Κεφάλαιο 3. Δυναμική Ρευστών

Transcript

1

2 Υγρά σε Ισορροπία Υδροστατική Ατμοσφαιρική πίεση Αρχή του Pascal Εφαρμογές Λυμένα παραδείγματα Ρευστά σε κίνηση Εξίσωση Συνέχειας Διατήρηση της μάζας Διατήρηση μάζας και εξίσωση συνέχειας Η Διατήρησης της Ενέργειας και η εξίσωση ernoulli Νόμος ernoulli Εφαρμογές εξίσωσης ernoulli Λυμένα Παραδείγματα Η Τριβή Στα Ρευστά, (Ιξώδες) Εξίσωση Ιξώδους Λυμένα Παραδείγματα Βιβλιογραφία... 58

3 3. Ορισμός ρευστού. Με τον όρο ρευστά χαρακτηρίζονται οι ουσίες που δεν έχουν ταυτόχρονα και τις τρεις παρακάτω ιδιότητες: Σταθερό σχήμα Σταθερό όγκο Ελεύθερη επιφάνεια Μία από τις παραπάνω ιδιότητες αν λείπει από κάποιο σώμα, σημαίνει ότι το σώμα ανήκει στην κατηγορία των ρευστών. Οι κυριότερες κατηγορίες των ρευστών είναι τα υγρά και τα αέρια. Τα ρευστά εμφανίζουν ροή δηλ. έχουν την ιδιότητα (δυνατότητα) να ρέουν. Τα υγρά προσαρμόζουν το σχήμα τους ανάλογα στο δοχείο που περιέχονται, έχοντας σταθερό όγκο. Τα υγρά παρουσιάζουν ελεύθερη επιφάνεια. Τα αέρια έχουν μεταβλητό σχήμα ανάλογο με το αντίστοιχο του δοχείου που περιέχονται και μεταβλητό όγκο ίδιο πάντα με τον όγκο του δοχείου που τα περιέχει. Τα αέρια δεν εμφανίζουν ελεύθερη επιφάνεια. Η διάκριση των ρευστών σε υγρά και αέρια βασίζεται στη σταθερότητα του όγκου τους (για ορισμένη θερμοκρασία). Τα υγρά είναι πρακτικά ασυμπίεστα, έχουν δηλαδή σταθερό όγκο, ανεξάρτητο από την πίεση. Αντίθετα τα αέρια είναι συμπιεστά δηλ. μεταβάλλουν τον όγκο τους σε αντίστοιχες μεταβολές της πίεσης. Αυτό σημαίνει ότι ο όγκος τους εξαρτάται από την πίεσή τους. Η ρευστοδυναμική (δυναμική των ρευστών) μελετά την κίνηση των ρευστών (υγρών και αερίων). Πιο αυστηρά, Ρευστά (Fluids) ονομάζονται εκείνα τα υλικά σώματα τα οποία παραμορφώνονται συνεχώς υπό την επίδραση διατμητικών τάσεων. F Διατμητική τάση ονομάζεται το πηλίκο της παράλληλης ή εφαπτομενικής δύναμης μέτρου F που εφαρμόζεται σε μια διατομή του υλικού, προς την επιφάνεια της διατομή. Δηλαδή η διατμητική τάση είναι η τάση που είναι παράλληλη στο επίπεδο της διατομής. τ =F/. Π.χ. Αν σε οριζόντιο επίπεδο τοποθετήσουμε ένα στερεό σώμα αυτό θα ισορροπήσει. Το ίδιο θα συμβεί αν τοποθετήσουμε μικρή ποσότητα νερού (µία σταγόνα). Αν όμως το επίπεδο αποκτήσει κάποια κλίση, το στερεό, υπό την επίδραση της συνιστώσας του βάρους του, της παράλληλης µε το επίπεδο, θα κινηθεί σαν ενιαίο σώμα (χωρίς να αλλάξουν οι σχετικές θέσεις των µορίων του). Και το νερό θα κινηθεί (υπό την επίδραση της συνιστώσας του βάρους του) αλλά όχι ενιαία, δηλαδή μικρές ποσότητες θα παραμείνουν στην επιφάνεια κατά μήκος της διαδρομής του. Τα στρώματα µορίων που απέχουν περισσότερο από το επίπεδο, θα ολισθαίνουν πάνω στα υποκείμενα στρώματα και θα κινούνται πιο γρήγορα. Λέμε πως το νερό ρέει (αφού το στερεό σώμα μετακινείται). Εκείνο που προκαλεί την έναρξη της ροής, είναι μια δύναμη κατά τη διεύθυνση της κίνησης. Πιο συγκεκριμένα, για να παρατηρηθεί το φαινόμενο της ροής, πρέπει να εφαρµοστεί στο ρευστό μια διατμητική δύναμη και να προκληθεί συνεχής, ανομοιόµορφη και οριστική μετακίνηση των µορίων του σώματος κατά τη διεύθυνσή της. Χρήστος Αγριόδημας 3

4 Στοιχείο ρευστού ή ρευστό σωματίδιο. Επειδή τα φαινόμενα που πραγματεύεται η ρευστοδυναμική είναι μακροσκοπικά, ένα ρευστό θεωρείται σαν συνεχές μέσο. Αυτό σημαίνει ότι οποιοδήποτε μικρό τμήμα όγκου του ρευστού είναι αρκούντως μεγάλο ώστε να περιέχει μεγάλο αριθμό μορίων. Συνεπώς αναφερόμενοι σε απειροστά στοιχεία όγκου του ρευστού, θα εννοούμε «φυσικώς απειροστά μικρά», δηλαδή πολύ μικρά συγκρινόμενα με τον όγκο του θεωρούμενου σώματος αλλά μεγάλα συγκρινόμενα με τις αποστάσεις μεταξύ των μορίων. Οι εκφράσεις σωματίδιο ρευστού και σημείο σε ένα ρευστό έχουν παρόμοια σημασία. Όταν για παράδειγμα αναφερόμαστε για την μετατόπιση ενός σωματιδίου του ρευστού, δεν εννοούμε την μετατόπιση ενός μεμονωμένου μορίου αλλά ενός στοιχείου όγκου του ρευστού που περιέχει μεγάλο αριθμό μορίων, μολονότι εξακολουθούμε να το θεωρούμε σαν σημείο. Ένα μικρό κομμάτι του ρευστού, αποτελείται από μόρια, τα οποία κινούνται προς όλες τις κατευθύνσεις. Θεωρώντας το ρευστό ως συνεχές μέσο, ορίζουμε ως στοιχείο ή σωμάτιο ρευστού μια στοιχειώδη (πολύ μικρή) ποσότητα του ρευστού. Το στοιχείο ρευστού δεν είναι σωματίδιο του μικρόκοσμου, δεν είναι λόγου χάρη μόριο, αλλά το αντίστοιχο "υλικό σημείο" στη μηχανική ρευστών. Πυκνότητα ρευστού Ένα ρευστό αποτελείται από µόρια τα οποία (α) βρίσκονται σε μεγάλη (σχετικά µε το μέγεθός τους) απόσταση και (β) κινούνται συνεχώς. Ο όγκος του στοιχείου ρευστού για αέρια ή υγρά σε πίεση περίπου atm είναι ΔV mm 3 και περιέχει περίπου Ν=3, μόρια. Θεωρώντας το ρευστό ότι αποτελείται από στοιχεία ρευστού ορίζουμε την πυκνότητα σε κάθε σημείο του ρευστού ως m ρ = lim V V0 V, όπου ΔV ο όγκος που περικλείει το συγκεκριμένο σημείο και Δm η μάζα του ρευστού σε αυτό τον όγκο. Ο όγκος ΔV θα πρέπει να είναι αρκετά μεγαλύτερος από τον ελάχιστο όγκο ΔV 0, ώστε να περιλαμβάνει ένα ικανό και περίπου σταθερό αριθμό µορίων. Σχεδόν σε όλες τις περιπτώσεις που αντιμετωπίζουμε, εξετάζουμε ένα ρευστό σε διαστάσεις πολύ μεγαλύτερες από τον ελάχιστο αυτόν όγκο. Έτσι, η πυκνότητα του ρευστού, αλλά και οι άλλες ιδιότητές του, μεταβάλλονται σχετικά ομαλά όχι απότομα από τον ένα όγκο ΔV στο γειτονικό του. Αυτή η συνέχεια της μεταβολής της πυκνότητας, αλλά και των λοιπών ιδιοτήτων του ρευστού, επιτρέπει τη θεώρησή του ως συνεχές μέσο (continuum) γι αυτό και στη συνέχεια θεωρούμε την πυκνότητα ενός ρευστού ίση µε τη μάζα του διά του όγκου που αυτή καταλαμβάνει, δηλ. m ρ =, V ρ = lim V 0 m V Χρήστος Αγριόδημας 4

5 3. Υγρά σε Ισορροπία Πίεση: Η πίεση είναι το φυσικό μέγεθος που ορίζεται ως το πηλίκο του μέτρου της δύναμης F που ασκείται κάθετα σε μία επιφάνεια, προς το εμβαδόν της επιφάνειας αυτής: F F p=, p = lim 0 F όπου F το μέτρο της δύναμης και Α το εμβαδό της επιφάνειας. Στο S.I. η πίεση μετριέται σε Pa (Pascal). Pa = N/m Η πίεση εκφράζει τη δύναμη που ασκείται κάθετα στη μονάδα επιφάνειας. Α Πότε ένα υγρό είναι σε ισορροπία; Ένα υγρό βρίσκεται σε ισορροπία όταν κάθε στοιχειώδες τμήμα, (στοιχείο ρευστού) παραμένει στο ίδιο σημείο. Τα μόρια του στοιχείου ρευστού κινούνται, αλλά το τμήμα ρευστού παραμένει στη θέση του. Οι θερμικές, (άτακτες) ταχύτητες των μορίων δεν είναι μηδενικές, αλλά ο αριθμός των μορίων που περιέχονται σε κάθε στοιχείο ρευστού είναι σταθερός. Τα ρευστά ασκούν κάθετες δυνάμεις Τα ρευστά (αέρια και υγρά) δεν έχουν καθορισμένο σχήμα και έτσι προσαρμόζονται στο σχήμα των στερεών επιφανειών με τις οποίες εφάπτονται. Όταν ένα ρευστό είναι σε ισορροπία, η δύναμη που ασκεί ένα ρευστό σε μια επιφάνεια είναι πάντα κάθετη στην επιφάνεια, (σχήμα ). Είναι προφανές ότι, όταν ένα υγρό (ιδανικό ή πραγματικό) βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας δεν θα δέχεται από το περιβάλλον του διατμητικές δυνάμεις, δηλαδή δυνάμεις που ενεργούν εφαπτομενικά προς την εξωτερική τους επιφάνεια, αφού δεν ρέει. Έτσι οι δυνάμεις που θα αναπτύσονται μεταξύ δύο στρωμάτων του υγρού που είναι σε ισορροπία θα είναι πιεστικές δυνάμεις, δηλαδή κάθετες προς την επιφάνεια συνεπαφής των δύο στρωμάτων. Αν δεν συνέβαινε αυτό τότε θα είχαμε ροή ρευστού διότι οι συνιστώσες της δύναμης παράλληλα στην επιφάνεια θα έθεταν το ρευστό σε κίνηση. Επίσης κάθετες θα είναι και οι δυνάμεις που θα δέχεται το υγρό από κάθε επιφάνεια με την οποία είναι σε επαφή. Π.χ. από τα τοιχώματα του δοχείου που το περιέχει, βλ. σχήμα ή από τα τοιχώματα του στερεού σώματος που είναι βυθισμένο μέσα σ αυτό, βλ. σχήμα 3. Το υγρό ασκεί μία δύναμη στα τοιχώματα και τα τοιχώματα μία αντίθετη δύναμη στο υγρό, (δράση αντίδραση). Εάν η δύναμη δεν ήταν κάθετη στα τοιχώματα θα είχε μία συνιστώσα παράλληλη στα τοιχώματα και θα έθετε το υγρό σε κίνηση. df df d Σχήμα Σχήμα Σχήμα 3 Συνηθίζεται η πίεση να αναφέρεται σαν μονόμετρο μέγεθος. Στην πραγματικότητα δεν είναι γι αυτό και αποφεύχθηκε να αναφερθεί όπως συνήθως γίνεται. Η αλληλεπίδραση μεταξύ των τμημάτων του ρευστού δεν μπορεί να περιγραφεί από το μέγεθος πίεση. Η ύπαρξη διατμητικών δυνάμεων στην περίπτωση κινουμένου ρευστού μας οδηγεί στον ορισμό μεγεθών που δεν είναι ούτε μονόμετρα ούτε διανυσματικά. Τα μεγέθη αυτά ονομάζονται τανυστές. Η ανάλυση όμως αυτή δεν είναι στα πλαίσια που ακολουθούμε. Χρήστος Αγριόδημας 5

6 3.. Υδροστατική Ατμοσφαιρική πίεση Η πίεση στα διάφορα σημεία του χώρου που καταλαμβάνει κάποιο υγρό και στα τοιχώματα του δοχείου μέσα στο οποίο περιέχεται οφείλεται σε εξωτερικά αίτια. Επομένως η πίεση στα σημεία του υγρού οφείλεται: α) στο βάρος του υγρού και β) σε άλλα εξωτερικά αίτια. Ως άλλο εξωτερικό αίτιο μπορούμε να θεωρήσουμε την δύναμη που ασκεί κάποιο έμβολο σε μια περιοχή του υγρού. Π.χ. Η πίεση που μετράει το μανόμετρο στο δοχείο του σχήματος οφείλεται και στο βάρος του υγρού που περιέχεται στο δοχείο αλλά και στη δράση του εμβόλου και της δύναμης της ατμόσφαιρας. Η πίεση ενός αερίου που βρίσκεται μέσα σε δοχείο στα διάφορα σημεία του χώρου και στα τοιχώματα του δοχείου μέσα στο οποίο περιέχεται οφείλεται: Στις κρούσεις των μορίων με τα τοιχώματα του δοχείου εξαιτίας της άτακτης κίνησης των μορίων, (θερμικές κινήσεις). Η συνεισφορά τους βάρους είναι αμελητέα. Η πίεση είναι ίδια σε όλα τα σημεία. Η πίεση στα αέρια εξαρτάται από τη θερμοκρασία Τ, τον όγκο V του αερίου και την ποσότητα n του αερίου. Ατμοσφαιρική Πίεση Είναι η πίεση που δημιουργεί η ατμόσφαιρα, με το βάρος της, στην επιφάνεια της Γης, (και προφανώς σε κάθε αντικείμενο). Εδώ η συνεισφορά του βάρους δεν είναι μικρή, αλλά ο λόγος που οφείλεται η ατμοσφαιρική πίεση. F Χρήστος Αγριόδημας 6

7 Υδροστατική Πίεση 3 Θεμελιώδης νόμος Υδροστατικής Είναι η πίεση που δημιουργεί ένα υγρό που βρίσκεται σε ισορροπία, σε κάθε επιφάνεια με την οποία βρίσκεται σε επαφή. Η υδροστατική πίεση οφείλεται στο βάρος του υγρού. Η υδροστατική πίεση έχει νόημα μόνο αν το υγρό βρίσκεται μέσα σε πεδίο βαρύτητας. Η σχέση που δίνει την υδροστατική πίεση σε κάποιο σημείο Γ του χώρου που καταλαμβάνει ένα υγρό σε ισορροπία είναι: p=ρ g h Γ Ελεύθερη επιφάνεια h όπου ρ: η πυκνότητα του υγρού g: η επιτάχυνση της βαρύτητας h: το βάθος του σημείου Γ (απόσταση από την ελεύθερη επιφάνεια) Η υδροστατική πίεση p σε ένα σημείο ενός υγρού: α. αυξάνεται ανάλογα με το βάθος h από την επιφάνεια του υγρού β. είναι ανάλογη με την πυκνότητα ρ του υγρού γ. είναι ανάλογη με την επιτάχυνση της βαρύτητας g Ο θεμελιώδης νόμος της ισορροπίας των υγρών. Μια άλλη έκφραση για την πίεση σε σχέση με το ύψος από την ελεύθερη επιφάνεια είναι: p = p +ρ gh Όπου p, p : οι πιέσεις του ρευστού σε ύψος h και h από την ελεύθερη επιφάνεια αντίστοιχα, ρ: η πυκνότητα του υγρού, g: η επιτάχυνση της βαρύτητας και h: η απόσταση των σημείων και h h p h p Αύξηση βάθους 3 Καλό είναι την λεγόμενη «υδροστατική πίεση» να την λέμε απλά πίεση. Οι δυσκολίες που μπορεί να υπάρξουν αρχικά μπορεί να είναι πολλές, αλλά ο όρος θα πρέπει να εγκαταλειφθεί. Η υδροστατική πίεση δεν διαφέρει σε κάτι από μία άλλη πίεση όσον αφορά τα αποτελέσματά της. Αιτία αυτής είναι η βαρύτητα. Σε κάθε σημείο σε βάθος h, ενός υγρού, υπάρχει πίεση p=ρgh, επειδή το «αποκάτω» μέρος του υγρού, δέχεται «εξωτερική» δύναμη, από το υγρό που βρίσκεται «αποπάνω» του και είναι αριθμητικά ίση με το βάρος αυτής της ποσότητας. Στην πραγματικότητα σε όλες τις περιπτώσεις το υγρό δέχεται εξωτερική δύναμη, εξαιτίας της οποίας αναπτύσσεται πίεση. Αν αυτή είναι από ένα έμβολο ή από το βάρος μιας υπερκείμενης ποσότητας του υγρού δεν αλλάζει κάτι. Επιπλέον είναι πιο σωστό να παίρνουμε τη διαφορά πίεσης για δύο σημεία εντός του ίδιου υγρού σε ισορροπία όπου ισχύει η θεμελιώδης εξίσωση της υδροστατικής: p -p =ρgh με p και p οι πιέσεις στα σημεία και, τα οποία απέχουν κατακόρυφα κατά h (με ψηλότερο το σημείο ). Να σημειωθεί ότι αυτή η διαφορά στην πίεση οφείλεται στο βάρος του υγρού και ονομάζεται συνήθως «υδροστατική πίεση». Σε υγρά αναφέρεται ως υδροστατική ενώ για τον αέρα της ατμόσφαιρας ατμοσφαιρική. Παρακάτω αναφέρεται σαν υδροστατική αλλά θα πρέπει να έχουμε υπόψη αυτή την παρατήρηση. Χρήστος Αγριόδημας 7

