1. Klasifikavimo su mokytoju metodai
|
|
- Οὐρανός Νικολαΐδης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1. Klasifikavimo su mokytoju metodai Klasifikacijos uždavinys yra atpažinimo uždavinys, kurio esmė pagal pateiktus objekto (vaizdo, garso, asmens, proceso) skaitinius duomenis priskirti ji kokiai nors klasei. Laikysime, kad objektas yra aprašomas D-mačiu vektoriumi S = [s 1, s 2,..., s D ], Page 1 of 54 o Y 1, Y 2,..., Y L žymi visas klases, kurioms gali priklausyti objektas. Atliekant klasifikavim1 su mokytoju (kitaip tariant at- 1 pažinima ), mokytojas duoda aibȩ poru {S i, y i }, kur S i yra i-asis mokymo požymiu vektorius, o y i - i-oji žymė, pažyminti kuriai klasei priklauso požymiu vektorius. Pavyzdžiui mokymo duomenimis gali būti vienodo dydžio segmentuotu dešimtainiu skaitmenu paveikslėliai, 1 Čia ir toliau žymi vektoriaus ( arba matricos ) transponavimo operacija
2 Page 2 of 54 o žymė - dešimtainis skaitmuo, kuris pavaizduotas paveikslėlyje. Klasifikacijos uždavinys yra sukurti naujai pateikiamu duomenu žymėjimo algoritma, kuris gerai žymėtu ir pateiktus ir naujai pateikiamus duomenis. Matematine prasme klasifikatoriumi vadinamas bet koks S vektoriu atvaizdis i L žymiu (kategoriju ) aibȩ Y. Klasifikavimo uždavinys yra skaidomas i dvi dalis. Pirma yra surandamos objekto savybės X (angl. features). Pažymėkime objekto savybiu skaičiu n. Savybės yra apskaičiuojamos remiantis pradiniu objekta aprašančiu vektoriumi S. Parenkant objekto savybes yra ieškoma kompromiso tarp Mažo savybiu skaičiaus n (n << D). Kuo didesnio savybiu informatyvumo. Idealiu atveju iš savybiu yra galima rekonstruoti pradinius objekto duomenis S. Antrajame etape remiantis požymiu vektoriumi
3 Page 3 of 54 X = [x 1, x 2,..., x n ] yra atliekama klasifikacija. Tarkime S = [s 1, s 2,..., s D ] žymi stacionaraus akustinio signalo garso slėgio reikšmes. Tuomet geru požymiu rinkiniu yra S duomenu tiesinės prognozės koeficientai X = [x 1, x 2,..., x n ]. Toliau paprastumo dėlei laikysime, kad yra tik dvi kategorijos, t.y., L = 2. Tokios rūšies klasifikavimo uždavinys vadinamas binariniu. Nors, atrodytu, daugelio klasiu atpažinimo uždavini galima suskaidyti i binarinius poru klasifikavimo uždavinius, tačiau neakivaizdu kaip apjungti gautus binarinius klasifikatorius i viena. Daugelio klasiu klasifikavimo uždaviniai yra mažiau ištirti ir dažniausiai remiasi kiekvienas su likusiais arba kiekvienas su kiekvienu strategijomis. Pirmu atveju sudaroma L binariniu klasifikatoriu, kurie stengiasi atskirti viena klasȩ nuo likusiu ir galutinis sprendimas priimamas remiantis L
4 Page 4 of 54 reikšmėmis gautomis pritaikant binarinius klasifikatorius. Antru atveju sudaroma L (L 1)/2 binariniu klasifikatoriu, kurie stengiasi atskirti visas galimas skirtingu klasiu poras ir galutinis sprendimas priimamas remiantis gautomis L (L 1)/2 reikšmėmis. Kad sukurti klasifikatoriu, reikia turėti mokymo duomenu. Pradžioje yra pasirenkama aibė duomenu vektoriu S su žinomomis kategoriju /klasiu reikšmėmis. Tarkime sudarėme požymiu sistema ir sukūrėme pasirinktai požymiu sistemas klasifikatoriu. Tuomet natūraliai iškyla klausimas - kokia mūsu klasifikavimo algoritmo kokybė? Šiuo tikslu turima mokymo duomenu aibė skaidoma i tris dalis: 1. mokymo dalis (angl. training set) 2. verifikacijos dalis (angl. validation set) 3. testavimo dalis. (angl. test set).
5 Page 5 of 54 Yra naudojamos i vairios strategijos kuriant ir i vertinant klasifikavimo algoritmus. Dažnai mokymo ir verifikacijos imtys yra keičiamos ir vidurkinama verifikacijai skirta klasifikavimo statistika. Bene populiariausias yra kryžminės verifikacijos (angl. cross-validation) metodas. Pagal ši metoda mokymui ir verifikacijai skirti duomenys suskaidomi i apylyges K daliu ir pakaitomis viena iš K daliu laikoma verifikacijos dalimi, o likusios (K 1) skiriamos mokymui. Tokiu būdu galima suvidurkinti K gautu kokybės i verčiu ir gauti patikimesnius klasifikavimo kokybės i verčio rezultatus. Taip pat verifikacija naudinga parenkant optimaliai klasifikatoriaus parametrus. Jei klasifikavimo algoritmas linkȩs persimokyti, t.y per daug prisitaikyti prie mokymo duomenu specifiniu detaliu, verifikavimo duomenys padeda aptikti persimokymo momenta ir toliau klasifikavimo algoritmo parametrai nėra tikslinami. Testavimo duomenys skirti i vertinti galutinai klasifikavimo algoritmo kokybȩ ir yra naudojami tik viena
6 Page 6 of 54 karta. Patikrinus klasifikatoriu su testavimo duomenimis, klasifikavimo algoritmas toliau yra netobulinamas, nes priešingu atveju vėl galima susidurti su algoritmo permokymo problema Tiesiniai klasifikavimo metodai Dažnai laikoma, kad požymiai X yra pasiskirstȩ pagal koki nors daugiamati skirstini. Tokia matematinė abstrakcija suteikia galimybȩ vienareikšmiai i vertinti klasifikavimo algoritma kokybȩ remiantis turima arba i vertinta informacija apie modelio parametrus. Praktiškai visi statistiniai modeliai naudoja kategoriju požymiu vidurkius X 1, X 2,..., X L. Konkretaus požymiu vektoriaus X euklidinio atstumo iki kategoriju vidurkiu kvadratas apskaičiuojamas pagal formulȩ X X l 2 = (X X l ) (X X l ),
7 Šis atstumas yra vienas galimu panašumo i kategorijas matu. Tokiu atstumu pagrindu atlikta klasifikacija vadinama euklidinio atstumo klasifikatoriumi (angl. Euclidean distance clasifier EDC). Kartais EDC dar vadinami artimiausiojo vidurkio klasifikatoriumi. Dvi pirma sias kategorijas skirianti riba randama iš lygybės X X 1 2 X X l 2 = 0. Page 7 of 54 Nesunku pastebėti, kad ši riba X atžvilgiu yra tiesinė. Taigi arčiausiojo vidurkio dvieju kategoriju klasifikatorius apibrėžiamas tiesine diskriminantine funkcija h(x) = X V + c, kur V = X 1 X 2
8 Page 8 of 54 ir c = X 1 + X 2. 2 Klasifikavimas atliekamas pagal diskriminantinės funkcijos ženkla - jei jis yra +, tai X požymius atitinkantis vektorius priskiriamas 1-ai klasei, priešingu atveju - 2-ai klasei. Žemiau pateikta iliustracija dvieju grupiu klasifikavimas naudojant artimiausiojo vidurkio metoda. Paprastas euklidinio atstumo pagrindu sukurtas klasifikatorius yra asimptotiškai (kai apmokymo duomenu skaičius artėja i begalybȩ) optimalus, jei duomenys pasiskirstȩ pagal sferini Gauso dėsni N(µ l, σ 2 I). Čia I žymi vienetinȩ matrica, o σ 2 I - kovariacijos matrica. Jei požymiu kovariacijos matrica Σ nėra i strižaininė, klasifikavimas pagal artimiausia ji kategoriju vidurki nėra optimalus. Šiuo at-
9 Page 9 of 54 1 paveikslėlis: Dvieju grupiu artimiausiojo vidurkio klasifikatorius. Grupiu centrai: X 1 = (1, 2) ir X 2 = ( 1, 2)
10 veju geriau tinka 1936 m. pasiūlytas Fišerio klasifikatorius. Žemiau pateiktame pavyzdyje palygintos klasifikavimo tiesės gautos taikant Euklidini atstuma (E) ir Fišerio (F) metoda. Naudojant klasifikavimui pateiktus N 1 ir N 2 duomenis, tiesinio klasifikavimo taisyklė h(x) = X V F + c gaunama tokiu būdu: V F = Σ 1 (X 1 X 2 ) Page 10 of 54 ir c = (M 1 + XM 2 ) V F /2, o empirinė kovariacijos matrica apskaičiuojama pagal formulȩ Σ = Σ2 i=1σ N i j=1 (Xi j X i )(X i j X i ) N 1 + N 2 2 Jei grupiu požymiu vektoriai pasiskirstȩ pagal daugiamati Gauso dėsni su ta pačia kovariacine matrica ir skirtingais vidurkiais, tai
11 Page 11 of 54 2 paveikslėlis: Dvieju grupiu tašku atpažinimas artimiausiojo vidurkio ir Fišerio tiesiniais klasifikatoriais
