnat g sau cu o foma b b j j b un b b j ş b sunt constant at. Pntu o stuctuă cu ga btat cuaţ cu mnt fnt (.) au foma K K L K K K L K. L L L L L L K K L K Psupunm că stă o snguă conţ a mtă a. Doac st cunoscut cuaţ cu mnt fnt în c ncunoscut ămas sunt K K L K K K K L L L L L K K K K L L L K K a a. (.) a

42 AALIZA CU ELEMEE IIE Matca gtat onu ( ) s obţn pn smpa mna a pm n ş a pm cooan n matca ognaă onu. Ecuaţa (.) s poat sc connsat sub foma [ ]{ } { } K (.) un [ ] K st o matc gtat usă obţnută pn mnaa no ş cooano cospunzătoa gao btat a azmo sau cu mşca mpusă { } ş { } sunt vctou us a pasăo ş vctou us a foţo noa goba. Pntu o gnă cu zăb cu ma mut azm matca gtat gobaă usă s obţn înătuân un numă n ş cooan ga cu numău pasăo mpus. Ecuaţ fna (.) s pot zova în funcţ vctou { } pn mna gaussană. Matca [ ] K st nsnguaă. Est nstuctv să s cons stuctua n fg..5. Oată asambată matca gtat gobaă nusă upă înocua conţo a mtă 5 ş a vaoo foţo toa ş 9 s obţn umătou sstm cuaţ na EA 9 5. (.) S obsvă că acoo un s au pasă foţ noa sunt ncunoscut ş acoo un s cunosc foţ pasă noa sunt ncunoscut. Ecuaţ (.) s pot aanja în foma 5 9 EA. (.5) Pm ouă cuaţ s pot sc EA 9

43 . MEODA RIGIDIǍŢILOR 5 avân souţ E A E A. În gna pntu conţ a mtă nnu cuaţ (.) s pot sc în fomă patţonată [ Kaa ] [ Kab ] [ K ] [ K ] ba bb { a } { } b { a } { b } un { a } st vctou foţo cunoscut { b } cunoscut ş [ K ] [ ] ba K ab. Ecuaţ n patţa supoaă s pot sc { } [ K ]{ } [ K ] { } a aa a ab b (.) st vctou pasăo. (.7) După înmuţ a stânga cu [ ] { } [ K ] ({ } [ K ] { }) a aa aa K s obţn pasă ncunoscut a ab b. (.8). Racţun ş foţ ntoa oţ ncunoscut ca în acst caz sunt acţun toa sunt at patţa nfoaă { } [ K ] { } [ K ] { } b. (.9) ab a La stuctua n fgua.5 pasă azmo sunt nu c EA 5 bb Aunga unu mnt (.5) st b 5. 5 ( ) θ ( ) snθ Δ q q cos (.) c poat f cacuată upă c s-au tmnat toat pasă. oţa aaă înt-o baă atcuată a capt st

44 AALIZA CU ELEMEE IIE s c s c A E A E c b Δ. (.) La stuctua n fg..5 foţ n ba sunt EA EA c b EA EA 5 c b ( ) EA EA 5 5 c b. nsun s cacuază împăţn foţa aaă a aa scţun tansvsa.. Sacn ş tnsun tmc nsun tmc s cacuază cu mtoa bă zvotată J. M. C. Duham (88). S psupun întâ că pasă noa sunt compt bocat (stuctua st bată ). Rzută fomaţ spcfc tmc α ε un α st cofcntu ata tmcă naă ş st fnţa tmpatuă. Staa bată st chvantă cu o ptnsona cu tnsun compsun α E σ un E st mouu astctat ongtuna a matauu. Rstânga pouc în mnt o foţă aaă compsun EA α un A st aa scţun tansvsa. Cospunzăto mntu acţonază asupa nouo cu foţ ga ş sns conta { } s c s c EA c b α (.)

45 . MEODA RIGIDIǍŢILOR 7 sau în cooonat oca { } EA f c b α. (. a) Acst foţ tbu ncus în vctou foţo noa (aăugat foţo toa acă st cazu). După tmnaa pasăo pous acst foţ aung mnto s tmnă n (.7) a tnsun s cacuază cu aţa E α Δ σ (.) acă aăugân a tnsun pous sacn tmc (ş toa) tnsun nţa pous ba (constâng). Est ca ş cum foţ constâng s apcă a capt mntuu pntu a- ba constânga nţaă.. umotaa nouo Matc gtat sunt smtc ş sab popuat. E pot f ş matc bană cu mnt nnu gupat înt-o bană în ungu agona pncpa. Acasta st vnt a stuctu unmnsona ş s poat aza ş a at stuctu pn numotaa aţonaă a nouo. matca gtat gobaă nusă onu a stuctu n fg..8 a a ca mnt nnu n tunghu supo s-au notat cu X [ ] a c t m s K B. (.) Matca fn smtcă au fost ţnut oa ntă agona ş c stuat o pat a agona pncpa. Datotă sab popuă în tunghu supo stă mut zou. Lăţma smbnz st notată B.

46 8 AALIZA CU ELEMEE IIE Doac ntsază oa mnt nnu nfomaţa n matca pătată (.) poat f mmoată în matca ma jos [ ] K b B. (. a) Pma cooană conţn mnt p agonaa pncpaă a matc (.). A oua cooană conţn mnt p a oua agonaă. În gna agonaa m a matc ogna st mmoată în cooana m a matc compact. umău cooano în matca (. a) st ga cu B smbana matc ogna. Efcnţa stocă în fomă bană cşt cu onu matc. a b g..8 La stuctu n ba atcuat B st ga cu pus ubu fnţ mam înt nc nouo unu mnt. Pntu numotaa nouo n fgua.8 a B. Pntu numotaa n fg..8 b B c cu onu matc nţa. Ca guă gnaă o ăţm bană mcă s poat obţn numotân nou în ungu mnsun ma mc a stuctu înantân apo în ungu mnsun ma ma.

47 . MEODA RIGIDIǍŢILOR 9 Lăţma smbnz st tmnată automat în pogamu cu mnt fnt p baza numotă mnto. În afaa conom mmo s foossc agotm mna gaussană concpuţ spca pntu matc bană ca pmt uca tmpuu uă p cacuato. Pntu matc gtat sab popuat on ma o uc fcntă a mmo ocupat ş a uat cacu s poat obţn pn stocaa sub fomă n ozont (skn) ş utzaa unu agotm acvat zova a sstmuu na cuaţ. În acst caz cooan tunghuu supo a matc sunt mmoat p ân concatnat înt-un vcto { K s }. Dacă în pata supoaă a cooan stă zou tbu stocat oa ntă nt mntu agona ş pmu mnt nnu. Lna spaaţ a zouo supoa pmu mnt nnu n fca cooană s numşt n ozont. S consă umătoaa matc Cooan actv sunt stocat în vctou cooană { K s } ş s constuşt un vcto { ID } ca conţn nc mnto agona n { K } { } K s k k k k k 5 k k k k 9 L L k ID. 7 { } s

48 AALIZA CU ELEMEE IIE. La zovaa cuaţo mto mnt fnt s utzază mnaa Gauss foosn un pogam zova bazat p stocaa sub fomă n ozont. Înăţma cooan j st ID ( j) ID( j ) Ma jos s pzntă o schmă gnaă a mto matca a pasăo. Mtoa matcaă a pasăo Dat nta Dat gomtc (cooonat noa) Poptăţ matao A scţuno tansvsa a mnto abou conctvtăţ mnto Conţ a mtă Matca gtat a mntuu în cooonat oca ansfomaa în cooonat goba Asambaa matc gtat goba Intouca conţo a mtă Rzovaa sstmuu cuaţ na 5 Rtocacuu Racţun toa oţ n ba (ş tnsun)

49 . MEODA RIGIDIǍŢILOR Pobm E.. La gna cu zăb n fgua E. a s c să s tmn: a) pasaa noaă mamă ş nou în ca apa b) tnsuna mamă ş baa în ca apa ş c) acţun n azm. Să s snz stuctua fomată. g. E. a Răspuns. a) Mou cu mnt fnt a 8 nou ş mnt. Consân pntu smpfca A E ş zută: Dat sp nou ou n Bocaj X Bocaj Y Coo X Coo Y Dpasaa X Dpasaa Y Dat sp mnt Emntu ou nsun Emntu ou nsun n noma n noma

50 AALIZA CU ELEMEE IIE Racţun n azm sunt R 8 R ş R 9. oma fomată st pzntată în fgua E. b. g. E. b E.. La gna cu zăb n fgua E. a să s tmn: a) pasaa noaă mamă b) tnsuna mamă ş c) acţun n azm. Să s snz foma fomată. g. E. a Răspuns. Mou cu mnt fnt constă n 7 nou ş mnt. a) Dpasaa vtcaă a nouu 7 st v b) nsuna nomaă în EA mntu 7 st 7 A. c) Racţun n azm sunt R R 5 ş R. oma fomată st pzntată în fgua E. b.