8 Απόδειξη Έστω ότι σε ένα δοχείο, έχουμε υγρό σε ηρεμία. Ας πάρουμε μια ποσότητα υγρού, σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με βάσεις, εμβαδού Α και ύψος h, όπως στο διπλανό σχήμα. Το παραλληλεπίπεδο αυτό ισορροπεί με την επίδραση των δυνάμεων από το υπόλοιπο υγρό, από το οποίο δέχεται τις δυνάμεις F και F του σχήματος, καθώς και δυνάμεις στις κατακόρυφες έδρες του, δυνάμεις οριζόντιες. Οι δυνάμεις αυτές οφείλονται στην επαφή του τμήματος που μελετάμε με την υπόλοιπη μάζα του υγρού. Η συνισταμένη των οριζόντιων δυνάμεων είναι μηδέν, αφού η ποσότητα αυτή δεν επιταχύνεται οριζόντια και έτσι δεν χρειάζεται να μας απασχολήσουν. Στον κατακόρυφο άξονα : ΣF y = 0 F F = w p Α p Α =mg () p Α p Α =ρgv p Α p Α =ρg Αh F h h w F h Αύξηση βάθους p p = ρgh () όπου p η πίεση σε βάθος h και p σε βάθος h από την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού. Αν τώρα το σημείο είναι η επιφάνεια του υγρού και δεν λάβουμε υπόψη την ατμοσφαιρική πίεση τότε p =0 και η σχέση () δίνει: p =ρgh (3) Παρατηρήσεις. Η υδροστατική πίεση είναι ανεξάρτητη από τον προσανατολισμό της επιφάνειας. Τα υγρά ασκούν δύναμη προς κάθε κατεύθυνση.. Η υδροστατική πίεση είναι ανεξάρτητη από το σχήμα του δοχείου. w 3. Από την σχέση () προκύπτει ότι αν το βάρος της ποσότητας αυτής του νερού είναι μηδενικό (εκτός πεδίου βαρύτητας), τότε οι πιέσεις σε δύο σημεία με διαφορετικό βάθος (h h ), θα ήταν ίσες και από την (3), θα είχαμε p =0. h 4. Η υδροστατική πίεση εξαρτάται από το βάθος. Μία μικρή επιφάνεια σε ένα σημείο του ρευστoύ, δέχεται δύναμη σταθερού μέτρου, ανεξάρτητα από τον προσανατολισμό της. Στο διπλανό σχήμα η επιφάνεια βρίσκεται στο ίδιο σημείο, (βάθος, ύψος). Οι πιέσεις σε δυο σημεία στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο, εντός ενός υγρού σε ακινησία, είναι ίσες. F F Χρήστος Αγριόδημας 8

9 Απόδειξη Έστω δύο σημεία Α και Β στο ίδιο βάθος μέσα σε ένα υγρό. Αν πάρουμε την ποσότητα του υγρού ενός κυλίνδρου με βάσεις εμβαδού δα στα σημεία αυτά, τότε η μάζα αυτή δέχεται από το υπόλοιπο υγρό, οριζόντιες δυνάμεις F και F, όπως στο διπλανό σχήμα. Αλλά αν το υγρό ηρεμεί, η μάζα αυτή του υγρού ισορροπεί, οπότε: ΣF x = 0 F = F p Α δα = p Β δα p Α = p Β. F F 5. Αν εφαρμόσουμε την σχέση () της σελίδας 8 στο ανοιχτό δοχείο του σχήματος μεταξύ ενός σημείου της επιφάνειας (p =p ατμ ) και του σημείου Γ θα πάρουμε για την πίεση σε βάθος h: p atm p Γ = p αtm + ρgh, Γ h P Γ = p atm +ρgh 6. Ας ξεκαθαρίσουμε λίγο τις «διαφορές» αερίων και υγρών, όσον αφορά την πίεση. Αν έχουμε ένα αέριο σε ένα δοχείο, εκτός πεδίου βαρύτητας, τότε η πίεση στα διάφορα σημεία οφείλεται στις κρούσεις των μορίων με τα τοιχώματα. Ας πούμε ότι αυτή είναι pa. Η πίεση αυτή είναι σταθερή σε όλα τα σημεία του δοχείου. Δηλαδή p Α =p Β =00.000pa. Αν το δοχείο αυτό μεταφερθεί στην επιφάνεια της Γης, όπου υπάρχει βαρύτητα, τότε οι παραπάνω κρούσεις συμβαίνουν με τον ίδιο τρόπο, συνεπώς η πίεση εξαιτίας της άτακτης κίνησης των μορίων στο σημείο Α θα είναι ξανά p Α =00.000pa. Στο σημείο Β; Εξαιτίας της βαρύτητας θα ισχύει p Β =p Α +ρgh, όπου ρ η πυκνότητα του αερίου. Αυτό σημαίνει ότι για πυκνότητα,3kg/m 3 και h=m, θα έχουμε: p Β =00.000pα+,3 0 pα=00.03pa. Πράγμα που σημαίνει, ότι στην πράξη όταν μιλάμε για αέριο σε ένα δοχείο δεν λαμβάνουμε υπόψη μας την «υδροστατική πίεση» δηλαδή την πίεση που οφείλεται στο βάρος του αερίου. Πράγμα όμως, που κάνουμε όταν μιλάμε για ατμοσφαιρική πίεση! Εκεί λέμε ότι αυτή οφείλεται στο βάρος της ατμόσφαιρας!!! Με την ίδια συλλογιστική και τα μόρια του υγρού κινούνται και συγκρούονται με τα τοιχώματα. Αλλά επειδή οι ταχύτητες των μορίων είναι πολύ μικρότερες από αυτές των αερίων η πίεση που οφείλεται στη θερμική τους κίνηση, παραλείπεται, οπότε λέμε ότι εκτός πεδίου βαρύτητας και χωρίς την επίδραση εξωτερικής δύναμης, η πίεση στα υγρά είναι μηδενική. Χρήστος Αγριόδημας 9

10 Παράδειγμα Η υδροστατική πίεση είναι ανεξάρτητη από τον όγκο του υγρού. Εφαρμογή στην κατασκευή φραγμάτων Στη διπλανή εικόνα, το φράγμα στο οποίο τα σημεία του έχουν μεγαλύτερη πίεση θα είναι εκείνο στο οποίο η λίμνη έχει μεγαλύτερο βάθος και όχι εκείνο στο οποίο η λίμνη έχει μεγαλύτερο όγκο νερού. 3.. Αρχή του Pascal "κάθε μεταβολή της πίεσης, που εφαρμόζεται σε ασυμπίεστο ρευστό που βρίσκεται σε ισορροπία μεταδίδεται αμετάβλητη σε κάθε σημείο του ρευστού και στα τοιχώματα του δοχείου". ή η μεταβολή της πίεσης που δημιουργεί ένα εξωτερικό αίτιο σε κάποιο σημείο του υγρού μεταφέρεται αναλλοίωτη σε όλα τα σημεία του. Αν δηλαδή, σ ένα ανοικτό δοχείο πλήρες υγρού προκαλέσουμε σε όλη την ελεύθερη επιφάνειά του, π.χ. με ένα έμβολο, οποιαδήποτε μεταβολή πίεσης ασκώντας μία δύναμη στο έμβολο τότε θα διαπιστώσουμε ότι σε όλα τα σημεία του υγρού η πίεση έχει μεταβληθεί το ίδιο. Ακούγεται περίεργο αλλά ένα σημείο στη θάλασσα θα «αισθανθεί» μια μεταβολή της ατμοσφαιρικής πίεσης με τον ίδιο τρόπο είτε βρίσκεται σε βάθος είκοσι εκατοστών είτε σε βάθος 300 μέτρων. Παράδειγμα Στο δοχείο του διπλανού σχήματος, τα μανόμετρα δείχνουν όλα την ίδια πίεση όταν το δοχείο βρίσκεται εκτός πεδίου βαρύτητας. Αν αυξηθεί η δύναμη που ασκείται στο έμβολο κατά ΔF θα αυξηθεί και η πίεση σε όλα τα σημεία όπως προβλέπει η αρχή του Pascal κατά F. Έτσι όλα τα μανόμετρα θα καταγράφουν αύξηση πίεσης κατά όπου Α το εμβαδόν του εμβόλου. F, F+dF Εάν το δοχείο βρίσκεται εντός του πεδίου βαρύτητας, η πίεση που θα δείχνουν τα μανόμετρα θα είναι διαφορετική στο κάθε ένα από αυτά ανάλογα με το βάθος στο οποίο βρίσκεται. Αν πάλι αυξηθεί η δύναμη που ασκείται στο έμβολο κατά ΔF θα αυξηθεί και η πίεση σε όλα τα σημεία όπως προβλέπει η αρχή του Pascal κατά F. Η πίεση στα διάφορα σημεία επηρεάζεται και από την υδροστατική p υδρ. (χωρίς να λάβουμε την ατμοσφαιρική) F+dF Χρήστος Αγριόδημας 0

11 Παρατήρηση Αν κάποιο υγρό ισορροπεί σε ανοιχτό δοχείο, τότε επιδρά και η ατμόσφαιρα και έτσι η πίεση σε βάθος h θα είναι: p = p αt + ρgh, ακριβώς επειδή, όπως προβλέπει η αρχή του Pascal, η πρόσθετη μεταβολή πίεσης δηλ. η ατμοσφαιρική θα μεταφερθεί σε όλα τα σημεία του υγρού. Εφαρμογές της Αρχής του Πασκάλ αποτελούν η πλήρωση με αέρα ενός τροχού ή μπαλονιού, το υδραυλικό πιεστήριο, οι υδραυλικοί γερανοί, τα υδραυλικά φρένα και πολλά άλλα Εφαρμογές Εφαρμογή. Συγκοινωνούντα Δοχεία Είναι δοχεία που συγκοινωνούν με σωλήνα, ή με οποιοδήποτε άλλο τρόπο. Αν σ' αυτά υπάρχει το ίδιο υγρό, σε όλα τα δοχεία η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού βρίσκεται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Σε αντίθετη περίπτωση που τα υγρά είναι διαφορετικής πυκνότητας, η επιφάνεια του πιο πυκνού είναι χαμηλότερη από το αραιότερο. Πώς ερμηνεύεται η αρχή των συγκοινωνούντων δοχείων; Για να ισορροπεί το υγρό στον οριζόντιο σωλήνα, πρέπει σε όλα τα σημεία του σωλήνα να επικρατεί η ίδια πίεση. Αν σε κάποιο δοχείο η στάθμη του νερού ήταν ψηλότερα, τότε η πίεση στο αντίστοιχο σημείο του κοινού σωλήνα θα ήταν μεγαλύτερη και αυτή η διαφορά πίεσης θα προκαλούσε την κίνηση του υγρού. Έστω ότι στο διπλανό σχήμα το υγρό ισορροπεί. Απόδειξη P= Patm Η πίεση P Β στο σημείο Β είναι P = P + ρg( ) P = P + ρg( ) () atm Ενώ η πίεση P Γ στο σημείο Γ είναι P = P atm PΓ = P + ρ g( Γ ) PΓ = Patm + ρ g( Γ ) () Η πίεση P Β στο σημείο Β στον κοινό σωλήνα είναι διαφορετική από την πίεση P Γ στο σημείο Γ. P Β >P Γ, (ΑΒ>ΓΔ) Αυτό σημαίνει ότι θα υπάρξει ροή από το σημείο Β στο Γ μέχρι να εξισωθούν οι πιέσεις P Β = P Γ. Στην περίπτωση αυτή τα ύψη ΑΒ και ΓΔ θα εξισωθούν. Συμπέρασμα. Αν ρίξουμε ένα υγρό πυκνότητας ρ σε συγκοινωνούντα δοχεία, τότε οι ελεύθερες επιφάνειες του υγρού και στα δύο σκέλη του δοχείου, όταν το υγρό ισορροπήσει θα βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Α Β Γ Δ Χρήστος Αγριόδημας

12 Ισορροπία υγρών που δεν αναμειγνύονται Αν ρίξουμε στο ένα σκέλος του δοχείου και άλλο υγρό διαφορετικής πυκνότητας ρ έστω ρ <ρ, λόγω των διαφορετικών πυκνοτήτων τους οι ελεύθερες επιφάνειές τους θα βρίσκονται σε διαφορετικά ύψη (βλ. σχήμα). Θεωρούμε ότι τα δύο υγρά δεν αναμιγνύονται. Α h h Ε Ζ Δ Απόδειξη Επειδή το υγρό βρίσκεται σε ισορροπία οι ολικές πιέσεις στα σημεία (Β) και (Γ) που βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο του οριζόντιου σωλήνα είναι ίσες μεταξύ τους: p = p ρ g( ΑΒ ) + p = ρ g( Γ ) + p Β Γ Α ρ g( Α Γ ) = p p atm [ ρ ( ) ] ρ gh = g Ζ + p p Ζ atm PΖ = patm P= patm h ρ ρgh = ρgh + patm patm ρgh = ρgh = h ρ Ο λόγος των αποστάσεων της επιφάνειας είναι αντίστροφος προς το λόγο της πυκνότητας των δυο υγρών. Τα ύψη h και h των στηλών των δύο υγρών μετρημένα από το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από τη διαχωριστική επιφάνεια των δύο υγρών είναι αντιστρόφως ανάλογα των πυκνοτήτων ρ και ρ των δύο υγρών. Β Γ Παρατηρήσεις. H ελεύθερη επιφάνεια που παρουσιάζει ένα υγρό σε κατάσταση ισορροπίας είναι οριζόντιο επίπεδο, διότι σε κάθε άλλη περίπτωση τα επιφανειακά ρευστά σωματίδια του υγρού θα έπρεπε να ρέουν κατά μήκος της ελεύθερης επιφάνειας υπό την επίδραση της εφαπτομενικής προς την ελεύθερη επιφάνεια συνιστώσας του βάρους τους, πράγμα που αντιβαίνει στην ισορροπία του υγρού. Απόδειξη w y w w x Έστω ότι η ελεύθερη επιφάνεια σε ένα υγρό που ισορροπεί δεν είναι οριζόντια. Ένα μικρό τμήμα του υγρού θα ισορροπεί δεχόμενο τις εξής δυνάμεις: την δύναμη F από την ατμόσφαιρα η οποία είναι κάθετη στην επιφάνεια του τμήματος, το βάρος δw και τις δυνάμεις από το υπόλοιπο υγρό F, F 3, F 4. εφόσον το τμήμα του υγρού F ισορροπεί οι δυνάμεις F 3 και F 4 αλληλοαναιρούνται. Επίσης η F 4 συνισταμένη των δυνάμεων F και F θα πρέπει να είναι αντίθετη του F 3 βάρους το οποίο έχει κατακόρυφη διεύθυνση. Έτσι και η συνισταμένη δw των δυνάμεων F και F θα έχει κατακόρυφη διεύθυνση, που συμβαίνει F μόνο όταν η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού είναι οριζόντια. Χρήστος Αγριόδημας

13 . Θέλει ιδιαίτερη προσοχή όταν δουλεύουμε με δοχείο που έχουμε αναμίξει υγρά διαφορετικής πυκνότητας, ρ, ρ. (ρ >ρ ) Τα σημεία Ε και Δ της οριζόντιας ευθείας που διέρχεται από τη διαχωριστική επιφάνεια των δύο υγρών έχουν την ίδια πίεση, P Ε = Ρ Δ. Συνήθως ξεκινάμε από την διεπιφάνεια ΔΕ των δύο ρευστών και καταλήγουμε στα άκρα που μπορεί να είναι ανοιχτά ή κλειστά. Τα σημεία σε ευθείες παράλληλες, που βρίσκονται κάτω h από την οριζόντια ευθεία ΔΕ έχουν ίδιες πιέσεις. h Τα σημεία σε ευθείες παράλληλες, που βρίσκονται πάνω Δ Ε από την οριζόντια ευθεία ΔΕ έχουν διαφορετικές πιέσεις. Από εκεί και πάνω οι ισοβαρείς δεν είναι οριζόντιες ευθείες ή μάλλον οι οριζόντιες ευθείες δεν είναι ισοβαρείς. Για το λόγο αυτό, σύμφωνα με την αρχή των συγκοινωνούντων δοχείων παίρνουμε δύο σημεία Η και Θ που βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο εντός του ίδιου υγρού, και για τα σημεία αυτά θα ισχύει p Η = p Θ Απόδειξη Αρχικά θα δείξουμε P E =P Δ Από την υδροστατική πίεση στα σημεία Β και Γ έχουμε: P = ρ g( Ε ) + PΕ PΓ = ρ g( Γ ) + P Ε Δ Επειδή υπάρχει ισορροπία P =P Γ, P = P ρ g( Ε ) + P = ρ g( Γ ) + P P = P ΕΒ=Γ Γ Ε Ε Β Γ Με την ίδια λογική σημεία που βρίσκονται σε οριζόντια ευθεία κάτω από την ΔΕ θα έχουν ίδιες πιέσεις. PΒ = ρ g( Η ) + PΗ PΓ = ρ g( ΓΘ ) + PΘ Επειδή υπάρχει ισορροπία P =P Γ, Ε Η Δ Θ P = P ρ g( Η ) + P = ρ g( ΓΘ ) + P P = P ΗΒ=ΓΘ Γ Η Θ Η Θ Β Γ Χρήστος Αγριόδημας 3

14 Τα σημεία που βρίσκονται σε οριζόντια ευθεία πάνω από την οριζόντια ισοβαρή ευθεία ΕΔ έχουν διαφορετικές πιέσεις. Έτσι πάνω από την ευθεία ΕΔ σημεία που έχουν ίδια πίεση δεν είναι σε οριζόντια ευθεία. PΕ = ρg( ΙΕ ) + PΙ PΙ = PΕ ρg( ΙΕ ) P = ρg( Κ ) + PΚ PΚ = P ρg( Κ ) Ι Κ Όμως P E =P Δ, (IE)=(KΔ)=h, επομένως h PΙ = PΕ ρgh και P = Κ P E ρghαπό όπου προκύπτει Δ Ε P K >P I διότι ρ >ρ. Εφαρμογή. Δεξαμενή υδροδότησης Άμεσο αποτέλεσμα της αρχής των συγκοινωνούντων δοχείων είναι οι δεξαμενές υδροδότησης των οικισμών. Στην κατασκευή των δεξαμενών ύδρευσης εφαρμόζουμε την αρχή των συγκοινωνούντων δοχείων. Όταν η βρύση είναι κλειστή υπάρχει ισορροπία. Όταν ανοίγουμε τη βρύση τότε προκαλείται διαφορά Α Β πίεσης μεταξύ δύο σημείων Α και Β που βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και σύμφωνα με την αρχή των συγκοινωνούντων δοχείων, το νερό θα κινείται από τα σημεία μεγαλύτερης πίεσης προς τα σημεία μικρότερης πίεσης, ώστε να υπάρξει εξίσωση πιέσεων. Οι δεξαμενές κατασκευάζονται στα ψηλότερα σημεία ώστε, λόγω της διαφορετικής πίεσης, το νερό να φτάνει στους ψηλότερους ορόφους των σπιτιών χωρίς να χρειάζεται αντλία. Β Γ Εφαρμογή 3. Αρχή λειτουργίας υδραυλικής αντλίας Η υδραυλική αντλία, όπως το υδραυλικό πιεστήριο και τα υδραυλικά φρένα, στηρίζουν τη λειτουργία τους στην αρχή του Pascal. Η F υδραυλική αντλία αποτελείται από δύο δοχεία Α Δy ΔV που συγκοινωνούν μεταξύ τους και περιέχουν υγρό (συνήθως λάδι). Αν στο μικρό έμβολο ΔV Δy εμβαδού Α ασκήσουμε δύναμη F, ασκούμε Α F δύναμη στο υγρό μέσω του εμβόλου, οπότε προκαλείται αύξηση της πίεσής του, δηλ. δημιουργούμε στο υγρό πρόσθετη πίεση. Η αύξηση της εξωτερικής πίεσης που δέχεται το υγρό από το έμβολο ισούται με F P = Σύμφωνα με την αρχή του Pascal, η πρόσθετη αυτή πίεση μεταδίδεται αναλλοίωτη και στο μεγάλο F F F έμβολο: P = P = = F = F F Επειδή > προκύπτει ότι F >F. Όσες φορές μεγαλύτερο είναι το εμβαδόν Α από το εμβαδόν Α, τόσες φορές μεγαλύτερη θα είναι η δύναμη F από τη δύναμη F. Χρήστος Αγριόδημας 4

