ИНФОРМАТОР. Института за математику и информатику. за упис у прву годину студија школске 2009 / године

Transcript

1 Универзитет у Крагујевцу ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ИНФОРМАТОР Института за математику и информатику за упис у прву годину студија школске 009 / 00. године Крагујевац, 009. године

2 Овај информатор је намењен будућим студентима Природноматематичког факултета у Крагујевцу. У њему можете наћи детаљне информације о наставним плановима основних академских, дипломских академских мастер и докторских академских студија из области математике и информатике, као и о условима и начину полагања пријемног испита у Институту за математику и информатику.

3 САДРЖАЈ OСНОВНЕ И ДИПЛОМСКЕ МАСТЕР АКАДЕМСКЕ СТУДИЈЕ Услови и начин полагања пријемног испита за упис на прву годину основних академских студија Правила студирања на основним и дипломским мастер академским студијама Студије из области математике Студије из области математике у Институту за математику и информатику Студијски програм основних академских студија из области математике Студијски програм дипломских академских мастер студија из области математике Модул Професор математике Модул Математика Предлог изборних предмета који одговарају одређеним профилима Студије из области информатике Студије из области информатике у Институту за математику и информатику Студијски програм основних академских студија из области информатике Студијски програм дипломских академских мастер студија из области информатике Модул Рачунарство и информатика Модул Професор информатикe

4 ДОКТОРСКЕ АКАДЕМСКЕ СТУДИЈЕ Правила студирања Студијски програм докторских академских студија за стицање стручног назива доктор математичких наука Студијски програм докторских академских студија за стицање стручног назива доктор наука рачунарске науке ПРИЛОГ - ЗАДАЦИ ЗА ПРИПРЕМУ ПРИЈЕМНОГ ИСПИТА

5 Драгe будуће колеге, Вероватно већина вас, управо сада, бира себи професију за читав живот. Разуме се да она треба да буде потребна и корисна друштву у коме живимо, али би истовремено требало да вам она представља и задовољство. Ако сте одлучили да своје време, ентузијазам и стрпљење посветите студијама из области математике или информатике, на добром сте путу да ваш посао буде и једно и друго. Прва, и често једина, представа нових студената о примени знања које ће на овим студијама стећи, јесте да ће служити само даљем преношењу млађим генерацијама (раду у школи) или, евентуално, као основа за научни рад. Они, свакако, не греше у томе да су оваква опредељења добра, али нису једина. Наиме, у данашњем друштву, реалне ситуације намећу велики број проблема који се не могу решити без математике, нити се могу реализовати без примене информационих технологија. Поменимо само све популарнију финансијску математику, као и то да се свако истраживање у области медицине, биологије или пак било које друштвене науке, не може извести без статистичке обраде података. Да ли вам је познато да се добро организован саобраћај, осигуравајућа друштва, банке и сл. ослањају на математичке моделе? О применама информационих технологија није потребно говорити. О њима можете учити на разним факултетима, али вам овај факултет пружа могућност да у сарадњи са колегама математичарима направите корак даље. Интернет претраживачи, агенти, видео игрице, незамисливи су без сарадње информатичара и математичара (иза Google-а стоји читав тим математичара). Без обзира за који се модул будете определили, наша сарадња се не мора завршити вашим дипломирањем. Можемо сарађивати на докторским студијама или у конкретним пословима. У сваком случају, биће нам драго да останемо у контакту. Видимо се у октобру!

6 ОСНОВНЕ И ДИПЛОМСКЕ МАСТЕР АКАДЕМСКЕ СТУДИЈЕ ОСНОВНЕ И ДИПЛОМСКЕ МАСТЕР АКАДЕМСКЕ СТУДИЈЕ

7 УСЛОВИ И НАЧИН ПОЛАГАЊА ПРИЈЕМНОГ ИСПИТА ЗА УПИС НА ПРВУ ГОДИНУ ОСНОВНИХ АКАДЕМСКИХ СТУДИЈА Природно-математички факултет садржи четири Института: Институт за хемију; Институт за биологију и екологију; Институт за физику; Институт за математику и информатику. У Институту за математику и информатику, основне академске студије трају три године (6 семестара), дипломске академске студије две године (4 семестра), а докторске академске студије три године (6 семестара). Упис студената врши се на основу конкурса, са тачно одређеним правилима за утврђивање редоследа кандидата за упис. Конкурс се објављује у средствима јавног информисања и на основу њега кандидати подносе пријаву са свом потребном документацијом. Право на упис основних академских студија имају држављани Републике Србије, као и држављани других земаља уколико су средњошколско образовање у четворогодишњем трајању стекли у Србији. Држављани Републике Србије и страни држављани који су претходно образовање стекли у иностранству, могу се уписати на прву годину студија уколико су претходно нострификовали сведочанства стечена у иностранству. Такође, страни држављани поднесе доказ да су савладали српски језик, као и потврду да су здравствено осигурани. Кандидати, уз ПРИЈАВУ НА КОНКУРС и доказ о уплати накнаде за полагање пријемног испита, подносе оригинале или оверене фотокопије следећих докумената: извода из матичне књиге рођених; сведочанства сва четири разреда завршене средње школе; дипломе о завршном (матурском) испиту.

8 Информатор Института за математику и информатику Кандидати који се пријаве на конкурс за упис у прву годину основних академских студија у Институту за математику и информатику полажу пријемни испит из математике. НАПОМЕНА Без личне карте није могуће приступити полагању пријемног испита. Кандидати који стекну право, приликом УПИСА подносе: индекс са идентификационом картицом; фасциклу; два ШВ-0 обрасца; три уверења о студирању; две фотографије формата 4 x 6 cm и једну фотографију формата x,5 cm; доказе о уплатама накнада за упис. Сви потребни обрасци се купују у скриптарници Факултета. Уписом на Факултет стиче се статус студента. Обавезе и права студената регулисана су Статутом Факултета. Сва додатна обавештења у вези уписа на Факултет, као и конкурисања за студентски дом, могу се добити у студентској служби путем телефона (04) или лично на Факултету, ул. Радоја Домановића, Крагујевац, а можете посетити и Web страну Факултета или Web страну Института за математику и информатику imi.pmf.kg.ac.yu.

9 НЕКОЛИКО КОРИСНИХ ИНФОРМАЦИЈА На пријемном испиту се полаже математика. За припрему пријемног испита препоручујемо вам уџбенике и збирке задатака из математике за ученике гимназије, природно-математичког смера. У овом информатору можете наћи примере задатака са претходних пријемних испита, као и одабране задатке за припрему пријемног испита (страна 57). Факултет организује припреме за полагање пријемног испита. Информације о терминима можете добити у студентској служби. Напомињемо да је свим студентима на располагању добро опремљена рачунарска сала са сталном и брзом Интернет везом. Институт се налази у главној згради Природно-математичког факултета, ул. Радоја Домановића, Крагујевац.

10 ПРАВИЛА СТУДИРАЊА НА ОСНОВНИМ И ДИПЛОМСКИМ МАСТЕР АКАДЕМСКИМ СТУДИЈАМА Укупно трајање основних академских студија у Институту за математику и информатику Природно-математичког факултета у Крагујевцу је године (6 семестара). За то време студент треба да сакупи 80 ЕСПБ бодова. Након освојених 80 ЕСПБ бодова, студент стиче одговарајући стручни назив (математичар, односно информатичар). На дипломске академске мастер студије из области математике, односно информатике, студент се може уписати након завршених основних академских студија из области математике, тј. информатике, и сакупљених 80 ЕСПБ. Студије трају две године (4 семестра). За то време студент треба да сакупи 0 ЕСПБ бодова. Након освојених 0 ЕСПБ бодова (односно 00 ЕСПБ, на нивоу петогодишњих студија) и положеног Завршног рада студент стиче одговарајући академски назив у зависности од изабраног модула. На дипломским академским мастер студијама из области математике постоје два модула:. Професор математике;. Mатематика, у односу на које студент стиче један од академских назива: Дипломирани математичар мастер професор математике; Дипломирани математичар мастер за математику. На дипломским академским мастер студијама из области информатике, студент може изабрати модуле:. Рачунарство и информатика;. Професор информатике, у односу на које стиче један од академских назива: Дипломирани информатичар мастер; Дипломирани информатичар - мастер професор информатике.

11 Природно-математички факултет Сваки од студијских програма има дефинисане обавезне и изборне предмете, који у складу са својом природом, могу бити академско-општеобразовног (АО), теоријско-методолошког (ТМ), научно-стручног (НС) и стручно-апликативног (СА) типа. Сваком предмету је додељена јединствена шифра (ознака у табелама Ш). Настава је организована по семестрима (ознака у табелама С), при чему сваки предмет траје један семестар. Реализација наставе се врши кроз предавања (п), вежбе (в), друге облике активне наставе (дон), а у завршном семестру мастер студија и кроз студијски истраживачки рад (с). Пријављивање изборних предмета се врши по правилу приликом уписа одговарајућег семестра. Из сваке групе изборних предмета студент бира један или више предмета, водећи рачуна да укупан број ЕСПБ бодова у академској години буде 60. Студент који није успешно савладао обавезни предмет до почетка наредне школске године, у наредној школској години уписује (слуша и полаже) исти предмет. Студент који није успешно савладао изборни предмет, може поново да упише исти, или да се определи за други изборни предмет. На дипломским академским мастер студијама, студент не може поново полагати исти предмет који је раније положио на основним академским студијама. Уколико је студент обавезне предмете са дипломских академских студија положио као изборне предмете на основним академским студијама, онда уместо њих полаже изборне предмете. Испуњавањем предиспитних обавеза и полагањем испита студент може остварити највише 00 поена. Да би студент положио испит мора да освоји најмање 55 поена. Принцип оцењивања је дат следећом табелом: Остварен број поена Нумеричка (описна) оцена Ненумеричка оцена до 54 поена 5 (недовољан) Ф (довољан) Е (добар) Д (врло добар) Ц (одличан) Б (одличан-изузетан) А

12 Информатор Института за математику и информатику Последњи испит у току дипломских академских студија је Завршни рад. За израду Завршног рада предвиђен је Студијски истраживачки рад који се реализује у току завршног семестра. Теме за Завршни рад одређује Веће катедре Института за математику и информатику на почетку сваке школске године. Сваки наставник је обавезан да на почетку школске године да 5 тема за Завршни рад. Списак тема са именима ментора мора бити јавно истакнут на огласној табли Института за математику и информатику. Студенти пријављују тему за израду Завршног рада по освајању најмање 40 EСПБ бодова. Уколико се два студента определе за исту тему, предност има студент који се раније пријавио. Уколико се више студената истог дана определи за исту тему, предност има студент са највећом просечном оценом. Завршни рад се брани пред трочланом комисијом, коју одређује Веће катедре Института за математику и информатику. Чланови комисије морају бити из реда наставника. Ментор Завршног рада је обавезно један од чланова комисије.

13 СТУДИЈЕ ИЗ ОБЛАСТИ МАТЕМАТИКЕ "Математика и њен стил размишљања морају постати саставни део опште културе савременог човека, човека који се образује у данашњим школама, без обзира да ли ће он вршити посао који користи математику или не." ЗАКЉУЧАК КОНФЕРЕНЦИЈЕ UNESCO А О ОБРАЗОВАЊУ СТУДИЈЕ ИЗ ОБЛАСТИ МАТЕМАТИКЕ

14 Шта је математика? Иако су многи покушавали да дефинишу шта је математика, општи став је да је ни једна дефиниција не може потпуно описати. Једини пут до одговора на ово питање јесте бављење математиком. Рецимо да је далеко од представе коју већина има техника баратања бројевима и словима, тј. рачун. Потпуно супротан доживљај имају они који се њом баве. Они ће се сложити са констатацијом да је математика универзални алат, применљивији од било ког другог. Математичари користе бројеве и симболе у различите сврхе, од стварања нових теорија до превођења техничких проблема у математичке оквире.

15 СТУДИЈЕ ИЗ ОБЛАСТИ МАТЕМАТИКЕ У ИНСТИТУТУ ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Од школске 008/009. важе нови наставни планови усклађени са Болоњском декларацијом. Битне карактеристике нових студија су: обавезни предмети покривају знања која сваки математичар мора да поседује; велики број изборних предмета нуди студентима могућност да једним делом сами креирају студије према својим афинитетима; планови су тако осмишљени да је промена модула у току студија могућа у било ком тренутку. Основне академске и дипломске мастер студије су организоване по моделу +. Основне академске студије немају дефинисане модуле. Студијски програм на дипломским академским мастер студијама садржи два модула: Професор математике и Математика. Одабрани модул одређује звање које ће студент добити након завршених дипломских академских мастер студија. Тип студија Основне академске (трогодишње) Дипломске академске-мастер (двогодишње) Докторске академске (трогодишње) Математичар Звање Дипломирани математичар мастер професор математике Дипломирани математичар мастер за математику Доктор математичких наука

16 Природно-математички факултет - Модул Професор математике - Овај модул је намењен студентима који, пре свега, желе да након завршетка студија раде у школама као професори математике. Програм је прилагођен том циљу па су, за разлику од досадашњих, ове студије обојене већим бројем методичких садржаја. Факултет има одличну сарадњу са основним и средњим школама, што пружа могућност студентима да се и пре завршетка својих студија могу упознати са процесом реализације наставе.

17 Информатор Института за математику и информатику СТУДИЈСКИ ПРОГРАМ ОСНОВНИХ АКАДЕМСКИХ СТУДИЈА ИЗ ОБЛАСТИ МАТЕМАТИКЕ I година С. Р.бр. Ш. Тип Предмет. М0 ТМ Математичка логика и теорија скупова 0 6. M0 ТМ Елементарна геометрија са тригонометријом 0 6. М0 ТМ Анализа 9 4. M04 АО Софтверски практикум Изборни предмет 0 5 Збир 0 0 Р.бр. Ш. Тип Изборни предмет. К0 АО Енглески језик 0 5. К0 АО Руски језик 0 5. Б4 АО Хигијена 0 5 С. Р.бр. Ш. Тип Предмет. Фонд. М05 ТМ Анализа 9. М06 ТМ Линеарна алгебра и полиноми 0 9. М07 СА Дискретна математика Изборни предмет 0 5 Збир Р.бр. Ш. Тип Изборни предмет. К06 АО Енглески језик 0 5. М9 АО Економија 0 5

18 Природно-математички факултет II година С. Р.бр. Ш. Тип Предмет.. М08 НС Анализа 0 9. М09 НС Аналитичка геометрија 0 7. М5 СА Основи програмирања 7 4. Изборни предмет 0 5 Р.бр. Ш. Тип Изборни предмет Збир К0 АО Енглески језик 0 5. К0 АО Руски језик 0 5. К08 АО Енглески језик Б4 АО Хигијена 0 5 С. Р.бр. Ш. Тип Предмет 4.. М НС Анализа М НС Алгебарске структуре 0 9. М НС Геометрија (5.) Изборни предмет 4 (5) 4,, 0,,0 0,0, 6 Р.бр. Ш. Тип Изборни предмет 4 (5) Збир,, 9,, 9 0,0,. К АО Језичка култура 0 0. Б0 АО Биоетика 0 0. Б44 АО Основи екологије Ф АО Филозофија природних наука 0 6 Напомена: Студент бира изборне предмете у 4. семестру тако да обезбеди 6 ЕСПБ бодова.

19 Информатор Института за математику и информатику III година С. Р.бр. Ш. Тип Предмет. М4 СА Диференцијалне једначине 0 7. М5 НС Вероватноћа Изборни предмет Изборни предмет 7,4 0 7 Збир, 0 9 Р.бр. Ш. Тип Изборни предмет 6. М0 СА Теорија бројева 0 6. М СА Теорија графова 0 6 Р.бр. Ш. Тип Изборни предмет 7. М6 СА Базе података 0 7. М СА Финансијска математика 0 7. Ф98 СА Физика С. Р.бр. Ш. Тип Предмет. М6 СА Нумеричка математика М7 СА Статистика 9. М8 НС Функционална анализа Изборни предмет Збир 7 Р.бр. Ш. Тип Изборни предмет 8 п в дон ЕСПБ. К4 АО Културологија М АО Психолошке основе учења математике 0 0 4

20 Природно-математички факултет СТУДИЈСКИ ПРОГРАМ ДИПЛОМСКИХ АКАДЕМСКИХ МАСТЕР СТУДИЈА ИЗ ОБЛАСТИ МАТЕМАТИКЕ Модул Професор математике I година С. Р.бр. Ш. Тип Предмет 7.. М0 НС Комплексна анализа 8. К09 АО Психологија М0 ТМ Нацртна и компјутерска геометрија 6 4. Изборни предмет Изборни предмет 0, 6 Збир 5,7 4 0 Р.бр. Ш. Тип. М4 ТМ Изборни предмет и Изборни предмет Додатна настава математике у 0 6 основној школи. М5 НС Нееуклидске геометрије 0 6. М70 СА Образовни софтвер 6 4. М6 СА Финансије 0 6 С. Р.бр. Ш. Тип Предмет. М0 ТМ Елементарна математика М04 АО Методика 8. К0 АО Педагогија Изборни предмет 0 8 Збир 8 0

21 Информатор Института за математику и информатику Р.бр. Ш. Тип Изборни предмет. М09 СА Парцијалне и интегралне једначине 0 8. М0 СА Операциона истраживања 0 8. М НС Топологија 0 8 II година С. Р.бр. Ш. Тип Предмет 9.. М05 АО Историја и филозофија математике 0 6. М06 СА Методика у школи 8. Изборни предмет Изборни предмет Збир 8 0 Р.бр. Ш. Тип Изборни предмет 4 и Изборни предмет 5. М НС Диференцијална геометрија 0 8. М08 НС Алгебра и логика 0 8. М СА Нумeричка анализа М7 ТМ Комбинаторна геометрија 0 8 С. Р.бр. Ш. Тип Предмет 0. п в дон с ЕСПБ. М07 СА Методика у школи 0 8. М4 СА Студијски истраживачки рад М5 СА Завршни рад 7 Збир 4 0

22 Природно-математички факултет СТУДИЈЕ ИЗ ОБЛАСТИ ИНФОРМАТИКЕ МИСИЈА Да постанемо образовни и технолошки инкубатор будуће софтверске индустрије Србије. Да квалитет знања наших студената буде препознатљиво добар. Да наши студенти буду спремни за самосталан рад у пракси и довољно самоуверени да свој посао могу и самостално да осмисле. ВИЗИЈА Да кроз партнерство са фирмама за развој софтвера омогућимо студентима праксу и тиме их припремимо за послове за које се школују. Да заједно са студентима основних, дипломских и докторских академских студија радимо на реализацији пројеката који захтевају примене и развој информационих технологија. СТУДИЈЕ ИЗ ОБЛАСТИ ИНФОРМАТИКЕ

23 Рачунарске науке или Информатика Иако ћете по негде наћи да оба појма означавају исто, ипак постоји разлика између значења појмова Рачунарске науке и Информатика. Computer science, or computing science, is the study of the theoretical foundations of information and computation and their implementation and application in computer systems. Wikipedia, the free encyclopedia Informatics includes the science of information, the practice of information processing, and the engineering of information systems. Informatics studies the structure, behavior, and interactions of natural and artificial systems that store, process and communicate information. Wikipedia, the free encyclopediа Можда непрецизно именоване, студије из области инфор-матике на факултетима у Србији, углавном подразумевају студије на којима се проучавају области рачунарских наука. У сваком случају, студије имају задатак да дају знања из фундаменталних области рачунарства, као и да оспособе студента како за практичан рад тако и за самостално учење након завршених студија.

24 СТУДИЈЕ ИЗ ОБЛАСТИ ИНФОРМАТИКЕ У ИНСТИТУТУ ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ У Институту за математику и информатику први информатички садржаји су уведени пре 8 година. У последњих десет година у Институту постоји образовни профил дипломирани математичар-информатичар. Од школске 008/009. важе нови наставни планови којима су студије математике и информатике потпуно одвојене, а који су усклађени са Болоњском декларацијом. Битне карактеристике нових студија су: обавезни предмети покривају знања која сваки информатичар мора да поседује; велики број изборних предмета нуди студентима могућност да једним делом сами креирају студије према својим афинитетима; обавезна пракса у партнерским фирмама, као и велики број семинарских радова дају добар оквир да стечена теоријска знања буду функционална и употребљива; планови су тако осмишљени да је промена модула у току студија могућа у било ком тренутку. Основне академске и дипломске мастер студије су организоване по моделу +. Студијски програм на дипломским академским мастер студијама нуди два усмерења: Рачунарство и информатика и Професор информатике. Одабрано усмерење одређује звање које ће студент добити након завршених дипломских академских мастер студија.

25 Информатор Института за математику и информатику Тип студија Основне академске (трогодишње) Дипломске академске (двогодишње) Докторске академске (трогодишње) Информатичар Звање Дипломирани информатичар мастер Дипломирани информатичар мастер професор информатике Доктор наука рачунарске науке Савладавањем датих студијских програма, студент је оспособљен за успешно обављање послова који захтевају владање различитим областима рачунарских наука, познавање и способност коришћења постојећих, разумевање и развој нових информационих технологија, да се прилагоди специфичним захтевима различитих области људског деловања (индустрија, пољопривреда, здравство, државна управа, просвета) у којима ће своја знања примењивати, као и за даље стручно и научно усавршавање. Савладавањем студијског програма на модулу Професор информатике или на модулу Рачунарство и информатика уз изабрану групу наставних предмета (Психологија, Педагогија и Методика наставе информатике) студент је оспособљен да: успешно преноси знање из области информатике и вештине коришћења савремених информационих технологија уз примену савремених наставних метода; изводи додатну наставу у основним и средњим школама.

26 Природно-математички факултет СТУДИЈСКИ ПРОГРАМ ОСНОВНИХ АКАДЕМСКИХ СТУДИЈА ИЗ ОБЛАСТИ ИНФОРМАТИКЕ I година С. Р.бр. Ш. Тип Предмет. M5 ТМ Основи програмирања 7. M5 ТМ. M5 ТМ Теоријске основе информатике Линеарна алгебра и аналитичка геометрија M54 ТМ Рачунарски системи K0 АО Енглески језик 0 5 Збир 8 0 С. Р.бр. Ш. Тип Предмет.. M55 СА Структуре података и алгоритми 0 7. M56 ТМ Математичка анализа 0 6. M57 ТМ Теоријске основе информатике M58 НС Архитектура рачунара M59 АО Софтверски практикум 0 4 Збир 0 0 0

27 Информатор Института за математику и информатику II година С. Р.бр. Ш. Тип Предмет. M60 НС Структуре података и алгоритми 7. M6 НС Теоријске основе информатике M6 НС Базе података M6 НС Оперативни системи Изборни предмет из групе А (4) () 0 5 (7) Збир 0 (4) () (4) Р.бр. Ш. Тип Изборни предмет А. Б4 АО Хигијена 0 5. Ф98 АО Физика С. Р.бр. Ш. Тип Предмет. M64 СА Објектно-оријентисано програмирање 7. M65 СА Софтверски практикум 7 4. Рачунарске мреже и. M66 НС мрежне технологије 0 6 Изборни предмети из 4. групе А 4 0() 0 8 (6) Збир 6(7) 8 (6) Р.бр. Ш. Тип Изборни предмет А. Б0 АО Биоетика 0 0. K АО Језичка култура 0 0. K06 АО Енглески језик 0 5

28 Природно-математички факултет III година С. Р.бр. Ш. Тип Предмет. M67 СА Визуелно програмирање M68 СА Информациони системи 8. M69 НС Алгоритамске стратегије 7 4. Изборни предмет из групе Б () 7 Збир 0 7(8) 4 0 Р.бр. Ш. Тип Изборни предмет група Б. M7 НС Интеракција човек-рачунар 7. M70 НС Архитектура рачунара 7 С. Р.бр. Ш. Тип Предмет. M7 НС Интелигентни системи 8. M7 СА Софтверски инжењеринг Изборни предмет из групе В 7 4. Изборни предмети из групе Г 4() (0) 0(4) 9 Збир 7(6) (6) 0 (9) Р.бр. Ш. Тип Изборни предмет група В. M74 СА Електронско пословање 7. M75 СА Web програмирање 7 Р.бр. Ш. Тип Изборни предмет група Г. M77 СА Пројектни задатак K4 АО Културологија M9 АО Економија 0 5

29 Информатор Института за математику и информатику СТУДИЈСКИ ПРОГРАМ ДИПЛОМСКИХ АКАДЕМСКИХ МАСТЕР СТУДИЈА ИЗ ОБЛАСТИ ИНФОРМАТИКЕ Модул Рачунарство и информатика I година С. Р.бр. Ш. Тип Предмет. М5 НС Оперативни системи 7 Формални језици, аутомати. М5 НС 6 и језички процесори 7. Нумеричка математика и. М5 ТМ 0 5 симболичко програмирање Изборни предмети из 4. групе Р Збир Напомена. Студент из групе Р мора да изабере два предмета који у збиру вреде најмање ЕСПБ, а највише ЕСПБ. Р.бр. Ш. Тип Изборни предмети група Р. К09 AO Психологија К08 AO Енглески језик 0 5. М ТМ Теорија графова М6 AO Финансије М0 ТМ Теорија бројева М56 НС Рачунарска графика 6 7. М55 СА Базе података 7 8. М57 СА Изборни семинар 7 9. М54 НС Методика наставе информатике 8

