Atsitiktinių paklaidų įvertinimas
|
|
- Λίγεια Βιτάλη
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 tsitiktinių paklaidų įvertinimas tsitiktinės paklaidos įvertinamos nurodant du dydžius: pasikliaujamąjį intervalą ir pasikliaujamąją tikimybę. tsitiktinių paklaidų atveju, griežtai tariant, nėra įmanoma nurodyti didžiausią paklaidą: nors ir su maža tikimybe, ji gali būti neriboto dydžio. Pasikliaujamoji tikimybė P - tai tikimybė, kad aritmetinio vidurkio matavimų paklaida δx patenka į intervalą [ - x p, x p ]. Šis intervalas vadinamas pasikliaujamuoju intervalu. Matavimų rezultatas užrašomas nurodant paklaidą x p ir pasikliaujamąją tikimybę P: x = x ± x p, P. (4.3) Kaip apskaičiuoti pasikliaujamąjį intervalą ir pasikliaujamąją tikimybę? Pasikliaujamoji tikimybė P priklauso nuo matavimų skaičiaus n ir koeficiento x p t P,n =. (4.4) S x Dydis t P,n vadinamas Stjudento koeficientu.pasikliaujamosios tikimybės vertės, remiantis Stjudento pasiskirstymo dėsniu ( 4.9 skyrius) yra apskaičiuotos įvairioms matavimų skaičiaus n ir Stjudento koeficiento t P,n vertėms( žr. 1 lentelę prieduose). Pasirinkę pasikliaujamąją tikimybę P (laboratoriniame darbe dažniausiai P =0,95) konkrečiam matavimų skaičiui n iš 1 lentelės prieduose randame Stjudento koeficientą t P,n ir apskaičiuojame pasikliaujamąjį intervalą x p : x p = t P, n S x. (4.5) Jei, apsiriboję mažesniu matavimų paklaidos įvertinimo tikslumu, apskaičiuojame vidutinę aritmetinę paklaidą r x (4.18), pasikliaujamąjį intervalą x p, išreikštą per r x pasirinktai pasikliaujamajai tikimybei P, galime surasti iš 4.1 lentelės. Skaičiavimai grindžiami Stjudento pasiskirstymo dėsniu (4.9 skyrius), (4.0) sąryšiu ir pataisomis, kurios priklauso nuo matavimų skaičiaus n. 4.1lentelė. Pasikliaujamajam intervalui x p, išreikštam per vidutinę aritmetinę paklaidą, pasikliaujamosios tikimybės P priklausomybė nuo matavimų skaičiaus n.. n x P P r x 0,75 0,8 0,87 0,905 0,930 0,945 0,960 r x 0,93 0,97 0,985 >0, r x 0,98 0,99 >0, Iš 4.1 lentelės matyti,kad atlikus fizikinio dydžio matavimus 9 kartus, vidutinė aritmetinė paklaida lygi pasikliaujamajam intervalui x P su pasikliaujamąja tikimybe P= 0,95. Skaičiuojant aritmetinio vidurkio vidutinę kvadratinę paklaidą S x, pasikliaujamasis intervalas x P tai pačiai tikimybei P gaunamas mažesnis - matavimų paklaidos įvertinimas pasinaudojant S x yra tikslesnis. 0
2 Kai matavimų skaičius n, Stjudento koeficientas tikimybei P =0,997 lygus 3,0, o pasikliaujamasis intervalas (4.5 formulė) x 0,997 3 S x. Šis intervalas vadinamas didžiausia galima paklaida, nes tikimybė, kad tikroji vertė pateks į intervalą x - 3 S x x 0 x + 3 S x yra artima 100% ( P=99,7%). Iš 4.1 lentelės matyti, kad matavimų skaičiui n, vidutinė aritmetinė paklaida lygi didžiausiai galimai paklaidai: r x = x 0,997 3 S x. (4.6) tskiro matavimo didžiausia galima paklaida x 0,997 3 S x. (4.7) tsitiktinės atskaitymų paklaidos Matavimo prietaisų parodymus dažniausiai atskaitome vienos ar pusės padalos tikslumu. Diskretinių, skaitmeninių prietaisų parodymus atskaitome mažiausio žingsnio (vienos padalos) tikslumu. Pavyzdžiui, jeigu sekundometro padalos vertė 0,1 s, galimi parodymai 0,1, 0, 0,3, Matuojant įvykio trukmę intervale nuo 5,06 s iki 5,14 s, sekundometras parodys 5,1s. Tuo būdu, diskretinių prietaisų parodymai atskaitomi vienos padalos tikslumu, jei vizualiniai atskaitymai neįneša papildomos atsitiktinės paklaidos. Slankmačio, mikrometro parodymai atskaitomi vienos padalos tikslumu. Šios paklaidos vadinamos atskaitymo arba apvalinimo paklaidomis. Jos yra atsitiktinės, bet skiriasi nuo kitų matavimo atsitiktinių paklaidų tuo, kad joms galioja ne normalinis, o tolyginis pasiskirstymo dėsnis. tskaitymo paklaidoms įvertinti įvedamas apvalinimo intervalas h. pvalinimo intervalas lygus 1,0, jei atskaitome vienos padalos tikslumu ir lygus 0,5 - jei atskaitome pusės padalos tikslumu. Svirtinėms svarstyklėms apvalinimo intervalas lygus mažiausio svarelio masei. Didžiausia galima atskaitymo paklaida x a yra lygi pusei apvalinimo intervalo: x a = h/. (4.8) Pasirinktai pasikliaujamai tikimybei P pasikliaujamasis intervalas (atskaitymo paklaida) yra skaičiuojama taip: x a,p = P. x a = P h/. (4.9) 4.5. Tiesioginių matavimų sisteminės paklaidos Sisteminės paklaidos nuo atsitiktinių skiriasi tuo, kad jas sąlygoja pastovūs veiksniai, ir, kartojant matavimus,gauname pastovius parodymus. Galime pažymėti tris pagrindines sisteminių paklaidų rūšis: 1) Pataisos. Šių paklaidų buvimas yra žinomas, ir jos apskaičiuojamos kaip pataisa. Pvz., mikrometro atskaitymo žymė nesutampa su nuline padėtimi. ) Instrumentinės paklaidos. Tai matavimo prietaisų paklaidos, nusakomos tikslumo klase ( redukuotoji paklaida). Jeigu 0,5 tikslumo klasės voltmetro skalės matavimo riba U m =150 V, tai didžiausia įtampos matavimų sisteminė paklaida U s gali būti įvertinta iš (.7) formulės: 1