15 Το έργο που παράγει η δύναμη F μετακινώντας το μικρό έμβολο κατά Δy είναι: W F= F y = p y = p V Ομοίως το έργο που παράγει η F μετακινώντας το μικρό έμβολο κατά Δy είναι: W F = F y = p y = p V Λόγω της αρχής του Pascal οι πιέσεις είναι ίσες δηλαδή p = p, επειδή το υγρό είναι ασυμπίεστο οι μεταβολές του όγκου του είναι ίσες δηλαδή ΔV = ΔV επομένως και τα έργα είναι ίσα: WF = W F Επειδή ισχύει ΔV = ΔV προκύπτει ότι: y = y και τελικά: y = y Συμπέρασμα Σε μια υδραυλική αντλία πολλαπλασιάζουμε τη δύναμη που ασκούμε, ενώ χάνουμε σε απόσταση. Παρατήρηση. Η δύναμη που ασκούμε δεν είναι σταθερή. Καθώς το εμβολο Α μετακινείται προς τα κάτω σπρώχνει συνεχώς μάζα υγρού στο δεξί τμήμα που μεταβάλλεται. Κατά προσέγγιση λοιπόν και αν θεωρήσουμε αυτή τη μάζα υγρού πολύ μικρή και την ανύψωση πολύ αργή η δύναμη είναι σταθερή και το έργο της F Δx. Βλ. λυμένο παράδειγμα 4. Ένας υδραυλικός ανυψωτήρας Εφαρμογή 4. Αρχή λειτουργίας φρένων Όταν ο οδηγός πιέζει το πεντάλ, η πίεση στον κύριο κύλινδρο αυξάνεται. Αυτή η αύξηση της πίεσης μεταφέρεται στο υγρό των φρένων σύμφωνα με την αρχή του Pascal, ωθώντας τελικά τα τακάκια στους δίσκους που είναι συνδεδεμένοι στους τροχούς του αυτοκινήτου, με αποτέλεσμα την επιβράδυνση του οχήματος. Χρήστος Αγριόδημας 5

16 3..4 Λυμένα παραδείγματα. Η πίεση σε σημεία ενός υγρού Στο διπλανό σχήμα, ένα κυλινδρικό δοχείο ύψους h είναι γεμάτο με νερό, ενώ στη βάση του είναι συνδεδεμένος ένας σωλήνας, με ένα τμήμα του παράλληλο προς τον άξονα του δοχείου, όπως στο σχήμα, το οποίο περιέχει νερό μέχρι ύψος h. Τα σημεία Α και Β, είναι δυο σημεία του νερού πολύ κοντά στην κάτω και πάνω βάση του κυλίνδρου. h i) Αν το δοχείο είναι εκτός πεδίου βαρύτητας (και προφανώς μακριά από τη Γη) ισχύει: α) p Α = p Β, β) p Α = p Β, γ) p Α p Β = ρgh h ii) Αν το δοχείο είναι στην επιφάνεια της Γης, με την κάτω βάση του οριζόντια, τότε: α) p Α = p Β, β) p Α = p Β, γ) p Α p Β = ρgh, δ) p Β = ρgh όπου ρ η πυκνότητα του νερού και g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Απάντηση: i) Αν το σύστημα βρίσκεται εκτός πεδίου βαρύτητας, τότε η πίεση στην πάνω επιφάνεια του σωλήνα (σημείο Γ) είναι μηδενική (έλλειψη ατμοσφαιρικής πίεσης), αλλά ούτε υδροστατική πίεση υπάρχει στο σημείο Α, εξαιτίας της κατακόρυφης στήλης του σωλήνα, λόγω έλλειψης βαρύτητας. Έχουμε δηλαδή p Α = p Β = 0. Σωστό το Α. ii) Αν το σύστημα βρίσκεται στην επιφάνεια της Γης, τότε η πίεση στο σημείο Γ είναι p Γ = p ατ. H διαφορά πίεσης, λόγω του βάρους του νερού μεταξύ δύο σημείων Χ και Υ τα οποία απέχουν κατακόρυφα κατά y είναι: p Χ p Υ = ρgy h Γ h E Συνεπώς p Α p Β =ρgh. Σωστό το γ). Ας το δούμε από μια άλλη σκοπιά: p Β = p Δ = p Γ + ρgh = p ατ + ρgh και p Α = p Ε = p Γ + ρgh =p ατ + ρgh Με αφαίρεση κατά μέλη: p Α p Β = p ατ + ρgh p ατ ρgh = ρgh Χρήστος Αγριόδημας 6

17 . Η πίεση και η αρχή του Pascal Το δοχείο κυβικού σχήματος πλευράς α=m είναι γεμάτο με νερό και ισορροπεί σε οριζόντιο επίπεδο. Στο μέσον της μιας έδρας του υπάρχει σωλήνας, όπου το νερό φτάνει σε ύψος επίσης α. α) Να υπολογίσετε τη δύναμη που ασκεί το νερό στην πάνω και κάτω α έδρα του κύβου, αν g=0m/s και p ατ =0 5 Ν/m. α β) Τοποθετούμε αβαρές έμβολο στην ελεύθερη επιφάνεια του νερού, φράζοντας τον σωλήνα. Αν το εμβαδόν του σωλήνα είναι Α =0cm και ασκήσουμε στο έμβολο μια κατακόρυφη δύναμη με φορά προς τα κάτω μέτρου F=0Ν, να βρεθεί ξανά η δύναμη στις παραπάνω έδρες του δοχείου. Απάντηση: α) Έστω δύο σημεία Β και Γ στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο, όπου το Γ ισαπέχει από τις δύο βάσεις του δοχείου. Η πίεση στο σημείο Δ είναι p Δ =p ατ =0 5 Ν/m. Αλλά τότε η πίεση στο σημείο Β, ίση με την πίεση στο Γ, είναι: p = p + ρga p = 0 N / m N / m =, 0 N / m F Αν η πίεση στην πάνω έδρα του κύβου είναι p ισχύει: α a F Γ pγ = p+ ρ gh p = pγ ρg a 5 3 p = pγ ρg =, 0 N / m 0 0 N / m =, 0 5 N / m Αλλά τότε F = p Α = p α F =, 0 5 Ν = 4,4 0 5 Ν. Με την ίδια λογική, αν p η πίεση στην κάτω έδρα, θα έχουμε: a p = pγ + ρ gh p = pγ+ ρ g a 5 3 p = pγ + ρg =, 0 N / m N / m =,3 0 Οπότε: 5 N / m F =p Α=p α F =,3 0 5 Ν = 5, 0 5 Ν. α β) Τι συμβαίνει, όταν ασκήσουμε μια κατακόρυφη δύναμη F στο έμβολο; Το νερό θεωρείται ασυμπίεστο υγρό, συνεπώς ο όγκος του δεν θα μεταβληθεί και το έμβολο θα ισορροπεί, με την επίδραση της δύναμης F ατ από την ατμόσφαιρα, της δύναμης F και της δύναμης F υ από το υγρό. Αλλά τότε: α F F Γ F α F F aτ F υ ΣF = 0 F υ = F ατ + F P Δ Α = p ατ Α +F Χρήστος Αγριόδημας 7

18 p + Δ = pa τ F Δηλαδή η άσκηση της δύναμης F στο έμβολο, έχει ως άμεσο αποτέλεσμα την αύξηση της πίεσης στο σημείο Δ του υγρού κατά F. Συνήθως γράφεται, ότι ασκώντας την εξωτερική δύναμη F, ασκούμε εξωτερική πίεση F, πράγμα που δεν είναι σωστό, αφού η πίεση δεν ασκείται. Ασκούμε F δύναμη στο υγρό (μέσω του εμβόλου), οπότε προκαλείται αύξηση της πίεσής του, κατά. Αυτή η αύξηση της πίεσης, σύμφωνα με την Αρχή του Pascal, είναι η ίδια για όλα τα σημεία του υγρού! Έτσι τώρα η πίεση σε ένα σημείο του υγρού, έστω σε επαφή με την πάνω έδρα του δοχείου, θα F F είναι αυξημένη επίσης κατά, θα είναι δηλαδή ίση με p = p +. Με βάση αυτά: p = p + F = 5 0N 5, 0 N / m + =,3 0 N / m m 5 5 Οπότε και F = p Α=,3 0 N / m 4m = 5, 0 N F p = p + = 5 0N 5,3 0 N / m + =,5 0 N / m m Οπότε και F = p Α=,5 0 5 N / m 4m = N 3.Υπάρχει εγκλωβισμένος αέρας; Ερώτηση η : Στο δοχείο σχήματος U περιέχεται νερό πυκνότητας ρ=.000kg/m 3, ενώ η υψομετρική διαφορά μεταξύ των ελεύθερων επιφανειών του νερού, a είναι h=0,4m. Αν η πίεση πάνω από το αριστερό ανοικτό σκέλος του σωλήνα είναι η ατμοσφαιρική πίεση p α =0 5 Ν/m και g=0m/s : i) Να αποδείξτε ότι στον χώρο α, στο δεξιό και κλειστό σκέλος πάνω h από το νερό, δεν υπάρχει κενό, αλλά περιέχεται κάποιο ή κάποια αέρια. ii) Η πίεση στο χώρο α έχει τιμή: α) p α = p ατ, β) p α = p ατ + ρgh, γ) p α = p ατ ρgh Χρήστος Αγριόδημας 8

19 Απάντηση: i) Έστω ότι στο χώρο α υπάρχει κενό, συνεπώς p α =0. Αν πάρουμε δύο σημεία του υγρού, στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο, έστω τα σημεία Κ και Λ. Η πίεση στα σημεία αυτά είναι ίδια, αφού δεν υπάρχει υψομετρική διαφορά μεταξύ τους, δηλαδή p Κ = p Λ. Αλλά p Κ = p ατ = 0 5 Ν/m και p Λ = p α + ρgh, οπότε: = 0 0 0,4 ή = 4000!!! Πράγμα άτοπο, συνεπώς στο χώρο α η πίεση δεν είναι μηδενική, αλλά τότε θα υπάρχει στο χώρο κάποιο αέριο (στην πραγματικότητα υπάρχει αέρας και υδρατμοί). K h a Λ ii) Επιστρέφουμε στα σημεία Κ και Λ. Σωστό το γ). p p K = p Λ = p ρgh aτ a + p a = p aτ ρgh Σχόλιο: Θα μπορούσαμε να έχουμε την εικόνα του σχήματος και όμως να έχουμε κενό στο χώρο α; Ναι, αρκεί να άλλαζε το ύψος h μεταξύ των ελεύθερων επιφανειών. Πράγματι έστω y η κατακόρυφη απόσταση, τότε: p K = p Λ p = p ρgy = 0 ρgy aτ a + p a τ + 5 y p 0 N / m = a = 0m!!! 3 3 g 0 kg / m 0m / s = ρ Με άλλα λόγια θα μπορούσαμε να έχουμε έναν κατακόρυφο σωλήνα με κλειστό το πάνω άκρο του, μήκους 0m, γεμάτο με 0m νερό, το οποίο να μην χύνεται, αφού η πίεση στο ανοικτό κάτω άκρο του Α, θα ήταν ίση με την ατμοσφαιρική πίεση. Αλλά τότε, αν ο σωλήνας είχε μήκος m, τον γεμίζαμε με νερό και τον αντιστρέφαμε, τι θα συνέβαινε; Θα χυνόταν το νερό που αντιστοιχεί σε μήκος m και τελικά θα είχαμε την διπλανή εικόνα, όπου πάνω από το νερό θα είχαμε κενό. Πιο αυστηρά αυτό θα συνέβαινε ακριβώς, αν το υγρό έχει μηδενική τάση ατμών. = 0m l Ερώτηση η : Στο δοχείο σχήματος U περιέχεται νερό πυκνότητας ρ ν και λάδι πυκνότητας ρ λ, όπως στο διπλανό σχήμα. Το ύψος της στήλης του λαδιού είναι h, ενώ το ύψος του νερού, πάνω από το επίπεδο διαχωρισμού των δύο υγρών, h. Αν p ατ η ατμοσφαιρική πίεση, τότε η πίεση του εγκλωβισμένου αέρα, στο δεξιό σκέλος, πάνω από το νερό είναι ίση: α) p α = p ατ +ρ λ gh p ν gh, β) p α =p ατ ρ λ gh p ν gh, γ) p α = p ατ ρ λ gh +ρ ν gh, h a h Χρήστος Αγριόδημας 9

20 Απάντηση: Έστω δύο σημεία Κ και Λ, στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο, όπου το Κ βρίσκεται στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο υγρών. Η πίεση στα σημεία αυτά είναι ίδια, αφού και τα δύο σημεία είναι σημεία του νερού και δεν υπάρχει υψομετρική διαφορά μεταξύ τους δηλαδή P K =P Λ. p Κ = p ατ + ρ λ gh και p Λ = p ν gh +p α, οπότε: Σωστό το α) P K =P Λ p ατ +ρ λ gh = p ν gh + p α p α = p ατ + ρ λ gh p ν gh h K a Λ h 4. Ένας υδραυλικός ανυψωτήρας Στο διπλανό σχήμα, φαίνεται ένας υδραυλικός ανυψωτήρας, με χρήση νερού, όπου τα δύο έμβολα Α και Β, κυλινδρικού σχήματος, έχουν διατομές Α =cm και Α =40cm αντίστοιχα και ισορροπούν στο ίδιο ύψος. Το έμβολο Α έχει βάρος w =0Ν. i) Ποιο το βάρος του εμβόλου Β; ii) Τοποθετούμε πάνω στο έμβολο Β, ένα σώμα Σ μάζας 00kg. Πόση κατακόρυφη δύναμη F πρέπει να ασκήσουμε στο Α έμβολο, ώστε να μην μετακινηθούν τα έμβολα; iii) Αυξάνοντας το μέτρο της ασκούμενης δύναμης F μετακινούμε το Α έμβολο κατά h=80cm, φέρνοντάς το να ισορροπεί σε μια νέα θέση. α) Πόσο θα ανέβει το σώμα Σ; β) Ποια η τελική τιμή της δύναμης F ; γ) Να υπολογιστεί το έργο που παράγει η ατμόσφαιρα, επί του συστήματος. δ) Να υπολογιστεί το έργο της δύναμης F. Δίνεται η πυκνότητα του νερού ρ=.000kg/m 3, η ατμοσφαιρική πίεση p ατ =0 5 Ν/m και g=0m/s, ενώ οι κινήσεις των εμβόλων γίνονται χωρίς τριβές. Απάντηση: i) Στο διπλανό σχήμα έχουν σχεδιαστεί οι δυνάμεις που ασκούνται σε κάθε έμβολο, όπου F υγ οι δυνάμεις από το υγρό. Από την ισορροπία των εμβόλων έχουμε: ΣF =0 F υγ =F ατ +w p Α =p ατ Α +w w p p + = aτ () w ΣF =0 F υγ =F ατ +w p Α =p ατ Α +w p = paτ + () Όπου p η πίεση στις κάτω επιφάνειες των δύο εμβόλων, κοινή και στα δύο έμβολα, αφού οι δυο επιφάνειες του υγρού βρίσκονται στο ίδιο ύψος. Από τις () και () παίρνουμε: w w = (3) w = w Χρήστος Αγριόδημας 0 F F υγ w Fa τ Fa τ F υγ w

21 40cm w = 0N N = 00N cm ii) Η τοποθέτηση του σώματος Σ πάνω στο έμβολο, μετατρέπει τις παραπάνω εξισώσεις () και () ισοδύναμα στις σχέσεις Σημείωση: Η σχέση (4) γράφεται: p F+ w = pa τ + και p w + w Σ Σ = paτ +, από όπου: F+ w w + w = F = ( w + Mg) w (4) cm = ( 00N+.000N ) 40cm F 0N = 00N Mg F = w + Mg w F = w + Mg w F = (3) σχέση, που δεν είναι άλλη από την (3), αφού ασκώντας επιπλέον δύναμη F, προκαλούμε αύξηση F πίεσης κατά, ίση σε όλα τα σημεία του υγρού, με βάση την αρχή του Pascal, συνεπώς και ίση Mg με, ή με άλλα λόγια, βάρος ίσο με Μg=.000Ν στο ένα σκέλος, εξισορροπείται από δύναμη F=00Ν στο άλλο. iii) Στο σχήμα το έμβολο Α έχει κατέλθει κατά h =80cm, αλλά τότε το έμβολο Β έχει ανέβει κατά y, αφού ο όγκος του νερού μειώθηκε στο ένα σκέλος, αφού μεταφέρθηκε στο δεξιό σκέλος. α) Έστω V η μείωση του όγκου στο αριστερό σκέλος και V η αύξηση του όγκου στο δεξιό. Αφού το νερό θεωρείται πρακτικά ασυμπίεστο υγρό, V =V. Α cm h = y y = h 80cm 4cm = 40cm = β) Στο δεύτερο σχήμα (σχήμα ) έχουν σχεδιαστεί οι δυνάμεις στο Α έμβολο και δίπλα στο «σύστημα» έμβολο Β-σώμα Σ. Από την F F υγ ισορροπία τους έχουμε: υγ ΣF =0 F υγ =F + F ατ +w p Α =F + p ατ Α +w F + w p = paτ + (α) woλ ΣF =0 F υγ =F ατ +w ολ p Α = p ατ Α +w ολ p = paτ + (α) Όπου p η πίεση σε ένα σημείο στην κάτω πλευρά του εμβόλου Α και p η αντίστοιχη σε σημείο στην κάτω πλευρά του εμβόλου Β. Όμως με h F w y Fa τ Σχήμα F Σχήμα w oλ Fa τ Χρήστος Αγριόδημας

22 βάση το σχήμα : p =p +ρg(h+y) (5) Με αντικατάσταση της (5) στην ( α ) και αφαίρεση κατά μέλη με την ( α ) παίρνουμε: F + w woλ p + ρg( h+ y ) p = paτ + paτ F =ρ g( h+ y ) + ( w + Mg ) w 4 cm F = (0,8+ 0,04 ) 0 N+ ( 00N+.000N ) 0N = 0,68N 40cm γ) Το έργο που παράγει η ατμόσφαιρα, πάνω στο σύστημα, είναι το άθροισμα των έργων των δυνάμεων F ατ/ και F ατ/ : F h - F y= p h p y= p h y Χρήστος Αγριόδημας ( ) 0 Wa τ = aτ aτ aτ aτ aτ = h= y Αφού Α (V =V, ερώτημα iii). δ) Έστω το οριζόντιο επίπεδο που περνά από την τελική θέση του Α εμβόλου ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας. Αν m είναι η μάζα του υγρού της στήλης ύψους h (με κόκκινο χρώμα στο σχήμα), τότε η αρχική δυναμική ενέργεια του συστήματος είναι ίση με: U αρχ = mg ½ h+m gh+m gh+μgh+u υγ Όπου U υγ η δυναμική ενέργεια της υπόλοιπης ποσότητας του υγρού (με μπλε χρώμα στο σχήμα). Η τελική δυναμική ενέργεια του συστήματος, μετά τη μεταφορά της μάζας m του υγρού από το αριστερό σκέλος στο δεξιό, είναι: U τελ =mg(h+ ½ y)+m g(h+y) +Μg(h+y) +U υγ Κατά συνέπεια η ενέργεια του συστήματος αυξήθηκε κατά: ΔU=U τελ U αρχ mg(h+½y)+m g(h+y)+μg(h+y)+u υγ ( mg ½h+m gh+m gh+μgh+u υγ ) U τελ U αρχ = mg( ½ h+ ½ y) +(m +Μ)gy m gh ΔU = ½ ρgα h + ½ ρgα h y +w y+μgy w h ΔU = ½ ρgα h(h+y) +w y+μgy w h Όπου ½ ρgα h(h+y) η αύξηση της δυναμικής ενέργειας του νερού που μεταφέρθηκε από το αριστερό στο δεξιά σκέλος, w y η αύξηση της δυναμικής ενέργειας του Β εμβόλου, Μgy η αύξηση της δυναμικής ενέργειας του σώματος Σ και w h η μείωση της δυναμικής ενέργειας του εμβόλου Α. ΔU= ½ ,8(0,8+0,04)J+00 0,04J ,04J-0 0,8J=80,67J. Αλλά με βάση την αρχή διατήρησης της ενέργειας, αφού αυξήθηκε η ενέργεια του συστήματος κατά 80,67J, το σύστημα πήρε από το περιβάλλον του, ισοδύναμο ποσό ενέργειας. Ναι, αλλά από την ατμόσφαιρα δεν πήρε ενέργεια (προηγούμενο ερώτημα), συνεπώς την ενέργεια αυτή πήρε μέσω του έργου της εξωτερικής δύναμης F που ασκήθηκε στο έμβολο. Συνεπώς: W F =80,67J. h y