30 Природно-математички факултет С. Р.бр. Ш. Тип Предмет 8.. М59 СА Примењена информатика 6. М6 НС Теоријско рачунарство 7. М60 ТМ Вероватноћа и статистика Изборни предмети из групе Р Збир Напомена. Студент из групе Р мора да изабере два предмета који у збиру вреде онолико ЕСПБ бодова колико му је потребно да укупан број ЕСПБ бодова предмета које је похађао у 7. семестру и које ће похађати у 8. семестру буде 60. ( ЕСПБ ако су изборни предмети које је похађао у 7. семестру носили ЕСПБ, ЕСПБ ако су изборни предмети које је похађао у 7. семестру носили ЕСПБ, а ЕСПБ ако су изборни предмети које је похађао у 7. семестру носили ЕСПБ.) Р.бр. Ш. Тип Изборни предмети група Р. K0 AO Педагогија M9 AO Економија 0 5. М6 СА Квалитет и тестирање софтвера 5 4. Ф AO Развој научне мисли М6 СА Информациони системи 7 6. М65 НС Рачунарске симулације 7 7. М0 ТМ Операциона истраживања М64 НС Интелигентни системи 8

31 Информатор Института за математику и информатику II година С. Р.бр. Ш. Тип Предмет 9.. М68 СА Интернет програмирање 7. М69 СА Управљање пројектима 0 7. М67 СА Стручна пракса 4. Изборни предмети из групе Р Збир Напомена. Студент из групе Р мора да изабере два предмета који у збиру вреде 4 ЕСПБ. Р.бр. Ш. Тип Изборни предмети група Р п в дон. М70 СА Образовни софтвер 6. М76 СА Учење на даљину 6. М0 ТМ Нацртна и компјутерска геометрија 6 4. М74 НС Интелигентни информациони системи 7 5. М7 СА Софтверски инжењеринг 7 6. М57 СА Изборни семинар 7 7. М75 НС Представљање знања и закључивање 8 8. М7 НС Пројекат примењене математике 8 ЕСП Б С. Р.бр. Ш. Тип Предмет ЕСПБ п в дон с. М78 СА Пројектни задатак М79 НС Студијски истраживачки рад М80 НС Завршни рад 7 Збир 4 9

32 Природно-математички факултет Модул Професор информатикe I година С. Р.бр. Ш. Тип Предмет. К09 AO Психологија Методика наставе. М54 НС 8 7. информатике Нумеричка математика и. М5 ТМ 0 5 симболичко програмирање Изборни предмети из 4. групе П Збир Напомена. Студент из групе П мора да изабере два предмета који у збиру вреде ЕСПБ. Р.бр. Ш. Тип Изборни предмети група П. М5 НС Формални језици, аутомати и језички процесори 6. М ТМ Теорија графова 0 6. М6 AO Финансије М0 ТМ Теорија бројева М56 НС Рачунарска графика 6 6. М55 СА Базе података 7 7. М57 СА Изборни семинар 7 8. М5 НС Оперативни системи 7

33 Информатор Института за математику и информатику С. Р.бр. Ш. Тип Предмет 8.. К0 AO Педагогија М58 СА Методика у школи М60 ТМ Вероватноћа и статистика Изборни предмети из групе П Збир Напомена. Студент из групе П мора да изабере два предмета који у збиру вреде ЕСПБ. Р.бр. Ш. Тип Изборни предмети група П. М9 AO Економија 0 5. М6 СА Квалитет и тестирање софтвера 5. Ф AO Филозофија природних наука М6 НС Теоријско рачунарство 7 5. М6 СА Информациони системи 7 6. М65 НС Рачунарске симулације 7 7. М0 ТМ Операциона истраживања М64 НС Интелигентни системи 8 II година С. Р.бр. Ш. Тип Предмет. М66 СА Методика програмирања М70 СА Образовни софтвер 6. М68 СА Интернет програмирање 7 4. Изборни предмети из групе П Збир Напомена. Студент из групе П мора да изабере два предмета који у збиру вреде ЕСПБ.

34 Природно-математички факултет Р.бр. Ш. Тип Изборни предмети група П. К08 AO Енглески језик 0 5. М76 СА Учење на даљину 6. М0 ТМ Нацртна и компјутерска геометрија 6 4. М69 СА Управљање пројектима М74 НС Интелигентни информациони системи 7 6. М7 СА Софтверски инжењеринг 7 7. М57 СА Изборни семинар 7 8. М7 НС Пројекат примењене математике 8 9. М75 НС Представљање знања и закључивање 8 С. Р.бр. Ш. Тип Предмет ЕСПБ п в дон с. М78 СА Пројектни задатак М79 НС Студијски истраживачки рад М80 НС Завршни рад 7 Збир 4 9

35 ДОКТОРСКЕ АКАДЕМСКЕ СТУДИЈЕ ДОКТОРСКЕ АКАДЕМСКЕ СТУДИЈЕ

36 ПРАВИЛА СТУДИРАЊА НА ДОКТОРСКИМ АКАДЕМСКИМ СТУДИЈАМА Докторске академске студије трају године (6 семестара). За то време студент треба да сакупи 80 ЕСПБ бодова. Након освојених 80 ЕСПБ бодова и одбрањене Докторске дисертације, студент стиче одговарајући научни назив (доктор математичких наука, односно доктор наука - рачунарске науке). На докторске академске студије из области информатике/рачунарства) могу се уписати: математике (тј. Магистри математичких (тј. информатичких/рачунарских) наука (VII степен стручне спреме); Специјалисти математичких (тј. информатичких/рачунарских) наука; Студенти последипломских (магистарских или специјалистичких) студија према прописима који су важили пре ступања на снагу Закона о високом образовању, ако су на дипломским студијама остварили процечну оцену не мању од 8,00; Лица са завршеним дипломским академским студијама из области математике (тј. информатике/рачунарства), обима 00 ЕСПБ, са просечном оценом не мањом од 8,00; Лица са завршеним четворогодишњим дипломским студијама из области математике (тј. информатике/рачунарства) према прописима који су важили пре ступања на снагу Закона о високом образовању, ако су на дипломским студијама остварили просечну оцену не мању од 8,00; Лица са завршеним дипломским академским студијама из области сродних математици (тј. информатици/рачунарству), са просечном оценом не мањом од 8,00. Сродност области утврђује Веће катедре за математику и информатику; Лица која су стекла еквивалентно образовање у иностранству (ако таквим лицима српски језик није матерњи, неопходна је потврда о знању српског језика, коју издаје одговарајућа установа).

37 Информатор Института за математику и информатику За упис на докторске студије неопходно је познавање енглеског језика чију проверу врши Природно-математички факултет. Кандидати који имају просечну оцену мању од 8,00 током дипломских академских студија, могу се уписати на докторске студије након полагања диференцијалних испита чији обим и начин полагања одређује Веће катедре Института за математику и информатику. Број студената који се уписују докторске академске студије предлаже Факултет, а на основу предлога Већа катедре Института за математику и информатику. Влада Републике Србије одређује број студената који ће се финансирати из буџета, односно број оних који ће се сами финансирати. Наставa на докторским академским студијама је организована по семестрима, при чему сваки предмет траје један семестар. Часови активне наставе подељени су на часове предавања (п) и студијског истраживачког рада (с). Студије се изводе на српском језику. Предмети се деле на обавезне и изборне. Студент који није успешно савладао обавезни предмет до почетка наредне школске године, у наредној школској години уписује (слуша и полаже) исти предмет. Студент који није успешно савладао изборни предмет, може поново да упише исти, или да се определи за други изборни предмет. У студијском програму докторских академских студија, поред полагања обавезних и изборних предмета, одређен број ЕСПБ бодова студент добија за студијски истраживачки рад. Под Истраживачким радом у студијском програму подразумева се обавеза студента да напише један семинарски рад, везан за један од изборних предмета који је слушао у одговарајућем семестру. Позиције Семинар у студијском програму подразумевају обавезу студента да на основу написаног семинарског рада одржи бар једно предавање (минимално 45 минута) у Институту за математику и информатику.

38 Природно-математички факултет Позиција Докторска дисертација теоријске основе је класификациони испит кандидата за израду докторске дисертације. Садржај се формира посебно за сваког кандидата према потребама даљег рада. Сврха овог испита је да студент покаже висок ниво разумевања области из које ће радити Докторску дисертацију. Студент има обавезу да напише један семинарски рад и да га одбрани пред трочланом комисијом. Позиција Докторска дисертација студијско истраживање подразумева самостални рад студента на решавању отворених проблема. Позиција Докторска дисертација студијско истраживање подразумева да добијене резултате студент припреми за публиковање у часопису на енглеском језику са рецензијом. Докторска дисертација је резултат самосталног рада студента и представља оригинални научни допринос математичким (тј. рачунарским) наукама. Да би студент могао да брани докторску дисертацију мора да има најмање један рад објављен или прихваћен за објављивање у часопису са SCI листе.

