TIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010
|
|
- Πολυξένη Δεσποτόπουλος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 TIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010
2 Tikimybiu teorija nagrin eja atsitiktinius ivykius ir tu ivykiu tikimybes ivykio pasirodymo galimyb es mat, i²reik²t skai iumi p, 0 p 1; atsitiktinius dydºius ir ju pasiskirstymus; tikimybinius procesus ir t.t.. Ivykio tikimyb es apibr eºimai yra klasikinis; statistikinis; aksiominis.
3 Mes i² pradºiu nagrin esime tik atsitiktinius ivykius ir tu ivykiu tikimybes. Pirmiausia pasteb esime, kad atsitiktiniai ivykiai yra diskretieji ir tolydieji. Kalb esime apie diskre iuosius atsitiktinius ivykius. D estymo schema ²tai tokia: apibr e²ime atsitiktinius elementariuosius ir sud etinius ivykius; apibr e²ime veiksmus su ivykiais; apibr e²ime atsitiktiniu ivykiu tikimybes. 1. ELEMENTARIU JU IVYKIU ERDVE Elementariuju ivykiu erdv es s voka pirmin e. Bet kuri abstrakti aib e Ω gali b uti kurio nors rei²kinio
4 tyrimo bandymais i²davu elementariuju ivykiu erdve, kurios elementai vadinami elementariaisiais ivykiais. Daugelis rei²kiniu tiriami sudarius matematinius modelius ir tiriant atliekamu bandymu rezultatus. Daºniausiai bandymo rezultatai neb una vienareik²mi²ki. Kiekvienas bandymas gali baigtis viena ar kita i²dava, ivykiu. Tod el svarbu sukurti rei²kinio matematini modeli ir nurodyti bandymu elementariuju ivykiu erdv taip, kad bet kuris bandymas baigtusi vienu ar kitu elementariuoju ivykiu ir numatyti ivykio pasirodymo tik etinum. Paprastai tariant, bandymu rezultatu tyrimui reikia parinkti elementariuju ivykiu erdv, atspindin i tyrimu esm, ir nurodyti tu elementariuju ivykiu pasirodymu tikimybes. šinant tai, galima apskai iuoti ir sud etiniu ivykiu tikimybes, nors tai padaryti bendru atveju gali b uti ne taip paprasta.
5 Viena i² esminiu reikalaujamu elementariuju ivykiu savybiu yra ta, kad kiekvieno bandymo metu gali ivykti tik vienas i² elementariuju ivykiu. Paprastumo d elei i² pradºiu nagrin esime tik baigtines arba skai ias elementariuju ivykiu erdves. 1 Apibr eºimas. Aib e yra vadinama skai ia, jei jos elementus galima sunumeruoti nat uraliaisiais skai iais. Pavyzdºiui, nat uraliuju skai iu aib e N, racionaliuju skai iu aib e Q yra skai ios. Tuo tarpu, realiuju skai iu aib e R n era skaiti. Realieji skai- iai sudaro kontinuumo galios aib. Aib es Ω visu poaibiu aib sutarkime ºym eti F(Ω). Aib es F(Ω) elementai (t.y. aib es Ω poaibiai) yra vadinami atsitiktiniais ivykiais. Paprastumo d elei daºniausiai juos vadinsime tiesiog ivykiais.
6 Pavyzdºiui, m etant ºaidymini kauliuk, atsitiktinai atsivertusiu aku iu skai ius galime interpretuoti kaip elementariuosius ivykius. iuo atveju elementariuju ivykiu erdv e yra Ω = {ω 1, ω 2, ω 3, ω 4, ω 5, ω 6 } i aib e turi 64 poaibius. Pavyzdºiui, poaibis {ω 2, ω 4, ω 5 } yra interpretuojamas kaip atsitiktinis ivykis, kad, metus kauliuk, atsivers dvi, keturios ar penkios akut es. Egzistuoja du i²skirtiniai aib es Ω poaibiai: tu²- ias poaibis ir pati aibe Ω. Taigi aibei F(Ω) priklauso tu² ias aib es Ω poaibis, vadinamas neimanomu ivykiu, o pati aibe Ω taip pat priklauso aibei F(Ω), vadinama b utinuoju ivykiu. Kaip matome, kiekvienas atsitiktinis ivykis yra sudarytas i² elementariuju ivykiu.
7 Jei aibe Ω baigtine, tai aibe F(Ω) yra sudaryta i² 2 Ω elementu, ia Ω ºymi elementu skai iu aib eje Ω. Jei elementariuju ivykiu erdv e yra baigtin e arba skaiti, tai atsitiktiniu ivykiu erdv e yra vadinama diskre ia. 2. VEIKSMAI SU IVYKIAIS Tegu Ω elementariuju ivykiu erdve, F(Ω) aib es Ω visu poaibiu aib e, t.y. atsitiktiniu ivykiu erdv e. Veiksmai su atsitiktiniais ivykiais pagristi veiksmais su aib emis. 2 Apibr eºimas (Atsitiktiniu ivykiu sud etis). Tegu A ir B F(Ω). Ivykiu A ir B suma A + B (arba A B) yra vadinamas ivykis, apibr eºiamas kaip aibe, lygi aibiu A ir B s jungai A B. Sakoma, kad ivyko ivykis A + B, jei ivyko bent vienas i² ivykiu A ar B. Pana²iai apibr eºiama ivykiu A 1, A 2,..., A r suma, ia r gali tiek baigtinis, tiek ir. 3 Apibr eºimas (Atsitiktiniu ivykiu daugyba). Tegu A ir B F(Ω). Ivykiu A ir B sandauga A B (arba A B) yra vadinamas ivykis,
8 apibr eºiamas kaip aib e, lygi aibiu A ir B sankirtai A B. Sakoma, kad ivyko ivykis A B, jei ivyko ivykiai A ir B kartu. Pana²iai apibr eºiama ivykiu A 1, A 2,..., A r sandauga, ia r gali tiek baigtinis, tiek ir. 4 Apibr eºimas (Atsitiktiniu ivykiu atimtis). Tegu A ir B F(Ω). Ivykiu A ir B skirtumas A \ B yra vadinamas ivykis, apibr eºiamas kaip aibe, lygi aibiu A ir B skirtumui A\B. Sakoma, kad ivyko ivykis A \ B, jei ivyko ivykis A, bet neivyko ivykis B. 5 Apibr eºimas. Ivykis Ā yra vadinamas prie- ²ingu ivykiu ivykiui A, jei Ā = Ω \ A, kitaip tariant, poaibis Ā yra aib es A papildinys iki aibes Ω. 6 Apibr eºimas. Ivykis A yra vadinamas ivykio B poivykiu ir ºymima A B, jei, ivykus ivykiui A, ivyksta ir ivykis B. Aibiu teorijos terminais aibe A yra aibes B poaibis.
9 7 Apibreºimas. Ivykiai A ir B yra vadinami nesuderinamais, jei A B =. De Morgano desniai. Tegu A j F(Ω), j I. Tuomet teisingos lygyb es: j I A j = j I Ā j ; j I A j = j I Ā j. 1. j I A j = j I Ā j ; 2. j I A j = j I Ā j. 3. IVYKIU KLASIKIN ES TIKIMYB ES
10 Tegu elementariuju ivykiu erdv e Ω yra baigtin e, pavyzdºiui, Ω = {E 1, E 2,..., E n }. Tarkime, kad kiekvieno elementaraus ivykio galimyb e b uti bandymo rezultatu lygiai galima. Kiekvienam elementariajam ivykiui galime priskirti tikimyb p(e j ) = 1 n, 1 j n. Jei atsitiktinis ivykis A yra sudarytas i² kuriu nors r elementariuju ivykiu, tai ivykio A tikimyb apibr eºkime lygybe p(a) = r n. Kaip matome, klasikinis ivykio tikimyb es apibr eºimas pagristas palankiu atveju ir visu galimu atveju santykiui. Panagrin ekime pavyzdºius.
11 8 Pavyzdys. šaidyminis kauliukas metamas du kartus. Kokia tikimyb e, kad atsivertusiu aku iu skai iu suma dali i² 5? Sprendimas. Elementariuju ivykiu aib e Ω = {(i, j), 1 i, j 6}, sudaryta i² visu sutvarkytu skai iu poru (i, j), ia i, j nepriklausomai igyja reik²mes nuo 1 iki 6. Tokiu sutvarkytu poru i² viso yra 36. Palankius atvejus sudaro tokios sutvarkytu skai- iu poros (i, j), kad i+j dalijasi i² 5. I²ra²ykime tokias poras: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (4, 6), (5, 5), (6, 4). Palankiu atveju yra 7. Ie²koma tikimyb e yra lygi 7 36.
