Specialieji analizės skyriai

Transcript

1 Specialieji analizės skyriai.

2 Specialieji analizės skyriai Kompleksinio kinamojo funkcijų teorija Furje eilutės ir Furje integralai Operacinis skaičiavimas Lauko teorijos elementai. 2

3 Kompleksinio kintamojo funkcijų teorija 1. Kompleksinių skaičių aibės. Kompleksinio kintamojo funkcija. Riba. Išvestinė. Analizinės funkcijos. Koši ir Rymano sąlygos. Laplaso lygtis. Harmoninės funkcijos. 2. Laipsninė funkcija. Rodyklinė funkcija. Trigonometrinės ir hiperbolinės funkcijos. Logaritminė funkcija. Apibendrintoji laipsninė funkcija. 3. Integralo apibrėžimas, savybės, skaičiavimas, įvertinimas. Koši integralinė teorema. Koši teorema daugiajungei sričiai. Koši integralinė formulė. Analizinių funkcijų aukštesniųjų eilių išvestinės. Koši nelygybė. Liuvilio teorema. Moreros teorema. 4. Kompleksinių skaičių sekos ir eilutės. Konvergavimo požymiai. Laipsninės eilutės. Teiloro ir Makloreno eilutės. 5. Analizinės funkcijos nuliai. Lorano eilutė. Ypatingieji taškai. Rezidiumai ir jų taikymas. 3

4 Kompleksinio kintamojo funkcijų teorija. Literatūra. A. Krylovas, J. Raulynaitis. Kompleksinio kintamojo funkcijų teorija, V.: Technika, 2006 A. Nagelė, L. Papreckienė. Kompleksinio kintamojo funkcijų teorija, V., 1996 A. Kabaila, P. Rumšas. Kompleksinio kintamojo funkcijų teorija, V.: Mintis, 1971 A. Barauskas, Z. Navickas, V. Tėvelis. Kompleksinio kintamojo funkcijos ir operacinis skaičiavimas. V.: Mokslas, 1986 М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. Методы теории функций комплексного переменного, М., 2002 E. Kreyszig, Anvanced engineering mathematics, 2006 P. Alekna. Kompleksinio kintamojo funkcijų teorijos uždavinynas, ŠU, 2006 A. Krylovas. Kompleksinio kintamojo funkcijų teorijos savarankiško darbo užduotys. Sprendimai ir atsakymai. V.: Technika, 1996 A. Nagelė, L. Navickaitė. Kompleksinio kintamojo funkcijų teorijos uždaviniai, V., 1975 A. Nenortienė, Z. Navickas, I. Pranevičienė. Kompleksinio kintamojo funkcijų teorijos uždavinynas, V.,

5 Furjė eilutės ir Furjė integralai 1. Trigonometrinė Furjė eilutė. Funkcijų su periodu 2L Furjė eilutės. Lyginių ir nelyginių funkcijų Furjė eilutės. 2. Funkcijų išreiškimas Furjė eilute atkarpoje [0, L]. Furjė eilutės kompleksinė forma. 3. Furjė integralas. Kompleksinė Furjė integralo forma. Furjė transformacija. 5

6 Furjė eilutės ir Furjė integralai. Literatūra E. Bajorūnas, N. Janušauskaitė, V. Vėteris. Furjė eilutės, K., 1988 V. Pekarskas, Trumpas matematikos kursas. - Kaunas, Technologija, 2006 V. Iljinas, E. Pozniakas. Matematinės analizės pagrindai, V.: Mokslas, 1981, t.2, sk.x Г. П. Толстов, Ряды Фурье, М., Наука, 1980 E. Kreyszig, Anvanced engineering mathematics,

7 Operacinis skaičiavimas 1. Laplaso transformacija. Tiesiškumo teorema. Panašumo teorema. Postūmio teorema. Vėlavimo teorema. Egzistavimo ir vienaties teorema. Išvestinės ir integralo transformacijos. Laplaso transformacijos diferencijavimas ir integravimas. 2. Sąsuka. Sąsukos Laplaso transformacija. Diuamelio formulė. Atvirkštinė Laplaso transformacija. Atvirkštinės transformacijos skaičiavimas. 3. Laplaso transformacijos taikymai. Integralinės lygtys. Tiersninės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficinetais. Tiesinių diferencialinių lygčių sistemos. 7

8 Operacinis skaičiavimas. Literatūra J. Rimas. Operacinis skaičiavimas, K.: Technologija, 2006 E. Dagienė, E. Kirjackis, A. Krylovas. Operacinis skaičiavimas. V.: Technika, 2000 A. Barauskas, Z. Navickas, V.Tėvelis. Kompleksinio kintamojo funkcijos ir operacinis skaičiavimas. V.: Mokslas, 1986 E. Kreyszig, Anvanced engineering mathematics, 2006 П. И. Романовский, Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа, М., Наука,

9 Lauko teorijos elementai 1. Skaliarinis laukas. Vektorinis laukas. Gradientas. Kryptinė išvestinė. Potencialai.. 2. Divergencija. Rotorius. Kreiviniai integralai. Gryno teorema. Paviršiniai integralai. Gauso-Ostrogradskio teorema. 3. Lauko teorijos taikymai. Stokso teorema. 9

10 Lauko teorijos elementai. Literatūra E. Kirjackis, B. Kryžienė. Lauko teorijos pagrindai, V.: Technika, 1996 E. Kirjackis, B. Kryžienė. Lauko teorijos elementai, V.: Technika, 1998 (tęsinys) V. Iljinas, E. Pozniakas. Matematinės analizės pagrindai, V.: Mokslas, 1981, t.2, sk. V-VII I. Pranevičienė, H. Pranevičius, Lauko teorija, K., Technologija, 2004 E. Kreyszig, Anvanced engineering mathematics, 2006 М.Л. Краснов, А.И. Киселёв, Г.И. Макаренко. Векторный анализ, М.: Наука, 1978 P. Alekna, Kelių kintamųjų funkcijų integralai (dvilypiai, trilypiai, kreiviniai, paviršiniai): uždavinynas, Š., ŠU, 2003 V. Liutikas, A. Miliušas, E. Vakrina, Daugialypiai, kreiviniai ir paviršiniai integralai: uždavinių rinkinys, V., VISI,

11 Vertinimo tvarka 20% 20% 10% 50% 1 kolokviumas 2 kolokviumas Papildomi balai Egzaminas 11

12 Papildomi balai Savarankiški darbai Namų darbai Aktyvumas Teisingi atsakymai 12

13 Kompleksinio skaičiaus apibrėžimas Tarkime, A aibė, kurioje apibrėžta algebrine operacija. a, b A : a b = c A. Šiuo atveju sakoma, kad aibė A yra uždara operacijos atžvilgiu. N + - / 2 n 2 n1 Z N Q Q {0} R {0} 13