39 Информатор Института за математику и информатику СТУДИЈСКИ ПРОГРАМ ДОКТОРСКИХ АКАДЕМСКИХ СТУДИЈА ЗА СТИЦАЊЕ СТРУЧНОГ НАЗИВА ДОКТОР МАТЕМАТИЧКИХ НАУКА Р.бр. Ш. Предмет I II III IV V VI П С П С П С П С П С П С Методологија. М00 научно 0 5 истраживачког рада. Изборни предмет 5 0. Изборни предмет М Истраживачки рад Изборни предмет Изборни предмет М Истраживачки рад М Семинар Изборни предмет Изборни предмет М4 Истраживачки рад 0 5. М5 Семинар 0 5 Докторска. М6 дисертација теоријске основе Докторска 4. М7 дисертација студијско истраживање 5. М8 Докторска дисертација студијско истраживање 6. М9 Докторска дисертација израда и одбрана 0 Укупно

40 Природно-математички факултет Р.бр. Ш. Изборни предмет и ЕСПБ Изборни предмет п с. М0 Одабрана поглавља дискретне математике 5 0. M0 Теорија графова 5 0. M0 Нумеричка анализа M04 Теорија оператора и функционални простори М05 Оптимизација 5 0 Класична диференцијална 6. М геометрија Риманова и 0 7. М07 5 семи-риманова геометрија 8. М08 Теорија модела М09 Универзалне алгебре М0 Теорија рекурзија 5 0 Р.бр. Ш. Изборни предмет и Изборни предмет 4 п с ЕСПБ. М Спектрална теорија графова 5 0. M Спектрална теорија матрица 5 0. M Теорија апроксимација M4 Нумеричка интеграција М5 Теорија игара М6 Линеарно програмирање М7 Геометрија подмногострукости М8 Лиове групе М9 Булове алгебре М0 Теорија скупова 5 0

41 Информатор Института за математику и информатику Р.бр. Ш.. М. M Изборни предмет 5 и ЕСПБ Изборни предмет 6 п с Примена дискретне математике у природним и техничким наукама Програмирање у дискретној математици M Софтвер за нумеричку анализу M4 Нумеричко решавање ПДЈ М5 Нумеричке методе оптимизације М6 Дискретна оптимизација М7 Комплексне многострукости М8 Симетрије М9 Инфинитарне логике и логике са генералисаним кванторима М0 Нестандардна анализа 5 0. Изборни предмет из другог студијског програма 5 0 Студент може прећи на докторске академске студије из области математике са било ког другог сродног студијског програма. Сродност области утврђује Веће катедре за математику и информатику. Студијски програм докторских академских студија у Институту за математику и информатику за стицање научног назива доктор математичких наука треба да оспособи студента да самостално води оригинална и научно релевантна истраживања, критички процењује истраживања других, као и да активно учествује у развоју научне дисциплине из које је докторирао и науке уопште, а тиме допринесе и развоју целог друштва. Савладавањем студијског програма студент стиче следеће предметно-специфичне способности: темељно познавање и разумевање области математике из које је докторирао; способност за самостално решавање теоријских и практичних проблема у области из које је докторирао;

42 Природно-математички факултет способност повезивања различитих математичких дисциплина, као и способност повезивања појединих математичких дисциплина са другим научним гранама; способност решавања проблема, како у математици, тако и у другим наукама, уз примену научних метода и поступака; способност сагледавања могућности примене добијених резултата, како у другим областима математике, тако и у другим наукама; способност праћења и примене савремених достигнућа у струци и науци; способност за коришћење научне литературе и савремених информационо-комуникационих технологија, у стицању знања из области математике и сродних области; способност анализе и процене исправности резултата свог и туђег рада; способност за даље самостално научно усавршавање.

43 Информатор Института за математику и информатику СТУДИЈСКИ ПРОГРАМ ДОКТОРСКИХ АКАДЕМСКИХ СТУДИЈА ЗА СТИЦАЊЕ СТРУЧНОГ НАЗИВА ДОКТОР НАУКА РАЧУНАРСКЕ НАУКЕ Р.бр. Ш. Предмет I II III IV V VI П С П С П С П С П С П С Методологија научно. M5 истраживачког рада 0 5 у рачунарским наукама. Изборни предмет 5 0. Изборни предмет M7 Истраживачки рад Изборни предмет Изборни предмет M7 Истраживачки рад M7 Семинар Изборни предмет Изборни предмет M74 Истраживачки рад 0 5. M75 Семинар 0 5 Докторска. M76 дисертација теоријске основе Докторска дисертација 4. M77 студијско истраживање Докторска 5. M78 дисертација студијско истраживање Докторска 6. M79 дисертација 0 израда и одбрана Укупно

44 Природно-математички факултет Р.бр. Ш. Изборни предмет и Изборни предмет п с ЕСПБ. М5 Технологија програмирања 5 0. М5 Теоријско рачунарство 5 0. М54 Напредне базе података М55 Интернет технологије М56 Теорија графова М57 Нумеричкe методе 5 0 Р.бр. Ш. Изборни предмет и Изборни предмет 4 п с ЕСПБ. М59 Интелигентни системи 5 0. М60 Информациони системи 5 0. М6 Аквизиција података 5 0 Рачунарско моделирање и 0 4. М58 5 симулације 5. М6 Спектрална теорија графова М6 Теорија рекурзија 5 0 Р.бр. Ш. Изборни предмет 5 и ЕСПБ Изборни предмет 6 п с. М64 Представљање знања и закључивање 5 0. М65 Web-базирани системи 5 0. М66 Софтверски инжењеринг М67 Рачунарско управљање М70 Електронско пословање М68 7. Програмирање у дискретној математици Изборни предмет из другог студијског програма

45 Информатор Института за математику и информатику Студент може прећи на докторске академске студије из области информатичких/рачунарских наука са било ког другог сродног студијског програма. Сродност области утврђује Веће катедре за математику и информатику. Студијски програм докторских академских студија у Институту за математику и информатику за стицање научног назива доктор наука рачунарске науке треба да оспособи за остваривање и примену оригиналних научних достигнућа, како у рачунарским, тако и у другим наукама, као и да активно учествује у развоју научне дисциплине из које је докторирао и науке уопште, а тиме допринесе и развоју целог друштва. Савладавањем студијског програма студент стиче следеће предметно-специфичне способности: темељно познавање и разумевање области рачунарских наука из које је докторирао; способност за самостално решавање теоријских и практичних проблема у области из које је докторирао; способност повезивања различитих дисциплина рачунарских наука, као и способност повезивања појединих дисциплина рачунарских наука са другим научним гранама; способност решавања проблема, како у рачунарским, тако и у другим наукама, уз примену научних метода и поступака; способност сагледавања могућности примене добијених резултата, како у другим областима рачунарских наука, тако и у другим наукама; способност праћења и примене савремених достигнућа у струци и науци; способност за коришћење научне литературе и савремених информационо-комуникационих технологија у стицању знања из области рачунарских наука и сродних области; способност анализе и процене исправности резултата свог и туђег рада; способност за даље самостално научно усавршавање.

46 ПРИЛОГ ЗАДАЦИ ЗА ПРИПРЕМУ ПРИЈЕМНОГ ИСПИТА ЗАДАЦИ ЗА ПРИПРЕМУ ПРИЈЕМНОГ ИСПИТА

47 Природно-математички факултет ЗАДАЦИ. У школи има 00 ученика. Лети, 60% њих игра фудбал, а осталих 40% иде на пливање. Зими, ови ученици или иду на скијање или играју хокеј. Лети, 56% скијаша игра фудбал, а зими, 0% фудбалера игра хокеј. Колико ученика лети иде на пливање а зими игра хокеј? Решење: ученик лети иде на пливање а зими игра хокеј.. Ако се неком троцифреном природном броју допише цифра 8 једном на почетку и једном на крају, разлика тако добијених бројева је 07. Који је то број? Решење: На колико начина се 80 динара може поделити двојици браће, тако да старији добија само новчанице од 50 динара, а млађи само новчанице од 0 динара? Решење: на 4 начина. 4. У правоуглом троуглу тачка додира уписане кружнице и хипотенузе дели хипотенузу на одсечке дужине 5cm и cm. Израчунати површину троугла. Решење: 60cm. 5. Дужине тежишних дужи које одговарају катетама правоуглог троугла су 7cm и 4cm. Одредити дужину хипотенузе. Решење: 6. Катете правоуглог троугла су дужине b и c. Одредити дужину симетрале правог угла. 5 cm. bc Решење:. b + c 7. Одредити последње три цифре броја Решење: 400.