51 . MEODA RIGIDIǍŢILOR g. E. b E.. gna cu zăb n fgua E. a. Să s tmn pozţa ş vaoaa: a) pasă noa mam b) tnsun mam; c) să s cacuz acţun. Să s snz foma fomată. g. E. a Răspuns. Mou cu mnt fnt constă n nou ş 9 mnt. a) Dpasaa vtcaă a nouu st v 78. b) nsuna nomaă în EA mntu st 7 5 A. c) Racţun sunt R R ş R. oma fomată st pzntată în fgua E. b.

52 AALIZA CU ELEMEE IIE g. E. b E.. La gna cu zăb n fg. E. a să s tmn: a) pasaa noaă mamă b) tnsuna mamă ş c) acţun. Să s snz foma fomată. g. E. a Răspuns. Mou cu mnt fnt a nou ş 5 mnt. Consân pntu smpfca A E ş zută: Dat sp nou ou n Bocaj X Bocaj Y Coo X Coo Y Dpas X Dpas Y

53 . MEODA RIGIDIǍŢILOR 5 Dat sp mnt Emntu n ou nsuna nomaă a) Dpasaa vtcaă a nouu st v 99 E A. b) nsuna nomaă în mntu st 5 A. c) Racţun sunt R R R 5 ş R 5. oma fomată st pzntată în fgua E. b. g. E. b E.5. gna cu zăb n fg. E.5 a a ca nou st pasat cu v 5. Să s tmn ocu ş vaoaa: a) pasă noa mam; b) tnsun mam. Să s snz foma fomată. g. E.5 a

54 AALIZA CU ELEMEE IIE Răspuns. Mou cu mnt fnt a nou ş 5 mnt. Consân pntu smpfca A ş E pasă vtca a nouo 7 ş 8 sunt v 7 v8 58 a tnsuna nomaă în baa 5 st 5. oma fomată st pzntată în fgua E.5 b. g. E.5 b

55 . BARE ŞI ARBORI În acst capto s stuază mnt stuctua unmnsona cu un sngu ga btat p no. Dpasă în ntou mnto s pmă în funcţ pasă noa utzân funcţ fomă. Dobc câmpu pasă ncunoscut n ntou unu mnt st ntpoat pnt-o stbuţ naă. Acastă apoma vn tot ma pcsă p măsuă c mou conţn ma mut mnt. La o baă făă sacn înt nou ntpoaa naă st actă. Compatbtata mnto aacnt mpun oa o contnutat C. Dpasă tbu să f contnu a ganţa nt mnt. La ba cu sacn stbut pasă coct sunt scs ponoam ga supo. Utzaa acstoa mpcă aăugaa uno nou ntoa. otuş în pactcă s utzază funcţ fomă na ş mnt cu ouă nou făă sacn înt nou. Acasta mpcă înocua saco stbut pn foţ chvant apcat a nou. Acst foţ cnmatc chvant s tmnă foosn funcţ fomă cospunzătoa n conţa să fctuz acaş ucu mcanc ca ş sacn a. În contnua s stabsc ps matc gtat a unu mnt ş vctoo foţo noa.. Emnt baă în pan Ba sunt mnt stuctuă utzat pntu moaa gnzo cu zăb cabuo anţuo ş fângho. Dmnsuna ongtunaă a acstoa st mut ma ma cât mnsun tansvsa. Ba sunt soctat oa foţ aa. E sunt moat oca cu mnt cu un ga btat p no... Ecuaţa fnţaă chbu Înt-o baă subţ cu aa scţun tansvsa A ş mouu astctat E apa pasă aa u u ( ) pous sacn aa p ( ). Dmnsun u p sunt foţă/ungm. În scţuna pasă sunt u u.

56 8 AALIZA CU ELEMEE IIE Aunga spcfcă aaă st gaă cu vata pasă ε u. (.) nsun noma s cacuază n ga u Hook σ E u (.) un E st mouu astctat ongtuna a matauu. g.. oţa aaă ntoaă st u Aσ E A. (.) Ecuaţa chbu a unu mnt baă ungm nfnt mcă (fg..) st p sau înocun (.) p ( ) u EA p ( ). (.).. Cooonat ş funcţ fomă pntu mntu tuss S consă un mnt baă cu ouă nou atcuat a capt în sstmu cooonat oca cu aa O în ungu mntuu. ou sunt numotat convnab ş cooonat o în sstmu fnţă fzc (catzan) fn ş spctv (fg.. a). S fnşt un sstm fnţă ntnsc sau natua ca pmt pczaa pozţ unu punct n ntou mntuu pnt-o cooonată amnsonaă (.5)

57 . BARE ŞI ARBORI 9 astf încât a nou ş a nou (fg.. b). g.. Epmân cooonat fzc în funcţ cooonat natua zută ( ) ( ) (.) un () ( ) ş () ( ) (.7) pot f consat funcţ ntpoa gomtcă. Gafc acsto funcţ sunt pzntat în fgu. a b. uncţ au vaoaa a nou cu acaş nc ş vaoaa zo a căat no. g.... Baa făă sacn înt capt Pntu o baă scţun constantă nîncăcată înt capt p u u const. câmpu pasă în ntou mntuu poat f pmat pnt-un ponom na

58 5 AALIZA CU ELEMEE IIE ( ) a b u. (.8) C ouă constant ntga pot f tmnat în funcţ pasă noa ş gomta mntuu. Cu q a b a nou ş q a b a nou psa (.8) vn Raţa (.9) s ma sc sau utzân (.5) q q q q u. (.9) u q q u q q. Dpasaa unu punct n ntou mntuu poat f pmată în funcţ pasă noa q ş q sub foma ( ) q ( ) u (.) q un () ( ) ş () ( ) sunt funcţ fomă a mntuu. oma ponomaă (.) st ma smpă a constant ntga a ş b nu au smnfcaţ fzcă ctă. Dzvotaa noaă (.) st ma compcată însă constant ntga q ş q sunt pasă noa. un În fomă matcaă u q { q } ş { } { } (.) q q q. (.) În acst mo pasaa ocău punct n ntou unu mnt poat f cacuată înmuţn matca funcţo fomă cu vctou pasăo noa. În aţa (.) { q } st vctou pasăo noa a mntuu ş st vctou n a funcţo ntpoa a pasăo numt ş funcţ fomă. S poat vfca uşo că u q a nou u q a nou a pasaa u vaază na (fg.. c).

59 . BARE ŞI ARBORI 5 Raţ (.) ş (.) aată că atât gomta mntuu cât ş câmpu pasă sunt ntpoat utzân acaş funcţ fomă pocu numt fomuaa zopaamtcă. un.. Matca gtat a unu mnt în cooonat oca Aung spcfc pot f pmat pn funcţ fomă u ε (.) { q } B { q } (.) B st vctou n a vato funcţo fomă numt în gna matca fomaţ spcfc - pasă a mntuu. Acst vcto pzntă aunga spcfcă în oc punct pousă o pasă noaă gaă cu untata. ansfomaa a a în psa (.5) conuc pn va a (.5) un a ungma mntuu st. Enga fomaţ a mntuu U U st σ ε V E ε V. (.) Înocun (.) în (.) s obţn U { q } B E B V { q } V Epsa ma sus a foma U { q } [ k ] { q } un matca gtat a mntuu [ k ] st. (.7) (.8)

60 5 AALIZA CU ELEMEE IIE [ ] B E B k V. (.9) Acastă fomă aată că matca [ k ] st smtcă. V Epmată pn funcţ fomă [ k ] E A. (.) Doac s poat sc E A [ k ]. (.) Înocun ş psa (.) vn sau [ ] E A k EA [ k ] (.) ca a foma (.)...5 Baa cu sacn înt capt La o baă cu scţuna constantă încăcată cu o sacnă unfom stbută p const. u const. câmpu pasă în ntou mntuu poat f pmat pnt-un ponom gau o ( ) a b c u. (.) C t constant ntga a b ş c tbu tmnat n t conţ a mtă. Acasta s poat aza utzân un mnt cu t nou aăugân un no a mjocu mntuu (fg.. a).

61 . BARE ŞI ARBORI 5 În cazu un sacn aa stbut na (. a o baă în otaţ cu vtză unghuaă constantă în juu unu capăt soctată o sacnă cntfugaă popoţonaă cu stanţa a cntu otaţ) câmpu pasă st scs un ponom gau t ca conţn patu constant ntga (Empu.8). Pntu o souţ actă tbu utzat un mnt cu patu nou (pn aăugaa a ouă nou ntoa). În pactcă s aoptă un câmp pasă na acă un mnt cu ouă nou înocun sacna aă stbută na pn foţ noa chvant. Rzută un mnt făă sacn înt nou ca poat f scs pn funcţ fomă na. g.. mntu pătatc cu t nou n fg.. a cu nou a mjoc. Cooonat noa sunt a vctou pasăo noa a q mntuu st { } { q q q }. Sstmu cooonat st tanspus în sstmu cooonat pn tansfomaa Rzută că ş ( ). (.) a nou ş (fg.. b). Dpasă în ntou mntuu pot f pmat în funcţ c t pasă noa q q ş q () q ( ) q ( ) u (.5) un funcţ fomă pătatc q ( ) au foma () ( ) ( ) ( ) () ( )( ). (.) Gafc funcţo fomă (.) sunt pzntat în fg..5. E au vaoaa a a nou cu acaş nc ş vaoaa zo a ct nou. Acasta st o poptat gnaă a funcţo fomă.