14 Kompleksinio skaičiaus apibrėžimas Realiųjų skaičių aibėje negalima ištraukti lyginio laipsnio šaknies iš neigiamo skaičiaus. Pvz., 2 R Arba, kas yra tas pats, negalima išspręsti lygtį z 2 2 = 0 Realiųjų skaičių aibę R galima praplėsti iki kompleksinių skaičių aibės C, kuri yra uždara visų keturių aritmetinių veiksmų atžvilgiu ir kurioje galima išspręsti (1) lygtį. (1) 14

15 Kompleksinio skaičiaus apibrėžimas Pažymėkime C realiųjų skaičių porų aibę: C = {a, b : a R, b R }. Šioje aibėje sudėtis ir daugyba apibrėžiami taip: a, b c, d = a c, b d, a, b c, d = a c bd, a d bc. Aibė C elementai vadinami kompleksiniais skaičiais. 15

16 Kompleksinio skaičiaus apibrėžimas Bet kurio kompleksinio skaičiaus (x,y) priešingasis skaičius (-x, -y) apibrėžiamas taip: x, y x, y = 0, 0. Skaičius (0,0) vadinamas kompleksiniu nuliu. Bet kurio nenulinio kompleksinio skaičiaus (x,y) atvirkštinis kompleksinis skaičius (x,y) -1 apibrėžiamas taip: x, y x, y 1 = 1, 0. Iš šių apibrėžimų gauname kompleksinių skaičių atimties ir dalybos formules. 16

17 Kompleksinio skaičiaus apibrėžimas Kompleksinių skaičių atimties formulė: a, b c, d = a, b c, d = a c, b d. Kompleksinių skaičių dalybos formulė: a, b : c, d = a, b c, d 1 = a c bd c 2 d 2, bc a d c 2 d 2. Kodėl taip? 17

18 Kompleksinio skaičiaus apibrėžimas Kas yra (c,d) -1? Pažymėkime (c,d) -1 = (x,y). Pagal apibrėžimą, c, d x, y = 1, 0 c x d y, c y d x = 1, 0. Gauname tiesinių lygčių sistemą { c x d y = 1 d x c y = 0 x = c c 2 d, y = d 2 c 2 d. 2 Taigi, x, y = c, d 1 = c c 2 d 2, d c 2 d 2. 18

19 Kompleksinio skaičiaus apibrėžimas Turime, kad a, b : c, d = a, b c, d 1 = a, b c c 2 d 2, d c 2 d 2. Pritaikę kompleksinių skaičių daugybos apibrėžimą gauname, a, b p, q = a p bq, a q b p, a, b : c, d = a c bd c 2 d 2, bc a d c 2 d 2. Matome, kad kompleksinių skaičių aibė yra uždara keturių aritmetinių veiksmų atžvilgiu. 19

20 Kompleksinio skaičiaus apibrėžimas Išnagrinėkime aritmetinių veiksmų išvestas formules, tuo atveju, kai kompleksinio skaičiaus antroji komponentė yra lygi nuliui. Turime a, 0 ± c, 0 = a ± c, 0, a, 0 c, 0 = a c, 0, a, 0 : c, 0 = a c, 0. Matome, kad skaičių (x,0) aibė sutampa su realiųjų skaičių aibe. Taigi R C ir (1,0) 1 yra realusis vienetas. 20

21 Kompleksinių skaičių sekos Tarkime, kad {z n } kompleksinių skaičių seka. Skaičius z 0 vadinamas k.s. sekos riba, jei bet kokiam ε > 0 egzistuoja N toks, kad visi sekos nariai su numeriais n > N, tenkina nelygybę z n z 0 < ε. Rašoma lim n z n =z 0 Kai riba egzistuoja, sakoma, kad seka konverguoja. Priešingai diverguoja. K. s. seka {z n } konverguoja tada ir tik tada, kai konverguoja sekos {Re z n }, {Im z n }. Kompleksinių skaičių sekų riboms būdingos šios savybės: lim z n ±w n =lim n n lim n z n w n =lim n z n ±lim n z n lim n w n w n lim n z n w n = lim n lim n z n w n 21

22 Kompleksinių skaičių sfera Kompleksinių skaičių sekos modulių riba yra, t.y., kai {z n } riba vadinama begalybe, kai šios sekos narių lim z n = n Kokia yra šios lygybės geometrinė prasmė? Stačiakampėje koordinačių sistemoje (u, v, t) nubrėžkime sferą (Rymano sfera), kurios centras yra taške (0, 0, ½) ir spindulys ½. Sferos taškas N(0, 0, 1) vadinamas šiaurės poliumi. Kompleksinė plokštuma (z) sutampa su u0v. 22

23 Kompleksinių skaičių sfera Tiesės, jungiančios kompleksinės plokštumos tašką z su šiaurės poliumi N, ir sferos sankirtos taškas vadinamas taško z stereografiniu vaizdu. Stereografinio vaizdo z' (u, v, t) koordinates apskaičiuojamos pagal formules: x y u= t= x2 y 2 v= 1x 2 y 2 1 x 2 y 2 1x 2 y 2 Žinant stereografinio vaizdo koordinates, tašką z randame pagal formules: x= u 1 t y= v 1 t Taigi, kiekvieną sferos tašką z', išskyrus šiaurės polį, atitinka baigtinis taškas z. Todėl Rymano sferos šiaurės polis laikomas be galo nutolusio kompleksinės plokštumos taško z = stereografiniu vaizdu. Kompleksinių skaičių aibės C ir taško z = sąjunga C U { } vadinama išplėstine kompleksine plokštuma. Žymima C=C 23

24 Kompleksinio kintamojo funkcijos sąvoka D C=C Tarkime, kad kiekvieną aibės tašką atitinka vienas, keli, arba be galo daug kompleksinių skaičių w = f(z). Gali būti ir w =. Tada sakoma, kad aibėje D apibrėžta kompleksinio kintamojo z funkcija w = f(z). Jei kiekvieną z atitinka tik viena reikšmė w, tai funkcija w = f(z) vadinama vienareikšme. Kompleksinių skaičių aibė D, kurioje apibrėžta funkcija w = f(z) vadinama funkcijos apibrėžimo aibe. Funkcijos reikšmių aibe vadinama aibė G={w :w= f z, z D} 24

25 Kompleksinio kintamojo funkcijos sąvoka Pažymėjus z = x + iy ir w = u + iv, galima išskirti kompleksinio kintamojo funkcijos realiąją dalį ir menamąją dalį: w= f z= f xiy=u x, yiv x, y, u x, y=r f z, v x, y=i f z Taigi, kompleksinio kintamojo funkciją galima apibrėžti dviem realiųjų kintamųjų x ir y realiosiomis funkcijomis u(x,y) ir v(x,y). 25

