Liceul de Informatică Spiru-Haret Suceava. Elev : Alexevici Cătălin. Profesor coordonator: Oanea Călin. referat.clopotel.ro 1
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- Παναγιωτάκης Βλαχόπουλος
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1 Lel de Ifortă Spr-Hret Se Ele : lee Cătăl Profesor oordotor: Oe Căl refertlopotelro
2 CUPRINS MTRICI pg Despre tr Operţ tr Egltte doă tr dre trlor Îlţre slr trlor Îlţre trlor DETERMINNŢI pg Defţ detertl de ord Defţ detertl de ord Propretăţle deterţlor Clll erse e tr Eţ trle PLICŢII pg dresă de e-l: lee@lgrdpo Coprght C lee refertlopotelro
3 MTRICI ŞI DETERMINNŢI MTRICI Despre tr est oept l- îtlt î d prl de le, t âd s- ps prole reolr sste de doă eţ doă eoste,, de for ' ' ' est sste - sot telo pătrt, re oţe oefeţ eostelor î pr le st oefeţ l, d pr eţe, r do le fgreă oefeţ l, d eţ do: ' ' t est tlo tre pătrtă s tre sstel Pe ele doă oloe le ' tre fgreă oefeţ l pe pr oloă, ş respet oefeţ l pe do ' oloă, Defţe Se eşte tre l ş oloe s de tp ş oloe le ăr eleete j st ere oplee Ueor estă tre se oteă ş tlo l j de, ş j, Petr eleetl j, dele rtă l pe re se flă eleetl, r l dole de j dă pe e oloă este stt Mlţe trlor de tp Μ R eleete ere rele se oteă pr, eleş sefţ ş lţle Μ Z, Μ Q, Μ C, Cr prtlre O tre de tpl de o le ş oloe se eşte tre le ş re for O tre de tpl l ş o oloă se eşte tre oloă ş re for,, refertlopotelro
4 O tre de tp se eşte lă ero dă tote eleetele e st ero Se oteă O O Dă ărl de l este egl ărl de oloe, t tre se eşte pătrtă Sstel de eleete repretă dgol prplă tr, r s estor eleete Sstel de eleete Mlţe estor tr se oteă Μ C se eşte r tr ottă Tr repretă dgol sedră tr Prtre este tr este forte porttă est fd I ş se eşte tre tte pe dgol prplă re tote eleetele egle, r î rest st egle dă Operţ tr Egltte doă tr Defţe Fe, j j, j j Μ, C, j,, Spe ă trle, st egle ş sre Eepl: Să se detere erele rele, stfel îăt să e egltte de tr R Mtrle st egle dă eleetele orespătore st egle, dă: Reolâd est sste găs solţ, - refertlopotelro
5 dre trlor Defţe Fe,, C trlor, dă: j j j j j j Μ, C,,, Mtre C se eşte s j, Oserţ Doă tr se pot d dă st de elş tp, dă dă elş ăr de l ş elş Μ C ăr de oloe, de, Eplt dre trlor, îseă:, Eepl: Să se llee petr:, ;, R e - e - Propretăţ le dăr trlor sottte dăr dre trlor este sotă, dă: C C Μ C,,, C Cotttte dăr dre trlor este ottă, dă: Μ C,, Eleet etr dre trlor dte tre lă eleet etr, dă Μ, C stfel îât O,, Μ, C Μ C re ops, ott, stfel îât O, Eleete opse Ore tre, O, Îlţre slr trlor DefţeFe λ C ş tre, tre ottă j Μ, C λ C, Μ deftă pr,, Se eşte prodsl dtre slrl λ C ş λ λ Os: îlţ o tre slr ree l îlţ tote eleetele tr est slr j refertlopotelro
6 λ λ λ λ λ λ De λ λ λ λ Eepl Fe t Propretăţ le îlţr trlor slr µ λµ λ µ Μ C ; S λ,, C,, S λ λ λ, λ C,,, C S λ µ λ µ, λ, µ C,, C Μ C ; S, C,, Μ ; Μ ; Îlţre trlor Defţe Fe k Μ, R, j î est orde, ott este tre C Oserţ k j k j, Μ, p R R k j k,,, p Prodsl dtre trle ş Μ deftă pr j, Prodsl doă tr se pote efet îtotde deât dă, R Μ, p R oţe o tre C Μ, p R Dă trle st pătrte, R Μ,, dă ărl de oloe le l este egl ărl de l le l, âd se Μ t re ses îtotde tât ât ş, r, î geerl, dă îlţre trlor este ottă Propretăţ le îlţr trlor I sottte îlţr Îlţre trlor este sotă, dă C C C C Μ C, Μ, Μ, C, I Dstrttte îlţr î rport dre Îlţre trlor este dstrtă î rport dre trlor, dă C C C, C C C,,, C tr petr re ses operţle de dre ş îlţre I Dă I Μ C este tre tte, t I I, Μ C Se spe ă I este eleet etr î rport operţ de îlţre trlor Pterle e tr, p p,s refertlopotelro