12 standartinis Fišerio klasifikatorius yra optimalus. Naudojant vektoriu V F ir konstanta c. Fišerio tiesinis klasifikatorius išreiškiamas formule h(x) = X V F + c. Page 12 of 54 Ir vienu ir kitu atveju išvesdami klasifikavimo taisyklȩ mes darėme prielaida apie duomenu pasiskirstyma, i vertindavome pasiskirstymo parametrus ir po to gaudavome klasifikavimo taisyklȩ. Silpna vieta čia yra daroma prielaida apie parametrini pasiskirstymo dėsni. Daugelis autoriu teigia, kad vietoje prielaidos apie pasiskirstymo dėsni geriau fiksuoti kokiai klasei turi priklausyti klasifikavimo taisyklė ir toje klasėje ieškoti optimaliai atskiriančio grupes klasifikatoriaus. Pavyzdžiui, galima fiksuoti, kad mūsu klasifikatoriaus funkcija tiesiškai priklausys nuo požymiu vektoriaus ir tarpe visu tiesiniu išraišku ieškosime skiriamosios tiesės geriausiai skiriančios apmokymo duomenimis. Panašios klasifikavimo paradigmos laikosi dirbtiniu neuroniniu
13 Page 13 of 54 tinklu pagrindu sukurti klasifikatoriai ir atraminiu vektoriu klasifikatoriai. Susipažinsime su MEE (angl. minimum empirical error) klasifikatoriumi, kuris priklauso tiesiniu klasifikatoriu aibei ir randamas tiesiogiai minimizuojant klasifikavimo paklaida. Žemiau pateiktame brėžinyje palygintos klasifikavimo tiesės gautos taikant Euklidini atstuma (E), Fišerio (F) ir minimalios empirinės paklaidos (MEE) metoda. Klasifikavimui pateiktos dvi plokštumos tašku grupės, kurios skiriasi vidurkiais: µ 1 = µ 2 = 0.5. Prie abieju grupiu taškai pasiskirstȩ pagal normalu ji dėsni su ta pačia kovariacine matrica, kurios kvadratinės formos viena lygio linija iliustruoja elipsė. Iš brėžinio matyti, kad tiesiogiai duomenu imčiai adaptuotas tiesinis klasifikatorius (MEE) geriausiai atlieka skirtingu grupiu tašku atpažinima. Tačiau nebūtinai šis klasifikatorius yra geriausias. Neu-
14 Page 14 of 54 3 paveikslėlis: Dvieju grupiu tašku atpažinimas artimiausiojo vidurkio (E), Fišerio (F) ir optimizuojančiu pateiktos imties atpažinima
15 Page 15 of 54 roniniuose tinkluose susiduriama su reiškiniu, vadinamu tinklo pertreniravimu, persimokymu (angl. overtraining. Jo esmė yra per didelė modelio ar (ir) klasifikatoriaus parametru adaptacija prie pateiktos mokymo duomenu specifikos. Pertreniravimas reiškia, kad klasifikatoriaus mokymo eigoje buvo pereitas etapas, kuriame einamosios parametru reikšmės būtu davusios geresnius testavimo duomenims rezultatus. Su pertreniravimo reiškiniu galima kovoti panaudojant verifikavimo duomenis. Mokymo procesas nutraukiamas, kai verifikacijos rezultatai pradeda blogėti, nežiūrint i tai, kad mokymo duomenims klasifikavimas toliau optimizuojant parametrus gerėja Bajeso klasifikatorius Bajeso klasifikatoriaus vardas kilȩs iš Bajeso teoremos, kuri nurodo toki sa ryši tarp sa lyginiu tikimybiu : P (Y X) = P (X Y ) P (Y ). (1) P (X)
16 Tikimybiu teorijoje X ir Y yra bet kokie i vykiai. Tačiau klasifikavimo atveju atsiranda tam tikra asimetrija tarp X ir Y, nes čia bet kokia X realizacija laikoma duomenimis, o Y - klase. Dėl šios asimetrijos naudojamos tokios sa vokos: P (Y ) apriorinė (žinoma prieš bandyma ) klasės Y tikimybė. P (Y X) sa lyginė klasės Y tikimybė, kai žinomi duomenys X. Page 16 of 54 P (X Y ) sa lyginė duomenu X tikimybė, kai žinoma, kad jie yra klasės Y. Ši tikimybė vadinama tikėtinumu. P (X) apriorinė duomenu X tikimybė. Klasifikuojant P (X) tikimybė vaidina normuojančio daliklio vaidmeni ir nei takoja klasifikavimo rezultatu. Susipažinsime su Bajeso klasifikatoriumi pritaikydami ji atpažinti MNIST duomenu bazės rašytinius skaitmenis. X duomenimis laikysime skaitmenu
17 Page 17 of binarizuotus vaizdus. Kadangi pradiniai MNIST vaizdai sudaryti iš pilkumo lygmenu reikšmiu, reikia apibrėžti binarizacijos slenksti. Mes paimsime trivialu slenksti treshold = 127.5, t.y. laikysime, kad binarizuoto vaizdo reikšmė kokioje nors matricos pozicijoje lygi 0, jei pilkumo lygmuo toje pozicijoje neviršija ir lygi 1 priešingu atveju. Y elementai sudaryti iš dešimties skaitmenu, t.y. galimos Y reikšmės yra {0, 1, 2,, 9}. MNIST duomenu bazėje yra mokymo duomenu ir testavimo duomenu. Todėl galime laikyti, kad turime X ir Y egzemplioriu {X i, Y i } i=1, kuriuos galime naudoti Bajeso klasifikatoriaus apmokymui. Atpaži stant nežinoma skaičiu mes turėsime binarinȩ matrica X ir turėsime šiai matricai priskirti žymȩ Y, t.y. pasakyti koks skaitmuo pavaizduotas matricoje. Mūsu klasifikatoriaus tikslumui i vertinti
18 naudosime testavimo duomenu (skaitmenu paveiksliuku ), kuriu žymes žinome, tačiau šiu duomenu nenaudosime kuriant klasifikavimo taisyklȩ. Visu galimu skirtingu paveiksliuku yra = Tai yra didžiulis skaičius ir turima skaitmenu mokymo aibė sudaro tik menkutȩ dali. Tiksliau ta dalis lygi = Tai yra tipinė klasifikavimo uždaviniu problema - mokymo duomenu, lyginant su visu galimu skirtingu duomenu X Page 18 of 54 skaičiumi, yra labai nedaug. Bet koks klasifikavimo algoritmas (taisyklė) stengiasi apibendrinti turimus mokymo duomenis ir algoritmo kokybei i vertinti naudojami nauji nesantys mokymo duomenu imtyje duomenys. Klaidu procentas, kuri daro klasifikatorius atpažindamas nežinomus duomenis, vadinamas apibendrinimo klaida. Kad i vertinti klasifikatoriaus apibendrinimo klaida, reikia tiksliai žinoti duomenu skirstini ir visu galimu vaizdu klasifikavimo bei tikra sias reikšmes. Tačiau praktiškai tiksliai apskaičiuoti apibendrinimo
19 Page 19 of 54 klaidos nei manoma, nes nežinomas nei tikslus duomenu skirstinys nei visu galimu duomenu tikslios žymės (y j Y ), nes priešingu atveju nereikėtu kurti klasifikatoriaus. Todėl praktiškai apibendrinimo paklaida i vertinama panaudojant testavimui skirtus duomenis. Didžiausia bėda čia, kad labai dažnai tobulinant klasifikavimo algoritma jo kokybė daug kartu i vertinama panaudojant testavimo duomenis ir todėl galutinio algoritmo klasifikavimo apibendrinimo paklaida būna i vertinama per daug optimistiškai, t. y. algoritmo kūrimo metu parenkant optimalius klasifikatoriaus parametrus būna netiesiogiai atsižvelgiama i tarpinius algoritmo testavimo rezultatus. Kad išsprȩsti šia problema, rekomenduojama naudoti kryžminio patikrinimo (angl. cross validation metoda. Pagal ši metoda turima mokymo duomenu aibė suskaidoma i panašaus dydžio poaibius ir mokinimui skiriami visi poaibiai, išskyrus viena, kuris naudojamas testavimui. Testavimui skirtas poaibis yra keičiamas ir, jei
20 Page 20 of 54 leidžia skaičiavimo laiko resursai, pereina visas galimus mokymo imties suskaidymo poaibius. Dėl šios savybės metodas ir yra vadinamas kryžminio patikrinimo. Algoritmo parametrai yra optimizuojami kryžminės patikros poaibiams ir galutinė algoritmo klasifikavimo apibendrinimo paklaida i vertinama viena karta algoritmo kūrimo pabaigoje paskaičiuojant kiek galutinė algoritmo versija daro klaidu atpažindama testinius duomenis. Kadangi mokymo duomenu visada trūksta, gana dažnai naudojamas naivusis Bajeso klasifikatorius. Naivusis klasifikatorius daro prielaida, kad duomenu visos komponentės yra nepriklausomos, t. y. P (X Y ) = P ({x 1, x 2,..., x 784 } Y ) = P (x 1 Y )P (x 2 Y )... P (x 784 Y ). (2) Naiviojo Bajeso klasifikatoriaus prielaida (2) užrašėme MNIST duomenu atveju. Epitetas naivusis pabrėžia, kad realiai tokia