23 3. Ρευστά σε κίνηση Κατά την κίνηση των ρευστών αναπτύσσονται δυνάμεις τριβής μεταξύ των μορίων τους (εσωτερική τριβή) αλλά και μεταξύ των μορίων και των τοιχωμάτων του σωλήνα μέσα στον οποίο πραγματοποιείται η κίνηση (δυνάμεις συνάφειας) Ιδανικό ρευστό. Είναι το ρευστό στο οποίο δεν λαμβάνουμε υπόψη τις τριβές μεταξύ των σωματιδίων του ρευστού όσο και με τα τοιχώματα του δοχείου. Πραγματικό Ρευστό. Στο πραγματικό ρευστό οι τριβές είναι σημαντικές και πρέπει να προσδιοριστούν και να ληφθούν υπόψη. Ροή (flow) ονομάζεται η κίνηση του ρευστού σε περιοχή του χώρου. Η ταχύτητα της ροής ενός ρευστού εξαρτάται και από τη θέση του ρευστού και από το χρόνο. Μόνιμη ροή (steady flow) Είναι η ροή κατά την οποία η ταχύτητα σε ένα συγκεκριμένο σημείο του ρευστού είναι σταθερή με το χρόνο. Η ταχύτητα εξαρτάται μόνο από τη θέση του ρευστού. Τα σωμάτια του ρευστού αλλάζουν θέση αλλά όταν περνούν από την ίδια θέση θα έχουν την ίδια ταχύτητα. Σε μία επόμενη θέση η ταχύτητα θα είναι διαφορετική αλλά και εκεί θα έχει σταθερή τιμή. π.χ. στο διπλανό σχήμα κάθε φορά που ένα σωμάτιο ρευστού βρίσκεται στη θέση Α θα έχει μία συγκεκριμένη τιμή ταχύτητας. Στη θέση Β η ταχύτητα θα είναι διαφορετική αλλά και πάλι αυτή θα είναι σταθερή. Α υ Β υ Μη μόνιμη ροή (unsteady flow) Είναι η ροή κατά την οποία η ταχύτητα σε ένα σημείο του ρευστού δεν είναι σταθερή με το χρόνο. Η ταχύτητα εξαρτάται και από τη θέση αλλά και από το χρόνο σε ένα σημείο. Π.χ στο διπλανό σχήμα στο σημείο Α η ταχύτητα δεν είναι σταθερή με το χρόνο. Μία στιγμή t που θα βρεθεί ένα σωμάτιο θα έχει ταχύτητα u και την t που θα βρεθεί ένα άλλο σωμάτιο ρευστού στην θέση αυτή θα έχει ταχύτητα u διαφορετική από την u. Ρευματικές γραμμές Χρήστος Αγριόδημας 3

24 Ρευματική γραμμή 4. Το σύνολο των θέσεων από τις οποίες περνά κάθε σωμάτιο του ρευστού. Αποτελεί την τροχιά του σωματιδίου και ορίζει μία γραμμή. Η ταχύτητα κάθε σωματιδίου του ρευστού είναι εφαπτόμενη στη ρευματική γραμμή. Φλέβα Αν θεωρήσουμε μια επιφάνεια Α κάθετη στη διεύθυνση του σωλήνα, μέσα στον οποίο κινείται ένα ρευστό και από κάθε σημείο του περιγράμματος της σχεδιάσουμε την αντίστοιχη ρευματική γραμμή μέσα στο ρευστό σχηματίζεται ένας νοητός σωλήνας που ονομάζεται φλέβα. Σε κάθε σημείο στο περίγραμμα της επιφάνειας Α αντιστοιχεί μία ρευματική γραμμή. Όλες αυτές οι ρευματικές γραμμές ορίζουν μία φλέβα φλέβα Ρευματική γραμμή Στρωτή ροή (laminar flow). Είναι ροή σε παράλληλες στρώσεις χωρίς αλληλεπίδραση Στρωτή ροή μεταξύ των στρώσεων. Οι γειτονικές στρώσεις του ρευστού κινούνται σχηματίζοντας λείες (όχι απαραίτητα ευθείες) ρευματικές γραμμές. Στη στρωτή ροή δεν πραγματοποιείται ανάμιξη μακροσκοπικής κλίμακας μεταξύ δυο γειτονικών στρώσεων. Οι στρωτές ροές αποτελούν θεωρητική περίπτωση και πολύ σπάνια συμβαίνουν στη φύση. Όπως φαίνεται από τον ορισμό της στρωτής ροής το ρευστό που κυλάει σε κάποια φλέβα δεν αναμιγνύεται με το περιεχόμενο άλλης φλέβας του σωλήνα. Ένα «σωματίδιο ρευστού» που βρίσκεται σε μια τέτοια φλέβα δεν μπορεί να δραπετεύσει από τα νοητά τοιχώματα της. Εάν αυτό συνέβαινε θα είχαμε τομή ρευματικών γραμμών. 4 Ο παραπάνω ορισμός είναι σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο. Πιο αυστηρά ρευματική γραμμή, (streamline), είναι κάθε συνεχής γραμμή εντός του πεδίου ροής η οποία έχει την ιδιότητα, σε κάθε σημείο της, το διάνυσμα της ταχύτητας του πεδίου ροής να είναι εφαπτομένη της. Ινώδης φλέβα, (streakline), καλείται η συνεχής γραμμή που συνδέει τα στοιχεία του ρευστού που έχουν περάσει από την ίδια θέση του πεδίου ροής σε διαφορετικές χρονικές στιγμές. Τροχιά, (pathline) καλείται η συνεχής γραμμή που ενώνει τις διαδοχικές θέσεις από τις οποίες διέρχεται ένα στοιχείο του ρευστού κατά την κίνησή του στο πεδίο ροής. Στη μόνιμη στρωτή ροή οι παραπάνω τροχιές ταυτίζονται. Στη μόνιμη ροή οι ρευματικές γραμμές είναι χρονικά αμετάβλητες και συμπίπτουν με τις τροχιές των σωματιδίων του ρευστού. Στην μη μόνιμη ροή αυτή ή σύμπτωση δεν υφίσταται. Στη μη μόνιμη ροή οι εφαπτόμενες στις ρευματικές γραμμές είναι οι διευθύνσεις των ταχυτήτων των σωματιδίων του ρευστού σε διάφορα σημεία του χώρου μια δοθείσα χρονική στιγμή, ενώ οι εφαπτόμενες στις τροχιές είναι οι διευθύνσεις των ταχυτήτων ενός δοθέντος σωματιδίου του ρευστού διαφορετικές χρονικές στιγμές. Χρήστος Αγριόδημας 4

25 Τυρβώδης ροή (turbulent flow). Στην Τυρβώδης ροή τυρβώδη ροή τα σωματίδια του ρευστού ακολουθούν ακανόνιστη σχεδόν τυχαία διακυμαινόμενη κίνηση. Στην τυρβώδη ροή σχηματίζονται δίνες, (στρόβιλοι). Η ταχύτητα σε κάθε σημείο του ρευστού μεταβάλλεται με το χρόνο τόσο κατά μέγεθος, όσο και κατά διεύθυνση. Η ροή κατά στρώσεις με λείες γραμμές ροής που παρατηρείται στη στρωτή ροή, διασπάται πλήρως και συμβαίνει έντονη μακροσκοπική ανάμιξη μεταξύ δυο γειτονικών στρώσεων. Παρατήρηση. Στο σχολικό βιβλίο η μόνιμη ροή ταυτίζεται με τη στρωτή. Ωστόσο μία στρωτή ροή μπορεί να είναι και μη μόνιμη, ενώ η τυρβώδης ροή είναι πάντα μη μόνιμη.. Η κλασική Μηχανική των ρευστών αναπτύχθηκε με βάση το μοντέλο του ιδανικού (ιδεώδους) ρευστού, δηλαδή του ρευστού που θεωρείται ασυμπίεστο και με μηδενική συνεκτικότητα. Λέγοντας ότι ένα ρευστό έχει μηδενική συνεκτικότητα εννοούμε ότι μεταξύ δύο γειτονικών στρωμάτων του δεν αναπτύσσονται κατά την σχετική τους κίνηση διατμητικές δυνάμεις, δηλαδή δυνάμεις παράλληλες προς τα στρώματα αυτά (δυνάμεις τριβής), με αποτέλεσμα τα στρώματα να μη παραμορφώνονται. Λέγοντας εξάλλου ότι ένα ρευστό είναι ασυμπίεστο εννοούμε ότι ο όγκος του δεν μεταβάλλεται όταν αυτό υποβάλλεται σε πιεστικές δυνάμεις. Στην φύση δεν υπάρχουν ιδανικά ρευστά αλλά επινοήθηκαν με σκοπό να δημιουργηθούν μαθηματικοί φορμαλισμοί που προσεγγίζουν με ανεκτή πιστότητα την συμπεριφορά των πραγματικών ρευστών. 3. Για τα πραγματικά ρευστά διακρίνουμε δύο τύπους ροής, την στρωτή ροή και την τυρβώδη ροή. Οι δύο αυτοί τύποι ροής είναι αποτέλεσμα της συνεκτικότητάς τους και η μεν στρωτή ροή είναι συμβατή με ισχυρές δυνάμεις συνεκτικότητας, ενώ η τυρβώδης συμβαίνει στην περίπτωση που οι δυνάμεις συνεκτικότητας υποχωρούν έναντι άλλων δυνάμεων που δέχεται το ρευστό. Άρα δεν έχει νόημα να συζητάμε για στρωτή ή τυρβώδη ροή ιδανικού ρευστού. Στο σημείο αυτό πρέπει να επισημάνουμε ότι στο σχολικό βιβλίο της Γ Λυκείου η στρωτή ροή αναφέρεται ατυχώς στα ιδανικά ρευστά και μάλιστα ταυτίζεται με την μόνιμη ροή, γεγονός που δημιουργεί σύγχυση εννοιών. 4. Στην περίπτωση της στρωτής ροής τα ρευστά σωματίδια κινούνται σε παράλληλες διακεκριμένες στρώσεις, χωρίς αυτές μακροσκοπικά να αναμιγνύονται μεταξύ τους. Τυχαίες αποκλίσεις της τροχιάς των σωματιδίων εξαφανίζονται από την δράση των ισχυρών δυνάμεων συνεκτικότητας και έτσι αυτά επανέρχονται στην στρωσιγενή πορεία τους. Στην περίπτωση της τυρβώδους ροής τα ρευστά σωματίδια ακολουθούν ακανόνιστες τροχιές χωρίς οι δυνάμεις συνεκτικότητας να έχουν το απαιτούμενο μέγεθος για να επιβάλλουν στρωματική κίνηση, με αποτέλεσμα να γίνεται εμφανής η μακροσκοπική ανάμιξη μεταξύ γειτονικών στρώσεων, ενώ η ταχύτητα του ρευστού σε οποιαδήποτε σημείο παρουσιάζει συνεχείς τυχαίες διακυμάνσεις. Μια στρωτή ροή πραγματικού ρευστού μπορεί να είναι μόνιμη ή όχι, ενώ η τυρβώδης ροή είναι πάντα μη μόνιμη. Χρήστος Αγριόδημας 5

26 3.. Εξίσωση Συνέχειας Διατήρηση της μάζας Παροχή Είναι ο ρυθμός μεταβολής του όγκου V του ρευστού σε συνάρτηση με το χρόνο που διέρχεται από μια διατομή ενός σωλήνα ή μιας φλέβας. Π= Μονάδα μέτρησης στο S.I., η παροχή Π και μετριέται σε m 3 /s Αν η διατομή του σωλήνα είναι Α και το ρευστό στο χρονικό διάστημα dt έχει μετατοπιστεί κατά dx, μπορούμε να γράψουμε για τον όγκο : dv = dx Οπότε: dv dt dv dx Π= = Π= υ dt dt Η παροχή σωλήνα ή φλέβας σε κάποια θέση είναι ίση με το γινόμενο του εμβαδού της διατομής Α επί το μέτρο της ταχύτητας του ρευστού υ στη θέση αυτή. dx 3.. Διατήρηση μάζας και εξίσωση συνέχειας Αν το ρευστό που ρέει στο σωλήνα είναι ασυμπίεστο, η παροχή είναι σταθερή. Όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί, εκεί που στενεύει η διατομή του σωλήνα αυξάνεται η ταχύτητα ροής και το αντίστροφο. Αφού λοιπόν η μάζα του ρευστού που μετακινείται είναι ίδια: V t V t m = m ρ V = ρ V = x x = υ = υ t t Δx υ Δx υ Η εξίσωση αυτή ονομάζεται εξίσωση της συνέχειας και είναι άμεση συνέπεια της Αρχής Διατήρησης της μάζας. Χρήστος Αγριόδημας 6

27 Παρατήρησεις. Κατά μήκος ενός σωλήνα ή μιας φλέβας η παροχή διατηρείται σταθερή.. Η ταχύτητα ροής είναι μεγαλύτερη εκεί που υπάρχει στένωση δηλ. εκεί που οι ρευματικές γραμμές πυκνώνουν. Π.χ. Κατά μήκος ενός ποταμού με σταθερό πλάτος πολλές φορές το βάθος ποικίλει. Εκεί που το ποτάμι έχει μικρό βάθος έχει και μικρή εγκάρσια διατομή οπότε το νερό κυλάει γρηγορότερα (αυξάνεται η ταχύτητα ροής), ενώ στα σημεία που το ποτάμι βαθαίνει κυλάει πιο αργά (μειώνεται η ταχύτητα ροής). 3.3 Η Διατήρησης της Ενέργειας και η εξίσωση ernoulli 3.3. Νόμος ernoulli Απόδειξη σχολικού λίγο πιο αναλυτικά Ιδανικό υγρό ρέει μέσα σε σωλήνα. Η ροή είναι στρωτή και μόνιμη. Η ταχύτητα ροής σε κάθε θέση παραμένει δηλαδή σταθερή (αμετάβλητο πεδίο ροής). Θεωρούμε τμήμα ΑΒΓΔ της φλέβας του υγρού μέσα στο σωλήνα. Το τμήμα αυτό δέχεται τις εξής δυνάμεις: Το βάρος του. Τις πλευρικές δυνάμεις από τα τοιχώματα που είναι κάθετες στη ροή. Τις δυνάμεις F και F από τα εξωτερικά τμήματα της φλέβας. Θα εφαρμόσουμε το θεώρημα έργου ενέργειας για το τμήμα του ρευστού που την στιγμή t καταλαμβάνει την περιοχή ΑΒΓΔ. Την στιγμή t+dt το ρευστό αυτό καταλαμβάνει την περιοχή Α Β Γ Δ. Ρευστό μάζας δm μπήκε στην περιοχή Α ΒΓΔ και ρευστό ίσης μάζας βγήκε από αυτήν. Παρατηρούμε ότι οι δύο περιοχές επικαλύπτονται κατά το τμήμα Α ΒΓΔ, που έστω έχει μάζα Μ, κινητική ενέργεια Κ, και το κέντρο βάρους του βρίσκεται σε ύψος Η από το επίπεδο αναφοράς. Η κινητική ενέργεια του ρευστού στο Α'ΒΓΔ' έχει σταθερή τιμή Κ, διότι στη μόνιμη ροή η ταχύτητα σε ορισμένο σημείο μένει σταθερή και είναι ανεξάρτητη του χρόνου. Το υγρό μάζας δm που βρισκόταν την στιγμή t στη περιοχή ΑΑ Δ Δ έχει κινητική ενέργεια ½ δm υ ² και το ρευστό δm που εξέρχεται από την περιοχή ΑΒΓΔ, την t+dt καταλαμβάνει την περιοχή ΒΒ Γ Γ και προφανώς λόγω συνέχειας, δm = δm = δm. Έτσι, η κινητική ενέργεια του τμήματος της φλέβας είναι, αρχικά: Κ αρχ = Κ + ½ δm υ ² τελικά: Κ τελ = Κ + ½ δm υ ² και η μεταβολή της κινητικής ενέργειας: ΔΚ = ½ δm (υ ² υ ²) Χρήστος Αγριόδημας 7 h h δm F υ Δ Δ Δx (U = 0) υ Η δm Γ Β F Γ Δx

28 Το έργο του βάρους του τμήματος αυτού του υγρού στο χρόνο δt είναι: W = U αρχ U τελ = (Μ g H + δm g h ) (Μ g H + δm g h ) W = δm g (h h ) Τέλος, αν, Α οι διατομές (ΑΔ) και (ΒΓ) και ρ η πυκνότητα του υγρού, ισχύει: δm ρ= δv δm = δv = δm δv και τα έργα των F και F είναι αντίστοιχα: W = F δx = P δx = P δv W = P δm ρ W = F δx = P δx = P δv W = P Έτσι, αν εφαρμόσουμε το θεώρημα έργου ενέργειας (ΘΜΚΕ) για την κίνηση του τμήματος αυτού του υγρού προκύπτει: W = ΔK W + W + W = ΔΚ δm g (h h ) + P δm ρ δm δm P = ½ δm (υ ² υ ²) ρ ρ P + ρ g h + ½ ρ υ ² = P + ρ g h + ½ ρ υ ² ή αλλιώς: P + ρ g h + ½ ρ υ² = σταθ. Παρατηρήσεις. Η εξίσωση ernoulli είναι συνέπεια της διατήρησης ενέργειας κατά μήκος της ροής ενός Υγρού.. Η εξίσωση του ernoulli ισχύει όταν α) Το υγρό είναι ασυμπίεστο (ρ = σταθ.). β) Αγνοούμε το ιξώδες του υγρού. Στην πράξη μπορούμε το κάνουμε σε περιπτώσεις που η ταχύτητα ροής είναι σχετικά μικρή, και ο σωλήνας ροής έχει σχετικά μικρό μήκος και μεγάλη διατομή. γ) Η ροή είναι στρωτή και μόνιμη. δ) Δεν συμβαίνει ροή θερμότητας. ε) Η εξίσωση εφαρμόζεται κατ αρχήν κατά μήκος της ίδιας ρευματικής γραμμής. Στις περιοχές όμως που η ροή είναι αστρόβιλη μπορούμε να τη χρησιμοποιούμε ανάμεσα σε οποιαδήποτε σημεία, όχι απαραίτητα στην ίδια ρευματική γραμμή. στ) Τέλος, δεν υπάρχουν στην περιοχή ροής αντλίες ή υδροτουρμπίνες, δηλαδή γενικά διατάξεις που προσφέρουν στο υγρό ενέργεια ή του αφαιρούν, προκαλώντας έτσι απότομες αυξήσεις ή μειώσεις της πίεσης. Χρήστος Αγριόδημας 8

