06 Geometrin e optika 1

Transcript

1 06 Geometrinė optika 1

2

3 0.1. EIKONALO LYGTIS 3 Geometrinėje optikoje įvedama šviesos spindulio sąvoka. Tai leidžia Eikonalo lygtis, kuri išvedama iš banginės lygties monochromatinei bangai - Helmholtco lygties. Remdamiesi Eikonalo lygtim bei Ferma principu išvesime Snelijaus šviesos lūžimo dėsnį. Pritaikysime jį užrašant plonojo lęšio matricą, kurią žinodami išvesime gerai žinomus plonojo lęšio dėsnius. 0.1 Eikonalo lygtis 04 dalyje, nagrinėjant elektromagnetinį lauką, buvo gauta banginė lygtis: 2 Φ 1 c 2 2 t 2 Φ 0, 1 kur Φ - elektrinio lauko stipris E arba magnetinė indukcija B. Terpėje šviesos greitis sumažėja n kartų palyginus su greičiu vakuume c. Čia n - lūžimo rodiklis. Taigi terpėje banginė lygtis užrašoma taip: 2 Φ 1 2 Φ 0. 2 v 2 t 2 Čia v - bangos sklidimo greitis. Matėme 05 dalis, kad bet koks signalas gali būti išskaidytas į monochromatinių bangų komponentus. Monochromatinės bangos dažnio ω atveju Φ Ψre iωt, 3 kur Ψr yra funkcija nuo radius vektoriaus r. Įrašę 3 išraišką į 2 lygtį, gauname 2 Ψ + k0ψ Čia k 0 ω/c. 4 lygtis yra vadinama Helmholtco lygtimi. Išvesime Eikonalo lygtį. Remdamiesi matematiniu sąryšiu perrašom 4 lygtį 1 2 Ψ Ψ x 2 2 x 2 ln Ψ + x ln Ψ 2 1 Ψ 2 Ψ + k0 2 2 ln Ψ + [grad ln Ψ] 2 + k Ieškosime šios lygties sprendinio pavidalu 5 Ψr Are isr. 7 Čia A yra ieškoma funkcija nuo r, Sr vadinamas Eikonalu. Įrašę 7 sprendinį į 6 lygtį, gauname lygtį 2 ln A + [grad ln A] 2 grad S 2 + k 2 0 +i [ 2 S + 2grad ln A grad S] 0. 8

4 4 Atskirę realią bei menamąją šios lygties dalis, gauname bei 2 ln A + [grad ln A] 2 grad S 2 + k S + 2grad ln A grad S Tai yra dvi lygtys dviejų kintamųjų - A ir S - atžvilgiu. Plokščios bangos atveju turėtume grads k 1/λ, kur k nk 0 - banginis skaičius bangos, sklindančios terpėje. Tegul dydis A kinta daug lėčiau negu S, t. y. jo kitimas žymus atstume l λ. Tuomet, remdamiesi 5 sąryšiu, gauname Iš 9 lygties tuomet seka 2 ln A + [grad ln A] 2 1 A 2 A 1 l 2 1 λ grad S 2 k Tai yra Eikonalo lygtis. Prisiminkime, kad Helmholtco lygties 4 sprendinys yra 7 išraiška. Lygtis Sr const 13 yra paviršiaus, vadinamo bangos frontu, lygtis. Vektorius grad Sr yra statmenas tam paviršiui vektorius. Jis nurodo šviesos spindulio kyptį taške r. 0.2 Ferma principas 1: pav. Šviesos spindulio trajektorija netolydžioje terpėje.

5 0.3. SNELIJAUS DĖSNIS 5 Panagrinėkime, kokia bus šviesos spindulio trajektorija, sujungianti taškus P 1 ir P 2 netolydžioj terpės, kurioje lūžimo rodiklis nr nepastovus 1 paveikslėlis. Funkcijos Ψ fazės pokytis išilgai trajektorijos l yra ds grad S dr grad S dr k 0 nrdl. 14 Suintegravę ds nuo taško P 1 iki taško P 2, gauname P2 P 1 ds k P2 0 P 1 nrdl k 0 c P 2 dl P ω P 2 dl 1 v P v Integralas P 2 dl P 1 yra laikas, per kurį šviesa nusklinda nuo pirmojo taško iki antrojo. Ferma principas teigia, kad šviesa renkasi tokį kelią, kad ši trukmė būtų mini- v mali. 0.3 Snelijaus dėsnis 2: pav. Snelijaus dėsnio išvedimui. Panagrinėkime šviesos spindulio lūžimą, sklindant iš vieno optinio tankio terpės į kito tankio terpę. Pasinaudokime Ferma principu, kad įrodytume Snelijaus dėsnį.