3 γ r Um U S =, 100 U S = 0,75 V. Matavimo prietaisų tikslumo klasė yra nuo 0,5 ik 4. Mažesnė tikslumo klasė yra nežymima. Laboratorinių svirtinių svarstyklių paklaidos didžiausia galima vertė (didžiausias jautris) lygi mažiausio svarelio masei. Sekundometro, milimetrinės liniuotės, termometro tikslumas nenurodomas, nes šiems prietaisams atsitiktinė atskaitymo paklaida x a yra žymiai didesnė už prietaiso sisteminę paklaidą x s ir, įvertindami pilnutinę matavimo paklaidą, ją atmetame. Matavimo prietaisų paklaidos dažniausiai įvertinamos kaip atsitiktinės, nurodant jos didžiausią vertę x s. Kadangi didžiausia galima paklaidos vertė x s = 3 S x, tai S x = ( x s )/ 3. (4.30) Pasirinktai pasikliaujamajai tikimybei P prietaiso paklaida (pasikliaujamasis intervalas) apskaičiuojamas taip: x s,p = t,p S x = t,p ( x s )/ 3. (4.31) Čia koeficientas t,p randamas iš Stjudento koeficientų lentelės ( 1 lentelė prieduose). Jei P= 0,95, t,p =,0. 3) Paklaidos, atsirandančios dėl matuojamojo objekto nekokybiškumo. Tokios paklaidos atsiranda, pavyzdžiui, matuojant medžiagos tankį bandinio, kuriame yra tuštumų, kitų medžiagų priemaišų, defektų ir pan Tiesioginių matavimų pilnutinė paklaida Tiesioginių matavimų paklaida susideda iš: 1) sisteminės prietaiso paklaidos x s,p ; ) atsitiktinės atskaitymo paklaidos x a,p ; 3) atsitiktinės matavimų paklaidos x n,p. Pilnutinė matavimo paklaida apskaičiuojama taip: ( ) ( ) ( ) P s,p a,p n,p x = x + x + x. (4.3) Ši formulė galioja ir didžiausiai matavimo paklaidai, ir pasikliaujamajam intervalui apskaičiuoti. Pastaruoju atveju visų sudedamųjų intervalų pasikliaujamosios tikimybės turi būti vienodos. Tuomet pilnutinės paklaidos x pasikliaujamoji tikimybė bus tokia pat kaip ir sudedamųjų. Jeigu atsitiktinė matavimų paklaida yra kelis kartus ( du ir daugiau kartų) mažesnė už atskaitymo ir sisteminę prietaiso paklaidą, nėra tikslinga atlikti daug matavimų ir ieškoti aritmetinio vidurkio, nes tai nepagerins matavimo rezultato. Dėl to, prieš pradedant matavimus, reikia nustatyti atskaitymo paklaidos x a ( skyrius) ir sisteminės paklaidos x s (4.5. skyrius) dydį ir, atlikus 4-5 matavimus, palyginti paklaidų didumą. Jeigu matavimų duomenų skirtumas yra du ar daugiau kartų mažesnis už atskaitymo ir sistemines paklaidas, galima apsiriboti vienkartiniu matavimu, neatsižvelgiant į atsitiktines paklaidas. Tuomet matavimo pilnutinė paklaida
4 ( ) ( ) P s,p a,p x = x + x. (4.33) Jeigu matavimų duomenų skirtumas yra artimas paklaidų x a ir x s didumui ar jas viršija, atsitiktinės matavimų paklaidos yra lygiavertės ar vyrauja. Tokiu atveju daugkartiniai matavimai būtini; apskaičiuojamas aritmetinis vidurkis, pasikliaujamasis intervalas ir pilnutinė paklaida (4.3). Paklaidos skaitinė vertė yra apytikslis skaičius. Jo pirmasis reikšminis skaitmuo yra tikslus, antrasis - abejotinas, o kiti netikslūs, ir nėra prasmės juos rašyti. Užrašant matavimo paklaidą, reikia apsiriboti dviem reikšminiais skaitmenimis, jei santykinė paklaida iki 10%, ir vienu reikšminiu skaitmeniu, jei santykinė paklaida didesnė už 10%. Matavimo aritmetinis vidurkis ir pilnutinė paklaida užrašomi taip, kad paskutinieji skaitmenys būtų to paties skyriaus, pvz., (,1 ± 0,01 ) s arba (5,3 ± 0,1) s. Žemiau pateikiame tiesioginių matavimų paklaidos įvertinimo pavyzdį. Pavyzdys. Matuojamas bandinio ilgis l. Matuojama slankmačiu, kurio tikslumas (prietaiso sisteminė paklaida) l s = 0,05 mm. Didžiausia atskaitymo atsitiktinė paklaida (4.8) l a = 0,05 mm. tlikę 5 matavimus gauname vertes, kurios skiriasi viena nuo kitos ±(0,05-0,10 ) mm. Todėl turime atlikti daugkartinius matavimus, skaičiuoti atsitiktinę matavimų paklaidą (4.5), o po to ir pilnutinę paklaidą (4.3). Tegu buvo atlikta 10 matavimų; matavimų ir skaičiavimų duomenis patogu surašyti į lentelę ( 4. lentelė). Eil. Nr. 4. lentelė. Bandinio ilgio matavimų duomenys l i, mm l i, mm ( l i ), mm 1,5 +0,07 0,0049,0 +0,00 0,0004 3,0 +0,0 0,0004 4,5 +0,07 0,0049 5,10-0,08 0,0064 6,0 +0,0 0,0004 7,15-0,03 0,0009 8,30 +0,1 0,0144 9,10-0,08 0, ,05-0,13 0,0169 l =,18 n ( l i ) = 0 ( ) 1. pskaičiuojame aritmetinį vidurkį (4. lentelė): i=1 n l i = i=1 0, 057 3
5 suma l =,18 mm..pskaičiuojame atsitiktinius nuokrypius l i = l i - l ir jų kvadratus ( l i ) (4. lentelė). 3. Patikriname atsitiktinių nuokrypių sklaidos simetriškumą. Jeigu n ( ) l i 0, i=1 matavimo duomenų l i sklaida aritmetinio vidurkio l atžvilgiu simetriška. Priešingu atveju reikia padidinti matavimų skaičių. 4. pskaičiuojame vidutinę kvadratinę paklaidą S: S = ( ) l i n -1 0, 057 S = = 0,084 mm Patikriname, ar nepadaryta stambių klaidų. Pasitaiko, kad vienas ar keli matavimo duomenys labai skiriasi nuo kitų: padaromos stambios atsitiktinės paklaidos, nebūdingos kitiems matavimo duomenims. Tokius duomenis reikia atmesti. tmestini yra tie matavimų duomenys, kurių nuokrypiai nuo vidurkio l i 3 S. Po atmetimo skaičiuojamas naujas aritmetinis vidurkis ir aritmetinio vidurkio vidutinė kvadratinė paklaida S l. Tuo būdu, skaičiuojame didžiausią tiesioginių matavimų paklaidą l m = 3 S; l m = 3 0,084 =0,5 mm. Gautą vertę palyginę su l i vertėmis 4. lentelėje, matome, kad matavimuose stambių paklaidų nepadaryta. 6. pskaičiuojame aritmetinio vidurkio vidutinę kvadratinę paklaidą: S l = S/ n = 0,084 / 10 = 0,06 mm. 7. pskaičiuojame atsitiktinę matavimo paklaidą ( pasikliaujamąjį intervalą) (4.5). Matavimų skaičiui n = 10, tikimybė P= 0,95, Stjudento koeficientas t n,p =,3 ( 1 lentelė prieduose). Tada l P =,3 0,06 = 0,060 mm. 8. pskaičiuojame atsitiktinę atskaitymo paklaidą pasikliaujamajai tikimybei P =0.95 (4.9): l a,p =0,95 0,05 = 0,04 mm. 9. pskaičiuojame sisteminę prietaiso paklaidą pasikliaujamajai tikimybei P=0,95 (4.3): l s,p =,0 0,05 / 3 = 0,033 mm. 10. pskaičiuojame pilnutinę matavimų paklaidą (4.33): ; 4
6 l = 0, , , 04 0,073 mm. Tuo būdu, išmatuotas bandinio ilgis ( su tikimybe 0,95) l = (,18 ± 0,07 ) mm, P = 0,95. Santykinė matavimo paklaida l/l= 0,07 /,18 0,004; ε= 0,4 %. 11. Didžiausia matavimo paklaida ( ) ( ) ( ) l = 3S + ls + la ; l ( ) ( ) ( ) l = 3 0,06 + 0,05 + 0,05 0,09 mm. Bandinio ilgis (su didžiausia matavimo paklaida) l =(,18 ± 0,09)mm Netiesioginių matavimų paklaidos Tais atvejais, kai fizikinio dydžio negalima išmatuoti tiesiogiai, naudojami netiesioginiai matavimai. Tegu fizikinis dydis z yra tiesiogiai matuojamų dydžių a, b... funkcija: z= f(a,b,...). (4.34) Netiesiogiai išmatuoto dydžio z paklaida priklauso nuo tiesiogiai išmatuotų dydžių (a,b,...) paklaidų. Kiekvieno tiesiogiai matuojamo dydžio įtaka z tikslumui priklauso nuo jų funkcinio ryšio. Pavyzdžiui, Jeigu cilindro tūrio formulėje V= πr H dydis R pakeltas kvadratu, o H pirmuoju laipsniu, tai, esant tam pačiam matavimo tikslumui, H dydžio įtaka V tūrio paklaidai bus mažesnė už R dydžio. Kad nustatytume kaip atskirų matavimų paklaidos įtakoja galutiniam rezultatui, įrodysime keletą teoremų. 1 teorema: Sumos absoliutinė paklaida lygi dėmenų absoliutinių paklaidų sumai. Įrodymas. Tegu z = a + b (4.35) Išmatavus a ir b reikšmes, apskaičiuojame a ir b vidurkius. Kad apskaičiuotume sumos vidurkį, reikia į (1) formulę įrašyti vidutines a ir b vertes, t.y. z = a + b (4.36) Be to, a = a ± a; b = b ± b; z = z ± z. Įrašę šias reikšmes į (1), gauname: z ± z = a ± a + b ± b. (4.37) Iš (3) atėmę (), turime: ± z = ± a ± b. Kadangi neaišku į kurią pusę padaryta paklaida a ir b, tai ženklai parenkami taip, kad absoliutinė paklaida z būtų didžiausia: z = a + b (4.38) 5
7 Ši taisyklė tinka, išvedant visas paklaidų formules. teorema : Skirtumo absoliutinė paklaida lygi absoliutinių paklaidų sumai. Ši teorema įrodoma analogiškai. bi teoremos taikomos, esant bet kokiam dėmenų skaičiui. 3 teorema: Dviejų dauginamųjų sandaugos absoliutinė paklaida lygi: z = ( a b) = a b + b a. (4.39) Įrodymas. Tegu z= a b ir z = a b. (4.40) Tada z ± z =( a ± a)( b ± b) = a b ± a b ± b a ± a b. (4.41) tmetę a b narį, kaip antros eilės mažą dydį, gauname: z ± z = a b ± ( a b + b a). (4.4) Iš (4.4) atėmę (4.40), turime: z = a b ± b a. Tai ir reikėjo įrodyti. 3 teoremą galima apibendrinti n daugikliams: jei z = a 1 a... a n, (4.43) z = a a 3... a n a 1 + a 1 a 3...a n a a 1 a... a n-1 a n. (4.44) Iš 3 teoremos išvedama laipsnio absoliutinė paklaida. Tegu z = a n. (4.45) Tuomet z= n a n-1 a. (4.46) 4 teorema: Santykio absoliutinė paklaida yra lygi: a b a + a b z = = b b. (4.47) Įrodymas. Tegu z = a/b = a b -1. Iš 3 teoremos žinome,kad z = [a(b) -1 ] = a (b -1 ) + b -1 a. (4.48) Be to (b -1 ) = -1 b - b. (4.49) (4.49) įrašę į (4.48) ir pritaikę ženklų taisyklę, gauname a z = = b a + a b b b. Iš šių teoremų galima daryti išvadą, kad netiesioginių matavimų absoliutinės paklaidos gaunamos taip: duotoji išraiška z = f(a,b,... ) diferencijuojama ( kintamieji - tiesiogiai išmatuoti dydžiai a, b,... ); diferencialo ženklas pakeičiamas paklaidos ženklu ; nariai su a, b,... atitinkamai grupuojami ir rašomos jų absoliutinės vertės. 6
8 f(a, b,...) f(a, b,...) zmax = a + b a b Pavyzdžiai. (4.50) 1. V =a b c; dv = (b c)da + (a c)db + (a b)dc; V = b c a + a c b +a b c.. V = πr H; dv = πr H dr + πr dh; V = πr H R + πr H. 3. T = π l ; g d dg dt = l l π - l g g l ; g g π l T = l + g. l g g g Įvertinant netiesiogiai išmatuoto dydžio z paklaidą, dažnai patogiau iš pradžių apskaičiuoti šio dydžio santykinę paklaidą ε, o po to absoliutinę z. Pagal apibrėžimą santykinė paklaida lygi: ε = z / z. Be to d(ln z) = dz /z (4.51) arba (ln z ) = z / z. (4.5) Matome, kad rezultato santykinę paklaidą galima nustatyti taip: funkcija z=f(a,b,...) išlogaritmuojama natūriniu pagrindu; gauta išraiška diferencijuojama ( kintamieji - tiesiogiai išmatuoti dydžiai a, b,... ); diferencialo ženklas pakeičiamas paklaidos ženklu ; nariai su a, b,... atitinkamai grupuojami ir rašomos jų absoliutinės vertės. ε max = zmax 1 f(a,b,...) 1 f(a, b,...) = a + z f(a, b,...) a f(a, b,...) b b+.... (4.53) z max = ε max z. (4.54) 7
9 Pavyzdžiai: 1. Q = U R t ; ln Q = ln U + ln t - ln R; Q Q = U U + R R + t t. g = 4 π l ; T. ln g = ln 4 + ln π + ln l - ln T; g π l T = + + g π l T. 3. x = a - a ; a + b ln x = ln (a - dx x = = d(a - a a - a da a - a - a ) - ln (a + b); ) d (a + b) - = a + b da a a - a - a da db a + b a + b. x x = 1 a - a - 1 a a -1 - a a + b ( ) a + + b. a + b Tokiu būdu, gavome maksimalią santykinę ε max ir absoliutinę z max paklaidą. Tai tokia didžiausia netiesiogiai matuojama dydžio z paklaida, kuri būtų, jei visų tiesiogiai matuojamų dydžių paklaidos keistų z vertę į tą pačią pusę. Taip apskaičiuota dydžio z paklaida yra didesnė už realią, nes tikimybė, kad visų išmatuotų dydžių paklaidos bus tokio ženklo, jog rezultato paklaida būtų didžiausia, yra tuo mažesnė, kuo didesnis tiesiogiai matuojamųjų dydžių skaičius. Kai tiesioginiais matavimais nustatomas dydžių pasikliaujamasis intervalas su tam tikra tikimybe P, absoliutinė ir santykinė netiesioginio matavimo paklaida apskaičiuojama tiksliau ( su ta pačia tikimybe P ).Tuo atveju maksimalios paklaidos atskiri nariai pakeliami kvadratu ir iš gautos išraiškos ištraukiama kvadratinė šaknis. f(a, b,...) f(a, b,...) z = a + b... a + ; (4.55) b 8
10 ε =. 1 f(a,b,...) 1 a + f(a, b,... a f(a,b,... f(a, b,... b b (4.56) Pavyzdys. γ = h h - h 1 ; ln γ = ln h - ln( h- h 1 ); d γ h h h1 = - + ; γ h h - h1 h - h1 ε max = γ 1 1 = - h + γ h h - h 1 h1 h - h 1 ; ε = 1 1 h h - h1 h1 h + h - h1. γ = γ 1 1 h h - h1 h1 h + h - h1. Netiesiogiai matuojamo dydžio z, kuris yra tiesiogiai matuojamo dydžio x funkcija z =f (x), paklaidą galime išreikšti per jo neapibrėžties intervalą pagal formulę: z =1/ [z(x+ x) - z(x- x)]. (4.57) Šiuo būdu galima apskaičiuoti trigonometrinių ir kitų elementariųjų funkcijų paklaidas. Pavyzdys. Lūžio rodiklis n = sin α sin β. 1. Eksperimentiškai išmatavus, gautos tokios α ir β vertės: α = 45 ± ; P= 0,95. β = 6 ± ; P= 0,95.. pskaičiuojamas vidutinis lūžio rodiklis: o sin 45 n = o sin 6 = 1, Įvertinama n paklaida: n = n sin α β + sin α sin sin β. 9
11 sin α ir sin β galima apskaičiuoti dviem būdais: a) per neapibrėžties intervalą pagal (4.57) formulę: ( ) ( ) sin α + α - sin α - sin α = α ; o o sin 47 - sin 43 sin α = = 0,05. o o sin 8 - sin 4 sin β = = 0,031. b) funkciją diferencijuojant ( žr. 4.3 lentelę): sin α = cos α α; sin α = cos 45 0,0175 = 0,05. sin β = cos 6 0,0175 = 0,031. Reikia nepamiršti, kad čia α išreikšta radianais, t.y. = 0,0175 rad. Tuomet n = 1,61 0, 05 0, , 707 =0,13, P = 0,95. 0, Užrašome galutinį rezultatą n = 1,6 ± 0,1, P= 0,95. Netiesioginių matavimų kai kurios paklaidų įvertinimo formulės pateiktos 4.3 ir 4.4 lentelėse. Eil. Nr lentelė. Netiesioginių matavimų paklaidos. Vieno kintamojo funkcija. Funkcija bsoliutinė paklaida Santykinė paklaida n n n n n n-1 n 1 n n 4. sin (cos ) (ctg ) 5. cos (sin ) (tg ) 1 n 30
12 tg 6. cos sin ctg 7. sin sin ln 8. ln 9. e e 4.4. lentelė. Netiesioginių matavimų paklaidos. Kelių kintamųjų funkcija. Didžiausia paklaida Vidutinė kvadratinė paklaida Eil. Nr. Funkc ija bsoliutinė Santykinė bsoliutinė Santykinė 1. ± B + B + B σ + σ B σ + σ B ± B ± B. B B+B + B B 3. /B B + B B + B B σ B σ B + B σ σ B + B σ + σ σ 4 B B B + B 4. n B m....c k - n m + B +... B + k C C - σ n + k B σ C C + m σ +... B 31
Matematika 1 4 dalis
Matematika 1 4 dalis Analizinės geometrijos elementai. Tiesės plokštumoje lygtis (bendroji, kryptinė,...). Taško atstumas nuo tiesės. Kampas tarp dviejų tiesių. Plokščiosios kreivės lygtis Plokščiosios
Διαβάστε περισσότεραX galioja nelygyb f ( x1) f ( x2)
Monotonin s funkcijos Tegul turime funkciją f : A R, A R. Apibr žimas. Funkcija y = f ( x) vadinama monotoniškai did jančia (maž jančia) aib je X A, jei x1< x2 iš X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) ( f
Διαβάστε περισσότεραTemos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas
Pirmasis uždavinys Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas Uždavinio formulavimas a) Žinoma n = 50 tiriamo
Διαβάστε περισσότεραElektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose
lktroų ir skylučių statistika puslaidiikiuos Laisvų laidumo lktroų gracija, t.y. lktroų prėjimas į laidumo juostą, gali vykti kaip iš dooriių lygmų, taip ir iš valtiės juostos. Gracijos procsas visuomt
Διαβάστε περισσότεραDviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės
Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės Dalinės išvestinės Tarkime, kad dviejų kintamųjų funkcija (, )yra apibrėžta srityje, o taškas 0 ( 0, 0 )yra vidinis srities taškas. Jei fiksuosime argumento
Διαβάστε περισσότεραI dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI ATSAKYMAI
008 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija Kiekvieno I dalies klausimo teisingas atsakymas vertinamas tašku. I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI
Διαβάστε περισσότεραMATAVIMO KLAIDOS IR JŲ ĮVERTINIMAS
MATAVIMO KLAIDOS IR JŲ ĮVERTINIMAS Matavimų rūšys Dirbant geodezinius darbus atliekami įvairūs matavimai. Galima matuoti: 1. Kampus. 2. Linijų ilgius. 3. Aukščius (reljefo, statinių). 4. Plotus. 5. Tūrius.
Διαβάστε περισσότεραĮžanginių paskaitų medžiaga iš knygos
MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 1 Teiginio
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 3 dalis
Matematika 1 3 dalis Vektorių algebros elementai. Vektorių veiksmai. Vektorių skaliarinės, vektorinės ir mišriosios sandaugos ir jų savybės. Vektoriai Vektoriumi vadinama kryptinė atkarpa. Jei taškas A
Διαβάστε περισσότεραMATEMATINĖ LOGIKA. Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos
MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 Teiginio
Διαβάστε περισσότεραDISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2
DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2010 m. vasario 23 d. Santrauka Antras laboratorinis darbas skirtas išmokti sudarinėti daugialypės
Διαβάστε περισσότερα1.4. Rungės ir Kuto metodas
.4. RUNGĖS IR KUTO METODAS.4. Rungės ir Kuto metodas.4.. Prediktoriaus-korektoriaus metodas Palyginkime išreikštinį ir simetrinį Eulerio metodus. Pirmojo iš jų pagrindinis privalumas tas, kad išreikštinio
Διαβάστε περισσότεραMATAVIMO PRIEMONIŲ METROLOGINö PRIEŽIŪRA
MATAVIMO PRIEMONIŲ METROLOGINö PRIEŽIŪRA Matavimo priemonių metrologin priežiūra (teisin metrologija) Pagrindin s metrologin s priežiūros (pagal metrologijos įstatymą) rūšys: tipo patvirtinimas pirmin
Διαβάστε περισσότεραSpecialieji analizės skyriai
Specialieji analizės skyriai. Trigonometrinės Furje eilutės Moksle ir technikoje dažnai susiduriame su periodiniais reiškiniais, apibūdinamais periodinėmis laiko funkcijomis: f(t). 2 Paprasčiausia periodinė
Διαβάστε περισσότεραDISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 1
DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 1 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2010 m. vasario 9 d. Santrauka Pirmas laboratorinis darbas skirtas išmokti generuoti nesudėtingus
Διαβάστε περισσότερα2015 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija. I dalis