12 9 Pavyzdys. Atsitiktinai lentynoje i²d eliojama 50 knygu, tarp kuriu yra vieno autoriaus trys tomai. Kokia tikimyb e, kad tie trys tomai i²delioti i² kaires i de²in didejan ia tvarka, bet neb utinai vienas ²alia kito? Sprendimas. I²d elioti 50 knygu lentynoje galima 10! b udu. Taigi visu elementariu ivykiu skai ius yra lygus 50!. Kiek yra palankiu atveju? Nesunku suvokti, kad palankiu atveju yra 6 kartus maºiau. Ie²koma tikimyb e yra lygi Pavyzdys. Pabandykite i²spr sti toki uºdavini. Atsitiktinai lentynoje i²d eliojama 50 knygu, tarp kuriu yra vieno autoriaus trys tomai. Kokia tikimyb e, kad tie trys tomai i²d elioti i² kair es i de²in did ejan ia tvarka vienas ²alia kito? Uºdavinys. Auditorijos vienoje eil eje yra N k edºiu. Atsitiktinai i ²ias k edes atsis es n studentu. Raskite tikimyb, kad
13 jokie du studentai nes ed es ²alia vienas kito; ²alia kiekvieno studento s ed es tik vienas kaimynas. 4. KOMBINATORIKOS FORMULES Gretiniu be pasikartojimu i² n po r formule A r n = n(n 1)(n 2) (n r + 1). Kaip gaunama ²i formul e? Tarkime, kad ab eceleje yra n raidºiu. Sutarkime bet kuri r skirtingu raidºiu uºra² pavadinti r ilgio ºodºiu. Du ºodºiai pagal apibr eºim yra lyg us, jei ju uºra²ai paraidºiui sutampa. Klausimas: kiek skirtingu r ilgio ºodºiu galite sudaryti? Atsakymas: A r n = n(n 1)(n 2) (n r + 1).
14 I² tikruju, pirm j raid galite i²rinkti n b udu, antr j, nepriklausomai nuo i²rinktos pirmos raid es, galite i²rinti n 1 b udu ir t.t., o r-t j raid, nepriklausomai nuo anks iau i²rinktu raidºiu, galite i²rinti n r + 1 b udu. Galima ir kitokia interpretacija. Tarkime, kad jums i² n skirtingu objektu reikia i²-rinkti r objektu. Keliais b udais tai galite padaryti, jei r objektu rinkiniai sudaryti i² tu pa iu objektu, bet i²rinktu skirtinga tvarka, laikomi skirtingais? Gretiniu su pasikartojimais i² n po r formule n r. Kaip gaunama ²i formul e? Tarkime, kad ab eceleje yra n raidºiu. Sutarkime bet kuri r raidºiu uºra², kuriame raid es gali ir pasikartoti,
15 pavadinti r ilgio ºodºiu. Du ºodºiai pagal apibr eºim yra lyg us, jei ju uºra²ai paraidºiui sutampa. Klausimas: kiek skirtingu r ilgio ºodºiu galite sudaryti? Atsakymas: n r. Deriniu be pasikartojimu i² n po r formule C r n = C n r n = n! r!(n r)! = ( n ) = ( n ). r n r Kaip gaunama ²i formul e? Tarkime, kad ab eceleje yra n raidºiu. Sutarkime bet kuri r skirtingu raidºiu uºra² pavadinti r ilgio ºodºiu. Du ºodºiai pagal apibr eºim yra lyg us, jei ju uºra²ai sudaryti i² tu pa iu raidºiu, neatsiºvelgiant i tu raidºiu sura²yt tvark. Klausimas: kiek skirtingu r ilgio ºodºiu galite sudaryti? Atsakymas: A r n r! = n(n 1) (n r + 1) r! =
16 n(n 1) (n r + 1) (n r)! r!(n r)! = ( n). r Galima ir kitokia interpretacija. Sakykime, aib e sudaryta i² n elementu. Klausimas: kiek ²ioje aib eje yra poaibiu, sudarytu i² r elementu? Atsakymas: C r n = Cn r n = ( n r ) = ( n n! r!(n r)! = n r ). Deriniai su pasikartojimais ir lygtis x 1 + x x n = r Dabar galime paklausti, o kiek yra deriniu su pasikartojimais i² n elementu po r elementu? Uºra²ykime ºodi i² r raidºiu a j1 a j2... a jr,
17 kuriame raid es gali ir pasikartoti, ir raidºiu tvarka nesvarbi. Tegu x j lygus raides a j, 1 j n, uºra²ytame ºodyje, skai iui. Tuomet uºra- ²ytam ºodºiui galime priskirti lygties sprendini x 1 + x x n = r (x 1, x 2,..., x n ) sveikais neneigiamais skai iais. Ir atvirk² iai: kiekvienam uºra²ytos lygties sprendiniui (x 1, x 2,..., x n ) sveikais neneigiamais skai iais galime priskirti ºodi i² r raidºiu, kuriame raidºiu tvarka nesvarbi. Norint atsakyti i suformuluot klausim, kiek yra deriniu su pasikartojimais i² n elementu po r elementu, reikia i²siai²kinti, kiek uºra²ytoji lygtis turi sprendiniu sveikais neneigiamais skai iais.
18 11 Teiginys. Lygties x 1 + x x n = r sprendiniu skai ius sveikais neneigiamais skai- iais lygus C r n+r 1 = Cn 1 n+r 1 = ( n + r 1) ( n + r 1 = r n 1 Tuo tarpu, sprendiniu skai ius sveikais teigiamais skai iais lygus C n 1 r 1 = ( r 1 n 1 Irodysime. Tarp n + 1 br uk²neliu, sura²ytu i eilut, yra n tarpu: ). }... {{. } n+1 I tuos tarpus reikia i²d elioti r rutuliuku. Tuos rutuliukus i²d elioj bet kaip, tarp i²oriniu kr uk²neliu gauname n + r 1 simboliu, sudarytu i² ).
19 r rutuliuku ir n 1 br uk²neliu. Bet kuris tu simboliu i²sid estymas tarp i²oriniu br uk²neliu atitinka lygties x 1 + x x n = r C r n+r 1 = Cn 1 n+r 1 = = ( n + r 1) ( n + r 1) = r n 1 b udu. Be to, lengva suvokti, kiek lygtis turi sprendiniu (x 1, x 2,..., x n ), sprendini sveikais neneigiamais skai iais (ir atvirk² iai). Akivaizdu, kad r rutuliuku pad eti tarp n + r 1 simboliu galima keisti kuriu komponent es grieºtai teigiamos. Kiekvien toki sprendini atitinka rutuliuku ir br uk²neliu toks i²sid estymas, kad tarp dvieju rutuliuku b utinai turi b uti tik vienas br uk²nelis. Tarp rutuliuku yra r 1 tarpu, o vidiniu br uk²neliu
20 yra n 1. Tuos br uk²nelius i rutuliuku tarpus galima i²d elioti b udu. C n 1 r 1 = ( r 1 n 1 ) Gavome deriniu su pasikartojimais i² n po r formul C r n+r 1 = Cn 1 n+r 1 = = ( n + r 1) ( n + r 1 = r n 1 ). K eliniu be pasikartojimu formul e. n skirtingu objektu visu perstatiniu skai ius yra lygus A n n = n! = 1 2 n. K eliniu su pasikartojimais formul e. Tarkime,kad nagrinejame objektus, tarp kuriu yra n 1 objektu, turin iu α r savyb, n 2, turin iu α r savyb
21 ir t.t., n r objektu, turin iu α r savyb. Tuomet ²iu objektu visu perstatiniu skai ius yra lygus (n 1 + n n r ) n 1!n 2! n r! 12 Pavyzdys. Pavyzdºiu pailiustruosime deriniu su pasikartojimais taikym. Tarkime metame n neatskiriamu ºaidyminiu kauliuku. Rasime visu galimu atsivertusiu aku iu kong uraciju skai iu. Tegu x j ºymi atsivertusiu j aku iu skai iu, 1 j 6. Tuomet galime uºra²yti lygti x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = n. Kaip ºinome, ²i lygtis sveikais neneigiamais skai- iais turi C 5 n+5 = ( n + 5) 5 sprendiniu. Tai ir yra atsakymas.