21 sa lyga tiksliai niekada netenkinama. Tačiau praktiškai naivusis Bajeso klasifikatorius dažnai duoda neblogus rezultatus. Viena pagrindiniu to priežasčiu yra kas pavieniu komponenčiu skirstiniai gali būti patikimai i vertinti naudojant net ir nedidelias mokymo duomenu imtis. Mūsu atveju kiekviena duomenu komponentė gali i gyti tik dvi reikšmes: 0 arba 1. Tai dar labiau supaprastina skirstinio i verti, nes mums reikia i vertinti tik Page 21 of 54 p y i = P (x i = 1 y), i = 1, 2,..., 784, y = 0, 1,..., 9, tikimybes, o likusias q y i = P (x i = 0 y) rasime iš sa ryšio p y i +qy i = 1. py i tikimybes i vertinsime panaudodami mokymo duomenis. Viso turime pavyzdžiu. o atsižvelgus i skaitmenu reikmes, gauname tokius mokymo duomenis atskiriems skaitmenims:
22 Page 22 of 54 y # P (Y = y) Pateikti lentelėje duomenys naudojami i vertinti apriorinȩ skaitmenu tikimybȩ P (Y = y). Lentelės apatinėje eilutėje pateiktos i verčio reikšmės. P (x i Kad i vertinti fiksuotai pozicijai i ir skaitmeniui y tikimybȩ p y i = = 1 y), pakanka suskaičiuoti kiek iš paveikslėliu turi žymȩ y ir turintiems žymȩ y suskaičiuoti vienetuku skaičiu pozicijoje i. Žemiau pateiktoje lentelėje nurodyti vienetuku kiekiai pozicijose i = 1, 289, 293, 297, 401, 405, 409, 513, 517, 521, 784. Kraštinės pozicijos i reikšmės atitinka paveikslėlio kairi ji viršutini (i = 1) ir dešini ji apatini (i = 784) kampa. Iš 1 lentelės duomenu matyti, kad visuose
23 Page 23 of 54 mokymui skirtuose paveiksliukuose visi skaitmenys kraštinėse pozicijose turėjo tik juodas spalvas, todėl šiose pozicijose bendras vienetuku kiekis lygus 0. Vadinasi kraštinės pozicijos nesuteikia jokios naudingos informacijos skaitmenu klasifikacijai. Vidurinės i reikšmės parinktos taip, kad jos atitiktu paveikslėlio (14 ± 4, 14 ± 4) pozicijas. Šiose pozicijose skirtingiems skaitmenims vienetuku kiekis reikšmingai skiriasi ir jos naudingos klasifikacijai. Padalinȩ vienetuku kieki iš skaitmens mokymo imties dydžio gausime tikimybes p y i. Pavyzdžiui p 0 1 = 0, p = , p0 405 = , p0 521 = ; p 1 1 = 0, p = , p1 405 = , p1 521 = ; p 9 1 = 0, p = , p9 405 = , p9 521 = Naivusis Bajeso klasifikatorius naudoja visas p y i ir q y i = 1 p y i tikimybes. Tarkime turime klasifikacijai pateikta paveiksliuka X =
24 y/i Page 24 of 54 1 lentelė: Mokymo imties vienetuku kiekis nurodytose paveikslėliu pozicijose {x 1, x 2,..., x 784. Tuomet tikimybė, kad šis paveiksliukas bus skaitmens y vaizdas pagal naiviojo Bajeso modelio algoritma bus apskaičiuojama formule P (Y = y X) = P (X Y = y) P (Y = y) P (X) = P (Y = y) 784 i=1 (x ip y i + (1 x i)q y i ). P (X)
25 Vardiklio, t. y. tikimybės P (X) mes apskaičiuoti negalime. Tačiau klasifikacijai jis nėra būtinas, nes pagal naiviojo Bajeso klasifikatoriu skaitmuo y parenkamas taip, kad P (Y = y X) būtu maksimalus, o tam pakanka žinoti tik dešimties skaitikliu reikšmes, kurioms apskaičiuoti visi duomenys žinomi. Tarkime x 1 = 0,..., x 289 = 0,..., x 293 = 0,..., x 297 = 1,..., x 401 = 1,..., x 405 = 1,..., x 409 = 0,..., Page 25 of 54 x 513 = 1,..., x 517 = 0,..., x 521 = 1,..., x 784 = 0. Tuomet P (Y = 0 X) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )/P (X),
26 P (Y = 1 X) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )/P (X), P (Y = 2 X) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )/P (X). Page 26 of 54 Čia daugtaškiai žymi praleistu sandaugos dėmenis, kuriu reikšmiu neturime 1 lentelėje. Kad išrinkti maksimalia tikimybȩ, pakanka apskaičiuoti tik skaitiklius, nes visu trupmenu vardiklis tas pats (nors ir yra nežinomas). Skaičiuojant praktiškai patartina skaičiuoti ne skaitiklio sandaugas, o sandaugos dėmenu logaritmu sumas, kad išvengti labai mažu skaičiu aritmetikos. Skaičiuojant pagal naiviojo Bajeso taisyklȩ tikimybes turėsime problemu, kai kokia nors tikimybė lygi nuliui. Tuomet tokios tikimybės logaritmas neapibrėžtas ir gausime,
27 Page 27 of 54 kad tokios žymės tikimybė lygi nuliui. Tai nelabai logiška, ypač kai mokymo duomenu nedaug, vienas iš 784 taškeliu gali nulemti visos sandaugos reikšmȩ. Todėl rekomenduojama, jei kokio nors požymio x i tikimybė lygi nuliui arba 1 priskirti ɛ ar 1 ɛ, kur ɛ mažas teigiamas skaičius, kurio reikšmė pasirenkama eksperimentiniu būdu maksimizuojant teisingai klasifikuojamu duomenu kieki. Klasifikavimas pagal naiviojo Bajeso taisyklȩ yra labai spartus. Iš tikru ju, jei visos P (Y = y) ir p y i tikimybės jau apskaičiuotos arba nuskaitytos iš failo, tai klasifikuojant viena skaitmeni pakanka apskaičiuoti sumas ir iš gautu dešimties skaičiu išrinkti maksimuma ir klasifikacijos rezultatui pateikti maksimuma atitinkančiu žymȩ. Klasifikatoriaus sukūrimas taip pat labai spartus - užtenka prabėgti viena karta visus mokymo duomenis, sukaupti tikimybėms apskaičiuoti reikalinga statistika ir, turint vienetuku ir nuliuku skaitiklius, apskaičiuoti P (Y = y) ir p y i tikimybes.
28 Naivusis Bajeso klasifikatorius (kaip ir kiti) negarantuoja, kad visi mokymo imties duomenys yra klasifikuojami teisingai. Todėl žemiau pateikiamos lentelės apie klasifikavimo rezultatus mokymo ir testavimo imtims atskirai. Mokymo imties dydis: Teisingai klasifikuota (atpažinta): arba % Page 28 of 54 Neteisingai klasifikuota skaitmenu : 9616 arba %
29 Page 29 of 54 Atskiru skaitmenu klasifikavimas: < Naiviojo Bajeso modelio sukūrimo laikas: 2.25 sek. Mokymo duomenu klasifikavimo laikas: sek.
30 Testavimo imties dydis: Teisingai klasifikuota (atpažinta): 8454 arba % Neteisingai klasifikuota skaitmenu : 1546 arba % Page 30 of 54
31 Page 31 of 54 Atskiru skaitmenu klasifikavimas: < Testavimo duomenu klasifikavimo laikas: 8.1 sek.
32 Page 32 of 54 Gauta naiviojo Bajeso klasifikatoriaus kokybė yra gana gera, nes jei klasifikavimas būtu atsitiktinis, gautumėme tik apie 10 % teisingai klasifikuotu skaitmenu. Lyginant mokymo ir testavimo duomenu teisingai klasifikuotu skaitmenu dali matome, kad testuojami duomenys klasifikuojami net šiek tiek geriau - tai byloja, kad klasifikatorius nepersimokė, t.y. per daug nesiadaptavo prie mokymo imties specifiniu paveikslėliu. 4 paveikslėlis iliustruoja tankio funkcija i vertinta pagal naiviojo Bajeso modeli MNIST mokymo duomenims. Matyti, kad reikšmės x i = 1 yra labiausiai tikėtinos ten kur dažniausiai rašomas skaitmuo. Taip atsitinka dėl to, kad visi MNIST paveiksliukai yra standartinio dydžio ir centruoti. Kadangi testavimui skirti duomenys parinkti iš tos pačios NIST i rašu duomenu bazės, labiausiai tikėtina, kad skaitmens x i = 1 pozicijos bus nelabai nutolusios nuo mokymo imties tankio P (x i = 1) maksimumu ir todėl tikimybė i vertinta pagal naiviojo Bajeso taisyklȩ bus didžiausia tuo atveju, kai žymės y
33 Page 33 of 54 reikšmė sutaps su tikra ja skaitmens reikšme MNIST skaitmenu klasifikavimo pagerinimas Klasifikacijos pagerinimas išlyginant skaitmenu nuožulnuma Kadangi atpaži stami skaitmenys i rašyti ranka, jie būna i vairiai pakreipti. Pavyzdžiui rašant vienetuka, ji galima užrašyti tiesia linija, kuri eina iš viršaus tiesiai i apačia, arba ta linija gali eiti nuožulniai - dešiniau viršuje, kairiau apačioje, arba retkarčiais atvirkščiai, kairiau viršuje ir dešiniau apačioje. Kaupiant tokiu duomenu Bajeso statistika gausime mažiau koncentruotus nuliuku /vienetuku pasiskirstymus 28x28 dažniu lentelėje. Sprenžiant šia problema galimi bent du keliai. Pirmas i vertinti kokiu kampu pakrypȩs parašytas skaitmuo ir pasukti pradini paveikslėli tokiu kampu, kad po posūkio gautumėme statmenai parašyta skaičiu. Antras sprendimas i vertinti
34 Page 34 of 54 4 paveikslėlis: Naiviojo Bajeso MNIST duomenu modelio tankio funkcijos vizualizacija. Šviesesni taškai žymi didesni tanki ir atvirkščiai, tamsesni mažesni tanki. Viršutinėse dviejose eilutėse P (x i = 0) reikšmės, apatinėse - P (x i = 0).