26 Kompleksinio kintamojo funkcijos geometrinis vaizdavimas Kiekvieną funkcijos apibrėžimo aibės D tašką z atitinka taškas w = f(z) (vaidas): funkcija f(z) vaizduoja aibę D į aibę G. Tarkime, kad z = z(t), t 1 t t 2 yra kreivė l srityje D. Tada šios kreivės taškai atvaizduojami į srities G kreivės L taškus, L={w: w= f z, z l } 26

27 Laipsninė funkcija Laipsnine vadinama funkcija w=z n, n N Ši funkcija yra vienareikšme, D=G=C 27

28 Tegu {z k } kompleksinių skaičių seka. Seka {s n }, vadinama kompleksinių skaičių eilutės dalinių sumų seka. Kompleksinių skaičių eilutės n s n = k=1 k =1 z k, z k Sakoma, kad kompleksinių skaičių eilutė konverguoja, ir jos suma lygi kompleksiniam skaičiui S, jei egzistuoja riba lim n S n =S. 28

29 Kompleksinių skaičių eilutės Eilutė konverguoja tik tada, kai konverguoja realijų skaičių eilutes n=1 R z n = n=1 x n, n=1 I z n = n=1 y n. Tarkime, kad konverguoja realiųjų skaičių eilutė Pastebėję, kad x n z n ir y n z n, gauname, kad eilutės x n ir z n absoliučiai konverguoja. Tada konverguoja ir eilutė z n ir sakoma, kad ji konverguoja absoliučiai. z n. n=1 Tarkime, kad {c n } yra kompleksinių skaičių seka. Tada laipsninė eilutė n=0 c n z n konverguoja absoliučiai skritulyje z < R. Šio skritulio spindulį R galima rasti, eilutei c n z n n=0 taikant Dalambero arba Koši konvergavimo požymius. 29

30 Trigonometrinės ir hiperbolinės funkcijos e z = n=0 z n n!, cos z= n=0 1 n z 2n 2n!, sin z= n=1 1 n 1 z 2n 1 2n 1!, cosh z= n =0 z 2n 2n!, sinh z= n=1 2n 1 z 2n 1!. 30

31 Logaritminė funkcija Apibrėžkime funkciją w = Ln z kaip lygties z = e w sprendinį. Pažymėję w = u+iv, gauname z=e u e iv = z e i arg z2 k, k Z Todėl, u=ln z, v=arg z2 k, w=l n z=ln z iarg z2 k. Taigi, Ln z turi be galo daug reikšmių. Kai k = 0, gauname pagrindinę logaritmo reikšmę: ln z=ln z i arg z. Funkcija ln z yra vienareikšmė. Kai z = x > 0, tai ln z = ln x. 31

32 Apibendrintoji laipsninė funkcija apibrėžiama taip: čia z, a kompleksiniai skaičiai Apibendrintoji laipsninė funkcija w=z a =e a L n z, 32

33 Išspręskime lygtį tg w = z. Gausime Atvirkštinės funkcijos w= 1 2 i L n 1iz 1 iz =Arctg z Panašiai apibrėžiamos kitos kompleksinio kintamojo z daugiareikšmės atvirkštinės funkcijos, areasinusas, areacosinusas, areakotangentas, it kt.: A rcsin z= i L ni z1 z 2 A rccos z= i L nz z 2 1 Arcctg z= 1 2 i L n iz1 iz 1 Arsh z=l nz z 2 1 Arch z=l nz z 2 1 Arth z= 1 2 L n 1z 1 z Arcth z= 1 2 L n z1 z 1 33

34 Funkcijos tolydumas Tarkime, kad {z n } kompleksinių skaičių seka ir lim n z n =a. Sudarykime funkcijos w = f(z) reikšmių seką: w n = f(z n ). Sakoma, kad funkcija f(z) turi ribą A, kai z artėja prie a, jei ši funkcija apibrėžta taško a aplinkoje ir lim n neatsižvelgiant į seką {z n }. Tada rašome w n =A, lim z a f z= A. 34

35 Funkcijos tolydumas Tarkime, kad funkcija f(z) apibrėžta taške a ir jo aplinkoje. Sakoma, kad ši funkcija yra tolydžioji taške a, jei teisinga lygybė Arba Čia lim z a lim ux, y=u a x, a y, x a x y a y f z=u x, yiv x, y, f z= f a. lim v x, y=va x, a y. x a x y a y a=a x ia y Kompleksinio kintamojo funkcija f(z) yra tolydi taške a tada ir tik tada, kai Re w = u, ir Im w = v yra dviejų realijų kintamųjų tolydžiosios taške (a x, a y ) funkcijos. Funkcija f(z) vadinama tolydžiąja aibėje D, jei ji yra tolydžioji visose aibės taškuose. Visos elementariosios funkcijos yra tolydžios jų apibrėžimo srityse. 35

36 Komplėksinio kintamojo funkcijos išvestinė Tarkime, kad kompleksinio kintamojo funkcija f(z) apibrėžta taško z=x+iy aplinkoje. Pažymėkime argumento z pokyti z= xi y ir funkcijos pokytį f z= f z z f z. Funkcijos f(z) išvestinė taške z - tai riba f ' z= lim z 0 f z z f z = lim z z 0 f z z. 36

37 Komplėksinio kintamojo funkcijos išvestinė Funkcija, turinti taške išvestinę, vadinama diferencijuojama tame taške. Diferencijuojama taške funkcija yra tolydi šiame taške Funkcija, diferencijuojama ne tik taške, bet ir jo aplinkoje, vadinama analizine šiame taške. Analizinė kiekviename srities taške funkcija vadinama analizine šioje srityje. Sandauga f'(z)δz vadinama funkcijos diferencialu ir žymima df(z). Kai f(z) = z, f'(z) = 1, ir Δz = dz. Taigi, df z= f ' zdz. Pastaba. Galioja visų elementariųjų funkcijų lentelė. 37

38 Koši ir Rymano sąlygos Tarkime, kad funkcija f(z) = u(x,y)+iv(x,y) yra diferencijuojama taške z = x + iy. Tada egzistuoja riba lim z 0 f z = lim z x 0 y 0 u x x, y yiv x x, y y ux, yivx, y xi y. Kadangi riba egzistuoja, neatsižvelgiant, kaip z z 0, galima nagrinėti ribą, kai Δx 0, o Δy = 0: lim z 0 f z = lim z x0 u x x, yiv x x, y u x, yiv x, y u x, y v x, y = i. x x x Apskaičiuokime tą pačią ribą, kai Δy 0, o Δx = 0: lim z 0 f z = lim z y 0 u x, yiv x, y u x, yiv x, y = i y v x, y u x, y i. y y 38