22 Uºra²ysime svarbi formul. Ivykiu sumos tikimyb e. Tegu ivykiai, A 1, A 2,..., A n, p(a 1 ), p(a 2 ),..., p(a n ), ²iu ivykiu tikimyb es. Tuomet teisinga formule n p(a 1 A 2 A n ) = p(a j ) j 1 <j 2 p(a j1 A j2 )+ j 1 <j 2 <j 3 p(a j1 A j2 A j3 ) +( 1) n p(a 1 A 2 A n ). 5. BEGALIN ES EILUT ES
23 Prie² prad edami kalb eti apie bendras tikimybes, susipaºinkime su eilu iu sumomis. Baigtin e skai iu suma uºra²oma kaip p 1 + p p n, n p j, suprantama ir nekelia klausimu. Tarsime kelet ºodºiu apie sumos ºymejim. n p j ºymi sum p 1 +p 2 + +p n. šymenys po ir vir² sumos ºenklu nurodo sumavimo indeksui j suteikiamas sveikuju skai iu rei²mes nuo 1 iki n. Sumuojamu demenu p j indeksui j suteikiamos ²ios reik²mes nuo 1 iki n ir ²ie demenys susumuojami. Pavyzdºiui, n j = n = n(n + 1). 2 Tarkime, nagrin ejame begalin skai iu sek p 1, p 2,..., p n,...
24 Galime sudaryti ²ios begalin es sekos formali sum p 1 + p p n + = p j, vadinam begaline eilute. Bet kyla klausimas, kaip suprasti ²ios sekos nariu ²i formali begalin sum? Ar galima begalin es eilut es sumai suteikti prasm? Taip, galima suteikti ²iai sumai prasm. Pirmiausia nagrin ekime ²ios begalin es eilut es dalines sumas S n = n p j. Dalines sumos turi prasm ir ²ios dalines sumos S n, n 1, sudaro sek S 1, S 2,..., S n, Apibr eºimas. Begalin es eilut es p 1 + p p n +...
25 daliniu sumu sekos {S n } n N riba lim S n n, jei ji tik egzistuoja, ir yra vadinama begalin es eilut es p j suma, t.y. p j = lim n ( n p j ) = lim n S n. Jei begalines eilutes p j suma yra baigtine, tai yra sakoma, kad begaline eilute konverguoja. Prie²ingu atveju yra sakoma, kad begalin e eilut e diverguoja. 14 Pavyzdys. Harmonine elute. Eilute 1 j = n +... yra vadinama harmonine. Tai klasikinis diverguojan ios eilut es pavyzdys. 15 Pavyzdys. Tegu 1 + q + q q n +..., q < 1, be galo maº ejan ios begalin es geometrin es progresijos nariu suma. Kaip ºinote, ²i suma yra
26 lygi 1 1 q. Be galo maº ejan ios begalin es geometrin es progresijos nariu dalin e suma 1 + q + q q n = 1 qn+1. 1 q Kadangi q < 1, tai lim q n = 0. Taigi n q j = lim n 1 q n+1 1 q = 1 1 q. 16 Pavyzdys. Nagrin ekime begalin eilut 1 j(j + 1). ios begalines eilutes daline suma n 1 j(j + 1) = n ( 1 j 1 ) j + 1 = 1 1 n + 1.
27 Taigi ( 1 j(j + 1) = n lim 1 1 ) n + 1 = Pavyzdys. I²siai²kinkime, kokia reik²m e suteikiama begalinei eilutei j=0 ( 1) j 1 2j + 1 = Irodysime, kad ²ios begalin es eilut es suma yra lygi π 4. Kaip ºinome, d dx arctg(x) = x 2. Tar, kad x < 1, pastar j funkcij galime i²skleisti begaline laipsnine eilute x 2 = j=0 ( 1) j x 2j, x < 1. Suintegrav abi puses, gauname arctg(x) = j=0 ( 1) j x2j+1 2j + 1.
28 Perej prie ribos, kai x arteja i 1, gauname j=0 ( 1) j 1 2j + 1 = arctg(1) = π Pastaba. Pabr e²ime begaliniu eilu iu, kuriu d emenys neneigiami skai iai, vien labai svarbi savyb. Jei begalin e eilut e, kurios d emenys neneigiami, konverguoja, tai konverguoja ir bet kuri begalin e eilut e, sudaryta i² pradin es eilut es bet kuriu d emenu. 6. IVYKIU TIKIMYB ES Tegu Ω elementariuju ivykiu baigtin e arba skaiti erdve, F(Ω) aibes Ω visu poaibiu aibe, t.y. atsitiktiniu ivykiu erdv e. Tarkime, kad Ω = {E j j I}, I N.
29 19 Apibr eºimas. Neneigiama funkcija pasiºyminti savyb emis: p : F(Ω) [0, 1], 0 p(a) 1, A F(Ω); p( ) = 0, p(ω) = 1; A B p(a) p(b), A, B F(Ω); p( A j) = p(a j ), A j bet kuriems i j, A i A j =, F(Ω), jei yra vadinama tikimybe. Skai ius p(a), A F(Ω), yra vadinamas atsitiktinio ivykio A tikimybe.
30 20 Pastaba. Norint apibr eºti tikimyb es funkcij tuo atveju, kai elementariuju ivykiu erdv e Ω yra baigtin e arba skaiti, pakanka kiekvienam elementariajam ivykiui priskirti neneigiam skai iu taip, kad tu skai iu suma pagal visus elementariuosius ivykius b utu lygi 1. Tuomet kiekvieno atsitiktinio ivykio tikimyb e yra lygi elementariuju ivykiu, sudaran iu atsitiktini ivyki, tikimybiu sumai. Tai galima uºra²yti ir matematiniais simboliais. Tegu Ω = {E j j I N}, ia I baigtine arba skaiti aibe. Tegu elementariuju ivykiu tikimyb es tenkina s lyg p(e j ), j I, j I p(e j ) = 1. Tuomet, jei atsitiktinis ivykis A F(Ω) i²rei²kiamas elementariaisiais ivykiais taip A = j J E j, J I,
31 tai p(a) = j J p(e j ). Ivykiu sumos tikimybe. Tegu A 1, A 2,..., A n, ivykiai, p(a 1 ), p(a 2 ),..., p(a n ), ²iu ivykiu tikimybes. Tuomet teisinga formul e n p(a 1 A 2 A n ) = p(a j ) j 1 <j 2 p(a j1 A j2 )+ j 1 <j 2 <j 3 p(a j1 A j2 A j3 ) +( 1) n p(a 1 A 2 A n ). 21 Pavyzdys. Tegu Ω = {E j j N}, ia N nat uraliuju skai iu aib e, p(e j ) = 1 j(j + 1), j N.
32 Mes ºinome, kad ( 1 j(j + 1) = n lim 1 1 ) n + 1 = 1. Tegu ivykis A F(Ω) i²rei²kiamas elementariaisiais ivykiais taip Tuomet A = E 1 + E E 2n p(a) = = ( 1) j 11 j. Ar idomu, kam ²i suma yra lygi? Atsakymas: ln S LYGIN ES TIKIMYB ES IR NEPRIKLAUSOMI IVYKIAI 22 Apibr eºimas. S lygin e ivykio A tikimyb e p(a B), ivykus ivykiui B, apibr eºiama lygybe p(a B) = p(a B), p(b)
33 jei tik p(b) 0. i lygyb perra²ykime ir taip: p(a B) p(b) = p(a B). 23 Apibr eºimas. Ivykiai A ir B yra vadinami nepriklausomais, jei s lygin e tikimyb e p(a B) = p(a). Jei Ivykiai A ir B yra nepriklausomi, tai p(a B) = p(a) p(b). I² tikruju: p(a B) = p(a B) p(b) = p(a) p(b). Pilnos tikimyb es formul e. Tarkime, kad ivykiai B 1, B 2,..., B n
34 tokie, kad poromis nesuderinami, t.y. bet kuriems i j, o ju suma B i B j =, B 1 B 2 B n = Ω yra b utinasis ivykis. Tuomet bet kuriam ivykiui A teisinga formul e p(a) = n p(a B j ) p(b j ). Bajeso formul e. Pasinaudoj pilnos tikimyb es formule, galima i²reik²ti s lygin tikimyb p(b j A) = n p(a B j ), 1 j n. p(a B j ) p(b j ) Nagrin esime pavyzdºius.
35 24 Pavyzdys. Uºdavinys. I² skai iu 0, 1, 2,..., 10 n 1 atsitiktinai i²renkamas skai ius. Raskite tikimyb, kad i²rinktas skai ius yra r-ºenklis. Skai- ius yra vadinamas r-ºenkliu, jei jis uºra²omas de²imtain eje sistemoje pavidalu α r 10 r 1 + α r 1 10 r α α 1, 1 α r 9, 0 α j 9, 1 j r 2. Sprendimas. r-ºenkliu skai iu yra 9 10 r 1. Ie²koma tikimybe lygi 9 10 r 1 n. 25 Pavyzdys. Uºdavinys. I² skai iu 0, 1, 2,..., 10 n 1 atsitiktinai su gr ºinimu i²renkami du skai iai ξ ir η. Raskite tikimybes p n r+1, 0 r n, kad i²rinktu skai iu suma ξ+η b utu n r+1-ºenkliu skai iumi.