35 Page 35 of 54 skaitmens parašymo šlyti ir pritaikyti pradiniam vaizdui šlyties operacija po kurios skaitmuo būtu parašytas statmenai. Antrasis būdas turi kai kuriu privalumu lyginant su pirmuoju. Posūkio operacija perveda ir x ir y koordinates i slankaus kablelio reikšmes ir todėl sukant tenka atlikti aproksimacijas ir abscisiu ir ordinačiu kryptimis. Šlyties atveju keičiasi naujo vaizdo tik x koordinatės, todėl aproksimacija bus atliekama tik abscisės kryptimi. Šlyties operacijos parametrui surasti gaunamos paprastesnės lygtys nei posūkio atveju, todėl galima tikėtis, kad skaitmens nuožulnumo atstatymas naudojant šlyties operacija duos geresnius skaitmenu atpažinimo rezultatus. Kad i vertinti šlyties operacijos parametra, pradžioje formaliai apibrėžkime šlyties operacija. 1 apibrėžimas. Sakysime, kad vaizdas v(x, y) yra vaizdo u(x, y)
36 šlytis, jei v(x, y) = u(x α(y y o ), y). Čia α yra šlyties parametras, o y o vaizdo aukščio pusė (mūsu atveju y o = 28 2 = 14 ). Vaizdo statmenumas gali būti i vertinas panaudojant tokius vaizdo momentus: Page 36 of 54 u XY = x,y u Y Y = x,y u X = x,y u(x, y) x y, u(x, y) y y, u(x, y) x, u Y = x,y u(x, y) y, u 1 = u(x, y). x,y
37 Jei kryžminė koreliacija lygi nuliui, laikysime, kad vaizdas yra statmenas. Prilyginȩ pakreipto vaizdo kyžminȩ koreliacija nuliui, gausime tokia šlyties parametro išraiška :. α = u XY u 1 u X u Y u Y Y u 1 u Y u Y. (3) Kadangi binarizuoto vaizdo u(x, y) reikšmės yra tik dvi: 0 ir 1, Page 37 of 54
38 vaizdu momentai gali būti greitai apskaičiuoti pagal tokias formules: Page 38 of 54 u XY = u Y Y = u X = u Y = u 1 = x y, x,y:u(x,y)=1 x,y:u(x,y)=1 x,y:u(x,y)=1 x,y:u(x,y)=1 x,y:u(x,y)=1 y y, x, y, 1. 5 paveikslėlis iliustruoja pirmuosius MNIS mokymo imties skaitmenis (kairiau) ir ju pakreiptus vaizdus (dešiniau). Atlikus MNIST skaitmenu vaizdu šlyties išlyginima gaunamas apie 2% klasifikacijos pagerėjimas.
39 Page 39 of 54 5 paveikslėlis: MNIST binarizuoti pradiniai duomenys (kairiau) ir su išlygintu nuožulnumu (dešiniau)
40 Klasifikacijos pagerinimas panaudojant papildomus požymiu atributus Page 40 of 54 Skaitmens požymiais mes laikėme 784 = binarizuoto vaizdo reikšmes. Pereitame skyrelyje mes i sisavinome technika, kuri suteikia galimybȩ sumažinti požymiu skaičiu papildant juos atributais. Skaitmenu atveju galima i vertinti gradiento apibendrintus ekstremumus ir pažymėti ektremumo krypti kvantuojant ja pasirinktu kvantu kiekiu. Tačiau tokie požymiai nepatogūs Bajeso klasifikatoriui, kadangi ju kiekis i vairiems skaitmenu vaizdams bus skirtingas. Kad išsprȩsti šia problema, laikysime, kad skaitmens požymiu skaičius sutampa su pradinio vaizdelio dydžiu (t.y. 784 = 28 28) laikydami, kad požymis yra neapibrėžtas, jei tame taške gradiento modulis nėra apibendrintas ekstremumas. Jei skaitmens vaizdo matricos taškas atitinka apibendrinta gradiento modulio ekstremuma, toki taška laikysime požymiu ir jo reikšmė sutaps su kvantuota krypties reikšme. Lai-
41 Page 41 of 54 kysime, kad viso yra H kvantuotu krypčiu reikšmiu. Mūsu praktiniu užduočiu atveju H = 8, dabar mes parinksime H vertȩ maksimizuodami teisingai klasifikuojamu skaitmenu kieki. 6 paveikslėlis iliustruoja pirmu ju dvieju MNIST mokymo skaitmenu (viso 20) požymius su spalvos atributu, kai H = 8. Taškeliai, kurie nėra gradiento modulio apibendrintieji ekstremumai, žymimi juodai. Sekantis fig:mnist8spalvos paveikslėlis iliustruoja gradiento modulio dominuojančia krypti kiekvieno skaitmens atveju. Šis paveikslėlis gaunamas tokiu būdu: surandami kiekvieno mokymo imties skaitmens požymiai su spalvos atributu, kiekvienam skaitmeniui atskirai surandama kiek kokiame taškelyje kartu pasikartojo kryptis ir gale iliustruojama ta kryptis, kuri dažniausiai pasitaikė duotajam skaitmeniui. Jei kokioje nors pozicijoje nei karto nebuvo apibendrintojo gradiento modulio maksimumo ( tokios pozicijos būna vaizdo kraštuose ), taškelis spalvinamas juodai. Tiesiogiai do-
42 Page 42 of 54 6 paveikslėlis: Mokymo imties gradiento modulio dominuojančios kryptys. Krypčiu kvantu kiekis H = 8
43 Page 43 of 54 minuojantys kryptys nenaudojamos Bajeso tikėtinumu skaičiavimui, tačiau jas galima panaudoti, kad greitai i vertinti tikėtinuma iš viršaus. Jei greitai i vertintas kokiam nors skaitmeniui tikėtinumas mažas, gali atmesti hipotezȩ, kad tikrinamas skaičius yra duotasis skaitmuo ir pereiti prie sekančios hipotezės. Tačiau čia greito i verčio realizacijos detaliu neaprašinėsime ir jo nenaudosime Klasifikacijos pagerinimas panaudojant požymiu praplėtima Kaip matyti iš 6 iliustracijos, didelė dalis paveikslėlio poziciju neturi informacijos apie požymius, nes yra nuspalvinti juodai. Todėl kyla mintis praplėsti kiekvieno mokymo imties paveikslėlio požymiu kieki praplečiant juo bangos principu.
44 Page 44 of 54 7 paveikslėlis: Mokymo imties gradiento modulio dominuojančios kryptys. Krypčiu kvantu kiekis H = Klasifikacijos pagerinimas atliekant mokymo duomenu vektorini kvantavima Tradicinis Bajeso klasifikatorius laiko, kad vienos klasės duomenu požymiai turi ta pati skirstimi. Tačiau ši prielaida ne visada yra natūrali. Tarkime rašant skaitmenis vieni asmenys vienetuka rašo
45 Page 45 of 54 8 paveikslėlis: Mokymo imties gradiento modulio dominuojančios kryptys. Krypčiu kvantu kiekis H = 8
46 Page 46 of 54 vienu brūkšneliu, kiti prie pagrindinio vertikalaus brūkšnelio viršuje iš kairės prideda maža brūkšneli. Septynetas gali būti parašytas panaudojant perbraukima ir be jo. Nulis gali būti ir platus ir siauras ir taip toliau. Todėl kyla mintis i vertinti kiekvieno skaitmens ne viena požymiu skirstini, o ju serija. Gana sudėtingai numatyti visus galimus skaitmenu rašymo stilius ir i vertinti praktiškai kokiu stiliumi parašytas skaitmuo. Tam tikslui galima panaudoti Bajeso klasifikatoriu. Idėja tokia: Fiksuotam skaitmeniui panaudojame visa turima mokymo duomenu imti, kad i vertinti skaitmens požymiu skirstini. I vertiname skaitmens tikėtinuma visai turimai mokymo imčiai. Surūšiuojame tikėtinumus didėjimo tvarka. Pasirenkame tam tikra skaitmenu dali, kuriu tikėtinumai yra artimi, ir iš ju suformuojame nauja skaitmens požymiu skirstini.
47 Viena šios idėjos realizaciju : Pirmame etape naudojame [q 0, q 1 ] dali didžiausio tikėtinumo mokymo duomenu ; q 0 = 0, q 1 = 2/3. Sekančiame etape naudojame [q 0, q 1 ] dali didžiausio tikėtinumo mokymo duomenu, kur q 0 ir q 1 apskaičiuoti pagal taisyklȩ q 0 = q 1, q1 = q0 + (1 q0)/3. Page 47 of 54 Antro punkto taisyklȩ kartojame penkis kartus imdami paskutini karta q 1 = 1. Aprašyta procedūra artima vektoriniam kvantavimui. Vektorinis kvantavimas grupuoja duomenu požymiu vektorius i grupes pagal požymiu artuma. Mes tai ir atlikome, tik šiuo atveju vietoje kokios nors požymiu artumo metrikos buvo panaudota tikėtinumo reikšmė i vertinta pagal Bajeso modeli.