39 Koši ir Rymano sąlygos Taigi, iš funkcijos f(z) diferencijuojamo gaunamos Koši ir Rymano sąlygos: u x, y x = vx, y y ; vx, y ux, y = x x Iš Koši-Rymano sąlygų gaunamos kompleksinio kintamojo funkcijos diferencijavimo formulės: f ' z = u v i x x = v y i u y = u x i u y = v y i v x. Koši ir Rymano sąlygos yra būtinos ir pakankamos funkcijos diferencijavimo sąlygos. 39

40 Išvestinės modulio geometrinė prasmė Tarkime, kad funkcija f(z) yra analizinė taško z 0 aplinkoje. Per tašką z 0 nubrėžkime glodžiąją kreivę γ. Pažymėkime z = x + iy, w = u + iv. Funkcija w = f(z) atvaizduoja krevę γ į kreivę Γ. 40

41 Išvestinės modulio geometrinė prasmė Kadangi funkcija f(z) yra analizinė, ji turi išvestinę taške z 0 : f ' z = lim z 0 f z 0 z =lim 0 f z f z 0 z z z z. 0 Išvestinės modulis rodo, kaip keičiasi santykis f z f z 0 = w w 0 z z 0 z z 0, vaizduojant vieną kreivę į kitą. Šis santykis nepriklauso nuo kreivės. Taigi, f'(z) yra ištempimo koeficientas taške z 0. 41

42 Tarkime, kad f '(z 0 ) 0. Tada Išvestinės argumento geometrinė prasmė arg f ' z 0 =arg lim z 0 f z 0 z = lim arg f z 0 lim z 0 z 0 arg z=. Čia Φ kampas, kurį sudaro kreivės Γ liestinė taške w 0 su Ou ašimi. φ kampas, kurį sudaro kreivės γ liestinė taške z 0 su Ox ašimi: 42

43 Išvestinės argumento geometrinė prasmė Taigi, arg f '(z 0 ) parodo, kokiu kampu pasisuks kreivės, vaizduojant jas funkcija f(z). Nors kampai φ ir Φ priklauso nuo kreivių γ ir Γ, bet šių kampų skirtumas Φ φ nesikeičia. Kampu tarp kreivių γ 1 ir γ 2 taške z 0 vadinamas kampas tarp jų liestinių. Kampas tarp bet kurių kreivių γ 1 ir γ 2 vaizduojant jas funkcija f(z) nesikeičia ir lygus arg f '(z 0 ) 0. Šia savybę turinčios funkcijos vadinamas konforminiais atvaizdžiais. Analizinė funkcija f(z), kuriai f '(z) 0 srityje D, yra konforminis atvaizdis: kiekviename srities taške kampai tarp glodžiųjų kreivių išlieka tie patys. 43

44 Harmoninės funkcijos Tarkime, kad funkcija φ(x,y) turi antrosios eilės tolydžiasias dalines išvestines. Funkcija vadinama harmonine srityje D, jei ji yra Laplaso lygties sprendinys. 2 x, y x 2 2 x, y y 2 =0. Bet kurios analizinės funkcijos realioji (arba menamoji) dalis yra harmoninė funkcija. Dvi harmoninės funkcijos, susietos Koši-Rymano sąlygomis vadinamos jungtinėmis harmoninėmis funkcijomis. Bet kuri harmoninė funkcija yra tam tikros analizinės funkcijos realioji arba menamoji dalis. 44

45 Integralo apibrėžimas Tarkime, kad srityje D žinoma dalimis glodžioji orientuota kreivė L, ir kreivės taškuose apibrėžta kompleksinio kintamojo funkcija f(z) = u(x,y)+iv(x,y) Padalijame kreivę L į n dalių: z 0 = a, z 1, z 2,..., z n = b ir kiekvienoje kreivės dalyje (z j-1, z j ) parenkame po vieną tašką ξ j = η j +iζ j. 45

46 čia Sudarome integralinę sumą Integralo apibrėžimas n S n = j=1 f j z j z j = z j z j 1 = x j i y j x j 1 i y j 1 = x j x j 1 i y j y j 1 = x j i y j. Pažymėkime = max z j = max x 2 2 j y j 1 j n 1 jn Baigtinė riba lim S n = L f z dz nepriklausanti nuo taškų ξ j parinkimo ir kreivės L padalijimo į dalis būdo, vadinama funkcijos f(z) integralu kreive L. 46

47 n...= j =1 n S n = j=1 n f j z j = j =1 Integralo savybės u j, j x j v j, j y j i j =1 u j, j i v j, j x j i y j =... n v j, j x j u j, j y j. Perėję prie ribos λ 0, gauname L f zdz= L u x, y dx vx, ydyi vx, ydxux, ydy. L Arba trumpiau, L f zdz= L u dx v dyi L v dxu dy= ui v dxi dy. L 47

48 Integralo savybės L a f zb g z dz=a L f zb L g z L. f z dz= L. f z dz Jei L = L 1 +L 2, tai L f zdz= L 1 f z dz L 2 f z dz 48

49 Tarkime, kad f(z) tolydžioji funkcija kreivės L taškuose. Pažymėkime čia l kreivės L ilgis. Tada Integralo įvertinimo teorema M =max f z, z L L f z dz M l. Jei kreivės L pradinis ir galinis taškai sutampa, tai kreivę L vadinama uždarąja ir integralas tokia kreive žymimas L f zdz. Jei kreivės apribota sritis lieka iš kairės pusės, tai kreivės L kryptis laikoma teigiama. 49

50 Integralo apskaičiavimas Tarkime, kad kreivė L išreiškiama parametrinėmis lygtimis L={z=xi y, x= t, y=t, t 0 tt 1 }. L Tada dx = α'(t) dt, dy = β'(t) dt ir gauname t 1 f zdz= t 0 t 1 ut, t ' t vt,t ' t dti vt, t ' tu t, t ' tdt. t 0 Kai x = t, y = y(x), t 0 = x 0, t 1 = x 1, formulė yra tokia: L x 1 f zdz= x 0 x 1 ux, yx vx, yx y' x dxi vx, yxu x, yx y' x dx x 0 Pažymėję dz(t) = (x'(t)+iy'(t))dt = z'(t)dt, formulę galime užrašyti taip: L t 1 f zdz= t 0 f zt z' t dt. 50

51 Koši integralinė teorema Tarkime, kad funkcija f(z) yra analizinė srityje D. Uždaroji kreivė L iš D yra dalimis glodžioji, apriboja vienajungę sritį Ω ir jos taškuose f(z) irgi yra analizinė. Tada funkcijos f(z) integralas uždarąja kreive L lygus nuliui. L f zdz=0. Įrodymas išplaukia iš Grino formulės kreivinėms integralams: L P dxq dy = Q D x P dx dy. y 51