PATVIRTINTA Ncionlinio egzminų centro direktorius 0 m. birželio d. įskymu Nr. (..)-V-7 0 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pgrindinė sesij I dlis Užd. Nr. 4 7
Διαβάστε περισσότεραĮvadas į laboratorinius darbus
M A T E M A T I N Ė S T A T I S T I K A Įvadas į laboratorinius darbus Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2005 m. rugsėjo 26 d. Reziumė Laboratorinis darbas skirtas susipažinti su MS Excel priemonėmis
Διαβάστε περισσότεραI.4. Laisvasis kūnų kritimas
I4 Laisvasis kūnų kitimas Laisvuoju kitimu vadinamas judėjimas, kuiuo judėtų kūnas veikiamas tik sunkio jėos, nepaisant oo pasipiešinimo Kūnui laisvai kintant iš nedidelio aukščio h (dau mažesnio už Žemės
Διαβάστε περισσότεραSTOGO ŠILUMINIŲ VARŽŲ IR ŠILUMOS PERDAVIMO KOEFICIENTO SKAIČIAVIMAS
STOGO ŠILUMINIŲ VAŽŲ I ŠILUMOS PEDAVIMO KOEFICIENTO SKAIČIAVIMAS ST 2.05.02:2008 2 priedas 1. Stogo suminė šiluminė varža s (m 2 K/W) apskaičiuojama pagal formulę [4.6]: s 1 2... n ( g q ); (2.1) čia:
Διαβάστε περισσότεραFDMGEO4: Antros eilės kreivės I
FDMGEO4: Antros eilės kreivės I Kęstutis Karčiauskas Matematikos ir Informatikos fakultetas 1 Koordinačių sistemos transformacija Antrosios eilės kreivių lgtis prastinsime keisdami (transformuodami) koordinačių
Διαβάστε περισσότεραLaboratorinis darbas Nr. 2
M A T E M A T I N Ė S T A T I S T I K A Laboratorinis darbas Nr. 2 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2005 m. spalio 23 d. Reziumė Antras laboratorinis darbas skirtas išmokti generuoti tikimybinių skirstinių
Διαβάστε περισσότεραMATAVIMAI IR METROLOGIJOS PAGRINDAI
EUROPOS SĄJUNGA KURKIME ATEITĮ DRAUGE! VILNIAUS KOLEGIJA Europos Sąjungos struktūrinių fondų paramos projektas MOKYMO IR STUDIJŲ PROGRAMOS MECHANIKOS IR ELEKTRONIKOS SEKTORIAUS POREIKIAMS TENKINTI SUKŪRIMAS
Διαβάστε περισσότεραIV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam,
41 Funkcijos riba IV FUNKCIJOS RIBA Taško x X aplinka vadiname bet koki atvira intervala, kuriam priklauso taškas x Taško x 0, 2t ilgio aplinka žymėsime tokiu būdu: V t (x 0 ) = ([x 0 t, x 0 + t) Sakykime,
Διαβάστε περισσότεραMatematinės analizės konspektai
Matematinės analizės konspektai (be įrodymų) Marius Gedminas pagal V. Mackevičiaus paskaitas 998 m. rudens semestras (I kursas) Realieji skaičiai Apibrėžimas. Uždarųjų intervalų seka [a n, b n ], n =,
Διαβάστε περισσότεραVIII. FRAKTALINĖ DIMENSIJA. 8.1 Fraktalinės dimensijos samprata. Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis?
VIII FRAKTALINĖ DIMENSIJA 81 Fraktalinės dimensijos samprata Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis? Tarkime, kad duota atkarpa, kurios ilgis lygus 1 Padalykime šia atkarpa n lygiu daliu Akivaizdu, kad kiekvienos
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga
VII DAUGELIO KINTAMU JU FUNKCIJOS 71 Bendrosios sa vokos Iki šiol mes nagrinėjome funkcijas, apibrėžtas realiu skaičiu aibėje Nagrinėsime funkcijas, kurios apibrėžtos vektorinėse erdvėse Tarkime, kad R
Διαβάστε περισσότεραSpalvos. Šviesa. Šviesos savybės. Grafika ir vizualizavimas. Spalvos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, Spalvos 1
Spalvos Grafika ir vizualizavimas Spalvos Šviesa Spalvos Spalvų modeliai Gama koregavimas Šviesa Šviesos savybės Vandens bangos Vaizdas iš šono Vaizdas iš viršaus Vaizdas erdvėje Šviesos bangos Šviesa
Διαβάστε περισσότεραVilniaus universitetas. Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS
Vilniaus universitetas Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS Vilnius 1992 T U R I N Y S 1. Vektorinė erdvė............................................. 3 2. Matricos rangas.............................................
Διαβάστε περισσότερα1 Įvadas Neišspręstos problemos Dalumas Dalyba su liekana Dalumo požymiai... 3
Skaičių teorija paskaitų konspektas Paulius Šarka, Jonas Šiurys 1 Įvadas 1 1.1 Neišspręstos problemos.............................. 1 2 Dalumas 2 2.1 Dalyba su liekana.................................
Διαβάστε περισσότεραVidutinės biokuro (žaliavos) kainos Lt/t ne galimi apskaičiavimo netikslumai
Vidutinės biokuro (žaliavos) kainos Lt/t ne galimi apskaičiavimo netikslumai * BALTPOOL UAB organizuota konferencija KAS VYKSTA BIOKURO RINKOJE? 2013.06.11 * Galimos deklaruojamų biokuro pirkimo kainų
Διαβάστε περισσότερα1. Individualios užduotys:
IV. PAPRASTOSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS. Individualios užduots: - trumpa teorijos apžvalga, - pavzdžiai, - užduots savarankiškam darbui. Pirmosios eilės diferencialinių lgčių sprendimas.. psl. Antrosios
Διαβάστε περισσότεραLIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA
LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA tema. APSKRITIMŲ GEOMETRIJA (00 0) Teorinę medžiagą parengė bei antrąją užduotį sudarė Vilniaus pedagoginio universiteto docentas Edmundas Mazėtis. Apskritimas tai
Διαβάστε περισσότεραMatematinės analizės egzamino klausimai MIF 1 kursas, Bioinformatika, 1 semestras,
MIF kurss, Bioinformtik, semestrs, 29 6 Tolydžios tške ir intervle funkciju pibrėžimi Teorem Jei f C[, ], f() = A , ti egzistuoj toks c [, ], kd f(c) = 2 Konverguojnčios ir diverguojnčios eikutės
Διαβάστε περισσότεραVILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA. Algoritmų teorija. Paskaitų konspektas
VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Algoritmų teorija Paskaitų konspektas Dėstytojas: lekt. dr. Adomas Birštunas Vilnius 2015 TURINYS 1. Algoritmo samprata...
Διαβάστε περισσότερα1 TIES ES IR PLOK TUMOS
G E O M E T R I J A Gediminas STEPANAUSKAS 1 TIES ES IR PLOK TUMOS 11 Plok²tumos ir ties es plok²tumoje normalin es lygtys 111 Vektorin e forma Plok²tumos α padetis koordina iu sistemos Oxyz atºvilgiu
Διαβάστε περισσότεραSpecialieji analizės skyriai
Specialieji analizės skyriai. Specialieji analizės skyriai Kompleksinio kinamojo funkcijų teorija Furje eilutės ir Furje integralai Operacinis skaičiavimas Lauko teorijos elementai. 2 Kompleksinio kintamojo
Διαβάστε περισσότερα1 teorinė eksperimento užduotis
1 teorinė eksperimento užduotis 2015 IPhO stovykla DIFERENCINIS TERMOMETRINIS METODAS Šiame darbe naudojame diferencinį termometrinį metodą šiems dviems tikslams pasiekti: 1. Surasti kristalinės kietosios
Διαβάστε περισσότερα2.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS
.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS 5.. Pirmoji Bolcao Koši teorema. Jei fucija f tolydi itervale [a;b], itervalo galuose įgyja priešigų želų reišmes, tai egzistuoja tos tašas cc, ( ab ; ), uriame
Διαβάστε περισσότερα1. Klasifikavimo su mokytoju metodai
1. Klasifikavimo su mokytoju metodai Klasifikacijos uždavinys yra atpažinimo uždavinys, kurio esmė pagal pateiktus objekto (vaizdo, garso, asmens, proceso) skaitinius duomenis priskirti ji kokiai nors
Διαβάστε περισσότεραStatistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas
Statistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas DNR molekulių vaizdas DNR struktūros pakitimai. Keičiantis DNR molekulės formai keistųsi ir visos sistemos entropija. Mielėse esančio DNR struktūros
Διαβάστε περισσότερα1. Įvadas į sistemas ir signalus. 1. Signalas, duomenys, informacija ir žinios
. Įvadas į sistemas ir signalus. Signalas, duomenys, informacija ir žinios Žodis signalas yra kilęs iš lotyniško žodžio signum ženklas. Signalas tai yra tai kas yra naudojama žiniai perduoti. Signalas
Διαβάστε περισσότεραV skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI
V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI Uždirbtų palūkanų suma priklauso ne tik nuo palūkanų normos dydžio, bet ir nuo palūkanų kapitalizavimo dažnio Metinė palūkanų norma nevisada atspindi
Διαβάστε περισσότεραATSITIKTINIAI PROCESAI. Alfredas Račkauskas. (paskaitų konspektas 2014[1] )
ATSITIKTINIAI PROCESAI (paskaitų konspektas 2014[1] ) Alfredas Račkauskas Vilniaus universitetas Matematikos ir Informatikos fakultetas Ekonometrinės analizės katedra Vilnius, 2014 Iš dalies rėmė Projektas
Διαβάστε περισσότεραKRŪVININKŲ JUDRIO PRIKLAUSOMYBĖS NUO ELEKTRINIO LAUKO STIPRIO TYRIMAS
VILNIAUS UNIVERSITETAS Puslaidininkių fizikos katedra Puslaidininkių fizikos mokomoji laboratorija Laboratorinis darbas Nr. 5 KRŪVININKŲ JUDRIO PRIKLAUSOMYBĖS NUO ELEKTRINIO LAUKO STIPRIO TYRIMAS 013-09-0
Διαβάστε περισσότεραEKONOMETRIJA 1 (Regresinė analizė)
EKONOMETRIJA 1 Regresinė analizė Kontrolinis Sudarė M.Radavičius 004 05 15 Kai kurių užduočių sprendimai KOMENTARAS. Kai kuriems uždaviniams tik nusakytos sprendimų gairės, kai kurie iš jų suskaidyti į
Διαβάστε περισσότεραANALIZINĖ GEOMETRIJA III skyrius (Medžiaga virtualiajam kursui)
ngelė aškienė NLIZINĖ GEMETRIJ III skrius (Medžiaga virtualiajam kursui) III skrius. TIESĖS IR PLKŠTUMS... 5. Tiesės lgts... 5.. Tiesės [M, a r ] vektorinė lgtis... 5.. Tiesės [M, a r ] parametrinės lgts...
Διαβάστε περισσότεραTaikomoji branduolio fizika
VILNIAUS UNIVERSITETAS Taikomoji branduolio fizika Parengė A. Poškus Vilnius 2015-05-20 Turinys 1. Neutronų sąveika su medžiaga...1 1.1. Neutronų sąveikos su medžiaga rūšys...1 1.2. Neutrono sukeltų branduolinių
Διαβάστε περισσότεραTIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010
TIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010 Tikimybiu teorija nagrin eja atsitiktinius ivykius ir tu ivykiu tikimybes ivykio pasirodymo galimyb es mat, i²reik²t skai iumi p,
Διαβάστε περισσότεραModalumo logikos S4 kai kurios išsprendžiamos klasės
VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS INFORMATIKOS KATEDRA Magistro baigiamasis darbas Modalumo logikos S4 kai kurios išsprendžiamos klasės Some Decidable Classes of Modal Logic
Διαβάστε περισσότεραKOMPTONO EFEKTO TYRIMAS
VILNIAUS UNIVERSITETAS Kietojo kūno elektronikos katedra Atomo ir branduolio fizikos laboratorija Laboratorinis darbas Nr. 7 KOMPTONO EFEKTO TYRIMAS Eksperimentinė dalis 2014-10-25 Čia yra tik smulkus
Διαβάστε περισσότεραMatematinė logika. 1 skyrius Propozicinės formulės. žodį, Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia
1 skyrius Matematinė logika Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia mintį, žodį, protą, sąvoką. Logika arba formalioji logika nagrinėja teisingo mąstymo dėsnius ir formas, kai samprotavimų turinys nėra
Διαβάστε περισσότεραUAB Aveva planuojamos ūkinės veiklos metu į aplinkos orą išmetamų teršalų sklaidos modeliavimas
Objektas: UAB Aveva Kupiškio g. 54, Utena UAB Aveva planuojamos ūkinės veiklos metu į aplinkos orą išmetamų teršalų sklaidos modeliavimas 2017 m. 2 Skaičiavimo metodika, naudota kompiuterinė programinė
Διαβάστε περισσότεραPNEUMATIKA - vožtuvai
Mini vožtuvai - serija VME 1 - Tipas: 3/2, NC, NO, monostabilūs - Valdymas: Mechaninis ir rankinis - Nominalus debitas (kai 6 barai, Δp = 1 baras): 60 l/min. - Prijungimai: Kištukinės jungtys ø 4 žarnoms
Διαβάστε περισσότερα2008 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija
008 M MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA 008 m matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 7 uždavinių atsakymai I variantas Užd
Διαβάστε περισσότεραTERMODINAMIKA. 1. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai
TERMODINAMIKA 1. Pagrindinės sąvks ir apibrėžimai Įvadas Termdinamika (T) graikiškas ždisiš dviejų daliųterm (šiluma) + dinamika (jėga). Tai fundamentalus bendrsis inžinerijs mkslas apie energiją : js
Διαβάστε περισσότεραEkonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė
Ekonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė dėst. T. Rekašius, 2012 m. lapkričio 19 d. 1 Duomenys Visi trečiam laboratoriniam darbui reikalingi duomenys yra tekstinio formato failuose http://fmf.vgtu.lt/~trekasius/destymas/2012/ekomet_lab3_xx.dat,
Διαβάστε περισσότεραLina Ragelienė, Donatas Mickevičius. Fizikin chemija. Praktiniai darbai
Lina Ragelienė, Donatas Mickevičius Fizikinchemija Praktiniai darbai Vytauto Didžiojo universitetas Kaunas, 011 ISBN 978-9955-1-751- Lina Ragelienė, Donatas Mickevičius Vytauto Didžiojo universitetas TURINYS
Διαβάστε περισσότεραAIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS
AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS Aibės sąvoka ir pavyzdžiai Atskirų objektų rinkiniai, grupės, sistemos, kompleksai matematikoje vadinami aibėmis. Šie atskiri objektai vadinami aibės elementais. Kai elementas
Διαβάστε περισσότεραLIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS Vandens ūkio ir žemėtvarkos fakultetas. Algirdas Antanavičius GEODEZIJOS PAGRINDAI
LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS Vandens ūkio ir žemėtvarkos fakultetas Algirdas Antanavičius GEODEZIJOS PAGRINDAI metodiniai PATARIMAI kaunas, ARDIVA 2008 UDK 528(076) An-136 Algirdas Antanavičius GEODEZIJOS
Διαβάστε περισσότεραVilius Stakėnas. Kodavimo teorija. Paskaitu. kursas
Vilius Stakėnas Kodavimo teorija Paskaitu kursas 2002 2 I vadas Informacija perduodama kanalais, kurie kartais iškraipo informacija Tarsime, kad tie iškraipymai yra atsitiktiniai, t y nėra nei sistemingi,
Διαβάστε περισσότερα06 Geometrin e optika 1
06 Geometrinė optika 1 0.1. EIKONALO LYGTIS 3 Geometrinėje optikoje įvedama šviesos spindulio sąvoka. Tai leidžia Eikonalo lygtis, kuri išvedama iš banginės lygties monochromatinei bangai - Helmholtco
Διαβάστε περισσότεραAPRAŠOMOJI STATISTIKA
STATISTIKA FILOLOGAMS 4 paskaita APRAŠOMOJI STATISTIKA Pagrindinės sąvokos Statistika keliareikšmė sąvoka. Skirtinos bent jau šios ryškios bei kartu skirtingos reikšmės: a) tokia duomenų apie valstybę,
Διαβάστε περισσότερα1 iš 15 RIBOTO NAUDOJIMO
iš 5 PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriau 00-06-08 įakymu Nr. 6.-S- 00 m. matematiko valtybinio brando egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė eija 8 uždavinių atakymai Užd. Nr. 5 6 7
Διαβάστε περισσότεραKB ALSIŲ PAUKŠTYNAS IŠSISKIRIANČIŲ APLINKOS ORO TERŠALŲ IR KVAPO SKLAIDOS MODELIAVIMAS
Objektas: KB Alsių paukštynas Žučių k., Žagarės sen., Joniškio r. KB ALSIŲ PAUKŠTYNAS IŠSISKIRIANČIŲ APLINKOS ORO TERŠALŲ IR KVAPO SKLAIDOS MODELIAVIMAS 2018-05-23 2 Aplinkos oro teršalų išsisklaidymo
Διαβάστε περισσότερα2 laboratorinis darbas. TIKIMYBINIAI MODELIAI
laboratorns darbas laboratorns darbas. TIKIMYBINIAI MODELIAI DARBO TIKSLAS - šstudjuot atstktnų dydžų r vektorų skrstnus, skrstno (passkrstymo) funkcją, tanko funkcją, skatnes charakterstkas r jų savybes.
Διαβάστε περισσότεραLietuvos žemės ūkio universitetas Vandens ūkio ir žemėtvarkos fakultetas. Algirdas Antanavičius. Mokomoji knyga
Lietuvos žemės ūkio universitetas Vandens ūkio ir žemėtvarkos fakultetas Algirdas Antanavičius GEODEZIJOS PAGRINDAI Mokomoji knyga Akademija, 2007 Redaktorė: M. Židonienė turinys ĮVADAS... 1. Geodezijos
Διαβάστε περισσότεραLIETUVOS FIZIKŲ DRAUGIJA ŠIAULIŲ UNIVERSITETO JAUNŲJŲ FIZIKŲ MOKYKLA FOTONAS ELEKTROS SROVĖS STIPRIS ĮTAMPA. VARŽA LAIDININKŲ JUNGIMO BŪDAI
LETVOS FZKŲ DAGJA ŠALŲ NVESTETO JANŲJŲ FZKŲ MOKYKLA FOTONAS ELEKTOS SOVĖS STPS ĮTAMPA. VAŽA LADNNKŲ JNGMO BŪDA LETVOS FZKŲ DAGJA ŠALŲ NVESTETO JANŲJŲ FZKŲ MOKYKLA FOTONAS omas Senkus ELEKTOS SOVĖS STPS.
Διαβάστε περισσότεραDiskrečioji matematika
VILNIAUS UNIVERSITETAS Gintaras Skersys Julius Andrikonis Diskrečioji matematika Pratybų medžiaga Versija: 28 m. sausio 22 d. Vilnius, 27 Turinys Turinys 2 Teiginiai. Loginės operacijos. Loginės formulės
Διαβάστε περισσότεραĮVADAS Į FINANSŲ SISTEMĄ
III. AKCIJOS, OBLIGACIJOS IR JŲ VERTINIMAS 5 ATEITIES VERTĖ, DABARTINĖ VERTĖ IR PALŪKANŲ NORMOS Turinys 5.1 Įvadas 5.2 Mokėjimų dabar ir ateityje vertė 5.2.1 Ateities vertė ir sudėtinė palūkanų norma 5.2.2
Διαβάστε περισσότεραRankinio nustatymo ventiliai MSV-F2, PN 16/25, DN
Rankinio nustatymo ventiliai MSV-F2 PN 16/25 DN 15-400 Aprašymas MSV-F2 DN 15-150 MSV-F2 DN 200-400 MSV-F2 yra rankinio nustatymo ventiliai. Jie naudojami srautui šildymo ir šaldymo įrenginiuose balansuoti.
Διαβάστε περισσότεραPaprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS
Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,
Διαβάστε περισσότεραAPLINKOS RADIACINIO FONO MATAVIMAS DOZIMETRAIS
VILNIAUS UNIVERSITETAS Kietojo kūno elektronikos katedra Taikomosios branduolio fizikos laboratorija Laboratorinis darbas Nr. 6 APLINKOS RADIACINIO FONO MATAVIMAS DOZIMETRAIS Parengė A. Poškus 2014-02-03
Διαβάστε περισσότεραDirbtiniai neuroniniai tinklai
Dirbtiniai neuroniniai tinklai Š. Raudžio paskaitų konspektas Marius Gedminas 2003 m. pavasaris (VU MIF informatikos magistrantūros studijų 2 semestras) Šis konspektas rinktas LATEXu Š. Raudžio paskaitų
Διαβάστε περισσότερα4 laboratorinis darbas. PARAMETRŲ ĮVERČIAI IR STATISTINĖS HIPOTEZĖS
PARAMETRŲ ĮVERČIAI IR STATISTINĖS HIPOTEZĖS DARBO TIKSLAS - išstudijuoti parametrų taškiių ir itervaliių įverčių radimo, parametriių ir eparametriių hipotezių tikriimo uždaviius ir jų taikymą Teorijos
Διαβάστε περισσότεραSIGNALAI TELEKOMUNIKACIJŲ SISTEMOSE
VILNIAUS UNIVERSITETAS Kietojo kūno elektronikos katedra SIGNALAI TELEKOMUNIKACIJŲ SISTEMOSE Mokymo priemonė Parengė A. Poškus 4 Turinys. ĮVADAS..... Telekomunikaijų sistemos struktūrinė shema. Pagrindinės
Διαβάστε περισσότερα2014 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija
PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus 04 m. birželio 6 d. Nr. (.)-V-69birželio 4 04 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA I dalis Kiekvieno I dalies klausimo
Διαβάστε περισσότεραPav1 Žingsnio perdavimo funkcija gali būti paskaičiuota integruojant VIPF. Paskaičiavus VIPF FFT gaunamo amplitudinė_dažninė ch_ka.
Įvadas į filtrus Skaitmeniniai filtrai, tai viena iš svarbiausių siganalų apdorojimo dalių. Kadangi skaitmeniniai filtrai turi nepalyginamai daugiau pranašumų nei analoginiai filtrai, tai nulėmė jų populiarumą.