48 Информатор Института за математику и информатику 8. Доказати да за a b c a вредност израза ( a ) ( b ) ( c ) J = + + ( a b)( a c) ( b a)( b c) ( c a)( c b) не зависи од a, b, c. Решење: J =. 9. Дат је израз x y + x y ( x) ( y) I = x + y +. ( x )( y ) ( x ) ( y ) (a) За које вредности променљивих x и y је дефинисан израз I? (b) Доказати да израз I има исту вредност за све вредности променљивих x и y за које је дефинисан (тј. да вредност израза не зависи од x и y ). Решење: (а) x, y, x y ; (б) I =. 0. Израчунати вредност израза: за a =, и b =. 5 a ( a + b ab) a : a a b a b b Решење:,5.. Израчунати вредност израза x = 4( a ), a, a. I = a + x + a x, ако је a, a Решење: I = a., a < a

49 Природно-математички факултет. Одредити реалне константе A, B, C такве да за све реалне бро-јеве x, који су различити од и -, важи да је x + 5 A B C = + +. x x + x + ( x ) x Решење: A =, B =, C = 0.. Дата је једначина, при чему су a и b реални параметри, и искази ax + b = bx + a a b (I) За сваки пар реалних бројева a и b, дата једначина или има бесконачно много решења или нема решења. (II) За сваки пар реалних бројева a и b таквих да је a b, дата једначина нема решења. (III) За сваки пар реалних бројева a и b таквих да је a = b, дата једначина има бесконачно много решења. Који искази су тачни? Решење: Искази (I) и (II). 4. Одредити скуп свих вредности реалног параметра a за које једначина x + x + x + = ax нема решења. Решење: (,). 5. Решити неједначину x + x <. Решење: (,). 6. Решити неједначину x < x x. x( x + ) Решење: (, ) 0,. 7. Одредити скуп свих вредности реалног параметра a за које једначина x 5 x + 6 = a има максималан број решења? Решење: a 0,. 4

50 Информатор Института за математику и информатику 8. Одредити скуп свих вредности параметра k тако да неједнакост ( k + 4) x + kx + k 6 < 0 важи за сваки реалан број x. Решење: k (, 6). ( x )( x )( x )( x 4)( x 5) 9. Решити једначину = 0. x + x Решење: x =, x 5. 4 = 0. Решити једначину (x + x ) 5(x + x + ) + 4 = 0. 5 Решење: x,,,.. Одредити скуп свих вредности параметра a тако да једначина ( a + a 6) x + ax + = 0 има различита реална решења која су негативна. Решење: a (,6).. Одредити све вредности реалног параметра a, тако да решења x и x једначине x + ( a + ) x + a = 0 буду реална и задовоља- вају неједнакост x + x x x 0. >. Одредити вредност реалног параметра m, тако да збир буде максималан, ако су x и x решења једначине 6x + 6( m ) x 5m + m = 0. 5 Решење: a,. x + x Решење: m =. 4. Дат је скуп функција f a ( x) = x + ( a ) x a, a R. Одредити једначину геометријског места темена парабола одређених функцијама датог скупа. Решење: y = x + x 5

51 Природно-математички факултет x x 4 5. Решити неједначину. x x Решење: (, ) [,] ( 4, + ) x Решити неједначину 4x 7x + 4 > 0. Решење: ( ),, (, + ) x. 7. Решити систем једначина: x + y x + y 9 = 0, x + y + x 5y = 0. Решење: 9 7 (,),, Решити систем једначина: x y + y x = 6, x y + xy = 0. Решење: (, y) { (,4),(4,) } x. 9. Одредити максималну површину паралелогама уписаног у троугао ABC ( AB = c, AC = b, A = 0 ) тако да му две странице припадају страницама AB и AC а теме које не лежи на тим страницама припада страници BC троугла. bc Решење: P max = Решити једначину x + + x + + x + x + =. Решење: [, ] x.. Решити систем неједначина x < x 9x + 0 x 0.,. Решење: ( 0),

52 Информатор Института за математику и информатику. Решити неједначину x < 50 x. Решење: (, ). Решити систем x y x y 65 =, xy x + y = 8. 6 Решење: (, y) { (,0),( 0, ) } x. 4. Израчунати: (c) (d) log tg log tg log tg log tg89 ; log tg + + log tg + log tg + log tg89. Решење: (а) 0; (б) Ако је log 0 5 = a, одредити log Решење: ( a). a 6. Решити једначину x log log9 log9 log x =. Решење: x = Решити једначину x log 0 x x =. 00 Решење: x { 0,00}. 8. Колико решења има једначина x + ln x = 0? Решење:. 5x 9. Решити неједначину log > 0 x + x. Решење: ( 0,) (,4 ).

53 Природно-математички факултет 40. Решити систем једначина log x + log log y + log log 4 z + log y + log z + log x + log z =, x =, y =. Решење: 7 ( x, y, z) =,, Одредити вредности реалног параметра m, за које је функција ( ) ( ) x + m x + f x = log 5 5 дефинисана за свако реално x. x x + Решење: m (, ). 4. Израчунати sin( α + β ), ако је π < β < π. 5 sin α =, 8 π sin β =, 0 < α < и 7 Решење:. 4. Израчунати π π 4π cos cos cos Решење: Колико решења има једначина x cosx cos = у интервалу [,π ] 0? Решење: Решити једначину sin 6 6 x + cos x =. 4 Решење: π kπ x + k Z. 4

54 Информатор Института за математику и информатику 46. Решити једначину sin 9x + cos 7x = sin 7x + cos 9x. (6k + ) π x π k Z. 48 Решење: { k k Z} + cos 6x sin x 47. Решити једначину + 6 = 9. Решење: kπ π π x k Z ± + kπ k Z ± + kπ k Z Решити неједначину 4cos x > 0. Решење: x k Z π π + kπ, + kπ Одредити скуп свих вредности реалног параметра λ, тако да једначина sin x + 4cos x = λ има решења у скупу реалних бројева. λ 5,5. Решење: [ ] 50. Израчунати углове паралелограма чије су странице 7cm и 8cm, а једна дијагонала је cm. Решење: 60, Ако је x + y + z =, x + y + z = 6, x + y + z = 8, одредити колико је x + 5. Полином (x) y z. P је дељив са x x Решење: 8., а при дељењу са x + даје остатак. Одредити остатак при дељењу P (x) са x x. Решење: x + x.

55 Природно-математички факултет 5. Ако су x, x, x решења једначине 8x 5 = 0 (у скупу комплексних бројева), одредити вредност израза x + x + x xx x. Решење: Одредити реални део комплексног броја ( i + ). Решење: Израчунати збир + i 005 i Решење:. 56. У скупу комплексних бројева решити једначину z = 0 и решења представити у комплексној равни. Решење: z =, z = i, z = + i. 57. У скупу комплексних бројева решити једначину z i = 0 и решења представити у комплексној равни. Решење: z =, z = + i, z = + i. π π π π cos + i sin cos + i sin Израчунати π π cos i sin Решење:.

56 Информатор Института за математику и информатику 59. Прав ваљак, чија је висина H = 0cm, пресечен је са равни која је паралелна његовој оси, на растојању 4 cm од осе. Та раван одсеца од основа кружне одсечке чији су лукови 60. Наћи повр-шину пресека. Решење: 60 P = cm. 60. Осни пресек праве купе полупречника основе r је једнакостраничан троугао. На ком одстојању d од врха треба поставити раван паралелну основи конуса која полови његову запремину. Решење: r d =. 6. Површине трију страна правоуглог паралелепипеда, које се састају у истом темену, односе се као 4::. Израчунати површину паралелепипеда ако је његова дијагонала D = 78cm. Решење: P = 889cm. 6. Око правилне тростране пирамиде, бочне ивице a, описана је лопта. Наћи површину лопте и запремину пирамиде ако бочна ивица пирамиде гради са равни основе пирамиде угао α. Решење: π a P =, V = a sinα cos α. sinα 4 6. У прав кружни ваљак уписана је правилна шестострана призма, а у призму уписан је ваљак. Одредити однос запремина тих ваљака. Решење: 4:. 64. У праву купу полупречника r = 5cm и висине h = cm уписана је лопта. Наћи запремину те лопте Решење: V = cm. 8

