Integrale generalizate (improprii)

Transcript

1 Integrle generlizte (improprii) Fie f : [, ] R, definită prin =, α > 0. Pentru u, funţi α f este integrilă pe intervlul [, u] şi u ln α+ α+ u u = ( α)u α α, α = ln u, α =. Dă treem l limită pentru u oţinem lim u u { α, α >, α. Anlog, pentru funţi f : (0, ] R,definită prin = α, α > 0 oţinem { lim α, α < u 0, α. u Definiţie: Fie f : [, ) R, integrilă pe [, u], u [, ). Spunem ă f u este integrilă pe [, ) dă eistă lim R. u Notăm: lim u not. = u pote fi şi, situţie în re doptăm notţi În mod nlog, pentru f : (, ] R, lim Eemple: ) d = α α, α > ; 2) d = α α, 0 < α < ; 3) d = 2. şi o numim integrlă generliztă. ( u u ). not. = +0.

2 Integrlele generlizte se împrt în : I. Integrle de spei I- u lim ; u lim u u ; + II. Integrle de spei II-.,,,, R. III. Mite (dă eistă mele integrle). ;. Dă f este integrilă pe [, ) spunem ă Dă f nu este integrilă pe [, ) spunem ă Definim F : [, ) R, F (u) = onverge. diverge. u numită funţi integrlelor prţile le funţiei f. Din modul în re fost definită estă funţie, onverge dă şi numi dă eistă lim u F (u) R. Teoremă (Cuhy) Funţi f : [, ) R, este integrilă pe [, ) dă şi numi dă pentru orie ε > 0, eistă ε [, ) stfel înât pentru orie, [ ε, ) vem < ε. Dem.: Deoree f este integrilă dă şi numi dă eistă limf (u) u R, pliăm teorem lui Cuhy pentru limite de funţii şi oţinem onluzi teoremei. Proprietăţi le integrlelor generlizte Fie f, g : [, ) R. ) Dă f, g sunt integrile tuni f + g şi λf sunt integrile. (λ R); 2) Dă f este integrilă pe [, ) şi [, ) tuni f este integrilă pe [, ) şi + ; 2

3 3) Dă f este integrilă pe [, ) şi [, ) tuni f este integrilă şi pe [, ) şi re lo +. Teoremă: Dă este onvergentă. Dem.: Deoree d este onvergentă tuni şi d este onvergentă, din Teorem Cuhy, pentru orie ε > 0, eistă ε [, ) stfel înât pentru orie, [ ε, ) vem d < ε. Cum d < ε, tot din Teorem Cuhy oţinem ă este onvergentă. Definiţie: ) este solut onvergentă dă d este onvergentă. 2) este simplu onvergentă (semionvergentă) dă este onvergentă şi nu este solut onvergentă. Oservţie: Teorem nterioră rtă ă solut onvergenţă impliă propriette de onvergenţă. Criterii de onvergenţă pentru integrle din funţii pozitive Fie f : [, ) R +, R, o funţie pozitivă. În est z funţi integrlelor prţile este resătore şi onvergentă dă şi numi dă F este mărginită. este 3

4 Criteriul de omprţie u ineglităţi: Fie f, g : [, ) R + stfel înât g() [, ). În este ondiţii u lo următorele: ) dă g()d este onvergentă tuni este onvergentă; ) dă este divergentă tuni Dem.:Deoree g() [, ) tuni F (u) = u g()d u >. ) Dă g()d este divergentă. u G(u) = g()d este onvergentă tuni G este mărginită superior, de unde se oţine ă F este mărginită superior, ee e ntreneză ă este onvergentă. ) Dă este divergentă tuni F este nemărginită superior şi um F (u) G(u), u > oţinem ă G este nemărginită superior, diă este divergentă. Criteriul de omprţie u limită: Fie f, g : [, ) R +. Dă eistă lim g() = l tuni ) l (0, ) = şi g()d u eeşi ntură; ) l = 0 şi ) l = şi g()d este onvergentă tuni g()d este divergentă tuni Dem.: Pentru zurile ) şi ), deoree eistă lim g() eistă δ > stfel înât şi ) Luând ε = l 2 l ε < < l + ε, [, ) u δ. g() g()d este onvergentă; este divergentă. = l, tuni ε > 0 şi ţinând sem de fptul ă g() 0 δ, oţinem ă l 3l g() < < g(), [, ) u δ. 2 2 Apliând um riteriul de omprţie u ineglităţi, oţinem ă g()d u eeşi ntură. 4

5 ) Luând ε = şi ţinând sem de fptul ă g() 0 δ, oţinem ă de unde rezultă ă g(), δ, este onvergentă deoree g()d este onvergentă. Pentru zul ), ε > 0 eistă δ (, ) înât pentru [, ) u δ.vem g() ε. Luând ε = şi ţinând sem de fptul ă g() 0 [, ) u δ, oţinem ă g(), δ, g()d este divergentă. de unde rezultă ă este divergentă deoree 5