6 6 Tegu pirmosios terpės lūžimo rodiklis, kitos -, šviesa sklinda iš taško P 1 į tašką P 2 2 pav.. Keičiant atstumą x, keičiasi sklidimo trukmė. Išdiferencijavę trukmę pagal x ir prilyginę išvestinę nuliui, gausim lygtį x vertei, kuri atitinka minimaliąją trukmę. Taigi, sklidimo iš taško P 1 į tašką P 2 trukmė t yra lygi t c l x 2 + c l a x Čia l 1, l 2 yra statmenys į terpes ribojantį pavirčių. Iš sąlygos gauname Iš 2 brėžinio matome, kad t 0 17 x x a x c l1 2+x2 c l2 2+a x2 x sin θ l 2 i, 1 +x 2 a x sin θ l 2 t. 2 +a x 2 19 Čia θ 1, θ t yra atitinkamai kritimo ir lūžimo kampai. Iš 19 ir 18 lygybių gauname sin θ i sin θ t. 20 Ši formulė yra Snelijaus dėsnis. 0.4 Matricinė optika Laisvojo sklidimo matrica Perejęs kokią nors optinę sistemą, spindulys pakeičia koordinatę y bei sklidimo kampą θ. Optinė sistema charakterizuojama ABCD matrica, kuri susieja naujus koordinatę bei kampą su senais. Šis sąryšis užrašomas taip: y2 A B y1. 21 θ 2 C D θ 1 Paprasčiausias pavyzdys - laisvojo sklidimo ABCD matrica. Iš 3 schemos matome, kad y 2 y 1 + θ 1 d, 22 θ 2 θ 1.

7 0.4. MATRICINĖ OPTIKA 7 3: pav. Laisvasis sklidimas. Čia d yra laisvojo sklidimo atstumas. Pirmoji 22 lygybė galioja esant pakankamai mažiems sklidimo kampams. Taigi, laisvojo sklidimo ABCD matrica yra A B C D 1 d Spindulio lūžimo terpių sandūroje matrica. 23 4: pav. Lūžimas terpių sandūroje. Spindulio lūžimas terpių sandūroje pavaizduotas 4 paveikslėlyje. Mažų kampų atveju iš Snelijaus dėsnio 20 seka θ 2 θ 1. 24

8 8 Pasinaudoję 24 formule bei sąryšiu y 1 y 2, galime užrašyti lūžimo matricą: A B 1 0 C D 0 n Pasinaudoję Snelijaus lūžimo dėsniu užrašysime plonojo lęšio matricą Plonojo lęšio matrica 5: pav. Lęšio matricos išvedimui. Šviesos spindulio sklidimas lęšiu pavaizduotas 5 paveikslėlyje. Lęšio paviršius yra dviejų sferų, radiusų r 1 bei r 2, paviršiai. Rasime kampo θ 2 sąryšį su kampu θ 1. Mažų kampų atveju iš Snelijaus dėsnio turime Iš brėžinio matome, kad Įrašę 27 lygybes į 26 lygtį, gauname Tačiau todėl Iš šios lygties gauname sąryšį tarp kampų: α 1 α α 1 θ 1 + ϕ, α 2 θ 2 + ϕ. 27 θ 1 + ϕ θ 2 + ϕ. 28 ϕ y 1 r 1, 29 θ1 + y 1 r 1 n2 θ2 + y 1 r θ 2 r 1 y 1 + θ 1. 31

9 0.5. PLONOJO LEŠIO SAVYBES 9 Taigi, lūžimo pimajame paviršiuje matrica užrašoma taip y2 1 0 y1. 32 θ 2 r 1 Po lūžimo spingulys sklinda lęšiu atstumą. Sklidimą bendru atveju aprašo 23 matrica, kurioje d. Tačiau, jei lęšis plonas ir galim tarti, kad 0, tuomet sklidimą aprašo vienetinė matrica. 32 formulėje sukeitę su bei vietoj r 1 užrašę r 2, gauname lūžimo matricą antrajame paviršiuje: r r 2 r 1 θ Beliko sudauginti 32 ir 33 matricas, kad gautume plonojo lęšio matricą M L : M L. 34 1/f 1 Čia f r 1 1 r Matysime, kad f turi lęšio židinio nuotolio prasmę. 0.5 Plonojo lęšio savybes 6: pav. Lygiagretaus optinei ašiai spindulio lūžimas. Panagrinėkime atvejį, kai spindulio sklidimo kampas prieš lęšį θ 1 0, 6 paveikslėlis. Pasinaudoję lęšio matricos išraišką 34 bei 21 formule, gauname y 2 y 1, θ 2 y 1 f. 36

10 10 Mažų kampų atveju θ 2 tan θ 2, todėl f yra atstumas nuo lęšio iki taško optinėje ašyje, kurioje kertasi lygiagretūs spinduliai. Šis taškas vadinamas lęšio židiniu. 7: pav. Spindulio sklidimas per optinį centrą. Kitas galimas atvejis - sklidimas per optinį centrą, 7 paveikslėlis. sąlygos y 1 0 ir lygties y2 θ /f 1 0 θ 1 Vien iš. 37 gauname y 2 0, θ 2 θ 1. Vadinasi per optinį centrą spindulys sklinda nekeisdamas krypties. 38 8: pav. Plonojo lęšio formulės išvedimui.

11 0.6. UŽDUOTIS 11 Žinodami pastarąsias dvi plonojo lęšio savybes, galime išvesti plonojo lęšio formulę. Iš 8 paveikslėlio matome, kad yra dvi poros panašių trikampių. Jiems galiioja sąryšiai: h 1 d 1 h 2 d 2, h 1 f h 2 Išreiškę iš abiejų lygybių santykį h 1 /h 2, gauname Apvertę šią lygybę gauname arba Pastaroji lygybė yra plonojo lęšio formulė. 0.6 Užduotis d 2 f. 39 d 1 d 2 f. d 2 f 40 d 2 f 1 d 2 d f 1 d d Rasti 9 paveikslėlyje pavaizduotos sistemos ABCD matricą. 9: pav. Dviejų lęšių sistema.