48 Page 48 of 54 9 paveikslėlis: Mokymo imties gradiento modulio dominuojančios kryptys. Krypčiu kvantu kiekis H = 8
49 Page 49 of 54 9 paveikslėlis iliustruoja skeletizuotu skaitmenu Bajeso vienetuku tikėtinumus; kuo taškelis baltesnis tuo labiau tikėtina, kad tame taškelyje bus skaitmens skeleto taškelis. Stulpeliai žymi skaitmens reikšmȩ (nuo nulio iki 9), o eilutės išsirinktos [q 0, q 1 ] mokymo imties dalies skeleto tašku tikimybes (baltesni taškeliai žymi didesnes tikimybes). Pirmoje eilutėje labiausiai tikėtinos skeleto pozicijos atrodo ryškiausiai. Taip yra dėl to, kad dauguma asmenu panašiai piešia skaitmenis ir dauguma lemia skeletu pozicijas. Didėjant eilutės numeriui Bajeso tankio statistikai apskaičiuoti naudojami vis mažiau tikėtini skaitmenu užrašai, todėl šiose eilutėse skaitmenu užrašymas labiau varijuoja ir todėl skeleto tašku maksimaliu tikėtinumu pozicijos labiau išplitusios. Atkreipkite dėmesi kaip keičiasi nulio maksimalaus tikėtinumo iliustracijos. Sprendžiant pagal gautus vaizdus, dažniausiai nulis rašomas platesnis ir rečiau siauresnis. Ta pati galima pasakyti apie ketvertuko ir aštuoneto užrašyma, tačiau penketai ir
50 Page 50 of 54 šešetai atvirkščiau dažniau rašomi glaustai ir rečiau plačiai. Taip pat, sprendžiant pagal skeletu išsibarstyma, devynetai ir dvejetai rašomi gana variabiliai ir todėl turėtu kilti problemu juos atpaži stant pagal naiviojo Bajeso metoda. Atpažinimas turint keleta tikėtinumu variantu vienam skaitmeniui atliekamas maksimizuojant tiriamo skaitmens tikėtinuma. Pavyzdžiui jei tikėtinumui i vertinti naudojame 9 iliustracijoje pavaizduotus skeleto tašku tankius, tai duotajam testavimo skaitmens skeletui i vertiname tikėtinuma visiems 6 10 tankiams ir išsirenkame iš šešiasdešimties didžiausio tikėtinumo reikšmȩ ir, žinodami iš kokio mokymo skaitmens buvo gautas maksimalu tikėtinuma atitinkantis tankis, priskiriame klasifikacijos žymȩ. Apskaičiavȩ kiekvienam skaitmeniui maksimalius tankius (maksimizuodami kiekvieno stulpelio tikėtinuma ), gausime i verti apie kiekvieno skaitmens tikėtinuma.
51 Pagerinto naiviojo Bajeso MNIST klasifikacijos testavimo skaitmenu rezultatai Page 51 of 54 Kiekvienas pasiūlytas rašytiniu skaitmenu atpažinimo pagerinimo būdas pagerina atpažinimo kokybȩ vienu-dviem procentais. Apačioje pateikti galutiniai MNIST testavimo imties rašytiniu skaitmenu atpažinimo rezultatai. Pagerintas naiviojo Bajeso klasifikatorius daro apie 2 procentus (1.96%) klaidu. Tokie skaitmenu klasifikavimo rezultatai gauti glodinant su eksponentiniu filtru, kurio σ = 0.5, kvantuotu krypčiu kiekis H = 180.
52 Page 52 of # % z % % % % % % % % % % , 8 98, 9 96, 7 97, 7 97, 1 98, 8 98, 2 98, 6 98, 0 97, %
53 1.4. Klasifikavimo metodu biblioteka WEKA 1.5. Naivusis Bajeso, NN ir SVM metodai (Video paskaita) 1.6. Naiviojo Bajeso, dirbtiniu neuroniniu tinklu ir atraminiu vektoriu klasifikatoriu palyginimas Literatūra [1] Bill Green, weg22/edge.html Page 53 of 54 [2] Kálmán Palágyi, Vengrija, palagyi/skel/skel.html [3] K. Stukas, J. Janauskas, Š. Gruodis, M. Brašiškis, bastys/academic/ate/skaiciai/skaiciu atp.htm#praktinis
54 [4] D. Rutovitz, Pattern Recognition, J. Roy. Statist. Soc., vol. 129, pp , Page 54 of 54 [5] Feng Zhao and Xiaoou Tang, CISST02 International Conference, Fingerprint.pdf, (Lokali kopija bastys/academic/ate/pirshtai/cisst02 Fingerprint.pdf) [6] T. Y. Zhang, C. Y. Suen, A fast parallel algorithm for thinning digital patterns, Communications of the ACM, v.27 n.3, p , March Realizacija Java kalba:
Matematika 1 4 dalis
Matematika 1 4 dalis Analizinės geometrijos elementai. Tiesės plokštumoje lygtis (bendroji, kryptinė,...). Taško atstumas nuo tiesės. Kampas tarp dviejų tiesių. Plokščiosios kreivės lygtis Plokščiosios
Διαβάστε περισσότεραTemos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas
Pirmasis uždavinys Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas Uždavinio formulavimas a) Žinoma n = 50 tiriamo
Διαβάστε περισσότεραI dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI ATSAKYMAI
008 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija Kiekvieno I dalies klausimo teisingas atsakymas vertinamas tašku. I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 3 dalis
Matematika 1 3 dalis Vektorių algebros elementai. Vektorių veiksmai. Vektorių skaliarinės, vektorinės ir mišriosios sandaugos ir jų savybės. Vektoriai Vektoriumi vadinama kryptinė atkarpa. Jei taškas A
Διαβάστε περισσότεραVilniaus universitetas. Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS
Vilniaus universitetas Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS Vilnius 1992 T U R I N Y S 1. Vektorinė erdvė............................................. 3 2. Matricos rangas.............................................
Διαβάστε περισσότερα1. Pirštu atspaudu atpažinimas
1. Pirštu atspaudu atpažinimas 1. I vadas 2. Piršto atspaudu taikymai 3. Pirminis apdorojimas 4. Požymiu išskyrimas 5. Požymiu šablonu palyginimas 6. Praktinis darbas Page 1 of 21 7. Literatūra I vadas
Διαβάστε περισσότεραElektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose
lktroų ir skylučių statistika puslaidiikiuos Laisvų laidumo lktroų gracija, t.y. lktroų prėjimas į laidumo juostą, gali vykti kaip iš dooriių lygmų, taip ir iš valtiės juostos. Gracijos procsas visuomt
Διαβάστε περισσότεραSpalvos. Šviesa. Šviesos savybės. Grafika ir vizualizavimas. Spalvos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, Spalvos 1
Spalvos Grafika ir vizualizavimas Spalvos Šviesa Spalvos Spalvų modeliai Gama koregavimas Šviesa Šviesos savybės Vandens bangos Vaizdas iš šono Vaizdas iš viršaus Vaizdas erdvėje Šviesos bangos Šviesa
Διαβάστε περισσότεραX galioja nelygyb f ( x1) f ( x2)
Monotonin s funkcijos Tegul turime funkciją f : A R, A R. Apibr žimas. Funkcija y = f ( x) vadinama monotoniškai did jančia (maž jančia) aib je X A, jei x1< x2 iš X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) ( f
Διαβάστε περισσότεραDviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės
Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės Dalinės išvestinės Tarkime, kad dviejų kintamųjų funkcija (, )yra apibrėžta srityje, o taškas 0 ( 0, 0 )yra vidinis srities taškas. Jei fiksuosime argumento
Διαβάστε περισσότεραĮžanginių paskaitų medžiaga iš knygos
MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 1 Teiginio
Διαβάστε περισσότεραLaboratorinis darbas Nr. 2
M A T E M A T I N Ė S T A T I S T I K A Laboratorinis darbas Nr. 2 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2005 m. spalio 23 d. Reziumė Antras laboratorinis darbas skirtas išmokti generuoti tikimybinių skirstinių
Διαβάστε περισσότεραMATEMATINĖ LOGIKA. Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos
MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 Teiginio
Διαβάστε περισσότεραDISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2
DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2010 m. vasario 23 d. Santrauka Antras laboratorinis darbas skirtas išmokti sudarinėti daugialypės
Διαβάστε περισσότεραEKONOMETRIJA 1 (Regresinė analizė)
EKONOMETRIJA 1 Regresinė analizė Kontrolinis Sudarė M.Radavičius 004 05 15 Kai kurių užduočių sprendimai KOMENTARAS. Kai kuriems uždaviniams tik nusakytos sprendimų gairės, kai kurie iš jų suskaidyti į
Διαβάστε περισσότεραSpecialieji analizės skyriai
Specialieji analizės skyriai. Trigonometrinės Furje eilutės Moksle ir technikoje dažnai susiduriame su periodiniais reiškiniais, apibūdinamais periodinėmis laiko funkcijomis: f(t). 2 Paprasčiausia periodinė
Διαβάστε περισσότερα1 TIES ES IR PLOK TUMOS
G E O M E T R I J A Gediminas STEPANAUSKAS 1 TIES ES IR PLOK TUMOS 11 Plok²tumos ir ties es plok²tumoje normalin es lygtys 111 Vektorin e forma Plok²tumos α padetis koordina iu sistemos Oxyz atºvilgiu
Διαβάστε περισσότεραI.4. Laisvasis kūnų kritimas
I4 Laisvasis kūnų kitimas Laisvuoju kitimu vadinamas judėjimas, kuiuo judėtų kūnas veikiamas tik sunkio jėos, nepaisant oo pasipiešinimo Kūnui laisvai kintant iš nedidelio aukščio h (dau mažesnio už Žemės
Διαβάστε περισσότερα4.1 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n. Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai vektoriu
IV DEKARTO KOORDINAČIU SISTEMA VEKTORIAI 41 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai α = (a 1,, a n ) Be mums jau žinomu
Διαβάστε περισσότεραDirbtiniai neuroniniai tinklai
Dirbtiniai neuroniniai tinklai Š. Raudžio paskaitų konspektas Marius Gedminas 2003 m. pavasaris (VU MIF informatikos magistrantūros studijų 2 semestras) Šis konspektas rinktas LATEXu Š. Raudžio paskaitų
Διαβάστε περισσότεραAIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS
AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS Aibės sąvoka ir pavyzdžiai Atskirų objektų rinkiniai, grupės, sistemos, kompleksai matematikoje vadinami aibėmis. Šie atskiri objektai vadinami aibės elementais. Kai elementas
Διαβάστε περισσότεραFDMGEO4: Antros eilės kreivės I
FDMGEO4: Antros eilės kreivės I Kęstutis Karčiauskas Matematikos ir Informatikos fakultetas 1 Koordinačių sistemos transformacija Antrosios eilės kreivių lgtis prastinsime keisdami (transformuodami) koordinačių
Διαβάστε περισσότεραANALIZINĖ GEOMETRIJA III skyrius (Medžiaga virtualiajam kursui)
ngelė aškienė NLIZINĖ GEMETRIJ III skrius (Medžiaga virtualiajam kursui) III skrius. TIESĖS IR PLKŠTUMS... 5. Tiesės lgts... 5.. Tiesės [M, a r ] vektorinė lgtis... 5.. Tiesės [M, a r ] parametrinės lgts...