57 Природно-математички факултет 65. Дат је правилан шестоугао ABCDEF. Ако је тачка M средиште дужи DE, N средиште дужи AM, P средиште дужи BC, изразити вектор AF. NP као линеарну комбинацију вектора AB и Решење: NP = AB AF Вектори p и q граде угао ϕ = 0. Ако је p = и q =, израчунати ( p + q) ( p + q). Решење: Израчунати површину области D у координатној равни која садржи тачке чије координате задовољавају неједнакости: x y 6 0, x + y 7 0, 5x y + 0, x + 4y 0. Решење: Дата су три темена паралелограма ABCD : A (,,0), B (,, ), C (,0,5). Одредити координате темена D и његову површину. Решење: D (,,); P = 98. p, 69. Одредити дужину висине која одговара основи ( q) паралелепипеда конструисаног над векторима p = (,,), q = (,, ), r = (,, ). Решење: 5 H =. 70. Одредити координате темена и једначине страница троугла ABC, ако је дато теме A ( 5, ), висина h c : x + y = 0 (која одговара страници AB ) и тежишна дуж t b : 5x 7y + 7 = 0 (која одговара страници AC ). Решење: B(7,6), C(5,4) AB : x y + 4 = 0, AC : x 5y + 5 = 0, BC : x y = 0

58 Информатор Института за математику и информатику 7. Одредити тачку која је, у односу на праву x y = 0, симетрична тачки M ( 5,). Решење: M '(, ). 7. Одредити оне тангенте елипсе x + 8y = 45 које су на одстојању од координатног почетка. Решење: ± x ± 4y + 5 = Одредити угао за који треба да ротира права x + 7 y 9 = 0 око своје тачке S (,), да би додиривала хиперболу x y = 4. Решење: Одредити једначину скупа тачака које су једнако удаљене од y осе и од криве x 6x + y = 8. Решење: y = 8( x ). 75. Доказати да за сваки природан број n важи следећа једнакост n( n + )( n + )(n 5) + + n ( n + ) =. + Упутство: Користити математичку индукцију. 76. Доказати да за сваки природан број n важи следећа једнакост! +! +! + + n n! = ( n + )!. 77. Низ функција, n N, дефинисан је са: Наћи f n ( x f x) =, x 004 f Упутство: Користити математичку индукцију. f ( x) =, f n + ( x) = f n+ ( f n ( x)), n N. x Решење: 004.

59 Природно-математички факултет 78. Израчунати a + a + + a99, ако је n N. a n = ( n + ) n + n, а n + Решење: Дат је низ n n N 0, који задовољава следеће услове a 0 = и a + a + + a n = a за сваки природан број n. Израчунати a, { } + 0 збир a + a + + a. 0 n n Решење: n Израчунати збир првих тридесет непарних бројева који подељени са 5 дају остатак. Решење: Три позитивна броја образују геометријски низ. Ако се другом члану овог низа дода број 8, добиће се један аритметички низ. Даље, ако се трећи члан добијеног аритметичког низа повећа за 64, добија се геометријски низ. Наћи ова три броја. Решење: 4,,6. 8. Збир прва четири члана аритметичког низа је за 8 мањи од двоструког збира прва три члана тог низа. Ако је четврти члан низа једнак 9, одредити његов пети члан. Решење: Бројеви a, a,, a чине аритметички низ. Познато је да је збир чланова овог аритметичког низа са непарним индексима за 5 већи од збира чланова са парним индексима. Одредити средњи члан овог низа. Решење: Ако је збир првих једанаест чланова геометријског низа S = 64, а количник q =, одредити први члан овог низа. Решење:.

60 Информатор Института за математику и информатику 85. Колико има пермутација скупа {,,,,0} има тачно два елемента? 0 у којима између 0 и Решење: 6 9!. 86. Кошаркашки тим сачињавају 5 бекова, 4 центра и крила. На коли-ко се начина може од њих саставити петорка ако у њој морају да играју бар бека и бар један центар? Решење: Колико има пресечних тачака свих дијагонала унутар конвек-сног седмоугла код којег се никоје три дијагонале не секу у једној унутрашњој тачки тог седмоугла? Решење: Колико има природних бројева који имају бар две цифре и код којих је свака цифра мања од претходне? Решење: На колико различитих начина се могу од првих 8 природних бројева одабрати три броја тако да им збир буде дељив са? Одредити највећи двоцифрен прост фактор броја. 00 Решење: 76. Решење: Одредити средњи члан у развоју бинома x x 6. Решење: x. 9. У развоју 5 7 a b a a одредити члан који садржи a. 7 Решење: 64a b.

61 Природно-математички факултет ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Јун 00.. Одредити све вредности параметра m за које су оба решења једначине x x + m( m 4) = 0 (a) реална; (b) реална и позитивна. Решење: (а) [ 5, + (б) [ 5,0) ( 4, + 5] m ; m. x x. Решити једначину log( 7 ) log(5 + 4 ) + log 7 = 0. Решење: x =.. У троуглу ABC је α β = γ. (a) Доказати да је угао α туп. (b) Иза A у односу на B дата је тачка E таква важи да је AC EC =. Доказати да је CA симетрала угла ECB. 4. Основа пирамиде је правоугаоник. Две бочне стране су нормалне на раван основе, а друге две образују са њом углове од 45 и 60. Висина пирамиде је H = cm. Израчунати запремину пирамиде. Решење: V = 7cm. 5. Одредити сва решења једначине sin x + sin x + sin x + sin 4x = 0 у 0,π. интервалу [ ] 4 Решење: x = 0, x = π, x = π, x4 = π, x5 = π. 5 5

62 Информатор Института за математику и информатику 6. Одредити једначину кружнице која додирује x осу у тачки A (,0) и садржи тачку B ( +, ). Решење: ( x ) + ( y + ) = Четири броја чине геометријски низ. Њихови логаритми узети за основу чине геометријски низ чија је разлика, а збир 6. Одредити та четири броја. Решење:,8,,8. ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Јун Израчунати вредност израза a = 0,0. 4a 9a 0,5 a a 0,5 a 4 + a + 0,5 a a 0,5 ако је. У скупу реалних бројева решити једначине: 5 ( x ) ( x )( x 7x + ) x x + 0 (а) = 0, x x x x (б) = 0. 5 ( x ) ( x )( x 7x + ) x x + 0. Решити неједначину log (x + x + ) 0.

63 Природно-математички факултет 4. Дата је коцка ABCDA BC D (види слику). Нека су E и F редом средишта ивица AB и AA. Израчунати запремину пирамиде DEFB, ако је a дужина ивице коцке. D C A B E D C A F B 5. Дужа основица једнакокраког трапеза, у који се може уписати круг, је a = cm, а угао на њој је α = 75. Израчунати обим овог трапеза. cos x cos x 6. Решити једначину =. 7. Дат је полином : ( x x ) + ( x x + ) + x + 4. P ( x) = x Одредити: (a) степен полинома P ; (b) збир коефицијената полинома P ; (c) остатак при дељењу полинома P са x x. 8. Израчунати + i i + i + i 4 + i + i i + +. i

64 Информатор Института за математику и информатику 9. Наћи једначину праве којој припада тетива кружнице дате једначином x + y 4x + y + = 0, при чему је средиште тетиве тачка A (,0). 0. Први члан аритметичког низа је 4. Одредити 004. члан овог низа, ако је познато да први, пети и једанаести члан одређују геометријски низ. ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Јул Ако је ( a + ) + ( b + ) a = ( + ) и једнака b = ( ), онда је вредност израза А) + ; Б) + ; В) ; Г) ; Д) 0.. x ( x 64)( 64) Производ свих реалних решења једначине = 0 x + 0x 64 је: А) - 64; Б) 8; В) 48; Г) -84; Д) Скуп свих решења неједначине 4x > x је: А) 0, ; Б), 6 ; В) 0, ; Г), ; Д), Нека су x и x решења једначине x + (a - )x + a + = 0 Вредност реалног параметра а за коју је збир x + x минималан је: А) ; Б) ; В) 0; Г) -; Д) -.

65 Природно-математички факултет 5. Страница ромба је a = 9 cm, а d + d 4 Израчунати површину ромба (у = cm ) је: А) 6; Б) 5; В) 6; Г) 50; Д) 75. cm је збир дијагонала. 6. Осни пресек праве кружне купе, полупречника основе р, је једнакостраничан троугао. Однос површина дате купе и лопте уписане у њу је: А) : ; Б) 4 : ; В) : ; Г) 9 : ; Д) 9 : Ако је ϕ угао који главна дијагонала AC, коцке ABCDA BC D, заклапа са страном ABCD, тада важи: A) 0 < ϕ 5 ; Б) 5 < ϕ 0 ; В) Д) 0 < ϕ 45 ; Г) 60 < ϕ < < ϕ 60 ; 8. Збир квадрата највећег негативног и најмањег позитивног решења 6 6 једначине sin x + cos x = је: 4 π π 5π 9 π π А) ; Б) ; В) ; Г) ; Д) Остатак при дељењу неког полинома P(x) са x +7x+0 је -x+. Тада је остатак при дељењу полинома P(x) са x + 5 једнак: А) -7; Б) ; В) 0; Г) 70; Д) 67.