36 Sprendimas. Jei skai iu suma ξ +η yra n r + 1-ºenklis skai ius, tai ²i suma tenkina nelygyb 10 n r ξ + η < 10 n r+1. M usu tikslas suskai iuoti, kiek yra sutvarkytu skai iu poru (ξ, η), tenkinan iu s lygas { 0 ξ, η 10 n 1, 10 n r ξ + η < 10 n r+1, atskirai kiekvienam r, 0 r n. Pirmiausia i²nagrin ekime atveji r = 0. Maºiausias n + 1-ºenklis skai ius yra 10 n. Kadangi 0 ξ, η 10 n 1, tai 1 maºiausia reik²me, kuri gali igyti ξ. iuo atveju η gali igyti tik vien reik²m 10 n 1. Jei ξ igyja reik²m 2, tai η gali igyti tik dvi reik²mes ir t.t. Jei ξ igyja didºiausi galim reik²m 10 n 1, tai η gali igyti reik²mes nuo 1 iki 10 n 1, t.y. 10 n 1 reik²miu. Tokiu sutvarkytu skai iu poru (ξ, η),
37 kad ξ + η b utu n + 1-ºenkliu skai iumi, skai ius lygus sumai 10 n 1 iuo atveju tikimyb e j = 10n (10 n 1). 2 p n+1 = 10n (10 n 1) n = n. Dabar nagrin esime atvejus, kai r igyja reik²mes nuo 1 iki n. iuo atveju, jei ξ igyja reik²mes nuo 0 iki 10 n r, tai i² nelygybes 10 n r ξ + η < 10 n r+1 tai η igyja reik²mes nuo 10 n r ξ iki 10 n r+1 ξ 1, t.y. 10 n r+1 10 n r = 9 10 n r reik²miu. Jei 10 n r + 1 ξ < 10 n r+1, tai η gali igyti reik²mes nuo 0 iki 10 n r+1 ξ 1, t.y. 10 n r+1 ξ reik²miu. Tokiu sutvarkytu skai iu
38 poru (ξ, η), kad ξ + η b utu n r + 1-ºenkliu skai iumi, skai ius lygus sumai (10 n r +1) 9 10 n r + 10 n r n r +1 (10 n r+1 ξ) = (10 n r +1) 9 10 n r + (9 10n r 1) 9 10 n r 2 = n 2r n r. 2 iais atvejais, kai 1 r n, ie²komos tikimybes p n r+1 = n 2r n r n = r n+r. 26 Pavyzdys. Uºdavinys. I² skai iu 1, 2,..., n atsitiktinai be sugr ºinimo i²renkami du skai- iai ξ 1 ir ξ 2. Raskite tikimyb p(ξ 1 < ξ 2 ). Sprendimas. Kadangi atsitiktinai be sugr ºinimo i²renkami du skai iai ξ 1 ir ξ 2, tai atvejai
39 ξ 1 < ξ 2 ir ξ 1 > ξ 2 yra lygiaver iai. ie²koma tikimybe lygi 1 2. Vadinasi, 2 Sprendimas. Pasinaudosime klasikin es tikimybes apibreºimu. Du skai ius ξ 1 ir ξ 2 galima i²rinkti n(n 1) b udu. is skai ius yra lygus visu galimu atveju skai iui. I²siai²kinsime, keliais b udais galima i²rinkti du skai ius ξ 1 ir ξ 2, tenkinan ius s lyg ξ 1 < ξ 2. Skai ius ξ 1 gali igyti reik²mes nuo 1 iki n 1. Jei ξ 1 = j, tai ξ 2 gali igyti n j reik²miu nuo j + 1 iki n. Palankiu atveju skai ius yra lygus sumai n 1 (n j) = Ie²koma tikimyb e lygi n(n 1). 2 n(n 1) 2n(n 1) = Pavyzdys. Uºdavinys. Kaip ir praeitame uºdavinyje, i² skai iu 1, 2,..., n atsitiktinai be
40 sugr ºinimo i²renkami trys skai iai ξ 1, ξ 2 ir ξ 3. Raskite tikimyb p(ξ 1 < ξ 2 < ξ 3 ). Sprendimas. Triju atsitiktinai be sugr ºinimo i²rinktu skai iu ξ 1, ξ 2 ir ξ 3 visi i²destymai pagal didum atvejai lygiaver iai. Vadinasi, ie²koma tikimybe lygi Sprendimas. Tris skai ius ξ 1, ξ 2 ir ξ 3 galima i²rinkti n(n 1)(n 2) b udu. Suskai iuosime palankius atvejus. Jei ξ 1 = i, ξ 2 = j, i < j, tai ξ 3 gali igyti n j reik²miu nuo j + 1 iki n. Palankiu atveju skai ius yra lygus sumai n 2 i=1 n 1 j=i+1 (n j) = n 2 i=1 (n i)(n i 1) 2 = 1 2 n 2 i=1 ((n i) 2 (n i)).
41 Pasinaudoj lygybe n gauname, kad j 2 = n(n + 1)(2n + 1), 6 n 2 i=1 (n i) 2 = (n 1)n(2n 1) 6 1, Galutinai n 2 i=1 (n i) = (n + 1)(n 2) n 2 i=1 ((n i) 2 (n i)) = n(n 1)(n 2). 6 Ie²koma tikimybe lygi Pavyzdys. Pailiustruosime pavyzdºiu ivykiu sumos tikimyb es formul es taikym. Uºdavinys. Atsitiktinai vienas po kito traukiami trys sunumeruoti skai iais 1, 2, 3, bilietai. Rasti tikimyb, kad bent vieno bilieto numeris
42 sutaps traukiant su eil es numeriu, jei tikimyb es i²traukti bet kuri biliet lygiavert es. Sprendimas. Paºymekime A j ivyki, kad i² eil es j- ji kart traukiant biliet, i²traukto bilieto numeris lygus j, 1 j 3. M usu tikslas rasti ivykio A 1 A 2 A 3 tikimyb. Ie²komai tikimybei rasti pasinaudosime formule P (A 1 A 2 A 3 ) = p(a 1 ) + p(a 2 ) + p(a 3 ) p(a 1 A 2 ) p(a 1 A 3 ) p(a 2 A 3 )+ Akivaizdu, kad +P (A 1 A 2 A 3 ). p(a 1 ) = p(a 2 ) = p(a 3 ) = 1 3, p(a 1 A 2 ) = p(a 1 A 3 ) = p(a 2 A 3 ) = 1 6,
43 P (A 1 A 2 A 3 ) = 1 6. Pagaliau ie²koma tikimyb e yra lygi P (A 1 A 2 A 3 ) = = Pavyzdys. Pailiustruosime pavyzdºiu pilnos tikimyb es formul es taikym. Uºdavinys. Vienoje deºeje yra 5 balti ir 3 juodi rutuliai, o kitoje deºeje yra 6 balti ir 4 juodi rutuliai. I² kiekvienos d eº es atsitiktinai i²traukiama po vien rutuli. Lik d eº ese rutuliai sudedami i tre i d eº ir sumai²omi. Raskime tikimyb i² tre ios d eº es i²traukti balt rutuli. Sprendimas. Paºymekime B 1 ivyki i² pirmos deºes i²traukti balt rutuli, o J 1 i² pirmos deºes i²traukti juod rutuli. Tegu B 2 ºymi ivyki i² antros deºes i²traukti balt rutuli, o J 2 i² antros d eº es i²traukti juod rutuli. Tegu C ºymi ivyki i² tre ios d eº es i²traukti balt rutuli.
44 Tuomet, remdamiesi pilnos tikimyb es formule, galime uºra²yti p(c) = p(c B 1 B 2 ) p(b 1 ) p(b 2 )+ p(c B 1 J 2 ) p(b 1 ) p(j 2 )+ p(c J 1 B 2 ) p(j 1 ) p(b 2 )+ p(c J 1 J 2 ) p(j 1 ) p(j 2 ). Nesunku suvokti, kad p(c B 1 B 2 ) = 9 16, p(b 1) = 5 8, p(b 2) = 6 10, p(c B 1 J 2 ) = 10 16, p(b 1) = 5 8, p(j 2) = 4 10, p(c J 1 B 2 ) = 10 16, p(j 1) = 3 8, p(b 2) = 6 10, p(c J 1 J 2 ) = 11 16, p(j 1) = 3 8, p(j 2) = Ie²koma tikimyb e lygi p(c) =
45 = Pavyzdys. Hipergeometrin es tikimyb es pavyzdys. Uºdavinys. Deºeje yra N 1 ºaliu ir N 2 geltonu rutuliu. Raskite tikimyb, kad tarp atsitiktinai n i²trauktu rutuliu yra m ºaliu. Sprendimas. m ºaliu rutuliu galima i²traukti ( N1 m ) b udu. n m geltonu rutuliu galima i²traukti ( N 2 yra n m ) b udu. Vadinasi, palankiu atveju ( N ) ( 1 N ) 2. m n m rutuliu galima i²traukti n rutuliu ) i² N 1 + N 2 b udu. Ie²koma tikimybe lygi ( N1 +N 2 n ( N1 ) ( ) m N2 n m ( ) N1. +N 2 n
Matematika 1 4 dalis
Matematika 1 4 dalis Analizinės geometrijos elementai. Tiesės plokštumoje lygtis (bendroji, kryptinė,...). Taško atstumas nuo tiesės. Kampas tarp dviejų tiesių. Plokščiosios kreivės lygtis Plokščiosios
Διαβάστε περισσότεραX galioja nelygyb f ( x1) f ( x2)
Monotonin s funkcijos Tegul turime funkciją f : A R, A R. Apibr žimas. Funkcija y = f ( x) vadinama monotoniškai did jančia (maž jančia) aib je X A, jei x1< x2 iš X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) ( f
Διαβάστε περισσότεραVilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas. Algirdas Ma iulis. Duomenu tyrimas. Paskaitu konspektas
Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Algirdas Ma iulis Duomenu tyrimas Paskaitu konspektas 2011 Turinys Ivadas 5 1 Pagrindines tikimybiu teorijos ir informacijos teorijos s vokos
Διαβάστε περισσότερα1 TIES ES IR PLOK TUMOS
G E O M E T R I J A Gediminas STEPANAUSKAS 1 TIES ES IR PLOK TUMOS 11 Plok²tumos ir ties es plok²tumoje normalin es lygtys 111 Vektorin e forma Plok²tumos α padetis koordina iu sistemos Oxyz atºvilgiu
Διαβάστε περισσότεραVilniaus universitetas. Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS
Vilniaus universitetas Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS Vilnius 1992 T U R I N Y S 1. Vektorinė erdvė............................................. 3 2. Matricos rangas.............................................
Διαβάστε περισσότεραDviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės
Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės Dalinės išvestinės Tarkime, kad dviejų kintamųjų funkcija (, )yra apibrėžta srityje, o taškas 0 ( 0, 0 )yra vidinis srities taškas. Jei fiksuosime argumento
Διαβάστε περισσότεραTemos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas
Pirmasis uždavinys Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas Uždavinio formulavimas a) Žinoma n = 50 tiriamo
Διαβάστε περισσότεραMatematinės analizės konspektai
Matematinės analizės konspektai (be įrodymų) Marius Gedminas pagal V. Mackevičiaus paskaitas 998 m. rudens semestras (I kursas) Realieji skaičiai Apibrėžimas. Uždarųjų intervalų seka [a n, b n ], n =,
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARIOJI TEORIJA
ELEMENTARIOJI TEORIJA Pirmosios kombinatorikos þinios siekia senàsias Rytø ðalis, kuriose mokëta suskaièiuoti këlinius bei derinius ir sudarinëti magiðkuosius kvadratus, ypaè populiarius viduramþiais.
Διαβάστε περισσότερα2015 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija. I dalis
PATVIRTINTA Ncionlinio egzminų centro direktorius 0 m. birželio d. įskymu Nr. (..)-V-7 0 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pgrindinė sesij I dlis Užd. Nr. 4 7
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 3 dalis
Matematika 1 3 dalis Vektorių algebros elementai. Vektorių veiksmai. Vektorių skaliarinės, vektorinės ir mišriosios sandaugos ir jų savybės. Vektoriai Vektoriumi vadinama kryptinė atkarpa. Jei taškas A
Διαβάστε περισσότεραI dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI ATSAKYMAI
008 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija Kiekvieno I dalies klausimo teisingas atsakymas vertinamas tašku. I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI
Διαβάστε περισσότεραATSITIKTINIAI PROCESAI. Alfredas Račkauskas. (paskaitų konspektas 2014[1] )
ATSITIKTINIAI PROCESAI (paskaitų konspektas 2014[1] ) Alfredas Račkauskas Vilniaus universitetas Matematikos ir Informatikos fakultetas Ekonometrinės analizės katedra Vilnius, 2014 Iš dalies rėmė Projektas
Διαβάστε περισσότεραVIII. FRAKTALINĖ DIMENSIJA. 8.1 Fraktalinės dimensijos samprata. Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis?
VIII FRAKTALINĖ DIMENSIJA 81 Fraktalinės dimensijos samprata Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis? Tarkime, kad duota atkarpa, kurios ilgis lygus 1 Padalykime šia atkarpa n lygiu daliu Akivaizdu, kad kiekvienos
Διαβάστε περισσότεραElektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose
lktroų ir skylučių statistika puslaidiikiuos Laisvų laidumo lktroų gracija, t.y. lktroų prėjimas į laidumo juostą, gali vykti kaip iš dooriių lygmų, taip ir iš valtiės juostos. Gracijos procsas visuomt
Διαβάστε περισσότεραeksponentinės generuojančios funkcijos 9. Grafu
DISKREČIOJI MATEMATIKA (2 semestras) KOMBINATORIKOS IR GRAFU TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA I KOMBINATORIKA 1 Matematinės indukcijos ir Dirichlė principai 2 Dauginimo taisyklė,,skaičiuok dukart principas
Διαβάστε περισσότεραMatematinės analizės egzamino klausimai MIF 1 kursas, Bioinformatika, 1 semestras,
MIF kurss, Bioinformtik, semestrs, 29 6 Tolydžios tške ir intervle funkciju pibrėžimi Teorem Jei f C[, ], f() = A , ti egzistuoj toks c [, ], kd f(c) = 2 Konverguojnčios ir diverguojnčios eikutės
Διαβάστε περισσότεραDISKREČIOJI MATEMATIKA
VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS INFORMATIKOS KATEDRA Valdas Diči ūnas Gintaras Skersys DISKREČIOJI MATEMATIKA Mokymo priemonė Vilnius 2003 Įvadas Išvertus iš lotynu kalbos
Διαβάστε περισσότεραAIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS
AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS Aibės sąvoka ir pavyzdžiai Atskirų objektų rinkiniai, grupės, sistemos, kompleksai matematikoje vadinami aibėmis. Šie atskiri objektai vadinami aibės elementais. Kai elementas
Διαβάστε περισσότερα1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai yra studentai galima išreikšti formule. 2 Ta pati teigini galima užrašyti ir taip. 3 Formulė U&B C reiškia, kad
45 DISKREČIOJI MATEMATIKA. LOGIKA. PAVYZDŽIAI Raidėmis U, B ir C pažymėti teiginiai: U = Vitas yra studentas ; B = Skirmantas yra studentas ; C = Jonas yra studentas. 1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga
VII DAUGELIO KINTAMU JU FUNKCIJOS 71 Bendrosios sa vokos Iki šiol mes nagrinėjome funkcijas, apibrėžtas realiu skaičiu aibėje Nagrinėsime funkcijas, kurios apibrėžtos vektorinėse erdvėse Tarkime, kad R
Διαβάστε περισσότεραLIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA
LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA tema. APSKRITIMŲ GEOMETRIJA (00 0) Teorinę medžiagą parengė bei antrąją užduotį sudarė Vilniaus pedagoginio universiteto docentas Edmundas Mazėtis. Apskritimas tai
Διαβάστε περισσότεραKLASIKIN E MECHANIKA
KLASIKIN E MECHANIKA Algirdas MATULIS Puslaidininkiu zikos institutas Vadoveliu serijos papildymas auk²tuju mokyklu tiksliuju mokslu specialybiu studentams Email: amatulis@takas.lt Mob.: +370 654 543 06
Διαβάστε περισσότερα1 Įvadas Neišspręstos problemos Dalumas Dalyba su liekana Dalumo požymiai... 3
Skaičių teorija paskaitų konspektas Paulius Šarka, Jonas Šiurys 1 Įvadas 1 1.1 Neišspręstos problemos.............................. 1 2 Dalumas 2 2.1 Dalyba su liekana.................................
Διαβάστε περισσότεραLaboratorinis darbas Nr. 2
M A T E M A T I N Ė S T A T I S T I K A Laboratorinis darbas Nr. 2 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2005 m. spalio 23 d. Reziumė Antras laboratorinis darbas skirtas išmokti generuoti tikimybinių skirstinių
Διαβάστε περισσότεραTEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA
DISKREČIOJI MATEMATIKA (2 semestras) KOMBINATORIKOS IR GRAFU TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA I KOMBINATORIKA 1 Matematinės inducijos principas 2 Dauginimo taisylė 3 Gretiniai, ėliniai ir deriniai 4 Kartotiniai
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmai. Vytautas Kazakevičius
Algoritmai Vytautas Kazakevičius September 2, 27 2 Turinys Baigtiniai automatai 5. DBA.................................. 5.. Abėcėlė............................ 5..2 Automatai..........................
Διαβάστε περισσότεραMatematinis modeliavimas
ALGIRDAS AMBRAZEVIƒIUS Matematinis modeliavimas Vilniaus universitetas 2006 2 TURINYS 1 SKYRIUS PAPRASƒIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI 4 11 Pagrindines s vokos 4 12 Fundamentaliu gamtos desniu taikymas 10
Διαβάστε περισσότεραĮžanginių paskaitų medžiaga iš knygos
MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 1 Teiginio
Διαβάστε περισσότεραIV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam,
41 Funkcijos riba IV FUNKCIJOS RIBA Taško x X aplinka vadiname bet koki atvira intervala, kuriam priklauso taškas x Taško x 0, 2t ilgio aplinka žymėsime tokiu būdu: V t (x 0 ) = ([x 0 t, x 0 + t) Sakykime,
Διαβάστε περισσότεραSpalvos. Šviesa. Šviesos savybės. Grafika ir vizualizavimas. Spalvos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, Spalvos 1
Spalvos Grafika ir vizualizavimas Spalvos Šviesa Spalvos Spalvų modeliai Gama koregavimas Šviesa Šviesos savybės Vandens bangos Vaizdas iš šono Vaizdas iš viršaus Vaizdas erdvėje Šviesos bangos Šviesa
Διαβάστε περισσότεραMATEMATINĖ LOGIKA. Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos
MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 Teiginio
Διαβάστε περισσότεραMONTE KARLO METODAS. Gediminas Stepanauskas IVADAS Sistemos Modeliai Modeliavimas ir Monte-Karlo metodas...
MONTE KARLO METODAS Gediminas Stepanauskas 2008 Turinys 1 IVADAS 4 1.1 Sistemos.............................. 4 1.2 Modeliai.............................. 5 1.3 Modeliavimas ir Monte-Karlo metodas.............
Διαβάστε περισσότεραDiskrečioji matematika
VILNIAUS UNIVERSITETAS Gintaras Skersys Julius Andrikonis Diskrečioji matematika Pratybų medžiaga Versija: 28 m. sausio 22 d. Vilnius, 27 Turinys Turinys 2 Teiginiai. Loginės operacijos. Loginės formulės
Διαβάστε περισσότερα4.1 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n. Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai vektoriu
IV DEKARTO KOORDINAČIU SISTEMA VEKTORIAI 41 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai α = (a 1,, a n ) Be mums jau žinomu
Διαβάστε περισσότεραVILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA. Algoritmų teorija. Paskaitų konspektas
VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Algoritmų teorija Paskaitų konspektas Dėstytojas: lekt. dr. Adomas Birštunas Vilnius 2015 TURINYS 1. Algoritmo samprata...
Διαβάστε περισσότεραANALIZINĖ GEOMETRIJA III skyrius (Medžiaga virtualiajam kursui)
ngelė aškienė NLIZINĖ GEMETRIJ III skrius (Medžiaga virtualiajam kursui) III skrius. TIESĖS IR PLKŠTUMS... 5. Tiesės lgts... 5.. Tiesės [M, a r ] vektorinė lgtis... 5.. Tiesės [M, a r ] parametrinės lgts...
Διαβάστε περισσότεραSpecialieji analizės skyriai
Specialieji analizės skyriai. Trigonometrinės Furje eilutės Moksle ir technikoje dažnai susiduriame su periodiniais reiškiniais, apibūdinamais periodinėmis laiko funkcijomis: f(t). 2 Paprasčiausia periodinė
Διαβάστε περισσότερα2008 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija
008 M MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA 008 m matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 7 uždavinių atsakymai I variantas Užd
Διαβάστε περισσότερα2.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS
.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS 5.. Pirmoji Bolcao Koši teorema. Jei fucija f tolydi itervale [a;b], itervalo galuose įgyja priešigų želų reišmes, tai egzistuoja tos tašas cc, ( ab ; ), uriame
Διαβάστε περισσότεραI.4. Laisvasis kūnų kritimas
I4 Laisvasis kūnų kitimas Laisvuoju kitimu vadinamas judėjimas, kuiuo judėtų kūnas veikiamas tik sunkio jėos, nepaisant oo pasipiešinimo Kūnui laisvai kintant iš nedidelio aukščio h (dau mažesnio už Žemės
Διαβάστε περισσότεραSpecialieji analizės skyriai
Specialieji analizės skyriai. Specialieji analizės skyriai Kompleksinio kinamojo funkcijų teorija Furje eilutės ir Furje integralai Operacinis skaičiavimas Lauko teorijos elementai. 2 Kompleksinio kintamojo
Διαβάστε περισσότεραKADETAS (VII ir VIII klasės)
ADETAS (VII ir VIII klasės) 1. E 10 000 Galima tikrinti atsakymus. adangi vidutinė kainasumažėjo, tai brangiausia papūga kainavo daugiau kaip 6000 litų. Vadinasi, parduotoji papūga kainavo daugiau kaip
Διαβάστε περισσότεραVilijandas Bagdonavi ius. Julius Jonas Kruopis MATEMATIN E STATISTIKA
VILNIAUS UNIVERSITETO MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS Vilijandas Bagdonavi ius Julius Jonas Kruopis MATEMATIN E STATISTIKA Vadovelis IV DALIS DAUGIAMAT E STATISTIKA Vilniaus universiteto leidykla
Διαβάστε περισσότεραIII. MATRICOS. DETERMINANTAI. 3.1 Matricos A = lentele žymėsime taip:
III MATRICOS DETERMINANTAI Realiu ju skaičiu lentele 3 Matricos a a 2 a n A = a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn vadinsime m n eilės matrica Trumpai šia lentele žymėsime taip: A = a ij ; i =,, m, j =,, n čia
Διαβάστε περισσότεραVilius Stakėnas. Kodavimo teorija. Paskaitu. kursas
Vilius Stakėnas Kodavimo teorija Paskaitu kursas 2002 2 I vadas Informacija perduodama kanalais, kurie kartais iškraipo informacija Tarsime, kad tie iškraipymai yra atsitiktiniai, t y nėra nei sistemingi,
Διαβάστε περισσότεραStatistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas
Statistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas DNR molekulių vaizdas DNR struktūros pakitimai. Keičiantis DNR molekulės formai keistųsi ir visos sistemos entropija. Mielėse esančio DNR struktūros
Διαβάστε περισσότεραVilius Stakenas. Tikimybiu mokslo pagrindai
Vilius Stakenas Tikimybiu mokslo pagrindai Vilnius 2010 Turinys 1 Kaip tai atsirado?......................... 7 1.1. Dvi ²akos......................... 7 1.2. Italai............................ 9 1.3.
Διαβάστε περισσότεραRemigijus Leipus. Ekonometrija II. remis
Remigijus Leipus Ekonometrija II http://uosis.mif.vu.lt/ remis Vilnius, 2013 Turinys 1 Trendo ir sezoniškumo vertinimas bei eliminavimas 4 1.1 Trendo komponentės vertinimas ir eliminavimas........ 4 1.2
Διαβάστε περισσότεραAtsitiktinių paklaidų įvertinimas
4.4.4. tsitiktinių paklaidų įvertinimas tsitiktinės paklaidos įvertinamos nurodant du dydžius: pasikliaujamąjį intervalą ir pasikliaujamąją tikimybę. tsitiktinių paklaidų atveju, griežtai tariant, nėra
Διαβάστε περισσότερα5 klasė. - užduotys apie varniuką.
5 klasė - užduotys apie varniuką. 1. Varniukas iš plastilino lipdė raides ir iš jų sudėliojo užrašą: VARNIUKO OLIMPIADA. Vienodas raides jis lipdė iš tos pačios spalvos plastelino, o skirtingas raides
Διαβάστε περισσότερα1. Individualios užduotys:
IV. PAPRASTOSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS. Individualios užduots: - trumpa teorijos apžvalga, - pavzdžiai, - užduots savarankiškam darbui. Pirmosios eilės diferencialinių lgčių sprendimas.. psl. Antrosios
Διαβάστε περισσότερα2009 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 1 6 uždavinių atsakymai
M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus -6- įsakymu Nr. (..)-V-8 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO
Διαβάστε περισσότερα0.1. Bendrosios sąvokos
.1. BENDROSIOS SĄVOKOS 1.1. Bendrosios sąvokos.1.1. Diferencialinės lygtys su mažuoju parametru F ) x n),x n 1),...,x,x,t;ε =, xt;ε) C n T), T [,+ ), < ε ε ) F x n) t;ε),x n 1) t;ε),...,x t;ε),xt;ε),t;ε,
Διαβάστε περισσότερα5 paskaita. 5.1 Kompaktiškosios aibės Sąvokos
5 pskit 5.1 Kompktiškosios ibės 5.1.1 Sąvokos Iš mtemtinės nlizės kurso žinome dvi svrbis prėžtu reliu ju skičiu ibiu svybes. Pirmoji Bolcno-Vejerštrso teorem: bet kuri beglinė prėžt reliu ju skičiu ibė
Διαβάστε περισσότεραVilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Informatikos katedra. Gintaras Skersys. Mokymo priemonė
Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Informatikos katedra Gintaras Skersys Klaidas taisančių kodų teorija Mokymo priemonė Vilnius 2005 I dalis Pagrindinės savokos 1 Įvadas Panagrinėkime
Διαβάστε περισσότερα6. Bendrama iai dydºiai ir realieji skai iai 71. Kokius dydºius graiku antikos matematikai vadino bendrama iais?
Matematikos istorijos egzamino klausimai 2014 Klausimo verte 2/3 balo. Pavyzdºiui, jei per semestr sukaupete 3 balus, tai j usu egzamino uºduotyje bus 7 3/2 10 klausimu. 1. Skai iai ir skai iavimai 1.
Διαβάστε περισσότεραPaprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS
Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Taikomosios matematikos institutas, Diferencialinių lygčių katedra Naugarduko g. 24, LT-3225
Διαβάστε περισσότεραPaprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS
Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,
Διαβάστε περισσότεραV skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI
V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI Uždirbtų palūkanų suma priklauso ne tik nuo palūkanų normos dydžio, bet ir nuo palūkanų kapitalizavimo dažnio Metinė palūkanų norma nevisada atspindi
Διαβάστε περισσότεραt. y. =. Iš čia seka, kad trikampiai BPQ ir BAC yra panašūs, o jų D 1 pav.
LIETUVOS JUNŲ J Ų MTEMTIKŲ MOKYKL tema. TRIGONOMETRIJOS TIKYMI GEOMETRIJOJE (008-00) Terinę medžiagą parengė bei šeštąją uždutį sudarė Vilniaus pedaggini universitet dentas Edmundas Mazėtis Šiame darbe
Διαβάστε περισσότερα1.4. Rungės ir Kuto metodas
.4. RUNGĖS IR KUTO METODAS.4. Rungės ir Kuto metodas.4.. Prediktoriaus-korektoriaus metodas Palyginkime išreikštinį ir simetrinį Eulerio metodus. Pirmojo iš jų pagrindinis privalumas tas, kad išreikštinio
Διαβάστε περισσότεραPaprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS
Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lgčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,
Διαβάστε περισσότεραMatematinė logika. 1 skyrius Propozicinės formulės. žodį, Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia
1 skyrius Matematinė logika Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia mintį, žodį, protą, sąvoką. Logika arba formalioji logika nagrinėja teisingo mąstymo dėsnius ir formas, kai samprotavimų turinys nėra
Διαβάστε περισσότερα4.3. Minimalaus dengiančio medžio radimas
SKYRIUS. ALGORITMAI GRAFUOSE.. Minimalaus dengiančio medžio radimas Šiame skyriuje susipažinsime su minimaliu dengiančiu medžių radimo algoritmais. Pirmiausia sudarysime dvi taisykles, leidžiančias pasirinkti
Διαβάστε περισσότεραEkonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė
Ekonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė dėst. T. Rekašius, 2012 m. lapkričio 19 d. 1 Duomenys Visi trečiam laboratoriniam darbui reikalingi duomenys yra tekstinio formato failuose http://fmf.vgtu.lt/~trekasius/destymas/2012/ekomet_lab3_xx.dat,
Διαβάστε περισσότερα1 iš 15 RIBOTO NAUDOJIMO
iš 5 PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriau 00-06-08 įakymu Nr. 6.-S- 00 m. matematiko valtybinio brando egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė eija 8 uždavinių atakymai Užd. Nr. 5 6 7
Διαβάστε περισσότεραTEORIJA. RINKTINIAI MATEMATIKOS SKYRIAI (Informatikos spec., 2 srautas, magistrantūra, 1 semestras) PROGRAMA. su skaidžia savybe skaičiu
GRAFU TEORIJA RINKTINIAI MATEMATIKOS SKYRIAI (Informatikos spec, 2 srautas, magistrantūra, 1 semestras) PROGRAMA 1 Pagrindinės sa vokos, pavyzdžiai Grafu veiksmai 2 Grafo parametru sa ryšiai 3 Jungiantysis
Διαβάστε περισσότεραSIGNALAI TELEKOMUNIKACIJŲ SISTEMOSE
VILNIAUS UNIVERSITETAS Kietojo kūno elektronikos katedra SIGNALAI TELEKOMUNIKACIJŲ SISTEMOSE Mokymo priemonė Parengė A. Poškus 4 Turinys. ĮVADAS..... Telekomunikaijų sistemos struktūrinė shema. Pagrindinės
Διαβάστε περισσότερα2018 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ
N A C I O N A L I N I S E G Z A M I N Ų C E N T R A S 018 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ 018 m. birželio 9 d. įvyko matematikos valstybinis brandos egzaminas.
Διαβάστε περισσότεραAnalizės uždavinynas. Vytautas Kazakevičius m. lapkričio 1 d.
Analizės uždavinynas Vytautas Kazakevičius m. lapkričio d. ii Vienmatė analizė Faktorialai, binominiai koeficientai. Jei a R, n, k N {}, tai k! = 3 k, (k + )!! = 3 5 (k + ), (k)!! = 4 6 (k); a a(a ) (a
Διαβάστε περισσότεραPNEUMATIKA - vožtuvai
Mini vožtuvai - serija VME 1 - Tipas: 3/2, NC, NO, monostabilūs - Valdymas: Mechaninis ir rankinis - Nominalus debitas (kai 6 barai, Δp = 1 baras): 60 l/min. - Prijungimai: Kištukinės jungtys ø 4 žarnoms
Διαβάστε περισσότερα2 laboratorinis darbas. TIKIMYBINIAI MODELIAI
laboratorns darbas laboratorns darbas. TIKIMYBINIAI MODELIAI DARBO TIKSLAS - šstudjuot atstktnų dydžų r vektorų skrstnus, skrstno (passkrstymo) funkcją, tanko funkcją, skatnes charakterstkas r jų savybes.
Διαβάστε περισσότεραArenijaus (Arrhenius) teorija
Rūgštys ir bazės Arenijaus (Arrhenius) teorija Rūgštis: Bazė: H 2 O HCl(d) H + (aq) + Cl - (aq) H 2 O NaOH(k) Na + (aq) + OH - (aq) Tuomet neutralizacijos reakcija: Na + (aq) + OH - (aq) + H + (aq) + Cl
Διαβάστε περισσότεραFDMGEO4: Antros eilės kreivės I
FDMGEO4: Antros eilės kreivės I Kęstutis Karčiauskas Matematikos ir Informatikos fakultetas 1 Koordinačių sistemos transformacija Antrosios eilės kreivių lgtis prastinsime keisdami (transformuodami) koordinačių
Διαβάστε περισσότεραQ π (/) ^ ^ ^ Η φ. <f) c>o. ^ ο. ö ê ω Q. Ο. o 'c. _o _) o U 03. ,,, ω ^ ^ -g'^ ο 0) f ο. Ε. ιη ο Φ. ο 0) κ. ο 03.,Ο. g 2< οο"" ο φ.
II 4»» «i p û»7'' s V -Ζ G -7 y 1 X s? ' (/) Ζ L. - =! i- Ζ ) Η f) " i L. Û - 1 1 Ι û ( - " - ' t - ' t/î " ι-8. Ι -. : wî ' j 1 Τ J en " il-' - - ö ê., t= ' -; '9 ',,, ) Τ '.,/,. - ϊζ L - (- - s.1 ai
Διαβάστε περισσότερα0.1. Bendrosios sąvokos
0.1. BENDROSIOS SĄVOKOS 1 0.1. Bendrosios sąvokos 0.1.1. Diferencialinės lygtys su mažuoju parametru F ) x n),x n 1),...,x,x,t;ε = 0, xt;ε) C n T), T [0,+ ), 0 < ε ε 0 ) F x n) t;ε),x n 1) t;ε),...,x t;ε),xt;ε),t;ε
Διαβάστε περισσότεραI S L A M I N O M I C J U R N A L J u r n a l E k o n o m i d a n P e r b a n k a n S y a r i a h
A n a l i s a M a n a j e m e n B P I H d i B a n k S y a r i a h I S S N : 2 0 8 7-9 2 0 2 I S L A M I N O M I C P e n e r b i t S T E S I S L A M I C V I L L A G E P e n a n g g u n g J a w a b H. M
Διαβάστε περισσότεραEKONOMETRIJA 1 (Regresinė analizė)
EKONOMETRIJA 1 Regresinė analizė Kontrolinis Sudarė M.Radavičius 004 05 15 Kai kurių užduočių sprendimai KOMENTARAS. Kai kuriems uždaviniams tik nusakytos sprendimų gairės, kai kurie iš jų suskaidyti į
Διαβάστε περισσότερα4 laboratorinis darbas. PARAMETRŲ ĮVERČIAI IR STATISTINĖS HIPOTEZĖS
PARAMETRŲ ĮVERČIAI IR STATISTINĖS HIPOTEZĖS DARBO TIKSLAS - išstudijuoti parametrų taškiių ir itervaliių įverčių radimo, parametriių ir eparametriių hipotezių tikriimo uždaviius ir jų taikymą Teorijos
Διαβάστε περισσότεραTaikomoji branduolio fizika
VILNIAUS UNIVERSITETAS Taikomoji branduolio fizika Parengė A. Poškus Vilnius 2015-05-20 Turinys 1. Neutronų sąveika su medžiaga...1 1.1. Neutronų sąveikos su medžiaga rūšys...1 1.2. Neutrono sukeltų branduolinių
Διαβάστε περισσότεραIntegriniai diodai. Tokio integrinio diodo tiesiogin įtampa mažai priklauso nuo per jį tekančios srov s. ELEKTRONIKOS ĮTAISAI 2009
1 Integriniai diodai Integrinių diodų pn sandūros sudaromos formuojant dvipolių integrinių grandynų tranzistorius. Dažniausiai integriniuose grandynuose kaip diodai naudojami tranzistoriniai dariniai.
Διαβάστε περισσότερα06 Geometrin e optika 1
06 Geometrinė optika 1 0.1. EIKONALO LYGTIS 3 Geometrinėje optikoje įvedama šviesos spindulio sąvoka. Tai leidžia Eikonalo lygtis, kuri išvedama iš banginės lygties monochromatinei bangai - Helmholtco
Διαβάστε περισσότεραIII.Termodinamikos pagrindai
III.ermodinamikos pagrindai III.. Dujų plėtimosi darbas egu dujos yra cilindre su nesvariu judančiu stūmokliu, kurio plotas lygus S, ir jas veikia tik išorinis slėgis p. Pradinius dujų parametrus pažymėkime
Διαβάστε περισσότεραĮvadas į laboratorinius darbus
M A T E M A T I N Ė S T A T I S T I K A Įvadas į laboratorinius darbus Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2005 m. rugsėjo 26 d. Reziumė Laboratorinis darbas skirtas susipažinti su MS Excel priemonėmis
Διαβάστε περισσότεραLIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 2014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ
LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ 014 m. birželio 5 d. matematikos valstybinį
Διαβάστε περισσότεραII dalis Teisingas atsakymas į kiekvieną II dalies klausimą vertinamas 1 tašku g/mol
PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus 05 m. birželio 8 d. įsakymu Nr. (.3.)-V-73 05 M. CHEMIJOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA. Pagrindinė sesija I dalis Teisingas
Διαβάστε περισσότεραAPRAŠOMOJI STATISTIKA
STATISTIKA FILOLOGAMS 4 paskaita APRAŠOMOJI STATISTIKA Pagrindinės sąvokos Statistika keliareikšmė sąvoka. Skirtinos bent jau šios ryškios bei kartu skirtingos reikšmės: a) tokia duomenų apie valstybę,
Διαβάστε περισσότεραd 2 y dt 2 xdy dt + d2 x
y t t ysin y d y + d y y t z + y ty yz yz t z y + t + y + y + t y + t + y + + 4 y 4 + t t + 5 t Ae cos + Be sin 5t + 7 5 y + t / m_nadjafikhah@iustacir http://webpagesiustacir/m_nadjafikhah/courses/ode/fa5pdf
Διαβάστε περισσότερα1. Įvadas į sistemas ir signalus. 1. Signalas, duomenys, informacija ir žinios
. Įvadas į sistemas ir signalus. Signalas, duomenys, informacija ir žinios Žodis signalas yra kilęs iš lotyniško žodžio signum ženklas. Signalas tai yra tai kas yra naudojama žiniai perduoti. Signalas
Διαβάστε περισσότεραModalumo logikos S4 kai kurios išsprendžiamos klasės
VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS INFORMATIKOS KATEDRA Magistro baigiamasis darbas Modalumo logikos S4 kai kurios išsprendžiamos klasės Some Decidable Classes of Modal Logic
Διαβάστε περισσότεραEUROPOS CENTRINIS BANKAS
2005 12 13 C 316/25 EUROPOS CENTRINIS BANKAS EUROPOS CENTRINIO BANKO NUOMONĖ 2005 m. gruodžio 1 d. dėl pasiūlymo dėl Tarybos reglamento, iš dalies keičiančio Reglamentą (EB) Nr. 974/98 dėl euro įvedimo
Διαβάστε περισσότεραMECHANINIS DARBAS, GALIA, ENERGIJA. TVERMĖS DĖSNIAI MECHANIKOJE. HIDRODINAMIKA
LIETUVOS FIZIKŲ DRAUGIJA ŠIAULIŲ UNIVERSITETO JAUNŲJŲ FIZIKŲ MOKYKLA FOTONAS MECHANINIS DARBAS, GALIA, ENERGIJA TVERMĖS DĖSNIAI MECHANIKOJE HIDRODINAMIKA III KURSO III TURO METODINIAI NURODYMAI IR UŢDUOTYS
Διαβάστε περισσότεραDISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2
DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2010 m. vasario 23 d. Santrauka Antras laboratorinis darbas skirtas išmokti sudarinėti daugialypės
Διαβάστε περισσότεραŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPINĖSE TERPĖSE
ŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPIĖSE TERPĖSE 43 2.7. SPIDULIUOTĖS IR KŪO SPALVOS Spinduliuotės ir kūno optiniam apibūdinimui naudojama spalvos sąvoka. Spalvos reiškinys yra nepaprastas. Kad suprasti spalvos esmę,
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα
x 2 + 1 = 0 N = {1, 2, 3....}, Z Q a, b a, b N c, d c, d N a + b = c, a b = d. a a N 1 a = a 1 = a. < > P n P (n) P (1) n = 1 P (n) P (n + 1) n n + 1 P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + 1)
Διαβάστε περισσότεραKURKIME ATEITĮ DRAUGE! FIZ 414 APLINKOS FIZIKA. Laboratorinis darbas SAULĖS ELEMENTO TYRIMAS
EUROPOS SĄJUNGA Europos socialinis fondas KURKIME ATEITĮ DRAUGE! 2004-2006 m. Bendrojo programavimo dokumento 2 prioriteto Žmogiškųjų išteklių plėtra 4 priemonė Mokymosi visą gyvenimą sąlygų plėtra Projekto
Διαβάστε περισσότεραFRANKO IR HERCO BANDYMAS
VILNIAUS UNIVERSITETAS Kietojo kūno elektronikos katedra Atomo ir branduolio fizikos laboratorija Laboratorinis darbas Nr. FRANKO IR HERCO BANDYMAS Parengė A. Poškus 013-08-31 Turinys Darbo tikslas 1.
Διαβάστε περισσότερα1. Klasifikavimo su mokytoju metodai
1. Klasifikavimo su mokytoju metodai Klasifikacijos uždavinys yra atpažinimo uždavinys, kurio esmė pagal pateiktus objekto (vaizdo, garso, asmens, proceso) skaitinius duomenis priskirti ji kokiai nors
Διαβάστε περισσότεραPapildomo ugdymo mokykla Fizikos olimpas. Mechanika Dinamika 1. (Paskaitų konspektas) 2009 m. sausio d. Prof.
Papildoo ugdyo okykla izikos olipas Mechanika Dinaika (Paskaitų konspektas) 9. sausio -8 d. Prof. Edundas Kuokštis Vilnius Paskaita # Dinaika Jei kineatika nagrinėja tik kūnų judėjią, nesiaiškindaa tą
Διαβάστε περισσότερα