Διαβάστε περισσότεραĮvadas į laboratorinius darbus
M A T E M A T I N Ė S T A T I S T I K A Įvadas į laboratorinius darbus Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2005 m. rugsėjo 26 d. Reziumė Laboratorinis darbas skirtas susipažinti su MS Excel priemonėmis
Διαβάστε περισσότεραAtsitiktinių paklaidų įvertinimas
4.4.4. tsitiktinių paklaidų įvertinimas tsitiktinės paklaidos įvertinamos nurodant du dydžius: pasikliaujamąjį intervalą ir pasikliaujamąją tikimybę. tsitiktinių paklaidų atveju, griežtai tariant, nėra
Διαβάστε περισσότεραIV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam,
41 Funkcijos riba IV FUNKCIJOS RIBA Taško x X aplinka vadiname bet koki atvira intervala, kuriam priklauso taškas x Taško x 0, 2t ilgio aplinka žymėsime tokiu būdu: V t (x 0 ) = ([x 0 t, x 0 + t) Sakykime,
Διαβάστε περισσότεραVIII. FRAKTALINĖ DIMENSIJA. 8.1 Fraktalinės dimensijos samprata. Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis?
VIII FRAKTALINĖ DIMENSIJA 81 Fraktalinės dimensijos samprata Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis? Tarkime, kad duota atkarpa, kurios ilgis lygus 1 Padalykime šia atkarpa n lygiu daliu Akivaizdu, kad kiekvienos
Διαβάστε περισσότεραMatematinės analizės konspektai
Matematinės analizės konspektai (be įrodymų) Marius Gedminas pagal V. Mackevičiaus paskaitas 998 m. rudens semestras (I kursas) Realieji skaičiai Apibrėžimas. Uždarųjų intervalų seka [a n, b n ], n =,
Διαβάστε περισσότερα1.4. Rungės ir Kuto metodas
.4. RUNGĖS IR KUTO METODAS.4. Rungės ir Kuto metodas.4.. Prediktoriaus-korektoriaus metodas Palyginkime išreikštinį ir simetrinį Eulerio metodus. Pirmojo iš jų pagrindinis privalumas tas, kad išreikštinio
Διαβάστε περισσότεραEkonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė
Ekonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė dėst. T. Rekašius, 2012 m. lapkričio 19 d. 1 Duomenys Visi trečiam laboratoriniam darbui reikalingi duomenys yra tekstinio formato failuose http://fmf.vgtu.lt/~trekasius/destymas/2012/ekomet_lab3_xx.dat,
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmai. Vytautas Kazakevičius
Algoritmai Vytautas Kazakevičius September 2, 27 2 Turinys Baigtiniai automatai 5. DBA.................................. 5.. Abėcėlė............................ 5..2 Automatai..........................
Διαβάστε περισσότερα2008 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija
008 M MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA 008 m matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 7 uždavinių atsakymai I variantas Užd
Διαβάστε περισσότεραVilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Informatikos katedra. Gintaras Skersys. Mokymo priemonė
Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Informatikos katedra Gintaras Skersys Klaidas taisančių kodų teorija Mokymo priemonė Vilnius 2005 I dalis Pagrindinės savokos 1 Įvadas Panagrinėkime
Διαβάστε περισσότεραStatistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas
Statistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas DNR molekulių vaizdas DNR struktūros pakitimai. Keičiantis DNR molekulės formai keistųsi ir visos sistemos entropija. Mielėse esančio DNR struktūros
Διαβάστε περισσότεραLIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA
LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA tema. APSKRITIMŲ GEOMETRIJA (00 0) Teorinę medžiagą parengė bei antrąją užduotį sudarė Vilniaus pedagoginio universiteto docentas Edmundas Mazėtis. Apskritimas tai
Διαβάστε περισσότερα06 Geometrin e optika 1
06 Geometrinė optika 1 0.1. EIKONALO LYGTIS 3 Geometrinėje optikoje įvedama šviesos spindulio sąvoka. Tai leidžia Eikonalo lygtis, kuri išvedama iš banginės lygties monochromatinei bangai - Helmholtco
Διαβάστε περισσότεραVilius Stakėnas. Kodavimo teorija. Paskaitu. kursas
Vilius Stakėnas Kodavimo teorija Paskaitu kursas 2002 2 I vadas Informacija perduodama kanalais, kurie kartais iškraipo informacija Tarsime, kad tie iškraipymai yra atsitiktiniai, t y nėra nei sistemingi,
Διαβάστε περισσότεραDISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 1
DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 1 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2010 m. vasario 9 d. Santrauka Pirmas laboratorinis darbas skirtas išmokti generuoti nesudėtingus
Διαβάστε περισσότεραPNEUMATIKA - vožtuvai
Mini vožtuvai - serija VME 1 - Tipas: 3/2, NC, NO, monostabilūs - Valdymas: Mechaninis ir rankinis - Nominalus debitas (kai 6 barai, Δp = 1 baras): 60 l/min. - Prijungimai: Kištukinės jungtys ø 4 žarnoms
Διαβάστε περισσότεραA priedas. Diagnostikoje naudojami tarptautiniai ISO standartai
Priedai A priedas. Diagnostikoje naudojami tarptautiniai ISO standartai B priedas. Patikslintas tiesiakrumplės pavaros matematinis modelis C priedas. Patikslintas tiesiakrumplė pavaros matematinis modelis
Διαβάστε περισσότερα2009 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 1 6 uždavinių atsakymai
M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus -6- įsakymu Nr. (..)-V-8 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO
Διαβάστε περισσότεραSpecialieji analizės skyriai
Specialieji analizės skyriai. Specialieji analizės skyriai Kompleksinio kinamojo funkcijų teorija Furje eilutės ir Furje integralai Operacinis skaičiavimas Lauko teorijos elementai. 2 Kompleksinio kintamojo
Διαβάστε περισσότεραTaikomieji optimizavimo metodai
Taikomieji optimizavimo metodai 1 LITERATŪRA A. Apynis. Optimizavimo metodai. V., 2005 G. Dzemyda, V. Šaltenis, V. Tiešis. Optimizavimo metodai, V., 2007 V. Būda, M. Sapagovas. Skaitiniai metodai : algoritmai,
Διαβάστε περισσότερα1 Įvadas Neišspręstos problemos Dalumas Dalyba su liekana Dalumo požymiai... 3
Skaičių teorija paskaitų konspektas Paulius Šarka, Jonas Šiurys 1 Įvadas 1 1.1 Neišspręstos problemos.............................. 1 2 Dalumas 2 2.1 Dalyba su liekana.................................
Διαβάστε περισσότεραKetvirtos eilės Rungės ir Kutos metodo būsenos parametro vektoriaus {X} reikšmės užrašomos taip:
PRIEDAI 113 A priedas. Rungės ir Kuto metodas Rungės-Kutos metodu sprendiamos diferencialinės lygtys. Norint skaitiniu būdu išspręsti diferencialinę lygtį, reikia žinoti ieškomos funkcijos ir jos išvestinės
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga
VII DAUGELIO KINTAMU JU FUNKCIJOS 71 Bendrosios sa vokos Iki šiol mes nagrinėjome funkcijas, apibrėžtas realiu skaičiu aibėje Nagrinėsime funkcijas, kurios apibrėžtos vektorinėse erdvėse Tarkime, kad R
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARIOJI TEORIJA
ELEMENTARIOJI TEORIJA Pirmosios kombinatorikos þinios siekia senàsias Rytø ðalis, kuriose mokëta suskaièiuoti këlinius bei derinius ir sudarinëti magiðkuosius kvadratus, ypaè populiarius viduramþiais.
Διαβάστε περισσότεραDiskrečioji matematika
VILNIAUS UNIVERSITETAS Gintaras Skersys Julius Andrikonis Diskrečioji matematika Pratybų medžiaga Versija: 28 m. sausio 22 d. Vilnius, 27 Turinys Turinys 2 Teiginiai. Loginės operacijos. Loginės formulės
Διαβάστε περισσότερα1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai yra studentai galima išreikšti formule. 2 Ta pati teigini galima užrašyti ir taip. 3 Formulė U&B C reiškia, kad
45 DISKREČIOJI MATEMATIKA. LOGIKA. PAVYZDŽIAI Raidėmis U, B ir C pažymėti teiginiai: U = Vitas yra studentas ; B = Skirmantas yra studentas ; C = Jonas yra studentas. 1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai
Διαβάστε περισσότεραPav1 Žingsnio perdavimo funkcija gali būti paskaičiuota integruojant VIPF. Paskaičiavus VIPF FFT gaunamo amplitudinė_dažninė ch_ka.