52 Koši teorema daugiajungei sričiai Tarkime, kad Koši integralinės teoremos sąlygose vietoje vienajungės srities Ω nagrinėjama daugiajungė sritis, apribota išorinių kontūru L ir vidiniais, vienas su kitu nesikertančiais kontūrais γ 1, γ 2,..., γ n. Čia n = 2: Pastaba 1.Jei srities siena susideda iš n komponenčių nesikertančių tolydžiųjų kreivių ar pavienių taškų, tai tokia sritis vadinama n-junge. Pastaba 2. Kontūrai γ j - turi neigiamą kryptį vidinių sričių atžvilgiu; o Ω - teigiamą. Pjūviais δ j ± pakeiskime sritį Ω - vienajunge sritimi Ω 1, kurios sieną L 1 sudaro kreivės l 1 (nuo A 1 iki A 2 ), δ 2 +, γ 2-, δ 2 -, l 2 (nuo B 2 iki B 1 ), δ 1 +, γ 2-, δ

53 Koši teorema daugiajungei sričiai Vienajungėje srityje Ω 1 funkcija f(z) yra analizinė ir L 1 f zdz= l 1. l 2 f z dz. 2 f z dz. 1 f z dz. 2 f z dz. 1 f zdz 2. f zdz 1. f z dz. f zdz=0. Jei taškai A 1 =B 1, A 2 =B 2, tai j. f zdz j. f zdz=0. ir kreivės l 1, l 2,..., l n sudaro srities kontūrą L. Taigi, kai n = 2, l 1 f zdz l 2 f z dz 1. f z dz 2. f zdz=0. 53

54 Koši teorema daugiajungei sričiai Arba, pakeitus kontūrų kryptį, L f zdz 1 f z dz 2 f z dz=0. Bendruoju atveju gauname Koši teoremą daugiajungiai sričiai. Daugiajungėje srityje Ω analizinės funkcijos f(z) integralai kontūrams L, γ 1, γ 2,..., γ n tenkina lygybę L n j=1 j f zdz= f z dz Pastaba. Visu kontūrų kryptis teigiamos (prieš laikrodžio rodyklę). 54

55 Integralas su kintamuoju viršutiniu rėžiu Tarkime, kad funkcija f(z) yra analizinė srityje D. Du taškus, z 0, z 1 iš D sujunkime kreivėmis l 1+, l 2+, kurių kryptis yra nuo taško z 0 iki taško z 1. Tada kreivės l 1 + ir l 2 + sudaro uždarą kontūrą L ir L f zdz= l 1. f z dz l 2. f zdz= l 1. f z dz l 2. f z dz=0 arba l 1. f zdz= l 2. f z dz 55

56 Integralas su kintamuoju viršutiniu rėžiu Taigi, kai funkcija f(z) yra analizinė, jos integralas nepriklauso nuo kreivių l 1+, l 2 + parinkimo, o priklauso tik nuo pradinio ir galinio taškų z 0 ir z 1. Pažymėkime z F z= z 0 f w dw. Galima įrodyti, kad F(z) yra analizinė ir F'(z) = f(z), t.y. F(z) funkcijos f(z) pirmykštė funkcija. Analizinės funkcijos f(z) pirmykštės funkcijos užrašomos formule z z=f zc= z 0 f wdwc. ir apibrėžtinį integralą skaičiuojame pagal Niutono-Leibnico formulę: z z 0 f w dw= z z 0. 56

57 Tarkime, kad funkcija f(z) yra analizinė vienajungėje srityje D. Uždaroji kreivė L iš D riboja sritį Ω, taškas z 0 iš Ω yra vidinis. f z z z 0 Koši integralinė formulė Tada funkcija yra analizinė srityje Ω išskyrus tašką z 0. Pažymėkime γ r apskritimą z z 0 = r ir parinkime spindulį r > 0 taip, kad skritulys B r = {z: 0 < z z 0 < r} priklausytų Ω. 57

58 Koši integralinė formulė Tada pagal Koši formulę dvijungei sričiai teisingos lygybės: L f z z z 0 dz= r f z z z 0 dz= r f z f z 0 z z 0 dz f z 0 r dz z z 0. Funkcija f(z) yra analizinė, todėl ji tolydžioji ir 0 0: f z f z 0, z: z z 0. Pirmą integralą galima įvertinti taip: r f z f z 0 z z 0 dz M l= r 2 r=2, M =max z r f z f z 0 z z 0 r Kadangi ε galima parinkti kiek norima mažą teigiamą skaičių, integralas yra lygus 0. Antras integralas, kaip buvo parodyta anksčiau, lygus 2πi. Taigi, f z= 1 2 i L f s s z ds 58

59 Analizinės funkcijos aukštesniųjų eilių išvestinės Tarkime, kad funkcija f(z) yra analizinė srityje D. Uždaroji kreivė L iš D riboja sritį Ω, taškas z 0 iš Ω yra vidinis. Žinodami f(z) reikšmes kontūro L taškuose, galima išreikšti f '(z) visos srities Ω taškuose. Remdamiesi Koši integraline formule, turime f z z f z z = 1 2i L f s s zs z z ds. Taigi, f ' z= lim z 0 f z z f z = 1 z 2 i L f s s z 2 ds. Bendruoju atveju f n z= n! 2i L f s s z n1 ds. 59

60 Modulio maksimumo principas Tarkime, kad funkcija f(z) yra analizinė srityje D. Uždaroji kreivė L iš D riboja sritį Ω. Pažymėkime M didžiausią funkcijos modulio reikšmę kontūro taškuose: M =max f z. z L Tada bet kuriame kreivės L taške z : f n z = f z n M n, n N. Funkcija f n (z) yra analizinė srityje D, todėl, pagal Koši integralinę formulę, f n z= 1 2 i L f n s s z ds. 60

61 Tegu l kontūro L ilgis ir δ > 0 vidinio srities Ω taško z trumpiausias atstumas iki kontūro L: Modulio maksimumo principas Įvertinkime funkcijos f n (z) modulį : =min s z. s L f z n = f n z 1 2 M n l, n N. Iš čia gauname, kad f z M n Perėję prie ribos n, gauname l 2. f z M = max f z. z L Taigi, analizinės srityje Ω funkcijos modulis įgyja savo didžiausiąją reikšmę srities kontūro L taškuose. 61

62 Liuvilio teorema Tarkime, kad funkcija f(z) yra analizinė visoje kompleksinėje plokštumoje C. Tada visiems R > 0 ji yra analizinė skritulyje z < R. Tarkime, kad funkcija f(z) yra aprėžta visoje kompleksinėje plokštumoje C: M 0 : f z M, z C. Tada visiems R > 0 teisingas įvertinimas: f ' z 1 2 s z =R f s s z ds M R 2 2 R= M R. Kadangi R galima parinkti kiek norima didelį, perėję prie ribos R, gauname f ' z 0 f ' z 0. Taigi, jei funkcija f(z) yra analizinė visoje kompleksinėje plokštumoje C, tai ji arba neaprėžta, arba lygi konstantai. 62