62 5 AALIZA CU ELEMEE IIE Eps funcţo fomă pot f scs ct upă cum umază. D mpu oac a ş funcţa tbu să conţnă pousu ( ) în ca apa mmbu stâng a cuaţo no vtca ca tc pn nou ş. Dc a foma C ( ). Constanta C s obţn n conţa ca a un zută C ca c conuc a psa n (.). un g..5 Câmpu pasă n ntou unu mnt s sc matca u q { q } ş { } { q q q } q (.7). (.8) Dpasaa aaă în oc punct n ntou mntuu s poat obţn înmuţn vctou n a funcţo fomă cu vctou pasăo noa ca în (.7). Est uşo vfcat că u q a nou oac ş. Sma u q a nou ş u q a nou. Astf u st un ponom gau o ca tc pn punct oonat q q ş q (fg..). Acsta s obţn pn ntpoa utzân funcţ fomă gau o.

63 . BARE ŞI ARBORI 55 Vctou n B n aţa (.) st B. (.9) g.. Matca gtat a mntuu (.9) st [ ] B E B A k sau înocun (.9) [ ] A E k. (.).. Vctou foţo noa a unu mnt S consă o sacnă aaă ( ) p avân untăţ foţă p untata ungm stbută în ungu mntuu baă. Lucu mcanc a un astf sacn st p u p u W. (.) Înocun (.) cuaţa (.) vn { } p q W. (.) Acasta a foma

64 5 AALIZA CU ELEMEE IIE { q } { f } W (.) un vctou foţo noa chvant a mntuu st { f } p p. (.) Pntu un mnt na cu ouă nou acă sacna aaă st unfom stbută p const. atunc { f } p (.5) sau înocun (.7) p { f }. (.) p În pocsu chvaa în fca no s apcă o foţă gaă cu jumătat n foţa totaă ca acţonază asupa mntuu. Pntu un mnt pătatc cu t nou acă p const. înocun funcţ fomă (.) în (.5) zută { f } p. (.7)..7 Asambaa matc gtat ş a vctouu foţo goba Asambaa matc gtat goba a stuctu unmnsona moat cu ba s fac aşa cum s-a aătat în. -.7 pntu gnz cu zăb. mou cu mnt fnt cu cnc nou n fg..7 a. ca no a un sngu ga btat în cţa. Dpasă noa sunt 5 (fg..7 b). Vctou goba a pasăo noa st { } 5. oţ noa sunt 5. Vctou goba a foţo noa st { } 5. Matca gtat gobaă nusă [ ] K joacă ou unu facto popoţonatat înt c o vcto goba

65 . BARE ŞI ARBORI 57 { } [ ] { } K. g..7 Asambaa matc [ ] K n matc mnto poat f pcată ngtc. S consă mpu nga fomaţ a mntuu { } [ ] { } q k q U sau EA U. Acasta s ma poat sc în funcţ vctou goba a pasăo 5 5 EA EA EA EA U sau { } [ ] { } K ~ U

66 58 AALIZA CU ELEMEE IIE un [ K ~ ] st matca gtat panată a mntuu. Acasta a mnsuna matc gtat goba a mnt matc [ k ] sunt pasat în n ş cooan t ş patu a matc [ K ]. Enga fomaţ a întg stuctu poat f cacuată pn smpa însuma a ngo fomaţ a mnto { } [ K ~ ]{ } { } [ K ~ ] { } U U astf că a f ca în (.7) matca gtat gobaă st gaă cu suma matco gtat panat a mnto [ ] [ K ~ ] K. Acasta st o pcaţ agbcă convnabă a pocsuu asamba ncoată apcată în pactcă. Cofcnţ matco mnto [ ] k sunt ampasaţ în pozţ cospunzătoa n matca gobaă [ K ] pn aşa-numta mtoă ctă p baza conctvtăţ mnto. Cofcnţ ca s supapun sunt aunaţ ct upă cum s-a aătat în. pntu gnz cu zăb. Baza fzcă o pzntă aunaa ngo fomaţ a mnto. Matc mnto pot f scs E A E A [ k ] [ k ] E A E A [ k ] [ k ]. 5 5 Dasupa ş a apta matco gtat a mnto s ncă numotaa cooonato în matca gtat gobaă p baza tabouu conctvtat n abu. abu. Emntu ou j 5

67 . BARE ŞI ARBORI 59 Rzută matca gtat gobaă nusă [ ] A A A A A A A A A A A A A A A A E K. Vctou goba a foţo noa st { } R 5. Ecuaţ fna chbu s stabsc aşa cum s aată în.5 utzân conţa a mtă. Matca gtat usă (nsnguaă) s obţn mnân pma n ş pma cooană a matc nus a vctou us a foţo mnân pmu mnt. D fapt acsta nu sunt înătuat c mmoat pntu cacuu uto a acţun R. nsun s tmnă apo n foţ aa utzân aţa (.)...8 Efctu ptnsonă o aung spcfcă nţaă ε pousă înt-un mnt baă. Acasta poat povn n acţun tmc sau pn montaa cu pstâng a bao atotă oo fabcaţ. Raţa tnsun aung spcfcă în pznţa u ε a foma ( ) ε ε σ E. (.8) Lucu mcanc a foţo noa toa apcat pntu anuaa pîncăcă nţa atot u ε st A E V V W V V ε ε ε σ ε σ. (.9) Înocun (.) psa (.9) vn

68 AALIZA CU ELEMEE IIE W { q } E A B ε. (.) Acasta a foma (.) un vctou foţo atot pstâng nţa st sau c { f } E A B ε E A B ε (.) { f } E A ε E A ε { } f ε E A. (.) Rzovân în funcţ pasă noa zută tnsun σ E În cazu încăcă tmc q q ( E ) ε. (.) ε α (.) un α st cofcntu ata tmcă naă ş vaaţa m a tmpatu mntuu.. Emnt pan abo Dn Rzstnţa matao s şt că un abo cu amtu ş ungma nt-un mata avân mouu astctat tansvsa G soctat un M t π momnt tosun M t s ăsucşt cu unghu θ un I p st G I momntu nţ poa a scţun tansvsa a abou. Rgtata M G I t p tosonaă a abou st K. θ Un mnt fnt abo cu ouă nou cu ungma ş mouu gtat G I st pzntat în fg..8. Momnt ăsuc noa M ş p M pot f pmat în funcţ ot noa θ ş θ utzân cuaţ chbu ş aţ înt momnt ş unghu ăsuc p

69 . BARE ŞI ARBORI M M M M K θ K θ pntu pntu θ θ. (.5) sau connsat un Ecuaţ (.5) s pot sc matca sub foma M M K K K θ K θ { M } [ k ] { θ } [ ] G I p st matca gtat a unu mnt abo. (.) k (.7) g..8 Staba ps matc gtat a abou st în pncpu ntcă ca a matc gtat a unu mnt baă soctat aa. Smatata apa atotă faptuu că cuaţ fnţa chbu pntu c ouă pobm au acaş fomă matmatcă. Ecuaţa fnţaă a pasă a ăsuc st θ M t (.8) GI p în tmp c pntu pasaa aaă st (.) u. (.9) E A Unghu ăsuc a un scţun oaca n ntou mntuu abo poat f pmat în funcţ ot scţuno nouo θ ş θ ( ) θ ( ) θ (.5) θ

70 AALIZA CU ELEMEE IIE un () ( ) ş () ( ) (.5) sunt funcţ fomă a mntuu abo acaş ca c a mntuu baă soctat aa. La f ca în (.) matca gtat a mntuu abo s poat cacua n aţa sau un zută [ k ] G I p G I p [ k ] G I p [ k ] (.5) (.5). (.5) Matca (.5) st utzată pntu a sc compotaa a tosun a mnto fnt gaj upă cum psa (.) st foostă pntu a sc compotaa aaă a mnto fnt gnă încnată. Cân scţun tansvsa nu sunt aa-smtc momntu nţ poa I p s înocuşt pn momntu nţ a tosun I t. Empu. La baa n fg. E. avân 5mm m E GPa încăcată cu o foţă aaă k să s tmn: a) pasaa scţun b) tnsun n ba ş c) acţun în încastă. g. E.