Įvadas į filtrus Skaitmeniniai filtrai, tai viena iš svarbiausių siganalų apdorojimo dalių. Kadangi skaitmeniniai filtrai turi nepalyginamai daugiau pranašumų nei analoginiai filtrai, tai nulėmė jų populiarumą.
Διαβάστε περισσότεραV skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI
V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI Uždirbtų palūkanų suma priklauso ne tik nuo palūkanų normos dydžio, bet ir nuo palūkanų kapitalizavimo dažnio Metinė palūkanų norma nevisada atspindi
Διαβάστε περισσότεραAPRAŠOMOJI STATISTIKA
STATISTIKA FILOLOGAMS 4 paskaita APRAŠOMOJI STATISTIKA Pagrindinės sąvokos Statistika keliareikšmė sąvoka. Skirtinos bent jau šios ryškios bei kartu skirtingos reikšmės: a) tokia duomenų apie valstybę,
Διαβάστε περισσότεραRemigijus Leipus. Ekonometrija II. remis
Remigijus Leipus Ekonometrija II http://uosis.mif.vu.lt/ remis Vilnius, 2013 Turinys 1 Trendo ir sezoniškumo vertinimas bei eliminavimas 4 1.1 Trendo komponentės vertinimas ir eliminavimas........ 4 1.2
Διαβάστε περισσότερα4.3. Minimalaus dengiančio medžio radimas
SKYRIUS. ALGORITMAI GRAFUOSE.. Minimalaus dengiančio medžio radimas Šiame skyriuje susipažinsime su minimaliu dengiančiu medžių radimo algoritmais. Pirmiausia sudarysime dvi taisykles, leidžiančias pasirinkti
Διαβάστε περισσότεραVilijandas Bagdonavi ius. Julius Jonas Kruopis MATEMATIN E STATISTIKA
VILNIAUS UNIVERSITETO MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS Vilijandas Bagdonavi ius Julius Jonas Kruopis MATEMATIN E STATISTIKA Vadovelis IV DALIS DAUGIAMAT E STATISTIKA Vilniaus universiteto leidykla
Διαβάστε περισσότερα1. Individualios užduotys:
IV. PAPRASTOSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS. Individualios užduots: - trumpa teorijos apžvalga, - pavzdžiai, - užduots savarankiškam darbui. Pirmosios eilės diferencialinių lgčių sprendimas.. psl. Antrosios
Διαβάστε περισσότεραAnalizės uždavinynas. Vytautas Kazakevičius m. lapkričio 1 d.
Analizės uždavinynas Vytautas Kazakevičius m. lapkričio d. ii Vienmatė analizė Faktorialai, binominiai koeficientai. Jei a R, n, k N {}, tai k! = 3 k, (k + )!! = 3 5 (k + ), (k)!! = 4 6 (k); a a(a ) (a
Διαβάστε περισσότερα1. Įvadas į sistemas ir signalus. 1. Signalas, duomenys, informacija ir žinios
. Įvadas į sistemas ir signalus. Signalas, duomenys, informacija ir žinios Žodis signalas yra kilęs iš lotyniško žodžio signum ženklas. Signalas tai yra tai kas yra naudojama žiniai perduoti. Signalas
Διαβάστε περισσότερα4 laboratorinis darbas. PARAMETRŲ ĮVERČIAI IR STATISTINĖS HIPOTEZĖS
PARAMETRŲ ĮVERČIAI IR STATISTINĖS HIPOTEZĖS DARBO TIKSLAS - išstudijuoti parametrų taškiių ir itervaliių įverčių radimo, parametriių ir eparametriių hipotezių tikriimo uždaviius ir jų taikymą Teorijos
Διαβάστε περισσότεραKADETAS (VII ir VIII klasės)
ADETAS (VII ir VIII klasės) 1. E 10 000 Galima tikrinti atsakymus. adangi vidutinė kainasumažėjo, tai brangiausia papūga kainavo daugiau kaip 6000 litų. Vadinasi, parduotoji papūga kainavo daugiau kaip
Διαβάστε περισσότεραLIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 2014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ
LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ 014 m. birželio 5 d. matematikos valstybinį
Διαβάστε περισσότεραATSITIKTINIAI PROCESAI. Alfredas Račkauskas. (paskaitų konspektas 2014[1] )
ATSITIKTINIAI PROCESAI (paskaitų konspektas 2014[1] ) Alfredas Račkauskas Vilniaus universitetas Matematikos ir Informatikos fakultetas Ekonometrinės analizės katedra Vilnius, 2014 Iš dalies rėmė Projektas
Διαβάστε περισσότεραIII. MATRICOS. DETERMINANTAI. 3.1 Matricos A = lentele žymėsime taip:
III MATRICOS DETERMINANTAI Realiu ju skaičiu lentele 3 Matricos a a 2 a n A = a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn vadinsime m n eilės matrica Trumpai šia lentele žymėsime taip: A = a ij ; i =,, m, j =,, n čia
Διαβάστε περισσότεραVILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA. Algoritmų teorija. Paskaitų konspektas
VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Algoritmų teorija Paskaitų konspektas Dėstytojas: lekt. dr. Adomas Birštunas Vilnius 2015 TURINYS 1. Algoritmo samprata...
Διαβάστε περισσότεραVidutinės biokuro (žaliavos) kainos Lt/t ne galimi apskaičiavimo netikslumai
Vidutinės biokuro (žaliavos) kainos Lt/t ne galimi apskaičiavimo netikslumai * BALTPOOL UAB organizuota konferencija KAS VYKSTA BIOKURO RINKOJE? 2013.06.11 * Galimos deklaruojamų biokuro pirkimo kainų
Διαβάστε περισσότεραPraeita paskaita. Grafika ir vizualizavimas Atkirtimai dvimatėje erdvėje. Praeita paskaita. 2D Transformacijos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, 2010
Praeita paskaita Grafika ir vizualizavimas Atkirtimai dvimatėje erdvėje Atkarpos Tiesės lgtis = mx+ b kur m krpties koeficientas, o b aukštis, kuriame tiesė kerta ašį Susikirtimo taško apskaičiavimui sulginamos
Διαβάστε περισσότεραArenijaus (Arrhenius) teorija
Rūgštys ir bazės Arenijaus (Arrhenius) teorija Rūgštis: Bazė: H 2 O HCl(d) H + (aq) + Cl - (aq) H 2 O NaOH(k) Na + (aq) + OH - (aq) Tuomet neutralizacijos reakcija: Na + (aq) + OH - (aq) + H + (aq) + Cl
Διαβάστε περισσότεραTEORIJA. RINKTINIAI MATEMATIKOS SKYRIAI (Informatikos spec., 2 srautas, magistrantūra, 1 semestras) PROGRAMA. su skaidžia savybe skaičiu
GRAFU TEORIJA RINKTINIAI MATEMATIKOS SKYRIAI (Informatikos spec, 2 srautas, magistrantūra, 1 semestras) PROGRAMA 1 Pagrindinės sa vokos, pavyzdžiai Grafu veiksmai 2 Grafo parametru sa ryšiai 3 Jungiantysis
Διαβάστε περισσότεραIntegriniai diodai. Tokio integrinio diodo tiesiogin įtampa mažai priklauso nuo per jį tekančios srov s. ELEKTRONIKOS ĮTAISAI 2009
1 Integriniai diodai Integrinių diodų pn sandūros sudaromos formuojant dvipolių integrinių grandynų tranzistorius. Dažniausiai integriniuose grandynuose kaip diodai naudojami tranzistoriniai dariniai.
Διαβάστε περισσότεραVilniaus universitetas Gamtos mokslų fakultetas Kartografijos centras. Giedrė Beconytė. Mokomoji knyga geomokslų specialybių studentams
Vilniaus universitetas Gamtos mokslų fakultetas Kartografijos centras Giedrė Beconytė DUOMENŲ BAZIŲ PROJEKTAVIMAS Mokomoji knyga geomokslų specialybių studentams Vilnius 2012 Aprobuota VU Gamtos mokslų
Διαβάστε περισσότεραMONTE KARLO METODAS. Gediminas Stepanauskas IVADAS Sistemos Modeliai Modeliavimas ir Monte-Karlo metodas...
MONTE KARLO METODAS Gediminas Stepanauskas 2008 Turinys 1 IVADAS 4 1.1 Sistemos.............................. 4 1.2 Modeliai.............................. 5 1.3 Modeliavimas ir Monte-Karlo metodas.............
Διαβάστε περισσότερα1 iš 15 RIBOTO NAUDOJIMO
iš 5 PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriau 00-06-08 įakymu Nr. 6.-S- 00 m. matematiko valtybinio brando egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė eija 8 uždavinių atakymai Užd. Nr. 5 6 7
Διαβάστε περισσότεραII dalis Teisingas atsakymas į kiekvieną II dalies klausimą vertinamas 1 tašku g/mol
PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus 05 m. birželio 8 d. įsakymu Nr. (.3.)-V-73 05 M. CHEMIJOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA. Pagrindinė sesija I dalis Teisingas
Διαβάστε περισσότερα2015 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija. I dalis
PATVIRTINTA Ncionlinio egzminų centro direktorius 0 m. birželio d. įskymu Nr. (..)-V-7 0 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pgrindinė sesij I dlis Užd. Nr. 4 7
Διαβάστε περισσότεραFRANKO IR HERCO BANDYMAS
VILNIAUS UNIVERSITETAS Kietojo kūno elektronikos katedra Atomo ir branduolio fizikos laboratorija Laboratorinis darbas Nr. FRANKO IR HERCO BANDYMAS Parengė A. Poškus 013-08-31 Turinys Darbo tikslas 1.