29 3. Ένα ρευστό που ρέει σε σωλήνα, μόλις εξέλθει στην ατμόσφαιρα θεωρούμε ότι έχει πίεση ίση με την ατμοσφαιρική, p ατμ. 4. Ο νόμος του Βernoulli εφαρμόζεται και στα αέρια. 5. Τα φαινόμενα ροής γύρω από ένα σώμα είναι ίδια είτε το σώμα κινείται με σταθερή ταχύτητα και το ρευστό ηρεμεί, είτε το σώμα ηρεμεί και το ρευστό κινείται με αντίθετη ταχύτητα. Κατά την εφαρμογή της εξίσωσης ernoulli, όταν έχουμε εμπόδιο που κινείται μέσα σε ακίνητο ρευστό με σταθερή ταχύτητα (π.χ. αεροπλάνο), η ταχύτητα που υπεισέρχεται στον τύπο είναι η σχετική ταχύτητα του ρευστού ως προς το εμπόδιο. Δηλαδή, την εξίσωση του ernoulli την γράφει ο παρατηρητής που βρίσκεται πάνω στο εμπόδιο. Αυτό γίνεται διότι η ροή με σύστημα αναφοράς ένα παρατηρητή στο έδαφος δεν είναι μόνιμη. Τουναντίον με σύστημα αναφοράς το εμπόδιο η ροή είναι μόνιμη. Διερεύνηση Εξίσωσης ernoulli 6. Στην μορφή P+ρ g h + ½ ρ υ² = σταθ. της εξίσωσης, ο κάθε όρος εκφράζει αντίστοιχα ένα είδος πίεσης: P η στατική πίεση σε κάθε θέση. Η πίεση αυτή είναι η «κινητήρια», προέρχεται δηλαδή από το αίτιο που προκάλεσε τη ροή. Είναι αυτή που μετρά ένας παρατηρητής όταν κινείται με την ταχύτητα του ρευστού δηλ. είναι ακίνητος ως προς το ρευστό γι αυτό και ο όρος στατική. Η στατική πίεση είναι ταυτόσημη με την συνήθη έννοια της πίεσης, είναι η πίεση όπως την ορίζουμε στη θερμοδυναμική και οφείλεται στις πιεστικές δυνάμεις που επιδρούν στο ρευστό δηλ. σχετίζεται με κρούσεις μορίων. Μπορεί να προσδιοριστεί για κάθε σημείο σε ένα πεδίο ροής χρησιμοποιώντας ένα μανόμετρο χωρίς να εμποδίζει τη ροή. Π.χ χρησιμοποιώντας ένα σωλήνα ourdon ή μια στήλη υδραργύρου. P δυν =½ ρ υ² η δυναμική πίεση εξαιτίας της κινητικής ενέργειας του υγρού. Εκφράζει την πυκνότητα κινητικής ενέργειας ή την κινητική ενέργεια του ρευστού ανά μονάδα όγκου, αφού m υ ρυ =. V Η δυναμική πίεση είναι η πίεση που «αισθάνεται» ένα σώμα εξ αιτίας της κίνησής του ως προς το ρευστό. Εδώ η κίνηση νοείται ως σχετική, δηλαδή το ρευστό, διεμβολίζει (ramming) το κινούμενο σώμα ή αντίθετα. Όταν παρεμβάλλουμε το χέρι μας σε μια ροή υγρού που κινείται με μεγάλη ταχύτητα αισθανόμαστε τόσο μεγαλύτερη δύναμη, όσο ταχύτερα κινείται το υγρό. Όταν βαδίζουμε κατά μήκος ενός ορμητικού ρεύματος, ασκείται στα πόδια μας δύναμη που έχει τη κατεύθυνση της ροής του ρεύματος. Οι δυνάμεις και στις δύο περιπτώσεις οφείλονται στη δυναμική πίεση. Η δυναμική πίεση αυξάνεται, όταν αυξάνεται η ταχύτητα. Στην πραγματικότητα η δυναμική πίεση δεν είναι πίεση, ο όρος μας διευκολύνει να εξηγήσουμε την ελάττωση της πίεσης λόγω της αύξησης της ταχύτητας. P υψ = ρ g h η υψομετρική πίεση λόγω ύψους ως προς κάποιο επίπεδο αναφοράς. Δηλ. πρακτικά η πίεση αυτή είναι «διαθέσιμη» σε σημεία χαμηλότερου ύψους. Ο όρος ρ g h εκφράζει Χρήστος Αγριόδημας 9

30 την πυκνότητα της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας ή την βαρυτική δυναμική ενέργεια του m g h ρευστού ανά μονάδα όγκου, αφού ρgh= V Το άθροισμα τους είναι η «συνολική πίεση» P ολ = P + P δυν + P υψ σε κάθε θέση. Η δυναμική πίεση (dynamic pressure) και η υψομετρική πίεση δεν αντιστοιχούν στην πραγματικότητα σε κάποια πίεση που σχετίζεται με κάποια πιεστική δύναμη. 7. Η εξίσωση του ernoulli μπορεί να πάρει τη μορφή: p p = ρ( υ υ ) + ρ g( h h) Που σημαίνει ότι μεταβολές στην πίεση ενός ρευστού κατά μήκος μιας ρευματικής γραμμής, επιφέρουν μεταβολές στην ταχύτητα ροής του ρευστού ή/και στο ύψος στο οποίο ρέει. Μετασχηματίζοντας το ο μέλος σε διαστάσεις ενεργειακής πυκνότητας έχουμε h h δm F υ Δ Δ Δx ( p p) V p p = V F F F F ( V V ( x x ( F x F x ) WF + W F = = p p = V V V V (U = 0) υ H δm Β F Γ Γ Δx Επομένως: η διαφορά πίεσης εκφράζει το έργο του περιβάλλοντος ρευστού ανά μονάδα όγκου, δηλαδή την ενέργεια που ανταλλάσσει το υπό μελέτη τμήμα του ρευστού με το υπόλοιπο, ανά μονάδα όγκου. Η εξίσωση ernoulli ως έκφραση της Αρχής Διατήρησης της Ενέργειας (Α.Δ.Ε.) Εάν επανέλθουμε στην παραπάνω εξίσωση τότε με βάση όσα προαναφέραμε μπορούμε να τη γράψουμε στη μορφή: p p = ρ( υ υ ) + ρ g( h h) ( Uβαρ. ) WF + W F Κ U ΣW Κ+ ΣW Ε V V V V V V V βαρ. µηχ. = + = = Σ = Εµηχ. W Χρήστος Αγριόδημας 30

31 Έτσι η εξίσωση ernoulli μας πληροφορεί πως η ανά μονάδα όγκου μεταβολή της μηχανικής ενέργειας του υπό μελέτη τμήματος ενός ρευστού, ισούται με το ανά μονάδα όγκου έργο, που ανταλλάσσει το τμήμα αυτό με το περιβάλλον. Η παραπάνω έκφραση αποτελεί έκφραση της Αρχής Διατήρησης της Ενέργειας 5 διότι: αποκλείουμε την ανταλλαγή θερμότητας και θεωρούμε πως η μεταβολή της ενέργειάς του εκφράζεται μόνο ως μεταβολή της μηχανικής του ενέργειας και όχι της εσωτερικής του ενέργειας. Έχουμε αποκλείσει μηχανισμούς μεταφοράς ενέργειας όπως ηλεκτρομαγνητική, χημική, ηλεκτρική κτλ μεταξύ ρευστού και περιβάλλοντος ενώ το έργο είναι ο μόνος μηχανισμός μεταφοράς ενέργειας μέσω του οποίου ενέργεια εισέρχεται στο σύστημα. Έτσι η Α.Δ.Ε. παίρνει τη μορφή ΣW = ΔΕ ΜΗΧ, στην οποία καταλήξαμε και μέσω της εξίσωσης ernoulli. Η εξίσωση ernoulli αποτελεί ειδική έκφραση της Αρχής Διατήρησης της Ενέργειας σε ένα ρευστό που ανταλλάσσει ενέργεια με το περιβάλλον του μόνο υπό μορφή μηχανικού έργου και δεν μεταβάλλει την εσωτερική του ενέργεια ή ισοδύναμα δεν μεταβάλλει τη θερμοκρασία του. 5 Μια ανεπτυγμένη μορφή της Αρχής Διατήρησης Ενέργειας είναι: ΔΚ + ΔU + ΔΕ εσωτ = W + Q + T MT + T MW + T ER + T ET Στο αριστερό μέλος της εξίσωσης φαίνονται τρεις τρόποι αποθήκευσης ενέργειας στο σύστημα: κινητική ενέργεια Κ, δυναμική ενέργεια U και εσωτερική ενέργεια Ε εσωτ. Η συνολική μεταβολή στην ενέργεια που είναι αποθηκευμένη στο σύστημα μπορεί να υπολογιστεί προσθέτοντας τις τρεις επιμέρους μεταβολές γι αυτούς τους τύπους αποθηκευμένης ενέργειας. Η κινητική ενέργεια Κ στο αριστερό μέλος της εξίσωσης ΑΔΕ, είναι το άθροισμα της μεταφορικής κινητικής ενέργειας του κέντρου μάζας του συστήματος, της περιστροφικής κινητικής ενέργειας γύρω από το κέντρο μάζας του συστήματος και της κινητικής ενέργειας που σχετίζεται με τις ακτινικές κινήσεις των μελών του συστήματος σε σχέση με το κέντρο μάζας. Η δυναμική ενέργεια U περιλαμβάνει όλα τα είδη, όπως βαρυτική, ηλεκτρική και ελαστική. Επιπρόσθετα, συμπεριλαμβάνεται η χημική δυναμική ενέργεια καυσίμων ή εκρηκτικών και τη βιολογική δυναμική ενέργεια από γεύματα. Η εσωτερική ενέργεια Ε εσωτ περιλαμβάνει την ενέργεια που σχετίζεται με την άτακτη κίνηση των μορίων, η οποία μετριέται με τη θερμοκρασία και την ενέργεια δεσμών μεταξύ μορίων που σχετίζεται με τη φάση (στερεή, υγρή ή αέρια) του συστήματος. Στο δεξί μέλος της εξίσωσης ΑΔΕ βρίσκεται το συνολικό ποσό ενέργειας που διαπερνά τα σύνορα του συστήματος, εκφρασμένο ως το άθροισμα των ενεργειών που μεταβιβάζονται με έξι συνήθεις διαδικασίες: W: έργο πάνω στο σύστημα από εξωτερικές δυνάμεις των οποίων τα σημεία εφαρμογής μετατοπίζονται. Q: ενέργεια που διαβιβάζεται διαμέσου των συνόρων του συστήματος με θερμότητα εξαιτίας της διαφοράς θερμοκρασίας ανάμεσα στο σύστημα και το περιβάλλον του. Τ ΜΤ : ενέργεια που διαβιβάζεται διαμέσου των συνόρων του συστήματος με μεταφοράς ύλης (Matter Transfer), όπως όταν εισάγεται καύσιμο σε ένα δοχείο. Τ MW : ενέργεια που διαβιβάζεται διαμέσου των συνόρων του συστήματος με μηχανικά κύματα (Mechanical Waves) όπως είναι τα ηχητικά και τα σεισμικά κύματα. Τ ΕR : ενέργεια που διαβιβάζεται διαμέσου των συνόρων του συστήματος με ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία (Electromagnetic Radiation) όπως είναι το φως και τα μικροκύματα. Τ ΕΤ : ενέργεια που διαβιβάζεται διαμέσου των συνόρων του συστήματος με ηλεκτρική μετάδοση (Electrical Transmission) από μία μπαταρία ή άλλη ηλεκτρική πηγή. Μια πολύ απλούστερη μορφή της παραπάνω εξίσωσης είναι η περίπτωση ενός συστήματος, όπως ενός αερίου που βρίσκεται σε ένα δοχείο, που παίρνει τη μορφή: ΔΕ εσωτ = W + Q Ή ισοδύναμα με βάση τη γνωστή γραφή ΔU=W+Q, όπου εδώ ΔU=ΔΕ εσωτ η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας και W η ενέργεια που μεταφέρεται στο σύστημα μέσω του έργου των εξωτερικών δυνάμεων, ενώ στην Ελληνική βιβλιογραφία παίρνει τη μορφή ΔU= Q W αερ, όπου εδώ W αερ είναι το έργο που παράγει το αέριο και η εξίσωση αυτή είναι γνωστή ως ος Θερμοδυναμικός νόμος. Χρήστος Αγριόδημας 3

32 3.3. Εφαρμογές εξίσωσης ernoulli Θεώρημα Torricelli (Υπολογισμός ταχύτητας εκροής υγρού από ανοιχτό δοχείο) Απάντηση: Έστω ότι έχουμε το δοχείο του σχήματος στη βάση του οποίου υπάρχει στόμιο εκροής. Εφαρμόζουμε το νόμο του ernoulli για τις θέσεις Α Ατμόσφαιρα (ελεύθερη επιφάνεια) και Β (στόμιο εκροής), κατά Α Α μήκος μιας ρευματικής γραμμής όπως φαίνεται στο σχήμα. υ Α p + ρυ + ρgh= p+ ρυ + ρgh h Β U υ =0 Όμως p =p =p ατ, h =h, h =0 και θεωρώντας την ταχύτητα με την οποία κατεβαίνει η στάθμη του υγρού αμελητέα συγκριτικά με την ταχύτητα με την οποία ρέει το νερό στο Β δηλ. υ 0, όπως προκύπτει από την εξίσωση της συνέχειας. << Α υ υ υ υ υ Α = Α = Α αντίστοιχη του σωλήνα στο ) 0, (η διατομή της δεξαμενής είναι πολύ μεγαλύτερη από την Τότε παίρνουμε: υ= υ pat + ρ0 + ρgh= pat + ρυ + ρg0 ρgh ρυ = υ= gh Η ταχύτητα εκροής υγρού από στόμιο που βρίσκεται σε βάθος h από την ελεύθερη επιφάνειά του είναι ίση με την ταχύτητα που θα είχε το υγρό αν έπεφτε ελεύθερα από ύψος h. Χρήστος Αγριόδημας 3

33 Ροόμετρο Venturi Το παρακάτω σχήμα δείχνει μία διάταξη που χρησιμεύει για τη μέτρηση της ταχύτητας ροής και παροχής σε ένα σωλήνα. Αν είναι γνωστές οι διατομές Α και Α, του σωλήνα και η υψομετρική διαφορά Δh στη στάθμη των δύο κατακόρυφων ανοιχτών σωλήνων Β και Γ, να βρεθεί η ταχύτητα ροής στην περιοχή του σωλήνα που έχει διατομή Α. Β Γ h Α Δh υ υ h Α Απάντηση: Εφαρμόζοντας την εξίσωση του ernoulli στα σημεία και που βρίσκονται στο ίδιο ύψος έχουμε p+ ρυ + ρ gh= p+ ρυ + ρ gh p p = ρ υ υ Από την εξίσωση της συνέχειας Α Α υ = Αυ υ = υ () Α ( ) ( ) Η () με τη βοήθεια της () γίνεται Α Α p p = ρ υ υ p p = ρυ Α Α (3) Όμως p = p αt +ρgh και p = p αt +ρgh όπου h το ύψος της στήλης του νερού πάνω από το σωλήνα μετρημένο από το σημείο και h το ύψος της στήλης του νερού μετρημένο από το σημείο. Αφαιρώντας κατά μέλη τις παίρνουμε p p = ρg( h h ) = ρgδh (4) Έτσι η (3) με τη βοήθεια της (4) διαμορφώνεται ω εξής: Χρήστος Αγριόδημας 33

34 Α Α Α g h ρg h= ρυ g h= υ g h υ = υ = Α Α Α Α Α g h υ = Α Α g h Αντίστοιχα η ταχύτητας υ προκύπτει από την σχέση () ίση με υ = Α Α Ενώ αν θέλουμε την παροχή γνωρίζοντας τις δια τομές Α και Α προκύπτει: g h Π = υ Α = Α Α Α Παρατήρηση Σε μόνιμη στρωτή ροή και όταν οι ρευματικές γραμμές είναι οριζόντιες το ρευστό στον κατακόρυφο άξονα δεν επιταχύνεται. Η μεταβολή της πίεσης μεταξύ δύο σημείων του ρευστού σε διεύθυνση κάθετα στη ροή υπολογίζεται από το θεμελιώδη νόμο της υδροστατικής. Αυτό προκύπτει από την διαφοροποιημένη εξίσωση του ernoulli 6 κατά μήκος κάθετα στις ροϊκές γραμμές. Δηλ. p p = ρgh p = p +ρgh h H ΑΒ H Δh n p = p ατ + ρgh +ρgh p = p ατ +ρgh Και για δύο τυχαία σημεία και ισχύει p p = ρgδh 6 Όπως προκύπτει από την εξίσωση του ernouli κάθετα στις δυναμικές γραμμές u p+ ρ dn+ ρgz= σταθ. τότε για R παράλληλη ροή, R και έτσι p+ ρ gz= σταθ. από όπου καταλήγουμε στο ότι η διαφορά πίεσης δύο σημείων σε παράλληλη ροή π.χ. του και είναι p p = ρgδh, δηλ. στην παράλληλη ροή η διαφορά πίεσης ισούται με ρgδh. Εναλλακτικά επειδή η ροή είναι μόνιμη και αστρόβιλη θα μπορούσαμε να εφαρμόσουμε την κλασσική εξίσωση ernoulli στα δύο σημεία παρόλο που δεν ανήκουν στην ίδια ρευματική γραμμή και να καταλήξουμε στο ίδιο αποτέλεσμα. Χρήστος Αγριόδημας 34

35 Μία άλλη απόδειξη είναι, έστω ότι έχουμε ένα σωλήνα σταθερής διατομής, στον οποίο έχει αποκατασταθεί μια μόνιμη ροή ιδανικού ρευστού. Παίρνουμε μια ποσότητα ρευστού που περιέχεται σε κύλινδρο ύψους h και που τα σημεία Α και Β βρίσκονται στις δυο βάσεις του. Το τμήμα αυτό κατακόρυφα δεν επιταχύνεται αλλά ισορροπεί. Αν σχεδιάσουμε τις κατακόρυφες δυνάμεις που ασκούνται στη μάζα F αυτή του υγρού, θα έχουμε: ΣF y = 0 F F = w p Α p Α=ρgΑ p p =ρgh ίδια δηλαδή εξίσωση που ισχύει και στην υδροστατική Λυμένα Παραδείγματα Α Β Παράδειγμα Στο παρακάτω σχήμα εμφανίζεται ένα τμήμα ενός οριζόντιου σωλήνα, εντός του οποίου έχουμε μια στρωτή ροή ενός ιδανικού ρευστού, σταθερής παροχής. Α Β Α Β w F O Γ i) Για τις ταχύτητες ροής στα σημεία Α, Β και Γ ισχύει: α) υ Α =υ Β =υ Γ, β) υ Α > υ Β > υ Γ, γ) υ Α < υ Β = υ Γ. ii) Ένα σωμάτιο ρευστού κατά την κίνησή του από το σημείο Β στο σημείο Γ επιταχύνεται ή όχι; iii) Για να μπορεί να υπάρχει η ροή αυτή, θα πρέπει p Α =p Γ. iv) Αν για τις δυο διατομές Α και Α του σχήματος ισχύει ότι Α =0Α και η ταχύτητα ροής στο σημείο Β είναι υ Β =m/s, να βρεθεί η ταχύτητα του υγρού στο σημείο Α. v) Ένα σωμάτιο ρευστού στη θέση Ο επιταχύνεται ή όχι; Αν ναι πού οφείλεται η επιτάχυνσή του; Να δικαιολογήσετε όλες τις απαντήσεις σας. i) Από το νόμο της συνέχειας έχουμε: Απάντηση: Α υ Α =Α υ Β =Α υ Γ Αλλά τότε αφενός υ Β =υ Γ, αφετέρου επειδή Α >Α θα έχουμε ότι υ Α <υ Β. Συνεπώς η σωστή σχέση είναι η γ) δηλαδή υ Α < υ Β = υ Γ. ii) Αφού η παροχή παραμένει σταθερή. θα είναι και σταθερή η ταχύτητα του υγρού, κάθε στιγμή στο σημείο Β (Π=Α Β υ Β ). Δηλαδή ένα σωματίδιο ρευστού δεν έχει επιτάχυνση στη θέση Β. Αλλά, όπως δείξαμε και παραπάνω σταθερή ταχύτητα έχουμε στον στενό σωλήνα από το Β στο Γ. Συνεπώς το σωματίδιο ρευστού, δεν επιταχύνεται μεταξύ των θέσεων Β και Γ. iii) Εφαρμόζοντας το νόμο του ernoulli, μεταξύ των σημείων Α και Γ παίρνουμε: p + ρυ = p Γ + ρυ Γ Χρήστος Αγριόδημας 35