71 . BARE ŞI ARBORI Rzova. a) Baa st moată cu t mnt fnt. A scţuno tansvsa sunt π A 9 mm A Matc gtat a mnto sunt [ k ] [ ] [ k ] 9 π ( ) A 87 mm mm 87 k 87. mm Matca gtat gobaă nusă st K [ ] Ţnân cont conţ a mtă (ga btat ş sunt bocat) cuaţ chbu s pot sc R R Rţnân numa a oua ş a ta cuaţ zută sstmu. cu souţ mm mm. b) Racţun s obţn n pma ş a pata cuaţ R R c) nsun sunt

72 AALIZA CU ELEMEE IIE 5 σ E ε E E 7 mm σ E ε E E 879 mm 5 σ E ε E E. mm Empu. Un supot constân nt-o baă oţ montată făă joc în ntou unu tub fontă st soctat o foţă aaă k ca în fg. E.. S consă A mm A 8 mm E GPa E GPa m. Să s tmn: a) scutaa ansambuu b) tnsun n fca mata ş c) foţ ntoa n baă ş tub. g. E. Rzova. a) Utzân un mo cu ouă mnt fnt matc gtat a mnto sunt [ k ] [ ] mm 8 5 k 8. mm Matca gtat gobaă nusă st [ ] K mm

73 . BARE ŞI ARBORI 5 c Dacă punctu st bocat cuaţ chbu au foma 9 R 5 87 mm pasa gaă cu scutaa bao. b) nsun sunt 5 87 σ E ε E E 9 mm 5 87 σ E ε E E 5. mm c) oţ aa au vao σ A 9 8 k σ A k. α Empu. Baa n fgua E. st încăztă unfom cu 8. Dacă E GPa ş 7 g - s c să s tmn tnsun tmc. C g. E. Rzova. Întâ s tmnă acă pn încăz baa atng pt n apta. Dacă pt n-a sta atunc pasaa punctuu a f Δ α mm > mm c baa atng pt. otân cu A aa scţun tansvsa foţ (.) sunt

74 AALIZA CU ELEMEE IIE 5 f α. { } E A 7 8 A 78 A Matca gtat st [ k] 5 A 8 mm Doac punctu st f cuaţ chbu au foma 5 A 8 un s obţn acţun. R R 78A 78 A R 78A A A R A. nsun noma sunt Empu. R σ. A mm O baă scţun constantă st fabcată n ouă mata ft ca în fg. E.. Dacă tmpatua păţ cnta - cşt cu ca apa în baă. C s c tnsun g. E. Rzova. Baa st moată cu t mnt fnt tuss. Matc gtat a mnto sunt EA [ k ] [ k ] [ ] E A k. Pntu mntu vctou foţo noa tmc st { f } E A α.

75 . BARE ŞI ARBORI 7 Utzân conţ a mtă cuaţ chbu pot f scs R A E A E R E E E E E E E E E E E E A α α. Sstmu fomat a oua ş a ta cuaţ A E E E E E E E A α a souţ E E E α E E E α. Aung spcfc a mnto sunt E E E α ε ε E E E α ε. nsun au ps E E E α ε σ σ σ α α ε σ E E E E. Empu.5 Un şuub n oţ cu ungma actvă mm ş amtu mm δ a ft smpu cu pasu mm. Şuubu st montat în ntou unu tub n cupu cu amt mm ş mm 8 D (fg. E.5 a). S otşt puţa până s opşt apo s stâng un sft otaţ. Să s tmn tnsun n şuub ş tub acă a oţ GPa 8 E ş a cupu GPa E. Rzova. Ansambu st moat cu ouă mnt fnt baă ca în fg. E.5b. Amb mnt sunt bocat în punct ş c. Pobma a o constâng

76 8 AALIZA CU ELEMEE IIE mm. În gna astf conţ s pogamază pn mtoa pnatăţo. În contnua s ă o zova ctă ma smpă. a souţ g. E.5 A scţuno tansvsa sunt π δ π ( D ) A 785 A 7 mm Matc gtat a mnto sunt [ k ] [ ] mm k. mm Ecuaţ chbu s scu 5 Sstmu fomat n a oua ş a ta cuaţ 5 R. R mm

77 . BARE ŞI ARBORI 9 sau 5. 5 Înocun acst vao în aţa constâng zută 5 5. nsun au vao σ 8 A 785 mm σ 5. A 7 mm Empu. La baa n fgua E. cu scţuna tansvsaă vaabă na ( ) A A să s cacuz pasaa capătuu b sub acţuna foţ utzân ouă mnt fnt baă cu scţun vaabă. g. E. Rzova. Matca gtat a unu mnt baă cu scţuna tansvsaă vaabă st E [ k ] A. La baa n fg. E. împăţtă în ouă mnt fnt ungm gaă matc gtat a mnto sunt

78 AALIZA CU ELEMEE IIE 7 [ ] 5 E A A E k [ ] 7 E A A E k. Înocun cuaţ chbu pot f scs R EA Rzovân sstmu fomat a oua ş a ta cuaţ EA s obţn 5 E A 5 8 E A. Doac s-a ams o vaaţ apomatvă naă a câmpuu pasă mnt fnt au fomaţ spcfc constant c zută o vaaţ în tpt a tnsuno în ungu ba. Empu.7 Să s stabască matca gtat a ba n fg. E.7 connsân p baza conţ. Să s moz baa cu: a) ouă mnt na cu ouă nou; b) un mnt pătatc cu t nou. Să s comntz zutat. g. E.7 Rzova. a) baa moată cu ouă mnt na. Matc gtat a mnto sunt

79 . BARE ŞI ARBORI 7 [ ] [ ] EA k k. Matca gtat gobaă nusă st [ ] EA K. Ecuaţ chbu s pot sc EA. Pntu n utma cuaţ zută ca c psupun un câmp na pasă în ntou ba. Pm ouă cuaţ au foma EA EA ş upă înocua u vn EA EA ca c s ma poat sc EA un mmbu stâng conţn matca gtat a mntuu na cu ouă nou. b) baa moată cu un sngu mnt baă pătatc cu t nou. Ecuaţ chbu s pot sc

80 AALIZA CU ELEMEE IIE EA. Connsân n conţa zută. Pm ouă cuaţ s scu EA EA ş upă înocua u EA EA ca c s poat sc EA un matca n mmbu stâng st cha matca unu mnt baă stabtă cu ajutou uno ponoam na. c) Obsvaţ. Înocun în psa ng fomaţ (.8) zută EA U EA U

81 . BARE ŞI ARBORI 7 U EA. Pntu p const. ucu mcanc a foţo noa st W W p p p. S poat tag concuza că ntouca tmnuu gau o în cuaţa (.) nu mofcă matca gtat ş vctou foţo utzat în mo cunt. otauna cân funcţ amsb utzat a sca câmpuu pasă fomază souţa omognă comptă a cuaţ fnţa chbu (.) matca gtat zutată ş vctou foţo chvant sunt act. Acasta oac aşa cum s aată în captou umăto oa pata omognă souţ conţn paamt npnnţ în apot cu ca s mnmzază nga potnţaă totaă. Paamt ca apa în souţa patcuaă sunt pscş ş nu ntvn în pocsu mnmza. Doac matca gtat ş vctou foţo sunt act zută că ş pasă noa sunt act. otuş pasă în ntou mnto pn souţa gnaă (omognă pus patcuaă). omuaa convnţonaă bazată p un ponom na conuc a vao act a pasăo în ntou mnto numa atunc cân p. În cazu cân p const. pasă act în ntou mnto s pot obţn n aţa (.5). otuş înanta utză aţ (.5) vaaba tbu tmnată p baza pasăo noa (cacuat pntu mntu na convnţona) nt-o cuaţ gătuă înt ş cat vaab noa obţnută pn mnmzaa ng potnţa tota în apot cu a nvu mntuu. Empu.8 S consă un baţ obot cu scţuna constantă ca s otşt cu vtza unghuaă constantă ω a s (fg. E.8 a). Să s tmn stbuţa tnsuno noma n baă atot sacn cntfuga utzân: a) ouă mnt pătatc ş b) t mnt na. Rzova. Asupa ba acţonază o sacnă cntfugaă aaă stbută na

82 7 AALIZA CU ELEMEE IIE un ρ Aω p. ( ) p p g. E.8

83 . BARE ŞI ARBORI 75 a) În fg. E.8 b s pzntă un mo compus n ouă mnt fnt pătatc. Mou a patu ga btat. Matc gtat a mnto sunt [ ] [ ] EA k k. Matca gtat gobaă nusă st [ ] EA K. Sacna aaă ca acţonază asupa co ouă mnt poat f scompusă ca în fg. E.8 c. oţ noa chvant cu o sacnă stbută na s cacuază cu aţa (.) { } ( )( ) ( ) ( ) p p p f ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ un ξ ş funcţ fomă (.) sunt fnt p un ntva [ ]. În cazu încăcă cu o sacnă unfom stbută acsta sunt at (.7). Sacn stbut n fg. E.8 c sunt înocut pn foţ noa chvant aătat în fg. E.8. Vcto foţo noa a mnto sunt { } p f { } p f. Utzân conţa a mtă cuaţ chbu pot f scs p p p p p R EA.