7 Defţe Fe C N * Coe I Μ t,,,,, rterst det I TEOREM Cle Hlto Ore tre C λ Petr det d d d λ λi λ d dλ Μ îş erfă polol λ det λ I dλ λ λ dλ d d λ λ d λ d polo rterst Geerlt Tr det I DETERMINNŢI Defţ detertl de ord Fe j Μ C o tre pătrtă Vo so este tr ăr ott det t detertl tr Defţe Dă C refertlopotelro Μ este o tre pătrtă de ordl îtâ, t det Defţe Detertl tr este ărl det ş se eşte detert de ord Tere, se es tere deoltăr detertl de ord Defţe Detertl tr este ărl det ş se eşte detert de ord Tere re pr î forlă se es tere deoltăr detertl
8 Petr lll detertl de ord tre se tleă tre teh sple: Regl l Srrs Fe detertl de ord, d Petr ll stfel de detert se tleă tell de jos j, j, srs s detert prele doă l Se fe prodsl eleetelor de pe dgole Prodsl eleetelor de pe o dgolă desedetă este sel pls e tre stfel de prodse:,, Prodsl eleetelor de pe o dgolă sedetă este sel s e tre stfel de prodse:,, S elor şse prodse dă lore detertl d de ord est proede de ll se eşte regl l Srrs Regl trghl ăt ă detertl de ord tre re î deoltre s şse tere, tre sel pls ş lţ tre sel s Prl tere pls se găseşte îlţd eleetele de pe dgol prplă, r ellţ do, îlţd eleetele stte î ârfrle elor doă trghr re o ltră prlelă dgol prplă Dpă eeş reglă, refertore l dgol sedră, se oţ tere s Os: tât regl l Srrs ât ş regl trghl se plă deterţlor de ord Eepl Să se llee pr ele doă etode de ss detertl d R Regl l Srrs d Regl trghl d [ ] [ ] Reret s deoltre dpă o le s o oloă Detertl de ord re! tere dtre re tre st sel pls, r ellţ sel s re lo rătore proprette: det, Oserţ Egltte se eşte deoltre detertl dpă eleetele le îtâ, r egltte se eşte deoltre detertl dpă eleetele oloe îtâ refertlopotelro
9 Forlele ş st relţ de rereţă, deoree detertl de ord se epră jtorl or deteţ de ord feror Defţ detertl de ord Vo def î otre detertl de ord pr rereţă jtorl deterţlor de ord Petr est st eesre ele preăr Fe Μ C j Defţe Se eşte or sot eleetl refertlopotelro j detertl tr pătrte j de ord oţt pr sprre le ş oloe j d tre Se oteă est or pr det j s D j Defţe Se eşte opleet lger l eleetl j ărl det j Epoetl j l l este s dtre ărl le ş oloe j pe re se flă j Defţe Detertl tr j de ord este s prodselor eleetelor d pr le opleeţ lor lger dă det D D D D Oserţ Eleetelor, llor ş oloelor tr le o spe de seee eleetele, lle ş oloele detertl det Forl d defţe spe ă repretă deoltre detertl de ord dpă eleetele pre l Defţ detertl de ss este îă pţ efetă o o lstr jos petr De ee se pe stlre or propretăţ le deterţlor re să fe oode tât d pt de edere l teore ş d pt de edere lltor este propretăţ le pret î prgrfl rător Cotâd epltre deterţlor de ord d defţe D, D,, D se oţe petr det o să de prodse de eleete d detert, fere prods oţâd eleete stte pe l ş oloe dferte det : Μ C Detertl este o fţe C Eepl Să se llee detertl de ord : d R plă defţ dtă ss petr ş deoltă detertl dpă eleetele le îtâ e: d j
10 , de deterţ de ord - llt pr d etodele preette l deterţ de ord Propretăţle deterţlor P Detertl e tr ode detertl tr trspse, dă dă t C det det Μ, t Deostrţe Fe t d t ş d d t d t det, r det Pr rre det det P Dă tote eleetele e l s oloe dtr-o tre st le, t detertl tr este l Deostrţe e d ş d d d P Dă îtr-o tre shă doă l s doă oloe ître ele oţe o tre re re detertl egl opsl detertl tr ţle d Deostrţe Pr shre llor să răt ă e egltte d e edet d d P Dă o tre re doă l s oloe dete, t detertl să este l Deostrţe Verf petr l ş tot odtă petr oloe e: P Dă tote eleetele e l s oloe le e tr st îlţte ăr α, oţe o tre l ăre detert este egl α îlţt detertl tr ţle Deostrţe Verfă petr l proprette α α α dα α d α d d P Dă eleetele doă l s oloe le e tr st proporţole, t detertl este l Deostrţe Verfă petr l λ λ λ λ P Dă l e tr este s do etor, t detertl e este egl s do deterţ orespător trelor re eleş l, eepţ le de âte l d e do etor refertlopotelro