66 Информатор Института за математику и информатику x 0. Област дефинисаности функције f(x) = log је: x + А) (, ), + ; Б) (, ) (, + ) ; В) (, ) [, + ),, + ; Д),+. Г) ( ) ;. Геометријско место тачака подједнако удаљених од y-осе, координатног система xоy, и од криве x - 6x + y = -8 је: А) хипербола; Б) елипса; В) парабола; Г) права; Д) дуж.. Дат је низ 0,, 0,, 0,,..., n 0,,... Најмањи природан број n такав да је производ првих n чланова датог низа мањи од 0,0000 је: А) мањи од 4; Б) 4; В) 5; Г) 6; Д) већи од 6. ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Јун Ако су A, B C реалне константе такве да за све реалне бројеве x x + 5 A B C различите од и - важи = + +, x x + x + ( x ) x тада је A + B + C једнако: А) ; Б) ; В) 0; Г) -; Д).

67 Природно-математички факултет. Скуп свих решења неједначине x + x < је: А) (, ]; Б) ; В) (, ) ; Г) (,+ ); Д) [,+ ).. Ако је а реалан број различит од нуле, тада је једнако: a a + + a a А) ; Б) ; В) a ; Г) a a ; Д). a a 4. Решења једначине x 6mx m + 9m = 0 су већа од ако и само ако m припада интервалу: 8 8 А) 0, ; Б),+ ; В), ; Г),+ ; Д) 5, График функције f ( x) = ax + bx + c a,b,c, приказан је на слици. Тачан је исказ: А) a > 0,b < 0, c < 0 ; Б) a > 0,b > 0, c > 0 ; В) a > 0,b > 0, c < 0 ; Г) a > 0,b < 0, c > 0 ; Д) a < 0,b > 0, c > 0., 6. Сва решења једначине 5 x + 5 0, x = 6 припадају интервалу: А) (,0) ; Б) ( 4) 5 0, ; В), ; Г) (, 5) ; Д) (,+ ) 5.

68 Информатор Института за математику и информатику 7. Ако је tg α = и 7 π α + β =, тада је tg β, једнако: 4 6 А) ; Б) 7 ; В) ; Г) ; Д) Ако је ϕ угао једног диедра правилног тетраедра, онда је cos ϕ једнак: А) ; Б) ; В) ; Г) ; Д). 9. Вредност израза log (log log 8 ) је: А) ; Б) ; В) 9 ; Г) ; Д) log Бројеви a, a,..., a 0 образују аритметички низ. Ако је збир свих чланова са непарним индексима једнак 0, а збир свих чланова са парним индексима једнак 50, онда је a једнако: А) ; Б) 4; В) 5; Г) 6; Д) 8.. У паралелограму ABCD познате су координате темена B (-, ), C (, -5), D (7, 0). Координате темeна А су: А) (0, 0); Б) (-, ); В) (5, 8); Г) (, ); Д) (, 6).. Изводница праве зарубљене купе је c = 5cm, а полупречници основа су r = 5cm и r = 5cm. У купу је уписана правилна четворострана зарубљена пирамида тако да је доња основа пирамиде уписана у доњу основу купе, а горња основа пирамиде у горњу основу купе. Запремина зарубљене пирамиде је: А) 04cm ; Б) 6cm ; В) 78cm ; Г) cm ; Д) 77 cm.

69 Природно-математички факултет ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Јул На 007. децималном месту броја 4 се налази цифра: А) ; Б) ; В) 4; Г) 5; Д) 8.. Решење неједначине x+ x < је скуп: А) (,+ ); Б) (,) ; В) (, ) ; Г) (,) ; Д) (,].. Круг је уписан у једнакостраничан троугао, а затим је квадрат уписан у тај круг. Однос површина троугла и квадрата једнак је: А) ; Б) ; В) 6 ; Г) 8 ; Д). 4. Шестоцифрених бројева у чијем запису не учествује цифра има: 6 А) 9 ; Б) ; В) Д) ; Г) ; 5. Скуп реалних бројева d таквих да за свако x R важи x + x+ неједнакост d је: x + x+ 0 А) (, + ) ; Б) (, ], + 0 Г), + ; Д) 0,. ; В) (,) ;

70 Информатор Института за математику и информатику x f x log x + 6. Област дефинисаности функције ( ) = je: А), + ; Б) (, ] [, + ) ; В) (, ) [, ) Г) R\ { } ; Д) ( 0,+ ). + ; 7. Ако је log 8 = p и log 5 = q, тада је log log0 6 једнако: А) q + p+ ; Б) Д) q + p +. pq+ pq+ p+ pq+ ; В) p q p+ pq+ ; Г) ; pq + 8. У аритметичком низу са различитим члановима први, пети и једанаести члан образују геометријски низ. Ако је први члан 4 десети члан аритметичког низа је: А) 77 ; Б) 76 ; В) 5 ; Г) 5 ; Д) 4. π π 9. Број решења једначине sin x cos + cos x sin = која 7 7 припадају интервалу π π, је: А) ниједно; Б) ; В) 4 ; Г) ; Д). 0. Површина омотача правог кружног конуса је M. Када се тај омотач развије, централни угао одговарајућег кружног исечка износи 6. Полупречник основе овог конуса је: M А) 0π ; Б) 0Mπ ; В) M 0π ; Г) M π ; Д) 0M π.

71 Природно-математички факултет. За који угао треба да ротира права x + 7 y 9 = 0 око своје тачке (, ) S да би додиривала хиперболу x y = 4? А) 45 ; Б) 90 ; В) 0 ; Г) 60 ; Д) 75.. Дужина странице квадрата ABCD је a = cm. Нека су E и F тачке редом страница AD и AB, такве да је AE = AF и да је површина четвороугла CDEF максимална. У том случају површина четвороугла CDEF је (у cm ): А) ; Б) ; В) ; Г) ; Д). 8 6 ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Јул У правоуглом троуглу тачка додира уписане кружнице и хипотенузе дели хипотенузу на одсечке дужине 5 cm и cm. Површина тог троугла је: А) 49 cm ; Б) 60 cm ; В) 7 cm ; Г) 0 cm ; Д) 400 cm.. Вредност израза x y + x y ( x) ( y) I = x + y + ( x )( y ) ( x ) ( y ) за x = 0, 5 и y =, 5 је: А) ; Б) ; В) ; Г) 5; Д) 6.

72 Информатор Института за математику и информатику. Решење неједначине x < x x x( x + ) је скуп: 7 А) (, ) ; Б) (, ) (0, ) ; В) (, ) (0, ) ; Г) (, ) (0, ) ; Д) (, ) (, ). ( x )( x )( x )( x 4)( x 5) 4. Збир свих решења једначине = 0 x + x је: А) ; Б) 6; В) 9; Г) ; Д) 5. x 5. За реалан број x који је решење неједначине < 8 важи: А) 0 < x < ; Б) x < 0 ; В) x = 0 ; Г) x > ; Д) x > 0. x 6. Ако је log 0 = a, тада је log 8 40 jeднак: a А) a ; Б) 4 a ; В) ; Г) a + ; Д) a + a. 7. Број решења једначине cosx = cosx у интервалу [ 0, π ] је: А) 0; Б) ; В) 4; Г) 5; Д) У аритметичком низу збир прва четири члана је за 8 мањи од двоструког збира прва три члана тог низа. Ако је четврти члан низа једнак 9, његов пети члан је: А) 4; Б) 0; В) ; Г) 4 ; Д) 9.

73 Природно-математички факултет 9. Основа пирамиде је правоугаоник. Две бочне стране су нормалне на раван основе, а друге две образују са њом углове од 45 o и 60 o. Ако је висина пирамиде H= cm, onda je zapremina piramide jednaka: А) 9 cm ; Б) 8 cm ; В) 7 cm ; Г) 54 cm ; Д) 8 cm. 0. У паралелограму ABCD познате су координате темена B( -,),C(,-5 ),D( 7,0 ). Координате темена А су: А) (-, ) ; Б) ( 0, 0 ) ; В) (, 6 ) ; Г) ( 5,8 ) ; Д) (, ).