84 7 AALIZA CU ELEMEE IIE Emnân pma n ş pma cooană s obţn matca gtat gobaă usă ş vctou us a foţo goba ca conuc a souţa 7 p 8 E A 88 p 8 E A 7 p 8 E A 5 8 p. 8 E A Dpasă noa pot f compaat cu souţa actă S obţn p u. (a) ( ) E A 7 p u p u 8 E A 8 E A 7 p 8 E A u () p u. E A Vao pasăo noa cacuat cu mtoa mnto fnt sunt act. Acasta s atoşt chvaă noa a foţo. În tmp c pasă noa sunt act pasă în ntou mnto sunt apomatv oac stbuţa cubcă actă (a) st înocută pnt-o g pătatcă. Vctou n B ca pmă fomaţ spcfc în funcţ pasă în (.9) st at B. ξ ξ 8ξ Aung spcfc sunt p ε ( ) ( 5 ξ ) 8EA p ε ( 5 ) ( 9 8ξ ) 8EA un zută umătoa vao noa 5 p p ε 9 p ε p ε p ε ε 5. 8 EA 8 EA 8 EA 8 EA 8 EA nsun noma cospunzătoa sunt 5 p p σ 9 p σ p σ p σ σ 5. 8 A 8 A 8 A 8 A 8 A nsun pot f compaat cu souţa actă

85 . BARE ŞI ARBORI 77 p σ (b) ( ) A n ca s obţn umătoa vao a nou p. 5 p σ ( ) 8 A σ 8 A 8 p σ 8 A. 5 p 8 A σ. σ ( ) În fg. E.8 s pzntă o agamă a stbuţ tnsuno. b) În fg. E.8 f s pzntă un mo compus n t mnt fnt na. Mou a patu ga btat. Matc gtat a mnto sunt [ ] [ k ] [ k ] EA k. Sacna aaă ca acţonază asupa co t mnt poat f scompusă ca în fg. E.8 g. oţ noa chvant cu o sacnă stbută na s cacuază cu aţa (.). Dacă p ş p sunt ntnstăţ un sacn stbut na a nou ş spctv atunc p ( ) p ( p )ξ ξ p [ ] p p ξ ξ ξ p p { } ξ f p p ( p p ) un p p p foţ noa s cacuază n aţa (.). ξ ş funcţ fomă (.) sunt fnt p un ntva [ ]. Pntu Sacn stbut n fg. E.8 g sunt înocut pn foţ noa chvant n fg. E.8 h. Vcto foţo noa a mnto sunt p { f } p { f } 5 p { f } Utzân conţa a mtă cuaţ chbu pot f scs

86 78 AALIZA CU ELEMEE IIE EA Dn utm t cuaţ s obţn p 8 E A Vctou n B (.9) st at p 8 E A 5R p p p p. 8 E A E A ca agă fomaţ spcfc pasă în B Aung spcfc sunt p p p ε ε ( ) ε ( ) 7 EA 7 EA 7 EA fn constant în ntou fcău mnt. nsun noma cospunzătoa sunt p σ p σ p σ. 7 A 7 A 7 A În fg. E.8 acsta sunt compaat cu c cacuat n aţa (b). Empu.9 Să s aat că funcţ fomă pntu un mnt baă cubc cu patu nou în cooonat oca au foma 9 () ( ) 7 () ( )( ) 7 () ( )( ) 9 () ( )..

87 5. GRIZI CADRE ŞI GRILAJE Ca sunt stuctu n mnt ntconctat g tpu bao încastat a capt sau gnzo. În pogam anază cu mnt fnt acst tp baă st numt bam. Gnz sunt ba soctat pn sacn tansvsa ntconctat pn gătu g ca au ot tmnat ş ca în afaa foţo tansmt momnt încovotoa a un mnt a atu. Mo matmatc unmnsona a gnzo pt (numt uno gşt ba) s bazază p ouă to: toa Bnou-Eu în ca s ngjază fomaţ tansvsa fofca ş toa Bss ca consă o stbuţ apomatvă naă a unghuo unca spcfcă n scţuna tansvsaă. Compotaa gnzo st scsă cuaţ fnţa chbu onu patu a pasă au contnutat tp C. Acasta psupun contnutata pasăo tansvsa ş a panto în ntou mnto ş ma as înt mnt aacnt. Mou gnă cu fofca s apcă mnto n casa C. S aoptă potza că scţun ămân pan a nu napăat ppncua p supafaţa fomată nută. Acasta conuc a ntouca un uncă spcfc m constant p înăţma scţun tansvsa. În acst paagaf întâ s pzntă mntu fnt gnă pană (bam) Bnou-Eu fnt în cooonat oca apo mntu fnt cau (fam) ca moază o gnă încnată ş mntu fnt gaj. În fna s sc mntu fnt gnă cu fofca. 5. Dsctzaa cu mnt fnt Un cau pan st împăţt în mnt fnt ca în fg. 5.. ca no a t ga btat ouă pasă na ş o ot. Ga btat a nouu sunt pasaa în ungu a X pasaa în ungu a Y ş ota faţă aa Z.

88 8 AALIZA CU ELEMEE IIE ou sunt ocazat pn cooonat o în sstmu fnţă goba XOY a conctvtata mnto st fntă utzân nc nouo. Emnt moat ca gnz cu scţuna constantă făă fomaţ fofca ş făă sacn apcat înt nou au mouu gtat a încovo E I ş ungma. g. 5. În contnua s stabsc funcţ fomă pntu mntu gnă pan Bnou-Eu apo s cacuază matca gtat a unu mnt întâ în sstmu cooonat oca apo în sstmu goba. Matc sunt apo panat a mnsuna stuctu ş însumat pntu a obţn matc goba nus. Impunân conţ a mtă s cacuază matca gtat gobaă usă ca împună cu vctou foţo noa sunt utzat în anaza statcă. g. 5.

89 5. GRIZI CADRE ŞI GRILAJE 8 S consă un mnt baă încnat ca în fg. 5. a în ca s aată pasă noa ş a sstmo fnţă. În sstmu cooonat fzc oca aa ontată în ungu ba a ogna în capătu n stânga a ba ş st încnată cu unghu θ faţă aa gobaă X. S ma poat foos ş un sstm cooonat ntnsc (natua). Vctou pasăo noa a mntuu în cooonat oca st { } q q q q q q q 5 (5.) a vctou foţo noa (s ncu ş momnt) a mntuu poat f scs { } f f f f f f f 5. (5.) oţ (ş momnt) f f f 5 f ş pasă cospunzătoa q q q scu încovoa mntuu (fg. 5. b) în tmp c foţ 5 q f f ş pasă q q scu fct aa (fg. 5. c). Acţuna o st cupată astf că matc spctv a mntuu pot f cacuat spaat. 5. Anaza statcă a un gnz cu scţuna constantă În contnua s consă gnz cu scţuna tansvsaă smtcă faţă panu sacno apcat (fg. 5.). Dfomaţ tansvsa fofca s ngjază ca în toa cască a gnzo Bnou-Eu. Asupa gnz acţonază oa sacn tansvsa foţ aa fn ngjat. g. 5. Dpasaa aaă a unu punct n scţuna tansvsaă stuat a stanţa aa nută st apomatv v u ϕ (5.)

90 8 AALIZA CU ELEMEE IIE un v st săgata a ba în scţuna ş ϕ v st ota scţun tansvsa (sau panta) în. Aung spcfc sunt u v ε χ (5.) un χ v st cubua a fomat a ba. nsun noma n scţuna tansvsaă sunt at ga u Hook v σ E ε E (5.5) în ca E st mouu astctat ongtuna a matauu. Momntu încovoto s cacuază p baza stbuţ tnsuno p înăţma scţun tansvsa v M ( ) σ A EI EI χ z A z (5.) un I z st momntu nţ a scţun tansvsa faţă aa nută z. Smnu mnus st ntous oac momntu M poztv st jat în snsu ngatv a a z (p faţa cu nomaă toaă ngatvă) ş pouc o cubuă poztvă. Pousu E I st mouu gtat a încovo a gnz. oţa tătoa st ată z M III ( ) EI EI v z Sacna tansvsaă p untata ungm a ba st v p z IV ( ) EI EI v Ecuaţa fnţaă chbu s sc v z z. (5.7). (5.8) v EI z p ( ). (5.9) Confguaţa chbu s obţn n o cuaţ fnţaă onu patu avân ca souţ un ponom gau t ca conţn patu constant ntga. Acsta s tmnă n patu conţ a mtă cât ouă a fca capăt a gnz. Estă conţ a mtă gomtc sau cnmatc mpcân pasaa tansvsaă ş panta ş conţ a mtă fzc mpcân momntu încovoto ş foţa tătoa.

91 5. GRIZI CADRE ŞI GRILAJE 8 5. Gna făă sacn înt capt La o gnă cu scţuna constantă nîncăcată înt capt p ş n cuaţa (5.9) zută v. Intgân patu o s obţn pasaa tansvsaă (săgata) v scsă un ponom gau t ( ) a a a a v. (5.) În (5.) c patu constant ntga a a a a pot f tmnat n conţ a mtă gomtc ca ncu săgata ş panta a c ouă capt (fg. 5.): a v v q ş v ϕ q ; (5. a) a v v q5 ş v ϕ q. (5. b) S obţn g. 5. v ϕ v ϕ a a a a Pn nvsa constant ntga a a a a pot f cacuat în funcţ pasă noa v ϕ v ϕ astf încât săgata gnz s pmă în funcţ pasă noa. 5.. uncţ fomă Dpasaa tansvsaă (săgata) poat f pmată în funcţ pasă noa sub foma.