11 Deostrţe de rătt ă: ' ' ' ' d d d ' ' ' ' Îtr-deăr erl stâg este egl d d d este ' ' d d ş egltte se erfă Os: O proprette logă re lo ş petr oloe Merl drept P Dă o le o oloă e tr pătrte este o oţe lră de elellte l oloe, t detertl tr este ero P Dă l o le o oloă tr dă eleetele lte l oloe îlţte elş ăr, t estă tre re elş detert ş tre Deostrţe Vo d l l îtâ L l do îlţtă λ Vo ot est fpt pr L λl e: λ λ λ λ P P P det I P det λ λ det, C Μ P Dă j este o tre trghlră s dgolă, t det Vlore detertl este eglă prodsl eleetelor de pe dgol prplă P Dă, Μ C, t det det det Detertl prodsl doă tr pătrte este egl prodsl deterţlor elor tr * det det N, Î prtlr Teoreă Detertl e tr C eleetele e l L, ş opleeţ lor lger, dă Μ este egl s prodselor dtre det D D D D Forl l det dă deoltre detertl dpă eleetele le estă teoreă perte să llă detertl e tr dpă orre le Se lege e le re re lte eror s pe re se pot rel ât şor lte eror Oserţe: Ţâd se de proprette P teore preedetă re lo ş petr oloe s for: j j j j det j D j j D j j D j j Dj refertlopotelro
12 Clll erse e tr Defţe Fe Μ C C Μ proprette ă I Mtre se eşte erslă dă estă tre, I fd tre tte Mtre d defţe se eşte ers tr ş se oteă I De Teoreă Mtre Μ C este erslă dă ş dă det tre se eşte esglră Costrţ l prespe rător pş: O stfel de Psl Costrţ trspse Dă, t t ostr trsps l Psl Costrţ djte D D D * D D D Mtre D D D oţtă d t, lo fere eleet opleetl să lger se eşte djt tr Psl Costrţ erse Se ţe ot de teore preedetă ş se găseşte ă: d * * d * *, r de I d d d Ultele egltăţ rtă ă det * Eţ trle Vo preet î otre o tehă de reolre or eţ de for X C, X C, X C, de,, C st tr oste, r X este tre de flt stfel de eţ se es eţ trle stfel de eţ se pot reol t âd, st tr pătrte ersle refertlopotelro
13 Petr reolre eţe X C îlţ l stâg egltte ş e: X C X C IX C X De solţ eţe dte este X C C găs Petr deterre solţe eţe X C, solţ eţe trle X C o îlţ l drept ş log o Petr găsre solţe eţe ş oţe X C X C îlţ egltte l stg ş l drept refertlopotelro
14 refertlopotelro PLICŢII Ml pg Să se detere erele rele,, stfel îât să ă lo egltte de tr, î rle dr dr
15 refertlopotelro I dă, t II dă, t pg Să se llee î rle:,, Se osderă trle,, p C Să se detere,, p stfel îât C p p De p pg Se osderă trle,, C Μ
16 refertlopotelro, Să se llee:, pg Cllţ prodsele de tr, de ş ş ş d ş e ş
17 refertlopotelro Să se llee f, dă: ; I X X X f f Fe Să se llee, * N M Idţe tetă k P k P De pg Cllţ deterţ de ordl do:
18 refertlopotelro Cllţ deterţ de ordl tre: [ ] ] [ [ ] ] [ [ ] ] [ Cllţ deterţ rător: d d d d d d d d Să se reole eţle:
19 refertlopotelro De, Să se reole eţle: [ ] [ ] [ ] Fe, R Μ petr re det det det det Să se rte ă det, R,, det P λ λ λ λ Petr ş det, λ P Petr ş det, λ P Petr ş det, λ λ P Petr ş det, λ λ P λ λ De det lret pg Să se detere tre X d eţ
20 refertlopotelro X X X X X Găsţ tre X Μ R stfel îât X Să se detere R stfel îât sstel rător să fe optl ş po reolţ-l: X X X t t t t X X t t De X
21 refertlopotelro Fe tre Μ R ;, Să se llee ş ş po să se detere, * N î fţe de Să se fle,,,, ere rele stfel îât M Idţe tetă k P k P De De Să se detere,,,, stfel îât: Să se detre tre stfel îât:
22 refertlopotelro pg Să se reole eţ: [ ],,, Dă,, st rădăle eţe să se llee detertl d
23 refertlopotelro d d ILIOGRFIE Mre Gg, Ml de Mtetă, Eleete de lgeră lră, ş geoetre ltă, ls XI-, Edtr Mthpress, Gh dre, D ăros, Gh oro, dtere î îăţăâtl speror, Edtr Gl, D râe, Sor Ule, Mtet î orsrle şolre, Edtr Prlel, C Năstăses, C Nţă, Clegere de prolee petr le, lger, Edtr Roteh Pro, Cet de otţe
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