63 Teiloro eilutė Teorema. Jei funkcija f(z) yra analizinė taško z = a aplinkoje, tai ši funkcija išreiškiama konverguojančia laipsnine eilute (Teiloro eilute) f z= n=0 f n a n! Įrodymas. Tarkime, kad apskritimas L riboja sritį z a n. {z: z a r} Tada bet kuriame vidiniame Ω taške z: f z= 1 2 i L f s s z ds be to, 1 s z = 1 s a 1 1 q, q= z a s a. 63

64 Teiloro eilutė Kadangi s yra srities Ω kontūro L taškas, o z vidinis srities taškas, tai z a s a =r q 1. Taigi, 1 s z = 1 s a n=0 q n = 1 s a n=0 z a n s a ir gauname Teiloro eilutę: f z= 1 n=0 2 i L f s s a ds = n1 z an n=0 f n a n! z a n. Kai a=0, Teiloro eilutė vadinama Makloreno eilute: f z= n=0 f n 0 n! z n. 64

65 Teiloro eilutė Teiloro eilutė yra vienintelė. Tarkime, egzistuoja kita laipsninė eilutė: f z=c 0 c 1 z ac 2 z a 2... Gauname, kad f a =c 0, f ' a=c 1,..., f n a=n! c n,... Taigi, eilutės sutampa, nes c n = f n a n!. Teiloro eilutės konvergavimo spindulys lygus taško a atstumui iki artimiausio z, kuriame f(z) yra nėra analizinė. Tokie taškai vadinami ypatingaisiais. 65

66 Makloreno eilutės e z = n=0 z n n!, cos z= n=0 1 n z 2n 2n!, sin z= n=1 1 n 1 z 2n 1 2n 1!, cosh z= n=0 z 2n 2n!, sinh z= n=1 2n 1 z 2n 1!. ln 1 z= n=1 z n n, ln 1z= 1 n1 z n n=1 n. 66

67 Analizinės funkcijos nuliai Taškas z=a vadinamas funkcijos f(z) nuliu, kai f(a) = 0. Šiuo atveju f(z) Teiloro eilutė taške a neturi nulinio nario c 0 = f(a) = 0 ir gali neturėti keliu pirmųjų narių: f z=c k z a k c k 1 z a k1... Jei f(z) nėra konstanta, tai egzistuoja koeficientas c k 0. Taškas z=a vadinamas f(z) k-osios eilės nuliu, kai f n a=0 0nk, f k a 0. Taigi, nulio eilė yra mažiausias Teiloro eilutės nenulinio koeficiento numeris. Kai k = 1, nulis vadinamas paprastuoju. Kai z=a yra funkcijos f(z) k eilės nulis, ja galima užrašyti sandauga f z= z a k z ; z=c k c k 1 z ac k2 z a 2... čia φ(z) yra analizinė taško z=a aplinkoje ir φ(a) 0. 67

68 Lorano eilutė Teorema. Kiekviena analizinė žiede r < z a < R funkcija f(z) išskleidžiama konverguojančia šiame žiede eilute f z=c 0 c 1 z ac 2 z a 2... c 1 z a z a...= c 2 n z a n n= Įrodymas. Parinkime skaičius r' ir R': r < r' < R' < R ir pažymėkime apskritimus l : z - a = r', L : z - a = R'. c 2 68

69 Lorano eilutė Funkcija f(z) yra analizinė žiede r' z a R', todėl, kai z yra žiedo vidinis taškas, galima taikyti Koši integralinę formulę: f z= 1 2 i L f s s z ds 1 2 i l f s s z ds. Pirmajame integrale z - a < s - a = R' ir 1 s z = 1 z a n s a n=0 s a Integruodami panariui, gausime 1 2i L f s s z ds= n=0 1 2 i L f s s a n 1 ds z an. 69

70 Lorano eilutė Kai z - a > s - a = r', antrąjį integralą galime pertvarkyti panašiai: 1 s z = 1 a z Integruodami panariui, gausime 1 1 s a z a = n=1 s a n 1 z a n Pažymėję 1 2 i l f s s z ds= n=1 1 2 i l f s s a n 1 ds 1 z a n. c n = 1 2i L f s s a ds ; c = 1 n1 n 2i l f s s a n 1 ds, n N 0 70

71 Gauname Lorano eilutė f z= n=0 c n z a n n=1 c n z a n = n = c n z a n Ši eilute vadinama Lorano eilute, jos pirmoji (+) dalis reguliariąją dalimi, jos antroji (-) dalis pagrindine dalimi. Lorano eilutės koeficientus taip pat galima skaičiuoti pagal formule c n = 1 2i f s ds, n Z, n1 s a kur γ - kontūras, priklausantis žiedui r < z a < R. Jei f(z) analizinė taške z = a, tai Lorano eilutės koeficientai c n, n = 0, 1,... sutampa su Teiloro eilutės koeficientais, o c -n = 0. Taigi, šiuo atveju Lorano eilutė neturi pagrindinės dalies ir sutampa su Teiloro eilute. 71

72 Ypatingieji taškai Taškas z 0 vadinamas f(z) izoliuotuoju ypatinguoju tašku, jeigu f(z) nėra analizinė taške z 0, tačiau yra analizinė jo pradurtoje aplinkoje 0 < z z 0 < r. Tarkime, kad z 0 yra funkcijos f(z) izoliuotasis ypatingasis taškas. Tada šio taško pradurtoje aplinkoje 0 < z z 0 < r analizinę funkciją f(z) galima išskleisti konverguojančiąja Lorano eilute c 2 f z=c 0 c 1 z ac 2 z a 2... c 1 z a z a

73 Ypatingieji taškai Izoliuotasis ypatingasis taškas z = z 0 vadinamas funkcijos f(z) pašalinamuoju ypatinguoju tašku, jei Lorano eilute neturi pagrindinės dalies, t.y. c -1 = c -2 =... = 0; k eilės poliumi, jei Lorano eilutės pagrindinė dalis turi tik baigtinį narių skaičių ir c -k 0, c -(k+1) = c -(k+2) =... = 0; kai k = 1, taškas z = z 0 vadinamas pirmosios eilės poliumi arba paprastuoju poliumi; esmingai ypatinguoju tašku, jei Lorano eilutės pagrindinė dalis turi be galo daug narių, t.y. n0 kn : c k 0. 73

74 Ypatingieji taškai Tarkime, kad z 0 yra funkcijos f(z) pašalinamasis ypatingasis taškas. Tuomet (iš Lorano eilutės) gauname, kad egzistuoja riba lim z z 0 f z=c 0. Teorema. Jei funkcija f(z) ypatingajame taške z 0 turi baigtinę ribą, tai šis taškas yra pašalinamasis ypatingasis taškas. 74