92 AALIZA CU ELEMEE IIE 8 ( ) { } q v (5.) un st vctou n a funcţo fomă ca sunt ponoam gau t numt ponoam hmtn cubc ş { } q ϕ ϕ v v. (5.) Utzân cooonat natua cu a nou ş a nou (5.) pasaa tansvsaă poat f scsă sub foma () () () () () v v v v v. (5.5) Doac tansfomaa cooonato s fac confom aţ (5.) ş oac st ungma mntuu. (5.) Cacuân vata v v (5.7) aţa (5.5) vn () () () () () v v v v v (5.8) sau () 5 q q q q v. (5.9) În psa (5.) vctou n a funcţo fomă st. (5.)

93 5. GRIZI CADRE ŞI GRILAJE 85 uncţ fomă tp Hmt sunt ponoam cubc ca satsfac conţ a mtă at în abu 5. un smnu pm ncă vaa în apot cu vaaba. abu 5. Impunân conţ ma sus uno ponoam gau t cu patu constant abta s obţn ps funcţo fomă a mntuu bam în cooonat natua (5.) pzntat gafc în fg. 5.5: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (5.) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). g. 5.5

94 AALIZA CU ELEMEE IIE 8 S poat vfca uşo că a nou q v ş q v a a nou q 5 v ş q v. 5.. Matca gtat a unu mnt gnă Enga fomaţ U a unu mnt gnă st E I U v. (5.) Dn aţa (5.7) s obţn v v ş v v. Înocun (5.) zută { } q v. (5.) Rcân a pătat s obţn { } { } q q v v v ca s ma poat sc { } { } q q v. (5.) Înocun (5.) ş (5.) în (5.) s obţn nga fomaţ a mntuu { } { } q EI q U 8 (5.5) ca a foma

95 5. GRIZI CADRE ŞI GRILAJE 87 U { q } [ k ] { q } B. (5.) Compaân (5.5) cu (5.) s obţn matca gtat a mntuu pntu încovo sau [ k ] B 8EI [ kb ] ( ) (5.7) 8EI ( ). (5.8) ( ) ( ) Înocun funcţ fomă (5.) ş zovân ntga s obţn matca gtat a mntuu pntu încovo în cooonat oca [ k ] B EI. (5.9) (.9) O mtoă ftă cacu a matc (5.9) s bazază p aţa gnaă [ ] B E B k V. (5.) V Cubua χ (5.) s poat pma în funcţ pasă noa un vctou B st B { q } B { q } v χ (5.). (5.) Înocun (5.) ş V A în (5.) s obţn matca (5.9).

96 88 AALIZA CU ELEMEE IIE 5.. Smnfcaţa fzcă a mnto matc gtat Matca gtat a unu mnt (5.9) pmă vctou foţo noa în funcţ vctou pasăo noa f f f f 5 EI q q q q un mnt gnă cu capătu f ( q ) 5. (5.) q 5 ş capătu avân o pasa gaă cu untata în ungu a goba Y ş ot nuă q q ca în fgua 5.. ( ) Raţa (5.) s poat sc un s obţn f f f f 5 k k k k f k k g q. q. q. q 5 (5.) f f 5 k f k. (5.5) Rzută că pma cooană a matc gtat pzntă foţ ş momnt ca tbu apcat mntuu gnă pntu a- mnţn în chbu cân q ş toat cat pasă sunt nu. Ecuaţ chbu a foţo vtca ş momnto sunt k k k k k. (5.)

97 5. GRIZI CADRE ŞI GRILAJE Gna cu sacnă stbută înt capt La o gnă încăcată înt capt p v în cuaţa (5.9) ş foma fomată a gnz nu ma st scsă un ponom gau t. otuş acsta pzntă souţa omognă a cuaţ fnţa. Utzân ponoam cubc ca funcţ fomă pasă noa cacuat sunt act. În ntou mnto pasă momnt încovotoa ş foţ tătoa sunt onat. Cân sacna tansvsaă st unfom stbută p const. souţa gnaă a cuaţ (5.9) st un ponom gau patu. C cnc constant ntga tbu tmnat n cnc conţ a mtă. Pobma s zovă aăugân un no nto în mjocu mntuu ş smnân săgata în mjoc pt a cnca pasa noaă. v st un ponom gau cnc cu şas constant abta. Acsta pot f tmnat aăugân pasăo noa pasaa tansvsaă ş panta a mjocu mntuu. Aşa cum s-a aătat în Captou cşta gauu funcţ ca sc pasaa în ntou unu mnt st chvantă cu ntouca nou ntoa. În cazu un sacn tansvsa stbut na ( ) Cu toat acsta în pactcă s pfă utzaa uno funcţ fomă apomatv ga nfo ca să asgu satsfaca conţo mnm convgnţă. uncţ fomă cubc zovă pobma. Acsta pot f însă utzat oa acă mntu a moù gtat a încovo E I z constant ş nu st încăcat înt nou. La ba cu sacn tansvsa souţa constă în înocua sacn stbut a pn foţ noa chvant. 5.. Vctou cont a foţo noa stbută în ungu mntuu gnă. Lucu mcanc a sacn stbut st S consă o sacnă tansvsaă p ( ) W v p v p. (5.7) Înocun (5.) psa (5.7) vn Acasta a foma W { q } { q } { f } un vctou foţo noa chvant st p. (5.8) W (5.9)

98 9 AALIZA CU ELEMEE IIE { f } p ( ) p (). (5.) Pntu mntu hmtan cu ouă nou acă sacna tansvsaă st unfom stbută p const. vctou foţo noa cont st sau înocun (5.8) { f } p { f } p p p p (5.). (5.) În fg. 5.7 a s obsvă că f st o foţă tătoa ş f st un momnt. Acsta s numsc foţ noa cnmatc chvant oac înocusc o sacnă stbută p () ponată cu funcţ fomă ( ) astf încât fctuază acaş ucu mcanc. E sunt cont oac s cacuază utzân acaş funcţ fomă ca pntu matca gtat. a b c g. 5.7 oţ cnmatc chvant sunt c ca acă sunt apcat în snsu conta pt constâng mnţn toat pasă noa nu în pznţa încăcă a. Înocua sacn p const. cu foţ chvant statc (fg. 5. b) a f ncoctă oac mntu gnă st încastat a capt acă st

99 5. GRIZI CADRE ŞI GRILAJE 9 încastat în mnt gnă aacnt. Pntu a asgua contnutata C înt mnt foţ noa tbu să ncuă momnt încovotoa nu numa foţ tătoa. oţ noa chvant pntu sacn stbut na sunt at în fgu 5. c an. oţ cnmatc chvant pouc pasă ca nu conc cu c pous încăcaa aă (v. Empu 5.). A consa o fomă fomată apomatvă în ocu c avăat st sma cu a psupun stnţa uno încăcă fctv ca foţază gna să abă foma fomată apomatvă spctvă. Acasta chvaază cu apcaa asupa gnz a uno constâng supmnta c cu gzaa. Dfomaţ acstu mo cu mnt fnt supag sunt ma mc în m cât fomaţ stuctu a. Susa o povn n aga abtaă a funcţo fomă. Cha acă acsta sunt astf constut încât să satsfacă a capt conţ a mtă gomtc chbu în ntou mnto nu st azat atotă fnţ înt sacna apcată p ( ) ş zstnţa zuaă nchbată. IV E I z v ca pouc un f foţă Cu cât mntu st ma mc cu atât ma mcă st oaa c s aştaptă o cşt a pcz pn cşta număuu mnt cu ca s moază acaş stuctuă c pn afnaa ţ. O souţ coctă a tbu să tnă monoton sp vaoaa avăată pn vao cscătoa a pasăo. S spun că souţa cu mnt fnt pzntă o mtă nfoaă. Acasta s apcă oa ng fomaţ ş nu pasăo sau tnsuno înt-un punct. nsun oca pot f ma ma cât c avăat. Utzaa funcţo cubc pntu câmpu pasă mpcă momnt încovotoa (c tnsun) cu vaaţ naă ş s şt că p poţun cu sacn unfom stbut momnt încovotoa vaază paaboc. Empu 5. Să s cacuz săgata a mjocu gnz smpu zmat n fg. E5. încăcată cu o sacnă unfom stbută. g. E5.