Διαβάστε περισσότεραGairės audito institucijoms dėl audito atrankos metodų ir m. programavimo laikotarpiai
EGESIF_16-0014-00 017 01 0 EUROPOS KOMISIJA GENERALINIAI DIREKTORATAI Regioninės ir miestų politikos Užimtumo, socialinių reikalų ir lygių galimybių Jūrų reikalų Gairės audito institucijoms dėl audito
Διαβάστε περισσότερα04 Elektromagnetinės bangos
04 Elektromagnetinės bangos 1 0.1. BANGINĖ ŠVIESOS PRIGIMTIS 3 Šiame skyriuje išvesime banginę lygtį iš elektromagnetinio lauko Maksvelo lygčių. Šviesa yra elektromagnetinė banga, kurios dažnis yra optiniame
Διαβάστε περισσότερα= γ. v = 2Fe(k) O(g) k[h. Cheminė kinetika ir pusiausvyra. Reakcijos greičio priklausomybė nuo temperatūros. t2 t
Cheminė kineika ir pusiausyra Nagrinėja cheminių reakcijų greiį ir mechanizmą. Cheminių reakcijų meu kina reaguojančių iagų koncenracijos: c ų koncenracija, mol/l laikas, s c = Reakcijos greičio io ()
Διαβάστε περισσότεραRinktiniai informacijos saugos skyriai. 3. Kriptografija ir kriptografijos protokolai: Klasikinė kriptografija
Rinktiniai informacijos saugos skyriai 3. Kriptografija ir kriptografijos protokolai: Klasikinė kriptografija Paskaitos tikslai Šioje temoje nagrinėjami klausimai: Perstatų šifrai Keitinių šifrai Vienos
Διαβάστε περισσότεραIII.Termodinamikos pagrindai
III.ermodinamikos pagrindai III.. Dujų plėtimosi darbas egu dujos yra cilindre su nesvariu judančiu stūmokliu, kurio plotas lygus S, ir jas veikia tik išorinis slėgis p. Pradinius dujų parametrus pažymėkime
Διαβάστε περισσότεραTaikomieji optimizavimo metodai
Taikomieji optimizavimo metodai 1 LITERATŪRA A. Apynis. Optimizavimo metodai. V., 2005 G. Dzemyda, V. Šaltenis, V. Tiešis. Optimizavimo metodai, V., 2007 V. Būda, M. Sapagovas. Skaitiniai metodai : algoritmai,
Διαβάστε περισσότεραAnalizės uždavinynas. Vytautas Kazakevičius m. lapkričio 1 d.
Analizės uždavinynas Vytautas Kazakevičius m. lapkričio d. ii Vienmatė analizė Faktorialai, binominiai koeficientai. Jei a R, n, k N {}, tai k! = 3 k, (k + )!! = 3 5 (k + ), (k)!! = 4 6 (k); a a(a ) (a
Διαβάστε περισσότεραŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPINĖSE TERPĖSE
ŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPIĖSE TERPĖSE 43 2.7. SPIDULIUOTĖS IR KŪO SPALVOS Spinduliuotės ir kūno optiniam apibūdinimui naudojama spalvos sąvoka. Spalvos reiškinys yra nepaprastas. Kad suprasti spalvos esmę,
Διαβάστε περισσότεραRemigijus Leipus. Ekonometrija II. remis
Remigijus Leipus Ekonometrija II http://uosis.mif.vu.lt/ remis Vilnius, 2013 Turinys 1 Trendo ir sezoniškumo vertinimas bei eliminavimas 4 1.1 Trendo komponentės vertinimas ir eliminavimas........ 4 1.2
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARIOJI TEORIJA
ELEMENTARIOJI TEORIJA Pirmosios kombinatorikos þinios siekia senàsias Rytø ðalis, kuriose mokëta suskaièiuoti këlinius bei derinius ir sudarinëti magiðkuosius kvadratus, ypaè populiarius viduramþiais.
Διαβάστε περισσότεραVilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Informatikos katedra. Gintaras Skersys. Mokymo priemonė
Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Informatikos katedra Gintaras Skersys Klaidas taisančių kodų teorija Mokymo priemonė Vilnius 2005 I dalis Pagrindinės savokos 1 Įvadas Panagrinėkime
Διαβάστε περισσότεραUAB Rutinas ūkinės veiklos metu išmetamų aplinkos oro teršalų sklaidos modeliavimas
Objektas: UAB Rutinas Draugystės g. 4, Kaunas UAB Rutinas ūkinės veiklos metu išmetamų aplinkos oro teršalų sklaidos modeliavimas 207-0-24 2 Skaičiavimo metodika, naudota kompiuterinė programinė įranga
Διαβάστε περισσότεραDISKREČIOJI MATEMATIKA
VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS INFORMATIKOS KATEDRA Valdas Diči ūnas Gintaras Skersys DISKREČIOJI MATEMATIKA Mokymo priemonė Vilnius 2003 Įvadas Išvertus iš lotynu kalbos
Διαβάστε περισσότεραSu pertrūkiais dirbančių elektrinių skverbtis ir integracijos į Lietuvos elektros energetikos sistemą problemos
Su pertrūkiais dirbančių elektrinių skverbtis ir integracijos į Lietuvos elektros energetikos sistemą problemos Rimantas DEKSNYS, Robertas STANIULIS Elektros sistemų katedra Kauno technologijos universitetas
Διαβάστε περισσότεραPaprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS
Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Taikomosios matematikos institutas, Diferencialinių lygčių katedra Naugarduko g. 24, LT-3225
Διαβάστε περισσότεραMatavimo vienetų perskaičiavimo lentelės
Matavimo vienetų perskaičiavimo lentelės Matavimo vieneto pavadinimas Santrumpa Daugiklis Santrumpa ILGIO MATAVIMO VIENETAI Perskaičiuojamo matavimo Pavyzdžiui:centimetras x 0.3937 = colis centimetras
Διαβάστε περισσότεραArenijaus (Arrhenius) teorija
Rūgštys ir bazės Arenijaus (Arrhenius) teorija Rūgštis: Bazė: H 2 O HCl(d) H + (aq) + Cl - (aq) H 2 O NaOH(k) Na + (aq) + OH - (aq) Tuomet neutralizacijos reakcija: Na + (aq) + OH - (aq) + H + (aq) + Cl
Διαβάστε περισσότεραLIETUVOS RESPUBLIKOS SVEIKATOS APSAUGOS MINISTRAS Į S A K Y M A S
LIETUVOS RESPUBLIKOS SVEIKATOS APSAUGOS MINISTRAS Į S A K Y M A S DĖL LĖTINIO VIRUSINIO C HEPATITO DIAGNOSTIKOS IR AMBULATORINIO GYDYMO KOMPENSUOJAMAISIAIS VAISTAIS TVARKOS APRAŠO TVIRTINIMO 2012 m. spalio
Διαβάστε περισσότεραA priedas. Diagnostikoje naudojami tarptautiniai ISO standartai
Priedai A priedas. Diagnostikoje naudojami tarptautiniai ISO standartai B priedas. Patikslintas tiesiakrumplės pavaros matematinis modelis C priedas. Patikslintas tiesiakrumplė pavaros matematinis modelis
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmai. Vytautas Kazakevičius
Algoritmai Vytautas Kazakevičius September 2, 27 2 Turinys Baigtiniai automatai 5. DBA.................................. 5.. Abėcėlė............................ 5..2 Automatai..........................
Διαβάστε περισσότερα2. Omo ir Džaulio dėsnių tikrinimas
Užduotis.. Omo ir Džaulio dėsnių tikrinimas 1. Patikrinti Omo dėsnį uždarai grandinei ir jos daliai.. Nustatyti elektros šaltinio vidaus varžą ir elektrovarą 3. Išmatuoti srovės šaltinio naudingos galios
Διαβάστε περισσότεραEUROPOS CENTRINIS BANKAS
2005 12 13 C 316/25 EUROPOS CENTRINIS BANKAS EUROPOS CENTRINIO BANKO NUOMONĖ 2005 m. gruodžio 1 d. dėl pasiūlymo dėl Tarybos reglamento, iš dalies keičiančio Reglamentą (EB) Nr. 974/98 dėl euro įvedimo
Διαβάστε περισσότεραKinetinė biomolekulių spektroskopija 1. Darbo tikslas šmatuoti BSA (jaučio serumo albumino) ir GFP (žaliai fluorescuojančio baltymo) baltymų fluoresce
Laboratorinis darbas Kinetinė biomolekulių spektroskopija 2008 Vilnius Kinetinė biomolekulių spektroskopija 1. Darbo tikslas šmatuoti BSA (jaučio serumo albumino) ir GFP (žaliai fluorescuojančio baltymo)
Διαβάστε περισσότερα