75 Tarkime, kad z 0 yra funkcijos f(z) k eilės polius. Tuomet (iš Lorano eilutės) gauname Ypatingieji taškai f z= 1 z z 0 k c 0 z z 0 k c 1 z z 0 k 1...c 1 z z 0 k 1...c k 1 z z 0 c k. Pažymėję φ(x) Teiloro eilutę šioje išraiškoje, gauname, kad z f z= z z 0. k Funkcija φ(x) yra analizinė taške z 0 ir φ(z 0 ) = c -k 0. Iš čia gauname, kad lim f z=, z z 0 t.y. funkcijos modulis f(z) neaprėžtai didėja, kai z z 0. 75

76 Ypatingieji taškai Teisingas ir atvirkštinis teiginys: jei funkcijos modulis f(z) neaprėžtai didėja, kai z z 0, tai z 0 yra funkcijos polius. Jei taškas z 0 yra funkcijos f(z) k eilės polius, tai egzistuoja riba lim z z 0 k f z=c k 0. z z 0 Funkcija 1/f(z) taške z 0 turi k eilės nulį. Tarkime, kad z 0 yra funkcijos f(z) esmingai ypatingasis taškas. Tada riba lim z z 0 f z neegzistuoja (priešingu atveju tai būtų polius arba pašalinamasis ypatingasis taškas) 76

77 Kriterijus ypatingojo taško tipui nustatyti yra riba Jei riba egzistuoja ir yra baigtinė, taškas z 0 yra pašalinamasis ypatingasis taškas. Ypatingieji taškai Jei riba yra begalinė, taškas z 0 yra polius, kurio eilę galima rasti iš formulės lim z z 0 k f z=c k 0. z z 0 lim z z 0 f z Jei riba neegzistuoja, taškas z 0 yra esmingai ypatingasis taškas. 77

78 Ypatingasis taškas z = Be galo nutolusio taško stereografinis vaizdas yra «šiaurės polius» N it jo aplinka yra z > R, t.y. tam tikro skritulio išorė. Pažymėkime w = 1/z ir išskleiskime funkciją φ(w) = f(1/w) = f(z) taško w=0 aplinkoje 0 < w < r Lorano eilute: w= n=0 c n w n n=1 c n w n. Pakeitę žymėjimus, gauname f z= n=0 c n z n n=1 c n z n. Tai ir yra funkcijos f(z) Lorano eilutė srityje 1/z < r arba z > R = 1/r, t.y. be galo nutolusio taško aplinkoje. Čia Lorano eilutės pirmoji dalis vadinama reguliariąja dalimi, o antroji dalis (turinti teigiamuosius laipsnius) vadinama pagrindine dalimi. 78

79 Ypatingasis taškas z = Jei Lorano eilutė neturi pagrindinės dalies, tai taškas z = vadinamas pašalinamuoju ypatinguoju tašku. Gauname lim z f z=c 0. Jei ši riba yra lygi nuliui, tai taškas z = vadinamas funkcijos f(z) nuliu. Sakoma, kad funkcija f(z) taške z = turi k eilės nulį, jei reguliariosios dalies koeficientai c 0 = c -1 =... = c -k+1 = 0, ir c -k 0. 79

80 Kai Lorano eilutės pagrindinė dalis turi tik baigtinį narių skaičių, ir c k 0, c k+1 = c k+2 =... = 0, tai sakoma, kad taškas z = yra funkcijos f(z) k eilės polius. Tokiu atveju Be to, ir f(z) galima išreikšti kaip Ypatingasis taškas z = lim z lim z f z=. z k f z = c k 0, z f z=, z k čia φ(z) analizinė taško z = aplinkoje funkcija ir lim z = c k 0. z Jei pagrindinė Lorano eilutės dalis turi be galo daug nariu, tai taškas z = vadinamas esmingai ypatinguoju tašku. Riba neegzistuoja. lim z f z 80

81 Tarkime, kad z = z 0 yra funkcijos f(z) izoliuotasis ypatingasis taškas. Išskleiskime funkciją Lorano eilute šio taško pradurtoje aplinkoje 0 < z z 0 < r : f z= n=0 Reziduumai c n z z 0 n n=1 c n z z 0 n. Lorano eilutės koeficientas c -1 vadinamas funkcijos f(z) reziduumu taške z = z 0 ir žymimas c 1 =Res z =z 0 f z. 81

82 Reziduumai Kadangi Lorano eilutės koeficinetai skaičiuojami pagal formulę c n = 1 2 i f s ds, n Z, n1 s a tai reziduumo išraiška yra Res z=z 0 f z= 1 2 i f zdz ; čia γ gali būti ne tik bet kuris apskritimas z z 0 = δ < r, bet ir uždaroji kreivė, ribojanti sritį, kuriai priklauso taškas z = z 0 ir kurioje nėra kitų funkcijos f(z) ypatingųjų taškų. 82

83 Jei taškas z = z 0 nėra funkcijos f(z) ypatingasis taškas, tai integralas lygus nuliui, ir funkcijos rezuduumas taške z = z 0 lygus nuliui. Jei taškas z = z 0 Reziduumai yra funkcijos f(z) pašalinamasis ypatingasis taškas, tai Lorano eilutė neturi pagrindinės dalies ir rezuduumas taške z = z 0 nuliui. lygus Taigi reziduumus reikia skaičiuoti tik poliuje ir esmingai ypatingajame taške. Jei taškas z = z 0 yra funkcijos f(z) pirmosios eilės polius, tai ir f z= 1 z z 0 c 1 c 0 z z 0 c 1 z z c 1 = Res z =z 0 f z = lim z z 0 z z 0 f z. 83

84 Jei taškas z = z 0 yra funkcijos f(z) k eilės polius, tai reziduumą galima skaičiuoti taip: Reziduumai Res z=z 0 f z = 1 k 1! lim z z 0 d k 1 dz k 1 z z 0 k f z. Dar viena formulė reziduumui pirmosios eilės poliuje skaičiuoti. Tarkime, kad f(z) = φ(z) / ψ(z), kai φ(z 0 ) 0, ψ(z 0 ) = 0, ψ'(z 0 ) 0. Tada c 1 = lim z z 0 z z 0 z z = z z 0 ' z 0. 84

85 Pagrindinė reziduumų teorema Tarkime, kad funkcija f(z) yra analizinė srityje D, išskyrus baigtinį skaičių izoliuotųjų ypatingųjų taškų z 1, z 2,..., z n. Uždaroji kreivė L riboja sritį Ω iš D, f(z) yra analizinė kreivės L taškuose ir visi taškai z 1, z 2,..., z n priklauso Ω. 85