100 AALIZA CU ELEMEE IIE 9 Rzova. Moân gna cu un sngu mnt fnt sacna stbută st înocută cu ouă momnt concntat a capt. Utzân conţ a mtă ş foţ noa chvant cuaţ chbu s pot sc 5 p p p p q q q q I E z. Sstmu cuaţ în pasă ncunoscut st ( ) ( ) p q q EI p q q EI avân souţ EI p q q. Săgata a mjocu gnz st EI p q q 9 v. Souţa avăată st EI p av 8 5 v c souţa apomatvă obţnută cu mntu fnt st cum a aştptat ma mcă v av v uncţ ntpoa ga supo În contnua s anazază posbtata apomă pasăo unu sstm onu patu pnt-un ponom gau patu foma

101 5. GRIZI CADRE ŞI GRILAJE 9 ( ) 5 a a a a a v. (5.) C cnc constant ntga 5 a a a a a n (5.) pot f tmnat în funcţ pasă ş pant a capt ş pasaa nouu nto a mjocu mntuu (fg. 5.8): a v v ş ϕ v a v v ş ϕ v (5.) a v v un zută pasă noa în funcţ cofcnţ ponoma 5 8 a a a a a v v v ϕ ϕ. Pn nvsa s obţn v v v ϕ ϕ a a a a a. Săgata gnz st ată o ps foma (5.) ( ) { } 5 v v v v ϕ ϕ q (5.5) un funcţ fomă gau patu sunt

102 9 AALIZA CU ELEMEE IIE ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ( ) ( ) (5.) ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ( ) ( ). 5 g. 5.8 Înocun funcţ fomă (5.) în aţa (5.7) ş cacuân ntga s obţn matca gtat a mntuu [ k ] B EI sm (5.7) Pntu p const. vctou cont a foţo noa (5.) st { f } 7 p p 7 p p 8 p 5. (5.8)

103 5. GRIZI CADRE ŞI GRILAJE Momntu încovoto ş foţa tătoa Utzân psa momntuu încovoto (5.) ş aţa (5.) zută { } z z z q EI EI EI M v v ( ) ( ) { } z q EI M. (5.9) oţa tătoa s obţn n aţa (5.7) { } z z z q EI EI EI 8 8 v v { } EI z q. (5.5) Pntu mnt încăcat cu sacnă unfom stbută foţ chbu a capt sunt at 5 5 p p p p q q q q EI R R R R. (5.5) Pmu tmn n mmbu pt st [ ]{ } B q k. mnu a oa constă n mnt numt acţun a capt f. oţ tătoa a c ouă capt sunt R ş 5 R. Momnt încovotoa a capt sunt R M ş R M. Pntu p acsta s obţn înocun ş în (5.9) ş (5.5). Cân. const p vao act a momntuu încovoto ş foţ tătoa în ntou mntuu sunt at ( ) ( ) p p p M M p

104 9 AALIZA CU ELEMEE IIE p p un M ş sunt at ps (5.9) ş spctv (5.5) vaab pntu p. 5.5 Conţ convgnţă mnma P măsuă c mnsun mnto sunt us scvnţa souţ a o pobmă stuctuaă tbu să convagă monoton sp zutatu coct cu conţa ca funcţ apoma a pasăo să satsfacă umătoa ct:. Un mnt tbu să sc act mşcă cop g. Dş chbu nu st satsfăcut act în oc punct nto ş a ganţ înt mnt mntu în ansambu tbu să f în chbu oac stuctua în ansambu tbu să f în chbu. Dacă s au pasăo noa vao cospunzătoa un mşcă cop g fomaţ spcfc zutat tbu să f nu a f foţ noa a pasă puncto ntoa tbu să cospună pasă cop g mpus. a. ansaţ. Dacă nou au pasă ga cu untata în ungu a (fg. 5.9 a) n aţa (5.) s obţn v ( ) ( ) ( ) const. c tot mntu s pasază în ungu a ca un cop g. b. Rotaţ. Dacă ot a nou sunt ga cu nou fn f ş nou avân o pasa în ungu a (fg. 5.9 b) n aţa (5.) zută ( ) v ( ) na c mntu a înt-avă o otaţ ca un cop g în sns antoa.

105 5. GRIZI CADRE ŞI GRILAJE 97 a b c g Un mnt tbu să smuz stă fomaţ spcfc constant. În cazu gnzo cân mnsun mnto tn sp zo acsta tbu să abă c puţn cubuă constantă. Psupunân pasă a capt nu în cţa ş ot ga cu în snsu conta (fg. 5.9 c) săgata a psa v ( ) ( ) c vata a oua (cubua) st constantă v - const. 5. Emntu cau pan Aşa cum s aată în fg. 5. un mnt gnă încnat faţă a a ş fomaţ ongtuna oac în afaa momnto încovotoa ş foţo tătoa acsta st soctat foţ aa. Doac pasă încovo ş c întn-compsun sunt cupat c ouă matc gtat pot f aunat spctân ampasaa mnto acstoa. 5.. Efotu aa oţ noa aa s pmă în funcţ pasă aa pn aţa [ k ] în ca matca gtat (.) st E A ks f q S (5.5) f q [ ]. (5.5)

106 98 AALIZA CU ELEMEE IIE 5.. Matca gtat ş vctou foţo în cooonat oca Combnân ps (5.5) ş (5.9) pn ampasaa mnto în pozţa cospunzătoa s obţn matca gtat a unu mnt cau pan [ k ] E A E A EI EI EI EI EI EI EI EI E A E A EI EI EI EI EI EI. (5.5) EI EI În psa (5.5) apotu înt mnt ca scu încovoa ş c ca scu întna st onu ( ) un st aza nţ. La ba zvt acst apot poat f înt ş 5 c matca gtat poat f ău conţonată numc. La mnt încăcat cu o sacnă tansvsaă unfom stbută vctou foţo noa cont st { f } p p p p. (5.55) 5.. ansfomaa cooonato În fg. 5. s pzntă un mnt cau pan în staa nţaă ş ca fomată. Pntu nou pasă na oca q ş q sunt pmat în funcţ pasă na goba ş pn aţ q q cosθ snθ snθ cosθ. (5.5) Raţ (5.5) pot f scs matca sub foma

107 5. GRIZI CADRE ŞI GRILAJE 99 c s s c q q (5.57) un θ cos c ş θ sn s. Dpasă unghua (ot) sunt acaş în amb sstm cooonat q. (5.58) g. 5. Aăugân aţ sma scs pntu nou 5 5 c s s c q q q (5.59) zută { } [ ] { } q. (5.) un { } q st vctou pasăo mntuu în sstmu cooonat oca { } st vctou pasăo mntuu în sstmu cooonat goba ş [ ] c s s c c s s c (5.) st matca tansfoma n cooonat oca în cooonat goba.

108 AALIZA CU ELEMEE IIE 5.. Matca gtat ş vctou foţo în cooonat goba Utzân acaş pocu ca în.7 s obţn matca gtat a mntuu cau pan în cooonat goba [ ] [ ] [ k ] [ ] K. (5.) oţ noa ca înocusc o sacnă unfom stbută p sunt at { } [ ] { f } oţ { } s aaugă vctouu goba a foţo.. (5.) 5.7 Asambaa matc gtat goba Matca gtat gobaă [ K ] st asambată n matc mnto [ ] K utzân matc conctvtat a mnto [ ~ ] ca stabsc gătua înt pasă noa a nvu mnto ş pasă noa a nvu întg stuctu pn aţ foma { } [ ~ ] { }. (5.) Matca gtat gobaă nusă st gaă cu suma matco gtat panat a mnto un [ ] [ K ~ ] K (5.5) [ ] [ ~ ] [ K ] [ ~ ] K ~. (5.) Utzân conţ a mtă s cacuază matca gtat gobaă usă ş vctou goba us a foţo noa ca ntvn în cuaţ K. chbu [ ]{ } { } După zovaa sstmuu cuaţo chbu c cunoscân toat pasă noa s pot cacua fomaţ spcfc a nv mnt p baza aţo (5.) (5.) ş (5.) { q } [ ] { } ε v. (5.7) Dn ga u Hook s cacuază apo tnsun.

109 5. GRIZI CADRE ŞI GRILAJE Dfomaţ spcfc ş c tnsun sunt onat. Dfomaţ spcfc sunt vat a uno pasă apomatv a vaa sca nvtab pcza. Empu 5. Să s cacuz săgata în capătu b a gnz în consoă cu scţuna în tpt n fg. E5.. g. E5. Rzova. S împat gna în ouă mnt hmtn cubc. Matc gtat a mnto sunt [ ] EI k [ ] EI k. Matca gtat gobaă nusă st [ ] 8 EI K. Utzân conţ a mtă în încasta ş mnân pm ouă n ş cooan s obţn cuaţ chbu

110 AALIZA CU ELEMEE IIE 5 EI. C t cuaţ cu mmbu pt zo pot f scs sub foma 5. un pn nvsa zută Înocun c t pasă în cuaţa cu mmbu pt ft zo ( ) EI 5 s obţn săgata în capătu gnz EI 5 5 v. Empu 5. Să s cacuz săgata în punctu ş acţun în azm a gna n fgua E5.. Rzova. S moază gna cu ouă mnt fnt tp Bnou- Eu. Asambân matc gtat a mnto foma (5.9) s obţn matca gtat gobaă nusă [ ] 8 EI K.

111 5. GRIZI CADRE ŞI GRILAJE În încasta ; în capătu smpu zmat 5. Emnân n ş cooan cospunzătoa s obţn cuaţ chbu un zută EI 8 Utm ouă cuaţ s scu g. E5. Înocun ş în pma cuaţ s obţn c v. 9 EI EI Rot sunt ϕ 9 EI ϕ. 9 EI Racţun n azm s obţn n cuaţ mnat

112 AALIZA CU ELEMEE IIE V M V EI un zută V M 8 V 5. Empu 5. Sa s cacuz săgata în punctu ş acţun a gna ubu încastată n fgua E5.. g. E5. Rzova. S moază gna cu ouă mnt fnt tp Bnou- Eu. Utzân conţ a mtă 5 cuaţ chbu s scu sub foma M V M V EI. A ta ş a pata cuaţ EI au souţ EI 8 8 v EI 7 ϕ.

113 5. GRIZI CADRE ŞI GRILAJE 5 Înocun acst pasă în cat patu cuaţ zută M V M V EI I E. Racţun n încastă au vao V 7 M 9 V 7 7 M 9. Empu 5.5 Să s cacuz ot p azm ş acţun a gna contnuă n fg. E5.5 a ca p scha n apta acţonază o sacnă tansvsaă unfom stbută. g. E5.5 Rzova. S moază gna cu ouă mnt fnt tp Bnou- Eu. Utzân conţ a mtă 5 sstmu cuaţo chbu s sc matca sub foma 8 p p V p p V V EI. Înătuân pma a ta ş a cnca n ş cooană s obţn 8 p p EI.

114 AALIZA CU ELEMEE IIE Dn pma cuaţ s obţn pasaa (a) ca st înocută în sstmu fomat a oua ş a ta cuaţ 8 p EI a cău souţ sunt ot EI p 8 ϕ EI p ϕ. (b) Înocun ot (b) în psa (a) s obţn ota EI p 9 ϕ. Racţun s cacuază n cuaţ oms p V p V V EI zutân p V p V 8 5 p V 7. Empu 5. Să s cacuz săgata ş ota (panta) în punctu a gnz încăcat cu o sacnă tunghuaă n fgua E5.. g. E5.

115 5. GRIZI CADRE ŞI GRILAJE 7 Rzova. S moază gna cu ouă mnt fnt tp Bnou- Eu. Utzân conţ a mtă 5 sstmu cuaţo chbu s sc matca sub foma V p p p M p V EI. Înătuân pma a oua ş a cnca n ş cooană s obţn p p EI. Dn utma cuaţ s obţn pasaa ca st înocută în sstmu fomat n pm ouă cuaţ p. p.... EI a cău souţ sunt EI p. 8 v EI p. 58 ϕ. Empu 5.7 Să s tmn ps funcţo fomă pntu mntu gnă cu nou n fgua E5.7 apo să s pznt gafc. Răspuns. ( ) ( ) 5 ( ) ( )

116 8 AALIZA CU ELEMEE IIE ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5 ) ( ) ( ) 5. g. E5.7 a g. E5.7 b

117 5. GRIZI CADRE ŞI GRILAJE 9 Empu 5.8 Baa cottă pană n fg. E5.8 a st atcuată a capt ş încăcată în cu o foţă ozontaă. S cunosc E m A mm ş 5 mm I. Să s tmn pasă noa ş să s tasz agam foţ aa foţ tătoa ş a momntuu încovoto. Rzova. Baa st moată cu mnt ş 7 nou. Dat ftoa a nou ou n Bocaj X Bocaj Y Bocaj Z Coo X Coo Y Dpasaa X Dpasaa Y Rota Z oma fomată st pzntată în fg. E5.8 b. Dagam foţ aa foţ tătoa ş a momntuu încovoto M sunt at în fgu E5.8 c. a b c g. E5.8

118 AALIZA CU ELEMEE IIE un momnt Empu 5.9 Cau pan n fg. E5.9 a st încastat în punct 5 ş soctat M mm ş ouă foţ concntat ş 5. Consân E mm A mm I mm mm ş 9 9 mm să s cacuz pasă în punctu ş să s tasz foma fomată. Răspuns. Cau st moat cu mnt bam ş nou. g. E5.9 a Dpasă în punctu sunt h 7 mm v 97 mm ϕ a. oma fomată st pzntată în fgua E5.9 b. g. E5.9 b

119 5. GRIZI CADRE ŞI GRILAJE 5.8 Gaj Gaj sunt ca pan soctat foţ ppncua p panu acstoa. E sunt cazu spca ca tmnsona în ca fca punct a oa t pasă noa o tansaţ ş ouă ot zutat n acţun fofca (ngjab) încovo ş ăsuc. g Dsctzaa cu mnt fnt Gaju st împăţt în mnt ca în mpu n fg. 5.. ca no a t ga btat ouă ot ş o pasa naă ppncuaă p panu gajuu. Ga btat a nouu sunt otaţa faţă aa X otaţa faţă aa Y ş pasaa în ungu a Z. ou sunt ocazat pn cooonat o în sstmu fnţă goba XOY a conctvtata mnto st fntă pn nc nouo. Emnt sunt moat ca ba cu scţuna constantă soctat a încovo ş ăsuc făă fomaţ fofca ş făă sacn înt nou. Poptăţ caactstc sunt mou gtat a încovo E I ş a ăsuc G It ş ungma. S consă oa ba cu scţun a căo cntu fofca conc cu cntu gutat Matca gtat a mntuu gaj în cooonat oca S consă un mnt gaj încnat ca în fg. 5. a în ca s aată pasă noa în cooonat oca ş în cooonat goba.

120 AALIZA CU ELEMEE IIE În sstmu oca cooonat fzc aa ontată în ungu ba st încnată cu unghu α faţă aa gobaă X. Aa z a sstmuu oca cooonat st conaă cu aa Z a sstmuu goba. Atnatv s ma poat foos un sstm cooonat ntnsc (natua). g. 5. Vctou pasăo noa a mntuu st { } q q q q q q q 5 (5.8) a vctou cospunzăto a foţo noa a mntuu s poat sc { } f f f f f f f 5. (5.9) În (5.9) f f sunt foţ tătoa a f f 5 sunt cupu ca pouc încovo (fg. 5. b). În (5.8) pasă q q sunt tansaţ în tmp c q q 5 sunt ot. Vcto cooană cospunzăto sunt gaţ pn matca gtat a încovo. Raanjân matca (5.9) zută f f f f 5 EI q q q q 5. (5.7) oţ noa aa f f sunt cupu ăsuc a pasă noa q sunt unghu ăsuc. Doac scu fct tosona acţuna o q

121 5. GRIZI CADRE ŞI GRILAJE st cupată încovo. Matca gtat spctvă poat f cacuată spaat. Ea s cacuază a f ca matca gtat pntu soctă aa. Unghu ăsuc pmat pn funcţ fomă (.5) () ( ) q ( ) q θ (5.7) poat f înocut în psa ng fomaţ U GI t θ. (5.7) După tca a cooonat natua s obţn matca gtat pntu tosun G It [ kt ]. (5.7) Datotă acst anaog foţ noa pot f pmat în funcţ pasă noa pn aţa [ k ] în ca matca gtat pntu tosun st f q t (5.7) f q GIt [ k ] t. (5.75) În psa (5.75) G st mouu astctat tansvsa a I t st momntu nţ a ăsuc a scţun tansvsa. În cazu scţuno aasmtc acastă constantă st momntu nţ poa. Pntu mntu gaj combnân mnt matco gtat (5.7) ş (5.75) s obţn matca gtat în cooonat oca ca pmă foţ noa (5.9) în funcţ pasă noa (5.8) [ k ] a EI a a a (5.7) un t a GI EI.

122 AALIZA CU ELEMEE IIE 5.8. ansfomaa cooonato Înanta asambă în matca gobaă a gajuu st ncsaă tansfomaa matc (5.7) n sstmu oca în sstmu goba cooonat. Doac cţa z a ao oca conc cu cţa Z a ao goba tbu tansfomat oa ot. ansfomaa cooonato st fntă aţa { } [ ] { } q (5.77) în ca { q } st vctou pasăo mntuu (5.8) în sstmu cooonat oca { } 5 st vctou pasăo mntuu în sstmu cooonat goba (fg. 5.) ş c s s c (5.78) c s s c [ ] în ca c cosα ş s snα st matca tansfoma a cooonat oca a cooonat goba. Acaş matc (5.78) st utzată pntu tansfomaa foţo noa n cooonat oca în cooonat goba Matca gtat a unu mnt în cooonat goba Matca gtat a unu mnt gaj în cooonat goba s obţn a f ca pntu mnt cau p baza aţ [ ] [ ] [ k ] [ ] K. (5.79) Acasta st utzată a asambaa matc gtat goba nus [ K ] foosn matc conctvtat a mnto [ ~ ] ca pmă gătua înt pasă noa a fcău mnt ş pasă noa a întg stuctu pn aţ foma (5.).

123 5. GRIZI CADRE ŞI GRILAJE 5 La sstm spjnt p azm matca nusă [ K ] st connsată utzân conţ a mtă. Efctu azmo astc poat f uat în consa aăugân gtăţ acstoa ct în matca gtat gobaă în ocaţa cospunzătoa p agonaa pncpaă. Empu 5. Gaju n fg. E5. st încastat în punct ş a E GPa G 8 GPa m ş amtu bao mm. S c să s cacuz pasaa vtcaă a punctuu 7 sub acţuna foţo tasz foma fomată. 5 ş să s 7 8 a g. E5. b Răspuns. Gaju st moat cu mnt ş 8 nou avân în tota 8 ga btat. oma fomată st pzntată în fgua E5. b. Dpasaa cută st w 7 m. Empu 5. Gaju n fg. E5. a st încastat în punct ş ş a 8 m 8 m m I 785 I t 57 E GPa ş G 8 GPa. S c să s cacuz pasaa vtcaă a punctuu 5 cân gaju st încăcat cu o foţă 5. Să s snz foma fomată ş agam momnto încovotoa ş ăsuc.