Διαβάστε περισσότεραŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPINĖSE TERPĖSE
ŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPIĖSE TERPĖSE 43 2.7. SPIDULIUOTĖS IR KŪO SPALVOS Spinduliuotės ir kūno optiniam apibūdinimui naudojama spalvos sąvoka. Spalvos reiškinys yra nepaprastas. Kad suprasti spalvos esmę,
Διαβάστε περισσότεραMatematinė logika. 1 skyrius Propozicinės formulės. žodį, Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia
1 skyrius Matematinė logika Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia mintį, žodį, protą, sąvoką. Logika arba formalioji logika nagrinėja teisingo mąstymo dėsnius ir formas, kai samprotavimų turinys nėra
Διαβάστε περισσότεραTIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010
TIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010 Tikimybiu teorija nagrin eja atsitiktinius ivykius ir tu ivykiu tikimybes ivykio pasirodymo galimyb es mat, i²reik²t skai iumi p,
Διαβάστε περισσότερα2.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS
.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS 5.. Pirmoji Bolcao Koši teorema. Jei fucija f tolydi itervale [a;b], itervalo galuose įgyja priešigų želų reišmes, tai egzistuoja tos tašas cc, ( ab ; ), uriame
Διαβάστε περισσότεραSkalbimo mašina Vartotojo vadovas Πλυντήριο Ρούχων Εγχειρίδιο Χρήστη Mosógép Használati útmutató Automatická pračka Používateľská príručka
WMB 71032 PTM Skalbimo mašina Vartotojo vadovas Πλυντήριο Ρούχων Εγχειρίδιο Χρήστη Mosógép Használati útmutató utomatická pračka Používateľská príručka Dokumentu Nr 2820522945_LT / 06-07-12.(16:34) 1 Svarbūs
Διαβάστε περισσότεραSIGNALAI TELEKOMUNIKACIJŲ SISTEMOSE
VILNIAUS UNIVERSITETAS Kietojo kūno elektronikos katedra SIGNALAI TELEKOMUNIKACIJŲ SISTEMOSE Mokymo priemonė Parengė A. Poškus 4 Turinys. ĮVADAS..... Telekomunikaijų sistemos struktūrinė shema. Pagrindinės
Διαβάστε περισσότερα0.1. Bendrosios sąvokos
.1. BENDROSIOS SĄVOKOS 1.1. Bendrosios sąvokos.1.1. Diferencialinės lygtys su mažuoju parametru F ) x n),x n 1),...,x,x,t;ε =, xt;ε) C n T), T [,+ ), < ε ε ) F x n) t;ε),x n 1) t;ε),...,x t;ε),xt;ε),t;ε,
Διαβάστε περισσότερα2018 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ
N A C I O N A L I N I S E G Z A M I N Ų C E N T R A S 018 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ 018 m. birželio 9 d. įvyko matematikos valstybinis brandos egzaminas.
Διαβάστε περισσότεραModalumo logikos S4 kai kurios išsprendžiamos klasės
VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS INFORMATIKOS KATEDRA Magistro baigiamasis darbas Modalumo logikos S4 kai kurios išsprendžiamos klasės Some Decidable Classes of Modal Logic
Διαβάστε περισσότεραJONAS DUMČIUS TRUMPA ISTORINĖ GRAIKŲ KALBOS GRAMATIKA
JONAS DUMČIUS (1905 1986) TRUMPA ISTORINĖ GRAIKŲ KALBOS GRAMATIKA 1975 metais rotaprintu spausdintą vadovėlį surinko klasikinės filologijos III kurso studentai Lina Girdvainytė Aistė Šuliokaitė Kristina
Διαβάστε περισσότεραTaikomoji branduolio fizika
VILNIAUS UNIVERSITETAS Taikomoji branduolio fizika Parengė A. Poškus Vilnius 2015-05-20 Turinys 1. Neutronų sąveika su medžiaga...1 1.1. Neutronų sąveikos su medžiaga rūšys...1 1.2. Neutrono sukeltų branduolinių
Διαβάστε περισσότεραUAB Aveva planuojamos ūkinės veiklos metu į aplinkos orą išmetamų teršalų sklaidos modeliavimas
Objektas: UAB Aveva Kupiškio g. 54, Utena UAB Aveva planuojamos ūkinės veiklos metu į aplinkos orą išmetamų teršalų sklaidos modeliavimas 2017 m. 2 Skaičiavimo metodika, naudota kompiuterinė programinė
Διαβάστε περισσότεραeksponentinės generuojančios funkcijos 9. Grafu
DISKREČIOJI MATEMATIKA (2 semestras) KOMBINATORIKOS IR GRAFU TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA I KOMBINATORIKA 1 Matematinės indukcijos ir Dirichlė principai 2 Dauginimo taisyklė,,skaičiuok dukart principas
Διαβάστε περισσότερα04 Elektromagnetinės bangos
04 Elektromagnetinės bangos 1 0.1. BANGINĖ ŠVIESOS PRIGIMTIS 3 Šiame skyriuje išvesime banginę lygtį iš elektromagnetinio lauko Maksvelo lygčių. Šviesa yra elektromagnetinė banga, kurios dažnis yra optiniame
Διαβάστε περισσότεραMATAVIMAI IR METROLOGIJOS PAGRINDAI
EUROPOS SĄJUNGA KURKIME ATEITĮ DRAUGE! VILNIAUS KOLEGIJA Europos Sąjungos struktūrinių fondų paramos projektas MOKYMO IR STUDIJŲ PROGRAMOS MECHANIKOS IR ELEKTRONIKOS SEKTORIAUS POREIKIAMS TENKINTI SUKŪRIMAS
Διαβάστε περισσότεραDISKREČIOJI MATEMATIKA
VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS INFORMATIKOS KATEDRA Valdas Diči ūnas Gintaras Skersys DISKREČIOJI MATEMATIKA Mokymo priemonė Vilnius 2003 Įvadas Išvertus iš lotynu kalbos
Διαβάστε περισσότεραUAB Rutinas ūkinės veiklos metu išmetamų aplinkos oro teršalų sklaidos modeliavimas
Objektas: UAB Rutinas Draugystės g. 4, Kaunas UAB Rutinas ūkinės veiklos metu išmetamų aplinkos oro teršalų sklaidos modeliavimas 207-0-24 2 Skaičiavimo metodika, naudota kompiuterinė programinė įranga
Διαβάστε περισσότερα1. Įvadas. Laisvųjų dalelių kvantinės mechanikos elementai
1. Įvadas. Laisvųjų dalelių kvantinės mechanikos elementai 1.1. Branduolio nukleonų energijos diskretumo aiškinimas. Dalelė stačiakampėje potencialo duobėje Dalelės banginė funkcija tai koordinačių ir
Διαβάστε περισσότεραEUROPOS CENTRINIS BANKAS
2005 12 13 C 316/25 EUROPOS CENTRINIS BANKAS EUROPOS CENTRINIO BANKO NUOMONĖ 2005 m. gruodžio 1 d. dėl pasiūlymo dėl Tarybos reglamento, iš dalies keičiančio Reglamentą (EB) Nr. 974/98 dėl euro įvedimo
Διαβάστε περισσότερα1. Vektoriu veiksmai. Vektoriu skaliarinė, vektorinė ir mišrioji sandaugos
1. Vektoriu veiksmai. Vektoriu skaliarinė, vektorinė ir mišrioji sandaugos Vektoriu užrašymas MAPLE Vektorius MAPLE galime užrašyti daugeliu būdu. Juos grafiškai vaizduosime paketo Student[LinearAlgebra]
Διαβάστε περισσότεραPAPILDOMA INFORMACIJA
PAPILDOMA INFORMACIJA REKOMENDACIJOS, KAIP REIKIA ĮRENGTI, PERTVARKYTI DAUGIABUČIŲ PASTATŲ ANTENŲ ŪKIUS, KAD BŪTŲ UŽTIKRINTAS GEROS KOKYBĖS SKAITMENINĖS ANTŽEMINĖS TELEVIZIJOS SIGNALŲ PRIĖMIMAS I. BENDROSIOS
Διαβάστε περισσότεραVilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas. Algirdas Ma iulis. Duomenu tyrimas. Paskaitu konspektas
Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Algirdas Ma iulis Duomenu tyrimas Paskaitu konspektas 2011 Turinys Ivadas 5 1 Pagrindines tikimybiu teorijos ir informacijos teorijos s vokos
Διαβάστε περισσότερα5 klasė. - užduotys apie varniuką.
5 klasė - užduotys apie varniuką. 1. Varniukas iš plastilino lipdė raides ir iš jų sudėliojo užrašą: VARNIUKO OLIMPIADA. Vienodas raides jis lipdė iš tos pačios spalvos plastelino, o skirtingas raides
Διαβάστε περισσότεραDISKREČIOSIOS DAUBECHIES 9/7 TRANSFORMACIJOS SU DALINE BLOKŲ DEKORELIACIJA SAVYBIŲ TYRIMAS
KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS FUNAMENTALIŲJŲ MOKSLŲ FAKULTETAS TAIKOMOSIOS MATEMATIKOS KATERA Lina Vaišnoraitė ISKREČIOSIOS AUBECHIES 9/7 TRANSFORMACIJOS SU ALINE BLOKŲ EKORELIACIJA SAVYBIŲ TYRIMAS
Διαβάστε περισσότεραKengūra Užduotys ir sprendimai. Senjoras
Kengūra 2014 Užduotys ir sprendimai Senjoras KENGŪROS KONKURSO ORGANIZAVIMO KOMITETAS KENGŪRA 2014 TARPTAUTINIO MATEMATIKOS KONKURSO UŽDUOTYS IR SPRENDIMAI Autorius ir sudarytojas Aivaras Novikas Redaktorius
Διαβάστε περισσότερα