36 p p Γ = ρυ Γ ρυ Αφού υ Α < υ Γ θα ισχύει και p Α -p Γ >0 ή p Α > p Γ. iv) > Από το νόμο της συνέχειας Α υ Α =Α υ Β, οπότε: Α Α υ Α = υβ = υβ = m/s Α 0Α 0 v) Η παροχή σε κάθε διατομή του σωλήνα είναι ίση Π=Α υ. = Αλλά τότε αν το εμβαδόν της διατομής παραμένει σταθερό, θα παραμένει σταθερή και η ταχύτητα ροής. Στην περιοχή όμως που μειώνεται το εμβαδόν της διατομής, όπως στο σημείο Ο, η ταχύτητα ροής αυξάνεται. Έτσι αν πάρουμε τα σημεία Ο και Ο, όπως στο σχήμα, από το νόμο τον νόμο της συνέχειας έχουμε: Α υ = Α O O υ υ Α = υ Α O < O 0 0,m/s Δηλαδή ένα σωματίδιο ρευστού κινούμενο από το σημείο Ο στο σημείο Ο η ταχύτητά του θα αυξάνεται, πράγμα που σημαίνει ότι επιταχύνεται. Εξάλλου από το νόμο του ernoulli, θα έχουμε: po+ ρυ O= po + ρυo Οπότε αφού υ O > υ O θα έχουμε και p O > p O, πράγμα που σημαίνει ότι κατά μήκος της ρευματικής γραμμής που συνδέει τα Ο, Ο η πίεση μειώνεται. Αλλά τότε, αν πάρουμε σε μεγέθυνση ένα τέτοιο στοιχειώδες σωματίδιο ρευστού, θα δέχεται στην διεύθυνση της κίνησής του τις δυνάμεις που φαίνονται στο διπλανό σχήμα με μέτρα: F =p dα και F =(p-dp) dα με συνισταμένη προς τα δεξιά, οπότε και θα επιταχύνεται στην ίδια κατεύθυνση. Συμπέρασμα: Αιτία της επιτάχυνσης στο σημείο Ο, κάθε σωματιδίου ρευστού, είναι η διαφορά πιέσεως που εμφανίζεται κατά μήκος του σωλήνα ο οποίος στενεύει! O O F d O F Χρήστος Αγριόδημας 36

37 Παράδειγμα Μια μεγάλη δεξαμενή είναι γεμάτη νερό μέχρι ύψους h=5m, ενώ ένα σωλήνας, που συνδέεται στον πυθμένα, έχει διατομή Α=cm και κλείνεται με στρόφιγγα στο άκρο Α, όπως στο σχήμα. Το νερό με πυκνότητα ρ=.000kg/m 3, θεωρείται ιδανικό ρευστό και η ροή στρωτή και μόνιμη με τη στρόφιγγα ανοικτή, ενώ στο σχήμα έχει χαραχθεί μια ρευματική γραμμή ΔΓΑ. Δίνεται επίσης g=0m/s. i) Ποιες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος, με την στρόφιγγα ανοικτή: α) Η πίεση στο σημείο Δ της επιφάνειας είναι ίση με την πίεση στο Α. β) Μια μικρή μάζα νερού, έχει μεγαλύτερη κινητική ενέργεια, την στιγμή που βγαίνει από το άκρο Α, παρά όταν βρίσκεται κοντά στην επιφάνεια στο Δ. γ) Η πίεση στο σημείο Β είναι ίση με την πίεση στο Α. δ) Για τις τιμές της πίεσης στα σημεία Β και Γ ισχύει p Β p Γ =ρgh ΓΒ. ii) Αν η διατομή της δεξαμενής είναι πολύ μεγάλη, ποια η ταχύτητα με την οποία βγαίνει το νερό από το άκρο Α; iii) Κλείνουμε την στρόφιγγα. Η πίεση στο σημείο Α άλλαξε ή όχι; v) Αν πιέσουμε με την βοήθεια ενός εμβόλου την πάνω επιφάνεια της δεξαμενής, θα αυξηθεί η ποσότητα του νερού που θα βγαίνει από την διατομή στο Α, με τη στρόφιγγα ανοικτή. Μπορείτε να εξηγείστε γιατί συμβαίνει αυτό; Απάντηση: i) α) Η πίεση σε ένα σημείο Δ της επιφάνειας είναι ίση με την πίεση στο Α. Η πρόταση είναι σωστή. p Α =p Δ =p ατμοσφαιρική. β) Μια μικρή μάζα νερού, έχει μεγαλύτερη κινητική ενέργεια, την στιγμή που βγαίνει από το άκρο Α, παρά όταν βρίσκεται κοντά στην επιφάνεια στο Δ. Η πρόταση είναι σωστή. Πρακτικά η ταχύτητα στο σημείο Δ θεωρείται μηδενική. Πράγματι από την εξίσωση της συνέχειας Α Δ υ Δ =Α Α υ Α. Αλλά αφού Α Δ >>Α Α θα ισχύει ότι υ Α >>υ Δ. γ) Η πίεση στο σημείο Β είναι ίση με την πίεση στο Α. Η πρόταση είναι σωστή. Αφού ο οριζόντιος σωλήνας έχει σταθερή διατομή, η ταχύτητα στο σημείο Β είναι ίδια με την ταχύτητα στο άκρο Α. Αλλά τότε από το νόμο ernoulli, έχουμε: pα+ ρυα = p + ρυ p Α = p Β. δ) Για τις τιμές της πίεσης στα σημεία Β και Γ ισχύει p Β p Γ =ρgh ΓΒ. Η πρόταση είναι λανθασμένη. Η παραπάνω σχέση θα ήταν σωστή αν δεν είχαμε κίνηση του υγρού, αλλά ισορροπία. Στην περίπτωση της μόνιμης ροής ισχύει ο νόμος ernoulli, όπου: pγ + ρυ Γ + ρghγβ = p + ρυ. ii) Εφαρμόζοντας το νόμο ernoulli, μεταξύ των σημείων Δ και Α, όπου p Δ =p Α =p ατ και θεωρώντας υ Δ =0, αφού η διατομή της δεξαμενής είναι πολύ μεγαλύτερη από την αντίστοιχη του Χρήστος Αγριόδημας 37 Γ

38 σωλήνα στο Α, παίρνουμε: iii) p Δ + ρυ + ρgh= pα + ρυα. ρυ Α = ρgh υ gh (θεώρημα Torricelli) = Α υ Α = 0 5m/s= 0m/s Μόλις κλείσουμε τη στρόφιγγα, έχουμε πια το νερό σε ισορροπία. Αλλά τότε για τις πιέσεις στα σημεία Δ και Α θα έχουμε: p Α p Δ =ρgh p Α =p Δ +ρgh p Α =0 5 Ν/m Ν/m =,5 0 5 Ν/m. Αν η δεξαμενή καλυπτόταν από ένα αβαρές * έμβολο, στο οποίο ασκούσαμε μια εξωτερική δύναμη, τότε θα είχαμε αύξηση της Γ F πίεσης στο κάτω άκρο του εμβόλου, κατά εξ. Επειδή το έμβολο είναι αβαρές ισχύει ΣF=0, δηλ ισορροπεί. Έτσι στο σημείο Δ η πίεση θα αποκτούσε τιμή: ΣF = 0 F ν F α F εξ = 0 F ν = F α + F εξ p Δ Α = p ατ Α + F εξ Fεξ pδ = paτ + Α Εφαρμόζοντας ξανά το νόμο ernoulli, μεταξύ των σημείων Δ και Α, όπως και παραπάνω έχουμε: p + Δ ρυ ρgh pα ρυα + = + Fεξ pa τ ρgh= pατ + ρυ Α Α Fεξ υ Α = gh+ ρα Βλέπουμε ότι με την άσκηση της εξωτερικής δύναμης στην πάνω επιφάνεια, αυξάνεται η ταχύτητα εκροής του νερού, αφού Fεξ gh+ > gh, αλλά τότε η παροχή θα αυξηθεί, αφού: ρα Π=Α Α υ Α. F εξ F a F ν F εξ Σημείωση* Αν το έμβολο δεν είναι αβαρές, αλλά είχε βάρος w, τότε ασκώντας την εξωτερική w+ Fεξ κατακόρυφη δύναμη F εξ η πίεση αυξάνεται κατά. Οι δυνάμεις που ασκούνται στο έμβολο, έχουν σχεδιαστεί στο διπλανό σχήμα. Το έμβολο ισορροπεί γιατί κατεβαίνει πολύ αργά, με την ταχύτητα εκροής δηλ. υ=0 και ισχύει ΣF=0: w+ Fεξ ΣF=0 F ν =F α +w+f εξ p Δ Α = p ατ Α+w+F εξ p = pa τ + F a w Fν F εξ Χρήστος Αγριόδημας 38

39 Παράδειγμα 3 Στο διπλανό σχήμα έχουμε μια μόνιμη και στρωτή ροή νερού (το οποίο θεωρούμε ιδανικό ρευστό) εντός ενός οριζόντιου σωλήνα σταθερής διατομής Α=40cm. Η παροχή του σωλήνα είναι ίση με 8L/s. Στη θέση Α έχει συνδεθεί ο κατακόρυφος λεπτός σωλήνας, στον οποίο το νερό ανέρχεται κατά h =m. i) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του νερού στα σημεία Α και Β, καθώς και οι αντίστοιχες πιέσεις. Παρεμβάλλουμε έναν δεύτερο σωλήνα στη θέση Β, όπως στο διπλανό σχήμα. Αν η ροή εξακολουθεί να είναι στρωτή και μόνιμη, με την ίδια παροχή: ii) Πόση θα είναι η ταχύτητα του νερού στο σημείο Β και ποια η τιμή της πίεσης στο Β; iii) Σε πόσο ύψος θα ανέβει το νερό στον δεύτερο σωλήνα; Δίνεται η πυκνότητα του νερού ρ=.000ν/m και g=0m/s. Απάντηση: h h i) Η παροχή του σωλήνα δίνεται από την εξίσωση Π=Α υ, οπότε: 3 3 Π 8 0 m / s υ= = = m / s m Αλλά λόγω συνέχειας και σταθερής διατομής του σωλήνα, υ Α =υ Β =υ=m/s. Η πίεση στο σημείο Α, είναι ίση πρακτικά με την πίεση στο κάτω σημείο του κατακόρυφου σωλήνα, ο οποίος περιέχει νερό σε ισορροπία, συνεπώς: 5 5 p = paτ + ρgh = 0 N / m N / m =, 0 N / m Αλλά από το νόμο ernoulli κατά της μήκος της ρευματικής γραμμής που συνδέει τα σημεία Α και Β, έχουμε: p + ρυ = p + ρυ p = p 5 Συνεπώς και p =, 0 N / m. ii) Η τοποθέτηση του σωλήνα στο σημείο Β, έχει ως αποτέλεσμα να τροποποιήσει τη ροή, αφού θα έχουμε αποκοπή της ροής στο Β, δηλαδή η ταχύτητα ροής στο Β θα μηδενιστεί. Αλλά από το νόμο του ernoulli μεταξύ των σημείων Α και Β, θα έχουμε: p+ ρυ = p + ρυ 5 p = p+ ρυ =, 0 N / m N / m =.000N / m =, 0 5 N / m iii) Το νερό θα ανέλθει στον δεύτερο σωλήνα σε ύψος h, έτσι ώστε στο σημείο Β, το οποίο είναι στο κάτω μέρος μιας αντίστοιχης στήλης νερού σε ισορροπία, να ισχύει: p = p ρgh aτ + Χρήστος Αγριόδημας 39

40 5 p paτ (, ) 0 h = = m=,m ρg Η τελική δηλαδή εικόνα θα είναι αυτή του διπλανού σχήματος. h h Σχόλιο. Στο σημείο Β, του δεύτερου σωλήνα, η ταχύτητα είναι μηδενική. Έχουμε δηλαδή ένα σημείο ανακοπής της ροής και η πίεση στο Β, λέγεται και πίεση ανακοπής ή ηρεμίας. Η τιμή της p = p + aτ ρgh είναι ίση με το άθροισμα p+ ρυ όπου p = pa τ ρgh + η στατική πίεση στο τυχαίο σημείο Α και ρυ η «δυναμική» πίεση η οποία οφείλεται στην κίνηση του υγρού. Παράδειγμα 4 Ο οριζόντιος σωλήνας του σχήματος, διατομής Α Α =Α =0cm παρουσιάζει σε μια περιοχή ένα στένωμα διατομής Α Β =Α =5cm. Στο σωλήνα ρέει νερό που στο στένωμα έχει ταχύτητα 0,8m/s. Το ύψος του νερού στο σωλήνα Α είναι 3cm. i) Πόσο είναι το ύψος του νερού στο σωλήνα Β και πόσο στο σωλήνα Γ, όπου ο σωλήνας έχει ξανά διατομή Α. ii) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του νερού στο στένωμα, όταν το ύψος του νερού στον σωλήνα Α είναι cm και στον Β μηδέν. Η ροή να θεωρηθεί μόνιμη και στρωτή ροή ιδανικού ρευστού, ενώ η πυκνότητα του νερού είναι ίση με.000kg/m 3. Θεωρείστε τα ύψη των νερών στους σωλήνες Α, Β, και Γ πολύ μεγαλύτερα από τις διατομές των σωλήνων Α και Α. Απάντηση: i) Ας εφαρμόσουμε την εξίσωση ernoulli μεταξύ των σημείων και της ρευματικής γραμμής του διπλανού σχήματος: Γ Γ p + ρυ = p + ρυ () h h h h 3 Όπου p = patm+ ρgh = patm+ ρgh και p = patm+ ρgh = patm+ ρgh Θεωρούμε σύμφωνα με την εκφώνηση h =h και h =h, με h το ύψος του νερού στον σωλήνα Α και h το αντίστοιχο ύψος στο σωλήνα Β. Χρήστος Αγριόδημας 40

41 Εξάλλου από την εξίσωση της συνέχειας μεταξύ των διατομών στις θέσεις () και () έχουμε: 5cm υ = υ υ = υ = 0,8m / s= 0,m / s 0cm Έτσι με αντικατάσταση στη σχέση () παίρνουμε: patm+ ρ gh+ ρυ = patm+ ρgh + ρυ gh + υ = gh + υ υ υ 0, 0,8 h = h + = 0,3m+ m= 0,m g 0 Αλλά ο σωλήνας στη θέση (3) έχει την ίδια διατομή με το σωλήνα στη θέση () και από την εξίσωση της συνέχειας, προκύπτει ότι υ =υ 3. Οπότε και από την εξίσωση ernoulli μεταξύ των σημείων και 3 θα πάρουμε: p+ ρυ = p3+ ρυ3 p = p3 h3 = h = 3cm ii) Από την εξίσωση της συνέχειας μεταξύ των διατομών στις θέσεις () και () έχουμε: υ υ = υ υ = υ = 4 Με εφαρμογή την εξίσωση ernoulli μεταξύ των σημείων και της ρευματικής γραμμής του παραπάνω σχήματος παίρνουμε: p + ρ υ = p + ρυ patm + ρ gh + ρυ = patm+ ρgh + ρ( 4υ ) 5 ρ υ = ρgh υ = gh 5 Οπότε: υ = υ = 4 0,4m/s 4 = υ gh 0 0 = = m / s= 5 5,6m/s 0,4m / s Χρήστος Αγριόδημας 4

42 Παράδειγμα 5 Στο σχήμα φαίνεται ένα τμήμα ενός δικτύου ύδρευσης με μια μόνιμη και στρωτή ροή, σταθερής παροχής 3,5L/s. Το νερό πυκνότητας ρ=.000kg/m 3 θεωρείται ιδανικό ρευστό και τα δυο οριζόντια και σταθερής διατομής τμήματα του σωλήνα, απέχουν κατακόρυφη απόσταση h=0,5m. Οι οριζόντιοι σωλήνες έχουν διατομές Α =70cm και Α =0cm, ενώ δύο λεπτοί κατακόρυφοι σωλήνες, έχουν συγκολληθεί σε αυτούς, με αποτέλεσμα το νερό να ανέρχεται στο εσωτερικό τους κατά h =80cm και h αντίστοιχα. i) Να υπολογιστούν οι ταχύτητες ροής στους δυο οριζόντιους σωλήνες. ii) Να υπολογιστεί η τιμή της πίεσης στα σημεία Κ και Λ. iii) Για ένα σωματίδιο ρευστού Χ, μάζας 0,kg, να υπολογιστεί η μεταβολή της κινητικής και η αντίστοιχη μεταβολή της δυναμικής του ενέργειας, μεταξύ των σημείων Κ και Μ. iv) Να υπολογιστεί το έργο που παρήγαγε η υπόλοιπη μάζα του νερού, επί του σωματιδίου Χ, μεταξύ των παραπάνω θέσεων. v) Να βρεθεί το ύψος h στο το οποίο έχει ανέβει το νερό στον δεύτερο κατακόρυφο σωλήνα. Δίνεται g=0m/s και p ατ =0 5 Ν/m. Θεωρείστε τα ύψη των νερών στους κατακόρυφους σωλήνες πολύ μεγαλύτερα από τις διατομές των οριζόντιων σωλήνων. h K Λ h h M Απάντηση: i) Η παροχή από μια διατομή του σωλήνα είναι ίση με Π=Α υ, οπότε για τους δυο σωλήνες έχουμε: ii) Π 3,5 0 m / s Π 3,5 0 m / s υ = = = 0,5m / s και υ 3,5m / s 4 = = = 4 Α 70 0 m Α 0 0 m Το σημείο Λ, μπορεί να θεωρηθεί σημείο στο κάτω άκρο του κατακόρυφου σωλήνα, όπου το νερό ισορροπεί, δημιουργώντας μια στήλη ύψους h, οπότε: 5 p Λ = paτ + ρgh = 0 N / m ,8N / m = N / m Αλλά ο πάνω σωλήνας έχει σταθερή διατομή, συνεπώς η ταχύτητα ροής έχει σταθερή τιμή σε κάθε σημείο, δηλαδή υ Κ =υ Λ, οπότε εφαρμόζοντας το νόμο ernoulli μεταξύ των σημείων Κ και Λ παίρνουμε: pk + ρυ Κ = pλ+ ρυλ p = p = N / m K Λ iii) Για το σωματίδιο ρευστού Χ, θα έχουμε: Κ = Κ Κ = mυ mυ = ( ) mυ υ Κ = 0, ( 3,5 0,5 ) J =, J Χρήστος Αγριόδημας 4

