DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE"

Μελαινη Κοντόσταυλος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data: februarie 2011 Autor: Valentina Cicu şi Ion Cicu, Şcoala nr.9, Bucureşti În cele ce urmează vom defini distanţa dintre două drepte necoplanare şi vom da un mod de calcul a acesteia fără a fi necesar să cunoaţem poziţia segmentului care defineşte distanţa. Vom încheia prin a prezenta câteva aplicaţii. Definiţie Dacă a şi b sunt două drepte necoplanare, M a şi N b astfel încât MN a şi MN b, atunci MN reprezintă distanţa dintre dreptele a şi b. Propoziţia 1. Fie A un tetraedru de volum v. Dacă AA BB CC şi AA = BB = CC, atunci ABCA este o prismă şi V ABCA = 3v. Demonstraţie Din construcţie avem ABB A, BCC, ACC A sunt paralelograme, de unde rezultă (ABC) (A ) şi ABC A, aşadar ABCA este o prismă. Acum, tetraedrul A este echivalent cu tetraedrul BA (au acelaşi volum) pentru că A ABC = A A, iar h A = dist(a, (ABC)) = dist(b, (A )) = h BA. 1

2 2 GEOMETRIE Tetraedrul A este echivalent cu tetraedrul A CB pentru că = A BCC, iar înălţimea este aceeaşi pentru cele două tetraedre: A BB dist(a, (BCC )). În concluzie V ABCA = V A + V A B + V A CC = 3v Observaţie. Orice tetraedru A poate fi completat la un paralelipiped astfel: se construiesc paralelele prin A la BC şi prin C la AB care se intersectează în D. Apoi, paralelele prin B, C şi D la AA se intersectează cu un plan paralel cu planul ABC care trece prin A. Propoziţia 2. Dacă V este volumul paralelipipedului de mai sus, atunci volumul tetraedrului A este V. Demonstraţie V paralelipiped = 2 V ABCA = V A şi propoziţia este demonstrată. Propoziţia 3. Fie ABCDA D un paralelipiped iar M AA şi N BC, astfel încât MN AA şi MN BC. Atunci MN este înălţimea paralelipipedului cu baza BCC. Demonstraţie MN AA şi AA BB implică MN BB,. Din şi MN BC, rezultă MN (BCC ), adică MN reprezintă înălţimea paralelipipedului cu baza BCC.

3 GEOMETRIE 3 Propoziţia 4. Fie A un tetraedru în care AA = a, BC = b, distanţa dintre AA şi BC este c, iar măsura unghiului dintre AA şi BC este u. abc sin u Atunci V A =. (*) Demonstraţie Folosind figura de mai sus avem : V ABCDA D = A BCC MN = abc sin u Din propoziţia 2 avem V A = V ABCDA D V A = abc sin u de unde rezultă Comentariu Relaţia găsită în propoziţia 4 ne permite să aflăm distanţa dintre două drepte necoplanare. pentru aceasta trebuie să considerăm pe cele două drepte câte două puncte astfel încât să obţinem un tetraedru al cărui volum se va calcula în două moduri; cu formula clasică şi cu formula de mai sus. Relaţia (*) din propoziţia 4 este cunoscută sub numele de formula lui Chasles. Aplicaţia 1. Fie ABCDA D un cub de muchie a. Calculaţi distanţa dintre AC şi A D. Soluţie: Notăm cu d distanţa dintre cele două drepte. Fie tetraedrul A DAC. Considerând că baza este triunghiul ADA, înălţimea trebuie construită din C, iar aceasta este C D. În acest fel: V tetraedrului = 1 3 A ADA C D = 1 3 Pe de altă parte AD AA 2 V tetraedrului = A D AC d sin u C D = a3 Cum AC (A D) (demonstraţi voi) rezultă u = 90 0 şi deci sin u = 1. De asemenea, A D = a 2 şi AC = a 3. Cu aceasta avem V teraedrului = a2 d (2)

4 4 GEOMETRIE Cum şi (2) reprezintă volumul pentru acelaşi tetraedru avem de unde obţinem a 2 d d = a = a3 Aplicaţia 2. Fie V ABCD o piramidă patrulateră regulată cu feţele laterale triunghiuri laterale de muchie a. Calculaţi distanţa dintre dreptele V D şi AB. Soluţie Notăm cu x distanţa dintre V D şi AB. Considerăm tetraedrul V ABD al cărui volum este pe de o parte iar pe de altă parte V = 1 3 A ABD V O = a V = AB V D sin( V D, AB) = a2 x 3 12 Egalând cu (2) obţinem x = a 3. Aplicaţia 3. Fie V ABC un tetraedru regulat de muchie a şi D mijlocul lui (AV ). Calculaţi distanţa dintre V B şi CD. (2) Soluţie Fie x distanţa cerută. Pentru tetraedrul BCDV volumul este V BCDV = 1 3 A V CD BP unde BP este înălţimea tetraedrului V ABC. Deci, V BCDV = a Avem, de asemenea, V BCDV = BV CD x sin( BV, CD) (2).

5 GEOMETRIE 5 Pentru a pune în evidenţă unghiul căutat construim DE V B şi unghiul căutat este EDC a cărui măsură o notăm α, Pe α îl aflăm din triunghiul 33 isoscel DEC. Găsim sin α =. Cu acesta (2) devine V BCDV = a2 x 11 (3). 24 Egalând cu (3) vom obţine x = a

Σχετικά έγγραφα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe