Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Transcript

1 Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu

2 σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΜΟΝΩΝΥΜΩΝ 6 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΜΟΝΩΝΥΜΩΝ 6 ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 7 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 8 ΕΚΠ ΚΑΙ ΜΚΔ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 9 ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 10 ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΣΤΙΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ (1) 10 ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 10 ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΣΤΙΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ () 10 ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΣΤΙΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ () 10 ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΣΤΙΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ (4) 11 ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΣΤΙΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ (5) 1 ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ 1 ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΑΥΤΟΤΗΤΩΝ 1 ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ ΚΟΙΝΟΥΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ 14 ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ 15 ΡΗΤΕΣ (ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ) ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 16 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 16 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ (ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑ) 17 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑ (1) 18 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑ () 19 ΠΑΡΑΒΟΛΗ 0 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1 ΣΥΝΟΛΑ 1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΟΛΑ ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΥΧΗΣ - ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΛΑΣΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 4 Β ΜΕΡΟΣ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 5 ΤΡΙΓΩΝΑ 5 ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 5 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 5 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 6 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 6 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ 7 ΟΜΟΙΑ ΣΧΗΜΑΤΑ 8 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 8 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 9 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΩΝ [ 0,180 0 ] 9 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 9

3 σελ. απο 9 ΝΟΜΟΣ ΗΜΙΤΟΝΩΝ ΚΑΙ ΝΟΜΟΣ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ 9

4 σελ. 4 απο 9 Α μερος: Αλγεβρα και πιθανοτητες Συστήματα Χ Ενα τετοιο συστημα αποτελειται απο δυο εξισωσεις, καθε μια απο τις οποιες περιεχει δυο μεταβλητες y, υψωμενες στην 1 η δυναμη (γραμμικο συστημα). Για παραδειγμα οι παρακατω δυο εξισωσεις αποτελουν συστημα: Λύση του συστήματος είναι ενα ζευγάρι αριθμών 0, 0 y5 y8 y που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις ταυτόχρονα. Εφοσον καθε μια απο τις δυο εξισωσεις αναπαριστα μια ευθεια στους αξονες, ενα σύστημα εξισώσεων μπορεί να έχει: Ακριβώς μια λύση, πράγμα που σημαίνει ότι οι δύο ευθείες τέμνονται σε ακριβώς ένα σημείο. Άπειρες λύσεις (αόριστο), πράγμα που σημαίνει ότι οι δύο ευθείες συμπίπτουν. Καμία λύση (αδύνατο), πράγμα που σημαίνει ότι οι δύο ευθείες είναι παράλληλες. Για να λύσουμε ένα σύστημα υπάρχουν δύο μέθοδοι. Ας τις δούμε λύνοντας το σύστημα Με αντικατάσταση y y5 y8 (1) : y 5 y 5 5 y. () : y 8 5 y y 8 10 y y 8 y (1) 5 Άρα το σύστημα μας έχει μια λύση, το σημείο,. Με απαλοιφή y (1) : y 5 y 5 y 10 y y 10 8 y () : y 8 () Άρα η λύση του συστήματος είναι το σημείο,. Τα συστηματα ειναι πολυ χρησιμα στη λυση καποιων προβληματων. Για παραδειγμα: Ενας παραγωγος ελαιολαδου συσκευασε 500 kg λαδι σε 800 δοχεια των kg και των 5 kg. Μπορειτε να βρειτε ποσα -κιλα και ποσα 5-κιλα δοχεια χρησιμοποιησε;

5 σελ. 5 απο 9 Μονώνυμα & πολυώνυμα Μονώνυμα Πολυώνυμα Μονώνυμο είναι κάθε γινομενο που περιεχει εναν πραγματικο αριθμο (συντελεστη) και διαφορες μεταβλητες υψωμενες σε δυναμεις. Για παραδειγμα η παρακατω παρασταση ειναι ενα μονωνυμο: 5 8 y z Η δυναμη της καθε μεταβλητης λεγεται βαθμος της μεταβλητης αυτης και πρεπει να ειναι θετικος φυσικος αριθμος ή 0. Το παραπανω μονωνυμο εχει βαθμο 5 ως προς, 1 ως προς y και 8 ως προς z. Ο συνολικος βαθμος ειναι ισος με το αθροισμα των βαθμων ολων των Πολυώνυμο είναι το άθροισμα δύο ή περισσότερων μονωνύμων. Για παράδειγμα, η παράσταση y z y z 9 y z 5 είναι ένα πολυώνυμο που αποτελειται απο 4 μονωνυμα. Ο βαθμος του πολυωνυμου ειναι 8 ως προς, 7 ως προς y και 10 ως προς z. Ο συνολικος βαθμος ειναι = 0. Δυο πολυωνυμα λεγονται ισα αν ολα τα μονωνυμα τους ειναι ισα. Ως ασκηση βρειτε τα,, ετσι ωστε τα παρακατω πολυωνυμα να ειναι ισα: μεταβλητων. Στο παραδειγμα μας ο συνολικος βαθμος ειναι = 14. Το κομματι που περιεχει μονο τις μεταβλητες, δηλαδη το ονομαζεται κυριο μερος του μονωνυμου. y z, 5 8 Ριζα πολυωνυμου Αν ενα πολυωνυμο περιεχει μονο μια μεταβλητη τοτε μπορουμε να το ονομασουμε δηλωνοντας τη μεταβλητη. Για παραδειγμα, το πολυωνυμο μπορουμε να το ονομασουμε Καθε μονωνυμο εχει και ενα αντιθετο μονωνυμο. Το αντιθετο μονωνυμο P( ) του 5 8 y z ειναι το 5 8 y z. Αυτο σημαινει οτι στη θεση του εχουμε το δικαιωμα να βαλουμε οποιον αριθμο θελουμε και να υπολογισουμε την τιμη του. Για παραδειγμα: Καθε πραγματικος αριθμος μπορει να θεωρηθει ως μονωνυμο (ολες οι μεταβλητες ειναι υψωμενες στη μηδενικη) και τον λεμε απλα σταθερο μονωνυμο. Το 0 λεγεται μηδενικό μονώνυμο. Πρεπει να ειναι ειναι σαφες οτι ο βαθμος ενος σταθερου μονωνυμου ειναι 0. Δυο μονωνυμα λεγονται ομοια αν εχουν το ιδιο κυριο μερος. Για παραδειγμα, τα παρακατω μονωνυμα ειναι ομοια: 4 y z, y z y, y y 5, 7y, P () P( ) P( 4) P 1 4 Ένας πραγματικός αριθμός που μηδενιζει ενα πολυωνυμο λεγεται ρίζα του πολυωνύμου. Ευκολα φαινεται οτι οι ριζες του παραπανω πολυωνυμου ειναι οι 0 και 1 : P P (0) (1) Δυο μονωνυμα λεγονται ισα αν εχουν τον ιδιο συντελεστη και το ιδιο κυριο μερος. Ως ασκηση, βρειτε τα,, ωστε τα παρακατω μονωνυμα να ειναι i) ομοια ii) ισα iii) αντιθετα: 10 a y, y Παραδειγματα: Εξεταστε αν το ειναι ριζα του πολυωνυμου: P ( ) 4 6 Αν δυο μονωνυμα ειναι ομοια τοτε μπορουμε να κανουμε τις μεταξυ τους πραξεις. Για παραδειγμα: Βρειτε τις ριζες του πολυωνυμου: 1 6.

6 σελ. 6 απο 9 Πολλαπλασιασμος μονωνυμων Αν μας δωθουν δυο η περισσοτερα μονωνυμα μπορουμε παντα να τα πολλαπλασιασουμε εκτελωντας τον πολλαπλασιασμο με τους συντεστες και ακολουθωντας τις ιδιοτητες των δυναμεων για τις μεταβλητες. Για παραδειγμα: Ως ασκηση, καντε τους παρακατω πολλαπλασιασμους μονωνυμων: yz 5 y 4 8y y y 5 y 4 5 y y y ( ) y y y 4 y y y y 6 y 5 Προσθεση μονωνυμων Αν μας δωθουν δυο η περισσοτερα ομοια μονωνυμα μπορουμε παντα να τα προσθεσουμε χρησιμοποιωντας την επιμεριστικη ιδιοτητα. Για παραδειγμα: Ως ασκηση, καντε τις παρακατω προσθεσεις μονωνυμων: y 10 y y 5y y y y y

7 σελ. 7 απο 9 Γενικες πραξεις μεταξυ πολυωνυμων Αν μας δωθει ενα μονωνυμο και ενα πολυωνυμο μπορουμε να τα πολλαπλασιασουμε χρησιμοποιωντας την επιμεριστικη ιδιοτητα. Για παραδειγμα: y y y y y y y y 6 y 4 4 Ομοιως, αν μας δωθουν δυο ή περισσοτερα πολυωνυμα μπορουμε να τα πολλαπλασιασουμε χρησιμοποιωντας την επιμεριστικη ιδιοτητα. Για παραδειγμα: Ως ασκηση καντε τις παρακατω πραξεις: ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) y y ( 1)( 5) ( 6) 4 y y 4y y y y 4 y y 4 5 y y y y y y y 4y y y y 5 y y y4 y y

8 σελ. 8 απο 9 Διαίρεση πολυωνύμων Στο σημειο αυτο θυμιζουμε την Ευκλειδεια διαιρεση φυσικων: Για καθε δυο φυσικους αριθμους, εναν διαιρετεο και εναν διαιρετη 0, υπαρχουν μοναδικοι φυσικοι, το πηλικο και το υπολοιπο, ετσι ωστε, 0 Μπορουμε να επεκτεινουμε την εννοια της Ευκλειδειας διαιρεσης και να την εφαρμοσουμε στα πολυωνυμα: Για κάθε πολυώνυμο διαιρετέο και πολυώνυμο - διαιρέτη 0 με βαθμος ( ) βαθμος ( ), υπάρχουν μοναδικά πολυώνυμα (πηλίκο) και ώστε 0 βαθμος ( ) βαθμος ( ) (υπόλοιπο) έτσι Ειναι προφανες οτι αν το ( ) ειναι παραγοντας του ( ) (εχουμε δηλαδη τελεια Ευκλειδεια διαιρεση πολυωνυμων) τοτε ( ) 0. Υπάρχουν δύο τρόποι για να βρουμε την εξίσωση τηε Ευκλειδειας διαίρεσης πολυωνύμων. Ας τους δούμε με παραδείγματα: Αναγωγή σε σύστημα Έστω ( ) 5 1, ( ). Απο την ισοτητα της διαιρεσης πολυωνυμων εχουμε: 5 1 ( ) ( ) με βαθμος ( ) βαθμος ( ) 1 πραγμα που σημαινει οτι βαθμος ( ) 0 ( ) και βαθμος ( ) Αν θεσουμε ( ), τοτε η ισοτητα ξαναγραφεται ως 5 1. Εκτελουμε τις πραξεις στο δεξι μελος και εχουμε: 5 1 ( ) ( ) ( ) Στο τελικο βημα λυνουμε το απλο συστημα που προκυπτει: 1, 5,, 1 1,, 4, 1 Χρηση του αλγοριθμου Ευκλείδειας διαίρεσης Εστω οτι θελουμε να διαιρεσουμε το πολυωνυμο 4 ( ) 4 1 με το ( ) : 4 ( ) ( ) 4 4 = 1 ( ) = 1 ( ) 1 = 4 1 H διαδικασια τερματιζεται διοτι βαθμος ( 4 1) βαθμος ( ). Υπολοιπο: ( ) 4 1 Πηλικο: ( ) 1

9 σελ. 9 απο 9 ΕΚΠ και ΜΚΔ πολυωνυμων Στο σημειο αυτο θυμιζουμε τη διαδικασια ευρεσης ΜΚΔ και ΕΚΠ δυο ή περισσοτερων φυσικων αριθμων. Έστω ότι μας δίνονται δύο ή περισσότεροι φυσικοι αριθμοί, π.χ. οι 1800 και Για να βρούμε το ΜΚΔ και το ΕΚΠ τους ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: 1. Αναλύουμε τους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες: Για να βρούμε το ΜΚΔ διαλέγουμε μόνο τους κοινούς παράγοντες (που στο παράδειγμά μας είναι οι, και 5) και τους υψώνουμε στη μικρότερη δύναμη στην οποία εμφανίζονται: 1800, Για να βρούμε το ΕΚΠ διαλέγουμε όλους τους παράγοντες (κοινούς και μη κοινούς) και τους υψώνουμε στη μεγαλύτερη δύναμη στην οποία εμφανίζονται: 1800, Μπορουμε να επεκτεινουμε την παραπανω διαδικασια και να την εφαρμοσουμε στα πολυωνυμα. Για παραδειγμα, εστω οτι θελουμε να βρουμε το ΜΚΔ και το ΕΚΠ των μονωνυμων : Βρισκουμε πρωτα το ΜΚΔ και το ΕΚΠ των συντελεστων: 4 1 y, 4 y z, 6 y (1,4,6) 6, (1,4,6) 4 Ο συντελεστης του ΜΚΔ των πολυωνυμων θα ειναι το ΜΚΔ των συντεστων τους και το κυριο μερος του ΜΚΔ θα προκυψει αν επιλεξουμε μονο τις κοινες μεταβλητες και τις υψωσουμε στη μικροτερη δυναμη που εμφανιζονται. Αρα λοιπον ο ΜΚΔ των τριων μονωνυμων θα ειναι το μονωνυμο 6 y Ο συντελεστης του ΕΚΠ των πολυωνυμων θα ειναι το ΕΚΠ των συντεστων τους και το κυριο μερος του ΕΚΠ θα προκυψει αν επιλεξουμε ολες τις μεταβλητες (κοινες και μη κοινες) και τις υψωσουμε στη μεγαλυτερη δυναμη που εμφανιζονται. Αρα λοιπον το ΕΚΠ των τριων μονωνυμων θα ειναι το μονωνυμο 4 4 y z Ως ασκηση βρειτε το ΜΚΔ και το ΕΚΠ των παρακατω μονωνυμων και πολυωνυμων: 1 y z, 18 z, 4y 15 y z, 10 y z, 5y z y y y y, 18, 9 ( ),, 8 y y y y y y

10 σελ. 10 απο 9 Ταυτοτητες Σημαντικες ταυτοτητες Ταυτοτητα ειναι μια εξισωση που περιεχει μεταβλητες και ισχυει οποιες τιμες και αν παρουν οι μεταβλητες. Οι πιο σημαντικες ταυτοτητες ειναι οι παρακατω: y y y ( )( ) y y y y y y y y y y y y y y 1 4y ( y) (9 5 y)(9 5 y) y Εξασκηση στις ταυτοτητες (1) y9 5y 6y 6y y y y y ( 7)( 7) ( ) y y 5 ( ( )) ( 4 ) Εξασκηση στις ταυτοτητες () Εξασκηση στις ταυτοτητες ()

11 σελ. 11 απο 9 Εξασκηση στις ταυτοτητες (4) y y y νδο ( ) ( ) νδο για καθε ισχυει νδο y y ( y) ( y) ( )( ) 8 y y y y y y y y 4 ( 1)( 1) ( 1)( 1) 1 y y y y 1 y y y y y y y y 4y 4

12 σελ. 1 απο 9 Εξασκηση στις ταυτοτητες (5) Συμπληρωστε τα παρακατω κενα: y y 6y 4 5 y 6 y 4

13 σελ. 1 απο 9 Παραγοντοποιηση Παραγοντοποίηση με χρήση ταυτοτήτων Παραγοντοποιηση ειναι η διαδικασια με την οποια μετατρεπουμε ενα πολυωνυμο σε γινομενο πολυωνυμων (1 ) y ( 15) ( 15) y y y ( ) 6( )

14 σελ. 14 απο y 6y 4 6y 8y y yz y 16 y 7y 14 y 8 y ( 1) 4 ( 1) ( 1)( ) ( 4)( ) ( 1) (1 )( ) ( 1)( 1) ( 1) ( 1) 4 ( 1) 1 ( ) ( 1) ( 1) y y ( 1) ( 1) ( 1) 4( 1) ( y) ( y) Παραγοντοποίηση με κοινούς παράγοντες ( 1) y y y y z yz yz y z yz yz 6 4 y y y 5 4 1

15 σελ. 15 απο 9 Παραγοντοποιηση πολυωνυμου της μορφης Ενα τετοιο πολυωνυμο παραγοντοποιειται ως εξης: a a Για παραδειγμα, για να παραγοντοποιησουμε το πολυωνυμο 8 1 ψαχνουμε δυο αριθμους με αθροισμα 8 και γινομενο 1. Με δοκιμες βρισκουμε οτι 6 8, 6 1, αρα το πολυωνυμο γραφεται ως: ( ) 6( ) ( )( 6) Ως ασκηση παραγοντοποιειστε τα παρακατω πολυωνυμα: 54 1y ( 5 8) 5 8 ( 6 ) 1 4 4

16 σελ. 16 απο 9 Ρητες (κλασματικες) αλγεβρικες παραστασεις 10 5y z 5 y z 5 y y y 6 4 ( 4) y y y y y y y y y y y y y y 1 y 1 y y y y y y y y y 1 y y y Πραξεις με ρητες αλγεβρικες παραστασεις

17 σελ. 17 απο 9 Εξισώσεις ου βαθμού με έναν άγνωστο (διακρίνουσα) Εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο είναι κάθε εξίσωση που μπορεί να έρθει στη μορφή P * ( ) 0 (,, ) Η εξίσωση αυτή είναι επιλύσιμη σε κάθε περίπτωση. Για να τη λύσουμε υπολογίζουμε τη διακρίνουσα της διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: 4 και ανάλογα με το πρόσημό Αν 0 τότε η εξίσωση έχει δύο λύσεις διαφορετικές μεταξύ τους: Αν 0 τότε η εξίσωση έχει μια (διπλή) λύση: Αν 0 τότε η εξίσωση είναι αδύνατη (δεν έχει καμία λύση στους πραγματικούς). 1 Επιπλέον, το πολυώνυμο παραγοντοποιείται και γράφεται ως 1 Επιπλέον, το πολυώνυμο παραγοντοποιείται και γράφεται ως Παραδείγματα: P 1 P 1 Παραδείγματα: Παραδείγματα:

18 σελ. 18 απο 9 Ασκησεις στη διακρινουσα (1) ( 1) (1 )( ) 0 ( ) 4 ( 1) 1 0 ( ) 6 ( ) 1 ( )( 4) ( 1) ( 1)( ) ( ( ) ( 4) ( 1) ( )( ) 1 ) 8 ( 1) (5 ) (1 4 )

19 σελ. 19 απο 9 Ασκησεις στη διακρινουσα () Απλοποιειστε τα παρακατω κλασματα: Δινονται οι παραστασεις: A 4 6, B o Να βρειτε για ποιες τιμες του οριζονται οι παραστασεις. o Να λυσετε την εξισωση A B 0. Ποιοί πρέπει να είναι οι συντελεστές β,γ μιας εξίσωσης ου βαθμού για να έχει ρίζες το 10 και το -0; Να βρειτε που τεμνονται (αν τεμνονται) ο κυκλος y 5 και η ευθεια y1. Δινεται το πολυωνυμο P( ). o Να βρειτε τις ριζες του πολυωνυμου και να το παραγοντοποιησετε. o Να λυσετε την εξισωση 1 0 P( ). Λυστε την εξισωση 16y 0 y y ( y)( y). Δινονται οι παραστασεις: A ( 1)( ) 9( 1) B o Να απλοποιηθει η παρασταση A B o Να λυθει η εξισωση AB 0 o Αν η εξισωση AB εχει μια ριζα, να υπολογισετε την παραμετρο.

20 σελ. 0 απο 9 Παραβολή Κάθε συνάρτηση με γενική μορφή y P ( ),,,, 0 ονομάζεται παραβολή. Η γραφική παράσταση της παραβολής στη γενική μορφή της είναι μια καμπύλη που μοιάζει με κύπελο. Για τη γραφική παράσταση της παραβολής ισχύουν τα εξής: Η κορυφή της παραβολής είναι το σημείο K, Η παραβολή είναι συμμετρική ως προς την ευθεία Αν 0 προς τα πάνω (το κυπελλο ειναι αναποδα). 4 όπου η διακρίνουσα του τριωνύμου.. τότε η κορυφή της παραβολής «κοιτάει» προς τα κάτω (το κυπελλο ειναι ορθιο). Αν 0 τότε η κορυφή της παραβολής «κοιτάει» Όσο μεγαλύτερη η απόλυτη τιμή του τόσο πιο «κλειστή» ή «απότομη» η παραβολή. Ανεξάρτητα από το πρόσημο του, αν η διακρίνουσα είναι: θετική, τότε η παραβολή τέμνει τον άξονα σε δύο διαφορετικά σημεία. μηδέν, τότε η παραβολή τέμνει τον άξονα σε ακριβώς ένα σημείο. αρνητική, τότε η παραβολή δεν τέμνει τον άξονα. Όλα τα παραπάνω συνοψίζονται γραφικά στα παρακάτω σχήματα:

21 σελ. 1 απο 9 Πιθανότητες Σύνολα Σύνολο είναι μια ομάδα που περιέχει διάφορα στοιχεία το καθενα διαφορετικο απο το αλλο. Για παράδειγμα: {οι θετικοι ακεραιοι αριθμοι μαζι με το 0} {0,1,,,4,5,...} {οι ακεραιοι αριθμοι} {...,,, 1, 0, 1,,,...} {οι πραγματικοι αριθμοι} {ολοι οι ρητοι και ολοι οι αρρητοι} Α {οι αρτιοι αριθμοι} Β {οι διαιρετες του 16} {τα ψηφια του αριθμου 45808}= {τα γραμματα της λεξης "γαλαξιας"}= Αν ένα στοιχείο ανήκει σε ένα σύνολο X, αυτό το συμβολίζουμε ως X. Αν ένα στοιχείο δεν ανήκει σε ένα σύνολο X, τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το συμβολισμό X. Ο συμβολισμός αυτός είναι πολύ χρήσιμος ως προς την εκφραση συνολων: { : 6 4} { : διαιρετης του 0} {ρητοι αριθμοι} :,, 0 {αρρητοι αριθμοι} { } Ένα σύνολο που δεν περιέχει κανένα στοιχείο λέγεται κενό σύνολο και συμβολίζεται ως {}. Εξεταστε αν τα παρακατω συνολα ειναι κενα: {οι ανθρωποι που κατοικουν στη σεληνη} {οι αρτιοι διαιρετες του 15}={ : αρτιος και διαιρετης του 15} { : 0} { : 0} Δύο σύνολα λέγονται ίσα αν περιέχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία, ανεξαρτητα απο τη σειρα με την οποια εμφανιζονται. Εξεταστε αν τα παρακατω συνολα ειναι ισα:?? {αρτιοι αριθμοι} = {οι φυσικοι που διαιρουνται ακριβως με το } = {οι φυσικοι που τελειωνουν σε 0,,4,6 ή 8}? {τα ψηφια του αριθμου 76} = {τα ψηφια του αριθμου 677} Αν ενα συνολο εμπεριεχεται εξολοκληρου μεσα σε ενα συνολο τοτε λεμε οτι το ειναι υποσυνολο του και το γραφουμε ως. Αυτο σημαινει οτι καθε στοιχειο του ειναι και στοιχειο του. Για παραδειγμα, το είναι υποσύνολο του :. Μπορούμε να αναπαραστήσουμε όλα τα γνωστά σύνολα με ένα κατατοπιστικό διάγραμμα Venn. Ως ασκηση, βαλτε το σωστο συμβολο ( ή ) στα παρακατω συνολα: {περιττοι αριθμοι} {περιττοι αριθμοι} { : 9} { : } {διαιρετες του 16} {αρτιοι αριθμοι}

22 σελ. απο 9 Πράξεις με σύνολα Ας πάρουμε το συνολο {1,,, 4,5,6,7,8,9,10} και τα υποσύνολα του {1,,}, {,, 4,5,10} Η ένωση των, είναι ένα καινούργιο σύνολο που περιέχει τα στοιχεια που ανηκουν ή στο ή στο. Με άλλα λόγια, η ένωση περιεχει όλα τα κοινά στοιχεία και όλα τα μη κοινά στοιχεία: {1,,,4,5,10} Η τομή των, είναι ένα καινούργιο σύνολο που περιέχει όλα εκείνα τα στοιχεία που ανήκουν και στο Α και στο Β. Με άλλα λόγια, η τομή περιέχει (μόνο) τα κοινά στοιχεία των συνόλων και συμβολίζεται ως {,} Το συμπλήρωμα (ή αντίθετο) του Α θα είναι εκείνο το σύνολο που περιέχει όλα τα στοιχεία του που δεν ανήκουν στο : {4,5,6,7,8,9,10} Το ειναι εκεινο το συνολο που περιεχει ολα τα στοιχεια που ανηκουν στο εκτος απο εκεινα που ανηκουν στο : {1} Το συμπληρωμα της ενωσης ειναι εκεινο το συνολο που περιεχει ολα τα στοιχεια του που δεν ανηκουν στην ενωση: {6,7,8,9} Το συμπληρωμα της τομης ειναι το συνολο που περιεχει ολα τα στοιχεια του που δεν ανηκουν στην τομη: {1,4,5,6,7,8,9,10} Αν επιπλεον {,5,7,9,10}, εξεταστε αν ισχυουν οι παρακατω ιδιοτητες:

23 σελ. απο 9 Πείραμα τύχης - δειγματικός χώρος - ενδεχόμενα Σε καθε πείραμα τύχης, δειγματικός χώρος ονομάζεται το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων. Για παράδειγμα αν ρίξουμε ένα ζάρι μια φορά ο δειγματικός χώρος ειναι {1,,, 4,5,6}. Ομοίως, αν ριξουμε ενα κερμα ο δειγματικος χωρος θα ειναι το συνολο {, }. Ο δειγματικος χωρος των αποτελεσματων ενος ποδοσφαιρικου αγωνα ειναι {1,, }. Αν ριξουμε το ζαρι δυο φορες τοτε ο δειγματικος χωρος περιεχει 6 ζευγαρια αποτελεσματων: Κάθε υποσύνολο του δειγματικού χώρου ονομάζεται ενδεχόμενο. Για παράδειγμα το ενδεχόμενο Α = { να φέρουμε τον ίδιο αριθμό και στις δυο ρίψεις } είναι το υποσύνολο Α = { (1,1), (,), (,), (4,4), (5,5), (6,6) }. Αν λοιπον φερουμε 6 και στα δυο ζαρια τοτε το ενδεχομενο Α πραγματοποιειται. Αν φερουμε 4 στο ενα ζαρι και 5 στο αλλο τοτε το ενδεχομενο Α δεν πραγματοποιειται. Οι ευνοικες περιπτωσεις ωστε να πραγματοποιηθει ενα ενδεχομενο ειναι ο αριθμος των στοιχειων του ενδεχομενου. Για παράδειγμα, οι ευνοικες περιπτωσεις ώστε να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α είναι 6. Γραφουμε λοιπον ( ) 6. Ένα ενδεχόμενο που είναι απίθανο να πραγματοποιηθεί (πχ το ενδεχόμενο να φέρουμε αθροισμα 14) λέγεται αδύνατο. Ένα αδύνατο ενδεχόμενο είναι ίσο με το κενό σύνολο. Ένα ενδεχόμενο που είναι σιγουρο οτι θα πραγματοποιηθει (πχ να φέρουμε αθροισμα απο και πανω) ονομάζεται βέβαιο. Ενα βέβαιο ενδεχόμενο ισούται με το δειγματικό χώρο. Δύο ενδεχόμενα που δεν έχουν κανένα κοινό στοιχείο (η τομή τους είναι το ) ονομάζονται ασυμβίσβαστα ή ξένα μεταξυ τους. Δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα είναι αδύνατον να συμβούν ταυτόχρονα. Για παραδειγμα, τα ενδεχομενα Α = { (1,1), (,), (,), (4,4), (5,5), (6,6) } και Β = { να φερουμε αθροισμα περιττο αριθμο } ειναι ασυμβιβαστα. Ενα ενδεχομενο λεγεται υποσυνολο ενος ενδεχομενου ( ) αν η πραγματοποιηση του συνεπαγεται την πραγματοποιηση του. Για παράδειγμα, τα ενδεχομενα = { να φέρουμε τον ίδιο αριθμό και στις δυο ρίψεις } και = { το ενδεχομενο να φερουμε αθροισμα ζυγο αριθμο } τοτε προφανως ισχυει. Εφόσον τα ενδεχόμενα είναι σύνολα, μπορούμε να εφαρμοσουμε ολες τις γνωστες πραξεις μεταξυ συνολων. Πιο συγκεκριμενα, για καθε δυο ενδεχομενα, ενος δειγματικου χωρου ισχυουν τα εξης: Το ενδεχομενο να συμβει τουλαχιστον ενα απο τα, Β( ή το ή το ) ισουται με. Το ενδεχομενο να συμβει ταυτοχρονα και το και το ισουται με. Το ενδεχομενο να μην συμβει το ισουται με. Αν ειναι ο δειγματικος χωρος της ριψης δυο ζαριων να γραψετε τα παρακατω ενδεχομενα και να υπολογισετε τις ευνοικες περιπτωσεις για το καθενα: { να φερουμε τον ιδιο αριθμο } { να φερουμε αθροισμα 9 } { να φερουμε τον ιδιο αριθμο ή αθροισμα 9 } { να φερουμε τον ιδιο αριθμο και αθροισμα 9 } { να φερουμε αθροισμα 8 } { να φερουμε γινομενο 1 } { να φερουμε τουλαχιστον μια φορα 1 } { να φερουμε διαδοχικους αριθμους } { να φερουμε γινομενο 1 }

24 σελ. 4 απο 9 Κλασσικός ορισμός πιθανότητας Σε ένα πείραμα τύχης ορίζουμε την πιθανότητα ενός ενδεχομένου ως εξής: πλήθος ευνοϊκών περιπτώσεων αριθμός στοιχείων του Α N( ) P( ) πλήθος δυνατών περιπτώσεων αριθμός στοιχείων του N( ) Για παράδειγμα, η πιθανοτητα να φερουμε τον ιδιο αριθμο και στις δυο ριψεις ενος ζαριου ειναι N( ) 6 P( ) 0, % N( ) 6 Θεωρουμε οτι ενα βέβαιο ενδεχόμενο έχει εξορισμου πιθανότητα P( ) 1 100% και ενα αδύνατο ενδεχόμενο έχει εξορισμου πιθανότητα P( ) 0%. Για καθε δυο ενδεχομενα, ενος δειγματικου χωρου ισχύουν τα εξής: 0 P( ) 1 Προσθετικος νομος: P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) 1 P( ) Παραδειγμα Εξεταζουμε ενα συνολο μαθητων ως προς τις αθλητικες τους προτιμησεις. Το % παιζει ποδοσφαιρο, το 84 % δεν παιζει τεννις ενω το % παιζει και τα δυο. Διαλεγουμε στην τυχη εναν μαθητη. Ποια η πιθανοτητα να παιζει τεννις; Ποια η πιθανοτητα να παιζει τουλαχιστον ενα αθλημα; Ποια η πιθανοτητα να μην κανει κανενα απο τα δυο αθληματα; Αν οι μαθητες που παιζουν ποδοσφαιρο ειναι 18, ποιο ειναι το μεγεθος του δειγματος;

25 σελ. 5 απο 9 Β μερος: Γεωμετρια Τρίγωνα Ειδη τριγωνων Στοιχεια τριγωνου

26 σελ. 6 απο 9 Κριτήρια ισότητας τριγώνων Δυο τριγωνα λεγονται ισα αν το ενα ειναι ακριβης αντιγραφη του αλλου. Συνεπως, αν δυο τριγωνα ειναι ισα τοτε ολες οι αντιστοιχες γωνιες τους ειναι ισες και ολες οι αντιστοιχες πλευρες τους ειναι ισες. Παρακατω συνοψιζουμε τα τρια κριτηρια ισοτητας τριγωνων: Πλευρα Γωνια Πλευρα (ΠΓΠ) Αν δυο τριγωνα εχουν δυο αντιστοιχες πλευρες ισες και την περιεχομενη γωνια στις πλευρες αυτες ιση, τοτε ειναι ισα. Γωνια Πλευρα Γωνια (ΓΠΓ) Αν δυο τριγωνα εχουν μια πλευρα ιση και τις προσκειμενες στην πλευρα αυτη γωνιες ισες, τοτε ειναι ισα. Πλευρα Πλευρα Πλευρα (ΠΠΠ) Αν δυο τριγωνα εχουν και τις τρεις πλευρες τους ισες, τοτε ειναι ισα. Παρατηρηση: Αν δυο τριγωνα ειναι ισα τοτε απεναντι απο ισες γωνιες βρισκονται ισες πλευρες, και απεναντι απο ισες πλευρες βρισκονται ισες γωνιες. Ασκησεις στην ισοτητα τριγωνων Αποδειξτε οτι καθε σημειο της μεσοκαθετου ενος ευθυγραμμου τμηματος ΑΒ ισαπεχει αποτα σημεια Α και Β. Αποδειξτε οτι κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας. Αποδειξτε οτι δυο ορθογωνια τριγωνα που εχουν δυο αντιστοιχες πλευρες ισες τοτε ειναι ισα. (1 ο κριτηριο ισοτητας ορθογωνιων τριγωνων) Αποδειξτε οτι δυο ορθογωνια τριγωνα που εχουν μια αντιστοιχη γωνια ιση και μια αντιστοιχη πλευρα ιση τοτε ειναι ισα. ( ο κριτηριο ισοτητας ορθογωνιων τριγωνων) Σε ενα ισοσκελες τριγωνο ειναι ΑΒ = ΑΓ και ΑΔ η διχοτομος της. Αποδειξτε οτι και οτι η ΑΔ ειναι διαμεσος και υψος. Αποδειξτε οτι οι απεναντι πλευρες ενος παραλληλογραμμου ειναι ισες. Αποδειξτε οτι οι διαγωνιοι ενος παραλληλογραμμου διχοτομουνται ( η μια κοβει την αλλη στη μεση).

27 σελ. 7 απο 9 Το θεωρημα του Θαλη Αν τρεις η περισσοτερες παραλληλες ευθειες τεμνονται απο δυο αλλες ευθειες,, τοτε τα τμηματα που οριζονται απο την ειναι αναλογα με τα αντιστοιχα τμηματα που οριζονται απο την : (1) Αντιστροφα, αν τρεις ευθειες μεταξυ των οποιων οι δυο ειναι παραλληλες τεμνονται απο δυο αλλες ευθειες ε,ε' και οι ε,ε' οριζουν στις τρεις ευθειες τμηματα αναλογα, ετσι ωστε να ισχυει η ισοτητα (1), τοτε οι τρεις ευθειες ειναι παραλληλες. Ως ασκηση, αποδειξτε οτι αν ισχυει η ισοτητα (1) τοτε ισχυουν και οι παρακατω: Εφαρμογη 1: Αν τρεις παραλληλες ευθειες οριζουν ισα τμηματα σε μια ευθεια που τις τεμνει, τοτε θα οριζουν ισα τμηματα και σε καθε αλλη ευθεια που τις τεμνει. Εφαρμογη : Το ευθυγραμμο τμημα που ενωνει τα μεσα δυο πλευρων ενος τριγωνου ειναι παραλληλο προς την τριτη πλευρα του και ισο με το μισο της: // Και αντιστροφα: Αν απο το μεσο μια πλευρας τριγωνου φερουμε παραλληλη ευθεια προς μια αλλη πλευρα, τοτε αυτη (η παραλληλη) διερχεται απο το μεσο της τριτης πλευρας του.

28 σελ. 8 απο 9 Ομοια σχηματα Δυο κλειστα πολυγωνα λεγονται ομοια αν το ενα ειναι σμικρυνση η μεγέθυνση του άλλου. Ισοδυναμα, δυο πολυγωνα ειναι ομοια αν οι αντιστοιχες πλευρες τους ειναι αναλογες και οι αντιστοιχες γωνιες τους ειναι ισες. Παρατηρησεις: Αν δυο πολυγωνα ειναι ομοια, τοτε οι αντιστοιχες πλευρες τους (ομολογες πλευρες) εχουν τον ιδιο συντελεστη αναλογιας (λογο ομοιοτητας). Επειδη ισχυει (αντιστοιχων) πλευρων., επεται οτι ο λογος των περιμετρων δυο ομοιων σχηματων ειναι ισος με το συντελεστη αναλογιας των Αποδεικνυεται οτι δυο κανονικα πολυγωνα με τον ιδιο αριθμο πλευρων ειναι ομοια. Αποδεικνυεται οτι ο λογος των εμβαδων δυο ομοιων πολυγωνων ισουται με το τετραγωνο του συντελεστη αναλογιας των (αντιστοιχων) πλευρων. Δυο τριγωνα ειναι ομοια αν εχουν δυο γωνιες ισες. Αν δυο τριγωνα ειναι ομοια τοτε απεναντι απο ισες γωνιες βρισκονται αναλογες πλευρες. Για τα διπλανα τριγωνα ειναι: πλευρα μεγαλου τριγωνου πλευρα μικρου τριγωνου 6 περιμετρος μεγαλου τριγωνου περιμετρος μικρου τριγωνου 11 μεγάλου τριγώνου μικρού τριγώνου Ασκησεις στην ομοιοτητα πολυγωνων Εστω τριγωνο ΑΒΓ ( 0 90 ) και ΑΔ το υψος του. o o o o o o Αποδειξτε οτι τα ΑΔΒ και ΑΒΓ ειναι ομοια. Αποδειξτε οτι τα ΑΔΒ και ΑΔΓ ειναι ομοια. Αν ΔΒ = 4, ΔΓ = 9, βρειτε το ΑΔ. Αφου υπολογισετε τις περιμετρους των ΑΔΒ, ΑΔΓ, επιβεβαιωστε οτι Υπολογιστε τον λογο Υπολογιστε τον λογο... Αποδειξτε οτι αν δυο τριγωνα ειναι ομοια με λογο ομοιοτητας λ, τοτε ο λογος των υψων, των διαμεσων και των διχοτομων τους ειναι επισης ισος με λ. Εστω ενα τριγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ. Επεκτεινουμε την πλευρα ΑΓ προς το μερος του Γ και παιρνουμε ενα τμημα ΑΔ = ΑΒ. Το σημειο Λ ειναι το μεσο του ΑΔ και το σημειο Κ ειναι το μεσο του ΒΔ. o Αποδειξτε οτι ΑΒ = ΑΓ ΑΔ o Αποδειξτε οτι το τριγωνο ΑΒΛ ειναι ισοσκελες o Αποδειξτε οτι η ΒΛ ειναι διχοτοτομος της γωνιας o Αποδειξτε οτι τα τριγωνα ΑΒΔ και ΚΛΔ ειναι ομοια o Αποδειξτε οτι τα τριγωνα ΒΓΛ και ΒΚΛ ειναι ισα o Αποδειξτε οτι τα τριγωνα ΑΒΓ και ΑΒΔ ειναι ομοια. ^

29 σελ. 9 απο 9 Τριγωνομετρία Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών [ 0,180 0 ] Μπορούμε να γενικεύσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς και να τους ορίσουμε για κάθε γωνία 0 [0,180 ], ως εξής: y y y Πινακας βασικων τριγωνομετρικων αριθμων Γωνία σε μοίρες Ημίτονο Συνημίτονο Εφαπτομένη Νόμος ημιτόνων και νόμος συνημιτόνων Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν οι παρακάτω ισοτητες: Νόμος ημιτόνων: ( ) ( ) ( ) Νόμος συνημιτόνων: Ιδιότητες τριγωνομετρικών αριθμών 0 0 0,90 ( ) 0, ( ) 0, ( ) ,180 ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0 ( ) ( ) 1