43 Θεωρώντας δε, επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας, το οριζόντιο επίπεδο του ου σωλήνα, έχουμε: U = U U = U = mgh= 0, 0 0,5J = J iv) Εφαρμόζουμε το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας για το σωματίδιο ρευστού Χ και έχουμε: K K= Ww+ WF Όπου W F το έργο της δύναμης που δέχεται το σωματίδιο από το υπόλοιπο υγρό στη διάρκεια της κίνησής του, συνεπώς αφού λάβουμε υπόψη μας ότι W w =-ΔU, έχουμε: W = Κ W = Κ + U οπότε: F w W F =,J - J = 0,J v) Εφαρμόζουμε ξανά το νόμο ernoulli μεταξύ των σημείων Κ και Μ και παίρνουμε: p p K M + ρυ Κ + ρgh= pm + ρυm = pk + ρυ Κ ρυm + ρgh ( 3,5 ) N/m ,5N/m N/m p M = N/m ,5 = Όμως η πίεση σε όλα τα σημεία του οριζόντιου σωλήνα, σταθερής διατομής, είναι επίσης (όπως και στον πρώτο σωλήνα) σταθερή και ίση με την πίεση στο κάτω μέρος του κατακόρυφου σωλήνα, όπου το νερό έχει ανέβει κατά h. Έτσι: pm = paτ + ρgh = m p p h ρg Σχόλιο: Ποιο είναι το έργο W F, που υπολογίσαμε παραπάνω; Έστω ότι μας ενδιαφέρει μια ποσότητα νερού, που στο παρακάτω σχήμα, καταλαμβάνει την περιοχή ΑΒΓΔ, με σκούρο μπλε χρώμα. Η μάζα αυτή του νερού δέχεται δύο δυνάμεις από το υπόλοιπο νερό, την F =p Α και την F =p Α. Μέρος της ποσότητας αυτής του νερού, είναι μια μικρότερη μάζα m=0,kg, η οποία αποτελεί το σωματίδιο ρευστού που μας δόθηκε, όπου στο πρώτο σχήμα είναι γραμμοσκιασμένο. Το μήκος που καταλαμβάνει στον πάνω σωλήνα, είναι x, όπου V=Α x. M aτ = = F x Έστω μετά από λίγο, η θέση της ίδιας Γ ποσότητας νερού, είναι αυτή του κάτω σχήματος, όπου η επιφάνεια ΑΔ, έχει φτάσει στη θέση Α Δ μετατοπισμένη κατά x. Τότε η ΒΓ έχει μετατοπιστεί κατά y, όπου V=Α y. Μεταξύ αυτών των δύο θέσεων, τι διαφορά υπάρχει στην Χρήστος Αγριόδημας 43 F h h 0 7, m h h Γ F y F

44 κίνηση του νερού; Ουσιαστικά είναι σαν η μάζα m, η γραμμοσκιασμένη στο πάνω σχήμα, να έχει φτάσει στην περιοχή που έχει γραμμοσκιαστεί στο κάτω σχήμα. Η υπόλοιπη ποσότητα του νερού, υπάρχει στον ίδιο χώρο έχοντας και ίδια ενέργεια, αφού σε κάθε σημείο η ταχύτητα παραμένει σταθερή. Συνεπώς το έργο της δύναμης που ασκήθηκε στο σωματίδιο ρευστού Χ, κατά την μετακίνησή του από τον πάνω στον κάτω σωλήνα, είναι ίσο με το αλγεβρικό άθροισμα των έργων των δυνάμεων F και F που ασκήθηκε σε όλη την ποσότητα του νερού ΑΒΓΔ. Δηλαδή: = W + W = F x F y= p x p y= p V p V = ( p p )V ή W = ( p p WF F F m ) = ρ 0,.000 ( ) J 0, J F = Παράδειγμα 6 Το διπλανό σχήμα παριστάνει ένα ροόμετρο Venturi, (βεντουρίμετρο) που αποτελείται από υ υ τον οριζόντιο σωλήνα ΑΒΓ ο οποίος παρουσιάζει στένωση στο σημείο Β. Το ροόμετρο συνδέεται Α με ένα σωλήνα τύπου U στα σημεία Α και Β. Το νερό Ζ κύριο μέρος του σωλήνα U που συνδέει τα Γ σημεία Α και Β περιέχει υδράργυρο η πυκνότητα του οποίου είναι ρ υδ =3.600kg/m 3. Στο ροόμετρο διέρχεται νερό η πυκνότητα του οποίου είναι Δh Υδράργυρος ρ ν =000kg/m 3. Η μεγάλη διατομή του ροομέτρου στο Α έχει ακτίνα R και η μικρή που παρουσιάζει τη στένωση στο Β είναι r=r/. Υποθέστε ότι η ταχύτητα του νερού στο σημείο είναι υ =,5m/s. Δ Ε α) Υπολογίστε την τιμή της ταχύτητας υ του νερού στο σημείο. β) Να εξηγήσετε που οφείλεται η υψομετρική διαφορά Δh που παρουσιάζει ο υδράργυρος στον σωλήνα U. γ) Υπολογίστε την υψομετρική διαφορά Δh που παρουσιάζει ο υδράργυρος. δ) Αν η πίεση στο σημείο ήταν tm να υπολογιστούν οι ταχύτητες που θα έπρεπε να έχει το νερό στα σημεία και ώστε η πίεση στο να ήταν μηδέν. Δίνεται tm=0 5 N/m και ότι το νερό και υδράργυρος συμπεριφέρονται σαν ιδανικά ρευστά. Επίσης τα σημεία και βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Απάντηση α) Από την εξίσωση της συνέχειας και επειδή το νερό είναι ασυμπίεστο έχουμε: R R R r S υ = S υ π Rυ = π r υ υ = υ υ = υ υ = υ =,5 r r r r υ = 6 m / s () β) Η υψομετρική διαφορά που παρουσιάζει ο υδράργυρος οφείλεται στις διαφορετικές πιέσεις που παρουσιάζει το νερό στις διατομές Α και Β. Από την εξίσωση του ernoulli προκύπτει ότι στο σημείο η πίεση είναι μεγαλύτερη από ότι στο. Έτσι το νερό στο σημείο Α πιέζει τον υδράργυρο προς τα κάτω. Αντίθετα στο Β η πίεση είναι μικρότερη και έτσι ο υδράργυρος ανεβαίνει προς το Β. Χρήστος Αγριόδημας 44

45 γ) Εφαρμόζοντας την εξίσωση του ernoulli στα σημεία και έχουμε: y= y p+ ρυ v + ρvgy = p+ ρυ ν + ρν gy p ρυ ν p ρυ ν + = + p p = ρν ( υ υ ) () Το τμήμα του υδραργύρου βρίσκεται σε ισορροπία. Σύμφωνα με την αρχή των συγκοινωνούντων δοχείων αν πάρουμε δύο σημεία Δ και Ε που βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο εντός του ίδιου υγρού, θα ισχύει p Δ = p Ε. Αρχικά δεν θα λάβουμε υπόψην την πίεση που οφείλεται στο νερό της στήλης ΑΔ και ΒΖ. (σχόλιο ) p = p p = p + g h p p = g h Ε ρυδ ρυδ (3) (3) ρ () ρ. 000 ν υ υ ρ υ υ 6,5 ρ g ν ( ) = υδ g h h= ( ) = ( ) υδ 33, 75 h= (36, 5) = h= 0,4m h=, 4cm 7 7 δ) Από την εξίσωση της συνέχειας και επειδή το νερό είναι ασυμπίεστο έχουμε: R R R r S υ = Sυ π Rυ = π r υ υ = υ υ = υ υ = υ = υ r r r r υ = 4 υ (4) Εφαρμόζοντας την εξίσωση του ernoulli στα σημεία και έχουμε: p gy p gy p p (4) ( ) y= y + ρυ v + ρv = + ρυ ν + ρν ρυ ν ρυ ν ρν υ υ + = = p= 0 p p 6 p 5 3, 65 m / s = ρν ( υ υ ) = ρν υ υ = = = = υ 5ρν άρα υ =4,6 m/s Σχόλια. Το φαινόμενο στο Β όταν η πίεση πέφτει σχεδόν στο μηδέν, είναι γνωστό σαν σπηλαίωση, (cavitation). Το νερό εξατμίζεται σχηματίζοντας μικρές φυσαλίδες.. Στον υπολογισμό της διαφοράς ύψους του ερωτήματος γ αγνοήσαμε την πίεση του νερού στις στήλες ΑΔ και ΒΖ. Αυτό συνήθως γίνεται διότι η διαφορά αυτή επιφέρει μικρή αλλαγή στην πίεση p Δ και p E και τελικά μικρή απόκλιση στο Δh. Αν το ρευστό που διαρρέει το ροόμετρο έχει πολύ μικρή πυκνότητα σε σχέση με το υγρό του σωλήνα U, ή ο σωλήνας δεν είναι πολύ μακρύς ώστε τελικά η πίεση αυτή να πρέπει να ληφθεί υπόψη, τότε πρακτικά δεν παρατηρείται μεγάλη αλλαγή. Π.χ. αν το ροόμετρο διαρρεόταν από αέρα, ρ air =,3kg/m 3 και ο σωλήνας U από υδράργυρο, ρ υδ =3.600 kg/m 3 ακόμη και με μακρύ σωλήνα δεν θα το λαμβάναμε υπόψη. Χρήστος Αγριόδημας 45

46 Έστω ότι το ροόμετρο διαρρέεται από νερό και ο σωλήνας περιέχει υδράργυρο. Τότε: Δh Δ Ε p = p p + ρ gh = p + ρ gh + ρ g( h h ) Ε ν ν υδ p p = ρ g( h h ) ρ g( h h ) υδ ν p p = ρ g h ρ g h p p = ( ρ ρ ) g h υδ ν υδ ν Παράδειγμα 7 Μια τριώροφη κατοικία τροφοδοτείται με νερό από μια δεξαμενή, στην επιφάνεια του εδάφους, με την βοήθεια μιας αντλίας (Μ), όπως στο σχήμα. Ο κεντρικός σωλήνας τροφοδοσίας έχει διατομή Α =3cm, οι τρεις οριζόντιες διακλαδώσεις Α =cm, ενώ με πλήρως ανοικτές τις βρύσες, το νερό εξέρχεται από διατομές Α=0,3cm. Η βρύση στο ισόγειο, βρίσκεται στο ίδιο ύψος με την αντλία, ενώ κάθε όροφος έχει ύψος h=4m. Η αντλία λειτουργεί αυτόματα, εξασφαλίζοντας στην έξοδό της, σταθερή πίεση p=αtm. i) Με κλειστές τις βρύσες, να υπολογιστεί η πίεση του νερού σε κάθε βρύση. ii) Ανοίγουμε πλήρως την βρύση του πρώτου ορόφου. Θεωρώντας ότι η ροή πραγματοποιείται χωρίς τριβές και είναι μόνιμη και στρωτή, να υπολογιστούν: α) Η παροχή της βρύσης. β) Η πίεση στους τρεις οριζόντιους σωλήνες. γ) Η ισχύς της αντλίας. Δίνεται η ατμοσφαιρική πίεση p ατ =atm=0 5 Ν/m, η πυκνότητα του νερού ρ=.000kg/m 3 και g=0m/s, ενώ το κατακόρυφο μήκος κάθε βρύσης θεωρείται αμελητέο. M h h O Γ Χρήστος Αγριόδημας 46

47 Απάντηση: i) Αν οι βρύσες είναι κλειστές, το νερό που περιέχεται στους σωλήνες ισορροπεί, οπότε για τις πιέσεις, στο εσωτερικό κάθε βρύσης (σημεία Α, Β και Γ, αλλά και σημεία, και 3 έχουμε: p = p Α = p Ο = atm = 0 5 Ν/m. p o p =ρgh p Β = p = p o ρgh p = 0 5 Ν/m Ν/m =,6 0 5 Ν/m. p o p 3 = ρg h p Γ =p 3 = p o ρgh p 3 = 0 5 Ν/m Ν/m =, 0 5 Ν/m. ii) Μόλις ανοίξουμε τη βρύση Β, του πρώτου ορόφου, O το νερό εξέρχεται με ταχύτητα υ. Από την εξίσωση της συνέχειας μεταξύ της διατομής του σωλήνα στο σημείο Ο και της διατομής της βρύσης, παίρνουμε: 0,3cm Α ο υ ο =Α υ υo = υ = υ = 0, υ o 3cm α) Εφαρμόζοντας την εξίσωση ernoulli μεταξύ του σημείου Ο και της ανοικτής βρύσης Β, παίρνουμε: po+ ρυ o = p + ρυ + ρgh p + ρ ( 0,υ ) = p + ρυ + ρgh p ρgh= ρυ ( 0,0) ρυ 5 p 0 υ = gh = 0 4m / s= 0m / s m / s 3 ρ 0 Αλλά τότε η παροχή της βρύσης είναι: Π =Α υ=0,3 0-4 m m/s=3,3 0-4 m =0,33L/s β) Από την εξίσωση της συνέχειας μεταξύ των διατομών στο σημείο και την έξοδο της βρύσης Β έχουμε: 0,3cm 3 Α υ =Α υ υ = υ= m / s= 3,3m / s Γ cm Εφαρμόζοντας την εξίσωση ernoulli μεταξύ του σημείου και ενός σημείου στο άνοιγμα της βρύσης Β, παίρνουμε: E p+ ρυ = p + ρυ p = p + ρυ ρυ = p + ρυ ( υ) O 5 5 p = 0 N / m ( 3,3 ) N / m =,55 0 N / m. Εφαρμόζουμε την εξίσωση ernoulli μεταξύ του σημείου Ο και ενός σημείου Δ και παίρνουμε: M h h Γ Χρήστος Αγριόδημας 47

48 p ernoulli μεταξύ του σημείου Δ και του σημείου Ε: o + ρυo = p + ρυo po = po + ρυo = pe + ρυo + ρgh pe = Αλλά από την ισορροπία του νερού στο σωλήνα Α, έχουμε: p Α =p =p Δ =p ο = 0 5 Ν/m. p p o ρgh Ενώ από την αντίστοιχη ισορροπία της στήλης πάνω από το Ε: p Ε - p Γ =ρgh p Γ = p Ε - ρgh ή p 3 = p Γ = p ο -ρgh = 0 5 Ν/m Ν/m =, 0 5 Ν/m. Αξίζει να προσέξουμε ότι το άνοιγμα της βρύσης του πρώτου ορόφου, δεν μεταβάλει την πίεση στις άλλες δυο κλειστές βρύσες. γ) Η ισχύς της αντλίας, είναι ίση με το ρυθμό μεταφοράς ενέργειας στο νερό μέσω έργου. Θα είναι ίση με την ενέργεια, ανά μονάδα χρόνου, που θα εμφανιστεί με τη μορφή της κινητικής και δυναμικής ενέργειας του νερού στην Β βρύση: m υ ρ V υ U K m gh ρ V gh + = + = + t t t t t t U K + =Π ρgh+ ρ υ t t U K = 3, ( 0 ) J / s= 33J / s t t Αλλά τότε η ισχύς της αντλίας είναι Ρ=33W. Παρατήρηση Η εξίσωση του ernoulli μπορεί να εφαρμοστεί σε διακλάδωση. Έστω ένας οριζόντιος σωλήνας διατομής Α που διακλαδίζεται σε δυο άλλους σωλήνες μικρότερης διατομής Β και Γ. Η εφαρμογή της εξίσωσης ernoulli μπορεί να γίνει για τις ρευματικές γραμμές που διέρχονται από την Α και περνούν στην Β, καθώς και για αυτές που διέρχονται από την Α και περνούν στην Γ. Χ Υ Α Β Γ Μπορούμε λοιπόν να χρησιμοποιήσουμε το νόμο ernoulli, παίρνοντας αρχικά τα σημεία Χ και Β και στη συνέχεια τα σημεία Υ και Γ Χρήστος Αγριόδημας 48

49 3.4 Η Τριβή Στα Ρευστά, (Ιξώδες) Κατά την κίνηση των ρευστών αναπτύσσονται δυνάμεις τριβής μεταξύ των μορίων τους (εσωτερική τριβή) αλλά και μεταξύ των μορίων και των τοιχωμάτων του σωλήνα μέσα στον οποίο πραγματοποιείται η κίνηση (δυνάμεις συνάφειας). Η εσωτερική τριβή μέσα σ ένα ρευστό ονομάζεται ιξώδες. Οι δυνάμεις ιξώδους αντιτίθενται στην κίνηση ενός τμήματος του ρευστού ως προς ένα άλλο τμήμα του Εξίσωση Ιξώδους Το ιξώδες. Ένα ρευστό με εσωτερική τριβή έχει την τάση να προσκολλάται στην επιφάνεια του στερεού με την οποία βρίσκεται σε επαφή. Υπάρχει πάντοτε ένα λεπτό οριακό στρώμα ρευστού κοντά στην επιφάνεια, όπου το ρευστό ηρεμεί ως προς την επιφάνεια. Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο σωμάτια σκόνης προσκολλούν στα πτερύγια ενός ανεμιστήρα ακόμη και όταν περιστρέφεται. Έστω ένα στρώμα πραγματικού υγρού, πάχους l που βρίσκεται ανάμεσα σε δύο παράλληλες πλάκες εμβαδού. Η κάτω πλάκα είναι ακίνητη και η πάνω σύρεται από μία δύναμη F με τέτοιο τρόπο ώστε η ταχύτητα της πλάκας να είναι σταθερή. Η δύναμη F εξουδετερώνει τις τριβές που l υ T F T F T T ν T ν+ Σχήμα Σχήμα Σχήμα 3 δέχεται από το υγρό και κινείται με σταθερή ταχύτητα υ. (σχήμα ). Προφανώς το τμήμα του στρώματος (διακεκομμένο τμήμα) που είναι σε επαφή με την πλάκα ασκεί δύναμη Τ αντίθετη της F και δέχεται την αντίδραση Τ= F = T. Η αντίδραση της δύναμης Τ δηλ. η Τ θα θέσει σε κίνηση, σε ροή, το υγρό. Το τμήμα αυτό θα δέχεται μία δύναμη τριβής την Τ από το υποκείμενο στρώμα που πλακώνει (σχήμα ). Αλλά τότε και για κάθε στρώμα (σχήμα 3) ασκείται η Τ ναπό το υπερκείμενο στρώμα και η Τ ν+ από το υποκείμενο και αν έχουμε μια μόνιμη ροή, δηλαδή σταθερή ταχύτητα του στρώματος αυτού τότε τα μέτρα των δυνάμεων είναι ίσα Τ ν =Τ ν+. Αυτή είναι η εσωτερική τριβή που δέχεται κάθε στρώμα του υγρού, από τα υπόλοιπα στρώματα. Οι δυνάμεις αυτές είναι ηλεκτρικής φύσης στα υγρά. Προσοχή. Η ταχύτητα του κάθε στρώματος είναι διαφορετική αλλά σταθερή. Οι ταχύτητες των στρωμάτων του ρευστού αλλάζουν και παίρνουν τιμές από μηδέν για το στρώμα ρευστού που είναι σε επαφή με την κάτω ακίνητη πλάκα μέχρι υ για το στρώμα ρευστού που είναι σε επαφή με την Χρήστος Αγριόδημας 49