86 Pagrindinė reziduumų teorema Tada L n f zdz=2i j=1 Res z =z j f z. Įrodymas. Parinkime r > 0 tokį, kad visi skrituliai z z j < r būtų srityje Ω. Pažymėję δ j apskritimus z z j = r, pagal Koši integralinę teoremą daugiajungei sričiai gauname L n j=1 j f zdz= f z dz. Pritaikę formulę Res z =z j f z= 1 2 i j f z dz, gauname teoremos teiginį. 86

87 Tarkime, kad be galo nutolusio taško z = aplinkoje funkcija f(z) išskleista Lorano eilute Reziduumas be galo nutolusiame taške f z= n=0 c n z n n=1 c n z n. Šios Lorano eilutės pirmoji dalis vadinama reguliariąja dalimi, o antroji dalis (turinti teigiamuosius laipsnius) vadinama pagrindine dalimi. Funkcijos f(z) reziduumu be galo nutolusiame taške z = vadinamas Lorano eilutės reguliariosios dalies koeficientas c -1, paimtas su priešingu ženklu: Res z= f z= c 1. 87

88 Tarkime, kad funkcija f(z) yra analizinė visoje kompleksinėje plokštumoje, išskyrus baigtinį skaičių izoliuotųjų ypatingųjų taškų z 1, z 2,..., z n. Parinkime R>0 tokį, kad visi z j < R. Tada, pažymėję L apskritimą z = R, gauname, kad Apeidami kreivę L neigiamąja kryptimi, turime Sudėję formulės, kairėje pusėje gausime nulį. Taigi įrodyta tokia teorema: Jei funkcija f(z) yra analizinė išplėstinėje kompleksinėje plokštumoje, išskyrus baigtinį skaičių izoliuotųjų ypatingųjų taškų z 1, z 2,..., z n, tai visų reziduumų suma lygi nuliui: Reziduumas be galo nutolusiame taške L L -- n j=1 n f zdz=2i j=1 f zdz=2 i Res z = Res z=z j f zres z= Res z =z j f z. f z. f z=0. 88

89 Trigonometrinių reiškinių integravimas Tarkime, kad R(u,v) yra racionalioji funkcija. Realiojo kintamoje integrale 2 0 Rsin t,cos t dt įveskime naują kintamąjį z = e it. Tuomet sin t= eit e it 2i = z z 1 2i, cost= eit e it 2 = zz 1 2, dt= dz i z Kai 0 t 2π, parametrinė lygtis z = e it reiškia apskritumą z = 1. Taigi 2 0 Rsin t,cos tdt= z =1 R z z 1 2 i, zz 1 2 dz i z. 89

90 Racionaliųjų funkcijų netiesioginiai integralai Tarkime, kad P n (x) yra n laipsnio daugianaris su realiaisiais koeficientais, o Q 2m (x) 2m laipsnio daugianaris su realiaisiais koeficientais. Be to, 2m n 2 ir lygties Q 2m (x) = 0 visos šaknys z 1, z 2,..., z 2m turi nenulinę menamąją dalį. Tokių atvejų, kai skaičius z j yra šaknis, jo kompleksinis jungtinis skaičius irgi yra lygties Q 2m (x) = 0 šaknis. Skaičius z j = α j + i β j sunumeruokime taip: z 1 = 1 i 1, z m1 = 1 i 1, 1 0 ; z 2 = 2 i 2, z m2 = 2 i 2, 2 0 ; z m = m i m, z 2m = m i m, m 0. Pažymėkime f(z) = P n (x) / Q 2m (x) ir įrodykime formulę m f x dx=2i j=1 Res z=z j f z. 90

91 Racionaliųjų funkcijų netiesioginiai integralai Parinkime R>0 tokį, kad visi z j < R. Pažymėkime L R apskritimo z = R viršutinę dalį. Tuomet uždaroji kreivė L yra pusapskritimio L R ir atkarpos [-R; R] sąjunga: 91

92 Racionaliųjų funkcijų netiesioginiai integralai Iš pagrindinės reziduumų teoremos gauname: L R f zdz= R f x dx L R n f z dz=2 i j =1 Res f z. z= z j Kai z = R, tai iš sąlygos 2m n 2 gauname, kad egzistuoja tokia C > 0, kad f z C z C 2 m n z = C 2 R. 2 Pritaikome integralo įvertinimo formulę: L R f z dz C R 2 R=C R. Perėję prie ribos, kai R, gauname formulę m f x dx=2 i j=1 Res z=z j f z. 92

93 Tarkime, kad funkcija f(z) yra analizinė pusplokštumėje Im z 0, išskyrus baigtinį ypatingųjų taškų skaičių. Jei L R - apskritimo z = R viršutinė dalis ir lim R Žordano lema M R =lim max f z =0, R z L R tai lim R L R f ze i t z dz=0. Įrodymas. Integrale darome keitinį z =R e iφ. Gauname L R.= 0 f ze i t z dz= 0 f R e i e i t Rcos i sin i R e i d =. f R e i e R t sin e i t Rcos i i R d. 93

94 Pastebėję, kad teisinga nelygybė sin φ 2φ/π, kai 0 φ π/2, įvertiname integralą: L R Žordano lema f z e i t z dz R M R e R t sin d =. 0 2.=2 R M R 0 e R t sin d 2 R M R 0 2 e Rt 2 d =..= 2 R M R Rt 2 e Rt = t M R 1 e t R 0, kai R 0. Lema įrodyta. 94

95 Trigonometrinių funkcijų netiesioginiai integralai Tarkime, kad funkcijai f(z) galioja Žordano lemos sąlygos. Pažymėję L = L R U [-R; R], kai R, gauname lygybę arba L R L m f ze i t z dz=2i j=1 R f ze i t z dz R Res f z e i t z z =z j m f x e i t x dx=2 i j=1 Res f z e i t z ; z =z j čia z 1, z 2,..., z m - funkcijos f(z) ypatingieji taškai, kurių Im z m > 0. Taigi, kai R, ir t > 0, iš Žordano lemos gauname: m f x e i t x dx=2 i j=1 Res f ze i t z. z= z j 95

96 Trigonometrinių funkcijų netiesioginiai integralai Pritaikę Eulerio formulės, gauname dvi lygybes: R m f x costx dx = 2 i j=1 I m f xsin tx dx = 2 i j=1 Res f z e i t z. z =z j Res f z e i t z. z =z j Kai funkcija f(z) yra lyginė, antras integralas lygus nuliui, o pirmą formulę galima užrašyti taip: 0 R m f x costx dx = i j=1 Res f z e i t z. z =z j Kai funkcija f(z) yra nelyginė, gauname formulę 0 I m f xsin tx dx = i j=1 Res f z e i t z. z =z j 96