50 κινούμενη πλάκα. Όλα τα ενδιάμεσα στρώματα έχουν ταχύτητες διαφορετικές μεταξύ τους, που αυξάνουν σταδιακά από 0 έως υ καθώς πηγαίνουμε από την κάτω πλάκα προς την πάνω. Βρίσκεται ότι η δύναμη αυτή είναι ανάλογη της επιφάνειας Α της πλάκας, ανάλογη της ταχύτητας υ της πλάκας, αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης l των πλακών και εξαρτώμενη από την φύση του υγρού δηλ. F = n υ l Να τονίσουμε ότι όλα τα στρώματα του δέχονται την ίδια κατά μέτρο δύναμη τριβής και ίση με την δύναμη F. Ο συντελεστής n ονομάζεται συντελεστής εσωτερικής τριβής ή συντελεστής ιξώδους. Μονάδα μέτρησης στο S.I. είναι το N s/m ή σε Pa.s (Pas) ή kg/ms. Στην πράξη ο συντελεστής ιξώδους μετριέται σε poise (πουάζ). P = dyn.s/cm = 0,Pas. Παρατηρήσεις. Πρέπει να πούμε ότι δεν υπακούουν όλα τα ρευστά στην παραπάνω εξίσωση. Δεν υπάρχει σε όλα τα ρευστά γραμμική αναλογία ανάμεσα στην εσωτερική τριβή που παρουσιάζουν κατά τη ροή τους και την ταχύτητα ροής. Τα ρευστά που υπακούουν στην σχέση αυτή τα ονομάζουμε νευτώνεια ρευστά. Στην πραγματικότητα η σχέση που δίνει την εσωτερική dυ τριβή είναι F = n dz Ο όρος dυ/dz, είναι η βαθμίδα ταχύτητας κάθετη στην διεύθυνση της κίνησης και η οποία δείχνει πως μεταβάλλεται η ταχύτητα του κάθε στρώματος από την κάτω στην πάνω πλάκα. Αυτό που εξετάζουμε εμείς στα πλαίσια της ύλης, είναι μια σταθερή ταχύτητα της πλάκας που συνοδεύεται και από μια σταθερή βαθμίδα ταχύτητας δηλ. dυ/dz= υ/l. Σχήμα 4. Η ταχύτητα κάθε στρώματος του υγρού. Με βάση την παρατήρηση προκύπτει ότι η δύναμη υ( z) Τ = F = n όπου υ(z) η ταχύτητα του στρώματος που απέχει απόσταση z από την κάτω z πλάκα. Έτσι η ταχύτητα είναι ανάλογη της απόστασης από την κάτω πλάκα υ( z) υ z n = n υ( z) = υ, (η κατανομή ταχυτήτων είναι γραμμική) z l l l z υ υ z z υ 3. Το διάγραμμα ταχυτήτων για ένα ρευστό σε κυλινδρικό σωλήνα R με ιξώδες παρουσιάζει την μορφή του σχήματος 5. Λόγω του ιξώδους η ταχύτητα είναι R u μηδενική στα τοιχώματα του σωλήνα και μέγιστη κατά μήκος του άξονα. Η ροή μοιάζει με ένα σύστημα ομοαξονικών σωλήνων που ολισθαίνουν μεταξύ τους, Σχήμα 5 Χρήστος Αγριόδημας 50

51 ώστε ο κεντρικός σωλήνας να κινείται με τη μεγαλύτερη ταχύτητα, ενώ ο ακραίος (εξωτερικός) να ακινητεί. 4. Μια πλάκα ανάμεσα σε δύο άλλες στο ίδιο υγρό Η πλάκα μας θα μπορούσε να ισαπέχει από δύο ακίνητες. Τότε τα στρώματα του υγρού που z ισαπέχουν από την πλάκα θα έχουν ίδιες ταχύτητες υ( z) = υ. L Αυτό θα ισχύει όποιο και αν είναι το υλικό της πλάκας. Ακόμα και αν είναι από νερό. Αυτό σημαίνει ότι τα στρώματα που είναι σε επαφή με τις ακίνητες πλάκες έχουν μηδενική ταχύτητα. Το κεντρικό στρώμα έχει μέγιστη ταχύτητα και οι ταχύτητες μεταβάλλονται γραμμικά. Αν ζητάμε μια σχέση που θα δίνει την ταχύτητα ενός στρώματος συναρτήσει της απόστασής του από το μεσοπαράλληλο επίπεδο των υ πλακών τότε αυτή θα ήταν: υ( z) = υ z, 0 z l/ l L z υ z υ l z + υ L z υ z - Σχήμα 6 Σχήμα 7 5.Τα παχύρευστα υγρά έχουν μεγαλύτερο συντελεστή ιξώδους. 6. Είναι αναμενόμενο το να εξαρτάται η αντίσταση από την επιφάνεια της πλάκας διότι κάθε τμήμα της δέχεται ίδιες δυνάμεις συνάφειας με ίσεμβαδικά τμήματα. 7. Ο συντελεστής ιξώδους εξαρτάται από τη θερμοκρασία και αυξάνεται για τα αέρια, ενώ για τα υγρά ελαττώνεται. 8. Το ιξώδες έχει σημαντική επίδραση στη ροή των ρευστών σε σωλήνες. Κατά μήκος του σωλήνα η πίεση μειώνεται. Έστω μία μόνιμη ροή με μηδενικό ιξώδες σε κυλινδρικό σωλήνα μεγάλου μήκους όπως στο σχήμα 8. Τότε τα ύψη h και h των σωλήνων σε δύο σημεία Α και Β που βρίσκονται κατά μήκος του σωλήνα σε ίδια διατομή προκύπτει ότι έχουν ίδιο ύψος δηλ. h =h και έτσι p =p. () () Σχήμα 8 h h Α Β Χρήστος Αγριόδημας 5

52 Αυτό όμως δεν ισχύει αν λάβουμε υπόψη το ιξώδες. Αν θεωρήσουμε ένα σωμάτιο ρευστού, κυλινδρικού σχήματος, στο τμήμα μεταξύ των σημείων Δ και Ο, δέχεται F στη διεύθυνση της κίνησης, τις εξής δυνάμεις: την δύναμη Τ Τ F της τριβής από τα διπλανά στρώματα του ρευστού, την δύναμη F λόγω πίεσης στην αριστερή βάση και F η Δ Ο αντίστοιχη δύναμη από την δεξιά βάση. Σχήμα 9 Αν έχουμε μια ροή με σταθερή παροχή, το σωμάτιο αυτό θα κινείται με σταθερή ταχύτητα, οπότε ΣF=0 ή F =F +Τ F > F p Α > p Α p > p Κατά μήκος δηλαδή του σωλήνα η πίεση μειώνεται, Δυνάμεις τριβής μεταξύ των σωλήνων Σχήμα 0 αντιτίθεται στην κίνηση, άρα για να συνεχίσει η ροή η πίεση στο πίσω τμήμα του ρευστού h πρέπει να είναι μεγαλύτερη από αυτή στο h μπροστινό τμήμα του ρευστού. Ενεργειακά αυτό συμβαίνει δίοτι οι δυνάμεις συνάφειας και η εσωτερική τριβή (ιξώδες) ελαττώνουν την κινητική ενέργεια του ρευστού και, κατ' επέκταση, την ταχύτητά του. Το έργο της εσωτερικής τριβής Τ μετατρέπεται σε θερμική ενέργεια, προκαλεί θέρμανση του υγρού και κατά συνέπεια αύξηση της θερμοκρασίας του. Επομένως, εάν επιθυμούμε να μη διακοπεί η ροή, πρέπει να κρατούμε τα άκρα του σωλήνα σε διαφορετικές πιέσεις. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο θα πρέπει να πιέζουμε το σωληνάρι της οδοντόπαστας, στο πίσω μέρος, ώστε η πίεση να είναι μεγαλύτερη από την ατμοσφαιρική, για να συνεχίσει να βγαίνει από το στόμιο ή για παράδειγμα, κατά τη μεταφορά πετρελαίου από τους τόπους εξόρυξης στους τόπους κατανάλωσης μέσω σωληνώσεων μεγάλου μήκους απαιτούνται αντλίες για τη δημιουργία υψηλών πιέσεων, προκειμένου να υπερνικηθούν οι αναπτυσσόμενες εσωτερικές τριβές. Χρήστος Αγριόδημας 5

53 3.4. Λυμένα Παραδείγματα Παράδειγμα Ποια τα ύψη στα μανόμετρα Ένας οριζόντιος σωλήνας συνδέεται κοντά στον πυθμένα μιας μεγάλης δεξαμενής σε βάθος Η=0m, όπως στο διπλανό σχήμα. Αρχικά ο σωλήνας έχει διατομή Α, ενώ στη συνέχεια στενεύει αποκτώντας διατομή Α =0,4Α. Οι ακτίνες των δύο σωλήνων θεωρούνται αμελητέες σε σχέση με το ύψος Η. i) Αν η στρόφιγγα Σ στο άκρο του σωλήνα είναι ανοικτή και το νερό θεωρηθεί ιδανικό ρευστό, ενώ η ροή μόνιμη και στρωτή, να υπολογιστούν: α) Το ύψος h της στήλης στο σωλήνα Β. β) Το ύψος h της στήλης στο σωλήνα Α. ii) Κλείνουμε τη στρόφιγγα Σ. Να υπολογιστούν ξανά τα ύψη h και h στους σωλήνες Α και Β. iii) Αν η στρόφιγγα Σ στο άκρο του σωλήνα είναι ανοικτή και το νερό θεωρηθεί πραγματικό ρευστό, με αποτέλεσμα να εμφανίζονται εσωτερικές τριβές: α) Θα ανέβει ή όχι το νερό στη στήλη Β; β) Κλείνουμε τη στρόφιγγα Σ. Να υπολογιστούν ξανά τα ύψη h και h στους σωλήνες Α και Β. Απάντηση: i) α) Στο στενό σωλήνα το νερό κινείται με μια σταθερή ταχύτητα, ίση με την ταχύτητα εκροής στο άκρο Ο, με βάση την εξίσωση της συνέχειας ( Α Δ υ Δ =Α ο υ ο ). Αλλά η πίεση στο άκρο Ο, είναι ίση με την ατμοσφαιρική πίεση και από την εξίσωση ernoulli μεταξύ των σημείων Δ και Ο, έχουμε: p + ρυ = po+ ρυo p = po = paτ Αλλά αυτό σημαίνει ότι το νερό δεν θα ανέλθει στο σωλήνα Β και η εικόνα θα είναι αυτή του παραπάνω σχήματος. β) Από την εξίσωση της συνέχειας για δυο διατομές του οριζόντιου σωλήνα στις θέσεις Γ και Ο, παίρνουμε: 0,4 Α υ Γ =Α υ υ Γ = υ = υ = 0, 4υ () Όπου υ η ταχύτητα εκροής στο άκρο Ο του σωλήνα. Εφαρμόζουμε την εξίσωση ernoulli μεταξύ των σημείων Κ και Ο, τα οποία βρίσκονται στην ίδια ρευματική γραμμή, θεωρώντας μηδενική την ταχύτητα του σημείο Κ, αφού η δεξαμενή έχει πολύ μεγαλύτερη διατομή από το σωλήνα και έχουμε: pk + ρυ K + ρgh = po+ ρυ υ = gh K H H h Γ Σ O Σ Χρήστος Αγριόδημας 53

54 Τώρα από την εξίσωση ernoulli μεταξύ των σημείων Γ και Ο έχουμε: p Γ + ρυ Γ = po+ ρυ p ( ) Γ = po+ ρυ ρ 0, 4υ pγ = paτ + 0,84 ρυ = paτ + 0,84 ρ( gh) = pa τ + 0,84ρgH () Όμως το σημείο Γ, είναι στο κάτω άκρο της κατακόρυφης στήλης νερού του σωλήνα Α, οπότε η πίεση είναι ίση με: p Γ =p ατ +ρgh (3) Από () και (3) έχουμε:,84ρ gh =ρgh h = 0,84H 8,4m ii) 0 = Μόλις κλείσουμε τη στρόφιγγα, το νερό ισορροπεί, οπότε στα σημεία Μ, Γ και Δ επικρατεί η ίδια πίεση, οπότε: p ατ +ρgη= p ατ +ρgh = p ατ +ρgh h =h =Η=0m. (Αρχή των συγκοινωνούντων δοχείων ) iii) Αν το νερό είναι πραγματικό, τότε αν θεωρήσουμε ένα σωμάτιο ρευστού, κυλινδρικού σχήματος, στο τμήμα μεταξύ των σημείων Δ και Ο, δέχεται στη διεύθυνση της κίνησης, τις δυνάμεις που φαίνονται στο διπλανό σχήμα, όπου Τ η F T F δύναμη τριβής από τα διπλανά στρώματα του νερού, F η δύναμη λόγω πίεσης στην αριστερή βάση και F η αντίστοιχη δύναμη από την δεξιά βάση. Αλλά αν έχουμε μια ροή με σταθερή παροχή, το σωμάτιο αυτό θα κινείται με σταθερή ταχύτητα, οπότε ΣF=0 ή Σ F =F +Τ F > F p Α > p Α p > p O Κατά μήκος δηλαδή του στενού σωλήνα η πίεση μειώνεται, αλλά τότε αφού στο άκρο Ο η πίεση είναι ίση με την ατμοσφαιρική, στο Δ η πίεση είναι μεγαλύτερη και το νερό θα ανέβει στο μανόμετρο, όπως στο σχήμα. iv) Μόλις κλείσουμε την στρόφιγγα και σταματήσει η ροή, θα έχουμε ξανά ένα υγρό σε ισορροπία, χωρίς να εμφανίζεται εσωτερική τριβή και η κατάσταση θα είναι απολύτως ίδια με αυτήν του ii) ερωτήματος, με αποτέλεσμα ξανά να έχουμε: h =h =Η=0m. M Γ h H h Σ O Χρήστος Αγριόδημας 54

55 Παράδειγμα Το ιξώδες και η κίνηση της πλάκας. Πάνω σε ένα τραπέζι έχει στρωθεί ένα λεπτό στρώμα μηχανέλαιου πάχους l =0,cm. Μια πλάκα μάζας m =0,5kg και εμβαδού Α=0,m, ηρεμεί πάνω στην γλυκερίνη. Σ Δένουμε την πλάκα με αβαρές νήμα, το οποίο αφού περάσουμε από αβαρή τροχαλία όπως στο σχήμα, στο άλλο του άκρο του δένουμε ένα σώμα Σ, μάζας m = 0,5kg, το οποίο κάποια στιγμή (t=0) αφήνουμε να κινηθεί. i) Να βρεθεί η αρχική επιτάχυνση του σώματος Σ. ii) Αν μετά από λίγο, το σώμα Σ αποκτά σταθερή ταχύτητα πτώσης υ=0cm/s, να βρεθεί ο συντελεστής ιξώδους του μηχανέλαιου. iii) Ποια η επιτάχυνση της πλάκας τη στιγμή που έχει ταχύτητα υ =4cm/s, θεωρώντας ότι κάθε στιγμή ισχύει η γνωστή εξίσωση για την τριβή που ασκείται στην πλάκα από το μηχανέλαιο. Δίνεται g=0m/s. Απάντηση: i) Στο διπλανό σχήμα έχουν σχεδιαστεί οι δυνάμεις που ασκούνται σε πλάκα και σώμα Σ, όπου αφού το νήμα και η N τροχαλία είναι αβαρή, η τάση του νήματος, που ασκείται στα σώματα έχει το ίδιο μέτρο Τ, ενώ T T T είναι η δύναμη τριβής που δέχεται η πλάκα από το μηχανέλαιο. Η πλάκα ισορροπεί στην w T Σ κατακόρυφη διεύθυνση, οπότε Ν=w. υ w Η τριβή έχει μέτρο T = n, οπότε για t=0, όπου υ=0 δεν l ασκείται τριβή και από το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής για κάθε σώμα, έχουμε: Σώμα Σ: ΣF=m α m g-τ =m α Πλάκα: ΣF x =m α Τ =m α Τα δυο σώματα προφανώς θα κινούνται μαζί, οπότε με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε: mg 0,5 m g = ( m+ m ) a a = = 0m / s = 5m / s m+ m 0,5+ 0,5 ii) Μόλις τα σώματα αποκτήσουν σταθερή ταχύτητα, θα έχουμε ΣF Σ =0 ή Τ =w, αλλά και ΣF π =0, οπότε: υ Τ =Τ m g= n l m gl 0,5 0 0, 0 n= = = 0,5N s / m. υ 0, 0, iii) Τη στιγμή που η ταχύτητα των σωμάτων είναι υ η τριβή που ασκείται στην πλάκα, έχει μέτρο: υ 4 0 n = 0,5 0, N = N T = l 0, 0 Από το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής για κάθε σώμα, έχουμε για: Σώμα Σ: ΣF=m α m g-τ =m α Πλάκα: ΣF x =m α Τ -Τ=m α Τα δυο σώματα προφανώς θα κινούνται μαζί, οπότε με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε: Χρήστος Αγριόδημας 55

56 m g T = ( m+ m ) a () a m g T 0,5 0 = = = 0m / s 3m / s m+ m 0,5+ 0,5 Παράδειγμα 3 Μια ροή πραγματικού ρευστού Σε έναν οριζόντιο σωλήνα σταθερής διατομής, ρέει νερό με σταθερή παροχή. Τα δύο μανόμετρα (οι δυο κατακόρυφοι λεπτοί σωλήνες) βρίσκονται σε οριζόντια απόσταση d=0m και στο εσωτερικό τους το νερό ανέρχεται σε ύψη που διαφέρουν κατά h=0,6cm. i) Να βρεθεί η μείωση της πίεσης μεταξύ των σημείων Β και Γ, στα κάτω άκρα των σωλήνων. ii) Η μέση ταχύτητα ροής του νερού, είναι μεγαλύτερη στο Β ή στο Γ; iii) Να αποδειχθεί ότι κατά τη ροή του νερού εμφανίζεται τριβή και να υπολογισθεί η θερμική ενέργεια που εμφανίζεται κατά την μετακίνηση Δx=m, μιας ποσότητας νερού m 3. Δίνεται η πυκνότητα του νερού ρ=.000kg/m 3 και g=0m/s, ενώ το νερό να θεωρηθεί ασυμπίεστο πραγματικό ρευστό. Απάντηση: i) Η πίεση στο σημείο Β, ίση με την πίεση στο κάτω άκρο της στήλης του νερού που ισορροπεί στον πρώτο κατακόρυφο σωλήνα, είναι ίση με p = p + aτµ ρgh, όπου h το ύψος της στήλης και η αντίστοιχη πίεση στο Γ, pγ = p a τµ + ρgh, οπότε η πίεση μειώνεται κατά μήκος του σωλήνα και: = p p = ρgh ρgh = ρg(h h ) ρgh p Γ Γ = - Γ = p pγ = ,6 0 N / m p = 60N / m ii) Από την εξίσωση της συνέχειας (διατήρηση της μάζας) Α Β υ Β =Α Γ υ Γ, αλλά ο σωλήνας έχει σταθερή διατομή, συνεπώς και η ταχύτητα ροής παραμένει σταθερή. Βέβαια η ροή δεν είναι ροή ιδανικού ρευστού, για να συμπεράνουμε ότι σε όλα τα σημεία της διατομής του σωλήνα στο Β είναι η ίδια ταχύτητα ροής υ Β, οπότε σωστότερα είναι να μιλήσουμε για την ίδια μέση ταχύτητα ροής μέσω των διατομών του σωλήνα στα σημεία Β και Γ. iii) Αφού η παροχή παραμένει σταθερή θα έχουμε και σταθερή (μέση) ταχύτητα ροής κατά μήκος του σωλήνα. Αλλά τότε και η ποσότητα του νερού μεταξύ των δύο διατομών σε απόσταση l, κινείται με σταθερή ταχύτητα, οπότε ΣF x =0 ή F T F = 0 ή p p = T T = p Έστω l το μήκος του σωλήνα που περιέχει το m 3 V νερού, τότε l = όπου V=m 3 και Α η διατομή του σωλήνα. Αν η μείωση της πίεσης κατά μήκος του σωλήνα είναι 60Ν/m σε μήκος 0m, Χρήστος Αγριόδημας 56